Identification des propriétés radiatives des matériaux...

N° d'ordre 98 ISAL0059 Année 1998

THÈSE

présentée devant

L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

Formation doctorale: THERMIQUE ET ENERGÉTIQUEEcole Doctorale des Sciences pour l'Ingénieur de Lyon: MEGA

par

Luís Mauro MOURAIngénieur en Génie Mécanique, Mestre em Ciências

Université Fédérale de Santa Catarina, Brésil

IDENTIFICATION DES PROPRIETES RADIATIVES DESMATERIAUX SEMI-TRANSPARENTS DIFFUSANTS

EN SITUATION DE NON-SYMETRIE AZIMUTALEDU CHAMP RADIATIF

Soutenue le 15 Juillet 1998 devant la Commission d'Examen

JuryMme D. BAILLIS-DOERMANN INSA de LyonMM. C. BISSIEUX Université de Reims Rapporteur

G. JEANDEL Université de Nancy I RapporteurF. PAPINI Université de ProvenceM. RAYNAUD INSA de LyonJ.-F. SACADURA INSA de Lyon Directeur de thèse

INSA de LyonDépartement des études doctorales

ECOLES DOCTORALES

¾ MATERIAUX DE LYONINSAL – ECL -UCB. Lyon1 – Univ. De Chambéry – ENS

Responsable : Professeur A. HOAREAU, UCBL (Tél. : 04.72.44.85.66)

Formations doctorales associées : Génie des Matériaux (Pr. R. FOUGERES, Tél : 04. 72. 43. 81 .49) Matière condensée surfaces et interfaces (Pr. G. GUILLOT, Tél : 04.72.43.81.61) Matériaux polymères et composites (Pr. H. SAUTEREAU, Tél : 04.72.43.81.78)

¾ MECANIQUE , ENERGETIQUE , GENIE CIVIL , ACOUSTIQUE (MEGA) °

Responsable : Professeur J. BATAILLE, ECL (Tél : 04.72.43.8079)

Formations doctorales associées : Acoustique (Pr. J.L. GUYADER, Tél : 04.72.43.80.80) Génie Civil : Sols, matériaux, structures, physique du bâtiment

(Pr. P. LAREAL, Tél : 04.72.43.82.16) Mécanique (Pr. G. DALMAZ, Tél : 04.72.43.83.03) Thermique et Energétique (Pr. M. LALLEMAND, Tél : 04.72.43.81.54)

¾ ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE (EEA)INSAL - ECL – UCB. Lyon1 – Univ. de Saint-Etienne

Responsable : Professeur G. GIMENEZ, INSAL (Tél : 04.72.43.83.32)

Formations doctorales associées : Acoustique (Pr. J.L. GUYADER, Tél : 04.72.43.80.80) Automatique Industrielle (Pr. SCAVARDA, Tél : 04.72.43.83.41) Dispositifs de l’électronique intégrée (Pr. P. PINARD, Tél : 04.72.43.80.79) Génie biologique et médical (Pr. I MAGNIN, Tél : 04.72.43.85.63) Génie électrique (Pr. J.P. CHANTE, Tél : 04.72.43.87.26) Signal, Image, Parole (Pr. G. GIMENEZ, Tél : 04.72.43.83.32)

¾ ECOLE DOCTORALE INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-SANTE (EDISS)INSAL – UCB Lyon1 – Univ. de Saint-Etienne – Univ. Aix-Marseille2

Responsable : Professeur A. COZZONE, CNRS-Lyon (Tél 04.72.72.26.75)

Formations doctorales associées : Biochimie (Pr. M. LAGARDE, Tél : 04.72.43.82.40) Génie biologique et médical (Pr. I. MAGNIN, Tél : 04.72.43.85.63)

INSA de LYONDépartement des Etudes Doctorales

AUTRES FORMATIONS DOCTORALES

¾ ANALYSE ET MODELISATION DES SYSTEMES BIOLOGIQUE

Responsable : Professeur S. GRENIER, INSALTél : 04.72.43.83.56

¾ CHIMIE INORGANIQUE

Responsable : Professeur P. GONNARD, INSALTél : 04.72.43.81.58

¾ CONCEPTION EN BATIMENT ET TECHNIQUE URBAINES

Responsable : Professeur M. MIRAMOND, INSALTél : 04.72.43.82.09

¾ DEA I NFORMATIQUE DE LYONResponsable : Professeur J.M. JOLION, INSALTél : 04.72.43.87.59

¾ PRODUCTIQUE : ORGANISATION ECONOMIQUE ET GENIE INFORMATIQUE POUR L ’ENTREPRISE

Responsable : Professeur J. FAVREL, INSALTél : 04.72.43.83.63

¾ SCIENCES ET TECHNIQUES DU DECHET

Responsable : Professeur P. MOSZKOWICZ, INSALTél : 04.72.43.83.45

Janvier 1998Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

Directeur : J. Rochat

Professeurs S. AUDISIO PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEJ.C. BABOUX GEMPPM*B. BALLAND PHYSIQUE DE LA MATIERED. BARBIER PHYSIQUE DE LA MATIEREG. BAYADA MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEC. BERGER (Mlle) PHYSIQUE DE LA MATIEREM. BETEMPS AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEJ.M. BLANCHARD LAEPSI**C. BOISSON VIBRATIONS ACOUSTIQUESM. BOIVIN MECANIQUE DES SOLIDESH. BOTTA EQUIPE DEVELOPPEMENT URBAING. BOULAYE INFORMATIQUEJ. BRAU CENTRE DE THERMIQUEM. BRISSAUD GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEM. BRUNET MECANIQUE DES SOLIDESJ.C. BUREAU THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEJ.Y. CAVAILLE GEMPPM*J.P. CHANTE COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONSB. CHOCAT UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILB. CLAUDEL LAEPSI**M. COUSIN UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILM. DIOT THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEA. DOUTHEAU CHIMIE ORGANIQUER. DUFOUR MECANIQUE DES STRUCTURESJ.C. DUPUY PHYSIQUE DE LA MATIEREH. EMPTOZ RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISIONC. ESNOUF GEMPPM*L. EYRAUD (Prof. Émérite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEG. FANTOZZI GEMPPM*M. FAYET MECANIQUE DES SOLIDESJ. FAVREL GROUPE DE RECHERCHE EN PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE

DES SYSTEMES MANUFACTURIERSG. FERRARIS-BESSO MECANIQUE DES STRUCTURESY. FETIVEAU GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEL. FLAMAND MECANIQUE DES CONTACTSP. FLEISCHMANN GEMPPM*A. FLORY INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONR. FOUGERES GEMPPM*F. FOUQUET GEMPPM*L. FRECON INFORMATIQUER. GAUTHIER PHYSIQUE DE LA MATIEREM. GERY CENTRE DE THERMIQUEG. GIMENEZ CREATIS***P. GOBIN (Prof. émérite) GEMPPM*P. GONNARD GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEM. GONTRAND COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONSR. GOUTTE (Prof. Émérite) CREATIS***G. GRANGE GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEG. GUENIN GEMPPM*M. GUICHARDANT BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIEG. GUILLOT PHYSIQUE DE LA MATIEREA. GUINET GROUPE DE RECHERCHE EN PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE

DES SYSTEMES MANUFACTURIERSJ.L. GUYADER VIBRATIONS ACOUSTIQUESJ.P. GUYOMAR GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEJ.M. JOLION RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISIONJ.F. JULLIEN UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILA. JUTARD AUTOMATIQUE INDUSTRIELLER. KASTNER UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILH. KLEIMANN GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITEJ. KOULOUMDJIAN INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONM. LAGARDE BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIEM. LALANNE MECANIQUE DES STRUCTURESA. LALLEMAND CENTRE DE THERMIQUEM. LALLEMAND (Mme) CENTRE DE THERMIQUEP. LAREAL UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILA. LAUGIER PHYSIQUE DE LA MATIERECh. LAUGIER BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIEP. LEJEUNE GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES

A. LUBRECHT MECANIQUE DES CONTACTSY. MARTINEZ INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONH. MAZILLE PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEP. MERLE GEMPPM*J. MERLIN GEMPPM*J.P. MILLET PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLEM. MIRAMOND UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILN. MONGEREAU (Prof. Émérite) UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILR. MOREL MECANIQUE DES FLUIDESP. MOSZKOWICZ LAEPSI**P. NARDON BIOLOGIE APPLIQUEEA. NAVARRO LAEPSI**A. NOURI (Mme) MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEM. OTTERBEIN LAEPSI**J.P. PASCAULT MATERIAUX MACROMOLECULAIRESG. PAVIC VIBRATIONS ACOUSTIQUESJ. PERA UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILG. PERRACHON THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEJ. PEREZ (Prof. Émérite) GEMPPM*P. PINARD PHYSIQUE DE LA MATIEREJ.M. PINON INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIOND. PLAY CONCEPTION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUESJ. POUSIN MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUEP. PREVOT GROUPE DE RECHERCHE EN APPRENTISSAGE, COOPERATION

ET INTERFACES MULTIMODALESR. PROST CREATIS***M. RAYNAUD CENTRE DE THERMIQUEJ.M. REYNOUARD UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVILE. RIEUTORD (Porf. Émérite) MECANIQUE DES FLUIDESJ. ROBERT-BAUDOUY (Mme) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESD. ROUBY GEMPPM*P. RUBEL INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATIONC. RUMELHART MECANIQUE DES SOLIDESJ.F. SACADURA CENTRE DE THERMIQUEH. SAUTEREAU MATERIAUX MACROMOLECULAIRESS. SCARVARDA AUTOMATIQUE INDUSTRIELLED. THOMASSET AUTOMATIQUE INDUSTRIELLEM. TROCCAZ GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITER. UNTERREINER CREATIS***J. VERON LAEPSI**G. VIGIER GEMPPM*A. VINCENT GEMPPM*P. VUILLERMOZ PHYSIQUE DE LA MATIERE

Directeurs de recherche C.N.R.S.Y. BERTHIER MECANIQUE DES CONTACTSP. CLAUDY THERMODYNAMIQUE APPLIQUEEN. COTTE-PATTAT (Mme) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESP. FRANCIOSI GEMPMMJ.F. GERARD MATERIAUX MACROMOLECULAIRESM.A. MANDRAND (Mme) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMESJ.F. QUINSON GEMPMMA. ROCHE MATERIAUX MACROMOLECULAIRES

Directeurs de recherche I.N.R.A.G. BONNOT BIOLOGIE APPLIQUEEG. FEBVAY BIOLOGIE APPLIQUEES. GRENIER BIOLOGIE APPLIQUEEY. MENEZO BIOLOGIE APPLIQUEE

Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M.A.F. PRINGENT (Mme) BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIEI. MAGNIN (Mme) CREATIS***

GEMPMM* : Groupe d'etude metallurgie physique et physique des matériauxLAEPSI** : Laboratoire d'analyse environnementale des procédés et systèmes industrielsCREATIS*** : Centre de recherche et d'applications en traitement de l'image et du signal

6

A la mémoire de ma grand-mère, Frida Hansen.

7

$9$17352326

Cette recherche a été effectué au Centre de Thermique de Lyon (CETHIL), de l'InstitutNational des Sciences Appliquées de Lyon.

Je remercie tout d'abord mon directeur de thèse, M. le Professeur Jean-FrançoisSACADURA, pour m'avoir proposé ce sujet de recherche, ainsi que pour la confiance etl'attention qu'il m'a accordé tout au long de ce travail. A travers lui, j'adresse aussi mesremerciements à l'INSA, et particulièrement au CETHIL, qui ont accueilli mes recherches.

Je remercie également :

- M. C. BISSIEUX, Maître de Conférence et M. le Professeur G. JEANDEL, pour avoiraccepté d'être les rapporteurs de mon travail ;

- ainsi que Mme D. BAILLIS-DOERMANN, Maître de Conférences, M. le Professeur F.PAPINI, et M. le Professeur M. RAYNAUD, pour leur participation à mon jury de thèse.

Mes remerciements amicaux s'adressent à tous les membres et collègues du laboratoire,pour les discussions fructueuses : MM. C. BEZERRA, G. BLANC, A. BORGES DEMIRANDA, P. CHANTRENNE, Maître de Conférences, Mlle A. DELMAS, Maître deConférences, MM. S. DEMBELE, R. DI FOLCO, Technicien, Mme A. MORLOT, Secrétaire,MM. R. LOPES, Mme A.S. MARCHAND, MM. V. NICOLAU, S. RODRIGUES DEARAUJO, N. RUPERTI JR et M. SASSI.

Enfin, je suis très reconnaissant à mon pays, au "Conselho Nacional de DesenvolvimentoCientífico e Tecnológico" (CNPq), l'organisme brésilien de recherches scientifiques, pourm'avoir fourni les moyens financiers qui m'ont permis de réaliser ce travail (bourse n°201241/93-5 (NV)), et à l'INSA de Lyon pour avoir supporté le coût de fonctionnement de marecherche et celui de ma soutenance de thèse.

Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusantsen situation de non-symétrie azimutale

8

5(680(

Ce mémoire de thèse présente une formulation d'un problème radiatif en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif appliquée à l'identification des propriétés radiatives(épaisseur optique, albédo et fonction de phase) des matériaux fibreux et des mousses. Unegéométrie monodimensionnelle a été considérée.

La solution numérique de l'équation du transfert radiatif est basée sur la méthode desordonnées discrètes appliquée à un volume de contrôle. Une nouvelle quadrature spatiale estproposée. La quadrature est adaptée aux conditions expérimentales, en permettant d'avoir unnombre maximal de points selon les directions susceptibles d'être explorées par le dispositifexpérimental.

Le programme développé permet de considérer différentes situations expérimentales. De cefait, cinq stratégies expérimentales sont analysées de manière à déterminer la plus performantepour l'identification des propriétés radiatives des ces matériaux.

L'identification des propriétés radiatives est réalisée à partir des mesures de transmittanceset de réflectances spectrales et bidirectionnelles obtenues à l'aide d'un montage expérimentalcomprenant un spectromètre à transformée de Fourier et un dispositif goniométrique.

Les propriétés radiatives sont identifiées pour un faisceau collimaté dont les anglesd'incidence varient entre 0° et 40°. L'identification est réalisée pour des longueurs d'ondeallant de 1,5 µm à 15 µm. Une analyse des erreurs dues à un alignement imparfait dudispositif expérimental est présentée.

INTRODUCTION9

$%675$&7

This work is focused on identification methodology for thermal radiation properties ofdispersed media with non-azimuthal symmetry of the radiation field. The properties identifiedare the optical thickness, the albedo and three parameters of the phase function.

The radiative transfer equation is solved numerically by a finite volume discrete ordinatemethod. A new non-azimuthally quadrature is proposed. The ad hoc quadrature allows theexperimental directional measurement considerations.

The experimental device is the combination of Fourier transform infrared spectrometer anda goniometer device which allows the bidirectional transmittance and reflectancemeasurements.

The radiative properties have been determined by the minimisation of the quadratic errorbetween the measured and calculated bidirectional transmittances and reflectances.Measurements are performed for oblique incident beam in the range from 0 and 40 degrees.Results are presented to fiber glass and foam insulation in the 1,5 µm to 15 µm wavelengthrange. Finally, experimental assembly is analysed as a function of alignment uncertains.

Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants.Hypothèse de non symétrie azimutale du champ radiatif

10

NOMENCLATURE

Ae aire de l'échantillon [m2]

wj jème coefficient de la quadrature de GaussNC nombre de conditionnement

dωd angle solide de détection [sr-1]

dωo angle solide du rayonnement collimaté incident [sr-1]

E taux d'énergie mesuré par le détecteur en présence de l'échantillon [W]

Eo taux d'énergie mesuré par le détecteur sans échantillon [W]

f distance focale d'un miroir

F somme des écarts quadratiques

f1 fraction d'asymétrie vers l'avant dans le modèle de fonction dephase

f2 fraction d'asymétrie dans le modèle de fonction de phase

g coefficient d'asymétrie dans la fonction de phase de Henyey-Greenstein

g1 égal à g, pour le pic vers l'avant

g2 égal à g, pour le pic vers l'arrière

" épaisseur [m]

L luminance spectrale [Wm-2sr-1µm-1]

Lc luminance spectrale collimatée [Wm-2sr-1µm-1]

Lo luminance spectrale du corps noir [Wm-2sr-1µm-1]

Lo luminance spectrale collimatée incidente sur l'échantillon [Wm-2sr-1µm-1]

Ls luminance spectrale diffusée [Wm-2sr-1µm-1]

n indice de réfraction du milieu

Nd nombre de directions de discrétisation dans chaque hémisphère

p fonction de phase

pHG fonction de phase selon le modèle d'Henyey-Greenstein

q flux thermique [W/m2]

RA rayon d'ouverture du diaphragme du spectromètre [m]

Rd rayon de la surface sensible du détecteur [m]

s abscisse linéaire [m]

T température absolue [K]

Te transmittance ou réflectance spectrale bidirectionnelleexpérimentale

[sr-1]

Tt transmittance ou réflectance spectrale bidirectionnelle théorique [sr-1]

µj jème coordonnée de la quadrature de Gauss

Nomenclature 11

Symboles Grecs

χj un des six paramètres utilisés dans la présentation du problèmeinverse

δij symbole de Kronecker

αi paramètre de correction pour la normalisation de la fonction dephase

φ angle azimutal

λ longueur d'onde

ν fréquence

µ cos θµo cos θoµp cos θpη cosinus directeur par rapport à l'axe y

ξ cosinus directeur par rapport à l'axe z

θ angle polaire

θo angle polaire de divergence du faisceau collimaté incident

θp angle entre les directions d'incidence et de diffusion (dansprésentation des formules d'Henyey et Greenstein)

θI angle d'incidence du faisceau collimaté sur l'échantillon

ρ réflectivité hémisphérique

ρ masse volumique [kg/m3]Ω angle solide [sr]

σ constante de Stefan-Boltzmann (σ = 5,67051(19)x10-8 W/(m²K4) [W/(m²K4)]

σa coefficient d'absorption volumique et spectrale [m-1]σd coefficient de diffusion volumique et spectrale [m-1]

β coefficient d'extinction volumique et spectrale [m-1]

τ coordonnée optique

τo épaisseur optique de l'échantillon

ω albédo = rapport entre des coefficients de diffusion et d'extinction

ε émissivité hémisphériqueρ réflectivité hémisphériqueρ' réflectivité directionnelleτ' transmitivité directionnelle

Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusantsen situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif

12

SOMMAIRE

AVANT-PROPOS................................................................................................ 7

RESUME.............................................................................................................. 8

ABSTRACT.......................................................................................................... 9

NOMENCLATURE.............................................................................................. 10

SOMMAIRE......................................................................................................... 12

INTRODUCTION................................................................................................. 14

CHAPITRE I ................................................................................................... 20

L’EQUATION DU TRANSFERT RADIATIF

1.1 INTRODUCTION........................................................................................ 20

1.2 L’EQUATION DU TRANSFERT RADIATIF (ETR)................................... 21

1.3 CONDITION DE SYMETRIE AZIMUTALE.............................................. 24

1.4 FORMULATION DE L’ETR SANS SYMETRIE AZIMUTALE................. 25

1.4.1 Développement en série............................................................................ 26

1.4.2 Quadrature spatiale.................................................................................. 27

1.5 VECTEUR FLUX RADIATIF...................................................................... 28

1.6 DIVERGENCE DU VECTEUR FLUX RADIATIF...................................... 28

1.7 RAYONNEMENT INCIDENT..................................................................... 28

1.8 TRANSMITTANCES, REFLECTANCES ET EMITTANCE D'UNMILIEU....................................................................................................... 28

1.8.1 Transmittance et réflectance bidirectionnelles........................................... 29

1.8.2 Transmittance et réflectance hémisphériques............................................. 29

1.8.3 Emittance directionnelle........................................................................... 29

1.9 FONCTION DE PHASE............................................................................... 30

1.9.1 Polynôme de Legendre............................................................................. 32

1.9.1.1 Diffusion Isotrope............................................................................... 33

1.9.1.2 Diffusion linéaire anisotrope du premier degré..................................... 33

1.9.1.3 Diffusion anisotrope du deuxième degré.............................................. 34

SOMMAIRE13

1.9.2 Fonction de phase due à la réflexion par des sphères opaques................... 34

1.9.3 Fonctions Delta........................................................................................ 35

1.9.4 Modèle d'Henyey-Greenstein.................................................................... 35

1.9.5 Modèle de Henyey-Greenstein Modifié..................................................... 37

1.9.6 Normalisation de la Fonction de Phase...................................................... 38

CHAPITRE II ................................................................................................. 40

UTILISATION DE LA METHODE DES ORDONNEES DISCRETES POUR LA RESOLUTION DE L’ETR

2.1 INTRODUCTION........................................................................................ 40

2.2 DISCRETISATION ANGULAIRE............................................................... 40

2.2.1 Quadrature spatiale pour un problème sans symétrie azimutale................. 45

2.2.2 Vérification des erreurs sur les moments pour les différentes quadratures..............................................................................................

48

2.2.3 Discrétisation angulaire appliquée à L'ETR............................................... 53

2.3 DISCRETISATION SPATIALE................................................................... 54

2.3.1 Maillage................................................................................................... 54

2.3.1.1 Maillage régulier................................................................................. 55

2.3.1.2 Maillage irrégulier............................................................................... 55

2.3.1.2.1 Maillage raffiné près des deux frontières...................................... 55

2.3.1.2.2 Maillage raffiné près d'une seule frontière..................................... 55

2.3.2 Calculs des luminances aux noeuds et aux faces des volumes de contrôle................................................................................................. 552.3.3 Flux radiatif.............................................................................................. 58

2.3.4 Rayonnement incident.............................................................................. 58

2.3.5 Différentes Approches pour le calcul de la luminance à l'intérieur du volume................................................................................................. 58

2.3.6 Linéarisation du Terme Source................................................................. 62

2.4 INFLUENCE DE DIFFERENTS SCHEMAS............................................... 64

2.4.1 Influence de la quadrature........................................................................ 64

2.4.2 Influence du type d'interpolation spatiale.................................................. 68

2.4.3 Influence de la quadrature pour un problème sans symétrie azimutale....... 74

2.5 CONCLUSION............................................................................................... 84


14

CHAPITRE III ............................................................................................... 85

ESTIMATION DE PARAMETRES

3.1 INTRODUCTION........................................................................................ 85

3.2 DESCRIPTION DE LA METHODE DE LINEARISATION DE GAUSS.... 86

3.3 DIFFERENTES APPROCHES EXPERIMENTALES POURL'IDENTIFICATION DES PROPRIETES RADIATIVES.......................... 88

3.4 SCHEMA POUR L'IDENTIFICATION DES PARAMETRES..................... 98

3.4.1 Simulation d'identification de paramètres.................................................. 100

3.5 CONCLUSION............................................................................................ 104

CHAPITRE IV ................................................................................................105

DESCRIPTION DE LA TECHNIQUE EXPERIMENTALEUTILISANT LE SPECTROMETRE

105

4.1 INTRODUCTION........................................................................................ 105

4.2 DESCRIPTION GENERALE....................................................................... 112

4.2.1 Mesures de transmittances et de réflectances............................................... 112

4.3 CARACTERISATION DU FAISCEAU INFRAROUGE.............................. 113

4.3.1 UNIFORMITE DU FAISCEAU.............................................................. 114

4.3.2 DETERMINATION DES ANGLES DE DIVERGENCE........................ 121

4.4 PROCEDURE D'EXECUTION DES MESURES......................................... 126

CHAPITRE V ..................................................................................................129

RESULTATS EXPERIMENTAUX

5.1 INTRODUCTION........................................................................................ 129

5.2 RESULTATS OBTENUS POUR LA FIBRE C3-CRIR................................ 131

5.3 RESULTATS OBTENUS POUR LA LAINE DE VERRE (86 kg/m3).......... 144

5.4 RESULTATS OBTENUS POUR LA MOUSSE DE CARBONE TYPE 2.... 157

5.5 RESULTATS OBTENUS POUR LA MOUSSE DE CARBONE TYPE 3.... 167

5.6 ANALYSE DES ERREURS DE L'ALIGNEMENT OPTIQUE.................... 175

5.6.1 Influence du positionnement du détecteur................................................ 175

5.6.2 Influence de l'alignement du porte- 177

SOMMAIRE15

échantillon..............................................

5.7 CONCLUSION............................................................................................. 177

CONCLUSION ET PERSPECTIVES.................................................... 179

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ........................................................... 181

ANNEXES...........................................................................................................198

ANNEXE A1 : Solution de l'ETR sans symétrie azimutale par développementen série......................................................................................... 198

ANNEXE A2 : Quadratures.................................................................................. 202

ANNEXE A3 : Solution analytique pour un cas sans diffusion............................... 211

Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusantsen situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif

16

,1752'8&7,21

Les modèles prédictifs de transfert de chaleur par rayonnement au sein d'un milieu semi-transparent (mst) ont fait l'objet d'un développement important au cours de ces dernièresannées. Certains de ces modèles peuvent s'avérer très précis pour le calcul du flux radiatif àcondition que les valeurs des propriétés radiatives injectées dans ces modèles soientégalement déterminées avec précision.

La caractérisation des propriétés radiatives d'un mst peut être classée selon deux approchesdistinctes :

i) modèles prédictifs fondés sur la résolution de l'équation d'onde électromagnétique àpartir de la connaissance de la morphologie du milieu (forme et dimensions desparticules, distribution des particules, porosité) et des propriétés optiques (indicecomplexe de réfraction) du matériau constitutif ;

ii) modèles d'identification des propriétés radiatives reposant sur une méthode d'inversionde l'équation de transfert radiatif (RTE) à partir des données obtenues à l'aide d'undispositif expérimental.

Les modèles de prédiction permettent une étude plus aisée de l'influence de paramètres telsque la taille de particule et la porosité. Cependant ces modèles nécessitent la connaissance despropriétés optiques, qui doivent être déterminées de façon expérimentale. Une autrecaractéristique de ces modèles est que, normalement, ils nécessitent une validationexpérimentale. Une remarque sur cette approche est qu'il est souhaitable de déterminer lespropriétés optiques du matériau par un montage expérimental différent de celui sur lequel lavalidation du modèle sera réalisée. Si le même dispositif expérimental est utilisé, les erreursdues aux conditions expérimentales, seront masquées et les résultats obtenus présenteront unebonne concordance trompeuse. C'est le cas, par exemple, des mesures réalisées parCunnington et Lee (1996). A partir d'un modèle prédictif appliqué à des fibres de verre(volume spécifique 145 kg/m3) orientées de façon aléatoire dans l'espace, ces auteurs ontcomparé des mesures de réflectance et de transmittance hémisphérique et leurs résultatsprésentent des écarts lorsque les valeurs des propriétés optiques du verre provenant de lalittérature sont utilisées. En supposant que cet écart est dû à une différence des propriétésoptiques des fibres de cette étude par rapport aux valeurs de la littérature, ces auteurs ontdéterminé les propriétés optiques de ces fibres (avec des écarts aux valeurs de la littératuredans un rapport de 1 à 10) en utilisant une démarche d'identification fondée sur le mêmedispositif expérimental et le même modèle de prédiction des propriétés radiatives. Comme lemodèle d'identification est basé sur la minimisation des écarts entre les valeurs expérimentaleset théoriques; les résultats prédits de transmittance et de réflectance hémisphérique serontforcement en bon accord avec les résultats expérimentaux.

Comme il a été dit, une méthode d'identification minimise les écarts entre des valeursthéoriques et expérimentales de transmittances et de réflectances bidirectionnelles ouhémisphériques. Normalement, des hypothèses simplificatrices sont introduites pour réduire lafonction de phase à une expression avec peu de termes à identifier. La réussite d'un modèle

INTRODUCTION17

d'identification dépendra de la configuration expérimentale utilisée. Certaines configurationspeuvent entraîner une dépendance linéaire entre les paramètres à identifier et l'identificationne sera alors pas possible.

Dans ce travail, la deuxième approche est utilisée pour l'identification des propriétésradiatives d'un mst, plus précisément de matériaux fibreux et de mousses (Figure (1)) qui ontcomme caractéristique un fort pic de diffusion. La porosité des ces matériaux est extrêmementélevée, ce qui permet de considérer le milieu comme ayant un indice de réfraction unitaire. Lecaractère novateur du modèle développé est la prise en compte de l'hypothèse de non-symétrieazimutale du champ radiatif, permettant l'identification des propriétés radiatives selon desangles d'incidence variables d'un faisceau collimaté. L'hypothèse de non-symétrie azimutale aété déjà considérée dans plusieurs travaux (Spiga et Vestrucci (1981), Vestrucci et al. (1982),Gerstl et Zardecki (1985), Oelund et McCormick (1985), Kumar et Felske (1986), Stamnes etal. (1988), Modest (1991) et Godsalve (1995)). Cependant ces modèles sont fondés sur lapossibilité de développer la fonction de phase et le champ de luminances en une série depolynômes de Legendre. Cette hypothèse transforme le problème sans symétrie azimutale enune somme de problèmes avec symétrie azimutale. Mais une identification des polynômes deLegendre n'est pratiquement possible que pour un nombre maximum des termes de l'ordre de5 (Sanchez et McCormick (1982) et Silva Neto et Özisik (1992)) et les fibres et mousses ontcomme caractéristique de nécessiter un nombre très élevé de termes de polynômes deLegendre (supérieur à 100) pour décrire correctement le phénomène de diffusion. Dans cetravail, une fonction de phase Henyey-Greenstein modifiée (proposée par Nicolau (1994)) estutilisée. Elle permet de représenter le pic de diffusion avec un nombre réduit de termes,puisqu'il n'est que de 3.

Du fait de la limitation présentée par les modèles antérieurs de ne pas pouvoir utiliser unefonction de phase d'Henyey-Greenstein, nous avons développé une formulation pour lasolution de l'ETR à travers la méthode des ordonnés discrètes en utilisant une quadraturespatiale. La géométrie considérée est unidimensionnelle. La quadrature est adaptée auxconditions expérimentales, en permettant d'avoir un nombre maximal de points selon lesdirections explorables par le dispositif expérimental.

Le modèle développé permet la prise en compte de plusieurs considérations expérimentalesqui sont analysées dans ce travail. Les différences entre les stratégies expérimentalessusceptibles d'être adoptées sont fonction du type d'incidence du rayonnement (faisceaucollimaté - incident normalement ou incliné sur l'échantillon - ou incidence diffuse) ou dutype de mesures (transmittances et réflectances bidirectionnelles ou hémisphériques, ouemittances). Une analyse de sensibilité aux propriétés radiatives de la méthode expérimentalefondée sur un nombre de conditionnement est effectuée en fonction de l'épaisseur optique del'échantillon et de l'angle de divergence du faisceau.

Des mesures réalisées pour les fibres et des mousses en condition de non-symétrieazimutale du champ radiatif sont présentées. Les mesures sont effectuées selon des anglesvariant entre 0° et 40°. Le modèle d'identification est utilisé pour déterminer les propriétésradiatives de ces matériaux. De plus une analyse de l'influence de la quadrature et de la qualitéde l'alignement est réalisé.


18

Laine de verre rigide Laine de verre

mousse de carbone

Figure (1) : Les différents types de matériaux analysés dans ce travail.

Ce mémoire est scindé en cinq chapitres.

Dans le premier chapitre la modélisation du transfert radiatif dans un mst pour une trancheplane est présentée.

Le chapitre 2 établit la solution de l'ETR par la méthode des ordonnées discrètes appliquéeà un volume de contrôle. Dans ce chapitre, plusieurs cas-tests sont appliqués à cetteformulation de façon à évaluer les erreurs et aussi à déterminer des paramètres tels que lenombre de directions et de volumes de contrôle nécessaire pour une identification correcte desparamètres.

INTRODUCTION19

Au chapitre 3 la méthode d'identification utilisée est détaillée. Cinq stratégiesexpérimentales sont analysées dans le but de déterminer leurs performances pourl'identification des paramètres.

Le dispositif expérimental utilisé pour les mesures en condition de non-symétrie azimutaleest présenté au chapitre 4. Les résultats de plusieurs essais de vérification de ce montage sontprésentés et discutés.

Enfin, au cinquième et dernier chapitre, les résultats de l'identification des propriétésradiatives de deux types de laines et deux types de mousses expansées sont fournis. Uneanalyse sur les différentes possibilités d'identification et sur l'influence d'un mauvaisalignement optique du dispositif expérimental sont analysés. Des comparaisons sonteffectuées entre des mesures de transmission et réflexion hémisphériques avec troisspectromètres différents.


20

&+$3,75(,

L’EQUATION DE TRANSFERT RADIATIF

1.1 - INTRODUCTION

L'identification des propriétés radiatives d'un milieu semi-transparent (mst) diffusant àpartir d'expériences nécessite de modéliser l'équation du transfert radiatif (ETR) au sein dumilieu. Normalement, les conditions expérimentales sont choisies de façon à permettrel'utilisation des hypothèses de géométrie unidimensionnelle et de symétrie azimutale duchamp radiatif. Ces hypothèses facilitent considérablement la solution de l'ETR permettantd'obtenir des codes de calcul rapides pour l'utilisation avec un modèle d'identification deparamètres. Cependant très peu de travaux existent pour un problème d'identification sanssymétrie azimutale. Pour certains matériaux qui présentent une morphologie homogène, le faitd'avoir un faisceau incident incliné sur un échantillon produit un effet presque similaire àl'augmentation de l'épaisseur optique du milieu. Mais certains types de matériaux présententune morphologie non homogène (cas de fibres disposées de façon stratifiée sur des plansparallèles) et leurs propriétés radiatives varient avec l'angle d'inclinaison du faisceau incident.

L'ETR pour un mst diffusant est de type intégro-différentiel, ce qui rend sa résolutionanalytique compliquée, à l'exception de cas simples. Cependant les méthodes analytiquespeuvent être utilisées comme références pour tester les techniques approchées afin dedéterminer leur degré de précision. Parmi les méthodes analytiques les plus courantes,peuvent être citées la méthode FN adaptée au transfert radiatif par Siewert (Modest, 1993) et laméthode des Harmoniques Sphériques - PN (Howell, 1988). L'indice N détermine l'ordre del'approximation. Si cette valeur est infinie, la solution de l'équation de transfert radiatif est lasolution exacte. Il existe aussi des solutions approchées, correspondant à des cas trèssimplifiés et qui donnent des résultats satisfaisants pour ces cas spécifiques. L'approximationde Rosseland (ou modèle de diffusion) pour un milieu optiquement épais et le modèle à deuxflux sont des exemples de solutions approchées.

Pour des problèmes plus complexes, des méthodes numériques ont été développées pourles cas où doivent être considérées les caractéristiques spectrales, la non-homogénéité despropriétés radiatives du milieu (Gerstl et Zardecki, 1985), des géométriesmultidimensionnelles (Kim et Lee, 1988, Fiveland, 1991, El Wakil, 1991, Ramankutty etCrosbie, 1997), des gradients de température (Ruperti Jr., 1996), des changements d'indice deréfraction (Wu et al., 1994, Liou et Wu, 1996), ou encore, des conditions limites non-homogènes. La méthode de Monte-Carlo a été utilisée pour des problèmes complexes, commepour prendre en considération la diffusion dépendante (Singh et Kaviany, 1991), ou pourétudier le passage d'un problème de diffusion simple à la diffusion multiple (Göbel, 1997). Laméthode de Monte-Carlo peut être très précise à condition de prendre un échantillonnage trèsgrand. Son inconvénient est qu'elle est très lourde et nécessite beaucoup de calculs. Laméthode des zones, développée par Hottel (Hottel et Sarofin, 1963), est l'une des plus utiliséesen transfert radiatif. Elle peut être également très précise mais son principal inconvénient estqu'elle conduit à des temps de calcul prohibitifs. La méthode des éléments finis (Kisselev etal., 1994) appliquée à l'ETR est une autre technique numérique qui présente un intérêt du fait

CHAPITRE I : L’équation du transfert radiatif21

de sa facilité de génération de maillage et, en conséquence, de son couplage aisé avec d'autrescodes de calculs. Le principe de la méthode multi-flux consiste à subdiviser l'espace angulaireen un certain nombre de directions et à considérer la luminance constante dans chaque partie.Sa précision augmente avec le nombre de directions. La méthode des ordonnées discrètes estune variante de la méthode multi-flux, toutefois Chandrasekhar (1960) l'a développée pourintégrer correctement un polynôme d'ordre (2Nd-1), où Nd est le nombre de directions de laquadrature. De cette façon la précision de la méthode des ordonnées discrètes doit êtresupérieure à celle d'une approche multi-flux. La méthode des ordonnées discrètes a étélargement utilisée pour résoudre différents problèmes radiatifs du fait de sa mise en oeuvreadaptée aux cas de couplage rayonnement/conduction et/ou convection.

La méthode des ordonnées discrètes permet de passer de la forme intégro-différentielle del'ETR à un système d'équations différentielles par l'entremise d'une discrétisation angulaire.Ce système peut être résolu à travers un méthode analytique : calcul de la solution homogène,puis de la solution particulière à l'aide des conditions limites. Une autre façon de résoudre lesystème d'équations différentielles est d'utiliser la méthode des volumes finis (Carlson etLathrop, 1968).

La solution de l'ETR pour un problème sans symétrie azimutale a été traitée dans le cadrede différents travaux, surtout dans les cas de problèmes atmosphériques et océanographiquesoù le rayonnement solaire a un angle d'incidence variable sur la couche atmosphérique etl'océan. Dans ce cas, les propriétés radiatives du milieu sont considérées comme connues etconstantes selon l'angle d'incidence. Plus récemment, Lee (1989, 1994, 1995, 1996) et Boulet(1992) ont calculé les propriétés radiatives de fibres disposées de façon stratifiée dans desplans parallèles aux frontières du milieu. Cette analyse est effectuée à partir de la solution deséquations de Maxwell.

La méthode des ordonnés discrètes, utilisée avec l'approche de volumes de contrôle(Carlson et Lathrop, 1968), très précise, basée sur des approximations peu restrictives, a étéchoisie dans le présent travail. Elle a permis aussi de prendre en compte la non-symétrieazimutale qui sera exploitée pour l'identification des propriétés radiatives de mousses etfibres.

L'objectif de ce premier chapitre est de présenter le modèle de calcul en ordonnéesdiscrètes pour un problème sans symétrie azimutale. L'ETR est d'abord présentée, puis lestypes de fonction de phase appliquées aux fibres et mousses sont exposés.

1.2 - L’EQUATION DU TRANSFERT RADIATIF (ETR)

Si l'on effectue, à une fréquence ν, un bilan des mécanismes physiques d'interactionrayonnement/milieu pour un rayonnement se propagent à travers un milieu qui absorbe, émet,ou diffuse, on obtient l'expression de l'ETR monochromatique :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

11

4

( )s

( ) ( )' '

'

σ σ

σσ σ π

σσ σ

ν νν ν

ν

ν νν

ν

ν νν

πν

a d

d

a d

d

a d

L s L

L T L s

+∇ + =

−+

°

+⋅

=∫

& & & & &

& & & &

Ω Ω Ω

Ω Ω Ω ΩΩ

, ,

+4

p , d '

(1.1)


22

où Lν est la luminance monochromatique, Loν celle du corps noir,

&s est la variable de position

fonction du système de cordonnés utilisés, &Ω est la variable directionnelle, σaν est le

coefficient d'absorption spectral, σdν est le coefficient de diffusion spectral et ( )pν

& &Ω Ω' , est la

fonction de phase spectral. La luminance totale du corps noir est donnée par la formule :

LTo =

n2 4σπ

(1.2)

où σ est la constante de Stefan-Boltzmann (σ = 5,67051(19)x10-8 W/(m²K4) - (NIST -CODATA)) et n est l’indice de réfraction du milieu équivalent à un milieu homogène.

L'ETR peut être aussi écrite sous une forme adimensionnelle. Dans ce cas les termes del'équation (1.1) seront replacés par :

τ ββ σ σ

ν ν

ν ν ν

=+

x

= a d

ωσ

σ σσβν

ν

ν ν

ν

ν=

+=d

d a

d (1.3)

où βν est le coefficient volumique d'extinction spectral, τν est la profondeur optique selonl'axe x, telle que τν=βνx pour un coefficient d'extinction invariant avec la position et ων estl'albedo.

