I. A testek ábrázolása,...
Transcript of I. A testek ábrázolása,...
10 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
I A testek aacutebraacutezolaacutesa jellemzeacutese Bevezeteacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes Ennek a modulnak a fő ceacutelja a teacuterelemek megismereacutese megtapasz-talaacutesa teacuterszemleacuteletet fejlesztő feladatokon keresztuumll Teacutenykoumlzleacutes eacutes akadeacutemiai tudaacutes helyett a gyakorlatra a felfedezeacutesre a koumlvetkezteteacutesre helyezzuumlk a hangsuacutelyt A 3 oacutera veacutegeacutere szeret-neacutenk a tanuloacutekat eljuttatni oda hogy keacutepesek legyenek a testeket eacutes eacutepiacutetőelemeiket a teacuterben laacutetni haacuteloacuteikat felismerni eacutes keacutepet alkothassanak a teacuterbeli formaacutek soksziacutenűseacutegeacuteről
Bizonyaacutera jaacutertatok maacuter uacutegy hogy elteacute-
vedtetek egy ismeretlen eacutepuumlletben vagy
vaacuterosban Ha uacutej helyre megyuumlnk teacuterben
valoacute taacutejeacutekozoacutedaacutesunkat sok dolog segiacutet-
heti testek testszoumlgletek jellemző for-
maacutek sziacutenek A koumlvetkezőkben a testek
elnevezeacuteseacutevel leiacuteraacutesaacuteval felismereacuteseacutevel
foglalkozunk A hasaacutebot vagy a hengert
mindannyian ismeritek de ezeken kiacutevuumll
sok olyan teacuterbeli forma van ami megragadja keacutepzeletuumlnket Peacuteldaacuteul sok vulkaacuteni csuacutecs
csonkakuacutep alakuacute
Szilassi Lajos keacutesziacutetett olyan heacutetlapuacute polieacutedert melynek baacutermely keacutet lapja szomszeacutedos (Szilassi-polieacuteder)
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Laacutesd httpwwwjgytfu-szegedhutanszekmatematikaspeckoll19997lapindexhtml de itt
httpmathworldwolframcomSzilassiPolyhedronhtml teacuterben forgathatoacute moacutedon is aacutebraacutezol-
jaacutek (Java-s boumlngeacutesző szuumlkseacuteges angol nyelvű oldal)
6 modul TEacuteRELEMEK 11
Erdeacutely Daacuteniel Spidron teacuterkitoumlltő rendszereacutevel keacute-
szuumllt polieacuteder (spiralloeacuteder)
Rinus Roelofs (holland keacutepzőműveacutesz) eacutes Erdeacutely Daacuteniel
A Spidron-rendszer alapjaacutet az aacutebraacuten laacutethatoacute haacuteromszoumlgekből is oumlsszeaacutelliacutethatoacute elem keacutepezi
Segiacutetseacutegeacutevel nemcsak heacutezagmentesen toumllthetjuumlk ki a siacutekot hanem a megfelelő aacutetloacutek menteacuten
oumlsszehajtva rendkiacutevuumll plasztikus teacuterkitoumllteacuteseket testeket nyeruumlnk
Kiss Gergő animaacutecioacutejaacutenak reacuteszletei 2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Moacutedszertani megjegyzeacutes
A Spidron-rendszerről reacuteszletesen taacutejeacutekozoacutedhatunk a wwwszinhazhuedanSpidroNew eacutes a
httpwwwszinhazhuedanspidronh honlapokon Ez utoacutebbin megtalaacutelhatoacute hogyan toumllthető
ki a teacuter a Spidronokboacutel előaacutelliacutethatoacute testekkel
12 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Antonio Gaudi (spanyol eacutepiacuteteacutesz 1852ndash1926)
munkaacutei a teacuterformaacutek kihasznaacutelaacutesaacutenak nagyszerű
peacuteldaacutei Ilyen a Battlo-haacutez homlokzata is Barce-
lonaacuteban
A termeacuteszettudomaacutenyban a testeknek a teacuterbeli
szimmetriaacuteknak kiemelkedő jelentőseacutege van
(gondoljunk az atomon beluumlli elektronfelhőre
vagy az eacutelőleacutenyek szimmetriatulajdonsaacutegaira)
Vannak olyan probleacutemaacutek is amelyeket a szim-
metria kihasznaacutelaacutesa neacutelkuumll meg sem tudnaacutenk
oldani A kristaacutelyformaacutek a molekulaacutek teacuterbeli
alakja modellezeacutese ugyanuacutegy hozzaacutetartozik
ehhez a tudomaacutenyhoz mint az ipari tervezeacuteskor
felhasznaacutelt ismeretek Nagy jelentőseacutege van
peacuteldaacuteul azoknak a teacuterformaacuteknak amelyek oumlsz-
szehajtogatva kis helyen elfeacuternek szeacutethajtogatva
pedig kuumlloumlnboumlző funkcioacutekat szolgaacutelnak (lakoacuteteacuter saacutetor szeacutethajthatoacute antenna stb)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Eacuterdemes felhiacutevni a diaacutekok figyelmeacutet a fejezetben szereplő nevekre Ha tetszik nekik egy-egy
alkotaacutes neacutezzenek utaacutena az interneten Internetciacutemek a tanaacuter szaacutemaacutera a modulvaacutezlatban is ta-
laacutelhatoacutek
6 modul TEacuteRELEMEK 13
A testek aacutebraacutezolaacutesa
A testek siacutekbeli aacutebraacutezolaacutesaacutera maacuter laacutethattatok neacutehaacuteny peacuteldaacutet eddigi tanulmaacutenyaitok soraacuten
Egy polieacuteder haacuteloacutejaacuten eacutertjuumlk azt a sokszoumlglapot amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Igen gyakori aacutebraacutezolaacutesi moacutedszer a perspektivikus amellyel a teacuterbeli alakzatokat meacuternoumlki pon-
tossaacuteggal aacutebraacutezolhatjuk a siacutekban Victor Vasarely (1908-1997) Maurits Cornelis Escher
(1898-1972) eacutes Roger Penrose (1931-) a hamis perspektiacuteva nagymesterei grafikaacuteikon rend-
szeresen lehetetlen alakzatok tűnnek fel A perspektivikus aacutebraacutezolaacutes koumlzeacutepkori uacutettoumlrői koumlzeacute
soroljuk Filippo Brunelleschi (1377-1446) eacutes Albrecht Duumlrer (1471-1528) mestereket
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Javasolt projekteket indiacutetani Vasarely Escher eacutes Penrose bdquobecsapoacutesrdquo grafikaacutek keacutepek interne-
tes kutataacutesa (keacutep bemutataacutesa eacutes roumlvid ismerteteacutes az egyik oacutera bevezeteacutesekeacutent) valamint a le-
hetetlen testek rajzainak megalkotaacutesa kreatiacutevabb tanuloacutek reacuteszeacutere 1999-ben a Műcsarnokban
rendezett bdquoPerspektiacutevardquo ciacutemű kiaacutelliacutetaacutes kataloacutegusa 517 oldalas nagyon joacute anyagokat talaacutelhat
benne az eacuterdeklődő
14 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A testek csoportosiacutetaacutesa
A testeket keacutet nagy csoportba soroljuk goumlrbe feluumlletűek eacutes polieacutederek
polieacutederek veacuteges sok sokszoumlg aacuteltal hataacuterolt testek
o hasaacutebok (egyenes eacutes ferde)
o guacutelaacutek (egyenes ferde csonka)
o szabaacutelyos testek
o egyebek
goumlrbe feluumlletű testek a hataacuteroloacute lapok koumlzoumltt van goumlrbe feluumllet is
o hengerek (egyenes eacutes ferde)
o kuacutepok (egyenes ferde csonka)
o forgaacutestestek (valamely siacutekidom adott tengely koumlruumlli megforgataacutesaacuteval keletkeznek
forgaacutesszimmetrikusak)
o goumlmboumlk
o egyebek
Feladat
1 Rajzolj peacuteldaacutekat a Venn-diagramm megfelelő reacuteszeire
6 modul TEacuteRELEMEK 15
Elnevezeacutesek Moacutedszertani megjegyzeacutes Peacutelda Polydron felhasznaacutelaacutesaacutera Amikor a hasaacutebot taniacutetjuk ne mondjuk meg a tanuloacuteknak hogy mi a hasaacuteb definiacutecioacuteja Csoportalakiacutetaacutes majd az ABCD csoportkaacutertyaacutek kiosztaacutesa utaacuten szakeacutertői mozaikkal oumlsszerakatunk az A-sokkal teacuteglatesteket a B-sekkel oumltszoumlg alapuacute hasaacutebot (peacuteldaacuteul taacuteblai rajz alapjaacuten) a C-sekkel hatszoumlg alapuacute hasaacutebot a D-sekkel egy ferde hasaacutebot Ezek utaacuten visszateacuternek a csoportjukhoz eacutes azt kapjaacutek feladatul hogy ismertesseacutek a toumlbbiekkel hogy mit raktak oumlssze eacutes iacuterjaacutek oumlssze hogy mik ezeknek a tes-teknek a koumlzoumls tulajdonsaacutegai (sokszoumlgekből aacutellnak paacuterhuzamos a fedő- eacutes az alaplap egybe-vaacutegoacutek is) Sorsolaacutessal keacuteruumlnk 1-1 tulajdonsaacutegot majd mi is rakunk hozzaacute (elmondjuk hogy ezek hasaacutebok eacutes ismertetuumlnk meacuteg neacutehaacuteny jellemzőt testmagassaacuteg lapszoumlgek teacuterfogat fel-sziacuten)
Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes amely az
alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az
adott egyenessel (alkotoacutek) hengerfeluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhu-
zamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr
a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhenger eseteacuteben az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra
A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevol-
saacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon
kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal kuacutep-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert goumlrbe koumlr a test
neve koumlrkuacutep Egyenes koumlrkuacutepnak nevezzuumlk a koumlrkuacutepot ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső
merőleges vetuumllete az alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet nevezzuumlk
Henger Koumlrhenger Egyenes koumlrhenger
16 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
palaacutestnak (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe aacuteltal
meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak Az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
adja a testmagassaacutegot
Ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet
tartalmazza akkor egyenlőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a
kuacutep alkotoacutei) Maacuteskeacutent az egyenes koumlrkuacutep tengelymetszete egyenlőszaacuteruacute
haacuteromszoumlg A szaacuterak aacuteltal bezaacutert szoumlget (φ) a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek ne-
vezzuumlk
Ha a kuacutepot elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot kapunk Az alap-
lap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuza-
mos Ha a sokszoumlg minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott egyenessel hasaacuteb-
feluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy kelet-
kező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk a hasaacutebot ha az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a
fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a
sokszoumlg minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal guacutelafeluumlletet kapunk A
keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecs-
pontnak a taacutevolsaacutega
6 modul TEacuteRELEMEK 17
A haacuteromszoumlg alapuacute guacutela (tetraeacuteder) baacutermely lapja lehet alaplap Ezt a feladatok megoldaacute-
sakor figyelembe kell venni elkeacutepzelhető hogy a testet elforgatva koumlnnyebb a megoldaacutes
Peacuteldaacuteul a kocka sarkaacutet levaacutegva olyan guacutelaacutet kapunk amelyet elforgatva a dereacutekszoumlgű haacuterom-
szoumlget is vaacutelaszthatjuk alaplapnak (iacutegy egyszerűbbeacute vaacutelik az alapteruumllet eacutes a testmagassaacuteg
szaacutemiacutetaacutesa)
Ha a guacutelaacutet elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet kapunk
Szabaacutelyos guacutelaacutenak az alaplapja szabaacutelyos sokszoumlg az oldallapok pedig egybevaacutegoacute egyenlő-
szaacuteruacute haacuteromszoumlgek
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza A konkaacutev testek a nem konvexek azaz a testnek
van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő szakaszt a test nem tartalmazza teljes egeacute-
szeacuteben
Azokat a testeket melyeknek minden lapja egybevaacutegoacute izoeacutedernek nevezzuumlk
Szabaacutelyos testeknek nevezzuumlk azokat a konvex polieacutedereket amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes
lapszoumlgei is egyenlők (ezekkel a hajlaacutesszoumlgekkel a keacutesőbbiekben foglalkozunk) Bizonyiacutethatoacute
(maacuter Euklidesz is megtette Elemek ciacutemű koumlnyveacuteben kb Kre 300-ban) hogy oumlsszesen csak
oumlt szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder Nevuumlket
oldallapjaik szaacutemaacuteroacutel kaptaacutek A szabaacutelyos testeket platonikus testeknek is nevezzuumlk
18 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A szabaacutelyos testek adatai
Lapok Csuacutecsok szaacutema
Eacutelek szaacutema
Hataacuteroloacute lap eacuteleinek szaacutema
Szabaacutelyos tetraeacuteder 4 4 6 3 Hexaeacuteder (Kocka) 6 8 12 4 Oktaeacuteder 8 6 12 3 Dodekaeacuteder 12 20 30 5 Ikozaeacuteder 20 12 30 3
A testeket eacutelvaacutezukkal is aacutebraacutezolhatjuk Ebben az esetben jobban laacutethatoacute hogy milyen siacutek-
idomok hataacuteroljaacutek a testet haacuteny eacutele van a testnek eacutes haacuteny eacutel fut oumlssze az egyes csuacutecsokban
Az eacutelvaacutez alapjaacuten koumlnnyebb megszerkeszteni a testek haacuteloacutejaacutet is
Moacutedszertani megjegyzeacutes A Polydron eacutepiacutetővel mindegyik szabaacutelyos test megeacutepiacutethető A fenti testeket elemző taacuteblaacutezatot a tanuloacutek is előaacutelliacutethatjaacutek csoportmunkaacuteban A testek tulajdonsaacutegait szemleacuteltethetjuumlk azokkal az eszkoumlzoumlkkel is amelyek a modulvaacutezlat-ban szerepelnek Polieacutederrel kapcsolatos fogalmak reacuteszletes meghataacuterozaacutesai talaacutelhatoacutek az alaacutebbi honlapon httpwwwsulinethumatekszilassi_01szil_poli_1alapfogalmakhtm Feladhatoacute hogy a tanuloacutek keacutesziacutetseacutek el vagy keresseacutek az interneten a szabaacutelyos testek haacuteloacutejaacutet Tovaacutebbi kutataacutesi teacutemaacutek lehetnek (kitekinteacutes a koumlzeacutepiskolai anyagboacutel) polieacutederek duaacutelisai archimeacutedeszi polieacutederek focilabda jellemzeacutese (lapok eacutelek csuacutecsok szaacutema hataacuteroloacute siacutekidom-ok) prizmaacutek Ezekből aacutelliacutetottuk oumlssze a koumlvetkező csak a tanaacuteri modulban szereplő anyagot Egy polieacuteder duaacutelisaacutet megkapjuk ha lapjait egy csuacuteccsal csuacutecsait pedig egy lappal felcsereacutel-juumlk Szabaacutelyos sokszoumlgekből aacutelloacute testek eseteacuten a lapokat szimmetria-koumlzeacuteppontjukkal csereacutel-juumlk fel Peacuteldaacuteul a szabaacutelyos tetraeacuteder duaacutelisa is szabaacutelyos tetraeacuteder a kockaacuteeacute oktaeacuteder az ok-taeacutedereacute kocka az ikozaeacutedereacute dodekaeacuteder a dodekaeacutedereacute ikozaeacuteder Peacuteldaacuteul a Szilassi-polieacuteder a Csaacuteszaacuter-feacutele polieacuteder duaacutelisa Honlap amelyen a Csaacuteszaacuter polieacuteder megtalaacutelhatoacute httpwwwmoricz-kujszsulinethuMORICZEvkonyvEredmenyVarga_GVarga_Ghtm eacutes httpmathworldwolframcomCsaszarPolyhedronhtml (angol)
6 modul TEacuteRELEMEK 19
Laacutesd meacuteg Szilassi Lajos Duaacutelis polieacutederek (httpmatservpmmfhucseripublicszilassiszilassihtm) Archimeacutedeacuteszi testek Olyan polieacutederek melyek oldallapjai szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes minden csuacutecsban ugyanannyi eacutes ugyanolyan sokszoumlg talaacutelkozik ugyanolyan moacutedon Az archimeacutedeszi testek a szabaacutelyos polieacutederek csonkolaacutesaacuteval keletkeznek a szabaacutelyos polieacute-der csuacutecsainaacutel guacutelaacutet vaacutegunk le oly moacutedon hogy a vaacutegaacutes helyeacuten szabaacutelyos sokszoumlglap marad-jon eacutes a keletkező polieacuteder minden eacutele egyforma hosszuacutesaacuteguacute minden testszoumlglete egybevaacutegoacute legyen Peacuteldaacuteul az oktaeacuteder eacuteleinek felezőpontjai eacutes a kocka eacuteleinek felezőpontjai hasonloacute feacutelig szabaacutelyos testeket alkotnak Maacutes megfogalmazaacutesban az archimeacutedeszi testek jellemzői hogy bull konvexek bull lapjaik szabaacutelyos sokszoumlgek bull testszoumlgleteik egybevaacutegoacuteak (Ez szemleacuteletesen azt jelenti hogy ha a testből baacutermely csuacutecsaacute-naacutel levaacutegunk egy kis guacutelaacutet akkor ez a suumlveg baacutermely maacutes csuacutecsaacutera is raacuteilleszthető Ez azt is jelenti hogy minden csuacutecsnaacutel a testfeluumlletet alkotoacute szabaacutelyos sokszoumlgfajtaacuteboacutel (szoumlguumlk egyeacuter-telműen jellemzi őket) ugyanannyi van eacutes azonos sorrendben Peacuteldaacutek a kocka eacutelfelező pontjai az oktaeacuteder eacutelfelező pontjai a focilabda A koumlvetkező keacutet aacutebraacuten kocka csonkiacutetaacutesaacuteval nyert archimeacutedeszi testeket laacutethatunk
A focilabda a szabaacutelyos ikozaeacuteder megfelelő csonkiacutetaacutesaacuteval kaphatoacute (20 szabaacutelyos 6-szoumlg 12 szabaacutelyos 5-szoumlg 90 eacutel az oumltszoumlgek nem keruumllhetnek egymaacutes melleacute)
Testek a goumlmbi siacutekon (kiegeacutesziacutető anyag)
Nemcsak a siacuteklapon de maacutes feluumlleteken is aacutebraacutezolhatunk testeket haacuteloacutekat alakzatokat Koumlny-
nyűzenei eacutes maacutes rendezveacutenyeken planetaacuteriumokban gyakran vetiacutetik kuumlloumlnfeacutele teacuterbeli taacutergyak
vagy haacuteloacutezatok keacutepeacutet goumlrbuumllt feluumlletekre peacuteldaacuteul henger- vagy goumlmbfeluumlletre
Kuumlloumlnoumlsen eacuterdekesek a szabaacutelyos eacutes feacutelig szabaacutelyos testek goumlmbi aacutebraacutei Keacutepzeljuumlnk el egy
szabaacutelyos (platoni) vagy feacutelig szabaacutelyos (archimeacutedeszi) testet amely koumlreacute a csuacutecsain aacutetmenő
goumlmboumlt szerkesztuumlnk A goumlmbfeluumlleten megjelenő csuacutecspontokat nem teacuterbeli egyenes szaka-
20 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
szokkal koumltjuumlk oumlssze (iacutegy az eredeti testek kapnaacutenk vissza) hanem goumlmbfeluumlleti bdquoegyenesrdquo
darabokkal vagyis főkoumlriacutevekkel Ilyen moacutedon a test goumlmbi haacuteloacutejaacutet kapjuk Coxeter (ejtsd
kaacutekszeacutetoumlr) hiacuteres kivaacuteloacute kanadai matematikus ezeket a goumlmbi haacuteloacutekat bdquofelfuacutejt testeknekrdquo ne-
vezte
Proacutebaacuteljunk ilyeneket a goumlmboumln megszerkeszteni
2 Rajzoljunk haacuterom paacuteronkeacutent merőleges főkoumlrt Melyik szabaacutelyos test goumlmbi haacuteloacutejaacutet
