正弦波(サイン波) C科2年1 C科2年 信号理論 講師:金田豊...
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1
C科 2年
信号理論
講師: 金田 豊
正弦波 (サイン波)
0
20 40 60 80 100 120 140
時間 t
+
-
A・sin( 2πf t + θ)
周波数(f)
3つのパラメータ
位相(θ)振幅(A)
(大きさ)
振幅 A の違いを音として聞いてみる
1
1/2
1/4
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1/8
A・sin( 2πf t + θ)
0 50 100 150 200 250 300-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
200Hz
500Hz
1000Hz
周波数 f の違いを音として聞いてみる
A・sin( 2πf t + θ)
50 100 150 200 250 300 350 400 450-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
位相 θ による波形の違い (時間的な位置)
θ正 負
A・sin( 2πf t + θ)(1) 正弦波の3つの表現を示せ。
① A・sin( 2πft + θ )
または A・sin( ωt + θ )
② a cos( ωt ) + b sin( ωt )
③ A・e j ( ωt + θ )
前回の復習 (演習解答)
2
(2) sinωt と をcosωt をe jωt ( と e -jωt ) を用いて表す式を示せ。
前回の復習 (演習解答)
tjtjtjtj
tj
tj
eeteej
t
tjte
tjte
2
1cos
2
1sin
sincos
sincos
これらの式は、sin (または cos )が、
e jωt と e -jωt からできている ことを表している。
虚数単位
◇ 数学では、「 i 」
位置は、「2 i 」 のように、数字の後
◇ 電気・通信分野では、「 j 」
位置は、「 j 2 」 や 「 jωt」や 「 jωL 」のように、
数字や記号の前
複素数の「虚数部」の表し方について
複素数 a + j b
虚数部虚数単位実数部
ただし、2 j でも、「間違い」ではない。
j 2 = j × 2= 2 × j = 2 j
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-1.5
-1
-0.5
0
0.5
信号の合成 (フルート風)
500Hz
1000Hz
1500Hz
2000Hz
∑0.03
0.1
0.3
1.00
0 0.05 0.1 0.15
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
200Hz
600Hz
1000Hz
1400Hz
∑
信号の合成 (オーボエ風)
0.25
0.35
0.5
1.00
質問・要望に対する回答 (1)
Q.宿題・演習の採点・解説はするのか?解説をして欲しい
A.基本的には採点も解説はしません。
理由1 演習の問題の中身は、大半が黒板に書いた
内容なので、ノートを見れば理解できる、はず
理由2 解答例は、Web ページに掲載しますので、
解答は、それを見てください。
質問や意見には回答をします
演習の意義
・ その日のまとめ
→ 今日勉強したことが答えられるだろうか?
・ 書き上げたら、
もう一度自分で読んでみること
→ 今日勉強したことの復習となっている
・ 成績には関係しない
3
フーリエ級数
周期信号 f (t) は、基本 (角) 周波数 ω0 = 2πf0および、その2倍、3倍・・・(2ω0 、3ω0 ・・・ )の周
波数の正弦波の和として表すことができる。
前回の復習 (1)
)3sin2sinsin(
)3cos2coscos()(
030201
0302010
tbtbtb
tatataatf
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
cos + sin
周波数 f0 の正弦波
周波数 2・f0 の正弦波
周波数 3・f0 の正弦波
+ +
信号
フーリエ級数
前回の復習 (2)
)sin2sinsin(
)cos2coscos()(
00201
002010
tnbtbtb
tnatataatf
n
n
T
n
T
n
T
dttntfT
b
dttntfT
a
dttfT
a
0 0
0 0
00
)sin()(2
)cos()(2
)(1
(1) 正弦波を n 周期 ( n:整数)積分した結果
ゼロ
(2) 「正弦波 (サインやコサイン) の積」を n 周期積分
① ∫sinA×cosB = 0(サインとコサインの積の n周期積分は0)
② ∫sinA×sinB = 0(異なる周波数の積の n周期積分は0)
③ ∫sinA×sinA ≠ 0(同じ周波数の積の n周期積分は一定値)
前回の復習 (3)
+ + +
- - -
n周期での積分値(面積)は0になる。
質問・要望に対する回答
Q.実際に数値を代入して計算する練習問題を多くやって欲しい。
A.行いません。
理由: この授業の目的は、計算問題を解けるようになる、
ことではなく、(計算はパソコンがやってくれます)
学問体系を理解し、説明できるようになることです。
・ フーリエ変換とは何か?
