I. Tìm nguyên hàm bng định nghĩa và các tính ch...

1

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất

1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.

1. f(x) = x2 – 3x +

x

1 ĐS. F(x) = Cx

xx ln

2

3

3

23

2. f(x) = 2

4 32

x

x ĐS. F(x) = C

x

x

3

3

2 3

3. f(x) = 2

1

x

x ĐS. F(x) = lnx +

x

1 + C

4. f(x) = 2

22 )1(

x

x ĐS. F(x) = C

xx

x

12

3

3

5. f(x) = 43 xxx ĐS. F(x) = Cxxx

5

4

4

3

3

2 4

5

3

4

2

3

6. f(x) = 3

21

xx ĐS. F(x) = Cxx 3 232

7. f(x) = x

x 2)1( ĐS. F(x) = Cxxx ln4

8. f(x) = 3

1

x

x ĐS. F(x) = Cxx 3

2

3

5

9. f(x) = 2

sin2 2 x ĐS. F(x) = x – sinx + C

10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C

11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = Cxx 2sin

4

1

2

1

12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C

13. f(x) = xx 22 cos.sin

1 ĐS. F(x) = tanx - cotx + C

14. f(x) = xx

x22 cos.sin

2cos ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C

15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = Cx 3cos3

1

16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = Cxx cos5cos5

1

17. f(x) = ex(e

x – 1) ĐS. F(x) = Cee xx 2

2

1

18. f(x) = ex(2 + )

cos 2 x

e x

ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C

19. f(x) = 2ax + 3

x ĐS. F(x) = C

a

a xx

3ln

3

ln

2

20. f(x) = e3x+1

ĐS. F(x) = Ce x 13

3

1

2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng

1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3

2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 1

32

3

x

x

3. f’(x) = 4 xx và f(4) = 0 ĐS. f(x) = 3

40

23

8 2

xxx

2

4. f’(x) = x - 21

2

x và f(1) = 2 ĐS. f(x) =

2

32

1

2

2

xx

x

5. f’(x) = 4x3 – 3x

2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x

4 – x

3 + 2x + 3

6. f’(x) = ax + 2)1(,4)1(,0)1(',2

fffx

b ĐS. f(x) =

2

51

2

2

x

x

II. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1.Phƣơng pháp đổi biến số. Tính I = dxxuxuf )(')].([ bằng cách đặt t = u(x)

Đặt t = u(x) dxxudt )('

I = dttfdxxuxuf )()(')].([

BÀI TẬP

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1. dxx )15( 2. 5)23( x

dx 3. dxx 25 4.

12x

dx

5. xdxx 72 )12( 6. dxxx 243 )5( 7. xdxx .12

8. dx

x

x

52

9.

dxx

x

3

2

25

3 10.

2)1( xx

dx 11. dx

x

x

3ln 12.

dxex x 12

.

13. xdxxcossin 4 14. dxx

x5cos

sin 15. gxdxcot 16. x

tgxdx2cos

17. x

dx

sin 18. x

dx

cos 19. tgxdx 20. dx

x

e x

21. 3x

x

e

dxe 22. dx

x

e tgx

2cos 23. dxx .1 2 24.

24 x

dx

25. dxxx .1 22 26. 21 x

dx 27.

2

2

1 x

dxx 28. 12 xx

dx

29. xdxx 23 sincos 30. dxxx .1 31. 1xe

dx 32. dxxx .123

2. Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(

Hay

vduuvudv ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1. xdxx sin. 2. xdxxcos 3. xdxx sin)5( 2 4. xdxxx cos)32( 2

5. xdxx 2sin 6. xdxx 2cos 7. dxex x. 8. xdxln

9. xdxx ln 10. dxx2ln 11.

x

xdxln 12. dxe x

13. dxx

x2cos

14. xdxxtg 2 15. dxxsin 16. dxx )1ln( 2

17. xdxe x cos. 18. dxex x23 19. dxxx )1ln( 2 20. xdxx2

21. xdxx lg 22. dxxx )1ln(2 23.

dxx

x2

)1ln( 24. xdxx 2cos2

3

TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:

1.1

3

0

( 1)x x dx 2. 2

2

1

1 1( )

e

x x dxx x

2.

