I. Aljabar Himpunan

BAB II

ALJABAR HIMPUNAN

Pendahuluan

Pada BAB II ini akan dibahas lebih lanjut tentang hukum-hukum dan rumus-rumus

yang berlaku pada himpunan Untuk lebih memahami materi pada bab 1 ini pengguna

diharapakan sudah menguasai dasar-dasar matematika modern yang mana dibutuhkan

pemahaman tentang pembuktian-pembuktian teorema seperti pembuktian dengan cara

reductio ad absurdum ataupun dengan direct proof

Secara terperinci setelah mempelajari bab 1 ini diharapkan pengguna dapat

1 Memahami hukum-hukum yang berlaku dan tidak berlaku pada himpunan

2 Menggunakan operasi dan rumus-rumus himpunan dengan benar

3 Merumuskan pembuktian dengan Diagram Venn selain dengan reductio ad absurdum dan

direct proof

4 Menggambarkan komposisi himpunan sesuai dengan permasalahan yang ada

5 Membedakan plain set dengan ordered set

6 Menghitung Cartesian product dua himpunan

7 Memahami dan membentuk Himpunan Kuasa

8 Membuktikan himpunan yang ekuivalen

9 Memahami Ekuipotensi himpunan

10 Memahami konsep awal Kardinalitas himpunan

Untuk menguji kepahaman pembaca tentang materi pada BAB II ini pada akhir bab akan

diberikan beberapa latihan soal

Kegiatan Belajar

II 1 Aljabar Himpunan

Himpunan menurut operasi gabungan (union) irisan (intersection) dan komplemen

(complemen) akan memenuhi berbagai hukum yang merupakan identitas Berbagai rumus dan

definisi di bawah akan menjelaskan hukum-hukum pada himpunan Salah satu cabang

matematika yang menyelidiki teori himpunan dengan mempelajari teorema-teorema yang

dihasilkan dari hukum-hukum ini yakni teorema-teorema yang buktinya memerlukan

penggunaan hukum-hukum ini saja tanpa menggunakan hukum lain adalah aljabar himpunan

Pembahasan berikut merupakan pembahasan dari aljabar himpunan

Definisi X disebut himpunan bagian dari Y dengan notasi X Y jika dan hanya jika

( a) a X a Y Sedangkan X = Y jika dan hanya jika ( a) a X a Y

Apabila X Y dan X Y maka X disebut himpunan bagian sejati dari Y

Himpunan kosong dan Y sendiri disebut himpunan bagian tak sejati dari Y

( improper subset )

Berikut diberikan rumus-rumus himpunan ( tidak disertai bukti ) berlaku untuk setiap X Y Z

Rumus 1

X X sifat refleksif

X Y amp Y X X = Y sifat anti-symetris

X Y amp Y Z X Z sifat transitif

Rumus 2

X X = X dan X X = X sifat idempoten

X Y = Y X dan X Y = Y X sifat komutatif

(X Y) Z = X (Y Z) dan (X Y) Z = X (Y Z) sifat assosiatif

X (Y Z) = (X Y) (X Z) dan

X (Y Z) = (X Y) (X Z) sifat distributif

Rumus 3

X (X Y) dan Y (X Y)

( X Y ) X dan (X Y) Y

X Z amp Y Z X Y Z

Z X amp Z Y Z (X Y)

Rumus 4

X Y X Y = Y X Y = X

Rumus 5 (Rumus de Morgan )

13

( X Y )C = XC YC

( X Y )C = XC YC

Rumus 6

( XC ) C = XC = S

SC =

Rumus 7

X S

X = dan S X = X

X = X dan S X = S

X XC = dan X XC = S

Rumus 8 ( Hukum Absorpsi)

X (X Y) = X (X Y)

Rumus 9

X - Y = X YC

Contoh 21

Buktikan X Y YC XC

Bukti

i ) X Y YC XC

Andaikan YC XC maka ada a YC sedemikian sehingga a XC Karena a YC

berarti a Y dan dilain pihak a XC berarti a X Terlihat adanya a X dengan a Y

Hal ini bertentangan dengan ketentuan X Y Kontradiksi sehingga pengandaian harus

diingkar maka terbukti YC XC

ii ) YC XC X Y

Andaikan X Y maka ada a dengan a X dan a Y Sehingga ada a dengan a

XC dan a YC Kontradiksi dengan ketentuan YC XC

14

X Y

SXC

YC

Bukti semacam diatas disebut reduction ad absurdum ( bukti kemustahilan ) Dari

ingkaran apa yang harus dibuktikan ( pengandaian adalah ingkaran dari apa yang harus

dibuktikan ) diturunkan suatu kontradiksi sesuatu yang mustahil Umpama sesuatu yang

