I quasicristalliLa struttura di questi materiali, che sono stati scoperti di recente, presentaun ordine di tipo nuovo, intermedio fra il cristallino e amorfo, 11 qualepuò essere spiegato ricorrendo alla teoria matematica della tasse//attira

di David R. Nelson

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el 1984 alcuni ricercatori del Na-tional Bureau of Standards sco-prirono un materiale che sem-

brava contraddire un teorema fra i più an-tichi e fondamentali della cristallografia.Pareva che questo materiale presentasse lostesso tipo di ordine che si trova nei cristal-li. ma anche simmetrie fisicamente impos-sibili per qualunque sostanza cristallina.Studiando più a fondo la microstruttura diquesto materiale, si è scoperto che essopresenta un nuovo tipo di ordine, che nonè né cristallino, né del tutto amorfo. Sem-bra che i materiali la cui struttura è orga-nizzata secondo questo nuovo tipo di or-dine costituiscano un anello di congiunzio-ne fra i cristalli ordinari e i materiali chia-mati «vetri metallici». Un vetro metallico èun solido che si forma quando un metallofuso viene raffreddato cosi rapidamenteche gli atomi che lo costituiscono non han-no il tempo di formare un reticolo cristal-lino. Per questo motivo i nuovi materialisono stati chiamati «quasicristalli».

Un cristallo ordinario è una disposizio-ne particolarmente ben ordinata di atomio di molecole. È un reticolo, nel quale le«celle elementari» identiche (gli elementicostitutivi del cristallo, ciascuno dei qualicontiene esattamente la stessa distribuzio-ne di atomi) si uniscono in modo regolaree periodico e riempiono lo spazio. Ognistruttura cristallina è caratterizzata dacerte sue simmetrie intrinseche. Per esem-pio si dice che un cristallo ha una simme-tria di rotazione ternaria se il suo reticoloappare esattamente identico dopo aversottoposto il cristallo a una rotazione di120 gradi, cioè di un terzo di angolo giro.(Un esempio elementare di figura che pos-siede una simmetria di rotazione ternariaè il triangolo equilatero.) I cristalli possonopresentare anche simmetrie di rotazionequaternaria o senaria (come, rispettiva-mente, il quadrato e l'esagono). Tuttavianessun cristallo può avere una simmetriadi rotazione quinaria, più o meno per lostesso motivo per cui è impossibile tassel-lare un piano (cioè ricoprirlo completa-mente con figure che non si sovrapponga-

no) usando soltanto figure dotate di sim-metria quinaria, come i pentagoni.

Fu quindi una grandissima sorpresa perquasi tutti i cristallografi e i fisici dello sta-to solido quando Dany Shechtman, IlanBlech, Denis Gratias e John W. Cahn illu-strarono le proprietà cristallografiche diun campione di lega alluminio-manganeseraffreddato molto rapidamente. Un fasciodi elettroni diffuso su un'emulsione foto-grafica da questo campione aveva formatouna figura definita molto nettamente chepresentava una simmetria quinaria. Lanetta definizione della figura indicava cheil materiale presentava un ordine esteso,poiché in molte zone del campione gli ato-mi avevano riflesso il fascio di elettroninello stesso modo. E tuttavia la simmetriadella figura, che si manifestava a prescin-dere dal punto del campione verso il qualeveniva diretto il fascio, denotava che lastruttura soggiacente del materiale posse-deva un qualche tipo di simmetria quina-ria. Altri studiosi hanno scoperto che lestesse proprietà possono essere indotte inmolti altri metalli, oltre all'alluminio e almanganese.

Un'analisi più approfondita della figuradi diffusione ha rivelato l'origine di questenotevoli proprietà. La struttura a cella ele-mentare dei cristalli è basata nella maggio-ranza dei casi su alcuni solidi platonici,come il cubo, il tetraedro o l'ottaedro. In-

vece i nuovi materiali (che, seguendo unsuggerimento di Cahn, chiamerò colletti-vamente «shechtmanite») hanno una strut-tura basata su un altro solido platonico.l'icosaedro, solido a 20 facce, ciascunadelle quali è un triangolo equilatero. Finoa questa scoperta, nelle pubblicazioni difisica vi era stata a proposito dell'icosae-dro quasi una congiura del silenzio. Moltiapprezzati testi di fisica affermano recisa-mente che l'icosaedro «non presenta inte-resse per la fisica». Il motivo di questoostracismo è che l'icosaedro presenta unasimmetria quinaria, poiché in ciascuno deisuoi vertici si incontrano cinque facce, eperciò non può fungere da cella elementarein nessuno dei cristalli ordinari.

