I VETTORI. Se ti chiedo: Che età hai? con quanti numeri rispondi? (NUMERI, bada, non cifre)
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Transcript of I VETTORI. Se ti chiedo: Che età hai? con quanti numeri rispondi? (NUMERI, bada, non cifre)
I VETTORI
Se ti chiedo:
“Che età hai?”
con quanti numeri rispondi?(NUMERI, bada, non “cifre”)
E se ti chiedo:
“Che temperaturac’è nell’aula?”
con quanti numeri rispondi?
In tutti i casiè sufficiente
1 numero
In tutti i casiè sufficiente
1 numeroHo Ho 1414 anni anni
In tutti i casiè sufficiente
1 numeroHo Ho 1414 anni anni
Ci sono Ci sono 2222 gradi gradi
E se ti ordino:
“Spostati di 5 metri”
tu che cosa fai?
vai qui?
vai qui?
vai qui?
vai qui?
vai qui?
vai qui?
vai qui?
vai qui?
5 metri
SBAGLIATO!
Allora vai qui?
Allora vai qui?
Allora vai qui?
Allora vai qui?
Allora vai qui?
Allora vai qui?
Allora vai qui?
Allora vai qui?
5 metri
SBAGLIATO!
Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?
Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?
Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?
Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?
Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?
Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?
Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?
Evidentemente un solo numero non è sufficiente per darti tutte le informazioni che voglio!
Proviamo così:
55° 82°40°
55° 82°40°
Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse X
X
Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse X
X82°
X
vai qui?82°
X
vai qui?82°
X
vai qui?82°
X
vai qui?82°
X
vai qui?82°
X
vai qui?82°
X
vai qui?82°
X
vai qui?82°
X
vai qui?82°
5 metri
X
vai qui?82°
5 metri
SBAGLIATO!
X82°
5 metri
Sì: ancora sbagliato! Evidentemente nemmeno 2 numeri sono sufficienti a darti l’informazione giusta.
X82°
5 metri
Proviamo con una terza informazione
55° 82°40°
Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse X
X
55° 82°40°
Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X
X
82°
Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X
X
82°
Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X
X
82°
Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X
X
82°
Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X
X
82°
Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X
X
82°
Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X
X
Spostati di 5 metriin direzione 82° rispetto all’asse Xverso l’asse X
X
X
Bravo!Proprio lì, dovevi andare!
X
Bravo!Proprio lì, dovevi andare!
Occorrono quindi almeno 3 informazioniper comunicare in modo corretto
una grandezza come lo spostamento.
Occorrono quindi almeno 3 informazioniper comunicare in modo corretto
una grandezza come lo spostamento.
Più una quarta informazione,per dirti da dove devi partire.
I matematici hanno inventato uno strumentoproprio adatto a questo scopo:
il VETTORE
I matematici hanno inventato uno strumentoproprio adatto a questo scopo:
il VETTORE
Esso ha una intensità
(corrisponde alla sua lunghezza)
Esso ha una intensità
Esso ha una intensitàuna direzione
Esso ha una intensitàuna direzione
(corrisponde alla retta alla quale appartiene il segmento)
Esso ha una intensitàuna direzione
un verso
Esso ha una intensitàuna direzione
un verso
(corrisponde all’orientamento della freccia)
Esso ha una intensitàuna direzione
un versoed un punto di applicazione
Esso ha una intensitàuna direzione
un versoed un punto di applicazione
(corrisponde all’origine della freccia)
I VETTORI SI SOMMANO
Se ti dico:spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da Apoi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa fai?
X+A
Y +
Se ti dico:spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da Apoi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa fai?
X+A
Y +
2 metri B
Se ti dico:spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da Apoi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa fai?
X+A
Y +
2 metri B
C
3 metri
Il risultato di questa operazione è che:sei partito da A e sei arrivato in C
X+A
Y +
2 metri B
C
3 metri
Il risultato di questa operazione è che:sei partito da A e sei arrivato in C
come se fossi andato direttamente da A a C
X+A
Y +
2 metri B
C
3 metri
Il risultato di questa operazione è che:sei partito da A e sei arrivato in C
come se fossi andato direttamente da A a C
X+A
Y +
2 metri B
C
3 metri
Il risultato di questa operazione è che:sei partito da A e sei arrivato in C
come se fossi andato direttamente da A a C
X+A
Y +
B
C
S
S1
S2
In altre parole possiamo dire che il vettore S è la somma dei vettori S1 ed S2 .
S = S1 + S2
E se ti avessi detto:spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da Apoi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa avresti fatto?
X+A
Y +
E se ti avessi detto:spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da Apoi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa avresti fatto?
X+A
Y +B
3 metri
E se ti avessi detto:spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da Apoi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa avresti fatto?
X+A
Y +B
3 metri
2 metri
C
E se ti avessi detto:spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da Apoi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa avresti fatto?
X+A
Y +B
3 metri
2 metri
C
E se ti avessi detto:spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da Apoi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato.Tu che cosa avresti fatto?
X+A
Y +B
3 metri
2 metri
C Questo è lo stesso risultatodell’operazione precedente!
quindi:
S1 + S2 = S2 + S1
che è la proprietà commutativarispetto alla somma.
