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IES Luis Buñuel (Móstoles)

IV CONCURSO DE MATEMÁTICAS DEL IES LUIS BUÑUEL

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anteriores�ndice

matem�ticas

"Preferiría comprender una sola causa que ser rey de Persia" DEMÓCRITO DE ABDERA

"Lo que cuenta no es lo que no se sabe, sino lo que se sabe que no es así" WILL ROGERS

"Lo que oyes lo olvidas, lo que ves lo recuerdas, lo que haces lo aprendes" PROVERBIO CHINO

"Piensa como los sabios, mas habla como la gente sencilla" ARISTÓTELES

file:///H|/PÁGINA WEB/EPIGRAFES/PÁGINAaNTIGUA/iNFORMACION.htm23/06/2005 18:48:28

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Bases

Bases [ Índice ] [ Bases ] [ Problema actual ] [ Problemas anteriores ] [ Clasificación ]

[ Concursos anteriores ]

BASES:

1. - Podrán participar todos los alumnos/as matriculados en el I.E.S. Luis Buñuel durante el curso 2003/2004

Se establecerán dos categorías, una para 1º, 2º y 3º de E.S.O. y otra para el resto de los cursos.

2. - Los alumnos/as deberán encontrar la solución de los distintos problemas que planteará el Departamento de Matemáticas a lo largo del curso.

3. - En la valoración de las respuestas se tendrán en cuenta:

a) La resolución completa del problema.

b) El razonamiento lógico.

c) La presentación adecuada.

d) El ingenio derrochado en la resolución del problema.

4. - Cada quince días aproximadamente se publicará un problema en el tablón de anuncios del vestíbulo y en la página web del instituto.

5. - Los problemas resueltos se depositarán en el buzón situado en conserjería en el plazo de los quince días siguientes a la publicación de cada problema.

En este mismo plazo podrán enviarse las soluciones a la dirección electrónica: [email protected]

En la resolución del problema deberá constar el nombre y apellidos, curso y grupo del concursante.

6. - La solución del problema se publicará en el mismo tablón de anuncios y en la

http://roble.pntic.mec.es/~flapuent/bases.htm (1 de 2)23/06/2005 18:51:30



mailto:[email protected]


Bases

página web del instituto.

7. - Cada problema bien resuelto y correctamente explicado se valorará con un punto.

8. - La entrega de premios se realizará en el mes de mayo. Resultarán premiados los tres alumnos/as que tengan mayor puntuación en cada categoría.

http://roble.pntic.mec.es/~flapuent/bases.htm (2 de 2)23/06/2005 18:51:30

Problema actual

Problema actual [ Índice ] [ Bases ] [ Problema actual ] [ Problemas anteriores ] [ Clasificación ]


FECHA TOPE DE ENTREGA: MARTES, 18 DE MAYO DE 2004

● NIVEL I (1º, 2º y 3º de ESO - Alumnos del Edificio Pablo Casals)

ABECEDARIO

AxB = 24 CxD = 32 BxD = 48 BxC = 24 ¿Cuánto vale AxBxCxD?

● NIVEL II (4º de ESO, bachillerato y formación profesional - Alumnos del Edificio Orquídea)

FRACCIONES

Si b/a = 2 y c/b = 3, ¿cuánto vale (a+b)/(c+d)?

http://roble.pntic.mec.es/~flapuent/problema.htm23/06/2005 18:51:35




Problemas anteriores

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IV CONCURSO DE MATEMÁTICAS (curso 2003/2004)

● NIVEL I (1º, 2º y 3º de ESO)

EUROCÉSPED

Un equipo compró un jugador por 75 millones de euros. Pues bien, vamos a poner todo ese dinero en billetes de 200 euros (153x82 mm) e intentar cubrir el césped de un campo de fútbol (106x70 m). ¿Lograremos tapar dicho terreno?

Solución

75.000.000 : 200 = 375.000 billetes. 106 x 70 = 7420 m2 tiene el campo de fútbol. 153 x 82 = 12.546 mm2 tiene un billete, lo que equivale a 0,012546 m2 7420 : 0,012546 = 591.423 billetes son necesarios para cubrir el campo.

Por tanto, no lo lograrán, porque tienen 375.000 y necesitan 591.423 billetes.

(Problema resuelto por Pablo Gómez Argudo, de 1º C de ESO)

A LAS RICAS LENTEJAS

La familia de Marcos adora las lentejas, así que las comen cada tres días. En casa de Irene, en cambio, creen que con tomarlas una vez a la semana es suficiente. Por su parte, el padre de Tamara se dio un atracón de pequeño y le sentaron mal. Por eso, pese a que su familia le insiste, él sólo las pone una vez cada veinte días. La última vez que Marcos, Irene y Tamara coincidieron en comer lentejas fue el día de la Constitución. ¿En qué fecha volverán a comer lentejas los tres?

Solución

El número de días que transcurran hasta que vuelvan a coincidir comiendo

http://roble.pntic.mec.es/~flapuent/probant.htm (1 de 7)23/06/2005 18:51:41




lentejas debe ser un múltiplo de 3, de 7 y de 20, siendo el menor el mínimo común múltiplo de esos tres números. Se calcula resultando ser el 420. Por tanto transcurrirán nada menos que 420 días hasta que vuelvan a coincidir las tres familias comiendo lentejas. Como la última vez fue el 6 de diciembre (día de la Constitución), deberá pasar un año entero más 55 días, es decir, el 30 de enero.

CUMPLEAÑOS FELIZ

Lara está celebrando su cumpleaños. ¿Cuántos años tienes?, le pregunta un vecino. Anteayer tenía quince, y el año próximo cumpliré dieciocho. ¿Qué día ocurrió eso?

Solución

Sonia cumple años el 31 de diciembre. La comida era el primer día del año, cuando Sonia tenía ya dieciséis. Aquel mismo año (el día 31 de diciembre) cumplirá diecisiete y el año próximo cumplirá dieciocho.