Come ha fatto la shechtmanite ad aggi-rare questo teorema della cristallografiauniversalmente accettato? La risposta èstata fornita da uno studio della strutturamicroscopica delle leghe metalliche raf-freddate rapidamente e dalla teoria mate-matica delle tassellature.

per comprendere la struttura soggiacen-te dei quasicristalli di shechtmanite è

necessario avere prima almeno un'ideadella struttura di un cristallo ordinario. Icristalli ordinari posseggono due tipi di or-dine esteso, chiamati rispettivamente ordi-ne di orientazione e ordine di traslazione.Questi tipi di ordine possono essere osser-

La tassellatura di Penrose e un analogo bidimensionale di alcuni materiali scoperti di recente,chiamati «quasicristalli» o shechtmanite. La configurazione non è periodica (cioè non può esserescomposta in una singola cella elementare che si ripeta indefinitamente), ma possiede certi tipi diordine che sono associati di solito a tassellature periodiche. Per esempio i decagoni regolari che sitrovano qua e là nella tassellatura hanno tutti la stessa orientazione (cioè i lati di ogni decagonosono paralleli a quelli degli altri) proprio come le celle elementari di una tassellatura periodicahanno tutte la stessa orientazione. Tuttavia, a differenza di tutte le tassellature periodiche possibili,una tassellatura di Penrose possiede una sorta di simmetria di rotazione quinaria: la configurazioneresta, sotto un certo profilo, immutata quando viene ruotata di 72 gradi, ossia un quinto dell'angologiro. Come le tassellature di Penrose, anche la struttura microscopica di un quasicristallo possiedeuna simmetria quinaria, simmetria che non può esistere nei materiali cristallini ordinari (costituitida una cella elementare che si ripete periodicamente); perciò la shechtmanite, benché presenti unordine molto elevato, non può essere un cristallo ordinario. Le tassellature di Penrose furo-no scoperte da Roger Penrose dell'Università di Oxford. La tassellatura ripresa nella fotografia èstata ideata e prodotta da Saxe Patterson (della Taos Clay Products) a Taos, nel New Mexico.

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Il reticolo periodico ha due tipi di ordine esteso caratteristici dei cristalli ordinari. La configurazionepuò essere scomposta in un gran numero di esagoni, ciascuno avente un «atomo» nel centro. Poichégli esagoni situati in una zona del cristallo (in basso a destra) hanno la stessa orientazione di quellisituati in una qualunque altra zona (in centro a sinistra) si dice che il reticolo possiede un «ordinedi orientazione esteso». L'«ordine di traslazione esteso» del cristallo è messo in evidenza dallafamiglia di rette parallele che va dal basso a sinistra al centro a destra del reticolo. Quando questerette, che in un cristallo tridimensionale si chiamano piani reticolari, sono tracciate in modo cheogni atomo giaccia su una di esse, la distanza fra due rette adiacenti è la stessa in tutto il cristallo.La posizione e la direzione delle rette in una parte qualunque del cristallo potrebbero essere quindideterminate traslandovi le rette situate in una qualsiasi altra parte del cristallo. Vi sono moltefamiglie di rette parallele; un'altra famiglia e stata tracciata in questa figura alla sommità delreticolo. La distanza fra due rette adiacenti può variare da una famiglia all'altra di rette.

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Un impaccamento senza lacune non si può ottenere usando solo figureche abbiano simmetria quinaria. Tre esagoni possono essere uniti senzalasciare fessure, mentre non e cosi per tre pentagoni (a); questa assenzadi adattamento e chiamata «frustrazione». In due dimensioni (b) l'esago-no e l'unita di riempimento, o impaccamento, più efficiente: tre cerchicombaciano esattamente formando un triangolo, sei triangoli combacia-no esattamente formando un esagono, gli esagoni combaciano esatta-

mente e ricoprono il piano. In tre dimensioni (c) quattro sfere combacia-no esattamente formando un tetraedro e, con lievi distorsioni, 20 tetrae-dri combaciano esattamente formando un icosaedro. Gli icosaedri tutta-via hanno una simmetria quinaria (in ciascun vertice si incontrano cinquefacce triangolari) e quindi non possono combaciare esattamente. Poichenon sono impaccabili in modo da riempire completamente lo spazio, gliicosaedri non possono fungere da celle elementari di un cristallo.

