I. Tích phân b t ñ nh - AGU Staff Zone fileTích phân b ất ñịnh: Cho F x( ) là m ột...

31

Ch��ng 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

I. Tích phân b�t ñ�nh:

I.1. Nguyên hàm: Cho hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên ( ),a b . Ta gọi hàm ( )F x là

nguyên hàm của ( )f x nếu ( ) ( ) ( ), ,F x f x x a b′ = ∀ ∈ .

I.2. Tích phân bất ñịnh: Cho ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )y f x= xác

ñịnh trên ( ),a b . Khi ñó biểu thức ( )F x C+ (C là hằng số) cũng là nguyên hàm

của hàm số ( )y f x= và ñược gọi là tích phân bất ñịnh của hàm số ( )f x trên

( ),a b , kí hiệu:

( ) ( )f x dx F x C= +∫

I.3. Tính chất:

(i) ( ) ( ) ( )dF x F x dx F x C′= = +∫ ∫ ;

(ii) ( ) ( ) , ;f x dx f x dx Cα α α= + ∈∫ ∫ ℝ

(iii) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫

I.4. Tích phân một số hàm sơ cấp: 1 , ;dx x Cα α α= + ∈∫ ℝ

2 ln ;

dxx C

x= +∫

3 1

, 1;1

p

p xx dx C p

p

+

= + ≠ −+∫

4 ; ;

ln

x

x x xaa dx C e dx e C

a= + = +∫ ∫

5 sin cosxdx x C= − +∫

6 cos sinx dx x C= +∫

7

2cos

dxtgx C

x= +∫

8

2cot

sin

dxgx C

x= − +∫

9 2 2

arcsin

arccos ,

dx xC

aa xxC a

a

= +−

= − + >

∫

( 0)

32

10 2 2

1arctan

1arccot , 0

dx xC

a x a a

xC a

a a

= ++

= − + >

∫

11 2 2

1 1ln , 0

2

a xdx C a

a x a a x

+= + >

− −∫

12 2 2

1 1ln , 0

2

a xdx C a

x a a a x

−= + >

− +∫

13 2

2ln , 0

dxx x b C b

x b= + + + ≠

+∫

14 2 2 2ln , 0

2 2

x bx bdx x b x x b C b+ = + + + + + ≠∫

II. Ph��ng pháp tính tích phân:

II.1. Ph��ng pháp ñ�i bi�n:

a) Đổi biến theo chiều thuận:

Đặt ( )x tϕ= khi ñó ( )dx t dtϕ′= suy ra ( ) ( )( ) ( )f x dx f t t dtϕ ϕ′=∫ ∫

Ví dụ 1

Tính tích phân 2 2 ( 0)I a x dx a= − >∫

Giải

Hàm số 2 2a x− có nghĩa khi và chỉ khi: .x a≤

Đặt:

2 2

2 2

cos ;2 2

sin cos ; arcsin

sin ; cos

dx a t dt t

xx a t a x a t t

a

x a xt ta a

π π = − ≤ ≤= ⇒ − = = − = =

i

i

i

33

( )

2 2 2 2

2 22

cos

11 cos2 sin 2

2 2 4

I a x dx a tdt

a aa t dt t t C

⇒ = − =

= + = + +

∫ ∫

∫2 2 2 2

2 22

2

-( sin cos ) arcsin2 2

. -arcsin

2

a a x x a xt t t C

a a a

x a xa xC

a a

= + = + +

= + +

Chú ý: Khi gặp các tích phân:2 2a x dx−∫ hoặc

2 2a x dx+∫ hoặc

2 2 ( 0)x a dx a− >∫

Thông thường các tích phân ñó sẽ dễ tính hơn khi khử căn thức. Lợi dụng các công

thức lượng giác 2 2 2

2

1sin cos 1 1

cosx x hay tg x

x+ = + = chúng ta có thể khử căn

thức của các biểu thức trên bằng một phép ñổi biến số tương ứng trong bảng sau

ñây:

Biểu thức Phép ñổi biến số Biểu thức sau biến ñổi dx = …

2 2a x− ( cos , [ 0, ] )

sin , ,2 2

hay x a t t

x a t t

π

π π

= ∈

= ∈ −

cosa t

sina t

cosa t

sina tdt−

2 2a x+ , ,2 2

x atgt tπ π = ∈ −

cos

a

t

2cos

dta

t

2 2x a−

∗Với x > a

, 0,cos 2

ax t

t

π = ∈

∗Với x <-a

, 0,cos 2

ax t

t

π = − ∈

atgt

atgt

2

sin

cos

ta dt

t

2

sin

cos

ta dt

t−

b) Đổi biến theo chiều ngược:

Để tính tích phân ( ) ,I f x dx= ∫ ta phân tích biểu thức dưới dấu tích phân ñể ñưa

về dạng ( ) [ ( )] ( ) ( ( )).f x dx g x x d xϕ ϕ ϕ′= Đặt ( ) ( ) .t x I g t dtϕ= ⇒ = ∫

34

Ví dụ 2

2 2 21) ( ).

