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Capitolo 10

I convertitori per azionamenti

10.1 Convertitori CA-CCNella maggior parte delle applicazioni elettriche, l'energia viene fornita sotto forma di tensionealternata sinusoidale a 50 o 60 Hz di valore ecace costante. Tale ingresso per poter essereutilizzato negli azionamenti elettrici deve essere spesso convertito in una sorgente continua ditensione o corrente regolabile.

Nel primo caso la conversione avviene nella maggior parte delle applicazioni mediante pontiraddrizzatori a diodi non controllati ed, anché la tensione in uscita dal raddrizzatore presenti laminor oscillazione possibile, viene tipicamente connesso al lato in corrente continua, come ltro,un condensatore di capacità di valore elevato, in modo da limitare le ondulazioni di tensione.

Tale soluzione presenta il vantaggio di un costo estremamente contenuto soprattutto se il rad-drizzatore è direttamente connesso alla linea di alimentazione senza la presenza di un trasformatorein ingresso, ma ha lo svantaggio di presentare una elevata distorsione delle correnti assorbite.

Nel secondo caso è necessario ricorrere a ponti controllati dotati in uscita di un induttore diinduttanza elevata, in modo da limitare le ondulazioni di corrente. Tale soluzione presenta costipiù elevati, ma presenta caratteristiche favorevoli per l'uso in azionamenti di potenza limite.

10.2 Raddrizzatori elementari non controllatiPer introdurre i principi della conversione CA-CC con diodi non controllati saranno analizzatialcuni semplici convertitori atti evidenziare le caratteristiche di funzionamento intrinseche di taliconvertitori.

10.2.1 Convertitore monofase a semplice semiondaIl circuito monofase a semplice semionda è costituito da una sola valvola a conduzione unidirezio-nale posta in serie ad un generico carico, si veda Figura 10.1a, mentre la sorgente di potenza è unatensione alternata sinusoidale a frequenza e valore ecace costanti. Tale congurazione circuitaleha un limitato interesse pratico, tuttavia il suo studio mette il luce una serie di peculiarità tipichedei circuiti a diodi.

Nel caso di carico puramente resistivo le forme d'onda sono quelle rappresentate in Figura10.1b. Si può infatti evidenziare che il diodo risulti polarizzato positivamente ed entri quindi inconduzione ogni semiperiodo positivo della tensione della sorgente vs(t). La corrente circolantenel carico i(t) = vc(t)/R presenta naturalmente il medesimo andamento della tensione applicata.

Si consideri ora il circuito rappresentato in Figura 10.2 in cui il carico è ohmico-induttivo.All'istante t = 0, il diodo si polarizza direttamente e comincia a condurre. La corrente nel circuitoè governata dall'equazione dierenziale (10.1).

190

CAPITOLO 10. I CONVERTITORI PER AZIONAMENTI 191

(a) Il convertitore elementare (b) Forme d'onda di tensione e corrente

Figura 10.1: Il convertitore a semplice semionda con carico resistivo

vs = Ri + Ldi

dt(10.1)

Fino a quando la tensione vs della sorgente è maggiore della tensione sulla resistenza vR lacorrente cresce e l'induttore accumula energia. Quando la tensione sulla resistenza supera latensione di alimentazione (istante t1) la tensione sull'induttanza diventa negativa e quindi lacorrente comincia a diminuire nché si annulla all'istante t2; in questo istante il diodo entra instato di blocco (Figura 10.2b).

L'istante di tempo t2, al quale il diodo smette di condurre, può essere ottenuto dall'equazionedell'induttore riscritta separando le variabili dt e di come indicato in (10.2).

1L

vLdt = di (10.2)

Integrando tra 0 e t2 e riconoscendo che i(0) = i(t2) = 0 si ottiene l'equazione (10.3) che puòessere interpretata come indicato in (10.4): la corrente si annulla quando le due aree A e B, sottesedalla curva che individua l'andamento della tensione sull'induttore vL, sono uguali.

1L

∫ t2

0

vLdt =∫ i(t2)

i(0)

di = 0 →∫ t2

0

vLdt =∫ t1

0

vLdt +∫ t2

t1

vLdt = 0 (10.3)

Area A−Area B = 0 (10.4)Il medesimo discorso si può eettuare nel caso in cui il carico sia costituito da un induttre di

induttanza L e da un generatore di tensione costante Ed (Figura 10.3a). In questo caso il diodoinizierà a condurre quando la tensione di alimentazione vs sarà maggiore della tensione Ed (Figura10.3).

Come si può notare, in tutti questi casi sia la tensione del carico vc che la corrente i presentanoun valore medio diverso da zero. Tale valore medio compare anche nella corrente erogata dalgeneratore. Ora, se l'alimentazione provenisse, come spesso accade, da un trasformatore, talecomponente continua potrebbe portare in saturazione il nucleo del trasformatore, compromettendoil buon funzionamento del sistema. E' per questa ragione che il raddrizzatore monofase a semplicesemionda non è normalmente usato.

10.3 Raddrizzatore monofase a ponte non controllatoLa struttura tipica del raddrizzatore a ponte monofase utilizzato negli azionamenti elettrici èrappresentata in Figura 10.4. Si può notare la presenza di un condensatore di elevata capacità


Figura 10.2: Il convertitore a semplice semionda con carico ohmico-induttivo


Figura 10.3: Il convertitore a semplice semionda con carico attivo


Figura 10.4: Raddrizzatore monofase a ponte non controllato

Figura 10.5: Raddrizzatore a ponte con Ls = 0 e carico resistivo

lato corrente continua, mentre la sorgente di potenza, in generale, può essere modellata come unasorgente ideale di tensione sinusoidale vs con un impedenza serie costituita da un solo induttoredi induttanza Ls. Tale induttore rappresenta un modello semplicato della linea, dell'eventualetrasformatore di alimentazione e dell'induttore di ltro. Vengono nel seguito esaminati alcuniesempi di funzionamento del raddrizzatore a ponte che consentono un approccio intuitivo allostudio. In tutti i casi presentati le valvole saranno considerate ideali.

10.3.1 Funzionamento con Ls = 0 e carico resitivoUn primo approccio allo studio del funzionamento del raddrizzatore si può ottenere considerandoil circuito di Figura 10.5: il carico è esclusivamente resistivo (Cf = 0) e l'induttanza Ls di ingressoè trascurabile.

Nella congurazione proposta saranno in conduzione il diodo superiore che si trova con ilpotenziale anodico maggiore e il diodo inferiore a potenziale catodico minore (si veda Figura 10.6in cui i diodi in conduzione sono rappresentati da un corto circuito, mentre quelli in stato diblocco come circuiti aperti). Gli andamenti delle grandezze tensione e corrente sono rappresentatiin Figura 10.7.

Il valore medio della tensione sul carico si ottiene integrando l'andamento della tensione vs inun semiperiodo come indicato in (10.5)


(a) Semionda positiva (b) Semionda negativa

Figura 10.6: Schema di conduzione delle valole durante un periodo di vs

Figura 10.7: Andamenti di tensione e corrente per Ls = 0 e carico resistivo


Figura 10.8: Raddrizzatore con corrente costante lato continua

Figura 10.9: Andamenti di tensione e corrente nel carico con corrente costante lato continua

Vd0 =1

T/2

∫ T/2

0

√2Vs sin ωt di =

2√

2π

Vs ≈ 0.9Vs (10.5)

10.3.2 Funzionamento con corrente lato continua costanteSi consideri il circuito rappresentato in Figura 10.8 in cui il carico può essere rappresentato daun generatore di corrente costante (è il caso di carichi ohmico-induttivi ad elevata costante ditempo). Come già visto per il caso di carico resistivo, tra i diodi a catodo comune conduce quellocon potenziale anodico maggiore e, viceversa, per i diodi ad anodo comune. Gli andamenti dellegrandezze tensione e corrente sono rappresentati in Figura 10.9 e Figura 10.10.

10.3.3 Funzionamento con corrente, lato continua, costante e induttan-za di linea Ls 6= 0

La presenza di una induttanza di linea LS 6= 0 non permette che la corrente is possa assumerel'andamento a gradino di Figura 10.10. Infatti se nel circuito la corrente variasse a gradino, suLs si manifesterebbe un impulso di tensione e non sarebbe soddisfatta la legge di Kirchho delletensioni in una qualsiasi maglia comprendente Ls e vs, in quanto il generatore di tensione ha valorenito.

Si supponga ora che il diodo D1 e D6 siano in conduzione e si voglia studiare il fenomeno dellacommutazione che porta in conduzione i diodi D3 e D4; si faccia l'ipotesi che il tempo in cui avvengala commutazione sia inferiore al semiperiodo della sorgente dell'alimentazione. Sotto queste ipotesila rete è a regime prima che cominci il fenomeno della commutazione e quindi l'induttore Ls sicomporta come un corto circuito (è percorsa da corrente costante). Si scelga come origine dei


Figura 10.10: Andamenti di tensione e corrente di linea con corrente costante lato continua

Figura 10.11: Raddrizzatore a ponte con corrente lato continua costante e Ls 6= 0


Figura 10.12: Convenzioni di misura durante la fase di commutazione

Figura 10.13: Andamento delle correnti nei diodi e nella linea durante la commutazione

tempi l'istante in cui la tensione vs cambia segno, passando da positiva a negativa, per cui si avràvs(t) > 0 per t < 0 e vs(t) < 0 per t > 0. La maglia comprendente il generatore vs e l'induttanzaLs è governata dall'equazione (10.6).

vAB(t) = vs(t)− Lsdisdt

per t > 0 (10.6)

La presenza dell'induttore implica infatti la continuita della corrente is (is(0−) = is(0+) = Id),ma non della sua derivata. Si dimostra che l'unica condizione che rispetti le leggi di Kirchho saràche entrino in conduzione i diodi D3 e D4 e vAB(t) = 0 per tutta la durata della commutazione.

Si supponga infatti che per dt > 0, vAB(dt) = vs(dt)−Lsdis/dt > 0 e cioè Lsdis/dt < vs(dt) < 0o meglio dis < 0 (per l'ipotesi sul segno di vs(t) per t > 0). Se fosse vera questa ipotesi, D1 e D6rimarrebbero in conduzione e D3, D4 in stato di blocco (il diodo D1 è il diodo a potenziale anodicomaggiore e, dualmente, D6 a potenziale catodico minore). Tale situazione non è compatibile conla legge di Kirchho al nodo P dato che al tempo dt si avrebbe is(dt) = Id + dis < Id (dis < 0).

Se viceversa vAB(dt) < 0 entrerebbero in conduzione D3 e D4. Poichè la corrente is non puòavere discontinuità per la presenza dell'induttore D1 e D6 devono rimanere in conduzione (cosa


che viceversa accadrebbe se D1 e D6 si spegnessero), ma in questo modo non è soddisfatta la leggedi Kirchho delle tensioni alla maglia vS , Ls, D1, D3 (implicherebbe una tensione diversa da 0 aicapi di un corto circuito)

La condizione vAB(dt) = 0 con i quattro diodi in conduzione per tutta la durata del transitoriodi commutazione è quindi l'unica compatibile con le leggi di Kirchho. L'equazione che governail transitorio di commutazione è riportata in (10.7). La soluzione dell'equazione dierenziale siottiene per integrazione di (10.7) imponendo la condizione iniziale is(0) = Id (l'origine dei tempiè ssata all'istante di inversione della tensione vs) ed è indicata in (10.8).

