I:Documents and SettingsdbaschDesktopMISRpredavanja 1 ... · P Teorija redova je analiti ka metoda...
Transcript of I:Documents and SettingsdbaschDesktopMISRpredavanja 1 ... · P Teorija redova je analiti ka metoda...
1
Teorija redova
Ovi materijali namijenjeni su isključivo za osobnu upotrebustudentima kolegija "Modeliranje i simuliranje računalima"
poslijediplomskog studija na FER-ui u druge svrhe se ne smiju koristiti
© Danko Basch, FER, 2003.
2
Literatura
PRaj Jain: "The Art of Computer Performance Analysis -Techniques for Experimental Design, Measurement, Simulationand Modeling", John Wiley & Sons, 1991.
PAverill Law, David Kelton: "Simulation Modeling and Analysis",McGraw-Hill, 2000, 3. izdanje.
PVlatko Čerić: "Simulacijsko modeliranje", Školska knjiga, 1993.
3
Uvod
PKod aktivnosti u modelima učestvuje više entiteta< Najčešće su to dinamički entiteti koji zahtijevaju usluživanje od strane
statičkog entiteta< Dinamički privremeni entiteti obično predstavljaju zahtjeve za resursom
(potrošač, mušterija - customer, job)< Statički stalni entitet obično predstavlja resurs (poslužitelj, servis - server)< Općenito, poslužitelj u svakom trenutku uslužuje samo jednog potrošača
PTeorija redova (ili teorija čekanja i posluživanja) - queuing theory
odlascidolasci
potrošač
poslužiteljred
sustav
4
Uvod
PTeorija redova omogućuje određivanje različitih veličina u sustavu:< srednje vrijeme čekanja, posluživanja, odziva< srednji broj potrošača u redu, u posluživanju, u sustavu< varijance navedenih veličina i njihove razdiobe< propusnost sustava, iskoristivost poslužitelja, potrebne dimenzije sustava ...
PČeste mjere performansi su (sve su slučajne varijable):< vrijeme čekanja mušterije< broj mušterija u redu čekanja< iskoristivost poslužitelja
5
Uvod
PTeorija redova je analitička metoda koja daje općenita i egzaktnarješenja modela
PTeorija redova razvijena je samo za određene vrste sustava sredovima usluživanja
PVrste sustava koji se ne mogu analizirati teorijom redova, vrlo seuspješno mogu rješavati simulacijskim metodama
PTeorija redova može se koristiti u validaciji (dijelova) modela ipojednostavljenjima modela
6
Kendallova notacija
PProces dolazaka (arrival process). Potrošači dolaze u vremenimat1, t2, t3, ..., a slučajne varijable Jj = tj - tj-1 su vremenameđudolazaka (interarrival times)
PRazdioba vremena posluživanja (service time distribution).Vrijeme potrebno da poslužitelj usluži potrošača.
PBroj poslužitelja (number of servers). Broj istovrsnihposlužitelja.
Za analizu sustava primjenom teorije redova treba poznavatiodređene karakteristike sustava. To su sljedećih šest parametara:
þ
7
Kendallova notacija
PKapacitet sustava (system capacity). Najveći broj potrošača kojiistovremeno mogu biti u sustavu. Može biti beskonačan.
PBroj potrošača (population size). Ukupan broj potrošača kojimogu pokušati ući u sustav. Može biti beskonačan.
PDisciplina usluživanja ili način usluživanja (service discipline).Redoslijed usluživanja potrošača koji čekaju.
³
8
Kendallova notacija
PZa definiranje sustava potrebno je zadati navedenih šest parametara.Za to se koristi skraćena notacija nazvana Kendallova notacija:
A / S / m / B / K / SD
Parametri A i S zadaju sesimbolima za pojedinevrste razdioba:
PM - eksponencijalna
PEk - erlangova
PD - deterministička
PG - opća ...
procesdolazaka
razdiobaposluživanja
brojposlužitelja
9
Kendallova notacija
A / S / m / B / K / SD
Parametar SD zadaje sekraticama za pojedine vrsteusluživanja:
PFIFO ili FCFS
PLIFO ili LCFS
PPRI ili LCFS-PR
PRR, PS, IS ...
kapacitetsustava
brojpotrošača
načinposluživanja
10
Kendallova notacija - primjer
Primjer:
M[x] / M / 3 / 20 / 1500 / FCFS označava sustav s jednim redomsa sljedećim karakteristikama:
$ eksponencijalnom razdiobom dolazaka grupa potrošača, gdjeje x veličina grupe koja se mora posebno zadati (najčešće je toslučajna varijabla)
$ eksponencijalnim vremenom posluživanja$ 3 poslužitelja$ 20 mjesta u sustavu (3 u poslužiteljima i 17 u redu)$ 1500 potrošača mogu ući u sustav$ običan red čekanja
11
Kendallova notacija - primjer
Primjer:
M / G / 1 / 4 / 4 / FCFS označava sustav s jednim redom sasljedećim karakteristikama:
$ eksponencijalnom razdiobom dolazaka$ vremenom posluživanja s općom razdiobom$ 1 poslužitelj$ kapacitet sustava (broj mjesta) nije ograničen$ broj potrošača nije ograničen$ običan red čekanja
U slučaju kad su zadnja tri parametra 4 / 4 / FCFS, pišu se samoprva tri parametra:
M / G / 1
12
Varijable
Varijable koje se koriste u analizi (po Jain-u):
J - Vrijeme između dolazaka (interarrival time).
8 - Srednji intenzitet dolazaka (mean arrival rate). 8 = 1 / EJ
µ - Srednji intenzitet usluživanja (mean service rate). µ = 1 / Es
w - Vrijeme čekanja na usluživanje (waiting time).
s - Vrijeme usluživanja (service time).
r - Vrijeme odziva ili vrijeme provedeno u sustavu (response time).Uključuje vrijeme čekanja i vrijeme posluživanja: r = w + s.
n - Broj potrošača u sustavu (queue length !?). Uključuje potrošače koji čekaju u redu i one koji su posluživani: n = nq + ns.
13
Varijable
vrijeme
prethodnidolazak
dolazak početakposluživanja
krajposluživanja
J w s
r
nq ns
n
broj potrošača
14
Varijable
Oznake za varijable koje su uobičajenije:
J - Vrijeme između dolazaka
8 - Srednji intenzitet dolazaka
µ - Srednji intenzitet usluživanja
Wq - Vrijeme čekanja na usluživanje (w)
Ws - Vrijeme usluživanja (s)
W - Vrijeme odziva ili vrijeme provedeno u sustavu (r)
L - Broj potrošača u sustavu (n)
Lq - Broj potrošača u redu čekanja (nq)
Ls - Broj potrošača u posluživanju (ns)
15
Opća pravila
Formule koje vrijede za sve vrste redova (sustavi s kapacitetom !?):
# Uvjet stabilnosti. Sustav je nestabilan ako broj potrošača stalnoraste prema beskonačnosti. Da bi sustav bio stabilan mora biti:
8 < mµ
# Broj potrošača u sustavu u odnosu na broj potrošača u redu i brojpotrošača koji su posluživani:
n = nq + ns
# Za očekivanja vrijedi:E(n) = E(nq) + E(ns)
# Ako brzina posluživanja ne ovisi o broju potrošača u redu, zavarijance vrijedi:
D(n) = D(nq) + D(ns)
16
Opća pravila
# Vrijeme odziva u odnosu na vrijeme čekanja i vrijeme posluživanja: r = w + s
# Za očekivanja vrijedi:E(r) = E(w) + E(s)
# Ako brzina posluživanja ne ovisi o broju potrošača u redu, zavarijance vrijedi:
D(r) = D(w) + D(s)
# Broj potrošača u odnosu na vrijeme odziva (Littleov zakon):
srednji broj potrošača = intenzitet dolazaka * srednje vrijeme odziva
17
Littleov zakon
# Ako ima gubitaka, uzimaju se samo oni potrošači koji se ne gube injihova vremena dolazaka, čime se dobiva tzv. efektivni intenzitetdolazaka.
# Littleov zakon vrijedi za bilo koji sustav ili dio sustava. Npr. primjenjenna dio sustava u kojem je red za čekanje:
srednji broj u redu = intenzitet dolazaka * srednje vrijeme čekanja u redu
Primjenjen na dio za usluživanje:
srednji broj posluživanih = intenzitet dolazaka * srednje vrijeme usluživanja
# Temelji se na "black-box" pogledu nasustav. Vrijedi za sustave u kojimanema gubitaka potrošača (npr. zbogograničenog kapaciteta sustava).
dolasci odlasciblack-box
18
Littleov zakon
1 2 3
t
broj posla1
2
3
t
Tijekom vremena T u sustav ulazi N potrošača (poslova).