3

1

2x dx 3.

2

1

1x dx

4.

2

3

(2sin 3 )x cosx x dx

5.

1

0

( )xe x dx 6.

1

3

0

( )x x x dx 7.

2

1

( 1)( 1)x x x dx

8. 2

3

1(3sin 2 )x cosx dx

x

9.

1

2

0

( 1)xe x dx 10.

2

2 3

1

( )x x x x dx

11.

2

1

( 1)( 1)x x x dx 12.

3

3

1

x 1 dx( ).

13. 2

2

2

-1

x.dx

x 14.

2e

1

7x 2 x 5dx

x

15.x 2

5

2

dx

x 2 16.

2

2

1

x 1 dx

x x x

( ).

ln

17. 2 3

3

6

x dx

x

cos .

sin

18. 4

2

0

tgx dx

x

.

cos

19.

1 x x

x x

0

e e

e edx

20.

1 x

x x0

e dx

e e

.

21.

2

21

dx

4x 8x 22.

3

x x

0

dx

e e

ln.

23. 2

0

dx

1 xsin

24.

1

1

2 )12( dxxx 25.

2

0

3 )3

22( dxxx 26.

2

2

)3( dxxx

27.

4

3

2 )4( dxx 28. dxxx

2

1

32

11 29.

2

1

3

2 2dx

x

xx 30.

e

e

x

dx

1

1

31. 16

1

.dxx 32. dxx

xxe

2

1

752 33. dx

xx

8

13 23

14

II. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:

1.

23 2

3

sin xcos xdx

2.

22 3

3

sin xcos xdx

3.

2

0

sin

1 3

xdx

cosx

4.

4

0

tgxdx

4.

4

6

cot gxdx

5.

6

0

1 4sin xcosxdx

6.

1

2

0

1x x dx 7.

1

2

0

1x x dx

8.

1

3 2

0

1x x dx 9.

1 2

30 1

xdx

x 10.

1

3 2

0

1x x dx 11.

2

31

1

1dx

x x

12.

1

2

0

1

1dx

x 13.

1

2

1

1

2 2dx

x x

14.

1

20

1

1dx

x 15.

1

2 2

0

1

(1 3 )dx

x

16. 2

sin

4

xe cosxdx

17.

2

4

sincosxe xdx

18.

23 2

3

sin xcos xdx

19.

21

2

0

xe xdx

4

20.

2sin

4

xe cosxdx

21.

2

4

sincosxe xdx

22.

21

2

0

xe xdx

23.2

3 2

3

sin xcos xdx

24. 2

2 3

3

sin xcos xdx

25.

2

0

sin

1 3

xdx

cosx

26.

4

0

tgxdx

27. 4

6

cot gxdx

28. 6

0

1 4sin xcosxdx

29.

1

2

0

1x x dx 30.

1

2

0

1x x dx 31.

1

3 2

0

1x x dx

32.

1 2

30 1

xdx

x 33.

1

3 2

0

1x x dx 34.

2

31

1

1dx

x x 35.

1

1 lne

xdx

x

36.

1

sin(ln )e

xdx

x 37.

1

1 3ln lne

x xdx

x

38.

2ln 1

1

e xedx

x

39.

221 ln

ln

e

e

xdx

x x

40.

2

2

1

(1 ln )

e

e

dxcos x 41.

2

1 1 1

xdx

x 42.

1

0 2 1

xdx

x 43.

1

0

1x x dx

44.

1

0

1

1dx

x x 45.

1

0

1

1dx

x x 46.

3

1

1xdx

x

46.

1

1 lne

xdx

x

47.

1

sin(ln )e

xdx

x 48.

1

1 3ln lne

x xdx

x

49.

2ln 1

1

e xedx

x

50.

221 ln

ln

e

e

xdx

x x

51.