kapjuk
Megoldaacutes Oktaeacuteder
3 Szerkesszuumlk meg a goumlmbi bdquofelfuacutejtrdquo oktaeacuteder haacuteromszoumlgeinek szimmetria-koumlzeacuteppontja-
it Az egymaacuteshoz legkoumlzelebb esőket koumlssuumlk oumlssze főkoumlriacutevvel maacutes sziacutenű tollal Haacuteny
legkoumlzelebbi szomszeacutedot talaacutelunk Milyen szabaacutelyos testet kapunk
Megoldaacutes Haacutermat hexaeacutedert (kockaacutet)
4 Hogyan lehet a felfuacutejt kockaacuteboacutel a felfuacutejt tetraeacutedert megszerkeszteni
Megoldaacutes
Kivaacutelasztjuk a goumlmbi kocka keacutet egymaacutessal szembeni lapjaacutet Az egyiken kijeloumlljuumlk a lap
egyik aacutetloacutejaacutenak veacutegeacuten leacutevő keacutet csuacutecspontot Ezutaacuten a maacutesik lapon kivaacutelasztjuk az bdquoel-
lenkezőrdquoiraacutenyuacute aacutetloacutet (vagyis megfelelő beaacutelliacutetaacutesban feluumllneacutezetben a keacutet egymaacutessal
szembeni oldal lapaacutetloacuteja X alakot ad) eacutes megjeloumlljuumlk ennek is a veacutegpontjait A neacutegy
veacutegpont meghataacuterozza a felfuacutejt goumlmbi tetraeacuteder csuacutecsait
Moacutedszertani megjegyzeacutes Ha a gyerekeket eacuterdekli akkor az eddigiekből maacuter elkeacutesziacutethető a dodekaeacuteder eacutes az ikozaeacuteder goumlmbi haacuteloacuteja is Rajzoljunk a goumlmbi kocka egy oldalhosszaacuteval szabaacutelyos goumlmbhaacuteromszoumlget eacutes csuacutecsait koumlssuumlk oumlssze a szabaacutelyos haacuteromszoumlg szimmetria-koumlzeacuteppontjaacuteval Az iacutegy kapott haacuterom egymaacutessal paacuteronkeacutent 120 fokos szoumlget bezaacuteroacute goumlmbi szakasz eacuteppen a goumlmbi dodekaeacute-der haacuterom oldalaacutet adja amit maacuter koumlnnyen kiegeacutesziacutethetuumlnk szabaacutelyos goumlmbi oumltszoumlggeacute Ennek az oumltszoumlgnek minden szoumlge 120 fokos Ebből tizenkettő eacuteppen lefedi az egeacutesz goumlmboumlt Az oumltszoumlgek koumlzeacuteppontjait megrajzolva eacutes a szomszeacutedos koumlzeacuteppontokat oumlsszekoumltve pedig a duaacute-lis goumlmbi ikozaeacutedert kapjuk Nagyon szeacutep feladat az archimeacutedeszit testek (peacuteldaacuteul a focilabda) goumlmbi haacuteloacutejaacutenak megszer-keszteacutese Ezekből a goumlmbi aacutebraacutekroacutel nagyon sok az eredeti polieacutedert jellemző tulajdonsaacuteg igen szemleacuteletesen bemutathatoacute ndash lapok csuacutecsok eacutelek egymaacutessal szomszeacutedos sokszoumlgek stb
6 modul TEacuteRELEMEK 21
A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)
Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol
Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők
1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege
egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet
Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute
lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma
bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)
Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene
A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)
A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
A goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA =
A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π
A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg
A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 11
Erdeacutely Daacuteniel Spidron teacuterkitoumlltő rendszereacutevel keacute-
szuumllt polieacuteder (spiralloeacuteder)
Rinus Roelofs (holland keacutepzőműveacutesz) eacutes Erdeacutely Daacuteniel
A Spidron-rendszer alapjaacutet az aacutebraacuten laacutethatoacute haacuteromszoumlgekből is oumlsszeaacutelliacutethatoacute elem keacutepezi
Segiacutetseacutegeacutevel nemcsak heacutezagmentesen toumllthetjuumlk ki a siacutekot hanem a megfelelő aacutetloacutek menteacuten
oumlsszehajtva rendkiacutevuumll plasztikus teacuterkitoumllteacuteseket testeket nyeruumlnk
Kiss Gergő animaacutecioacutejaacutenak reacuteszletei 2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Moacutedszertani megjegyzeacutes
A Spidron-rendszerről reacuteszletesen taacutejeacutekozoacutedhatunk a wwwszinhazhuedanSpidroNew eacutes a
httpwwwszinhazhuedanspidronh honlapokon Ez utoacutebbin megtalaacutelhatoacute hogyan toumllthető
ki a teacuter a Spidronokboacutel előaacutelliacutethatoacute testekkel
12 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Antonio Gaudi (spanyol eacutepiacuteteacutesz 1852ndash1926)
munkaacutei a teacuterformaacutek kihasznaacutelaacutesaacutenak nagyszerű
peacuteldaacutei Ilyen a Battlo-haacutez homlokzata is Barce-
lonaacuteban
A termeacuteszettudomaacutenyban a testeknek a teacuterbeli
szimmetriaacuteknak kiemelkedő jelentőseacutege van
(gondoljunk az atomon beluumlli elektronfelhőre
vagy az eacutelőleacutenyek szimmetriatulajdonsaacutegaira)
Vannak olyan probleacutemaacutek is amelyeket a szim-
metria kihasznaacutelaacutesa neacutelkuumll meg sem tudnaacutenk
oldani A kristaacutelyformaacutek a molekulaacutek teacuterbeli
alakja modellezeacutese ugyanuacutegy hozzaacutetartozik
ehhez a tudomaacutenyhoz mint az ipari tervezeacuteskor
felhasznaacutelt ismeretek Nagy jelentőseacutege van
peacuteldaacuteul azoknak a teacuterformaacuteknak amelyek oumlsz-
szehajtogatva kis helyen elfeacuternek szeacutethajtogatva
pedig kuumlloumlnboumlző funkcioacutekat szolgaacutelnak (lakoacuteteacuter saacutetor szeacutethajthatoacute antenna stb)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Eacuterdemes felhiacutevni a diaacutekok figyelmeacutet a fejezetben szereplő nevekre Ha tetszik nekik egy-egy
alkotaacutes neacutezzenek utaacutena az interneten Internetciacutemek a tanaacuter szaacutemaacutera a modulvaacutezlatban is ta-
laacutelhatoacutek
6 modul TEacuteRELEMEK 13
A testek aacutebraacutezolaacutesa
A testek siacutekbeli aacutebraacutezolaacutesaacutera maacuter laacutethattatok neacutehaacuteny peacuteldaacutet eddigi tanulmaacutenyaitok soraacuten
Egy polieacuteder haacuteloacutejaacuten eacutertjuumlk azt a sokszoumlglapot amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Igen gyakori aacutebraacutezolaacutesi moacutedszer a perspektivikus amellyel a teacuterbeli alakzatokat meacuternoumlki pon-
tossaacuteggal aacutebraacutezolhatjuk a siacutekban Victor Vasarely (1908-1997) Maurits Cornelis Escher
(1898-1972) eacutes Roger Penrose (1931-) a hamis perspektiacuteva nagymesterei grafikaacuteikon rend-
szeresen lehetetlen alakzatok tűnnek fel A perspektivikus aacutebraacutezolaacutes koumlzeacutepkori uacutettoumlrői koumlzeacute
soroljuk Filippo Brunelleschi (1377-1446) eacutes Albrecht Duumlrer (1471-1528) mestereket
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Javasolt projekteket indiacutetani Vasarely Escher eacutes Penrose bdquobecsapoacutesrdquo grafikaacutek keacutepek interne-
tes kutataacutesa (keacutep bemutataacutesa eacutes roumlvid ismerteteacutes az egyik oacutera bevezeteacutesekeacutent) valamint a le-
hetetlen testek rajzainak megalkotaacutesa kreatiacutevabb tanuloacutek reacuteszeacutere 1999-ben a Műcsarnokban
rendezett bdquoPerspektiacutevardquo ciacutemű kiaacutelliacutetaacutes kataloacutegusa 517 oldalas nagyon joacute anyagokat talaacutelhat
benne az eacuterdeklődő
14 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A testek csoportosiacutetaacutesa
A testeket keacutet nagy csoportba soroljuk goumlrbe feluumlletűek eacutes polieacutederek
polieacutederek veacuteges sok sokszoumlg aacuteltal hataacuterolt testek
o hasaacutebok (egyenes eacutes ferde)
o guacutelaacutek (egyenes ferde csonka)
o szabaacutelyos testek
o egyebek
goumlrbe feluumlletű testek a hataacuteroloacute lapok koumlzoumltt van goumlrbe feluumllet is
o hengerek (egyenes eacutes ferde)
o kuacutepok (egyenes ferde csonka)
o forgaacutestestek (valamely siacutekidom adott tengely koumlruumlli megforgataacutesaacuteval keletkeznek
forgaacutesszimmetrikusak)
o goumlmboumlk
o egyebek
Feladat
1 Rajzolj peacuteldaacutekat a Venn-diagramm megfelelő reacuteszeire
6 modul TEacuteRELEMEK 15
Elnevezeacutesek Moacutedszertani megjegyzeacutes Peacutelda Polydron felhasznaacutelaacutesaacutera Amikor a hasaacutebot taniacutetjuk ne mondjuk meg a tanuloacuteknak hogy mi a hasaacuteb definiacutecioacuteja Csoportalakiacutetaacutes majd az ABCD csoportkaacutertyaacutek kiosztaacutesa utaacuten szakeacutertői mozaikkal oumlsszerakatunk az A-sokkal teacuteglatesteket a B-sekkel oumltszoumlg alapuacute hasaacutebot (peacuteldaacuteul taacuteblai rajz alapjaacuten) a C-sekkel hatszoumlg alapuacute hasaacutebot a D-sekkel egy ferde hasaacutebot Ezek utaacuten visszateacuternek a csoportjukhoz eacutes azt kapjaacutek feladatul hogy ismertesseacutek a toumlbbiekkel hogy mit raktak oumlssze eacutes iacuterjaacutek oumlssze hogy mik ezeknek a tes-teknek a koumlzoumls tulajdonsaacutegai (sokszoumlgekből aacutellnak paacuterhuzamos a fedő- eacutes az alaplap egybe-vaacutegoacutek is) Sorsolaacutessal keacuteruumlnk 1-1 tulajdonsaacutegot majd mi is rakunk hozzaacute (elmondjuk hogy ezek hasaacutebok eacutes ismertetuumlnk meacuteg neacutehaacuteny jellemzőt testmagassaacuteg lapszoumlgek teacuterfogat fel-sziacuten)
Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes amely az
alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az
adott egyenessel (alkotoacutek) hengerfeluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhu-
zamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr
a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhenger eseteacuteben az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra
A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevol-
saacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon
kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal kuacutep-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert goumlrbe koumlr a test
neve koumlrkuacutep Egyenes koumlrkuacutepnak nevezzuumlk a koumlrkuacutepot ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső
merőleges vetuumllete az alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet nevezzuumlk
Henger Koumlrhenger Egyenes koumlrhenger
16 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
palaacutestnak (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe aacuteltal
meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak Az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
adja a testmagassaacutegot
Ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet
tartalmazza akkor egyenlőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a
kuacutep alkotoacutei) Maacuteskeacutent az egyenes koumlrkuacutep tengelymetszete egyenlőszaacuteruacute
haacuteromszoumlg A szaacuterak aacuteltal bezaacutert szoumlget (φ) a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek ne-
vezzuumlk
Ha a kuacutepot elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot kapunk Az alap-
lap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuza-
mos Ha a sokszoumlg minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott egyenessel hasaacuteb-
feluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy kelet-
kező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk a hasaacutebot ha az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a
fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a
sokszoumlg minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal guacutelafeluumlletet kapunk A
keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecs-
pontnak a taacutevolsaacutega
6 modul TEacuteRELEMEK 17
A haacuteromszoumlg alapuacute guacutela (tetraeacuteder) baacutermely lapja lehet alaplap Ezt a feladatok megoldaacute-
sakor figyelembe kell venni elkeacutepzelhető hogy a testet elforgatva koumlnnyebb a megoldaacutes
Peacuteldaacuteul a kocka sarkaacutet levaacutegva olyan guacutelaacutet kapunk amelyet elforgatva a dereacutekszoumlgű haacuterom-
szoumlget is vaacutelaszthatjuk alaplapnak (iacutegy egyszerűbbeacute vaacutelik az alapteruumllet eacutes a testmagassaacuteg
szaacutemiacutetaacutesa)
Ha a guacutelaacutet elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet kapunk
Szabaacutelyos guacutelaacutenak az alaplapja szabaacutelyos sokszoumlg az oldallapok pedig egybevaacutegoacute egyenlő-
szaacuteruacute haacuteromszoumlgek
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza A konkaacutev testek a nem konvexek azaz a testnek
van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő szakaszt a test nem tartalmazza teljes egeacute-
szeacuteben
Azokat a testeket melyeknek minden lapja egybevaacutegoacute izoeacutedernek nevezzuumlk
Szabaacutelyos testeknek nevezzuumlk azokat a konvex polieacutedereket amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes
lapszoumlgei is egyenlők (ezekkel a hajlaacutesszoumlgekkel a keacutesőbbiekben foglalkozunk) Bizonyiacutethatoacute
(maacuter Euklidesz is megtette Elemek ciacutemű koumlnyveacuteben kb Kre 300-ban) hogy oumlsszesen csak
oumlt szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder Nevuumlket
oldallapjaik szaacutemaacuteroacutel kaptaacutek A szabaacutelyos testeket platonikus testeknek is nevezzuumlk
18 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A szabaacutelyos testek adatai
Lapok Csuacutecsok szaacutema
Eacutelek szaacutema
Hataacuteroloacute lap eacuteleinek szaacutema
Szabaacutelyos tetraeacuteder 4 4 6 3 Hexaeacuteder (Kocka) 6 8 12 4 Oktaeacuteder 8 6 12 3 Dodekaeacuteder 12 20 30 5 Ikozaeacuteder 20 12 30 3
A testeket eacutelvaacutezukkal is aacutebraacutezolhatjuk Ebben az esetben jobban laacutethatoacute hogy milyen siacutek-
idomok hataacuteroljaacutek a testet haacuteny eacutele van a testnek eacutes haacuteny eacutel fut oumlssze az egyes csuacutecsokban
Az eacutelvaacutez alapjaacuten koumlnnyebb megszerkeszteni a testek haacuteloacutejaacutet is
Moacutedszertani megjegyzeacutes A Polydron eacutepiacutetővel mindegyik szabaacutelyos test megeacutepiacutethető A fenti testeket elemző taacuteblaacutezatot a tanuloacutek is előaacutelliacutethatjaacutek csoportmunkaacuteban A testek tulajdonsaacutegait szemleacuteltethetjuumlk azokkal az eszkoumlzoumlkkel is amelyek a modulvaacutezlat-ban szerepelnek Polieacutederrel kapcsolatos fogalmak reacuteszletes meghataacuterozaacutesai talaacutelhatoacutek az alaacutebbi honlapon httpwwwsulinethumatekszilassi_01szil_poli_1alapfogalmakhtm Feladhatoacute hogy a tanuloacutek keacutesziacutetseacutek el vagy keresseacutek az interneten a szabaacutelyos testek haacuteloacutejaacutet Tovaacutebbi kutataacutesi teacutemaacutek lehetnek (kitekinteacutes a koumlzeacutepiskolai anyagboacutel) polieacutederek duaacutelisai archimeacutedeszi polieacutederek focilabda jellemzeacutese (lapok eacutelek csuacutecsok szaacutema hataacuteroloacute siacutekidom-ok) prizmaacutek Ezekből aacutelliacutetottuk oumlssze a koumlvetkező csak a tanaacuteri modulban szereplő anyagot Egy polieacuteder duaacutelisaacutet megkapjuk ha lapjait egy csuacuteccsal csuacutecsait pedig egy lappal felcsereacutel-juumlk Szabaacutelyos sokszoumlgekből aacutelloacute testek eseteacuten a lapokat szimmetria-koumlzeacuteppontjukkal csereacutel-juumlk fel Peacuteldaacuteul a szabaacutelyos tetraeacuteder duaacutelisa is szabaacutelyos tetraeacuteder a kockaacuteeacute oktaeacuteder az ok-taeacutedereacute kocka az ikozaeacutedereacute dodekaeacuteder a dodekaeacutedereacute ikozaeacuteder Peacuteldaacuteul a Szilassi-polieacuteder a Csaacuteszaacuter-feacutele polieacuteder duaacutelisa Honlap amelyen a Csaacuteszaacuter polieacuteder megtalaacutelhatoacute httpwwwmoricz-kujszsulinethuMORICZEvkonyvEredmenyVarga_GVarga_Ghtm eacutes httpmathworldwolframcomCsaszarPolyhedronhtml (angol)
6 modul TEacuteRELEMEK 19
Laacutesd meacuteg Szilassi Lajos Duaacutelis polieacutederek (httpmatservpmmfhucseripublicszilassiszilassihtm) Archimeacutedeacuteszi testek Olyan polieacutederek melyek oldallapjai szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes minden csuacutecsban ugyanannyi eacutes ugyanolyan sokszoumlg talaacutelkozik ugyanolyan moacutedon Az archimeacutedeszi testek a szabaacutelyos polieacutederek csonkolaacutesaacuteval keletkeznek a szabaacutelyos polieacute-der csuacutecsainaacutel guacutelaacutet vaacutegunk le oly moacutedon hogy a vaacutegaacutes helyeacuten szabaacutelyos sokszoumlglap marad-jon eacutes a keletkező polieacuteder minden eacutele egyforma hosszuacutesaacuteguacute minden testszoumlglete egybevaacutegoacute legyen Peacuteldaacuteul az oktaeacuteder eacuteleinek felezőpontjai eacutes a kocka eacuteleinek felezőpontjai hasonloacute feacutelig szabaacutelyos testeket alkotnak Maacutes megfogalmazaacutesban az archimeacutedeszi testek jellemzői hogy bull konvexek bull lapjaik szabaacutelyos sokszoumlgek bull testszoumlgleteik egybevaacutegoacuteak (Ez szemleacuteletesen azt jelenti hogy ha a testből baacutermely csuacutecsaacute-naacutel levaacutegunk egy kis guacutelaacutet akkor ez a suumlveg baacutermely maacutes csuacutecsaacutera is raacuteilleszthető Ez azt is jelenti hogy minden csuacutecsnaacutel a testfeluumlletet alkotoacute szabaacutelyos sokszoumlgfajtaacuteboacutel (szoumlguumlk egyeacuter-telműen jellemzi őket) ugyanannyi van eacutes azonos sorrendben Peacuteldaacutek a kocka eacutelfelező pontjai az oktaeacuteder eacutelfelező pontjai a focilabda A koumlvetkező keacutet aacutebraacuten kocka csonkiacutetaacutesaacuteval nyert archimeacutedeszi testeket laacutethatunk
A focilabda a szabaacutelyos ikozaeacuteder megfelelő csonkiacutetaacutesaacuteval kaphatoacute (20 szabaacutelyos 6-szoumlg 12 szabaacutelyos 5-szoumlg 90 eacutel az oumltszoumlgek nem keruumllhetnek egymaacutes melleacute)
