IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks:...

88
IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke - 4 Misbakhul Munir IRFAN SUBAKTI 司馬伊凡 Мисбакхул Мунир Ирфан Субакти

Transcript of IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks:...

Page 1: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

IF184302 Aljabar LinierPertemuan ke-4

Misbakhul Munir IRFAN SUBAKTI司馬伊凡

Мисбакхул Мунир Ирфан Субакти

Page 2: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Eliminasi: Gauss & Gauss-Jordan

• 2 tahap eliminasi• Forward phase (fase maju) → angka-angka 0 ditempatkan di bawah leading 1 → Eliminasi Gauss• Backward phase (fase mundur) → angka-angka 0 ditempatkan di atas leading 1 → E. Gauss-Jordan

• Beberapa fakta mengenai bentuk echelon (echelon forms)• Setiap matriks mempunyai bentuk reduced row echelon yang unik→ tak masalah jika kita gunakan eliminasi

Gauss-Jordan atau urutan OBE yang lain, bentuk reduce row echelon yang sama yang akan terakhir didapat• Bentuk row echelon tidaklah unik→ urutan OBE berbeda akan memberikan hasil bentuk row echelon

berbeda• Walaupun bentuk row echelon tidak unik→ bentuk reduced row echelon dan semua bentuk row echelon

matriks A mempunyai baris 0 yang sama, dan leading 1 selalu ada pada posisi yang sama→ disebut denganposisi pivot (pivot position) dari A. Kolom yang mempunyai posisi pivot disebut dengan kolom pivot dari A.

• Roundoff error dan ketidakstabilan• Komputer→ bilangan yang dihasilkan adalah pendekatan, sehingga roundoff errors (kesalahan pembulatan)

terjadi→ jawaban jadi buruk sampai bisa jadi tak berguna• Algoritma (prosedur) yang melibatkan roundoff error→ unstable (tidak stabil) → berbagai teknik untuk

meminimalkan roundoff error dan ketidakstabilan ini.• Untuk sistem linier yang besar→ eliminasi Gauss-Jordan membutuhkan kira-kira 50% lebih banyak operasi

dibandingkan eliminasi Gaussian → kebanyakan algoritma komputer berbaiskan eliminasi Gauss

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 2

Page 3: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

SPL →Matriks→M. Inverse→ Solusi

• Persoalan dunia nyata→ pemodelan Matematika• Maksimalisasi keuntungan PT Barbika Indonesia →

• SPL →Matriks

Ax = B→ x = A-1B→ Persoalan terselesaikan! ☺

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3

Page 4: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Posisi dan Kolom Pivot

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

• A = 0 0 −22 4 −102 4 −5

0 7 126 12 286 −5 −1

• Bentuk row echelon matriks A = 1 2 −50 0 10 0 0

3 6 140 −

7

2−6

0 1 2• Leading 1 ada di posisi (baris 1, kolom 1), (baris 2, kolom 3) dan (baris

3, kolom 5) → posisi pivot

• Kolom pivot: kolom 1, 3 dan 5

Page 5: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks & Operasi Matriks

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 5

• Matriks → deretan bilangan berbentuk persegi panjang• Bilangan dalam deretan disebut dengan entri (entries) dalam matriks

• Ukuran matriks→ jumlah baris dan kolom. Matriks B di bawah iniberukuran 3 × 4

B =

• Matriks satu baris→ vektor baris (row vector, row matrix) 1 3 3

• Matriks satu kolom→ vektor kolom (column vector, column matrix) 13

1 1 22 4 −33 6 −5

910

Page 6: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Definisi

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 6

• Huruf besar→menyatakan matriks, huruf kecil→ kuantitas numerik

C = atau D =

• Kuantitas (quantities) → skalar (scalars) → bilangan pecahan (real numbers)

• Entri yang terjadi di baris i dan kolom j dari matriks A→ aij

• Matriks A =

• Matriks umum m × n = → [aij]m × n atau [aij]

1 3 30 9 2

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

𝑎14𝑎24𝑎34

𝑎11 𝑎12 ⋯𝑎21 𝑎22 ⋯⋮

𝑎𝑚1

⋮𝑎𝑚2 ⋯

𝑎1𝑛𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑚𝑛

Page 7: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Baris & Kolom Vektor

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 7

• Entri pada baris i dan kolom j pada matriks A→ (A)ij

• Dari matriks A = → (A)ij = aij

• B = → (B)11 = 1, (B)21 = 0 dan (B)22 = 9

• Baris vektor umum a 1 × n dan kolom vektor umum b m × 1

a = 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛 dan b =

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑚

𝑎11 𝑎12 ⋯𝑎21 𝑎22 ⋯⋮

𝑎𝑚1

⋮𝑎𝑚2 ⋯

𝑎1𝑛𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑚𝑛1 3 30 9 2

Page 8: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Bujur Sangkar & Diagonal Utama

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 8

• Matriks A dengan n baris dan n kolom→matriks kuadrat (bujursangkar) berordo (order) n

• Area gelap berbentuk diagonal di atas disebut dengan diagonal utamamatriks A

𝑎11 𝑎12 ⋯𝑎21 𝑎22 ⋯⋮

𝑎𝑚1

⋮𝑎𝑚2 ⋯

𝑎1𝑛𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑚𝑛

Page 9: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Kesamaan Matriks

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 9

• 2 matriks dikatakan sama (equal) jika mereka memiliki ukuran yang sama dan entri yang bersesuaian juga sama

A = B = C =

• Jika x = 5 maka A = B. Namun untuk semua nilai x lain maka matriks Adan B tidaklah sama→ sebab entri yang bersesuaian tidaklah samasemuanya

• Tidak ada nilai untuk x di mana A = C→ sebab A dan C memilikiukuran yang berbeda

2 13 𝑥

1 3 30 9 2

2 13 5

Page 10: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Penjumlahan & Pengurangan

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 10

• Jika A dan B adalah matriks dengan ukuran yang sama• A + B→ jumlahkan entri yang bersesuaian dari matriks B ke matriks A

• A – B→ kurangkan entri matriks B yang bersesuaian dari matriks A. Matriks-matriks dengan ukuran yang berbeda tidak dapat dikurangkan.