1
2
3
t
Intenzitet dolazaka = ukupan broj dolazaka / ukupno vrijeme = N / T
Srednje vrijeme u sustavu = P / ukupan broj dolazaka (3. slika)= P / N
Srednji broj potrošača u sustavu = P / ukupno vrijeme (2. slika) = P / T
Srednji broj potrošača u sustavu = P/T = P/N * N/T
Srednji broj potrošača u sustavu = srednje vrijeme u sustavu * intenzitet dolazaka
19
Littleov zakon - primjer
Primjer:
Diskovni poslužitelj prima prosječno 100 zahtjeva u sekundi(tj. jedan zahtjev svake 0,01 s).
Prosječno vrijeme odziva poslužitelja je 100 milisekundi (tj. 0,1 s).
Koliko je prosječno zahtjeva u poslužitelju?
prosječni broj zahtjeva u poslužitelju = intenzitet dolazaka* vrijeme odziva
= 100 zahtjeva/s* 0,1 s
= 10 zahtjeva
20
Stohastički procesi
# Stohastički proces je funkcija čije vrijednosti su slučajnevarijable.
Primjeri:
n(t) je broj potrošača u sustavu u trenutku t.
w(t) je vrijeme čekanja u redu u trenutku t
21
Vrste stohastičkih procesa
# Prema vrijednostima koje može poprimati:$ Stohastički procesi s diskretnim stanjima (stohastički lanac)$ Stohastički procesi s kontinuiranim stanjima
Npr. n(t) - broj potrošača u sustavu i w(t) - čekanje potrošača
# Markovljevi procesi su oni čije buduće stanje ovisi samo otrenutačnom stanju, a ne o prethodnim stanjima. Diskretnimarkovljev proces naziva se Markovljev lanac. Ograničenje naeksponencijalne razdiobe.
1
2
3
4
dijagram prelazaka (state transition diagram)
22
Vrste stohastičkih procesa
# Poissonov proces je onaj u kojem vremena između dolazakaimaju eksponencijalnu razdiobu.
Drugi naziv je Poissonov tok (stream).
1 2 3 4 5
# Proces rađanja i umiranja (birth-death process) je Markovljevlanac kod kojeg je prijelaz moguć samo u susjedna stanja(tj. prethodno i sljedeće stanje).
23
Svojstva Poissonovih procesa
# Spajanje više Posssonovih tokova intenziteta 8i u jedan tok dajuopet Possonov tok intenziteta 8.
Ukupni intenzitet 8 jednak je zbroju pojedinačnih 8i: 8 = G 8i
81
82
83
8 = G 8i
24
Svojstva Poissonovih procesa
# Razdvajanje Possonovog toka intenziteta 8 na više tokova dajeopet Posssonove tokove intenziteta 8i.
Ako je vjerojatnost odlaska u tok i jednaka pi, onda je 8i = 8 pi.
8 G pi = 1
p1
p2
p3
8 p1
8 p2
8 p3
25
Svojstva Poissonovih procesa
# Ako je dolazak potrošača Poissonov tok s intenzitetom 8, a sustavima jednog poslužitelja s eksponencijalnim vremenomposluživanja µ, tada su odlasci iz sustava također Poissonovproces.
Intenzitet odlaznog Poissonovog procesa je također 8(uz uvjet da je 8<µ).
8
8<µ
µ 8
26
Svojstva Poissonovih procesa
# Ako je dolazak potrošača Poissonov tok s intenzitetom 8, asustav ima m poslužitelja s eksponencijalnim vremenimaposluživanja µi, tada su odlasci iz sustava također Poissonovproces.
Intenzitet odlaznog Poissonovog procesa je također 8(uz uvjet da je 8 < G µi).
8
8 < G µi
µ1
8µ2
µ3
27
Sustavi s jednim redom
PNajjednostavniji sustavi s redovima su oni s jednim redom.
PMogu se upotrebljavati za analizu pojedinačnih resursa< Primjer: čekanje procesa na CPU< Primjer: čekanje mušterije na šalteru
PObično se mogu modelirati kao proces rađanja i umiranja< Stanje sustava predstavlja broj potrošača u sustavu. Broj potrošača
označen je sa n.< Dolazak novog potrošača prebacuje sustav iz trenutačnog stanja n u novo
stanje n+1< Završetak posluživanja (tj. odlazak) potrošača prebacuje sustav iz
trenutačnog stanja n u novo stanje n-1
28
Sustavi s jednim redom
0 1 j-1 j j+1. . . . . .80
µ1
81
µ2
8j-2
µj-1
8j-1
µj
8j+1
µj+2
8j
µj+1
# Opći proces rađanja i umiranja:
# Stanje n znači da je u sustavu n potrošača
# 8n je intenzitet dolazaka u stanju n
# µn je intenzitet posluživanja (tj. odlazaka) u stanju n
# Vremena između dolazaka i odlazaka imaju eksponencijalnurazdiobu
29
Sustavi s jednim redom
# Ravnotežna vjerojatnost pn (steady-state probability) da procesbude u stanju n jeste:
# Formula vrijedi uz pretpostavku da se unutar istog trenutkamože dogoditi samo jedan prelazak iz jednog stanja u drugo
# Stanje 0 označava početno ili nulto-stanje čija se vjerojatnostp0 može izračunati po formuli:
pn =80 81 ... 8n-1
µ1 µ2 ... µnp0 n = 1, 2, ..., 4
p0 = 1 + G n=1 A j=0 (8j / µj+1)
14 n-1
# Iz ove dvije formule izvode se različite mjere performansi zasustave s redovima.
30
M / M / 1 sustavi
# Najjednostavnija i često korištena vrsta sustava s redom
# Nema ograničenja na kapacitet sustava niti na populaciju potrošača,a disciplina posluživanja je FCFS
# Srednji intenzitet dolazaka je 8, a posluživanja je µ i to vrijedi zasva stanja
# Intenzitet prometa (traffic intensity) D definira se kao:
D = 8 / µ
31
M / M / 1 sustavi
# Dijagram za M / M / 1 sustav:
0 1 j-1 j j+1. . . . . .8
µ
8
µ
8
µ
8
µ
8
µ
8
µ
# Prema formulama za vjerojatnosti slijedi:
$ Vjerojatnost za n potrošača u sustavu: pn = (8/µ)n p0 n = 1, 2, 3, ...
$ Vjerojatnost početnog stanja:p0 = 1 / (1+D+D2+...+D4) = 1-D
$ Vjerojatnost pn može se pisati kao:pn = Dn p0 = (1-D) Dn n = 0, 1, 2, ...
pn ima geometrijsku razdiobu.
32
M / M / 1 sustavi
Mjere performansi
# Iskoristivost poslužitelja U (utilization) je vjerojatnost da je usustavu barem jedan potrošač:
U = 1 - p0 = D
# Vjerojatnost da je u sustavu n ili više potrošača:
P($n potrošača) = G pj = G (1-D)Dj = Dn4
j=n
4
j=n
33
M / M / 1 sustavi
Mjere performansi ! sustav, potrošači
# Prosječan broj potrošača (tj. očekivanje od n):
E(n) = G n pn = G n(1-D)Dn = D/(1-D)4
n=1
4
n=1
# Disperzija broja potrošača n:
D(n) = E(n2) - (E(n))2 = G n2(1-D)Dn - (E(n))2 = D/(1-D)24
n=1
34
M / M / 1 sustavi
Mjere performansi ! sustav, vrijeme
# Prosječno vrijeme odziva r računa se iz Littleovog zakona:
E(n) = 8 E(r) Y E(r) = E(n) / 8 = =D
(1-D) 81
(1-D) µ
# Disperzija vremena odziva r je:
D(r) = 1
(1-D)2 µ2
35
M / M / 1 sustavi
Mjere performansi ! sustav, vrijeme
# Razdioba vremena odziva, tj. funkcija razdiobe jeeksponencijalna funkcija:
Fr(x) = 1 - e-x/E(r) = 1 - e-x (1-D) µ
# q-percentil vremena odziva je:
E(r) ln (100 / (100-q) )
36
M / M / 1 sustavi
Mjere performansi ! red, potrošači
# Disperzija broja potrošača u redu nq je:
D(nq) = (1+D-D2) D2
(1-D)2
# Prosječan broj potrošača u redu nq je:
E(nq) = G (n-1) pn = G (n-1)(1-D)Dn = 4
n=1
4
n=1
D2
(1-D)
37
M / M / 1 sustavi
Mjere performansi ! red, vrijeme
# Prosječno vrijeme čekanja w računa se iz Littleovog zakona:
E(nq) = 8 E(w) Y E(w) = E(nq) / 8 = (E(n)-E(ns)) / 8 =
= (E(n)-U) / 8 = D
(1-D) µ
# Disperzija vremena čekanja w je:
D(w) = (2-D) D
(1-D)2 µ2
38
M / M / 1 sustavi
Mjere performansi ! red, vrijeme
# Razdioba vremena čekanja je:
Fw(x) = 1 - D e-x µ (1-D)
# q-percentil vremena čekanja je:
max [ 0 , ln (100 D / (100-q) ) ]E(w)D
39
M / M / 1 sustavi
Mjere performansi ! poslužitelj, potrošači
# Disperzija broja potrošača u posluživanju ns je:
D(ns) = D(1+D)
# Prosječan broj potrošača u posluživanju ns je:
E(ns) = D
40
M / M / 1 sustavi
Mjere performansi ! poslužitelj, vrijeme
# Prosječno vrijeme posluživanja s je:
E(s) = 1/µ
# Disperzija vremena posluživanja s je:
D(s) = 1/µ2
41
M / M / 1 sustavi - primjer
Na mrežnom pretvaraču (gateway) izmjereno je prosječno dolaženje125 paketa u sekundi (pps). Pretvarač treba oko 2 ms da ih prenese.Korištenjem M/M/1 modela treba analizirati pretvarač. Kolika jevjerojatnost prepunjenja spremnika (buffer), ako pretvarač imaspremnik kapaciteta 13 (uključivo paket pod obradom)? Koliki morabiti kapacitet spremnika, ako želimo da se gubi manje od jednog namilijun paketa?