Testek a goumlmbi siacutekon (kiegeacutesziacutető anyag)
Nemcsak a siacuteklapon de maacutes feluumlleteken is aacutebraacutezolhatunk testeket haacuteloacutekat alakzatokat Koumlny-
nyűzenei eacutes maacutes rendezveacutenyeken planetaacuteriumokban gyakran vetiacutetik kuumlloumlnfeacutele teacuterbeli taacutergyak
vagy haacuteloacutezatok keacutepeacutet goumlrbuumllt feluumlletekre peacuteldaacuteul henger- vagy goumlmbfeluumlletre
Kuumlloumlnoumlsen eacuterdekesek a szabaacutelyos eacutes feacutelig szabaacutelyos testek goumlmbi aacutebraacutei Keacutepzeljuumlnk el egy
szabaacutelyos (platoni) vagy feacutelig szabaacutelyos (archimeacutedeszi) testet amely koumlreacute a csuacutecsain aacutetmenő
goumlmboumlt szerkesztuumlnk A goumlmbfeluumlleten megjelenő csuacutecspontokat nem teacuterbeli egyenes szaka-
20 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
szokkal koumltjuumlk oumlssze (iacutegy az eredeti testek kapnaacutenk vissza) hanem goumlmbfeluumlleti bdquoegyenesrdquo
darabokkal vagyis főkoumlriacutevekkel Ilyen moacutedon a test goumlmbi haacuteloacutejaacutet kapjuk Coxeter (ejtsd
kaacutekszeacutetoumlr) hiacuteres kivaacuteloacute kanadai matematikus ezeket a goumlmbi haacuteloacutekat bdquofelfuacutejt testeknekrdquo ne-
vezte
Proacutebaacuteljunk ilyeneket a goumlmboumln megszerkeszteni
2 Rajzoljunk haacuterom paacuteronkeacutent merőleges főkoumlrt Melyik szabaacutelyos test goumlmbi haacuteloacutejaacutet
kapjuk
Megoldaacutes Oktaeacuteder
3 Szerkesszuumlk meg a goumlmbi bdquofelfuacutejtrdquo oktaeacuteder haacuteromszoumlgeinek szimmetria-koumlzeacuteppontja-
it Az egymaacuteshoz legkoumlzelebb esőket koumlssuumlk oumlssze főkoumlriacutevvel maacutes sziacutenű tollal Haacuteny
legkoumlzelebbi szomszeacutedot talaacutelunk Milyen szabaacutelyos testet kapunk
Megoldaacutes Haacutermat hexaeacutedert (kockaacutet)
4 Hogyan lehet a felfuacutejt kockaacuteboacutel a felfuacutejt tetraeacutedert megszerkeszteni
Megoldaacutes
Kivaacutelasztjuk a goumlmbi kocka keacutet egymaacutessal szembeni lapjaacutet Az egyiken kijeloumlljuumlk a lap
egyik aacutetloacutejaacutenak veacutegeacuten leacutevő keacutet csuacutecspontot Ezutaacuten a maacutesik lapon kivaacutelasztjuk az bdquoel-
lenkezőrdquoiraacutenyuacute aacutetloacutet (vagyis megfelelő beaacutelliacutetaacutesban feluumllneacutezetben a keacutet egymaacutessal
szembeni oldal lapaacutetloacuteja X alakot ad) eacutes megjeloumlljuumlk ennek is a veacutegpontjait A neacutegy
veacutegpont meghataacuterozza a felfuacutejt goumlmbi tetraeacuteder csuacutecsait
Moacutedszertani megjegyzeacutes Ha a gyerekeket eacuterdekli akkor az eddigiekből maacuter elkeacutesziacutethető a dodekaeacuteder eacutes az ikozaeacuteder goumlmbi haacuteloacuteja is Rajzoljunk a goumlmbi kocka egy oldalhosszaacuteval szabaacutelyos goumlmbhaacuteromszoumlget eacutes csuacutecsait koumlssuumlk oumlssze a szabaacutelyos haacuteromszoumlg szimmetria-koumlzeacuteppontjaacuteval Az iacutegy kapott haacuterom egymaacutessal paacuteronkeacutent 120 fokos szoumlget bezaacuteroacute goumlmbi szakasz eacuteppen a goumlmbi dodekaeacute-der haacuterom oldalaacutet adja amit maacuter koumlnnyen kiegeacutesziacutethetuumlnk szabaacutelyos goumlmbi oumltszoumlggeacute Ennek az oumltszoumlgnek minden szoumlge 120 fokos Ebből tizenkettő eacuteppen lefedi az egeacutesz goumlmboumlt Az oumltszoumlgek koumlzeacuteppontjait megrajzolva eacutes a szomszeacutedos koumlzeacuteppontokat oumlsszekoumltve pedig a duaacute-lis goumlmbi ikozaeacutedert kapjuk Nagyon szeacutep feladat az archimeacutedeszit testek (peacuteldaacuteul a focilabda) goumlmbi haacuteloacutejaacutenak megszer-keszteacutese Ezekből a goumlmbi aacutebraacutekroacutel nagyon sok az eredeti polieacutedert jellemző tulajdonsaacuteg igen szemleacuteletesen bemutathatoacute ndash lapok csuacutecsok eacutelek egymaacutessal szomszeacutedos sokszoumlgek stb
6 modul TEacuteRELEMEK 21
A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)
Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol
Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők
1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege
egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet
Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute
lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma
bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)
Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene
A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)
A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
A goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA =
A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π
A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg
A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
12 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Antonio Gaudi (spanyol eacutepiacuteteacutesz 1852ndash1926)
munkaacutei a teacuterformaacutek kihasznaacutelaacutesaacutenak nagyszerű
peacuteldaacutei Ilyen a Battlo-haacutez homlokzata is Barce-
lonaacuteban
A termeacuteszettudomaacutenyban a testeknek a teacuterbeli
szimmetriaacuteknak kiemelkedő jelentőseacutege van
(gondoljunk az atomon beluumlli elektronfelhőre
vagy az eacutelőleacutenyek szimmetriatulajdonsaacutegaira)
Vannak olyan probleacutemaacutek is amelyeket a szim-
metria kihasznaacutelaacutesa neacutelkuumll meg sem tudnaacutenk
oldani A kristaacutelyformaacutek a molekulaacutek teacuterbeli
alakja modellezeacutese ugyanuacutegy hozzaacutetartozik
ehhez a tudomaacutenyhoz mint az ipari tervezeacuteskor
felhasznaacutelt ismeretek Nagy jelentőseacutege van
peacuteldaacuteul azoknak a teacuterformaacuteknak amelyek oumlsz-
szehajtogatva kis helyen elfeacuternek szeacutethajtogatva
pedig kuumlloumlnboumlző funkcioacutekat szolgaacutelnak (lakoacuteteacuter saacutetor szeacutethajthatoacute antenna stb)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Eacuterdemes felhiacutevni a diaacutekok figyelmeacutet a fejezetben szereplő nevekre Ha tetszik nekik egy-egy
alkotaacutes neacutezzenek utaacutena az interneten Internetciacutemek a tanaacuter szaacutemaacutera a modulvaacutezlatban is ta-
laacutelhatoacutek
6 modul TEacuteRELEMEK 13
A testek aacutebraacutezolaacutesa
A testek siacutekbeli aacutebraacutezolaacutesaacutera maacuter laacutethattatok neacutehaacuteny peacuteldaacutet eddigi tanulmaacutenyaitok soraacuten
Egy polieacuteder haacuteloacutejaacuten eacutertjuumlk azt a sokszoumlglapot amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Igen gyakori aacutebraacutezolaacutesi moacutedszer a perspektivikus amellyel a teacuterbeli alakzatokat meacuternoumlki pon-
tossaacuteggal aacutebraacutezolhatjuk a siacutekban Victor Vasarely (1908-1997) Maurits Cornelis Escher
(1898-1972) eacutes Roger Penrose (1931-) a hamis perspektiacuteva nagymesterei grafikaacuteikon rend-
szeresen lehetetlen alakzatok tűnnek fel A perspektivikus aacutebraacutezolaacutes koumlzeacutepkori uacutettoumlrői koumlzeacute
soroljuk Filippo Brunelleschi (1377-1446) eacutes Albrecht Duumlrer (1471-1528) mestereket
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Javasolt projekteket indiacutetani Vasarely Escher eacutes Penrose bdquobecsapoacutesrdquo grafikaacutek keacutepek interne-
tes kutataacutesa (keacutep bemutataacutesa eacutes roumlvid ismerteteacutes az egyik oacutera bevezeteacutesekeacutent) valamint a le-
hetetlen testek rajzainak megalkotaacutesa kreatiacutevabb tanuloacutek reacuteszeacutere 1999-ben a Műcsarnokban
rendezett bdquoPerspektiacutevardquo ciacutemű kiaacutelliacutetaacutes kataloacutegusa 517 oldalas nagyon joacute anyagokat talaacutelhat
benne az eacuterdeklődő
14 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A testek csoportosiacutetaacutesa
A testeket keacutet nagy csoportba soroljuk goumlrbe feluumlletűek eacutes polieacutederek
polieacutederek veacuteges sok sokszoumlg aacuteltal hataacuterolt testek
o hasaacutebok (egyenes eacutes ferde)
o guacutelaacutek (egyenes ferde csonka)
o szabaacutelyos testek
o egyebek
goumlrbe feluumlletű testek a hataacuteroloacute lapok koumlzoumltt van goumlrbe feluumllet is
o hengerek (egyenes eacutes ferde)
o kuacutepok (egyenes ferde csonka)
o forgaacutestestek (valamely siacutekidom adott tengely koumlruumlli megforgataacutesaacuteval keletkeznek
forgaacutesszimmetrikusak)
o goumlmboumlk
o egyebek
Feladat
1 Rajzolj peacuteldaacutekat a Venn-diagramm megfelelő reacuteszeire
6 modul TEacuteRELEMEK 15
Elnevezeacutesek Moacutedszertani megjegyzeacutes Peacutelda Polydron felhasznaacutelaacutesaacutera Amikor a hasaacutebot taniacutetjuk ne mondjuk meg a tanuloacuteknak hogy mi a hasaacuteb definiacutecioacuteja Csoportalakiacutetaacutes majd az ABCD csoportkaacutertyaacutek kiosztaacutesa utaacuten szakeacutertői mozaikkal oumlsszerakatunk az A-sokkal teacuteglatesteket a B-sekkel oumltszoumlg alapuacute hasaacutebot (peacuteldaacuteul taacuteblai rajz alapjaacuten) a C-sekkel hatszoumlg alapuacute hasaacutebot a D-sekkel egy ferde hasaacutebot Ezek utaacuten visszateacuternek a csoportjukhoz eacutes azt kapjaacutek feladatul hogy ismertesseacutek a toumlbbiekkel hogy mit raktak oumlssze eacutes iacuterjaacutek oumlssze hogy mik ezeknek a tes-teknek a koumlzoumls tulajdonsaacutegai (sokszoumlgekből aacutellnak paacuterhuzamos a fedő- eacutes az alaplap egybe-vaacutegoacutek is) Sorsolaacutessal keacuteruumlnk 1-1 tulajdonsaacutegot majd mi is rakunk hozzaacute (elmondjuk hogy ezek hasaacutebok eacutes ismertetuumlnk meacuteg neacutehaacuteny jellemzőt testmagassaacuteg lapszoumlgek teacuterfogat fel-sziacuten)
Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes amely az
alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az
adott egyenessel (alkotoacutek) hengerfeluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhu-
zamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr
a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhenger eseteacuteben az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra
A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevol-
saacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon
kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal kuacutep-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert goumlrbe koumlr a test
neve koumlrkuacutep Egyenes koumlrkuacutepnak nevezzuumlk a koumlrkuacutepot ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső
merőleges vetuumllete az alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet nevezzuumlk
Henger Koumlrhenger Egyenes koumlrhenger
16 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
palaacutestnak (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe aacuteltal
meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak Az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
adja a testmagassaacutegot
Ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet
tartalmazza akkor egyenlőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a
kuacutep alkotoacutei) Maacuteskeacutent az egyenes koumlrkuacutep tengelymetszete egyenlőszaacuteruacute
haacuteromszoumlg A szaacuterak aacuteltal bezaacutert szoumlget (φ) a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek ne-
vezzuumlk
Ha a kuacutepot elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot kapunk Az alap-
lap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuza-
mos Ha a sokszoumlg minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott egyenessel hasaacuteb-
feluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy kelet-
kező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk a hasaacutebot ha az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a
fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a
sokszoumlg minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal guacutelafeluumlletet kapunk A
keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecs-
pontnak a taacutevolsaacutega
6 modul TEacuteRELEMEK 17
A haacuteromszoumlg alapuacute guacutela (tetraeacuteder) baacutermely lapja lehet alaplap Ezt a feladatok megoldaacute-
sakor figyelembe kell venni elkeacutepzelhető hogy a testet elforgatva koumlnnyebb a megoldaacutes
Peacuteldaacuteul a kocka sarkaacutet levaacutegva olyan guacutelaacutet kapunk amelyet elforgatva a dereacutekszoumlgű haacuterom-
szoumlget is vaacutelaszthatjuk alaplapnak (iacutegy egyszerűbbeacute vaacutelik az alapteruumllet eacutes a testmagassaacuteg
szaacutemiacutetaacutesa)
Ha a guacutelaacutet elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet kapunk
Szabaacutelyos guacutelaacutenak az alaplapja szabaacutelyos sokszoumlg az oldallapok pedig egybevaacutegoacute egyenlő-
szaacuteruacute haacuteromszoumlgek
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza A konkaacutev testek a nem konvexek azaz a testnek
van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő szakaszt a test nem tartalmazza teljes egeacute-
szeacuteben
Azokat a testeket melyeknek minden lapja egybevaacutegoacute izoeacutedernek nevezzuumlk
Szabaacutelyos testeknek nevezzuumlk azokat a konvex polieacutedereket amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes
lapszoumlgei is egyenlők (ezekkel a hajlaacutesszoumlgekkel a keacutesőbbiekben foglalkozunk) Bizonyiacutethatoacute
(maacuter Euklidesz is megtette Elemek ciacutemű koumlnyveacuteben kb Kre 300-ban) hogy oumlsszesen csak
oumlt szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder Nevuumlket
oldallapjaik szaacutemaacuteroacutel kaptaacutek A szabaacutelyos testeket platonikus testeknek is nevezzuumlk
18 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A szabaacutelyos testek adatai
Lapok Csuacutecsok szaacutema
Eacutelek szaacutema
Hataacuteroloacute lap eacuteleinek szaacutema
Szabaacutelyos tetraeacuteder 4 4 6 3 Hexaeacuteder (Kocka) 6 8 12 4 Oktaeacuteder 8 6 12 3 Dodekaeacuteder 12 20 30 5 Ikozaeacuteder 20 12 30 3
A testeket eacutelvaacutezukkal is aacutebraacutezolhatjuk Ebben az esetben jobban laacutethatoacute hogy milyen siacutek-
idomok hataacuteroljaacutek a testet haacuteny eacutele van a testnek eacutes haacuteny eacutel fut oumlssze az egyes csuacutecsokban
Az eacutelvaacutez alapjaacuten koumlnnyebb megszerkeszteni a testek haacuteloacutejaacutet is
Moacutedszertani megjegyzeacutes A Polydron eacutepiacutetővel mindegyik szabaacutelyos test megeacutepiacutethető A fenti testeket elemző taacuteblaacutezatot a tanuloacutek is előaacutelliacutethatjaacutek csoportmunkaacuteban A testek tulajdonsaacutegait szemleacuteltethetjuumlk azokkal az eszkoumlzoumlkkel is amelyek a modulvaacutezlat-ban szerepelnek Polieacutederrel kapcsolatos fogalmak reacuteszletes meghataacuterozaacutesai talaacutelhatoacutek az alaacutebbi honlapon httpwwwsulinethumatekszilassi_01szil_poli_1alapfogalmakhtm Feladhatoacute hogy a tanuloacutek keacutesziacutetseacutek el vagy keresseacutek az interneten a szabaacutelyos testek haacuteloacutejaacutet Tovaacutebbi kutataacutesi teacutemaacutek lehetnek (kitekinteacutes a koumlzeacutepiskolai anyagboacutel) polieacutederek duaacutelisai archimeacutedeszi polieacutederek focilabda jellemzeacutese (lapok eacutelek csuacutecsok szaacutema hataacuteroloacute siacutekidom-ok) prizmaacutek Ezekből aacutelliacutetottuk oumlssze a koumlvetkező csak a tanaacuteri modulban szereplő anyagot Egy polieacuteder duaacutelisaacutet megkapjuk ha lapjait egy csuacuteccsal csuacutecsait pedig egy lappal felcsereacutel-juumlk Szabaacutelyos sokszoumlgekből aacutelloacute testek eseteacuten a lapokat szimmetria-koumlzeacuteppontjukkal csereacutel-juumlk fel Peacuteldaacuteul a szabaacutelyos tetraeacuteder duaacutelisa is szabaacutelyos tetraeacuteder a kockaacuteeacute oktaeacuteder az ok-taeacutedereacute kocka az ikozaeacutedereacute dodekaeacuteder a dodekaeacutedereacute ikozaeacuteder Peacuteldaacuteul a Szilassi-polieacuteder a Csaacuteszaacuter-feacutele polieacuteder duaacutelisa Honlap amelyen a Csaacuteszaacuter polieacuteder megtalaacutelhatoacute httpwwwmoricz-kujszsulinethuMORICZEvkonyvEredmenyVarga_GVarga_Ghtm eacutes httpmathworldwolframcomCsaszarPolyhedronhtml (angol)
6 modul TEacuteRELEMEK 19
Laacutesd meacuteg Szilassi Lajos Duaacutelis polieacutederek (httpmatservpmmfhucseripublicszilassiszilassihtm) Archimeacutedeacuteszi testek Olyan polieacutederek melyek oldallapjai szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes minden csuacutecsban ugyanannyi eacutes ugyanolyan sokszoumlg talaacutelkozik ugyanolyan moacutedon Az archimeacutedeszi testek a szabaacutelyos polieacutederek csonkolaacutesaacuteval keletkeznek a szabaacutelyos polieacute-der csuacutecsainaacutel guacutelaacutet vaacutegunk le oly moacutedon hogy a vaacutegaacutes helyeacuten szabaacutelyos sokszoumlglap marad-jon eacutes a keletkező polieacuteder minden eacutele egyforma hosszuacutesaacuteguacute minden testszoumlglete egybevaacutegoacute legyen Peacuteldaacuteul az oktaeacuteder eacuteleinek felezőpontjai eacutes a kocka eacuteleinek felezőpontjai hasonloacute feacutelig szabaacutelyos testeket alkotnak Maacutes megfogalmazaacutesban az archimeacutedeszi testek jellemzői hogy bull konvexek bull lapjaik szabaacutelyos sokszoumlgek bull testszoumlgleteik egybevaacutegoacuteak (Ez szemleacuteletesen azt jelenti hogy ha a testből baacutermely csuacutecsaacute-naacutel levaacutegunk egy kis guacutelaacutet akkor ez a suumlveg baacutermely maacutes csuacutecsaacutera is raacuteilleszthető Ez azt is jelenti hogy minden csuacutecsnaacutel a testfeluumlletet alkotoacute szabaacutelyos sokszoumlgfajtaacuteboacutel (szoumlguumlk egyeacuter-telműen jellemzi őket) ugyanannyi van eacutes azonos sorrendben Peacuteldaacutek a kocka eacutelfelező pontjai az oktaeacuteder eacutelfelező pontjai a focilabda A koumlvetkező keacutet aacutebraacuten kocka csonkiacutetaacutesaacuteval nyert archimeacutedeszi testeket laacutethatunk