2

2

1

(1 ln )

e

e

dxcos x 52.

1

2 3

0

5x x dx 53. 2

4

0

sin 1 cosx xdx

126.

32

52 4xx

dx

54.

4

2

0

4 x dx 55.

4

2

0

4 x dx 56.

1

2

01

dx

x 57. dxe x

0

1

32

58.

1

0

dxe x 59. 1

3

0

xdx

(2x 1) 60.1

0

xdx

2x 1 61.

1

0

x 1 xdx

62. 1

2

0

4x 11dx

x 5x 6

63. 1

2

0

2x 5dx

x 4x 4

64.3 3

2

0

xdx

x 2x 1 65.6

6 6

0

(sin x cos x)dx

66.32

0

4sin xdx

1 cosx

67.

4

2

0

1 sin2xdx

cos x

68.

2

4

0

cos 2xdx

69.2

6

1 sin 2x cos2xdx

sin x cosx

70.1

x

0

1dx

e 1 . 71. dxxx )sin(cos4

0

44

72.

4

0 2sin21

2cos

dxx

x 73.

2

0 13cos2

3sin

dxx

x

74.

2

0 sin25

cos

dxx

x 75.

0

2

2

2 2

2 3

xdx

x x

76.1

2

12 5

dx

x x

77. 2

3 2

0

cos xsin xdx

78.2

5

0

cos xdx

79. 4

2

0

sin4xdx

1 cos x

80.

1

3 2

0

x 1 x dx 81. 2

2 3

0

sin2x(1 sin x) dx

5

82. 4

4

0

1dx

cos x

83. e

1

1 lnxdx

x

84.

4

0

1dx

cosx

85.e 2

1

1 ln xdx

x

86.1

5 3 6

0

x (1 x ) dx 87. 6

2

0

cosxdx

6 5sin x sin x

88.3 4

0

tg xdx

cos2x 89.

4

0

cos sin

3 sin 2

x xdx

x

90.

2

022 sin4cos

2sin

dxxx

x 91.

5ln

3ln 32 xx ee

dx 92.

2

02)sin2(

2sin

dxx

x 93.

3

4

2sin

)ln(

dxx

tgx

94. 4

0

8 )1(

dxxtg 95.

2

4

2sin1

cossin

dxx

xx 96.

2

0 cos31

sin2sin

dxx

xx 97.

2

0 cos1

cos2sin

dxx

xx

98. 2

0

sin cos)cos(

xdxxe x 99.

2

1 11dx

x

x 100.

e

dxx

xx

1

lnln31 101.

4

0

2

2sin1

sin21

dxx

x

102. 1

2

0

1 x dx 103.1

2

0

1dx

1 x 104.

1

2

0

1dx

4 x 105.

1

2

0

1dx

x x 1

106.1

4 2

0

xdx

x x 1 107.2

0

1

1 cos sin

dx

x x

108.

2

22

2

0

xdx

1 x 109.

2

2 2

1

x 4 x dx

110.

2

3

2

2

1dx

x x 1 111.

3 2

2

1

9 3xdx

x

112.

1

5

0

1

(1 )

xdx

x

113.

2

2

2

3

1

1

dx

x x

114. 2

0

cos

7 cos2

xdx

x

115.

1 4

6

0

1

1

xdx

x

116.

2

0

cos

1 cos

xdx

x

117.

0

12 22xx

dx

118.

1

0 311 x

dx 119.

2

1 5

1dx

x

xx 120.

8

2

3

1

1

dx

x x 121.

7 3

3 2

0 1

xdx

x

122. 3

5 2

0

1x x dx 123. ln2

x

0

1dx

e 2 124.

7

3

3

0

1

3 1

xdx

x

125.