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FRUSTRAZIONE

ICOSAEDRO

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TETRAEDROvati in una delle più semplici configurazio-ni cristalline di atomi: il reticolo triangola-re, che è la configurazione imposta dal te-laio alle palle di biliardo prima dell'iniziodella partita (si veda l'illustrazione in que-sta pagina).

In questo reticolo bidimensionale cia-scun atomo è situato in una gabbia esago-nale costituita dai sei atomi adiacenti.Questo esagono con un atomo nel centrocostituisce una cella elementare del cristal-lo: il cristallo cioè può essere interpretatocome una configurazione in cui questi esa-goni si ripetono. Poiché tutti gli esagonihanno la stessa orientazione, vale a dire ilati di ciascun esagono sono paralleli ai latidi tutti gli altri, si dice che il cristallo pre-senta un ordine di orientazione esteso.

L'altro tipo di ordine esteso presente in

un cristallo può essere messo in luce trac-ciando sul cristallo una famiglia di retteparallele. Quando siano tracciate in modoche ogni atomo si trovi su una di esse,queste parallele si trovano fra loro a di-stanza esattamente uniforme per tutta l'e-stensione del cristallo. È quindi possibiletraslare alcune rette da una zona all'altradel cristallo in modo che si sovrapponganoesattamente alle rette della seconda zona.Perciò, esaminando una qualunque zona,anche piccola, del cristallo, è possibile de-terminare la posizione e la distanza esattafra le rette in qualunque altra sua zona: ilcristallo possiede cioè un ordine esteso ditraslazione.

In un cristallo ordinario vi sono moltefamiglie di rette parallele, ciascuna dellequali giacente in una direzione diversa; la

distanza fra le rette può variare da unafamiglia all'altra. In un cristallo tridimen-sionale le rette sono in realtà piani e sichiamano piani reticolari. Quando su uncristallo si inviano fasci di raggi X o dielettroni, essi vengono riflessi e diffusi daipiani reticolari. Studiando le direzioni incui i fasci sono diffusi e l'intensità di cia-scun fascio diffuso, gli studiosi possonostabilire quali famiglie di piani reticolaridevono esistere nel cristallo, e spesso sonoanche in grado di ricavare l'ubicazioneprecisa degli atomi. Proprio con questometodo si è scoperta la shechtmanite. Lanitida figura osservata da Shechtman ecollaboratori indicava che il loro campio-ne possedeva piani reticolari, ma la suasimmetria quinaria stava a significare cheil materiale non poteva essere un cristalloordinario.

Per capire perché un cristallo ordinarionon possa presentare una simmetria qui-naria, è sufficiente immaginare di voler ri-coprire il piano con celle pentagonali anzi-ché esagonali. Il pentagono regolare, cheè la figura più semplice dotata di simmetriaquinaria, non può fungere da cella elemen-tare in un cristallo, perché le celle penta-gonali, a differenza di quelle esagonali,non possono combaciare tra loro senza la-sciare qualche spazio vuoto: se due penta-goni vengono posti a contatto lungo unlato, non è possibile aggiungervi un terzopentagono in modo che combaci perfetta-mente con entrambi i suoi vicini. Questaimpossibilità di adattamento è un esempiodi quello che i fisici dello stato solido chia-mano «frustrazione». In tre dimensioni,come in due, è impossibile «impaccare» fi-gure dotate di simmetria quinaria senza uncerto grado di frustrazione.

Nel caso bidimensionale l'esagono è l'u-nità di riempimento, o impaccamen-

to, più efficiente: tre cerchi combacianoesattamente tra loro e formano un triango-lo; sei di questi triangoli combinandosi for-mano un esagono consistente di sette cer-chi. Un ragionamento simile porta a con-cludere che in tre dimensioni l'elemento diimpaccamento naturale dovrebbe essere inrealtà l'icosaedro (il quale a motivo dellasua simmetria quinaria non può costituirel'unità fondamentale di una tassellaturaregolare): quattro sfere, che potrebberorappresentare quattro atomi, combacianoesattamente fra loro formando un tetrae-dro (la figura «piramidale» in cui di solitosi vedono ammucchiate le palle di cannonenei monumenti storici) e, con piccole di-storsioni, 20 di questi tetraedri combinan-dosi formano un icosaedro di 13 atomi.