• Jika A = [aij] dan B = [bij] memiliki ukuran yang sama, maka• (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij

• (A - B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bij

Page 11: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Penjumlahan & Pengurangan (contoh)

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 11

• A = B = C =

• A + B = A – B =

• A + C, B + C, A – C dan B – C tidak bisa didefinisikan (undefined)

2 1 0−1 0 24 −2 7

340

−4 3 52 2 03 2 −4

1−15

1 12 2

−2 4 51 2 27 0 3

435

6 −2 −5−3 −2 21 −4 11

25−5

Page 12: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Perkalian

• Jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar, maka hasil perkalian(product) cA didapat dengan mengalikan setiap entri dari matriks A dengan c → cAdinamakan dengan perkalian skalar (scalar multiple) dari matriks A

• Jika A = [aij] → (cA)ij = c(A)ij = caij

• A = B = C =

• 2A = (-1)B = 1

3C =

• (-1)B dituliskan –B

• Jika A adalah matriks m × r dan B adalah matriks r × n→ hasil perkalian (product) ABadalah m × n :• Untuk mendapatkan entri di baris i dan kolom j dari AB, pisahkan baris i dari matriks A dan kolom j

dari matriks B. Kalikan entri yang bersesuaian dari baris dan kolom itu, kemudian jumlahkan hasilsemua perkaliannya

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 12

2 3 41 3 1

0 2 7−1 3 −5

9 −6 33 0 12

4 6 82 6 2

0 −2 −71 −3 5

3 −2 11 0 4

Page 13: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Perkalian (lanjutan)

• A = B =

• Karena A adalah matriks 2 × 3 dan B adalah matriks 3 × 4 → hasil perkalian matriks AB adalah matriks 2 × 4

=

(2.4) + (6.3) + (0.5) = 26

• Entri di baris 1 dan kolom 4 dari AB dihitung sebagai berikut:

(1.3) + (2.1) + (4.2) = 13

• Komputasi dari entri yang tersisa adalah sebagai berikut:(1.4) + (2.0) + (4.2) = 12(1.1) – (2.1) + (4.7) = 27

(1.4) + (2.3) + (4.5) = 30 AB = 12 27 30 138 −4 26 12

(2.4) + (6.0) + (0.2) = 8(2.1) – (6.1) + (0.7) = -4(2.3) + (6.1) + (0.2) = 12

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 13

1 2 42 6 0

4 1 40 −1 32 7 5

312

1 2 42 6 0

4 1 40 −1 32 7 5

312 26

1 2 42 6 0

4 1 40 −1 32 7 5

312

13

Page 14: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Perkalian (lanjutan)

A B AB

m × r r × n = m × n

• Jika A = 3 × 4, B = 4 × 7, C = 7 × 3 → AB = 3 × 7, BC = 4 × 3, CA = 7 × 4. AC, CB dan BA tidak terdefinisi.

• Aturan baris-kolom untuk perkalian matriks

AB =

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑟𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑟⋮𝑎𝑖1⋮

𝑎𝑚1

⋮𝑎𝑖2⋮

𝑎𝑚2

⋮𝑎𝑖𝑟⋮

𝑎𝑚𝑟

𝑏11 𝑏12 ⋯ 𝑏1𝑗 ⋯ 𝑏1𝑛𝑏21 𝑏22 ⋯ 𝑏2𝑗 ⋯ 𝑏2𝑛⋮𝑏𝑟1

⋮𝑏𝑟2 ⋯

⋮𝑏𝑟𝑗 ⋯

⋮𝑏𝑟𝑛

Entri (AB)ij pada baris i dan kolom j dari AB dirumuskan:

(AB)ij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + airbrj

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 14

dalam

luar

Page 15: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Partisi

• Matriks dapat diuraikan/dipecah atau dipartisi menjadi matriks yang lebih kecil→menyisipkan aturan horizontal atau vertikal diantara baris dan kolom

• Matriks umum A 3 × 4, dipartisi menjadi:• Submatriks A11, A12, A21 dan A22

• Vektor baris r1, r2 dan r3

• Vektor kolom c1, c2, c3 dan c4

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 15

Page 16: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Partisi (lanjutan)

• Partisi matriks→ kegunaan: mendapatkan baris atau kolom tertentu darihasil perkalian matriks AB tanpa perlu menghitung semua perkalian

(AB dihitung berdasarkan kolom)

(AB dihitung berdasarkan baris)

kolom vektor AB ke-j = A[kolom vektor B ke-j]baris vektor AB ke-i = [baris vektor A ke-i]B

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 16

Page 17: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Partisi (lanjutan)

• A = B =

• Komputasi dari vektor kolom ke-2 dari AB:1−17

= 27−4

• Komputasi dari vektor baris ke-1 dari AB:

1 2 4 = 12 27 30 13

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 17

1 2 42 6 0

4 1 40 −1 32 7 5

312

1 2 42 6 0

4 1 40 −1 32 7 5

312

AB = 12 27 30 138 −4 26 12

Page 18: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Kombinasi Linier Perkalian Matriks

• Jika A1, A2, …, Ar adalah matriks dengan ukuran yang sama, dan jika c1, c2, …, cr

adalah skalar, maka bentuk

c1A1 + c2A2 + … + crAr

disebut dengan kombinasi linier dari A1, A2, …, Ar dengan koefisien c1, c2, …, cr

• A adalah matriks 3 × 4, dan x adalah vektor kolom n × 1

A = dan x =

• Maka

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 18

𝑎11 𝑎12 ⋯𝑎21 𝑎22 ⋯⋮

𝑎𝑚1

⋮𝑎𝑚2 ⋯

𝑎1𝑛𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑚𝑛

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

Page 19: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Kombinasi Linier Perkalian Matriks: Contoh

• Perkalian matriks

• Dapat dituliskan dalam kombinasi linier dari vektor kolom

• Dari

dengan komputasi:

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 19

Page 20: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Ekspansi Kolom-Baris

• Disebut dengan ekspansi kolom-baris (column-row expansion) AB

• Vektor kolom A vektor baris B

• Ekspansi kolom-baris AB

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 20

Page 21: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

SPL & Matriks Augmented

• SPL →Matriks

• Matriks m × 1 pada bagian kiri persamaan dapat ditulis sebagai hasil perkalian

Matriks A adalah matriks koefisien.

• Matriks augmented didapat dengan menggabungkan b ke A sebagai kolomterakhir

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 21

Page 22: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Transpose Matriks

• Jika A adalah sembarang matriks m × n• Transpose matriks A dinotasikan sebagai AT

• Matriks n × m yang merupakan hasil dari menukar baris dan kolom dari A

• Kolom pertama dari AT adalah baris pertama A, kolom kedua AT adalah baris kedua A, dan seterusnya.