A focilabda a szabaacutelyos ikozaeacuteder megfelelő csonkiacutetaacutesaacuteval kaphatoacute (20 szabaacutelyos 6-szoumlg 12 szabaacutelyos 5-szoumlg 90 eacutel az oumltszoumlgek nem keruumllhetnek egymaacutes melleacute)
Testek a goumlmbi siacutekon (kiegeacutesziacutető anyag)
Nemcsak a siacuteklapon de maacutes feluumlleteken is aacutebraacutezolhatunk testeket haacuteloacutekat alakzatokat Koumlny-
nyűzenei eacutes maacutes rendezveacutenyeken planetaacuteriumokban gyakran vetiacutetik kuumlloumlnfeacutele teacuterbeli taacutergyak
vagy haacuteloacutezatok keacutepeacutet goumlrbuumllt feluumlletekre peacuteldaacuteul henger- vagy goumlmbfeluumlletre
Kuumlloumlnoumlsen eacuterdekesek a szabaacutelyos eacutes feacutelig szabaacutelyos testek goumlmbi aacutebraacutei Keacutepzeljuumlnk el egy
szabaacutelyos (platoni) vagy feacutelig szabaacutelyos (archimeacutedeszi) testet amely koumlreacute a csuacutecsain aacutetmenő
goumlmboumlt szerkesztuumlnk A goumlmbfeluumlleten megjelenő csuacutecspontokat nem teacuterbeli egyenes szaka-
20 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
szokkal koumltjuumlk oumlssze (iacutegy az eredeti testek kapnaacutenk vissza) hanem goumlmbfeluumlleti bdquoegyenesrdquo
darabokkal vagyis főkoumlriacutevekkel Ilyen moacutedon a test goumlmbi haacuteloacutejaacutet kapjuk Coxeter (ejtsd
kaacutekszeacutetoumlr) hiacuteres kivaacuteloacute kanadai matematikus ezeket a goumlmbi haacuteloacutekat bdquofelfuacutejt testeknekrdquo ne-
vezte
Proacutebaacuteljunk ilyeneket a goumlmboumln megszerkeszteni
2 Rajzoljunk haacuterom paacuteronkeacutent merőleges főkoumlrt Melyik szabaacutelyos test goumlmbi haacuteloacutejaacutet
kapjuk
Megoldaacutes Oktaeacuteder
3 Szerkesszuumlk meg a goumlmbi bdquofelfuacutejtrdquo oktaeacuteder haacuteromszoumlgeinek szimmetria-koumlzeacuteppontja-
it Az egymaacuteshoz legkoumlzelebb esőket koumlssuumlk oumlssze főkoumlriacutevvel maacutes sziacutenű tollal Haacuteny
legkoumlzelebbi szomszeacutedot talaacutelunk Milyen szabaacutelyos testet kapunk
Megoldaacutes Haacutermat hexaeacutedert (kockaacutet)
4 Hogyan lehet a felfuacutejt kockaacuteboacutel a felfuacutejt tetraeacutedert megszerkeszteni
Megoldaacutes
Kivaacutelasztjuk a goumlmbi kocka keacutet egymaacutessal szembeni lapjaacutet Az egyiken kijeloumlljuumlk a lap
egyik aacutetloacutejaacutenak veacutegeacuten leacutevő keacutet csuacutecspontot Ezutaacuten a maacutesik lapon kivaacutelasztjuk az bdquoel-
lenkezőrdquoiraacutenyuacute aacutetloacutet (vagyis megfelelő beaacutelliacutetaacutesban feluumllneacutezetben a keacutet egymaacutessal
szembeni oldal lapaacutetloacuteja X alakot ad) eacutes megjeloumlljuumlk ennek is a veacutegpontjait A neacutegy
veacutegpont meghataacuterozza a felfuacutejt goumlmbi tetraeacuteder csuacutecsait
Moacutedszertani megjegyzeacutes Ha a gyerekeket eacuterdekli akkor az eddigiekből maacuter elkeacutesziacutethető a dodekaeacuteder eacutes az ikozaeacuteder goumlmbi haacuteloacuteja is Rajzoljunk a goumlmbi kocka egy oldalhosszaacuteval szabaacutelyos goumlmbhaacuteromszoumlget eacutes csuacutecsait koumlssuumlk oumlssze a szabaacutelyos haacuteromszoumlg szimmetria-koumlzeacuteppontjaacuteval Az iacutegy kapott haacuterom egymaacutessal paacuteronkeacutent 120 fokos szoumlget bezaacuteroacute goumlmbi szakasz eacuteppen a goumlmbi dodekaeacute-der haacuterom oldalaacutet adja amit maacuter koumlnnyen kiegeacutesziacutethetuumlnk szabaacutelyos goumlmbi oumltszoumlggeacute Ennek az oumltszoumlgnek minden szoumlge 120 fokos Ebből tizenkettő eacuteppen lefedi az egeacutesz goumlmboumlt Az oumltszoumlgek koumlzeacuteppontjait megrajzolva eacutes a szomszeacutedos koumlzeacuteppontokat oumlsszekoumltve pedig a duaacute-lis goumlmbi ikozaeacutedert kapjuk Nagyon szeacutep feladat az archimeacutedeszit testek (peacuteldaacuteul a focilabda) goumlmbi haacuteloacutejaacutenak megszer-keszteacutese Ezekből a goumlmbi aacutebraacutekroacutel nagyon sok az eredeti polieacutedert jellemző tulajdonsaacuteg igen szemleacuteletesen bemutathatoacute ndash lapok csuacutecsok eacutelek egymaacutessal szomszeacutedos sokszoumlgek stb
6 modul TEacuteRELEMEK 21
A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)
Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol
Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők
1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege
egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet
Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute
lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma
bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)
Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene
A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)
A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
A goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA =
A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π
A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg
A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 13
A testek aacutebraacutezolaacutesa
A testek siacutekbeli aacutebraacutezolaacutesaacutera maacuter laacutethattatok neacutehaacuteny peacuteldaacutet eddigi tanulmaacutenyaitok soraacuten
Egy polieacuteder haacuteloacutejaacuten eacutertjuumlk azt a sokszoumlglapot amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Igen gyakori aacutebraacutezolaacutesi moacutedszer a perspektivikus amellyel a teacuterbeli alakzatokat meacuternoumlki pon-
tossaacuteggal aacutebraacutezolhatjuk a siacutekban Victor Vasarely (1908-1997) Maurits Cornelis Escher
(1898-1972) eacutes Roger Penrose (1931-) a hamis perspektiacuteva nagymesterei grafikaacuteikon rend-
szeresen lehetetlen alakzatok tűnnek fel A perspektivikus aacutebraacutezolaacutes koumlzeacutepkori uacutettoumlrői koumlzeacute
soroljuk Filippo Brunelleschi (1377-1446) eacutes Albrecht Duumlrer (1471-1528) mestereket
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Javasolt projekteket indiacutetani Vasarely Escher eacutes Penrose bdquobecsapoacutesrdquo grafikaacutek keacutepek interne-
tes kutataacutesa (keacutep bemutataacutesa eacutes roumlvid ismerteteacutes az egyik oacutera bevezeteacutesekeacutent) valamint a le-
hetetlen testek rajzainak megalkotaacutesa kreatiacutevabb tanuloacutek reacuteszeacutere 1999-ben a Műcsarnokban
rendezett bdquoPerspektiacutevardquo ciacutemű kiaacutelliacutetaacutes kataloacutegusa 517 oldalas nagyon joacute anyagokat talaacutelhat
benne az eacuterdeklődő
14 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A testek csoportosiacutetaacutesa
A testeket keacutet nagy csoportba soroljuk goumlrbe feluumlletűek eacutes polieacutederek
polieacutederek veacuteges sok sokszoumlg aacuteltal hataacuterolt testek
o hasaacutebok (egyenes eacutes ferde)
o guacutelaacutek (egyenes ferde csonka)
o szabaacutelyos testek
o egyebek
goumlrbe feluumlletű testek a hataacuteroloacute lapok koumlzoumltt van goumlrbe feluumllet is
o hengerek (egyenes eacutes ferde)
o kuacutepok (egyenes ferde csonka)
o forgaacutestestek (valamely siacutekidom adott tengely koumlruumlli megforgataacutesaacuteval keletkeznek
forgaacutesszimmetrikusak)
o goumlmboumlk
o egyebek
Feladat
1 Rajzolj peacuteldaacutekat a Venn-diagramm megfelelő reacuteszeire
6 modul TEacuteRELEMEK 15
Elnevezeacutesek Moacutedszertani megjegyzeacutes Peacutelda Polydron felhasznaacutelaacutesaacutera Amikor a hasaacutebot taniacutetjuk ne mondjuk meg a tanuloacuteknak hogy mi a hasaacuteb definiacutecioacuteja Csoportalakiacutetaacutes majd az ABCD csoportkaacutertyaacutek kiosztaacutesa utaacuten szakeacutertői mozaikkal oumlsszerakatunk az A-sokkal teacuteglatesteket a B-sekkel oumltszoumlg alapuacute hasaacutebot (peacuteldaacuteul taacuteblai rajz alapjaacuten) a C-sekkel hatszoumlg alapuacute hasaacutebot a D-sekkel egy ferde hasaacutebot Ezek utaacuten visszateacuternek a csoportjukhoz eacutes azt kapjaacutek feladatul hogy ismertesseacutek a toumlbbiekkel hogy mit raktak oumlssze eacutes iacuterjaacutek oumlssze hogy mik ezeknek a tes-teknek a koumlzoumls tulajdonsaacutegai (sokszoumlgekből aacutellnak paacuterhuzamos a fedő- eacutes az alaplap egybe-vaacutegoacutek is) Sorsolaacutessal keacuteruumlnk 1-1 tulajdonsaacutegot majd mi is rakunk hozzaacute (elmondjuk hogy ezek hasaacutebok eacutes ismertetuumlnk meacuteg neacutehaacuteny jellemzőt testmagassaacuteg lapszoumlgek teacuterfogat fel-sziacuten)
Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes amely az
alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az
adott egyenessel (alkotoacutek) hengerfeluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhu-
zamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr
a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhenger eseteacuteben az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra
A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevol-
saacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon
kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal kuacutep-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert goumlrbe koumlr a test
neve koumlrkuacutep Egyenes koumlrkuacutepnak nevezzuumlk a koumlrkuacutepot ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső
merőleges vetuumllete az alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet nevezzuumlk
Henger Koumlrhenger Egyenes koumlrhenger
16 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
palaacutestnak (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe aacuteltal
meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak Az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
adja a testmagassaacutegot
Ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet
tartalmazza akkor egyenlőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a
kuacutep alkotoacutei) Maacuteskeacutent az egyenes koumlrkuacutep tengelymetszete egyenlőszaacuteruacute
haacuteromszoumlg A szaacuterak aacuteltal bezaacutert szoumlget (φ) a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek ne-
vezzuumlk
Ha a kuacutepot elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot kapunk Az alap-
lap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuza-
mos Ha a sokszoumlg minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott egyenessel hasaacuteb-
feluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy kelet-
kező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk a hasaacutebot ha az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a
fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a
sokszoumlg minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal guacutelafeluumlletet kapunk A
keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecs-
pontnak a taacutevolsaacutega
6 modul TEacuteRELEMEK 17
A haacuteromszoumlg alapuacute guacutela (tetraeacuteder) baacutermely lapja lehet alaplap Ezt a feladatok megoldaacute-
sakor figyelembe kell venni elkeacutepzelhető hogy a testet elforgatva koumlnnyebb a megoldaacutes
Peacuteldaacuteul a kocka sarkaacutet levaacutegva olyan guacutelaacutet kapunk amelyet elforgatva a dereacutekszoumlgű haacuterom-
szoumlget is vaacutelaszthatjuk alaplapnak (iacutegy egyszerűbbeacute vaacutelik az alapteruumllet eacutes a testmagassaacuteg
szaacutemiacutetaacutesa)
Ha a guacutelaacutet elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet kapunk
Szabaacutelyos guacutelaacutenak az alaplapja szabaacutelyos sokszoumlg az oldallapok pedig egybevaacutegoacute egyenlő-
szaacuteruacute haacuteromszoumlgek
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza A konkaacutev testek a nem konvexek azaz a testnek
van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő szakaszt a test nem tartalmazza teljes egeacute-
szeacuteben
Azokat a testeket melyeknek minden lapja egybevaacutegoacute izoeacutedernek nevezzuumlk
Szabaacutelyos testeknek nevezzuumlk azokat a konvex polieacutedereket amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes
lapszoumlgei is egyenlők (ezekkel a hajlaacutesszoumlgekkel a keacutesőbbiekben foglalkozunk) Bizonyiacutethatoacute
(maacuter Euklidesz is megtette Elemek ciacutemű koumlnyveacuteben kb Kre 300-ban) hogy oumlsszesen csak
oumlt szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder Nevuumlket
oldallapjaik szaacutemaacuteroacutel kaptaacutek A szabaacutelyos testeket platonikus testeknek is nevezzuumlk
18 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A szabaacutelyos testek adatai
Lapok Csuacutecsok szaacutema
Eacutelek szaacutema
Hataacuteroloacute lap eacuteleinek szaacutema
Szabaacutelyos tetraeacuteder 4 4 6 3 Hexaeacuteder (Kocka) 6 8 12 4 Oktaeacuteder 8 6 12 3 Dodekaeacuteder 12 20 30 5 Ikozaeacuteder 20 12 30 3
A testeket eacutelvaacutezukkal is aacutebraacutezolhatjuk Ebben az esetben jobban laacutethatoacute hogy milyen siacutek-
idomok hataacuteroljaacutek a testet haacuteny eacutele van a testnek eacutes haacuteny eacutel fut oumlssze az egyes csuacutecsokban
Az eacutelvaacutez alapjaacuten koumlnnyebb megszerkeszteni a testek haacuteloacutejaacutet is
Moacutedszertani megjegyzeacutes A Polydron eacutepiacutetővel mindegyik szabaacutelyos test megeacutepiacutethető A fenti testeket elemző taacuteblaacutezatot a tanuloacutek is előaacutelliacutethatjaacutek csoportmunkaacuteban A testek tulajdonsaacutegait szemleacuteltethetjuumlk azokkal az eszkoumlzoumlkkel is amelyek a modulvaacutezlat-ban szerepelnek Polieacutederrel kapcsolatos fogalmak reacuteszletes meghataacuterozaacutesai talaacutelhatoacutek az alaacutebbi honlapon httpwwwsulinethumatekszilassi_01szil_poli_1alapfogalmakhtm Feladhatoacute hogy a tanuloacutek keacutesziacutetseacutek el vagy keresseacutek az interneten a szabaacutelyos testek haacuteloacutejaacutet Tovaacutebbi kutataacutesi teacutemaacutek lehetnek (kitekinteacutes a koumlzeacutepiskolai anyagboacutel) polieacutederek duaacutelisai archimeacutedeszi polieacutederek focilabda jellemzeacutese (lapok eacutelek csuacutecsok szaacutema hataacuteroloacute siacutekidom-ok) prizmaacutek Ezekből aacutelliacutetottuk oumlssze a koumlvetkező csak a tanaacuteri modulban szereplő anyagot Egy polieacuteder duaacutelisaacutet megkapjuk ha lapjait egy csuacuteccsal csuacutecsait pedig egy lappal felcsereacutel-juumlk Szabaacutelyos sokszoumlgekből aacutelloacute testek eseteacuten a lapokat szimmetria-koumlzeacuteppontjukkal csereacutel-juumlk fel Peacuteldaacuteul a szabaacutelyos tetraeacuteder duaacutelisa is szabaacutelyos tetraeacuteder a kockaacuteeacute oktaeacuteder az ok-taeacutedereacute kocka az ikozaeacutedereacute dodekaeacuteder a dodekaeacutedereacute ikozaeacuteder Peacuteldaacuteul a Szilassi-polieacuteder a Csaacuteszaacuter-feacutele polieacuteder duaacutelisa Honlap amelyen a Csaacuteszaacuter polieacuteder megtalaacutelhatoacute httpwwwmoricz-kujszsulinethuMORICZEvkonyvEredmenyVarga_GVarga_Ghtm eacutes httpmathworldwolframcomCsaszarPolyhedronhtml (angol)
6 modul TEacuteRELEMEK 19
Laacutesd meacuteg Szilassi Lajos Duaacutelis polieacutederek (httpmatservpmmfhucseripublicszilassiszilassihtm) Archimeacutedeacuteszi testek Olyan polieacutederek melyek oldallapjai szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes minden csuacutecsban ugyanannyi eacutes ugyanolyan sokszoumlg talaacutelkozik ugyanolyan moacutedon Az archimeacutedeszi testek a szabaacutelyos polieacutederek csonkolaacutesaacuteval keletkeznek a szabaacutelyos polieacute-der csuacutecsainaacutel guacutelaacutet vaacutegunk le oly moacutedon hogy a vaacutegaacutes helyeacuten szabaacutelyos sokszoumlglap marad-jon eacutes a keletkező polieacuteder minden eacutele egyforma hosszuacutesaacuteguacute minden testszoumlglete egybevaacutegoacute legyen Peacuteldaacuteul az oktaeacuteder eacuteleinek felezőpontjai eacutes a kocka eacuteleinek felezőpontjai hasonloacute feacutelig szabaacutelyos testeket alkotnak Maacutes megfogalmazaacutesban az archimeacutedeszi testek jellemzői hogy bull konvexek bull lapjaik szabaacutelyos sokszoumlgek bull testszoumlgleteik egybevaacutegoacuteak (Ez szemleacuteletesen azt jelenti hogy ha a testből baacutermely csuacutecsaacute-naacutel levaacutegunk egy kis guacutelaacutet akkor ez a suumlveg baacutermely maacutes csuacutecsaacutera is raacuteilleszthető Ez azt is jelenti hogy minden csuacutecsnaacutel a testfeluumlletet alkotoacute szabaacutelyos sokszoumlgfajtaacuteboacutel (szoumlguumlk egyeacuter-telműen jellemzi őket) ugyanannyi van eacutes azonos sorrendben Peacuteldaacutek a kocka eacutelfelező pontjai az oktaeacuteder eacutelfelező pontjai a focilabda A koumlvetkező keacutet aacutebraacuten kocka csonkiacutetaacutesaacuteval nyert archimeacutedeszi testeket laacutethatunk
A focilabda a szabaacutelyos ikozaeacuteder megfelelő csonkiacutetaacutesaacuteval kaphatoacute (20 szabaacutelyos 6-szoumlg 12 szabaacutelyos 5-szoumlg 90 eacutel az oumltszoumlgek nem keruumllhetnek egymaacutes melleacute)
Testek a goumlmbi siacutekon (kiegeacutesziacutető anyag)
Nemcsak a siacuteklapon de maacutes feluumlleteken is aacutebraacutezolhatunk testeket haacuteloacutekat alakzatokat Koumlny-
nyűzenei eacutes maacutes rendezveacutenyeken planetaacuteriumokban gyakran vetiacutetik kuumlloumlnfeacutele teacuterbeli taacutergyak
vagy haacuteloacutezatok keacutepeacutet goumlrbuumllt feluumlletekre peacuteldaacuteul henger- vagy goumlmbfeluumlletre
Kuumlloumlnoumlsen eacuterdekesek a szabaacutelyos eacutes feacutelig szabaacutelyos testek goumlmbi aacutebraacutei Keacutepzeljuumlnk el egy
