***20. Na figura a partcula A se move ao longo da reta y = 30 m com uma velocidade constante de mdulo 3,0 m/s e paralela ao eixo x. No instante em que a partcula A passa pelo eixo y a partcula B deixa a origem com velocidade inicial zero e acelerao constante de mdulo 0,40 m/s. Para que valor do ngulo entre e o semi-eixo y positivo acontece uma coliso?

Podemos usar as equaes para acelerao constante. = 30 = [(0,40 / ) ] Depois, os movimentos de A e B devem coincidir. = (3,0 / ) = [(0,40 / ) ] = = = (, / )(, / ) Ento, ligando as duas equaes

30 = [(0,40 / ) ] (, / )(, / ) Como = 1 30 = ,, 1 = ,(,) () Usando Bskara = ,,(,)(,) = = = 60

*21. Um projtil disparado horizontalmente de uma arma que est 45,0 m acima de um terreno plano, emergindo da arma com uma velocidade de 250 m/s.

a) Por quanto tempo o projtil permanece no ar? Uma vez que o movimento horizontal no interfere no movimento vertical. = + 45,0 = (0) + (9,80 / ) = (, ), / = 9,18 = 3,03

b) A que distncia horizontal do ponto de disparo ele se choca com o solo?

Desconsiderando-se a desacelerao causada pela resistncia do ar. = = (250 / )(3,03 ) = 758

c) Qual o mdulo da componente vertical da velocidade quando o projtil se choca com o solo?

Como a componente vertical da velocidade inicial zero. = + = 0 + (9,80 / )(3,03 ) = 29,7 / *22. No Campeonato Mundial de Atletismo de 1991, em Tquio, Mike Powell saltou 8,95 m, batendo por 5 cm um recorde de 23 anos para o salto em distncia estabelecido por Bob Beamon. Suponha que a velocidade de Powell no incio do salto era de 9,5 m/s (aproximadamente igual a de um velocista) e que g = 9,8 m/s em Tquio. Calcule a diferena entre o alcance de Powell e o mximo alcance possvel para uma partcula lanada com a mesma velocidade.

Usando a equao para o alcance horizontal de um projtil. = 2 = (,/ ), / 2 = 9,21 9,21 8,95 = 0,259

*23. O recorde atual de salto de motocicleta de 77,0 m, estabelecido por Jason Renie. Suponha que ele parta da rampa fazendo um ngulo de 12 com a horizontal e que as alturas no incio e no final do salto sejam iguais. Determine a velocidade inicial, desprezando a resistncia do ar. = 2 = = (, / )(, ) () = 43,1 / *24. Uma pequena bola rola horizontalmente at a borda de uma mesa de 1,20 m de altura e cai no cho. A bola chega ao cho a uma distncia horizontal de 1,52 m da borda da mesa.

a) Por quanto tempo a bola fica no ar? = + 1,20 = (0) + (9,80 / ) = (, ), / = 0,245 = 0,495

b) Qual a velocidade da bola no instante em que chega borda da mesa? = 1,52 = (0,495 ) = , , = 3,07 / *25. Um dardo arremessado horizontalmente com uma velocidade inicial de 10 m/s em direo ao ponto P, o centro de um alvo de parede. Ele atinge o ponto Q do alvo, verticalmente abaixo de P, 0,19 s depois do arremesso.

a) Qual a distncia PQ? = = (9,8 / )(0,19 ) = 0,18

b) A que distncia do alvo o dardo foi arremessado?

Consideramos a velocidade constante e o sentido do eixo x positivo. = = (10 / )(0,19 ) = 1,9 *26. Na figura, uma pedra lanada em um rochedo de altura h com uma velocidade inicial de 42,0 m/s e um ngulo = 60,0 com a horizontal. A pedra cai em um ponto A, 5,50 s aps o lanamento. Determine

a) a altura h do rochedo?

Fazendo = 0 e = = = + () = (42,0 60)(5,50 ) (9,8 / )(5,50 ) = (42,0 60)(5,50 ) (9,8 / )(5,50 ) = 51,8 b) a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A? = = () + () = = (42,060) + (42,060) = 27,4 / c) a mxima altura H alcanada acima do solo?