.

VsM sin ωt− Lsdisdt

= 0 (10.7)

is(t) = Id − VsM

ωLs(1− cosωt) = Id −∆id(t) (10.8)

Le correnti nei diodi sono calcolabili utilizzando le leggi di Kirchho ai nodi P, N (10.10) edi legami (10.9), validi per ragioni di simmetria (si faccia riferimento alle convenzioni di misurain Figura 10.12). Le soluzioni del sistema di equazioni (10.9)-(10.10) sono riportate in (10.11).L'andamento qualitativo delle correnti nei diodi e in linea durante la commutazione è rappresentatoin Figura 10.13.

iD1 = iD6

iD3 = iD4

(10.9)

Id − iD1 − iD3 = 0

Id − iD4 − iD6 = 0(10.10)

iD1 = iD6 = Id − ∆id(t)2

iD3 = iD4 =∆id(t)

2(10.11)

Il tempo di commutazione tc si può calcolare come indicato in (10.12) (la commutazione terminaquando la corrente is ha raggiunto il valore −Id).

is(tc) = −Id = Id − VsM

ωLs(1− cos ωtc) tc =

1ω

arccos(

1− 2IdωLs

VsM

)(10.12)

10.3.4 Funzionamento con tensione, lato continua, costanteSi consideri il circuito rappresentato in Figura 10.14 che può essere considerato come una primaapprossimazione del circuito di Figura 10.4 in presenza di un condensatore di capacità C di valoremolto elevato. In questo caso le forme d'onda sono rappresentate in Figura 10.15 dove si è fattal'ulteriore ipotesi che la corrente del carico sia nulla quando la tensione del generatore vs passaper lo 0 (dicontinuous conduction mode - conduzione discontinua).

In questo caso, quando la tensione vs supera la tensione Vd (tempo t1) il diodo entra inconduzione. Il raggiungimento del picco di corrente avviene al tempo t2 quando la tensione vs

eguaglia nuovamente la tensione Vd. Dopo t2 la tensione sull'induttore Ls diventa negativa e lacorrente inizia a diminuire nché si annulla al tempo t3, ricavabile imponendo l'uguaglianza tra learee A e B sottese dalla curva vL (Figura 10.15).

Il tempo t1 in cui la corrente id comincia a circolare può essere ricavato dalla equazione (10.13)dove VSM è il valore massimo della tensione del generatore vS .

Vd = VsM cos(ωt1) (10.13)


Figura 10.14: Raddrizzatore con tensione costante lato continua

Figura 10.15: Forme d'onda di un raddrizzatore nell'ipotesi di tensione lato continua costante


Figura 10.16: Andamento normalizzato della corrente media Id in funzione della tensione Vd

Quando la corrente circola nel carico, la tensione vL dell'induttore è data dall'equazione (10.14).L'equazione (10.14) consente di ricavare l'istante di tempo t3 in cui la corrente del carico si annullacome indicato in (10.15)

vL = Lsdiddt

= VsM sin(ωt)− Vd (10.14)

∫ t3

t1

vLdt =∫ t3

t1

(VsM sin(ωt)− Vd)dt = 0 (10.15)

Il valore medio Id della corrente che circola nel carico può essere ottenuto integrando la correntecome indicato in (10.16).

Id =1

T/2

∫ t3

t1

iddt (10.16)

E' intuitivo che, ssato il valore dei parametri del circuito di conversione, il valore di Id dipen-derà dal valore della tensione Vd del carico. Normalizzando il valore di Vd secondo un opportunovalore di tensione Vd0 , valore medio della tensione del carico per Ls = 0 e carico puramenteresistivo, si veda (10.5), e di Id con il valore di corrente di corto circuito dell'alimentazione Icc,indicato in (10.17), si ottiene il graco in Figura 10.16 che rappresenta l'andamento del valoremedio di corrente per vari valori di tensione Vd.

Icc =Vs

ωLs(10.17)

10.3.5 Funzionamento con condensatore, carico resistivo, Ls = 0

In Figura 10.17 è presentato il circuito raddrizzatore a ponte con condensatore Cf , carico resistivoe con induttanza di linea nulla.

Il condensatore ha il compito di ltrare la tensione, lato continua. Infatti, la presenza delcondensatore Cf fa sì che la tensione vd sul carico segua un andamento dierente dalla tensioneraddrizzata teorica |vs| (si veda la Figura 10.18) In particolare, quando la tensione sul condensatore


Figura 10.17: Raddrizzatore a ponte con condensatore e carico resistivo, Ls = 0

risulta maggiore della tensione |vs|, tutti i diodi si trovano nello stato di blocco ed il condensatorerimane scollegato dalla linea di alimentazione. L'andamento di vd(t) è quello tipico di una rispostalibera di un transitorio RC. La corrente id assorbita dalla linea è leggermente in anticipo rispettoalla tensione ed è di tipo impulsivo.

Più è elevata la costante di tempo RcCf più diminuisce l'ondulazione ∆v della tensione sulcarico (Figura 10.19) (d'altra parte il tempo in cui il condensatore rimane collegato alla retediminuisce). Si noti che, avendo considerato bipoli ideali, l'energia erogata al carico (che nell'ipotesidi vd poco variabile coincide con l'area ic della Figura 10.19) eguaglia quella assorbita ai morsettidi vs (che sempre nell'ipotesi di vd poco variabile coincide con l'area id). Dal momento che alcrescere di Cf si riduce sempre di più l'intervallo di tempo di conduzione del ponte, ne consegueche il valore di picco di id tende ad assumete valori non ammissibili per i diodi. Questa situazionecambia per eetto della inevitabile presenza di un induttore Ls sul lato di alimentazione comeverrà indicato nel paragrafo 10.3.6.

10.3.6 Funzionamento con condensatore, carico resistivo, Ls 6= 0

Si consideri ora il circuito rappresentato in Figura 10.20 che rappresenta una modellazione di unimpianto di conversione a ponte a diodi, più aderente alla realtà. Solitamente, infatti, l'alimen-tazione del ponte è assicurata da un trasformatore alimentato da una linea di potenza nominaleelevata, schematizzata dal generatore ideale di tensione vs, collegato al convertitore da una lineamonofase. Il parametro Ls tiene quindi conto dell'induttanza di dispersione del trasformatore edi quella di linea. Analofo signicato ha la resistenza Rs.

Per lo studio del circuito si assume ora che, come avviene nella maggior parte dei casi, ivalori della capacità Cf e della induttanza Ls siano tali che la corrente id presenti un andamentodiscontinuo simile a quello rappresentato in Figura 10.21 ed in particolare che la corrente si annulliprima del passaggio per lo zero della tensione di alimentazione. Se queste ipotesi sono soddisfatte èpossibile studiare le tensioni e le correnti a valle del convertitore utilizzando il circuito equivalentedi Figura 10.22.

Assumendo come variabili di stato la corrente nell'induttore id e la tensione sul condensatorevd si possono scrivere le equazioni (10.18) e (10.19) valide durante il periodo di conduzione deldiodo.

|vs| = Rsid + Lsdisdt

+ vd (10.18)

id = Cfdvd

dt+

vd

Rc(10.19)


Figura 10.18: Forme d'onda di un raddrizzatore a ponte con condensatore, carico resistivo e Ls = 0


Figura 10.19: Forme d'onda di un raddrizzatore a ponte con elevata costante di tempo

Figura 10.20: Raddrizzatore a ponte con condensatore, carico resistivo e Ls 6= 0

Figura 10.21: Forme d'onda di un raddrizzatore a ponte con condensatore, carico resistivo e Ls 6= 0


Figura 10.22: Circuito equivalente

Figura 10.23: Raddrizzatore trifase con carico resistivo

Durante gli istanti in cui il diodo non conduce si ha id = 0 e la tensione vd del carico varia conla legge (10.20). Le forme d'onda che ne conseguono sono riportate in Figura 10.21.

dvd

dt= − 1

CfRcvd (10.20)

10.4 Raddrizzatore trifase a ponte non controllatoNelle applicazione industriali dove è disponibile una alimentazione trifase è preferibile utilizzareun ponte raddrizzatore trifase che presenta delle ondulazioni di tensione e corrente più contenuterispetto all'equivalente monofase. Vengono nel seguito esaminati alcuni esempi di funzionamentodel convertiore che consentono un approccio intuitivo allo studio. In tutti i casi presentati levalvole saranno considerate ideali.

10.4.1 Funzionamento con carico resistivoLa struttura del convertitore è riportata in Figura 10.23 e le forme d'onda, ottenute in manieraanaloga a quanto visto per il ponte monofase, sono riportate in Figura 10.24 (sono in conduzioneil diodo superiore con il maggior potenziale anodico e il diodo inferiore con il minor potenzialecatodico).

Il potenziale del morsetto P rispetto al centro stella dei generatori n segue, quindi, l'invilupposuperiore delle tre tensioni di fase, mentre quello del morsetto N segue l'inviluppo inferiore. Latensione sul carico vd coincide con la tensione vPN tra i morsetti P e N (10.21). Il suo valore


Figura 10.24: Forme d'onda di tensione in un raddrizzatore trifase con carico resistivo

massimo è pari al valore massimo della tensione concatenata e la sua periodicità è pari a 1/6 delperiodo della fondamentale.

vd = vPn − vNn (10.21)Il valore medio vd0 della tensione raddrizzata può essere ottenuto integrando per T/6 la tensione

concatenata (Vc è il valore ecace della tensione concatenata) come indicato in (10.22)

Vd0 =1

T/6

∫ T12

− T12

√2Vc cos(ωt)dt =

3√

2π

Vc ≈ 1.35 · Vc (10.22)

Il valore della tensione vd varia tra un massimo pari a√

2Vc ≈ 1.41 · Vc ed un minimo paria√

2 · Vc cos(π/6) ≈ 1.23 · Vc con una ondulazione (ripple) decisamente più limitata rispetto alcaso monofase.

La corrente nel carico resistivo ha un andamento simile a quello della tensione raddrizzata. Lacorrente di linea, in uno qualsiasi dei tre conduttori, si può facilmente ricostruire utilizzando leleggi di Kirchho ai nodi A, B e C come indicato in (10.23).

i1 = iD1 − iD4

i2 = iD3 − iD6

i3 = iD5 − iD2

(10.23)

. In Figura 10.25 viene mostrato l'andamento della corrente di linea i1 e, con tratteggio, la suaprima armonica, il cui valore massimo è indicato in (10.24):

I1M =2T

∫ T2

−T2

i1(t) sin(ωt)dt (10.24)


Figura 10.25: Forme d'onda di corrente in un raddrizzatore trifase con carico resistivo

10.4.2 Funzionamento con corrente, lato continua, costanteSi consideri il circuito rappresentato in Figura 10.26 in cui è rappresentato in forma molto sche-matica il caso, ricorrente nella tecnica, di un impianto che alimenta un carico industriale RLfortemente induttivo. In questo caso la tensione sul carico è ondulato come nel caso precedente(si veda la Figura 10.27), ma la corrente presenta una ondulazione tanto più ridotta, quanto piùalta è la costante di tempo τ = L/R del carico. Al limite (per τ → ∞) la corrente di carico puòessere schematizzata con un generatore di corrente costante Id.