bertentangan dengan ketentuan atau umpama kalimat 1 = 2 dst Karena kemustahilan ini tidak

mungkin terjadi maka pengandaian harus diingkar dan terbuktilah soalnya

Perhatikan bahwa bukti dari contoh 1 di atas juga dapat dipandang sebagai bukti dari

kalimat kontraposisi dari kalimat yang harus dibuktikan yaitu bukti dari kalimat

YC XC X Y

Perbedaan dari reduction ad absurdum dengan bukti dari kalimat kontraposisi ialah bahwa

pada reduction ad absurdum kontradiksi yang diturunkan tidak perlu berupa ingkaran dari

anteseden dari kalimat

yang harus dibuktikan

melainkan dapat berupa

apapun asal mustahil terjadi

Dengan

diagram Venn benarnya

soal 1 diatas memang

mudah diyakini

Gambar 21

Contoh 1 di atas dapat juga dibuktikan secara langsung ( direct proof ) yaitu

X Y X Y = Y rumus 4

(X Y)C = YC

XC YC = YC rumus de Morgan

YC XC rumus 4

terbukti X Y YC XC

15

YX Z

YX

Z

Contoh 22

Buktikan (A B) (A Brsquo) = A

Bukti (A B) (A Brsquo) = A (B Brsquo) rumus distributif

B Brsquo = rumus komplemen

(A B) (A Brsquo) = A rumus subtitusi

A = A rumus identitas


Contoh 23

Buktikan X Y dan Y Z menunjukkan X Z

Bukti X = X Y dan Y = Y Z definisi sub himpunan

X = X (Y Z) rumus subtitusi

X = (X Y) Z rumus assosiatif

X = X Z rumus subtitusi

X Z definisi sub himpunan

Pada himpunan hukum-hukum kanselasi dalam aljabar himpunan tidak berlaku Yaitu dari

X Z = Y Z tidak boleh diturunkan X = Y

16

Demikian pula dari


Hal ini jelas terlihat dari diagram-diagram Venn di bawah ini

X Z = Y Z = Z X Z = Y Z = Z

Gambar 22

Perhatikan bahwa dengan sendirinya diagram Venn dapat digunakan untuk membuktikan

bahwa sesuatu ucapan tidak berlaku umum Sebab diagram dalam keadaan tersebut

memberikan suatu contoh-lawanan ( counter example ) atau dapat juga disimpulkan bahwa

diagram Venn tidak dapat dipakai untuk membuktikan suatu teorema kecuali buktinya berupa

contoh kontra

Contoh 24

Buktikan X Z = Y Z dan X Z = Y Z maka X = Y

Bukti

X = X ( X Z ) rumus absorpsi

= X ( Y Z )

= (X Y) (X Z) rumus distributif

= (Y X) (X Z) rumus komutatif

= (Y X) (Y Z)

= Y (X Z) rumus distributif

= Y (Y Z)

= Y

terbukti bahwa X = Y

Selanjutnya didefinisikan symmetric difference ( selisih symetris ) dari dua himpunan

X dan Y dengan tanda X Y sebagai berikut

17

X Y = (X Y) - (X Y)

Dengan diagram Venn

Gambar 23

Jadi X Y terdiri atas elemen-elemen X yang tidak berada dalam Y dan elemen-elemen Y

yang tidak berada dalam X

Contoh 25

Buktikan

i) X Y = ( X Y ) (XC YC) = ( X YC) ( Y XC)

ii) X Y = Y X

iii) ( X Y) Z = X (Y Z)

iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)

Bukti

Bukti i) dan ii) silahkan dicoba sendiri

iii) Misal dinotasikan ( X Y) = dan (Y Z) = Anggota-anggota dari terdiri atas

anggota-anggota X yang tidak berada dalam Y dan anggota-anggota Y yang tidak berada

dalam X Sedangkan anggota-anggota dari Z terdiri atas anggota-anggota Z yang tidak

berada dalam dan anggota yang tidak dalam Z

Tetapi anggota-anggota dalam X Y justru tidak dalam Sehingga anggota-anggota dari

( X Y) Z terdiri atas

1 Elemen-elemen yang tepat berada dalam salah satu himpunan X Y atau Z

2 Elemen-elemen yang sekaligus berada dalam X Y dan Z

Walaupun jalan pikiran di atas didasarkan atas diagram Venn namun menggunakan

diagram Venn sebagai pertolongan sangat banyak memudahkan mengikuti jalan pikiran

18

Gambar 24

Demikian juga X (Y Z) terdiri atas elemen-elemen dalam 1 dan 2 diatas Sehingga

terbukti ( X Y) Z = X (Y Z)

iv) Akan dibuktikan X (Y Z) = (X Y) (X Z)