szabaacutelyos (platoni) vagy feacutelig szabaacutelyos (archimeacutedeszi) testet amely koumlreacute a csuacutecsain aacutetmenő
goumlmboumlt szerkesztuumlnk A goumlmbfeluumlleten megjelenő csuacutecspontokat nem teacuterbeli egyenes szaka-
20 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
szokkal koumltjuumlk oumlssze (iacutegy az eredeti testek kapnaacutenk vissza) hanem goumlmbfeluumlleti bdquoegyenesrdquo
darabokkal vagyis főkoumlriacutevekkel Ilyen moacutedon a test goumlmbi haacuteloacutejaacutet kapjuk Coxeter (ejtsd
kaacutekszeacutetoumlr) hiacuteres kivaacuteloacute kanadai matematikus ezeket a goumlmbi haacuteloacutekat bdquofelfuacutejt testeknekrdquo ne-
vezte
Proacutebaacuteljunk ilyeneket a goumlmboumln megszerkeszteni
2 Rajzoljunk haacuterom paacuteronkeacutent merőleges főkoumlrt Melyik szabaacutelyos test goumlmbi haacuteloacutejaacutet
kapjuk
Megoldaacutes Oktaeacuteder
3 Szerkesszuumlk meg a goumlmbi bdquofelfuacutejtrdquo oktaeacuteder haacuteromszoumlgeinek szimmetria-koumlzeacuteppontja-
it Az egymaacuteshoz legkoumlzelebb esőket koumlssuumlk oumlssze főkoumlriacutevvel maacutes sziacutenű tollal Haacuteny
legkoumlzelebbi szomszeacutedot talaacutelunk Milyen szabaacutelyos testet kapunk
Megoldaacutes Haacutermat hexaeacutedert (kockaacutet)
4 Hogyan lehet a felfuacutejt kockaacuteboacutel a felfuacutejt tetraeacutedert megszerkeszteni
Megoldaacutes
Kivaacutelasztjuk a goumlmbi kocka keacutet egymaacutessal szembeni lapjaacutet Az egyiken kijeloumlljuumlk a lap
egyik aacutetloacutejaacutenak veacutegeacuten leacutevő keacutet csuacutecspontot Ezutaacuten a maacutesik lapon kivaacutelasztjuk az bdquoel-
lenkezőrdquoiraacutenyuacute aacutetloacutet (vagyis megfelelő beaacutelliacutetaacutesban feluumllneacutezetben a keacutet egymaacutessal
szembeni oldal lapaacutetloacuteja X alakot ad) eacutes megjeloumlljuumlk ennek is a veacutegpontjait A neacutegy
veacutegpont meghataacuterozza a felfuacutejt goumlmbi tetraeacuteder csuacutecsait
Moacutedszertani megjegyzeacutes Ha a gyerekeket eacuterdekli akkor az eddigiekből maacuter elkeacutesziacutethető a dodekaeacuteder eacutes az ikozaeacuteder goumlmbi haacuteloacuteja is Rajzoljunk a goumlmbi kocka egy oldalhosszaacuteval szabaacutelyos goumlmbhaacuteromszoumlget eacutes csuacutecsait koumlssuumlk oumlssze a szabaacutelyos haacuteromszoumlg szimmetria-koumlzeacuteppontjaacuteval Az iacutegy kapott haacuterom egymaacutessal paacuteronkeacutent 120 fokos szoumlget bezaacuteroacute goumlmbi szakasz eacuteppen a goumlmbi dodekaeacute-der haacuterom oldalaacutet adja amit maacuter koumlnnyen kiegeacutesziacutethetuumlnk szabaacutelyos goumlmbi oumltszoumlggeacute Ennek az oumltszoumlgnek minden szoumlge 120 fokos Ebből tizenkettő eacuteppen lefedi az egeacutesz goumlmboumlt Az oumltszoumlgek koumlzeacuteppontjait megrajzolva eacutes a szomszeacutedos koumlzeacuteppontokat oumlsszekoumltve pedig a duaacute-lis goumlmbi ikozaeacutedert kapjuk Nagyon szeacutep feladat az archimeacutedeszit testek (peacuteldaacuteul a focilabda) goumlmbi haacuteloacutejaacutenak megszer-keszteacutese Ezekből a goumlmbi aacutebraacutekroacutel nagyon sok az eredeti polieacutedert jellemző tulajdonsaacuteg igen szemleacuteletesen bemutathatoacute ndash lapok csuacutecsok eacutelek egymaacutessal szomszeacutedos sokszoumlgek stb
6 modul TEacuteRELEMEK 21
A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)
Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol
Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők
1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege
egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet
Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute
lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma
bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)
Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene
A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)
A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
A goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA =
A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π
A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg
A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
14 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A testek csoportosiacutetaacutesa
A testeket keacutet nagy csoportba soroljuk goumlrbe feluumlletűek eacutes polieacutederek
polieacutederek veacuteges sok sokszoumlg aacuteltal hataacuterolt testek
o hasaacutebok (egyenes eacutes ferde)
o guacutelaacutek (egyenes ferde csonka)
o szabaacutelyos testek
o egyebek
goumlrbe feluumlletű testek a hataacuteroloacute lapok koumlzoumltt van goumlrbe feluumllet is
o hengerek (egyenes eacutes ferde)
o kuacutepok (egyenes ferde csonka)
o forgaacutestestek (valamely siacutekidom adott tengely koumlruumlli megforgataacutesaacuteval keletkeznek
forgaacutesszimmetrikusak)
o goumlmboumlk
o egyebek
Feladat
1 Rajzolj peacuteldaacutekat a Venn-diagramm megfelelő reacuteszeire
6 modul TEacuteRELEMEK 15
Elnevezeacutesek Moacutedszertani megjegyzeacutes Peacutelda Polydron felhasznaacutelaacutesaacutera Amikor a hasaacutebot taniacutetjuk ne mondjuk meg a tanuloacuteknak hogy mi a hasaacuteb definiacutecioacuteja Csoportalakiacutetaacutes majd az ABCD csoportkaacutertyaacutek kiosztaacutesa utaacuten szakeacutertői mozaikkal oumlsszerakatunk az A-sokkal teacuteglatesteket a B-sekkel oumltszoumlg alapuacute hasaacutebot (peacuteldaacuteul taacuteblai rajz alapjaacuten) a C-sekkel hatszoumlg alapuacute hasaacutebot a D-sekkel egy ferde hasaacutebot Ezek utaacuten visszateacuternek a csoportjukhoz eacutes azt kapjaacutek feladatul hogy ismertesseacutek a toumlbbiekkel hogy mit raktak oumlssze eacutes iacuterjaacutek oumlssze hogy mik ezeknek a tes-teknek a koumlzoumls tulajdonsaacutegai (sokszoumlgekből aacutellnak paacuterhuzamos a fedő- eacutes az alaplap egybe-vaacutegoacutek is) Sorsolaacutessal keacuteruumlnk 1-1 tulajdonsaacutegot majd mi is rakunk hozzaacute (elmondjuk hogy ezek hasaacutebok eacutes ismertetuumlnk meacuteg neacutehaacuteny jellemzőt testmagassaacuteg lapszoumlgek teacuterfogat fel-sziacuten)
Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes amely az
alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az
adott egyenessel (alkotoacutek) hengerfeluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhu-
zamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr
a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhenger eseteacuteben az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra
A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevol-
saacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon
kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal kuacutep-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert goumlrbe koumlr a test
neve koumlrkuacutep Egyenes koumlrkuacutepnak nevezzuumlk a koumlrkuacutepot ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső
merőleges vetuumllete az alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet nevezzuumlk
Henger Koumlrhenger Egyenes koumlrhenger
16 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
palaacutestnak (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe aacuteltal
meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak Az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
adja a testmagassaacutegot
Ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet
tartalmazza akkor egyenlőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a
kuacutep alkotoacutei) Maacuteskeacutent az egyenes koumlrkuacutep tengelymetszete egyenlőszaacuteruacute
haacuteromszoumlg A szaacuterak aacuteltal bezaacutert szoumlget (φ) a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek ne-
vezzuumlk
Ha a kuacutepot elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot kapunk Az alap-
lap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuza-
mos Ha a sokszoumlg minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott egyenessel hasaacuteb-
feluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy kelet-
kező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk a hasaacutebot ha az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a
fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a
sokszoumlg minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal guacutelafeluumlletet kapunk A
keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecs-
pontnak a taacutevolsaacutega
6 modul TEacuteRELEMEK 17
A haacuteromszoumlg alapuacute guacutela (tetraeacuteder) baacutermely lapja lehet alaplap Ezt a feladatok megoldaacute-
sakor figyelembe kell venni elkeacutepzelhető hogy a testet elforgatva koumlnnyebb a megoldaacutes
Peacuteldaacuteul a kocka sarkaacutet levaacutegva olyan guacutelaacutet kapunk amelyet elforgatva a dereacutekszoumlgű haacuterom-
szoumlget is vaacutelaszthatjuk alaplapnak (iacutegy egyszerűbbeacute vaacutelik az alapteruumllet eacutes a testmagassaacuteg
szaacutemiacutetaacutesa)
Ha a guacutelaacutet elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet kapunk
Szabaacutelyos guacutelaacutenak az alaplapja szabaacutelyos sokszoumlg az oldallapok pedig egybevaacutegoacute egyenlő-
szaacuteruacute haacuteromszoumlgek
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza A konkaacutev testek a nem konvexek azaz a testnek
van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő szakaszt a test nem tartalmazza teljes egeacute-
szeacuteben
Azokat a testeket melyeknek minden lapja egybevaacutegoacute izoeacutedernek nevezzuumlk
Szabaacutelyos testeknek nevezzuumlk azokat a konvex polieacutedereket amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes
lapszoumlgei is egyenlők (ezekkel a hajlaacutesszoumlgekkel a keacutesőbbiekben foglalkozunk) Bizonyiacutethatoacute
(maacuter Euklidesz is megtette Elemek ciacutemű koumlnyveacuteben kb Kre 300-ban) hogy oumlsszesen csak
oumlt szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder Nevuumlket
oldallapjaik szaacutemaacuteroacutel kaptaacutek A szabaacutelyos testeket platonikus testeknek is nevezzuumlk
18 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A szabaacutelyos testek adatai
Lapok Csuacutecsok szaacutema
Eacutelek szaacutema
Hataacuteroloacute lap eacuteleinek szaacutema
Szabaacutelyos tetraeacuteder 4 4 6 3 Hexaeacuteder (Kocka) 6 8 12 4 Oktaeacuteder 8 6 12 3 Dodekaeacuteder 12 20 30 5 Ikozaeacuteder 20 12 30 3
A testeket eacutelvaacutezukkal is aacutebraacutezolhatjuk Ebben az esetben jobban laacutethatoacute hogy milyen siacutek-
idomok hataacuteroljaacutek a testet haacuteny eacutele van a testnek eacutes haacuteny eacutel fut oumlssze az egyes csuacutecsokban
Az eacutelvaacutez alapjaacuten koumlnnyebb megszerkeszteni a testek haacuteloacutejaacutet is
Moacutedszertani megjegyzeacutes A Polydron eacutepiacutetővel mindegyik szabaacutelyos test megeacutepiacutethető A fenti testeket elemző taacuteblaacutezatot a tanuloacutek is előaacutelliacutethatjaacutek csoportmunkaacuteban A testek tulajdonsaacutegait szemleacuteltethetjuumlk azokkal az eszkoumlzoumlkkel is amelyek a modulvaacutezlat-ban szerepelnek Polieacutederrel kapcsolatos fogalmak reacuteszletes meghataacuterozaacutesai talaacutelhatoacutek az alaacutebbi honlapon httpwwwsulinethumatekszilassi_01szil_poli_1alapfogalmakhtm Feladhatoacute hogy a tanuloacutek keacutesziacutetseacutek el vagy keresseacutek az interneten a szabaacutelyos testek haacuteloacutejaacutet Tovaacutebbi kutataacutesi teacutemaacutek lehetnek (kitekinteacutes a koumlzeacutepiskolai anyagboacutel) polieacutederek duaacutelisai archimeacutedeszi polieacutederek focilabda jellemzeacutese (lapok eacutelek csuacutecsok szaacutema hataacuteroloacute siacutekidom-ok) prizmaacutek Ezekből aacutelliacutetottuk oumlssze a koumlvetkező csak a tanaacuteri modulban szereplő anyagot Egy polieacuteder duaacutelisaacutet megkapjuk ha lapjait egy csuacuteccsal csuacutecsait pedig egy lappal felcsereacutel-juumlk Szabaacutelyos sokszoumlgekből aacutelloacute testek eseteacuten a lapokat szimmetria-koumlzeacuteppontjukkal csereacutel-juumlk fel Peacuteldaacuteul a szabaacutelyos tetraeacuteder duaacutelisa is szabaacutelyos tetraeacuteder a kockaacuteeacute oktaeacuteder az ok-taeacutedereacute kocka az ikozaeacutedereacute dodekaeacuteder a dodekaeacutedereacute ikozaeacuteder Peacuteldaacuteul a Szilassi-polieacuteder a Csaacuteszaacuter-feacutele polieacuteder duaacutelisa Honlap amelyen a Csaacuteszaacuter polieacuteder megtalaacutelhatoacute httpwwwmoricz-kujszsulinethuMORICZEvkonyvEredmenyVarga_GVarga_Ghtm eacutes httpmathworldwolframcomCsaszarPolyhedronhtml (angol)
6 modul TEacuteRELEMEK 19
Laacutesd meacuteg Szilassi Lajos Duaacutelis polieacutederek (httpmatservpmmfhucseripublicszilassiszilassihtm) Archimeacutedeacuteszi testek Olyan polieacutederek melyek oldallapjai szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes minden csuacutecsban ugyanannyi eacutes ugyanolyan sokszoumlg talaacutelkozik ugyanolyan moacutedon Az archimeacutedeszi testek a szabaacutelyos polieacutederek csonkolaacutesaacuteval keletkeznek a szabaacutelyos polieacute-der csuacutecsainaacutel guacutelaacutet vaacutegunk le oly moacutedon hogy a vaacutegaacutes helyeacuten szabaacutelyos sokszoumlglap marad-jon eacutes a keletkező polieacuteder minden eacutele egyforma hosszuacutesaacuteguacute minden testszoumlglete egybevaacutegoacute legyen Peacuteldaacuteul az oktaeacuteder eacuteleinek felezőpontjai eacutes a kocka eacuteleinek felezőpontjai hasonloacute feacutelig szabaacutelyos testeket alkotnak Maacutes megfogalmazaacutesban az archimeacutedeszi testek jellemzői hogy bull konvexek bull lapjaik szabaacutelyos sokszoumlgek bull testszoumlgleteik egybevaacutegoacuteak (Ez szemleacuteletesen azt jelenti hogy ha a testből baacutermely csuacutecsaacute-naacutel levaacutegunk egy kis guacutelaacutet akkor ez a suumlveg baacutermely maacutes csuacutecsaacutera is raacuteilleszthető Ez azt is jelenti hogy minden csuacutecsnaacutel a testfeluumlletet alkotoacute szabaacutelyos sokszoumlgfajtaacuteboacutel (szoumlguumlk egyeacuter-telműen jellemzi őket) ugyanannyi van eacutes azonos sorrendben Peacuteldaacutek a kocka eacutelfelező pontjai az oktaeacuteder eacutelfelező pontjai a focilabda A koumlvetkező keacutet aacutebraacuten kocka csonkiacutetaacutesaacuteval nyert archimeacutedeszi testeket laacutethatunk
A focilabda a szabaacutelyos ikozaeacuteder megfelelő csonkiacutetaacutesaacuteval kaphatoacute (20 szabaacutelyos 6-szoumlg 12 szabaacutelyos 5-szoumlg 90 eacutel az oumltszoumlgek nem keruumllhetnek egymaacutes melleacute)
Testek a goumlmbi siacutekon (kiegeacutesziacutető anyag)
Nemcsak a siacuteklapon de maacutes feluumlleteken is aacutebraacutezolhatunk testeket haacuteloacutekat alakzatokat Koumlny-
nyűzenei eacutes maacutes rendezveacutenyeken planetaacuteriumokban gyakran vetiacutetik kuumlloumlnfeacutele teacuterbeli taacutergyak
vagy haacuteloacutezatok keacutepeacutet goumlrbuumllt feluumlletekre peacuteldaacuteul henger- vagy goumlmbfeluumlletre
Kuumlloumlnoumlsen eacuterdekesek a szabaacutelyos eacutes feacutelig szabaacutelyos testek goumlmbi aacutebraacutei Keacutepzeljuumlnk el egy
szabaacutelyos (platoni) vagy feacutelig szabaacutelyos (archimeacutedeszi) testet amely koumlreacute a csuacutecsain aacutetmenő
goumlmboumlt szerkesztuumlnk A goumlmbfeluumlleten megjelenő csuacutecspontokat nem teacuterbeli egyenes szaka-
20 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
szokkal koumltjuumlk oumlssze (iacutegy az eredeti testek kapnaacutenk vissza) hanem goumlmbfeluumlleti bdquoegyenesrdquo
darabokkal vagyis főkoumlriacutevekkel Ilyen moacutedon a test goumlmbi haacuteloacutejaacutet kapjuk Coxeter (ejtsd
kaacutekszeacutetoumlr) hiacuteres kivaacuteloacute kanadai matematikus ezeket a goumlmbi haacuteloacutekat bdquofelfuacutejt testeknekrdquo ne-
vezte
Proacutebaacuteljunk ilyeneket a goumlmboumln megszerkeszteni
2 Rajzoljunk haacuterom paacuteronkeacutent merőleges főkoumlrt Melyik szabaacutelyos test goumlmbi haacuteloacutejaacutet
kapjuk
Megoldaacutes Oktaeacuteder
3 Szerkesszuumlk meg a goumlmbi bdquofelfuacutejtrdquo oktaeacuteder haacuteromszoumlgeinek szimmetria-koumlzeacuteppontja-
it Az egymaacuteshoz legkoumlzelebb esőket koumlssuumlk oumlssze főkoumlriacutevvel maacutes sziacutenű tollal Haacuteny
legkoumlzelebbi szomszeacutedot talaacutelunk Milyen szabaacutelyos testet kapunk
Megoldaacutes Haacutermat hexaeacutedert (kockaacutet)
4 Hogyan lehet a felfuacutejt kockaacuteboacutel a felfuacutejt tetraeacutedert megszerkeszteni
Megoldaacutes
Kivaacutelasztjuk a goumlmbi kocka keacutet egymaacutessal szembeni lapjaacutet Az egyiken kijeloumlljuumlk a lap
egyik aacutetloacutejaacutenak veacutegeacuten leacutevő keacutet csuacutecspontot Ezutaacuten a maacutesik lapon kivaacutelasztjuk az bdquoel-
lenkezőrdquoiraacutenyuacute aacutetloacutet (vagyis megfelelő beaacutelliacutetaacutesban feluumllneacutezetben a keacutet egymaacutessal
szembeni oldal lapaacutetloacuteja X alakot ad) eacutes megjeloumlljuumlk ennek is a veacutegpontjait A neacutegy
veacutegpont meghataacuterozza a felfuacutejt goumlmbi tetraeacuteder csuacutecsait