Intenzitet dolazaka 8 = 125 pps
Intenzitet posluživanja µ = 1/0,002 = 500 pps
Intenzitet prometa D = 8/µ = 0,25
Srednji broj paketa u pretvaraču E(n) = D / (1-D) = 0,33
Srednje vrijeme odziva E(r) = 1 / µ(1-D) = 2,66 ms þ
42
M / M / 1 sustavi - primjer
Vjerojatnost prepunjenja spremnika P($ 13 potrošača) =
= D13 . 14,9 * 10-9
Y 15 paketa na milijardu
³
Određivanje kapaciteta za gubitak manji od jednog paketa na milijun:
mora biti: P($n potrošača) < 10-6, tj. Dn < 10-6
n log D < log 10-6Y n > log 10-6 / log D Y n > 9,96
poteban je spremnik kapaciteta 10(približno, jer je proračun rađen sa M/M/1, a ne M/M/1/10).
þ
43
M / M / 1 sustavi - primjer
³
1,000,750,500,25
0,01
0,02
0,03
0,04
iskoristivost U (=D)
0,00
Povećanjem intenzitetadolazaka raste intenzitetprometa i vrijeme odziva težiu beskonačnost.
Zato se poslužitelji nikada nepodvrgavaju 100%iskorištenju.
Da bi poslužitelj tipa M/M/1bio stabilan, intenzitetprometa D mora biti manji odjedan.
44
M / M / m sustavi
# Sustav sa m poslužitelja i jednim redom za sve poslužitelje. Sveostalo je kao kod M/M/1 sustava
# Srednji intenzitet dolazaka je 8, a srednji intenzitet posluživanja zasvaki poslužitelj je µ (ukupno: mµ)
# Intenzitet prometa (traffic intensity) D je:
D = 8 / mµ
45
M / M / m sustavi
# Dijagram za M / M / m sustav:
0 1 m-1 m m+1. . . . . .8
µ
8
2µ
8
(m-1)µ
8
mµ
8
mµ
8
mµ
# Prema formulama za vjerojatnosti slijedi:
$ Vjerojatnost za n potrošača u sustavu:
p0 = p0 n = 1, 2, 3, ...m-1
p0 = p0 n = m, m+1, ...8n
m! mn-mµn
8n
n!µn
pn =
7(mD)n
n!
Dn mm
m!
46
M / M / m sustavi
(mD)m
m! (1-D)p0 = 1 + +(mD)n
n!
$ Vjerojatnost početnog stanja:
m-1
Gn=1—
-1
�
k = P($m potrošača) = p0
(mD)m
m!(1-D)
$ Vjerojatnost čekanja u redu, tj. vjerojatnost pojave reda (queuingprobability) dana je Erlangovom C-formulom:
Za m=1, vrijedi: k=D
$ Prosječna iskorištenost svakog poslužitelja:
U = 8/(mµ) = D
47
M / M / m sustavi
Mjere performansi ! red, potrošači
# Prosječan broj potrošača u redu nq je:
E(nq) = G (n-m) pn = p0 =4
n=m+1
(mD)m D
m! (1-D)2
D k
1- D
# Disperzija broja potrošača nq je:
D(nq) = kD(1+D-kD)
(1-D)2
48
M / M / m sustavi
Mjere performansi ! red, vrijeme
# Prosječno vrijeme čekanja w računa se iz Littleovog zakona:
E(nq) = 8 E(w) Y E(w) = E(nq) / 8 = k
mµ(1-D)
# Disperzija vremena čekanja w je:
D(w) = k(2-k)
m2µ2(1-D)2
49
M / M / m sustavi
Mjere performansi ! red, vrijeme
# q-percentil vremena čekanja je:
max [ 0 , ln (100 k / (100-q) ) ]E(w)k
# Razdioba vremena čekanja, tj. funkcija razdiobe je:
Fw(x) = 1 - ke-xmµ(1-D)
50
M / M / m sustavi
Mjere performansi ! poslužitelj, potrošači
# Disperzija broja posluživanih potrošača ns je:
D(ns) = mD(1+k)
# Prosječan broj posluživanih potrošača ns je:
E(ns) = G n pn + G m pn = mD 4
n=m
m-1
n=1
51
M / M / m sustavi
Mjere performansi ! poslužitelj, vrijeme
# Prosječno vrijeme posluživanja s je:
E(s) = 1/µ
# Disperzija vremena posluživanja s je:
D(s) = 1/µ2
52
M / M / m sustavi
Mjere performansi ! sustav, potrošači
# Prosječan broj potrošača n je:
E(n) = E(nq) + E(ns) = mD + Dk/(1-D)
# Disperzija broja potrošača n je:
D(n) = mD + Dk[m+(1+D-Dk)/(1-D)2]
53
M / M / m sustavi
Mjere performansi ! sustav, vrijeme
# Prosječno vrijeme odziva r računa se iz Littleovog zakona:
E(n) = 8 E(r) Y E(r) = E(n) / 8 = ( 1 + )1µ
1m(1-D)
# Disperzija vremena odziva r je:
D(r) = (1 + )1µ2
k(2-k)m2(1-D)2
54
M / M / m sustavi - primjer
Na fakultetu u PC-labos dolazi 10 studenata na sat po eksponencialnojraziobi. Vrijeme provedeno za računalom je prosječno 20 minuta seksponencialnom razdiobom. U labosu je pet računala. Analiziratitrenutačno stanje!
Odrediti koliko treba računala da prosječno vrijeme čekanja bude 2minute, s tim da u većini slučajeva (90%) ne smije premašiti 5 minuta!
Intenzitet dolazaka 8 = 10/60 = 0,167 spm
Intenzitet posluživanja µ = 1/20 = 0,05 spm
Intenzitet prometa D = 8/(mµ) = 0,167/(5*0,05) = 0,67
þ
55
M / M / m sustavi - primjer
Vjerojatnost praznog sustava, tj početnog stanja p0 je:
Vjerojatnost zauzetosti svih računala k je:
þ
³
(mD)m
m! (1-D)p0 = 1 + +(mD)n
n!m-1
Gn=1—
-1
� = [ 1 + (5×0,67)5/(5!×(1-0,67))
+ (5×0,67)1/1! + (5×0,67)2/2! + (5×0,67)3/3! + (5×0,67)4/4! ]-1
= 0,0318
k = p0 = (5×0,67)5/(5!×(1-0,67)) × 0,0318 = 0,33(mD)m
m!(1-D)
56
M / M / m sustavi - primjer
³
þ
Iskorištenost računala U = D = 0,67
Prosječno studenata u labosu E(n) = mD+Dk/(1-D) = 4,0
Prosječno studenata koji čekaju E(nq) = Dk/(1-D) = 0,65
Prosječno studenata za računalima E(ns) = E(n) - E(nq) = 3,35
Prosječan boravak u labosu E(r) = E(n)/8 = 4,0/0,167 = 24 min
Disperzija boravka u labosu D(r) = 1/µ2×[1+k(2-k)/(m2(1-D)2)] = 479
Prosječno čekanje u labosu E(w) = E(nq)/8 = 4 min
90-percentil čekanja = max[ 0, E(w) ln(10k) / k) ] = 14(tj. 90% studenata čeka manje od 14 minuta)
57
M / M / m sustavi - primjer
³ Određivanje broja računala potrebnih za zadano prosječno inajveće čekanje:
Prosječno čekanje u labosu E(w) = 1,1 min
90-percentil čekanja = 3,0(tj. 90% studenata čeka manje od 3 minuta)
Intenzitet prometa D = 8/(mµ) = 0,556
Vjerojatnost praznog sustava p0 = 0,0346
Vjerojatnost zauzetosti svih računala k = 0,15
Sustav se analizira za m = 6, 7, 8,...