X (Y Z) = X (Y ZC Z YC) = X Y ZC X Z YC

Sedangkan

(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C

= (X Y) (XC ZC) (X Z) (XC YC)

= X Y XC X Y ZC X Z XC X Z YC

= X Y ZC X Z YC

= X Y ZC X Z YC

Maka terbukti X (Y Z) = (X Y) (X Z)

II2 PERGANDAAN KARTESIUS

Pada suatu himpunan bersahaja (plain set) urutan tidak diperhatikan sehingga

ab=ba Sedangkan suatu elemen timbul satu kali saja sebagai anggota suatu himpunan

(ldquokartu keanggotaanrdquo diberikan satu kali saja) Demikianlah tidak boleh ditulis a a b

Sebaliknya pada suatu ordered n-tuple khususnya ordered pair urutan diperhatikan

sedangkan anggota boleh diulang Untuk membedakan plain set dengan ordered set maka

tanda kurung kurawal diganti dengan tanda kurung biasa

Di bawah ini diberikan definisi kesamaan dua ordered pairs

Definisi (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2

Perhatikan bahwa pengertian ordered pair dapat dikembalikan pada plain set demikian

19

Definisi Pasangan berurutan (a b) adalah plain set a ab Dengan rumus (a b) = df

a ab

Bahwa definisi di atas efektif terlihat dari teorema di bawah ini

Teorema 1 (a1 b1) = (a2 b2) jika dan hanya jika a1 = b1 dan a2 = b2

bukti

1 Apabila a1 = a2 dan b1 = b2 maka a1 = a2 dan a1 b1= a2 b2

Sehingga a1 a1b1 = a2 a2b2 Yaitu ( a1 b1 ) = ( a2 b2 )

2 Sebaliknya apabila diketahui ( a1 b1 ) = ( a2 b2 ) yaitu a1 a1b1 = a2 a2b2

maka haruslah a1 = a2 sehingga terbukti a1 = a2 dan haruslah juga a1b1=a2b2

dan karena telah terbukti a1= a2 maka terbukti juga b1= b2

Definisi Cartesian product H x K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua

pasangan berurutan (hk) dengan h H dan k K

H x K = df (hk) | h H dan k K

(hk) H x K jhj h H dan k K

Apabila H = ab dan K = cd maka

H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )

K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )

H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )

Perhatikan bahwa pada umumnya H x K K x H Cartesian Product dapat diperluas sampai

meliputi n himpunan H1 x H2 xhelliphellip x Hn yang terdiri aras n-tuple (h1 h2 helliphn) dengan h1

Hi untuk setiap i Generalisasi lebih lanjut dibicarakan pada pasal pemetaan

Rumus 10 ( H1 H2) x ( K1 K2 ) = H1 x K1 H2 x K2

Bukti

( H1 H2) x ( K1 K2 ) = (ab) | a H1 H2 dan b K1 K2

= (ab) | a H1amp a H2 dan b K1amp b K2

= (ab) | a H1amp b K1 dan a H2 amp b K2

= (ab) | a H1amp b K1 ( a b) | a H2 amp b K2

= H1 x K1 H2 x K2

20

Catatan Pada bukti diatas digunakan rumus

x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)

Sebab x | P(x) amp Q(x) terdiri atas anggota-anggota x dari semestanya yang sekaligus

memiliki sifat P dan sifat Q Himpunan ini sama dengan interseksi ( ) dari himpunan elemen-

elemen yang memiliki sifat p saja dengan himpunan elemen-elemen yang memiliki sifat Q

saja

Demikian juga dapat dibuktikan rumus

x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)

Sebaliknya pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) x (K M) karena ruas kiri adalah

himpunan yang anggota-anggotanya adalah pasangan atau individu sedangkan anggota-

anggota dari himpunan di ruas kanan adalah pasangan-pasangan saja

Demikian juga pada umumnya ( H x K ) M ( H M ) (K x M)

Contoh 26

Buktikan H - ( K M ) = ( H - K ) ( H - M )

Bukti

H - ( K M ) = a | a H amp a K M

= a | a H amp a K amp a M

Sedangkan

( H - K ) ( H - M ) = a | a H amp a K a | a H amp a M


Ternyata kedua syarat keanggotaan sama

Definisi Himpunan Kuasa 2H dari himpunan H adalah himpunan semua himpunan bagian H

