Identificación algebraica en línea de grietas en un...

MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO

Tema A1a Diseño Mecánico: Rotodinámica.

Identificación algebraica en línea de grietas en un sistema rotodinámico.

Olivia Hernández Mendozaa*, José Gabriel Mendoza Lariosa , Jorge Colín Ocampoa, José Navarro

Torresb, Alberto Delgado Hernándezb , Andrés Blanco Ortegaa, Carlos Francisco Guzmán Correaa

aDepartamento de Ingenieria Mecánica, Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnologico, Interior Internado Palmira S/N, Col. Palmira,

Cuernavaca Morelos, Mexico. Telefono: 01(777) 362-7770 ext. 111, [email protected]

b Escuela de Ciencias de la Ingeniería y Tecnología / Universidad Autónoma de Baja California. Blvd. Universitario #1000. Unidad Valle de las Palmas.

Tijuana, Baja California.

[email protected]*, [email protected], [email protected], [email protected], [email protected],

[email protected], [email protected].

R E S U M E N

En este trabajo se presenta el desarrollo matemático de dos modelos de identificación en línea de grietas en un sistema

rotor-chumacera, basado en la técnica de identificación algebraica, los cuales toman como datos de entrada la respuesta

de vibración del sistema a velocidad constante y velocidad variable. Los identificadores se desarrollaron a partir del

modelo matemático de un rotor-chumacera tipo Jeffcott, donde se incluye el efecto correspondiente al fenómeno de respiro

de la fisura mediante la modificación de los parámetros de rigidez del sistema. Se analizó de forma numérica el

comportamiento en el tiempo del identificador de grietas propuesto, para la identificación de la presencia de grietas en

el rotor se tomó como dato de entrada la respuesta de vibración obtenida del modelo matemático a velocidad constante y

velocidad variable, para su solución se consideró el método numérico de Newmark y rampas de excitación de tipo lineal.

De los resultados obtenidos se demostró que los identificadores detectan la presencia de la grieta en el rotor en tiempos

menores de un segundo de manera precisa.

Palabras Clave: Identificación algebraica, respiro de fisura, vibraciones mecánicas.

A B S T R A C T

In this paper we present the mathematical development of two models of on-line identification of cracks in a rotor-bearing

system, based on the algebraic identification technique, which take as input data the vibration response of the system at

constant-speed and variable-speed. The identifiers were developed from the mathematical model of a Jeffcott-like rotor-

bearing, which includes the effect corresponding to the phenomenon of breathing crack by modifying the stiffness

parameters of the system. The behavior in time of the proposed crack identifier was analyzed numerically to identify the

presence of cracks in the rotor. The vibration response obtained from the mathematical model at constant-speed and

variable-speed was taken as input data for its solution was considered the numerical method of Newmark and excitation

ramps of linear type. From the obtained results it was demonstrated that the identifiers detect the presence of the crack in

the rotor in times less than a second of precisely. Keywords: Algebraic identification, Breathing crack, mechanical vibrations. b

Nomenclatura: c Coeficiente de amortiguamiento.

e Excentricidad de la masa de desbalance.

f(t) Función escalón a causa del respiro de la fisura.

Fx Fy Fuerza de excitación de desbalance.

g Gravedad.

k0 Rigidez del eje sin fisura.

Kp Profundidad de la fisura.

Kpx Profundidad de la fisura respecto al eje x.

Kpy Profundidad de la fisura respecto al eje y.

l Longitud del eje.

m Masa del disco.

t Tiempo.

West Deflexión estática.

, ,x x x Aceleración, velocidad y desplazamiento horizontal.

�̈�𝑧, �̇�𝑧, 𝑊𝑧 , Aceleración, velocidad y desplazamiento verticales del disco de la

masa m.

�̈�𝑦 , �̇�𝑦, 𝑉𝑦, Aceleración, velocidad y desplazamiento horizontales del disco

de la masa m.

, ,y y y Aceleración, velocidad y desplazamiento vertical.

α Aceleración angular.

