Identificación de Sistemas

Ecuacion de EstadoTransformada z

Inversa de Transformada z y Aplicaciones

Identificacion de SistemasAplicaciones al Control Automatico: Ecuacion de Estado

Primer Semestre 2015

Identificacion de Sistemas



Indice

1 Ecuacion de Estado

2 Transformada z

3 Inversa de Transformada z y Aplicaciones




Ecuacion de Estado

En contraste con el uso de la funcion de transferencia para el disenode sistemas de control, el uso de la ecuacion de estado, se visualizacomo un enfoque moderno ya que permite optimizar las estrategiasde control. La caracterıstica fundamental es en base a la formulacionen variables de estado. Este enfoque sirve para sistemas lineales yno lineales ya sean estos variantes o invariantes en el tiempo.




Ecuacion de Estado

El objetivo es introducir algunos conocimientos basicos de la ecua-cion de estado y variables de estado, con el fin de que se puedaluego proponer disenar controladores optimos. Especıficamente ve-remos sistemas lineales invariantes en el tiempo. Se definira contro-labilidad y observabilidad.

Tambien veremos algunas aplicaciones.




Ecuacion de Estado

Las n ecuaciones de estado de un sistema se pueden representarcomo :

dxidt

= f (xj(t), ul(t), vk(t))

donde i = 1...n, l = 1...p,k = 1...r , u(t) es una entrada manipulada,v(t) es ruido, y xj(t) representa algun estado del sistema.Sean yj(t) una variable de salida del sistema, se puede relacionar lasalida y el estado por medio de la siguiente ecuacion:

yj(t) = g (xi (t), ul(t),wk(t))




Ecuacion de Estado

El conjunto de las primeras n ecuaciones difernciales junto con lasm ecuaciones de salida, se denominas ecuaciones dinamicas. Fi-nalmente estas ecuaciones se pueden poner en forma matricial:

dx

dt= f (x(t),u(t), v(t))

y(t) = G (x(t),u(t),w(t))

Estas ecuaciones estan en su forma mas general, sin embargo nuestrointeres es analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo.




Ecuacion de Estado

Para un sistema lineal invariante en el tiempo, se tiene la siguienteecuacion de estado:

dx

dt= Ax(t) + Bu(t) + Ev(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t) + Hw(t)




Ecuacion de Estado

Matriz de transicion de estadoUna vez escrita la ecuacion de estado, el siguiente paso consisteen resolver estas. Dado un vector de condiciones iniciales x(t0), elvector de entrada u(t) y algun vector de perturbacion o ruido v(t)para t ≥ 0.La matriz de transicion de estado se define como una matriz quesatisface la ecuacion de estado lineal homogenea:

dx

dt= Ax(t)

Sea una matrix φφφ(t) de nxn que representa la matriz de transicionde estado de manera que satisface:

dφφφ

dt= Aφφφ(t)




Ecuacion de Estado

Matriz de transicion de estadoUna vez escrita la ecuacion de estado, el siguiente paso consisteen resolver estas. Dado un vector de condiciones iniciales x(t0), elvector de entrada u(t) y algun vector de perturbacion o ruido v(t)para t ≥ 0.La matriz de transicion de estado se define como una matriz quesatisface la ecuacion de estado lineal homogenea:

dx

dt= Ax(t)

Sea una matrix φφφ(t) de nxn que representa la matriz de transicionde estado de manera que satisface:




Transformada z

Consideremos la secuencia y(k),k = 0, 1, 2, ....., en donde y(k) pue-de representar una secuencia de numeros o eventos. La transformadaz de y(t) esta definida como:

Y (z) = Z (y(k)] =∞∑k=0

y(k)z−k

en donde z es una variable compleja con parte real e imaginaria.La motivacion sera explicada posteriormente. El significado de laecuacion es que la transformada z convierte la secuencia de numerosen el dominio real a una expresion en el dominio complejo z .




Transformada z

Ejemplo:Supongamos una secuancia dado por:

y(k) = e−αk

para k = 0, 1, 2, 3...., α es una constante real. Al aplicar la transfor-mada z de y(k) se escribe como:

Y (z) =∞∑k=0

e−αkz−k = 1 + e−αz−1 + e−2αz−2 + ...

Lo cual converge para∣∣e−αz−1

∣∣ < 1.




Transformada z

Al multiplicar ambos miembros de la ecuacion por e−αz−1, y res-tando la ecuacion resultante a la original se tiene:

Y (z) =1

1− e−αz−1=

z

z − e−α

Para∣∣e−αz−1

∣∣ < 1.Si se tiene que α = 0, entonces se tiene que

Y (z) =1

1− z−1=

z

z − 1

esta serie es convergente para |z | < 1




Transformada z

La transformada z juega el mismo papel que la transformada deLaplace, pudiendose describir una senal discreta y(k) por su trans-formada Y (z).