L’indice ν représente la fréquence et dans la suite il sera omis pour alléger l’écriture. Lerayonnement parcourt une distance à l'intérieur d'un milieu et ce parcours doit être projeté surun système de coordonnées. Le système de coordonnes cartésiennes et leurs cosinus directeursrespectifs (µ, ξ, η) sont présentés à la Figure (1.1). Leurs expressions en fonction des angles

de repérage de la direction &Ω par rapport aux axes sont données dans les équations (1.4) à

(1.6). Les expressions (1.4) et (1.5) définissent la façon de calculer l'angle θp entre deux

directions ( )& &Ω Ω' , à partir des cosinus directeurs. L'angle correspondant à µ est appelé l'angle

polaire et l'angle φ est celui d'azimut.

µ θη α θ φ

ξ α θ φ

==

=

cos

cos = sin cos

cos = sin sin

y

z

d sin d dΩ = θ φθ (1.4)

( )& &Ω Ω' ' ' cos '⋅ = = = + − − −cos pθ µ µµ µ µ φ φp 1 12 2 (1.5)

cos pθ µ µµ ηη ξξp = = + +' ' ' (1.6)


Figure (1.1) : Définition des cosinus directeurs (µ, ξ,η).

Pour une géométrie unidimensionnelle cartésienne, Figure (1.2), l'ETR se simplifie :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

4β

ωωπ

π

d ,

d, +

4p , d '

L s

sL s L T L s

&& & & &ΩΩ Ω Ω Ω Ω

Ω

+ = − ° ⋅=∫ ' ''

(1.7)

Figure (1.2) : Système de cordonnées unidimensionnel (Tranche plane semi-transparente).

x

ττo

z

&Ω

θ

&ey

φ

ex

face1

&ez

face0

µ>0

θφ

&s

αy

x

αz

"x

µ

η

ξ

θI

( )L s& &,Ω

µ<0


24

1.3 CONDITION DE SYMETRIE AZIMUTALE

La condition de symétrie azimutale a été souvent utilisée du fait de la facilité de résolutionqu'elle apporte à l'ETR. En utilisant cette condition, les variables deviennent indépendantes del'angle d'azimut φ et sont constantes autour d’un cône d’angle solide Ω centré sur l’axe x,Figure (1.3). Dans ce cas :

L L L( , ) ( , , ) ( , )

... ...

s x x

d sin d d d

&Ω

ΩΩ

= =

= ==

== −∫ ∫∫ ∫

µ φ µ

θ θ φ π µπ

θ

π

φ

π

400

2

1

1

2

(1.8)

l’ETR, équation (1.7), devient

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )µ∂ τ µ

∂ττ µ ω

ωτ µ µ µ µ

LL L T L

,, , ' ' , '+ = − +

−∫12

0

1

1

p d (1.9)

Figure (1.3) : Discrétisation polaire de l'espace sphérique en plusieurs anneaux (Ruperti,1996).

De façon à augmenter la précision sur l'intégration du flux aux parois (Fiveland, 1985) dansla méthode de ordonnées discrètes, on peut réécrire l’équation ci-dessus pour obtenir uneintégration comprise entre 0≤µ≤1 :

( )µ∂ τ µ

∂ττ µ ω

ωτ µ µ µ µ τ µ µ µ µ

LL L T)

L L

( , )( , ) (

( , ' ) ( ' , ) ' ( , ' ) ( ' , ) '

+ = −

+ + − −

∫ ∫

1

2

0

0

1

0

1

p d p d (1.10)

µ<0 µ>0

dω

L(τ,µ)


Les conditions limites générales pour un problème avec symétrie azimutale et un milieuavec un indice de réfraction unitaire peuvent être exprimées de la façon suivante :

τ µ ε ρ µ µ µ µ

ρ µ τ µ

τ τ τ µ ε τ ρ τ µ µ µ µ

ρ τ µ τ τ µ

= = + −

+ − +

= = +

+ +

∫

∫

0 0 0 2 0 0

0 0

2 0

2

00

0

1

10

10

1

1 1

; ( , ) ( ) ( , ) ' '

' ( , ) ' ( , )

; ( , ) ( ) ( , ) ' '

' ( , ) ' ( , )

L L L

L L

L L L

L L

o

o oC

o o o o

oC

o

d >

d <

(1.11)

où ε désigne l'émissivité hémisphérique, ρ est la réflectivité hémisphérique, ρ' est laréflectivité directionnelle et τ' est la transmitivité directionnelle de la paroi pour unrayonnement incident extérieur de luminance LC selon la direction µ. D'après cetteformulation, l'incidence du rayonnement peut varier entre une incidence collimatée normale etune incidence hémisphérique. Pour respecter la conservation d'énergie, les propriétés desurfaces doivent respecter la relation suivante :

ε ρ ρ τ+ + + =' ' 1 (1.12)

1.4 - FORMULATION DE L’ETR SANS SYMETRIE AZIMUTALE

Pour un problème unidimensionnel sans symétrie azimutale le champ de luminance au seindu milieu perd sa symétrie par rapport à l’axe d’azimut. Cela ne permet pas l’utilisation del’équation (1.9) pour la simplification de l’ETR qui doit être résolue sous la forme del'équation (1.7).

Cependant, Tsay et al. (1990) ont proposé l’utilisation d’une moyenne sur le champ deluminance non-azimutal pour calculer le flux. Celle-ci est souvent utilisée pour lesapplications météorologiques où il y a une nécessité de codes rapides pour des applications entemps réel. De cette façon on peut calculer le flux incident sur la surface de la terre. Dans cecas, le rayonnement incident n’est plus considéré comme étant dans un cône centré sur l’axenormal à la frontière du mst, mais dans un angle solide dω, en forme d'anneau, comme estreprésenté à la Figure (1.3). On doit choisir dω de façon à respecter la conservation du fluxincident. Toutefois le champ de luminance est calculé assez grossièrement et cette méthode nepeut donc pas être utilisée pour l’identification de paramètres.

Si le milieu présente une diffusion isotrope le problème peut être ramené à un cas avecsymétrie azimutale. Özisik (1973) a formulé ce problème en décomposant le champ deluminance en une partie collimatée et une autre diffuse. Dans ce cas le champ de luminancediffus présente la caractéristique de symétrie azimutale. Modest (1991 et 1993) a présenté desrésultats pour ce cas en obtenant une solution formelle par des fonctions intégrales et aussiune solution approchée avec la méthode P1.

Plus récemment, différents travaux ont déjà été menés sur le problème sans symétrieazimutale pour un milieu anisotrope, surtout dans des applications atmosphériques et


26

océanographiques où le soleil a un angle d'incidence variable par rapport à la coucheatmosphérique et à l'océan. Dans ces travaux les propriétés radiatives du milieu sontconsidérées comme connues et constantes selon l'angle d'incidence.

La majorité des travaux partent de la formulation de l'ETR présentée par Chandrasekhar(1968) et reprise par Özisik (1973). Ces auteurs suggèrent une méthode pour transformerl'ETR sans symétrie azimutale en un problème avec symétrie azimutale en décomposant laluminance sous la forme d'une série de Fourier. Cette démarche nécessite cependantl'utilisation de la fonction de phase écrite sous la forme d'un polynôme de Legendre.

Une autre manière de considérer un problème sans symétrie azimutale est d'utiliser unequadrature angulaire en fonction des trois cosinus directeurs (µ, ξ,η). Peu de travauxconcernant cette méthode existent pour traiter un problème sans symétrie azimutale dans unegéométrie unidimensionnelle. Oelund et McCormick (1985) ont utilisé une quadrature spatialepour résoudre un problème sans symétrie azimutale par la méthode FN. Leur quadrature étaitconstruite selon une distribution de directions uniforme selon φ et la direction d'incidence étaitinterpolée à partir des directions déjà préexistantes.

D'autres analyses considérant une géométrie multidimensionnelle, ont été réalisées. Crosbieet Schrenker (1985) ont publié une solution formelle pour une géométrie bidimensionnellecartésienne, Crosbie et Farrel (1984) ont développé, par une méthode intégrale, une solutionpour une géométrie cylindrique , Kim et Lee (1989) ont utilisé la méthode des ordonnéesdiscrètes pour une géométrie cartésienne bidimensionnelle et une fonction de phaseanisotrope.

1.4.1 DEVELOPPEMENT EN SERIE

Si la diffusion est anisotrope, le champ diffus ne présente plus une symétrie azimutale.Chandrasekhar (1960) et Özisik (1973) ont proposé la décomposition du champ de luminanceL(τ,µ,φ) en termes de série de Fourier en sinus et en cosinus autour de l'angle d'azimut φ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )L L Lo oτ µ φ τ µ φ φ τ µ φ φ, , , cos , sin= − + −=

∞

=

∞

∑ ∑k

k

k

k

k k0 0

(1.13)

Le terme en sinus de l’équation (1.13) est introduit de façon à pouvoir prendre en compteune condition-limite diffuse. Si il n’y a pas une incidence diffuse (cas d'un faisceau incidentincliné), le terme en sinus ne contribue pas à la solution, ceci étant dû à une symétrie duproblème autour de φο (φο est l'angle d'incidence du faisceau selon la coordonnée φ).

Dans l'Annexe A.1 le développement de cette solution est détaillé. Le résultat obtenu pourle champ de luminance diffus est une somme de solutions de problèmes avec symétrieazimutale gouvernée par des équations dans la forme (Godsalve, 1995) :

( ) ( )

( ) [ ] ( ) ( )

µ∂ τ µ

∂ττ µ

ωπ

µ µ φ φω

δ µ µ τ µ µτ µ

µ

LL

L Lo o oo

kd k

d

kok

k kdp e p , ' d

,,

, , , , ' '

+ =

+ +−

=−∫4 4

11

1

(1.14)


les luminances pouvant être obtenues à partir de Lkd par la relation suivante :

( ) ( ) ( )L L oτ µ φ τ µ φ φ, , , cos= −=

∑ dk

k

K

k0

(1.15)

où k=0,1, ... , K. La précision de la solution dépend du nombre de termes K utilisé dans lasomme de solutions avec symétrie azimutale.

L'équation (1.14) peut être résolue par différentes méthodes. Spiga et Vestrucci (1981) etVestrucci et al. (1982) ont présenté un développement avec la méthode PN pour un cas avecincidence inclinée, interfaces avec réflexion diffuse et spéculaire et pour un milieu à diffusionisotrope et anisotrope linéaire. Kumar et Felske (1986) ont développé une solution par laméthode FN pour un milieu avec une diffusion anisotrope de type polynôme de Legendre. Enplus d'un faisceau incliné incident sur la surface du milieu, les conditions limites considèrentun faisceau diffus non uniforme et une réflexion spéculaire et diffuse aux interfaces. Stamneset al. (1988) ont présenté les équations pour la méthode des ordonnées discrètes (formulationmatricielle) pour résoudre un problème avec un milieu non-homogène, non-isotherme, avecune incidence d'un faisceau collimaté incliné plus une partie diffuse. Plus récemment,Godsalve (1995) a analysé un problème d'incidence inclinée par rapport à l'atmosphèreterrestre en utilisant la méthode de Stamnes et al. (1988). Pour pouvoir analyser une fonctionde phase de Henyey-Greenstein, typique dans ce genre de problème, il a eu besoin de 300termes pour le développement de la fonction de phase avec un facteur d'asymétrie égal à 0,95.

1.4.2 QUADRATURE SPATIALE

Gerstl et Zardecki (1985) ont proposé un modèle de solution de l’ETR sans symétrieazimutale basé sur l’intégration spatiale des luminances selon la méthode des ordonnéesdiscrètes proposée par Carlson et Lathrop (1968) pour les géométries multidimensionnelles.Cependant, dans leurs articles ils n'ont pas précisé la forme de construction de la quadraturespatiale (θ,φ), ni l'angle solide d'incidence du faisceau. Comme nombre de directions de laquadrature pour le problème avec symétrie azimutale ils ont adopté 40.

La quadrature utilisée par Oelund et McCormick (1985) a été construite selon unedistribution de directions uniforme et la direction d'incidence était interpolée entre lesdirections déjà préexistantes. Néanmoins, cette quadrature n'est pas recommandée pourl'identification des propriétés radiatives de matériaux présentant un fort pic de diffusion dufait de la nécessité de concentrer le nombre de mesures autour du pic. De cette façon lafonction de phase est plus facilement identifiée (Nicolau, 1994).

Pour résoudre cette difficulté, dans le présent travail, une quadrature spatiale a étéconstruite à partir d'une quadrature construite pour un problème avec symétrie azimutale. Unerotation de toutes les directions est effectuée, avec une rotation du système de coordonnées.Cette démarche sera expliquée dans la suite de ce chapitre.


28

1.5 VECTEUR FLUX RADIATIF

Le vecteur flux de rayonnement présente un grand intérêt dans le domaine de l'ingénierie.Son expression monochromatique peut être écrite sous la forme :

& & &q Lr

ν νπ

τ τ( ) ( , )==∫ Ω Ω Ω

Ω

d4

(1.16)

Son intégration sur toutes les fréquences donne le vecteur de rayonnement total :

( )&q qr

r( )τ τ νν=∞

∫0d (1.17)

1.6 DIVERGENCE DU VECTEUR FLUX RADIATIF

La divergence du vecteur flux radiatif caractérise l'énergie radiative nette qui est absorbéeou émise par le milieu. Si ce terme est nul le milieu est dit à l'équilibre radiatif :

( )div q s L

L L

r

a

& & &

&

( ) ( , )

( , )

= ∇⋅

= −

=

=

∫

∫

Ω Ω Ω

Ω Ω

Ω

Ω

τ

σ π τ

π

π

d

d

4

0

4

4

(1.18)

1.7 RAYONNEMENT INCIDENT

Le rayonnement monochromatique incident au point τ, représente la somme durayonnement monochromatique incident selon toutes les directions de l'espace. Il est définipar :

G L

G L

νπ

ν

τ τ

τ π τ µ µ

( ) ( , )

( ) ( , )

=

=

=

−

∫

∫

&Ω Ω

Ω

d

d

4

1

1

2

(1.19)

1.8 TRANSMITTANCES, REFLECTANCES ET EMITTANCE D'UN MILIEU SEMI-TRANSPARENT

La transmittance et la réflectance d'un milieu peuvent être définies selon la nature dufaisceau incident : collimaté ou hémisphérique, ou selon le type de mesure de l'énergietransmise : bidirectionnelle ou hémisphérique. L'émittance est définie par rapport à latempérature du corps noir.


1.8.1 TRANSMITTANCE ET REFLECTANCE BIDIRECTIONNELLES

La transmittance bidirectionnelle est le rapport de la luminance du rayonnement transmisdans une direction donnée à la densité du flux radiatif incident sur l'échantillon dans un anglesolide élémentaire dωo. LodωoµI (µI=cos(θI)) représente le flux d'énergie par unité de surface,incident sur l'échantillon. Si dωo est petit on peut définir le faisceau comme collimaté, si dωo

vaut 2π l'incidence est dite hémisphérique.

( ) ( )T

L

Lbdo o I

θ φθ φω µ

,,

=d

(1.20)

La réflectance bidirectionnelle est définie de manière analogue, mais cette fois en relationavec la luminance du rayonnement réfléchi :

( ) ( )R

L

Lbdo o I

θ φθ φω µ

,,

=d

(1.21)

1.8.2 TRANSMITTANCE ET REFLECTANCE HEMISPHERIQUES

Transmittance hémisphérique est le rapport du flux transmis par l'échantillon dans un anglesolide de 2π sr, au flux incident sur l'échantillon dans un angle solide élémentaire dωo :

( )T

L

Leho o I

=∫ θ φ θ

ω µ

π, cos d

d

Ω0

2

(1.22)

La réflectance hémisphérique est définie de manière analogue, mais cette fois en relationavec le flux du rayonnement réfléchi :

( )R

L

Leho o I

=∫ θ φ θ

ω µ

π, cos d

d

Ω0

2

(1.23)

1.8.3 EMITTANCE DIRECTIONNELLE

Emittance directionnelle dans une certaine direction (θ,φ) est le rapport entre la luminanceémise par un corps à une température constante To et la luminance du rayonnement d'équilibreémis à la même température To. A partir de cette définition on peut considérer l'émittancecomme un phénomène de volume et on peut l'étendre à des mst. L'émittance directionnelle estdéfinie par :

( ) ( )ε θ φ

θ φed

L

L,

,=

o

(1.24)


30

1.9 FONCTION DE PHASE

La diffusion d'une onde électromagnétique par une particule est due aux phénomènes dediffraction, de réfraction et de réflexion. L'importance sur la diffusion de chacun de cesphénomènes dépend de la longueur d'onde du faisceau incident, de l'indice complexe deréfraction, de la taille et de la morphologie des particules. La distribution de la diffusion,lorsqu’un rayonnement traverse un milieu semi-transparent est décrite par la fonction de phase

pν dont la valeur ( )( )p dν πΩ Ω Ω' , 4 représente la probabilité pour qu’un faisceau incident

dans l’angle solide dΩ’ centré sur la direction Ω’, soit diffusé dans l'angle solide dΩ centrésur Ω, Figure (1.4).

L um ina nc e

Inc id ente

L um i nance

di f f usée

Figure (1.4) : Diffusion par le milieu de la direction Ω' vers la direction Ω (Nicolau, 1994).

La somme des probabilités sur toutes les directions de l’espace doit être égale à l’unité,aussi la fonction de phase doit être normalisée :

( )1

41

4π

π

p dΩ Ω ΩΩ

' ,=∫ = (1.25)

Dans le cas où les particules diffusantes sont composées d’un matériau homogène,isotrope, présentent une symétrie sphérique parfaite, où le milieu n’a pas de directionpréférentielle la fonction de phase ne dépend que de l’angle θp entre la direction d’incidence etcelle de diffusion, Figure (1.5). Par contre si le milieu ne respecte pas ces conditions, lafonction de phase dépend de deux angles. C'est le cas, par exemples des fibres stratifiées dansdes plans [(Lee, 1989, 1994, 1995, 1996) et (Boulet, 1992)].

Pour un cas avec symétrie azimutale le champ de rayonnement ne dépend plus de l’angled’azimut φ. La fonction de phase p(µ',µ) pour l'utilisation avec l'équation (1.9) peut êtreobtenue en intégrant p(θp) sur dφ' :

( ) ( )

( ) ( )

1

41

2

1

2

1

1

0

2

0

2

1

1

πτ µ µ φ µ φ µ φ

τ µπ

µ φ µ φ φ µ

π

π

L

L

, ' ' , ' , ' '

, ' ' , ' , ' '

−∫∫

∫∫

→

= →

p d d

p d d-

(1.26)

dsΩ’

Ω

∆A


( ) ( )p µ µπ

µ φ µ φ φπ

' , ' , ' , '= →∫1

2 0

2

p d (1.27)

φ

φ

θθ

θp

φ

θ

/θ,φ

/θ,φ

Figure (1.5) - Les angles pour les directions d'incidence et de diffusion. (Nicolau, 1994).

Différentes représentations de fonction de phase peuvent être utilisées. Un milieu avec unparamètre de taille de particules (πd/λ) petit présente une fonction de phase plus uniforme. Sile paramètre de taille augmente, la fonction de phase commence à présenter des pics dediffusion pour certaines directions. Cet effet est montré sur la Figure (1.6) pour une particulesphérique d'alumine. La fonction de phase a été calculée en utilisant la théorie de Mie avec lecode développé par Dembélé et al. (1997). Une représentation réaliste de fonctions de phasetrès pointues vers l'avant (cas de laines de verres par exemple, ou de suspensions de particulesdans l'eau) peut nécessiter un développement d'ordre très élevé, comportant de nombreuxtermes. Il est évident que l'identification expérimentale des coefficients d'un teldéveloppement n'est pas possible, c'est pourquoi l'on préfère utiliser des fonctions de phaseplus simples, contenant peu de paramètres à identifier. Dans ce qui suit, les fonctions de phaseles plus courantes seront présentées.


32

10-3

10-1

101

103

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

10-3

10-1

101

103

rayon = 100 µm

rayon = 10 µm

rayon = 0.1 µm

Figure (1.6) : Diffusion d'une particule sphérique pour plusieurs diamètres,n=(8,4.10-7i+1.754) et λ=3 µm.

1.9.1 POLYNOMES DE LEGENDRE

La fonction de phase peut être approchée par une somme de polynômes de Legendre,(expression 1.28). Cette représentation permet d’approcher n’importe quelle fonction de phaselorsque le nombre de termes est assez grand. Dans la pratique on tronque cette somme determes (Özisik, 1973).

( ) ( )p a Pµ µp i i pi

==

∞

∑0

, avec a0 = 1 (1.28)

où

( )µ µµ µ µ φ φp = + − − −' ' cos '1 12 2(1.29)

ai = constante correspondant à l'ordre i, fonction des caractéristiques du milieu ;Pi = polynôme de Legendre d’ordre i ;θp = l’angle entre le faisceau incident et le faisceau diffusé ;φ = l’angle d’azimut.


1.9.1.1 DIFFUSION ISOTROPE

Lorsqu'on considère un seul terme pour le polynôme de Legendre, équation (1.28), lafonction de phase est dite isotrope. Dans ce cas, le rayonnement est diffusé de manière égaledans toutes les directions de l'espace.

p (µp) = 1 (1.30)

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

05 1015202530

3540

4550

556065707580859095100105

110115

120125

130135

140145

150155160165170175

180185190195200205

210215

220225

230235

240245

250255260265270275280285290295300

305310

315320

325330335340345350355

0

45

90

135

180

225

270

315

Figure (1.7) : Diffusion isotrope.

1.9.1.2 DIFFUSION LINEAIRE ANISOTROPE DU PREMIER DEGRE

Dans le cas d'une diffusion linéaire anisotrope, le nombre de termes est égal à 2 :

p (µp) = 1 + a µp -1 ≤ a ≤ 1 (1.31)

Si a>0 on a une fonction de phase dirigées vers l’avant, dans le cas contraire elle est dirigéevers arrière.

0

0 .5

1

1 .5

20

5 101 520253035

4045

5 055

6065707580859095100105

110115

120125

1 3013 5

140145

1501551601 65170175180

18 51901952002052102 15

220225

230235

240245

250255260265270275280285290295300

305310

315320

3 2533033534034535035 5

0

45

90

135

180

225

270

315

0

0.5

1

1.5

20

5 101 520253035

4045

5055

6065707580859095100105

110115

120125

130135

140145

1501551601 65170175180

185190195200205210215

220225

2 3023 5

240245

250255260265270275280285290295300

30 53 10

315320

325330335340345350355

0

45

90

135

180

225

270

315

Figure (1.8) : Diffusion linéaire anisotrope(a = 1).

Figure (1.9) : Diffusion linéaire anisotrope(a = -1).


34

1.9.1.3 DIFFUSION ANISOTROPE DU DEUXIEME DEGRE

La fonction de phase est écrite avec trois termes. Avec a1 = 0 et a2=1/2 on obtient ladiffusion de Rayleigh :

( )p = ( )µ µp p

3

41 2+ (1.32)

0

0.5

1

1.5

0

0 0.087266463

50.174532925

100.261799388

150.34906585

200.436332313

250.523598776

300.610865238

350.698131701

400.785398163

450.872664626

500.959931089

551.047197551

601.134464014

651.221730476

701.308996939

751.396263402

801.483529864

851.570796327

901.658062789

951.745329252

1001.832595715

1051.919862177

1102.00712864

1152.094395102

1202.181661565

1252.268928028

1302.35619449

1352.443460953

1402.530727415

1452.617993878

1502.705260341

1552.792526803

1602.879793266

1652.967059728

1703.054326191

1753.141592654

180

3.228859116

185

3.316125579

190

3.403392041

195

3.490658504

200

3.577924967

205

3.665191429

210

3.752457892

215

3.839724354

220

3.926990817

225

4.01425728

230

4.101523742

235

4.188790205

240

4.276056667

245

4.36332313

250

.450589593

255

537856055

260

625122518

265

.71238898

270

799655443

275

886921906

280

.974188368

285

5.061454831

290

5.148721293

295

5.235987756

300

5.323254219

305

5.410520681

310

5.497787144

315

5.585053606

320

5.672320069

325

5.759586532

330

5.846852994

335

5.934119457

340

6.021385919

345

6.108652382

350

6.195918845

355

0

45

90

135

180

225

270

315

Figure (1.10) : Diffusion anisotrope du deuxième degré (a1 = 0 et a2=1/2).

1.9.2 FONCTION DE PHASE DUE A UNE REFLEXION DIFFUSE PAR DES SPHERES OPAQUES

La fonction de phase due à la réflexion diffuse par des sphères opaques est définie par larelation suivante (Siegel et Howell, 1981) :

( ) ( )( )p p p p pµ π µ µ µ= − − −8 3 1 2 1cos (1.33)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0

30

60

90

120

150180

210

240

270

300

330

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Figure (1.11) : Diffusion due à une réflexion diffuse par des sphères opaques.


1.9.3 FONCTIONS DELTA

Pour un milieu avec une diffusion très pointue vers l'avant, comme c'est le cas pour lesparticules sphériques de grand diamètre, le nombre de termes nécessaire pour la somme depolynômes de Legendre peut être d'une centaine , ce qui est pénalisant dans les calculs. Pourréduire le nombre de termes, le pic vers l'avant peut être remplacé par une fonction delta(Dirac). L’idée est de remplacer la diffusion dans un angle très petit vers l'avant selon ladirection d'incidence pour une transmission de rayonnement dans cette même direction(Potter, 1970). D'une manière générale la fonction Delta -M peut être représentée de la façonsuivante :

( ) ( )p f cos f p( ) ( ) 'θ δ θ θp p p= − + −2 1 1 (1.34)

où p'(θp) est la fonction de phase sans le pic avec un nombre réduit de termes et f est lecoefficient d’asymétrie. Pour un polynôme d'ordre 1 on obtient la fonction Delta :

p f cos f( ) ( )θ δ θp p= − + −2 1 1 (1.35)

La fonction delta-Eddington combine une fonction de Dirac avec un développement ensérie de polynômes de Legendre limité à l'ordre 2 (Joseph, J.H. et al., 1976).

( )p f cos f cos( ) ( ) (θ δ θ θp p p) g= − + − −2 1 1 1 3 (1.36)

où f représente la fraction diffusée vers l'avant et g le paramètre d'asymétrie définisrespectivement par f=a2 ; g=(a1 -f)/(1-f), à partir des polynômes de Legendre, cette fonction estnormalisée.

1.9.4 MODELE D'H ENYEY-GREENSTEIN

Afin de présenter une fonction de phase très pointue vers l’avant ou vers l’arrière, avec unnombre non excessif de termes, Henyey et Greenstein ont proposé une fonction de phase quine dépend que d’un seul paramètre d’asymétrie, g.

Le modèle de Henyey-Greenstein, est donné par l’expression suivante :

( ) ( )p

cosθ

θp

pg, g

g

g=

−

+ −

1

1 2

2

23

2(1.37)

Dans cette expression g est le coefficient d'asymétrie, variant entre 0 et 1 pour la diffusionvers l'avant et entre -1 et 0 pour la rétrodiffusion. Une diffusion isotrope correspond à g = 0.Pour une diffusion fortement anisotrope le coefficient d'asymétrie sera proche de ±1. LesFigures (1.12) à (1.16) montrent la variation de la fonction de phase de Henyey-Greensteinavec le paramètre d'asymétrie g. Ces courbes présentent p(θp ,g) en coupe plane, toutefois θp

est fonction de θ et φ qui sont des coordonnées spatiales.

Le coefficient d’asymétrie g, peut être obtenu à partir d'une somme de polynômes deLegendre en utilisant l'expression suivant :


36

( )g P p=−∫ θ µ µ1

1

cos d (1.38)

0

0.2

0 .4

0 .6

0 .8

1

05 1015202530

3540

4550

556065707580859095100105

110115

120125

130135

140145

150155160165170175

180185190195200205

210215

220225

230235

240245

250255260265270275280285290295300

305310

315320

325330335340345350355

0

45

90

135

180

225

270

315

Figure (1.12) : Fonction de phase de Henyey-Greenstein (g = 0,0).

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

030

60

90

120

150180

210

240

270

300

330

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

030

60

90

120

150180

210

240

270

300

330

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figure (1.13) : Fonction de phase de Henyey-Greenstein (g = 0,15).

Figure (1.14) : Fonction de phase deHenyey-Greenstein (g = -0,15).

0

50

100

150

200

030

60

90

120

150180

210

240

270

300

330

0

50

100

150

200

0

50

100

150

200

030

60

90

120

150180

210

240

270

300

330

0

50

100

150

200

Figure (1.15) : Fonction de phase deHenyey-Greenstein (g = 0,90).

Figure (1.16) : Fonction de phase deHenyey-Greenstein (g = -0,90).


Pour un cas avec symétrie azimutale le champ de rayonnement ne dépend plus de l’angled’azimut φ. La fonction de phase p(µ',µ) pour l'utilisation avec l'équation (1.9) peut êtreobtenue en intégrant p(θo) sur dφ (Özisik, 1973) :

( ) ( )[ ]p

g

gHG

p

µ µπ

φ

θ

π' ,

'=

−

−∫1

2

1

1 2

2

23 2

0

2 d

+ g cos(1.39)

où pHG(µ',µ) fait référence au modèle de Henyey-Greenstein, pour µp=cosθp. Le calcul de cetteintégrale à été fait par Nicolau (1994) en utilisant une quadrature numérique :

( ) ( )( )[ ]p

g

gHG µ µ

π µ µ µ µ π φ' ,

' '

*

*=

−

− + − −=∑1

2

1

1 2 1 1 2

2

2 2 23 2

∆φk

kk 1

Nd

+ g cos

HG

(1.40)

Pour cela deux types de quadrature ont été testés par Nicolau (1994) : d'une part,l'utilisation de l'intégration de Simpson, avec la division uniforme de l'espace angulaire enNdHG intervalles; d'autre part l'utilisation d'une quadrature de Gauss, également d'ordre NdHG.La quadrature de Gauss a présenté de meilleurs résultats, un nombre de 10 directions s'étantavéré suffisant. Dans la suite, les calculs qui sont présentés pour les cas avec symétrieazimutale et une fonction de phase de Henyey-Greenstein ont été effectués avec un nombre de20 directions pour l'équation (1.40).

1.9.5 MODELE D'H ENYEY-GREENSTEIN MODIFIE (NICOLAU, 1994)

Pour les matériaux tels que des mousses de carbone, laines de verre, fibres de silice, lemodèle de Henyey-Greenstein s'avère peu réaliste. Les erreurs sur les réflectances restentimportantes. Nicolau (1994) a modifié la fonction de Henyey-Greenstein de façon à combinerune diffusion très pointue vers l’avant avec une rétrodiffusion, équation (1.41). De plus, il aajouté une fonction de phase isotrope pour permettre un changement de l’allure de la fonctionde phase dans la région normale à la direction de propagation du rayonnement.

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )p f f p f p fi j i j i jµ µ µ µ µ µ, , ,= + − + −2 1 1 1 2 21 1HG,g HG,g (1.41)

ou encore :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )p f f p f f p fi j i j i jµ µ µ µ µ µ, , ,, ,= + − + −1 2 1 1 2 2 21 1HG g HG g (1.42)

Les paramètres g1, f1 et f2 varient de 0 à 1, et le paramètre g2 entre -1 et 0. Le paramètre f1fait la pondération entre la participation du pic vers l'avant et celle du pic vers l'arrière. Enrevanche f2 pondère l'effet d'anisotropie et celui d'isotropie. Les Figures (1.17) et (1.18)montrent cette combinaison.


38

d iffus io n iso tro p e

D iffus io n ve rs l'a rr iè re (g2 ) D iffus io n ve rs l'a va nt (g1 )

Figure (1.17) : Composition pour la fonction de phase (Nicolau, 1994).

0

45

90

135

180

225

270

315

0

20

40

60

80

100

0

45

90

135

180

225

270

315

0.1

1

10

100

(a) (b)

Figure (1.18) : Fonction de phase de Henyey-Greenstein modifie pour g1 = 0,86 ;g2 = 0,.8 ; f1 = 0,96 ; f2 = 0,96. (a) échelle linéaire ; (b) échellelogarithmique.

1.9.6 NORMALISATION DE LA FONCTION DE PHASE

Pour une question de conservation du rayonnement diffusé, la fonction de phase doit êtrenormalisée (équation 1.25). L'intégrale peut être discrétisée à partir d'une formule dequadrature, ce qui donne la somme suivante pour chaque direction d'incidence j :

( )14

1 1π

µ µw HGii 1

2Nd

i jp j Nd=∑ = =, ; , (1.43)

Altimir (1981) a montré que cette somme présente un écart par rapport à l'unité enconséquence des discrétisations sur l'angle polaire θ (ou son cosinus µ) et sur l'angle azimutalφ (équation 1.39) La démarche adoptée pour la correction nécessaire à la normalisation estcelle développée par Barkstrom (1976) et Altimir (1981) pour un problème avec symétrie

µ


azimutale. Pour un problème sans symétrie azimutale la démarche reste la même, mais avecun nombre plus grand de directions :

( ) ( )14

11π

α αw pii

Nd

i j HG=∑ + + Ω Ω' , (1.44)

où αi, αj sont les facteurs correctifs.


40

&+$3,75(,,

UTILISATION DE LA METHODE DES ORDONNEESDISCRETES POUR LA RESOLUTION DE L’ETR

2.1 INTRODUCTION

Dans cette méthode on sépare la dépendance angulaire de la dépendance spatiale de l'ETR,ce qui permet de remplacer l’équation intégro-différentielle par un système d’équations auxdérivées partielles (EDP) en fonction de la variable de position uniquement.

Pour pouvoir résoudre le système d’EDP obtenu, on procède par une discrétisation spatialequi le transforme en un système d’équations algébriques susceptible d’être résolu par uneméthode numérique itérative. Carlson et Lathrop (1968) ont proposé d'utiliser la méthode desvolumes de contrôle.

La précision de la méthode est liée aux nombres de volumes et de directions utilisées.Toutefois il existe certaines quadratures et schémas d'interpolation qui présentent, dans descas spécifiques, des résultats plus satisfaisants que d'autres.

La formulation des ordonnées discrètes pour un problème sans symétrie azimutale estexactement la même que celle avec symétrie azimutale, à l'exception du nombre plusimportant de directions utilisées pour un cas sans symétrie. Une autre différence est l'intervalled'intégration. Pour un problème sans symétrie l'intégration est effectuée sur l'intervalle [0,4π],dans le cas avec symétrie azimutale il a été montré que l'intervalle est restreint à [-1,1]. Pourpermettre d'utiliser le même système d'équations que dans les cas avec symétrie azimutale, leproblème sans symétrie azimutale est adimensionné.

2.2. DISCRETISATION ANGULAIRE

Cette discrétisation permet de remplacer le terme intégral par une somme quadratiqueeffectuée sur les luminances selon des directions choisies. Les intégrales de l'ETR deviennent:

µ µ µ µ µmj j

mj

j

dL w LNd

( ) ( )∫ ∑≅=1

(2.1)

où :

wj est le jème coefficient (poids) de la quadrature,

µj est la jème coordonnée de la quadrature,

L(µj) est la luminance suivant la direction µj,

Nd est l’ordre de la quadrature (nombre de directions),

m est l’ordre du mème moment de l'ETR.

CHAPITRE II : Utilisation de la méthode des ordonnées discrètes pour la résolution de l’ETR41

Le terme m représente l'ordre des moments de la luminance qui sont définis soit pour unintervalle d'intégration entre [0,4π] pour un problème sans symétrie azimutale ou entre [-1,1]pour le cas de symétrie azimutale dans l'équation (2.1). Ce terme est défini par les relationssuivantes (Ozïsik, 1973) :

• Moment d'ordre zéro : représente le rayonnement incident G(τ).

( ) ( )( )

Μ Ω ΩΩ

o L

L

τ τ

π τ µ µ

π=

=

=

−

∫∫

,

,

&

4

1

1

2

d

d(2.2)

• Moment d'ordre un : représente le flux de rayonnement q(τ).

( ) ( )( )

Μ Ω Ω ΩΩ1

4

1

1

2

τ τ

π τ µ µ µ

π=

=

=

−

∫∫

L

L

,

,

& &d

d(2.3)

• Moment d'ordre deux : est proportionnel aux composantes du tenseur sphérique de lapression de rayonnement.

( ) ( )( )

Μ Ω ΩΩ ΩΩ2

4

1

122

τ τ

π τ µ µ µ

π=

=

=

−

∫∫

L

L

, .

,

& & &d

d(2.4)

• Moment d'ordre n :

( ) ( )( )

Μ Ω ΩΩ Ω ΩΩn

n

L

L

τ τ

π τ µ µ µ

π=

=

=

−

∫∫

, . ....

,

& & & &

4

1

1

2

d

d(2.5)

Seuls les moments d'ordres 0,1 et 2 ont une signification physique. En effet, Mo représentele rayonnement incident, G(τ). Les moments d'ordre 1 sont les composantes du flux radiatif,q(τ). Les moments d'ordre 2 sont reliés au tenseur de la pression radiative.

La discrétisation angulaire ne doit provoquer ni perte ni création de flux. Les pondérationswj doivent satisfaire les moments d'ordre 0 et 1, ainsi que le moment d'ordre 1 sur unhémisphère (Fiveland, 1987).


42

sans symétrie azimutale avec symétrie azimutale

d

d

d

n d

jj

jj

j

jj

j

j j

j

Ω

Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

= → =

⋅ = → =

⋅ = → =

⋅ = → =

==

==

==

>=

∑∫

∑∫

∑∫

∑∫

4 4

0 0

4 3 4 3

14

14

2

14

04

π π

µ

π µ π

π µ π

π

π

π

µπ

w

w

w

w

Nd

Nd

Nd

Nd

&

&

& &

d

d

d

d

jj

jj

j

jj

j

j j

j

µ

µ µ µ

µ µ µ

µ µ µµ

= → =

= → =

= → =

= → =

=−

=−

=−

>

∑∫

∑∫

∑∫

∑∫

2 2

0 0

2 3 2 3

1 2 1 2

11

1

11

1

2

1

2

1

1

00

1

w

w

w

w

Nd

Nd

Nd

Nd

(2.6)

D'après l'équation (2.6) le moment d'ordre 0 donne la conservation de la quadrature et lemoment d'ordre 1 la symétrie entre les directions positives et négatives. D'une façon générale,on peut évaluer les écarts d'une quadrature par rapport aux valeurs théoriques des momentsMk, sur l'intervalle [-1,1], avec l'équation (2.7), ou les demi-moments M1/2 k , sur l'intervalle[0,1], avec l'équation (2.8).

( )Μ k

k kNd

wk k pair

k impair= = =

+ ∀∀

− =

∫ ∑µ µ µd j jj

1

1

1

2 1

0(2.7)

M wkk

kn n

k

n

Nd

1 20

1

1

11/ = = =

+∫ ∑=

µ µ µd (2.8)

Chandrasekhar (1960) a utilisé une quadrature de Gauss entre ]-1,1[ qui, avec Nd valeursdiscrètes µj, permet dévaluer correctement le terme intégral pour tous polynômes de Legendrede degré (2Nd-1). La pondération affectée à chaque direction est la valeur de l'intégrale dupolynôme de Lagrange construit sur les autres points µj. La quadrature de Gauss donne desdirections parfaitement symétriques, mais ne respecte pas le moment d'ordre 1 sur unhémisphère (demi-moment). En conséquence, la quadrature de Gauss ne permet pas d'obtenirune bonne précision si on a besoin de calculer les moments d'ordre 1 sur un hémisphère, cequi représente pour l'ETR le flux surfacique, grandeur très importante pour les problèmes aveccouplage (Fiveland, 1987).

De plus, si la fonction de phase p(θo) est approchée par un polynôme de degré N, on devraitaussi satisfaire tous les moments d'ordre ≤N. Par exemple, si la diffusion est linéaireanisotrope d'ordre 2, p i j i j( , )µ µ µ µ= +1 ; les pondérations wj devront satisfaire le moment

d'ordre 2.

Chandrasekhar (1960) a aussi utilisé la quadrature de Radau entre [-1,1] qui intègre unpolynôme de degré inférieur ou égal à 2Nd-3 puisque les points µ=+/-1 sont fixés.

