IF672 - Algoritmos e Estruturas de Dados CIn - UFPE Programação Dinâmica Átila Valgueiro Malta...

IF672 - Algoritmos e Estruturas de Dados CIn - UFPE

Programação Dinâmica

Átila Valgueiro Malta MoreiraJuliana Medeiros de LucenaRafael Alberto Gomes Pereira LimaRafael Loureiro de Carvalho

Sara Carvalho da Rocha BritoTiago Carneiro Pessoa CantoVictor Barbosa de Oliveira MedeirosVinícius Monteiro de Lira

[email protected]

MotivaçãoTécnicas de projeto de algoritmos

estudadas até agora:Algoritmos gulosos (greedy algorithms)

Kruskal , Dijkstra, ...Dividir para conquistar (divide and conquer)

Mergesort, Quicksort, ...

MotivaçãoUm mesmo problema resolvido

através 2 técnicas diferentesDiferentes performances

As técnicas anteriores não resolvem todos os problemas da maneira mais eficiente!!!

MotivaçãoPortanto...

Nenhuma lista de técnicas é exaustivaMas...

Em alguns problemas, não há técnica alguma que nos dê uma solução pelo menos aceitávelProblemas intratáveis (NP-completos)

Estrutura de um problema de Programação DinâmicaGeralmente possuem estruturas recursivas

Subproblemas devem ser resolvidos para que a solução final possa ser alcançada

Em geral aplicados a problemas de otimizaçãoBuscam uma solução ótima

Por que não recursão?Se a estrutura do problema é recursiva,

por que um algoritmo recursivo não seria uma boa solução?Subproblemas não são

independentes.Algoritmos puramente recursivos trabalharão mais que o necessário resolvendo os subsubproblemas comuns mais de uma vez.

Por que não recursão?Uma boa estratégia seria ter uma

tabela onde:Pudéssemos guardar os resultados de sub-instâncias do problema que já foram resolvidas.

E onde consultas poderiam ser feitas sob demanda.

Um exemplo simples: FibonacciOs números de Fibonacci são definidos

pela função:

Definidos em termos de uma função recursivaSeria natural imaginar que a solução

algorítmica correspondente fosse as mais apropriada

F(0) = 1, n = 0 F(1) = 1, n = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2), n > 1

Um exemplo simples: FibonacciCódigo recursivo para os números de

Fibonacci:int fibonacci(int n){ if(n <= 1){ return 1; } else{ return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); }}

Um exemplo simples: FibonacciNo entanto...

O algoritmo apresentado é ineficiente pois há trabalho redundante:

Um exemplo simples: FibonacciOs cálculos redundantes levam o

algoritmo a ter desempenho exponencial Um algoritmo mais “experto” poderia

ser feito com programação dinâmicaGuardaria apenas os dois últimos resultados

Um exemplo simples: Fibonacci int fibonacci(int n){ int resultado = 1; if(n > 1){ int ultimo = 1; int penultimo = 1; for(int i = 2; i <= n; i++){ resultado = ultimo + penultimo; penultimo = ultimo; ultimo = resultado; } } return resultado; }

Knapsack(Problema da Mochila)

Knapsack(Problema da Mochila)Busca calcular a melhor maneira de se

armazenar em um compartimento qualquer, muitos itens com valores agregados, de forma que o somatório dos valores de tais itens seja o máximo possível dentre as possibilidades de combinação de itens.

Esse problema tem importantes aplicações, como por exemplo o carregamento ótimo de containers.

Importante para supermercados e empresas de armazenagem e logística em geral.

Knapsack – Como Funciona?Vamos criar uma matriz chamada

maxTab, de ordem (N+1) x (C+1), onde:N = número de itens;C = Capacidade da mochila.

As linhas representam cada item.As colunas a capacidade máxima da

mochila.

Knapsack – Como Funciona?A idéia do algoritmo é começar com uma

mochila de capacidade 1 e descobrir o valor máximo possível para esta mochila. Depois se passa para uma mochila de capacidade 2, que aproveitando as informações da mochila de capacidade atual -1 (nesse caso, 1) descobre o valor máximo para uma mochila de capacidade 2. Isso será feito até capacidade atual ser igual à C. Além da capacidade ir crescendo, também vai se adicionando novos itens no processo.

Knapsack – Como Funciona?A idéia é ir percorrendo por linha (ou seja, por

item) tal tabela, e para a coluna j atual, que representa capacidade atual, analisar se o item atual i (linha atual) cabe na mochila de capacidade j. Se couber é preciso escolher o maior valor entre: valor na mochila de mesma capacidade j que não

tinha esse item (essa informação estará em maxTab[i-1][j]).

Soma do valor do item com o valor na mochila de capacidade (j – peso do item i) e que não tinha esse item(maxTab[i-1][j – peso do item i]).

Knapsack – Como Funciona?Então, se couber (itens[i].peso <= j), teremos: maxTab[i][j] = Máximo(maxTab[i-1][j], valor do item + maxTab[i-1][j – peso do item i]);

Se não couber, significa que o maior valor para essa mochila será o valor da mochila de mesma capacidade, mas que não tem esse item:maxTab[i][j] = maxTab[i-1][j];

Knapsack – ExemploCapacidade da mochila = 5 kgItens:

1. Peso = 4, Frete = 22. Peso = 2, Frete = 13. Peso = 1, Frete = 34. Peso = 2, Frete = 4

Knapsack – Exemplo

0 0 0 0 0 00 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?

4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens

maxTab[i][j] = maxTab[i-1][j];


4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens


0 0 0 0 0 00 0 ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?


4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens


0 0 0 0 0 00 0 0 ? ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?


4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?

maxTab[i][j] = MAX (maxTab[i-1][j], itens[i].frete + maxTab[i-1][j - itens[i].peso])


4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens


0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?