Che cosa succede se si cerca di impac-care sfere in una figura a forma di icosae-dro? Per cominciare, l'icosaedro a 13 ato-mi non è perfetto: è lievemente frustratopoiché fra i 12 atomi collocati sulla suasuperficie vi sono piccole fessure; ciascunatomo dista dai suoi vicini che si trovanosulla superficie il 5 per cento in più chedall'atomo centrale. Come i pentagoni si-stemati sul piano, gli atomi non possonotrovarsi simultaneamente alla stessa di-

stanza da tutti gli atomi adiacenti. Se siaggiungono altri strati di particelle, la fru-strazione non può che peggiorare. perchéle fessure tra gli atomi degli strati più ester-ni diventano via via più ampie (si veda l'il-lustrazione nella pagina successiva).

A causa di questa frustrazione crescen-

te, l'ordine icosaedrico non può estendersia tutto il cristallo. Sulle distanze brevi,l'impaccamento icosaedrico è molto effi-ciente. Affidandosi a questa linea di ragio-namento, Sir Charles Frank, dell'Univer-sità di Bristol, ipotizzò nel 1952 che pic-cole zone a simmetria icosaedrica fossero

molto frequenti nei liquidi densi sottoraf-freddati (liquidi che siano stati raffreddatisotto il loro punto di congelamento). In taliliquidi, congetturò Frank, vi potrebberoessere molte regioni in cui piccoli grappolidi atomi si sono aggregati formando ico-saedri. In seguito ci si rese conto che se

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Un grappolo icosaedrico di atomi costituisce un mezzo efficiente perriempire lo spazio su brevi distanze, ma diviene sempre meno efficientevia via che cresce: negli strati esterni le fessure fra gli atomi adiacenti

sono più grandi. In certe leghe, come la Mg32(AI,Zn)49 (che può formareshechtmanite), questa frustrazione si può attenuare spingendo altri atominelle fessure che cominciano a comparire nella parte 3 dell'illustrazione.

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FRUSTRAZIONE

1 ASSE DISIMMETRIA

QUINARIO

TETRAEDRI

ASSE DISIMMETRIA

SENARIO

TETRAEDRI

uno di questi liquidi sottoraffreddati for-masse un vetro prima di cristallizzare, ilvetro potrebbe consistere di un gran nume-ro di piccoli grappoli icosaedrici collegatitra loro. Gli atomi del vetro presentereb-bero allora un ordine icosaedrico locale inmolte regioni piccolissime.

Sembra che la previsione di Frank si siadimostrata corretta. All'inizio degli annisessanta i ricercatori furono in grado perla prima volta di raffreddare i metalli ab-bastanza rapidamente da farli solidificareprima che potessero cristallizzare. Tra lafine degli anni sessanta e i primi anni set-tanta si scoprì che le posizioni degli atomiin questi vetri ricalcano molto da vicino ilmodello di certi raggruppamenti disordi-nati di sfere rigide. Questi raggruppamenticontengono molti frammenti di icosaedri eperciò l'ordine icosaedrico locale sembraeffettivamente un elemento strutturale im-portante nei liquidi raffreddati rapidamen-te e nei vetri metallici (si veda l'articolo

Vetri metallici di Praveen Chaudhari, BiliC. Giessen e David Turnbull in «Le Scien-ze» n. 142, giugno 1980).

Un vetro metallico estremamente sem-plice si forma a partire da una lega di ma-gnesio e di zinco. Un composto affine, lalega Mg32(A1,Zn)49, è particolarmente im-portante per lo studio dei quasicristalli. Sitratta di una di quelle leghe che, quandosiano raffreddate abbastanza rapidamen-te, formano la shechtmanite. Quando ven-gono raffreddate ancora più rapidamente,le leghe di questo tipo spesso formano vetricontenenti molte piccole regioni a simme-tria icosaedrica. Quando viene raffreddatapiù lentamente, la Mg32(AI,Zn)49 formaun cristallo in cui vi sono ancora piccoleregioni a simmetria icosaedrica, benchéglobalmente il cristallo non sia un puroimpaccamento di icosaedri. Gli icosàedrisono impaccati, con leggere distorsioni, aformare una configurazione dotata nel suocomplesso di simmetria cubica; pertanto

la simmetria icosaedrica estesa, che è proi-bita, è assente. È verosimile che le simme-trie icosaedriche locali trovate in questistati vetrosi e cristallini siano in qualchemodo legate alla simmetria icosaedricaestesa della shechtmanite.

Nella Mg32(AI,Zn) 49 cristallina, la fru-strazione naturale di impaccamenti

icosaedrici locali può essere attenuata for-zando atomi aggiuntivi nelle fessure fra gliatomi degli strati icosaedrici e disturbandocosi la simmetria dei grappoli. La densaconfigurazione di particelle che ne risultapuò essere considerata come un insieme ditetraedri lievemente distorti con atomi aivertici; i legami fra gli atomi sono gli spi-goli dei tetraedri. I tetraedri si incontranolungo le facce comuni e ciascuno spigolo,o legame, è comune a parecchi tetraedri (siveda l'illustrazione nella pagina a fronte).In questo modo possono essere analizzatii vetri metallici e le leghe cristalline.