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 22

Page 23: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Trace A

• Jika A adalah matriks kuadrat (bujur sangkar), trace A→ tr(A) adalahjumlah total entri pada diagonal utama A• Trace A tak terdefinisi jika A bukan matriks bujur sangkar

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 23

Page 24: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Aturan Aritmatika Matriks

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 24

Page 25: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Aturan Asosiatif Perkalian Matriks

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 25

(AB)C = A(BC)

Page 26: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Pentingnya Urutan Dalam Perkalian Matriks

• A = −1 02 3

dan B = 1 23 0

• AB = −1 −211 4

dan BA = 3 6−3 0

• Maka AB ≠ BA

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 26

Page 27: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Nol

• Matriks yang semua entri-nya 0 (nol)

• Notasi matriks nol adalah 0→ kecuali penting untuk menyebutkan ukurannya

• Jika A dan 0 adalah dua matriks dengan ukuran yang sama→ A + 0 = 0 + A = A

• Properti dari matriks nol. Jika c adalah skalar dan ukuran matriksnya membuat operasi matriks-nya dapat dilakukan, maka:• A + 0 = 0 + A = A• A – 0 = A• A – A = A + (– A) = 0• 0A = 0• Jika cA = 0, maka c = 0 atau A = 0

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 27

Page 28: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Nol & The Cancellation Law

• Aturan aritmatika pecahan (real arithmetic)• Jika ab = ac dan a ≠ 0, maka b = c. [The cancellation law]• JIka ab = 0, maka paling tidak satu dari faktor-faktor di sebelah kiri adalah 0.

• Namun aturan di atas tidak berlaku untuk aritmatika matriks

• A = 0 10 2

B = 1 13 4

C = 2 53 4

• AB = AC = 3 46 8

• Walaupun A ≠ 0, membatalkan (cancelling) A dari kedua sisi persamaan AB = AC akanberujung pada kesimpulan yang salah bahwa B = C→ secara umum the cancellation lawtidak berlaku pada perkalian matriks (walau di beberapa kasus, hal ini berlaku)

• AC = 0, tapi A ≠ 0 dan B ≠ 0 A = 0 10 2

B = 3 70 0

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 28

Page 29: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Identitas

• Dinotasikan dengan I→ In untuk matriks identitas n × n

• Matriks identitas→ serupa dengan matriks aritmatika seperti halnyabilangan 1 memainkan peranan dalam persamaan numerik a ∙ 1 = 1 ∙ a = a

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 29

Page 30: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Identitas (lanjutan)

• Jika R adalah bentuk reduced row echelon dari matriks A n × n• R mempunyai satu baris berisi 0 semua, atau• R adalah matriks identitas In

• Jika A adalah matriks bujur sangkar, dan jika matriks B dengan ukuranyang sama dapat ditemukan sehingga AB = BA = I• A dikatakan invertible (dapat dibalik) atau nonsingular• B disebut dengan inverse dari A• Jika matriks B tidak dapat ditemukan→ A dikatakan singular

A = 2 −5−1 3

dan B = 3 51 2

maka AB = 2 −5−1 3

3 51 2

= 1 00 1

= I

BA = 3 51 2

2 −5−1 3

= 1 00 1

= I

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 30

Page 31: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Singular

• Matriks bujur sangkar dengan baris atau kolom nol→ singular

A = 1 4 02 5 03 6 0

• Matriks A adalah singular→ tidak ada matriks B 3 × 3 sehingga AB = BA = I.• c1, c2, 0 adalah vektor kolom A, untuk sembarang matriks B 3 × 3

BA = B[c1 c2 0] = [Bc1 Bc2 0]

• Kolom nol menunjukkan bahwa BA ≠ I→ A adalah singular

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 31

Page 32: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Invers (Inverse)

• Jika B dan C, keduanya merupakan inverse dari matriks A → B = C• Karena B adalah inverse dari A→ BA = I. Kalikan kedua sisi dengan C→ (BA)C = IC =

C. Di sisi lain (BA)C = B(AC) = BI = B→ C = B.

• Jika A adalah invertible (dapat dibalik) → inverse dari A dilambangkandengan A-1:• AA-1 = I dan A-1A = I

• Matriks A = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

adalah invertible jika dan hanya jika ad – bc ≠ 0

• ad – bc adalah determinan dari matriks A = det(A)

• A-1 = 1

𝑎𝑑−𝑏𝑐

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

→ selanjutnya: A-1 = 1

det(𝐴)Adj(A) Adj(A) = matriks adjoint

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 32

Page 33: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Inverse (lanjutan)

• A = 6 15 2

→ det(A) = 6.2 – 1.5 = 7 → 7 ≠ 0

• A-1 = 17

2 −1−5 6

=

2

7−

1

7

−5

7

6

7

• AA-1 = 6 15 2

2

7−

1

7

−5

7

6

7

6.2

7+ 1.(-

5

7) =

12

7-5

7= 7

7= 1

6.(-1

7) + 1.

6

7= -

6

7+ 6

7= 0 →

1 00 1

= I

5.2

7+ 2.(-

5

7) =

10

7-10

7= 0

5.(-1

7) + 2.

6

7= -

5

7+ 12

7= 7

7= 1

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 33

Page 34: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Inverse (lanjutan)

• A = −1 23 −6

→ det(A) = -1.(-6) – 2.3 = 6 – 6 = 0 → bukan invertible

• Jika A dan B adalah matriks invertible dengan ukuran yang sama→• AB adalah invertible• (AB)-1 = B-1A-1

• Penjelasan• (AB)(B-1A-1) = (B-1A-1)(AB) = I• (AB)(B-1A-1) = I→ (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 = I• (B-1A-1)(AB) = I → (B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B = B-1IB = B-1B = I

• Didapat:• Hasil perkalian matriks yang invertible adalah juga matriks invertible, dan• Inverse dari hasil perkalian tersebut adalah hasil perkalian dari inverse masing-

masing matriks dalam urutan yang terbalik

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 34

Page 35: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Inverse (lanjutan)

• A = 1 21 3

B = 3 22 2

• AB =• 1.3 + 2.2 = 3 + 4 = 7

• 1.2 + 2.2 = 2 + 4 = 6 →7 69 8

→ (AB)-1 = 1

2

8 −6−9 9

= 4 −3

−9

2

7

2• 1.3 + 3.2 = 3 + 6 = 9 det(AB) = 7.8 – 6.9 = 56 – 54 = 2• 1.2 + 3.2 = 2 + 6 = 8