X+A
Y +
X+A
Y +
X+A
Y + C
X+A
Y + C
X+A
Y + C
X+A
Y + C
X+A
Y + C
Questo procedimento va sotto il nome diREGOLA DEL PARALLELOGRAMMAin quanto la risultante della somma di due vettori corrisponde alla diagonale di un parallelogrammo i cui lati sono gli stessi vettori
Vediamo un esempio
Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P
Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Come si procede
Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione
Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione
Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione
Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione
2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce”
Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione
2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce”
Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione
2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce”
Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione
2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce”
3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma
Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione
2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce”
3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma
S
Vediamo un esempioSommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione
2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce”
3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma
S
Il vettore S così ottenuto è la somma dei vettori V e P
Si può procedere anche in un altro modo
V
P
V
P
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena
Si può procedere anche in un altro modo
VP
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena
Si può procedere anche in un altro modo
VP
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena
2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
Si può procedere anche in un altro modo
VP
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena
2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
S
Si può procedere anche in un altro modo
Si può procedere anche in un altro modoCome si vede il risultato è identico alprecedente
VP
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena
2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
S
Si può procedere anche in un altro modoCome si vede il risultato è identico alprecedente
VP
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena
2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
S
V
P
S
Questo procedimento si chiama:“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti
VP
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena
2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
S
Questo procedimento si chiama:“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena
2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
Questo procedimento si chiama:“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena
2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
Questo procedimento si chiama:“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena
2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
Questo procedimento si chiama:“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena
2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo
Questo procedimento si chiama:“poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti
Come si procede
1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena
2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimoS
I VETTORI SI SOTTRAGGONO
Basta considerare che:
Basta considerare che:+V
Basta considerare che:+V
-V
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A - B
AB
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B)
AB
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B)
A- B
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B)
A
- B
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B)
A
- B
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B)
A
- B
S
I VETTORI SI SCOMPONGONO
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
50
+
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
50
+QUANTE SOLUZIONI CI SONO?
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
50
+
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
50
+
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
30 20
50
+
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
12 38
50
+
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
100 -50
50
+
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
0 50
50
+CI SONO INFINITE SOLUZIONI
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
PROBLEMA 2
SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
E CHE UNO DEI DUE SIA 40
50
+
50
+40 10
PROBLEMA 2
SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
E CHE UNO DEI DUE SIA 40
50
+40 101 SOLA SOLUZIONE!
PROBLEMA 2
SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA
E CHE UNO DEI DUE SIA 40
PROBLEMA 3
SCOMPORRE UN VETTOREIN DUE VETTORI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA
a
a
a
a
aANCHE QUI CI SONO INFINITE SOLUZIONI
PROBLEMA 4
SCOMPORRE UN VETTOREIN DUE VETTORI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA
E CHE LE LORO DIREZIONI SIANO NOTE
a
[1]
[2]
a
[1]
[2]
IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLA SOLUZIONE
a
[1]
[2]
IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLA SOLUZIONE
VEDIAMO COME SI PROCEDE
a
[1]
[2]
a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta”del vettore a
a
[1]
[2]
a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta”del vettore a
a
[1]
[2]
b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta”del vettore a
a
[1]
[2]
b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta”del vettore a
a
[1]
[2]
In questo modo si costruisce un parallelogrammai cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2]
e la cui diagonale è a
a
[1]
[2]
In questo modo si costruisce un parallelogrammai cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2]
e la cui diagonale è a
a
[1]
[2]
Per cui questi sono i vettori componenti
a
[1]
[2]
Per cui questi sono i vettori componenti
a2
a1
ESERCIZIO
NEL DESERTO,UN TIZIO PARTE DAL PUNTO A E PERCORRE 30 KM
VERSO NORD
A
NEL DESERTO,UN TIZIO PARTE DAL PUNTO A E PERCORRE 30 KM
VERSO NORD
30 Km
A
B
UN SUO AMICO, PARTENDO
SEMPRE DA A, SI MUOVE PRIMA IN
DIREZIONE NORD-EST,
POI ,ESSENDOSI ACCORTO DI
AVER SBAGLIATO STRADA,
IN DIREZIONE NORD-OVEST
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
B
QUANDO I DUE SI INCONTRANO, IN B, QUANTA STRADA HA PERCORSO
L’AMICO?
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
B
SOLUZIONE
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
30 Km
A
NE
N
O
S
E
NENO
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
NE
NO
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
NE
NO
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
NE
NO
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
NE
NO
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
NE
NO
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
NE
NO
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
NE
NO
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
NE
NO
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
NE
NO
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
NE
NO
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
NE
NO
30 Km
A
N
O
S
E
NENO
NE
NO
30 Km
A
NO
N
O
S
E
NENO
NE
l
30 Km
A
NO
N
O
S
E
NENO
NE
Poiché è 90°, e è 45°,
questa è la metà di un quadrato
l
30 Km
A
NO
N
O
S
E
NENO
NE
Poiché è 90°, e è 45°,
questa è la metà di un quadrato
Per il teorema di Pitagora:
l2 + l2 = 302l
30 Km
A
NO
N
O
S
E
NENO
NE
Poiché è 90°, e è 45°,
questa è la metà di un quadrato
Per il teorema di Pitagora:
l2 + l2 = 302
2l2 = 900
l
30 Km
A
NO
N
O
S
E
NENO
NE
Poiché è 90°, e è 45°,
questa è la metà di un quadrato
Per il teorema di Pitagora:
l2 + l2 = 302
2l2 = 900
l2 = 450
l
30 Km
A
NO
N
O
S
E
NENO
NE
Poiché è 90°, e è 45°,
questa è la metà di un quadrato
Per il teorema di Pitagora:
l2 + l2 = 302
2l2 = 900
l2 = 450
l ~ 21,21 Km
l
30 Km
A
NO
N
O
S
E
NENO
NE
Poiché è 90°, e è 45°,
questa è la metà di un quadrato
Per il teorema di Pitagora:
l2 + l2 = 302
2l2 = 900
l2 = 450
l ~ 21,21 Km
l
L’amico percorre in tutto circa 42,4 Km
fine