β Posición angular de la masa de desbalance.

Δ𝐾𝜁 Pérdida de rigidez debido a la apertura de la fisura.

∊ Incremento en el tiempo.

Velocidad de rotación del rotor.

1. Introducción.

Cuando se pone en marcha una máquina rotatoria, aun

estando en sus parámetros de funcionamiento

convencionales, se genera en ella vibraciones y ruido a raíz

de diversas causas como son cargas no uniformes a lo largo

del eje, lubricación inadecuada, etc. [1]. Todos estos

ISSN 2448-5551 DM 7 Derechos Reservados © 2017, SOMIM

mailto:[email protected]







acontecimientos incrementan la posibilidad de falla a causa

de la fatiga en ejes rotatorios, la cual es la principal causante

de la formación de fisuras en componentes dinámicos [2].

Inspeccionar en línea una maquinaria rotatoria presenta

algunos inconvenientes, ya que, al estar en funcionamiento

hace que se dificulte la detección de fisuras. La presencia de

éstas en grandes turbinas ha ocasionado fallas catastróficas

en la industria [3], lo que ha dado como resultado la

necesidad de estudiar la respuesta de vibración de sistemas

rotodinámicos a causa de la presencia de fisuras o grietas en

el rotor y así desarrollar nuevas técnicas de identificación de

fisuras en etapa incipiente. La presencia de fisuras en el

sistema, por muy pequeñas que estas sean, cambia el

comportamiento dinámico general del sistema, ya que, al

reducir la rigidez local adiciona flexibilidad en el elemento

fisurado y en consecuencia modifica el comportamiento del

rotor comparado con su estado inicial sin la existencia de la

fisura.

La fiabilidad en un criterio para la inspección de

cualquier falla es importante en cuanto a la dinámica del

rotor, ya que, la velocidad de propagación de una fisura

aumenta exponencialmente estando en operación el sistema,

lo cual tiene consecuencias importantes en la industria.

Existen numerosas investigaciones realizadas hasta el

momento que se han enfocado en la determinación de

características vibratorias de un rotor fisurado, considerando

criterios como frecuencias naturales, formas modales,

diagramas de Bode, etc. Sin embargo, no son lo

suficientemente precisos para obtener una detección en

estado incipiente de las fisuras.

Actualmente, existe una metodología de identificación la

cual difiere de los métodos convencionales, esta

metodología se basa en el álgebra lineal y calculo

operacional para el desarrollo de estimadores que permiten

conocer parámetros desconocidos partiendo del modelo

matemático del sistema [4]. A su vez los estimadores

desarrollados permiten realizar la detección de los

parámetros requeridos en línea en tiempo continuo o

discreto, asimismo, los identificadores desarrollados son

expresiones matemáticas que son independientes de las

condiciones iniciales del sistema [5]. El método de

identificación algebraica ya ha sido empleado para

identificar parámetros de sistemas rotodinámicos, por

ejemplo, la magnitud y posición angular a velocidad

constante [6] y velocidad variable [7] .

En este trabajo, se presenta el desarrollo de un modelo

para la estimación en línea de grietas en un sistema rotor-

chumacera tipo Jeffcott y se basa en el método de

identificación algebraica en línea reportado por Fliess y

Sira-Ramírez [5]. La ventaja que ofrece el modelo

propuesto, radica en que solo se necesita la respuesta de

vibración en línea del sistema como dato de entrada, además

de que la identificación se puede realizar a velocidad

constante o velocidad variable del rotor, sin la necesidad de

llevar el rotor a su velocidad nominal pasando por la

resonancia del sistema.

2. Modelo de rotor Jeffcott fisurado.

Para el estudio se consideró un modelo de bisagra simple,

que representa el respiro de la grieta en el rotor [8] En la

Figura 1 muestra el sistema rotodinámico simple con el eje

agrietado tomando como referencia un sistema coordenado

inercial x-y y rotatorio ζ- η.

