I. SISTEM BILANGAN REAL · 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : 2. Faktorkan P(x) dan Q(x)...
Transcript of I. SISTEM BILANGAN REAL · 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : 2. Faktorkan P(x) dan Q(x)...
SISTEM BILANGAN REAL
1
Sistem bilangan
N : bilangan asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
N : 1, 2, 3, ...
Z : …,-2,-1,0,1,2,..
0,,, = bZbab
aqQ :
R Q Irasional=
2.71828182845904523536028747135266249775724709369
2,
99 .
,
..
3
5e
=
Contoh bilangan irasional:
9/2/2018
Bilangan riil yang tidakrasional adalah sebuahbilangan irrasional.
Garis bilangan
0 1
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan.Titik-titik sebelah kanan titik asal disebut bilangan positif, dan titik-titikdisebelah kirir disebut bilangan negatif.
-3
2
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
Selang/Interval
39/2/2018
IntervalNotasi himpunan Notasi interval
{ }axx < ( )a,-
{ }axx ( ]a,-
{ }bxax << ( )ba,
{ }bxax [ ]ba,
{ }bxx > ( ),b
{ }bxx [ ),b
{ }xx ( ),
Dalam garis bilangan
a
a
a b
a b
b
b
49/2/2018
Dalam notasi interval, hanya ditulis bilanganIn Interval Notation we just write the beginning and ending numbers of the interval, and use:• [ ] a square bracket when we want to include the end
value, or• ( ) a round bracket when we don't
With the Number Line we draw a thick line to show the values we are including, and:• a filled-in circle when we want to include
the end value, or• an open circle when we don't
5
Sifat–sifat bilangan real • Sifat-sifat urutan :
❑Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan real, maka pasti berlakusalah satu dari x < y atau x > y ataux = y
❑Transitif
Jika x < y dan y < z maka x < z
❑Perkalian
Jika z bilangan positif dan x < y, maka xz < yzjika z bilangan negatif dan x < y, maka xz > yz
9/2/2018
6
Pertidaksamaan
Bentuk umum pertidaksamaan :
dengan A(x), B(x), C(x), D(x) adalah suku banyak(polinom) dan B(x) ≠ 0, D(x) ≠ 0
( )
( )
( )
( )
A x C x
B x D x<
9/2/2018
7
Pertidaksamaan
• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalahmencari solusi semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku.
• Himpunan solusi bilangan real ini disebut jugaHimpunan Penyelesaian (Hp)
9/2/2018
8
Cara menentukan HP
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
2. Faktorkan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktor linier dan/atau kuadrat
3. Tentukan titik pemecah (pembuat nol faktor linear).
4. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garisbilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaandi setiap selang bagian yang muncul
0)(
)(<
xQ
xP
9/2/2018
CONTOHTentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan berikut
53213 - x
352313 ++ x
8216 x
48 x
84 x
[ ]8,4Hp = 4 8
1.
99/2/2018
8462 -<- x
248 -<- x
248 -> x
842 <- x
22
1<- x
-= 2,
2
1
22
1-
Hp
2.
109/2/2018
0352 2 <-- xx
( )( ) 0312 <-+ xx
Titik pemecah : 2
1-=x and 3=x
3
++ ++--
21-
3.
Hp =
- 3,
2
1
119/2/2018
637642 +-- xxx
xx 7642 -- 6376 +- xxdan
4672 ++ xx dan 6637 +--- xx
4.
109 x 010 - xdan
9
10x 010 xdan
9
10x dan 0x
129/2/2018
HP = [ )
- ,0
9
10,
09
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp =
9
10,0
139/2/2018
13
2
1
1
-<
+ xx
013
2
1
1<
--
+ xx
( ) ( )( )( )
0131
2213<
-+
+--
xx
xx
5.
( )( )0
131
3<
-+
-
xx
x
Titik pemecah : -1, 1
3, 3
3
++ ++--
-1
--
13
Hp = ( )1
, 1 ,33
- -
149/2/2018
15
x
x
x
x
+
-
+
32
1
032
1
+-
-
+
x
x
x
x
( )( ) ( )( )( )
032
231
+-
--++
xx
xxxx
( )( )0
32
322 2
+-
++
xx
xx
6.
9/2/2018
16
322 2 ++ xxUntuk pembilang mempunyai nilai diskriminan(D < 0) sehingga nilainya selalu positif, maka pembilang tidakmenghasilkan titik pemecah.