2x xa I e x dx e d x= =∫ ∫ Đặt:

22 1 1 1

2 2 2t t xt x I e dt e C e C= ⇒ = = + = +∫

3 4 4 4121

) 9 ( 9) ( 9).4

b I x x dx x d x= + = + +∫ ∫ Đặt 4 9t x= +

4 3

31 322 2

32

1 1 1 2 1. ( 9) .

4 4 2.2 3 6

tI t dt C t C x C⇒ = = + = + = + +∫

II.2. Ph��ng pháp tích phân t�ng phn:

a) Công thức: Giả sử u và v là hai hàm có ñạo hàm liên tục. Khi ñó

( ) ( ) ( )d uv uv dx u v uv dx vdu udv′ ′ ′= = + = +

Từ ñó uv udv vdu= +∫ ∫

Suy ra: udv uv vdu= −∫ ∫ (ñây là công thức tính tích phân từng phần)

Ví dụ 3:

(i) Tính cosI x xdx= ∫

Ðat ; cos chon sin

Ta co sin sin sin cos .

u x du dx dv xdx v x

I udv uv vdu x x xdx x x x C

= ⇒ = = =

′ = = − = − = + +∫ ∫ ∫

⌣

ɺ ɺ

(ii) Tính lnJ dx= ∫ .

Ðat ln ; chon

Ta co ln ln .

dxu x du dv dx v x

x

I udv uv vdu x x dx x x x C

= ⇒ = = =

′ = = − = − = − +∫ ∫ ∫

⌣

ɺ ɺ

b) Một số dạng hàm có thể dùng tích phân từng phần ñể giải:

Dạng 1:

( ) axP x e dx∫ trong ñó ( )P x là một ña thức.

Phương pháp:

( )

( )

( )

1.ax ax

du P x dxu P x

dv e dx v e Ca

′= = ⇒ = = +

35

Ví dụ 4: Tính tích phân 2 3xI x e dx= ∫

Giải 2 3 2 3 2 3 3

2 3 3 2 3 3 3

2 3 3 3 2 3

1 1(3 ) 2

3 31 2 1 2

( ) - -3 9 3 9

1 2 2 1 2 2- -

3 9 27 3 3 9

x x x x

x x x x x

x x x x

I x e dx x e d x x e xe dx

x e x d e x e xe e dx

x e xe e C x x e C

= = = −

= − =

= + + = + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Dạng2:

( )sinP x axdx∫ ( hoặc ( )cosP x axdx∫ )

Phương pháp:

( )u P x= ; sindv axdx= (hoặc cosdv axdx= ).

Suy ra ( ) ( )1

; cosdu P x dx v ax Ca

′= = − + (hoặc ( )1sinv ax Ca

= + )

Ví dụ 5: Tính tích phân 2 sin 3I x xdx= ∫

Giải

2 2 2 21 1 1 1sin 3 (cos 3 ) cos 3 2 cos 3 cos 3

3 3 3 3I x xdx x d x x x x xdx x x= =− =− + =− +∫ ∫ ∫

2 1 2 22sin 3 sin 3 cos 3 sin 3 cos 39 3 9 27x x xdx x x x x x C+ − = − + + + ∫

Dạng 3:

( ) lnP x xdx∫ , ( )P x arctgxdx∫ , ( )arcsinP x xdx∫ .

Phương pháp:

Đặt lnu x= (hoặc arctan arcsin ,...u x hay u x= = ), ( )dv P x dx=

Tính tích phân arctanI x xdx= ∫

Giải 2

2 2

2

1 1 1arctan arctan ( ) arctan

2 2 2 1

xI x xdx xd x x x dx

x= = = −

+∫ ∫ ∫

21 1 1arctan .

2 2 2x x arctgx x C= + − +

Dạng 4: ( ) sinaxP x e bxdx∫ (hoặc ( ) cosaxP x e bxdx∫ ).

Phương pháp:

Đặt: ( ), sinaxu P x dv e bxdx= = (hoặc cosaxdv e bxdx= )

36

Ta có: 2 2

sin cos( ) & sin .

axax a bx b bxdu P x dx v e bxdx e

a b

−′= = =+

∫ (+C)

(hoặc 2 2

sin coscos . ( )

axax b bx a bxv e bxdx e C

a b

+= = +

+∫ )

III. Tích phân ca m�t s� d ng hàm s� th��ng g�p:

III.1. Tích phân các hàm s� h�u t�:

a. Các hàm số hữu tỷ ñơn giản:

Dạng 1: 1

lndx

ax b Cax b a

= + ++∫

Dạng 2: ( ) ( )( )

1

1, 1

1k k

dxC k

ax b a k ax b−

= + ≠+ − +

∫

Dạng 3: 2

Adx

x bx c+ +∫ ,

- Nếu 2 0x bx c+ + = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thì ( )( )2