PASTEL DE CUMPLEAÑOS

Paula cumple doce años y quiso hacer una fiesta de cumpleaños en su casa con los compañeros de clase. El padre de Paula era matemático y quiso gastarles una broma planteándoles un reto. Tenían que cortar el pastel en ocho trozos iguales, realizando sólo tres cortes con el cuchillo. Paula y sus amigos se rompieron los sesos y no consiguieron acertarlo. ¿Podríais ayudarlos vosotros?

Solución

Se corta el pastel en cuatro trozos con dos cortes y se da un tercer corte longitudinal, con lo que ya tendré los ocho trozos.

CUATRO LITROS

¿Cómo puedes medir exactamente cuatro litros de agua si dispones de un bidón de cinco litros y otro de tres? (Puedes llenarlos y vaciarlos todas las veces que quieras)

Solución

Veamos la respuesta utilizando la siguiente tabla:



AcciónAgua que hay en el

bidón de 5 litrosAgua que hay en el

bidón de 3 litros

Se llena el bidón de 5 l 5 0

Se vacía el bidón de 5 en el de 3

2 3

Se vacía el bidón de 3 2 0

Se vacía el bidón de 5 en el de 3

0 2

Se llena el bidón de 5 l 5 2

Se vacía el bidón de 5 en el de 3 Como sólo cabe un litro, ya tenemos 4

4 3

PROEZAS PSÍQUICAS

El profesor Uria Fuller, famoso por sus proezas psíquicas, es capaz de decir el tanteo de un partido de fútbol antes de que comience el encuentro. ¿Cómo puede ser cierto?

Solución

Antes de comenzar, el resultado es el mismo en todos los partidos: 0-0

● NIVEL II (4º de ESO, bachillerato y formación profesional)

SOLDADOS

Una compañía de n soldados forman filas de modo que de 3 en 3, quedan dos soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan tres y de 5 en 5, quedan cinco. Averigua el mínimo n sabiendo que es capicúa y mayor que 1000.

Solución

De acuerdo con el enunciado, salen tres ecuaciones:



3x + 2 = n 4y + 3 = n 5z + 5 = n

La última ecuación dice que si a n le restamos 5 tiene que terminar en 0 ó en 5. Y como por 0 no puede terminar y empezar (para ser capicúa), nos encontramos que el número tiene que estar entre el 5005 y el 5995.

Vamos probando con esos números: 5005, 5115, ... en las ecuaciones anteriores hasta que se cumplan todas ellas, lo cual sólo ocurre con el 5555, que es la solución.

(Problema resuelto por Silvia Gutiérrez Caballero, de 1º Bachillerato Tecnológico)

ME GUSTA EL CINCO

¿Serías capaz de encontrar dos números de tres dígitos cuyo producto sea 555.555?

Solución

Se realiza la descomposición factorial del número resultando: 555.555 = 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 37

Vamos probando y la única posibilidad de agrupar esos factores de modo que resulten dos números de tres cifras es:

37 x 3 x 7 = 777 y 11 x 13 x 5 = 715

Así pues: 777 x 715 = 555.555

MUTACIONES

¿Sabrías pasar de la palabra Talar (cortar por los pies masas de árboles) a Mesón (casa para albergar a viajeros) cambiando una letra distinta cada vez?

TALAR



MESÓN

Solución

Hay varias soluciones. Una de ellas es la siguiente:

TALAR

TALAN

TALÓN

TELÓN

TESÓN

MESÓN

EL SEXTO NÚMERO

¿Sabrías seguir la siguiente serie? 3, 7, 16, 35, 74, x

Solución

Cada número se obtiene del siguiente modo:

3 . 2 + 1 = 7 7 . 2 + 2 = 16 16 . 2 + 3 = 35 35 . 2 + 4 = 74 74 . 2 + 5 = 153

Así pues, el siguiente número de la serie es el 153.

LECHE Y TÉ

Un par de amigos se junta a merendar y uno de ellos pide un vaso de leche y el otro, un vaso de té. Deciden hacer mezclas del siguiente modo: toman una cucharada de leche y la echan en el té; después toman una cucharada del té donde pusieron una cucharada de leche y



la echan en la leche. ¿Habrá más leche en el té o más té en la leche?

Solución

Habrá la misma cantidad de leche en el té, como té en la leche. Explicación:

Pongamos que los vasos contienen 240 ml de leche y 240 ml de té, y que en la cuchara caben 10 ml. Ahora bien, cogemos 10 ml de leche con la cuchara y se la echamos al vaso de té. Ahora en el vaso de leche quedan 230 ml de leche y en el de té hay 240 ml de té y 10 ml de leche, mezclados.

Calculemos qué porcentaje de leche hay en el vaso de té.:

250 ml de mezcla -------> 10 ml de leche 100 ml de mezcla -------> x

x=1000/250 = 4 %

Cogemos una cucharada del vaso del mezcla. Esa cucharada de 10 ml de mezcla tiene el 4 % de leche y el 96 % de té. Veamos cuánto hay de cada:

4 % de 10 = 0,4 ml de leche hay en la cuchara. 96% de 10 = 9,6 ml de té hay en la cuchara.

Calculemos ahora cuánta leche y cuánto té hay en cada vaso:

1. En el vaso de la leche tenemos 230 ml de leche que quedaban + 9,6 ml de leche de la cuchara + 0,4 ml de té de la cuchara = 239,6 ml de leche y 0,4 ml de té

2. En el vaso de té teníamos 240 ml de té + 10 ml de leche de la primera cucharada - 9,6 ml de leche que hemos quitado - 0,4 ml de té que también hemos quitado = 239,6 ml de té + 0,4 ml de leche.

Y como se puede observar la cantidad de leche que hay en el té es la misma que la cantidad de té que hay en la leche.

Si el vaso y la cuchara tienen otra capacidad cualquiera, el razonamiento es el mismo.

