作ること 売ること - GCD · 作ることと売ることはまったく異なる 2006/11/25 • 売ることを軽視している例 –いいアイディアがあれば技術だけでなんとかなる
i.e.fxnks.t③ tn fpc) = は7 となる もしヨy E H st.fm = は〉 = G. 57 とすると...
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第 14 回 の
6. リースの 表現定理 と 1トン バナッハ の 定理
即 に 定義 した よう に.
named sp X から K - R or G へ の
hddlinearop を 有界 線形汎関数 (hddl.io functional)
いい、 その 主体 を Xた 土 (X .
k) と表し 、共役空間 という
K - Port は 完備 なので 水 も 完備 である。
また 、
この 元 を 普通 f EXを表す
i.e.fxnks.t.fmtpg ) - afnpfy) (hptk.by的
・ IHI < N.
メ が 1tilhertsp.lt/nE.HEH2 なる。
_
従って、
1が、 、LTD
.12
などの dudsp は それ自身と なる、
それが次の 定理 である.
che Riesが representton theorem
五、 6.1 (リス の表現定理)に H : Hilbertgo.ltf EH
* ヨ !y EH st.fm = く つは 〉 (秈)
しかも、
118 1 1 = 1は 11 を みたす「 これ により
HEH である
②𦥯f 三 0 なら ば 0 と さ れば よい
、 以下拝 0 とする.
N = KEH ifx ) = 0 1と おく と
、これは 閉部分空間 となる
NEN ,de k なら なか いた) = 0 より の( EN
x.でい た5 f txtで) =杉 +杉 =0 より ついでEN.MNは 部分 空間 、( きた惣荘ななな 製熱に 0
射影 定理 より H ・一 人は N
」と 分解 できる
.
f # 0 より NH t なので、 なに人は st.to#O さ に は、
この とき f No) =1 0 である。
な、 =,拗一
陣 は。 とおけば な EN2で、
これが求める
もの で ある、
実際、
片( EH に対して、
fy。) に 一 がいる。 EN fは。)
より0 -
一例がかかる > = fmam.fm!遊= fは)には7.fm )
.
③tn fpc) = は 7 と なる
。
もし ヨ y'
E H st.fm = は〉 = G . 57 と する と、
くつい ます'
7=0 た EH
なので たま- y'
と すれば 1は別に O いる = y '
M では一意 である。
また、側に 1 に対して
、
Schwartz の 不等式 より
lh, 1 = 1 は> 1 E側は1 1 = 1は11.
i . 仰る例
画に つく。 二 間 と する と
fH。) こ くで は 7 - 1は 1 1
となる の で
は 1 1 - 拓 々 劉㭭 = 例 の 例 : HH.
以上 より 11811=11411x
一般の Band sp X において 仲 を 定める の は
簡単 で は ない が 次の 例 は よく 知られ ている
④例
、
6. 1
TE p < e . HP の 共役指数 ieが 主 = 1 (ただし には5 9 = o )
II) rc 1が 、 Open に対して (LTD)たでん)に) (lグ = 1 9
例 6.2
ーピー { an El'
i -molておく と.li は0 の 閉 部分 空間 で 1 1% ノルム で
Band sp となり しかも は )ただ
三大 基本定理 の 最後の 1つ を 述べる。
これは 線形汎関数の拡張可能性 を述べ て いる
五、 6.2 (ハーン、 バナッハ の 定理 )「 Hahn- Bands theorem
X : 実線形 空間 、 阪) を X 上 で定義された 実数値汎 関数でi) p Pity) EPM tpは) は y EX)
(ii) p (か) = 入pk) (11 70 .x EX )
を みたす と する。
⑤f さ X の 線形部分 空間 L 上 で定義 された 実数値線形汎関数で
た) t.PH) は EL)
を みたす と する。
この とき、X全体で定義 された 実数値 線形汎関数 F でFM = fa ) は EL)
FM E p に は EX)
を みたす もの が存在する
曜に X な 5 明らかな ので
.