1 2x bx c x x x x+ + = − −

Khi ñó ( )( )2

1 2 1 2 1 2

1 1Adx Adx Adx

x bx c x x x x x x x x x x

= = −

+ + − − − − − ∫ ∫ ∫

- Nếu 2 0x bx c+ + = có nghiệm kép x a= thì ( )

22x bx c x a+ + = −

Khi ñó ( )

22

Adx Adx AC

x bx c x ax a

−= = +

+ + −−∫ ∫

- Nếu 2 0x bx c+ + = vô nghiệm thực ta biến ñổi

2 22 4

2 4

b c bx bx c x

− + + = + +

,

Khi ñó ñặt 2

bu x= + ,

24

2

c bα

−= ñưa về dạng 2 2

1,

dx xarctg C

x α αα= +

+∫

Dạng 4:( )

2

Ax B dx

x bx c

+

+ +∫ (trong ñó 2 4 0b c∆ = − < ) biến ñổi

2 2 2

2 2

2

AB b

Ax B A x b

x bx c x bx c x bx c

−+ +

= + + + + + + +

ñưa về dạng du

u∫ và Dạng 4.

Ví dụ 6: Tính 2

2 3.

1

xI dx

x x

+=

+ +∫ Ta có

2 2 2

2 3 2 1 2

1 1 1

x x

x x x x x x

+ += +

+ + + + + +

37

Suy ra 2 2 2

2 3 2 1 2

1 1 1

x x dxI dx dx

x x x x x x

+ += = +

+ + + + + +∫ ∫ ∫

( )2

22

1 2

1 1 3

2 4

d x x dx

x xx

+ += +

+ + + +

∫ ∫

( )2 4 1ln 1 arctan

23x x x C

= + + + + +

b. Các hàm h�u t� d ng ( )( )

n

m

P xdx

Q x∫ :

Dùng cách chia ña thức và ñồng nhất thức ñể chuyển về tích phân của ña

thức và các dạng ñơn giản.

Ví dụ 7: Tính 3 1

xdx

x −∫ :

Ta có

( )( )( ) ( )( )2

3 2 32

1 1

1 1 1 11 1

A x x Bx C xx x A Bx C

x x x x xx x x

+ + + + −+= = + =

− − + + −− + +

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 *x A x x Bx C x A B x A B C x A C⇒ = + + + + − = + + − + + −

Đồng nhất thức hai vế ta ñược:

0 1/ 3

1 1/ 3

0 1/ 3

A B A

A B C B

A C C

+ = =

− + = ⇔ = − − = =

38

Từ ñó ( )

( )

3 2 2

2 2

2

22

2

1 1 1 1 1 2 1 3ln | 1|

1 3 1 3 1 3 6 1

1 1 2 1 1 1ln | 1|

3 6 1 2 1

1

1 1 1 2ln | 1| ln 1

3 6 2 1 3

2 2

11 1 1 1 2ln | 1| ln 1 . .arctan3 6 2 3 3

2 2

xdx dx x xdx x dx

x x x x x x

xx dx dx

x x x x

d x

x x x

x

x

x x x

− + −= − = − −

− − + + + +

+= − − +

+ + + +

+

= − − + + +

+ +

+

= − − + + +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

C

+

.

Ví dụ 8: 4

3

2

1

x xdx

x

+

+∫ :

Ta có: 4 2

13 3

2

1 1 2

x x x xdx xdx dx I

x x

+= + = +

+ +∫ ∫ ∫

Tính 1 3 1

xI dx

x=

+∫ :

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

3 2 2

2 2

3 3

1 11 1 1

1 1

1 1

x x a bx c

x xx x x x x

a x x x bx c a b x b c a x a c

x x

+= = +

+ ++ − + − +

− + + + + + + + − + += =

+ +

Suy ra:

0

1

0

a b

a b c

a c

+ =

− + + = + =

1/ 3

1/ 3

1/ 3

a

b

c

= −

⇒ = =

Do ñó

1 2 2

1 1 1 1 1 1ln 1

3 1 3 1 3 3 1

dx x xI dx x dx

x x x x x

− + − += + = + +

+ − + − +∫ ∫ ∫

Ta lại có:

39

( )

2 2 2 2 2

2

2

1 1 2 1 3 1 2 1 3 1

1 2 1 2 1 2 1

1 3ln 1

2 2 1 3

2 4

x x xI dx dx dx dx

x x x x x x x x

dxx x

x

+ − + −= = = +

− + − + − + − +

= − + +

− +

∫ ∫ ∫ ∫

∫

Tính 3 2

3

2 1 3

2 4

dxI

x

=

− +

∫ . Đặt: 1 3

tan2 2

x t− =

( ) ( )2

2 23 1 3 3 2 11 tan ; 1 tan ; arctan

2 2 4 4 3

xdx t dt x t t

− ⇒ = + − + = + =

Do ñó:

3

3 1 2 1. . 3 3.arctan

2 3 3

2

xI dt t C C

− = = + = +

∫ .

Như vậy,

( )4 2

2

3

2 1 1 3 2 1ln 1 ln 1 arctan .