Misal H = a b c maka 2H = a b c ab ac bc abc

Perhatikan ab H tetapi ab 2H

Teorema 2 Apabila H berhingga dan terdiri atas n anggota maka himpunan kuasa 2H

mempunyai 2n anggota

Bukti

Himpunan kuasa 2H terdiri atas

1 Himpunan kosong banyaknya 1

21

2 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas satu elemen Disebut singleton

banyaknya

3 Himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas dua elemen banyaknya Demikian

seterusnya sampai akhirnya himpunan-himpunan bagian yang terdiri atas n elemen

banyaknya

Sehingga banyaknya anggota dari 2H menjadi

1 + + + hellip + = ( 1+1 )n = 2n dengan menggunakan beberapa rumus elementer

dari teori kombinasi Pada bab selanjutnya teorema tersebut akan dibuktikan dengan jalan

lain

Definisi Dua himpunan H dan K disebut ekuivalen jika dan hanya jika antara anggota-

anggotanya ada korespondensi satu-satu timbal balik Dengan kata lain jika dan

hanya jika ada pemetaan bijektif dari H ke K notasi H ~ K

Pemetaan bijektif dari H ke K terpenuhi jika pemetaannya (misalkan R) mempunyai sifat-sifat

berikut

1 R refleksif yakni untuk tiap-tiap h H h dipetakan kepada dirinya sendiri

2 R simetris yakni jika h H dipetakan kepada k K maka k dipetakan kepada h

3 R transitif yakni jika h H dipetakan kepada k K dan k dipetakan kepada l L maka

h dipetakan kepada l

Banyaknya anggota dari himpunan H disajikan dengan dan disebut kardinalitas dari H

Notasi ini akan diterangkan kelak pada waktu membicarakan pengertian kardinalitas jika juga

menyangkut himpunan tak berhinga Untuk sementara akan dibatasi dulu pada himpunan yang

berhingga Apabila H dan K berhingga maka jika H ~ K jelas H dan K mempunyai banyak

anggota yang sama Jadi

Definisi = df dimana tanda lsquolsquo diruas kiri menyatakan pergandaan bilangan

sedangkan tanda ldquo x ldquo di ruas kanan menyatakan Cartesian product dua himpunan

Perhatikan bahwa pergandaan dari dua bilangan dan dalam definisi di atas didefinisikan

lepas dari repeated addition tetapi dengan menggunakan Cartesian product Akan dibuktikan

ekuivalensi dari dua definisi itu

22

Contoh 27 H = h1 h2 h3 K = k1 k2

H x K = ( h1 k1) ( h1 k2) ( h2 k1) ( h2 k2) ( h3 k1) ( h3 k2)

dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2

Bukti

Misalkan H terdiri atas n anggota dan K terdiri atas m anggota maka H x K dikomposisikan

atas n himpunan K1 K2 hellip Kn yang saling asing dimana untuk setiap i berlaku Ki = K

Dekomposisi ini dikerjakan sbb Ki = ( hi k1) ( hi k2) hellip ( hi km)

Maka Ki ~ K dank arena i berjalan dari 1hellipn maka ada n himpunan K i masing-masing terdiri

atas m anggota Maka H x K mempunyai m + m + hellip + m ( ada n suku ) anggota Dengan

mudah dapat dilihat bahwa bukti berlaku untuk setiap m dan setiap n

Definisi Didefinisikan KH adalah himpunan semua pemetaan dari H ke K

Misalkan K = 01 dan A H Maka fA H K disebut fungsi karateristik dari himpunan

bagian A dan didefinisikan dengan f(h) = 1 untuk h A dan f(h) = o untuk h H - A

Gambar 25

Perhatikan bahwa setiap himpunan bagian A dari H menentukan dengan tunggal satu

pemetaan dari H ke K ( jadi satu anggota dari KH dan sebaliknya ) Sehingga himpunan kuasa

dari H ekuipoten dengan KH jika K terdiri atas dua anggota Hal ini merupakan alasan

mengapa himpunan kuasa H disajikan dengan 2H Jadi

2H ~ KH jika K terdiri dari dua anggota

Definisi = df

Di dalam definisi ini pemangkatan bilangan didefinisikan lepas dari repeated

multiplicatiaon tetapi juga akan dibuktikan ekuivalen dengannya (maksudnya pemangkatan

disini bukan seperti pemangkatan bilangan dalam bilangan Riil)

K

A

H

1

0

23

Sebagai contoh diambil H = h1h2h3 dan K = k1k2 Sehingga = 3 dan = 2

Gambar 26

Perhatikan bahwa setiap pemetaan dari H ke K ( disajikan dengan garis penuh ) menentukan

dengan tunggal suatu insersi dari K ke H ( disajikan dengan garis putus-putus ) dan

sebaliknya Sehingga himpunan semua insersi dari K ke H ekuivalen dengan himpunan

semua pemetaan dari H ke K

Perhatikan pula setiap insersi menentukan dengan tunggal suatu triple dan sebaliknya