2

2 3

0

1x x dx

II. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )

b bb

a

a a

x d u x v x v x u x dx

@ D ng 1

sin

( )

ax

ax

f x cosax dx

e

Đặt

( ) '( )

sin sin

cos

ax ax

u f x du f x dx

ax ax

dv ax dx v cosax dx

e e

@ D ng 2: ( ) ln( )f x ax dx

Đặt ln( )

( )( )

dxduu ax

xdv f x dx

v f x dx

6

@ D ng 3: sin

.

ax

axe dx

cosax

Đặt

ax ax

sin sin

cos

u e du ae dx

ax axdv dx v dx

ax cosax

í dụ 1: tính các tích phân sau

a/

1 2

2

0( 1)

xx edx

x đặt

2

2( 1)

xu x e

dxdv

x

b/

3 8

4 3

2( 1)

x dx

x đặt

5

3

4 3( 1)

u x

x dxdv

x

c/

1 1 1 12 2 2

1 22 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

1

(1 ) (1 ) 1 (1 )

dx x x dx x dxdx I I

x x x x

ính I1

1

2

01

dx

x

bằng ph ng pháp đ i biến số

ính I2 =

1 2

2 2

0(1 )

x dx

x bằng ph ng pháp từng phần : đặt 2 2(1 )

u x

xdv dx

x

Bài tập

1.

3

3

1

lne

xdx

x 2. 1

ln

e

x xdx 3.

1

2

0

ln( 1)x x dx 4. 2

1

ln

e

x xdx

5.

3

3

1

lne

xdx

x 6. 1

ln

e

x xdx 7.

1

2

0

ln( 1)x x dx 8. 2

1

ln

e

x xdx

9.

2

0

( osx)s inxx c dx

10. 1

1( ) ln

e

x xdxx

11.

2

2

1

ln( )x x dx 12.

32

4

tanx xdx

13.

2

5

1

ln xdx

x 14.

2

0

cosx xdx

15.

1

0

xxe dx 16.

2

0

cosxe xdx

Tính các tích phân sau

1) 1

0

3. dxex x 2) 2

0

cos)1(

xdxx 3) 6

0

3sin)2(

xdxx 4) 2

0

2sin.

xdxx

5) e

xdxx1

ln 6)

e

dxxx1

2 .ln).1( 7) 3

1

.ln.4 dxxx 8)

1

0

2 ).3ln(. dxxx

9)

2

1

2 .).1( dxex x 10)

0

.cos. dxxx 11) 2

0

2 .cos.

dxxx 12) 2

0

2 .sin).2(

dxxxx

13)2

5

1

ln xdx

x 14)

2

2

0

xcos xdx

15) 1

x

0

e sinxdx 16)

2

0

sin xdx

7

17) e

2

1

x ln xdx 18) 3

2

0

x sinxdx

cos x

19) 2

0

xsin x cos xdx

20)4

2

0

x(2 cos x 1)dx

21) 2

2

1

ln(1 x)dx

x

22)

1

2 2x

0

(x 1) e dx 23) e

2

1

(x ln x) dx 24)2

0

cosx.ln(1 cosx)dx

25) 2

1

ln

( 1)

e

e

xdx

x 26) 1

2

0

xtg xdx 27) 1

0

2)2( dxex x 28) 1

0

2 )1ln( dxxx

29) e

dxx

x

1

ln 30)

2

0

3 sin)cos(

xdxxx 31) 2

0

)1ln()72( dxxx 32) 3

2

2 )ln( dxxx

III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:

1.

5

3

2 23

12dx

xx

x 2.

b

a

dxbxax ))((

1 3.

1

0

3

1

1dx

x

xx 4. dx

x

xx

1

0

2

3

1

1

5.

1

0

3

2

)13(dx

x

x 6.

1

0

22 )3()2(

1dx

xx 7.

2

1

2008

2008

)1(

1dx

xx

x 8.

0

1

2

23

23

9962dx

xx

xxx

9.

3

2

22

4

)1(dx

x

x 10.

1

0

2

32

)1(dx

x

xn

n

11.

2

1

24

2

)23(

3dx

xxx

x 12.

2

1

4 )1(

1dx

xx

13.

2

0

24

1dx

x 14.