Fiveland (1987) a proposé l'utilisation d'une quadrature sur un hémisphère :

µ µ µ µ µmj j

mj

j

dL w LNd

( ) ( )0

1

1∫ ∑≅

=

(2.9)


qui respecte tous les moments pour un polynôme de degré Nd et aussi le moment d'ordre 1pour un hémisphère. Il a calculé les directions de la quadrature en utilisant une pondérationconstante, w1= w2= wk= .....=wNd, à l'aide d'une méthode de Newton-Raphson. Le systèmed'équations obtenus à partir de l'équation (2.10) devient fortement non linéaire avecl'augmentation du nombre de directions et des résultats réalistes (c'est-à-dire, avec µ comprisentre [0,1]) ne sont pas toujours obtenus. Fiveland (1987) a présenté uniquement des résultatspour un nombre maximum de douze directions.

µ µ µkn n

k

n

Nd

wk

k Ndd0

1

1

1

11 1∫ ∑= =

+= −

=

,..., (2.10)

Une autre façon d'obtenir une quadrature entre [0,1] est d'utiliser un changement devariable sur une quadrature classique (Gauss, Radau, ...). En fait, on ramène l'intégrale de [-1,1] à [0,1] soit un nombre de directions Nd/2 sur cet intervalle, d’où :

( )µ µ' j j= + 1 2 w wj j' = 2 (2.11)

( )f f dµ µ =µ +

µ∫ ∫−

' '0

1

1

1 1

2d (2.12)

Ce type de changement de variable est couramment utilisé pour des problèmes où il y a unchangement d'indice de réfraction du milieu. Dans ce cas il rend possible la coïncidence desdirections avec l'angle critique du milieu (Wu et al., 1994, Liou et Wu, 1996, Krauth, 1994).

A partir de ce principe de changement de variable, Nicolau (1994) a créé une quadratureadaptée à des mesures sur des matériaux présentant un fort pic de diffusion. Par une analysede sensibilité il a montré que ce sont les directions proches de la normale à l'interface qui sontnécessaires à l'identification de la fonction de phase. De cette façon il a construit unequadrature composée d'un total de 24 directions, 12 vers l'avant, avec µ positif, et 12 versl'arrière, avec µ négatif. Le flux collimaté se trouve dans une première zone correspondant àµo≤µ≤1. Au-delà de cette région, jusqu’à un angle de θ=20° , une demi-quadrature de Gaussd’ordre 12 (6 directions) est considérée de façon à concentrer les mesures près de la normale.La région 20°≤µ≤90° est prise en compte en utilisant une demi-quadrature de Gauss d’ordre10 (5 directions).

Dans le même objectif que Nicolau (1994), ce travail présente une quadrature un peu plusélaborée. Une variation de la luminance dans l'angle solide d'incidence est considérée. Unequadrature de Radau dans l'intervalle µo≤µ≤1, a été ajoutée à la quadrature proposée parNicolau (1994). Les directions sont montrées dans la Figure (2.1). En utilisant le sous-programme DGQRUL (IMSL) une souplesse a été donnée à la procédure de construction de laquadrature, tout en permettant de faire varier librement le nombre de directions sur chaqueintervalle. La nomenclature suivante a été utilisée pour la construction de la quadrature :

NdL1 : nombre de directions pour la zone µo≤µ≤1NdL2 : nombre de directions pour la zone 20°≤µ≤µo

NdL3 : nombre de directions pour la zone 90°≤µ≤20°


44

H é m isphè re a rr iè re H é m isphè re a va nt

i= 1

θo

i= 1 ,...,N dL 1

i= N dL 1+1 ,...,N dL 1+ N dL 2

(N dL 2 d i r ecti ons)

i =1+N dL 1+N dL 2 ,.. .,N

d/2

(N

d L 3 di rec t io

ns)

i= N d

i=N d /2 ,... ,N d /2+ N d L 3

(N dL 3 d ire c tions)

i= N d-N dL 1,...,N d-1

i =N d/ 2+ N dL 3 + 1,...,N d -N d L 1

(N dL 2 d i r ec ti on s)

(N d L 1 d ire c tio ns)(N d L 1 d ire c tio ns)

Figure (2.1) : Quadrature pour un problème avec symétrie azimutale.

Comme l’obtention d’une quadrature réaliste (poids w positifs et µ compris entre -1 et 1)pour des ordres élevés, avec l'équation (2.10), n’est pas toujours possible, une formulationproposée par Jones et al. (1996) peut être utilisée. Dans ce cas, seuls les demi-momentsd'ordre bas sont respectés. Le calcul est fait en attribuant des facteurs de correction pour lespondérations de façon à respecter les demi-moments désirés, équation (2.13), soit les demi-moments d’ordre 0, 1, 2, ...,(Nd-1). Pour les demi-moments d’ordres plus importants lescorrections produiront des pondérations non réalistes. Pour cette raison seuls les demi-moments jusqu'à l’ordre 0, 1, 2 et 3 sont présentés ici.

( )w a w a w a wko n n

k

n

n n

n nk

n n

n n

n n nk

n n

Nd

k

Nd

m

12

1 10

1 1

1

2 1

1+ + + +

=

+=

=

=

=

−==

−

∑ ∑ ∑∑ µ µ µ (2.13)

les indices n1, n2, ..., nm définissent les directions sur lesquelles les corrections sont réalisées.Les valeurs de n1, n2, ..., nm sont choisies entre 2 et Nd selon un ordre croissant. Lesnouvelles pondérations, wn

* , sont corrigées selon la formule suivante :

w a wn o n* = pour n=2,...,n1

w a wn n* = 1 pour n=n1,...,n2 (2.14)

w a wn n n* = pour n=nm,...,nNd

Ce choix d'intervalles pour la correction a été fait de manière empirique, de façon à obtenirde corrections réalistes pour les quadratures de 24 et 32 directions, en respectant les demi-moments jusqu'à l'ordre 3, leurs valeurs sont listées au Tableau (2.1). Pour les corrections desordres plus élevés des résultats non réalistes ont été obtenus et ne seront pas présentés ici.


Tableau (2.1) : Directions choisies pour l'équation (2.14).

Nomenclature demi-moment àrespecter

quadrature

2m 0 et 1 n1=ndL2+13m 0, 1 et 2 n1=ndL2+1

n2=n1+3

4m 0, 1, 2 et 3n1=ndL2+1n2=n1+3n3=Nd/2-1

2.2.1 QUADRATURE SPATIALE POUR UN PROBLEME SANS SYMETRIE AZIMUTALE

Comme précédemment mentionné, la résolution d'un problème sans symétrie azimutalepeut être effectuée soit à l'aide d'un développement en série, dans ce cas la solution se restreintà une somme de problèmes avec symétrie azimutale, soit par une quadrature spatiale (sanssymétrie azimutale). Dans ce travail le choix a été porté sur la quadrature spatiale pouranalyser le problème radiatif. En effet, l'utilisation d'une solution obtenue à partir d'undéveloppement en série implique que la fonction de phase soit elle aussi développée en formede série. Godsalve (1995) pour étudier un problème sans symétrie azimutale avec une fonctionde phase de Henyey-Greenstein de facteur d'asymétrie de 0.95, a utilisé près de 300 termespour exprimer cette fonction en série de polynômes de Legendre. Du fait des erreurs deprécision dues à l'intégration par une formule de quadrature de Gauss (mentionnée auparagraphe précèdent), la discrétisation utilisée doit avoir au moins 150 directions pour quel'intégration des polynômes d'ordre 300 soit suffisamment précise. De plus, plusieurs calculsdoivent être effectués pour obtenir les termes d'indice k de l'équation (1.15). Kumar et Felske(1986) ont utilisé 9 termes k pour résoudre un problème pour une fonction de phase deLegendre avec 16 termes. Toutefois, les résultats de ces auteurs sont obtenus pour un angled'incidence proche de la normale (cosθI=0,99) et un albédo égal à 0,8. Cependant, l'utilisationd'une valeur de l'albédo égale à l'unité augmente énormément le nombre de termes (Kumar etFelske, 1986).

La nécessité du développement de la fonction de phase en série rend cette méthodeprohibitive pour utilisation avec un sous-programme d'identification de paramètres (du fait dunombre élevé de coefficients de polynôme de Legendre à identifier). Pour cette raison, laquadrature spatiale a été choisie et, dans ce cas, le nombre de directions devient relativementimportant en raison des caractéristiques spatiales.

Le choix pour une quadrature spatiale étant fait, il reste à déterminer le type de quadrature àutiliser. Les quadratures couramment utilisées dans les travaux de la littérature respectent leséquations (2.6). C'est le cas des quadratures de Carlson et Lathrop (1968), de Fiveland (1991)et d'El Wakil (1991). Ces quadratures sont construites de façon à avoir un maximum desymétrie des directions par rapport à l'origine, à chacun des axes de cordonnées et à tout plancontenant deux axes de coordonnées (El Wakil, 1991). Ces différentes symétries permettentde réduire la quadrature à 1/8ème de sphère vers l'avant et 1/8ème de sphère vers l'arrière, avecun nombre inférieur de directions dans le cas d'une symétrie azimutale. Par contre, l'utilisationde l'une de ces quadratures pour un problème sans symétrie azimutale ne permet pas de


46

simplifier le problème spatial en le ramenant à 1/8ème de sphère, car le champ de luminance neprésente aucune symétrie. Cela implique aussi un ensemble de poids de la quadratureconstant de façon à avoir toujours le même angle solide d'incidence du faisceau. Etant donnéque l'angle solide du faisceau incident pour les mesures de laboratoire est très petit, celaoccasionne un nombre total de directions de la quadrature de l'ordre de 1000, ce qui a pourconséquence de rendre les calculs extrêmement lourds.

Pour résoudre ce problème nous avons défini une nouvelle forme de quadrature en nousbasant sur les critères suivants :

• La quadrature doit avoir une construction spatiale proche de celle effectuée parNicolau (1994) pour un problème avec symétrie azimutale (appelée dans ce quisuit la quadrature unidimensionnelle), c'est-à-dire avec un nombre de directionsconcentré autour de la direction d'incidence du faisceau incident.

• Les mesures ne permettent de faire tourner le système de détection que dans unplan de mesure défini par x-z, Figure (2.2). Les points de la quadrature doiventêtre choisis de manière à avoir des directions pour φ=0° et φ=180°.

• La quadrature doit également respecter, si possible, toutes les conditions del'équation (2.6).

A partir de ces trois considérations, nous avons eu l'idée de construire d'abord unequadrature unidimensionnelle sur le plan x-z, Figure (2.2) et, à partir d'une rotation de l'angle φautour de l'axe x, de générer les autres directions. De cette façon on peut construire unediscrétisation fine autour de l'angle solide du faisceau incident et la quadrature finale estobtenue à partir des deux quadratures unidimensionnelles : une sur le plan x-z construite selonla discrétisation de Nicolau (1994), l'autre sur le plan y-z construite à partir d'intervallesangulaires constants.

Cette quadrature, construite à partir de la rotation d'une quadrature unidimensionnelle,présente le même cosinus directeur µ pour un ensemble d'angles φ, Figure (2.2). Cela donnedes directions symétriques par rapport à l'axe x pour un angle d'incidence θΙ=0°. C'est-à-direque le fait de résoudre un problème avec cette quadrature pour une incidence normale à latranche semi-transparente revient au même que résoudre un problème avec symétrie azimutaleNdy fois, où Ndy est l'ordre de la quadrature choisie pour le plan y-z. En fait, la seuledifférence est que, pour cette quadrature spatiale, l'intégration sur la fonction de phase deHenyey-Greenstein, équation (1.40), n'est plus effectuée. La quadrature présentant unesymétrie par rapport au plan x-z, cela permet de réduire par deux le nombre de directions decalcul. Les poids de la quadrature spatiale sont calculés à en divisant les poids de laquadrature x-z par Ndy (remarque : Normalement, on devrait multiplier les poids par 2π pourobtenir une quadrature spatiale, mais cela n'est pas fait car, de cette façon, la quadraturespatiale reste adimensionnelle pour l'utilisation avec le système d'équations défini pour unproblème avec symétrie azimutale. C'est juste le nombre de directions qui augmente).

Une rotation de l'ensemble de directions est effectuée autour de l'axe y, Figure (2.3), selonl'angle d'inclinaison du faisceau incident (θI) se trouvant dans le plan x-z. Les relationstrigonométriques sont données par l'équation (2.15). A partir des nouveaux µ' et φ' et à l'aide


des relations de l'équation (1.4), on obtient les nouveaux cosinus directeurs (µ', ξ', η').(remarque : la fonction de phase qui a été calculée précédemment resté inchangée, on supposequ'elle ne dépend que de l'angle formé entre deux directions en question, qui reste inchangé.)

La fonction de phase est calculée pour l'ensemble des directions avec une incidencenormale. De cette façon elle est exactement la même pour un même θo (si la fonction de phaseétait écrite après la rotation de l'ensemble de directions ça aurait provoqué des petites erreursde calcul du fait du grand nombre d'opérations trigonométriques réalisées).

φ1

φ2

inc id e nc e θI = 0 °

θ1

θ2

dωo

x

y

z

Figure (2.2) : Construction d'une quadrature pour un problème sans symétrie azimutale.

η ηµ ξ ξ

ϕ ξ

ϕ ξ

=+ = µ +

= µ

= µ

'

² ² '² '²

''

'

tg

tg

⇒

ϕ ϕ θ

µ µ ξ ϕ

φη

µ ξ ϕ

'

' ² ² cos '

' cos² ² cos '

= +

= +

=− +

−

I

1

21

(2.15)


48

2.2.2 VERIFICATION DES ERREURS SUR LES MOMENTS POUR LES DIFFERENTES

QUADRATURES

Les écarts sur les moments (équations (2.7) et (2.8)) entre les valeurs analytiques et lesrésultats numériques obtenus pour plusieurs quadratures seront montrés dans la suite. Cesécarts sont donnés à titre indicatif, car ils ne prennent pas en considération la luminance pourl'intégration comme l'équation (2.1). Bien que ces résultats montrent les avantages et lesproblèmes de certaines quadratures, seuls des cas tests, proches de conditions d'utilisation dela quadrature, pourront mieux permettre d'évaluer celle-ci.

Pour simplifier l'écriture, les notations suivantes sera utilisées dans la suite : Gauss ]-1,1[-G, Radau [-1,1] - R, Gauss projetée ]0,1[ - GP, Radau projetée [0,1] - RP, Fiveland [0,1] - F,Nicolau [-1,1] - N. Le numéro qui suit ces abréviations représente le nombre de directions dela quadrature. Pour la quadrature de Nicolau (1994) les indices 2m, 3m et 4m représentent lenombre de demi-moments corrigés selon l'équation (2.13) et Tableau (2.1). Quelquesdirections et poids sont présentés à l'Annexe A.2 pour l'ensemble des quadratures.

θΙ=(ϕ'−ϕ)

Ω'Ω

ϕ'

ϕ

θθ'φ

φ'

ξ

ξ'

y

z

xµ' µ

η=η'

Figure (2.3) : Rotation de la quadrature pour un problème sans symétrie azimutale.


La Figure (2.4) montre l'écart sur les moments entiers pour les quadratures avec 4 et 12directions. Il est clair qu'un nombre de directions plus important réduit les erreurs de laquadrature. La quadrature de Radau est celle qui présente les erreurs les plus importantes(mais fournit aussi les directions normales). La quadrature de Gauss conduit à des erreursfaibles, même pour les moments d'ordre élevé.

Les erreurs relatives aux demi-moments sont montrées à la Figure (2.5). Ici ce sont lesquadratures de Radau et de Gauss qui présentent une erreur importante pour l'ordre 1 desdemi-moments. Le demi-moment d'ordre 1 est important, par exemple, pour le cas de laréflexion diffuse sur les parois du milieu.

Sur les Figures (2.6) et (2.7) sont analysés les moments et demi-moments pour laquadrature de Nicolau, celle de Gauss projetée et la quadrature de Nicolau corrigée selonl'équation (2.13). A nouveau les écarts sur les demi-moments d'ordre 1 apparaissent commeles plus grands pour la quadrature de Nicolau, et cela même avec un nombre de directionsélevé (24 et 32 directions). Les corrections apportées à la quadrature de Nicolau font que leserreurs pour les moments d'ordre plus élevés sont plus fortes. Seuls des cas-tests pourrontdéterminer la contribution de cette correction. Des cas tests seront présentés plus loin pourdéterminer l'efficacité de ces corrections.

Les Figures (2.8) et (2.9) montrent les erreurs pour une quadrature spatiale avec un angled'inclinaison variable. Pour ces tests la quadrature a été construite à partir d'une quadratureN4m (Nicolau - correction de moments 0, 1,2 et 3) pour le plan z-x et une quadrature à pasconstants, avec 6 directions, pour le plan z-y. Les écarts par rapport au moment restent faiblespour plusieurs inclinaisons, mais les écarts pour les demi-moments sont très importants. Cerésultat était attendu, vu que cette quadrature spatiale n'a plus le plan de symétrie. Toutefoisles erreurs dues à la quadrature pour le demi-moment ne devront pas influencer le codedéveloppé. Les conditions expérimentales ne comportent pas de réflexion diffuse et cetteintégrale ne sera donc pas calculée.


50

0 10 20 30 40k -èm e m o m en t

-8 0

-6 0

-4 0

-2 0

0

2 0

4 0

6 0

8 0

Eca

rt p

ar r

appo

rt a

u m

omen

t [%

]

G 12

R 4

R 1 2

R P 4

R P 1 2

F 4

F 1 2

G P 4

G P 1 2

G 4

Figure (2.4) : Erreur [%] dans le calcul des moments pour 4 et 12 directions.

0 10 20 30 40k -èm e m o m e n t

-1 0

-5

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

Eca

rt p

ar r

app

ort

au d

emi-

mo

men

t [%

]

F 4

F 1 2

G P 4

G P 1 2

G 4

G 1 2

R 4

R 1 2

R P 4

R P 1 2

Figure (2.5) : Erreur [%] dans le calcul des demi-moments pour 4 et 12 directions.


0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0k -è m e m o m en t

-0 .0 2

-0 .0 1

0

0 .0 1

0 .0 2

0 .0 3E

cart

par

rap

port

au

mo

men

t [%

]

G P 2 4

N 2 m

G 2 4

N 3 2

N 2 4

N 3 m

N 4 m

Figure (2.6) : Erreur [%] dans le calcul des moments pour la quadrature de Nicolau.

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0

k -è m e m o m en t

-1 5

-1 0

-5

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

Eca

rt p

ar r

appo

rt a

u d

emi-

mom

ent

[%]

N 3 2

G P 24

N 2 m

G 2 4

N 2 4

N 3 m

N 4 m

Figure (2.7) : Erreur [%] dans le calcul des demi-moments pour la quadrature de Nicolau.

0 1 2 3

0

0 .25

0 .5

0 .75


52

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20k-èm e m o m en t

0

0 .0 1

0 .0 2

0 .03

0 .0 4

0 .0 5

0 .0 6

0 .0 7

0 .0 8

0 .0 9E

cart

par

rap

port

au

mom

ent

[%]

L 'an g le d 'inc lina ison

ϕ = 0°

ϕ = 5°

ϕ = 30°

ϕ = 45°

ϕ = 60°

Figure (2.8) : Erreur [%] dans le calcul des moments en fonction de l’angle d’inclinaison.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

k-èm e m om en t

0

5

10

15

20

Eca

r pa

r ra

ppo

rt a

u de

mi-

mo

men

t [%

]

l 'an g le d 'inc lina ison

ϕ = 60°

ϕ = 45°

ϕ = 30°

ϕ = 5°

ϕ = 0°

Figure (2.9) : Erreur [%] dans le calcul des demi-moments en fonction de l’angled’inclinaison.


2.2.3 DISCRETISATION ANGULAIRE APLIQUEE A L 'ETR

La quadrature pour l'intervalle [0,1], équation (2.9), peut être appliquée pour remplacer leterme intégral de l'équation (1.10) :

[ ]

p p

p pii

i i i i

( ' , ) ( , ' ) ' ( ' , ) ( , ' ) '

( , ) ( , ) ( , ) ( , )/

µ µ τ µ µ µ µ τ µ µ

µ µ τ µ µ µ τ µ

0

1

0

1

1

2

∫ ∫

∑

+ − − =

+ − −=

L d L d

w L LNd (2.16)

l’équation intégro-différentielle devient alors :

( )

[ ]µ

∂ τ µ∂τ

τ µ ω τ

ωµ µ τ µ µ µ τ µ

j

j

j

ii

i j i i j ip p

LL L

w L LNd

( , )( , ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )/

+ = −

+ + − −

=∑

1

2

0

1

2 (2.17)

avec 1≤j≤Nd. On obtient ainsi le système suivant :

( )

[ ]

( )

µ∂ τ µ

∂ττ µ ω τ

ωµ µ τ µ µ µ τ µ

µ∂ τ µ

∂ττ µ ω τ

ωµ µ τ µ µ µ τ

j

j

j

ii

i j i i j i

j

j

j

ii

i j i i j

p p

p p

LL L

w L L

LL L

w L L

Nd

Nd

( , )( , ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( ,

/

/

+ = −

+ + − −

−−

+ − = −

+ − + − −

=

=

∑

∑

1

2

1

2

0

1

2

0

1

2

[ ]−

µ i )

(2.18)

avec 1≤j≤Nd/2 et µj≥0

Les conditions aux limites deviennent :

L L w L L

L

L L w L L

o

iC

i

ndI

o o o o o

i j

( , ) ( ) ( , ) ' ( , ) ;

' ( , )

( , ) ( ) ( , ) ' ( , ) ;

0 0 2 0 0 0 0

0

2 0

00 0

0

01

10

1 00

µ ε ρ µ µ ρ µ µ τ

τ δ µ

τ µ ε τ ρ µ τ µ ρ τ µ µ τ τ

µ

µ

j i i i j j

i

j i i i j j

i

i

= − + − > =

+

= + + − < =

<

µ µ=

>

∑

∑∑

(2.19)

où ndI est le nombre de directions pour un faisceau incident dont la distribution énergétiquepeut être variable avec la direction à l'intérieur du faisceau.


54

2.3 DISCRETISATION SPATIALE

Cette méthode consiste à subdiviser le système d'équations différentielles, équation (2.18),en un ensemble de ″volumes″ juxtaposés (volumes de contrôle) afin de pouvoir le résoudrepar une méthode itérative. L'équation établie pour décrire la variation de la luminance àl'intérieur d'un volume de contrôle doit conserver l'énergie.

2.3.1 MAILLAGE

Le maillage divise le milieu en un ensemble de volumes, dont les centres sont les noeudsdu maillage. La nomenclature utilisée est présentée à la Figure (2.10).

1 2

x(0 )

x(1 )

x (2 )

npnp-1n x n x + 1

x( np )

x( np+ 1 )

d e lta x(n x)

d x(1 ) d x( n )

lx

Figure (2.10) : Schéma pour la discrétisation spatiale.

où :dx : dimension du volume de contrôlelx : épaisseur totale de la tranchenp : nombre de volumes de contrôledeltax (nx): distance entre noeuds nx+1 et nx

deltax(0) = dx(1)/2deltax(1) = [dx(2) + dx(1)]/2: :deltax(nx) = [dx(nx) + dx(nx+1)]/2: :deltax(np-1) = [dx(np-1) + dx(np)]/2deltax(np) = dx(np)/2

x(nx) : position du noeud nxx(0) = 0x(1) = deltax(0)x(2) = x(1) + deltax(1): :x(nx+1) = x(nx) + deltax(nx): :x(np) = x(np-1) + deltax(np-1)x(np+1) = x(np) + deltax(np)


2.3.1.1 MAILLAGE REGULIER

Les volumes ont tous la même dimension :

dx nx( )= ∀"x

npnx (2.20)

2.3.1.2 MAILLAGE IRREGULIER

Les dimensions des volumes sont variables selon une loi. Ceci est intéressant pour desmilieux à fortes épaisseurs optiques, où la variation du champ de luminance a lieu près desparois (maillage raffiné aux deux frontières), ou d'une seule paroi (maillage raffiné seulementdans une frontière).

2.3.1.2.1 Maillage raffiné près des deux frontières

( )∆xn cos

n 1

npcos

n

np=

−

−

1

2

π π(2.21)

2.3.1.2.2 Maillage raffiné près d'une seule frontière

( )∆xn cos

n 1

npcos

n

np=

−

−

1

2 2 2

π π(2.22)

2.3.2 CALCULS DES LUMINANCES AUX NOEUDS ET AUX FACES DES VOLUMES DE CONTROLE

On intègre l’équation (2.18) sur chaque élément de volume :

( )µ∂∂τ

ω τω

j

j

j i ij i ij ii

d d d p d p dL

V L V L V w L V L VV V V V V

Nd

∫ ∫ ∫ ∫ ∫∑+ = − ° + +

−=

12 1

2

( )/

(2.23)

où1≤j≤NdV= ∆τx ∆τy.∆τz (∆τy =∆τz = 1) = ∆τx


56

L(1 ) L (2 ) L (np )L ( n x -1) L ( n x) L ( n x +1)

fac e 0 face 1

fc f i

µ>0 µ<0fc = fac e c o nnu

f i = fac e inc o nnu

Figure (2.11) :Position des luminances dans les volumes de contrôle.

Pour alléger l’écriture on notera :

p(µi,µj) = pij

(2.24)p(-µi,µj) = p-ij

On remplace la première intégrale de volume de l’équation (2.23) par une intégralelinéique :

( )µ∂∂τ

µjj

j n 1, j n, jdL

V L L

V∫ = −+ (2.25)

où Ln+1,j , Ln,j sont les luminances respectivement connue et inconnue sur les faces fictives (fc,fi), Figure (2.11). Les luminances connue et inconnue Ln et Ln+1 peuvent être inversées selonla direction de propagation du rayonnement (µ>0 ou µ<0).

Pour les autres intégrales on considère les valeurs des luminances constantes dans chaqueélément et égales à la valeur moyenne :

L V L

L V L

V

V

o

j n 1/ 2, j

n 1/ 2

d

d

∫

∫

=

° =

+

+

∆τ

∆τ(2.26)

L’équation (2.23) devient ainsi :

( ) ( )µ ωω

jo

Nd

L L L L w p L p L( )/

n 1, j n, j n 1/ 2, j n 1/ 2 i ij n 1/ 2,i ij n 1/ 2,-ii

+ + + + − +=

− + = − + +

∑∆τ ∆τ1

2 1

2

(2.27)

Ln+1/2

Ln Ln+1


L’équation (2.27) a 2 inconnues, une luminance sur une face et une luminance au centre del’élément. On utilise une loi de variation de la luminance à l’intérieur du volume, fonctiond'une pondération f :

L L Ln 1/ 2, j n 1, j n, jf f+ += + −( )1 (2.28)

La valeur de f a été définie par différents schémas, tels que : f = 1, schéma "step" ; f = 1/2,schéma diamant ; pour les schéma exponentiel et schéma intégral f, dépend de l’épaisseuroptique. La valeur moyenne est égale à celle du centre Ln+1/2,j

( )L

L Ln 1, j

n 1/ 2, j n, jf

f++=

− −1(2.29)

En remplaçant Ln+1,j par son expression (équation 2.29) dans l’équation (2.27), on obtient :

( )µ j

n 1/ 2, j n, jn 1/ 2, j n 1/ 2, jf

L LL S

++ +

− −

+ =

1 f∆τ ∆τ

( ) ( )S L w L L

Nd

n 1/ 2, j n 1/ 2, j i ij n 1/ 2,i ij n 1/ 2, i

i

p p+ + + − + −=

= − + +

∑1

20

1

2

ωω

/

(2.30)

Lorsque le rayonnement incident est modulé (technique de mesure utilisée), lerayonnement émis par l’échantillon n’est pas pris en compte, ce qui permet d’éliminer leterme d’émission ( )1− ω L p

o dans l’équation (2.30). Pour prendre en compte cette hypothèse,

on introduit le terme δEM qui peut être égal à 1 ou 0. L’équation (2.30) devient alors :

( )[ ]L S Ln 1/ 2, jj

j n 1/ 2, j n, jf

f+ +=+

+1

1 αα (2.31)

où

αµj

j=

∆τ

( ) ( )S L w L LEMo

i

i

Nd

n 1/ 2, j n 1/ 2, j ij n 1/ 2,i ij n 1/ 2,-ip p+ + + − +=

= − + +

∑δ ω

ω1

21

2/

(2.32)

La méthode est progressive. Connaissant une luminance de surface (Ln,j), en utilisant leséquations précédentes, on peut déterminer la luminance au centre de l’élément (noeud), puiscelle de l’autre face Ln+1,j avec l'équation (2.29). On passe alors à l’élément adjacent et ainside suite, jusqu’à la détermination du champ de luminance dans tout le domaine.

Pour des directions positives (µ>0) le sens de balayage des volumes de contrôle est le senscroissant de la numérotation des noeuds (j). Pour des directions positives (µ<0) il faut inverser


58

le sens de balayage de façon à prendre en compte la condition limite de l’autre face. Ainsi,selon le signe du cosinus directeur :

( ) [ ]

( ) [ ]

si L S L

et si L S L

µα

α

µα

α

j n 1/ 2, j

j

j n 1/ 2, j n, j

j n 1/ 2, j

j

j n 1/ 2, j n, j

ff

f- f

≥ =+

+

≤ =−

+

+ +

+ +

01

1

01

1

(2.33)

Du fait que le terme source et les conditions aux limites dépendent des luminances, lecalcul des luminances se fait d’une manière itérative, jusqu’à vérification d'une toléranceprédéfinie.

2.3.3 FLUX RADIATIF

Il est calculé d'après l’équation (1.16) :

q w LNd

n+1/ 2 i n+1/ 2,i i

i

==∑2

1

π µ (2.34)

2.3.4 RAYONNEMENT INCIDENT

On l'obtient à partir de l’équation (1.17) :

G w Li ii

Nd

n 1/ 2+=

= ∑21

π (2.35)

2.3.5 DIFFERENT ES APPROCHES POUR LE CALCUL DE LA LUMINANCE A L ' INTERIEUR DU

VOLUME

Le schéma diamant peut produire des oscillations, même avec la remise à zéro deluminances négatives pendant le processus itératif, Figure (2.12). Ces oscillations apparaissentplus fortement pour les directions proches de µ=0. Ce sont ces directions qui correspondentaux chemins optiques les plus longs à l'intérieur du volume de contrôle.

La luminance est une quantité par définition positive et certains schémas amènent àl’obtention de luminances négatives, physiquement irréelles et pouvant parfois être à l'origined'effets d’instabilité numérique. Certaines procédures ont été adoptées pour éviter desluminances négatives, comme la mise à zéro de la luminance (Carlson et Lathrop, 1968). Parcontre, il faut être conscient que la remise à zéro des luminances négatives permet uneconvergence plus rapide mais n'évite pas les oscillations, voir Figure (2.12).


0 .00 0 .25 0 .50 0 .75 1 .00P osit ion (τ / τo)

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1 .0

1 .1

Lu

min

ance

ad

imen

sio

nnel

le

Nd = 12 τo = 20

µ = 14 .93 °

µ = 33 .84 °

µ = 51 .73 °

µ = 67 .62 °

µ = 80 .25 °

µ = 88 .06 °

µ = 91 .93 °

µ = 99 .75 °

µ = 112 .3 8°

µ = 128 .2 6°

µ = 146 .1 6°

µ = 165 .0 5°

Figure (2.12) : Oscillations sur le champ de luminances avec un schéma diamant. Casd'un milieu non diffusant (ω=0), à parois noires avec un profil detempérature constant dans le milieu, pour un nombre de volumesnp=50.

• schéma "step" : La pondération f=1 donne toujours des luminances positives, mais ellenécessite un nombre de volumes important pour atteindre la convergence. Pour un schémaavec un facteur de pondération différent de 1 on peut obtenir des luminances négatives sicertaines conditions ne sont pas respectées. Ces conditions peuvent être déterminées à partirdes équations (2.29) et (2.31).

( )α α αj n 1/ 2, j j j n, jfS L+ + − + >1 0

fn 1/ 2, j

n, j j

≥ − −+11S

L α(2.36)

Le terme source Sn+1/2,j est une quantité positive qui tend à stabiliser la solution. Par contre,lorsque αj (αj=∆τ/µ) devient trop important, soit à cause d'une épaisseur optique grande ou dedirections µ proches de zéro, on a besoin de prendre de valeurs de f proches de 1 pour éliminerce terme négatif de l'équation (2.36).

Une interpolation très utilisée est la linéaire (ou schéma diamant), avec f=0,5 , qui imposeune loi de variation linéaire de la luminance dans le volume de contrôle. Par contre il esttoujours nécessaire de vérifier l'existence d'éventuelles luminances négatives. Fiveland (1985et 1987) a calculé le nombre de volumes nécessaires de manière à respecter l'équation (2.36) :

µmin

∆τ>

1

2(2.37)


60

où µmin est la direction la plus proche de µ=0. De cette façon, un nombre plus élevé dedirections (correspondant à µmin plus petit) entraînera aussi un plus grand nombre de volumes.

• schéma exponentiel : Pour essayer d’obtenir une meilleure approximation pour la relationde fermeture, Carlson et Lathrop (1968) ont proposé d’utiliser la solution formelle del’équation de transfert radiatif pour un volume de contrôle où le terme source est constant àchaque itération (il n'est plus dépendant des luminances). Une équation simplifiée est obtenue:

µ βd

ds s s

LL( ) S+ = ( ) (2.38)

La solution formelle pour une tranche comprise entre les points n et n+1pour une directionj est écrite sous la forme :

L L S dn 1, j n, j

x

e e x xj jj

+− −= + ∫α αµ ( )

0

∆

(2.39)

où : αβµj

j

x=

∆

En supposant que le terme S(x) est constant sur le volume de contrôle, on peut intégrerl’équation précédente :

( )L L Sn+1, j n, j n+1/ 2, je ej j= + −− −α α β1 / (2.40)

Pour le calcul de la luminance au centre du volume de contrôle, on substitue l’équation ci-dessus dans l’équation (2.27) intégrée sur un volume de contrôle et on obtient ainsi le schémaexponentiel :

( )µ βj n 1, j n, j n 1/ 2, j n 1/ 2, jx= xL L L S+ + +− + ∆ ∆ (2.41)

ce qui donne :

( ) ( )[ ]L L e Sn 1/ 2, j n, j j j n 1/ 2, je j j

+− −

+= − + − −1 1 1α αα α β/ / / (2.42)

En utilisant les équations (2.28), (2.40) et (2.42) on peut définir le coefficient f comme :

fe j j

=−

−−1

1

1α α

(2.43)

Pour le schéma exponentiel les luminances sont toujours positives, mais f est alors fonctionde αj et prend une valeur différente pour chaque direction j utilisée.


• Schéma intégral : une l’autre formulation équivalente à la formulation exponentielle estla formulation intégrale. El Wakil (1991) a utilisé cette formulation pour une géométriebidimensionnelle cartésienne en milieu gris et De Miranda (1995) l'a adaptée pour unproblème unidimensionnel relatif à un milieu gris. Dans ce cas, l’équation (2.40) est utiliséepour le calcul de Ln+1,j . Toutefois, Ln+1/2 (pour le cas d’une géométrie unidimensionnelle) estcalculé en considérant un demi-volume de contrôle :

( )( )

L L S

L L S

n+1, j n, j n+1/ 2, j

n+1/ 2, j n, j n+1/ 2, j

e e

e e

j j

j j

= + −

= + −

− −

− −

α α

α α

β

β

1

12 2

/

// /(2.44)

De cette relation on tire l'expression de f :

fe

e

j

j-=−−

−1

1

2α

α (2.45)

A nouveau on obtient une pondération fonction de αj, qui donne toujours des luminancespositives.

La Figure (2.13) montre la variation de f fonction de l'épaisseur optique pour les quatreschémas. Le Tableau (2.2) présente un résumé des valeurs de f, Ln+1,j et Ln+1/2,j.

0 2 4 6 8 1 0τ

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

f

L in é a ire

"s tep"

in tégra l

e xpo n e n tie l

Figure (2.13) : Fonction de pondération f fonction de l'épaisseur optique pour les quatreschémas.


62

2.3.6 LINEARISATION DU TERME SOURCE

Pour améliorer la convergence, la linéarisation du terme source peut être utilisée. Cetteméthode a été présentée par Patankar (1980) pour le traitement d'EDP pour des problèmes demécanique de fluides. Ensuite, Chai et al. (1994) l'ont utilisée pour résoudre l'ETR engéométrie bidimensionnelle cartésienne. La méthode consiste à calculer la luminance Ln+1/2,j

du terme source comme étant aussi une variable à déterminer et non en la considérant connuede l'itération précédente, comme on l'avait fait jusqu'alors. Cela modifie l'équation (2.31) de lafaçon suivante :

( )[ ]Lw

S L w L L

n 1/ 2, j

j j j jj

j n 1/ 2, j n 1/ 2, j j jj n 1/ 2, j n, j

it 1

it it

f f p

f p

+

+ + +

+

=+ −

−

+

2

2 1

2

α α ω

αω

(2.46)

L'indice it+1 représente la luminance devant être calculée et it est la luminance calculée àl'itération précédente.


Tableau (2.2) : Différents types d'interpolation linéaire.

schéma Ln+1/2,j Ln+1,j f

"step"

( )[ ]L

S L

n 1/ 2, j

j

j n 1/ 2, j n, j

+

+

=

++

1

1 αα ( )[

( ) ]L S

L

n 1, j

j

j n 1/ 2, j

j j n, j

+ +=+

+ − +

1

1

1

αα

α α1

linéaire

( )[ ]L

S L

n 1/ 2, j

j

j n 1/ 2, j n, j0.

0

+

+

=

++

1

1 55

αα. ( ) [

( ) ]L S

L

n 1, j

j

j n 1/ 2, j

j j n, j

00

0

+ +=+

+ − +

1

1 55

1 5

..

.

αα

α α0.5

exponentiel( )

( )[ ]L L

e S

n 1/ 2, j n, j j

j n 1/ 2, j

e j

j

+−

−+

= −

+ − −

1

1 1

α

α

α

α β

/

/ / ( )L L

S

n+1, j n, j

n+1/ 2, j

e

e

j

j

=

+ −

−

−

α

α β1 / fe j

j

=−

−−

1

1

1α α

intégral ( )L L

S

n+1/ 2, j n, j

n+1/ 2, j

e

e

j

j

=

+ −

−

−

α

α β

/

/ /

2

21 ( )L L

S

j

j

n+1, j n, j

n+1/ 2, j

e

e

=

+ −

−

−

α

α β1 / fe

e

j

j-=−−

−1

1

2α

α


64

2.4 INFLUENCE DE DIFFERENTS SCHEMAS

La précision de la méthode des ordonnées discrètes associée à la technique des volumes decontrôle dépend de deux facteurs : le nombre de directions utilisées pour la discrétisationangulaire et le nombre de volumes de contrôle pour la discrétisation spatiale. Pour essayerd'évaluer le degré de précision des différentes quadratures et types d'interpolation, plusieurscas tests ont été analysés et leurs solutions comparées avec des méthodes de référence. Tousles tests sont réalisés pour une géométrie unidimensionnelle avec une précision de 10-16 pourla convergence du champ de luminance, à l'exception des tests réalisés pour la quadrature sanssymétrie azimutale où la précision a été fixée à 10-9.

2.4.1 INFLUENCE DE LA QUADRATURE

D'une façon générale, l'augmentation du nombre de directions dans la méthode desordonnées discrètes augmente aussi la précision des résultats. Il reste encore à définir queltype de quadrature est plus adapté à certains cas. Les quadratures testées sont les suivantes :Gauss - G, Radau - R, Gauss projetée - GP, Radau projetée - RP, Fiveland - F, Nicolau - N etNicolau corrigée - N-2M, N-3M, N-4M. Fiveland (1985) a calculé sa quadrature pour unmaximum de 12 directions. Les autres quadratures ont été évaluées jusqu'à 36 directions, àl'exception de la quadrature N qui est seulement calculée pour 24 et 32 directions. Pourchaque cas test les résultats sont présentés pour une épaisseur optique donnée, représentativede l'ensemble des cas étudiés.