Pada Gambar 6 diatas insersinya menentukan triple ( k1k2k3 ) sehingga semua insersi

ekuipoten dengan himpunan triple dengan anggota-anggota K yaitu K x K x K Pandangan-

pandangan tersebut menghasilkan

KH ~ K x K x K dan =

Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8

Catatan Dengan uraian di atas maka Teorema 1 dapat dibuktikan lepas dari rumus-rumus

dalam teori kombinasi

Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti

Misalkan f ( H1 x H2 ) K maka

k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2

karena h1 maupun h2 tertentu dengan tunggal maka perkawanan k dengan h1 dan k dengan h2

menentukan dengan tunggal fungsi-fungsi f1 H1K dan f2 H2

K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2

Maka f ( H1 x H2 ) K menentukan dengan tunggal (f1 f2 ) H1K x H2

K

Dengan mudah dapat dilihat bahwa kebalikannya juga berlaku Sehingga terbuktilah rumus di

atas

Ekuipotensi itu dapat dinyatakan dan dibuktikan lebih baik lewat teorema di bawah ini

Teorema 3 Pada setiap pasangan pemetaan ( fungsi ) f1 K H1 dan f2 K H2 dengan

domain yang sama dapat ditemukan tepat satu pemetaan g K H1 x H2

sedemikian sehingga diagram di bawah ini adalah komutatif yaitu sedemikian

sehingga f1 = p1 g dan f2 = p2 g dimana p1 dan p2 adalah proyeksi kesatu dan

proyeksi kedua

Gambar 27

Dalam teorema di atas dinyatakan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk mengisi

anak panah yang putus-putus itu dengan anak panah penuh sedemikian sehingga diagramnya

komutatif

Bukti

Apabila f1 dan f2 ditentukan maka f1(k) = h1 dan f2(k) = h2 tertentu dalam H1 dan H2

Maka pemetaan g K H1 x H2 ditentukan dengan k (h1h2) Karena p1 ( h1h2 ) h1 dan

p2 ( h1h2 ) h2 maka f1 = p1 g dan f2 = p2 g

Misalkan ada g1 sedemikian sehingga f1 = p1 g1 dan f2 = p2 g1 dan misalkan g1 (k) = (ab)

maka f1 (k) = h1 = p1 g1 (k) = p1 (ab) = a Sehingga a = h1 Demikian juga b = h2 dengan

kata lain g1 = g

Sebaliknya apabila g ditentukan dengan g(k) = (ab) maka p1 g(k) = a dan p2 g(k) =

b agar diagramnya komutaif maka fi dan f2 tertentu dengan tunggal yaitu f1 (k) = a dan f2

(k) = b Dari uraian diatas dapat disimpulkan

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25

Pandang sekarang himpunan fungsi-fungsi Jadi misalkan

f K1 x K2 H

(xy) f (xy)

Jika y K2 konstanta sedangkan x K1 variabel maka y menentukan fungsi

fy K1 H atau dengan notasi lain f (-y) K1 H

Perhatikan sekarang pengawanan y fy karena setiap y K2 menentukan dengan tunggal

suatu fy ( fungsi dari K1 ke H ) maka pengawanan di atas menentukan fungsi dari K2 ke

yang kita sebut F sebagai berikut

F K2

y f(y) = fy = F (-y)

dengan kata lain F adalah fungsi dengan K2 sebagai domain yang harga fungsinya yaitu

F(y) = f (-y) adalah fungsi dari K1 ke H Sehingga untuk x K1 maka [F(y)] (x) = f (xy)

Teorema 4 Dengan ditentukannya K1 K2 dan H maka pengawanan f F yang didefinisikan

dengan [F(y)] (x) = f (xy) untuk semua x K1 dan y K2 menghasilkan bijeksi

~

Bukti

Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa pemetaan f F adalah surjektif Ambil

sebarang F maka F K2 sehingga setiap y K2 menentukan F K1 H

dan [F(y)] (x) H untuk setiap x K1 Dengan demikian apabila diketahui F maka dengan

menggunakan F ini setiap (xy) K1 x K2 menentukan [F(y)] (x) H Dengan kata lain

setiap F menentukan fungsi f K1 x K2 H Jadi fungsi f F adalah surjektif

Sekarang akan dibuktikan f F adalah injektif Misalkan F tersebut menentukan

fungsi f1 F dan juga f2 F Ambil y K2 dan x K1 maka f1(xy) maupun f2(xy) dihitung

dengan menentukan terlebih dahulu F(y) kemudian menghitung [F(y)] (x) Sehingga f1(xy)