Moacutedszertani megjegyzeacutes Ha a gyerekeket eacuterdekli akkor az eddigiekből maacuter elkeacutesziacutethető a dodekaeacuteder eacutes az ikozaeacuteder goumlmbi haacuteloacuteja is Rajzoljunk a goumlmbi kocka egy oldalhosszaacuteval szabaacutelyos goumlmbhaacuteromszoumlget eacutes csuacutecsait koumlssuumlk oumlssze a szabaacutelyos haacuteromszoumlg szimmetria-koumlzeacuteppontjaacuteval Az iacutegy kapott haacuterom egymaacutessal paacuteronkeacutent 120 fokos szoumlget bezaacuteroacute goumlmbi szakasz eacuteppen a goumlmbi dodekaeacute-der haacuterom oldalaacutet adja amit maacuter koumlnnyen kiegeacutesziacutethetuumlnk szabaacutelyos goumlmbi oumltszoumlggeacute Ennek az oumltszoumlgnek minden szoumlge 120 fokos Ebből tizenkettő eacuteppen lefedi az egeacutesz goumlmboumlt Az oumltszoumlgek koumlzeacuteppontjait megrajzolva eacutes a szomszeacutedos koumlzeacuteppontokat oumlsszekoumltve pedig a duaacute-lis goumlmbi ikozaeacutedert kapjuk Nagyon szeacutep feladat az archimeacutedeszit testek (peacuteldaacuteul a focilabda) goumlmbi haacuteloacutejaacutenak megszer-keszteacutese Ezekből a goumlmbi aacutebraacutekroacutel nagyon sok az eredeti polieacutedert jellemző tulajdonsaacuteg igen szemleacuteletesen bemutathatoacute ndash lapok csuacutecsok eacutelek egymaacutessal szomszeacutedos sokszoumlgek stb
6 modul TEacuteRELEMEK 21
A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)
Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol
Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők
1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege
egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet
Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute
lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma
bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)
Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene
A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)
A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
A goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA =
A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π
A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg
A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 15
Elnevezeacutesek Moacutedszertani megjegyzeacutes Peacutelda Polydron felhasznaacutelaacutesaacutera Amikor a hasaacutebot taniacutetjuk ne mondjuk meg a tanuloacuteknak hogy mi a hasaacuteb definiacutecioacuteja Csoportalakiacutetaacutes majd az ABCD csoportkaacutertyaacutek kiosztaacutesa utaacuten szakeacutertői mozaikkal oumlsszerakatunk az A-sokkal teacuteglatesteket a B-sekkel oumltszoumlg alapuacute hasaacutebot (peacuteldaacuteul taacuteblai rajz alapjaacuten) a C-sekkel hatszoumlg alapuacute hasaacutebot a D-sekkel egy ferde hasaacutebot Ezek utaacuten visszateacuternek a csoportjukhoz eacutes azt kapjaacutek feladatul hogy ismertesseacutek a toumlbbiekkel hogy mit raktak oumlssze eacutes iacuterjaacutek oumlssze hogy mik ezeknek a tes-teknek a koumlzoumls tulajdonsaacutegai (sokszoumlgekből aacutellnak paacuterhuzamos a fedő- eacutes az alaplap egybe-vaacutegoacutek is) Sorsolaacutessal keacuteruumlnk 1-1 tulajdonsaacutegot majd mi is rakunk hozzaacute (elmondjuk hogy ezek hasaacutebok eacutes ismertetuumlnk meacuteg neacutehaacuteny jellemzőt testmagassaacuteg lapszoumlgek teacuterfogat fel-sziacuten)
Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes amely az
alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az
adott egyenessel (alkotoacutek) hengerfeluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhu-
zamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr
a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhenger eseteacuteben az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra
A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevol-
saacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon
kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal kuacutep-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert goumlrbe koumlr a test
neve koumlrkuacutep Egyenes koumlrkuacutepnak nevezzuumlk a koumlrkuacutepot ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső
merőleges vetuumllete az alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet nevezzuumlk
Henger Koumlrhenger Egyenes koumlrhenger
16 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
palaacutestnak (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe aacuteltal
meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak Az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
adja a testmagassaacutegot
Ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet
tartalmazza akkor egyenlőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a
kuacutep alkotoacutei) Maacuteskeacutent az egyenes koumlrkuacutep tengelymetszete egyenlőszaacuteruacute
haacuteromszoumlg A szaacuterak aacuteltal bezaacutert szoumlget (φ) a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek ne-
vezzuumlk
Ha a kuacutepot elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot kapunk Az alap-
lap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuza-
mos Ha a sokszoumlg minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott egyenessel hasaacuteb-
feluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy kelet-
kező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk a hasaacutebot ha az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a
fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a
sokszoumlg minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal guacutelafeluumlletet kapunk A
keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecs-
pontnak a taacutevolsaacutega
6 modul TEacuteRELEMEK 17
A haacuteromszoumlg alapuacute guacutela (tetraeacuteder) baacutermely lapja lehet alaplap Ezt a feladatok megoldaacute-
sakor figyelembe kell venni elkeacutepzelhető hogy a testet elforgatva koumlnnyebb a megoldaacutes
Peacuteldaacuteul a kocka sarkaacutet levaacutegva olyan guacutelaacutet kapunk amelyet elforgatva a dereacutekszoumlgű haacuterom-
szoumlget is vaacutelaszthatjuk alaplapnak (iacutegy egyszerűbbeacute vaacutelik az alapteruumllet eacutes a testmagassaacuteg
szaacutemiacutetaacutesa)
Ha a guacutelaacutet elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet kapunk
Szabaacutelyos guacutelaacutenak az alaplapja szabaacutelyos sokszoumlg az oldallapok pedig egybevaacutegoacute egyenlő-
szaacuteruacute haacuteromszoumlgek
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza A konkaacutev testek a nem konvexek azaz a testnek
van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő szakaszt a test nem tartalmazza teljes egeacute-
szeacuteben
Azokat a testeket melyeknek minden lapja egybevaacutegoacute izoeacutedernek nevezzuumlk
Szabaacutelyos testeknek nevezzuumlk azokat a konvex polieacutedereket amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes
lapszoumlgei is egyenlők (ezekkel a hajlaacutesszoumlgekkel a keacutesőbbiekben foglalkozunk) Bizonyiacutethatoacute
(maacuter Euklidesz is megtette Elemek ciacutemű koumlnyveacuteben kb Kre 300-ban) hogy oumlsszesen csak
oumlt szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder Nevuumlket
oldallapjaik szaacutemaacuteroacutel kaptaacutek A szabaacutelyos testeket platonikus testeknek is nevezzuumlk
18 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A szabaacutelyos testek adatai
Lapok Csuacutecsok szaacutema
Eacutelek szaacutema
Hataacuteroloacute lap eacuteleinek szaacutema
Szabaacutelyos tetraeacuteder 4 4 6 3 Hexaeacuteder (Kocka) 6 8 12 4 Oktaeacuteder 8 6 12 3 Dodekaeacuteder 12 20 30 5 Ikozaeacuteder 20 12 30 3
A testeket eacutelvaacutezukkal is aacutebraacutezolhatjuk Ebben az esetben jobban laacutethatoacute hogy milyen siacutek-
idomok hataacuteroljaacutek a testet haacuteny eacutele van a testnek eacutes haacuteny eacutel fut oumlssze az egyes csuacutecsokban
Az eacutelvaacutez alapjaacuten koumlnnyebb megszerkeszteni a testek haacuteloacutejaacutet is
Moacutedszertani megjegyzeacutes A Polydron eacutepiacutetővel mindegyik szabaacutelyos test megeacutepiacutethető A fenti testeket elemző taacuteblaacutezatot a tanuloacutek is előaacutelliacutethatjaacutek csoportmunkaacuteban A testek tulajdonsaacutegait szemleacuteltethetjuumlk azokkal az eszkoumlzoumlkkel is amelyek a modulvaacutezlat-ban szerepelnek Polieacutederrel kapcsolatos fogalmak reacuteszletes meghataacuterozaacutesai talaacutelhatoacutek az alaacutebbi honlapon httpwwwsulinethumatekszilassi_01szil_poli_1alapfogalmakhtm Feladhatoacute hogy a tanuloacutek keacutesziacutetseacutek el vagy keresseacutek az interneten a szabaacutelyos testek haacuteloacutejaacutet Tovaacutebbi kutataacutesi teacutemaacutek lehetnek (kitekinteacutes a koumlzeacutepiskolai anyagboacutel) polieacutederek duaacutelisai archimeacutedeszi polieacutederek focilabda jellemzeacutese (lapok eacutelek csuacutecsok szaacutema hataacuteroloacute siacutekidom-ok) prizmaacutek Ezekből aacutelliacutetottuk oumlssze a koumlvetkező csak a tanaacuteri modulban szereplő anyagot Egy polieacuteder duaacutelisaacutet megkapjuk ha lapjait egy csuacuteccsal csuacutecsait pedig egy lappal felcsereacutel-juumlk Szabaacutelyos sokszoumlgekből aacutelloacute testek eseteacuten a lapokat szimmetria-koumlzeacuteppontjukkal csereacutel-juumlk fel Peacuteldaacuteul a szabaacutelyos tetraeacuteder duaacutelisa is szabaacutelyos tetraeacuteder a kockaacuteeacute oktaeacuteder az ok-taeacutedereacute kocka az ikozaeacutedereacute dodekaeacuteder a dodekaeacutedereacute ikozaeacuteder Peacuteldaacuteul a Szilassi-polieacuteder a Csaacuteszaacuter-feacutele polieacuteder duaacutelisa Honlap amelyen a Csaacuteszaacuter polieacuteder megtalaacutelhatoacute httpwwwmoricz-kujszsulinethuMORICZEvkonyvEredmenyVarga_GVarga_Ghtm eacutes httpmathworldwolframcomCsaszarPolyhedronhtml (angol)
6 modul TEacuteRELEMEK 19
Laacutesd meacuteg Szilassi Lajos Duaacutelis polieacutederek (httpmatservpmmfhucseripublicszilassiszilassihtm) Archimeacutedeacuteszi testek Olyan polieacutederek melyek oldallapjai szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes minden csuacutecsban ugyanannyi eacutes ugyanolyan sokszoumlg talaacutelkozik ugyanolyan moacutedon Az archimeacutedeszi testek a szabaacutelyos polieacutederek csonkolaacutesaacuteval keletkeznek a szabaacutelyos polieacute-der csuacutecsainaacutel guacutelaacutet vaacutegunk le oly moacutedon hogy a vaacutegaacutes helyeacuten szabaacutelyos sokszoumlglap marad-jon eacutes a keletkező polieacuteder minden eacutele egyforma hosszuacutesaacuteguacute minden testszoumlglete egybevaacutegoacute legyen Peacuteldaacuteul az oktaeacuteder eacuteleinek felezőpontjai eacutes a kocka eacuteleinek felezőpontjai hasonloacute feacutelig szabaacutelyos testeket alkotnak Maacutes megfogalmazaacutesban az archimeacutedeszi testek jellemzői hogy bull konvexek bull lapjaik szabaacutelyos sokszoumlgek bull testszoumlgleteik egybevaacutegoacuteak (Ez szemleacuteletesen azt jelenti hogy ha a testből baacutermely csuacutecsaacute-naacutel levaacutegunk egy kis guacutelaacutet akkor ez a suumlveg baacutermely maacutes csuacutecsaacutera is raacuteilleszthető Ez azt is jelenti hogy minden csuacutecsnaacutel a testfeluumlletet alkotoacute szabaacutelyos sokszoumlgfajtaacuteboacutel (szoumlguumlk egyeacuter-telműen jellemzi őket) ugyanannyi van eacutes azonos sorrendben Peacuteldaacutek a kocka eacutelfelező pontjai az oktaeacuteder eacutelfelező pontjai a focilabda A koumlvetkező keacutet aacutebraacuten kocka csonkiacutetaacutesaacuteval nyert archimeacutedeszi testeket laacutethatunk
A focilabda a szabaacutelyos ikozaeacuteder megfelelő csonkiacutetaacutesaacuteval kaphatoacute (20 szabaacutelyos 6-szoumlg 12 szabaacutelyos 5-szoumlg 90 eacutel az oumltszoumlgek nem keruumllhetnek egymaacutes melleacute)
Testek a goumlmbi siacutekon (kiegeacutesziacutető anyag)
Nemcsak a siacuteklapon de maacutes feluumlleteken is aacutebraacutezolhatunk testeket haacuteloacutekat alakzatokat Koumlny-
nyűzenei eacutes maacutes rendezveacutenyeken planetaacuteriumokban gyakran vetiacutetik kuumlloumlnfeacutele teacuterbeli taacutergyak
vagy haacuteloacutezatok keacutepeacutet goumlrbuumllt feluumlletekre peacuteldaacuteul henger- vagy goumlmbfeluumlletre
Kuumlloumlnoumlsen eacuterdekesek a szabaacutelyos eacutes feacutelig szabaacutelyos testek goumlmbi aacutebraacutei Keacutepzeljuumlnk el egy
szabaacutelyos (platoni) vagy feacutelig szabaacutelyos (archimeacutedeszi) testet amely koumlreacute a csuacutecsain aacutetmenő
goumlmboumlt szerkesztuumlnk A goumlmbfeluumlleten megjelenő csuacutecspontokat nem teacuterbeli egyenes szaka-
20 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
szokkal koumltjuumlk oumlssze (iacutegy az eredeti testek kapnaacutenk vissza) hanem goumlmbfeluumlleti bdquoegyenesrdquo
darabokkal vagyis főkoumlriacutevekkel Ilyen moacutedon a test goumlmbi haacuteloacutejaacutet kapjuk Coxeter (ejtsd
kaacutekszeacutetoumlr) hiacuteres kivaacuteloacute kanadai matematikus ezeket a goumlmbi haacuteloacutekat bdquofelfuacutejt testeknekrdquo ne-
vezte
Proacutebaacuteljunk ilyeneket a goumlmboumln megszerkeszteni
2 Rajzoljunk haacuterom paacuteronkeacutent merőleges főkoumlrt Melyik szabaacutelyos test goumlmbi haacuteloacutejaacutet
kapjuk
Megoldaacutes Oktaeacuteder
3 Szerkesszuumlk meg a goumlmbi bdquofelfuacutejtrdquo oktaeacuteder haacuteromszoumlgeinek szimmetria-koumlzeacuteppontja-
it Az egymaacuteshoz legkoumlzelebb esőket koumlssuumlk oumlssze főkoumlriacutevvel maacutes sziacutenű tollal Haacuteny
legkoumlzelebbi szomszeacutedot talaacutelunk Milyen szabaacutelyos testet kapunk
Megoldaacutes Haacutermat hexaeacutedert (kockaacutet)
4 Hogyan lehet a felfuacutejt kockaacuteboacutel a felfuacutejt tetraeacutedert megszerkeszteni
Megoldaacutes
Kivaacutelasztjuk a goumlmbi kocka keacutet egymaacutessal szembeni lapjaacutet Az egyiken kijeloumlljuumlk a lap
egyik aacutetloacutejaacutenak veacutegeacuten leacutevő keacutet csuacutecspontot Ezutaacuten a maacutesik lapon kivaacutelasztjuk az bdquoel-
lenkezőrdquoiraacutenyuacute aacutetloacutet (vagyis megfelelő beaacutelliacutetaacutesban feluumllneacutezetben a keacutet egymaacutessal
szembeni oldal lapaacutetloacuteja X alakot ad) eacutes megjeloumlljuumlk ennek is a veacutegpontjait A neacutegy
veacutegpont meghataacuterozza a felfuacutejt goumlmbi tetraeacuteder csuacutecsait
Moacutedszertani megjegyzeacutes Ha a gyerekeket eacuterdekli akkor az eddigiekből maacuter elkeacutesziacutethető a dodekaeacuteder eacutes az ikozaeacuteder goumlmbi haacuteloacuteja is Rajzoljunk a goumlmbi kocka egy oldalhosszaacuteval szabaacutelyos goumlmbhaacuteromszoumlget eacutes csuacutecsait koumlssuumlk oumlssze a szabaacutelyos haacuteromszoumlg szimmetria-koumlzeacuteppontjaacuteval Az iacutegy kapott haacuterom egymaacutessal paacuteronkeacutent 120 fokos szoumlget bezaacuteroacute goumlmbi szakasz eacuteppen a goumlmbi dodekaeacute-der haacuterom oldalaacutet adja amit maacuter koumlnnyen kiegeacutesziacutethetuumlnk szabaacutelyos goumlmbi oumltszoumlggeacute Ennek az oumltszoumlgnek minden szoumlge 120 fokos Ebből tizenkettő eacuteppen lefedi az egeacutesz goumlmboumlt Az oumltszoumlgek koumlzeacuteppontjait megrajzolva eacutes a szomszeacutedos koumlzeacuteppontokat oumlsszekoumltve pedig a duaacute-lis goumlmbi ikozaeacutedert kapjuk Nagyon szeacutep feladat az archimeacutedeszit testek (peacuteldaacuteul a focilabda) goumlmbi haacuteloacutejaacutenak megszer-keszteacutese Ezekből a goumlmbi aacutebraacutekroacutel nagyon sok az eredeti polieacutedert jellemző tulajdonsaacuteg igen szemleacuteletesen bemutathatoacute ndash lapok csuacutecsok eacutelek egymaacutessal szomszeacutedos sokszoumlgek stb
6 modul TEacuteRELEMEK 21
A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)
Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol
Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők
1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege
egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet
Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute
lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma
bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)
Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene
A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)
A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
A goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA =
A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π
A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg
A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
16 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
palaacutestnak (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe aacuteltal
meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak Az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
adja a testmagassaacutegot
Ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet
tartalmazza akkor egyenlőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a
kuacutep alkotoacutei) Maacuteskeacutent az egyenes koumlrkuacutep tengelymetszete egyenlőszaacuteruacute
haacuteromszoumlg A szaacuterak aacuteltal bezaacutert szoumlget (φ) a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek ne-
vezzuumlk
Ha a kuacutepot elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot kapunk Az alap-
lap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuza-
mos Ha a sokszoumlg minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott egyenessel hasaacuteb-
feluumlletet kapunk Ezt elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy kelet-
kező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk a hasaacutebot ha az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt palaacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a
fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a
sokszoumlg minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal guacutelafeluumlletet kapunk A
keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap siacutekjaacutenak eacutes a csuacutecs-