1 2 3 6 3 3

x x x xdx x x x C

x

+ − − = + + + − + + + +

∫

III.2. Tích phân các hàm s� l��ng giác:

a) Dạng ( )∫ sin ,cosR x x dx trong ñó ( )sin ,cosR x x là hàm số hai biến ñối với

sin x và cos x

Phương pháp chung:

Đặt tan2

xt = , khi ñó,

2

2 2 2

2 1 2sin , cos ,

1 1 1

t t dtx x dx

t t t

−= = =

+ + +. Từ ñó ñưa về

tích phân dạng hữu tỷ.

Ví dụ 9: Tính sin 1

dx

x +∫ . Đặt 2 2

2 2tan ,sin

2 1 1

x dt tt dx x

t t= ⇒ = =

+ +

Suy ra ( )

22

2

1 2 2 2.

2sin 1 1 1111

dx dt dtC

tx t ttt

−= = = +

+ + ++++

∫ ∫ ∫

Những trường hợp ñặc biệt: Nếu ( ) ( )sin ,cos sin ,cosR x x R x x− = − thì ta ñặt cost x= .

Nếu ( ) ( )sin , cos sin ,cosR x x R x x− = − thì ta ñặt sint x= .

Nếu ( ) ( )sin , cos sin ,cosR x x R x x− − = thì ta ñặt tant x= .

40

Ví dụ 10: Tính 2 3sin cosx xdx∫ . Ta thấy ( ) 2 3sin ,cos sin cosR x x x x= và

( ) ( )2 3 2 3sin , cos sin ( cos ) sin cos sin ,cosR x x x x x x R x x− = − = − − . Do ñó ta

ñặt sint x= ( )2 3 2 2cos sin cos 1dt xdx x xdx t t dt⇒ = ⇒ = −∫ ∫ .

b) Dạng ∫ ∫ ∫cos cos , cos sin , sin sinax bxdx ax bxdx ax bxdx :

Phương pháp: Ta dùng công thức biến ñổi tổng thành tích.

Ví dụ 11: Tính cos3 sin 5I x xdx= ∫

Ta có :

( )1 1 1 1 1

cos3 sin 5 sin8 sin 2 cos8 . cos 22 2 8 2 2

I x xdx x x dx x x C

= = + = − − +

∫ ∫

Ví dụ 12: Tính sin

dxI

x=∫

Giải ¤ Cách 1 Dùng phương pháp biến ñổi biểu thức dưới dấu tích phân:

2 2

sin (cos ) (cos )

sin (1 cos )(1 cos )sin (1 cos )

dx xdx d x d x

x x xx x= = − = −

− +−∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1 1 (1 cos ) (1 cos )(cos )

2 1 cos 1 cos 2 (1 cos ) (1 cos )

d x d xd x

x x x x

− + = − + =− − + − + − + ∫ ∫ ∫

( )2

2

2 sin1 cos1 1 1 2ln 1 cos ln 1 cos ln ln2 2 1 cos 2

2 cos2

xx

x x C C Cx x

−= − − + + = + = +

+

2

sin sin1 22 2ln ln ln .2 2 2

cos cos2 2

x xx

C C tg Cx x

= + = + = +

¤ Cách 2 Dùng phép thế:

Đặt: 2

2 2

2

2sin ;

2 21 :2 sin 1 12 ;1

2

tx

dx dt tt Idt x t tx arctgt dxt

xt tg dt

=+⇒ = =

+ += =+

= ⇒

∫ ∫i

i

41

2

2

(1 )t=

+

2(1 )t+× ln ln .

2 2

dt xdt t C tg C

t t

= = + = + ∫ ∫

¤ Cách 3

ñặt:2

2

arccos ,1cos

sin 1

dtx t dx

tt x

x t

= = − −= ⇒ = −

i

i

2

2 2 2: 1

sin 1 1 . 1

dx dt dtI t

x t t t

⇒ = = − − = − − − − ∫ ∫ ∫

( )22

2

1 1 1

2 1 111

dt dtdt

t ttt

= − = = − − +− −∫ ∫ ∫

( )1 cos1 1 1 1

ln 1 ln 1 ln ln2 2 1 2 1 cos

xtt t C C C

t x

−−= − − + + = + = +

+ +

2

2

2 sin1 2ln ln2 22 cos

2

xx

C tg Cx= + = +

¤ Cách 4 Biến ñổi biểu thức dưới dấu tích phân ta có:

2.

sin2 sin cos sin cos

2 2 2 2

xd

dx dx

x x x x x

= =∫ ∫ ∫ Đặt:

2 sin cos

x duu tg I

u u= ⇒ =∫

Khi ta thay sinu bởi sinu− và thay cosu bởi cosu− vào biểu thức dưới dấu tích

phân: 1 1

( sin )( cos ) sin cosu u u u=

− − nên chúng ta ñặt:

2

22 2

2 2

11 1sin ; cos (1 ) .