• det(A) = 1.3 – 2.1 =3 – 2 = 1 → 1 ≠ 0, det(B) = 3.2 – 2.2 = 6 – 4 = 2 → 2 ≠ 0

• A-1 = 11

3 −2−1 1

= 3 −2−1 1

B-1 = 12

2 −2−2 3

= 1 −1

−13

2

• B-1A-1 = 1 −1

−13

2

3 −2−1 1

= 4 −3

−9

2

7

2

→ (AB)-1 = B-1A-1

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 35

Page 36: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Pangkat Matriks

• Jika A adalah matriks bujur sangkar• A0 = I

• An = AA … A

• A-n = (A-1)n = A-1A-1 … A-1

• ArAs = Ar+s

• (Ar)s = Ars

• Jika A adalah invertible dan n adalah nonnegative integer• A-1 adalah invertible dan (A-1)-1 = A

• An adalah invertible dan (An)-1 = A-n = (A-1)n

• kA adalah invertible untuk sembarang skalar bukan nol, dan (kA)-1 = k-1A-1

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 36

Page 37: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Pangkat Matriks (lanjutan)

• A = 1 21 3

dan A-1 = 3 −2−1 1

• Maka A-3 = (A-1)3 = 3 −2−1 1

3 −2−1 1

3 −2−1 1

= 41 −30−15 11

• Sedangkan A3 = 1 21 3

1 21 3

1 21 3

= 11 3015 41

• Sehingga

• (A3)-1 = 1

11.41−30.15

41 −30−15 11

= 41 −30−15 11

= (A-1)3

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 37

Page 38: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Polinomial

• Jika A adalah matriks bujur sangkar, n × n, dan jika

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + amxm adalah sembarang polinomial,

• maka matriks p(A) n × n didefinisikan sebagai

p(A) = a0I + a1A + a2A2 + … + amAm→matriks polinomial dalam A

dimana I adalah matriks identitas n × n→ p(A) didapat dengan mensubstitusikanA ke x dan menggantikan konstanta a0 dengan matriks a0I

• Temukan p(A) untuk p(x) = x2 – 2x – 3 dan A = −1 20 3

• Solusi p(A) = A2 – 2A – 3I =−1 20 3

2

– 2−1 20 3

– 31 00 1

= 1 40 9

–−2 40 6

–3 00 3

= 0 00 0

→ p(A) = 0

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 38

Page 39: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Aturan Transpose Matriks

• (AT)T = A

• (A + B )T = AT + BT

• (A - B )T = AT - BT

• (kA)T = kAT

• (AB)T = BTAT

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 39

Page 40: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Transpose & Matriks Inverse

• Jika A adalah matriks yang invertible→ AT adalah juga invertible dan

(AT)-1 = (A-1)T

• A = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

dan AT = 𝑎 𝑐𝑏 𝑑

• (AT)-1 =

𝑑

𝑎𝑑−𝑏𝑐−

𝑐

𝑎𝑑−𝑏𝑐

−𝑏

𝑎𝑑−𝑏𝑐

𝑎

𝑎𝑑−𝑏𝑐

• (AT)-1 = (A-1)T

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 40

Page 41: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Mencari Matriks Inverse

• OBE pada matriks A1. Kalikan suatu baris dengan konstanta bukan nol (nonzero) c2. Menukar posisi dua baris3. Menambahkan hasil perkalian konstanta c dari suatu baris dengan baris

tertentu• Matriks B berasal dari matriks A dengan melakukan operasi di atas→ A

bisa diperoleh dari B dengan operasi yang berkaitan seperti ini:1. Kalikan baris yang sama dengan 1

𝑐

2. Menukar posisi dua baris yang sama3. Jika B didapat dari penambahan c dikalikan baris ri dari A ke baris rj→

maka tambahkan –c dikalikan rj ke ri

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 41

Page 42: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Determinan→Mencari Matriks Inverse

• Nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks bujur sangkar

• Faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks

• A = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

adalah invertible jika dan hanya jika ad – bc ≠ 0

• ad – bc adalah determinan (determinant) dari matriks A = det(A)

• det(A) = ad – bc atau𝑎 𝑏𝑐 𝑑

= ad – bc

• Inverse dari A (A-1) dapat dinyatakan dalam determinan

• A-1 = 1

det(𝐴)

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

• det(A) bersama dengan Adj(A) → digunakan untuk mencari A-1

A-1 = 1

det(𝐴)Adj(A)

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 42

Page 43: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Determinan (lanjutan)

• Matriks 2 × 2 → det(A) = 𝐴 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

= ad – bc

• Matriks 3 × 3 → rumus Sarrus

𝐴 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

= 𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22𝑎31 𝑎32

– – – + + +

det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12

• Matriks yang lebih besar 3 × 3 → rumus Leibniz. Jika A adalah matriks n × n, aij adalahentri dari baris ke-i dan kolom ke-j dari A, sign function sgn() adalah jumlah pertukaranyang diperlukan dan digunakan sebagai hasil perubahan tanda (sign). Sgn adalah fungsitanda dari grup permutasi Sn yang menghasilkan +1 dan -1 untuk permutasi genap dan ganjil.

det(A) = σ𝜎∈𝑆𝑛sgn(𝜎)ς𝑖=1

𝑛 𝑎𝜎(𝑖), 𝑖

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 43

Page 44: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Determinan (lanjutan)

• A = 1 39 −2

→ det(A) = 𝐴 = 1 39 −2

= 1.(-2) – 9.3 = -2 – 27 = -29

• B = 1 2 3−2 4 11 −1 1

→ 𝐵 = 1 2 3−2 4 11 −1 1

= 1 2 3−2 4 11 −1 1

1 2−2 41 −1

det(B) = 1.4.1 + 2.1.1 + 3.(-2).(-1) – 1.4.3 – (-1).1.1 – 1.(-2).2

= 4 + 2 + 6 – 12 – (-1) – (-4)

= 12 – 12 + 1 + 4

= 5

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 44

Page 45: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Sifat-sifat Determinan

1. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat (bujur sangkar) yang mengandung sebaris bilangan nol→ det(A) = 0