Figura 1 Detalles del modelo del rotor agrietado [9]

De acuerdo con Sekhar [9], la ecuación de movimiento

correspondiente al rotor fisurado se puede expresar como:

11 12

21 22

2

0 0

0 0

cos

0 sin

z z z

y y y

W W Wk km c

k km c

mgme

V V V

(1)

Donde 𝜃 = 𝜔𝑡 + 𝛽. La ec. (1) también puede

escribirse como:

0, uMu Cu K u t u P P (2)

Como se muestra en la referencia [10], si se considera

que los efectos del peso predominan en el comportamiento

vibratorio del rotor, es decir Δ𝑢(𝑡) ≪ 𝑢0, las ecuaciones con

la matriz de rigidez no lineal y variable en el tiempo, se

pueden simplificar a ecuaciones en términos de rigidez

lineales y periódicos variables en el tiempo, lo que da como

resultado para la deformación elástica, la siguiente ecuación:

0 0

( ) ( )u

M u C u K K t u K t u P (3)

Donde el término ∆𝐾(𝑡)Δ𝑢 puede despreciarse si se

garantiza la estabilidad del sistema. En la ec. (3) Δ𝑢(𝑡) es el

vector que describe el comportamiento vibratorio del rotor y

𝑢0 es la deflexión estática del eje sin fisura. De acuerdo con

Sekhar [10] entonces la matriz de rigidez para una flecha

fisurada se puede expresar como:

0

0

0

( )

0 1 cos (2 ) sin (2 )1( )

0 sin (2 ) 1 cos (2 )2

K K t

kf t K

k

(4)



Donde 𝑓(𝑡) es una función escalón y representa el

respiro de la fisura (modelo bisagra) tal y como se muestra

en la Figura 2

Figura 2 Comportamiento del respiro de la fisura.

Tomando como referencia la Figura 2, matematicamente

el respiro de la fisura se puede representar como:

1 2 2 2( ) cos cos 3 cos 5

2 3 5f t

(5)

Sustituyendo la ec. (4) en la ec. (3) se obtiene que la

ecuación de movimiento correspondiente a un rotor

fracturado, puede expresarse como:

0

0

00 0

00 0

1 cos (2 ) sin (2 )1( )

sin (2 ) 1 cos (2 ) 02

est

z z z

y y y

W W Wkm c

V V Vkm c

t t W Fxf t K

t t Fy

(6)

Donde ∆𝐾𝜁 es el cambio de la rigidez en el eje

perpendicular a la línea de fisura dada por:

0(1 )*pK K k (7)

2.1 Simulación del sistema.

Para las simulaciones del comportamiento vibratorio del

rotor con y sin fisura se consideró el rotor utilizado por

Sekhar et al.[10], ver Figura 3, el sistema rotodinámico es

un rotor tipo Jeffcott de dos grados de libertad, donde la

masa del eje se considera despreciable, así como, la rigidez

y amortiguamiento en los soportes. Para la solución del

modelo matemático del rotor correspondiente a la ec. (6) se

utilizó el método de integración de Newmark, utilizando

rampas de excitación de tipo lineal.

Figura 3 Modelo del rotor.

En la Tabla 1 se muestran los datos del rotor simulado.

Tabla 1 Datos del rotor [10]

Datos

𝒎 = 𝟓𝟏𝒌𝒈 𝑊𝑒𝑠𝑡 = 0.5 𝑚𝑚

𝒆 = 𝟎. 𝟎𝟏 𝒎𝒎 𝑘0 = 9.99 × 105 𝑁/𝑚

∆𝒕 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝒔 𝜔0 = √𝑔/𝑊𝑒𝑠𝑡

𝑘𝑝 = 0.95

La respuesta de vibración obtenida en la dirección

vertical considerando el rotor con y sin fractura se muestra

en la Figuras 4-7 Para el análisis, se consideró diferentes

valores de aceleración angular 𝛼=30, 50, 70 y 100 rad/s2 y

una profundidad de fractura de Kp=0.95.

