I frattali e le curve della natura Osserviamo la natura.
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I frattali e le curve della natura
Osserviamo la natura
I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
SONO QUESTE ALCUNE FORME CHEPOSSONO ESSERE SPIEGATE
CON UNA PARTE DI MATEMATICADETTA GEOMETRIA DEI FRATTALI
I frattali e le curve della natura
dal latino fractus, che vuol dire interrotto.
Frattale
Curva inconsueta con un proprio ordine interno
Origine: prima metà del 19° secolo
I frattali e le curve della natura
Alcuni studiosi , David Hilbert, Giuseppe Peano, George Cantor e successivamente Von Koch e Gaston Julia, rivolsero i loro studi sui caratteri di continuità e regolarità di alcune curve e sulla dimensione di uno spazio matematico.
Tali indagini non condussero alla rappresentazioni grafica delle stesse curve.
I frattali e le curve della natura
La curva di Hilbert
Al limite la curva attraverserà ogni punto del quadrato
Coerente con la scoperta di Cantor: un quadrato unitario non contiene più punti di
un segmento unitario
Costruzione con macro in Cabri
I frattali e le curve della natura
La curva di Von Koch
Non possiede nessuna tangenteDati due punti , la lunghezza dell’arco
compresa fra i due punti è infinita
Costruzione con macro in Cabri
I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
Caratteristiche 1) Autosimilarità: la figura F è unione
di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.
2) Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.
3) Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche.
La curva itera il medesimo andamento a tutte le possibili scale di grandezza
I frattali e le curve della natura
Conseguenza:• la lunghezza di un qualsiasi
segmento staccato lungo tali curve tende all’ infinito.
una curva frattale, ad esempio contenuta in un piano non può essere pensata perfettamente coincidente con questo e quindi ha dimensione minore di 2; tuttavia “riempie” il piano in una maniera del tutto inconsueta da dover pensare di non avere la dimensione di una qualunque linea, ovvero 1.
I frattali e le curve della natura
B. B. Mandelbrot, autorevole matematico di origine polacca diede impulso allo studio dei frattali e quindi della “geometria dei frattali”.
I frattali e le curve della natura
Con l’avvento degli elaboratori elettronici è stato possibile visualizzare efficacemente tali figure e in tempi ragionevoli.
I frattali e le curve della natura
Mandelbrot, nel 1980 sviluppò un nuovo insieme frattale , oggi noto con il nome di Insieme di Mandelbrot, in cui la complessità è estremamente elevata.
I frattali e le curve della natura
Per "disegnare" un frattale attraverso un elaboratore, è necessario precisare il numero massimo di iterazioni: un tempo finito non basterebbe per calcolare un punto del frattale a infinite iterazioni
Con l'aiuto dei calcolatori e utilizzando opportunamente i colori è possibile ottenere immagini molto suggestive di questi frattali.
I frattali e le curve della natura
L'insieme di Mandelbrot si presenta come un otto tozzo disposto in orizzontale, coperto di pretuberanze e simmetrico rispetto all'asse delle ascisse.
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Ogni pretuberanza è una sottile figura di forma molto simile a quella generatrice.
I frattali e le curve della natura
Zoomando ancora su ciascuna di queste pretuberanze comprare una miriade di filamenti arricciati e annodati che si estende in file a spirale.
Ingrandendo un ricciolo compaiono coppie di spirali unite da ponti di “filigrana”.
Nell’ingrandimento di un ponte spuntano dal suo centro due riccioli; Al centro di questo centrosi ritrova un’altra versione dell’insieme di Mandelbrot.
I frattali e le curve della natura
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I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
In sostanza i frattali non si esprimono mediante figure primarie,
si esprimono mediante algoritmi,
cioè procedure geometriche o algebriche tradotte in immagini col computer
I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
Il caos non è
confusione irregolarità
È
complessità con un ordine interno
I frattali e le curve della natura
La spirale è quella curva piana che ha la proprietà di avvolgersi in infiniti giri intorno ad un punto. È una struttura molto diffusa in natura: dai cicloni alle galassie, dalle corna d'alcuni animali (come i montoni) fino alle conchiglie, dal moto dei cicloni alla molecola del DNA, dai fiori di girasole fino alle zanne degli elefanti.
I frattali e le curve della natura
La spirale è quella curva piana che ha la proprietà di avvolgersi in infiniti giri intorno ad un punto.
La spirale è alla base del mondo vivente: il nucleo cellulare (costituito da una lunga catena a spirale, il DNA) ; la galassia a spirale.
Con le spirali si possono creare dei frattali.
I frattali e le curve della natura
I frattali e le curve della natura
Nel 1957 A. E. Bosman con La geometria nel pianeta: un campo miracoloso di ricerca .Albero di pitagora
I frattali e le curve della natura
La forma avvolta non è altro che una spirale
I frattali e le curve della natura
la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la stessa figura è il risultato di una semplice operazione, la biforcazione di un segmento.
I frattali e le curve della natura
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Un paesaggio lunare potrebbe apparire come la superficie di un frattale: i crateri più grandi rappresentano la scala maggiore, ma anche con qualsiasi scala minore si possono vedere crateri; la locazione dei quali è del tutto casuale.
I frattali e le curve della natura
Consideriamo un pendolo che oscilli nell’aria: il suo moto si smorza progressivamente, con oscillazioni sempre più piccole, fino a esaurirsi
nella quiete.Tutte le orbite finiscono nel punto di equilibrio del pendolo; esso è dunque l’attrattore del sistema. gli attrattori sono costituiti da
curve regolari, dette cicli limite, oppure, nel
caso dei sistemi caotici, delle strutture ancor più insolite
detti attrattori strani.
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Lorenz: stava lavorando ad un modello atmosferico nato appunto dallo studio dell’insorgere della turbolenza in un fluido. Questo sistema fisico dissipativo presenta un attrattore strano, detto attrattore di Lorenz, che sembra avere la forma di una striscia di carta attorcigliata (come il nastro di Moebius) ma che in effetti non è "solida", ma piuttosto formata da tantissimi filamenti, cioè con la tipica struttura infinitamente complessa dei frattali. Per la forma a farfalla di tale modulo si denominò tale situazione effetto farfalla.
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“...Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono circoli e gli argini non sono regolari.....la varietà di configurazioni è una sfida a studiare quelle forme che la geometria euclidea tralascia come informi, a investigare la morfologia dell’amorfo....”(Mandelbrot)
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Grazie dell’attenzione