Le schéma d'interpolation linéaire pour ces tests est du type diamant (f=0.5) sanslinéarisation du terme source. Le nombre de volumes est défini pour chaque cas de façon àéviter des luminances négatives. Fiveland a utilisé le critère suivant pour le calcul du nombrede volumes nécessaires :

∆τ < =0 4 1. ,... ,MIN pour n Ndnµ (2.45)

L'obtention de cette équation est basée sur l'équation (2.37). L'utilisation de ce critère pourdes quadratures différentes (en conception et nombre de directions) résulte dans un nombre devolumes différents pour chaque cas. Fiveland (1985, 1987) a obtenu de meilleurs résultatspour sa quadrature qui présente comme particularité une concentration plus importante autourde µ=0 et, en conséquence, nécessite davantage de volumes pour respecter l'équation (2.45).Du fait que ce critère peut masquer l'analyse de la quadrature en raison d'une précisionvariable de la résolution de l'ETR due au nombre de volumes différents, on a choisi un autrecritère pour calculer le nombre de volumes. Le nombre de volumes nécessaire pour respecterl'équation (1.95) pour toutes les quadratures est calculé et la valeur la plus élevée est utilisée.Pour un nombre de directions constant, la quadrature de Radau projetée exigera plus devolumes (en raison de sa concentration autour de la direction µ=0).

Le premier cas présenté considère un milieu purement diffusant (ω=1) avec une fonction dephase isotrope, confiné entre deux parois noires. La paroi située en τ=0 a une émissionunitaire. La seconde paroi (τ= τo) a une température nulle. La solution analytique a été obtenuepar Heaslet et Warming (1965) et les résultats sont listés par Fiveland (1985) avec 5 chiffressignificatifs.


Les Figures (2.13) et (2.14) montrent respectivement les résultats obtenus en termes de fluxet rayonnement incident, en fonction du nombre de directions pour les différentes quadratureset une épaisseur optique de τo=8. Le nombre de volumes adopté pour toutes les quadratures estde 4743. Dans cet exemple le flux est constant à l'intérieur du milieu et le rayonnementincident, G1, a été calculé pour la paroi en τ=0. Les quadratures F, RP et GP ont présenté demeilleurs résultats. Le point d'inflexion que l'on observe pour un nombre de 4 directions pourles quadratures F, GP, RP est dû à un changement de signe de l'erreur. L'intégration du flux etdu rayonnement incident avec la quadrature N présente une erreur supérieure en comparaisonavec les autres quadratures. La correction faite sur la quadrature N présente de meilleursrésultats seulement pour une correction des demi-moments d'ordre 0, 1, 2 et 3 (N-4M). LaFigure (2.15) montre le nombre d'itérations nécessaires pour les différentes quadratures. Cerésultat indique que le nombre d'itérations n'est pas fonction du type de quadrature utilisée.

Le deuxième cas test correspond aux mêmes conditions que le premier, à l'exception queles parois ont une émissivité différente de l'unité et la réflexion est de type diffuse. La paroi enτ=0 a une émissivité de 0,8 et l'autre paroi (τ=τo) a une émissivité de 0,1. L'épaisseur optiqueest égale à 3 et le nombre de volumes nécessaire pour cette épaisseur est de 1779. Les Figures(2.16) à (2.18) montrent les résultats confirmant la même tendance que le cas antérieur. Pourla correction apportée à la quadrature N la précision augmente avec le nombre de demi-moments respectés. Pour les quadratures GP et RP la convergence de la solution est obtenue àpartir d'un nombre de directions supérieur à 10.

4 8 12 16 20 24 28 32 36

10-3

10-2

10-1

100

101

102 G GP

R RP FN N-2M N-3M N-4M

|Err

eur

sur

le fl

ux| [

%]

Nombre de directions

4 8 12 16 20 24 28 32 36

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

G GP R RP FN N-2M N-3M N-4M

|Err

eur

sur

G1|

[%]


Figure (2.13) : Erreur associée aux différentesquadratures pour le calcul duflux (τo=8 ; np=4743).

Figure (2.14) : Erreur associée auxdifférentes quadratures pourle calcul du rayonnementincident G1 (τo=8 ;np=4743).


66

4 8 12 16 20 24 28 32 36

400

600

800

1000

1200


Nom

bre

d'ite

ratio

ns


Figure (2.15) : Nombre d'itérations pour différentes quadratures (τo=8 ; np=4743).

4 8 12 16 20 24 28 32 36

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

G GP R RP FN N-2MN-3M N-4M

|Err

eur

sur

le fl

ux| [

%]


4 8 12 16 20 24 28 32 36

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104


|Err

eur

sur

G2|

[%]


Figure (2.16) : Erreur associée aux différentesquadratures pour le calcul duflux (τo=3 ; np=1779 ; ε1=0,8 ;ε2=0,1).

Figure (2.17) : Erreur associée aux différentsquadratures pour le calcul durayonnement incident G1(τo=3 ; np=1779 ; ε1=0,8 ;ε2=0,1).


4 8 12 16 20 24 28 32 36

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

G GP R RP FN N-2M N-3M N-4M N

ombr

e d'

itera

tions


Figure (2.18) : Nombre d'itérations pour différentes quadratures (τo=3 ; np=1779 ;ε1=0,8 ; ε2=0,1).

Le troisième cas test considéré est celui d'un milieu uniquement absorbant, de températureuniforme, confiné entre deux parois de température nulle et d'émissivités unitaires. Leséquations analytiques sont présentées à l'Annexe A.3. La Figure (2.19) confirme la précisiondes quadratures projetées pour le calcul du flux. Sur la Figure (2.20) sont présentés lesrésultats pour le rayonnement incident. Les différentes quadratures donnent les mêmesrésultats, à l'exception des quadratures N qui présentent toujours une erreur plus importante.Du fait de l'absence de diffusion, ce cas converge avec une seule itération.

4 8 12 16 20 24 28 32 36

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104


|Err

eur

sur

le fl

ux| [

%]


4 8 12 16 20 24 28 32 36

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103


|Err

eur

sur

G(τ =

τo/2

)| [%

]


Figure (2.19) : Erreur associée aux différentesquadratures pour le calcul duflux (τo=5 ; np=2963).

Figure (2.20) : Erreur associée auxdifférentes quadratures pour le calcul durayonnement incident en τ= τo/2 (τo=3 ;np=2963).


68

Pour essayer d'évaluer l'influence d'une fonction de phase anisotrope, un cas test proposépar Kumar et al. (1990) est analysé. La fonction de phase est du type polynôme de Legendre etcorrespond à une particule sphérique d'indice de réfraction n=1,50+i0,10 et de paramètre detaille 8. La solution de référence est obtenue avec la méthode F9 pour une tranche soumise àune incidence diffuse sur la paroi en τ=0. Les résultats sont encore favorables aux quadraturesprojetées. Elles convergent plus rapidement avec le nombre croissant de directions. Lescorrections pour la quadrature N sont efficaces uniquement pour N-4M.

4 8 12 16 20 24 28 32 36

10-3

10-2

10-1

100

101

102 G GP

R RP FN N-2MN-3M N-4M

|Err

eur

sur

le fl

ux τ =

0| [%

]


4 8 12 16 20 24 28 32 36

10-2

10-1

100

101

102

103

104


|Err

eur

sur

le fl

ux τ =

τo| [

%]


Figure (2.21) : Erreur associée aux différentesquadratures pour le calcul duflux (τo=10 ; ω=0,8 ; np=5928).

Figure (2.22) : Erreur associée auxdifférentes quadratures pour lecalcul du flux (τo=10 ; ω=0,8 ;np=5928).

Les tests sur les différentes quadratures en fonction du nombre de directions ont montréque, d'une manière générale, l'utilisation d'une quadrature projetée donne toujours de meilleursrésultats. Avec ces quadratures la convergence est obtenue entre un nombre de 12 à 16directions. Les corrections de demi-moments proposées par Jones et al. (1996) ne donnent pastoujours les meilleurs résultats, mais d'une façon générale elles peuvent être cependantutilisées.

2.4.2 INFLUENCE DU TYPE D' INTERPOLATION SPATIALE

L'optimisation du type d'interpolation spatiale (Tableau (2.2)) utilisé permet de réduire lenombre de volumes nécessaire pour atteindre une certaine précision désirée. Les testsprésentés dans la suite considèrent les cas déjà utilisés pour la vérification des différentesquadratures, et des schémas de maillage constant : "step", linéaire (diamant), exponentiel etintégral. De plus, un maillage variable selon l'équation (2.21), et une méthode de linéarisationdu terme source, (2.46), sont testés. Le schéma linéaire utilisé effectue des corrections sur lesluminances au cas où des luminances négatives seraient obtenues, les corrections ne devrontpas changer le champ de luminance final obtenu, mais seulement le nombre d'itérationsnécessaires. La quadrature utilisée pour ces différents cas était une quadrature de Radau


projetée avec 24 directions. Le nombre de volumes nécessaires pour ne pas avoir deluminances négatives selon le critère de Fiveland est indiqué comme npFv.

Sur la Figure (2.23) sont présentées les courbes d'erreur sur le flux pour les différentsschémas en considérant le cas d'un milieu confiné entre deux parois noires et une diffusionisotrope avec un albédo ω=1. Le schéma "step" présente une mauvaise convergence enfonction du nombre de volumes. Les schémas exponentiel et intégral ont un comportementrelativement similaire en nécessitant aussi un nombre important de volumes pour atteindre laconvergence. Le schéma linéaire est celui qui présente une meilleure performance. Lalinéarisation et le maillage variable n'ont pas changé les calculs du flux. La Figure (2.24)montre la variation de la luminance pour la direction plus proche de µ=0 avec le nombre devolumes, le schéma linéaire présente des oscillations pour un nombre de volumes inférieur à30, mais tout de même avec de meilleurs résultats que les autres schémas. La Figure (2.25)présente le nombre d'itérations nécessaire pour chaque schéma. Le résultat est presque lemême pour tous les schémas à l'exception du fait qu'une légère réduction du nombred'itérations est obtenue avec la linéarisation du terme source pour un nombre de volumesélevé.

Les Figures (2.26) et (2.27) montrent un cas pour le milieu non-diffusant (purementabsorbant) soumis à une température constante. Les parois sont noires et à une températurenulle. Pour ces cas, le schéma exponentiel converge avec seulement un volume, car il est lasolution exacte de ce problème L'erreur pour le calcul du flux n'est pas nulle du fait desimprécisions liées à la quadrature. Le schéma intégral est un peu plus performant que lesschémas linéaires (linéaire, linéaire variable et linéarisé). La Figure (2.27) présente laluminance pour la direction µ=1 pour τ=τo. L'erreur du schéma exponentiel est nulle et ellen'est pas présentée sur cette figure à échelles logarithmiques.

step linéaire exponentiel intégral linéaire variable linéarisation

100

101

102

103

104

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

|Err

eur

sur

le fl

ux| [

%]

Nombre de volumes

100

101

102

103

104

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Lum

inan

ce

Nombre de volumes

Figure (2.23) : Erreur associée aux différentsschémas pour le calcul du flux(τo=8 ; ω=1 ; npFv=1997).

Figure (2.24) : Luminance pour ladirection θ=89,426° en τ=τo

(τo=8 ; ω=1 ; npFv=1997).


70

100

101

102

103

104

300

500

700

900

1100


Nom

bre

d'ite

ratio

ns

Nombre de volumes

Figure (2.25) : Nombre d'itérations pour différents schémas (τo=8 ; ω=1 ; npFv=1997).


100

101

102

103

104

10-3

10-2

10-1

100

101

102

|Err

eur

sur

le fl

ux| [

%]

Nombre de volumes

100

101

102

103

104

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

|Err

eur

sur

la L

umin

ance

| [%

]

Nombre de volumes

Figure (2.26) :Erreur associée aux différentsschémas pour le calcul du flux enτ=0 (τo=5 ; ω=0 ; npFv=2965).

Figure (2.27) Erreur associée aux différentsschémas pour le calcul de laluminance en τ= τo et µ=1 (τo=5 ;ω=0 ; npFv=2965).


Le cas présenté par Kumar et al. (1990) est utilisé pour évaluer l'influence de la diffusionanisotrope sur les différents schémas, Figures (2.28) à (2.32). Les Figures (2.28) et (2.29)montrent les résultats en termes de flux pour les parois τ=0 et τ= τo, respectivement. Leschéma linéaire nécessite moins d'itérations que les autres schémas. Si l'on regarde lesluminances pour les directions θ=0°, Figure (2.30), et θ=89,426°, Figure (2.31), en τ= τo, onobserve l'existence d'oscillations pour µ proche de 0. La Figure (2.32) montre le nombred'itérations nécessaire pour la convergence de ce cas pour plusieurs schémas. La linéarisationproposée par Chai et al. (1994) conduit à des économies de l'ordre de 40%.

Il reste à savoir si une fonction de phase du type Henyey-Greenstein présentera le mêmerésultat qu'une fonction de phase de Legendre, face à différents schémas. Ainsi un cas a étéconsidéré, basé sur un exemple de condition expérimentale utilisée par Nicolau (1994). Dansce cas, on considère un faisceau collimaté (θο=2,5°) d'incidence normale sur la surface d'unéchantillon. Ce cas suppose une symétrie azimutale. La solution de référence a été obtenue enutilisant la même méthode que Nicolau (1994), où, après une discrétisation angulaire del'ETR, une solution analytique est utilisée pour résoudre le système d'équations différentielles.C'est-à-dire qu'à partir d'une approximation de la discrétisation angulaire, la solution dusystème d'équations est exacte. Les Figures (2.33) et (2.34) présentent les résultats pour lestransmittances et reflectances hémisphériques, respectivement. La convergence de la solutionest lente et c'est le schéma linéaire qui présente de meilleurs résultats. Les Figures (2.35) et(2.36) montrent la variation de la luminance en fonction du nombre de volumes, avec desrésultats d'allure similaire à ceux des transmittance/réflectance hémisphériques. La méthodede Chai et al. (1994) continue a être très performante pour réduire le nombre d'itérations,Figure (2.37).


100

101

102

103

104

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

|Err

eur

sur

le fl

ux| [

%]

Nombre de volumes

100

101

102

103

104

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

|Err

eur

sur

le fl

ux| [

%]

Nombre de volumes

Figure (2.28) :Erreur associée aux différentsschémas pour le calcul de flux en τ=0(τo=10 ; ω=0,8 ; npFv=5928).

Figure (2.29) : Erreur associée auxdifférents schémas pour le calcul de fluxen τ= τo (τo=10 ; ω=0,8 ; npFv=5928).


72


100

101

102

103

104

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lum

inan

ce

Nombre de volumes

100

101

102

103

104

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

Lum

inan

ce

Nombre de volumes

Figure (2.30) : Variation de la luminanceen fonction du nombre devolumes pour la direction θ=0° enτ=0 (τo=10 ; ω=0,8 ; npFv=5928).

Figure (2.31) : Variation de la luminance enfonction du nombre de volumespour la direction θ=89,426° enτ=0 (τo=10 ; ω=0,8 ; npFv=5928).

100

101

102

103

104

100

110

120

130

140

150

160

170


Nom

bre

d'ite

ratio

ns

Nombre de volumes

Figure (2.32) : Nombre d'itérations pour différents schémas (τo=10 ; ω= 0,8 ;npFv=5928).



100

101

102

103

104

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

|Err

eur

sur

la T

rans

mitt

ance

Hém

isph

ériq

ue| [

%]

Nombre de volumes

100

101

102

103

104

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

|Err

eur

sur

la R

éfle

ctan

ce H

émis

phér

ique

| [%

]Nombre de volumes

Figure (2.33) : Erreur associée auxdifférents schémas pour le calcul de latransmittance hémisphérique (τo=11,86 ;ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2=-0,6 ; f1= 0,9 ; f2=0,95 ; npFv=212).

Figure (2.34) : Erreur associée aux différentsschémas pour le calcul de laréflectance hémisphérique (τo=11,86 ;ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2=-0,6 ; f1= 0,9 ;f2= 0,95 ; npFv=212).


100

101

102

103

104

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

|Err

eur

sur

la L

umin

ance

| [%

]

Nombre de volumes

100

101

102

103

104

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

|Err

eur

sur

la L

umin

ance

| [%

]

Nombre de volumes

Figure (2.35) : Erreur associée auxdifférents schémas pour le calcul de laluminance, direction d'incidence µ=1(τo=11,86 ; ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2= -0,6 ;f1= 0,9 ; f2= 0,95 ; npFv=212).

Figure (2.36) : Erreur associée aux différentsschémas pour le calcul de laluminance, direction opposée àl'incidence µ=-1 (τo=11,86 ; ω=0,95 ; g1=0,95 ;g2=-0,6 ; f1= 0,9 ; f2= 0,95 ; npFv=212).


74

100

101

102

103

104

50

100

150

200

250

300

350


Nom

bre

d'ite

ratio

ns

Nombre de volumes

Figure (2.37) : Nombre d'itérations pour différents schémas (τo=11,86 ; ω=0,95 ;g1=0,95 ; g2=-0,6 ; f1= 0,9 ; f2= 0,95 ; npFv=212).

Les tests ont montré que le choix du schéma linéaire s'avère efficace pour différentessituations. Le schéma exponentiel est intéressant pour des cas à faible diffusion où l'émissionest prépondérante. La linéarisation du terme source selon l'équation (2.46), dans la plus grandepartie des cas, réduit considérablement le nombre d'itérations nécessaire, jusqu'à un facteurdeux.

Les tests des différents schémas appliqués à une quadrature spatiale dans le cas d'unesymétrie azimutale seront présentés au paragraphe suivant.

2.4.3 INFLUENCE DE LA QUADRATURE POUR UN PROBLEME SANS SYMETRIE AZIMUTALE

Les cas tests disponibles dans la littérature pour un problème sans symétrie azimutale sonttrès limités et l'on peut dire presque inexistants. Les résultats obtenus par Modest (1991) etGerstl et Zardecki (1985) seront utilisés pour la validation de la méthode développée pour unproblème sans symétrie azimutale. Dans la suite, des cas tests seront présentés de façon àévaluer l'influence de l'angle d'incidence sur la quadrature, l'influence des paramètres de lafonction de phase, sur le nombre de directions de la quadrature et types de schémad'interpolation. La quadrature développée dans ce travail est basée sur une quadrature N-4M(24 directions) pour le plan x-z et une quadrature à pas constant pour le plan y-z. Pour allégerl'écriture la notation suivante sera utilisée : N-C4 (6 directions pour le plan y-z), N-C6 (10directions pour le plan y-z), N-C8 (14 directions pour le plan y-z) , N-C10 (18 directions pourle plan y-z) , N-C12 (22 directions pour le plan y-z).


Modest (1991) a développé une solution analytique, basée sur des équations intégrales,pour un problème dans lequel on considère une incidence oblique d'un faisceau sur unetranche d'un milieu froid absorbant à diffusion isotrope. Cet auteur présente aussi l'équation,obtenue à partir de la méthode P1, pour un milieu purement diffusant (ω=1) et les écarts sontquasi invisibles sur les courbes représentées. Désormais, du fait de la simplificationd'utilisation, la méthode P1 a été prise pour l'analyse de ce travail. Le flux est donné parl'équation suivante (Modest, 1991) :

( )qx

I Io

I

oI=

+ + − −

+

2 3 2 3

4 3

θ θ τθ

τθ

exp (2.46)

où θΙ est l'angle d'incidence du faisceau collimaté. La Figure (2.38) montre le flux calculé avecla méthode P1 (lignes) et le flux calculé avec une quadrature N-C12 (points , , ). Lesrésultats sont en très bon accord.

La Figure (2.39) présente les transmittances et réflectances bidirectionnelles calculées àpartir des équations (1.20) et (1.21), respectivement. Comme on l'attendait, l'inclinaison dufaisceau sur une tranche réduit l'intensité du faisceau collimaté dans la direction d'incidence etréduit aussi la transmittance en dehors de la direction d'incidence. La réflexion varie dans lesens contraire, mais les écarts ne sont pas visibles du fait de l'échelle logarithmique.

0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0° 30° 45° 60° 75° 85°

flux

radi

atif

(qx )

Epaisseur optique (τo)

P1

Figure (2.38) : Influence de l'angle d'incidence (θΙ) du faisceau et de l'épaisseuroptique sur le flux - comparaison entre la méthode P1 et la méthodedes ordonnées discrètes pour une quadrature N-C12 (ω=1 ; np=400).


76

10-3

10-2

10-1

100

101

0

30

60

90

120

150

180

210

240270

300

330

10-3

10-2

10-1

100

101

Réflectances Transmittances

θΙ=0° θΙ=30° θΙ=45° θΙ=60° θΙ=75° θΙ=85°

Figure (2.39) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction del'angle d'incidence pour un cas avec diffusion isotrope, ω=1, τo=4,np=400, calcul avec une quadrature N- C12 (plan x-z).

Le deuxième cas test est basé sur les résultats obtenus par Gerstl et Zardecki (1985) pourune tranche plane soumise à un faisceau incliné pour un milieu à diffusion anisotrope(Henyey-Greenstein). Ces auteurs ont utilisé une méthode de solution par somme de solutionsd'un problème avec symétrie azimutale (développement en série), en appliquant la méthodedes ordonnées discrètes associée aux volumes de contrôle pour résoudre le problème avecsymétrie azimutale. Comme la fonction de phase doit être écrite sous la forme d'un polynômede Legendre pour l'utilisation de cette solution, ces auteurs ont fait un développement de lafonction de phase de Henyey-Greenstein.

La Figure (2.40) montre les résultats de transmittance et de reflectance hémisphériquefonction de l'angle d'incidence. Il existe une écart entre la solution de Gerstl et Zardecki(1985) (lignes) et les valeurs calculées avec la quadrature N- C12 (points , , ), surtout pourles grandes épaisseurs optiques. Cet écart est dû probablement aux différents traitements de lafonction de phase : intégration sur φ pour un problème avec symétrie azimutale (équation(1.40)) et la correction de la fonction de phase (équation (1.44)). Pour vérifier cette hypothèseun cas avec symétrie azimutale a été calculé et le résultats obtenus sont indiqués sous la formede symboles (X) pour l'angle d'incidence zéro. Les résultats coïncident avec la courbe de Gerstlet Zardecki (1985) et confirment cette hypothèse.

Sur les Figures (2.41) et 2.42) on observe la variation de transmittance/réflectancebidirectionnelles en fonction de l'angle d'incidence pour les épaisseurs optiques de 1 et de 16,respectivement. Une forme plus pointue de la courbe de transmittance apparaît comme


conséquence de la fonction de phase de Henyey-Greenstein. Pour la plus forte épaisseuroptique (τ=16) la réflectance est plus élevée pour les directions comprises entre 90° et 120°.Pour les autres directions la réflectance a une tendance à l'isotropie.

La Figure (2.43) montre l'influence du facteur d'asymétrie g1 de la fonction de phasecomposée proposée par Nicolau (1994) sur les transmittances/reflectances bidirectionnelles,pour deux épaisseur optiques (τo=1 et τo=5). Si g1 est proche de l'unité la courbe devient pluspointue et les reflectances sont légèrement réduites. L'augmentation de l'épaisseur optique,logiquement, réduit le pic autour de la direction d'incidence, transforme les transmittances enune distribution plus isotrope et augmente la réflectance.

0 30 60 90

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

τ=16

τ=4τ=16

τ=4

τ=1

τ=1

Tra

nsm

ittan

ce h

émis

phér

ique

Angle d'incidence

0 30 60 90

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

R

éfle

ctan

ce h

émis

phér

ique

Angle d'incidence

(a) (b)

Figure (2.40) : Influence de l'angle d'incidence (θΙ) du faisceau et de l'épaisseuroptique sur les transmittances (a) et réflectances (b) hémisphériques -comparaison entre les résultats de Gerstl et Zardecki (1985) et ceuxde la méthode des ordonnées discrètes pour une quadrature N- C12(ω=1,0 ; g=0,75 ; np=400).


78

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

0

30

60

90

120

150

180

210

240270

300

330

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

θΙ=0° θΙ=30° θΙ=45° θΙ=60° θΙ=75° θΙ=85°


Figure (2.41) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction del'angle d'incidence pour une fonction de phase de Henyey-Greenstein, ω=1 ; τo=1 ;g=0,75 ; np=400 pour une quadrature N-C12 (plan x-z).

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

0

30

60

90

120

150

180

210

240270

300

330

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102


θΙ=0° θΙ=30° θΙ=45° θΙ=60° θΙ=75° θΙ=85°

Figure (2.42) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction del'angle d'incidence pour une fonction de phase de Henyey-Greenstein, ω=1,0 ; τo=16 ; g=0,75 ; np=400 pour une quadratureN- C12 (plan x-z).


10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

0

30

60

90

120

150

180

210

240270

300

330

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

g1=0.95, τo=5 g1=0.86, τo=5

g1=0.95, τo=1 g1=0.86, τo=1


Figure (2.43) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles pour 2 valeurs duparamètre g1 de la fonction de phase composée (Nicolau, 1994)pour deux épaisseurs optiques (τo=1 et τo=5), θI=45°, ω=0,95 ;g2=-0,6 ; f1=0,9 ; f2=0,95 ; np=400, pour une quadrature N- C12(plan x-z).

Les Figures (2.44) à (2.47) montrent l'influence du paramètre g1 de la fonction de phase deNicolau (1994) sur les transmittances/réflectances bidirectionnelles fonction de l'angled'incidence pour deux épaisseurs optiques (τo=1 et τo=5). Le comportement déjà constaté avecla fonction de phase de Henyey-Greenstein est à nouveau observé. L'inclinaison du faisceauaugmente la réflectance et une croissance de l'épaisseur optique conduit le champ detransmittance/réflectance à un format plus uniforme. Un facteur d'anisotropie g1 plus élevécontribue à avoir un champ de transmittance plus pointu, même pour des épaisseurs optiquesimportantes, Figure (2.47)


80

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

0

30

60

90

120

150

180

210

240270

300

330

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102


θΙ=0° θΙ=30° θΙ=45° θΙ=60° θΙ=75° θΙ=85°

Figure (2.44) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction del'angle d'incidence θI pour τo=1 ; ω=0,95 ; g1=0,86 ; g2=-0,6 ;f1=0,9 ; f2=0,95 ; np=500, pour une quadrature N- C12 (plan x-z).

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

0

30

60

90

120

150

180

210

240270

300

330

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102


θΙ=0° θΙ=30° θΙ=45° θΙ=60° θΙ=75° θΙ=85°

Figure (2.45) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction duparamètre g1 de la fonction de phase pour τo=5 ; ω=0,95 ; g1=0,86g2=-0,6 ; f1=0,9 ; f2=0,95 ; np=500, pour une quadrature N- C12(plan x-z).


10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

0

30

60

90

120

150

180

210

240270

300

330

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102


θΙ=0° θΙ=30° θΙ=45° θΙ=60° θΙ=75° θΙ=85°

Figure (2.46) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction duparamètre g1 de la fonction de phase pour τo=1 ; ω=0,95 ; g1=0,95g2=-0,6 ; f1=0,9 ; f2=0,95 ; np=500, pour une quadrature N- C12(plan x-z).

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

0

30

60

90

120

150

180

210

240270

300

330

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102


θΙ=0° θΙ=30° θΙ=45° θΙ=60° θΙ=75° θΙ=85°

Figure (2.47) : Transmittances et réflectances bidirectionnelles en fonction duparamètre g1 de la fonction de phase pour τo=5 ; ω=0,95 ; g1=0,95; g2=-0,6 ; f1=0,9 ; f2=0,95 ; np=500, pour une quadrature N- C12(plan x-z).


82

Afin de pouvoir évaluer les erreurs dues aux nombres de directions utilisés pour laquadrature dans le plan y-z, des tests ont été effectués en considérant la variation destransmittances dans la direction d'incidence, celles de la réflectance dans la direction opposéeà la direction d'incidence et de la transmittance/réflectance hémisphérique. Les résultats pourles différentes quadratures sont présentés sur les Figures (2.48) et (2.49) en fonction dunombre de volumes de contrôle pour : θΙ=45° ; τo=10 ; ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2= -0,6 ; f1= 0,9 ;f2= 0,95. A partir de 8 directions les résultats commencent à converger. Un nombre de 30volumes de contrôle suffit pour la convergence des calculs.

100

101

102

103

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

direction opposée à l'incidence

direction d'incidence

direction d'incidence direction opposée N24C4 N24C4 N24C6 N24C6 N24C8 N24C8 N24C10 N24C10 N24C12 N24C12

Tra

nsm

ittan

ce b

idire

ctionne

l

Nombre de volumes

100

101

102

103

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

transmittance

réflectance

N24C4 N24C8 N24C6 N24C10 N24C12

Tra

nsm

ittan

ce e

t Réf

lect

ance

Hém

isph

ériq

ue

Nombre de volumes

Figure (2.48) : Variation de la transmittancebidirectionnelle en fonction du nombrede directions de la quadrature y-z(θΙ=45° ; τo=10 ; ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2=-0,6 ; f1= 0,9 ; f2= 0,95).

Figure (2.49) : Variation de la transmittance/réflectance hémisphérique en fonctiondu nombre de directions de la quadraturey-z (θΙ=45° ; τo=10 ; ω=0,95 ; g1=0,95 ;g2= -0,6 ; f1= 0,9 ; f2= 0,95).

Les Figures de (2.50) à (2.52) montrent l'effet des différents schémas sur la quadraturespatiale - N24C8. La Figure (2.50) présente les valeurs de transmittance pour la directiond'incidence du faisceau et de réflectance bidirectionnelle pour la direction opposée à celled'incidence. Le schéma linéaire converge plus rapidement que les autres et un nombre de 30volumes peut être considéré comme suffisant. Sur la Figure (2.51) la transmittance et laréflectance hémisphériques sont tracées. A nouveau le schéma linéaire est plus performant.Normalement des grandeurs hémisphériques convergent plus rapidement que des grandeursdirectionnelles. La Figure (2.52) présente le nombre d'itérations nécessaire pour chaqueschéma pour la convergence. La formule de linéarisation (équation 2.46) n'arrive pas àconverger jusqu'à un nombre de 10 volumes et les itérations sont réalisées jusqu'à une limite


imposée dans le programme (2500 itérations). A partir de 10 volumes la linéarisationconverge avec un nombre d'itérations nettement inférieur à celui pour les autres schémas.


100

101

102

103

0.01

0.1

1

10

reflectance

transmittance

Tra

nsm

itta

nce/

refle

cta

nce

bidi

rect

ionn

el

Nombre de volumes

100

101

102

103

0.1

0.2

0.3

0.4

réflectance

transmittance

Tra

nsm

itta

nce/

refle

cta

nce

hém

isph

ériq

ue

Nombre de volumes

Figure (2.50) : Variation de la transmittancebidirectionnelle en fonction du nombre devolumes pour les différents schémas(θΙ=45° ; τo=10 ; ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2= -0,6 ; f1= 0,9 ; f2= 0,95).

Figure (2.51) : Variation de la transmittancehémisphérique en fonction du nombrede volumes pour les différentsschémas (θΙ =45° ; τo=10 ; ω=0,95 ;g1=0,95 ; g2= -0,6 ; f1= 0,9 ; f2=0,95).

100

101

102

103

10

100

1000


Nom

bre

d'ite

ratio

ns

Nombre de volumes

Figure (2.52) : Nombre d'itérations pour différents schémas (θΙ =45° ; τo=10 ;ω=0,95 ; g1=0,95 ; g2= -0,6 ; f1= 0,9 ; f2= 0,95).


84

2.5 CONCLUSION

Une étude menée sur la méthode des ordonnés discrètes a permis de caractériser les erreursinhérentes à l'utilisation des divers types de quadratures et de schémas d'interpolation. Cetteétude a montré que, pour le calcul du flux radiatif, les quadratures qui respectent le demi-moment du rayonnement donnent des résultats beaucoup plus précis que celles qui respectentuniquement le moment total du rayonnement. Par rapport aux schémas d'interpolation linéaire,le schéma diamant est celui qui a donné les meilleurs résultats en termes de convergence parrapport aux autres schémas analysés ("step", exponentiel et intégral). Son inconvénient estqu'il peut donner des oscillations sur le champ de luminance, surtout pour les directionsproches de µ=0, si un nombre minimum des volumes de contrôle n'est pas utilisé. Lalinéarisation du terme source, présentée par Chai et al. (1994) pour des calculs en géométriebidimensionnelle, donne d'excellents résultats en termes de réduction du nombre d'itérationsquand elle est appliquée à une configuration monodimensionnelle. Les corrections de demi-moments proposées par Jones et al. (1996) ne donnent pas toujours les meilleurs résultats,mais d'une façon générale elles peuvent être utilisées.

Dans ce chapitre est aussi présenté un modèle de résolution de l'équation de transfertradiatif en condition de non-symétrie azimutale. La méthode des ordonnées discrètesappliquée à un volume de contrôle est utilisée. Une nouvelle quadrature spatiale a été conçude manière à permettre la réalisation des mesures avec le dispositif expérimental. Cettequadrature a un nombre de directions concentré autour de la direction d'incidence et présenteun nombre important de directions dans le plan de mesure du système de détection.

CHAPITRE III : Estimation de paramètres85

&+$3,75(,,,

ESTIMATION DE PARAMETRES

3.1 INTRODUCTION

Une démarche d'identification des propriétés radiatives d'un mst diffusant est fondée sur lasolution de l'ETR (en couplage éventuel avec d'autres modes de transmission de la chaleur)combinée à une méthode de moindre carrés (minimisation des écarts entre des valeursexpérimentales et théoriques calculées à partir de l'ETR). Les propriétés radiatives identifiéessont l'albédo, l'épaisseur optique et la fonction de phase. La fonction de phase, pour certainsmatériaux peut prendre une allure très compliquée (et/ou pointue) et, dans ce cas, sareprésentation sous la forme d'un polynôme de Legendre nécessite des centaines de termes.Les travaux de Sanchez et McCormick (1982) et de Silva Neto et Özisik (1992) sont desexemples du problème de détermination des coefficients d'un polynôme de Legendre enutilisant une méthode inverse. Ces auteurs ont conclu, que pour un nombre supérieur à 5termes, l'identification devient très difficile du fait de la haute sensibilité au bruit des mesures.Comme une identification de la fonction de phase du type Legendre n'est pas possible dans cecas, des fonctions approchées sont utilisées. Une première approche consiste à exprimer lafonction de phase sous la forme isotrope, une hypothèse très simplificatrice pour la solution del'ETR, mais qui peut conduire à des écarts importants entre les résultats expérimentaux etthéoriques pour des épaisseurs optiques différentes de celle correspondant à l'identification.Des fonctions de phase plus complexes peuvent être utilisées pour un milieu à diffusionanisotrope tout en ayant un nombre réduit de termes à identifier. C'est le cas de la fonction dephase d'Henyey-Greenstein (1 terme) ou de la fonction de phase de Nicolau (4 termes).

La réussite du modèle d'identification est définie par les écarts finaux entre la courbeexpérimentale et la courbe théorique des grandeurs calculées (transmittance/réflectancebidirectionnelles, transmittance/réflectance hémisphérique, emittance directionnelle) enfonction de l'épaisseur optique. Une méthode d'identification qui utilise des mesureshémisphériques perd l'information liée aux caractéristiques directionnelles du rayonnement.Cela réduit la capacité du modèle à prédire la fonction de phase, surtout pour une fonction dephase avec plusieurs paramètres. Cependant, le choix de modèles utilisant des mesureshémisphériques a été adopté dans plusieurs travaux de la littérature (Kuhn et al., 1993 ; Capset al., 1997 ; Hahn et al., 1997). Les mesures hémisphériques intégrent le signal transmis ouréfléchi par l'échantillon sur un hémisphère (à l'aide d'une sphère intégrante) et sont de ce faitmoins bruitées. Les mesures bidirectionnelles exigent un dispositif expérimental très précispour pouvoir réduire le bruit de mesure (car le signal est mesuré dans un angle solide trèspetit). Une autre difficulté est que les mesures directionnelles sont effectuées autour del'échantillon et, pour déplacer le détecteur, il est nécessaire d'avoir recours à un dispositifgoniométrique.

En plus du type de mesure, la forme de l'incidence du rayonnement sur l'échantillon peutchanger la sensibilité du modèle d'identification. Le dispositif expérimental peut être élaboréde façon à avoir un faisceau incident collimaté (normalement ou non) sur la surface del'échantillon (Uny, 1986 ; Gricksman et al., 1987 ; Nicolau, 1994 ; Doermann, 1995 ; Henry etal., 1997) ou une incidence diffuse (Silva Neto et Özisik, 1992).

Identification des propriétés radiatives de matériaux semi-transparents diffusantsen situation de non symétrie azimutale du champ radiatif

86

A haute température, des mesures d'émittance du milieu peuvent être utilisées pourl'estimation des propriétés radiatives. Cependant les travaux réalisés jusqu'à présent ont étéappliqués à la détermination du champ de température d'un mst en supposant les propriétésradiatives du milieu connues (Ruperti Jr., 1996).

En essayant de déterminer la meilleure configuration expérimentale pour la déterminationdes propriétés radiatives de fibres et de mousses (fort pic de diffusion) cinq cas en prenant encompte des dispositifs expérimentaux différents ont été analysés. De ces cinq configurations,une seulement permet de déterminer les propriétés radiatives en fonction de l'angle d'incidenced'un faisceau collimaté.

Une analyse de l'influence des paramètres, tels que le nombre de conditionnement et l'anglesolide du faisceau incident est présentée dans la suite de ce chapitre. Finalement, unesimulation de mesures est présentée pour valider le programme d'identification de paramètres(linéarisation de Gauss) utilisé pour les données expérimentales.

3.2 DESCRIPTION DE LA METHODE DE LINEARISATION DE GAUSS

Une méthode d'identification de paramètres utilise des résultats expérimentaux detransmittances/réflectances ou émittances (hémisphériques ou bidirectionnelles) que l'oncompare à des résultats obtenus pour ces grandeurs à l'aide d'un modèle théorique simulant lesconditions de l'expérience, pour la même épaisseur de l'échantillon. Les grandeurs mesurées,définies à partir des équations (1.20) à (1.24) sont représentées avec un indice "t" pourthéorique et "e" pour expérimentale.

Les grandeurs théoriques sont calculées comme une fonction des propriétés radiatives, àsavoir son épaisseur optique τo, son albédo ω et son modèle de fonction de phase, décrite icipar les 4 paramètres (g1, g2, f1 et f2) du modèle de Nicolau (1994).

D'une façon générale, l'écart quadratique entre les valeurs théoriques et expérimentales peutêtre donné par la formule suivante :

( ) [ ]F , ,χ k=1,...,K n n

n

= −=

∑ T Tt e

Nd2

1

(3.1)

où χ est le vecteur de propriétés radiatives à déterminer, K le nombre total de propriétésradiatives à déterminer et Nd est le nombre de directions de mesure. T peut représenter soit latransmittance, la réflectance ou l'émittance (hémisphérique ou bidirectionnelle). L'objectif estde minimiser la fonctionnelle F par rapport au vecteur de paramètres à identifier χk=1,...,K .

La démarche de minimisation utilisée dans ce travail est celle de Gauss (Nicolau, 1994 etDoermann, 1995). Cette méthode permet de déterminer les paramètres χk=1,...,K qui minimisent

F et par conséquent les dérivées partielles de la fonction F, par rapport à chaque paramètre χk

doivent être nulles. Ainsi, les relations suivantes doivent être vérifiées :.

( )∂∂χ

∂∂χ

F

k kn n

n 1

= −

=

=∑ T Tt e

Nd

, ,

20 (3.2)


ou encore :

( )T TT

e tt

Nd

, ,,

n nn

kn 1

k 1,...,K−

= =

=∑ ∂

∂χ0 (3.3)

où le terme ∂∂χTt,n

k

est le coefficient de sensibilité. Il représente le taux de variation de

chaque transmittance, réflectance ou emittance (Tt,n), due à une variation du paramètre χk . Cesystème d'équations non linéaire, équation (3.3), est résolu en utilisant une méthode itérative :

( )T TT

e t

tNd

, ,

,

n nm 1 n

k

m 1

n

k 1,...,K−

= =+

+

=∑ ∂

∂χ1

0 (3.4)

Les valeurs Tt,nm 1+ , de l'itération m+1 peuvent être approchées par un développement du

premier ordre (Nicolau, 1994) :

( )T TT

t t

t

, ,

,

n

m 1

nm n

k

m

mχ∂∂χ

+ ≅ +

+∆χ ∆χ k=1,...,K (3.5)

et les dérivées partielles de l'itération m+1 :

∂∂χ

∂∂χ

T Tt t, ,n

k

m 1

n

k

m

≅

+

k=1,...,K (3.6)

Avec un regroupement des équations (3.4), (3.5) et (3.6), on obtient un système de Kéquations à K inconnues (Nicolau, 1994) :

∂∂χ

∂∂χ

∂∂χ

∂∂χ

∂∂χ

∂∂χ

∂∂χ

∂∂χ

∂∂χ

∂∂χ

∂∂χ

∂∂χ

T T T T T

T T T T T

T T

t t tNd

t tNdNd

t t tN Nd

t tNd

Ndt t

n n n

n 1

n n

Kn 1n

n n n

n 1 n 1

n n

K n

n

n

K

n

n

1

2

1 2 11

1 2 2

2

21

1 1

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

===

= ==

=

∑∑∑

∑ ∑∑

∑

...