En la Figura 4, se puede apreciar que la respuesta de

vibración del rotor sufre cambios cuando existe la presencia

de una fractura o grieta en el sistema, además de que la

respuesta es función de la aceleración angular de la rampa

de excitación, se puede observar que conforme la

aceleración aumenta, la respuesta de vibración del rotor se

distorsiona. Actualmente se han desarrollado diversas

técnicas que permiten determinar la presencia de una fisura

[10,11], sin embargo ninguna de ellas predice la profundidad

y/o posición de la grieta.

Figura 4 Respuesta en el tiempo de desplazamiento a α= 30 rad/s2 a)

sin fisura y b) con fisura de Kp=0.95.

a)

b)







a)

b)



3. Identificador de grietas a velocidad constante.

3.1 Modelo matemático del identificador de grietas a

velocidad constante.

Siguiendo la metodología propuesta por Fliess y Sira-

Ramírez [12] para el método de identificación algebraica, se

considera el modelo matemático de un rotor tipo Jeffcott de

dos grados de libertad con grietas, ec. (6), éstas se

multiplican por t2 y se integran dos veces con respecto al

tiempo t. Con lo anterior, se obtienen las relaciones del

identificador algebraico de la grieta del rotor que considera

como variable a detectar, la profundidad de la fisura, es decir

el parámetro Kp que se obtiene a partir de la ec. (7). Para un

sistema rotodinámico de dos grados de libertad, se tiene que:

( 2)

2

0

( 2)

2 21( ) 1 cos 2 cos( )

2est

mx cx k x t

K W f t t me t t

(8)

( 2 )

2

0

( 2 )

2 21( ) sin 2 sin ( )

2est

my cy k y t

K W f t t me t t

(9)

a)

b)

a)

b)



Donde ∫ 𝜑(𝑡)2 Son integrales iteradas en el tiempo de la

forma ∫ ∫ … ∫ 𝜑(𝜎𝑛)𝑑𝜎𝑛 … 𝑑𝜎1𝜎𝑛−1

0𝜎1

0𝑡

0 con ∫ 𝜑(𝑡) =

∫ 𝜑(𝜎)𝑑𝜎𝑡0 y n un entero positivo.

Las ecs. (8) y (9) se integran por partes y mediante un

tratamiento matemático pueden expresarse en un sistema de

ecuaciones lineales, tal y como se muestra a continuación:

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

2 2 2

( 2) ( 2 )

2 2

( 2) ( 2)

2 2 2 2

4 2 2

1( ) ( ) cos(2 )

2

cos cos( ) sin ( )

est

mt x m tx m x ct x ctx kt

K W f t t f t t t

me t t me t sen t

(10)

(2) (2) (2)

2 2 2

(2)

2

(2) (2)

2 2 2 2

4 2 2

1( ) sin(2 )

2

cos cos( ) sin sin( )

est

mt y m ty m x ct y cty kt

K X f t t t

me t t me t t

(11)

De la relación ∆𝐾𝜁 a partir de las ecs. (10) y (11) se

despeja el término a identificar Kp que corresponde a la

profundidad de la fisura. Como Kp es un valor constante

independiente de las coordenadas x y y se pueden obtener

dos expresiones matemáticas para el identificador de la

grieta.

A partir de la ec. (10) y reacomodando todos los

términos de manera correcta se tiene que:

( )

( )

x

px

x

n tK

d t (12)

Con: (2)

2 2

(2)

2 2

(2) (2) (2)

2 2 2

(2) (2)

2 2

( ) cos cos( )

sin sin ( )

4 2 2

1( ) ( ) cos(2 )

2

xn t me t t

me t t

mt x m tx m x ct x ctx kt x

mg f t t f t t t

( 2) ( 2)

2 21( ) ( ) ( ) cos(2 )

2x

d t mg f t t f t t t

De manera similar, a partir de la ec. (11) y reacomodando

todos los términos de manera correcta se tiene que:

( )

( )

y

py

y

n tK

d t (13)

(2) (2)

2 2 2 2

(2) (2) (2)

2 2 2

(2)

2

( ) cos sin ( ) sin cos( )

4 2 2

1( ) sin(2 )

2

yn t me t t me t t

mt y m ty m y ct y cty kt y

mg f t t t

( 2)

21( ) ( ) (2 )

2sin

yd t mg f t t t

Las ecs. (12) y (13) son válidas siempre y cuando el

denominador para Kpx y Kpy sea distinto a cero. Como se

puede observar, ahora los identificadores Kpx y Kpy son

función del tiempo y de la respuesta de vibración del rotor

{x} y {y} respectivamente.