= f2(xy) untuk setiap (xy) K1 x K2 Jadi f1 = f2 dan f1 F adalah injektif Karena telah

terbukti surjektif mak f1 F bijektif

26

Latihan Soal

1) Buktikan X YC jhj X Y =

2) Buktikan X - ( X - Y ) = X Y

3) Buktikan ( X - Y )C = Y XC

4) Buktikan X - (Y X) = X - Y

5) Buktikan ( X - Y ) ( Y - X ) = ( X Y ) - ( X Y )

6) Buktikan X Y = S dan X Y = maka X = YC

7) Buktikan X Y = X YC maka X =

8) Apakah konvers ( kebalikan ) dari soal 6 dan soal 7 juga berlaku Buktikan jika

demikian

9) Buktikan X = jhj Y = ( X YC ) (XC Y)

10) Buktikan X Y Z maka ( X - Y ) ( Y - Z ) = X - Z

11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y

12) Berilah contoh dari himpunan yang tidak kosong dengan sifat bahwa semua anggota-

anggotanya adalah himpunan bagian dari himpuna itu sendiri

13) Buktikan apabila X dan Y adalah dua himpunan maka X dapat dipecah atas dua

himpunan saling-asing yaitu

X = ( X - Y ) ( X Y)

Buktikan juga soal-soal

14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M

18) (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H1 x K2 H2 x K1 H2 x K2

Perhatikan perbedaan dengan rumus (H1 H2) x (K1 K2) = H1 x K1 H2 x K2

19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28

dihasilkan dari hukum-hukum ini yakni teorema-teorema yang buktinya memerlukan

penggunaan hukum-hukum ini saja tanpa menggunakan hukum lain adalah aljabar himpunan

Pembahasan berikut merupakan pembahasan dari aljabar himpunan

Definisi X disebut himpunan bagian dari Y dengan notasi X Y jika dan hanya jika

( a) a X a Y Sedangkan X = Y jika dan hanya jika ( a) a X a Y

Apabila X Y dan X Y maka X disebut himpunan bagian sejati dari Y

Himpunan kosong dan Y sendiri disebut himpunan bagian tak sejati dari Y

( improper subset )

Berikut diberikan rumus-rumus himpunan ( tidak disertai bukti ) berlaku untuk setiap X Y Z

Rumus 1

X X sifat refleksif

X Y amp Y X X = Y sifat anti-symetris

X Y amp Y Z X Z sifat transitif

Rumus 2

X X = X dan X X = X sifat idempoten

X Y = Y X dan X Y = Y X sifat komutatif

(X Y) Z = X (Y Z) dan (X Y) Z = X (Y Z) sifat assosiatif

X (Y Z) = (X Y) (X Z) dan

X (Y Z) = (X Y) (X Z) sifat distributif

Rumus 3

X (X Y) dan Y (X Y)

( X Y ) X dan (X Y) Y

X Z amp Y Z X Y Z

Z X amp Z Y Z (X Y)

Rumus 4

X Y X Y = Y X Y = X

Rumus 5 (Rumus de Morgan )

13

( X Y )C = XC YC

( X Y )C = XC YC

Rumus 6

( XC ) C = XC = S

SC =

Rumus 7

X S

X = dan S X = X

X = X dan S X = S

X XC = dan X XC = S


X (X Y) = X (X Y)

Rumus 9

X - Y = X YC

Contoh 21

Buktikan X Y YC XC

Bukti

i ) X Y YC XC





ii ) YC XC X Y



14

X Y

SXC

YC








YC XC X Y







Dengan



mudah diyakini

Gambar 21


X Y X Y = Y rumus 4

(X Y)C = YC


YC XC rumus 4

terbukti X Y YC XC

15

YX Z

YX

Z

Contoh 22







Contoh 23









16

Demikian pula dari



X Z = Y Z = Z X Z = Y Z = Z

Gambar 22





contoh kontra

Contoh 24


Bukti


= X ( Y Z )



= (Y X) (Y Z)


= Y (Y Z)

= Y




17

X Y = (X Y) - (X Y)

Dengan diagram Venn

Gambar 23



Contoh 25

Buktikan


ii) X Y = Y X

iii) ( X Y) Z = X (Y Z)

iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)

Bukti












18

Gambar 24





Sedangkan

(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C



= X Y ZC X Z YC

= X Y ZC X Z YC












19


a ab



bukti











H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )

K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )

H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )





Bukti





= H1 x K1 H2 x K2

20


x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)




saja


x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)