・ それはどうやって求めるのか?
→ 試験勉強=計算練習 & 記憶、ではだめ
→ 計算問題をやってみたい人には、ホームページに
本日の内容
1.前回の復習
2.本日の内容
◇ フーリエ級数の例
◇ フーリエ係数の求め方
◇ 複素正弦波によるフーリエ級数
4
方形波は正弦波の和として合成できる
fq(t) = sin(ω0t) +1/3・sin(3ω0t)
+1/5・sin(5ω0t) +1/7・sin(7ω0t)+ ・・・・・
-1
0
1
2つの正弦波の和
f = 100 Hz (基本波)
f = 300 Hz (3倍波)
-1
0
1
2つの正弦波の和
f = 100 Hz (基本波)
f = 300 Hz (3倍波)
-1
0
1f = 100 Hz
f = 300 Hz
振幅
時間
2つの正弦波の和
青+緑 → 赤
1,3,5倍周波数の正弦波の和
0
-1
0
1
振幅
時間
100 Hz+300Hz
500 Hz
1,3,5倍周波数の正弦波の和
0
-1
0
1
振幅
時間
100 Hz+300Hz
500 Hz
青+緑 → 赤
5
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
0 20 40 60 80-2
-1
0
1
2
sin t
t3sin3
1
tt 3sin3
1sin
t5sin5
1
tt 3sin3
1sin
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tsin
t7sin7
1
ttt 5sin5
13sin
3
1sin
tttt 7sin7
15sin
5
13sin
3
1sin
方形波 の合成
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
2ω0
周波数スペクトル
成分の大きさ
周波数ω
ω0 3ω0 4ω0 5ω0 6ω0 7ω0
1
1/3
1/5 1/7
tttt 7sin7
15sin
5
13sin
3
1sin 1
含まれている正弦波の大きさを表すグラフ
注)これは振幅スペクトル ⇔ パワースペクトルは2乗
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
tsin tsin
tt 2sin2
1sin
t2sin2
1
t3sin3
1tt 2sin
2
1sin
ttt 3sin3
12sin
2
1sin
t4sin4
1ttt 3sin
3
12sin
2
1sin
tttt 4sin4
13sin
3
12sin
2
1sin
のこぎり波 の合成
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1
0
1
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 50 100 150-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
tsin tsin
tt 2sin2
1sin
t2sin2
1
t3sin3
1tt 2sin
2
1sin
ttt 3sin3
12sin
2
1sin
t4sin4
1ttt 3sin
3
12sin
2
1sin
tttt 4sin4
13sin
3
12sin
2
1sin 1
6
2ω0
周波数スペクトル
成分の大きさ
周波数ω
ω0 3ω0 4ω0 5ω0 6ω0 7ω0
1
1/3
含まれている正弦波の大きさを表すグラフ
注)これは振幅スペクトル ⇔ パワースペクトルは2乗
tttt 4sin4
13sin
3
12sin
2
1sin 1
1/2
1/4
「フーリエ係数」 a0, a1 , ・・・,b1 , b2 , ・・・ は、
同じ周波数の正弦波 sin nω0 t をかけて積分すれば得られる。
例)
■ 係数 an、bn を求めることは、複雑な波 x(t) を作っている単純な波 (正弦波) 1つ 1つの大きさを求めることに相当する。
an、bn の求め方
T
dtttfT
b0 02 2sin
2
)3sin2sinsin(
)3cos2coscos()(
030201
0302010
tbtbtb
tatataatf
周波数分析の有効性①波形で見る信号の違い
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
時間
・ 波形 → 大きな違いはない・ 音 → 大きな印象の差
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
時間
周波数分析の有効性①周波数分析結果
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
周波数 [Hz]
調波音 (高域を含む)高域を含む
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
周波数 [Hz]
調波音 (フルート風)4倍周波数まで含む
・ 周波数で見ると差が明確・ 差の意味 (信号の性質の差) も明確
周波数分析の有効性②信号の「分析」と「合成」