4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 ? ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 ? ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 2 ?0 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 2 20 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 2 20 3 ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 2 20 3 3 ? ? ?0 ? ? ? ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 2 20 3 3 4 ? ?0 ? ? ? ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 2 20 3 3 4 4 ?0 ? ? ? ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 2 20 3 3 4 4 50 ? ? ? ? ? maxTab[i][j] = maxTab[i-1][j];


4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 2 20 3 3 4 4 50 3 ? ? ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 2 20 3 3 4 4 50 3 4 ? ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 2 20 3 3 4 4 50 3 4 7 ? ?



4 2 1 22 1 3 4

Peso

Frete

Itens0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 2 20 3 3 4 4 50 3 4 7 7 ?


Knapsack – Exemplo0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 20 0 1 1 2 20 3 3 4 4 50 3 4 7 7 8

O 8 representa o valor do maior frete possível que se pode carregar nesta mochila de capacidade 5.

Knapsack – Outra Implementação

Knapsack – Recuperando Informações.Observe que neste algoritmo não obtemos o

subconjunto de itens correspondentes que foram inseridos na mochila.

Se desejássemos obter o subconjunto correspondente, então usaríamos uma flag em cada item para recuperar esta informação.

Knapsack – ComplexidadeExistem (nC) entradas na tabela (onde, n é

o número de itens e C a capacidade da mochila), cada uma é computada em tempo constante a partir de uma ou duas outras entradas.

Logo, a complexidade é O(nC).Obs: Knaspack não é um algoritmo

polinomial pois k (capacidade da mochila) pode ser um valor infinitamente grande.

String MatchingEste algoritmo resume-se em uma

busca de padrões dentro de um conjunto de informações.

São muitas as variações deste problema, desde procurar determinadas palavras ou sentenças em um texto até procurar um determinado objeto dentro de uma seqüência de bits que representam uma imagem.

Algoritmo inocente ou força brutaPode se resolver o problema do String

Matching através da força bruta.Não é inteligente o bastante para

aproveitar os mismatchs, quando acha um caractere em P que não pode ser casado em T.

É deslocada uma posição de cada vez, independente de ter match ou não.

Complexidade: O(n2) .

Força Bruta - Exemplo

Algoritmo De Boyer-MooreConsiste em um algoritmo mais eficiente

na resolução do problema de string matching.

A cada mismatch um novo incremento é calculado para saber qual será a próxima posição do texto que será comparada.

Possui duas versões para este calculoAs comparações entre os caracteres do

texto e do padrão é sempre feito da direita para a esquerda

Boyer-Moore (1ª versão)De inicio, deve-se criar uma tabela com a posição

da última ocorrências de cada caractere do padrão.

A cada mismatch um novo incremento deverá ser calculado da seguinte forma:Pega-se o caractere do texto que esta na

posição: deslocamento + 1.Desloca-se o suficiente para alinhar a ultima

ocorrência desse caractere do padrão com o caractere correspondente no texto.

Boyer-Moore (1ª versão)Texto: addcccadcbaPadrão: ddc

Criando Tabela De Ocorrência do padrão:

Boyer-Moore (1ª versão)addcccadcba

ddcMismatch (pega-se o caractere da posição 5 (‘c’) do texto e procura a sua ultima ocorrência no padrão)

Boyer-Moore (1ª versão)-Exemplo

addcccadcba

ddcMatch (Encontrou uma ocorrência na posição 1 do texto, continua a procura por novas ocorrências)


addcccadcba

ddcMismatch (pega-se o caractere da posição 5 (‘c’) do texto e procura a sua ultima ocorrência no padrão)


addcccadcba

ddcMismatch (pega-se o caractere da posição 7 (‘a’) do texto e procura a sua ultima ocorrência no padrão)


addcccadcba

ddcMismatch (pega-se o caractere da posição 10 (‘a’) do texto e procura a sua ultima ocorrência no padrão)


addcccadcba

ddcO tamanho do deslocamento + o

comprimento do padrão é maior que o tamanho do texto. (termina o algoritmo).

Boyer-Moore (2ª versão)Tentar casar o padrão com o pedaço

do texto anteriormente casado.

Exemplo:Texto: aabcaccacbacPadrão: cacbac

Boyer-Moore (2ª versão)1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2c a c b a ca a b c a c c a c b a c c a c b a c c a c b a c No primeiro caso, o padrão deve ser

deslocado para a direita até casar com o pedaço do texto anteriormente casado, no caso ac, deslocando o padrão 3 posições à direita.

O processo é repetido mais uma vez e o casamento entre P e T ocorre.

Algoritmo De Boyer-Moore (versão 3)Esta versão do algoritmo de Boyer-Moore

consiste em utilizar as duas heurísticas de forma independente e paralela.

Quando ocorre uma falha no casamento, cada uma das heurísiticas propõe um valor para o novo deslocamento válido. O algoritmo de Boyer e Moore escolhe o maior valor.

BibliografiaWeiss, Mark Allen. Data Structures &

Algorithm Analysis in Java, Addison Wesley-Longman

Cormen et al. Algoritmos: Teoria e Prática, Editora Campos

Manber, Udi. Introduction to Algorithms: A Creative Approach, Addison-Wesley

www.ime.usp.br/~mms/macl222s2006/aula18%20Algoritmos%20de%10Busca%20de%20Palavras%20em%20Texto.doc.

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Átila Valgueiro Malta MoreiraJuliana Medeiros de LucenaRafael Alberto Gomes Pereira

LimaRafael Loureiro de Carvalho

Sara Carvalho da Rocha BritoTiago Carneiro Pessoa CantoVictor Barbosa de Oliveira MedeirosVinícius Monteiro de Lira

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