(Problema resuelto por Christian-E. García-Camacho Granados, alumno de 4º de ESO del IES Jaume I, de Salou, que ha enviado la respuesta por correo electrónico)

EL OJO DE BUEY



Aunque el transatlántico estaba atracado en el puerto, la señora Mansasolas se encontraba tan mareada que no se atrevió a salir de su camarote. A mediodía, el ojo de buey situado junto a su litera se encontraba exactamente a 7 metros sobre el nivel del agua. En ese instante, la marea subía a razón de 1 metro por hora. Suponiendo que la velocidad con que sube la marea se duplique cada hora, ¿cuánto tiempo tardará el ojo de buey en estar al nivel del agua?

Solución

El ojo de buey tardaría en estar al nivel del agua 3 horas, si no fuera porque estando dentro del trasatlántico, por mucho que subiera la marea, el barco subiría con ella. Por tanto, el ojo de buey, puede tardar tanto tiempo como tiempo tarde el trasatlántico en hundirse (cosa que no espero por el bien de los pasajeros) o hasta que alguien coja el ojo de buey del camarote de la señora Mansasolas y lo lleve o lance hasta el nivel del mar, cosa que no creo que ocurra. Resumiendo, el ojo de buey tardará mucho tiempo en llegar al nivel del mar, y hablo de años e incluso décadas o siglos (si Dios quiere).

(Problema resuelto por Christian-E. García-Camacho Granados, alumno de 4º de ESO del IES Jaume I, de Salou, que ha enviado la respuesta por correo electrónico)


Concursos anteriores

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A través de los siguientes enlaces podrás acceder a los problemas de las primeras ediciones de nuestro ya tradicional concurso de matemáticas y entrenarte resolviéndolos.

● I Concurso de matemáticas (curso 2000/2001)

● II Concurso de matemáticas (curso 2001/2002)

● III Concurso de matemáticas (curso 2002/2003)

http://roble.pntic.mec.es/~flapuent/concursos_ant.htm23/06/2005 18:51:44



http://roble.pntic.mec.es/~flapuent/IIconcurso.htm

http://roble.pntic.mec.es/~flapuent/IIIconcurso.htm

I Concurso (2000-2001)

I Concurso (2000-2001) [ Índice ] [ I Concurso (2000-2001) ] [ II Concurso (2001-2002) ] [ III Concurso (2002-2003) ]

PROBLEMAS DEL I CONCURSO DE MATEMÁTICAS (celebrado durante el curso 2000/2001)

EL REBAÑO

Un pastor agrupaba a las ovejas de su rebaño de 5 en 5, y de 6 en 6, y siempre le sobraba una oveja, pero si las agrupaba de 7 en 7 todos los grupos quedaban con la misma cantidad de ovejas. ¿Cuántas ovejas en total tenía el rebaño si son menos de 100?

Solución

LAS CAJAS SORPRESA

Observa las 3 cajas. Una contiene bombones, otra serrín y la otra está vacía. Lee el cartel de cada una. Uno solo de ellos dice verdad. El cartel de la caja que contiene serrín dice una verdad como un templo. ¿Cuál es la que contiene los bombones?

http://roble.pntic.mec.es/~flapuent/Iconcurso.htm (1 de 17)23/06/2005 18:51:53

http://roble.pntic.mec.es/~flapuent/IIconcurso.htm

http://roble.pntic.mec.es/~flapuent/IIIconcurso.htm


Aquí no hay nada Aquí hay serrínUno de los otros letreros es falso

Solución

EL ENIGMA DE LA RULETA

La rueda de una ruleta muestra los números del 1 al 36.

La bola se ha detenido en el número por el que yo había apostado, que es divisible por 3.

Cuando sus dígitos se suman, el total está entre 4 y 8.

Es un número impar.

Cuando sus dígitos se multiplican el total está entre 4 y 8.

¿Por qué número he apostado?

Solución

LOS LADRILLOS

He visto trabajar a dos obreros Arturo y Jaime. Se repartieron a ojo un montón de 100 ladrillos, de modo que quedaran los dos más o menos parejos. Se pusieron a trabajar y mientras que Arturo los colocaba en columnas de cinco ladrillos, Jaime lo hacía en columnas de siete.

Cuando acabó Arturo le quedaban dos ladrillos sin colocar, y a Jaime cuatro ladrillos.

¿De cuántos ladrillos era cada montón?

Solución



IVÁN EL PEREZOSO

Según un antiguo cuento ruso, Iván el perezoso se hallaba un día holgazaneando a orillas de un río:

- Todo el mundo me dice que me busque un trabajo o que me vaya al diablo - suspiró - No creo que ninguna de las dos cosas me ayude a hacerme rico.

Tan pronto como dijo esto apareció el diablo en persona ante él.

- ¿Quieres ganar dinero, Iván? - le preguntó.

Iván asintió perezosamente con la cabeza.

- Muy bien - continuó el diablo - ¿ves ese puente? Pues todo lo que tienes que hacer es cruzarlo. Cada vez que lo hagas se te doblará el dinero que llevas en el bolsillo.

Iván se dirigía hacia el puente cuando el diablo le detuvo.

- Un momento - le dijo astutamente - Puesto que me he mostrado tan generoso contigo, creo que me merezco una pequeña recompensa por mis esfuerzos. ¿Querrás darme ocho rublos cada vez que cruces el puente?

Iván el perezoso se apresuró a asentir. Cruzó el puente y metió la mano en el bolsillo. Su dinero se había doblado como por arte de magia... Le lanzó ocho rublos al diablo que permanecía al otro lado del río, y cruzó de nuevo. Otra vez se dobló su dinero. Le pagó otros ocho rublos al diablo y cruzó por tercera vez. Y el dinero se dobló también. Pero al contarlo, descubrió que no le quedaban más que ocho rublos en el bolsillo, que tuvo que entregar al diablo con lo que se quedó sin dinero que doblar.

El diablo soltó una carcajada y desapareció.

¿Serías capaz de averiguar cuánto dinero tenía Iván al principio? ¿Y cuánto debía haber tenido como mínimo para no quedarse sin nada?

Solución

SEIS LITROS

¿Cómo harías para traer seis litros de agua, si lo único que tienes a tu disposición para medir el agua son dos recipientes, uno de cuatro litros y otro de nueve litros?