Contoh 26


Bukti

H - ( K M ) = a | a H amp a K M


Sedangkan









Bukti



21


banyaknya



banyaknya




lain





berikut















22



dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2

Bukti










Gambar 25






Definisi = df




K

A

H

1

0

23


Gambar 26










Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8



Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti


k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2



K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28

( X Y )C = XC YC

( X Y )C = XC YC

Rumus 6

( XC ) C = XC = S

SC =

Rumus 7

X S

X = dan S X = X

X = X dan S X = S

X XC = dan X XC = S


X (X Y) = X (X Y)

Rumus 9

X - Y = X YC

Contoh 21

Buktikan X Y YC XC

Bukti

i ) X Y YC XC





ii ) YC XC X Y



14

X Y

SXC

YC








YC XC X Y







Dengan



mudah diyakini

Gambar 21


X Y X Y = Y rumus 4

(X Y)C = YC


YC XC rumus 4

terbukti X Y YC XC

15

YX Z

YX

Z

Contoh 22







Contoh 23









16

Demikian pula dari



X Z = Y Z = Z X Z = Y Z = Z

Gambar 22





contoh kontra

Contoh 24


Bukti


= X ( Y Z )



= (Y X) (Y Z)


= Y (Y Z)

= Y




17

X Y = (X Y) - (X Y)

Dengan diagram Venn

Gambar 23



Contoh 25

Buktikan


ii) X Y = Y X

iii) ( X Y) Z = X (Y Z)

iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)

Bukti












18

Gambar 24





Sedangkan

(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C



= X Y ZC X Z YC

= X Y ZC X Z YC












19


a ab



bukti











H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )

K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )

H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )





Bukti





= H1 x K1 H2 x K2

20


x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)




saja


x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)





Contoh 26


Bukti

H - ( K M ) = a | a H amp a K M


Sedangkan









Bukti



21


banyaknya



banyaknya




lain





berikut















22



dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2

Bukti










Gambar 25






Definisi = df




K

A

H

1

0

23


Gambar 26










Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8



Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti


k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2



K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28

X Y

SXC

YC








YC XC X Y







Dengan



mudah diyakini

Gambar 21


X Y X Y = Y rumus 4

(X Y)C = YC


YC XC rumus 4

terbukti X Y YC XC

15

YX Z

YX

Z

Contoh 22







Contoh 23









16

Demikian pula dari



X Z = Y Z = Z X Z = Y Z = Z

Gambar 22





contoh kontra

Contoh 24


Bukti


= X ( Y Z )



= (Y X) (Y Z)


= Y (Y Z)

= Y




17

X Y = (X Y) - (X Y)

Dengan diagram Venn

Gambar 23



Contoh 25

Buktikan


ii) X Y = Y X

iii) ( X Y) Z = X (Y Z)

iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)

Bukti












18

Gambar 24





Sedangkan

(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C



= X Y ZC X Z YC

= X Y ZC X Z YC












19


a ab



bukti











H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )

K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )

H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )





Bukti





= H1 x K1 H2 x K2

20


x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)




saja


x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)





Contoh 26


Bukti

H - ( K M ) = a | a H amp a K M


Sedangkan









Bukti



21


banyaknya



banyaknya




lain





berikut















22



dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2

Bukti










Gambar 25






Definisi = df




K

A

H

1

0

23


Gambar 26










Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8



Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti


k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2



K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28

YX Z

YX

Z

Contoh 22







Contoh 23









16

Demikian pula dari



X Z = Y Z = Z X Z = Y Z = Z

Gambar 22





contoh kontra

Contoh 24


Bukti


= X ( Y Z )



= (Y X) (Y Z)


= Y (Y Z)

= Y




17

X Y = (X Y) - (X Y)

Dengan diagram Venn

Gambar 23



Contoh 25

Buktikan


ii) X Y = Y X

iii) ( X Y) Z = X (Y Z)

iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)

Bukti












18

Gambar 24





Sedangkan

(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C



= X Y ZC X Z YC

= X Y ZC X Z YC












19


a ab



bukti











H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )

K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )

H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )





Bukti





= H1 x K1 H2 x K2

20


x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)




saja


x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)





Contoh 26


Bukti

H - ( K M ) = a | a H amp a K M


Sedangkan









Bukti



21


banyaknya



banyaknya




lain





berikut















22



dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2

Bukti










Gambar 25






Definisi = df




K

A

H

1

0

23


Gambar 26










Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8



Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti


k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2



K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28

Demikian pula dari



X Z = Y Z = Z X Z = Y Z = Z

Gambar 22





contoh kontra

Contoh 24


Bukti


= X ( Y Z )



= (Y X) (Y Z)


= Y (Y Z)

= Y




17

X Y = (X Y) - (X Y)

Dengan diagram Venn

Gambar 23



Contoh 25

Buktikan


ii) X Y = Y X

iii) ( X Y) Z = X (Y Z)

iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)