1

0

41dx

x

x 15. dx

xx

2

0

2 22

1 16.

1

0

32 )1(dx

x

x

17.

4

2

23 2

1dx

xxx 18.

3

2

3

2

23

333dx

xx

xx 19.

2

1

4

2

1

1dx

x

x 20.

1

0

31

1dx

x

21.

1

0

6

456

1

2dx

x

xxx 22.

1

0

2

4

1

2dx

x

x 23.

1

0

6

4

1

1dx

x

x

24.

1

2

0

4 11

5 6

xdx

x x

25.

1

2

01

dx

x x 26.

3

21

2dx

x

x 27. dx

x

x

1

0

31

22 28.

0

1

1212

2dxx

x

x

29. dxxx

x

2

0

12

13 30. dx

x

xx

1

0

2

3

32 31. dxx

x

xx

0

1

2

121

1

32. dxxx

xx

1

0

2

11

22 33.

1

0

2 34xx

dx

IV. TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC:

1. xdxx 42

0

2 cossin

2. 2

0

32 cossin

xdxx 3. dxxx2

0

54 cossin

4. 2

0

33 )cos(sin

dxx

5. 2

0

44 )cos(sin2cos

dxxxx 6. 2

0

22 )coscossinsin2(

dxxxxx 7. 2

3

sin

1

dxx

8. 2

0

441010 )sincoscos(sin

dxxxxx 9.

2

0cos2

x

dx 10.

2

0sin2

1

dxx

8

11.

2

0

2

3

cos1

sin

dxx

x 12.

3

6

4 cos.sin

xx

dx 13.

4

0

22 coscossin2sin

xxxx

dx 14.

2

0cos1

cos

dxx

x

15.

2

0cos2

cos

dxx

x 16.

2

0sin2

sin

dxx

x 17.

2

0

3

cos1

cos

dxx

x 18.

2

01cossin

1

dxxx

19.

2

3

2)cos1(

cos

x

xdx 20.

2

2

3cos2sin

1cossin

dxxx

xx 21.

4

0

3

xdxtg 22. dxxg4

6

3cot

23. 3

4

4

xdxtg 24.

4

01

1

dxtgx

25.

4

0 )4

cos(cos

xx

dx26.

2

05cos5sin4

6cos7sin

dxxx

xx

27.

2

0

sin1 dxx 28.

4

0 13cos3sin2

xx

dx 29.

4

0

4

3

cos1

sin4

dxx

x 30.

2

0cossin

2sin2cos1

dxxx

xx

31.

2

0cos1

3sin

dxx

x 32.

2

4

sin2sin

xx

dx 33.

4

0

2

3

cos

sin

dxx

x 34.

2

0

32 )sin1(2sin

dxxx

35.

0

sincos dxxx 36. 3

4

3

3 3

sin

sinsin

dxxtgx

xx 37.

2

0cossin1

xx

dx 38.

2

01sin2

x

dx

39. 2

4

53 sincos

xdxx 40.

4

0

2cos1

4sin

x

xdx 41.

2

03sin5

x

dx 2.

6

6

4 cossin

xx

dx

43.

3

6)

6sin(sin

xx

dx 44.

3

4)

4cos(sin

xx

dx 45.

3

4

6

2

cos

sin

x

xdx 46. dxxtgxtg )

6(

3

6

47.

3

0

3)cos(sin

sin4

xx

xdx 48.

0

2

2)sin2(

2sin

x

x 49.

2

0

3sin

dxx 50. 2

0

2 cos

xdxx

51.

2

0

12.2sin

dxex x 52. dxe

x

x x

2

0cos1

sin1

53.

4

6

2cot

4sin3sin

dxxgtgx

xx 54.

2

0

2 6sin5sin

2sin

xx

xdx

55. 2

1

)cos(ln dxx 56. 3

6

2cos

)ln(sin

dxx

x 57. dxxx

2

0

2cos)12(

58.

0

2cossin xdxxx

59. 4

0

2

xdxxtg 60.

0

22 sin xdxe x 61.