Solución

REPARTO JUSTO

Dos excursionistas se ponen a comer después de una marcha. Uno de ellos tiene siete bocadillos y el otro cinco. Al empezar a comer aparece un tercer excursionista que no lleva comida. Deciden repartir con él los bocadillos y éste, en agradecimiento, les da 1.200 PTA.



¿Cómo se repartieron los excursionistas el dinero?

Solución


¿ERES DEL 2%?

Abajo se presenta un problema escrito por Einstein en el siglo pasado. Ha sido traducido y mejorado desde entonces, pero la lógica es la misma. Este problema SÍ tiene respuesta. Einstein dijo que el 98% de la población del mundo no era capaz de resolverlo.

Hechos:

1.- Tenemos 5 casas de 5 diferentes colores (cada casa de un color).

2.- En cada casa vive una persona con nacionalidad diferente.

3.- Estos 5 dueños beben una bebida diferente, fuman una cierta marca y tienen alguna mascota.

4.- Ningún dueño tiene la misma mascota, fuma la misma marca o bebe la misma bebida que otro.

Detalles:

1.- El inglés vive en la casa roja.

2.- La mascota del sueco es un perro.

3.- El danés bebe té.

4.- La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca.

5.- El dueño de la casa verde toma café.

6.- La persona que fuma Pall Mall cría pájaros.

7.- El dueño de la casa amarilla fuma Dan Hill.

8.- El hombre que vive en la casa del centro toma leche.

9.- El noruego vive en la primera casa.

10.- La persona que fuma Blend vive junto al que tiene gatos.



11.- El hombre que tiene caballos vive junto al hombre que fuma Dan Hill.

12.- La persona que fuma Bleu Master bebe cerveza.

13.- El alemán fuma Prince.

14.- El noruego vive junto a la casa azul.

15.- El hombre que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua.

La pregunta es... ¿QUIÉN TIENE POR MASCOTA PESCADOS?

Solución

SUBIENDO Y BAJANDO

Una persona camina al ritmo de 2 km/h al subir la cuesta, y de 6km/h al bajarla ¿Cuál será la velocidad media para el recorrido total?

Solución

¿EN QUÉ AÑO NACIÓ TU PROFE?

En 1990 su edad era igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento.

Solución

PIENSA UN NÚMERO

Anastasia ha pensado un número entre 99 y 999.

Belinda le pregunta si el número está por debajo de 500. Anastasia le contesta que sí.

Belinda pregunta si el número es un cuadrado. Anastasia dice que sí.

Belinda pregunta si el número es un cubo. Anastasia dice que sí.

Sin embargo Anastasia sólo ha dicho la verdad en dos de las respuestas.

Anastasia le dice entonces a Belinda que tanto el primero como el último dígito son 5, 7 ó 9.

¿Cuál es el número?

Solución

TRES PERSONAS JUGANDO

Tres personas A, B y C juegan tres partidas a cierto juego.



El primero pierde la primera, el segundo, la segunda y el tercero, la tercera.

Cada uno empieza a jugar con una cierta cantidad de dinero.

En cada partida el que pierde da a cada uno de los otros una cantidad igual a la que cada uno tiene en ese momento.

Si terminan el juego con 120, 80 y 60 € respectivamente, ¿con qué cantidades empiezan a jugar?

Solución

LA ENCUESTA

Una revista de corta tirada, deseando incrementarla, encarga una encuesta entre sus lectores a una agencia de publicidad. Ésta, tras el correspondiente sondeo, procesa los datos y envía a la revista las siguientes conclusiones sobres sus lectores:

● El 56% son varones

● El 48% son personas casadas

● El 37 % viven en Barcelona

● El 8 % son varones casados

● El 16 % son varones que viven en Barcelona

● El 10% son personas casadas que viven en Barcelona

● El 5% son varones casados que viven en Barcelona

El director de la revista, tras examinar los datos, se niega a pagar la encuesta. ¿Por qué actúa de esa manera?

Solución

TRES MARINEROS Y UN MONO

Tres marineros y un mono vivían en una isla. Una tarde los marineros recogieron todos los cocos que pudieron encontrar y los colocaron formando un gran montón. Agotados después de tan duro trabajo, decidieron esperar a la mañana siguiente para dividirlos en partes iguales.

Durante la noche, un marinero se despertó y separó los cocos en tres partes iguales, dejando aparte uno que sobraba, que dió al mono. Cogió un montón, lo enterró y, juntando los otros dos que quedaban se fue a la cama.

Esto mismo hicieron a continuación los otros dos marineros, cada uno de los cuales realizó



exactamente la misma operación.

A la mañana siguiente, los cocos que quedaban fueron divididos en parte iguales entre los marineros, sobrando uno, que se lo dieron al mono.

¿Cuál es el mínimo número de cocos que tuvieron que recolectar?

Solución

SOLUCIONES

● NIVEL I (1º, 2º y 3º de ESO)

EL REBAÑO

1º Condición: Si contamos de 5 en 5, sobra 1. Eso significa que puede tener estas ovejas: 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91y 96.

2º Condición: Si contamos de 6 en 6 y siempre le sobra una, significa que puede tener: 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91y 97.

3º Condición: Si se cuenta de 7 en 7 y todos los grupos quedan con la misma cantidad de ovejas significa que el número de ovejas es múltiplo de 7. Múltiplos de 7 menores de 100 son: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91 y 98.

El número de ovejas de su rebaño debe de cumplir las tres condiciones; y el único número que lo cumple es 91; Por tanto, esa es la solución.

LAS CAJAS SORPRESA

La primera caja contiene los bombones, la segunda nada y la tercera contiene serrín.

El serrín no puede estar en la primera caja porque entonces su letrero sería falso.

El serrín no puede estar en la segunda, porque ello obligaría a que fuera falso el letrero de la derecha. Si ese letrero fuera falso, como dice "Uno de los otros letreros es falso", y eso no sería cierto, implicaría que los otros dos letreros serían verdaderos, lo cual no puede ser, pues el problema indica que sólo uno de los tres letreros dice la verdad.