pontnak a taacutevolsaacutega
6 modul TEacuteRELEMEK 17
A haacuteromszoumlg alapuacute guacutela (tetraeacuteder) baacutermely lapja lehet alaplap Ezt a feladatok megoldaacute-
sakor figyelembe kell venni elkeacutepzelhető hogy a testet elforgatva koumlnnyebb a megoldaacutes
Peacuteldaacuteul a kocka sarkaacutet levaacutegva olyan guacutelaacutet kapunk amelyet elforgatva a dereacutekszoumlgű haacuterom-
szoumlget is vaacutelaszthatjuk alaplapnak (iacutegy egyszerűbbeacute vaacutelik az alapteruumllet eacutes a testmagassaacuteg
szaacutemiacutetaacutesa)
Ha a guacutelaacutet elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet kapunk
Szabaacutelyos guacutelaacutenak az alaplapja szabaacutelyos sokszoumlg az oldallapok pedig egybevaacutegoacute egyenlő-
szaacuteruacute haacuteromszoumlgek
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza A konkaacutev testek a nem konvexek azaz a testnek
van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő szakaszt a test nem tartalmazza teljes egeacute-
szeacuteben
Azokat a testeket melyeknek minden lapja egybevaacutegoacute izoeacutedernek nevezzuumlk
Szabaacutelyos testeknek nevezzuumlk azokat a konvex polieacutedereket amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes
lapszoumlgei is egyenlők (ezekkel a hajlaacutesszoumlgekkel a keacutesőbbiekben foglalkozunk) Bizonyiacutethatoacute
(maacuter Euklidesz is megtette Elemek ciacutemű koumlnyveacuteben kb Kre 300-ban) hogy oumlsszesen csak
oumlt szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder Nevuumlket
oldallapjaik szaacutemaacuteroacutel kaptaacutek A szabaacutelyos testeket platonikus testeknek is nevezzuumlk
18 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A szabaacutelyos testek adatai
Lapok Csuacutecsok szaacutema
Eacutelek szaacutema
Hataacuteroloacute lap eacuteleinek szaacutema
Szabaacutelyos tetraeacuteder 4 4 6 3 Hexaeacuteder (Kocka) 6 8 12 4 Oktaeacuteder 8 6 12 3 Dodekaeacuteder 12 20 30 5 Ikozaeacuteder 20 12 30 3
A testeket eacutelvaacutezukkal is aacutebraacutezolhatjuk Ebben az esetben jobban laacutethatoacute hogy milyen siacutek-
idomok hataacuteroljaacutek a testet haacuteny eacutele van a testnek eacutes haacuteny eacutel fut oumlssze az egyes csuacutecsokban
Az eacutelvaacutez alapjaacuten koumlnnyebb megszerkeszteni a testek haacuteloacutejaacutet is
Moacutedszertani megjegyzeacutes A Polydron eacutepiacutetővel mindegyik szabaacutelyos test megeacutepiacutethető A fenti testeket elemző taacuteblaacutezatot a tanuloacutek is előaacutelliacutethatjaacutek csoportmunkaacuteban A testek tulajdonsaacutegait szemleacuteltethetjuumlk azokkal az eszkoumlzoumlkkel is amelyek a modulvaacutezlat-ban szerepelnek Polieacutederrel kapcsolatos fogalmak reacuteszletes meghataacuterozaacutesai talaacutelhatoacutek az alaacutebbi honlapon httpwwwsulinethumatekszilassi_01szil_poli_1alapfogalmakhtm Feladhatoacute hogy a tanuloacutek keacutesziacutetseacutek el vagy keresseacutek az interneten a szabaacutelyos testek haacuteloacutejaacutet Tovaacutebbi kutataacutesi teacutemaacutek lehetnek (kitekinteacutes a koumlzeacutepiskolai anyagboacutel) polieacutederek duaacutelisai archimeacutedeszi polieacutederek focilabda jellemzeacutese (lapok eacutelek csuacutecsok szaacutema hataacuteroloacute siacutekidom-ok) prizmaacutek Ezekből aacutelliacutetottuk oumlssze a koumlvetkező csak a tanaacuteri modulban szereplő anyagot Egy polieacuteder duaacutelisaacutet megkapjuk ha lapjait egy csuacuteccsal csuacutecsait pedig egy lappal felcsereacutel-juumlk Szabaacutelyos sokszoumlgekből aacutelloacute testek eseteacuten a lapokat szimmetria-koumlzeacuteppontjukkal csereacutel-juumlk fel Peacuteldaacuteul a szabaacutelyos tetraeacuteder duaacutelisa is szabaacutelyos tetraeacuteder a kockaacuteeacute oktaeacuteder az ok-taeacutedereacute kocka az ikozaeacutedereacute dodekaeacuteder a dodekaeacutedereacute ikozaeacuteder Peacuteldaacuteul a Szilassi-polieacuteder a Csaacuteszaacuter-feacutele polieacuteder duaacutelisa Honlap amelyen a Csaacuteszaacuter polieacuteder megtalaacutelhatoacute httpwwwmoricz-kujszsulinethuMORICZEvkonyvEredmenyVarga_GVarga_Ghtm eacutes httpmathworldwolframcomCsaszarPolyhedronhtml (angol)
6 modul TEacuteRELEMEK 19
Laacutesd meacuteg Szilassi Lajos Duaacutelis polieacutederek (httpmatservpmmfhucseripublicszilassiszilassihtm) Archimeacutedeacuteszi testek Olyan polieacutederek melyek oldallapjai szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes minden csuacutecsban ugyanannyi eacutes ugyanolyan sokszoumlg talaacutelkozik ugyanolyan moacutedon Az archimeacutedeszi testek a szabaacutelyos polieacutederek csonkolaacutesaacuteval keletkeznek a szabaacutelyos polieacute-der csuacutecsainaacutel guacutelaacutet vaacutegunk le oly moacutedon hogy a vaacutegaacutes helyeacuten szabaacutelyos sokszoumlglap marad-jon eacutes a keletkező polieacuteder minden eacutele egyforma hosszuacutesaacuteguacute minden testszoumlglete egybevaacutegoacute legyen Peacuteldaacuteul az oktaeacuteder eacuteleinek felezőpontjai eacutes a kocka eacuteleinek felezőpontjai hasonloacute feacutelig szabaacutelyos testeket alkotnak Maacutes megfogalmazaacutesban az archimeacutedeszi testek jellemzői hogy bull konvexek bull lapjaik szabaacutelyos sokszoumlgek bull testszoumlgleteik egybevaacutegoacuteak (Ez szemleacuteletesen azt jelenti hogy ha a testből baacutermely csuacutecsaacute-naacutel levaacutegunk egy kis guacutelaacutet akkor ez a suumlveg baacutermely maacutes csuacutecsaacutera is raacuteilleszthető Ez azt is jelenti hogy minden csuacutecsnaacutel a testfeluumlletet alkotoacute szabaacutelyos sokszoumlgfajtaacuteboacutel (szoumlguumlk egyeacuter-telműen jellemzi őket) ugyanannyi van eacutes azonos sorrendben Peacuteldaacutek a kocka eacutelfelező pontjai az oktaeacuteder eacutelfelező pontjai a focilabda A koumlvetkező keacutet aacutebraacuten kocka csonkiacutetaacutesaacuteval nyert archimeacutedeszi testeket laacutethatunk
A focilabda a szabaacutelyos ikozaeacuteder megfelelő csonkiacutetaacutesaacuteval kaphatoacute (20 szabaacutelyos 6-szoumlg 12 szabaacutelyos 5-szoumlg 90 eacutel az oumltszoumlgek nem keruumllhetnek egymaacutes melleacute)
Testek a goumlmbi siacutekon (kiegeacutesziacutető anyag)
Nemcsak a siacuteklapon de maacutes feluumlleteken is aacutebraacutezolhatunk testeket haacuteloacutekat alakzatokat Koumlny-
nyűzenei eacutes maacutes rendezveacutenyeken planetaacuteriumokban gyakran vetiacutetik kuumlloumlnfeacutele teacuterbeli taacutergyak
vagy haacuteloacutezatok keacutepeacutet goumlrbuumllt feluumlletekre peacuteldaacuteul henger- vagy goumlmbfeluumlletre
Kuumlloumlnoumlsen eacuterdekesek a szabaacutelyos eacutes feacutelig szabaacutelyos testek goumlmbi aacutebraacutei Keacutepzeljuumlnk el egy
szabaacutelyos (platoni) vagy feacutelig szabaacutelyos (archimeacutedeszi) testet amely koumlreacute a csuacutecsain aacutetmenő
goumlmboumlt szerkesztuumlnk A goumlmbfeluumlleten megjelenő csuacutecspontokat nem teacuterbeli egyenes szaka-
20 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
szokkal koumltjuumlk oumlssze (iacutegy az eredeti testek kapnaacutenk vissza) hanem goumlmbfeluumlleti bdquoegyenesrdquo
darabokkal vagyis főkoumlriacutevekkel Ilyen moacutedon a test goumlmbi haacuteloacutejaacutet kapjuk Coxeter (ejtsd
kaacutekszeacutetoumlr) hiacuteres kivaacuteloacute kanadai matematikus ezeket a goumlmbi haacuteloacutekat bdquofelfuacutejt testeknekrdquo ne-
vezte
Proacutebaacuteljunk ilyeneket a goumlmboumln megszerkeszteni
2 Rajzoljunk haacuterom paacuteronkeacutent merőleges főkoumlrt Melyik szabaacutelyos test goumlmbi haacuteloacutejaacutet
kapjuk
Megoldaacutes Oktaeacuteder
3 Szerkesszuumlk meg a goumlmbi bdquofelfuacutejtrdquo oktaeacuteder haacuteromszoumlgeinek szimmetria-koumlzeacuteppontja-
it Az egymaacuteshoz legkoumlzelebb esőket koumlssuumlk oumlssze főkoumlriacutevvel maacutes sziacutenű tollal Haacuteny
legkoumlzelebbi szomszeacutedot talaacutelunk Milyen szabaacutelyos testet kapunk
Megoldaacutes Haacutermat hexaeacutedert (kockaacutet)
4 Hogyan lehet a felfuacutejt kockaacuteboacutel a felfuacutejt tetraeacutedert megszerkeszteni
Megoldaacutes
Kivaacutelasztjuk a goumlmbi kocka keacutet egymaacutessal szembeni lapjaacutet Az egyiken kijeloumlljuumlk a lap
egyik aacutetloacutejaacutenak veacutegeacuten leacutevő keacutet csuacutecspontot Ezutaacuten a maacutesik lapon kivaacutelasztjuk az bdquoel-
lenkezőrdquoiraacutenyuacute aacutetloacutet (vagyis megfelelő beaacutelliacutetaacutesban feluumllneacutezetben a keacutet egymaacutessal
szembeni oldal lapaacutetloacuteja X alakot ad) eacutes megjeloumlljuumlk ennek is a veacutegpontjait A neacutegy
veacutegpont meghataacuterozza a felfuacutejt goumlmbi tetraeacuteder csuacutecsait
Moacutedszertani megjegyzeacutes Ha a gyerekeket eacuterdekli akkor az eddigiekből maacuter elkeacutesziacutethető a dodekaeacuteder eacutes az ikozaeacuteder goumlmbi haacuteloacuteja is Rajzoljunk a goumlmbi kocka egy oldalhosszaacuteval szabaacutelyos goumlmbhaacuteromszoumlget eacutes csuacutecsait koumlssuumlk oumlssze a szabaacutelyos haacuteromszoumlg szimmetria-koumlzeacuteppontjaacuteval Az iacutegy kapott haacuterom egymaacutessal paacuteronkeacutent 120 fokos szoumlget bezaacuteroacute goumlmbi szakasz eacuteppen a goumlmbi dodekaeacute-der haacuterom oldalaacutet adja amit maacuter koumlnnyen kiegeacutesziacutethetuumlnk szabaacutelyos goumlmbi oumltszoumlggeacute Ennek az oumltszoumlgnek minden szoumlge 120 fokos Ebből tizenkettő eacuteppen lefedi az egeacutesz goumlmboumlt Az oumltszoumlgek koumlzeacuteppontjait megrajzolva eacutes a szomszeacutedos koumlzeacuteppontokat oumlsszekoumltve pedig a duaacute-lis goumlmbi ikozaeacutedert kapjuk Nagyon szeacutep feladat az archimeacutedeszit testek (peacuteldaacuteul a focilabda) goumlmbi haacuteloacutejaacutenak megszer-keszteacutese Ezekből a goumlmbi aacutebraacutekroacutel nagyon sok az eredeti polieacutedert jellemző tulajdonsaacuteg igen szemleacuteletesen bemutathatoacute ndash lapok csuacutecsok eacutelek egymaacutessal szomszeacutedos sokszoumlgek stb
6 modul TEacuteRELEMEK 21
A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)
Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol
Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők
1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege
egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet
Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute
lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma
bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)
Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene
A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)
A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
A goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA =
A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π
A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg
A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 17
A haacuteromszoumlg alapuacute guacutela (tetraeacuteder) baacutermely lapja lehet alaplap Ezt a feladatok megoldaacute-
sakor figyelembe kell venni elkeacutepzelhető hogy a testet elforgatva koumlnnyebb a megoldaacutes
Peacuteldaacuteul a kocka sarkaacutet levaacutegva olyan guacutelaacutet kapunk amelyet elforgatva a dereacutekszoumlgű haacuterom-
szoumlget is vaacutelaszthatjuk alaplapnak (iacutegy egyszerűbbeacute vaacutelik az alapteruumllet eacutes a testmagassaacuteg
szaacutemiacutetaacutesa)
Ha a guacutelaacutet elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet kapunk
Szabaacutelyos guacutelaacutenak az alaplapja szabaacutelyos sokszoumlg az oldallapok pedig egybevaacutegoacute egyenlő-
szaacuteruacute haacuteromszoumlgek
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza A konkaacutev testek a nem konvexek azaz a testnek
van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő szakaszt a test nem tartalmazza teljes egeacute-
szeacuteben
Azokat a testeket melyeknek minden lapja egybevaacutegoacute izoeacutedernek nevezzuumlk
Szabaacutelyos testeknek nevezzuumlk azokat a konvex polieacutedereket amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes
lapszoumlgei is egyenlők (ezekkel a hajlaacutesszoumlgekkel a keacutesőbbiekben foglalkozunk) Bizonyiacutethatoacute
(maacuter Euklidesz is megtette Elemek ciacutemű koumlnyveacuteben kb Kre 300-ban) hogy oumlsszesen csak
oumlt szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder Nevuumlket
oldallapjaik szaacutemaacuteroacutel kaptaacutek A szabaacutelyos testeket platonikus testeknek is nevezzuumlk
18 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A szabaacutelyos testek adatai
Lapok Csuacutecsok szaacutema
Eacutelek szaacutema
Hataacuteroloacute lap eacuteleinek szaacutema
Szabaacutelyos tetraeacuteder 4 4 6 3 Hexaeacuteder (Kocka) 6 8 12 4 Oktaeacuteder 8 6 12 3 Dodekaeacuteder 12 20 30 5 Ikozaeacuteder 20 12 30 3
A testeket eacutelvaacutezukkal is aacutebraacutezolhatjuk Ebben az esetben jobban laacutethatoacute hogy milyen siacutek-
idomok hataacuteroljaacutek a testet haacuteny eacutele van a testnek eacutes haacuteny eacutel fut oumlssze az egyes csuacutecsokban
Az eacutelvaacutez alapjaacuten koumlnnyebb megszerkeszteni a testek haacuteloacutejaacutet is
Moacutedszertani megjegyzeacutes A Polydron eacutepiacutetővel mindegyik szabaacutelyos test megeacutepiacutethető A fenti testeket elemző taacuteblaacutezatot a tanuloacutek is előaacutelliacutethatjaacutek csoportmunkaacuteban A testek tulajdonsaacutegait szemleacuteltethetjuumlk azokkal az eszkoumlzoumlkkel is amelyek a modulvaacutezlat-ban szerepelnek Polieacutederrel kapcsolatos fogalmak reacuteszletes meghataacuterozaacutesai talaacutelhatoacutek az alaacutebbi honlapon httpwwwsulinethumatekszilassi_01szil_poli_1alapfogalmakhtm Feladhatoacute hogy a tanuloacutek keacutesziacutetseacutek el vagy keresseacutek az interneten a szabaacutelyos testek haacuteloacutejaacutet Tovaacutebbi kutataacutesi teacutemaacutek lehetnek (kitekinteacutes a koumlzeacutepiskolai anyagboacutel) polieacutederek duaacutelisai archimeacutedeszi polieacutederek focilabda jellemzeacutese (lapok eacutelek csuacutecsok szaacutema hataacuteroloacute siacutekidom-ok) prizmaacutek Ezekből aacutelliacutetottuk oumlssze a koumlvetkező csak a tanaacuteri modulban szereplő anyagot Egy polieacuteder duaacutelisaacutet megkapjuk ha lapjait egy csuacuteccsal csuacutecsait pedig egy lappal felcsereacutel-juumlk Szabaacutelyos sokszoumlgekből aacutelloacute testek eseteacuten a lapokat szimmetria-koumlzeacuteppontjukkal csereacutel-juumlk fel Peacuteldaacuteul a szabaacutelyos tetraeacuteder duaacutelisa is szabaacutelyos tetraeacuteder a kockaacuteeacute oktaeacuteder az ok-taeacutedereacute kocka az ikozaeacutedereacute dodekaeacuteder a dodekaeacutedereacute ikozaeacuteder Peacuteldaacuteul a Szilassi-polieacuteder a Csaacuteszaacuter-feacutele polieacuteder duaacutelisa Honlap amelyen a Csaacuteszaacuter polieacuteder megtalaacutelhatoacute httpwwwmoricz-kujszsulinethuMORICZEvkonyvEredmenyVarga_GVarga_Ghtm eacutes httpmathworldwolframcomCsaszarPolyhedronhtml (angol)
6 modul TEacuteRELEMEK 19
Laacutesd meacuteg Szilassi Lajos Duaacutelis polieacutederek (httpmatservpmmfhucseripublicszilassiszilassihtm) Archimeacutedeacuteszi testek Olyan polieacutederek melyek oldallapjai szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes minden csuacutecsban ugyanannyi eacutes ugyanolyan sokszoumlg talaacutelkozik ugyanolyan moacutedon Az archimeacutedeszi testek a szabaacutelyos polieacutederek csonkolaacutesaacuteval keletkeznek a szabaacutelyos polieacute-der csuacutecsainaacutel guacutelaacutet vaacutegunk le oly moacutedon hogy a vaacutegaacutes helyeacuten szabaacutelyos sokszoumlglap marad-jon eacutes a keletkező polieacuteder minden eacutele egyforma hosszuacutesaacuteguacute minden testszoumlglete egybevaacutegoacute legyen Peacuteldaacuteul az oktaeacuteder eacuteleinek felezőpontjai eacutes a kocka eacuteleinek felezőpontjai hasonloacute feacutelig szabaacutelyos testeket alkotnak Maacutes megfogalmazaacutesban az archimeacutedeszi testek jellemzői hogy bull konvexek bull lapjaik szabaacutelyos sokszoumlgek bull testszoumlgleteik egybevaacutegoacuteak (Ez szemleacuteletesen azt jelenti hogy ha a testből baacutermely csuacutecsaacute-naacutel levaacutegunk egy kis guacutelaacutet akkor ez a suumlveg baacutermely maacutes csuacutecsaacutera is raacuteilleszthető Ez azt is jelenti hogy minden csuacutecsnaacutel a testfeluumlletet alkotoacute szabaacutelyos sokszoumlgfajtaacuteboacutel (szoumlguumlk egyeacuter-telműen jellemzi őket) ugyanannyi van eacutes azonos sorrendben Peacuteldaacutek a kocka eacutelfelező pontjai az oktaeacuteder eacutelfelező pontjai a focilabda A koumlvetkező keacutet aacutebraacuten kocka csonkiacutetaacutesaacuteval nyert archimeacutedeszi testeket laacutethatunk
A focilabda a szabaacutelyos ikozaeacuteder megfelelő csonkiacutetaacutesaacuteval kaphatoacute (20 szabaacutelyos 6-szoumlg 12 szabaacutelyos 5-szoumlg 90 eacutel az oumltszoumlgek nem keruumllhetnek egymaacutes melleacute)
Testek a goumlmbi siacutekon (kiegeacutesziacutető anyag)
Nemcsak a siacuteklapon de maacutes feluumlleteken is aacutebraacutezolhatunk testeket haacuteloacutekat alakzatokat Koumlny-
nyűzenei eacutes maacutes rendezveacutenyeken planetaacuteriumokban gyakran vetiacutetik kuumlloumlnfeacutele teacuterbeli taacutergyak
vagy haacuteloacutezatok keacutepeacutet goumlrbuumllt feluumlletekre peacuteldaacuteul henger- vagy goumlmbfeluumlletre
