Identidades Trigonométricas Ejercicios Resueltos de Trigonometría Preuniversitaria en PDF

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF Publicado en 29 mayo, 2013 por matematico

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IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRA PREUNIVERSITARIA EN PDF

Publicado en29 mayo, 2013pormatematico

IDENTIDAD TRIGONOMTRICAUna identidad trigonomtrica es una igualdad que contiene expresiones trigonomtricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable.

EjemplosIdentidad Algebraica:(a+b) = a + 2ab + bIdentidad Trigonomtrica:Sen + Cos = 1Ecuacin Trigonomtrica:Sen + Cos = 1Para: = 90 CumplePara: = 30 No cumple

2. IDENTIDADES FUNDAMENTALESLas identidades trigonomtricas fundamentales sirven de base para la demostracin de otras identidades ms complejas.Se clasifican: Pitagricas Por cociente Recprocas

2.1 IDENTIDADES PITAGRICASI. Sen + Cos = 1II. 1 + Tan =SecIII. 1 + Cot = Csc

Demostracin ISabemos que x + y = r

Sen + Cos = 1 l.q.q.d.2.2 IDENTIDADES POR COCIENTE

I. Tan =

II. Cot =

Demostracin ITan = L.q.q.d.

2.3 IDENTIDADES RECPROCASI. Sen . Csc = 1II. Cos . Sec = 1III. Tan . Cot = 1

Demostracin I

Sen . Csc = 1 L.q.q.d.

Observaciones: Sabiendo que: Sen + Cos = 1

Despejando:Sen = 1 Cos Sen = (1 + Cos) (1-Cos)

As mismo:Cos = 1 Sen Cos = (1 + Sen) (1-Sen)

3. IDENTIDADES AUXILIARESA) Sen4 + Cos4 = 1 2Sen . CosB) Sen6 + Cos6 = 1 3Sen . CosC) Tan + Cot = Sec . CscD) Sec + Csc = Sec . CscE) (1+Sen + Cos) = 2(1+Sen)(1+Cos)

Demostraciones

A) Sen + Cos = 1Elevando al cuadrado:(Sen + Cos) = 1Sen4 + Cos4 +2 Sen + Cos = 1 Sen4+Cos4=12 Sen.Cos2

B) Sen + Cos = 1Elevando al cubo:(Sen + Cos)3 = 13Sen6 + Cos6 +3(Sen + Cos) (Sen + Cos)= 1

Sen6 + Cos6 +3(Sen + Cos) = 1 Sen6+Cos6=1-3(Sen.Cos)

C) Tan + Cot =

1Tan + Cot =Tan + Cot = Tan + Cot = Sec . Csc

D) Sec + Csc =

Sec + Csc =

Sec + Csc = Sec + Csc = Sec . Csc

E) (1+Sen + Cos) = 1+(Sen)+(Cos)+2Sen+2Cos+2Sen.Cos= 1+Sen + Cos + 2Sen.2cos + 2Sen.Cos= 2+2Sen + 2Cos + 2Sen.Cos

Agrupando convenientemente:= 2(1 + Sen) + 2Cos (1 + Sen)= (1 + Sen) (2 + 2Cos)= 2(1 + Sen) (1 + Cos)

(1 + Sen + Cos) = 2(1+Sen) (1+Cos)

4. PROBLEMAS PARA DEMOSTRARDemostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta son equivalentes, para lograr dicho objetivo se siguen los siguientes pasos:1. Se escoge el miembro ms complicado2. Se lleva a Senos y Cosenos (por lo general)3. Se utilizan las identidades fundamentales y las diferentes operaciones algebraicas.

Ejemplos:

1) Demostrar:Secx (1 Senx) Cscx = CotxSe escoge el 1 miembro:Secx (1-Senx) Cscx =Se lleva a senos y cosenos:

Se efecta: =

Cotx = Cotx

2) Demostrar:Secx + Tanx 1 1 + Secx Tanx = 2Tanx

Se escoge el 1 Miembro:Secx + Tanx 1 Secx Tanx + 1 =Secx + (Tanx 1) Secx (Tanx -1)=

Se efecta(Secx) (Tanx 1) =(1 + Tanx) (Tanx 2Tanx + 1) =1 + Tanx Tanx + 2Tanx 1 =

2Tanx = 2Tanx

5. PROBLEMAS PARA REDUCIR Y SIMPLIFICAREjemplos:

1) Reducir:K = Sen4x Cos4x + 2CosxPor diferencia de cuadrados

1

K = (Senx + Cosx) (Senx Cosx) + 2CosxK = Senx Cosx + 2CosxK = Senx + Cosx K = 1

2) Simplificar:E =

E = E = E = 06. PROBLEMAS CON CONDICINDada una o varias condiciones se pide hallar una relacin en trminos de dicha o dichas condiciones.

EjemploSi: Senx + Cosx = . Hallar: Senx . Cosx

ResolucinDel dato:(Senx + Cosx) =Senx + Cosx + 2Senx . Cosx =12Senx . Cosx = 12Senx . Cosx = Senx . Cosx =

7. PROBLEMAS PARA ELIMINACIN DE NGULOSLa idea central es eliminar todas las expresiones trigonomtricas, y que al final queden expresiones independientes de la variable.

Ejemplo:

Eliminar x, a partir de: Senx = aCosx = b

ResolucinDe Senx = a Senx = a SumamosCosx = b Cosx = b

Senx + Cosx = a + b

1 = a + b