1 1 1 1

dtu arcrtgt du

t dtt tgu It tu u t

t t t t

= ⇒ = += ⇒ ⇒ = = = + + + + +

∫i

i

ln ln .2

dt xt C tg C

t= = + = +∫

42

Ví dụ 13 Tính tích phân 3 sin 4 cos

dxI

x x=

+∫

Giải Hàm số dưới dấu tích phân không thoả mãn ñiều kiện nào trong ba trường hợp cuối .

Do ñó chúng ta có thể dùng phép thế vạn năng, bằng cách ñặt :

,2

xt tg= (với xπ π− < < )

2

2 2

2

2 1sin ; cos

1 12

2 ;1

t tx x

t tdt

x arctgt dxt

− = = + +⇒ = = +

i

i

22 2

2 2

22

6 4(1 )(1 ) (1 )

1 1

dt dtI

t tt t

t t

⇒ = = − + + + + +

∫2

2

4 6 4

(1 )

t t

t

− + +

+

∫

2 2

12

2 12.(2 3 2) 2 3 2(2 )

2

dt dt dt

t t t tt t

= − = = − − − + + − +

∫ ∫ ∫

( )( )

1 121 2 1 1 1 2 2. ln

1 12 5 2 5 222 2

d t td tdt C

t ttt t

+ + − = + = − = + − − − + +

∫ ∫ ∫

11 2 2ln .5

22

xtg

Cx

tg

+= +

−

III.3. Tích phân các hàm s� vô t�:

a) Dạng , nax b

R x dxcx d

+

+ ∫

Ta ñặt nax b

tcx d

+=

+.

Ví dụ 14: Tính 3 41 1

dx

x x+ − +∫

Đặt 12 1212 1 1 1t x t x x t= + ⇔ = + ⇔ = − 11 4 33 412 , 1 , 1dx t dt x t x t= + = + = .

43

Suy ra

( )

11 8

4 33 4

8 87 6

12 1211 1

1... 1 ln 1

1 1 1

dx t dt t dt

t t tx x

t dt t dtdt t t dt x C

t t t

= =− −+ − +

−= + = + + + + − +

− − −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Từ ñó suy ra 3 41 1

dx

x x+ − +∫ .

b) Dạng ( )2,R x ax bx c dx+ +∫

Ta phân tích

2 22 4

2 4

b b acax bx c a x

a

− + + = − −

, ñặt

2

bu x= − ñưa về các

dạng sau:

( )2 2,R u u duα +∫ ñặt tant uα= với ,2 2

tπ π

∈ −

( )2 2,R u u duα −∫ ñặt sint uα= với ,2 2

tπ π

∈ −

( )2 2,R u u duα−∫ ñặt cos

tt

α= với ( )0, \

2t

ππ

∈

Ví dụ 15: Tính 2 4 5I x x dx= − + +∫

Ta có ( ) ( ) ( )2 22 24 5 9 2 9 2 2 9x x x I x d x u du− + + = − − ⇒ = − − − = −∫ ∫

Với 2u x= − . Đặt 3sinu t= với

,2 2

tπ π

∈ −

23cos , 9 3cos , arcsin3

udu tdt u t t⇒ = − = = .

Suy ra

( )2

2 2

9 9 99cos 1 cos 2 sin 2

2 2 4

9 1 9 2 2arcsin 9 arcsin 4 5

2 3 2 2 3 2

I tdt t dt t t C

u x xu u C x x C

= = + = + + =

− −= + − + = + − + + +

∫ ∫

Ví dụ 16: Tính 2

3

2 4

xI dx

x x

+=

− +∫

Ta có ( ) ( )

( )

2 2

2

2 2

2 2

1 2 24

2 2 4 2 4

2 4 114

2 2 4 1 3

2 4 4ln 1 2 4

x dxI dx

x x x x

d x x d xdx

x x x

x x x x x C

−= +

− + − +

− + −= +

− + + +

= − + + − + − + +

∫ ∫

∫ ∫

44

Chú ý: Người ta chứng minh rằng các hàm số sau ñây không có nguyên hàm là hàm

số sơ cấp: 22 2sin cos 1

, ,sin ,cos , , ,ln

xxx x e

x x ex x x x

−.

IV. Tích phân xác ñ�nh: IV.1. Bài toán mở ñầu: Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi trục hoành,

ñường thẳng 1x = và barabol ( ) 2y f x x= = .

Giải:

Chia ñoạn [ ]0;1 thành n phần bằng

nhau bởi các ñiểm chia

0 1 2

1 20, , ,..., 1

n

nx x x x

n n n= = = = =

Tính các giá trị

( ) ( ) ( )2 2 2

1 22 2 2

1 2, ,..., .

n

nf x f x f x

n n n= = =

Gọi

nS là tổng diện tích các hình chữ

nhật như trong hình. Ta có: 2 2 2

2 2 2

1 1 1 2 1. . ... .

n

nS

n n n n n n= + + +

.

Rõ ràng khi n → ∞ thì n

S S→ là diện tích cần tìm.

Vì vậy,

( ) ( )( )2 2 2

3 3

1 1 1lim lim 1 2 ... lim 1 2 1

3n

n n nS S n n n n

n n→∞ →∞ →∞= = + + + = + + = .