La corrente in uno qualsiasi dei conduttori di linea segue le stesse regole già introdotte nelparagrafo precedente. Poiché i diodi conducono per 1/3 del periodo T , l'andamento della correntedi linea è rappresentato in Figura 10.28. Nella stessa gura viene anche visualizzata la primaarmonica ad essa associata, che risulta in fase con la tensione.

Il valore massimo della corrente di linea si può ottenere come indicato in (10.25). Il valoreecace di prima armonica è indicato in (10.26).

I1M =2T

∫ T2

−T2

i1(t) sin(ωt)dt =4π

∫ π2

π6

Id sin αdα =2√

3π

Id ≈ 1.1Id (10.25)

I1 =I1M√

2=√

6π

Id ≈ 0.78Id (10.26)

10.4.3 Funzionamento con corrente, lato continua, costante e Ls 6= 0

Come per il caso monofase, la presenza di una induttanza Ls in serie ai generatori di tensione(Figura 10.30) non permette alla corrente di linea di assumere l'andamento a gradino di Figura10.29. Infatti se nel circuito la corrente variasse a gradino, su Ls si manifesterebbe un impulsodi tensione e non sarebbe soddisfatta la legge di Kirchho delle tensioni in una qualsiasi magliacomprendente Ls e i generatori di tensione.


Figura 10.26: Raddrizzatore trifase con generatore di corrente

Figura 10.27: Andamenti di tensione e corrente nel carico

Figura 10.28: Andamenti di tensione e corrente di linea in una fase


Figura 10.29: Andamento delle correnti di linea

Figura 10.30: Raddrizzatore trifase con corrente costante lato continua e e Ls 6= 0


Figura 10.31: Circuito equivalente durante la commutazione tra D5 e D1

Si voglia ora il transitorio di commutazione in maniera analoga a quanto fatto per il casomonofase. Come origine dei tempi per lo studio del transitorio, si consideri l'istante in cui sonoin conduzione i diodi D6 e D5 e debba entrare in conduzione il diodo D1 (istante t1 di Figura10.29 per il caso con Ls = 0). A partire da questo istante di tempo il diodo D5 evolve verso lostato di blocco, D1 entra in conduzione mentre D6 continua a rimanere in conduzione. Il circuitoequivalente per la commutazione tra D5 e D1 è presentato in Figura 10.31.

La legge di Kirchho delle correnti al nodo P permette di scrivere i3 = Id − i1 che sostiuitanella legge di Kirchho alla maglia A (10.27), indicata in Figura 10.31, conduce all'equazionedierenziale (10.28), dove si è tenuto conto anche che Id è costante.

v1(t)− Lsdi1dt

+ Lsdi3dt

− v3(t) = 0 (10.27)

v1(t)− v3(t) = Lsdi1dt

− Lsd(Id − i1)

dt= 2Ls

di1dt

(10.28)

La soluzione dell'equazione dierenziale (10.28) può essere ottenuta per integrazione con con-dizione iniziale i1(0) = 0 e tenendo conto che v13(t) = v1 − v3 =

√2Vc sin(ωt) (dove Vc è ancora il

valore ecace della tensione concatenata), come indicato in (10.29).

i1(t) =√

2Vc

2ωLs(1− cosωt) (10.29)

Il tempo di commutazione tc può essere determinato imponendo che la commutazione terminiquando la corrente di linea ha raggiunto il valore Id, come indicato in (10.30). In letteratura vienespesso indicato anche l'angolo di commutazione calcolato come indicato in (10.31)

i1(tc) = Id =√

2Vc

2ωLs(1− cosωtc) tc =

1ω

arccos(

1− 2IdωLs√2Vc

)(10.30)

u = ωtc = arccos(

1− 2IdωLs√2Vc

)(10.31)


Figura 10.32: Andamento della corrente di linea e dei diodi D1 e D5 durante la commutazione

In Figura 10.32 vengono presentati gli andamenti della corrente dei diodi D1 (che coincide conl'andamento di i1) e D5 durante la commutazione.

La (10.28) e la Figura 10.31 evidenziano che durante l'intervallo di commutazione la tensionesul carico è dierente dall'andamento teorico. Per poter determinarne l'andamento è necessariodeterminare il potenziale del nodo P rispetto al centro stella dei generatori n che si calcola,considerando ad esempio la linea 1, come indicato in (10.32).

vPn(t) = v1(t)− Lsdi1dt

= v1(t)− v13(t)2

(10.32)

L'espressione della tensione vd del carico si trova considerando la maglia esterna di Figura10.31 come indicato in (10.33). L'andamento delle tensioni considerate è riportato in Figura 10.33

vd(t) = v12(t)− Lsdi1dt

= v12(t)− v13(t)2

(10.33)

10.4.4 Funzionamento con tensione, lato continua, costanteSi consideri il circuito rappresentato in Figura 10.34, dove si assume che la tensione, lato continua,sia costante. Questo circuito può essere considerato come una prima approssimazione del circuitoin presenza di una capacità Cf , lato continua, di valore molto elevato.

In maniera analoga a quanto fatto per il caso monofase, si ipotizza che i valori di Ls e Vd sianotali da rendere discontinuo l'andamento della corrente id. (in questo caso non sussiste il fenomenodella commutazione in quanto la corrente da commutare è già nulla). Sotto queste condizioni leforme d'onda di tensione e corrente sono presentate in Figura 10.35.

In questo caso quando la tensione raddrizzata teorica (a vuoto vd0) supera la tensione Vd ildiodo comincia a condurre. Il raggiungimento del picco di corrente avviene quando la tensionevd0 eguaglia nuovamente la tensione Vd. Da questo istante la tensione sull'induttanza LS diventanegativa e la corrente inizia a diminuire nché si annulla. La corrente della linea 1 è ancora legata,attraverso una legge ai nodi, alla corrente del diodo D1 e del diodo D4.

10.4.5 Ponte raddrizzatore trifase realeIn Figura 10.36 è riportato il circuito equivalente che approssima in maniera abbastanza buonail comportamente di un ponte raddrizzatore trifase non controllato reale. Lo studio del circuitoriportato è decisamente complesso e si preferisce, generalmente, analizzarlo utilizzando un pro-gramma di simulazione opportuno (ad esempio PSPICE). Gli andamenti di tensione e corrente,


Figura 10.33: Forme d'onda di tensione in un raddrizzatore trifase con induttanza Ls 6= 0

Figura 10.34: Raddrizzatore trifase con tensione costante lato continua


Figura 10.35: Forme d'onda di un raddrizzatore trifase con tensione lato continua costante

in questo caso, sono molto simili a quelli visti nel paragrafo 10.4.4 considerando che l'andamentodella tensione vd non sarò più costante, ma presenterà una uttuazione con periodicità sestuplarispetto alla fondamentale dei generatori di tensione trifase.

I vantaggi di un sistema trifase rispetto a quello monofase sono:

• riduzione dell' ondulazione di corrente;

• condensatore di capacità Cf minore a parità di uttuazione della tensione vd

10.5 Raddrizzatori controllatiUna categoria di convertitori CA-CC, con tensione continua regolabile in modulo, di rilevanteinteresse industriale, è quella che utilizza come valvole controllate dei tiristori. Vista la naturadella valvola che presenta tensioni di blocco e correnti dirette elevate, i convertitori si presntano ad

Figura 10.36: Circuito equivalente di un ponte raddrizzatore trifase reale


Figura 10.37: Funzionamento di un raddrizzatore controllato

Figura 10.38: Convertitore a quattro quadranti controllato ottenuto con due convertitori a duequadranti

erogare potenze elevate con funzionamento su due quadranti, si veda Figura 10.37 (non è possibileil funzionamento su tutti e quattro i quadranti in quanto la corrente nei tiristori è unidirezionale).

Tensioni Vd e correnti Id positive indicano un funzionamento da raddrizzatore, mentre tensioniVd negative ed Id positive indicano un funzionamento come inverter. In questo caso, per il correttofunzionamento del convertitore, è necessaria la presenza, nel carico, di un generatore (batteriao forza elettromotrice) che mantenga la corrente Id positiva. Collegando opportunamente dueconvertitori a due quadranti, si veda Figura 10.38, è possibile ottenere un convertitore a quattroquadranti.

10.6 Convertitore monofase controllato a semplice semiondaIl circuito monofase controllato a semplice semionda è costituito da una sola valvola (tiristore oSCR) a conduzione unidirezionale, comandabile in chiusura, posta in serie ad un generico carico(Figura 10.39). Il circuito è alimentato da una tensione alternata sinusoidale. Tale congurazionecircuitale ha un limitato interesse pratico per le limitazioni intrinseche che presenta, tuttavia il suostudio mette il luce una serie di peculiarità tipiche per comprendere i circuiti che trovano ampiaapplicazione.

Fino a quando non viene fornita la necessaria corrente ig all'elettrodo di controllo (gate),


Figura 10.39: Raddrizzatore controllato a semplice semionda, su carico resistivo

il tiristore permane in stato di blocco (diretto e inverso). Il carico risulta, quindi, scollegatodall'alimentazione. Nel momento in cui viene fatta circolare una corrente ig opportuna, il tiristoresi comporta come un diodo. Se in tale istante la valvola è polarizzata direttamente, la valvolasi chiude e permane in stato di chiusura senza necessità di mantenere la corrente ig. Verrannoripristinate le capacità di blocco non appena la corrente della valvola (id o is) si annulla. Per icarichi dierenti dal caso puramente resistivo i ragionamenti sono simili a quelli presentati per ilraddrizzatore non controllato (Figura 10.40).

10.7 Raddrizzatore monofase a ponte controllato10.7.1 Funzionamento con corrente, lato continua, costanteSi consideri il circuito rappresentato in Figura 10.41 in cui il carico può essere rappresentato da ungeneratore di corrente costante. E' il caso, come già dettom di carichi R-L fortemente induttivi, incui la variazione della corrente è limitata dalla elevata costante di tempo del carico no al puntoda poterla considerare nulla. Come già visto per il caso di carico resistivo, tra i diodi a catodocomune conduce quello che possiede il maggiore potenziale dell'anodo e, viceversa, per i diodi adanodo comune.