Bukti












18

Gambar 24





Sedangkan

(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C



= X Y ZC X Z YC

= X Y ZC X Z YC












19


a ab



bukti











H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )

K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )

H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )





Bukti





= H1 x K1 H2 x K2

20


x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)




saja


x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)





Contoh 26


Bukti

H - ( K M ) = a | a H amp a K M


Sedangkan









Bukti



21


banyaknya



banyaknya




lain





berikut















22



dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2

Bukti










Gambar 25






Definisi = df




K

A

H

1

0

23


Gambar 26










Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8



Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti


k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2



K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28

X Y = (X Y) - (X Y)

Dengan diagram Venn

Gambar 23



Contoh 25

Buktikan


ii) X Y = Y X

iii) ( X Y) Z = X (Y Z)

iv) X (Y Z) = (X Y) (X Z)

Bukti












18

Gambar 24





Sedangkan

(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C



= X Y ZC X Z YC

= X Y ZC X Z YC












19


a ab



bukti











H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )

K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )

H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )





Bukti





= H1 x K1 H2 x K2

20


x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)




saja


x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)





Contoh 26


Bukti

H - ( K M ) = a | a H amp a K M


Sedangkan









Bukti



21


banyaknya



banyaknya




lain





berikut















22



dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2

Bukti










Gambar 25






Definisi = df




K

A

H

1

0

23


Gambar 26










Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8



Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti


k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2



K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28

Gambar 24





Sedangkan

(X Y) (X Z) = (X Y) (X Z)C (X Z) (X Y)C



= X Y ZC X Z YC

= X Y ZC X Z YC












19


a ab



bukti











H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )

K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )

H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )





Bukti





= H1 x K1 H2 x K2

20


x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)




saja


x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)





Contoh 26


Bukti

H - ( K M ) = a | a H amp a K M


Sedangkan









Bukti



21


banyaknya



banyaknya




lain





berikut















22



dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2

Bukti










Gambar 25






Definisi = df




K

A

H

1

0

23


Gambar 26










Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8



Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti


k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2



K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28


a ab



bukti











H x K = ( ac ) ( ad ) ( bc ) ( bd )

K x H = ( ca ) ( cb ) ( da ) ( db )

H x H = ( aa ) ( ab ) ( ba ) ( bb )





Bukti





= H1 x K1 H2 x K2

20


x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)




saja


x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)





Contoh 26


Bukti

H - ( K M ) = a | a H amp a K M


Sedangkan









Bukti



21


banyaknya



banyaknya




lain





berikut















22



dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2

Bukti










Gambar 25






Definisi = df




K

A

H

1

0

23


Gambar 26










Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8



Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti


k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2



K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28


x | P(x) amp Q(x) = x | P(x) x | Q(x)




saja


x | P(x) v Q(x) = x | P(x) x | Q(x)





Contoh 26


Bukti

H - ( K M ) = a | a H amp a K M


Sedangkan









Bukti



21


banyaknya



banyaknya




lain





berikut















22



dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2

Bukti










Gambar 25






Definisi = df




K

A

H

1

0

23


Gambar 26










Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8



Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti


k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2



K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28


banyaknya



banyaknya




lain





berikut















22



dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2

Bukti










Gambar 25






Definisi = df




K

A

H

1

0

23


Gambar 26










Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8



Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti


k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2



K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28



dan = = 3 2 = 2 + 2 + 2

Bukti










Gambar 25






Definisi = df




K

A

H

1

0

23


Gambar 26










Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8



Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti


k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2



K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28


Gambar 26










Maka

= = 23 = = = 2 2 2 = 8



Rumus 11

( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

Bukti


k f(k) = ( h1h2 ) H1 x H2



K

k1 k2

K

h1 h2 h3

H

24

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28

f1 k f1 (k) = h1

f2 k f2 (k) = h2


K


atas






proyeksi kedua

Gambar 27



komutatif

Bukti






kata lain g1 = g




( H1 x H2 ) K ~ H1K x H2

K

H1p2p1

H2H1 x H2

gf1 f2

K

h1 p2 p1

h2(h1 h2)

gf1 f2

k

25


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28


f K1 x K2 H

(xy) f (xy)






F K2

y f(y) = fy = F (-y)





~

Bukti











26

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28

Latihan Soal









demikian



11) Sederhanakanlah

X (XC Y) Y (Y Z) Y





X = ( X - Y ) ( X Y)


14) H x (K M) = H x K H x M

15) H x (K M) = H x K H x M

16) (H K) x M = H x M K x M

17) (H K) x M = H x M K x M



19) ( H - K ) x M = ( H x M ) - ( K x M )

27

28

I. Aljabar Himpunan

Documents

Transcript of I. Aljabar Himpunan