Za m=6 računala:
58
M / M / m sustavi
# Kada je na raspolaganju m poslužitelja, uz pretpostavku da suostali parametri sustava isti, postavlja se pitanje isplati li se više:
# Staviti zajednički red čekanja za svih m poslužitelja
# Staviti zasebne redove čekanja za svaki od m poslužitelja
# Pokazuje se da je bolje staviti jedan zajednički red
59
M / M / m sustavi - primjer
Za prethodni primjer sa PC-labosom treba analizirati slučaj sazasebnim redovima čekanja.
Intenzitet dolazaka je peterostruko manji 8 = 1/30 spm
Ostali parametri su isti
Zadatak se svodi na analizu sustava koji se sastoji od pet labosa sa pojednim računalom. Svaki labos će, zapravo, biti jedan M/M/1 sustav.
Prosječan boravak u labosu E(r) = 60 min (prije 24 min)
Disperzija boravka u labosu D(r) = 3600 (prije 479)
60
M / M / m sustavi
# Specijalan slučaj M/M/m sustava su M/M/4 sustavi
# M/M/4 sustavi imaju beskonačan broj poslužitelja
# To znači da nema redova čekanja, nego se odmah ide naposluživanje, bez obzira na broj potrošača i intenzitet dolazaka
# Vrijeme odziva svakog potrošača jednako je vremenu posluživanja
# Dakle, očekivano vrijeme odziva jednako je očekivanom vremenuposluživanja, bez obzira na intenzitet dolazaka
# M/M/4 sustavi nazivaju se sustavi s kašnjenjem (delay center)
# Mogu se koristiti za opisivanje terminala, dedicated-resursa,komunikacijskog kanala (npr. satelitskog) itd.
61
M / M / m / B sustavi
# Sustav sa m poslužitelja i jednim redom za sve poslužitelje uzograničenje broja potrošača u sustavu na B (od engl. buffer).Kao i kod M/M/m sustava, vrijedi da je D = 8 / mµ.
# Pretpostavlja se da je B veći od m (inače se dobiva M/M/B/B).
# Ako u sustavu ima B potrošača, onda se novi potrošači gube.
# Mora se računati s efektivnim intenzitetom dolazaka.
# Sustav je uvijek stabilan (nema gomilanja potrošača) D < 4.
62
M / M / m / B sustavi
# Dijagram za M / M / m / B sustav:
0 1 m-1 m m+1. . . . . .8
µ
8
2µ
8
(m-1)µ
8
mµ
8
mµ
8
mµ
B8
mµ
# Prema formulama za vjerojatnosti slijedi:
$ Vjerojatnost za n potrošača u sustavu:
p0 = p0 n = 1, 2, 3, ...m-1
p0 = p0 n = m, m+1, ..., B8n
m! mn-mµn
8n
n!µn
pn =
7(mD)n
n!
Dn mm
m!
63
M / M / m / B sustavi
(1-DB-m+1) (mD)m
m! (1-D)p0 = 1 + +(mD)n
n!m-1
Gn=1—
-1
�
$ Vjerojatnost početnog stanja:
$ Gube se svi dolasci koji se događaju kada je sustav u stanju n=B.Intenzitet potrošača koji uspješno ulaze u sustav je efektivniintenzitet dolazaka i označava se sa 8':
8' = G 8 pn = 8 G pn = 8 (1-pB)B-1
n=0
B-1
n=0
$ Razlika 8-8' = 8 pB naziva se intenzitet gubitaka (loss rate), a pB jevjerojatnost punog sustava (tj. vjerojatnost gubitka).
64
M / M / m / B sustavi
pm = p0 =(mD)m
m!(mD)m
m! G [(mD)j / j!]m
j=0
$ Vjerojatnost gubitka potrošača (loss probability), tj. vjerojatnostpojave punog sustava za M/M/m/m sustav dana je Erlangovomformulom gubitka ili B-formulom (Erlnag's loss formula, Erlang'sB-formula):
$ Vjerojatnost gubitka pB je:
pB = DB mm p0 / m!
65
M / M / m / B sustavi
$ U Littleovom zakonu pojavljuje se 8' umjesto 8:
E(n) = 8' E(r) E(nq) = 8' E(w)
$ Promatra li se sutav kroz dugo vremensko razdoblje od T sekundi,ukupan broj potrošača koji uđu u sustav bit će 8' T. Ukupno vrijemeposluživanja za postojećih m poslužitelja bit će 8' T/µ. Iskoristivostsvakog poslužitelja U bit će:
U = = = = D (1-pB)vrijeme posluživanja jednog poslužitelja
ukupno vrijeme(8' T/µ) / m
T 8'
mµ
66
M / M / m / B sustavi
Mjere performansi ! red
# Prosječan broj potrošača u redu nq je (disperzija se računa analogno):
E(nq) = G (n-m) pn
B
n=m+1
# Prosječno vrijeme čekanja w računa se iz Littleovog zakona:
E(nq) = 8' E(w) Y E(w) = E(nq) / 8' = E(nq)8(1-pB)
67
M / M / m / B sustavi
Mjere performansi ! sustav
# Prosječan broj potrošača u sustavu n je (disperzija se računaanalogno):
E(n) = G n pn
B
n=1
# Prosječno vrijeme odziva r računa se iz Littleovog zakona:
E(n) = 8' E(r) Y E(r) = E(n) / 8' = E(n)
8(1-pB)
68
M / M / m / B sustavi
Slučaj s jednim poslužiteljem (m=1)
# Kada je m=1, dobivaju se pojednostavljene formule.
# I dalje vrijedi:
# D = 8 / mµ, tj. D = 8 / µ
# Ako u sustavu ima B potrošača, onda se novi potrošači gube.
# Mora se računati s efektivnim intenzitetom dolazaka.
# Sustav je uvijek stabilan (nema gomilanja potrošača) D < 4.
69
M / M / m / B sustavi
Slučaj s jednim poslužiteljem (m=1)
# Vjerojatnost za n potrošača u sustavu:
D = 1
D … 1(1-D)Dn
1-DB+1
1B+1
pn = n = 0,1, 2, ...B
7
70
M / M / m / B sustavi
Slučaj s jednim poslužiteljem (m=1)
# Prosječan broj potrošača u sustavu n ima jednostavniju formulu:
E(n) = -D
1-D(1 + B) DB+1
1 - DB+1
# Prosječan broj potrošača u redu nq ima jednostavniju formulu:
E(nq) = - DD
1-D1 + B DB
1 - DB+1
71
M / M / m / B sustavi - primjer
Na mrežnom pretvaraču (gateway) sa spremnikom kapaciteta B=2,izmjereno je prosječno dolaženje 8 = 125 paketa u sekundi (pps).Pretvarač treba oko 2 ms da ih prenese. Korištenjem M/M/m/Bmodela treba analizirati pretvarač.