Por tanto, el parámetro Kp identificado a partir de las ecs.

(12) y (13) son válidos para:

0 0

0

[ , ]

( )

( )

p px py

arbitrario t t t

K K K n tt t

d t

(14)

Como se puede observar en las ecs. (12) y (13), el

identificador de la profundidad de la grieta es independiente

de las condiciones iniciales del sistema y únicamente

dependiente de la respuesta de vibración (desplazamiento)

del sistema.

3.2 Simulación del comportamiento del modelo

matemático del identificador de grietas

Para observar el comportamiento en función del tiempo

de los identificadores de grietas desarrollados, se consideró

la respuesta de vibración a velocidad constante obtenida de

la simulación del modelo matemático del rotor

correspondiente a la Figura 4, ec. (6). Para la solución del

sistema, se utilizó el método de integración numérica de

Newmark. Para el análisis se consideró una velocidad del

rotor de 2000 rpm.

En la Figura 8 se muestra la respuesta de vibración en las

direcciones x y y a velocidad constante para el rotor sin

fractura, es decir Kp=1

Por otra parte, en las Figuras 8-10 se muestra la

respuesta de vibración en las direcciones x y y a velocidad

constante para el rotor con fractura con Kp=0.999, 0.99 y



0.95 respectivamente.

La respuesta de vibración correspondiente a las

Figuras 9-12, se toman como datos de entrada para evaluar

los modelos de los identificadores de grietas de las ecs. (12)

y (14).

Figura 8 Señal de vibración a velocidad constante cuando Kp=1.

Figura 9 Señal de vibración a velocidad constante cuando Kp=0.999.


En las Figuras 12-15 se presenta el comportamiento en

función del tiempo de los identificadores Kpx y Kpy. En todos

los caso se puede observar que en menos de 1 segundo los

identificadores convergen al valor correspondiente de Kp.


De la respuesta de vibración que se muestra en las

Figuras 10 y 11 respectivamente, se puede observar que no

existen cambios significativos en la respuesta de vibración

del rotor cuando el sistema se encuentra sin grieta

comparada con la respuesta de vibración del sistema cuando

presenta la presencia de una grieta en estado incipiente. Sin

embargo el identificador Kp es capaz de identificar la

presencia de la grieta, así como su profundidad de manera

precisa, Figura 13.

Figura 12 Identificador algebraico de profundidad de fisura Kp=1.

Figura 13 Identificador algebraico de profundidad de fisura

Kp=0.999.



Figura 14 Identificador algebraico de profundidad de fisura Kp=0.99.

Figura 15 Identificador algebraico de profundidad de fisura Kp=0.95.

4. Identificación de grietas a velocidad variable.

4.1 Modelo matemático identificador de grietas a velocidad

variable.

Para el desarrollo del modelo matemático para el

identificador de grietas considerando velocidad variable, se

modifica el modelo matemático de la ec. (6) correspondiente

a un rotor con grieta de dos grados de libertad tipo Jeffcott.

