Žiemos matematikos turnyro I-ojo etapo sprendimai

8 klasei

1. Du staliai gamina kėdes: pirmasis pagamina kėdę per 30 min, o antrasis per 45 min.

Darbo pradžia 900. Kada pirmą kartą tuo pačiu metu jie baigs pagaminti kėdę?

A) 930 val.; B) 12 val.; C) 1030 val.; D) 1130 val.; E) tokio atsakymo nėra

Sprendimas:

Norint sužinoti, kada jie kartu baigs pagaminti kėdę, reikia sužinoti MBK(45, 30)

𝑀𝐵𝐾(45, 30) = 5 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 2 = 90

Nes 45 = 5 ∙ 3 ∙ 3, o 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5.

Po 90 minučių (130 val), jie vėl pradės kartu darbą.

900 + 130 = 1030

Atsakymas: C.

2. Jokie du klasės berniukai nėra gimę tą pačią savaitės dieną, o jokios dvi tos klasės

mergaitės nėra gimusios tą patį mėnesį. Jei į klasę ateitų bent viena nauja mokinė ar bent

vienas naujas mokinys, tai kuri nors iš šių sąlygų nebebūtų išpildyta. Kiek vaikų yra

klasėje?

A) 18; B) 19; C) 20; D) 24; E) 25

Sprendimas:

Aišku, kad daugiausiai berniukų, kurių jokie du nėra gimę tą pačią savaitės dieną, yra 7

(nes tiek dienų yra savaitėje), o daugiausiai mergaičių, kurių jokios dvi nėra gimusios tą

patį mėnesį, yra 12 (nes tiek metuose yra mėnesių). Taigi klasėje yra ne daugiau negu 7

+ 12 = 19 mokinių. Kita vertus, tarkime, kad klasėje yra lygiai 7 berniukai ir visi jie

gimę skirtingomis savaitės dienomis. Be to, sakykime, kad šioje klasėje yra lygiai 12

mergaičių ir visos jos gimusios skirtingais metų mėnesiais. Tuomet tokia mokinių klasė

tenkina uždavinio sąlygą. Jei klasėje, kuri tenkina uždavinio sąlygą, būtų ne daugiau nei

18 mokinių, tada arba berniukų būtų ne daugiau nei 6, arba mergaičių – ne daugiau nei

11. Bet kuriuo atveju į klasę galėtume atvesti dar vieną mokinį. Taigi teisingas

atsakymas yra B.

Atsakymas: B.

3. Kokiu skaitmeniu baigiasi reiškinio 2920 −1 reikšmė?

A) 8; B) 0; C) 9; D) 1; E) 4

Sprendimas:

291 baigiasi 9, o 291-1 baigiasi 8,

292 baigiasi 1 (nes 9∙9=81), o 292-1 baigiasi 0,

293 baigiasi 9 (nes 1∙9=9), o 293-1 baigiasi 8,

294 baigiasi 1 (nes 9∙9=81), o 294-1 baigiasi 0 ir t.t

Darome išvadą, jei laipsnio rodiklis - lyginis skaičius, tai reiškinys baigiasi 0, o jei -

nelyginis, tai - 8.

Atsakymas: B.

4. Spintos pradinė kaina buvo 250 eurų. Po mėnesio ji atpigo 22%, o dar po mėnesio -

24%.Kiek kainuoja dabar spinta?

Sprendimas:

Po mėnesio spintos kaina bus: 250 − 250 ∙ 0,22 = 195 (𝑒𝑢𝑟𝑎𝑖)

Dabar spinta kainuoja:

195 − 195 ∙ 0,24 = 148,2 (𝑒𝑢𝑟𝑎𝑖)

Atsakymas: 148,2 eurai.

5. Trikampio perimetras 80 cm. Pirmosios kraštinės ilgis lygus 25℅ perimetro, o antroji

kraštinė 30% trumpesnė už pirmąją. Raskite trečiosios kraštinės ilgį.