Mediante l'iniezione di una opportuna corrente all'elettrodo di controllo dei tiristori, è possibilecomandare l'istante di chiusura (tα = α/ω) delle valvole stesse. In Figura 10.42 vengono presentatigli andamenti delle correnti e delle tensioni sia di linea che del carico oltre che l'andamento dellaprima armonica della corrente di linea (is1). Si può notare che l'istante di accensione, a cui èassociato l'angolo α, determina anche lo sfasamento tra la tensione di linea vs e la prima armonicadella corrente is.

Il valore medio Vd della tensione sul carico può essere ottenuta integrando l'andamento dellatensione vs in un semiperiodo come indicato in (10.34)

Vd(α) =1π

∫ π+α

α

√2Vs sin(ωt)d(ωt) =

2√

2π

Vs cos α = Vd0 cos α ≈ 0.9Vs cosα (10.34)

Al variare dell'angolo α è quindi possibile variare il valore medio della tensione sul carico, comepresentato in Figura 10.43. Per α < π/2 si ha il funzionamento come raddrizzatore (con le formed'onda presentate in Figura 10.42); per π/2 < α < π si ha il funzionamento da inverter (con leforme d'onda indicata in Figura 10.44).

10.7.2 Funzionamento con corrente, lato continua, costante e induttan-za di linea Ls 6= 0

Come già descritto in precedenza a proposito del ponte non controllato, la presenza di una indut-tanza di linea Ls non permette che la corrente di linea is possa assumere l'andamento a gradino


Figura 10.40: Forme d'onda di tensione e corrente in un raddrizzatore controllato a semplicesemionda, su carico resistivo

Figura 10.41: Raddrizzatore controllato a ponte, su carico con corrente costante


Figura 10.42: Forme d'onda di tensione e corrente in un raddrizzatore controllato a ponte, sucarico con corrente costante


Figura 10.43: Valore della tensione sul carico in funzione dell'angolo α

Figura 10.44: Forme d'onda di tensione in funzionamento da inverter


Figura 10.45: Raddrizzatore controllato a ponte, con corrente costante lato continua e Ls 6= 0

di Figura 5-41.In questo caso, però, l'istante di inizio della commutazione non corrisponde al passaggio per lo

zero della tensione di linea, ma è imposto dall'angolo α di accensione dei tiristori. Esisterà, quindi,un angolo di commutazione u in cui conducono simultaneamente la coppia di tiristori T1 e T3 ela coppia T4 e T6 (Figura 10.45). In questo periodo la tensione sul carico è nulla e il valore dellacorrente is passa da −Id a Id (o viceversa nell'altro semiperiodo). L'andamento di is è legato allalegge alla maglia (10.35) (i nodi A e B, in questa fase, sono equipotenziali), da integrare con lacondizione iniziale is(α/ω) = Id. La soluzione è indicata in (10.36).

√2Vs sin ωt− Ls

disdt

= 0 (10.35)

is(t) = Id −√

2Vs

ωLs(cos α− cos ωt) (10.36)

L'angolo di commutazione u = ωtc è tale da soddisfare la condizione (10.37).

is(α + u) = −Id = Id −√

2Vs

ωLs(cos α− cos(α− u)) u = arccos

(cos α− 2IdωLs√

2Vs

)− α (10.37)

In Figura 10.46 vengono presentati gli andamenti della corrente di linea e della tensione sulcarico, per eetto della commutazione.

La presenza dell'angolo u di commutazione e la necessità di disporre di un tempo minimoanché il tiristore che deve andare in stato di blocco possa sopportare il riapplicarsi di unatensione positiva senza riaccendersi, richiedono che il limite massimo dell'angolo α, durante ilfunzionamento da inverter, sia minore di 180. Viene usualmente indicato in 150 tale limite.

10.7.3 Funzionamento con macchine a corrente continuaIl raddrizzatore controllato, a ponte monofase, può essere usato per alimentare macchine a correntecontinua, il cui circuito equivalente (Figura 10.47) è rappresentato dalla serie di una resistenza,una induttanza e di un generatore di tensione E.

La costante di tempo L/R è generalmente elevata e tale da livellare la corrente attorno alvalore medio. In queste condizioni, sono valide le considerazioni presentate per il convertitore coninduttanza di linea e generatore di corrente costante. L'andamento qualitativo delle correnti edelle tensioni è riportato in Figura 10.48. La gura evidenzia che la prima armonica della corrente


Figura 10.46: Corrente di linea e tensione sul carico: eetti della commutazione

Figura 10.47: Raddrizzatore controllato a ponte che alimenta una macchina a c.c.


Figura 10.48: Andamento della corrente di linea e della tensione sul carico, nel caso dialimentazione di maccina a c.c.

di linea risulta ulteriormente sfasata in ritardo per eetto dell'angolo di commutazione u. Taleangolo di ritardo viene generalmente approssimato al valore di φ1 = α + u/2.

10.8 Raddrizzatore trifase a ponte controllatoIl raddrizzatore trifase controllato presenta una struttura simile a quella del ponte non controllato,ad eccezione del fatto che le valvole utilizzate non sono diodi ma tiristori. E' possibile, quindi,decidere, mediante una opportuna corrente agli elettrodi di controllo, l'istante di passaggio dallastato di blocco diretto a quello di diodo. Il segnale di comando deve essere applicato nell'intervallodi tempo in cui la valvola si trovi al potenziale anodico maggiore, se appartenente al semipontesuperiore (T1, T3, T5), o al potenziale catodico minore, se appartenente al semiponte inferiore(T2, T4, T6).

10.8.1 Funzionamento con corrente, lato continua, costanteSi consideri il circuito rappresentato in Figura 10.49 in cui il carico può essere rappresentato da ungeneratore di corrente costante e pari a Id. L'andamento della tensione sul carico è visualizzato inFigura 10.50, dove è possibile notare l'angolo di ritardo α, tra l'istante di commutazione naturaletipico del ponte a diodi e l'inizio dell'impulso di corrente di gate (in gura viene mostrato taleimpulso per il tiristore T1).

Il valore medio della tensione raddrizzata può essere ottenuto integrando per T/6 la tensioneconcatenata (Vc è il valore ecace della tensione concatenata) come indicato in (10.38)

Vd(α) =1

π/3

∫ π6 +α

−π6 +α

√2Vc cos(ωt)d(ωt) =

3π

√2Vc cos α ≈ 1.35Vc cosα (10.38)


Figura 10.49: Raddrizzatore trifase con generatore di corrente lato continua

Variando α è possibile ottenere in uscita una tensione variabile tra 1.35Vc e −1.35Vc. PerVd(α) > 0 (id non può che essere positiva) si ha il funzionamento da raddrizzatore, mentre perVd(α) < 0 quello da inverter.

La corrente di linea segue le stesse regole già introdotte per il ponte a diodi: è pari alla correntenel tiristore il cui anodo è connesso alla linea ed è l'inverso della corrente che circola nel tiristorecon il catodo connesso. Poiché i tiristori conducono per 1/3 del periodo T , con un ritardo α/ωrispetto all'istante della commutazione naturale, l'andamento della corrente di linea è del tiporappresentato in Figura 10.51. Nella stessa gura viene anche visualizzata la prima armonica adessa associata, che risulta in ritardo dell'angolo α rispetto alla corrispondente tensione di fase.

Il suo valore massimo ed il valore ecace della prima armonica di corrente sono indicati in(10.39) e sono identici a quelli già calcolati per il ponte a diodi.

I1M =2√

3π

Id ≈ 1.1Id I1 =I1M√

2=√

6π

Id ≈ 0.78Id (10.39)

10.8.2 Funzionamento con corrente, lato continua, costante e Ls 6= 0

Le uniche dierenze rispetto al caso del ponte trifase non controllato riguardano il fatto che l'istantedi accensione non è naturale, ma comandato attraverso una opportuna corrente di gate. Ciò checambia, quindi, è l'istante di inizio della commutazione e le condizioni iniziali dierenti.

Si consideri la Figura 10.53 ed in particolare l'istante corrispondente all'angolo α+π/6. Appenaprima di tale istante sono in conduzione i tiristori T6 e T5. Appena dopo il tiristore T5 va in statodi blocco, il tiristore T1 inizia a condurre mentre il tiristore T6 continua a condurre la correnteId.

Il circuito equivalente su cui studiare la commutazione tra il tiristore T5 e T1 è presentatoin Figura 10.54 e le equazioni sono identiche al caso non controllato (l'unica dierenza è che iltransitorio inizia all'istante (α + π/6)/ω). L'angolo di commutazione u risponde all'equazioneindicata in (10.40)

u = arccos(

cosα− 2IdωLs√2Vc

)− α (10.40)

Nel periodo di commutazione la tensione sul carico vd è dierente dall'andamento teorico eassume ancora il valore intermedio tra le due tensioni di fase, come viene evidenziato nella Figura10.55 ed in (10.41)


Figura 10.50: Forme d'onda di tensione in un raddrizzatore trifase controllato

Figura 10.51: Andamenti di tensione e corrente di linea di un ponte controllato con corrente latocontinua costante e Ls = 0


Figura 10.52: Raddrizzatore trifase controllato con corrente costante lato continua e Ls 6= 0

Figura 10.53: Andamento delle correnti di linea nel caso ideale di Ls = 0


Figura 10.54: Circuito equivalente durante la commutazione tra il tiristore T5 e T1

Figura 10.55: Forme d'onda di tensione in un raddrizzatore trifase con induttanza Ls 6= 0

vd(t) = v12(t)− v13(t)2

(10.41)

La prima armonica della corrente di linea è in ritardo rispetto alla corrispondente tensione difase di un angolo ∆ϕ approssimabile mediante l'espressione α + u/2.

La presenza dell'angolo u di commutazione e la necessità di disporre di un tempo minimoanché il tiristore che deve andare in stato di blocco possa sopportare il riapplicarsi di unatensione positiva senza riaccendersi, richiedono che il limite massimo dell'angolo α, durante ilfunzionamento da inverter, sia minore di 180. Viene usualmente indicato in 150 tale limite. Incaso contrario si avrebbe una commutazione fallita dovuta al fatto che alla valvola in procinto dispegnersi viene riapplicata una tensione diretta prima che siano state ripristinate le sue capacitàdi blocco.

10.8.3 Funzionamento con macchine a corrente continuaIl raddrizzatore controllato, a ponte trifase, può essere usato per alimentare macchine a correntecontinua, il cui circuito equivalente (Figura 10.56) è rappresentato dalla serie di una resistenza,


Figura 10.56: Raddrizzatore trifase controllato che alimenta una macchina a c.c.

una induttanza e di un generatore di tensione E.Come già accennato per il caso monofase, la costante di tempo L/R è generalmente elevata e

tale che la corrente id è livellata attorno al valore medio. In queste condizioni le considerazionipresentate per il convertitore con induttanza di linea e generatore di corrente costante, sono ancoravalide. L'andamento qualitativo delle correnti e delle tensioni è riportato in Figura 10.57.