信号 正弦波
500Hz の正弦波 1
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
分析(分解)
合成
mm ba ,)(tf
すべての信号は、正弦波の和で出来ている
「分析」と「合成」 の例
水 400g
醤油 10g
みりん 5g
塩 2g
砂糖 0.2g
昆布汁 5g
煮干汁 20g
うどんのスープ 材料(成分)
分析
合成
7
)32sin()22sin()2sin(
)32cos()22cos()2cos()(
030201
0302010
tfbtfbtfb
tfatfatfaatf
フーリエ級数との対応
周波数 f0 のcosが a1sin が b1
周波数 2・f0 のcosが a2sin が b2
周波数 3・f0 のcosが a3sin が b3
+ +
スープ = 水 が 400g + 醤油が 10g + みりん が 5g +・・・
信号
信号の「分析」と「合成」
信号 正弦波(=材料)
500Hz の正弦波 1
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
分析
合成
mm ba ,)(tf
すべての信号は、正弦波の和で出来ている
「スペクトル」は、成分のグラフ化
f
成分
500Hz の正弦波 1
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
mm ba ,
0 500 1000 1500 2000
周波数 (Hz)
1
0.50.3
0.25
大きさ(振幅)
5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2
00.2
5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2
00.2
5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2
00.2
5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2
00.2
5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200
-0.5
0
0.5
250Hz (1)
500Hz (0.6)
750Hz (0.25)
1000Hz (0.6)
Σ
信号の合成
情報圧縮
5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2
00.2
5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2
00.2
5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2
00.2
5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2
00.2
5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200
-0.5
0
0.5
250Hz (1)
500Hz (0.6)
750Hz (0.25)
1000Hz (0.6)
Σ
信号の合成(補足)
情報圧縮
10ms
100ms
フーリエ級数の意義
すべての波形は正弦波の和
◇ 分解できる → 各正弦波の大きさを表す、
an、bn (スペクトル)が信号の特徴を表す。
・ 音声認識
◇ 合成できる
◇ 周波数操作
・ フィルタ
◇ 周波数で見る・考える
8
音声の音色 → 母音のスペクトル
「あ」 「う」「い」
GoldWave
前回の復習
)30.2()(2
1)(
(2.31))()(
deFtf
dtetfF
tj
tj
フーリエ変換(非周期信号)の定義式
前回の復習
Ftf )( 「フーリエ変換対」 と呼ぶ
0
-4π/τ 4π/τ-2π/τ 2π/τ
Aτ
ωτ/2-τ/2 0
τ
A
t
f(t) : ゲート関数 F(ω) : 標本化関数(sinc関数)
)2/(
)2/sin()(
AF
)(tf
時間軸での圧縮
t
t
圧縮
2ω0
パワー
ωω0 3ω0
2ω0
パワー
ω0 3ω0
伸張
時間 周波数
ω
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1
-0.5
0
0.5
1
時間 [秒]
時間軸の圧縮
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1
-0.5
0
0.5
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1
-0.5
0
0.5
1
時間波形の圧縮 時間波形を短縮 周波数スペクトルが広がる
時間周波数
speech_a_m_org1、speech_a_m_halftime、speech_a_m_qtertime
1/2
1/4
2倍
4倍
9
本日の内容
1.前回の復習
2.本日の内容
◇ フーリエ変換の性質
(e) 時間推移と周波数推移
(*) cosωt のフーリエ変換