Por tanto, el serrín está en la tercera caja. Ese es pues el letrero verdadero. Como se acaba de indicar, ese letrero inidca que "Uno de los otros letreros es falso", aunque en realidad sabemos que lo son los otros dos, pues el único verdadero es el que contiene serrín. Como el primer cartel dicer que ahí no hay nada y es falso, es en la primera caja donde deben estar los bombones.

EL ENIGMA DE LA RULETA



Los números divisibles por 3, que hay entre el 1 y el 36 son: 3, 6, 9, 12, 15,18, 21, 24, 27, 30, 33 y 36. Al sumar sus dígitos, los únicos que suman entre 4 y 8 son: 6 (0+6=6), 15 (1+5=6), 24 (2+4=6) y 33 (3+3=6). De entre ellos, son impares los siguientes: 15 y 33. Cuando sus dígitos se multiplican: (1x5=5) y (3x3=9), el único que está entre 4 y 8 es 15 (1x5=5). Por tanto, el número por el que hemos apostado es el 15.

LOS LADRILLOS

Como el enunciado indica que más o menos los dos montones de ladrillos son iguales, supongamos que tienen entre 40 y 60 ladrillos. Arturo hizo columnas de 5 en 5 sobrándole 2. Por tanto podría tener 42, 47, 52 ó 57 ladrillos, mientras que Jaime los colocó de 7 en 7, y le sobraron 4. Eso significa que pudieron quedarle 46, 53 ó 60 ladrillos. Como en total había 100 ladrillos buscamos una pareja de números que sume 100, siendo la única 47 y 53. Por tanto, la solución es que Arturo se quedó con 47 ladrillos, y Jaime con 53.

IVÁN EL PEREZOSO

Para resolver el problema hay que ir hacia atrás desde el momento final en el que Iván el perezoso se queda sin dinero. Es evidente que, como le lanzó ocho rublos al diablo, esa era la cantidad que le quedaba tras cruzar el puente por tercera vez y después de habérsele duplicado. Por tanto, antes de haber cruzado tenía que tener cuatro (la mitad de ocho).

Antes de cruzarDespués de cruzar (se

duplica)Después de pagar al diablo

los 8 rublos

1ª vez que cruza

2ª vez que cruza

3ª vez que cruza 4 = 8/2 8 = 0+8 0

Ahora sabemos que antes de cruzar por tercera vez, es decir, justo después de haber pasado la segunda, tenía cuatro rublos. Como nada más cruzar esa segunda le había dado ocho rublos al diablo, significa que en ese momento tenía doce, y antes de haber atravesado la mitad, o sea, seis.



los 8 rublos

1ª vez que cruza

2ª vez que cruza 6 = 12/2 12 = 4+8 4

3ª vez que cruza 4 8 0

Razonando de la misma manera, está claro que después de pasar de un lado a otro la primera vez y pagar al diablo tenía lo mismo que antes de cruzar la segunda, seis. Por ello, antes de abonar al diablo la primera vez tuvo que tener ocho más, es decir, catorce; y antes de atravesar el río esa primera vez debía tener la mitad de catorce. De ello se deduce que Iván tenía siete rublos en su bolsillo cuando se encontró con el diablo.



los 8 rublos

1ª vez que cruza 7 = 14/2 14 = 6+8 6





Por otra parte es fácil ver que para no haberse quedado sin nada, Iván tenía que haber partido con ocho rublos como mínimo, pues de ese modo cada vez que cruzara se le duplicarían convirtiéndose en dieciséis para, tras pagar al diablo, volver a tener ocho, y así sucesivamente.

SEIS LITROS

Hay muchas formas de resolverlo. Veamos dos:

PRIMERA MANERA:

Lleno la garrafa de 4 litros y los echo en la de 9. En la pequeña quedan 0 y en la grande 4.

Vuelvo a llenar la pequeña y la echo en la grande, en la cual ya hay 8 litros. De nuevo lleno la pequeña, y echo el agua en la grande hasta llenarla, por tanto me quedan en la pequeña 3 litros.

Vacío la grande y echo los tres litros de la pequeña en la grande. Lleno otra vez la pequeña, y echo el contenido en la grande, en la que me ahora habrá 7 litros. Lleno otra vez con lo de la pequeña la grande, y en la grande me quedan 9 litros y en la pequeña 2.

Vacío la grande, echo los 2 litros, vuelvo a llenar la pequeña, echo el contenido en la grande, y ya tengo 6 litros. SEGUNDA MANERA:

Lleno la de 9 litros y echo 4 de ellos en la pequeña (en la primera me quedan 5 litros).

Vacío la pequeña y echo lo que quepa de la grande hasta llenarla, con lo cual en la de 9 litros me queda 1 litro y en la pequeña 4 litros.

Vacío la de 4 litros y echo el litro de la grande en la pequeña. Vuelvo a llenar la grande y echo lo que quepa de ella en la pequeña. Como en ésta había un litro, caben 3 más, que es lo que falta para llenarse. En ese momento, en la grande me quedarán 6 litros.

Solución redactada por Arancha Ibarra Sánchez (1º A de ESO)

REPARTO JUSTO

Entre los dos tienen 12 bocadillos, y como se los reparten en partes iguales, cada uno se comerá 4 bocadillos, por lo que el que tenía 5 bocadillos le dio al tercer excursionista un sólo bocadillo; en cambio, el que tenía 7 bocadillos, le dio 3 bocadillos al tercer excursionista.

Como éste último les dio 1200 PTA, las repartieron en cuatro partes iguales de 300 PTA (pues eran cuatro bocadillos), y cada excursionista cogió el número de partes que correspondían a los bocadillos que había dado, quedándose el de 7 con 900, y el de 5 con 300 PTA.



Solución redactada por Arancha Ibarra Sánchez (1º A de ESO)


¿ERES DEL 2%?