10.8.4 Disturbi in linea dovuti ai raddrizzatoriDurante la fase di commutazione due tiristori (o due diodi nel caso non controllato) conduconosimultaneamente, provocando un corto circuito tra le fasi corrispondenti. Tale condizione nonporta alla rottura di alcun componente in quanto la corrente è, in qualche modo, imposta dalcarico (la corrente di una fase passa da 0 a id mentre l'altra da id a 0), ma possono veniredisturbati eventuali carichi connessi alla stessa linea. Si ipotizzi, infatti, che una linea alimentidue carichi: un ponte raddrizzatore trifase ed un apparecchio elettrico connesso in un punto dellalinea nelle immediate vicinanze del ponte (si veda Figura 10.58).

Durante una commutazione (ad esempio tra il tiristore T1 ed il T5) i morsetti corrisponden-ti sono portati allo stesso potenziale e la tensione concatenata (v13) che alimenta l'apparecchiodiminuisce bruscamente di un fattore pari a Ls2/(Ls1 + Ls2) (viene applicata la formula di unpartitore induttivo alla serie di Ls1 con Ls2): più è basso il valore di Ls2, più è profondo il buconella tensione concatenata. Nella Figura 5.38 è rappresentata la tensione quale sarebbe vista dauna apperecchiatura collegata ai morsetti del convertitore. La presenza dei convertitori producequindi un disturbo sugli apparecchi collegati alla stessa linea al punto che è spesso opportunodotare il convertitore di dispositivi in grado di attenuare, in modo sensibile, tali disturbi.

10.9 I convertitori CC-CC e CC-CALa maggior parte delle applicazioni di controllo di macchine elettriche richiedono una tensione re-golabile in ampiezza e/o frequenza. Nel seguito verrano presentati alcuni esempi di convertitori checonsentono di ottenere tensioni in corrente continua o alternata opportunamente regolabili parten-do da una sorgente di tensione continua che può essere ottenuta con i convertitori precedentementepresentati.


Figura 10.57: Andamento della corrente di linea e della tensione e della corrente del carico nelcaso di alimentazione di macchine a corrente continua

Figura 10.58: Alimentazione di più carichi


Figura 10.59: Andamento della tensione concatenata nel caso di Ls2 = 0


Figura 10.60: Convertitore a quattro quadranti

10.10 Il convertitore a quattro quadranti monofaseIl convertitore a quattro quadranti è presentato in Figura 10.60: ai morsetti P-N di ingresso èapplicata una tensone continua Vd, ai morsetti di uscita A-B, in relazione ai comandi impartiti allevalvole, si può riscontrare o una tensione a valore medio regolabile oppure una tensione alternatala cui prima armonica presenta valore massimo regolabile. Il convertitore quindi si presta alcomando di azionamenti in corrente continua o in corrente alternata come pure alla conversione cc-cc con isolamento galvanico (con la seguente congurazione: ponte non controllato-condensatore-convertitore a 4 quadranti-trasformatore di isolamento-ponte non controllato-condensatore).

In eetti, grazie alla presenza dei diodi in antiparallelo, se gli interruttori comandati di ognunadelle due gambe (1-4 e 3-6) non sono mai aperti simultaneamente ma sono guidati in modo che seuno conduce l'altro è aperto, allora questi interruttori individuano la tensione ai morsetti del A-Bcarico mentre è il carico a determinare il segno della corrente.

Infatti se ad esempio T1 è chiuso allora T4 è aperto e D4 è contropolarizzato. Allora la tensionevAN = Vd, mentre la corrente ic del carico passerà tramite T1 se positiva o tramite D1 se negativa.Se T1 è aperto allora T4 è chiuso e la tensione vAN = 0 mentre la corrente passerà tramite D4 sepositiva e tramite T4 se negativa. Le stesse considerazioni valgono per la gamba 3-6 per modo chela tensione sul carico vc = vAN − vBN dipenderà dai comandi delle valvole in modo indipendentadalla corrente.

Si noti che lo stesso non sarebbe stato vero se entrambi gli interruttori di una gamba potesserorestare aperti (chiusi è escluso perché si formerebbe un evidente corto circuito); infatti in tal casola tensione vAN sarebbe stata pari a Vd con ic < 0 e nulla con ic > 0 e quindi la tensione sul cariconon sarebbe stata controllata tramite i comandi degli interruttori.

Complessivamente la tensione sul carico può essere comandata come si desidera in valore esegno, mentre la corrente è la risposta del carico alla tensione impressa.In conclusione, la tensionee la corrente vc, ic si possono trovare in uno qualsiasi dei quattro quadranti indicati in Figura10.61.

Per generare i comandi degli interruttori si possono usare tecniche PWM (Pulse Width Mo-dulation - Modulazione a larghezza di impulso) e cioè si modulano adeguatamente ai morsetti delcarico impulsi della tensione continua Vd disponibile a monte del convertitore. Questo risultato siottiene comparando una tensione di controllo vrif (tensione di riferimento o tensione modulante;nel seguito sarà preferita la prima denominazione ad indicare che vrif è normalmente il segnale diuscita di un regolatore di corrente e rappresenta il valore di tensione da realizzare tramite il con-vertitore) di ampiezza variabile con una tensione portante vp alternata di frequenza triangolaree di ampiezza costante secondo una delle seguenti tecniche.


Figura 10.61: Quadranti di funzionamento del convertitore

Figura 10.62: Tecnica di modulazione PWM

• PWM con tensione in uscita bipolare: le due gambe vengono tra loro asservite nel senso chese T1 è chiuso allora anche T6 è chiuso e sono aperti T4, T3 (e viceversa): in questo modo latensione sul carico vc = VAB vale Vd con T1e T6 chiusi e −Vd con T3 e T4 chiusi (sul caricocompaiono quindi impulsi bipolari ±Vd di durata modulabile).

• PWM con tensione in uscita unipolare controllando le tensioni in uscita di ogni gamba senzaasservimenti.

Avvalendosi di una di queste tecniche di modulazione il convertitore può essere impiegato sia perla conversione CC-CC (con tensione modulante costante), sia per la conversione CC-CA (contensione modulante alternata sinusoidale).

10.10.1 Conversione cc-cc con PWM bipolare.La tecnica viene indicata in Figura 10.62 nella ipotesi di interruttori ideali (senza i tempi morti tradue commutazioni successive necessari per assicurare il ripristino del blocco in apertura): quandola modulante vrif è maggiore della portante vp la tensione applicata al carico è Vd (T1, T6 chiusi),al contrario è −Vd (T3, T4 chiusi). Dalla gura si deduce che quando vrif > 0 allora vc presentaun valore medio positivo ed al limite pari a Vd quando vrif = vpM e che quando vrif < 0 allora vc

presenta un valore medio negativo ed al limite pari a −Vd quando vrif = −vpM ; la tensione media


(a) Funzionamento come motore (b) Funzionamento come generatore

Figura 10.63: Convenzioni di misura con velocità positiva

sul carico poi è nulla quando vrif = 0. Complessivamente il valore medio della tensione sul caricovc varia proporzionalmente al rapporto vrif/vp e quindi a vrif come è indicato nella eq.10.42.

Vc =vrif

vpMVd =

Vd

vpMvrif = Kvrif (10.42)

Come esempio applicativo consideriamo il caso di una macchina a c.c. a magneti permanentiche funzioni a regime come motore alla velocità Ω. Le grandezze elettromeccaniche (valori medi)rispondono alle eq.10.43 (dove Tc è la coppia resistente del carico) e le convenzioni di misura chedanno luogo a letture positive degli strumenti sono rappresentate in Figura 10.63a.

Vc = RIc + E = RIc + KΩ T = KIc = Tc (10.43)Se alimentiamo questa macchina con un convertitore a quattro quadranti la situazione a regime

è quella indicata in Figura 10.64a. Nell'intervallo di tempo t1 < t < t2 sono chiuse le valvole T3,T4 e la corrente ic, positiva e decrescente (con derivata dic/dt = −(Vd +e)/L se si trascura l'eettodi R), passa attraverso i diodi D4, D3; nell'intervallo di tempo t2 < t < t3 sono chiuse le valvoleT1, T6 e la corrente ic positiva e crescente (con derivata dic/dt = (Vd− e)/L se si trascura l'eettodi R) passa tramite tali interruttori.

Se la macchina funziona a regime come generatore alla stessa velocità Ω le grandezze elet-tromeccaniche (valori medi) rispondono alla eq.10.62 (la corrente ai morsetti si è invertita edaltrettanto è avvenuto per le coppie) e le convenzioni di misura che danno luogo a letture positivedegli strumenti sono indicate in Figura 10.63b.

Vc = E −RIc = KΩ−RIc T = KIc = Tc (10.44)Nella Figura 10.64b è indicato l'andamento temporale delle tensioni e della corrente con le

convenzioni di misura di Figura 10.63b. Nell'intervallo di tempo t1 < t < t2 sono chiuse le valvoleT3, T4 e la corrente (misurata con le convenzioni di Figura 10.63b) è positiva e crescente (conderivata dic/dt = (Vd + e)/L) e passa tramite gli interruttori. Nell'intervallo di tempo t2 < t < t3sono chiusi gli interruttori T1, T6 e la corrente (sempre con le convenzioni di di Figura 10.63b) èpositiva decrescente (con derivata dic/dt = −(Vd − e)/L) e passa tramite i diodi D1, D6.

Nelle Figure 10.65a-b si sono indicate le convenzioni di misura che danno luogo a letture positivenel funzionamento di regime con velocità −Ω rispettivamente come motore e come generatore,mentre nelle Figure 10.66a-b è indicato l'andamento temporale delle tensioni e della corrente aimorsetti della macchina alimentata dal convertitore.

L'esempio conferma la possibilità di modulare la tensione ai morsetti A-B del carico con lacorrente che il carico richiede per le sue speciche modalità di funzionamento. Risulta anche evi-dente che ogni interruttore comandato compie un ciclo di lavoro aperto/chiuso/aperto nel periodoTp = 1/fp della portante con perdite che dipendono dalla natura del carico (il dimensionamentodi tutte le valvole dovrà essere eettuato per la condizione di regime più gravosa) e che quanto più


(a) Funzionamento da motore (b) Funzionamento da generatore

Figura 10.64: Andamento di tensioni e correnti con velocità positiva

(a) Funzionamento come motore (b) Funzionamento come generatore

Figura 10.65: Convenzioni di misura con velocità negativa


(a) Funzionamento da motore (b) Funzionamento da generatore

Figura 10.66: Andamento di tensioni e corrente con velocità negativa

alta è la frequenza massima fcM di commutazione ammissibile per gli interruttori (con fcM > fp)tanto minore è l'ondulazione della corrente ai morsetti del carico (di tipo induttivo) e quindi minorile ondulazioni di coppia e le perdite addizionali nei conduttori del carico.