...

= =∑ ∑

⋅

1

n n n

Kn 1

Ndt

K

t tNdT T T∂

∂χ∂∂χ

∂∂χ2

2

...

( )

( )

( )

∆χ∆χ

∆χ

1

2

11

21

1

− −

= −

−

−

− − − − − − − − − − −

−

=

=

=

∑

∑

∑K

n nn

n

n nn

n

n nn

K n

T TT

T TT

T TT

t et

Nd

t et

Nd

t et

Nd

∂∂χ

∂∂χ

∂∂χ

(3.7)

La résolution de ce système fournit les incréments ∆χk=1,...,K qui doivent être ajoutés à

chaque paramètre χk à chaque itération, sous la forme :

χ χkm+1

km

km= +∆χ k=1,...,K (3.8)

La convergence est réalisée lorsque ∆χ km

km/ χ est inférieur à une tolérance prédefinie.


88

Le terme source à droite de l'équation (3.7) contient les écarts entre les valeurs théoriqueset les valeurs expérimentales. La matrice à gauche, [S], est formée entièrement à partir descoefficients de sensibilité, c'est-à-dire qu'elle ne dépend que du modèle théorique. Unedépendance linéaire des paramètres χk peut être détectée en examinant le degré deconditionnement de cette matrice [S]. Le nombre de conditionnement est défini par la relationsuivante :

NC( )S S S= ⋅−1 (3.9)

la norme S étant définie comme :

S S==

=∑max

,,

k'k' k

k1

1K

K

(3.10)

NC[S] est compris entre 1 et ∞. Si NC est beaucoup plus grand que 1, le système est alorsmal conditionné.

3.3 DIFFERENTES APPROCHES EXPERIMENTALES POUR LADETERMINATION DES PROPRIETES RADIATIVES

L'identification des propriétés radiatives d'un mst peut être effectuée à partir de différentesstratégies expérimentales. La réussite de la démarche dépendra de l'adéquation du dispositifexpérimental avec le modèle d'identification en fonction des paramètres à estimer. C'est-à-dire, un modèle qui estime bien les propriétés pour une certaine épaisseur optique ne sera pasobligatoirement satisfaisant pour des épaisseurs très différentes.

Afin de pouvoir déterminer quelle serait la meilleure configuration expérimentale pourl'identification de matériaux présentant un fort pic de diffusion, telles que les fibres et lesmousses, cinq stratégies expérimentales possibles ont été considérées. L'analyse utilise lesmodèles sans symétrie et avec symétrie azimutale décrits dans les deux premiers chapitres.

Les résultats, présentés en fonction du nombre de conditionnement et de l'épaisseuroptique, permettent d'évaluer les performances de chaque montage et aussi de déterminerl'épaisseur optique pour laquelle les dispositifs expérimentaux sont plus indiqués. Le milieuanalysé est une fibre de verre avec les propriétés radiatives listées au Tableau 3.1. La fonctionde phase adoptée est celle de Nicolau (1994). Cette analyse est valable pour des matériauxavec des propriétés radiatives proches de celle ce matériau. Si le matériau est très différent, lesrésultats présentés ici pourraient ne plus être valables. La démarche d'analyse demeureratoutefois la même.

Un NC (équation 3.9) important fera que la méthode d'identification sera fortementinfluencée par le bruit de mesure. Alors, l'analyse de NC doit être effectuée en tenant comptedu niveau du signal détecté. Pour deux méthodes avec le même NC, la plus performante seracelle qui correspond à un signal détecté plus important (Remarque : on considère que le bruitest constant pour tous les cas). Pour cette raison les courbes de transmittance, de réflectanceet/ou d'émittance sont aussi présentées pour chaque méthode.


Les différentes approches expérimentales sont montrées à la Figure (3.1). Elles sontdéfinies comme suit :

i) Faisceau collimaté incident normalement sur un échantillon (cas avec symétrieazimutale). Les mesures effectuées sont des transmittances et des réflectancesbidirectionnelles.

ii) Faisceau collimaté incident incliné sur un échantillon (cas sans symétrie azimutale). Lesmesures effectuées sont des transmittances et des réflectances bidirectionnelles.

iii) Faisceau collimaté incident incliné sur un échantillon (cas sans symétrie azimutale).Les mesures effectuées sont des transmittances et des réflectances hémisphériques.

iv) Incidence diffuse sur un échantillon (cas avec symétrie azimutale). Les mesureseffectuées sont des transmittances et des réflectances bidirectionnelles.

v) Mesure de l'émittance de l'échantillon (cas avec symétrie azimutale). Les mesureseffectuées sont des émittances directionnelles.

Pour les quatre premiers cas, le terme d'émission de l'ETR n'est pas considéré. Du fait de lamodulation du rayonnement incident généralement utilisée dans la technique de mesure, lerayonnement émis par l'échantillon n'est pas pris en compte.

Les 5 cas ont été traités avec différentes quadratures, adaptées à chaque conditionexpérimentale. La quadrature de Nicolau (1994) avec un nombre de 24 directions est utiliséepour le premier cas. La divergence de l'angle d'incidence correspond à 2,5°.

Dans le deuxième cas on considère un problème sans symétrie azimutale. Le faisceau a uneincidence inclinée sur la surface de l'échantillon et les transmittances et réflectancesbidirectionnelles sont mesurées autour de l'échantillon dans un plan fixé pour la rotation dusystème de détection. Toutes les directions de la quadrature spatiale ne sont donc pas prises encompte pour le calcul de F, équation (3.1), mais seulement celles dans le plan x-z (Figure 2.2).Cette méthode, en dehors du premier cas, permet de déterminer les propriétés radiatives dematériaux en fonction de l'angle d'incidence et peut être appliquée à des milieux composés departicules qui n'ont pas une orientation aléatoire. La quadrature spatiale utilisée est une N24-C12 (266 directions), avec un angle de divergence de 2,5°.

Tableau 3.1: Propriétés radiatives pour les cas-tests effectués.

Propriétés radiativesω 0,95

g1 0,84

f1 0,9

g2 -0,6

f2 0,95


90

Le troisième cas a aussi été résolu avec une quadrature N24-C12. La différence par rapportau deuxième cas est qu'on considère les mesures de transmittances et de réflectanceshémisphériques et la minimisation effectuée à partir de l'équation (3.1) est réalisée à partir dela somme quadratique de transmittances et de réflectances hémisphériques, en fonction dunombre de directions d'incidence du faisceau collimaté. Le nombre de directions et lesdirections choisies pour ce cas ont une grande influence sur le paramètre NC. Nous avons prisdeux types de directions d'incidence pour considérer cet effet : a) Les transmittanceshémisphériques sont mesurées au nombre d'onze, pour un faisceau incident avec un angled'inclinaison compris entre 0° et 50° avec des intervalles de 5°, et on mesure aussi uneréflectance hémisphérique pour la direction d'incidence normale (les autres directions ne sontpas considérées pour la réflectance hémisphérique du fait de la difficulté expérimentaled'effectuer cette mesure ; b) On mesure un nombre de douze transmittances et réflectanceshémisphériques pour un faisceau incident selon les directions de la quadrature N24 (plan x-z)(cette configuration expérimentale est d'exécution difficile, mais les résultats sont nettementsupérieurs à ceux du type d'incidence précédent).

Une quadrature de Radau projetée avec 24 directions est utilisée pour les deux derniers cas.Dans le quatrième cas on considère une incidence diffuse sur un échantillon et des mesures detransmittances et réflectances bidirectionnelles sont effectuées. Cela pourrait permettre d'avoirdavantage d'énergie sur toutes les directions des mesure. Le paramètre NC est calculé à partirde toutes les transmittances et les réflectances bidirectionnelles ; ce cas ne conduit pas nonplus à de bons résultats si l'on utilise uniquement les transmittances bidirectionnelles. Dans ledernier cas on considère que des mesures d'émittance directionnelle sont effectuées pour unéchantillon à une température uniforme. Ce problème présente une symétrie par rapport auplan de cote τ=τo/2 et ainsi seules 12 émittances mesurées sur une face sont prises en compte.

La valeur de NC calculée dépend du nombre de paramètres à identifier et aussi du choixdes paramètres qui seront identifiés. Dans les résultats présentés ici, à l'exception de la Figure(3.5), on considère la séquence suivante pour le vecteur ( , , , , , )χ ω τk=1,...,6 = g f f g o1 1 2 2 . Une

identification de 2 paramètres correspond à ω et g1. Pour l'identification de 3 paramètres, ils'agit de la séquence ω, g1 et f1. Enfin pour 6 paramètres, c'est ω, g1, f1, f2, g2 et τo qui sontidentifiés. Plus le NC est élevé plus le système d'équations (3.7) se trouve mal conditionné etl'identification des 6 paramètres ne sera alors pas possible et on devra réduire le nombre desparamètres à identifier.

L'épaisseur optique peut être déterminée à partir d'un modèle direct simplifié, en utilisantdirectement la loi de Beer, ou des modèles plus élaborés dans lesquels on soustrait de latransmittance dans la direction d'incidence du faisceau la contribution énergétique due à ladiffusion. Pour réduire encore, un paramètre g2 peut être fixé, ou alors on peut faire g1=g2 enayant un seul paramètre d'asymétrie (g) pour la fonction de phase de Nicolau (1994), équation(1.42).

Les Figures (3.2) et (3.3) montrent les résultats obtenus pour le premier cas. La Figure (3.2)présente le NC en fonction des différents nombres de paramètres à identifier et le résultat estun peu différent de celui obtenu par Nicolau (1994). En fait le NC est fonction de l'anglesolide d'incidence et, dans son analyse Nicolau (1994) a utilisé un angle de divergence dufaisceau incident de 0,38° imposé par ses conditions expérimentales (montage avec unmonochromateur). L'augmentation de l'angle de divergence du faisceau fait que l'épaisseuroptique optimale est réduite. Nicolau (1994) a obtenu que l'épaisseur optique optimale se situe


au-delà de 10, mais la Figure (3.2) montre quelle se trouve en réalité entre 5 et 10. En fait,l'augmentation de la divergence du faisceau a pour effet que la transmittance dans la directiond'incidence s'approche des transmittances diffuses autour de la direction d'incidence et l'ondoit alors réduire l'épaisseur optique pour garder une certain forme de la courbe detransmittance. Dans la Figure (3.3), les courbes de transmittances et réflectancesbidirectionnelles sont présentées en fonction de l'angle polaire (θ). Une épaisseur optique (τo)trop petite fait que la transmittance normale est très élevée et que les signaux des réflectancessont faibles. Avec l'augmentation de τo, les réflectances augmentent aussi, jusqu'à la limite oùl'échantillon peut être considéré comme semi-infini, mais comme le matériau absorbe, lestransmittances deviennent de plus en plus faibles.

Les Figures (3.4) et (3.5) se réfèrent au cas (ii ). Comme prévisible, les résultats neprésentent pas de grands écarts par rapport au cas (i). Les courbes obtenues pour uneincidence θI=0° sont pratiquement identiques à celles du cas (i), les petits écarts observésétant dus probablement au nombre différent de directions considérées dans les deux cas(dans le cas (ii ) on considère deux fois plus de directions que dans le cas précèdent pour lecalcul de F, équation (3.1)). Le fait d'incliner le faisceau incident décale les courbes d'unfacteur cos θI sur l'axe τo. Une légère réduction de NC peut être aussi observée. Cela est dûà un certain gain d'information par rapport à la condition de non-symétrie azimutale. Le faitde changer la séquence de paramètres dans le vecteur χ peut changer aussi la valeur deNC. Sur la Figure (3.5) cet effet est analysé pour un vecteur( , , , , , )χ ω τk=1,...,6 = o g f f g1 1 2 2 . On considère que l'épaisseur optique doit être

impérativement estimée et les valeurs minimales des courbes sont davantage décalées pourles plus petites valeurs de τo.

Si le rapport signal/bruit détecté est trop faible pour les deux premiers cas, ne permettantpas d'estimer correctement les propriétés, on peut envisager d'utiliser une sphère intégrantepour avoir d'avantage d'énergie. Le principe, dans ce cas, est d'utiliser la somme destransmittances hémisphériques obtenues pour plusieurs angles d'incidence sur unéchantillon (cas (iii )). Pour l'analyse qui suit, on considère les deux cas déjà décrits, le cas(a) avec 12 mesures (11 transmittances hémisphériques et une réflectance hémisphérique),et le cas (b) avec 24 mesures (12 transmittances hémisphériques et 12 réflectanceshémisphériques). Le cas (a) est extrêmement mal conditionné et la détermination desdifférents termes de la fonction de phase est difficile (Figure (3.6)). Si le nombre dedirections est plus important, et si de plus les réflectances hémisphériques sont utiliséespour le calcul de NC, le résultat est amélioré mais reste encore mal conditionné (Figure(3.7)). Cette méthode perd les informations directionnelles nécessaires pour bien estimer lafonction de phase. En fait, l'inclinaison du faisceau incident revient de façon similaire àfaire varier l'épaisseur optique du matériau (si on considère que les propriétés radiativessont invariantes avec l'angle d'incidence). La Figure (3.8) montre la transmittance et laréflectance hémisphériques obtenues avec cette méthode pour différentes épaisseursoptiques.


92

(i) (ii )

(iii )

(iv) (v)

Figure (3.1) : Différentes conditions expérimentales analysées.

détecteur

incidencediffuse

émissionpropre

échantillon

T=To

faisceau collimatéincidence normale faisceau collimaté

incidence oblique

faisceau collimatéincidence oblique

Sphère intégrante


0 5 10 15 20 2510

0

102

104

106

108

1010

2 paramètres 3 paramètres 4 paramètres 5 paramètres 6 paramètres

N

ombr

e de

con

ditio

nnem

ent (

NC

)


Figure (3.2) : Nombre de conditionnement pour le cas (i).

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.010

-3

10-2

10-1

100

101

102

Réflectance Transmittance

τo=1 τo=5 τo=10 τo=15 τo=20

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces

µ=cos(θ)

Figure (3.3) : Transmittance et réflectance bidirectionnelles pour le cas (i).


94

0 5 10 15 20 2510

0

102

104

106

108

1010


θI=0° θI=30° θI=60°

Nom

bre

de c

ondi

tionn

emen

t (N

C)


Figure (3.4) : Nombre de conditionnement pour le cas (ii ) pour ( , , , , , )χ ω τk=1,...,6 = g f f g o1 1 2 2 .

0 5 10 15 20 2510

0

102

104

106

108

1010


θI=0° θI=60°

Nom

bre

de c

ondi

tionn

emen

t (N

C)


Figure (3.5) : Nombre de conditionnement pour le cas (ii ) pour ( , , , , , )χ ω τk=1,...,6 = o g f f g1 1 2 2 .

Le quatrième cas (iv) a été résolu pour une incidence diffuse, en situation de symétrieazimutale. La valeur de NC pour ce cas, Figure (3.9) , est moins bonne que dans les deuxpremiers cas et les valeurs des transmittances et réflectances bidirectionnelles ne sont pasplus élevées, Figure (3.10). Pour cette comparaison, on considère que le flux incident est lemême que pour les cas avec un faisceau incident collimaté. Ce cas présente un meilleur


conditionnement pour de faibles épaisseurs optiques, dû certainement à l'information enprovenance de la fonction de phase et qui est perdue avec l'augmentation de l'épaisseuroptique.

0 5 10 15 20 2510

0

102

104

106

108

1010

1012

1014

1016


Nom

bre

de c

ondi

tionn

emen

t (N

C)


Figure (3.6) : Nombre de conditionnement pour le cas (iii ) avec 12 directions de mesure.

0 5 10 15 20 2510

0

102

104

106

108

1010

1012

1014


Nom

bre

de c

ondi

tionn

emen

t (N

C)


Figure (3.7) : Nombre de conditionnement pour le cas (iii ) avec 24 directions de mesure.


96

0 5 10 15 20 250.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Transmittance hémisphérique Réflectance hémisphérique

Tra

nsm

ittan

ce e

t Réf

lect

ance


Figure (3.8) : Transmittance et réflectance hémisphériques pour le cas (iii ).

0 5 10 15 20 2510

0

102

104

106

108

1010

1012


Nom

bre

de c

ondi

tionn

emen

t (N

C)


Figure (3.9) : Nombre de conditionnement pour le cas (iv).

Le dernier cas (v) pourrait être utilisé pour la détermination des propriétés radiatives d'unmst à haute température en utilisant des mesures d'émittance, toutefois la Figure (3.11) montrequ'une fonction de phase avec plusieurs paramètres est difficile à identifier. On observe aussique, pour l'identification de 3 et 4 paramètres, l'épaisseur optique optimale du milieu tend versl'infini ; dans ces conditions, le signal mesuré aura une intensité plus importante. Pour avoirdavantage de signal détecté, la température du milieu devra être la plus haute possible, mais ilest important de souligner que les propriétés radiatives peuvent varier avec la température.


Cette configuration expérimentale a été utilisée par Lopes et al. (1997 et 1998) pour desmesures d'émission de céramiques et des particules de bronze oxydé. Cependant, seules descomparaisons entre des mesures et des calculs prédictifs à partir de la morphologie et descaractéristiques optiques des particules ont été effectuées.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.010

-4

10-3

10-2

10-1

100


τo=1 τo=5 τo=10 τo=15 τo=20

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces

µ=cos(θ)

Figure (3.10) : Transmittance et réflectance bidirectionnelles pour le cas (iv).

0 5 10 15 20 2510

0

102

104

106

108

1010

1012

1014 2 paramètres 3 paramètres 4 paramètres

5 paramètres 6 paramètres

Nom

bre

de c

ondi

tionn

emen

t (N

C)


Figure (3.11) : Nombre de conditionnement pour le cas (v).


98

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

τo=1 τo=5 τo=10 τo=20 τo=50

Em

ittan

ce

µ=cos(θ)

Figure (3.12) : Emittance directionnelle pour le cas (v).

3.4 SCHEMA POUR L'IDENTIFICATION DES PARAMETRES

Nicolau (1994) a choisi d'identifier l'épaisseur optique à l'aide d'un modèle direct, dit du 2e

ordre. Ce modèle utilise un polynôme du second ordre pour déterminer la transmittancediffuse et la soustraire de la transmittance totale dans la direction du faisceau incident. Latransmittance diffuse est calculée à partir des transmittances dans des directions voisines de ladirection d'incidence. L'analyse effectuée par Nicolau (1994), pour un angle de divergence dufaisceau incident égal à θo=0,38°, a montré que l'épaisseur optique est estimée correctementpour des valeurs allant jusqu'à 20. Toutefois, la précision de l'estimation est liée à l'angle dedivergence du faisceau et à l'anisotropie de la fonction de phase. Les Figures (3.13) et (3.14)montrent les erreurs liées à l'utilisation d'un code direct pour la détermination de l'épaisseuroptique (loi de Beer et modèle du 2e ordre, pour deux valeurs différentes du coefficient g1).Sur la Figure (3.13) on observe que le modèle du 2e ordre donne des résultats nettement plussatisfaisants que la loi de Beer, mais le modèle du 2e ordre présente une augmentation deserreurs pour des épaisseurs optiques importantes (supérieures à 15). Cependant, pour unfacteur d'anisotropie important (g1=0,95), Figure (3.14), l'identification de l'épaisseur optiquepeut présenter des incertitudes supérieures à 20% (surtout quand l'angle de divergence dufaisceau incident augmente).

Comme la configuration expérimentale utilisée (présentée dans le prochain chapitre) a unangle de divergence de l'ordre 1,5°, l'utilisation d'un modèle direct induit des erreurs dansl'identification de l'épaisseur optique et par conséquent des autres paramètres. De ce fait lechoix d'identifier l'épaisseur optique a été fait. Cependant Nicolau (1994) n'a pas réussi àidentifier ce paramètre avec la méthode de linéarisation de Gauss (équation 3.7), à cause desproblèmes de convergence liés à des valeurs de NC très élevées. Nous avons noté que cesdifficultés de convergence étaient dues à des valeurs correctives ∆χk=1,...,K d'ordre très élevé


calculées aux premières itérations. Pour résoudre ce problème de convergence un facteur derelaxation a été utilisé :

χ χ λk k c k+ = +1 ∆χ (3.11)

Le schéma numérique d'identification est présenté à la Figure (3.15). Un modèle du 2e

ordre est utilisé pour la détermination d'une valeur approchée de l'épaisseur optique. Ensuite,un processus itératif est mise en oeuvre jusqu'à l'obtention des 5 paramètres radiatifs (τo, ω, f1,f2, g). Dans ce cas on considère g1=-g2=g. Le facteur de relaxation est adaptatif, c'est-à-dire,plus les valeurs correctives ∆χk=1,...,K sont petites plus λc s'approche de l'unité.

0 5 10 15 20 250.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

θ o = 0.38° Beer θ o = 0.38° 2e

ordre

θ o = 1.5° Beer θ o = 1.5° 2e

ordre

θ o = 2.5° Beer θ o = 2.5° 2e

ordre

Epa

isse

ur o

ptiq

ue e

stim

éeE

pais

seur

opt

ique

exa

cte

Epaisseur optique

Figure (3.13) : Rapport entre τo estimé et τo exact en fonction de l'angle de divergence dufaisceau incident pour ω=0,95 ; g1=0,86 ; f1=0,9 ; f2 = 0,95 ; g2=-0,6.


100

0 5 10 15 20 250.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

θ o = 0.38° Beer θ o = 0.38° 2e

ordre

θ o = 1.5° Beer θ o = 1.5° 2e

ordre

θ o = 2.5° Beer θ o = 2.5° 2e

ordre

Epa

isse

ur o

ptiq

ue e

stim

éeE

pais

seur

opt

ique

exa

cte

Epaisseur optique

Figure (3.14) : Rapport entre τo estimé et τo exact en fonction de l'angle de divergence dufaisceau incident pour ω=0,95 ; g1=0,95 ; f1=0,9 ; f2 = 0,95 ; g2=-0,6.

3.4.1 SIMULATION DE L ' IDENTIFICATION

Afin de pouvoir évaluer l'efficacité du modèle proposé, deux cas tests sont proposés. Desvaleurs de transmittances et de réflectances sont obtenues à partir du code direct appliqué à laconfiguration (i), Figure (3.1), en considérant un angle de divergence pour le faisceau incidentde 2,5°. Les transmittances et réflectances sont ensuite bruitées (σ = 0,015% x 2,576 ; 99%confidence) de l'ordre du bruit expérimental (présenté au chapitre 4). Les valeurs bruitées sontutilisées dans le code d'identification pour essayer de remonter aux propriétés d'origine. Nousavons effectué deux types d'identification : dans la première on calcule l'épaisseur optique àpartir du schéma d'identification présenté à la Figure (3.15), c'est-à-dire, l'épaisseur optique estestimée par le code inverse ; dans la seconde on calcule l'épaisseur optique à partir d'unmodèle du 2e ordre et seuls les paramètres ω, f1, f2 et g sont identifiés. Les Tableaux (3.2) et(3.3), aussi bien que les Figures (3.16) et (3.17) montrent les résultats obtenus pour deuxépaisseurs optiques différentes. L'erreur (équation (3.11)) commise avec l'utilisation d'uneprocédure directe pour l'estimation de l'épaisseur optique est nettement supérieure et elleinduit des erreurs sur les autres paramètres. Comme montré aux Figures (3.13) et (3.14),l'erreur d'identification pour la méthode directe augmente pour des épaisseurs optiques plusimportante. Cet effet est également observé pour l'identification de τo avec la méthode inverse,car le bruit de mesure (dû à atténuation du faisceau collimaté) commence à perturber


l'identification de τo. Sur les Figures (3.16) et (3.17) on observe la meilleure concordance de laméthode inverse pour l'identification de l'épaisseur optique, surtout pour l'épaisseur optiqueplus importante τo=15 (Figure 3.17). Les transmittances obtenues avec les valeurs calculées àpartir de la méthode inverse sont en meilleur accord avec la courbe d'origine (et bruitée),principalement pour les directions µ=1 et µ=-1.

V a leu rs In it ia les :ω, f1 , f2 , g

T ran s m ittan c es exp é r im en ta les

R ay o n n em en t C o llim a té :C a lc u l ap p ro c h e d e τo

S o lu tio n d u p ro b lèm e d irec t :L 'E T R

C a lc u l d e tran s m ittan c es e t ré f lec tan c e s th é o r iq u es

P ro b lèm e In v e rs e :C a lc u l d e s in c rém en ts :∆χ = (∆τo, ∆ω, ∆f1 , ∆f2 , ∆g

T ran s m ittan c ese t R é f le c tan c esE xp e rim en ta les

χ χ λk kc

+ = +1 ∆χ

In c rém en ts < T o lé ran c e s

Id en tif ic a tio n d eτo , ω, f1 , f2 , g

Figure (3.15) : Schéma numérique pour l'identification des paramètres τo, ω, f1, f2, g.


102

Erreurcorrecte estimée

correcte[%]

( ) ( )

( ).=

−χ χχ

k k

k

100 (3.11)

Tableau (3.2) : Différences entre les deux méthodes d'identification de τo pour uneépaisseur optique τo=5.

correcte valeurinitial

τo inverse Erreur [%] τo directe Erreur [%]

ω 0,95 0,85 0,931 2,0 0,973 -2,4g 0,95 0,8 0,951 -0,1 0,914 3,8f1 0,9 0,98 0,900 0,0 0,861 4,3f2 0,95 0,98 0,966 -1,7 0.990 -4,2τo 5,0 --- 5,019 -0,4 3.965 20,7

nombred'itératio

n

--- --- 13 --- 10 ---

NC --- --- 100 --- 85 ---

Tableau 3.3 : Différences entre les deux méthodes d'identification de τo pour uneépaisseur optique τo=15.

correcte valeurinitial

τo inverse Erreur[%]

τo directe Erreur [%]

ω 0,95 0,85 0,920 3,2 0,881 7,3g 0,95 0,8 0,942 0,8 0,923 2,8f1 0,9 0,98 0,871 3,2 0,765 15,0f2 0,95 0,98 0,939 1,2 0,819 13,8τo 15,0 --- 12,344 17,7 8,524 43,2

nombred'itération

--- --- 78 --- 15 ---

NC --- --- 2,8 x 106 --- 2100 ---


-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.01

0.1

1

10

correcte bruité τo inverse τo directe

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces

µ

Figure (3.16) : Transmittances et réflectances obtenues par les deux méthodesd'identification de τo pour une épaisseur optique τo=5.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.01

0.1

1

10

correcte bruité τo inverse τo directe

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces

µ

Figure (3.17) : Transmittances et réflectances obtenues par les deux méthodesd'identification de τo pour une épaisseur optique τo=15.


104

3.5 CONCLUSION

Le modèle basé sur la méthode des ordonnées discrètes associée aux volumes de contrôle apermis l'analyse de 5 différentes stratégies expérimentales. Les différences entre ces stratégiessont fonction du type d'incidence du rayonnement (faisceau collimaté incident normalementou incliné sur l'échantillon ou incidence diffuse) ou du type de mesures (transmittances etréflectances bidirectionnelles ou hémisphériques, ou émittances). L'analyse fondée sur leNombre de Conditionnement en fonction de l'épaisseur optique a permis de déterminer lameilleure configuration expérimentale pour l'identification. Les méthodes où les mesures durayonnement diffusé sont directionnelles présentent un meilleur conditionnement que cellesoù les mesures sont hémisphériques. Cela est dû à la perte d'information directionnelle durayonnement nécessaire pour bien pouvoir identifier la fonction de phase. Cependant, uneanalyse plus rigoureuse doit être envisagée de façon a obtenir les intervalles de confiance pourl'identification des propriétés radiatives avec les différentes stratégies.

Une analyse sur les valeurs identifiées pour le cas (i) (faisceau collimaté incident normalesur la surface de l'échantillon et mesures de transmittances et réflectances bidirectionnelles)est réalisé à partir des valeurs des transmittances et réflectances théoriques bruitées. Deuxméthodes différentes d'identification de l'épaisseur optique ont été analysée : le premiercalcule l'épaisseur optique comme un paramètre de plus du modèle d'identification deparamètres ; le deuxième calcule l'épaisseur optique à partir de l'équation de Beer plus unmodèle correctif de deuxième ordre pour enlever l'énergie diffusée de la direction d'incidence(Nicolau, 1994). Il a été montré que le choix du premier modèle d'identification de l'épaisseuroptique s'avére plus précis que le deuxième surtout quand l'angle de divergence du faisceaucollimaté augmente.

CHAPITRE IV : Description de la technique expérimentale utilisant le spectromètre105

&+$3,75(,9

DESCRIPTION DE LA TECHNIQUEEXPERIMENTALE UTILISANT LE SPECTROMETRE

4.1 INTRODUCTION

Le montage expérimental utilisé dans ce travail est présenté aux Figures (4.1) et (4.2). Il aété développé en se basant sur l'expérience acquise au CETHIL, dans le domaine des mesuresde transmittances et de réflectances spectrales bidirectionnelles. D'abord, Uny (1986) a utiliséun banc optique avec un monochromateur à prisme associé à un montage goniométrique pouridentifier l'épaisseur optique, l'albédo et le paramètre g de la fonction de phase de Henyey-Greenstein des matériaux du type fibre. Ensuite Nicolau (1994), en utilisant le même montage,puis un autre avec un spectromètre à transformée de Fourier (FTIR), a identifié l'épaisseuroptique, l'albédo et une fonction de phase à trois paramètres (f1, f2, g) pour les mêmes types dematériaux. Récemment, avec un montage utilisant ce FTIR, Doermann (1995) a déterminé laréflectivité hémisphérique et un paramètre morphologique des mousses de carbone à l'aided'une méthode d'identification associée à une modélisation permettant de prédire les propriétésradiatives de ces matériaux équivalentes à un milieu homogène.

L'utilisation du spectromètre FTIR a amélioré le dispositif expérimental ainsi que laméthode d'identification en termes de résolution spectrale, de vitesse d'exécution des essais etde rapport signal/bruit.

Dans le cadre de cette thèse, le dispositif goniométrique a été complètement modifié dansle but, d'une part, d'avoir un système plus précis et relié à un dispositif de commande assistépar ordinateur (réduction de la durée des essais) et, d'autre part, de permettre la réalisation desmesures en condition de non-symétrie azimutale et d'adapter le goniomètre à un autre montageexpérimental développé par Dembélé (1997) pour des études sur des rideaux d'eau. De cettefaçon, le système goniométrique a servi à deux montages expérimentaux différents en utilisantle même spectromètre FTIR.

4.2 DESCRIPTION GENERALE

Le dispositif expérimental (Figure (4.1)) est constitué de deux parties comprenant lespectromètre à transformée de Fourier et le goniomètre. Il est aussi appelé montageBRDF/BTDF (bidirectional Reflectance or Transmittance Distribution Function).

Le spectromètre à transformée de Fourier est de fabrication BIORAD, modèle FTS 60A,Figure (4.2). Son principe de fonctionnement est celui de l'interféromètre de Michelson, décritpar Michelson dès 1891 (Griffiths, 1975). La configuration dont on dispose est adaptée auxmesures dans le proche et moyen infrarouge, plus particulièrement de 1,5 à 25µm, utilisantune source en céramique chauffée à 1300 °C (émission de type "corps gris"), une lameséparatrice en KBr et un détecteur HgCdTe (aussi appelé MCT) à "bande large" avec unpréamplificateur linéarisé, étalonné par BIORAD. De plus, une deuxième source de typelampe halogène et une lame en quartz sont disponibles et peuvent être utilisées pour des


106

mesures pour le proche infrarouge (1,0 à 2,5µm). Quoique les mesures ne soient paseffectuées dans le proche infrarouge (limitation du détecteur), l'ensemble source halogène etlame en quartz ont permis de visualiser le trajet optique du faisceau, en facilitantconsidérablement l'alignement optique du dispositif.

M S = m iro ir sphé riqueM P = m iro ir p la nD iaphragm e

S o urc e

D é te c te urH gC d T e

M S 2

M S 1

M S 3 o uM P 3

M P fixe

M Pm o b ile

L a m e sépa ra tr ic e

S p e c tro m è tre F T IR M o n ta g e B R D F /B T D F

M S 4

D ire c tio n no rm a le

F e nê tre

E c ha ntillo n

θ

θΙ

G o nio m è tre

M P 1

M P 2

Figure 4.1 : Montage avec spectromètre FTIR, pour les mesures de transmittance et deréflectance bidirectionnelles.

SpectromètreEchantillon


Figure 4.2 : Schéma du spectromètre FTIR BIORAD FTS 60A.

LaserSource

Lame SéparactriceFenêtre

Diaphragme


108

Le faisceau issu de la source forme une image sur un diaphragme après réflexion sur lemiroir MS1. La source de diamètre 7 mm est placée à une distance 2fMS1 du miroir MS1 (fMS1

= distance focale du miroir MS1). Le diaphragme est un disque percé de quatre trous calibrésde diamètres différents, qui conditionnent l'angle de divergence du faisceau incident surl'échantillon. Il est placé sur le foyer du miroir sphérique MS2. Le faisceau devient ainsiquasi-parallèle, avec un demi-angle de divergence θo. L'équation (4.1) donne la valeur de θo,en fonction de la distance focale fMS2 du miroir MS2 et du rayon RA de l'ouverture dudiaphragme (Nicolau, 1994) :

θoA

MS

R

f= arctan

2

(4.1)

Le tableau 4.1 donne les valeurs des demi-angles de divergence θo , pour chaque résolutionou rayon du diaphragme, pour le spectromètre FTS 60A. La distance focale fMS2 du miroirsphérique utilisé à l'intérieur du spectromètre est de 90 mm. Le lien entre le rayon dudiaphragme et la résolution de l'appareil, vient du fait que, pour avoir une bonne résolution, ilfaut limiter la divergence du faisceau (Griffiths, 1975). Les valeurs numériques indiquéesreprésentent la meilleure résolution possible par rapport à la dimension de l'orifice dudiaphragme considéré.

Tableau 4.1 : Résolution, diamètre du diaphragme et demi-angle de divergenceθo (Nicolau, 1994).

Résolution Diamètre [mm] θoOpen 7,0 2,23°

2 cm-1 4,0 1,27°

1 cm-1 2,7 0,86°

0,5 cm -1 1,25 0,40°

Le faisceau devenu quasi-parallèle passe ensuite par la lame séparatrice où il est divisé endeux parties distinctes qui sont réfléchies par les miroirs plans (fixe et mobile) et recombinéesà nouveau par la lame séparatrice en introduisant une différence de marche. La différence demarche provoquée par le déplacement du miroir mobile est la cause des interférences et lefaisceau recombiné est mesuré par un détecteur, en fonction de la position du miroir mobile.Le signal obtenu est appelé interférogramme (Figure (4.3)). L'interférogramme est traité àpartir d'une FFT (transformée de Fourier rapide) pour l'obtention du signal spectral d'émissionde la source.

Après la traversée de l'interféromètre, le faisceau modulé reste encore presque parallèle etest renvoyé par un miroir plan sur un miroir pouvant être plan ou sphérique (distance focale de500 mm), placé à proximité de la fenêtre de sortie. Le miroir sphérique peut être utilisé pourmodifier légèrement la divergence du faisceau et le concentrer sur l'échantillon.

La mesure de l'intensité du faisceau est effectuée par un détecteur placé sur le bras d'ungoniomètre. Pour limiter l'angle de détection, un miroir sphérique (fMS4 = 150 mm) est utilisé.


Cet angle est fonction de la distance focale du miroir et de la surface sensible du détecteur(Rd=0,5 mm). Il est donné par la formule (4.2). La valeur de l'angle θd obtenue pour cemontage est de 0,19°. La nécessité d'avoir une bonne résolution angulaire pour le système dedétection limite l'angle θd. Il convient d'ajouter que le détecteur est placé au foyer du miroirsphérique considéré.

θdd

MS

R

f= arctan

4

(4.2)

Pour déterminer un spectre, l'appareil exécute un balayage en déplaçant le miroir mobile.Pendant ce temps, le détecteur reçoit le faisceau complet correspondant à toute la gamme delongueurs d'onde étudiée, ce qui donne comme résultat l'interférogramme. En lui appliquant latransformée de Fourier, le système d'exploitation numérique fournit ainsi le spectre mesuré(spectre de réflexion, de transmission, ou spectre "ligne de base"). Pour augmenter le rapportsignal/bruit, plusieurs balayages sont exécutés et additionnés. La vitesse d'exécution d'unbalayage est dépendante de la résolution choisie. Plus la résolution est haute (valeurnumérique plus petite), plus le miroir mobile doit se déplacer sur une grande longueur. Unehaute résolution signifie un grand déplacement de ce miroir, ce qui prend d'avantage de tempset réduit cette fréquence de battement.

Figure (4.3) : Interférogramme du signal émis par la source.

Sur cet appareil, le repérage des spectres est réalisé sur la base du nombre d'onde, expriméen cm-1. La conversion en longueur d'onde est non-linéaire, selon l'équation (4.3), où Sreprésente un signal particulier.

9ROWV

Position du miroir mobile


110

S[µm]=104/S [cm-1] (4.3)Le détecteur reçoit directement le faisceau concentré par le miroir sphérique (distance

focale de 150 mm), pour les mesures de transmittances et de réflectances, ou encore pour lesmesures de l'énergie incidente sur l'échantillon, faites sans échantillon et dans la directionnormale.

Le spectromètre est équipé d'un circuit de purge en air traité (sec, dépourvu autant quepossible de CO2 et de traces d'huile). Il a les fonctions suivantes : il permet de protéger lescomposants hygroscopiques, comme la lame séparatrice en KBr ainsi que les surfaces desmiroirs, contre un vieillissement précoce. De plus cette purge réduit les absorptions durayonnement dans certaines bandes spectrales par la vapeur d'eau et par le CO2. Enfin, cecircuit d'air sert aussi à assurer le fonctionnement du palier à coussin d'air supportant le miroirmobile. Le système goniométrique se trouve dans un boîtier en plexiglas. La purge a étéétendue au montage BRDF/BTDF et ainsi le faisceau, même à l'extérieur du spectromètre,reste encore dans l'ambiance traitée.

Le spectromètre comprend aussi un laser He-Ne (632,8 µm) nécessaire pour l'alignementoptique, mais aussi comme repère de position pour le déplacement du miroir mobile. Unelentille placée à la tête du laser fait que le faisceau devient divergent avec une tache d'environ10 mm. Le laser se trouve derrière le miroir MS2 et ce miroir est pourvu d'un orifice à soncentre pour laisser passer le faisceau laser. A partir de ce miroir, le faisceau laser subit lemême trajet optique que le faisceau infrarouge, jusqu'au miroir MP2, troué au centre lui aussipour permettre aux faisceau d'arriver sur trois capteurs de type diode disposés côte à côte, auxsommets d'un triangle. En fait, les orifices existants dans les miroirs MS2 et MP2 provoquentdes inhomogénéités dans le faisceau infrarouge mais ce problème sera d'avantage détaillé dansla suite.

Le dispositif goniométrique comprend trois unités de rotation : une rotation sert à fairetourner autour de l'échantillon le bras où est placé le système de détection avec une résolutionde +/-0,001° ; la deuxième rotation permet de tourner l'échantillon de l'angle θI (plan x-y) pourles mesures en situation de non-symétrie azimutale avec une résolution de +/-0,01° et latroisième rotation (résolution de +/-0,01°) est utilisée pour l'alignement du porte-échantillondans le plan x-z.