IV.2. Tích phân xác ñịnh: Cho hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên [ ],a b . Chia [ ],a b

thành n phần (không nhất thiết bằng nhau) bởi các ñiểm chia

0 1 2 ... .n

x a x x x b= < < < < = Ta gọi một cách chia như vậy là một phân hoạch P , kí

hiệu 1maxi i

P x x −= − và gọi nó là ñường kính của phân hoạch P . Trêm mỗi ñoạn

[ ]1,i ix x− ta chọn ñiểm

ic tùy ý và gọi { }1 2, ,...,

nC c c c= là một phép chọn C . Lập

tổng

( ) ( ) 1

1

, ,n

i i i

i

I f P C f c x x −=

= −∑ gọi là tổng tích phân của hàm ( )f x trên [ ],a b ứng

với phân hoạch P và phép chọn C .

45

Nếu 0

lim ( , , )P

I f P C→

tồn tại hữu hạn và không phụ thuộc vào phân hoạch P cũng như

phép chọn C thì ta gọi giới hạn ñó là tích phân xác ñịnh của hàm ( )y f x= trên

[ ],a b kí hiệu là ( )b

a

f x dx∫ . Vậy, ( )0

lim ( , , )

b

Pa

f x dx I f P C→

=∫ .

Từ bài toán mở ñầu ta thấy ngay rằng nếu ( ) 0f x ≥ thì ( )b

a

f x dx∫ là diện tích phần

mặt phẳng giới hạn bởi trục hoành, các ñường thẳng ,x a x b= = và ñồ thị của hàm

( )y f x= (hình như vậy gọi là “hình thang cong”).

Khi ( )b

a

f x dx∫ tồn tại ta nói hàm số ( )y f x= khả tích trên [ ],a b .

IV.3. Quy ước:

( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx= −∫ ∫

( ) 0

a

a

f x dx =∫

Trong biểu thức ( )b

a

f x dx∫ , ta gọi a là cận dưới, b là cận trên, ( )f x là hàm dưới

dấu tích phân, ( )f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân.

IV.4. Các tính chất của tích phân xác ñịnh:

Định lý 1: Nếu ( )f x khả tích trên ñoạn [ ],a b thì nó bị chặn trên ñoạn ñó. Nếu

( )f x liên tục trên ñoạn [ ],a b thì nó khả tích trên ñoạn ñó.

Các tính chất của tích phân xác ñịnh:

Định lý 2: Nếu ( )f x khả tích trên ñoạn [ ],a b và ( ),c a b∈ thì ( )f x khả tích trên

ñoạn [ ],a c và trên [ ],c b và:

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

Định lý 3: Nếu ( )f x và ( )f x khả tích trên ñoạn [ ],a b thì ( ) ( )f x g x± khả tích

trên ñoạn [ ],a b và:

( ) ( )( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫

46

Định lý 4: Nếu ( )f x khả tích trên ñoạn [ ],a b vàλ ∈ℝ thì ( )f xλ khả tích trên

ñoạn [ ],a b và: ( ) ( )b b

a a

f x dx f x dxλ λ=∫ ∫

Định lý 5: Nếu ( )f x và ( )f x khả tích trên ñoạn [ ],a b và ( ) ( )f x g x≤ với mọi

[ ],x a b∈ thì

( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx≤∫ ∫

Định lý 6: Nếu ( )f x khả tích trên ñoạn [ ],a b và ( )m f x M≤ ≤ với mọi [ ],x a b∈

thì ( ) ( ) ( )b

a

m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫

Định lý 7: Nếu f là một hàm liên tục trên [ ],a b thì tồn tại [ ],c a b∈ sao cho

( ) ( ) ( )b

a

b a f c f x dx− = ∫

IV. 5. Công thức ñạo hàm theo cận trên và công thức Newton – Leibnitz:

a) Công thức ñạo hàm theo cận trên:

Cho hàm f liên tục trên mọi ñoạn [ ],a x , ñặt

( ) ( )x

a

x f t dtϕ = ∫

Khi ñó ta có: ( ) ( )x f xϕ′ = .

b) Công thức Newton – Leibnitz:

Giả sử ( )F x là một nguyên hàm tuỳ ý của ( )f x . Khi ñó

( ) ( ) ( ) ( )b

b

a

a

f x dx F b F a F x= − =∫ .

Ví dụ 16

Tính tích phân:

2

4

2

9

cos.

xI dx

x

π

π

= ∫

Giải

Đặt:

22

3

, 2 2 cos

cos cos ,3 2

x u dx udu u uu x I du

ux u u

π

π

π π

= == ⇒ ⇒ = = ≤ ≤∫

47

2

3

2

3

32 cos 2 sin 2. sin sin 2 1 2 3.