10.10.2 Conversione CC-CA con PWM bipolare.La tensione modulante vrif è alternata sinusoidale di ampiezza VMrif e frequenza frif , mentre latensione portante vp è alternata di forma triangolare con valore massimo VMp e frequenza fp. Sideniscono in proposito l'indice di modulazione in ampiezza ma ed in frequenza mf indicati nellaeq.10.45 e si considera in primo luogo il funzionamento con ma ≤ 1 (in sottomodulazione).

ma =VMrif

VMpmf =

fp

frif(10.45)

In questo caso la scelta più conveniente è quella indicata sinteticamente nella Figura 10.67: mf

è un intero dispari e le tensioni vrif , vp sono tra loro sincronizzate (all'istante di zero di vrif conpendenza positiva è allacciato l'istante di zero di vp con pendenza negativa, e viceversa) questocomporta che, mantenendo mf costante, al variare di frif la frequenza della portante vari secondola eq.10.46.

fp = mffrif (10.46)Con questa scelta la tensione modulata vc ai morsetti del carico presenta una armonica fonda-

mentale vc1 che risponde alla eq.10.47 ed uno spettro in cui compaiono solo armoniche dispari ilcui ordine è denito dalla eq.10.48 (nella Fig.9 viene visualizzato lo spettro corrispondente ad unparticolare valore di ma e di mf ).


Figura 10.67: Sottooscillazione sinusoidale

Figura 10.68: Spettro


Tabella 10.1: Ampiezza delle armoniche presenti in funzione dell'ordine di armonicità e dell'indicedi modulazione

Le ampiezze delle armoniche dipendono da ma come viene indicato nella Tab.1 valida nellaipotesi che sia mf convenientemente elevato (quanto meno per mf ≥ 9). La Tab.1 evidenzia che sitratta di uno spettro particolarmente ricco i cui eetti possono essere limitati, nel caso di carichiinduttivi, adottando valori di mf convenientemente elevati. Un ulteriore vantaggio conseguentea valori elevati (mf ≥ 9) è che la componente fondamentale vc1 risponde alla eq.8 a meno di unerrore inferiore a circa il 5% dovuto alle subarmoniche con frequenza fk = (2K + 1)fp − 2Hfm

(ad esempio per 2K + 1 = 9, fp = 9fm e per H = 4 si ha fk = 1.Questa indicazione trova però limitazioni nel fatto che la frequenza fc di commutazione di

ogni interruttore (si veda la Figura 10.67) è quella indicata nella eq.10.49 e deve essere minoredel valore massimo fcM tipico di ogni interruttore. Ne consegue che se occorre regolare frif inun ampio campo può risultare indispensabile modicare mf (riducendolo al crescere di frif ) perrispettare la limitazione indicata dalla eq.10.49 (conviene in questa azione mantenere fp a ridossodi fcM per avvalersi dell'eetto ltrante della induttanza del carico sulla corrente).

vc1(t) = maVd sin ω1t ma ≤ 1 (10.47)

fh

frif= hmf ± k (h pari, k dispari; h dispari, k pari) (10.48)

fc = fp = mffrif < fcM (10.49)La tecnica di sottomodulazione no ad ora indicata presenta i seguenti svantaggi.

• Non consente di utilizzare pienamente la tensione Vd dato che, al massimo, risulta Vc1M = Vd,mentre se, a pari Trif = 1/frif , venissero comandate in chiusura per il primo semiperiodoTrif/2 gli interruttori T1, T6 e per il secondo semiperiodo T3, T4 la forma d'onda sarebbequella di Figura 10.69 (funzionamento in onda quadra), l'ampiezza della prima armonicasarebbe Vc1M = 4Vd/π, la frequenza di commutazione sarebbe fc = frif e lo spettro sarebbequello indicato in Figura 10.70.


Figura 10.69: Funzionamento in onda quadra

Figura 10.70: Spettro nel funzionamento in onda quadra

• La frequenza delle commutazioni è un multiplo intero dispari di frif e questo non sempreè ammissibile al crescere di frif specie con gli interruttori comandati più lenti, quelli chetrovano applicazione industriali di alta potenza.

E' possibile però eettuare la transizione dal funzionamento in PWM al funzionamento in ondaquadra progressivamente con diverse tecniche tra le quali vi è quella della sovramodulazione. Ineetti, si veda la Figura 10.71, se l'ampiezza vMrif diventa maggiore di vMp si riduce il numero dellecommutazioni e la forma d'onda, riducendosi il numero degli intagli, si adegua progressivamentea quella dell'onda quadra (durante la transizione lo spettro si adegua progressivamente a quellodell'onda quadra di Figura 10.70). Il confronto tra la Figura 10.67 e la Figura 10.71 evidenzia chela transizione in onda quadra dipende da mf e, a pari mf , è una funzione non lineare di ma comeè anche indicato qualitativamente dalla 10.72.

Complessivamente nel caso di interruttori comandati con frequenza massima di commutazioneparticolarmente limitata occorre, al crescere di frif , ridurre mf e curare la transizione in ondaquadra (avvalendosi normalmente di diverse tecniche) avendo l'accortezza, in corrispondenza diogni variazione di mf , di mantenere inalterato in modulo e fase il valore della prima armonica ditensione allo scopo di evitare bruschi transitori di corrente (nel caso trifase verrà presentato unesempio di transizione).


Figura 10.71: Sovramodulazione

Figura 10.72: Relazione tra mf e ma


Figura 10.73: Il convertitore bistadio

10.11 Convertitore a quattro quadranti trifase: il caso delconvertitore bistadio

Si consideri il convertitore bistadio (inverter trifase) di Figura 10.73: il ponte controllato di ingres-so consente di realizzare (con buona approssimazione) sul condensatore intermedio una tensionecontinua regolabile, mentre il ponte controllato trifase in uscita consente di distribuire tale ten-sione sulle tre fasi del carico in uscita a frequenza f = 1/T regolabile tramite i comandi impartitialle valvole. Nel caso di valvole ideali un modo particolarmente semplice di realizzare tale distri-buzione (con bassa frequenza di commutazione fc delle valvole fc = f) consiste nell'imporre che latensione di polo (quella misurata tra i morsetti a,b,c del carico ed il polo N centro della tensionecontinua) sia un sistema trifase simmetrico di onde quadre va,b,cN , si veda la Figura 10.74a. Perottenere questo risultato la valvola T1 della fase a sarà chiusa per il tempo T/2 = 1/(2f) (mentreT4 sarà aperta), nel secondo semiperiodo T4 sarà chiusa mentre T1 sarà aperta. I comandi relativialle fasi b,c saranno ordinatamente sfasati di T/3 e di 2T/3 .

Con questa scelta le tensioni concatenate vab, vbc, vca (ottenute per dierenza tra due successivetensioni di polo) assumono l'andamento temporale indicato in Figura 10.74b. La tensione vGN

tra il centro teorico del carico G ed il polo N si calcola come è indicato nella (10.50) ed assumel'andamento temporale indicato in Figura 10.74c. Inne le tensioni di fase riferite al centro teoricova,b,cGsi valutano come è indicato nella (10.51): esse variano nel tempo come è indicato nellaFigura 10.74c. Si tratta della così detta onda a sei gradini il cui valore massimo è indicato nella(10.52).

vGN = (vaN + vbN + vcN )/3 (10.50)

vaG = vaN − vGN vbG = vbN − vGN vcG = vcN − vGN (10.51)

Vs =23U (10.52)


(a) (b)

(c)

Figura 10.74: Forme d'onda delle tensioni generate da un convertitore bistadio (inverter) trifase


Le tensioni di polo sono sviluppabili in serie di Fourier come è indicato nella (10.53) (doveα = ωt ed ωè la pulsazione fondamentale): nello sviluppo compaiono l'armonica fondamentale etutte le armoniche dispari le cui ampiezze sono indicate in (10.54).

vaN =2π

U · [sin α +13

sin 3α +15

sin 5α + . . . ]

vbN =2π

U · [sin(α− 2π/3) +13

sin 3(α− 2π/3) +15

sin 5(α− 2π/3) + . . . ]

vcN =2π

U · [sin(α− 4π/3) +13

sin 3(α− 4π/3) +15

sin 5(α− 4π/3) + . . . ]

(10.53)

VkM =2U

kπ∀k dispari (10.54)

Le (10.53) evidenziano che: i) le tre terze armoniche sono tra loro in fase (costituiscono unaterna omopolare) ed altrettanto avviene per le armoniche di ordine multiplo di tre, ii) la ternadi prima armonica è diretta (la tensione della fase b è in ritardo rispetto a quella della fase a) edaltrettanto avviene per le armoniche dispari di ordine k = 6H + 1 con H = 0, 1, 2, . . . ; la terna diquinta armonica è inversa (la tensione di fase b è in anticipo su quella della fase a) ed altrettantoavviene per le armoniche dispari di ordine k = 6H − 1 con H = 1, 2, 3, . . . .

Lo sviluppo in serie delle tensioni concatenate si ottiene per dierenza tra gli sviluppi di duetensioni di polo (dalle concatenate scompaiono le terze armoniche e relative multiple; le ampiezzesono

√3 volte quelle di fase). Lo sviluppo in serie di Fourier dello spostamento vGN del centro

teorico rispetto al polo è poi indicato nella (10.55): tale tensione è costituita da tutte le armonichemultiple di tre presenti nelle tensioni di polo che risultano quindi assenti nelle tensioni di faseriferite al centro teorico, si veda la (10.56).

vGN =2π

U

(13

sin 3α +19

sin 9α + . . .

)(10.55)

vaG =2π

U · [sinα +15

sin 5α +17

sin 7α + . . . ]

vbG =2π

U · [sin(α− 2π/3) +15

sin 5(α− 2π/3) +17

sin 7(α− 2π/3) + . . . ]

vcG =2π

U · [sin(α− 4π/3) +15

sin 5(α− 4π/3) +17

sin 7(α− 4π/3) + . . . ]

(10.56)

Un modo particolarmente ecace di descrivere il funzionamento del sistema bistadio di Figura10.73 è quello di fare riferimento al sistema di bipoli ideali indicato nella Figura 10.75. Gliinterruttori di ogni ramo (fase) dell'inverter possono collegare il morsetto di fase a, b, c o al polopositivo (indicato dal numero 1) oppure al polo negativo (indicato dal numero 0): quindi lo statodi ogni ramo è descritto dal numero che identica la connessione al generatore di tensione costanteposto a monte dell'inverter.

I sei stati 1-6 di funzionamento attivo dell'inverter che danno luogo, per ogni sesto di periodo,alle tensioni di fase va,b,cG (si veda la Figura 10.74) sono descritti dalle terne di numeri binariindicate nella Tabella 10.2. A questi sei stati se ne aggiungono altri due ammissibili con tensionidi fase nulle corrispondenti ad interruttori di fase tutti chiusi sul polo 0 (stato 0) oppure sul polo1 (stato 7).