Sprendimas:

Pirma trikampio kraštinė:

80 ∙ 0,25 = 20 (𝑐𝑚)

Antroji trikampio kraštinė:

20 − 20 ∙ 0,3 = 14 (𝑐𝑚)

Trečioji kraštinė:

80 − 20 − 14 = 46(𝑐𝑚)

Atsakymas: 46 cm.

6. Mama padėjo ant stalo obuolius ir pasakė savo trims sūnums, kad jie grįžę iš mokyklos,

pasidalytų juos po lygiai. Pirmas grįžo Romas. Pasiėmė 1

2 obuolių ir išėjo, o paskui

parėjo Jonas , pasiėmė ketvirtadalį likusių obuolių ir išėjo. Vėliau parėjo Petras ir taip

pat pasiėmė ketvirtadalį likusių ant stalo obuolių. Kiek obuolių paliko mama, jeigu

Petras pasiėmė 3 obuolius?

Sprendimas:

Tarkime, kad mama ant stalo padėjo x obuolių. Romas pasiėmė 1

2𝑥 obuolių, o Jonas

(𝑥 −1

2𝑥)∙

1

4=

1

8𝑥. Vėliau parėjo Petras ir pasiėmė ketvirtadalį ant stalo likusių obuolių

tai yra:

(𝑥 −1

2𝑥 −

1

8𝑥)∙

1

4= 3,

3

32𝑥 = 3,

x= 32.

Atsakymas: 32 obuolius.

7. Vaza yra stačiosios prizmės formos. Jos pagrindas – statusis trikampis, kurio statinių

ilgiai 15 cm ir 20 cm. Vazos aukštis yra 0,5 m. Kiek litrų

vandens yra šioje vazoje, jeigu jis užima 60% vazos aukščio?

Sprendimas:

ℎ = 5 ∙ 0,6 = 3 (𝑑𝑚)

𝑉 =1

2∙ 1,5 ∙ 2 ∙ 3 = 4,5 (𝑑𝑚3) = 4,5( 𝑙)

Atsakymas: 4,5 l.

8. Išspręskite lygtį (𝑥 − 10)2 + (𝑥2 − 6) − (𝑥 + 4)2 − (𝑥 + 6)2 = 2

Sprendimas:

(𝑥 − 10)2 + (𝑥2 − 6) − (𝑥 + 4)2 − (𝑥 + 6)2 = 2

𝑥2 − 20𝑥 + 100 + 𝑥2 − 6 − (𝑥2 + 8𝑥 + 16) − (𝑥2 + 12𝑥 + 36) = 2

𝑥2 − 20𝑥 + 100 + 𝑥2 − 6 − 𝑥2 − 8𝑥 − 16 − 𝑥2 − 12𝑥 − 36 = 2

-40𝑥 = −40

𝑥 = 1

Atsakymas: x=1.

9. Spindulys statųjį kampą dalija į du kampus, kurių didumų laipsniais santykis yra 1 : 2.

Apskaičiuok susidariusių kampų didumus.

Sprendimas:

Nubrėžti statų kampą ACB ir išvesti spindulį CE

∠𝐴𝐶𝐸 = 𝑥

∠𝐸𝐶𝐵 = 2𝑥

∠𝐴𝐶𝐸 + ∠𝐸𝐶𝐵 = 90°

𝑥 + 2𝑥 = 90°

𝑥 = 30°

∠𝐴𝐶𝐸 = 30°

∠𝐸𝐶𝐵 = 60°

Atsakymas: ∠𝐴𝐶𝐸 = 30° ir ∠𝐸𝐶𝐵 = 60°.

10. Apskaičiuokite:

69 ∙ 210 + 1210

219 ∙ 273 + 15 ∙ 49 ∙ 94

Sprendimas:

(2∙3)9∙210+(3∙22)10

219∙(33)3+3∙5∙(22)9∙(32)4 =

39∙29∙210+310∙220

219∙39+3∙5∙218∙38=

218∙39∙(2+12)

218∙39∙(2+5) =

14

7 = 2

Atsakymas: 2.