(fg) 微分・積分
前回の復習
◇ フーリエ変換の性質
(b) 対称性
f(t) ←→ F(ω) なら F(t) ←→ f(ω)
(c) 線形性
(d) 縮尺性:
時間軸の圧縮は周波数軸の伸張
f(αt) ←→ F(ω/α)
◇ δ(デルタ)関数
0t
時間軸での圧縮
t
t
圧縮
2ω0
パワー
ωω0 3ω0
2ω0
パワー
ω0 3ω0
伸張
時間 周波数
ω
時間
時間波形の圧縮・伸張の例
時間波形の圧縮 周波数の上昇
時間波形の伸張 周波数の低下
前回の復習
◇ フーリエ変換の性質
(b) 対称性
f(t) ←→ F(ω) なら F(t) ←→ f(ω)
(c) 線形性
(d) 縮尺性:
時間軸の圧縮は周波数軸の伸張
f(αt) ←→ F(ω/α)
◇ δ(デルタ)関数
0t
t
1
δ(t)
δ(デルタ)関数
0ω
1
t ω
2πδ(ω)
00
0
10
本日の内容
1.前回の復習
2.本日の内容
◇ フーリエ変換の性質
(e) 時間推移と周波数推移
(*) cosωt のフーリエ変換
(fg) 微分・積分
微分・積分と周波数成分
2sincossin
tttdt
d
2
sin1
cos1
sin
ttdtt
)(Fjtfdt
d
微分: 振幅はω倍、位相はπ/2 進む
積分: 振幅は 1/ω倍、位相はπ/2 遅れる
)(1 F
jdttf
t
(式で表せない) 波形の微分
tsin 時間t
微分は傾き
tdt
d sin
0
(式で表せない) 波形の微分
tsin 時間t
微分は傾き
tdt
d sin0
0
微分・積分と周波数成分 (式を使わない解釈)
tsin
周波数が高いほど、傾きは大きい→ 微分値は大きい → 高周波成分が強調
時間t
微分は傾き
微分・積分と周波数成分 (式を使わない解釈)
tsin
周波数が低いほど、(半周期の)面積は大きい→ 積分値は大きい → 低周波成分が強調
時間t
積分は面積
+
-
+-
11
微分(差分)の効果: 音声
◇ 原音
◇ 1回微分
◇ 2回微分
◇ 3回微分
積分(平均化)の効果: 音声
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
この授業の「これまで」と「これから」
1.信号とは何か?
2.信号の表現と解析
2.1決定論的信号の表現 (信号の周波数分析・合成)
◇ 正弦波の表現
◇ フーリエ級数、フーリエ変換
◇ フーリエ変換の性質(対称性、縮尺性、微分)
2.2 信号の伝送とスペクトル
◇ 伝達関数とインパルス応答
◇ 無ひずみ伝送系
3.変調理論
◇ AM変調
◇ PCM ディジタル伝送
時間推移周波数推移
X(ω)
信号 信号
Y(ω)
伝達系の特性
信号の変化と加工
本日の講義内容
◇ 伝達関数とインパルス応答
・ 伝達関数 H(ω) の定義
・ 伝達関数の例
(いろいろなフィルタの伝達関数)
・ インパルス応答
高域通過フィルタによる雑音低減
s_n_500lpf_01_hpf.wav
s_n_500lpf_01.wav
伝達関数 H(ω)
線形システム
入力
x(t)
X(ω)
y(t)
Y(ω)
出力
H(ω)
)(
)()(
X
YH
12
インパルス応答 h(t)
線形システム
入力
x(t)=δ(t) h(t) 出
力
H(ω)
デルタ関数 δ(t) (インパルス) を入力したときの出力
インパルス応答h(t)
伝達関数H(ω)
インパルス応答のフーリエ変換は伝達関数
インパルス応答と伝達関数(周波数特性)の測定例
スピーカ マイク
2 .65 2 .7 2 .7
x 104
スピーカのインパルス応答
スピーカの伝達関数(周波数特性)h(t)
|H(f)|
フーリエ変換
インパルス応答測定1k 10k
10
20
30
40
50
60
70
80
周波数[Hz]
相対
音響
出力
[dB
]
0°
90°
理想特性は一様(フラット)
1000
白色雑音 (ランダム雑音)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-3
-2
-1
0
1
2
3
4
自己相関 → δ(t) → スペクトルは 1(周波数によらない一定値)
音の周波数成分と「主観的大きさ」
白色雑音(ホワイトノイズ)
(周波数)
パワー
全ての周波数成分を等しいパワーで含む
光で言えば白 (=全ての色を含む)
f
ピンク・ノイズ
パワー
-3 dB/Oct
log f
ホワイト・ノイズ
ピンク・ノイズdB
1/ f ノイズ 白
ピ白
ピ
RVin Vout
R1
電流 I
~
inout
in
VRR
RIRV
RR
VI
1
1
抵抗の大小による出力の有無
Vout =R1
R
+RVin ≒ Vin Vout =
R1
R
+RVin ≒ 0
10000 1
11
10.0001
13
RVin Vout
jωL
電流 I
~
inout
in
VRLj
RIRV
RLj
VI
周波数選択機能の実現
周波数ω
| H |
図 30
1
1/√2
R/L
周波数によってインピーダンス(電流の流れにくさ)が変わる(コイルやコンデンサ)
T
T
dttfT
)(2
1 2
信号のパワー とエネルギー
Q.なぜパワーは信号 f(t) の2乗か?