Le tensioni di fase va,b,cG corrispondenti agli stati di Tabella 10.2 possono essere rappresentatetramite la nozione di fasore come è indicato nella (10.57) ed i sei fasori corrispondenti agli statiattivi sono quelli indicati in Figura 10.76. La Figura 10.77 evidenzia poi una proprietà di notevoleinteresse nelle successive applicazioni: gli stati dispari possono transitare allo stato 1 a tensione


Figura 10.75: Circuito equivalente convertitore bistadio

Tabella 10.2: Stati di funzionamento di un inverter trifase (tensioni riferite al centro teorico)

Stato Stato interruttori Tensioni di fase a,b,c0 000 0, 0, 01 100 2U/3, −U/3, −U/32 110 U/3, U/3, −2U/33 010 −U/3, 2U/3, −U/34 011 −2U/3, U/3, U/35 001 −U/3, −U/3, 2U/36 101 U/3, −2U/3, U/37 111 0, 0, 0


Figura 10.76: Fasori rappresentativi della tensione negli stati attivi del convertitore

nulla con una sola commutazione, mentre gli stati pari transitano con una sola commutazione allostato 7 a tensione nulla.

va,b,cG =

√23<

[√23(va + αvb + α2vc)

]= <a,b,c(v) v =

23Uejk π

3 k = 0, 1, 2, . . . (10.57)

La descrizione sopra indicata consente anche di denire un semplice modo di comandare levalvole. Infatti si supponga di conoscere il sistema trifase simmetrico di tensioni alternate sinu-soidali desiderato ai morsetti del carico del tipo indicato nella (10.58). Il sistema di tensioni a seigradini la cui componente fondamentale coincide con il sistema desiderato presenta una tensionecontinua a monte dell'inverter legata a VM dalla relazione VM = 2U/π ed i comandi per realizzarel'onda a sei gradini si possono ottenere con il metodo indicato in Figura 10.78. Il piano complessoviene diviso in sei sestanti di 60 e quando il fasore v1 indicato nella (10.59) si trova nel sestante dicompetenza di uno dei sei stati attivi v, di cui alla (10.57), si comanda la chiusura degli interruttoridi quello stato indicata in Tabella 10.2.

va,b,c = VM sin(ωt + k23π) k = 0, 1, 2, . . . (10.58)

v1 = VMejωt =2π

Uejωt (10.59)

Le relazioni (10.56) (oltre alla complicazione del doppio convertitore) evidenziano il principaleinconveniente del sistema bistadio di cui alla Figura 10.73: il contenuto armonico delle tensionidi fase è elevato e la frequenza delle prime armoniche è prossima a quella della fondamentale. Inparticolare se il carico è un motore trifase le correnti generate dalle tensioni di quinta armonicagenerano un campo magnetico rotante in senso inverso alla velocità −5ω/n (dove n è il numerodelle paia di poli) che, interagendo con il campo principale diretto rotante a velocità ω/n, dà


Figura 10.77: Transizioni allo stato nullo raggiungibili con una sola commutazione

luogo ad una coppia armonica di pulsazione 6ω; in modo analogo il campo magnetico generatodalle corrrenti di settima armonica che ruota in senso diretto con velocità 7ω/n, interagendocon il campo principale dà luogo ancora ad una coppia pulsante di pulsazione 6ω (i campi 11e 13 danno luogo per lo stesso motivo a coppie pulsanti di pulsazione 12ω e così via). Se lapulsazione ω è bassa allora le pulsazioni 6Kω rientrano nell'ordine di grandezza delle pulsazionidi risonanza meccanica (le frequenze in questo caso variano tra qualche [Hz] e qualche decina di[Hz]): possono quindi innescarsi delle oscillazioni incompatibili per il corretto funzionamento delsistema elettromeccanico che viene azionato dal motore.

Viene nel seguito dimostrato che se la frequenza massima di commutazione delle valvole è moltomaggiore della frequenza di funzionamento e delle frequenze di risonanza meccanica è possibile,con metodi di PWM, mantenere costante la tensione a monte dell'inverter (quindi azionamentomonostadio), modulare la ampiezza della componente fondamentale della tensione ai morsetti delmotore e conseguire componenti armoniche signicative la cui frequenza minima è dell'ordine digrandezza della frequenza massima di commutazione (evitando così il campo delle frequenze dirisonanza meccanica).

10.11.1 Modulazione della ampiezza degli impulsi di tensione con ilmetodo della sotto-oscillazione (modulazione naturale).

Si consideri una onda triangolare (onda portante) di ampiezza vtM e di frequenza ft dello stessoordine di grandezza della frequenza massima di commutazione delle valvole impiegate (con unopportuno margine tenuto conto del sistema di rareddamento) ed un sistema trifase simmetricodi tensioni (onde modulanti) di ampiezza vsM e di frequenza fs e si introducano gli indici dimodulazione m in ampiezza ed in frequenza mf indicati nella (10.60).

m =vsM

vtMmf =

fs

ft=

ωs

ωt(10.60)

Se m ≤ 1 e se la pendenza dei fronti del triangolo è opportunamente maggiore di quella massimadelle sinusoidi allora le tensioni di fase rispetto al polo N di Figura 10.75, costruite assegnandoil valore U/2 se la tensione della sinusoide è maggiore di quella del triangolo e −U/2 in caso


Figura 10.78: Sestanti per il comando delle commutazioni dell'onda a sei gradini

Figura 10.79: Costruzione della tensione di fase


Figura 10.80: Funzioni di Bessel di ordine 0 e 1

contrario (si veda la Figura 10.79), rispondono allo sviluppo in serie indicato nella (10.61) (che siriferisce alla tensione va, gli sviluppi in serie delle tensioni vb e vc sono sfasati in ritardo di 2π/3e 4π/3). Metodi di modulazione della tensione che sfruttano strategie analoghe vengono detti amodulazione di ampiezza d'impulso (o anche metodi PWM -Pulse Width Modulation)

v(t) = mU

2sin(ωst) +

2π

U

∞∑r=1

1r

∞∑q=−∞

Jq(rπm/2)S(r + q) sin[(rmf + q)ωst + ϕ]

(10.61)

S(r + q) =

0 ∀(r + q) pari1 ∀(r + q) dispari (10.62)

Il termine S(r + q) è precisato nella (10.62) (esistono quindi i termini con r pari e q dispari eviceversa), mentre Jq è la funzione di Bessel di ordine q. Le funzioni di Bessel sono le soluzionidella (10.63) dove n è un numero reale. In particolare le soluzioni corrispondono sia a Jn(x),sia a J−n(x) e per n intero si possono esprimere come è precisato nella (10.64). Dalla (10.64) sideduce che valgono le proprietà di simmetria indicate nella (10.65) e la formula ricorsiva (10.66)che consente di ricavare le funzioni di ordine qualsiasi a partire dalle J0(x) e J1(x) il cui andamentoè indicato nella Figura 10.80.

x2 dy2

dx2+ x

dy

dx+ (x2 − n2)y = 0 (10.63)

Jn(x) =xn

2nn!− x2

22n!(n + 1)+

x4

24n!(n + 1)(n + 2)+ . . . (10.64)

J−n(x) = (−1)nJn(x)

Jn(−x) = (−1)nJn(x)(10.65)

Jn+1(x) =2n

xJn(x)− Jn−1(x) (10.66)

Lo sviluppo (10.61) si presta ai seguenti commenti.


Figura 10.81: Incremento dell'indice di prestazione M mediante l'uso di una terza armonica

• Sono presenti inniti termini e oltre a quello di pulsazione ωs compaiono quelli di pulsazione(rωt +qωs) dove r è intero positivo e q è intero positivo e negativo (di solito si rappresentanoi termini in gruppi caratterizzati dallo stesso valore di r) con (r + q) dispari.

• Nello spettro delle frequenze, i termini di ogni gruppo sono disposti simmetricamente rispettoalla pulsazione rωt, multipla intera della pulsazione della portante. Ogni gruppo contienetermini non nulli alternati a termini nulli. L'ampiezza dei termini non nulli è inversamenteproporzionale a r e direttamente proporzionale a Jq(rπm/2).

• L'ampiezza dei termini non nulli di un gruppo diminuisce al crescere di q.

• La fase di tutti i termini è proporzionale a q.

• Una modulazione con mf razionale è detta sincrona e produce una tensione periodica. Unamodulazione con mf irrazionale si dice asincrona e produce una tensione aperiodica. Se mf

è intero le armoniche hanno pulsazione nω con n intero ed alla ampieza concorrono tuttele armoniche per le quali (rmf + q) = n. Qest'ultima equazione ha soluzione anche pern = 0 quindi esiste una componente continua che non è ammissibile per la alimentazionedi motori dato che tale componente comporta correnti che saturano il circuito magnetico ecreano coppie pulsanti.

• La componente continua è assente per mf intero dispari, inoltre se mf è un multiplo di trele tensioni di fase sono simmetriche alternate non sinusoidali.

• Per mf > 9, la componente fondamentale ha ampiezza mU/2 con un errore, dovuto datermini per i quali (rmf +q = 1, inferiore al 5% ed il controllo della componente fondamentalepuò essere conseguito con legge lineare al variare di m tra zero ed uno.

• Per mf > 9, le armoniche più signicative sono quelle di pulsazione ωt e (ωt−2ωs). Occorreche la frequenza armonica più bassa (ft − 2fs) non interferisca con quelle di risonanzameccanica.


• Al crescere della fs richiesta all'inverter occorre che ft = mffs sia sempre minore dellamassima frequenza di commutazione delle valvole fcM . Questo risultato può richiedere chemf venga ridotto al crescere di fs; in tal caso occorre prestare particolare attenzione allatransizione tra due regolazioni con diverso valore di mf : per evitare brusche variazioni dellatensione applicata occorre conservare durante la transizione la componente fondamentaledella tensione in modulo e fase. Ad esempio se fsM = 200 [Hz] e fcM = 3 [kHz], è possibileimpiegare mf = 21 no a circa fs = 150 [Hz] dopo di che occorre scendere a mf = 15.

• Nel funzionamento con onda a sei gradini l'ampiezza massima della componente fondamen-tale è V6M = 2U/π = 0.634U , mentre nel caso di modulazione sinusoidale l'ampiezza mas-sima è VsM = U/2 = 0.5U . Questo signica che, a pari corrente manipolata dalle valvole,un azionamento monostadio con modulazione sinusoidale può fornire in regime lineare diregolazione della componente fondamentale di tensione, una potenza ridotta nel rapportoM = VsM/V6M = π/4 = 0.785 rispetto all'azionamento bistadio di cui alla Figura 10.73: èevidente l'utilità di mettere a punto metodi che consentano di avvicinare l'indice di presta-zione M tipico del metodo di modulazione all'unità e cioè che consentano di realizzare, nelmodo il più possibile lineare, la transizione dalla modulazione sinusoidale al funzionamentocon onda a sei gradini.

• Nel caso di modulazione sinusoidale la sovramodulazione porta (come nel caso monofase)alla transizione in onda quadra ma il legame tra m e VsM è fortemente non lineare ed ilcontenuto armonico è particolarmente elevato.