Para solucionar este problema, lo mejor es organizar de un modo sencillo toda la información, y para ello se puede usar la siguiente tabla:

Casa 1 Casa 2

Casa 3

Casa 4

Casa 5

Nacionalidad Noruego Inglés

Color de casa

Amarila Azul Rojo Verde Blanca

Tabaco

Bebida Leche

Mascota

Y se comienza a rellenar con los datos directos: El noruego vive en la primera casa. El hombre que vive en la casa del centro toma leche. A partir de aquí, se rellenan otros datos:

Si el noruego vive junto a la casa azul (punto 14 de las instrucciones), esto quiere decir que la casa azul, será la Casa 2, puesto que es la única que se encuentra junto a la casa del noruego, que es la Casa 1.

Si tenemos en cuenta los puntos 4 y 5 (La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca; y El dueño de la casa verde toma café.), sabemos que: La casa 5, no puede ser la verde, puesto que no tiene ninguna casa a la derecha, por tanto no es la inmediata izquierda de ninguna otra; La Casa 1, tampoco puede ser, puesto que la que tiene a la dcha., no es blanca, sino azul (indicado en el anterior epígrafe), que al ser azul, tampoco es verde, por lo tanto no es la casa buscada; La casa 3 tampoco, porque aunque sí puede estar a la izda. de una casa blanca, su dueño no bebe café, bebe leche; De manera que la casa que queda será la verde, es decir, la casa número 4.

La casa blanca será la Casa número 5, porque es la inmediata a la derecha de la casa verde.

Como la casa roja pertenece al inglés (punto 1), sabemos que el noruego no vivirá en la casa roja, sino en una que no sea ni azul, ni verde, ni blanca, ni roja, es decir, la que queda, la amarilla. La Casa 3 será entonces roja y pertenecerá al inglés.

La situación queda del siguiente modo:

Casa 1 Casa 2

Casa 3

Casa 4

Casa 5

Nacionalidad Noruego Danés Inglés



Color de casa


Tabaco Dan Hill Blend Bleu Master

Bebida Agua Té Leche Café Cerveza

Mascota Caballos

Continuamos rellenando la tabla:

El dueño de la casa verde bebe café (punto 5)

El dueño de la casa amarilla fuma Dan Hill (punto 7)

El hombre con caballos vive junto al que fuma Dan Hill (punto 11), como quien fuma Dan Hill es el noruego (Casa 1), el único vecino de éste es el de la casa 2.

¿Quién beberá agua...?, el número 1, o sea el noruego. ¿Por qué? Porque tanto el 3 como el 4 beben leche o café respectivamente. Tampoco podría beber cerveza, porque para ello debe fumar Bleu Master, pero fuma Dan Hill. ¿Y té? Tampoco, debería ser danés, por tanto si no bebe ni té, ni leche, ni café ni cerveza, en número 1 beberá agua, es decir, lo que queda.

Ahora sí podemos decir quién fuma Blend, el número 2, que debe estar junto al que bebe agua (según el punto 10)

Como el que bebe cerveza, además fuma Bleu Master, no puede ser ni el primero porque bebe agua, ni el segundo porque fuma Blend, ni el tercero porque bebe leche, ni el cuarto porque bebe café; y por tanto será el quinto. Por cierto, el que se queda sin bebida, bebe lo que queda, el té, por lo que deducimos que es danés (punto 3).

Casa 1 Casa 2 Casa 3

Casa 4

Casa 5

Nacionalidad Noruego Danés Inglés Alemán Sueco

Color de casa


Tabaco Dan Hill Blend Pall Mall Prince Bleu Master


Mascota Gatos Caballos Pájaros Perro

Acabamos con las nacionalidades; como el alemán fuma Prince (punto 13) y el resto ya tienen asignados las nacionalidades, nos quedamos con que el alemán que fuma Prince es el número cuatro.

Rellenamos los huecos que quedan en las nacionalidades y el tabaco.

Y acabamos con las mascotas; el sueco tiene un perro (punto 2). El que fuma Pall Mall cría pájaros (punto 6)

Retomamos el punto 10, si el que fuma Blend tiene un vecino que tiene gatos, el noruego será el que tenga los gatos. Lo rellenamos y...



Casa 1 Casa 2

Casa 3

Casa 4 Casa 5

Nacionalidad Noruego Danés Inglés Alemán Sueco

Color de casa


Tabaco Dan Hill Blend Pall Mall Prince Bleu Master


Mascota Gatos Caballos Pájaros PESCADOS Perro

¿Quién se queda sin mascota? El dueño de la Casa 4, que es el que tiene como mascotas pescados. Es decir, EL ALEMÁN ES EL DUEÑO DE LOS PESCADOS.

Solución redactada por David Márquez González (1º B de Bachillerato de Ciencias Sociales).

SUBIENDO Y BAJANDO

Curiosamente, la velocidad media en todo el recorrido es de 3 km/h. Comprobémoslo...

Llamemos e a la longitud de la cuesta, t1 al tiempo que tarda en subir y t2 al tiempo que tarda en bajar (obviamente tarda más en subir pues va más lento).

Debemos tener en cuenta que: velocidad media = espacio / tiempo

En la subida: 2 km/h = e / t1. Despejando t1, resulta t1 = e/2

Por su parte en la bajada: 6 km/h = e / t2, por lo que tenemos que t2 = e/6

El espacio total recorrido es e + e = 2e.

Por otro lado, el tiempo empleado entre subir y bajar es t = t1 + t2 = e/2 + e/6 = 2e/3

Por tanto, la velocidad media en todo el recorrido será: v = 2e / t = 2e / (2e/3) = 3 km/h

¿EN QUÉ AÑO NACIÓ TU PROFE?

Primero: He de suponer que mi profe es una persona que ha nacido en el siglo XX, porque dudo que su edad sea mayor de 100 años (y en ese caso estaría jubilado/a) y menos que 2 meses y pico.

Por tanto, nació en el año 19no sé qué y la suma de las cifras del año de su nacimiento era de al menos 10, puesto que la dos primeras cifras del siglo son invariables y 1 + 9 = 10.