T
T
dttf )(2
パワー:
エネルギー:
なぜパワーは信号 f(t) の2乗か?
R
i (t) 素子に電流が流れると電流の向きとは逆向きに電圧が発生する
v(t)=R・i(t)
電力(パワー)w(t)は、電圧×電流
w(t)=v(t)・i(t)=R・i2(t)=v2(t)/R
⇒ パワーは、信号の2乗量
i(t)=v(t) / R
電気回路で考える
電波の波長とアンテナ長
◇ 光の速さ = 30万km/秒 = 電波の速さ
◇ 人の声の周波数(150Hz)の電波の波長波長 = 速さ/周波数 より、30万k/150 = 2000 [km]
◇ 必要なアンテナの長さは、波長/10 以上→ 200km のアンテナ
◇ AM放送: 1000kHz=1MHzAM: 30万k/1000k = 300 [m]
信号の変調
高周波に音声を乗せて送信
音声信号を直接電波として送ることはできない
変調 AM変調FM変調パルス符号変調(PCM)
ω
ωc0
(b) 変調信号g(t)= f(t)cosωct
2ωc-ωc-2ωc
ωc0
(a) 音声 f(t)
2ωc-ωc-2ωc
ω
ωc0
(c) g(t)=g(t)cosωct
2ωc-ωc-2ωc
ω
ωc0
(d) 低域通過フィルタをかけた信号
2ωc-ωc-2ωc
ω
G
F
F
G
^
時間
時間
時間
×
=
①
②
③
振幅変調(AM)を、周波数で理解する
f(t)
cos(ωct)
g(t)
14
ω
ωc0
(b) 変調信号g(t)= f(t)cosωct
2ωc-ωc-2ωc
ωc0
(a) 音声 f(t)
2ωc-ωc-2ωc
ω
ωc0
(c) g(t)=g(t)cosωct
2ωc-ωc-2ωc
ω
ωc0
(d) 低域通過フィルタをかけた信号
2ωc-ωc-2ωc
ω
G
F
F
G
^
時間
時間
時間
×
=
①
②
③
振幅変調(AM)を、周波数で理解する
よくある質問 Q:g(t)= f(t)cos(ωct)
から f(t) を得るには、f(t)=g(t)/cos(ωct)
ではダメなのか?
f(t)
cos(ωct)
g(t)
ωc0
(c) g(t)=g(t)cosωct
2ωc-ωc-2ωc
ω
ωc0
(d) 低域通過フィルタをかけた信号
2ωc-ωc-2ωc
ω
G
F
^
ω1-ω1
低域通過フィルタ
最低 高高
ωc
(c) g(t)=g(t)cosωct
2ωc-ωc-2ωc
ω
ωc0
(d) 低域通過フィルタをかけた信号
2ωc-ωc-2ωc
ω
G
F
^
ω1-ω1
低域通過フィルタ
最低 高高
0
標本化周波数の例
1)電話
信号周波数の上限 fmax = 3.4 kHz
標本化周波数 fs = 8kHz
fmax < fs/2 を満足
2)オーディオ
信号周波数の上限 fmax = 20 kHz
標本化周波数 fs = 44.1kHz,48kHz
fmax < fs/2 を満足
(人間の聞こえる上限周波数)
標本化定理 (周期で表せば)
周期信号の1 周期に2回以上、標本化すれば、元の情報は失わない。
fmax < fs/2
1/Tmax < 1/(Ts・2)
Tmax 2 <
Ts
1.5
標本化周波数
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
これを直線で結ぶのは誤った情報を与える恐れ有り
だから、標本化周波数は、もっと大きくして
細かく、たくさん標本点をとったほうが良い?
波形の先端部分の情報が失われる
時間
15
補 間
x(0)
x(2)x(1)
x(3)
x(4)
x(5)補間
・ 「内挿」 「Interpolation」 「アップサンプリング」とも言う
・ 離散時間の間の値を計算により求めることができる。
時間n
・ 人間が見たら、理解できないが、情報は失われていない。→ 標本化定理の正当性