2. Jika A adalah matriks segitiga n × n→ det(A) = hasil kali entri-entri pada diagonal utama = det(A) = a11a22 … ann

3. Jika A’ adalah matriks hasil dari perkalian konstanta k dengan 1 baris matriks A→ det(A’) = k det(A)

4. Jika A’ adalah matriks hasil dari pertukaran 2 baris matriks A→ det(A’) = - det(A)

5. Jika A’ adalah matriks hasil dari kelipatan 1 baris matriks A ditambahkan pada baris lainnya→ det(A’) = det(A)

6. Jika A adalah sembarang matriks kuadrat→ det(A) = det(AT)

7. Jika A, A’ dan A’’ adalah matriks n × n yang hanya berbeda dalam 1 baris, misal baris ke-r, dan baris r dari A’’ diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dariA’ → det(A’’) = det(A) + det(A’) [Hasil yang serupa berlaku untuk kolom]

8. Jika A dan B adalah sembarang matriks kuadrat yang ukurannya sama→ det(AB) = det(A) . det(B)

9. Sebuah matriks kuadrat dapat dibalik (invertible) jika dan hanya jika→ det(A) ≠ 0

10. Jika matriks A dapat dibalik→ det(A-1) = 1

det(𝐴)

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 45

Page 46: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[1] Sifat Determinan→ Bernilai 0

• det(A) = 0 →• Ada 2 kolom yang sebanding• Ada 2 baris yang sebanding• Ada sebaris bilangan 0

• A = 1 −2 7−4 8 52 −4 3

• det(A) = 1.8.3+(-2).5.2+7.(-4).(-4) -2.8.7-(-4).5.1-3.(-4).(-2)

= 24+(-20)+112 -112-(-20)-24 = 0

• det(A) = 0 → kolom 1 sebanding dengan kolom 2

→ kolom 2 = -2 kolom 1, kolom 1 = - 1

2kolom 2

• B = 1 −32 −6

→ det(B) = 1.(-6) – (-3).2 = -6 – (- 6) = 0 → baris 1 sebanding dg baris 2

• C = 1 −30 0

→ det(C) = 1.0 – (-3).0 = 0 – 0 = 0 → baris 2 semuanya 0

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 46

Page 47: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[2] OBE → Determinan

• Matriks bujur sangkar A→ dengan OBE →• Eliminasi Gauss

• Matriks segitiga atas

• Matriks segitiga bawah

• Determinan→ perkalian diagonal utama [Sifat Determinan No. 2]

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 47

Page 48: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[2] Determinan→ Perkalian Diagonal Utama

• Matriks bujur sangkar A• det(A) → perkalian diagonal utama dari:

• Matriks segitiga atas• Matriks segitiga bawah• Matriks diagonal

• A = 𝟏 2 30 𝟒 10 0 𝟏

→ det(A) = 1.4.1 = 4

• Rumus Sarrus:

det(A) = 1.4.1 + 2.1.0 + 3. 0.3

-0.4.3 – 0.1.1 – 1. 0.21 2 30 4 1𝟎 𝟎 1

1 20 4𝟎 𝟎

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 48

Page 49: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[3,4,5] Perkalian OBE → Nilai Determinan

• A adalah matriks n × n

1. Jika B adalah matriks dari perkalian sebuah baris pada matriks A dengan k ≠ 0 → det(B) = k det(A) [Sifat Determinan No. 3]

2. Jika B adalah matriks dari hasil penukaran posisi dua baris pada matriks A→det(B) = – det(A) [Sifat Determinan No. 4]

3. Jika B adalah matriks dari hasil perkalian suatu baris pada matriks A dengan k ≠ 0, kemudian tambahkan pada baris yang lain → det(B) = det(A) [S.D No. 5]

• Perkalian OBE → nilai determinan• 1 → determinan berubah

• 2 → determinan berubah

• 3 → determinan tetap

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 49

Page 50: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[3,4,5] Perkalian OBE → Determinan (contoh)

• A = 1 2 30 1 41 2 1

→ det(A) = -2

= 1.1.1 + 2.4.1 + 3.0.1 – 1.1.3 – 2.4.1 – 1.0.2 = 1+8+0 -3-8-0 = -2

• B1 = 4 8 120 1 41 2 1

→ det(B1) = -8 r’1 = 4r1

= 4.1.1 + 8.4.1 + 12.0.2 – 1.1.12 – 2.4.4 – 1.0.8 = 4+32+0 -12-32-0 = -8

det(B1) = 4 det(A) = 4.-2 = -8

det(A) = 1

4det(B1) =

1

4.-8 = -2

• B2 = 0 1 41 2 31 2 1

→ det(B2) = 2 det(B2) = – det(A) r1 r2

• B3 = 1 2 3−2 −3 −21 2 1

→ det(B3) = -2 det(B3) = det(A) r’2 = -2r1 + r2

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 50

Page 51: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[3,4,5] Perkalian OBE → Determinan (contoh)

• A = 0 1 53 −6 92 6 1

• det(A)• Eliminasi Gauss• Bentuk echelon row→ row reduction (penyusutan baris)

• det(A) = 0 1 53 −6 92 6 1

= 165

• Baris 1 baris 2, det(A) = –3 −6 90 1 52 6 1

= -165

• det(A) = –1. 3 1 −2 30 1 52 6 1

= -1.3.-55 = 165 det dari1 −2 30 1 52 6 1

= 1 −2 30 1 52 6 1

= -55

• 3 −6 9 = 3 1 −2 3 faktor 3 dari baris 1 dipindahkan ke depan

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 51

Page 52: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[3,4,5] Perkalian OBE → Determinan (contoh)

• det(A) = –1. 3 1 −2 30 1 52 6 1

= -1.3.-55 = 165 determinan dari1 −2 30 1 52 6 1

= -55

• det(A) = –1. 3 1 −2 30 1 50 10 −5

= -1.3.-55 = 165 r’3 = -2r1 + r3

• det(A) = –1. 3 1 −2 30 1 50 0 −55

= -1.3.-55 = 165 r’’3 = -10r2 + r3

• det(A) = –1.3.-55 1 −2 30 1 50 0 1

= -1.3.-55.1 = 1651 −2 30 1 50 0 1

= 1

0 0 −55 = -55 0 0 1 faktor --55 dari baris 3 dipindahkan ke depan

• det(A) = –1.3.-55.1 = 165

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 52

Page 53: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[5] Nilai Determinan→ Bentuk Segitiga Atas