Intenzitet posluživanja µ = 1/0,002 = 500 pps
Intenzitet prometa D = 8/mµ = 125/(1×500) =0,25
þ
Vjerojatnosti za n = 1,... B:
p1 = D p0 p2 = D2 p0
p0 + p1 + p2 = 1 Y p0 + 0,25 p0 + 0,0625 p0 = 1 Y p0 =0,76
p1 = 0,25 × 0,76 = 0,19 p2 = 0,0625 × 0,76 = 0,0476
Efektivni intenzitet dolazaka: 8 ' = 8 (1-pB) = 125(1-p2) = 119 pps
72
M / M / m / B sustavi - primjer
³ Srednji broj i disperzija broja paketa u sustavu: E(n) = G n pn = 1×0,19 + 2×0,0476 = 0,29 D(n) = E(n2) - (E(n))2 = G n2 pn - (E(n))2
= (12×0,19 + 22×0,0476) - (0,29)2 = 0,2963
B
n=1B
n=1
Srednji broj paketa u redu čekanja:
E(nq) = G (n-m) pn = (2-1)×0,0476 = 0,0476B
n=m+1
Intenzitet gubitaka: 8-8' = 125-119 = 6 pps
Prosječno vrijeme odziva: E(r) = E(n)/8' = 0,29/119 = 2,4 ms
Prosječno vrijeme čekanja: E(w) = E(nq)/8' = 0,0476/119 = 0,4 ms
73
Ostali sustavi
PŠto sustavi više odstupaju od M/M/1 sustava, formule postajukompliciranije i zahtjevaju složenije izračune
PZa dio veličina ne postoje formule pa se daju npr. procjene gornjihgranica dotične veličine (npr. gornja granica vremena čekanja zaG/G/m sustave)
PSvi izvodi vrijede za sustave u stabilnom stanju, a ponašanje uprijelaznim stanjima može se odrediti samo u nekim slučajevima
PZa sustave građene kao mreže jednostavnih sustava, proračuni sujoš kompliciraniji ili su nemogući
74
M / G / 1 sustavi
Parametri:8 - intenzitet dolazakaE(s) - srednje vrijeme posluživanjaC(s) - koeficijent varijacije vremena posluživanja C(s) = F(s)/E(s)
Intenzitet prometa: D = 8 E(s)
Uvjet stabilnosti: D < 1
Vjerojatnost praznog sustava: p0 = 1-D
Srednji broj potrošača u sustavu: E(n) = D + D2 (1+C(s)2) / (2-2D) (Pollaczek-Khinchinova formula srednje vrijednosti: E(n)~D(s))
Disperzija broja potrošača u sustavu: D(n) = E(n) + 82D(s) + 83E(s3)/(3-3D) + 84(E(s2))2/(4(1-D)2)
Srednji broj potrošača u redu: E(nq) = D2 (1+C(s)2) / (2-2D)
Disperzija broja potrošača u redu: D(nq) = D(n) - D + D2
75
M / G / 1 sustavi
Srednje vrijeme odziva: E(r) = E(n)/8 = E(s)+DE(s) (1+C(s)2) / (2-2D)
Disperzija vremena odziva: D(r) = D(s) + 8E(s3)/(3-3D) + 82(E(s2))2/(4(1-D)2)
Srednje vrijeme čekanja: E(w) = D E(S) (1+C(s)2) / (2-2D)
Disperzija vremena čekanja: D(w) = D(r) - D(s)
Za LCFS (last come, first served) i SIRO (service in random order),dobivaju se isti izrazi za E(n) i E(r), a razlikuje se izraz za D(r).
Pokazuje se da vrijedi: D(r)FCFS # D(r)SIRO # D(r)LCFS
76
M / D / 1 sustavi
Parametri:8 - intenzitet dolazakaE(s) - srednje vrijeme posluživanja, s je konstanta, D(s)=0Vrijedi: E(sk) = E(s)k
Intenzitet prometa: D = 8 E(s)
Uvjet stabilnosti: D < 1
Vjerojatnost praznog sustava: p0 = 1-D
Vjerojatnost stanja n: pn = (1-D) G [(-1)n-j (jD)n-j-1 (jD+n-j)ejD / (n-j)! ]
Srednji broj potrošača u sustavu: E(n) = D + D2 / (2-2D)
Disperzija broja potrošača u sustavu: D(n) = E(n) + D3/(3-3D) + D4/(4(1- D)2)
n
j=0
77
M / D / 1 sustavi
Srednji broj potrošača u redu: E(nq) = D2 / (2-2D)
Disperzija broja potrošača u redu: D(nq) = D(n) - D + D2
Srednje vrijeme odziva: E(r) = E(s)+DE(s) / (2-2D)
Disperzija vremena odziva: D(r) = DE(s)2/(3-3D) + D2(E(s))2/(4(1-D)2)
Srednje vrijeme čekanja: E(w) = D E(S) / (2-2D)
Disperzija vremena čekanja: D(w) = D(r)
Formule za M/D/1 dobivaju se iz formula za M/G/1 uz uvrštenja:
D(s) = 0 Y F(s)= 0
C(s) = F(s) / E(s) = 0
E(sk) = E(s)k
78
M / G / 4 sustavi
Parametri:8 - intenzitet dolazakaE(s) - srednje vrijeme posluživanja
Intenzitet prometa: D = 8 E(s)
Uvjet stabilnosti: D < 4
Vjerojatnost praznog sustava: p0 = e-D
Vjerojatnost stanja n: pn = Dn e-D / n! za n = 0, 1, ...
Srednji broj potrošača u sustavu: E(n) = D
Disperzija broja potrošača u sustavu: D(n) = D
Srednji broj potrošača u redu: E(nq) = 0
Disperzija broja potrošača u redu: D(nq) = 0
79
M / G / 4 sustavi
Vrijeme odziva jednako je vremenu posluživanja pa, prema tome, imaistu funkciju distribucije
Srednje vrijeme odziva: E(r) = E(s)
Disperzija vremena odziva: D(r) = D(s)
Budući da nema reda, nema ni vremena čekanja: E(w) = D(w) = 0
Ovi sustavi nazivaju se infinite server (IS) ili delay center.
Za podslučaj kada je distribucija vremena servisiranja eksponencijalna,tj. za M/M/4 sustav, treba u gornjim formulama umjesto E(s) staviti 1/µ
80
Mreže redova
PSvi do sada prikazani sustavi imali su jedan red čekanja
PU praksi se često javljaju sustavi kod kojih se potrošači poslužujuu više redova prije nego napuste sustav. Takvi sustavi modelirajuse mrežama redova (queuing networks)
POpćenito, u mreži redova će potrošač koji izađe iz jednog reda (tj.čije posluživanje je završeno) ući u drugi red (moguće i u isti red)
PZa mreže redova ne postoji notacija slična Kendallovoj
PMreže redova dijele se na:< otvorene mreže redova (open queuing networks)< zatvorene mreže redova (closed queuing networks)< miješane mreže redova (mixed queuing networks)
81
Mreže redova
Otvorene mrežePOtvorene mreže:< sustav ima ulaz i izlaz< potrošači dolaze izvana i odlaze iz sustava< broj potrošača u sustavu mijenja se tijekom vremena< pretpostavlja se da je propusnost (throughput) jednaka intenzitetu dolazaka< obično se želi odrediti broj potrošača u pojedinim djelovima sustava
CPU
diskA
diskB
Ulaz
Izlaz
82
Mreže redova
Zatvorene mrežePZatvorene mreže:< nema vanjskih dolazaka i odlazaka potrošača< broj potrošača u sustavu je stalan i oni cirkuliraju u sustavu< pretpostavlja se da je broj potrošača poznat< obično se želi odrediti propusnost, tj. intenzitet dovršetka poslova< može se promatrati kao otvorena mreža sa spojenim ulazom i izlazom
CPU
diskA
diskB
Ulaz
Izlaz
83
Mreže redova
Miješane mrežePMiješane mreže:< za pojedine potrošače mreža je otvorena, a za druge je zatvorena< potrošači su podijeljeni u razrede, a svaki razred ima svoja svojstva
(zatvorenost, zahtjeve za posluživanje itd.)
Ulaz Izlaz
Centralnaprocesnajedinica
Terminali
Interaktivnizadatci
"Batch" obrade
84
Serijske mreže redova
PNajjednostavnije mreže su serije sustava s jednim poslužiteljemte s eksponencijalnim dolascima i vremenom obrade, tj. serija odk sustava tipa M/M/1
µ1 8µ2 µk. . .8888
PPokazuje se da se svaki M/M/1 sustav može zasebno analizirati
PSvaki sustav ima intenzitet dolazaka i odlazaka jednak 8
PAko je µi intenzitet posluživanja i-tog sustava, onda je intenzitetprometa u i-tom sustavu Di =8 / µi
PVjerojatnost da je u i-tom sustavu ni potrošača je pi(ni) = (1-Di) Di
ni
85
Serijske mreže redova
PZajednička vjerojatnost broja potrošača u M redova može sejednostavno izračunati množenjem pojedinačnih vjerojatnosti:
P( n1, n2, ..., nM ) = (1-D1) D1n1 × (1-D2) D2
n2 × ... × (1-DM) DMn
M
= p1(n1) × p2(n2) × × pM(nM)
PZbog tog svojstva, ovakva mreža naziva se mreža sproduktnim oblikom (product form network)
POvaj naziv se općenito koristi za sve mreže za koje vrijedi:
P( n1, n2, ..., nM ) = A fi(ni)1
G(N)M
i=0
µ1 8µ2 µk. . .8888
86
Serijske mreže redova - primjer
µ1 µ28
Oba poslužitelja imaju eksponencijalno vrijeme obrade i to 2 i 3 s, aprosječno vrijeme dolazaka je 4 s. Kolika je vjerojatnost da je uprvom sustavu n1 potrošača, a u drugom sustavu n2 potrošača?