Ciascun legame è comune a quattro,cinque o sei tetraedri distorti; il numeropiù frequente è cinque. Un siffatto rag-gruppamento di cinque tetraedri intorno aun legame comune può essere consideratoun frammento di icosaedro. Ovunque sipresentino questi raggruppamenti, la legaha un ordine icosaedrico locale. Per acco-gliere la frustrazione intrinseca di un im-paccamento di icosaedri, almeno il 10 percento dei legami deve essere comune a seitetraedri, e non a cinque.

Risulta che tutti i legami sestupli e qua-drupli del materiale si collegano in lunghecurve, le cosiddette «disclinazioni a cuneo»(wedge disclination). Le disclinazioni acuneo non possono né cominciare né finireall'interno del materiale ed è raro che abassa temperatura si intersechino. Quan-do un metallo fuso viene raffreddato rapi-damente, le curve possono aggrovigliarsi,formando così un vetro metallico. Quandoil metallo viene raffreddato più lentamen-te, le curve di disclinazione a cuneo hannoabbastanza tempo per intersecarsi e si col-legano formando reti periodiche. In molteleghe il materiale consiste allora di una reteregolare di legami sestupli che si infiltra inun mezzo altrimenti completamente ico-saedrico. Questa è la fase cristallina dellalega ed è nota con il nome di fase di Frank--Kasper. Nella fase di Frank-Kasper dellaMg32(A1,Zn)49 gli atomi di magnesio giac-ciono nelle posizioni collegate dai legamisestupli, mentre gli atomi di zinco e di al-luminio, più piccoli, occupano le posizionirestanti, icosaedriche.

I vetri metallici e le fasi di Frank--K asper sono buoni esempi di come l'ordi-ne icosaedrico locale possa essere formatoed essere accolto in un cristallo che nonpossegga un ordine icosaedrico esteso. Percomprendere l'ordine icosaedrico estesodella shechtmanite sono necessari alcunialtri strumenti, che ci sono forniti dallateoria matematica delle tassellature.

Una tassellatura può essere considerataun buon analogo di un cristallo. Co-

me in un cristallo lo spazio tridimensionaleè riempito da celle elementari, così in unatassellatura il piano bidimensionale è riem-pito da tessere. Molte proprietà dei cristallitridimensionali si rilevano anche nelle tas-sellature bidimensionali. Per esempio latassellatura esagonale bidimensionale pos-siede i piani reticolari e la simmetria diorientazione estesa che si riscontrano neicristalli tridimensionali. È quindi ragione-

Le configurazioni di atomi che si trovano in unagglomerato di particelle molto denso possonoessere considerate come impaccamenti strettiin cui troviamo tetraedri leggermente distortiche hanno legami in comune. La maggior partedei legami e condivisa da cinque tetraedri (a) eforma un frammento di icosaedro. Per attenua-re la frustrazione intrinseca degli impaccamentiicosaedrici, alcuni legami debbono essere in co-mune fra sei tetraedri (b) e formare così unframmento di un solido che assomiglia a unicosaedro, ma ha un asse di simmetria senario.

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L'ordine esteso di una tassellatura di Penrose assomiglia a quello di un cristallo ordinario, ma visono alcune sottili differenze che consentono alla tassellatura di possedere una sorta di simmetriaquinaria. I decagoni visibili qua e la nella configurazione (a. in colore) hanno tutti la stessaorientazione, e ciò mette in luce la simmetria di orientazione estesa della configurazione. Questapossiede anche una sorta di simmetria di traslazione estesa. Colorando tutti i rombi che hanno ilati paralleli a una data direzione (b), si ottiene una serie di linee frastagliate, tra loro più o menoparallele e a distanza circa uniforme, come i piani reticolari di un cristallo ordinario. Vi sono cinquefamiglie di piani reticolari (b-f), che si intersecano secondo angoli multipli di 72 gradi (un quintodi angolo giro). Tutte le figure formate dalla riflessione di fasci di elettroni o di raggi X su questipiani avrebbero una simmetria quinaria. Viene generata una configurazione di Penrose quando irombi disegnati sopra siano accostati in modo che le frecce che ne contrassegnano i lati coincidano.

vole supporre anche che certi tipi di tassel-latura possano manifestare alcune delle in-solite proprietà dei quasicristalli.