Su transformada z queda:

Y (z) =1

1− z−1=

z

z − 1




Transformada z

Relacion entre la transformada s y la transformada zSupongamos que se tiene una senal que se puede representar comoun tren de impulsos separados por un intervalo de tiempo T . Esteultimo define lo que se denomina periodo de muestreo. Ası el impulsodel k-esimo instante δ(t − kT ), lleva el valor de y(kT ). Se puede,escribir una senal y(kT ) como:

y∗(k) =∞∑k=0

y(kT )δ(t − kT )

Aplicando la transformada s a ambos lados de la ecuacion se tiene:

Y ∗(z) = L

[ ∞∑k=0

y(kT )δ(t − kT )

]=∞∑k=0

y(kT )e−kTs




Transformada z

Hay que acordarse que la transformada de laplace de la funcionimpulso es la unidad. Si hacemos que la variable z valga:

z = e−kTs

Podemos ver claramente una relacion entre ambas transformadas.Aun mas la transformada z se puede ver como un caso especialcuando T = 1. Por lo tanto la definicion de la transformada z sepuede resumir como:

Y (z) = Z [y(kT )] = Z [y∗(t)] = Z [Y ∗(s)] = Y ∗(s)|z=eTs




Transformada z

EjemploConsideremos la siguiente funcion:

y(t) = e−αtus(t)

La transformada z en los instantes t = kT ,k = 0, 1, 2, 3....,se obtie-ne realizando los siguiente pasos:

Represente los valores de y(t) en los instantest = kT ,k = 0, 1, 2, 3.... para formar la funcion y∗(t):

y∗(t) =∞∑k=0

e−αtδ(t − kT )




Transformada z

Obtenga la transformada de laplace a ambos lados de laecuacion:

Y ∗(s) =∞∑k=0

e−αkT e−kTs =∞∑k=0

e−(α+s)kT

Exprese Y∗(s) en forma compacta y aplique z = eTs ,obteniendose la transformada z :

Y (z) =z

z − e−αT




Transformada z





Ası como en la transformada de Laplace, el objetivo principal dela transforamda z es que primero se puedan hacer manipulacionesalgebraıcas en el dominio de z y despues la respuesta en el tiempodel sistema se puede obtener a traves de la transformada inversa.Hay que tomar en cuenta que la transformada inversa solo entregainformacion de la senal en los instantes de muestreo. La transforma-da inversa de z se puede obtener a traves de tres metodos:

Expansion en fracciones parciales.

Metodo de la serie de potencias.

La formula de inversion.





Expansion en fracciones parcialesLa funcion de la transforamda z ,Y (z), se expande mediante frac-ciones parciales en una suma de terminos reconocibles, y la tabla detransformadas z se utiliza para determinar la y(kT ) correspondiente.Existe una ligera diferencia con respecto a la forma usada en latransformada de laplace. Si se observan las tablas de la transformadaz , se podra ver que practicamente la variable z siempre esta en eldenominador. Por lo tanto Y (z) se expande de la forma:

Y (z) =K1z

z − e−αT+

K2z

z − e−βT+ ....





Lo primero que hay que hacer Y (z)/z en fracciones y despues mul-tiplicar por z para obtener la expresion final.Por ejemplo, veamos el siguiente ejemplo:

Y (z) =(1− e−αT )z

(z − 1)(z − e−αT )

Se desea encontrar la transformada z inversa, es decir la respuestadel sistema en el tiempo, por lo que se puede expandir Y (z)/zmediante fracciones parciales:

Y (z)

z=

1

(z − 1)

1

(z − e−αT )





La expresion final para Y (z) es:

Y (z) =z

(z − 1)

z

(z − e−αT )

De las tablas de la transformada z , la transformada inversa queda:

y(kT ) = 1− e−αkT

Hay que senalar que si Y (z) no tiene algun factor z en el numerador,esto puede significar que la secuencia de tiempo tiene un retraso,y la expansion en fracciones parciales de Y (z) se debe realizar sindividir primero la funcion por z .





Este ejemplo nos puede indicar que se puede hacer para este tipo decaso, suponga que se tiene:

Y (z) =(1− e−αT )

(z − 1)(z − e−αT )

Dividiendo en fracciones parciales se tiene:

Y (z) =1

(z − 1)

1

(z − e−αT )

Aunque las tablas de la transformada z no muestran ninguna trans-formada que pueda coinidir, se puede hacer el siguiente ejercicio:

Z−1

[1

(z − 1)

]= Z−1

[z−1 z

(z − 1)

]=∞∑k=1

z−1 = us [(k − 1)T ]





Con k = 1, 2, 3..., de la misma forma el termino (z − e−αT ) puedeidentificar como un retraso en T segundos. Por lo que la transfor-mada queda finalmente como:

y(kT ) = (1− e−α(k−1)T )us [(k − 1)T ]





Metodo de las series de potenciasLa definicion de la transformada z dado por Y (z) =

∑∞k=0 y(k)z−k

proporciona un metodo directo para encontrar la transformada zinversa. En base a la expresion anterior se puede ver claramente queen el caso mostrado, el coeficiente de z−k en Y (z) es simplementey(kT ). Si Y (z) se expande en una serie de potencias z−k , se puedenencontrar los valores de y(kT ).





Por ejemplo, veamos el mismo ejemplo:

Y (z) =(1− e−αT )z

(z − 1)(z − e−αT )

Consideremos que esta funcion que se pueda expandir en una seriede potencias de z−1 al dividir el polinomio denominador medianteuna division larga. Esto es:

Solucion

Y (z) =(1− e−αT

)z−1 +

(1− e−2αT

)z−2 +

(1− e−3αT

)z−3.....

(1− e−kαT

)z−k + ...

Solucion queda:

y(kT ) =(

1− e−αkT)





Formula de InversionLa senal y(kT ) se puede determinar a partir de Y (z) mediante laformula de inversion:

y(kT ) =1

2πj

∮ΓY (z)zk−1dz

donde la integral se calcula sobre una curva cerrada simple Γ postiva-mente orientada que encierra el origen y que cae en la region deconvergencia (ROC) de Y (z).


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