L キメ と する と EXILE に とり、
ム、_ は 十七% i なEL.ttRl
と おく と 、これは 実部分 空間 である
。また
、山 の 元 では
つい て 十 七 %
と 一意的 に表される 。実際
、
つに いた。 二 弘 七% は 、 y'EL.tt/ER)
と する と、
(ただ ) が こまは EL
なので ' t # t ' z する と No = t EL より 矛盾
よ、て た t' で あり なば と なる
⑥ft L 、 上 に 拡張する など に対して
、
FM = Fは十 七 M ) = = fly ) ttcと 定める
、
ここで C は 任意に 固定 さ れた定数である、
以下、
次 の 手順で 示す 、
い) F は 山上 の 線形 汎関数
い) 適当 な C さ こ れば FM EPM (KEL)
i) Zorn の 補題 を 用いて、fが X全体 に Fnp
を みたす よう に拡張 できる
(I) について 、
-
た = は、t た が EL, MEL , た ER)
、
di ER に対して、
Fkat れた ) = F (には、 t のは2) +1のけけ れた)%)
f 。 線形性 (= fにす なん) + C は 、t.toた)
t= の Hmtct ) t た (fmtcた)- di FIN ) t の FPD
.
⑦に) について-_-
まずる . Y'EL に対して
、
な) +1ば) -8はなり EPはなり= pは十から一%) EP は 十か 」 pは知
なので
fば ) - pは一%) と p は 十%) - fは).
R : こ
、蠁 (1の 一門が、 pigf (かみかな)
とおけ ば ftp. なので p 、EC epz と なる とを とれば
H) t CEP は十 %)、 fy) - CE pは一%) は 、 ると2)
これより 、-170 ならば
FPC) = Fは十 七%) = fy)ttc.tt) +4Et P ( ft % ) = P は t た。) = M)
.toなら ば
FM = F は十 七%) = fy ) + t C= せ ) ffff ) - c 1E -tpttx。) = p は 十 十%) = PM
.
⑧た 。 お つに は な ので
FPC) = Fly ) - fy ) Epは ) = PM .
以上 より Fm epm Nth )
(III) について
-8は tg.hr Ri 線形汎関数LC Lg かつ GM -扣 はEL)
gMEM) に E Lg )
と定義する か. が より 五井 中 で ある
。
王 に 伴 ) 順序 を 導入 する 8,1とき に対に
f E g' t Lgc Lg かっ 物 は仇) は E Lg )
と おけ ば 順序 と なる 王 の 任意の 全順序 部分 例 を とる、
Lily と 表 1. Lo = Uh と する t.to は部分空間 である
入
L 。 上 の 線形汎関数 G を 定め たい。任意 の IGG を とると
か s.t.IE厶 となる、この 入を用いて
、
g 。 H) = GM (RE ム )
と 定める、
これは 入 の とり方 に依らない。
実際、aHi なる か に対 に 例 は 全 順序集合 だから
なり、 又は たく た
⑨ht た とする と 厶 CH が 8作に𦀌 、
9.は 教 の 場合 も 同様。
よって 私か の 値は 入 の とり方に依らない、
また、 fo は 線形汎関数である
。
実際 にい つに EL。 な5ば、fh が全順序 より 引け
、かつに EH
h. た、 つい た 2 つに EL ,ヽ KER) であり、
g は、つい た2 つに) = 91たがあった)
= たん仏 ) th 9作) = kg。仏) thf。佑)
片( EL。 に対 に 引 st.atム なので
gk) = f、 H) EPM HELD .
よ、て 8。 は GM EP 的 には) を みたす 、
したがって GEI.
明らか に ある G なので fo は 例 の 上限で ある。
また 集合五 は Zorn の 補題 の 仮定さみた して いる ので、
王 に極大元 Fが存在する、
この 汎 関数F は x 全体で定義されている、
実際、もし そうで なければ
、証明 の 前半 と 同様に F は さらに
王 の 中で拡張できて しまい、 これは下の極大性に反する。
以上 より 定理が 示された . 4