La tassellatura che rappresenta il mo-dello migliore per i quasicristalli in realtàfu ideata circa 10 anni prima della scoper-ta della shechtmanite (si veda la rubrica«Giochi matematici» di Martin Gardner in«Le Scienze»-n, 105, maggio 1977). Nel1974 Roger Penrose, un fisico matemati-co dell'Università di Oxford, stava stu-diando le possibilità di tassellare un pianoin modo aperiodico (cioè in modo che laconfigurazione delle tessere non possa es-sere scomposta in una singola cella ele-mentare, per esempio un esagono). Penro-se scopri una tassellatura che richiede tes-sere di due sole forme, entrambe rombi-che. Uno dei rombi ha gli angoli interni di36 e 144 gradi, l'altro di 72 e 108 gradi; irombi vengono uniti fra loro secondo certe«regole di accoppiamento». In una tassel-latura di Penrose infinita il rapporto fra ilnumero di rombi «grassi» e il numero dirombi «magri» coincide esattamente con ilrapporto aureo (circa 1,618). Poiché que-sto rapporto è un numero irrazionale, èimpossibile scomporre la tassellatura inuna singola cella elementare, che contengaun numero intero di rombi di entrambi itipi.

Come la shechtmanite, le tassellature diPenrose non sono cristalline nel senso co-venzionale del termine, ma posseggonomolte delle proprietà dei cristalli. Per e-sempio in una tassellatura di Penrose èpossibile individuare molti decagoni rego-lari (si veda l'illustrazione in queste duepagine). Come gli esagoni che costituisco-no la cella elementare del cristallo bidi-mensionale «a palla di biliardo», tutti i de-cagoni hanno esattamente la stessa orien-tazione. Come la shechtmanite, anche latassellatura di Penrose possiede dunquel'ordine di orientazione esteso che di solitoè associato ai reticoli cristallini ordinari.

In un senso più recondito, le tassellaturedi Penrose hanno anche una sorta di ordi-ne di traslazione. Uno dei modi per consta-tarlo è di ombreggiare tutti i rombi i cui latisiano paralleli a una data direzione. I rom-bi ombreggiati formano una serie di lineefrastagliate irregolari, ciascuna delle qualiapprossima, in media, una retta. Tuttequeste linee sono parallele e a distanza ap-prossimativamente uniforme. Pertanto, insenso medio, statistico, una tassellatura diPenrose possiede un ordine di traslazioneesteso, oltre che un ordine di orientazione.

Al pari dei quasicristalli, le tassellaturedi Penrose posseggono anche una sorta disimmetria quinaria. In una tassellatura diPenrose i rombi ombreggiati si dividono incinque famiglie di linee parallele. Questelinee hanno direzioni che potrebbero esse-re parallele ai lati di un pentagono regolaree si intersecano secondo angoli multipli di72 gradi, cioè di un quinto dell'angolo gi-ro. Si può dimostrare che queste linee, co-me i piani reticolari di un cristallo ordina-rio, diffondono i fasdi di elettroni o di rag-gi X. I fasci riflessi da una configurazionedi Penrose presentano una simmetria di

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rotazione quinaria indipendentemente dalpunto in cui incidono sulla configurazione.L'aspetto disordinato dei piani reticolari èsimile a quello che si trova in un cristalloordinario a temperature superiori allo zeroassoluto, quando gli atomi sono agitati di-sordinatamente dalle vibrazioni termiche.Nelle tassellature di Penrose, naturalmen-te, il disordine sarebbe presente-anche-alla-temperatura dello zero assoluto.

I ' primo lavoro che suggerì la possibilitàdi applicare le tassellature di Penrose ai

materiali reali fu compiuto nel 1981 daAlan L. MacK ay del Birbeck College del-l'Università di Londra. Nel 1984 PeterKramer e Reinhardt Neri, dell'Universitàdi Tubinga, e indipendentemente. Dov I.Levine e Paul J. Steinhardt, dell'Universi-tà della Pennsylvania, idearono una gene-ralizzazione tridimensionale delle tassella-ture di Penrose che si è rivelata strettamen-te legata alla struttura della shechtmanite.

Come le loro corrispondenti bidimen-sionali, le tassellature di Penrose tridimen-sionali posseggono una simmetria estesadi orientazione e di traslazione. Inoltreposseggono simmetria icosaedrica estesa,più o meno come le configurazioni di Pen-rose bidimensionali hanno una simmetriaquinaria estesa.

