19 febbraio 2013

I numeri razionali:

le diverse scritture,

il significato e la rappresentazione

Fare esperienzadei numeri razionali

Il problema di spezzare l’intero

Tracce del problema sono state trovate in

documenti egizi risalenti al 1650 a. C.papiro di Ahmes, conosciuto anche come papiro di Rhind

Gli egiziani introdussero il concetto di unità

frazionaria:

1

4 I I I I

Scrittura dei numeri

Nel papiro di Ahmes si usa la scrittura ieratica ( sacra ) più adatta a scrivere con inchiostro su papiro, non il geroglifico

●

1 ‒

4

1 ●

8 ═

La scrittura ieratica, 4000 anni fa, rappresenta un contributo importante all’attuale sistema di numerazione posizionale

Gli egiziani operavano con le

frazioni unitarieTutte le altre frazioni si ricavavano come somma di frazioni

unitarie ma non nella combinazione non si ripetono mai due frazioni unitarie uguali.

Grande abilità, uso di tabelle di combinazioni

Esigenza di precisione perchè dovevano spartire cibo, terra, trovare le combinazione di ingredienti per produrre

birra o pane

5

1

5

1

5

2

15

1

3

1

5

2

L’attuale modo di scrivere le frazioni proviene dall’India

Brahamagupta (640 d.C.) e Bhashara (1114-1185 d.C) cominciarono ad usare il simbolo

2 per indicare 2

3 3

Gli arabi introdussero la linea, che però in un primo tempo - con l’invenzione della stampa - fu omessa

Frazioni decimali, scrittura decimale

• Rudolf nel 1530 fu il primo matematico che

usò le frazioni decimali.

• Stevino nel 1585 per indicare i numeri

decimali usò una notazione del tipo:

(0) (1) (2) (3)

2 7 3 5 8 per indicare 27, 358

Inizia l’esperienza

con i numeri decimali

Dividiamo…

Osserviamo il procedimento

1 0 : 7

30 0,1428571.......

20

60

40

50

10

Per eseguire

queste

divisioni

abbiamo

ancora bisogno

di carta e

matita…

ma possiamo

farci aiutare

dalla

tecnologia

Fare esperienza

dei numeri razionali

1,010

1

1,09

1

125,08

1

142857,07

1

61,06

1

2,05

1

25,04

1

3,03

1

5.02

1

473684210526315789,019

1

50,018

1

1176470588235294,017

1

0625,016

1

60,015

1

7142850,014

1

076923,013

1

308,012

1

09,011

1

Fare esperienza

dei numeri razionali

04,025

1

6041,024

1

1369565217390434782608,023

1

450,022

1

047619,021

1

05.020

1

Fare esperienza

dei numeri razionali

30,030

1

20689310344827586,029

1

571428503,028

1

037,027

1

3846150,026

1

Fare esperienza

dei numeri razionali

8936170425531914382978723444680851060212765957,047

1

03,033

1

03125,032

1

16129030322580645,031

1

Esperienza

• Dividere e così riscoprire l’importanza di

conoscere le tabelline

• Scrivere altre tabelline, oltre il 10

Abbiamo a disposizione un

elenco

di dati sui quali riflettere

Distinguiamo i diversi tipi di

numeri decimali che si generano

• Decimali finiti

• Periodici semplici

• Periodici misti

Possiamo sottolineare in colori diversi lavorando sulla tabella

che rappresenta il nostro strumento di lavoro

Numeri decimali finiti

Quali sono le caratteristiche delle

frazioni che li generano?

Decimali finiti

0625.016

1

05.020

1

5.02

1

25.04

1

2.05

1

125.08

1

1.010

1

04.025

1

3125.032

1

Frazioni equivalenti

decimali finiti-frazioni decimali

10

55.0

2

1

100

2525.0

4

1

1000

6250625.0

16

1

100

505.0

20

1

La frazione che genera un numero

decimale finito

si trasforma in frazione decimale

Numeri decimali

periodici semplici

Quali sono le caratteristiche delle

frazioni che li generano?

Frazioni che generano numeri

periodici semplici

..........09090909.011

1

.........0769230076923.013

1

...............176475882352941.017

1

....33333333.03

1

.........142857.07

1

......111111.09

1

.........05473684210526315789.019

1

La frazione che genera

un numero periodico

non si può trasformare

in frazione decimale

Osserviamo le differenze tra le frazioni che

generano numeri periodici semplici

e numeri periodici misti

....33333333.03

1

......66666661.06

1

.........142857.07

1

......111111.09

1

..........09090909.011

1

...........33333308.012

1

.........0769230076923.013

1

.......71427142350.014

1

.......66666660.015

1

Numeri decimali

periodici misti

Quali sono le caratteristiche

delle frazioni che li generano?

30,030

1

57142803,028

1

3846150,026

1

6041,024

1

450,022

1

50,018

1

60,015

1

7142850,014

1

308,012

1

61,06

1

Abbiamo scoperto che

tutto dipende dai fattori del

denominatore

Quali sono i fattori primi del denominatore?

• solo 2 vel 5 -- decimale finito

• (non 2) et (non 5) -- periodico semplice

• (2 vel 5) et almeno un altro numero -- periodico misto

Scrittura polinomiale di un numero

32101 105102104102103425,32 xxxxx

1000

425.32425,32

Scriviamo un numero periodico in

forma polinomiale

Osservando che… deduciamo che…

990

124

10

31240,0

10

31243,1

99

151

99

152152,1

9

5

9

15

9

55,0

010,0990

1

10,090

1

001,0999

1

01,099

1

1,09

1

Trasformare

Deduciamo come trasformare un numero

periodico nella sua frazione generatrice

Arriviamo ragionando alla formula di

trasformazione

che generalmente si conosce a

memoria

osservazioneLa lunghezza del periodo di alcuni numeri

periodici semplici è legata al numero dei possibili resti della divisione

...............176475882352941.017

1

6 CIFRE.........142857.07

1

.........05473684210526315789.019

1

osservazione

CIFRE22

1369565217390434782608,023

1

CIFRE46

8936170425531914382978723444680851060212765957,047

1

Periodo

Questo garantisce che il

numero di cifre decimali che si

ottengono dalla divisione è

limitato, per questo si parla di

periodo

I numeri razionali:

la rappresentazione

Importante per fare esperienza dei

numeri razionali

Per rappresentare le frazioni sulla retta

occorre scegliere una opportuna unità di

misura

Rafforzare il significato del concetto di

frazione

Lavorare con le frazioni equivalenti

Esercizio sulla rappresentazione di

frazioni ed il calcolo con i polinomi

• Senza fare uso dei quadretti

scegli in modo arbitrario due segmenti

lunghi a e b e disegna il rettangolo avente

altezza uguale 2 a + b/2,

base uguale a/2 + 5/4 b.

Calcola l’area del rettangolo e sul disegno

indica i monomi e le parti di area

corrispondenti.

I numeri razionali:

le diverse scritture

940,341,3

.....213

2139,01

92,0100

30

10

3%303,0

Bibliografia

- George Gheveghese Joseph

C’era una volta un numero – la vera storia della matematica

Ed. Net

- Carl B. Boyer

Storia della matematica

Ed. CDE

- R. Courant, H. Robbins

Che cos’è la matematica

Ed. Boringhieri