Segundo: Intuyo que su edad estará comprendida entre unos 50 ó 60 años y por lo menos los 22 ó 23 años, porque en caso contrario no hubiese tenido tiempo de sacarse la carrera y las oposiciones. Por lo tanto, con estos datos, podemos fijar la fecha de su nacimiento entre 1940 y 1979 (más o menos).

Tercero: Empezamos a calcular:



En la década de los 40 (entendiendo como tal la que va desde 1940 hasta 1949), no pudo nacer, porque la suma de las cifras de esos años, (que no puede ser superior a 23, puesto que 1 + 9 + 4 + 9 = 23) están significativamente por debajo de la edad que podría alcanzar en 1990 (mínima 41)

En la década de los 50 (1950-1959), tampoco, ya que ocurre lo mismo: la suma de las cifras de esos años (máxima de 1 + 9 + 5 + 9 = 24) es menor que la edad alcanzada en 1990 (mínima de 31).

Entramos en el resto de los años que antes habían sido fijados: El/la profesor/a nació entre 1960 y 1979.

Década de los 60: Calculamos la edad que tendría en uno de los años del intervalo para 1990 (por ejemplo en 1965: 1990 - 1965 = 25 años) y la suma de las cifras de 1965 (1 + 9 + 6 + 5 = 21). Lo colocamos en una tabla:

Año Edad en 1990

Suma de cifras del año

1960 30 16

1961 29 17

1962 28 18

1963 27 19

1964 26 20

1965 25 21

1966 24 22

1967 23 23

1968 22 24

1969 21 25

El resto de los años no los calculamos, en lugar de eso, con un poco de lógica lo rellenamos: Cuanto más pequeño sea el año, más será la edad; A menor año, menos valor de la suma de las cifras.

En 1967 la edad en 1990, y la suma de las cifras de 1967 coinciden, en ambos casos es de 23. He supuesto que aquí se ha acabado el problema, pero he comprobado con el mismo método la década de los 70, (con el fin de saber si hay dos soluciones) en la que no coinciden nunca los datos calculados. No lo he incluido, para no alargar la solución del problema.

Por tanto, la solución a la pregunta en qué año nació tu profe es: MI PROFE NACIÓ EN EL AÑO 1967.


PIENSA UN NÚMERO

Sólo dos de las tres respuestas de Anastasia son correctas. Se deduce que la falsa es la primera, pues si tanto el primer y el último dígito son 5, 7 ó 9, el único número menor de 500 y entre 99 y 999 sería el 99 y éste no es ni cuadrado ni cubo.

Así que partimos de la base de que buscamos un número entre 505 y 999, que ha de ser además cuadrado y cubo. Descartamos los números que no empiecen ni acaben en 5, 7 ó 9, así que el número pensado tendrá que estar



entre 505 y 599, ó entre 705 y 799 ó entre 905 y 999.

Emperzaremos elevando números al cuadrado y haciendo la raíz cúbica del resultado para encontrar la solución, pero sólo elevaremos al cuadrado números entre el 23 (pues antes los cuadrados son menores que 500) y el 31 (pues los cuadrados de los siguientes son mayores que 999).Además elevamos sólo los impares (ya que el cuadrado de un par también da par), y descartamos también los que acaban en 1 (pues el cuadrado de un número que acaba en 1 también termina en 1).

x y = Cuadrado de x Raíz cúbica de y Resultado

23 529 Decimal Incorrecto


27 729 9 ¡Correcto!


Ya hemos encontrado el número, el 729, que es el que cumple todos los requisitos:

● No está por debajo de 500 (Anastasia mintió a Belinda cuando dijo que sí le estaba)● Es un cuadrado● Es un cubo● Tanto el primer dígito como el último son 5, 7 ó 9.

Solución redactada por Verónica Tejedor Gómez (1º A del CFS de Administración y Finanzas).

TRES PERSONAS JUGANDO

Es conveniente comenzar a hacer la tabla por el final, es decir, partiendo de los datos que nos dan, que son las cantidades con las que terminan el juego.

Lla última partida la perdió C, y por ello tuvo que dar a A y a B las mismas cantidades que tenían. Así, simplemente dividiremos entre 2 la cantidad final de A y B y obtendremos lo que poseían al comenzar la 3ª partida. Para saber cuántos euros tenía C antes de perder sumaremos el dinero que tuvo que dar a A y B más la cantidad con la que acabó el juego.

A B C

Al inicio

Partida 1

Partida 2 60 = 120/2 40 = 80/2 160 = 60+40+60

Partida 3 120 80 60

Sabemos que en la segunda partida perdió B y por tanto les tuvo que dar a A y a C lo que tenían. Así, dividiremos entre 2 (la mitad) nuevamente la cantidad que tenían A y C en la 3ª partida y obtendremos la cantidad con la que jugaan al empezar la segunda. Para averiguar cuántos euros tenía B antes de perder, sumaremos, como antes, las cantidades que tuvo que desembolsar para A y C más el dinero con el que quedó después de haber pagado.



A B C

Al inicio

Partida 1 60/2 = 30 150 = 30+80+40 160/2 = 80

Partida 2 60 40 160

Partida 3 120 80 60

Como la primera partida la perdió A y por tanto les tuvo que dar a B y a C la misma cantidad de euros que ellos poseían, dividimos entre dos la cantidad que tenían B y C en la 2ª partida y obtendremos el dinero que tenían al principio estos dos jugadores. Para saber lo que tenía A al empezar, repetimos de nuevo el razonamiento, es decir, sumamos las cantidades iniciales de B y C más los euros con los que quedó A en la 2ª partida.

A B C

Al inicio 145 = 75+40+30 75 = 150/2 40 = 80/2

Partida 1 60 150 160

Partida 2 60 40 160

Partida 3 120 80 60

Y llegamos a la solución: A tenía 145 €, B poseía 75 € y C comenzó a jugar con 40 €.

Solución redactada por Laura Bautista Sancho (1º B de Bachillerato de Ciencias Sociales).