Le porte-échantillon (Figures (4.4) et (4.5)) est différent de celui utilisé par Nicolau (1994)et Doermann (1995). Il a été refait dans le but de permettre de réaliser des mesures sanssymétrie azimutale. Il est placé sur trois platines de translation (x-y-z) qui permettent del'aligner par rapport au bras de rotation. La surface de mesure (du coté d'incidence pour lesmesures de réflexion et de l'autre côté pour les mesures de transmission) doit être placée surl'axe de rotation du dispositif goniométrique. Cela impose de déplacer l'échantillon de sonépaisseur entre les mesures de transmission et celles de réflexion.

Les Figures (4.6) et (4.7) montrent la réflexion par le porte-échantillon, pour undiaphragme d'ouverture 20 mm et 40 mm, respectivement. Le signal reste de l'ordre du niveaude bruit et on ne doit pas avoir des réflexions parasites sur le diaphragme. Pour cela le porte-échantillon et le diaphragme sont peints avec une peinture (Velvet Coating 2010 - 3M) trèsabsorbante dans l'infrarouge.


Figure (4.4) : Vue du porte-échantillon et du système de détection.

éc ha ntillo n

d iaphragme

d iaphragm e

x y

x z

x

y

z

Figure (4.5) : Vue du porte-échantillon.

détecteur

Miroir sphériquePorte-échantillon

Echantillon


112

1 3 5 7 9 11 13 150.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

Réf

lexi

on [%

]

Longueur d'onde [µm]

Figure (4.6) : Réflexion sur le porte-échantillon pour un diaphragme de 20 mm.

1 3 5 7 9 11 13 150.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

Ré

flexi

on [%

]


Figure (4.7) : Réflexion sur le porte-échantillon pour un diaphragme de 40 mm.

4.2.1 MESURES DE TRANSMITTANCES ET DE REFLECTANCES

Les modèles radiatifs utilisés par Uny (1986), Nicolau (1994) et Doermann (1995) sonttous fondés sur une hypothèse de symétrie azimutale pour la résolution de l'ETR. Celasuppose que l'on a une incidence normale sur la surface de l'échantillon et, dans ce cas, le fluxincident est Lodωo. Toutefois, pour un cas avec une incidence inclinée sur la surface del'échantillon, le flux incident est LodωocosθI. Dans ce cas, la transmittance ou la réflectancebidirectionnelles sont données par l'équation (1.20) :

( ) ( )T

L

Leo o I

θθ

ω θ=

d cos(4.4)


L'angle solide du faisceau peut être obtenu par la formule suivante :

( )d coω π θo os= −2 1 (4.5)

où θo est le demi-angle de divergence du faisceau. Cet angle est defini au Tableau (4.1).Cependant il sera démontré dans la suite qu'il peut être aussi identifié de façon expérimentale.

Le flux d'énergie radiative incident sur l'échantillon est donné par l'expression suivante :

L Ao o e Id cosω θ (4.6)

où Ae cosθI est l'aire projetée de l'échantillon.

Par contre le flux d'énergie détecté dans la direction d'incidence dépend des angles θd et θo,selon l'expression :

( )E L Ao o e I o d= cos min d dθ ω ω, (4.7)

c'est-à-dire, que si θd>θo, la détection se fait sous un angle θo et la surface de détection n'estque partiellement irradiée. Si θo>θd, l'image formée sur le détecteur dépasse la surface dedétection. Dans ce cas, la détection est faite sous un angle θd .

La mesure avec un échantillon engendre une configuration différente, puisque le faisceaun'est plus limité à un angle de divergence θo, mais il remplit complètement l'espacehémisphérique en amont et en aval, en raison de la diffusion dans le milieu. Dans la directionnormale, une fraction d'énergie diffusée vient s'ajouter au faisceau collimaté incident, atténuépar l'extinction. Le flux d'énergie qui atteint le détecteur est fixé par la relation :

( ) ( ) ( )E L A e I dθ θ θ θ ω= −cos d (4.8)

Le flux dédecté est maximale quand le détecteur est placé nomalement à l'échantillon(θ=θI). La transmittance ou la réflectance sont ainsi fournies par le rapport :

( ) ( ) ( )( ) ( )T

L

L

E

E d de

o o I o I o d

θθ

ω θθ

θ θ ω ω= =

−d cos cos max ,(4.10)

4.3 CARACTERISATION DU FAISCEAU INFRAROUGE

Le faisceau infrarouge obtenu à la sortie du spectromètre est presque parallèle, avec unangle de divergence fonction du type de résolution choisi (Tableau (4.1)) et du type de miroirutilisé à la fenêtre de sortie (plan ou sphérique). Son signal spectral est variable, Figure (4.8).De ce fait, une mesure de transmission aura une sensibilité au bruit des mesures variable avecla longueur d'onde. La Figure (4.8) montre trois courbes qui illustrent l'effet de la variation


114

spectrale du signal détecté : la courbe en haut est le signal mesuré par le spectromètre (courbede base), représenté avec une échelle arbitraire, appelée Réponse. La courbe du milieuprésente une mesure de transmission faite avec le détecteur en absence d'énergie incidente. Ladernière courbe présente un rapport dit 100%, c'est-à-dire, un rapport entre deux courbes debase. En plus du bruit on observe une certaine déviation du signal de 100%. Cela est dûprobablement à des petites variations de la température de la source. Il a été noté aussi que cesvariations sont plus importantes avec le détecteur placé à l'extérieur qu'à l'intérieur duspectromètre. Une explication possible est que le détecteur placé sur le bras goniométrique estsoumis à des petites vibrations qui entraînent cette variation.

Les Figures (4.9) et (4.10) montrent la variation d'un rapport 100% pour plusieurs mesuresconsécutives, les courbes étant numérotées dans l'ordre chronologique des mesures. Sur laFigure (4.9) est présentée la variation de la courbe de base pour des mesures sans le porte-échantillon en place. Un écart d'environ 0,4% entre la première et la dernière mesure estobservé. Une augmentation des raies d'absorption du C02 et de la vapeur d'eau est aussiobservée. Avec le porte-échantillon en place, les mesures ont été refaites et les résultats sontprésentés à la Figure (4.10). Des variations un peu plus importantes apparaissent, certainementdues aux interférences existantes au bord du diaphragme. Ces variations engendrent desvariations inférieures à 1% sur le signal mesuré avec un échantillon.

4.3.1 UNIFORMITE DU FAISCEAU

Le modèle adopté pour l'identification des propriétés radiatives suppose un faisceaucollimaté et une luminance uniforme dans toute sa section transversale. Pour vérifier à quelpoint le faisceau réel remplit ces conditions, deux séries de mesures ont été réalisées, lapremière avec un miroir plan placé à l'intérieur du spectromètre, juste avant la fenêtre desortie. La deuxième série de mesures a été effectuée en remplaçant ce miroir plan par unmiroir sphérique, de distance focale 500 mm. Nicolau (1994) a utilisé le miroir sphérique pourla réalisation de ses mesures, cependant Doermann (1995), en se basant sur des mesuresréalisées par Moura (1994), a conclu que le miroir sphérique fait que le faisceau s'éloigne desconditions du modèle. Une étude plus approfondie est réalisée, permettant de déterminer ladistribution énergétique du faisceau et la variation de la luminance dans l'angle de divergence.

Pour pouvoir déterminer la distribution énergétique du faisceau, le détecteur MCT a étéplacé de manière à ce que sa surface sensible soit dans le plan normalement occupé parl'échantillon, recevant ainsi directement le faisceau, sans utiliser aucun miroir deconcentration. Un support permettait le déplacement du détecteur dans les directions verticaleet horizontale, de façon à pouvoir balayer toute la section transversale du faisceau.

Comme l'aire de détection du MCT (diamètre de 1 mm), est très réduite par rapport à l'airede la section droite du faisceau, la résolution obtenue pour cette mesure est assez fine. Lesignal mesuré est une tension (en Volts), fournie par le spectromètre en position "Set-up".C'est en fait la valeur maximale de l'interférogramme mesurée par le détecteur, avantl'application de la transformée de Fourier. Ce signal correspond à l'énergie rayonnée surl'ensemble du domaine spectral étudié.


0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

Tra

nsm

issi

on [%

]

0

1

2

3

4

5

6

Valeur Moyenne = 0.0015 % Ecart Type = 0.002 %

Rép

onse

2 4 6 8 10 12 14 16

99.90

99.95

100.00

100.05

100.10


Valeur Moyenne = 100.015 %

Ecart Type = 0.018 %

Tra

nsm

issi

on [%

]

Figure (4.8) : Distribution d'énergie et niveau de bruit dans le spectre de base, en fonction dela longueur d'onde.


116

2 4 6 8 10 12 14 16

99.4

99.6

99.8

100.0

100.2

151413

1211 9 10

8

7

6

5 43

21

tran

smis

sion

[%]

longueur d'onde [µm]

Figure (4.9) : Variation de la courbe de base pour plusieurs mesures sans le supportd'échantillon.

2 4 6 8 10 12 14 16

99.0

99.2

99.4

99.6

99.8

100.0

13

12119

10

87

6 54

3

2

1

tra

nsm

issi

on [%

]

longueur d'onde [µm]

Figure (4.10) : Variation de la courbe de base pour plusieurs mesures avec le supportd'échantillon.

Nicolau (1994) a présenté des courbes en déplaçant le détecteur dans deux directions l'uneverticale et l'autre horizontale (centrées autour du l'axe d'alignement). Ici, les mesures sontfaites tous les 2 mm, dans les directions horizontale et verticale. De cette façon unecartographie de la distribution énergétique du faisceau a pu être déterminée.


Les Figures (4.11) à (4.14) montrent les résultats des balayages dans les directions verticaleY et horizontale X, pour la série de mesures réalisées avec le miroir plan et cela pour lesquatre ouvertures disponibles. La position (X=0 cm, Y=0 cm) représente l'axe optique obtenuà partir de l'alignement, en utilisant la lame séparatrice en quartz et la source céramique.L'intensité lumineuse (dans le visible) émise par la source est faible et l'alignement doit êtreréalisé en situation d'obscurité dans la salle. Cet alignement est réalisé en considérant uneouverture du diaphragme de 2 cm-1. Les courbes représentent la tache obtenue sur une feuillede papier utilisée pour effectuer l'alignement.

La Figure (4.11) donne la cartographie du faisceau obtenue pour le diaphragme dans laposition open. Le faisceau est plus intense dans la partie inférieure, cela doit être dû à desgradients de température existants au niveau de la source. Visuellement on observe que larésistance céramique (en forme de trois spirales) a des sections qui sont à des températuresdifférentes. Avec la réduction du diamètre du diaphragme, cet effet est moins visible etl'intensité maximale du faisceau se trouve aux environs de l'axe d'alignement (Figures (4.12)et (4.13)). En revanche, le faisceau devient plus pointu. La Figure (4.14) montre l'influencedes orifices existants dans les miroirs du spectromètre. Pour une petite ouverture (0,5 cm-1) lasurface éclairée du miroir MS2 (Figure (4.1)) est plus petite et cette influence est plusimportante.

Les Figures (4.15) à (4.18) présentent les mesures réalisées avec le miroir sphérique. Sur laFigure (4.15) on peut observer l'image des trois filaments de la source (remarquons qu'onobserve une image de la source à 230 mm du miroir sphérique et que le porte-échantillon setrouve à 500 mm). Avec la réduction du diamètre du diaphragme, le faisceau devient trèsconcentré (Figures (4.16) à (4.17)).

-20 -10 0 10 20

20

10

0

-10

-20

-30

X [mm]

Y [m

m]

1.0 1.5 2.0 2.5

Siganl [V]

-30

-20

-10

0

10

20

30

Y [mm]

-30-20

-100

1020

30X [mm]

1.01.5

2.02.5

3.0Signal [V]

Figure (4.11) : Miroir plan avec diaphragme en position open.


118

-20 -10 0 10 20

20

10

0

-10

-20

-30

X [mm]

Y [m

m]

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Signal [V]

-30

-20

-10

0

10

20

30

Y [mm]

-30-20

-100

1020

30X [mm]

0.51.0

1.52.0

Signal [V]

Figure (4.12) : Miroir plan avec diaphragme en position 2 cm-1.

-20 -10 0 10 20

20

10

0

-10

-20

-30

X [mm]

Y [m

m]

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

Signal [V]

-30

-20

-10

0

10

20

30

Y [mm]

-30-20

-100

1020

30X [mm]

0.250.50

0.751.00

Signal [V]

Figure (4.13) : Miroir plan avec diaphragme en position 1 cm-1.


-20 -10 0 10 20

20

10

0

-10

-20

-30

X [cm]

Y [c

m]

0.1 0.2 0.3 0.4

Signal [V]

-30

-20

-10

0

10

20

30

Y [cm]

-30-20

-100

1020

30X [cm]

0.10.2

0.30.4

Signal [V]

Figure (4.14) : Miroir plan avec diaphragme en position 0,5 cm-1.

-20 -10 0 10 20

20

10

0

-10

-20

-30

X [mm]

Y [

mm

]

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5

Setup [V]

-30

-20

-10

0

10

20

30

Y [mm]

-30-20

-100

1020

30X [mm]

1 2 3 4 5 6 7Signal [V]

Figure (4.15) : Miroir sphérique avec diaphragme en position open.


120

-20 -10 0 10 20

20

10

0

-10

-20

-30

X [mm]

Y [m

m]

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

Signal [V]

-30

-20

-10

0

10

20

30

Y [mm]

-30-20

-100

1020

30X [mm]

0.51.5

2.53.5

4.5Signal [V]

Figure (4.16) : Miroir sphérique avec diaphragme en position 2 cm-1.

-15 0 15

20

10

0

-10

-20

-30

X [mm]

Y [m

m]

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Signal [V]

-30

-20

-10

0

10

20

30

Y [mm]

-30-20

-100

1020

30X [mm]

0.51.5

2.53.5

Signal [V]

Figure (4.17) : Miroir sphérique avec diaphragme en position 1 cm-1.


-20 -10 0 10 20

-30

-20

-10

0

10

20

X [mm]

Y [m

m]

0.25 0.75 1.25 1.75

Signal [V]

-30

-20

-10

0

10

20

30

Y [mm]

-30-20

-100

1020

30X [mm]

0.250.75

1.251.75Signal [V]

Figure (4.18) : Miroir sphérique avec diaphragme en position 0,5 cm-1.

4.3.2 DETERMINATION DES ANGLES DE DIVERGENCE

Les angles de divergence du faisceau sont utilisés dans le calcul de la quadrature et del'énergie contenue dans ce faisceau. En principe c'est le diaphragme placé dans lespectromètre, associé au miroir sphérique situé immédiatement après, qui détermine cesangles. L'équation (4.1) donne la valeur du demi-angle de divergence θo, du faisceau quasi-parallèle. L'angle de divergence du faisceau peut être aussi obtenu de façon expérimentale.Des mesures d'intensité du faisceau sont réalisées en tournant le bras avec le système dedétection. Ce système prend en fait tout les rayons compris dans le cône de demi-angle θd,mais avec un axe de ce cône variable avec la rotation du bras (variation de l'angle θ). On doit,en principe, s'attendre à des résultats constants pour θ dans l'intervalle 0≤θ≤θo−θd autour de lanormale, si les luminances ne présentent pas de dépendances angulaires. Par contre, la valeurdétectée doit se réduire progressivement jusqu'à une valeur nulle à θ = θo + θd (Nicolau,1994).

Comme il a été mentionné, pour le calcul de l'angle de détection (équation (4.2)), ledétecteur doit être placé au foyer du miroir sphérique considéré. Toutefois, la procédured'alignement effectuée par Nicolau (1994) et Doermann (1995) consiste à déplacer dequelques millimètres le détecteur jusqu'à obtenir un signal maximum. Des petites erreurs depositionnement de ce détecteur peuvent faire varier l'angle de détection. Une analyse estprésentée à ce sujet dans la suite.

L'utilisation de la lame séparatrice en quartz pour l'alignement permet aussi de visualiser laconcentration du faisceau sur le détecteur. Avec le miroir plan placé à la sortie duspectromètre, on a une image du diaphragme formée à 160 mm du miroir sphérique MS4 avecun diamètre de 7 mm pour la position open. Les spirales de la source sont à nouveau visibleset comme la surface du détecteur est plus petite que l'image, on règle le miroir MS4 de façon àplacer une spirale sur la surface du détecteur (la plus intense correspondant à la plus basse).


122

De cette façon le signal détecté est le plus important. A une position de 170 mm du miroirMS4 apparaît une image du miroir MS2 et on observe l'image de l'orifice de ce miroir (zonenon éclairée).

Quand on place le miroir sphérique MS3 à la sortie du spectromètre, on obtient un effetsimilaire mais l'image sera formée à 195 mm du miroir MS4. Cela explique la nécessité dedéporter le détecteur du foyer du miroir MS4 pour avoir un gain de signal.

La Figure (4.19) montre les mesures obtenues pour les quatre différents diaphragmes, enutilisant le miroir plan à la sortie du spectromètre. Le détecteur est placé non plus au foyer dumiroir MS4, mais à la position de l'image de la source (160 mm). L'angle de divergence dufaisceau est en concordance avec le Tableau 4.1.

Sur la Figure (4.20) on observe que, pour les mesures effectuées avec le miroir sphériqueMS3, la divergence du faisceau augmente. Dans cette configuration, le détecteur est placé plusloin du miroir MS4, à une distance de 195 mm, sur l'image de la source.

L'influence de la position du détecteur pour la détermination expérimentale de l'anglesolide d'incidence est montrée sur les Figures (4.21) à (4.24) pour les quatre ouvertures dediaphragme possibles et pour les deux miroirs différents.

Pour le miroir plan (Figures (4.21) et (4.22), la position 0 (réglée sur le plan image de lasource) n'est pas la position où le signal obtenu est le plus important. Pour toutes les courbes,sauf à 0.5 cm-1, un déplacement du détecteur vers le miroir (direction positive) réduitl'intensité du signal, mais en déplaçant le détecteur dans l'autre direction, le signal augmente etpour les positions plus éloignées un trou apparaît au centre des courbes.

Les Figures (4.23) et (4.24) montrent l'effet du déplacement du détecteur avec un miroirsphérique (MS3) à la sortie du spectromètre. A nouveau la position 0 n'est pas la position oùl'on obtient un maximum de signal détecté, mais les déplacements du détecteur dans les deuxdirections n'ont pas montré l'existence d'un trou au centre des courbes. Probablement celas'expliquerait par le fait que la surface du détecteur est placée trop bas par rapport à l'image eten déplaçant le détecteur on est alors dehors de la position du trou. Un léger décalage dumaximum de chaque courbe par rapport à l'angle de rotation du bras est observé. Cela est dû àun mauvais alignement entre le déplacement du détecteur et l'axe du faisceau, mais dans lesconditions normales de mesure, ce déplacement n'est pas réalisé et n'intervient pas.


-3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

Open

2.0 cm-1

1.0 cm-1

0.5 cm-1

Sig

nal D

étec

té [V

]

Angle de rotation [°]

Figure (4.19) : Angles de divergence du faisceau, avec un miroir plan à la sortie duspectromètre, pour les différentes ouvertures du diaphragme.

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

3

4

5

6

Open

2.0 cm-1

1.0 cm-1

0.5 cm-1

Sig

nal D

étec

té [V

]


Figure (4.20) : Angles de divergence du faisceau, avec un miroir sphérique à la sortiedu spectromètre, pour les différentes ouvertures du diaphragme.


124

-3 -2 -1 0 1 2 30

2

4

6

8

-9

-2

-3-4

-5

-7

-11

+2+1 0

-1

+3+4

Sign

al Dé

tecté

[V]


-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

4

5

6

7

-9

-2

-3-4

-5

-7

-11

+2

+1 0

-1

+3

+4

Sign

al Dé

tecté

[V]


(a) (b)

Figure (4.21) : Variation de la divergence du faisceau pour un déplacement du détecteur enmillimètres (paramétrage des courbes), avec un miroir plan et ouverture dudiaphragme en position open (a) et 2 cm-1 (b). (Valeurs positives pour larotation du bras dans le sens horaire et valeurs positives aussi pour ledéplacement du détecteur dans la direction du miroir MS4).

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

4

5

6

7

-9

-2

-3-4

-5

-7

-11

+2

+1 0

-1

+3

+4

Sign

al Dé

tecté

[V]


-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50

1

2

3

-9

-2-3-4

-5

-7

-11

+2

+1

0

-1

+3+4

Sign

al Dé

tecté

[V]


(a) (b)

Figure (4.22) : Variation de la divergence du faisceau pour un déplacement du détecteur enmillimètres (paramétrage des courbes), avec un miroir plan et ouverture dudiaphragme en position 1 cm-1 (a) et 0,5 cm-1 (b). (Valeurs positives pour larotation du bras dans le sens horaire et valeurs positives aussi pour ledéplacement du détecteur dans la direction du miroir MS4).


-3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

+10-8

-2-4-6

-10

+2+1 0

-1

+4+6

Sign

al Dé

tecté

[V]


-3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

+10-8

-2-4-6

-10

+2+1 0

-1

+4+6

Sign

al Dé

tecté

[V]


(a) (b)

Figure (4.23) : Variation de la divergence du faisceau pour un déplacement du détecteur enmillimètres (paramétrage des courbes), avec un miroir sphérique et ouverturedu diaphragme en position open (a) et 2 cm-1 (b). (Valeurs positives pour larotation du bras dans le sens horaire et valeurs positives aussi pour ledéplacement du détecteur dans la direction du miroir MS4).

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50

1

2

3

4

5

+10-8

-2-4-6

-10

+2+1 0

-1

+4+6

Sign

al Dé

tecté

[V]


-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

2.25

2.50

+10-8

-2-4-6

-10

+2+1 0

-1

+4+6

Sign

al Dé

tecté

[V]


(a) (b)

Figure (4.24) : Variation de la divergence du faisceau pour un déplacement du détecteur enmillimètres (paramétrage des courbes), avec un miroir sphérique et ouverturedu diaphragme en position 1 cm-1 (a) et 0,5 cm-1 (b). (Valeurs positives pourla rotation du bras dans le sens horaire et valeurs positives aussi pour ledéplacement du détecteur dans la direction du miroir MS4).


126

Cette analyse sur l'optique du faisceau permet de voir l'influence de l'ouverture dudiaphragme et du type de miroir utilisé à la sortie du spectromètre, mais une étude desensibilité sur l'identification en fonction de ces paramètres s'avère nécessaire si on veutconnaître les erreurs dues à un mauvais alignement. Cette étude sera présentée au chapitreprochain.

Une option a été prise pour l'utilisation du miroir plan à la sortie du spectromètre. Lesraisons ont été déjà décrites par Doermann (1995). En fait, le miroir sphérique permet d'avoird'avantage d'énergie diffuse mais l'angle solide est plus important. Un problème qui apparaîtau niveau expérimental, est que la tache formée par le faisceau sur le miroir MS4 est plusgrande que le miroir. De cette façon, pour les mesures de la courbe de base, on perd del'énergie et cela introduit des erreurs au niveau de la quantification de l'énergie diffusée parl'échantillon.

4.4 PROCEDURE D'EXECUTION DES MESURES

Après l'alignement du banc optique extérieur au spectromètre, un échantillon est mis enplace pour les essais. Le boîtier en plexiglas contenant l'ensemble du dispositif est fermé, puispurgé pendant environ 1 heure. Le nouveau boîtier qui a été réalisé a un volume double (du àl'adaptation aux mesures sur rideaux d'eau réalisée par Dembélé (1998)) de celui utilisé parNicolau (1994) et Doermann (1995) et quelques petites raies d'absorption de H2O et CO2

persistent toujours après la purge.

Le porte-échantillon (Figure (4.5)) est composé de deux plaques (épaisseur 0,5 mm)perforées d'un orifice de diamètre de 40 mm. Une de ces plaques sert de support à l'échantillonet elle est pivotante, tandis que l'autre sert de diaphragme pour la mesure du spectre de base.

Les mesures débutent par l'acquisition des spectres de base réalisés pour les différentsangles d'incidence du faisceau. Ceux-ci sont obtenus en plaçant le diaphragme devant lefaisceau, ce qui quantifie le flux de rayonnement incident pour les mesures à suivre. Lesangles d'incidence (θI) choisis sont 0°, 10°, 20°, 30° et 40°. Au delà de 40°, le support duporte-échantillon commence à obstruer le faisceau incident et aussi le flux disponible devienttrop faible (le flux est fonction de cos θI).

L'échantillon est ensuite mis dans la position de mesure. Le spectre pour la directiond'incidence 0° est le premier à être acquis. Dans un premier temps seules les mesures detransmission sont réalisées. Après avoir mesuré les transmissions dans les différentesdirections de la quadrature choisie (de la direction normale vers les directions plus éloignées),le porte échantillon est tourné de l'angle θI, qui peut être de 10°,...,40°. Les mesures detransmission sont alors effectuées à nouveau autour de l'échantillon. En fait, ce n'est pas lefaisceau qui s'incline par rapport à l'échantillon, mais l'échantillon qui tourne par rapport aufaisceau.

Afin de limiter les dimensions du boîtier, on a choisi de réaliser des mesures seulementd'un coté de l'échantillon pour avoir toutes les directions de la quadrature sans symétrieazimutale. L'échantillon est tourné vers l'angle opposé pour avoir les directions de l'autre coté,Figure (4.25). Un problème sans symétrie azimutale nécessite deux fois plus de directions demesure. Après avoir effectué toutes les mesures de transmission pour plusieurs anglesd'incidence, le porte échantillon est déplacé de l'épaisseur de l'échantillon pour positionner sur


l'axe de rotation du goniomètre la face sur laquelle le faisceau est incident. Ensuite la mêmeprocédure que pour la transmission est répétée pour effectuer les mesures de réflexion.

Pour la réflexion, il faut considérer l'obstruction du faisceau incident par le miroirsphérique qui précède le détecteur. Pour les directions proches de celle d'incidence,l'obstruction mentionnée se produit, empêchant l'exécution de ces mesures. Pour résoudre ceproblème nous avons utilisé la démarche proposée par Nicolau (1994) à partir de l'adoption del'hypothèse selon laquelle la réflexion est faiblement dépendante de l'angle d'incidence (pourde petits angles d'incidence). L'échantillon sera tourné de θa=5° (θb=0°), de manière à ce quele bras, placé maintenant à un angle θ égal à 170°, permette la détection sous réflexionspéculaire, Figure (4.26). Cette réflexion correspond à la direction opposée à la directiond'incidence.

Pour la mesure dans les directions comprises entre 170° et 180°, une procédure semblableest utilisée. L'angle θb est complément des angles de la quadrature par rapport à 180°.

La quadrature proposée dans ce travail facilite les mesures pour la condition de non-symétrie azimutale. Puisque les directions de la quadrature sont concentrées autour de ladirection d'incidence, le fait d'avoir un angle d'inclinaison variable ne change pas lesdirections de mesure par rapport à la direction d'incidence. Cela permet d'avoir un tableauunique des directions (en fonction du type de quadrature utilisée) pour contrôler les unités derotation.

Les unités de rotation sont de fabrication Microcontrôle et elles sont entraînées par desmoteurs pas-à-pas. Un programme écrit en langage C++ permet de contrôler la rotation àpartir d'un PC. L'acquisition des spectres et la rotation du bras sont faites de façon itérative etsont toutes pilotées à partir du PC.

d ire c tio nno rm a le

tra nsm itta nc e s

tra nsm itta nc e s

d ire c tio nno rm a le

ré fle c ta nc e s

ré fle c ta nc e s

θI

θId ire c tio ns d em e sure θ= 0 °

θ= 0 °

θ= 1 8 0 °

θ= 1 8 0 °

Figure (4.25) : Procédure utilisée pour les mesures de transmission et réflexion sanssymétrie azimutale.


128

θD

)DLVFH

DXLQF

LGHQW

1RUPDOH

'pWHFWHXU

06SKpULTXH

(FKDQWLOORQ

5pIOH[LRQVSpFXODLUHθDθE

Figure (4.26) : Mesures de la réflectance dans les directions comprises entre 170° à 180°(Nicolau, 1994).

Les courbes de transmission et réflexion obtenues sont ensuite filtrées à l'aide du logicielOrigine par un filtre carré et "glissant". Le filtre carré prend en considération n points àgauche plus n points à droite du point expérimental concerné et calcule la moyenne entre cesdifférents points. Cette valeur moyenne remplacera la valeur originale du point de mesure. Ondit qu'il s'agit d'un filtre "glissant" parce que le calcul est fait pour tous les points successifs,sans réduire leur nombre. Le nombre de points utilisé varie entre 5 et 20. Pour les fibres, quiont des pics d'absorption, le nombre de points utilisé est de 5. De cette façon on réduit peu lepic. Pour des matériaux de type mousses, qui ne présentent pas de pics d'absorption le nombrede points adopté est de 20 et cela permet de réduire d'avantage les variations dues au bruit demesure.

CHAPITRE V : RESULTATS EXPERIMENTAUX129

&+$3,75(9

RESULTATS EXPERIMENTAUX

5.1 INTRODUCTION

Dans les trois premiers chapitres, nous avons présenté un modèle, basé sur la méthode desordonnées discrètes, qui permet l'identification des propriétés radiatives selon différentesconfigurations expérimentales. Ce modèle présente, comme caractère novateur, la prise encompte de l'hypothèse de non-symétrie azimutale du champ radiatif, permettant l'identificationdes propriétés radiatives selon des angles d'incidence variables d'un faisceau collimaté. Desétudes utilisant des solutions fondées sur la théorie électromagnétique ont été déjà menées parLee (1996, 1989) et Boulet (1992) pour des matériaux fibreux. Leurs résultats montrent unevariation des propriétés radiatives en fonction de l'angle d'incidence du faisceau, pour desfibres disposées selon des plans parallèles aux frontières.

Dans ce chapitre sont présentées des mesures réalisées sur des matériaux fibreux et desmousses en utilisant le dispositif expérimental décrit au chapitre 4. Quatre types d'échantillonsont été choisis : deux laines de verre (et cellulose) avec des fibres disposées selon des plansparallèles aux frontières et deux types différents de mousses de carbone qui ont une structureen forme de bâtonnets disposés de façon assez aléatoire. La description des échantillons est lasuivante :

1) Laine de verre et cellulose C3-CRIR : ce sont des échantillons rigides, fabriqués par laSociété Isover Saint-Gobain, Centre de Recherches de Rantigny. Ce matériau estcomposé de 70% fibre de verre sodocalcique et 30% de cellulose. Sa masse volumiqueest de 160 kg/m3 et l'épaisseur d'échantillon est de 0,25 mm.

2) Laine de verre commerciale en panneaux : il s'agit de fibres assez rigides dont lacohésion est maintenue par des liants. Sa masse volumique est de 86 kg/m3 et l'épaisseurde l'échantillon est de 2,3 mm.

3) Mousse de carbone type 2 : fournie par Aérospatiale. Elle a environ 75 pores par pouce(75 PPI), une épaisseur de 4,2 mm et une largeur de bâtonnet de 34 µm.

4) Mousse de carbone type 3 : fournie par Aérospatiale. Elle a environ 40 pores par pouce,une épaisseur de 7 mm et une largeur de bâtonnet de 84 µm.

Les propriétés radiatives des échantillons de laines de verre utilisées ont été identifiéesprécédemment par Nicolau (1994) en condition d'incidence normale, avec le même dispositifexpérimental (à l'exception du détecteur MCT qui a été entre-temps remplacé par un nouveaudétecteur MCT linéarisé).

Les échantillons de type mousse ont été étudiés par Doermann (1995), qui en utilisant unmodèle basé sur la combinaison de l'optique géométrique et de la théorie de la diffraction,ainsi que la connaissance de la morphologie, a pu prédire leurs propriétés radiatives. Commecet auteur avait besoin de connaître la réflectivité hémisphérique du carbone pour ses calculs


130

prédictifs, cette propriété à été déterminée en utilisant le même dispositif expérimental queNicolau (1994) et un modèle d'identification.

Pour les quatre échantillons présentés ici, les mesures sont effectuées selon 5 anglesd'incidence du faisceau collimaté : 0° (incidence normale), 10°, 20°, 30° et 40°. Le faitd'incliner l'échantillon par rapport au faisceau incident réduit l'énergie disponible pour lesmesures et provoque un effet similaire à celui de l'augmentation de l'épaisseur optique, quiréduit la transmittance collimatée. Au chapitre 3, il a été montré que l'épaisseur optiqueoptimale de l'échantillon pour l'identification doit se situer autour de 5 (Figure (3.4)). Avecl'inclinaison du faisceau, l'épaisseur optique optimale se trouve encore réduite.

En considérant une incidence de 0° sur l'échantillon (symétrie azimutale), nous analysonsles différences entre l'identification de l'épaisseur optique par une méthode directe (de 2°ordre) utilisée par Nicolau et par la méthode inverse, où l'épaisseur optique est considéréecomme un paramètre de plus dans la méthode d'identification. Certes, l'identification del'épaisseur optique par méthode inverse augmente le nombre de conditionnement de l'équation(3.7), mais elle reste la seule option fiable pour l'identification avec une incidence inclinée. Eneffet, avec l'inclinaison du faisceau la diffusion augmente également et entraîne des difficultéspour sa détermination par la méthode directe.

Tous les modèles existants dans la littérature considèrent une luminance constante dansl'angle solide du faisceau incident. Toutefois, il a été montré au chapitre 4 que, dans notredispositif expérimental, la luminance varie à l'intérieur de l'angle solide et pour analyser ceteffet une quadrature de 6 directions (Radau) à l'intérieur de l'angle solide du faisceau a étéutilisée.

Trois différents types de quadratures sont utilisées pour les calculs. La quadrature deNicolau (24 directions) pour le cas avec symétrie azimutale et un faisceau incident collimatéuniforme. Une quadrature de Nicolau modifiée (34 directions) afin de disposer de 6 directionssupplémentaires dans l'angle solide d'incidence pour traiter le problème avec une luminancevariable dans l'angle solide d'incidence. Et, finalement, une quadrature spatiale (N24-C8 : 178directions) est utilisée pour les cas avec une incidence variable.

La configuration adoptée pour toutes les mesures utilise un miroir plan à la fenêtre de sortiedu spectromètre avec une ouverture de 2 cm-1, ce qui correspond à l'angle solide de divergencedu faisceau de 1,27°.

Un nombre de 30 volumes de contrôle a été utilisé pour résoudre les différents cas, optionqui s'avère précise avec un temps de calculs pas trop important. En fait, l'identificationutilisant la quadrature spatiale (178 directions) est approximativement 8 (178/24) fois pluslente qu'avec une quadrature pour une symétrie azimutale. Pour avoir un ordre de grandeur, untemps d'environ 30 min est nécessaire pour l'identification des propriétés radiatives pour uneseule longueur d'onde avec un PC Pentium-Pro 200 MHz, pour un nombre d'environ 80itérations.

Les propriétés radiatives pour une incidence normale ont été calculées dans la plage dedétection du système (1,7 µm à 15 µm), comprenant un ensemble de 152 longueurs d'ondesdistinctes. Pour montrer la variation des propriétés radiatives avec l'angle d'incidence, uneanalyse est réalisée uniquement pour deux longueurs d'onde différentes. Le temps de calculdevient prohibitif pour une identification sur toutes les longueurs d'onde.


Les erreurs et les écarts-types obtenus pour des mesures avec ce montage expérimental ontdéjà été analysés par Nicolau (1994) et par Doermann (1995). Ces auteurs ont calculé lesécarts-types obtenus pour plusieurs mesures et différents échantillons du même type dematériaux. Doermann a fait une analyse plus approfondie en tenant compte de l'influence del'alignement optique.

Pour cerner encore mieux les paramètres qui pourront provoquer des erreurs surl'identification, une analyse du positionnement du détecteur et de l'inclinaison du porteéchantillon est effectuée.

5.2 RESULTATS OBTENUS POUR LA FIBRE C3-CRIR

Les Figures (5.1) et (5.2) montrent les valeurs de transmission et de réflexion,respectivement, obtenues directement, à partir des mesures sur l'échantillon C3-CRIR(épaisseur de 0,25 mm) en utilisant le dispositif expérimental. La direction 1 est la directionnormale, les directions 1 à 6 sont comprises dans l'angle solide du faisceau (1,27°) et ladirection 16 est la plus éloignée de la normale (la limite jusqu'où l'on peut détecter un signal)pour les courbes de transmission. Ensuite, la direction 19 est la première pour laquelle ondétecte un signal en situation de mesure de réflexion et les mesures sont effectuées jusqu'à ladirection opposée à celle d'incidence (direction 34). Les courbes de transmission et deréflexion présentent un signal beaucoup plus faible que celles rapportées par Nicolau (1994)pour le même échantillon. Cela est dû à l'utilisation d'un détecteur linéarisé, dont lepréamplificateur a un gain moins important que le précédent.

A la Figure (5.3) on trouve les valeurs d'épaisseur optique obtenues selon les différentesméthodes et quadratures. La quadrature spatiale donne des valeurs optiques légèrement plusfaibles et ces écarts seront visibles pour les autres propriétés aussi. En revanche, les écartsentre la détermination de l'épaisseur optique par méthode inverse ou par méthode directe sontquasiment nuls. Cela est vrai aussi pour la quadrature de 34 directions utilisée pour traiter lavariation de la luminance dans l'angle solide du faisceau. Les valeurs relatives aux coefficientsd'extinction sont présentées à la Figure (5.4).

Les valeurs de l'albédo (ω) pour les différents cas sont comparés à la Figure (5.5). Le faitd'avoir d'avantage de directions dans l'angle d'incidence du faisceau, fait que l'on peut mesurerune diffusion plus importante, ce qui explique des valeurs supérieures de l'albédo pour unequadrature de 34 directions. Cet effet est plus prononcé autour des longueurs d'onde de 8µm(filtre Christiansen), où un pic apparaît.

Concernant le coefficient d'Henyey-Greenstein (g), les résultats (Figure (5.6)) obtenusmontrent aussi qu'une quadrature plus raffinée autour de la direction normale donne desvaleurs de g plus proches de l'unité pour les longueurs d'onde situées surtout aux environs de 8µm. Cela peut expliquer le pic trouvé à cette longueur d'onde pour l'albédo.

Des écarts plus prononcés apparaissent, entre la quadrature spatiale et d'autres quadratures,pour le coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1), surtout pour les longueurs d'onde supérieures à9 µm (Figure 5.7). Ces écarts sont aussi visibles pour le coefficient d'asymétrie (f2) mais sontmoins importants (Figure 5.8). Les écarts trouvés entre les coefficients d'asymétrie f1 et f2 sontprobablement dus aux différences entre les deux quadratures qui engendrent des fonctions dephase différents avec la normalisation (équation (1.44)).


132

Les valeurs correspondantes à la variation des coefficients radiatifs en fonction de l'angled'incidence pour deux longueurs d'ondes différentes (8 µm et 5 µm) sont montrées à la Figure(5.9). Les résultats obtenus semblent en concordance avec ceux de Boulet (1992) calculés àpartir de la théorie électromagnétique, et portant sur des échantillons ayant une massevolumique moins importante (10 kg/m3), ce qui donne des coefficients plus petits. A unelongueur d'onde de 8 µm les coefficients sont moins influencés par la variation de l'angled'incidence du faisceau par rapport aux résultats obtenus pour une longueur d'onde de 5 µm.Cet effet est expliqué par la réduction de l'albédo et de l'épaisseur optique à 8 µm en raison dufiltre de Christiansen. Les Tableaux (5.1) et (5.2) donnent les valeurs des propriétés radiativesestimées en fonction de l'angle d'incidence pour les longueurs d'onde de 8 µm et 5 µmrespectivement. Dans ces Tableaux sont présentées les épaisseurs optiques estimées par laméthode inverse et par la méthode directe (modèle 2e ordre avec une épaisseur optiquemultipliée par le cosinus de l'angle d'incidence). L'épaisseur optique estimée par méthodeinverse diminue avec l'augmentation de l'angle d'incidence d'une façon plus prononcée, parrapport à une estimation par méthode directe, pour la longueur d'onde de 5 µm. Toutefois, ceteffet est inversé pour la longueur d'onde de 8 µm. Cela met en évidence qu'une identificationde l'épaisseur optique par méthode directe provoque des erreurs différentes, en fonction despropriétés radiatives du matériau identifié. Le coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1) passed'une valeur de 0,9918 pour une incidence de 0° à pratiquement l'unité (0,9999) pour tous lesautres angles d'incidence. Ce comportement est provoqué par l'incapacité de la fonction dephase à décrire le phénomène de rétrodiffusion spéculaire existant pour une incidence inclinéedu faisceau collimaté. La fonction de phase telle qu'elle est définie ne permet que d'avoir unpic de rétrodiffusion dans la direction opposée à l'incidence du faisceau et, comme il a étémontré par Boulet (1992), le pic de rétrodiffusion pour ces types de matériaux a uncomportement spéculaire, c'est-à-dire le pic est présent dans une direction d'angle opposé àcelui à d'incidence du faisceau par rapport à la normale à la surface de l'échantillon. De ce fait,les réflectances estimées ont une allure plus isotrope et le coefficient f1 s'approche de l'unité.