2

0

3sin cossin2

xdxxe x 62. 4

0

)1ln(

dxtgx

9

63.

4

0

2)cos2(sin

xx

dx 64.

2

0

2 )cos2)(sin1(

cos)sin1(

dxxx

xx 65.

2

2

sin 2 sin 7

x xdx

66.

2

4 4

0

cos (sin cos ) x x x dx

67.

23

0

4sin

1 cosx

dxx

68.

2

2

3cos.5cos

xdxx

69.

2

2

2sin.7sin

xdxx 70. 4

0

cos2

sin

xdxx

71. 4

0

2sin

xdx

V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:

b

a

dxxfxR ))(,( Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:

+) R(x, xa

xa

) §Æt x = a cos2t, t ]

2;0[

+) R(x, 22 xa ) §Æt x = ta sin hoÆc x = ta cos

+) R(x, n

dcx

bax

) §Æt t = n

dcx

bax

+) R(x, f(x)) = xxbax 2)(

1 Víi ( xx2 )’ = k(ax+b)

Khi ®ã ®Æt t = xx2 , hoÆc ®Æt t = bax

1

+) R(x, 22 xa ) §Æt x = tgta , t ]2

;2

[

+) R(x, 22 ax ) §Æt x = x

a

cos, t }

2{\];0[

+) R 1 2 in n nx x x; ;...; Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni)

§Æt x = tk Bài tập vận dụng

1.

32

52 4xx

dx 2.

2

3

22 1xx

dx 3.

2

1

2

12 5124)32( xxx

dx 4.

2

13 1xx

dx

5.

2

1

2 2008dxx 6.

2

12 2008x

dx 7.

1

0

22 1 dxxx 8.

1

0

32 )1( dxx

9.

3

122

2

1

1dx

xx

x 10.

2

2

01

1dx

x

x 11.

1

032 )1( x

dx 12.

2

2

032 )1( x

dx

13.

1

0

21 dxx 14.

2

2

02

2

1 x

dxx 15.

2

0 2cos7

cos

x

xdx 16.

2

0

2coscossin

dxxxx

10

17.

2

02cos2

cos

x

xdx 18.

2

0 cos31

sin2sin

dxx

xx 19.

7

03 2

3

1 x

dxx 20.

3

0

23 10 dxxx

21.

1

0 12x

xdx 22.

1

02

3

1xx

dxx 23.

7

2 112x

dx 24. dxxx

1

0

815 31

25. 2

0

56 3 cossincos1

xdxxx 26.

3ln

0 1xe

dx27.

1

12 11 xx

dx 28.

2ln

0

2

1x

x

e

dxe

29.

1

4

5

2 8412 dxxx 30.

e

dxx

xx

1

lnln31 31. dxxxx

4

0

23 2 32.

3

02

35

1dx

x

xx

33.

0

1

32 )1( dxxex x 34.

3ln

2ln

2

1ln

lndx

xx

x 35.

3

0

2

2

cos

32cos

2cos

dxx

tgxx

x

36.

2ln

03)1( x

x

e

dxe

37.

3

0 2cos2

cos

x

xdx 38.

2

02cos1

cos

x

xdx 39. dx

x

x

7

03 3

2 40.

a

dxax

2

0

22

VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã:

aa

a

dxxfxfdxxf0

)]()([)(

VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [-2

3;

2

3 ] tháa m·n f(x) + f(-x) = x2cos22 ,

TÝnh:

2

3

2

3

)(

dxxf

+) TÝnh

1

1

2

4

1

sindx

x

xx

Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã:

a

a

dxxf )( = 0.