D1 = 8/µ1 = 0,25/0,5 = 0,5 D2 = 8/µ2 = 0,25/0,33 = 0,75
P( n1, n2) = p1(n1) × p2(n2) = (1-D1) D1n1 × (1-D2) D2
n2 = 3 / 2n2 n1+2n2+3
Na primjer: P(0,0) = 30 / 23 = 0,1250 P(0,1) = 31 / 25 = 0,0938 P(1,0) = 30 / 24 = 0.0625 P(1,1) = 31 / 26 = 0,0469 P(1,2) = 32 / 28 = 0,0352 P(2,1) = 31 / 27 = 0,0234
P(0,2) = 32 / 27 = 0,0703 P(2,0) = 30 / 25 = 0,0313 P(2,2) = 32 / 29 = 0,0176 . . .
þ
87
Serijske mreže redova - primjer
µ1 µ2888
Budući da svaki dio mreže možemo promatrati kao zasebni sustav ito kao M/M/1 sustav i budući da poznajemo intenzitete dolaska usvaki zasebni sustav (8), možemo i analizirati svaki dio odvojeno:
Prvi sustav (dolasci svake 4 s, obrada traje 2 s): 8 = 0,25 µ1 = 0,5 Intenzitet prometa: D = 8/µ1 = 0,25/0,5 = 0,5 Iskoristivost U = D = 0,5 Prosječan broj potrošača u sustavu: E(n) = D /(1-D) = 1 Prosječan broj potrošača u redu: E(nq) = D2 /(1-D) = 0,5 Prosječno vrijeme odziva: E(r) = E(n)/8 = 4 Prosječno vrijeme čekanja: E(w) = E(nq)/8 = 2
³
þ
88
Serijske mreže redova - primjer
µ1 µ2888
Drugi sustav (dolasci svake 4 s, obrada traje 3 s): 8 = 0,25 µ1 = 0,33 Intenzitet prometa: D = 8/µ1 = 0,25/0,33 = 0,75 Iskoristivost U = D = 0,75 Prosječan broj potrošača u sustavu: E(n) = D /(1-D) = 3 Prosječan broj potrošača u redu: E(nq) = D2 /(1-D) = 2,25 Prosječno vrijeme odziva: E(r) = E(n)/8 = 12 Prosječno vrijeme čekanja: E(w) = E(nq)/8 = 4,5
Za rad pojedinih sustava i mreže u cjelini redoslijed pojedinihsustava nije bitan.
³
89
Serijske mreže redova
PDijagram prijelaza za slučaj s dva poslužitelja ima dvije dimenzije(jer je stanje predstavljeno parom stanja pojedinih sustava):
0,0
µ1
8
1,0
2,0
0,1
1,1 0,2
8
8
8
8 8µ2
µ1µ1
µ2
µ2
µ2 µ2
µ2
PPraktično je što možemo analizirati svaki dio sustava odvojeno,a glavne parametre svakog sustava poznajemo (8, µi)
90
Općenite mreže redova
PMreže produktnog oblika su lakše za analizu od neproduktnih
PZato se pokušava ustvrditi za što veći broj mreža imaju liproduktna svojstva
P Jedno od prvih rješenja dao je Jackson 1963. godine koji jeustvrdio da produktni oblik imaju mreže sa svojstvom:< bilo kakav oblik< otvorena mreža< sustavi mogu imati m poslužitelja< svaki sustav ima poslužitelje s eksponencijalnim vremenom posluživanja
P Iako ograničenje na eksponencijalne razdiobe posluživanja izgledakao dosta strogo, ipak su ovakve mreže prilično raznovrsne
POvakve mreže mogu donekle aproksimirati i druge vrste mreža, stim da je tada često potrebna dodatna analiza koja daje približnarješenja
91
Jacksonove mreže
P Jedan primjer Jacksonove opće mreže prikazan je slikom:
Ulaz
Izlaz
92
Jacksonove mreže
PU mreži postoje točke grananja (branches) i točke spajanja (joins)(kao u spajanju i razdvajanju Poissonovih tokova)
PU točki grananja postoje vjerojatnosti grananja ri (routingprobabilities)
8
r1 8
r2 8
r3 8
r1
r2
r3
G ri = 1
93
Jacksonove mreže
PU točki spajanja postoji zbrajanje dolaznih intenziteta
8 = 81 + 82 + 83
81
82
83
8
8 = G 8 i
94
Jacksonove mreže
PDobiva se skup linearnih jednadžbi koje se nazivaju jednadžbamaprometa (traffic equations). Za svaki čvor i od ukupno M čvorovaimamo:
U ravnotežnom stanju vrijedi: 8i = (i + r1,i 81 + r2,i 82 + ... + rM,i 8M
95
Jacksonove mreže
PU jednadžbama prometa imamo sljedeće oznake:
Intenzitet vanjskih dolazaka u čvor i: (i Vjerojatnost grananja iz čvora i u čvor j: ri,j
PVjerojatnosti grananja i vanjski intenziteti ujedno definiraju itopologiju mreže i mogu se pisati matrično, tj. vektorski
PJednadžbe prometa mogu se također pisati matrično: 8=(+R8
96
Jacksonove mreže
P Jackson je pokazao da za mrežu od M čvorova s jednimeksponencijalnim poslužiteljem, u ravnotežnom stanju, za čiječvorove su poznati ulazni intenziteti i intenziteti posluživanja,vrijedi formula za vjerojatnost stanja *:
P( n1, n2, ..., nM ) = A (1-Di) Dini
gdje je Di = 8i/µi
M
i=0
* Ista formula vrijedi za serijske mreže što je već pokazano naslajdu 85, gdje se nalazi i opća formula za produktne mreže
PZa pojedine čvorove vrijedi: E(ni) = Di/(1-Di) i E(wi) = ni/8i
PZa cijelu mrežu vrijedi mrežna varijanta Littleove formule:
E(w) = G E(ni) / G (i
97
Jacksonove mreže
Komentar za čvorove Jacksonovih mreža
PRezultati s prethodnog slajda govore da se cijela mreža možepromatrati i da se ponaša kao da je svaki čvor nezavisni M/M/1sustav.
PMeđutim, to ne znači da je svaki čvor zaista izdvojeni M/M/1sustav. Problem su ulazni tokovi.
POpćenito, ulazni tok u pojedine čvorove ne mora uopće bitiPoissonov tok. To vrijedi kada ima povratnih tokova.
PBez obzira na to što ulazi nisu Poissonovi, cijela mreža se ponašakao da su čvorovi nezavisni M/M/1 sustavi.
98
Jacksonove mreže
Poopćenje Jacksonovih mreža za M/M/m čvorove
PPokazuje se da se prethodno pokazani rezultati za Jacksonovemreže s jednoposlužiteljskim čvorovima mogu poopćiti navišeposlužiteljske čvorove, tj sustave M/M/m
Ulaz
Izlaz
99
Jacksonove mreže
Daljni komentari za Jacksonove mreže
PDistribucije vremena čekanja ne mogu (tj. ne znaju) se odrediti
P Jedino su poznata očekivanja vremena (pomoću Littleovog zakona)
POpćenito, ulazni tok u pojedine čvorove ne mora uopće bitiPoissonov tok. To sigurno vrijedi kada ima povratnih tokova.
PVrijeme prolaska potrošača kroz dio mreže ili cijelu mrežu (tzv.sojourn time) također se ne može odrediti
µ8
100
Jacksonove mreže
Daljni komentari za Jacksonove mreže
PDaljnja istraživanja poopćila su Jacksonove rezultate i na drugevrste mreža:< zatvorene mreže< BCMP mreže (Baskett, Chandy, Muntz, Palacios, 1975.) za koje vrijedi:
– disciplina posluživanja svih čvorova može biti FCFS ili PS ili IS ili LCFS-PR– klasa potrošača može se mijenjati prema fiksnim vjerojatnostima po izlasku iz čvora – razdioba vremena posluživanja mora biti eksponencijalna za FCFS čvorove za sve
klase potrošača; ostali čvorovi gdje razdiobe imaju racionalnu Laplaceovutransformaciju, mogu imati različite razdiobe za različite klase potrošača
– vrijeme posluživanja za FCFS poslužitelje može ovisiti samo o ukupnom brojupotrošača u pripadnom redu čekanja; za ostale discipline posluživanja , vrijemeposluživanja može ovisiti samo o broju potrošača iste klase
– vrijeme dolazaka u otvorenim mrežama za potrošače iste klase mora bitieksponencijalno, a grupni dolasci su zabranjeni; mreža može biti otvorena zapojedine klase potrošača, a zatvorena za druge klase
< itd. ...
101
Jacksonove mreže
Aproksimacija Jacksonovim mrežama
µ 1Ulaz
Izlaz
µ 2
µ 3
Za sustav na slici s eksponencijalnim vremenima dolazaka iposluživanja izračunato je vrijeme čekanja za različite vrijednostiintenziteta dolazaka, a zatim je provedena simulacija.