Le unità fondamentali delle tassellaturetridimensionali sono due romboedri (figu-re a sei facce, ognuna delle quali è un rom-bo; un romboedro assomiglia un po' a uncubo schiacciato). Gli angoli solidi internidel romboedro sono precisamente ugualiagli angoli formati da certi legami in ungrappolo icosaedrico di atomi (si veda l'il-lustrazione a pagina 32). In una tassella-tura di Penrose tridimensionale infinita ilrapporto fra il numero dei romboedri di untipo e il numero di quelli dell'altro è ancorauguale al rapporto aureo e di conseguenzauna tassellatura di Penrose tridimensiona-le, come la shechtmanite, non può essere

descritta in termini di una sola cella ele-mentare. Calcolando come le tassellaturedi Penrose tridimensionali diffonderebbe-ro la radiazione, si sono conseguiti risultatinotevolmente simili ai risultati sperimen-tali ottenuti lavorando con campioni dishechtmanite vera.

Le tassellature di Penrose tridimensio-nali forniscono un eccellente punto di par-tenza per capire come sono disposti gliatomi nei quasicristalli. Per comprende-re la struttura di una qualunque lega dishechtmanite in termini di tassellature diPenrose tridimensionali, si deve scoprire ilmodo di «decorare», cioè di riempire, congli atomi i due romboedri in modo tale cheun agglomerato di romboedri contenga lagiusta proporzione di atomi di ciascun ele-mento. Per descrivere un cristallo ordina-rio, naturalmente, sarebbe sufficiente tro-vare una decorazione per una singola cellaelementare, e poi la si potrebbe ripetereall'infinito.

T e tassellature di Penrose, così come so-no attuate nella shechtmanite, rappre-

sentano un nuovo aspetto del concetto dicristallinità. Poiché le due «celle elementa-ri» sono disposte senza una stretta periodi-cità, ciascuna cella elementare si trova col-locata in un ambiente leggermente diverso.Pertanto le forze esercitate dagli atomilontani non sono le stesse da una cella al-l'altra, e ciò provoca variazioni nella posi-zione degli atomi in ciascuna cella. Se sivuole che i romboedri di Penrose offranouna buona descrizione di una particolarelega di shechtmanite, queste variazioni de-vono essere piccole.

Nei materiali reali le regole di accoppia-mento che determinano la collocazione deiromboedri di Penrose non sono, con ogniprobabilità, seguite rigorosamente. Si puòdimostrare che piccoli gruppi di celle diPenrose possono essere risistemati local-mente in un modo che, pur violando le

ATOMI DIALLUMINIOO DI ZINCO

I romboedri di Penrose (in colore) possono combaciare formando unastruttura tridimensionale (non illustrata) che assomiglia alle tassellaturedi Penrose bidimensionali. Gli angoli interni dei romboedri sono ricavatidagli angoli fra i legami di una struttura icosaedrica. Una tassellatura diPenrose tridimensionale ha simmetria icosaedrica nello stesso senso ap-

prossimativo in cui una tassellatura di Penrose bidimensionale ha sim-metria quinaria. Certe leghe particolari vengono descritte in termini ditassellature di Penrose «decorando» ciascun romboedro in modo che inuna tassellatura estesa vi sia il giusto rapporto tra i numeri di atomi deivari tipi. In basso è illustrata una decorazione per la lega Mg32(AI,Zn)49.

ATOMI DIMAGNESIO

I «fiocchi di neve» di shechtmanite si formano quando una lega fusa di alluminio e manganeseviene raffreddata rapidamente. I «cristalli» presentano le ramificazioni dendritiche che si osservanonormalmente nei cristalli di ghiaccio, ma, a causa della soggiacente simmetria icosaedrica dellashechtmanite, questi esemplari hanno una simmetria quinaria anziché quella senaria dei comunifiocchi di neve. Gli esemplari hanno un diametro di circa 10 000 distanze interatomiche e in questamicrofotografia elettronica sono ingranditi circa 10 000 volte. L'immagine e stata ottenuta pressoil National Bureau of Standards nel laboratorio di Leonid A. Bendersky e di Robert i. Schaefer.

severe regole di accoppiamento, tuttaviaconserva l'ordine complessivo del mate-riale. Nelle tassellature di Penrose bidi-mensionali, per esempio, le tessere internea uno qualunque dei decagoni possono es-sere estratte, rimescolate e ricollocate neldecagono in una maniera che in certe po-sizioni viola le regole di accoppiamento.Nondimeno l'orientazione del decagonorimane la stessa e perciò il quasicristalloconserva ancora l'ordine di orientazioneesteso. L'operazione di rimescolamentonon interrompe i piani reticolari (i qualisemplicemente invertono il loro moto azig-zag) e quindi modifica soltanto parti-colari secondari nel modo in cui i raggi Xo gli elettroni verrebbero diffusi dalle nu-merose tassellature.