• det(A) = 0 1 53 −6 92 6 1

= 165 OBE → bentuk segitiga atas

• det(A) = –3 −6 90 1 52 6 1

= 165 det dari3 −6 90 1 52 6 1

= -165 r1 r2

= – –165 = 165

• det(A) = –3 −6 90 1 50 10 −5

= 165 r’3 = -23r1 + r3

= – –165 = 165

• det(A) = –3 −6 90 1 50 0 −55

= 165 r’’3 = -10r2 + r3

• det(A) = –1. (3.1.-55) = -1.-165 = 165

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 53

Page 54: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[5] Determinan→ Segitiga Atas (contoh)

• A =

2 1 3 11 0 1 100

21

12

03

det(A) =

2 1 3 11 0 1 100

21

12

03

• Tukar baris 2 dengan baris 3 → det(B) = -det(A)

• det(A) = -

2 1 3 10 2 1 010

01

12

13

• Tambahkan - 1

2baris 1 dengan baris 3 → - 2

2+ 2

2=0 - 1

2+0= - 1

2- 3

2+ 2

2= - 1

2- 1

2+ 2

2= 1

2

• det(A) = -

2 1 3 10 2 1 000

− 1

2

1

−1

2

2

1

2

3

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 54

Page 55: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[5] Determinan→ Segitiga Atas (contoh)

• det(A) = -

2 1 3 10 2 1 000

− 1

2

1

−1

2

2

1

2

3

• Tambahkan 14

baris 2 dengan baris 3 → 0 24

+(- 2

4)= 0 1

4+(- 2

4)= - 1

40+1

2= 1

2

• det(A) = -

2 1 3 10 2 1 000

01

−1

4

2

1

2

3• Tambahkan - 1

2baris 2 dengan baris 4 → 0 - 2

2+ 2

2= 0 - 1

2+ 4

2= 3

20+3= 3

• det(A) = -

2 1 3 10 2 1 0

00

00

−1

43

2

1

2

3

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 55

Page 56: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[5] Determinan→ Segitiga Atas (contoh)

• det(A) = -

2 1 3 10 2 1 0

00

00

−1

43

2

1

2

3

• Tambahkan 6 baris 3 dengan baris 4 → 0 0 - 6

4+ 6

4= 0 6

2+ 3 = 6

• det(A) = -

2 1 3 10 2 1 000

00

−1

4

0

1

2

6• det(A) = - (2.2.- 1

4.6) = 6

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 56

Page 57: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[6] Determinan & Matriks Transpose

• Jika A adalah matriks n × n→ det(A) = det(AT)

• A = 1 2 30 1 41 2 1

→ det(A) = -2

• B = 1 0 12 1 23 4 1

→ det(B) = -2

• B = AT→ det(A) = det(B)

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 57

Page 58: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[6] Determinan & Matriks Transpose (lanjutan)

• det(k.A) = kn det(A) → n = jumlah baris

• A = 3 12 2

→ det(A) = 4

• 5A = 15 510 10

→ det(5A) = 100

• Maka det(5A) = 52 det(A)

100 = 52.4

100 = 25.4

100 = 100

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 58

Page 59: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[7] Determinan: Penjumlahan Entri

• Jika A, A’ dan A’’ adalah matriks n × n yang hanya berbeda dalam 1 baris, misalbaris ke-r, dan baris r dari A’’ diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dari A’ →• det(A’’) = det(A) + det(A’)• Hasil yang serupa berlaku untuk kolom

• A = 1 24 3

→ det(A) = 1.3 – 4.2 = -5

• A’ = 4 31 2

→ det(A’) = 4.2 – 1.3 = 5

• A’’ = A + A’ = 1 24 3

+ 4 31 2

= 5 55 5

• det(A’’) = 5.5 – 5.5 = 0

• det(A’’) = det(A’) + det(B’) = -5 + 5 = 0

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 59

Page 60: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[8] Perkalian Determinan

• Jika A dan B adalah matriks kuadrat (bujur sangkar) yang ukurannya sama→ det(AB) = det(A) . det(B)

• A = 1 24 3

→ det(A) = 1.3 – 4.2 = -5

• B = 4 31 2

→ det(B) = 4.2 – 1.3 = 5

• AB = 1 24 3

4 31 2

= 1.4 + 2.1 1.3 + 2.24.4 + 3.1 4.3 + 3.2

= 6 719 18

• det(AB) = 6.18 – 19.7= 108 – 133= -25

• det(AB) = det(A) . det(B) = -5.5 = -25

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 60

Page 61: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[9] Syarat Matriks Dapat Dibalik

• Sebuah matriks kuadrat dapat dibalik (invertible) jika dan hanya jika→ det(A) ≠ 0

• A = 1 24 3

→ det(A) = 1.3 – 4.2 = -5

• A-1 = 1

det(𝐴)

𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎

= 1−5

3 −2−4 1

= −3

5

2

54

5−1

5

Karena det(A) ≠ 0 →Matriks A memiliki inverse = A-1 = −3

5

2

54

5−1

5

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 61

Page 62: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

[10] Determinan Matriks Inverse (A-1)

• Jika matriks A dapat dibalik→ det(A-1) = 1

det(𝐴)

• A = 1 24 3

→ det(A) = 1.3 – 4.2 = -5

• A-1 = −3

5

2

54

5−1

5

det(A-1) = (- 3

5) (- 1

5) - 4

5

2

5

= 325

- 8

25

= - 5

25

= - 1

5

Karena det(A) = -5 → det(A-1) = 1

det(𝐴)= 1

−5= - 1

5

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 62

Page 63: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Minor, Kofaktor, Matriks Kofaktor, MatriksAdjoint →Mencari Matriks Inverse• Minor (Mij) → Kofaktor (Cofactor = Cij) →Matriks Kofaktor (C) →

Matriks Adjoint Adj(A) → dg dibantu det(A) →mencari MatriksInverse (A-1)

• A-1 = 1

det(𝐴)Adj(A)