Maka, titik pemecahnya adalah -3 dan 2 (dari penyebut)
-3 2
-- ++ --
( ) ( ), 3 2,- - Hp =
Soal LatihanCari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2
2
2
2
2 57. 1
2
58. 1
2
9. 2 4 0
10. 1 0
2 111.
3
x
x
x x
x x
x
x x
xx
-
-
+ > -
- -
+
- +
+
179/2/2018
2
2
3 2
1. 3 5 2 1
2. 4 3 1 4
3. 6
4. 3 2 0
5. 5 4 0
16. 0
2
x x
x
x x
x x
x x x
x
x
- < +
- +
+ <
- - >
- +
-
+
Pertidaksamaan nilai mutlak
Definisi :
Nilai absolut pada bilangan real didefinisikan sebagai
<-
=
0,
0,
xx
xxx
Arti Geometris|x| : Jarak dari x ke titik 0 (asal)
189/2/2018
• Sifat-sifat nilai mutlak:
y
x
y
x=
2xx =
axaaax - 0,
axaax 0, or ax -
yx 22 yx
6. Ketaksamaan segitiga
yxyx ++
1.
2.
3.
4.
5.
yxyx --
Pertidaksamaan nilai mutlak
199/2/2018
CONTOH
Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan berikut
41 << x
352 <-x
# Gunakan sifat kedua
3523 <-<- x
53235 +<<- x
822 << x
Hp = ( )4,1 1 4
1.
209/2/2018
21
( )( ) 0422 <-- xx
352 <-x
# Gunakan sifat keempatkarena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
( ) 9522<- x
925204 2 <+- xx016204 2 <+- xx
08102 2 <+- xx
TP : 1, 4
1 4++--++
Hp = ( )4,1
9/2/2018
5432 ++ xx2.
# Gunakan sifat keempat
( ) ( )225432 ++ xx
2540169124 22 ++++ xxxx
0162812 2 --- xx23 7 4 0x x + +
3
4-Titik pemecah : , -1
229/2/2018
(3 4)( 1) 0x x + +
Hp = 4
[ , 1]3
- -
Jika digambar pada garis bilangan :
-13
4-
++--++
239/2/2018
24
272
+x
272
+x
272
-+x
52
-x
92
-x
10- x 18-x
[ ) ( ]18,,10 ---
3.
atau
atau
atau
Hp =
-18 -10
# Gunakan sifat ketiga
<-
-=-
22
222
xx
xxx
-<--
-+=+
11
111
xx
xxx
Jadi kita mempunyai 3 interval :
-1 2
I II III
( )1,-- [ )2,1- [ ),2
4. 2123 -+-- xx
Kita definisikan dahulu :
259/2/2018
1-<x
2123 -+-- xx
( ) ( ) 2123 ----- xx
2136 -++- xx
227 -- x
92 -- x
92 x
2
9 x
-
2
9,
I. Untuk
atau
269/2/2018
( )1,2
9, --
-
29-1
Hp1 =
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkanbahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah
Sehingga Hp1 = ( )1,--
279/2/2018
( )1,--
21 <- xII. Untuk
2123 -+-- xx
( ) ( ) 2123 -+-- xx
2136 ---- xx
245 -- x
74 -- x
74 x4
7 x
-
4
7,atau
289/2/2018
Hp2 = [ )2,14
7, -
-
-1 24
7
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah
Sehingga Hp2 =
-
4
7,1
299/2/2018
-
4
7,1
2x
2123 -+-- xx
( ) ( ) 2123 -+-- xx
2163 ---- xx
272 -- x
52 x
III. Untuk
2
5 x
,
2
5atau
309/2/2018
Hp3 = [ )
,2,
2
5
22
5
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah
Sehingga Hp3 =
,
2
5
319/2/2018
5,
2
Hp
329/2/2018
Jadi Hp = 7 5
, ,4 2
-
47
25-1
47 2
5-1
47
25-1
( )
1 2 3
7 5, 1 1, ,
4 2
7 5, ,4 2
Hp Hp Hp=
= - - -
= -
Soal LatihanCari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
8. 2 3 2 3
9. 2 3 4 5
410. 1 1
2 111. 3
5
12. 3 2
213.
1 1
x x
x x
x
x
x
x x
x x
x x
- + -
+ +
+ <
-
+
+
-
- +
339/2/2018
1. 2 7 3
2. 2 63
3. 1 2 2
4. 1 2( 2)
5. 2 2 3
26. 1
7. 2
x
x
x x
x x
x x x
xx
x x
- >
-
- < -
- < -
+ < +
-
+