Les Figures (5.10) à (5.19) présentent les transmittances et réflectances mesurées etcalculées pour les différents angles d'incidence et pour deux longueurs d'onde différentes(8 µm et 5 µm). Les valeurs calculées sont obtenues à partir des propriétés radiatives listéesdans les Tableaux (5.1) et (5.2). Les Figures (5.10) et (5.11) ont été obtenues pour uneincidence normale du faisceau collimaté sur la surface de l'échantillon et les résultats issus decalculs par les modèles direct et inverse sont présentés. La concordance entre ces deuxmodèles et les points expérimentaux est très bonne pour les deux longueurs d'onde analysées.La courbe de transmittance correspondant à 8 µm offre un pic plus prononcé autour de ladirection d'incidence. Cela est dû surtout à l'épaisseur optique (τo=4,87) plus réduite pour cettelongueur d'onde, qui fait que le faisceau collimaté est encore plus prononcé. Pour cettelongueur d'onde, un léger pic de rétrodiffusion est aussi aperçu. Pour la longueur d'onde de 5µm l'épaisseur optique est plus importante (τo=9,97) et l'albédo est aussi plus élevé (ω=0,943),ce qui permet d'avoir davantage d'énergie diffusée pour les directions situées en dehors de ladirection d'incidence.

Il faut remarquer que les transmittances et réflectances sont calculées à partir de mesures detransmission et de réflexion réalisées autour de l'échantillon à l'aide de l'équation (4.10). Lesmesures de transmission et de réflexion pour les directions plus éloignées de la normaledonnent des valeurs plus faibles, mais pour le calcul des transmittances et des réflectances cesvaleurs sont divisées par le cosinus de l'angle polaire, en présentant des valeurs plus élevées etaussi plus bruitées. Cela explique les écarts plus prononcés entre les valeurs expérimentales etthéoriques observés pour ces angles.


Les Figures (5.12) à (5.19) donnent les transmittances et les réflectances mesurées etcalculées en situation d'incidence non normale à la surface de l'échantillon, pour les deuxlongueurs d'onde déjà analysées. La méthode inverse d'identification de l'épaisseur optique estprésentée. Les courbes expérimentale et théorique sont toujours en bon accord et une certainetendance est observée pour tous les cas, avec des transmittances expérimentales supérieuresaux valeurs théoriques pour 90°≥θ≥θI, des transmittances expérimentales inférieures auxthéoriques pour θI≥θ et pour 360°≥θ≥270°, des réflectances expérimentales supérieures àcelles calculées pour 90°≤θ≤(θI+180°) et des réflectances expérimentales inférieures auxthéoriques pour (θI+180°)≤θ≤270°. Une explication possible de ce phénomène est unecertaine asymétrie de la fonction de phase de ce matériau que la fonction de phase modéliséen'arrive pas à reproduire. Malgré le fait que le modèle développé est fondé sur l'hypothèse denon-symétrie azimutale du champ de luminance, la fonction de phase ne dépend que de l'angleentre la direction d'incidence et la direction de diffusion et présente donc une symétrieazimutale. L'effet de la non-symétrie de la fonction de phase à été déjà démontré par Boulet(1992).


134

0 2 4 6 8 10 12 14 1610

-4

10-3

10-2

10-1

100

101

direction 1

direction 16

Tra

nsm

issi

on [%

]

Longueur d'onde λ [µm]

Figure (5.1) : Valeurs de transmission [%] pour les différentes directions de mesure.

0 2 4 6 8 10 12 14 1610

-4

10-3

10-2

10-1

direction 34

direction 19

Réf

lexi

on [%

]


Figure (5.2) : Valeurs de réflexion [%] pour les différentes directions de mesure.


1 3 5 7 9 11 13 154

5

6

7

8

9

10

11

τo inverse - 24 directions τo directe - 24 directions τo inverse - 34 directions

τo inverse - 178 directions τo directe - 178 directions

Epa

isse

ur o

ptiq

ue ( τo)


Figure (5.3) : Epaisseur optique estimée pour l'échantillon C3-CRIR.

1 3 5 7 9 11 13 1515000

20000

25000

30000

35000

40000

45000



Coe

ffici

ent d

'ext

inct

ion

[m-1

]


Figure (5.4) : Coefficient d'extinction estimé pour l'échantillon C3-CRIR.


136

1 3 5 7 9 11 13 150.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0


τo inverse - 178 directions τo directe - 178 directions A

lbéd

o (

ω)


Figure (5.5) : Albédo estimé pour l'échantillon C3-CRIR.

1 3 5 7 9 11 13 150.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00



Coe

ffici

ent d

'Hen

yey-

Gre

enst

ein

(g)


Figure (5.6) : Coefficient de Henyey-Greenstein estimé pour l'échantillon C3-CRIR.


1 3 5 7 9 11 13 150.80

0.85

0.90

0.95

1.00


τo inverse - 178 directions τo directe - 178 directions F

ract

ion

d'as

ymét

rie v

ers

l'ava

nt (

f1 )


Figure (5.7) : Coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1) estimé pour l'échantillon C3-CRIR.

1 3 5 7 9 11 13 15

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1



Fra

ctio

n d'

asym

étrie

( f2 )


Figure (5.8) : Coefficient d'asymétrie (f2) estimé pour l'échantillon C3-CRIR.


138

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

50000

55000

60000

Coefficient d'extinction (λ=8 µm) Coefficient de diffusion (λ=8 µm) Coefficient d'absorption (λ=8 µm) Coefficient d'extinction (λ=5 µm) Coefficient de diffusion (λ=5 µm) Coefficient d'absorption (λ=5 µm)

Coe

ffici

ents

[m-1

])

Angle d'incidence [degre]

Figure (5.9) : Variation des coefficients avec l'incidence pour l'échantillon C3-CRIR.

Tableau (5.1) : Propriétés radiatives estimées pour différents angles d'incidence(λ=8 µm).

Angle ω g f1 f2 τo (inverse)τo (directe)0° 0,5329 0,8974 0,9918 0,7791 4,870 4,87510° 0,5598 0,9015 0,9999 0,7373 4,876 4,87420° 0,5399 0,8988 0,9999 0,8073 4,833 4,79130° 0,5235 0,8871 0,9999 0,8393 4,783 4,65740° 0,5636 0,8965 0,9999 0,8897 4,738 4,556

Tableau (5.2) : Propriétés radiatives estimées pour différents angles d'incidence(λ=5 µm).

Angle ω g f1 f2 τo (inverse) τo (directe)0° 0,9435 0,8879 0,9918 0,9035 9,973 10,36010° 0,9557 0,9063 0,9999 0,8672 10,720 11,75920° 0,9438 0,8727 0,9999 0,9262 9,416 10,42130° 0,9353 0,8897 0,9999 0,8851 9,047 9,14540° 0,9302 0,8657 0,9999 0,9023 7,768 8,388


10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces


expérimentale τo estimée τo directe

Figure (5.10) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pourun angle d'incidence θI=0° pour une longueur d'onde de λ=8 µm.

10-2

10-1

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-2

10-1

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces





140

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces


expérimentale estimée


10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

itta

nces

et R

éfle

cta

nces





10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces




10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces





142

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces




10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces



Figure (5.17) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pourun angle d'incidence θI=30° pour une longueur d'onde de λ= 5 µm.


10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces




10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces





144

5.3 RESULTATS OBTENUS POUR LA LAINE DE VERRE (86 kg/m3)

Les mesures de transmission et de réflexion pour la laine de verre sont présentéesrespectivement aux Figures (5.20) et (5.21). Les directions de mesure correspondent à cellesdéjà adoptées pour l'échantillon précédent.

L'épaisseur optique est pratiquement la même pour tous les 5 cas analysés, Figure (5.22),sauf qu'au-delà de 9 µm une légère réduction des épaisseurs optiques obtenue avec laquadrature de 34 directions et pour la quadrature spatiale est observée. La Figure (5.23)montre les résultats relatifs au coefficient d'extinction.

Les courbes de l'albédo ont un comportement semblable à celles obtenues pourl'échantillon C3-CRIR. Une quadrature de 34 directions conduit à une identification de valeursd'albédo plus élevées, mais cette fois-ci un pic n'apparaît plus autour de 8 µm. A cettelongueur d'onde l'épaisseur optique est plus importante (τo=7,20) que celle estimée pourl'échantillon C3-CRIR (τo=4,87) et le coefficient d'Henyey-Greenstein moins élevé (Figure(5.25)).

Des écarts plus prononcés apparaissent à nouveau entre la quadrature spatiale et les autresquadratures pour le coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1), à l'exception des longueurs d'ondecomprises entre 7 µm et 9 µm, où le coefficient f1 s'approche de l'unité pour tous les cas testés(Figure 5.26). Ces écarts sont aussi visibles pour le coefficient d'asymétrie (f2) mais ils sontmoins importants (Figure 5.27).

La variation des coefficients radiatifs en fonction de l'angle d'incidence pour deuxlongueurs d'ondes différentes (8 µm et 5 µm) est présentées à la Figure (5.28) et les propriétésradiatives estimées sont données dans les Tableaux (5.3) et (5.4). Pour ce matériau ladépendance des propriétés radiatives en fonction de l'angle d'incidence est moins forte quecelle de l'échantillon C3-CRIR. L'épaisseur optique calculée à partir d'une méthode inverseprésente des résultats proches de ceux obtenus avec une méthode directe (épaisseur optiquecalculé à l'aide d'un modèle du 2e ordre et multipliée par le cosinus de l'angle d'incidence). Lesvaleurs du coefficient d'asymétrie vers l'avant s'approchent de l'unité pour les inclinaisonsdifférentes de 0° : c'est le même effet que celui déjà trouvé et interprété pour l'échantillon C3-CRIR.

Les transmittances et réflectances mesurées et calculées pour les divers angles d'incidenceet pour deux longueurs d'onde différentes (8 µm et 5 µm) sont présentées aux Figures (5.29) à(5.38). Les valeurs calculées sont obtenues à partir des propriétés radiatives listées auxTableaux (5.3) et (5.4). Pour un faisceau incident normalement sur la surface de l'échantillonles résultats d'estimation obtenus par une estimation directe et une estimation inverse sontprésentés aux Figures (5.29) et (5.30) pour deux longueurs d'onde. A une longueur d'onde de 8µm l'épaisseur optique de l'échantillon est plus faible et cela donne des réflectances mesuréesinférieures à celles obtenues pour une longueur d'onde de 5 µm et en conséquence les valeurssont plus bruitées. Dans ce cas les écarts entre les transmittances et réflectances calculées àpartir d'une méthode directe pour l'estimation de l'épaisseur optique et les valeursexpérimentales sont beaucoup plus importants que ceux trouvés à partir d'une estimation del'épaisseur optique par méthode inverse. Les Figures (5.31) à (5.38) présentent lestransmittances et les réflectances mesurées et calculées pour un faisceau incident incliné sur lasurface de l'échantillon. Les résultats expérimentaux et théoriques sont toujours en très bon


accord. Cependant, on observe à nouveau les écarts déjà constatés pour l'échantillon C3-CRIRdus probablement à la non-symétrie de la fonction de phase.

La Figure (5.39) montre la transmission et la réflexion hémisphérique obtenues pourl'échantillon de laine de verre de 86 kg/m3, avec un faisceau incident normalement sur lasurface de l'échantillon, et cela dans 4 différents cas :

a) l'intégration numérique du champ de luminances est effectuée à partir des équations(1.22 et (1.23)) en utilisant les propriétés radiatives estimées par la méthode décrite dansce travail et en considérant une identification par méthode directe de l'épaisseur optiqueet une quadrature de 24 directions avec l'hypothèse de symétrie azimutale pour la bandespectrale comprise entre 1,7 µm et 15 µm ;

b) l'intégration numérique du champ de luminances est réalisée à partir des équations(1.22) et (1.23) en utilisant les propriétés radiatives estimées par la méthode décrite dansce travail et en considérant une identification par méthode inverse de l'épaisseur optiqueet une quadrature de 24 directions avec l'hypothèse de symétrie azimutale pour la bandespectrale comprise entre 1,7 µm et 15 µm ;

c) Mesures utilisant un spectromètre FTIR (Biorad FTS45), un détecteur MCT et unesphère intégrante dorée pour les longueurs d'ondes comprises entre 2,5 µm et 22 µm ;

d) Mesures utilisant un spectromètre à double faisceau et à double réseau (Perkin Elmer -Lambda 900), muni d'un détecteur PbS et d'un photomultiplicateur, et une sphèreintégrante de Spectralon, pour les longueurs d'onde comprises entre 0,2 µm et 2,5 µm.

Les écarts obtenus entre les mesures réalisées avec les deux spectromètres avec une sphèreintégrante présentent des différences beaucoup plus prononcées que les écarts observés entreles deux modèles utilisés pour le calcul de l'épaisseur optique. Les valeurs mesurées avec lespectromètre Biorad FTS45 et une sphère intégrante sont inférieures à celles calculées à partirdes propriétés optiques identifiées dans ce travail. Les mesures effectuées avec le spectromètrePerkin Elmer sont plus concordantes dans la plage de recouvrement de longueur d'onde. Celamet en évidence des efforts encore nécessaires pour obtenir la caractérisation au niveauquantitatif du signal mesuré par des spectromètres.


146

0 2 4 6 8 10 12 14 1610

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

direction 1

direction 15

Tra

nsm

issi

on [%

]



0 2 4 6 8 10 12 14 1610

-4

10-3

10-2

10-1

direction 34

direction 20

Réf

lexi

on [%

]




1 3 5 7 9 11 13 156

7

8

9

10

11

12


τo inverse - 178 directions τo directe - 178 directions E

pais

seur

opt

ique

( τo)


Figure (5.22) : Epaisseur optique estimée pour l'échantillon de laine de verre 86 kg/m3.

1 3 5 7 9 11 13 152500

3000

3500

4000

4500

5000



coef

ficie

nt d

'ext

inct

ion

[m-1

]


Figure (5.23) : Coefficient d'extinction estimé pour l'échantillon de laine de verre 86 kg/m3.


148

1 3 5 7 9 11 13 15

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0


τo inverse - 178 directions τo directe - 178 directions A

lbéd

o ( ω

)


Figure (5.24) : Albédo estimé pour l'échantillon de laine de verre 86 kg/m3.

1 3 5 7 9 11 13 150.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00



Coe

ffici

ent d

'Hen

yey-

Gre

enst

ein

(g)


Figure (5.25) : Coefficient de Henyey-Greenstein estimé pour l'échantillon de laine deverre 86 kg/m3.


1 3 5 7 9 11 13 150.86

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

1.02


τo inverse - 178 directions τo directe - 178 directions F

ract

ion

d'as

ymét

rie v

ers

l'ava

nt (

f1 )


Figure (5.26) : Coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1) estimé pour l'échantillon de laine deverre 86 kg/m3.

1 3 5 7 9 11 13 150.60

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00



Frac

tion

d'as

ymét

rie

( f2)


Figure (5.27) : Coefficient d'asymétrie (f2) estimé pour l'échantillon de laine de verre 86kg/m3.


150

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

50000

Coefficient d'extinction (λ=8 µm) Coefficient de diffusion (λ=8 µm) Coefficient d'absorption (λ=8 µm) Coefficient d'extinction (λ=5 µm) Coefficient de diffusion (λ=5 µm) Coefficient d'absorption (λ=5 µm)

Coe

ffici

ents

[m-1

]


Figure (5.28) : Variation des coefficients avec l'incidence pour l'échantillon de laine deverre 86 kg/m3.

Tableau (5.3) : Propriétés radiatives estimées pour différentes angles d'incidence(λ=8 µm).

Angle ω g f1 f2 τo (inverse) τo (directe)0 0,3757 0,8846 0,9827 0,8114 7,199 7,26510 0,4393 0,9208 0,9999 0,7870 7,261 7,27720 0,4455 0,9191 0,9999 0,7971 7,124 7,11130 0,4547 0,9211 0,9999 0,8120 6,903 6,81640 0,4378 0,9267 0,9991 0,8368 6,581 6,413

Tableau (5.4) : Propriétés radiatives estimées pour différentes angles d'incidence(λ=5 µm).

Angle ω g f1 f2 τo (inverse) τo (directe)0 0,8672 0,8816 0,9623 0,8542 7,967 8,05410 0,8796 0,9023 0,9990 0,8099 8,177 8,32920 0,8835 0,9007 0,9999 0,8230 8,187 8,36530 0,8818 0,9086 0,9999 0,8332 8,189 8,27940 0,8491 0,8979 0,9975 0,9164 7,688 7,844


10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces




10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

itta

nces

et R

éfle

cta

nces





152

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces




10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces





10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces




10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces





154

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces




10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces





10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces




10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces





156

0 5 10 15 20 251E-4

1E-3

0.01

0.1

1

Transmission - Sphère intégrante IR Réflexion - Sphère intégrante IR Transmission - τo Directe Réflexion - τo Directe Transmission - τo Inverse Réflexion - τo Inverse Transmission - Sphère intégrante proche IR Réflexion - Sphère intégrante proche IR

Tra

nsm

issi

on e

t réf

lexi

on h

emis

phér

ique


Figure (5.39) : Valeurs des transmissions et réflexions obtenues pour la laine de verre de86 kg/m3 avec 3 spectromètres différents.


5.4 RESULTATS OBTENUS POUR LA MOUSSE DE CARBONE TYPE 2

Les mousses de carbone présentent une dépendance spectrale des propriétés radiatives plusfaible que les fibres de verre. Cela est visible dans les courbes de transmission et de réflexionprésentées aux Figures (5.40) et (5.41). Dans ce cas, l'échantillon a montré une diffusion versl'avant très faible autour de la direction d'incidence et le signal mesuré pour les directions pluséloignées n'est pas détecté par le FTIR. Pour essayer d'avoir d'avantage de transmissionsmesurées la quadrature utilisée jusqu'à présent a été modifiée. La région correspondant àl'intervalle entre 20°<θ<µo avec 6 directions a été réduite à un intervalle entre 10°<θ<µo avectoujours 6 directions. En utilisant cette nouvelle quadrature, il a été possible d'obtenir unsignal jusqu'à la direction 11 de la nouvelle quadrature. Les 6 premières directions de laquadrature sont à l'intérieur de l'angle solide du faisceau et sont seulement considérées pourles calculs avec une quadrature de 34 directions. Sur la Figure (5.41) on observe que, pour ladirection opposée à celle d'incidence (direction 34), des valeurs de réflexion sont inférieures àcelles situées aux directions voisines.

Les épaisseurs optiques calculées par les différentes méthodes sont comparées à la Figure(5.42) et les coefficients d'extinction à la Figure (5.43). Les écarts entre les différentesméthodes sont nettement plus élevés que ceux trouvés pour les laines de verre. Cela est dû à ladifficulté d'identifier l'épaisseur optique par une méthode inverse en raison d'un nombre réduitde données de transmission disponibles, ce qui conduit à un nombre de conditionnement (NC)d'ordre 105 plus élevé que le valeur de NC calculée pour l'identification des propriétésradiatives en déterminant l'épaisseur optique par une méthode directe. Cependantl'identification de l'épaisseur optique donne des valeurs coïncidantes pour les différentesméthodes, pour les longueurs d'onde supérieures à 10 µm. En effet, c'est dans cette plage queles courbes de transmission présentent des amplitudes équivalentes à celles de réflexion. Audelà de cette plage, l'identification de l'épaisseur optique devient fortement bruitée.L'épaisseur optique calculée à partir d'une quadrature de 34 directions, en considérant lavariation de la luminance à l'intérieur de l'angle solide du faisceau incident, présente un écartplus prononcé pour les courtes longueurs d'onde. Par conséquent l'albédo est plus importantque ceux calculés par les autres méthodes (Figure (5.44)). Sur la Figure (5.45), on observe quele coefficient d'Henyey-Greenstein pour la quadrature de 34 directions s'approche de l'unitépour les courtes longueurs d'onde, en présentant un écart par rapport à la quadrature de 24directions.

Les résultats obtenus par Doermann (1995) pour cette mousse de carbone à partir d'unmodèle prédictif combinant l'optique géométrique et la diffraction montrent une épaisseuroptique indépendante de la longueur d'onde, ce qui est en désaccord avec les mesuresprésentées ici. En revanche, le comportement de l'épaisseur optique trouvée dans ce travail esten accord avec les résultats obtenues par Boulet (1992) pour une laine de carbone.

Le bruit excessif trouvé pour l'estimation de l'épaisseur optique par méthode inverse serépercute sur l'identification des autres paramètres radiatifs.

Pour l'analyse de l'influence d'une incidence variable sur l'échantillon de type mousse on aréalisé des calculs pour la longueur d'onde de 11,3 µm. Pour cette longueur d'onde (λ>10 µm)la méthode d'identification de l'épaisseur optique est moins influencée par les bruits demesures et les résultats sont en accord avec les différents cas-tests. L'influence de l'inclinaisondu faisceau est montrée à la Figure (5.48) et les valeurs des propriétés radiatives estimées sontlistées au Tableau (5.5). Une dispersion plus importante des valeurs est observée par rapport à


158

celle obtenue pour les laines de verre. On s'attendait à avoir des propriétés radiativesconstantes par rapport à la variation de l'angle d'incidence du fait de la nature isotrope dumatériau. Cependant une mauvaise sensibilité du modèle provoque des erreurs importantes surl'identification des propriétés radiatives. La difficulté de l'identification est illustrée auxFigures (5.49) à (5.53). Sur la Figure (5.49), on observe les transmittances et les réflectancesexpérimentales et théoriques obtenues avec une incidence normale du faisceau incident. Lesmesures des transmittances expérimentales sont réalisées jusqu'à un angle de 20°. Au-delà lesignal devient trop faible et il n'est plus détecté par le FTIR. Bien que les valeurs théoriquessoient en bonne concordance avec les valeurs mesurées il demeure un grand intervalle(90°<θ<20° et 270<θ<340°) où aucune information expérimentale n'est disponible pourl'estimation de la fonction de phase. Avec l'inclinaison du faisceau les directions de mesurevers l'avant deviennent encore plus réduites avec un signal très bruité pour les angles θI

supérieurs à 20°. Des mesures ont été effectuées dans les directions relatives à une réflexionspéculaire. Les courbes correspondantes sont repérées avec un symbole "X".

En conclusion, le fait que les mousses de carbone soient peu diffusantes vers l'avant et ontune absorption assez importante (par rapport aux laines de verre) rend l'estimation de leurspropriétés radiatives plus difficile. Dans ce cas, l'estimation de l'épaisseur optique doit êtreréalisée par une méthode directe. Avec l'inclinaison du faisceau incident l'énergie disponiblevers l'avant devient encore plus réduite et l'identification encore plus difficile. Une alternativeà envisager est d'utiliser une fonction de phase plus simple, du type de réflexion diffuse pardes sphères opaques (Figure 1.11) afin de réduire le nombre de paramètres à identifier.


0 2 4 6 8 10 12 14 1610

-4

10-3

10-2

10-1

direction 1

direction 11

Tra

nsm

issi

on [%

]



0 2 4 6 8 10 12 14 16

10-3

10-2

direction 34

direction 20

Réf

lexi

on [%

]




160

1 3 5 7 9 11 13 156

8

10

12

14

16

18

20

τo inverse - 24 directions τo directe - 24 directions τo inverse - 34 directions τo directe - 178 directions

Epa

isse

ur o

ptiq

ue ( τo)


Figure (5.42) : Epaisseur optique estimée pour l'échantillon de mousse de carbone type 2.

1 3 5 7 9 11 13 15

2000

3000

4000

5000


Coe

ffici

ent d

'ext

ictio

n [m

]


Figure (5.43) : Coefficient d'extinction estimé pour l'échantillon de mousse de carbone type 2.


1 3 5 7 9 11 13 150.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


Alb

édo


Figure (5.44) : Albédo estimé pour l'échantillon de mousse de carbone type 2.

1 3 5 7 9 11 13 150.80

0.85

0.90

0.95

1.00


Coe

ffici

ent d

'Hen

yey-

Gre

enst

ein

(g)


Figure (5.45) : Coefficient de Henyey-Greenstein estimé pour l'échantillon de mousse decarbone type 2.


162

1 3 5 7 9 11 13 150.992

0.993

0.994

0.995

0.996

0.997

0.998

0.999

1.000

1.001


Frac

tion

d'as

ymét

rie

vers

l'ava

nt ( f1

)


Figure (5.46) : Coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1) estimé pour l'échantillon de moussede carbone type 2.

1 3 5 7 9 11 13 150.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0


Fra

ctio

n d'

asym

étrie

( f2)


Figure (5.47) : Coefficient d'asymétrie (f2) estimé pour l'échantillon de mousse de carbonetype 2.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 455000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

Coefficient d'extinction (λ=11,3 µm) Coefficient de diffusion (λ=11.3 µm) Coefficient d'absorption (λ=11,3 µm)

Coe

ffici

ents

[m-1

]


Figure (5.48) : Variation des coefficients avec l'incidence pour l'échantillon de mousse decarbone type 2.

Tableau (5.5) : Propriétés radiatives estimées pour différentes angles d'incidence(λ=11,3 µm).

angle ω g f1 f2 τo (inverse) τo( directe)0 0,6955 0,9473 0,9969 0.6370 10,500 9,56510 0,6990 0,9494 0,9989 0,6308 10,570 10,54720 0,7934 0,8227 0,9773 0,8843 10,060 10,51530 0,8139 0,8249 0,9877 0,8631 10,320 10,07240 0,6568 0,9566 0,9985 0,2823 8,095 8,970


164

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces



Figure (5.49) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pourun angle d'incidence θI=0° pour une longueur d'onde de λ=11,3 µm.

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces


expérimentale estimée réflectance spéculaire



10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces



Figure (5.51) : Valeurs des transmittances et réflectances expérimentales et théoriques pour unangle d'incidence θI=20° pour une longueur d'onde de λ=11,3 µm.

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Tra

nsm

itta

nces

et R

éfle

cta

nces





166

10-5

10-3

10-1

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-3

10-1

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces





5.5 RESULTATS OBTENUS POUR LA MOUSSE DE CARBONE TYPE 3

La mousse de carbone du type 3 présente une diffusion vers l'avant encore plus réduite quela mousse de type 2. Elle a un diamètre de pore et une largeur de bâtonnets plus importants.Les courbes de transmission et de réflexion sont montrées aux Figures (5.54) et (5.55). Lesvaleurs des propriétés radiatives estimées par les différentes méthodes sont présentées dans lesFigures (5.56) à (5.61). L'estimation de l'épaisseur optique par méthode inverse s'est avéréebruitée et l'estimation avec une quadrature de 34 directions à donné des écarts importants parrapports aux autres. Seule l'estimation de l'épaisseur optique par méthode directe semble avoirconduit à des résultats corrects.

Sur la Figure (5.62) on observe une certaine difficulté du modèle utilisant la fonction dephase de Nicolau (1994) à décrire le champ de transmittances et de réflectances pour lesdirections comprises entre 10° et 20° autour de la direction normale. En fait, le pic dediffusion est très pointu vers l'avant et la fonction de phase de Nicolau ne le reproduit pascorrectement. Le facteur d'asymétrie (f2) estimé est petit (nécessaire pour décrire la réflexion)et de cette façon la fonction de phase est plus isotrope. Avec l'augmentation de l'inclinaisondu faisceau (Figures (5.63) à (5.65)) les écarts deviennent encore plus prononcés.

Pour cet échantillon on a aussi réalisé des comparaisons entre les différents spectromètresdéjà utilisés pour la laine de verre 86 kg/m3. Les écarts entre les mesures de réflexion et detransmission hémisphérique effectuées avec un spectromètre Biorad FTS45 et celles calculés àpartir des propriétés radiatives estimées dans ce travail restent élevés. Cependant les mesuresde réflexion hémisphérique effectuées avec le spectromètre Perkin Elmer présentent uneexcellente concordance avec celles obtenues dans ce travail. Pour la transmissionhémisphérique les écarts relatifs sont plus importants mais le signal mesuré est très faible.


168

0 2 4 6 8 10 12 14 1610

-4

10-3

10-2

10-1

100

direction 1

direction 11

Tra

nsm

issi

on [%

]



0 2 4 6 8 10 12 14 1610

-4

10-3

10-2

10-1

direction 34

direction 19

Réf

lexi

on [%

]




1 3 5 7 9 11 13 154

6

8

10

12

14

16


Epa

isse

ur o

ptiq

ue ( τo)


Figure (5.56) : Epaisseur optique estimée pour l'échantillon de mousse de carbone type 3.

1 3 5 7 9 11 13 15

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400


Coe

ffici

ent d

'ext

inct

ion

[m-1

]


Figure (5.57) : Coefficient d'extinction estimé pour l'échantillon de mousse de carbone type 3.


170

1 3 5 7 9 11 13 150.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0


Alb

édo

( ω)


Figure (5.58) : Albédo estimé pour l'échantillon de mousse de carbone type 3.

1 3 5 7 9 11 13 150.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.00


Coe

ffici

ent d

'Hen

yey-

Gre

enst

ein

(g)


Figure (5.59) : Coefficient de Henyey-Greenstein estimé pour l'échantillon de mousse decarbone type 3.


1 3 5 7 9 11 13 150.980

0.985

0.990

0.995

1.000


Frac

tion

d'as

ymét

rie

vers

l'ava

nt ( f1

)


Figure (5.60) : Coefficient d'asymétrie vers l'avant (f1) estimé pour l'échantillon de moussede carbone type 3.

1 3 5 7 9 11 13 150.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


Fra

ctio

n d'

asym

étrie

( f2 )


Figure (5.61) : Coefficient d'asymétrie (f2) estimé pour l'échantillon de mousse de carbonetype 3.


172

valeurs estimées : ω=0,77 ; g=0,97 ; f1=0,99 ; f2=0,63 ; τo inverse= 9,40 (τo directe=8,96)

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces




valeurs estimées : ω=0,79 ; g=0,98 ; f1=1,00 ; f2=0,74 ; τo inverse=10,62 (τo directe= 9,34)

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

cta

nces





valeurs estimées : ω=0,89 ; g=0,99 ; f1=1,00 ; f2=0,88 ; τo inverse=18,57 (τo directe= 9,73)

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230240

250260 270 280

290300

310

320

330

340

350

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Tra

nsm

ittan

ces

et R

éfle

ctan

ces





174

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

1E-3

0.01

0.1

Transmission - Sphère intégrante IR Réflexion - Sphère intégrante IR Transmission - τo Directe Réflexion - τo Directe Transmission - Sphère intégrante proche-IR Réflexion - Sphère intégrante proche-IR

Tra

nsm

issi

on e

t Ré

flexi

on h

ém

isph

ériq

ue


Figure (5.65) : Valeurs des transmissions et réflexions obtenues pour la mousse decarbone type 3 avec 3 spectromètres différents.


5.6 ANALYSE DES ERREURS DE L'ALIGNEMENT OPTIQUE

Des erreurs d'alignement optique du dispositif expérimental peuvent produire des erreurssur les propriétés identifiées. Un avantage du type de mesure pratiqué ici est quel'identification est réalisée à partir des mesures de transmission et de réflexion qui sont desgrandeurs relatives, sans nécessité de recourir à des mesures absolues de flux. Cependant, il aété vu que le signal détecté pour un échantillon est très faible par rapport au signal incident surl'échantillon et que le rapport entre les deux signaux peut donner lieu à des erreurs de linéarité.Dans le dispositif expérimental utilisé dans ce travail cette source d'erreur a été réduite avecl'utilisation d'un détecteur linéarisé. D'autres paramètres comme un mauvais positionnementdu détecteur, où une erreur sur l'inclinaison du porte-échantillon sont également des sourcesd'erreurs.

L'erreur de positionnement du détecteur est estimée inférieure à 4 mm et l'erreurd'alignement du porte-échantillon inférieure à 2° par rapport à la direction du faisceauincident.

5.6.1 INFLUENCE DU POSITIONNEMENT DU DETECTEUR

Comme il a été montré au chapitre 4, un positionnement précis du détecteur par rapport aumiroir MS4 est assez difficile à réaliser. Afin d'évaluer cette influence, des mesures ont étéeffectuées en déplaçant le détecteur d'une distance connue et observant les erreurs obtenuessur la méthode d'identification. L'échantillon considéré pour cette analyse est la fibre de verreC3-CRIR et les mesures sont réalisées en condition de symétrie azimutale. A la réalisation del'alignement optique, le détecteur est placé sur l'image de la source à une distance d'environ160 mm du miroir MS4. Une platine de translation installée sous ce détecteur permet del'approcher (sens positif) où de l'éloigner (sens négatif) du miroir MS4. Les mesures detransmission et de réflexion sont réalisées pour 6 positions différentes du détecteur et l'onnotera qu'à chaque déplacement du détecteur la courbe de base doit être refaite.

Les propriétés radiatives identifiées sont présentées à la Figure (5.66) et les écarts observéssont relativement faibles. Seul un écart un peu plus prononcé a été trouvé pour le coefficientd'Henyey-Greenstein et pour le facteur d'asymétrie vers l'avant (f1) avec le détecteur placé à laposition +2 mm. Il est clair que les écarts entre les courbes sont également dus au bruit desmesures.


176

1 3 5 7 9 11 13 154

5

6

7

8

9

10

11

+4

-6

0mm +2mm +4mm -2mm -4mm -6mm

Epa

isse

ur o

ptique


1 3 5 7 9 11 13 15

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0


Alb

édo

( ω)


1 3 5 7 9 11 13 15

0.7

0.8

0.9

1.0

+2


Coe

ffici

ent d

'Hen

yey-

Gre

enst

ein

(g)


1 3 5 7 9 11 13 150.960

0.965

0.970

0.975

0.980

0.985

0.990

0.995

1.000

+2


Fra

ctio

n d'

asym

étrie

ver

s l'a

vant

(f1 )


1 3 5 7 9 11 13 150.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0


Fra

ctio

n d'

asym

étrie

( f2 )


Figure (5.66) : Influence du positionnement du détecteur sur l'identification des propriétésradiatives pour l'échantillon C3-CRIR.


5.6.2 INFLUENCE D'ALIGNEMENT DU PORTE -ECHANTILLON

Le porte-échantillon doit être placé normalement à l'incidence du faisceau pour les mesuresen condition de symétrie azimutale. L'alignement du porte-échantillon est réalisé à l'aide dulaser extérieur, qui matérialise le trajet optique du faisceau infrarouge, et d'un miroir planremplaçant l'échantillon. Le porte-échantillon (Figure 4.5) doit être aligné de façon à obtenirun retour, par réflexion du faisceau laser, sur son point d'émission. Quelques erreursd'inclinaison seront toujours présentes dues, soit à un mauvaise alignement par rapport aufaisceau infrarouge, soit à une différence de parallélisme entre la surface de l'échantillon etcelle du miroir. A fin de déterminer les erreurs résultantes sur l'identification des propriétésradiatives, des mesures ont été réalisées en inclinant le porte échantillon à des angles connus(entre -10° et +10°). Les angles positifs correspondent à une rotation horaire du porte-échantillon et les angles négatifs correspondent à une rotation dans le sens inverse.

La Figure (5.67) montre les propriétés radiatives estimées aux différents angles pourl'échantillon C3-CRIR. Il faut remarquer qu'une inclinaison θI=0° correspond à la positiond'alignement mais elle peut ne pas être la position réelle pour une incidence normale dufaisceau incident. Les écarts obtenus sont relativement faibles jusqu'à une inclinaison de +/-5°.Avec une inclinaison de +/-10° les erreurs sont surtout plus importantes pour les coefficientsde la fonction de phase.

5.7 CONCLUSION

Une identification des propriétés radiatives en considérant une condition de non-symétrieazimutale du champ de luminance a été réalisée pour deux types de matériaux fibreux et deuxmousses de carbone. Le modèle d'identification a permis de calculer l'épaisseur optique,l'albédo et les trois paramètres de la fonction de phase de Nicolau (1994). Les résultats sont enbon accord pour les fibres de verre pour lesquelles un albédo proche de l'unité permet d'avoird'avantage d'énergie détectée. La fonction de phase de Nicolau se montre bien adaptée pourreprésenter la diffusion des fibres. Pour des incidences variables seuls de légers écarts sontobservés entre les transmittances expérimentales et théoriques, écarts probablement dus à unenon-symétrie azimutale de la fonction de phase. Bien que le modèle permette le calcul d'unchamp de luminance sans symétrie azimutale, la fonction de phase demeure, elle, définie surune hypothèse d'une symétrie azimutale.

L'identification de l'épaisseur optique par méthode inverse permet d'obtenir des valeurs detransmittances théoriques et expérimentales plus concordantes. Cependant, l'identification del'épaisseur optique pour les mousses a présenté des erreurs importantes. Un signal trop faiblepour les transmittances et un nombre de conditionnement élevé ne permettent pas l'estimationde ce paramètre pour toutes les longueurs d'onde explorées. Il faut envisager d'utiliser unefonction de phase encore plus simple pour l'estimation pour la réduction du nombre deparamètres à estimer. Cependant, ces échantillons ont permis de voir les limites du modèled'identification.

Des mesures réalisées avec trois différents spectromètres montrent que les écarts dus audispositif expérimental utilisé peuvent être importantes et un effort pour bien définir lesmesures quantitatives fournies par ces appareils doit être réalisé.


178

θI= 0° θI= -1° θI= -5° θI= -10° θI= +1° θI= +5° θI= +10°

1 3 5 7 9 11 13 154

5

6

7

8

9

10

11

12

Epa

isse

ur o

ptiq

ue

Longueur d'onde λ [µm] 1 3 5 7 9 11 13 15

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Alb

édo


θI= 0° θI= -1° θI= -5° θI= -10° θI= +1° θI= +5° θI= +10°

1 3 5 7 9 11 13 15

0.7

0.8

0.9

1.0

Coe

ffici

ent d

'Hen

yey-

Gre

enst

ein

(g)

Longueur d'onde λ [µm] 1 3 5 7 9 11 13 15 17

0.9500.9550.9600.9650.9700.9750.9800.9850.9900.9951.000

Fra

ctio

n d'

asym

étrie

ver

s l'a

vant

(f1 )


θI= 0° θI= -1° θI= -5° θI= -10° θI= +1° θI= +5° θI= +10°

1 3 5 7 9 11 13 150.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Fra

ctio

n d'

asym

étrie

( f2 )


Figure (5.67) : Influence d'inclinaison du porte-échantillon sur l'identification despropriétés radiatives pour l'échantillon C3-CRIR.

CONCLUSION179

&21&/86,21(73(563(&7,9(6

Une étude menée sur la méthode des ordonnées discrètes a permis de caractériser leserreurs inhérentes à l'utilisation des divers types de quadratures et schémas d'interpolation.Cette étude a démontré que, pour le calcul du flux radiatif, les quadratures qui respectent ledemi-moment du rayonnement donnent des résultats beaucoup plus précis qui celles quirespectent uniquement le moment total du rayonnement. Par rapport aux schémasd'interpolation linéaire, le schéma diamant est celui qui a donné les meilleurs résultats entermes de convergence par rapport aux autres schémas analysés ("step", exponentiel etintégral). Son inconvénient est qu'il peut donner des oscillations sur le champ de luminance,surtout pour les directions proches de µ=0, si un nombre minimum de volumes de contrôlen'est pas utilisé. La linéarisation du terme source, présentée par Chai et al. (1994) pour descalculs en géométrie bidimensionnelle, donne d'excellents résultats en termes de réduction dunombre d'itérations quand elle est appliquée à une configuration monodimensionnelle.

Le développement d'un modèle de solution de l'équation de transfert radiatif en conditionde non-symétrie azimutale a apporté de nouvelles possibilités à l'identification des propriétésradiatives des matériaux semi-transparents. De plus le modèle développé en ordonnéesdiscrètes appliqué à un volume de contrôle a permis l'analyse de diverses stratégiesexpérimentales. En fait, la réussite d'un modèle d'identification est liée a différents paramètres.Les principaux sont les valeurs des propriétés radiatives, la forme d'incidence du rayonnementsur l'échantillon, la forme des mesures du rayonnement diffusé par l'échantillon et le nombrede directions de mesure explorées.