• Matriks Kofaktor = Cofactor Matrix = Comatrix = C

• Adj(A) = CT→ A-1 = 1

det(𝐴)CT

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 63

Page 64: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Minor

• Minor →M Entri M→Mij→ i letak baris, j = letak kolom

• A = 2 3 54 1 61 4 0

→ det(A) = 2.1.0+3.6.1+5.4.4 -1.1.5-4.6.2-0.4.3 = 0+18+80 -5-48-0 = 45

• Minor pada entri 2 → baris 1 dan kolom 1 →M11

Coret baris 1 dan kolom 12 3 54 1 61 4 0

→1 64 0

= 1.0 – 6.4 = 0 – 24 = -24

M12 = 4 61 0

= 4.0 – 6.1 = 0 – 6 = -6 M13 = 4 11 4

= 4.4 – 1.1 = 16 – 1 = 15

M21 = 3 54 0

= 3.0 – 5.4 = 0 – 20 = -20 M22 = 2 51 0

= 2.0 – 5.1 = 0 – 5 = -5

M23 = 2 31 4

= 2.4 – 3.1 = 8 – 3 = 5 M31 = 3 51 6

= 3.6 – 5.1 = 18 – 5 = 13

M32 = 2 54 6

= 2.6 – 5.4 = 12 – 20 = -8 M33 = 2 34 1

= 2.1 – 3.4 = 2 – 12 = -10

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 64

Page 65: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Kofaktor

• Cij = (-1)i+jMij→ i letak baris, j = letak kolom

• A = 𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

→ Kofaktor A = C = 𝐶11 𝐶12 𝐶13𝐶21 𝐶22 𝐶23𝐶31 𝐶32 𝐶33

• C11 = (-1)1+1M11

• Kofaktor A = C = +𝑀11 −𝑀12 +𝑀13

−𝑀21 +𝑀22 −𝑀23

+𝑀31 −𝑀32 +𝑀33• C11 = +M11 = +(-24) = -24 C12 = -M12 = -(-6) = 6 C13 = +M13 = +(15) = 15

• C21 = -M21 = -(-20) = 20 C22 = +M22 =+(-5) = -5 C23 = -M13 = -(5) = -5

• C31 = +M31 = +(13) = 13 C32 = -M32 = -(-8) = 8 C33 = +M33 = +(-10) = -10

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 65

Page 66: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Kofaktor

• C =−24 6 1520 −5 −513 8 −10

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 66

Page 67: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Adjoint Matriks (CT)

• C =−24 6 1520 −5 −513 8 −10

→ CT = −24 20 136 −5 815 −5 −10

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 67

Page 68: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Minor → Kofaktor→Matriks Kofaktor→Matriks Adjoint →Mencari Matriks Inverse

• A = 2 3 54 1 61 4 0

→ det(A) = 45

• CT = −24 20 136 −5 815 −5 −10

• A-1 = 1

det(𝐴)CT

= 145

−24 20 136 −5 815 −5 −10

= −0,533 0,444 0,2890,133 −0,111 0,1780,333 −0,111 −0,222

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 68

Page 69: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

AA-1 = I

• A = 2 3 54 1 61 4 0

• A-1 = −0,533 0,444 0,2890,133 −0,111 0,1780,333 −0,111 −0,222

• AA-1 = 2 3 54 1 61 4 0

−0,533 0,444 0,2890,133 −0,111 0,1780,333 −0,111 −0,222

= 1 0 00 1 00 0 1

= I

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 69

Page 70: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Ekspansi Kofaktor (Cofactor Expansion)Matriks Kofaktor→ Determinan

A = 𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

→ Kofaktor A = C = 𝐶11 𝐶12 𝐶13𝐶21 𝐶22 𝐶23𝐶31 𝐶32 𝐶33

det(A) =

• a11C11 + a12C12 + a13C13 → sepanjang baris 1

• a21C21 + a22C22 + a23C23 → sepanjang baris 2

• a31C31 + a32C32 + a33C33 → sepanjang baris 3

• a11C11 + a21C21 + a31C31 → sepanjang kolom 1

• a12C12 + a22C22 + a23C23 → sepanjang kolom 2

• a13C13 + a23C23 + a33C33 → sepanjang kolom 3

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 70

Page 71: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Ekspansi Kofaktor (Cofactor Expansion)Matriks Kofaktor→ Determinan• A =

3 2 −11 6 32 −4 0

• det(A) = 3.6.0+2.3.2+(-1).1.(-4) -2.6.(-1)-(-4).3.3-0.1.2

= 0+12+4 –(-12)-(-36)-0 = 16+12+36 = 64

• Kofaktor A = C = 12 6 −164 2 1612 −10 16

• det(A) → baris 1 = 3.12 + 2.6 + -1(-16) = 36 + 12 + 16 = 64

• det(A) → baris 2 = 1.4 + 6.2 + 3.16 = 4 + 12 + 48 = 64

• det(A) → baris 3 = 2.12 + (-4).(-10) + 0.16 = 24 + 40 + 0 = 64

• det(A) → kolom 1 = 3.12 + 1.4 + 2.12 = 36 + 4 + 24 = 64

• det(A) → kolom 2 = 2.6 + 6.2 + (-4).(-10) = 12 + 12 + 40 = 64

• det(A) → kolom 3 = -1.(-16) + 3.16 + 0.16 = 16 + 48 + 0 = 64

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 71

Page 72: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Determinan→ Ukuran Matriks

• 2 × 2 →

• A = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

det(A) = ad - bc

• 3 × 3 →• Rumus Sarrus• Eliminasi Gauss• Bentuk echelon row→ row reduction (penyusutan baris)

• ≥ 4 × 4 →• Eliminasi Gauss• Ubah jadi segitiga atas/segitiga bawah• Ekspansi Kofaktor

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 72

Page 73: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Aturan Cramer

Solusi untuk SPL Ax = bA = matriks koefisien

b = vektor (n × 1)

x = vektor yang dicari

xi = det(𝐴𝑖)det(𝐴)

i = 1, 2, 3, …, n

Di mana Aj adalah matriks A dengan menggantikan kolom ke-j dengan (vektor) b

b =

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 73

Page 74: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Aturan Cramer (lanjutan)

Ax = b → det(A) ≠ 0

x1 = det(𝐴1)

det(𝐴), x2 = det(𝐴2

)

det(𝐴), x3 = det(𝐴3

)

det(𝐴), …, xn = det(𝐴𝑛)

det(𝐴)

Aj→ adalah matriks A dengan menggantikan kolom ke-j dengan matriks B

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 74

Page 75: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Aturan Cramer (contoh)

• Selesaikan

x1 + + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 →

1 0 2−3 4 6−1 −2 3

𝑥1𝑥2𝑥3

= 6308

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8 A x b

• Solusi

A = 1 0 2−3 4 6−1 −2 3

→ det(A) = 44 A1 = 6 0 230 4 68 −2 3

→ det(A1) = -40

A2 = 1 6 2−3 30 6−1 −8 3

→ det(A2) = 72 A3 = 1 0 6−3 4 30−1 −2 8

→ det(A3) = 152

Maka x1 = det(𝐴1)

det(𝐴)= −40

44= −10

11x2 = det(𝐴2

)

det(𝐴)= 72

44= 18

11

x3 = det(𝐴3)

det(𝐴)= 152

44= 38

11

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 75

Page 76: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Aturan Cramer (contoh)