LA ENCUESTA

Según los datos obtenidos en la encuesta, hay un 56% de varones. Si el total debe ser 100%, habrá 44% de mujeres.

Los varones se dividen entre solteros y casados. Según datos, hay un 8% de casados, por lo que habrá 48% de solteros (total de varones menos los casados).

Los casados se subdividen entre barceloneses y de otros lugares.

Sabemos por datos que los varones casados de Barcelona son el 5%, por lo que los varones casados de otros lugares serán 3% (los varones casados menos los varones casados de Barcelona).

Los solteros igualmente se subdividen, de tal modo que los residentes en Barcelona serán 11% (los varones de Barcelona menos los varones casados de Barcelona).

Los solteros de otros lugares serán el total de solteros menos los solteros de Barcelona, es decir, 37%.

Por el momento parece que los datos son correctos.

Analizaremos ahora las mujeres.

Si sabemos por los datos que el 48% son personas casadas, y el 8% son varones casados, el 40% serán mujeres casadas. Si el total de mujeres es 44%, las mujeres solteras serán el total de mujeres menos las



mujeres casadas, es decir, 4%.

Contuinuamos: Si sabemos por los datos que el 10% son personas casadas de Barcelona y también que un 5% son varones, entonces otro 5% serán mujeres casadas de Barcelona. Y si sabemos que las mujeres casadas son 40% y un 5% de éstas son de Barcelona, el 35% serán mujeres casadas de otros lugares.

Las mujeres solteras de Barcelona son (viendo datos de encuesta y los anteriormente calculados) las personas de Barcelona menos los varones casados de Barcelona, menos los varones solteros de Barcelona y menos las mujeres casadas de Barcelona, resultando 16% (que supera el 4% que deberían ser las mujeres solteras, suma de las solteras de Barcelona y las de otros lugares).

Si efectuamos una última comprobación, vemos que las mujeres solteras de otros lugares serán las mujeres solteras menos las mujeres solteras de Barcelona, resultando -12%, lo cual es imposible. De ahí que el director de la revista se negase a pagar la encuesta.

Se puede ver más claramente representando los datos con unos diagramas de Venn:

La suma de 37+11+5+16+3+5+35, debería ser 100, sin embargo no es así; sale 112. Por tanto, la encuesta es falaz.

Solución redactada por Raquel Ibarra Sánchez (2º A de Bachillerato Tecnológico).

TRES MARINEROS Y UN MONO

Para la resolución de este problema, tenemos que seguir el proceso inverso al descrito en el enunciado, es decir, empezando por el número final de cocos con que se quedan en el último reparto.



Es evidente que para que el número total de cocos que recolectaron los marineros sea mínimo, la cantidad de cocos con que se queden cada uno de los marineros al final, en el último reparto (sin tener el cuenta en robo de los demás) también debe ser la mínima. Por ello, en primer lugar comenzaremos con la cantidad mínima de cocos con que se pueden quedar (he obviado que no pueden ser 0 cocos), que es de 1 coco.

● 1 COCO: Entre los tres marineros juntan 3 cocos si cada uno tiene 1. A eso, le sumamos el coco del mono y quedan 4 cocos. Esos 4 cocos han procedido de dos montones de 2 cocos que dejó el tercer marinero al dividir el número de cocos entre tres y quedarse con un montón. Si a esos 4 cocos les sumamos los dos robados por el tercer marinero tenemos 6, más el del mono, 7. Esos siete cocos han procedido de dos montones de igual número de cocos. 7 no es divisible entre dos, por tanto aquí se corta este desarrollo, no podemos continuar, probaremos con dos cocos...

● 2 COCOS: Entre los tres marineros, hacen 6 cocos al juntarlos todos, si cada uno tiene 2. Le sumamos el del mono y obtenemos 7, indivisible entre dos. Estamos en el mismo caso de antes. De aquí, y a modo experimental deduzco que en el momento en que el número total de cocos salga impar, la serie ya carece de sentido puesto que no es divisible entre dos, y eso sólo ocurre cuando cada marinero tiene un número par de cocos, puesto que al sumarle el del mono, surge un resultado impar en la suma.

● 3 COCOS: Entre los tres marineros, suman una cantidad de 9 cocos al tener cada uno tres. A esto le sumamos el del mono y obtenemos 10 cocos, que proceden de dos montones de 5. A esos 10, les sumamos los 5 cocos del otro marinero y el coco del mono y obtenemos 5+5+5+1 = 16. Esos 16 cocos han procedido de dos montones de 8. Puesto que el número de cocos que tiene cada marinero en este momento es par, y según la explicación antes dada, es inviable continuar con la serie.

● 4 COCOS: El número de cocos que tiene cada marinero es par, es inviable continuar con la serie.

● 5 COCOS: La suma de los tres montones de cocos más el del coco del mono es de 16. Este resultado aparece ya en la serie de tres cocos, por tanto, sabemos ya que tampoco vamos e encontrar la solución.

● 6 COCOS: El número de cocos que tiene cada marinero es par, es inviable continuar con la serie.

● 7 COCOS: Si sumamos el número de cocos de cada marinero más el del mono, obtenemos 7+7+7+1 = 22, que proceden de dos montones de 11 cocos. Si a 22 que es el número de cocos del montón le sumamos los 11 robados por el marinero tenemos 33, más el del mono, 34 cocos. Estos 34 han surgido de dos montones de 17. Si a los 34 cocos del montón le sumamos los 17 robados por el otro marinero obtenemos 51 cocos, más el del mono 52 cocos. Éstos, a su vez proceden de dos montones de 26. 52 cocos del montón más los 26 robados por el otro marinero son 78 cocos, más el del mono son 79 cocos... Podemos ver la situación de un modo, no sé si más sencillo o más complicado, mediante el siguiente organigrama:

Podemos asegurar después de tan larga explicación que, el número mínimo de cocos que han de recolectar los marineros es de 79 porque es del único modo por el cual se puede explicar el reparto.



IES Luis Buñuel (Móstoles)€¦ · planteará el Departamento de Matemáticas a lo largo del...

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