2 3 2udu u

π

π

π

π

π π = = = − = − = −

∫

Ví dụ 17

Tính tích phân: 2

0

sin

1 cos

x xI dx

x

π

=+

∫

Giải

Đặt: 2 2

; sin sin

1 cos 1 cos

0 & 0.

dx dt x t

x t x t

Khi x t khi x t

π

π π

= − == − ⇒ + = + = ⇒ = = ⇒ =

i

i

i

0

2 2 20 0

( )sin sin sin

1 cos 1 cos 1 cos

t t t t tI dt dt dt

t t t

π π

π

π

π

−⇒ = − = −

+ + +∫ ∫ ∫

2 2 20 0 0

sin sin sin

1 cos 1 cos 1 cos

t x x tI dt dx dt I

t x t

π π π

π π⇒ = − = −+ + +

∫ ∫ ∫

2 00 0

sin(arctan(cos )) arctan(cos )

2 2 21 cos

tI dt d t t

t

π πππ π π ⇒ = = − = − +

∫ ∫

( ) ( )arctan(cos ) arctan(cos 0) arctan( 1) arctan(1)2 2

π ππ= − − =− − −

2

2 4 4 4

π π π π = − − − =

IV.6. Phương pháp tính tích phân xác ñịnh:

a) Phương pháp ñổi biên:

Cho ( ) [ ], ,y f x x a b= ∈ là một hàm số liên tục, ( ) [ ], ,x x t t α β= ∈ là một hàm số

có ñạo hàm liên tục sao cho ( ) ( ),x a x bα β= = . Khi ñó ta có công thức ñổi biến:

( ) ( )( ) ( )b

a

f x dx f x t x t dt

β

α

′=∫ ∫

48

b) Phương pháp tính tích phân từng phần:

Từ công thức tích phân từng phần cho tích phân bất ñịnh và công thức

Newton – Leibnitz ta có công thức: b b

b

a

a a

udv uv vdu= −∫ ∫

Ví dụ 18

13 2

0

.xI x e dx=∫ Đặt : ( )

3 23

2 2 2

3

1 1

2 2

x x x

u x du x dxu x

dv e dx dv d e v e

= = = ⇔ ⇒ = = =

1 13 2 2 2

0 0

.1 3

2 2x xI x e x e dx= − ∫ Đặt:

( )

22

1

2 2

1

11

21 1

1

2

2

1

2x x x

u xu x

dv e dx dv d e

du xdx

v e

==⇔

= =

= ⇒ =

1 1 13 2 2 2 2

0 0 0

1 3 1.

2 2 2x x xx e x e xe dx

= − − ∫ Đặt tiếp: ( )

2

2

2 2

22 2

xx

dv

u xu x

dv e dxd e

==

⇔=

=

1 1 112

3 2 2 2 2 2

2 00 02 0

1 3 3 1 1(2 )1

2 4 2 2 42

x x x x

x

du dx

I x e x e xe e d xv e

= ⇒ ⇒ = − + − = ∫

1 11 1

3 2 2 2 2 2

0 00 0

1 3 3 3(2 )

2 4 4 8x x x xx e x e xe e d x= − + − ∫

11 1 1

3 2 2 2 2 2

0 0 00

1 3 3 3

2 4 4 8x x x xx e x e xe e

= − + −

2 21 3

2 4e e= − 23

4e+

22 2 23 1 3 3 3( 1) .8 2 8 8 8

ee e e

+− − = − + =

V. Bài t�p ch��ng 4:

1 2 2

dx

x x −∫

2

1 2arcsin2

1 2( )

2 2

Cx

xhay arctg C

− +

−+

2 1x

dx

e +∫ ln( 1)xe C−− + +

49

3 2 3

dx

x x +∫

1 2 3 3ln3 2 3 3

xC

x

+ −+

+ +

4 3sin

cos

xdxx

∫ 52cos 2 cos

5x x−

5

3

2

(arcsin )

1

xdx

x−∫

4arcsin

4

xC+

6

2

1

x

x

edx

e +∫

21( 2)

3x xe e C+ − +

7

2

21

x dx

x−∫ 21

(arcsin 1 )2

x x x C− − +

8

2

2

1xdx

x

+∫

(Đặt tanx t= )

-1 1 sin

lnsin 1 sin

tC

t t

++ +

−

9

3

22

x dx

x−∫

322

2(2 )2 2

3

xx C

−− − +

10 2 2 2( )

dx

x a+∫ (Đặt

tanx a t= ) 2 2 2

1 1

2

x xarctg Ca aa x a

+ + +

Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau

11 2( 2 5). xx x e dx−− +∫

2( 5)xe x C−− + +

12 2( 5 6)cos 2x x xdx+ +∫

22 10 11 2 5sin2 cos2

4 4

x x xx x C

+ + ++ +

13 2ln x dx∫ 2ln 2 ln 2x x x x x C− + +

14 2(3 6 5)x x arctgxdx+ +∫

3 2 21( 3 5 3) ( 3)

2x x x arctgx x+ + + − + −

22 ln(1 ) .x C− + +

50

15 3 cosx x dx∫ 2

3 (sin cos ln 3)