Usamos as equaes da acelerao constante, porm, substitumos a por g. = + 2( ) = () 2( ) Usando = 0 e = teremos: 0 = () 2 = () = (, ) (, / ) = 67,5

*27. Um certo avio tem uma velocidade de 290 km/h e est mergulhando com um ngulo = 30,0 abaixo da horizontal quando o piloto libera um chamariz. A distncia horizontal entre o ponto de lanamento e o ponto onde o chamariz se choca com o solo = 700 .

a) Quanto tempo o chamariz passou no ar?

Escolhemos a origem das coordenadas no nvel do solo, imediatamente abaixo do ponto de lanamento. Assim, = 30. A velocidade inicial do chamariz a velocidade do avio no momento da liberao. = 290 / = 80,6 /

Vejamos que a componente horizontal da velocidade no possui acelerao, ento = () = = (, / ) (,) = 10,0 b) De que altura foi lanado?

Agora que sabemos o tempo que o chamariz permaneceu no ar depois que foi liberado: = () 0 = (80,6 / )( 30,0)(10,0 ) (9,80 / )(10,0) = 403 490 = 893

*28. Uma pedra lanada de uma catapulta no instante t = 0, com uma velocidade inicial de mdulo 20,0 m/s e um ngulo de 40,0 acima da horizontal.

a) Qual o mdulo da componente horizontal do deslocamento da pedra em relao catapulta em t = 1,10 s? = = () = (20,0 / 40,0)(1,10 ) = 16,9

b) Qual o mdulo da componente vertical do deslocamento da pedra em relao catapulta em t = 1,10 s? = = () = (20,0 / 40,0)(1,10 ) (9,80 / )(1,10 ) = 8,21

c) Qual o mdulo da componente horizontal do deslocamento da pedra em relao catapulta em t = 1,80 s? = (20,0 / 40,0)(1,80 ) = 27,6

d) Qual o mdulo da componente vertical do deslocamento da pedra em relao catapulta em t = 1,80 s? = (20,0 / 40,0)(1,80 ) (9,80 / )(1,80 ) = 7,26

e) Qual o mdulo da componente horizontal do deslocamento da pedra em relao catapulta em t = 5,00 s?

Considerando que est diminuindo conforme o tempo aumenta, presumimos que a pedra alcana o solo antes dos 5,00 s, ento calculamos primeiro o tempo de deslocamento da pedra. = ()

0 = () 0 = 2() 2() = 2() = 2() = = () = = ( / ), / 40,0= 2,62 Em t = 5,00 s a pedra j se encontra no solo desde t = 2,62 s. = (20,0 / 40,0)(2,62 ) = 40,1

f) Qual o mdulo da componente vertical do deslocamento da pedra em relao catapulta em t = 5,00 s?

Como a pedra j se encontra no solo desde t = 2,62 s, a componente vertical 0. **29. Um mergulhador salta com uma velocidade horizontal de 2,00 m/s de uma plataforma que est 10,0 m acima da superfcie da gua.

a) A que distncia horizontal da borda da plataforma est o mergulhador 0,800 s aps o incio do salto?

Primeiramente organizamos nosso sistema de coordenadas colocando a origem na superfcie da gua, exatamente sob a borda da plataforma.

Lembramos que os movimentos vertical e horizontal so independentes. = 0 = (2,00 / )(0,800 ) = 1,60 = 1,60 b) A que distncia vertical acima da superfcie da gua est o mergulhador nesse instante?

Deduzimos que a velocidade vertical inicial zero, porm temos a acelerao da gravidade. = 0 = 0 (9,80 / )(0,800) = = 3,14 (abaixo da barda da plataforma)

Como o trampolim encontra-se 10,0 m acima da superfcie da gua, o mergulhador, em t = 0,800 s est (10,0 ) (3,14 ) = 6,86 da superfcie da gua.

c) A que distncia horizontal da borda da plataforma o mergulhador atinge a gua?

Para isso precisamos saber o tempo que o mergulhador leva para atingir a gua. = = = (, ), / = 1,43 Sabendo o tempo podemos aplicar a equao diretamente. = 0 = (2,00 / )(1,43 ) = 2,86 = 2,86

**30. O trebuchet era uma mquina de arremesso construda para atacar as muralhas de um castelo durante um cerco. Uma grande pedra podia ser arremessada contra uma muralha para derrub-la. A mquina no era instalada perto da muralha, porque os operadores seriam um alvo fcil para as flechas disparadas do alto das muralhas do castelo. Em vez disso, o trebuchet era posicionada de tal forma que a pedra atingia a muralha na parte descendente da sua trajetria. Suponha que uma pedra seja lanada com uma velocidade = 28,0 / e um ngulo de 40,0.

a) Qual a velocidade da pedra se ela atinge a muralha no momento em que chega altura mxima de sua trajetria parablica?