VÝ dô: TÝnh:

1

1

2 )1ln( dxxx

2

2

2 )1ln(cos

dxxxx

Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:

a

a

dxxf )( = 2 a

dxxf0

)(

VÝ dô: TÝnh

1

1

24 1xx

dxx

2

2

2

cos

4 sin

x x

dxx

Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:

aa

a

xdxxfdx

b

xf

0

)(1

)(

(1 b>0, a)

11

VÝ dô: TÝnh:

3

3

2

21

1dx

xx

2

2

1

5cos3sinsin

dxe

xxxx

Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; 2

], th×

2

0

2

0

)(cos)(sin

dxxfxf

VÝ dô: TÝnh

2

0

20092009

2009

cossin

sin

dxxx

x

2

0 cossin

sin

dxxx

x

Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã:

00

)(sin2

)(sin dxxfdxxxf

VÝ dô: TÝnh

0sin1

dxx

x

0cos2

sindx

x

xx

Bµi to¸n 6:

b

a

b

a

dxxfdxxbaf )()(

bb

dxxfdxxbf00

)()(

VÝ dô: TÝnh

0

2cos1

sindx

x

xx

4

0

)1ln(4sin

dxtgxx

Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×:

TTa

a

dxxfdxxf0

)()(

TnT

dxxfndxxf00

)()(

VÝ dô: TÝnh

2008

0

2cos1 dxx

C¸c bµi tËp ¸p dông:

1.

1

1

2

21

1dx

xx

2.

4

4

4

357

cos

1

dxx

xxxx 3.

1

1

2 )1)(1( xe

dxx

4.

2

2

2sin4

cos

dxx

xx 5.

2

1

2

1

)1

1ln(2cos dx

x

xx 6. dxnx)xsin(sin

2

0

7.

2

2

5

cos1

sin

dxx

x 8. 1

)1(1

cot

12

12

ga

e

tga

e

xx

dx

x

xdx (tana>0)

VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

1.

3

3

2 1dxx 2.

2

0

2 34 dxxx 3.

1

0

dxmxx 4.

2

2

sin

dxx

5.

dxxsin1 6. 3

6

22 2cot

dxxgxtg 7. 4

3

4

2sin

dxx 8.

2

0

cos1 dxx

12

9.

5

2

)22( dxxx 10.

3

0

42 dxx 11.

3

2

3coscoscos

dxxxx

12.4

2

1

x 3x 2dx

13. 5

3

( x 2 x 2 )dx

14. 2

2

2

1

2

1x 2dx

x

5. 3

x

0

2 4dx 16. 0

1 cos2xdx

17. 2

0

1 sin xdx

18. dxxx 2

0

2

VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Ví dụ 1 : ính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1

, trục hoành , đ ờng thẳng x = -2 và đ ờng thẳng x = 1

b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đ ờng thẳng x = 0 và đ ờng thẳng x = 1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đ ờng thẳng x = -2 và đ ờng thẳng x = 4

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đ ờng thẳng x = 2

Ví dụ 2 : ính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1

, trục hoành , đ ờng thẳng x = -2 và đ ờng thẳng x = 1

b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đ ờng thẳng x = 0 và đ ờng thẳng x = 1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đ ờng thẳng x = -2 và đ ờng thẳng x = 4

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đ ờng thẳng x = 2

Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt Bµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x b»ng nhau

Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi

0

1

3

y

xo

xx

y

Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau

Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn

Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi

4

2

4

22

1

1

32

a

axay

a

aaxxy

T×m a ®Ó diÖn

tÝch lín nhÊt

Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:

1) (H1):

2

2

xy 4

4

xy

4 2

2) (H2) : 2

y x 4x 3

y x 3

3) (H3):

3x 1y

x 1

y 0

x 0

4) (H4):2

2

y x

x y

5) (H5):

2

y x

y 2 x

6) (H6):2

y x 5 0

x y 3 0

13

7) (H7):

ln xy

2 x

y 0

x e

x 1

8) (H8) : 2

2

y x 2x

y x 4x

9) (H9):

23 3

y x x

2 2

y x

10) (H10):2

y 2y x 0

x y 0

11)

)(

2:)(

:)(

Ox

xyd

xyC

12)

1:)(

2:)(

:)(

x

yd

eyC x

13)

1

122

xy

xy 14)

03

4

2

2

yx

xy 15)

0

02

y

yx

xy

16

2

2

1

1

2

xy

xy

17

3,0,

22

yyxy

xy 18)

exe

x

yxy

,1

0,ln

19.