þ
102
Jacksonove mreže
Aproksimacija Jacksonovim mrežama³
eksperiment
1 2 3 4
M Ek U MEk U M UEk D M UM D M U
Prvi stupac jeanalitičko rješenje, aostali su simulacijskieksperimenti sasljedećim razdiobamaulaza i tri posluživanja
103
Jacksonove mreže - primjer
Primjer:
U telefonsku centralu osiguravajućeg društva dolazi 35 poziva na sat.Pozivatelj može birati dvije vrste usluge: tipkom 1 bira potraživanjeisplate štete, a tipkom 2 bira informacije. Ovo biranje prosječno trajepola minute. 55% pozivatelja bira potraživanje, a 45% informacije.Usluga potraživanja ima tri djelatnika i traje oko 6 minuta, a uslugainformacija ima sedam djelatnika i traje 20 minuta. Oko 2%pozivatelja nakon potraživanja ide na informacije, a 1% nakoninformacija ide na potraživanje.
Želi se znati prosječno vrijeme koje pozivatelj provede u sustavu ikakvi su redovi čekanja.
þ
104
Jacksonove mreže - primjer
µ 1Ulaz
Izlaz
Informacije
Potraživanje
Odabir usluge
Izlaz
0,55
0,450,01
0,02
µ 2
µ 3
(1
³ (1 = 35 / hr(2 = (3 = 0
µ1 = 120 / hrµ2 = 10 / hrµ3 = 3 / hr
0 0,55 0,45R = 0 0 0,02
0 0,01 0
Jednadžbe prometa: 8 = ( + R8 (3 jednadžbe s 3 nepoznanice: 8)
Rješenje jednadžbi prometa: 8 = ( ( I - R )-1 þ
105
Jacksonove mreže - primjer
³ Rješenje za 8 izlazi:
81 = 35 82 = 19,411 83 = 16,138
Iz ovoga se izračunaju intenziteti prometa (D=8/(mµ)):
D1 = 35 /120 D2 = 19,411/(3*10) D3 = 26,138/(7*3)= 0,292 = 1,9411 = 5,379
Korištenjem standardnih formula za M/M/m sustave računa sevjerojatnost praznog sustava (p0), iz toga se računa vjerojatnoststvaranja reda k. Nakon toga se računa očekivani broj potrošača usustavu (E(n)) i u redu čekanja (E(nq)):
E(n1) = 0,412 E(n2) = 2,706 E(n3) = 6,781E(nq1) = 0,12 E(nq2) = 0,765 E(nq3) = 1,402 þ
106
Jacksonove mreže - primjer
³ Iz prethodnih brojeva za potrošače:
E(n1) = 0,412 E(n2) = 2,706 E(n3) = 6,781
Računa se ukupni očekivani broj potrošača u mreži E(n):
E(n) = E(n1) + E(n2) + E(n3) = 9,899
Prema Littleovom zakonu računa se ukupni očekivani odziv mreže E(r):
E(r) = E(n) / ( = 9,889 / 35 = 0,283 sata ili približno 17 minuta
107
Mrežni modeli računala
PMeđu prvim mrežnim modelima računala su dva poznata modela:< Model popravka strojeva< Model centralnog poslužitelja
PModel popravka strojeva (računalni sustav s time-sharingom)
Terminali (strojevi)
Računalo (serviser)Scherr 1967.
108
Mrežni modeli računala
PModel centralnog poslužitelja
CPU
diskA
diskB
Terminali
Buzen 1973.
109
Mrežni modeli računala
PU mrežnim modelima računala obično se javljaju tri vrste uređaja
PPrva vrsta uređaja ima jednog poslužitelja čije vrijeme posluživanja ne ovisi o brojupotrošača u uređaju. Takvi uređaji zovu se poslužitelji sa stalnim kapacitetom(fixed-capacity service center)< Primjer: CPU
PDruga vrsta uređaja nemaju redove potrošača, a posluživanje ne ovisi o brojupotrošača koji se poslužuju. Takvi uređaju modeliraju se kao sustav s kašnjenjem(delay center) što se još naziva i beskonačni poslužitelji (infinite servers - IS)< Primjer: Terminali
PKod treće vrsta uređaja vrijeme posluživanja ovisi o broju potrošača tako da seposluživanje ubrzava s porastom broja upotrebljenih poslužitelja. Takvi uređajizovu se poslužitelji ovisni o opterećenju (load-dependent service centers), amodeliraju se M/M/m sustavima< Primjer: grupa paralelnih veza između dva čvora na mreži
110
Operaciona pravila
PVelik broj praktičnih problema može se riješiti upotrebomjednostavnih pravila, koja ne zahtijevaju nikakva ograničenja narazdiobe dolazaka i vremena posluživanja
POva pravila (ili zakone) prvi je otkrio Buzen 1976 i nazvao ih jeoperacionim pravilima (operational laws)
PPod pojmom operaciono se misli izravno mjerljivo, što znači da semože provjeriti mjerenjima
PNa primjer, može se lako provjeriti da li za određeni sustav vrijedipretpostavka o jednakom broju dolaznih potrošača i odlaznih (tj.posluženih) potrošača. S druge strane, mjerenjem se ne možedokazati da su vremena posluživanja nezavisne slučajne varijable
111
Operaciona pravila
POperacione veličine (operational quantities) su one veličine kojese mogu dobiti mjerenjem tijekom konačnog vremena promatranja
Intenzitet dolazaka 8 = =
Propusnost X = =
Iskoristivost U = =
Srednje vrijeme posluživanja S = =
broj dolazakavrijeme
broj odlazakavrijeme
vrijeme zauzetostivrijeme
vrijeme zauzetostibroj odlazaka
AT
CT
BT
BC
Na primjer, tijekom vremena T može se izmjeriti broj dolazaka (arrival - A), brojodlazaka (completion - C) i vrijeme zauzetosti (busy time - B). Iz izmjerenih semogu izračunati druge operacione veličine:
112
Operaciona pravila
PSve veličine dobivene mjerenjem (i izračunavanjem) suvarijable čija vrijednost se mijenja od jednog do drugogvremena promatranja (observation period).
PPostoje određene relacije koje vrijede za svako vrijemepromatranja i one se nazivaju operacionim pravilima.
< Zakon iskoristivosti (utilization law)
< Zakon prisilnog toka (forced flow low)
< Littleov zakon (Little's law)
< Opći zakon o vremenu odziva (general response time law)
< Zakon interaktivnog vremena odziva (interactive response time law)
113
Zakon iskoristivosti
PAko je tijekom vremena promatranja T izmjeren broj odlazaka C ivrijeme zauzetosti B tada vrijedi zakon iskoristivosti:
U = = × ili U = X SBT
CT
BC
Primjer:
Mrežni pretvarač ima 125 dolaska u sekundi i vrijeme posluživanja od 2 ms.(gateway primjer za M/M/1 sa slajdova 39-41).
X = odlazni intenzitet = dolazni intenzitet = 125 ppsVrijeme posluživanja S = 0,002 sIskoristivist U = X S = 125 × 0,002 = 0,25 = 25 %
Analitičko rješenje za iskoristivost je U = D = 0,25, ali uz bitnu razliku da jekorištena pretpostavka da vrijeme između dolazaka i vrijeme posluživanjaimaju eksponencijalne razdiobe.
114
Zakon prisilnog toka
PZakon prisilnog toka stavlja u odnos propusnost cijelog sustava ipropusnosti pojedinih uređaja.
PU otvorenim modelima, propusnost sustava definira se kao brojpotrošača koji izlaze iz sustava u jedinici vremena.
CPU
diskA
diskB
Ulaz
IzlazPU zatvorenim modelima nema
izlazaka iz sustava, ali ima prolazakapotrošača po fiktivnoj vezi koji spajaulaz i izlaz. Propusnost je definiranabrojem potrošača koji prolaze po tojvezi u jedinici vremena.
115
Zakon prisilnog toka
PAko je u vremenu promatranja T broj dolazaka na uređaj ijednak broju odlazaka iz uređaja, tj.
Ai = Ci
onda kažemo da uređaj i zadovoljava pretpostavku oravnoteži toka potrošača.
PAko je T velik, razlika Ai-Ci je malena u usporedbi sa Ci
(bila bi jednaka ništici ako bi početni broj potrošača biojednak završnom broju potrošača).
116
Zakon prisilnog toka
PPretpostavimo da svaki potrošač zahtijeva Vi puta obradu oduređaja i (V je broj zahtjeva - number of requests).