O mdulo da velocidade || = () + (), porm, quando a pedra atinge a altura mxima a velocidade vertical zero. Ento

|| = () = = = (28,0 / )(40,0) = 21,4 / b) Qual a velocidade da pedra se ela atinge a muralha depois de cair metade da altura

mxima sua trajetria parablica? Usando o fato de que = 0 na altura mxima , o tempo necessrio para que a

pedra atinja dada pela equao: = 0 = = = Usando a equao a equao a seguir e substituindo t, temos

= () = () = Para encontrar o tempo da pedra desce ao mximo y = y / 2, resolvemos a equao

quadrtica = = = () = Escolhendo temos = = (28,0 / )(40,0) = 21,4 / = = = (28,0 / )40,0= 12,7 / Assim, a velocidade da pedra quando = : = () + () = (21,4 / ) + (12,7 / ) = 24,9 /

c) Qual a diferena percentual entre as respostas dos itens (a) e (b)? , / , / , / = 0,163 = 16,3% **31. Um avio, mergulhando com velocidade constante em um ngulo de 53,0 com a vertical, lana um projtil a uma altitude de 730 m. O projtil chega ao solo 5,00 s aps o lanamento.

Adotamos como origem das coordenadas o nvel do solo exatamente abaixo do ponto de lanamento.

a) Qual a velocidade do avio? = () 0 730 = ( 37)(5,00 ) (9,80 / )(5,00 ) = = (, / )(, ) () (, ) = 202 /

b) Que distncia o projtil percorre horizontalmente durante o percurso? = () = (202 / )( 37)(5,00 ) = 806 c) Qual a componente horizontal da velocidade do projtil no momento em que chega ao

solo? = = (202 / )( 37) 161 /

d) Qual a componente vertical da velocidade do projtil no momento em que chega ao solo? = = (202 / )( 37) (9,80 / )(5,00 ) = 171 / **32. Durante uma partida de tnis, um jogador saca a 23,6 m/s, com o centro da bola deixando a raquete horizontalmente a 2,37 m de altura em relao quadra. A rede est a 12,0 m de distncia e tem 0,900 m de altura.

Adotamos como origem das coordenadas o nvel do solo exatamente abaixo do ponto que a bola deixa a raquete.

a) A bola passa para o outro lado da quadra?

Queremos saber qual a altura da bola quando x = 12,0 m. = () 12,0 = (23,6 / )(0) = , (, / )(,) = 0,508 = () = = 2,37 (9,80 )(0,508 ) = 1,10 Sim, pois ela passa sobre a rede a uma altura de 1,10 m, enquanto a rede tem 0,900 m de

altura.

b) Quando a bola chega a rede, qual a distncia entre o centro da bola e o alto da rede?

1,10 m 0,900 m = 0,200 m

c) Supondo que, nas mesmas condies, a bola deixe a raquete fazendo um ngulo de 5,00 abaixo da horizontal. Nesse caso a bola passaria para o outro lado da quadra? = ()

12,0 = (23,6 / )( 5,00) = , (, / )(,) = 0,510 = () = 2,37 + [(23,6 )( 5,00)(0,510 ) ] (9,80 )(0,510 ) =0,046

No, pois ela passa chega rede a 0,046 m acima do solo, enquanto a rede tem 0,90 m de altura.

d) Supondo que, nas mesmas condies, a bola deixe a raquete fazendo um ngulo de 5,00 abaixo da horizontal. Quando a bola chega a rede, qual a distncia entre o centro da bola e o alto da rede?

0,900 m 0,046 m = 0,854 m

**33. Em uma cortada, um jogador de voleibol golpeia a bola com fora, de cima para baixo, em direo quadra adversria. difcil controlar o ngulo de uma cortada. Suponha que uma bola seja cortada de uma altura de 2,30 m, com uma velocidade inicial de 20,0 m/s e um ngulo para baixo de 18,0. Se o ngulo para baixo diminuir para 8,00, a que distncia adicional a bola atingir a quadra adversria?