3;

6

cos

1;

sin

122

xx

xy

xy

20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)

21)

114

42

542

xy

xy

xxy

22)

153

34

56

2

2

xy

xxy

xxy

23)

ex

y

xy

xy

0

1

24)

5//

/1/ 2

xy

xy 25)

xy

xy

2

3

26)

0

2//3 2

y

xxy

27)

xy

xy

4

22

28)

1

54

22

2

2

y

xxy

xxy

29)

7

/1/

2

2

xy

xy

30)

1;2

0

3

xx

y

xy

31)

xx

y

xxy

;0

3

cos2sin

32)

0

23

y

xxy

33)

2

22

xy

xxy 34)

4;0

63

22

2

2

xx

xxy

xxy

35)

6

/65/ 2

y

xxy

36)

2

12

2

2

2

y

xxy

xy

37)

2

/23/ 2

y

xxy

38)

1

/65/ 2

xy

xxy 39)

2

2 /23/

xy

xxy 40)

3

/34/ 2

y

xxy

14

41)

1x

ey

ey

x

Ï

42)

1;0

62

2

xx

xx

xy

43)

//

/sin/

xy

xy

44)

8

44

2

2

2

y

xxy

xy

45)

0

0122

22

y

yx

xy

46)

0

)( 2222

a

xaxy

47)

yx

xy

sin

)1( 2

48)

2

/1/2

x

xy 49)

2

/1/ 2

x

yx

32)

0

sin

)1( 2

x

xy

yx

33)

24

44

2

2

xy

xy

34)

0;1

2

1

;0

4y

x

xy

x

x

35)

xyx

y

y x

3;0

0

5 2

36)

16

6

22

2

yx

xy 37)

xy

xy

xy

27

27

2

2

38)

xy

xy

4

)4(

2

32

39)

10,10

1

0

/log/

xx

y

xy

40)

2

2

xay

yax (a>0) 41)

x

xxy

xy

0

sin 2 42)

22

2

)1(827

2

xy

xy

43) x2/25+y2/9 = 1 vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 vµ ®iÓm A(2;5) ®êng th¼ng (d) ®i qua A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt

45)

0

342 23

y

xxxy

TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY

Công thức:

dxxfVb

a

2

)( dyyfVb

a

2

)(

a b0y

)(:)( xfyC

b

ax

bx

x

y

O

b

ax

y

0x

O

)(:)( yfxC

by

ay

15

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đ ờng : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng : y x;y 2 x;y 0

ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đ ờng : 2

y (x 2) và y = 4

ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên do D quay quanh:

a) rục Ox

b) rục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đ ờng : 2 2

4 ; 2y x y x .


Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng : 2

2

1;

1 2

xy y

x


Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = 2x2 và y = 2x + 4


Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = y2 = 4x và y = x


Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = 22

1

.

x

ex ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2


Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e


Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đ ờng y = x )1ln( 3x ; y = 0 ; x = 1


1)

4

)2( 2

y

xy quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

2)

4

4, 22

y

xyxy quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

3)

1,0,0

1

12

xxy

xy

quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

4)

0

2 2

y

xxy quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

5)

exx

y

xxy

;1

0

ln.

quay quanh trôc a) 0x;

6)

1

103

)0(2

y

xy

xxy

quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2

7)

xy

xy 2

quay quanh trôc a) 0x;

8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

16

9) MiÒn trong (E): 149

22

yx


10)

10;,1

0

xx

y

xey Ï

quay quanh trôc 0x;

11)

xx

y

xxy

;2

0

sincos 44


12)

xy

xy

310

2


13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

14)

2;0

4

4

xx

xy quay quanh trôc 0x;

15)

0;0

2

1

yx

y

xy


I. Tìm nguyên hàm bng định nghĩa và các tính ch...

Documents

Transcript of I. Tìm nguyên hàm bng định nghĩa và các tính ch...