1 (ln 3)

x x x+

+

16 sin(ln )x dx∫ (sin(ln ) cos(ln ))2

xx x C− +

Tính tích phân các hàm số hữu tỷ

17 ( 1)( 2)( 3)

dx

x x x− + +∫

3

4

1 ( 1)( 3)ln

12 ( 2)

x xC

x

− ++

+

18 2

2

5 9

5 6

x xdx

x x

− +

− +∫ x + 3ln 3x − -3ln 2x − + C

19

2

3

1

( 1) ( 3)

xdx

x x

+

− +∫

2

1 3 5 1ln

8( 1) 32 34( 1)

xC

x xx

−− − + +

− +−

20

2

3 2

2 6

7 14 8

x x

x x x

+ +

− + −∫

3 ln 1 7 ln 2 5 ln 4x x x C− − − + − +

21 3 1

dx

x +∫

2

2

1 ( 1) 1 2 1ln6 1 3 3

x xarctg C

x x

+ −+ +

− +

22

4 1

dx

x +∫

2

22

2 1 21 2ln

4 14 2 2 1

x x xarctg C

xx x

+ ++ +

−− +

(biết: arctan arctan arctan1

x yx y

xy

++ =

−)

3

3 62

3(1 )

x x xdx

x x

+ +

+∫

263

36

2x arctg x C+ +

24 1

1

xdxx

−+∫

1 1 1ln 2

11 1

x x xarctg C

xx x

+ − − ++ +

−+ + −

25 2

1.

1

x dx

x x

−+∫

1 1 1ln

1 1

x x xC

xx x

+ + − +− +

+ − −

26 31

1

xdx

x

+−∫

2

2 3

1 1 2 2 1 2ln3 ( 1) 13 3

t t t tarctg C

t t

+ + ++ + +

− −

51

27 2( 1) 3 2

dx

x x x− − +∫ 2

2.1

xC

x

−+

−

28 2 2 2x x dx− +∫

2 21 12 2 ln 1 2 2

2 2

xx x x x x C

−− + + − + − + +

Tính các tích phân của các hàm số lượng giác

29 2 4sin cos

dx

x x∫

3

2 cot3

tg xtgx gx C+ − +

30 sin sin 2 sin 3x x x dx∫

1 1 1cos 6 cos 4 cos2

24 16 8x x x C− − +

31 3 5 cos

dx

x+∫

21 2ln4

22

xtg

Cx

tg

++

−

32 2

sin 2

1 sin

xdxx+

∫ 2ln(1 sin )x C+ +

33 3

sin

(1 cos )

xdx

x−∫

2

1

2(1 cos )C

x− +

−

34 2 2cos 3x x dx∫

231 1

sin 6 cos 6 sin 66 2 6 36

x xx x x x C + + − +

35 cosxx e x dx∫ (sin cos ) sin2

xex x x x C + − +

36 2 sin( )x xe e dx∫ sin cosx x xe e e C− +

Tính các tích phân xác ñịnh sau

37

2 2

2 31

3

2

t tdt

t t

+

+∫ 20 3−

52

38

2

3 2

0

1 4x x dx+∫ 149

60

39

23

23

29

3

( 2)

( 2) 3

xdx

x

−

− +∫

982 3π+

40

ln 5

0

1

3

x x

x

e edx

e

−

+∫ 4 π−

41 2 2 2

0

a

x a x dx−∫

4

16

aπ

42

13 2

0

xx e dx∫ 2 3

8

e +

43

0

sinxe x dx

π

∫ 1( 1)2eπ +

44 3

1

ln

e

x dx∫ 6 2e−

45

4

1

1arctg x dx−∫ 4

33π−

46

2

1

sin( ln )x dx∫ 1

sin(ln2) cos(ln2)2

− +

53

Các bài tập NHCH chương 3: Câu 39: Tính tích phân

1 3

8 40

.2 2

xI dx

x x=

+ +∫

Câu 40: Tính tích phân

6

0

.cos (sin cos )

dxI

x x x

π

=−∫


3

4

2

ln(tan ).

cos

xI dx

x

π

π

= ∫


3

6

4

6

sin.

cos

xI dx

x

π

π

= ∫


2

3

1.

sin 1 cosI dx

x x

π

π

=−

∫


2

31

.1

dxI

x x

=+

∫


2

1

2 2.

1 2

xI dx

x−

+ +=

+ +∫


0

1

.1 1

dxI

x−

=+ +

∫


12

20

.1 x

dxI

e

=+

∫


54

12

2

0

.I x x dx= −∫


0 2

21

.3 2

xI dx

x x−

=− −

∫


3 2

21

1.

xI dx

x

+= ∫


( )

1 2

20

2 5.

1

x xI dx

x

+ +=

+∫


12

0

1ln .1

xI x dx

x

−=

+∫


12

0

ln( 2) .I x dx= +∫

I. Tích phân b t ñ nh - AGU Staff Zone fileTích phân b ất ñịnh: Cho F x( ) là m ột...

Documents

Transcript of I. Tích phân b t ñ nh - AGU Staff Zone fileTích phân b ất ñịnh: Cho F x( ) là m ột...