INTERPRETAZIONE DEI FENOMENI IN AMBITO SANITARIO: DAL CAMPIONE ALLA

POPOLAZIONE

ESERCITAZIONI DI INFERENZA STATISTICA

Boscaro Gianni & Brugnaro Luca

FOCUS SULLA RELAZIONE: ESEMPI PRATICI

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LA DISTRIBUZIONE NORMALE E IL TEST Z: IPOTESI INIZIALI indipendenza dei dati e identicamente distribuiti (iid), dipende dal disegno di studio ;

distribuzione normale dei dati (vedi test sulla normalità)

presenza solo di errori campionari (con distribuzione pari ad una normale con media 0 e deviazione std. pari )

assenza di errori sistematici deviazione standard della distribuzione nota pari a sigma

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DISTRIBUZIONE NORMALE : ESEMPIO1

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La differenza osservata tra le due medie è statisticamente significativa (alfa=0.01) ?

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ESEMPIO 1: SISTEMA DI IPOTESI

ESEMPIO 1: RISOLUZIONE E CALCOLI

sotto H0

6Si respinge l’ipotesi nulla

SINTESI DELLA PROCEDURA DELINEATA

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ESEMPIO 1 : CONCLUSIONE

Poiché il valore empirico di z = 3.85 > zc, con una probabilità dell'1% di commettere un errore di I tipo, si decide di respingere l'ipotesi nulla e di concludere che le donne del campione appartengono ad una popolazione con valori medi di glicemia diversi dalla popolazione presa in esame.

Per una stima intervallare della media della popolazione delle gravide padovane, considerando i dati del campione estratto, si procede:

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ESEMPIO 1:STIMA INTERVALLARE

n=100 #numerosità del campione

> alfa=0.01

> p=1-alfa/2

> media_camp= 83.5

> z=qnorm(p)

> sigma=13.5 #se la varianza è conosciuta (requisito per il test)

> lim_inf=media_camp - z*sigma/sqrt(n)

> lim_sup= media_camp + z*sigma/sqrt(n)

> list(lim_inf,lim_sup)

[1] 80.02263 [2] 86.97737

Per calcolare la probabilità che si verifichi H0:

> pvalue= 2*pnorm(3.85,lower.tail=F) #ipotesi bilaterale

> pvalue

[1] 0.0001181178

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o È simmetrica

o Per campioni elevati si approssima ad una normale standard

o Media centrata sullo zero

o La curva si modifica secondo i df

ESEMPIO 2 : IL T.TEST E LA DISTRIBUZIONE DI T DI STUDENT

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STUDENT T TEST: IPOTESI INIZIALI

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o indipendenza dei dati(dipende dal disegno di studio)

o distribuzione normale dei dati(vedi test sulla normalità)

o presenza di errori campionari o assenza di errori sistematicio deviazione standard della distribuzione della popolazione ignota . E’ nota la varianza campionaria corretta (s)

STUDENT T TEST

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Calcolo del t osservato

Calcolo del t osservato utilizzando R

t.test(dati1, (dati2 = può non esserci), alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95)

ESEMPIO 2 : MASCHI VS FEMMINE Immaginiamo di aver rilevato i voti degli assaggiatori di sesso diverso,

delle birre ottenute con un particolare tipo di malto. Si vuole verificare se il giudizio medio degli assaggiatori è pari a 6 ( la sufficienza) si ponga il livello di significatività pari al 5%, supponendo che la varianza della popolazione non sia nota.

Inoltre, il responsabile del marketing vuole verificare se il gradimento della birra non dipende dal sesso dell’assaggiatore. A tale scopo si rilevano i seguenti giudizi per indirizzare la campagna pubblicitaria.

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# A S01 7 m02 8 m03 9 m04 8 f05 9 f06 7 f07 6 f08 7 m09 8 m10 5 m

Indicare un sistema di verifica di ipotesi nel quale la media del gradimento della birra tra gli uomini e maggiore rispetto alle donne

Domanda 1 Domanda 2

USO DELLE TAVOLE

il valore critico di t si trova all’incrocio tra la riga 10 e la colonna .025 (considerando i valori sotto l’etichetta «Ipotesi bidirezionale»), si ricorda che la distribuzione della t di Student è simmetrica, quindi i valori positivi e negativi per uno stesso livello di alfa coincidono nel modulo e sono solo differenti nel segno).