• Nel caso di modulazione naturale è possibile incrementare l'indice di prestazione M modi-cando il sistema trifase simmetrico di tensioni mediante l'aggiunta di un sistema di ten-sioni trifase di sequenza zero (ad esempio una armonica di frequenza 3fs, si veda la Figura10.81, che introduce una terza armonica nelle tensioni di fase ma non nelle concatenate enelle tensioni di fase riferite al centro teorico). In questo modo la modulante a frequenzafs può assumere ampiezza maggiore della portante senza che l'ampiezza complessiva dellamodulante ecceda quella della portante. Si può dimostrare che quando la terza armonicaha ampiezza V3M = vt/6 allora l'ampiezza della modulante di frequenza fs può arrivare aV1M = 2vt/

√3 ed in questa situazione VsM = U/

√3 e l'indice di prestazione avrebbe il

valore M0 = VsM/V6M = π/(2√

3) = 0.907.

Il metodo della sotto-oscillazione è semplice da implementare usando circuiti analogici con buonirisultati anche per frequenze dell'ordine della decina di [kHz]. Nel caso delle tecniche digitalisono disponibli microcontrollori dotati di unità programmabili che, avendo in ingresso i dati dellaportante e della modulante, sono in grado di fornire direttamente gli istanti di commutazione perle tre fasi dell'inverter.

10.11.2 Modulazione della larghezza degli impulsi mediante il metododei fasori spaziali

La forma d'onda ottimale da conseguire per la prima armonica delle tensioni di fase (riferite alcentro teorico) utilizzando al meglio valvole con frequenza massima di commutazione fcM (e contensione massima, dedotta con opportuni margini da quella nominale, pari alla tensione U a montedell'inverter) è quella di una terna trifase simmetrica rapprentabile con un fasore rotante del tipoindicato nella (10.67). L'ampiezza VM delle tensioni deve rispondere alla condizione (10.68) perchèal più l'inverter può funzionare erogando l'onda a sei gradini di ampiezza 2U/3.

v = VMejωt ω = 2πf (10.67)

VM ≤ 2π

U (10.68)


Figura 10.82: Costruzione della tensione in uscita dal convertitore

Fissata la frequenza di campionamento f0 = 1/T0 (dell'ordine della massima frequenza dicommutazione) del fasore v al meglio si può operare secondo quanto segue:

• Considerato il valore v(kT0) da realizzare nel tempo kT0 < t < (k + 1)T0 si costruirà unatensione u in uscita dall'inverter il cui valore medio nel periodo T0 soddis alla (10.69):

v(kT0) =1T0

∫ (k+1)T0

kT0

udt (10.69)

• Si realizzerà la tensione u di cui alla (10.69) con il minimo numero di commutazioni.

E' possibile soddisfare alle due condizioni prima indicate se costruiamo il fasore u come èindicato nella (10.70) e nella Figura 10.82 nella quale si è supposto che v(kT0) si trovi nel sestantecompreso tra u1 ed u2. Considerati cioè gli otto stati possibili di funzionamento di Figura 10.77,si utilizzano per la costruzione di u i due stati attivi contigui al fasore v(kT0) oltre ai due stati(0 e 7) nulli (indicati cumulativamente nella (10.70) con u∗0). Dalla (10.70) si deduce la (10.71) erisolvendo il sistema nelle due incognite t1e t2 si ricava la soluzione del problema indicata nella(10.72).

T0v(kT0) = u1t1 + u2t2 + u∗0t0 (10.70)

T0v(kT0)[

cos γsin γ

]= t1U1

[10

]+ t2U2

[cos(π/3)sin(π/3)

]Uk = 2U/3 = πV6M/3 (10.71)

t1T0

=v(kT0) sin(π/3− γ)

Uk sin(π/3)= M

2√

3π

sin(π/3− γ) M =v(kT0)V6M

t2T0

= M2√

3π

sin γ

t0 = T0 − t1 − t2

(10.72)


Figura 10.83: Successione di comandi e tensioni di polo nell'intevallo di tempo 2T0

Quando poi v(kT0) si trova nel sestante successivo i tempi t1 e t2 si riferiscono alle tensioni u2

ed u3 e l'asse reale è posto su u2 (e così via).

[(000)× t02

; (100)× t1; (110)× t2; (111)× t02

][(111)× t02

; (110)× t2; (100)× t1; (000)× t02

] (10.73)

Una volta calcolati i tempi di applicazione dei fasori u1, u2, u∗0 allo scopo di minimizzare lecommutazioni si può realizzare, ad esempio, il ciclo di transizioni indicato nella (10.73) in cuiaccanto ad ogni fasore è indicato il tempo di applicazione al motore. Con questa sequenza dicomandi mantenendo costante v(kT0) per l'intervallo 2T0 le valvole compiono un ciclo di commu-tazione ogni 2T0(In Figura 10.83 è indicata la successione dei comadi e il valore delle tensioni dipolo nel tempo 2T0).

Si noti che allo scopo di ridurre il contenuto armonico della tensione in uscita dall'inverter èopportuno che vi sia una sincronizzazione tra la frequenza di campionamento f0 e la frequenzaf della tensione modulante v, in particolare quando l'indice di modulazione in frequenza diventaridotto (mf = f0/f < 30). Conviene quindi che sia soddisfatta la (10.74) dove fCLK è la frequenzadi clock ed nc(numero intero) è la risoluzione con cui viene sondato il periodo T0. La (10.74)comporta che fCLK possa raggiungere i [MHz].

fCLK = ncmff (10.74)Il sistema di equazioni (10.72) fornisce per t1, t2, t0 soluzioni congruenti no a che M ≤

π/2√

3 = 0.907 = M0 quindi no a che v(kT0) = πV6M/2√

3 = U/√

3 = v∗, si veda la Figura10.82. In altri termini per avere soluzioni congruenti occorre che v si muova dentro la circonferenzaiscritta nell'esagono denito ai fasori uk. Infatti quando M = M0 = π/2

√3 se γ = (2k + 1)π/6

allora t1 = t2 = T0/2 e t0 = 0, mentre quando M > M0 nell'intorno di γ = (2k + 1)π/6 sitroverebbe che t1 + t2 > T0 e questo comporterebbe l'assurdo di t0 < 0. Ne consegue che quandov deborda dalla circonferenza iscritta nell'esagono occorra cambiare strategia nella modulazionedegli impulsi.


Figura 10.84: Andamento della tensione di fase quando v si muova sull'esagono (a) oppure a scattidi T/6 (b)

Figura 10.85: Modica del riferimento v nel caso di sovramodulazione

E' possibile ottenere un indice M > M0 se si modica opportunamente il fasore di riferimentov (di ampiezza costante e rotante con velocità angolare costante ω0) e le tappe di questa modicasi possono intuire dalle seguenti considerazioni.

• Se il fasore di riferimento v seguisse in modo continuativo la traiettoria costituita dall'esagonodenito dai fasori uk con velocità angolare ω = 2π/T costante (nel seguito indicheremocon v1 questo particolare riferimento) allora la tensione di fase vaG varierebbe nel tempocome è indicato con la curva a nella Figura 10.84 e la prima armonica di questa tensionepresenterebbe un indice di prestazione M1 = 0.952. Se ne conclude che per il campo 0.907 <M < 0.952 (primo campo di sovramodulazione) occorre trasformare (avvalendosi di unopportuno processore P di segnale, si veda la Figura 10.85) progressivamente v da un fasoredi ampiezza costante che si muove con velocità angolare costante su una circonferenza ad unfasore v∗ che si muove sull'esagono alla stessa velocità angolare.

• Se il fasore di riferimento si spostasse in modo discontinuo ogni T/6 su un vertice dell'esagonoallora l'onda vaG sarebbe quella indicata con b) nella Figura 10.84 (onda a sei gradini) el'indice di prestazione sarebbe M2 = 1 (il massimo possibile). Quindi nel campo denito da0.952 < M < 1 (secondo campo di sovramodulazione) il processore P dovrebbe modicareprogressivamente il riferimento v dall'esagono percorso in modo continuo a velocità angolareω no alla sequenza discreta di comandi dell'onda a sei gradini (quindi nell'avanzamento ascatti di π/3 del riferimento v∗ posto di ampiezza pari a Uk).


Figura 10.86: Andamento della traettoria di v nel caso di sovramodulazione

Figura 10.87: Angolo di mantenimento γm in funzione dell'indice di prestazione M


Figura 10.88: Forme d'onda della tensione di fase al crescere dell'indice di prestazione M

Nel primo campo di sovramodulazione la traiettoria del fasore di riferimento v, tratteggiatanella Figura 10.86, viene modicata in modulo ma non in fase in funzione dell'indice di prestazioneM = v/V6M come è indicato con la linea in grassetto (che rappresenta la traiettoria del fasore v∗ inuscita dal processore di Figura 10.85): la circonferenza viene sostituita da un arco di esagono B-Ce da due archi di circonferenza A-B e C-D, in prossimità dei vertici dell'esagono, che si riduconoprogressivamente al crescere di M e che scompaiono quando M = M1.

Sugli archi A-B e C-D, v∗ viene realizzato tramite le indicazioni fornite dalle (10.72)-(10.73),nell'arco B-C, v∗ viene realizzato usando u1 per il tempo t1 ed u2 per il tempo t2 (scompare iltempo t0) ed i tempi si valutano come è indicato nelle (10.75).

t2 = T0sin γ

sin(γ + π/3)

t1 = T0 − t2 = T0

√3 cos γ − sin γ√3 cos γ + sin γ

(10.75)

Per M1 < M ≤ 1 il fasore di riferimento v viene modicato in modulo e fase ed il fasore v∗ inuscita dal processore P di Figura 10.85 presenta modulo e fase che dipendono dal valore di M edalla fase di v ed il processo per il primo sestante è quello nel seguito indicato.

Il fasore v∗ viene mantenuto fermo sullo spigolo 1 ntanto che l'angolo di fase γ del fasore vnon supera un opportuno valore γm (detto angolo di mantenimento), crescente con M come èindicato nella Figura14 (quindi γ∗ = 0 per 0 ≤ γ ≤ γm). A partire da questo istante v∗ si muovesull'esagono e l'angolo che individua la posizione sull'esagono è quello precisato dalla 1.24 (quindiγ∗ varia proporzionalmente a γ ma non coincide con se non nella posizione γ = π/6) ed i tempi dicomando t1, t2 dei fasori u1, u2 sono individuati dalle (10.75) sostituendo γ∗ a γ. Quando inneπ/3− γm ≤ γ ≤ π/3 allora γ∗ = π/3.

In denitiva con la tecnica ora indicata al crescere di M , il fasore di riferimento v∗ nisceprogressivamente per muoversi a scatti sempre più ampi e quando M = 1 lo scatto diventa di π/3non appena v supera il sestante di competenza del fasore uk. La forma d'onda della tensione difase riferita al centro teorico si modica allora al crescere di M come è indicato nella Figura 10.88.Complessivamente la modulazione della larghezza di impulso basata sui fasori spaziali può copriretutta la gamma delle tensioni alternate trifasi simmetriche conseguibili con valvole caratterizzateda una certa tensione nominale.


γ∗ = 0 0 ≤ γ ≤ γm(M)

γ∗ =π

6γ − γm

π/6− γmγm < γ ≤ π/3− γm

γ∗ = π/3 π/3− γm < γ ≤ π/3

(10.76)

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