El modelo matemático de un sistema rotodinámico con

grieta considerando velocidad variable se escribe como:

0

2

1(1 cos 2 )

2

sin ( ) cos( )

estmx cx k x K X t

m e t t

(15)

0

2

1(sin 2 )

2

cos( ) sin( )

estmy cy k y K X t

m e t t

(16)

Siguiendo la metodología propuesta por Fliess y Sira-

Ramírez [12] para el método de identificación algebraica,

las ecs. (15) y (16) se multiplican por t2 y se integran dos

veces con respecto al tiempo t, con lo anterior, se obtienen

las relaciones necesarias para el modelo del identificador

algebraico de la grieta del rotor, el identificador considera

como variable a detectar, la profundidad de la fisura, es decir

el parámetro Kp que se obtiene a partir de la ec. (7). Para un

sistema rotodinámico de dos grados de libertad, se tiene que:

( 2)

2

0

( 2)

2

( 2)

2 2

1(1 cos 2 )

2

sin( ) cos( )

est

mx cx k x t

K X t t

me t t t

(17)

( 2)

2

0

( 2)

2

( 2)

2 2

1(sin 2 )

2

cos( ) sin ( )

est

my cy k y t

K X t t

me t t t

(18)

Donde ∫ 𝜑(𝑡)2 Son integrales iteradas en el tiempo de la

forma ∫ ∫ … ∫ 𝜑(𝜎𝑛)𝑑𝜎𝑛 … 𝑑𝜎1𝜎𝑛−1

0𝜎1

0𝑡

0 con ∫ 𝜑(𝑡) =

∫ 𝜑(𝜎)𝑑𝜎𝑡0 y n un entero positivo.

Las ecs. (17) y (18) se integran por partes y mediante un

tratamiento matemático, éstas pueden expresarse en un

sistema de ecuaciones lineales, tales como: ( 2) ( 2) ( 2)

2 2 2

( 2) ( 2)

2 2

( 2)

2

( 2)

2

4 2 2

1( ) ( ) cos(2 )

2

cos sin( ) 2 sin( )

sin cos( ) 2 cos( )

est


K X f t t f t t t

e m t t t t

e m t t t t

(19)

(2) (2) (2)

2 2 2

(2)

2

(2)

2

(2)

2

4 2 2

1( ) sin (2 )

2

cos cos( ) 2 cos( )

sin sin( ) 2 sin( )

est


K X f t t t

e m t t t t

e m t t t t

(20)

De la relación ∆𝑘𝑢∗ a partir de las ecs. (20) y (21) se

despeja el término a identificar Kp que corresponde a la



profundidad de la fisura, ∆𝑘𝑢∗ . Como Kp es un valor

constante independiente de las coordenadas x y y se pueden

obtener dos expresiones matemáticas para el identificador

de la grieta.

A partir de la ec. (19) y reacomodando todos los

términos de manera correcta se tiene que:

( )

( )

xpx

x

n tK

d t (21)

Con: ( 2)

2

( 2)

2

( 2) ( 2) ( 2)

2 2 2

( 2) ( 2)

2 2

( ) cos sin( ) 2 sin( )

cos( ) 2 cos( )

4 2 2

1( ) ( ) cos(2 )

2

xn t e m t t t t

e sen m t t t t


mg f t t f t t t

( 2) ( 2)

2 21( ) ( ) ( ) cos(2 )

2x

d t mg f t t f t t t

De manera similar, a partir de la ec. (20) y

reacomodando términos, se tiene que:

( )

( )

y

py

y

n tK

d t (22)

(2)

2

(2)

2

(2) (2) (2)

2 2 2

(2)

2

( ) cos cos( ) 2 cos( )

sin csin( ) 2 sin( )

4 2 2

1( ) sin(2 )

2

yn t e m t t t t

e m t t t t


mg f t t t

(2)

21( ) ( ) sin(2 )

2yd t mg f t t t

Las ecs. (21) y (22) son válidas siempre y cuando el

denominador para Kpx y Kpy sea distinto a cero. Como se

puede observar, ahora los identificadores Kpx y Kpy son

función del tiempo y de la respuesta de vibración del rotor

{x} y {y} respectivamente.

Por tanto, el parámetro Kp identificado a partir de las ecs.

(21) y (22) son válidos para:

0 0

0

[ , ]

( )

( )

p px py

arbitrario t t t

K K K n tt t

d t

(23)

Como se puede observar en las ecs. (21) y (22), el

identificador de la profundidad de la grieta es independiente

de las condiciones iniciales del sistema y únicamente

dependiente de la respuesta de vibración (desplazamiento)

del sistema.