PAko je tok potrošača u ravnoteži, broj poslova koji prolazefiktivnom vezom C0 i broj poslova Ci koji odlaze iz uređaja i su urelaciji:
Ci = C0 Vi ili Vi = Ci / C0
M
Ulaz
Izlazi
1
Vi posjeta po potrošaču
117
Zakon prisilnog toka
PVi je kvocijent posjeta i-tom uređaju i vanjskoj vezi pa se nazivaomjerom posjeta (visit ratio),
PPropusnost sustava tijekom vremena T je:
Propusnost sustava X = =ukupno odlazakaukupno vrijeme
C0
T
PPropusnost i-tog uređaja tijekom vremena T je:
Propusnost uređaja Xi = = × Ci
TCi
C0
C0
T
to jest, uz pretpostavku ravnoteže toka potrošača, vrijedi zakonprisilnog toka koji glasi:
Xi = X Vi
118
Zakon prisilnog toka
PAko nema ravnoteže toka potrošača, tada je:< neki potrošači su došli tijekom vremena T, ali nisu otišli< bilo potrošača u sustavu na početku vremena T
PU oba slučaja, takvi potrošači još nisu Vi puta posjetili i-ti uređaji vrijedi: Ci … C0 Vi
PKombiniranjem zakona prislinog toka i zakona iskoristivostidobiva se formula za iskoristivost i-tog uređaja Ui:
Ui = Xi Si = X Vi Si ili Ui = X Di
gdje je: Di = X Vi Si i predstavlja ukupno zahtijevanjeposluživanja (service demand) na uređaju za sve posjetepotrošača (što je različito od broja posluživanja).
119
Zakon prisilnog toka
PFormula Ui = X Di govori da je iskoristivost pojedinih uređajaproporcionalna ukupnom broju zahtjeva
PUređaj s najvećom vrijednošću Di u sustavu ima najvećuiskoristivost i predstavlja usko grlo sustava (bottleneck device)
120
Zakon prisilnog toka - primjer
U sustavu s dijeljenim vremenom (timesharing) izmjereno je:
1) svaki program zahtijevao je: 5 s CPU-vremena, 80 pristupadisku A i 100 pristupa disku B
2) Prosječno "vrijeme razmišljanja" (think time) korisnika je 18 s
3) Iz specifikacije diskova zna se da disk A treba 50 ms zaispunjenje zahtjeva, a disk B treba 30 ms
4) Za aktivnih 17 terminala izmjerena je propusnost od 15,70pristupa na disku
Treba odrediti propusnost sustava i iskoristivost uređaja!þ
121
Zakon prisilnog toka - primjer
Sustav se može modelirati mrežom sa slike:
Zadano je:
Zahtjev za CPU-om: DCPU = 5 sBroj zahtjeva na A: VA = 80Broj zahtjeva na B: VB = 100Kašnjenje na terminalima: Z = 18 sVrijeme posluživanja A: SA = 0,050 sVrijeme posluživanja B: SB = 0,030 sBroj terminala: N = 17Propusnost diska A: XA = 15,70 pps
³
þ
CPU
diskA
diskB
Terminali
(poslova po sekundi)
122
Zakon prisilnog toka - primjer
Budući da poslovi prvo posjećuju CPU pa tek onda diskove iterminale, omjer posjeta CPU-a je:
VCPU = VA + VB + 1 = 181
Prvi korak u operacionoj analizi obično je određivanje zahtjevana pojedine uređaje:
DCPU = 5 s DA = SA VA = 0,050 * 80 = 4 s DB = SB VB = 0,030 * 100 = 3 s
³
þ
123
Zakon prisilnog toka - primjer
Upotrebom zakona prisilnog toka dobivaju se propusnosti:
X = XA / VA = 15,70 / 80 = 0,1963 zahtjeva/s
XCPU = X VCPU = 0,1963 * 181 = 35,48 zahtjeva/s XB = X VB = 0,1963 * 100 = 19,63 zahtjeva/s
Upotrebom zakona iskoristivosti dobivaju se iskoristivosti:
UCPU = X DCPU = 0,1963*5 = 98 % UA = X DA = 0,1963*4 = 78,4 % UB = X DB = 0,1963*3 = 58,8 %
³
124
Littleov zakon
PLittleov zakon također je operacioni zakon - u njegovom izvoduupotrebljene su samo veličine koje se mogu mjeriti bez drugihpretpostavki o razdiobama itd.
PPretpostavljeno je jedino da je broj dolazaka jednak broju izlazaka štoje mjerno provjeriva pretpostavka ravnoteže toka potrošača
PLittleov zakon stavlja u odnos duljinu reda Qi (cijeli potrošač!!!) ivrijeme odziva Ri:
Srednji broj u uređaju = intenzitet dolazaka × srednje vrijeme odziva
Qi = 8i Ri
Uz pretpostavku da je tok potrošača u ravnoteži:
Qi = Xi Ri
125
Littleov zakon - primjer
Za prethodni primjer s timesharing računalom izračunali smo propusnosti: X = 0,1963 zahtjeva/s XCPU = 35,48 zahtjeva/s XB = 19,63 zahtjeva/s
Ako su dodatno poznati brojevi poslova u uređajima: QCPU = 8,88 QA = 3,19 QB = 1,40
Primjenom Littleovog zakona može se izračunati vrijeme odziva: RCPU = QCPU / XCPU = 8,88 / 35,48 = 0,250 s RA = QA / XA = 3,19 / 15,70 = 0,203 s RB = QB / XB = 1,40 / 19,60 = 0,071 s
126
Opći zakon o vremenu odziva
PSustavi s dijeljnjem vremena mogu se podijeliti u dva podsustava:< terminalski podsustav ( jedan terminal po korisniku)< središnji podsustav (svi korisnici ga dijele)
PLittleov zakon je primjenjiv na svaki dio sustava uz pretpostavku oravnoteži toka potrošača u tom dijelu
PPrimjeni li se Littleov zakon na središnji dio sustava dobiva se:
Q = X R
gdje je Q ukupan broj poslova u sustavu, R vrijeme odzivasustava i X propusnost sustava.
PUz poznate brojeve poslova po uređajima može se izračunatiukupni broj poslova: Q = G Qi
127
Opći zakon o vremenu odziva
PUvrštenjem relacije Qi iz Littleovog zakona u prethodnu sumudobiva se:
X R = X1 R1 + X2 R2 + ... + XM RM
PDijeljenjem obje strane s X i upotrebom zakona prisilnogprotoka dobiva se opći zakon o vremenu odziva koji vrijedi čaki ako nema ravnoteže toka potrošača:
R = V1 R1 + V2 R2 + ... + VM RM
R = G Vi Ri
M
i=0
PZakon intuitivno govori da je ukupno vrijeme posla u uređajuumnožak broja posjeta i prosječnog vremena posjete. Daljegovori da je ukupno vrijeme posla u sustavu jednako sumivremena na različitim uređajima.
128
Opći zakon o vremenu odziva - primjer
Za prethodne primjere s timesharing računalom treba izračunati vrijemeodziva sustava. Bilo je zadano ili izračunato:
Broj posjeta po poslu: Vremena odziva uređaja: VCPU = 181 RCPU = 0,250 VA = 80 RA = 0,203 VB = 100 RB = 0,071
Primjenom općeg zakona o vremenu odziva može se izračunati vrijemeodziva:
R = RCPU VCPU + RA VA + RB VB = = 0,250 * 181 + 0,203 * 80 + 0,071 * 100 = 68,6
129
Zakon interaktivnog vremena odziva
PU interaktivnom sustavu korisnici stvaraju zahtijeve koje poslužujesredišnji sustav i vraća ih korisnicima. Nakon vremena razmišljanja Z,korisnik postavlja sljedeći zahtjev.
PAko je odziv središnjeg sustava R, ukupno vrijeme jednog ciklusazahtjeva je R+Z. Svaki korisnik stvara prosječno T / (R+Z) zahtjeva uvremenu T. Pretpostavimo li da ima N korisnika:
Propusnost sustava X = ukupan broj zahtjeva / ukupno vrijeme
X = N [T/(R+Z) ] / T
X = N / (R+Z)
R = N/X - Z
PDrugačije izraženo, dobiva se zakon interaktivnog vremena odziva:
130
Zakon interaktivnog vremena odziva -primjer
Za prethodne primjere s timesharing računalom treba izračunati vrijemeodziva sustava upotrebom zakon ainteraktivnog vremena odziva. Bilo jezadano ili izračunato:
Propusnost sustava X = 0,1963 Broj korisnika (terminala) N = 17 Vrijeme razmišljanja Z = 18
Primjernom zakona interaktivnog vremena odziva može se izračunativrijeme odziva:
R = N / X - Z = 17 / 0,1963 - 18 = 68,8 s