Primeiro encontramos o tempo que a bola leva para atingir o cho.

Supomos que o ngulo de 18,0 para baixo seja 18,0 abaixo da linha horizontal. = () 0 2,30 = (20,0 / )( 18,0) (9,80 / ) (4,90 ) + (6,18 ) 2,30 = 0 = ,(,)(,) (,)(,) = ,,, = 0,30 Dessa forma a bola atingir a quadra em = () 0 = (20,0 / )( 18,0)(0,30 ) = 5,71 Porm se o ngulo diminuir para 8,00 = () 0 2,30 = (20,0 / )( 8,00) (9,80 / ) (4,90 ) + (2,78 ) 2,30 = 0 = ,(,)(,) (,)(,) = ,,, = 0,46 Dessa forma a bola atingir a quadra em = () 0 = (20,0 / )( 8,00)(0,46 ) = 9,06 Da conclumos que a distncia adicional, caso o ngulo diminua de 18,0 para 8,00 : = = 9,06 5,71 = 3,35

**34. Uma bola de futebol chutada a partir do cho com uma velocidade inicial de 19,5 m/s e um ngulo para cima de 45. No mesmo instante um jogador a 55,0 m de distncia, na direo do chute, comea a correr para receber a bola. Qual deve ser sua velocidade mdia para que alcance a bola imediatamente antes que toque o gramado?

Primeiro calculamos a distncia que a bola percorrer. = 2 = (, / ), / 90,0= 38,8 Como o jogador se encontra a 55,0 m de , e a bola se desloca 38,8 m a partir de , o

jogador dever se deslocar 55,0 38,8 = 16,2 . Agora teremos que calcular o tempo que a bola permanecer viajando. Na verdade o

tempo que ela leva para subir at o mximo da altura e retornar at o solo. = () = () , mas = 0, pois a bola voltar mesma altura que foi lanada. Ento

0 = () () = = = = = (, )(, ) = 2,81 Agora que sabemos a distncia que o jogador ter que percorrer e o tempo: = = 16,2 2,81 = 5,77 /

**35. A velocidade de lanamento de um projtil cinco vezes maior que a velocidade na altura mxima. Determine o ngulo de lanamento .

Colocamos a origem das coordenadas no local de lanamento.

Observamos que na altura mxima, = 0, o que determina que = = . Nesse raciocnio, vemos que = 5. Em seguida vemos que = = . Logo:

(5) = = = = 78,5 **36. Um arremessador de peso de nvel olmpico capaz de lanar o peso com uma velocidade inicial = 15,00 m/s de uma altura de 2,160 m. Que distncia horizontal coberta pelo peso se o ngulo de lanamento :

a) 45,00?

Como as alturas inicial e final so diferentes, no podemos usar a equao de alcance horizontal.

Usaremos ento a equao de movimento vertical para descobrir o tempo que o peso permanece no ar. = () 0 2,160 = (15,00 )(45,00) (9,800 )

(4,900 ) (10,61 ) 2,160 = 0 = = ,(,)(,)(,), = ,,, = 2,352 s Portanto a distncia horizontal : = (00) = (15,00 )45,00(2,352 ) = 24,95

b) 42,00? = () 0 2,160 = (15,00 )(42,00) (9,800 ) (4,900 ) (10,04 ) 2,160 = 0 = = ,(,)(,)(,), = ,,, = 2,245 s Portanto a distncia horizontal : = (00) = (15,00 )42,00(2,245 ) = 25,02 Obs: As respostas mostram que o ngulo de 45, que maximiza o alcance dos projteis,

no maximiza a distncia horizontal qundo a altura inicial diferente da altura final.

**37. Uma bola lanada a partir do solo. Quando ela atinge uma altura de 9,1 m, sua velocidade = (7,6 + 6,1)/ , com na horizontal e para cima.

a) Qual a altura mxima atingida pela bola?

Designamos como: = = = (7,6 + 6,1)/ = = Primeiramente vamos encontrar a velocidade inicial: = + 2( ) = 2( ) (6,1 ) = 2(9,8 )(9,1 ) = (6,1 ) + 2(9,8 )(9,1 ) = 15 /