Le tassellature di Penrose consentonoanche di trovare un legame fra l'ordine cri-stallino tipico della fase di Frank-Kasperdi molte leghe e l'ordine icosaedrico estesodella shechtmanite. Per esempio, Chri-stopher Henley della Cornell University eVeit Elser degli AT&T Bell Laboratorieshanno dimostrato che la cella elementa-re della fase di Frank-Kasper della legaMg )2(Al.Zn)49 può essere considerata co-me un frammento leggermente distorto diuna tassellatura di Penrose.

Nella fase di Frank-Kasper la ripetizio-ne periodica nello spazio di questo fram-mento distorto distrugge qualunque sim-metria icosaedrica intrinseca. Tuttavia,nella shechtmanite, questo frammento diordine icosaedrico si propaga in tutto ilmateriale e dà luogo a un quasicristallomacroscopico. Henley ed Elser hanno an-che fatto vedere come sia possibile deco-rare i romboedri di Penrose in un modoche spiega la struttura della fase di shecht-manite della Mg32(A1,Zn)4 9 . L'ordine ico-saedrico di questa fase della lega è estesononostante la presenza di una rete di lineedi disclinazione a cuneo simili a quelle chesono state trovate nelle fasi di Frank--Kasper.

Studi e proposte analoghi sono stati fat-ti per descrivere le leghe di alluminio emanganese scoperte in origine da Shecht-man e collaboratori. Fra i modelli propostivi sono molti tetraedri e frammenti di ico-saedro, benché vi siano anche alcuni ottae-dri. Questi modelli riescono a spiegare laposizione dell'80 per cento circa degli ato-mi del materiale.

Le tassellature di Penrose suggerisconoanche cristallografie bizzarre basate susimmetrie che non sono icosaedriche. Peresempio, Leonid A. Bendersky, del Natio-nal Bureau of Standards, ha dimostratoche un'altra fase della lega alluminio-man-ganese raffreddata rapidamente si com-porta come se fosse composta da strati ditassellature di Penrose bidimensionali po-ste l'una sull'altra a formare una pila pe-riodica in direzione verticale.

Vi sono ancora molte interrogativi cheaspettano una risposta. Per esempio,

qual è il legame fra l'ordine icosaedricolocale dei liquidi o dei vetri metallici e l'or-dine icosaedrico esteso della shechtmani-

te? Sembra che la formazione di frammen-ti microscopici di cristalli di shechtmanitein un liquido sottoraffreddato abbia luogopiù facilmente di quanto avvenga per laformazione dei primi frammenti microsco-pici di un cristallo ordinario. Una volta chesi siano formati, questi piccoli frammentidevono crescere fino alle dimensioni ma-croscopiche. Come cresca la shechtmanitenon è ancora noto, per quanto sia chiaroche i suoi processi di accrescimento devo-no essere ben diversi da quelli dei cristalliordinari.

Un altro enigma riguarda l'estensioneraggiunta dall'ordine di orientazione e dal-l'ordine di traslazione del materiale. Ben-ché le orientazioni degli icosaedri dellashechtmanite siano correlate a distanzeche raggiungono anche migliaia di distan-ze interatomiche, i corrispondenti piani re-ticolari sono in fase solo per poche centi-naia di distanze interatomiche. Non si sa

se la piccola lunghezza di correlazione del-l'ordine di traslazione sia una caratteristi-ca intrinseca della fase oppure se sia unartefatto dovuto al processo di raffredda-mento. Può darsi che entro breve temposia possibile far crescere grandi cristalli dishechtmanite in condizioni maggiormentecontrollate; questi cristalli dovrebbero aiu-tarci a risolvere l'enigma.

I quasicristalli di shechtmanite non so-no soltanto una curiosità. Lo studio deiquasicristalli ha collegato fra loro due di-scipline teoriche già esistenti: la teoria deivetri metallici e la teoria matematica delletassellature aperiodiche. Così facendo, haconsentito di applicare strumenti nuovi epotenti allo studio delle leghe metalliche. Èpresumibile che ancora per qualche tempoi fisici dello stato solido e gli specialisti deimateriali si dovranno occupare dei proble-mi relativi all'ordine icosaedrico esteso elocale.

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