4.2 Simulación del comportamiento del modelo

matemático del identificador de grietas

Para observar el comportamiento en función del tiempo

de los identificadores de grietas desarrollados, se consideró

la respuesta de vibración a velocidad variable obtenida de la

simulación del modelo matemático del rotor

correspondiente a la Fig. 4, ecs. (16) y (17). Para la solución

del sistema, se utilizó el método de integración numérica de

Newmark. Las propiedades y geometría del rotor, se

muestran en la Tabla 1. Para el análisis se consideró rampas

de excitación de tipo lineal.

Figura 16 Señal de vibración a velocidad variable cuando Kp=0.999,

α=100 rad/s2.

En la Figuras 4-7 se muestra la respuesta de vibración

del sistema con rampas de excitación de tipo lineal para

diferentes valores de aceleración angular 𝛼=30, 50, 75 y

100 rad/s2 para un rotor sin fisura en b) y con fisura de

Kp=0.95 en a).

Por otra parte, en las figuras 16 y 17 se muestra la

respuesta de vibración en las direcciones x para el rotor con

fractura con Kp=0.999, 0.99 respectivamente, con una

rampa de excitación con una aceleración angular 𝛼=100

rad/s2.




α=100 rad/s2.

La respuesta de vibración correspondientes a las Figuras

4-7, 16 y 17, se toman como datos de entrada para evaluar

los modelos de los identificadores de grietas de las ecs. (21)

y (22).

En las figuras 18-23 se presenta el comportamiento en

función del tiempo de los identificadores Kpx y Kpy. En todos

los casos se puede observar que en menos de 1 segundo los

identificadores convergen al valor correspondiente de Kp.

Se puede observar que el identificador de grietas

propuesto detecta fisuras o grietas en etapa incipiente de

manera precisa, además de que los identificadores Kpx y Kpy

converge al valor correspondiente de Kp sin importar el

coeficiente de aceleración angular de la rampa de excitación

del rotor.


α=30 rad/s2.


α=50 rad/s2.


α=75 rad/s2.


α=100 rad/s2.


α=100 rad/s2.


α=100 rad/s2.



5. Conclusión.

Se presenta el desarrollo matemático de dos modelos de

identificación algebraica en línea para detectar fisuras o

grietas en un sistema rotodinámico. Ambos modelos,

requieren de la respuesta de vibración (desplazamiento) del

rotor como dato de entrada a velocidad constante o

velocidad variable (rampas de excitación de tipo lineal). Los

resultados numéricos muestran la convergencia del

identificador propuesto al valor correcto del parámetro Kp en

un tiempo menor a 1 segundo, tanto para el caso de

velocidad constante como para el de velocidad variable.

De los resultados obtenidos, se demuestra que el

identificador propuesto es capaz de detectar fisuras o grietas

en etapa incipiente de manera precisa ya sea a velocidad

constante o velocidad variable, además la identificación se

realiza correctamente sin importar la aceleración angular de

la rampa de excitación del rotor.

La ventaja del método propuesto es que aun cuando

la identificación se puede realizar a velocidad variable, no

es necesario llevar el rotor hasta su velocidad nominal

pasando por la resonancia, para la identificación es

suficiente la respuesta de vibración del rotor en un intervalo

menor de 1 minuto obtenida por debajo de la velocidad de

resonancia del sistema.

Agradecimientos

Agradecemos al Centro Nacional de Investigación y

Desarrollo Tecnológico por su apoyo.

REFERENCIAS

[1] D. A. Estrada, “Caracterización Dinámica de

Rotores Fracturados mediante Transformada

Wavelet,” Centro Nacional de Investigación y

Desarrollo Tecnológico, 2009.

[2] A. Blanco Ortega, J. Colín Ocampo, and M. A.

Oliver S, Deteccion de Fracturas En Linea En

Maquinaria Rotatoria. Editorial Académica

Española, 2012.

[3] N. Bachschmid and P. Pennacchi, “Crack effects in

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