• Soal-5x + 7z = -32

3y – 6z = 482x + y + 4z = -24

• Cari nilai x, y dan z dengan menggunakan aturan Cramer• Cari determinan A → perkalian kofaktor baris 1• Cari determinan A(x) → perkalian kofaktor baris 2• Cari determinan A(y) → perkalian kofaktor kolom 1• Cari determinan A(z) → perkalian kofaktor kolom 3

• Matriks

−5 0 70 3 −62 1 4

𝑥𝑦𝑧

= −3248−24

A x b

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 76

Page 77: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Aturan Cramer (contoh)

−5 0 70 3 −62 1 4

𝑥𝑦𝑧

= −3248−24

A x b

Cari det(A) → perkalian kofaktor baris 1

Kofaktor A = 18 −12 −6

det(A) = (-5).18 + 0.(-12) + 7.(-6) = -132

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 77

Page 78: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Aturan Cramer (contoh)

−5 0 70 3 −62 1 4

𝑥𝑦𝑧

= −3248−24

A x b

A(x) = −32 0 748 3 −6−24 1 4

Cari determinan A(x) → perkalian kofaktor baris 2

Kofaktor A(x) = 7 40 32

det(A(x)) = 48. 7 + 3. 40 + (-6). 32 = 264x = det(𝐴(𝑥))

det(𝐴)= 264

−132= -2

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 78

Page 79: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Aturan Cramer (contoh)

−5 0 70 3 −62 1 4

𝑥𝑦𝑧

= −3248−24

A x b

A(y) = −5 −32 70 48 −62 −24 4

Cari determinan A(y) → perkalian kofaktor kolom 1

Kofaktor A(y) = 4840

−144

det(A(y)) = (-5).48 + 0.40 + 2.(-144) = -528

y = det(𝐴(𝑦))det(𝐴)

= −528−132

= 4

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 79

Page 80: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Aturan Cramer (contoh)

−5 0 70 3 −62 1 4

𝑥𝑦𝑧

= −3248−24

A x b

A(z) = −5 0 −320 3 482 1 −24

Cari determinan A(z) → perkalian kofaktor kolom 3

Kofaktor A(z) = −65

−15

det(A(z)) = (-32).(-6) + 48.5 + (-24).(-15) = 792

z = det(𝐴(𝑧))det(𝐴)

= 792−132

= -6

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 80

Page 81: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Bentuk Khusus

• Matriks A n × n kuadrat (bujur sangkar)• Banyaknya baris A = banyaknya kolom A

• Bentuk khusus matriks kuadrat1. Diagonal D

2. Segitiga atas

3. Segitiga bawah

4. Simetrik

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 81

Page 82: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Diagonal D

• Matriks diagonal D• aij = 0 untuk i ≠ j

D =

𝑑1 0 ⋯0 𝑑2 ⋯⋮0

⋮0 ⋯

00⋮𝑑𝑛

D-1 =

1/𝑑1 0 ⋯0 1/𝑑2 ⋯⋮0

⋮0 ⋯

00⋮

1/𝑑𝑛

Dk =

𝑑1𝑘 0 ⋯

0 𝑑2𝑘 ⋯

⋮0

⋮0 ⋯

00⋮𝑑𝑛𝑘

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 82

Page 83: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Diagonal D (contoh)

A = 1 0 00 −3 00 0 2

A-1 =

1 0 00 −1

30

0 01

2

A5 = 1 0 00 −243 00 0 32

A-5 =

1 0 00 − 1

2430

0 0 1

32

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 83

Page 84: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Segitiga Atas

A = 𝑎11 𝑎12 𝑎130 𝑎22 𝑎230 0 𝑎33

• Matriks segitiga atas• aij = 0 untuk i > j

A = 1 3 −10 2 40 0 5

B = 3 −2 20 0 −10 0 1

A invertible (bisa dibalik), B tidak invertible

Jika A dan B invertible→ A-1, AB dan BA juga invertible

A-1 =

1 −3

2

7

5

0 1

2−2

5

0 0 1

5

AB = 3 −2 20 0 20 0 5

BA = 3 5 −10 0 −50 0 5

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 84

Page 85: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Segitiga Bawah

A = 𝑎11 0 0𝑎21 𝑎22 0𝑎31 𝑎32 𝑎33

• Matriks segitiga bawah• aij = 0 untuk i < j

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 85

Page 86: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks Simetrik

• Matriks simetrik• aij = aji → sama dengan matriks transpose-nya

A =

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31⋮

𝑎32⋮

𝑎33⋯

⋯⋯⋯⋯

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 86

Page 87: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Teorema

1. Transpose dari matriks segitiga bawah→matriks segitiga atas

Transpose dari matriks segitiga atas→matriks segitiga bawah

2. Perkalian 2 matriks segitiga bawah→matriks segitiga bawah

Perkalian 2 matriks segitiga atas→matriks segitiga atas

3. Matriks segitiga adalah invertible→ jika dan hanya jika semua entridiagonalnya ≠ 0

4. Inverse matriks segitiga bawah→matriks segitiga bawah

5. Inverse matriks segitiga atas→matriks segitiga atas

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 87

Page 88: IF184302 Aljabar Linier Pertemuan ke-41) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 3 Matriks: Posisi dan Kolom Pivot 2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 4

Matriks: Teorema (lanjutan)

A dan B = matriks simetrik, k = skalar

6. AT simetrik

7. A + B→ simetrik, dan A – B→ simetrik

8. Matriks kA simetrik1 22 3

−4 11 0

=−2 1−5 2

1 22 3

−4 33 −1

=2 11 3

(AB)T = BTAT = BA

Maka (AB)T = AB jika dan hanya jika AB = BA, yaitu, jika dan hanya jika A dan B komutatif (commute)

9. Jika A invertible→ A-1 simetrik

A = 1 −2 43 0 −5

ATA = 1 3−2 04 −5

1 −2 43 0 −5

= 10 −2 −11−2 4 −8−11 −8 41

AAT = 1 −2 43 0 −5

1 3−2 04 −5

= 21 −17−17 34

Terlihat ATA dan AAT adalah simetrik

10. Jika A adalah matriks invertible→ AAT dan ATA adalah juga invertible

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 88