Des mesures ont été réalisées sur des matériaux fibreux et des mousses. Les fibres sontconstituées par des cylindres en verre disposés selon des plans parallèles aux frontières del'échantillon. Cette disposition non isotrope provoque une variation des propriétés radiativesen fonction de l'angle d'incidence. Une étude fondée sur la solution des équations de Maxwella été réalisée par Lee (1989, 1996) et Boulet (1992) sur ces matériaux. Les résultatsexpérimentaux obtenus sont en bon accord avec leurs calculs.

Bien que le modèle développé soit basé sur l'hypothèse de non-symétrie azimutale duchamp de luminance, la fonction de phase utilisée présente une symétrie azimutale et desdifférences réduites, mais toujours présentes, entre les mesures et valeurs théoriques sontobservées. Un autre problème lié à la fonction de phase, telle qu'elle est utilisée dans cetravail, est qu'elle ne permet d'avoir qu'un pic de rétrodiffusion dans la direction opposée àl'incidence du faisceau et, comme cela a été montré par Boulet (1992), le pic de rétrodiffusionpour ces types de matériaux présente un comportement spéculaire. C'est-à-dire que le picapparaît dans une direction faisant un angle égal à celui d'incidence du faisceau par rapport àla normale à la surface de l'échantillon.

L'élaboration d'un nouveau dispositif goniométrique a conduit à un montage expérimentalplus précis, avec plusieurs degré de liberté sur ses composants, permettant un meilleuralignement. Cependant, du fait de la nécessité d'utilisation de ce dispositif dans une autreconfiguration expérimentale (Dembélé, 1998) ses dimensions sont plus importantes que cellesdu goniomètre utilisé antérieurement par Uny (1986), Nicolau (1994) et Doermann (1995). Le

Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusantsen situation de non-symétrie azimutale

180

fait d'avoir un goniomètre de plus grandes dimensions induit la nécessité d'un compartimenten plexiglas également plus grand, ce qui augmente le temps de purge du système.

Une vigilance particulière doit être observée lorsqu'il s'agit d'utiliser des valeurs despropriétés radiatives identifiées dans des modèles autres que ceux à partir desquels cespropriétés ont été identifiées. Parfois, les corrections sont possibles pour l'utilisation despropriétés radiatives obtenues à partir de modèles plus précis dans des modèles plussimplifiés, comme c'est le cas du modèle à deux-flux. Les calculs de ces facteurs correctifs ontété développés pour les fonctions de phase du type Delta. Le pic de diffusion vers l'avant estconsidéré comme une transmission de rayonnement dans cette même direction et lesparamètres radiatifs doivent être corrigés. Houston et Korpela (1982) ont montré que lesvariations obtenues sur les paramètres radiatifs avec ces facteurs de correction peuvent être del'ordre de 100% et plus.

Concernant quelques suggestions relatives à la poursuite de recherches dans le domained'identification des propriétés radiatives, on peut lister les points suivants :

• Une analyse numérique fondée sur un modèle bidimensionnel (2-D) en géométriecylindrique pourrait être menée afin de prendre en compte la non-uniformité du faisceauincident sur l'échantillon pour une identification avec le présent modèle, en situationunidimensionnelle (1-D). Cependant une estimation des propriétés basée sur un modèle2-D rendra le code de calcul extrêmement lent. Une autre difficulté est la nécessité deréalisation de mesures en situation bidimensionnelle au cas où l'on utilise un modèle 2-D. L'énergie disponible pour les mesures en condition 1-D est déjà très faible et lesmesures en condition 2-D doivent être effectuées sur des zones discrètes de la surface del'échantillon.

• Au chapitre 3 différentes stratégies ont été analysées en se basant sur le nombre deconditionnement. Bien que cette analyse nous ait déjà donné une idée des performancesde chaque montage expérimental, une étude sur l'identification des propriétés radiativesà partir de valeurs bruitées des signaux calculés de façon théorique, pour chaque modèlepourrait être envisagée.

• En ce qui concerne le dispositif expérimental un effort doit être réalisé par rapport àdeux points principaux. Le premier concerne la source de rayonnement du dispositifspectrométrique Biorad FTS-60A. Cette source est constituée d'un filament encéramique en forme de trois spirales. Cette construction provoque des uniformités auniveau du faisceau infrarouge. Une solution possible serait l'utilisation d'une sourcecéramique en forme de rectangle. Mais l'élaboration d'une telle source obligera soninstallation en dehors du spectromètre avec l'addition d'une optique supplémentaire. Lapurge de l'ensemble sera aussi un point à résoudre. La deuxième considérationexpérimentale est en rapport avec la qualité des mesures quantitatives obtenues avec cespectromètre. Bien que les mesures de transmission et de réflexion soint relatives, leserreurs de linéarité sont toujours présentes. Une procédure d'étalonnage du détecteuravec des radiomètres de référence devrait être envisagée.


181

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A.1 SOLUTION DE L’ETR SANS SYMETRIE AZIMUTALE PAR DEVELOPPEMENT ENSERIE

Si la diffusion est anisotrope le champ diffus ne présente plus une symétrie azimutale.Chandresankar (1960) et Özisik (1973) proposent la décomposition du champ de luminanceL(τ,µ,φ) en termes de série de Fourier en sinus et en cosinus autour de la variable φ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )L L k L kk

k

k

k

τ µ φ τ µ φ φ τ µ φ φ, , , cos , sin= − + −=

∞

=

∞

∑ ∑0 0

o o (A1.1)

L’équation du transfert radiatif (1.7) est écrite de façon à prendre en compte le faisceauincident, L(θI,φo) comme condition limite. Si l'on élimine le terme d’émission du milieu (ledispositif expérimental ne détecte pas le faisceau émis par le milieu - la détection estsynchrone), on peut écrire l’équation (1.7) sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( )µ + ==∫

d ,

d,

4p , d '

LL L

ττ

τωπ

τπ

&

& & & &ΩΩ Ω Ω Ω Ω

Ω

' ,' 4

(A1.2)

avec les conditions aux limites :

( )L( ) F

L( )

τ µ φ µ φ µ

τ µ φ µτ

τ τ

, , , ;

, , ;

=

=

= >

= <0 1 0

0 00

(A1.3)

Si l'on veut prendre en compte le terme d’émission, on peut utiliser une superposition desolutions. F1(µ,φ) est le champ de luminance incident. Il peut être décomposé en une partiecollimatée et une autre diffuse, à l'aide de la fonction delta :

( ) ( ) ( ) ( )F L FI o d1 µ φ δ µ µ δ φ φ µ φ, ,= − − + o (A1.4)

Le faisceau collimaté arrive d’une direction (µI,φ0), avec µI>0, φo ∈ [0,2π] et a uneluminance Lo. La distribution du champ de luminance diffus est représentée par Fd pour µ>0 etφ ∈ [0,2π].

Le faisceau collimaté à travers le milieu va être, soit diffusé, soit absorbé. On peutdécomposer le champ de luminance en une composante collimatée (Lc) et une autre diffuse(Ld) :

( ) ( ) ( )L L Lc dτ µ φ τ µ φ τ µ φ, , , , , ,= + (A1.5)

Le champ de luminance collimaté est réduit à une équation différentielle homogène :

( ) ( )µ∂ τ µ φ

∂ττ µ φ τ τ µ

LLc

c o

, ,, , ;+ = ≤ ≤ − ≤ ≤0 0 1 1 (A1.6)

ANNEXE A1 : Solution de l’ETR sans symétrie azimutale par développement en série199

avec les conditions limites :

( )L ( ) F

L ( )

c

c

τ µ φ µ φ µ

τ µ φ µτ

τ τ

, , , ;

, , ;

=

=

= >

= <0 1 0

0 00

(A1.7)

et la solution est :

( ) eL ( ) F

L ( )

c

c

+ −

−

= >

= <

τ µ φ µ φ µ

τ µ φ µ

τ µ, , , ;

, , ;

1 0

0 0(A1.8)

Le champ de luminance diffus est calculé avec l’équation suivante :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

µ∂ τ µ φ

∂ττ µ φ

ωπ

µ µ φ µ φ

ωπ

µ τ µ φ µ φ

τ τ µ

µ µµ µ µ φ φ

µφ

πτ µ

µφ

π

L L F

L

dd

d

o

, ,, , ' , ' ' '

, ' , ' ' '

;

' ' cos '

+ =

+

≤ ≤ − ≤ ≤

= + − − −

=−=

−

=−=

∫∫

∫∫

4

4

0 1 1

1 1

1

1

0

2

1

1

1

0

2

2 2

p e d d

p d d

p

p

p

(A1.9)

Les conditions aux limites établissant l’absence de rayonnement diffus incident sur lesdeux faces de l’échantillon sont les suivantes :

L ( )

L ( )

d

do

τ µ φ µ

τ µ φ µτ

τ τ

, , ;

, , ;

=

=

= >

= <0

0 0

0 0(A1.10)

Le faisceau incident participe comme terme source de l’équation du champ diffus.

Comme la condition limite de diffusion Ld(µ,φ) n’existe pas dans la méthodeexpérimentale, on peut l’éliminer des équations (A1.6) à (A1.10) et la solution pour le champcollimaté devient alors :

( ) ( ) eL ( ) L

L ( )

L ( )

c o I o o

c o

co

+=

−

+=

−=

= − − =

= > ∧ ≠

= <

0

0 0

0 0

0

0

, , ;

, , ;

, , ;

µ φ δ µ µ δ φ φ µ µ

τ µ φ µ µ µ

τ µ φ µ

ττ µ

τ

τ τ

(A1.11)

et le champ diffus :


200

( ) ( ) ( ) ( )

( )

µ∂ τ µ φ

∂ττ µ φ

ωπ

µ τ µ φ µ φ

ωπ

µ µ φ φ

µφ

π

τ µ

LL L

L

dd d

o I oI

, ,, , , ' , ' ' '

, , ,

+ =

+

=−=

−

∫∫4

4

1

1

0

2

p d d

p e

p

(A1.12)

L’équation (A1.1) devient :

( ) ( ) ( )L L oτ µ φ τ µ φ φ, , , cos= −=

∑ k

k

K

k0

(A1.13)

avec K+1 équations pour chaque composante Lk(τ,µ). La fonction de phase peut être aussiécrite sous la forme d’une série de Fourier (Godsalve, 1994) :

( ) ( ) ( )p p kk

k

K

µ µ µ φ φp = −=

∑0

, ' cos ' (A1.14)

ce qui donne pour l’équation (A1.12) :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

cos,

, , , ,

cos ' , ' cos ' ' '

k L p e

p , ' k k d d

o

kd k

d

k

K

k kd o

k

K

φ φ µ∂ τ µ

∂ττ µ

ωπ

µ µ φ φ

ωπ

µ µ φ φ τ µ φ φ µ φ

τ µ

µφ

π

− +

=

+ − −

=

−

==−=

∑

∑∫∫

LL

L

o I oI

0

01

1

0

2

4

4 (A1.15)

en réécrivant :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )

cos,

, , , ,

cos ' cos ' ' , ' '

k p e

k k d p , ' d

o

kd k

d

k

K

ok

Kk k

d

φ φ µ∂ τ µ

∂ττ µ

ωπ

µ µ φ φ

ωπ

φ φ φ φ φ µ µ τ µ µ

τ µ

µφ

π

− +

=

+ − −

=

−

= =−=

∑

∑ ∫∫

LL L

L

o I oI

0

0 1

1

0

2

4

4 (A1.16)

d’après Özisik (1973), page 308 :

( ) ( ) ( )[ ]cos ' cos ' ' cosk k d ko 0k oφ φ φ φ φ π δ φ φφ

π− − = + −

=∫ 0

2

(A1.17)

où

δ0k ==≠

1 0

0 0

pour k

pour k

ce qui donne :

ANNEXE A1 : Solution de l’ETR sans symétrie azimutale par développement en série201

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )

cos,

, , , ,

cos , ' '

k p e

k p , ' d

o

kd k

d

k

K

ok ok k

d

φ φ µ∂ τ µ

∂ττ µ

ωπ

µ µ φ φ

ωδ φ φ µ µ τ µ µ

τ µ

µ

− +

=

+ + −

=

−

=−=

∑

∫∑

LL L

L

o I o

k

K

I

0

1

1

0

4

4 (A1.18)

l’équation ci-dessus peut être séparée en une série d’équations fonction de Lk(τ,µ) à cause del’indépendance linéaire de cos k(φ-φo).On obtient donc :

( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

µ∂ τ µ

∂ττ µ

ωπ

µ µ φ φ

ωδ µ µ τ µ µ

τ µ

µ

LL

L

o I oI

kd k

d

okk k

d

L p e

p , ' d

,, , , ,

, ' '

+ = +

+

−

=−∫

4

41

1

1

(A1.19)

les luminances peuvent être obtenues à partir de Lk par la relation suivante :

( ) ( ) ( )L Ld d oτ µ φ τ µ φ φ, , , cos= −=

∑ k

k

K

k0

où k=0,1, ... , K.

Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusantsen condition de non-symétrie azimutale du champ radiatif

202

A.2 DIFFERENTS TYPES DE QUADRATURES

Tableau A2.1 : Quadrature de Gauss (Abramowitz and Stegun, I.A., 1972).

Quadrature ±µj wj

G2 .577350269189626 1.000000000000000G4 .339981043584856 .652145154862546

.861136311594053 .347854845137454G6 .238619186083197 .467913934572691

.661209386466265 .360761573048138

.932469514203152 .171324492379171G8 .183434642495650 .362683783378362

.525532409916329 .313706645877887

.796666477413627 .222381034453374

.960289856497536 .101228536290376G10 .148874338981631 .295524224714753

.433395394129247 .269266719309995

.679409568299024 .219086362515982

.865063366688984 .149451349150581

.973906528517171 .066671344308689G12 .125233408511469 .249147045813403

.367831498998180 .233492536538354

.587317954286617 .203167426723065

.769902674194305 .160078328543347

.904117256370475 .106939325995318

.981560634246719 .047175336386512

ANNEXE A2 : Différents types de quadratures203

Tableau A2.2 : Quadrature de Fiveland (Fiveland, 1985).

Quadrature ±µj wj

F2 .500000 1.F4 .21132490 1/2

.78867511 1/2F6 .14644626 1/3

.49999980 1/3

.85355386 1/3F8 .10267238 1/4

.40620470 1/4

.59379534 1/4

.89732742 1/4F10 .08375152 1/5

.31272730 1/5

.50000362 1/5

.68726825 1/5

.91624917 1/5F12 .06687722 1/6

.36669356 1/6

.28873171 1/6

.71126604 1/6

.63330817 1/6

.93312301 1/6

Tableau A2.3 : Quadrature de Gauss projetée.

Quadrature ±µj wj

GP2 .500000000000000 1.000000000000000GP4 .211324865405187 .500000000000000

.788675134594813 .500000000000000GP6 .112701665379258 .277777777777778

.500000000000000 .444444444444444

.887298334620742 .277777777777778GP8 .069431844202974 .173927422568727

.330009478207572 .326072577431273

.669990521792428 .326072577431273

.930568155797026 .173927422568727GP10 .046910077030668 .118463442528094

.230765344947159 .239314335249683

.500000000000000 .284444444444444

.769234655052842 .239314335249683

.953089922969332 .118463442528094GP12 .033765242898424 .085662246189585

.169395306766868 .180380786524069

.380690406958402 .233956967286346

.619309593041598 .233956967286346

.830604693233132 .180380786524069

.966234757101576 .085662246189585


204

Tableau A2.4 : Quadrature de Radau (Abramowitz and Stegun, I.A., 1972).

Quadrature ±µj wj

R2 1.000000000000000 1.000000000000000R4 .447213595499958 .833333333333333

1.000000000000000 .166666666666667R6 .285231516480645 .554858377035487

.765055323929465 .3784749562978471.000000000000000 .066666666666667

R8 .209299217902479 .412458794658703.591700181433142 .341122692483505.871740148509607 .2107042271435051.000000000000000 .035714285714286

R10 .165278957666387 .327539761183898.477924949810444 .292042683679685.738773865105505 .224889342063125.919533908166459 .1333059908510701.000000000000000 .022222222222222

R12 .136552932854928 .271405240910696.399530940965349 .251275603199201.632876153031861 .212508417761021.819279321644007 .157974705564370.944899272222882 .0916845174131961.000000000000000 .015151515151515

Tableau A2.5 : Quadrature de Radau Projetée.

Quadrature ±µj wj

RP2 1.000000000000000 1.000000000000000RP4 .333333333333333 .750000000000000

1.000000000000000 .250000000000000RP6 .155051025721682 .376403062700468

.644948974278318 .5124858261884221.000000000000000 .111111111111111

RP8 .088587959512704 .220462211176768.409466864440735 .388193468843172.787659461760847 .3288443199800601.000000000000000 .062500000000000

RP10 .057104196114518 .143713560791226.276843013638124 .281356015149462.583590432368917 .311826522975741.860240135656219 .2231039010835711.000000000000000 .040000000000000

RP12 .039809857051469 .100794192626741.198013417873608 .208450667155954.437974810247386 .260463391594787.695464273353636 .242693594234485.901464914201174 .1598203766102551.000000000000000 .027777777777778


Tableau A2.6 : Directions et poids de la quadrature (Nicolau, 1994).

Nombre Direction Pondération1 1.000000000000000 9.517784181422018E-0042 9.979537419492756E-001 2.800120433972411E-0033 9.933570437277633E-001 6.347447943166013E-0034 9.853906565671194E-001 9.501545365101708E-0035 9.745532308208386E-001 1.205912467531457E-0026 9.615254804006200E-001 1.385908978760419E-0027 9.471259249878312E-001 1.478827259079047E-0028 9.151727781828069E-001 6.265057026475118E-0029 8.128936621898530E-001 1.404383299632994E-00110 6.384361578219329E-001 2.058738381710948E-00111 4.072584537458540E-001 2.530279491588329E-00112 1.398961177654189E-001 2.777019332279304E-00124 -1.398961177654189E-001 2.777019332279304E-00123 -4.072584537458540E-001 2.530279491588329E-00122 -6.384361578219329E-001 2.058738381710948E-00121 -8.128936621898530E-001 1.404383299632994E-00120 -9.151727781828069E-001 6.265057026475118E-00219 -9.471259249878312E-001 1.478827259079047E-00218 -9.615254804006200E-001 1.385908978760419E-00217 -9.745532308208386E-001 1.205912467531457E-00216 -9.853906565671194E-001 9.501545365101708E-00315 -9.933570437277633E-001 6.347447943166013E-00314 -9.979537419492756E-001 2.800120433972411E-00313 -1.000000000000000 9.517784181422018E-004


206

Tableau A2.7 : Directions et poids de la quadrature appliqués à une luminance variabledans l'angle solide (θo=1,27°) - corrections des demi-moments 0, 1, 2 et 3.

Nombre θi θi+1-θi Direction (µ) Pondération1 0.000 1.00000000 0.000006822 0.399 0.399 0.99997579 0.000039263 0.701 0.302 0.99992519 0.000059624 0.952 0.251 0.99986194 0.000063985 1.137 0.185 0.99980299 0.000051216 1.244 0.107 0.99976413 0.000024767 2.981 1.737 0.99864685 0.002833438 6.282 3.301 0.99399547 0.006422969 9.621 3.339 0.98593431 0.00961458

10 12.847 3.226 0.97496795 0.0122025911 15.891 3.044 0.96178522 0.0140239712 18.699 2.808 0.94721436 0.0149642013 23.770 5.070 0.91517278 0.0626505714 35.620 11.851 0.81289366 0.1404383315 50.325 14.704 0.63843616 0.2058738416 65.967 15.643 0.40725845 0.2530279517 81.958 15.991 0.13989612 0.2777019318 98.042 16.084 -0.13989612 0.2777019319 114.033 15.991 -0.40725845 0.2530279520 129.675 15.643 -0.63843616 0.2058738421 144.380 14.704 -0.81289366 0.1404383322 156.230 11.851 -0.91517278 0.0626505723 161.301 5.070 -0.94721436 0.0149642024 164.109 2.808 -0.96178522 0.0140239725 167.153 3.044 -0.97496795 0.0122025926 170.379 3.226 -0.98593431 0.0096145827 173.718 3.339 -0.99399547 0.0064229628 177.019 3.301 -0.99864685 0.0028334329 178.756 1.737 -0.99976413 0.0000247630 178.863 0.107 -0.99980299 0.0000512131 179.048 0.185 -0.99986194 0.0000639832 179.299 0.251 -0.99992519 0.0000596233 179.601 0.302 -0.99997579 0.0000392634 180.000 0.399 -1.00000000 0.00000682


Tableau A2.8 : Directions et poids de la quadrature N24-C8 (θo=1,27°).

indice θ µ η ξ w1 0 1.00000000 0.00000000 0.00000000 0.000951782 3.666 0.99795374 0.00000000 0.06394004 0.000235893 3.666 0.99795374 0.02774254 0.05760799 0.000235894 3.666 0.99795374 0.04999034 0.03986596 0.000235895 3.666 0.99795374 0.06233693 0.01422800 0.000235896 3.666 0.99795374 0.06233693 -0.01422800 0.000235897 3.666 0.99795374 0.04999034 -0.03986596 0.000235898 3.666 0.99795374 0.02774254 -0.05760799 0.000235899 3.666 0.99795374 0.00000000 -0.06394004 0.0002358910 6.608 0.99335704 0.00000000 0.11507295 0.0005347211 6.608 0.99335704 0.04992828 0.10367714 0.0005347212 6.608 0.99335704 0.08996765 0.07174681 0.0005347213 6.608 0.99335704 0.11218783 0.02560614 0.0005347214 6.608 0.99335704 0.11218783 -0.02560614 0.0005347215 6.608 0.99335704 0.08996765 -0.07174681 0.0005347216 6.608 0.99335704 0.04992828 -0.10367714 0.0005347217 6.608 0.99335704 0.00000000 -0.11507295 0.0005347218 9.806 0.98539066 0.00000000 0.17030929 0.0008004219 9.806 0.98539066 0.07389443 0.15344337 0.0008004220 9.806 0.98539066 0.13315316 0.10618610 0.0008004221 9.806 0.98539066 0.16603928 0.03789738 0.0008004222 9.806 0.98539066 0.16603928 -0.03789738 0.0008004223 9.806 0.98539066 0.13315316 -0.10618610 0.0008004224 9.806 0.98539066 0.07389443 -0.15344337 0.0008004225 9.806 0.98539066 0.00000000 -0.17030929 0.0008004226 12.953 0.97455323 0.00000000 0.22415620 0.0010158727 12.953 0.97455323 0.09725773 0.20195775 0.0010158728 12.953 0.97455323 0.17525237 0.13975910 0.0010158729 12.953 0.97455323 0.21853613 0.04987945 0.0010158730 12.953 0.97455323 0.21853613 -0.04987945 0.0010158731 12.953 0.97455323 0.17525237 -0.13975910 0.0010158732 12.953 0.97455323 0.09725773 -0.20195775 0.0010158733 12.953 0.97455323 0.00000000 -0.22415620 0.0010158734 15.945 0.96152548 0.00000000 0.27471576 0.0011675135 15.945 0.96152548 0.11919470 0.24751035 0.0011675136 15.945 0.96152548 0.21478143 0.17128248 0.0011675137 15.945 0.96152548 0.26782807 0.06113001 0.0011675138 15.945 0.96152548 0.26782807 -0.06113001 0.0011675139 15.945 0.96152548 0.21478143 -0.17128248 0.0011675140 15.945 0.96152548 0.11919470 -0.24751035 0.0011675141 15.945 0.96152548 0.00000000 -0.27471576 0.0011675142 18.715 0.94712593 0.00000000 0.32086209 0.0012457843 18.715 0.94712593 0.13921684 0.28908676 0.00124578


208

indice θ µ η ξ w44 18.715 0.94712593 0.25086009 0.20005424 0.0012457845 18.715 0.94712593 0.31281741 0.07139853 0.0012457846 18.715 0.94712593 0.31281741 -0.07139853 0.0012457847 18.715 0.94712593 0.25086009 -0.20005424 0.0012457848 18.715 0.94712593 0.13921684 -0.28908676 0.0012457849 18.715 0.94712593 0.00000000 -0.32086209 0.0012457850 23.77 0.91517278 0.00000000 0.40306176 0.0088098551 23.77 0.91517278 0.17488195 0.36314610 0.0088098552 23.77 0.91517278 0.31512638 0.25130490 0.0088098553 23.77 0.91517278 0.39295616 0.08968968 0.0088098554 23.77 0.91517278 0.39295616 -0.08968968 0.0088098555 23.77 0.91517278 0.31512638 -0.25130490 0.0088098556 23.77 0.91517278 0.17488195 -0.36314610 0.0088098557 23.77 0.91517278 0.00000000 -0.40306176 0.0088098558 35.62 0.81289366 0.00000000 0.58241213 0.0197482759 35.62 0.81289366 0.25269915 0.52473520 0.0197482760 35.62 0.81289366 0.45534814 0.36312803 0.0197482761 35.62 0.81289366 0.56780985 0.12959889 0.0197482762 35.62 0.81289366 0.56780985 -0.12959889 0.0197482763 35.62 0.81289366 0.45534814 -0.36312803 0.0197482764 35.62 0.81289366 0.25269915 -0.52473520 0.0197482765 35.62 0.81289366 0.00000000 -0.58241213 0.0197482766 50.325 0.63843616 0.00000000 0.76967478 0.0289497467 50.325 0.63843616 0.33394937 0.69345302 0.0289497468 50.325 0.63843616 0.60175598 0.47988438 0.0289497469 50.325 0.63843616 0.75037743 0.17126875 0.0289497470 50.325 0.63843616 0.75037743 -0.17126875 0.0289497471 50.325 0.63843616 0.60175598 -0.47988438 0.0289497472 50.325 0.63843616 0.33394937 -0.69345302 0.0289497473 50.325 0.63843616 0.00000000 -0.76967478 0.0289497474 65.967 0.40725845 0.00000000 0.91331295 0.0232236675 65.967 0.40725845 0.39627164 0.82286654 0.0232236676 65.967 0.40725845 0.71405682 0.56944131 0.0232236677 65.967 0.40725845 0.89041429 0.20323125 0.0232236678 65.967 0.40725845 0.89041429 -0.20323125 0.0232236679 65.967 0.40725845 0.71405682 -0.56944131 0.0232236680 65.967 0.40725845 0.39627164 -0.82286654 0.0232236681 65.967 0.40725845 0.00000000 -0.91331295 0.0232236682 81.958 0.13989612 0.00000000 0.99016619 0.0391493283 81.958 0.13989612 0.42961701 0.89210891 0.0391493284 81.958 0.13989612 0.77414310 0.61735852 0.0391493285 81.958 0.13989612 0.96534065 0.22033270 0.0391493286 81.958 0.13989612 0.96534065 -0.22033270 0.0391493287 81.958 0.13989612 0.77414310 -0.61735852 0.0391493288 81.958 0.13989612 0.42961701 -0.89210891 0.0391493289 81.958 0.13989612 0.00000000 -0.99016619 0.03914932


indice θ µ η ξ w90 98.042 -0.13989612 0.00000000 0.99016619 0.0391493291 98.042 -0.13989612 0.42961701 0.89210891 0.0391493292 98.042 -0.13989612 0.77414310 0.61735852 0.0391493293 98.042 -0.13989612 0.96534065 0.22033270 0.0391493294 98.042 -0.13989612 0.96534065 -0.22033270 0.0391493295 98.042 -0.13989612 0.77414310 -0.61735852 0.0391493296 98.042 -0.13989612 0.42961701 -0.89210891 0.0391493297 98.042 -0.13989612 0.00000000 -0.99016619 0.0391493298 114.033 -0.40725845 0.00000000 0.91331295 0.0232236699 114.033 -0.40725845 0.39627164 0.82286654 0.02322366100 114.033 -0.40725845 0.71405682 0.56944131 0.02322366101 114.033 -0.40725845 0.89041429 0.20323125 0.02322366102 114.033 -0.40725845 0.89041429 -0.20323125 0.02322366103 114.033 -0.40725845 0.71405682 -0.56944131 0.02322366104 114.033 -0.40725845 0.39627164 -0.82286654 0.02322366105 114.033 -0.40725845 0.00000000 -0.91331295 0.02322366106 129.675 -0.63843616 0.00000000 0.76967478 0.02894974107 129.675 -0.63843616 0.33394937 0.69345302 0.02894974108 129.675 -0.63843616 0.60175598 0.47988438 0.02894974109 129.675 -0.63843616 0.75037743 0.17126875 0.02894974110 129.675 -0.63843616 0.75037743 -0.17126875 0.02894974111 129.675 -0.63843616 0.60175598 -0.47988438 0.02894974112 129.675 -0.63843616 0.33394937 -0.69345302 0.02894974113 129.675 -0.63843616 0.00000000 -0.76967478 0.02894974114 144.38 -0.81289366 0.00000000 0.58241213 0.01974827115 144.38 -0.81289366 0.25269915 0.52473520 0.01974827116 144.38 -0.81289366 0.45534814 0.36312803 0.01974827117 144.38 -0.81289366 0.56780985 0.12959889 0.01974827118 144.38 -0.81289366 0.56780985 -0.12959889 0.01974827119 144.38 -0.81289366 0.45534814 -0.36312803 0.01974827120 144.38 -0.81289366 0.25269915 -0.52473520 0.01974827121 144.38 -0.81289366 0.00000000 -0.58241213 0.01974827122 156.23 -0.91517278 0.00000000 0.40306176 0.00880985123 156.23 -0.91517278 0.17488195 0.36314610 0.00880985124 156.23 -0.91517278 0.31512638 0.25130490 0.00880985125 156.23 -0.91517278 0.39295616 0.08968968 0.00880985126 156.23 -0.91517278 0.39295616 -0.08968968 0.00880985127 156.23 -0.91517278 0.31512638 -0.25130490 0.00880985128 156.23 -0.91517278 0.17488195 -0.36314610 0.00880985129 156.23 -0.91517278 0.00000000 -0.40306176 0.00880985130 161.285 -0.94712593 0.00000000 0.32086209 0.00124578131 161.285 -0.94712593 0.13921684 0.28908676 0.00124578132 161.285 -0.94712593 0.25086009 0.20005424 0.00124578133 161.285 -0.94712593 0.31281741 0.07139853 0.00124578134 161.285 -0.94712593 0.31281741 -0.07139853 0.00124578135 161.285 -0.94712593 0.25086009 -0.20005424 0.00124578


210

indice θ µ η ξ w136 161.285 -0.94712593 0.13921684 -0.28908676 0.00124578137 161.285 -0.94712593 0.00000000 -0.32086209 0.00124578138 164.055 -0.96152548 0.00000000 0.27471576 0.00116751139 164.055 -0.96152548 0.11919470 0.24751035 0.00116751140 164.055 -0.96152548 0.21478143 0.17128248 0.00116751141 164.055 -0.96152548 0.26782807 0.06113001 0.00116751142 164.055 -0.96152548 0.26782807 -0.06113001 0.00116751143 164.055 -0.96152548 0.21478143 -0.17128248 0.00116751144 164.055 -0.96152548 0.11919470 -0.24751035 0.00116751145 164.055 -0.96152548 0.00000000 -0.27471576 0.00116751146 167.047 -0.97455323 0.00000000 0.22415620 0.00101587147 167.047 -0.97455323 0.09725773 0.20195775 0.00101587148 167.047 -0.97455323 0.17525237 0.13975910 0.00101587149 167.047 -0.97455323 0.21853613 0.04987945 0.00101587150 167.047 -0.97455323 0.21853613 -0.04987945 0.00101587151 167.047 -0.97455323 0.17525237 -0.13975910 0.00101587152 167.047 -0.97455323 0.09725773 -0.20195775 0.00101587153 167.047 -0.97455323 0.00000000 -0.22415620 0.00101587154 170.194 -0.98539066 0.00000000 0.17030929 0.00080042155 170.194 -0.98539066 0.07389443 0.15344337 0.00080042156 170.194 -0.98539066 0.13315316 0.10618610 0.00080042157 170.194 -0.98539066 0.16603928 0.03789738 0.00080042158 170.194 -0.98539066 0.16603928 -0.03789738 0.00080042159 170.194 -0.98539066 0.13315316 -0.10618610 0.00080042160 170.194 -0.98539066 0.07389443 -0.15344337 0.00080042161 170.194 -0.98539066 0.00000000 -0.17030929 0.00080042162 173.392 -0.99335704 0.00000000 0.11507295 0.00053472163 173.392 -0.99335704 0.04992828 0.10367714 0.00053472164 173.392 -0.99335704 0.08996765 0.07174681 0.00053472165 173.392 -0.99335704 0.11218783 0.02560614 0.00053472166 173.392 -0.99335704 0.11218783 -0.02560614 0.00053472167 173.392 -0.99335704 0.08996765 -0.07174681 0.00053472168 173.392 -0.99335704 0.04992828 -0.10367714 0.00053472169 173.392 -0.99335704 0.00000000 -0.11507295 0.00053472170 176.334 -0.99795374 0.00000000 0.06394004 0.00023589171 176.334 -0.99795374 0.02774254 0.05760799 0.00023589172 176.334 -0.99795374 0.04999034 0.03986596 0.00023589173 176.334 -0.99795374 0.06233693 0.01422800 0.00023589174 176.334 -0.99795374 0.06233693 -0.01422800 0.00023589175 176.334 -0.99795374 0.04999034 -0.03986596 0.00023589176 176.334 -0.99795374 0.02774254 -0.05760799 0.00023589177 176.334 -0.99795374 0.00000000 -0.06394004 0.00023589178 180 -1.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00095178


211

A.3 SOLUTION ANALYTIQUE POUR UN MILIEU NON DIFFUSANT

Si l'on considère un milieu semi-transparent non diffusant gris avec indice de réfactionunitaire pour une géométrie unidimensionnelle et avec des parois grises à des températuresimposées.

dans ce cas l’équation (1.9) devient (Özisik, 1973 et Schwander, 1988) :

( )( )

τ β σ

µ∂ τ µ

∂ττ µ τ

= =

+ =

y y

LL L T

a

o( , )( , )

(A3.1)

L’intégration de l’équation de transfert radiatif prend la forme :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

µ τ µ µ τµ µ

τ τµ τ

µ τ µ τ µ τ τµ µ

τ τµ τ

τ

τ

τ

> = −

+ − −

< − = − − −

+ − −

+ +

− −

∫

∫

0 01

01

0L L L T d

L L L T d

o

oo o o

o

, , exp exp ' '

, , exp exp'

'

(A3.2)

Le flux de rayonnement et le rayonnement incident sont donnés par les formules :

( ) ( ) ( ) ( )q L d L dr

ooτ π µ τ

µ µ µ τ µτ τ

µ µ µ= −

− − −

−

+ −∫∫2 00

1

0

1

, exp , exp

( )( ) ( ) ( )( ) ( )+ − −

− − −

∫∫∫∫ L T d d L T d do o o

o

τ τ τµ τ µ τ τ τ

µ τ µτ

ττexp ' ' exp

''

0

1

00

1

(A3.3)

( ) ( ) ( ) ( )G L d L do

oτ π µ τµ µ τ µ

τ τµ µ= −

+ − −

−

+ −∫∫2 00

1

0

1

, exp , exp (A3.4)

( )( ) ( ) ( )( ) ( )+ − −

+ − −

∫∫∫∫ L T d d L T d do o o

o

τ τ τµ µ τ µ τ τ τ

µ µ τ µτ

ττexp ' ' exp

''1 1

0

1

00

1

ou encore, en introduisant la fonction integro-exponentielle :

ε1 ,T1 ε2 ,T2

y

ANNEXE A.3 : Solution Analytique pour un milieu non diffusant 212

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( )

q L E L E

L T E d L T E d

ro o

o oo

τ π µ τ τ µ τ τ

τ τ τ τ τ ττ

τ

τ

= − − − +

− − −

+ −

∫ ∫0 3 3

20

2

, ,

' ' ' '(A3.5)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( )

G L E L E

L T E d L T E d

o o

o oo

τ π µ τ τ µ τ τ

τ τ τ τ τ ττ

τ

τ

= + − − +

− + −

+ −

∫ ∫2 0 2 2

10

1

, ,

' ' ' '(A3.6)

On considère un problème où le mst est soumis à une température uniforme To et les paroissont à des températures uniformes T1 et T2 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )q T E T E T E d E dro o

oτ σ τ τ τ τ τ τ τ τ ττ

τ

τ= − − + − − −

∫ ∫2 1

43 2

43

420 2' ' ' ' (A3.7)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] q T E T E T E Ero o oτ σ τ τ τ τ τ τ= − − + − −2 1

43 2

43

43 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )G T E T E T E d E do oo

τ σ τ τ τ τ τ τ τ τ ττ

τ

τ= + − + − + −

∫ ∫2 1

42 2

42

41

01' ' ' ' (A3.8)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] G T E T E T E Eo o oτ σ τ τ τ τ τ τ= + − + − − −2 214

2 24

24

2 2

Donc, pour les flux et rayonnement incident dans les parois, on obtient :

( ) ( ) ( )qT

T E T Ero o o0 2

2

1

214

24

34

3= − + −

σ τ τ (A3.9)

( ) ( ) ( )[ ] G T T E T Eo o o0 2 114

24

24

2= + + −σ τ τ

( ) ( ) ( )q T ET

T Ero o o oτ σ τ τ= − + −

22

1

214

324

43 (A3.10)

( ) ( ) ( )[ ] G T E T T Eo o o oτ σ τ τ= + + −2 114

2 24 4

2

et la luminance sortant en τ=τo est donnée par la formule :

( ) ( )L L Too

o+ = = − −

τ τ µ τµ, exp1 (A3.11)

FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Nom : MOURA Date de soutenance : 15/07/1998 (avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant)

Prénoms : Luís Mauro

Titre : Identification des propriétés radiatives des matériaux semi-transparents diffusants

en situation de non-symétrie azimutale du champ radiatif

Nature : Doctorat Numéro d'ordre : 98ISAL0059Formation doctorale : Thermique et Energétique

Cote B.I.U.-Lyon : T20/210/19 / et bis Classe :

Résumé :

Ce mémoire de thèse présente une formulation d'un problème radiatif en situation de non-symétrieazimutale du champ radiatif appliquée à l'identification des propriétés radiatives (épaisseur optique,albédo et fonction de phase) des matériaux fibreux et des mousses. Une géométriemonodimensionnelle a été considérée.

La solution numérique de l'équation du transfert radiatif est basée sur la méthode des ordonnéesdiscrètes appliquée à un volume de contrôle. Une nouvelle quadrature spatiale est proposée. Laquadrature est adaptée aux conditions expérimentales, en permettant d'avoir un nombre maximal depoints selon les directions susceptibles d'être explorées par le dispositif expérimental.

Le programme développé permet de considérer différentes situations expérimentales. De ce fait,cinq stratégies expérimentales sont analysés de manière à déterminer la plus performante pourl'identification des propriétés radiatives des matériaux considérés.

L'identification des propriétés radiatives est réalisé à partir des mesures de transmittances et deréflectances spectrales et bidirectionnelles obtenues à l'aide d'un montage expérimental comprenantun spectromètre à transformée de Fourier et un dispositif goniométrique.

Les propriétés radiatives sont identifiées pour un faisceau collimaté dont les angles d'incidencevarient entre 0° et 40°. L'identification est réalisée pour des longueurs d'onde allant de 1,5 µm à 15µm. Une analyse des erreurs dues à un alignement imparfait du dispositif expérimental est présentée.

Mot clés : Propriété Radiative - Milieu Semi-transparent - Fibre - Laine verre - Mousse -Ordonnées Discrètes

Laboratoire(s) de recherches : CETHIL (Centre de Thermique de LYON)

Directeur de thèse : Pr. J.F. SACADURA

Président de jury :Composition du jury :

Mme. D. BAILLIS-DOERMANN (examinateur), MM. C. BISSIEUX (rapporteur),G. JEANDEL (rapporteur), F. PAPINI (examinateur), M. RAYNAUD (examinateur),J.F. SACADURA (examinateur)

Identification des propriétés radiatives des matériaux...

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