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SVILUPPO E CALCOLI

Media campionaria = = 7,4

Varianza campionaria corretta= = 1,6

Statistica = 3,5

Dalle tavole Y~ t(9,0,025) = 2,262 ; Y~t(9,0,05)= 1,83

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Commentare i risultati

CALCOLI E SINTASSI CON RCREARE UN DATASET

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> S=factor(c("m","m","m","f","f","f","f","m","m","m"))> A=c(7,8,9,8,9,7,6,7,8,5)> birra2=data.frame(S,A)> birra2 S A1 m 72 m 83 m 94 f 85 f 96 f 77 f 68 m 79 m 810 m 5> boxplot(S,A)> boxplot(A~S)> t.test(A~S)

CALCOLI CON RDOMANDA 1: TEST AD UN CAMPIONE> t.test(A,mu=6,alternative="greater")

One Sample t-test

data: A

t = 3.5, df = 9, p-value = 0.003362

alternative hypothesis: true mean is greater than 6

95 percent confidence interval:

6.666755 Inf

sample estimates:

mean of x

7.4

sd=(sqrt(var(A)))

> x=mean(A)

> n=10

> mu=6

> toss=(x-mu)/(sd/sqrt(n))

> toss

[1] 3.517

CALCOLI CON RDOMANDA 2: TEST A DUE CAMPIONI Welch Two Sample t-test

data: A by s

t = 0.1954, df = 6.858, p-value = 0.8508

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0

95 percent confidence interval:

-1.859068 2.192401

sample estimates:

mean in group f mean in group m

7.500000 7.333333

shapiro.test(A)

Shapiro-Wilk normality test

W = 0.9297, p-value = 0.445318

f m

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IN TERMINI PRATICI…

Le tavole forniscono i quantili Si trovano fissando i gradi di libertà e l’errore voluto

Si utilizza con un campione ridotto e conoscendo solo la varianza campionaria S²

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ESEMPIO 3 : IL CHISQ.TEST E LA DISTRIBUZIONE CHI-QUADRO DI PEARSON

chisq.test permette di verificare se vi è indipendenza tra la variabile identificata sulle righe e quella sulle colonne di una tabella di contingenza (num_righe*num_colonne).

I gradi di libertà del test sono pari a

(num_righe –1)*(num_colonne -1).

Il test richiede l’indipendenza dei dati ma nessuna particolarità sul tipo di distribuzione dei dati.

In R: chisq.test(x)

Dove x è una tabella di contingenza (le distribuzioni congiunte delle due variabili)

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Χ² DI PEARSON

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ESEMPIO 3: LA SCOPERTA DEL SECOLOSi ipotizza che l’assunzione regolare di vitamina C possa ridurre il rischio di contrarre l’influenza. Per un anno, regolarmente a un gruppo di individui di un campione randomizzato a triplo cieco viene somministrata la Vitamina C e alla parte restante un Placebo.

I soggetti vengono dunque seguiti per un anno e alla fine si chiede a ciascuno se hanno contratto l’influenza

(modalità = si o no ).

Si riportano nella tabella "esperimento" i dati aggregati.

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esperimento=matrix(c(116,24,115,24),nr=2,dimnames=list(influenza=c("si","no"),trattamento=c("si","no")))> esperimento influenza

trattamento

placebo vit C tot

NO 116 115 231

SI 24 24 48

tot 140 139 279

COME PROCEDERE Costruire il sistema di ipotesi concettuale Tabella frequenze attese Calcolo del χ² di Pearson Confronto con il valore critico conclusione

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COSTRUIRE IL SISTEMA DI IPOTESI

l’ipotesi H0 :le variabili sono indipendenti

l’ipotesi H1 : vi è qualche forma di relazione tra le variabili

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l’assunzione regolare di vitamina C può ridurre il rischio di contrarre l’influenza ?

gradi di libertà (n-1)(c-1)

il ricercatore ha fissato un valore di alfa pari a .05 formulando un’ipotesi

Abbiamo quindi un sistema di ipotesi dove:H0 : indipendenza stocastica H1: relazione tra le variabili

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TABELLA DELLE FREQUENZE «ATTESE»

Le frequenze attese sono quei valori che ci aspetteremo nella ipotesi della indipendenza «Stocastica».

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= 0,0007446

influenzatrattamento

placebo vit C tot

NO 116 115 231

SI 24 24 48

tot 140 139 279

influenzatrattamento

placebo vit C tot

NO 115,914 115,086 231

SI 24,08602 23,91398 48

tot 140 139 279

…….ANCORA CALCOLI chisq.test(esperimento)$expected

trattamento

influenza si no

si 115.91398 115.08602

no 24.08602 23.91398

> chisq.test(esperimento)

Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data: esperimento

X-squared = 0, df = 1, p-value = 1

> chisq.test(esperimento,correct=F)

Pearson's Chi-squared test

data: esperimento

X-squared = 7e-04, df = 1, p-value = 0.9782

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CONCLUSIONI

fissato un alfa (usualmente 0.05) verifico il p-value rispetto a questo alfa se p-value >= alfa: accetto l’ipotesi H0 (le variabili sono indipendenti)

se p-value < alfa: accetto l’ipotesi H1 (vi è qualche forma di relazione tra le variabili)

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Quali conclusioni possiamo trarre dai risultati ottenuti ?

Grazie per l’attenzione

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