Kuumlloumlnoumlsen eacuterdekesek a szabaacutelyos eacutes feacutelig szabaacutelyos testek goumlmbi aacutebraacutei Keacutepzeljuumlnk el egy
szabaacutelyos (platoni) vagy feacutelig szabaacutelyos (archimeacutedeszi) testet amely koumlreacute a csuacutecsain aacutetmenő
goumlmboumlt szerkesztuumlnk A goumlmbfeluumlleten megjelenő csuacutecspontokat nem teacuterbeli egyenes szaka-
20 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
szokkal koumltjuumlk oumlssze (iacutegy az eredeti testek kapnaacutenk vissza) hanem goumlmbfeluumlleti bdquoegyenesrdquo
darabokkal vagyis főkoumlriacutevekkel Ilyen moacutedon a test goumlmbi haacuteloacutejaacutet kapjuk Coxeter (ejtsd
kaacutekszeacutetoumlr) hiacuteres kivaacuteloacute kanadai matematikus ezeket a goumlmbi haacuteloacutekat bdquofelfuacutejt testeknekrdquo ne-
vezte
Proacutebaacuteljunk ilyeneket a goumlmboumln megszerkeszteni
2 Rajzoljunk haacuterom paacuteronkeacutent merőleges főkoumlrt Melyik szabaacutelyos test goumlmbi haacuteloacutejaacutet
kapjuk
Megoldaacutes Oktaeacuteder
3 Szerkesszuumlk meg a goumlmbi bdquofelfuacutejtrdquo oktaeacuteder haacuteromszoumlgeinek szimmetria-koumlzeacuteppontja-
it Az egymaacuteshoz legkoumlzelebb esőket koumlssuumlk oumlssze főkoumlriacutevvel maacutes sziacutenű tollal Haacuteny
legkoumlzelebbi szomszeacutedot talaacutelunk Milyen szabaacutelyos testet kapunk
Megoldaacutes Haacutermat hexaeacutedert (kockaacutet)
4 Hogyan lehet a felfuacutejt kockaacuteboacutel a felfuacutejt tetraeacutedert megszerkeszteni
Megoldaacutes
Kivaacutelasztjuk a goumlmbi kocka keacutet egymaacutessal szembeni lapjaacutet Az egyiken kijeloumlljuumlk a lap
egyik aacutetloacutejaacutenak veacutegeacuten leacutevő keacutet csuacutecspontot Ezutaacuten a maacutesik lapon kivaacutelasztjuk az bdquoel-
lenkezőrdquoiraacutenyuacute aacutetloacutet (vagyis megfelelő beaacutelliacutetaacutesban feluumllneacutezetben a keacutet egymaacutessal
szembeni oldal lapaacutetloacuteja X alakot ad) eacutes megjeloumlljuumlk ennek is a veacutegpontjait A neacutegy
veacutegpont meghataacuterozza a felfuacutejt goumlmbi tetraeacuteder csuacutecsait
Moacutedszertani megjegyzeacutes Ha a gyerekeket eacuterdekli akkor az eddigiekből maacuter elkeacutesziacutethető a dodekaeacuteder eacutes az ikozaeacuteder goumlmbi haacuteloacuteja is Rajzoljunk a goumlmbi kocka egy oldalhosszaacuteval szabaacutelyos goumlmbhaacuteromszoumlget eacutes csuacutecsait koumlssuumlk oumlssze a szabaacutelyos haacuteromszoumlg szimmetria-koumlzeacuteppontjaacuteval Az iacutegy kapott haacuterom egymaacutessal paacuteronkeacutent 120 fokos szoumlget bezaacuteroacute goumlmbi szakasz eacuteppen a goumlmbi dodekaeacute-der haacuterom oldalaacutet adja amit maacuter koumlnnyen kiegeacutesziacutethetuumlnk szabaacutelyos goumlmbi oumltszoumlggeacute Ennek az oumltszoumlgnek minden szoumlge 120 fokos Ebből tizenkettő eacuteppen lefedi az egeacutesz goumlmboumlt Az oumltszoumlgek koumlzeacuteppontjait megrajzolva eacutes a szomszeacutedos koumlzeacuteppontokat oumlsszekoumltve pedig a duaacute-lis goumlmbi ikozaeacutedert kapjuk Nagyon szeacutep feladat az archimeacutedeszit testek (peacuteldaacuteul a focilabda) goumlmbi haacuteloacutejaacutenak megszer-keszteacutese Ezekből a goumlmbi aacutebraacutekroacutel nagyon sok az eredeti polieacutedert jellemző tulajdonsaacuteg igen szemleacuteletesen bemutathatoacute ndash lapok csuacutecsok eacutelek egymaacutessal szomszeacutedos sokszoumlgek stb
6 modul TEacuteRELEMEK 21
A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)
Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol
Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők
1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege
egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet
Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute
lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma
bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)
Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene
A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)
A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
A goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA =
A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π
A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg
A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
18 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A szabaacutelyos testek adatai
Lapok Csuacutecsok szaacutema
Eacutelek szaacutema
Hataacuteroloacute lap eacuteleinek szaacutema
Szabaacutelyos tetraeacuteder 4 4 6 3 Hexaeacuteder (Kocka) 6 8 12 4 Oktaeacuteder 8 6 12 3 Dodekaeacuteder 12 20 30 5 Ikozaeacuteder 20 12 30 3
A testeket eacutelvaacutezukkal is aacutebraacutezolhatjuk Ebben az esetben jobban laacutethatoacute hogy milyen siacutek-
idomok hataacuteroljaacutek a testet haacuteny eacutele van a testnek eacutes haacuteny eacutel fut oumlssze az egyes csuacutecsokban
Az eacutelvaacutez alapjaacuten koumlnnyebb megszerkeszteni a testek haacuteloacutejaacutet is
Moacutedszertani megjegyzeacutes A Polydron eacutepiacutetővel mindegyik szabaacutelyos test megeacutepiacutethető A fenti testeket elemző taacuteblaacutezatot a tanuloacutek is előaacutelliacutethatjaacutek csoportmunkaacuteban A testek tulajdonsaacutegait szemleacuteltethetjuumlk azokkal az eszkoumlzoumlkkel is amelyek a modulvaacutezlat-ban szerepelnek Polieacutederrel kapcsolatos fogalmak reacuteszletes meghataacuterozaacutesai talaacutelhatoacutek az alaacutebbi honlapon httpwwwsulinethumatekszilassi_01szil_poli_1alapfogalmakhtm Feladhatoacute hogy a tanuloacutek keacutesziacutetseacutek el vagy keresseacutek az interneten a szabaacutelyos testek haacuteloacutejaacutet Tovaacutebbi kutataacutesi teacutemaacutek lehetnek (kitekinteacutes a koumlzeacutepiskolai anyagboacutel) polieacutederek duaacutelisai archimeacutedeszi polieacutederek focilabda jellemzeacutese (lapok eacutelek csuacutecsok szaacutema hataacuteroloacute siacutekidom-ok) prizmaacutek Ezekből aacutelliacutetottuk oumlssze a koumlvetkező csak a tanaacuteri modulban szereplő anyagot Egy polieacuteder duaacutelisaacutet megkapjuk ha lapjait egy csuacuteccsal csuacutecsait pedig egy lappal felcsereacutel-juumlk Szabaacutelyos sokszoumlgekből aacutelloacute testek eseteacuten a lapokat szimmetria-koumlzeacuteppontjukkal csereacutel-juumlk fel Peacuteldaacuteul a szabaacutelyos tetraeacuteder duaacutelisa is szabaacutelyos tetraeacuteder a kockaacuteeacute oktaeacuteder az ok-taeacutedereacute kocka az ikozaeacutedereacute dodekaeacuteder a dodekaeacutedereacute ikozaeacuteder Peacuteldaacuteul a Szilassi-polieacuteder a Csaacuteszaacuter-feacutele polieacuteder duaacutelisa Honlap amelyen a Csaacuteszaacuter polieacuteder megtalaacutelhatoacute httpwwwmoricz-kujszsulinethuMORICZEvkonyvEredmenyVarga_GVarga_Ghtm eacutes httpmathworldwolframcomCsaszarPolyhedronhtml (angol)
6 modul TEacuteRELEMEK 19
Laacutesd meacuteg Szilassi Lajos Duaacutelis polieacutederek (httpmatservpmmfhucseripublicszilassiszilassihtm) Archimeacutedeacuteszi testek Olyan polieacutederek melyek oldallapjai szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes minden csuacutecsban ugyanannyi eacutes ugyanolyan sokszoumlg talaacutelkozik ugyanolyan moacutedon Az archimeacutedeszi testek a szabaacutelyos polieacutederek csonkolaacutesaacuteval keletkeznek a szabaacutelyos polieacute-der csuacutecsainaacutel guacutelaacutet vaacutegunk le oly moacutedon hogy a vaacutegaacutes helyeacuten szabaacutelyos sokszoumlglap marad-jon eacutes a keletkező polieacuteder minden eacutele egyforma hosszuacutesaacuteguacute minden testszoumlglete egybevaacutegoacute legyen Peacuteldaacuteul az oktaeacuteder eacuteleinek felezőpontjai eacutes a kocka eacuteleinek felezőpontjai hasonloacute feacutelig szabaacutelyos testeket alkotnak Maacutes megfogalmazaacutesban az archimeacutedeszi testek jellemzői hogy bull konvexek bull lapjaik szabaacutelyos sokszoumlgek bull testszoumlgleteik egybevaacutegoacuteak (Ez szemleacuteletesen azt jelenti hogy ha a testből baacutermely csuacutecsaacute-naacutel levaacutegunk egy kis guacutelaacutet akkor ez a suumlveg baacutermely maacutes csuacutecsaacutera is raacuteilleszthető Ez azt is jelenti hogy minden csuacutecsnaacutel a testfeluumlletet alkotoacute szabaacutelyos sokszoumlgfajtaacuteboacutel (szoumlguumlk egyeacuter-telműen jellemzi őket) ugyanannyi van eacutes azonos sorrendben Peacuteldaacutek a kocka eacutelfelező pontjai az oktaeacuteder eacutelfelező pontjai a focilabda A koumlvetkező keacutet aacutebraacuten kocka csonkiacutetaacutesaacuteval nyert archimeacutedeszi testeket laacutethatunk
A focilabda a szabaacutelyos ikozaeacuteder megfelelő csonkiacutetaacutesaacuteval kaphatoacute (20 szabaacutelyos 6-szoumlg 12 szabaacutelyos 5-szoumlg 90 eacutel az oumltszoumlgek nem keruumllhetnek egymaacutes melleacute)
Testek a goumlmbi siacutekon (kiegeacutesziacutető anyag)
Nemcsak a siacuteklapon de maacutes feluumlleteken is aacutebraacutezolhatunk testeket haacuteloacutekat alakzatokat Koumlny-
nyűzenei eacutes maacutes rendezveacutenyeken planetaacuteriumokban gyakran vetiacutetik kuumlloumlnfeacutele teacuterbeli taacutergyak
vagy haacuteloacutezatok keacutepeacutet goumlrbuumllt feluumlletekre peacuteldaacuteul henger- vagy goumlmbfeluumlletre
Kuumlloumlnoumlsen eacuterdekesek a szabaacutelyos eacutes feacutelig szabaacutelyos testek goumlmbi aacutebraacutei Keacutepzeljuumlnk el egy
szabaacutelyos (platoni) vagy feacutelig szabaacutelyos (archimeacutedeszi) testet amely koumlreacute a csuacutecsain aacutetmenő
goumlmboumlt szerkesztuumlnk A goumlmbfeluumlleten megjelenő csuacutecspontokat nem teacuterbeli egyenes szaka-
20 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
szokkal koumltjuumlk oumlssze (iacutegy az eredeti testek kapnaacutenk vissza) hanem goumlmbfeluumlleti bdquoegyenesrdquo
darabokkal vagyis főkoumlriacutevekkel Ilyen moacutedon a test goumlmbi haacuteloacutejaacutet kapjuk Coxeter (ejtsd
kaacutekszeacutetoumlr) hiacuteres kivaacuteloacute kanadai matematikus ezeket a goumlmbi haacuteloacutekat bdquofelfuacutejt testeknekrdquo ne-
vezte
Proacutebaacuteljunk ilyeneket a goumlmboumln megszerkeszteni
2 Rajzoljunk haacuterom paacuteronkeacutent merőleges főkoumlrt Melyik szabaacutelyos test goumlmbi haacuteloacutejaacutet
kapjuk
Megoldaacutes Oktaeacuteder
3 Szerkesszuumlk meg a goumlmbi bdquofelfuacutejtrdquo oktaeacuteder haacuteromszoumlgeinek szimmetria-koumlzeacuteppontja-
it Az egymaacuteshoz legkoumlzelebb esőket koumlssuumlk oumlssze főkoumlriacutevvel maacutes sziacutenű tollal Haacuteny
legkoumlzelebbi szomszeacutedot talaacutelunk Milyen szabaacutelyos testet kapunk
Megoldaacutes Haacutermat hexaeacutedert (kockaacutet)
4 Hogyan lehet a felfuacutejt kockaacuteboacutel a felfuacutejt tetraeacutedert megszerkeszteni
Megoldaacutes
Kivaacutelasztjuk a goumlmbi kocka keacutet egymaacutessal szembeni lapjaacutet Az egyiken kijeloumlljuumlk a lap
egyik aacutetloacutejaacutenak veacutegeacuten leacutevő keacutet csuacutecspontot Ezutaacuten a maacutesik lapon kivaacutelasztjuk az bdquoel-
lenkezőrdquoiraacutenyuacute aacutetloacutet (vagyis megfelelő beaacutelliacutetaacutesban feluumllneacutezetben a keacutet egymaacutessal
szembeni oldal lapaacutetloacuteja X alakot ad) eacutes megjeloumlljuumlk ennek is a veacutegpontjait A neacutegy
veacutegpont meghataacuterozza a felfuacutejt goumlmbi tetraeacuteder csuacutecsait
Moacutedszertani megjegyzeacutes Ha a gyerekeket eacuterdekli akkor az eddigiekből maacuter elkeacutesziacutethető a dodekaeacuteder eacutes az ikozaeacuteder goumlmbi haacuteloacuteja is Rajzoljunk a goumlmbi kocka egy oldalhosszaacuteval szabaacutelyos goumlmbhaacuteromszoumlget eacutes csuacutecsait koumlssuumlk oumlssze a szabaacutelyos haacuteromszoumlg szimmetria-koumlzeacuteppontjaacuteval Az iacutegy kapott haacuterom egymaacutessal paacuteronkeacutent 120 fokos szoumlget bezaacuteroacute goumlmbi szakasz eacuteppen a goumlmbi dodekaeacute-der haacuterom oldalaacutet adja amit maacuter koumlnnyen kiegeacutesziacutethetuumlnk szabaacutelyos goumlmbi oumltszoumlggeacute Ennek az oumltszoumlgnek minden szoumlge 120 fokos Ebből tizenkettő eacuteppen lefedi az egeacutesz goumlmboumlt Az oumltszoumlgek koumlzeacuteppontjait megrajzolva eacutes a szomszeacutedos koumlzeacuteppontokat oumlsszekoumltve pedig a duaacute-lis goumlmbi ikozaeacutedert kapjuk Nagyon szeacutep feladat az archimeacutedeszit testek (peacuteldaacuteul a focilabda) goumlmbi haacuteloacutejaacutenak megszer-keszteacutese Ezekből a goumlmbi aacutebraacutekroacutel nagyon sok az eredeti polieacutedert jellemző tulajdonsaacuteg igen szemleacuteletesen bemutathatoacute ndash lapok csuacutecsok eacutelek egymaacutessal szomszeacutedos sokszoumlgek stb
6 modul TEacuteRELEMEK 21
A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)
Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol
Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők
1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege
egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet
Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute
lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma
bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)
Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene
A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)
A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
A goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA =
A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π
A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg
A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 19
Laacutesd meacuteg Szilassi Lajos Duaacutelis polieacutederek (httpmatservpmmfhucseripublicszilassiszilassihtm) Archimeacutedeacuteszi testek Olyan polieacutederek melyek oldallapjai szabaacutelyos sokszoumlgek eacutes minden csuacutecsban ugyanannyi eacutes ugyanolyan sokszoumlg talaacutelkozik ugyanolyan moacutedon Az archimeacutedeszi testek a szabaacutelyos polieacutederek csonkolaacutesaacuteval keletkeznek a szabaacutelyos polieacute-der csuacutecsainaacutel guacutelaacutet vaacutegunk le oly moacutedon hogy a vaacutegaacutes helyeacuten szabaacutelyos sokszoumlglap marad-jon eacutes a keletkező polieacuteder minden eacutele egyforma hosszuacutesaacuteguacute minden testszoumlglete egybevaacutegoacute legyen Peacuteldaacuteul az oktaeacuteder eacuteleinek felezőpontjai eacutes a kocka eacuteleinek felezőpontjai hasonloacute feacutelig szabaacutelyos testeket alkotnak Maacutes megfogalmazaacutesban az archimeacutedeszi testek jellemzői hogy bull konvexek bull lapjaik szabaacutelyos sokszoumlgek bull testszoumlgleteik egybevaacutegoacuteak (Ez szemleacuteletesen azt jelenti hogy ha a testből baacutermely csuacutecsaacute-naacutel levaacutegunk egy kis guacutelaacutet akkor ez a suumlveg baacutermely maacutes csuacutecsaacutera is raacuteilleszthető Ez azt is jelenti hogy minden csuacutecsnaacutel a testfeluumlletet alkotoacute szabaacutelyos sokszoumlgfajtaacuteboacutel (szoumlguumlk egyeacuter-telműen jellemzi őket) ugyanannyi van eacutes azonos sorrendben Peacuteldaacutek a kocka eacutelfelező pontjai az oktaeacuteder eacutelfelező pontjai a focilabda A koumlvetkező keacutet aacutebraacuten kocka csonkiacutetaacutesaacuteval nyert archimeacutedeszi testeket laacutethatunk
A focilabda a szabaacutelyos ikozaeacuteder megfelelő csonkiacutetaacutesaacuteval kaphatoacute (20 szabaacutelyos 6-szoumlg 12 szabaacutelyos 5-szoumlg 90 eacutel az oumltszoumlgek nem keruumllhetnek egymaacutes melleacute)
Testek a goumlmbi siacutekon (kiegeacutesziacutető anyag)
Nemcsak a siacuteklapon de maacutes feluumlleteken is aacutebraacutezolhatunk testeket haacuteloacutekat alakzatokat Koumlny-
nyűzenei eacutes maacutes rendezveacutenyeken planetaacuteriumokban gyakran vetiacutetik kuumlloumlnfeacutele teacuterbeli taacutergyak
vagy haacuteloacutezatok keacutepeacutet goumlrbuumllt feluumlletekre peacuteldaacuteul henger- vagy goumlmbfeluumlletre
Kuumlloumlnoumlsen eacuterdekesek a szabaacutelyos eacutes feacutelig szabaacutelyos testek goumlmbi aacutebraacutei Keacutepzeljuumlnk el egy
szabaacutelyos (platoni) vagy feacutelig szabaacutelyos (archimeacutedeszi) testet amely koumlreacute a csuacutecsain aacutetmenő
goumlmboumlt szerkesztuumlnk A goumlmbfeluumlleten megjelenő csuacutecspontokat nem teacuterbeli egyenes szaka-
20 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
szokkal koumltjuumlk oumlssze (iacutegy az eredeti testek kapnaacutenk vissza) hanem goumlmbfeluumlleti bdquoegyenesrdquo
darabokkal vagyis főkoumlriacutevekkel Ilyen moacutedon a test goumlmbi haacuteloacutejaacutet kapjuk Coxeter (ejtsd
kaacutekszeacutetoumlr) hiacuteres kivaacuteloacute kanadai matematikus ezeket a goumlmbi haacuteloacutekat bdquofelfuacutejt testeknekrdquo ne-
vezte
Proacutebaacuteljunk ilyeneket a goumlmboumln megszerkeszteni
2 Rajzoljunk haacuterom paacuteronkeacutent merőleges főkoumlrt Melyik szabaacutelyos test goumlmbi haacuteloacutejaacutet
kapjuk
Megoldaacutes Oktaeacuteder
3 Szerkesszuumlk meg a goumlmbi bdquofelfuacutejtrdquo oktaeacuteder haacuteromszoumlgeinek szimmetria-koumlzeacuteppontja-
it Az egymaacuteshoz legkoumlzelebb esőket koumlssuumlk oumlssze főkoumlriacutevvel maacutes sziacutenű tollal Haacuteny
legkoumlzelebbi szomszeacutedot talaacutelunk Milyen szabaacutelyos testet kapunk
Megoldaacutes Haacutermat hexaeacutedert (kockaacutet)
4 Hogyan lehet a felfuacutejt kockaacuteboacutel a felfuacutejt tetraeacutedert megszerkeszteni
Megoldaacutes
Kivaacutelasztjuk a goumlmbi kocka keacutet egymaacutessal szembeni lapjaacutet Az egyiken kijeloumlljuumlk a lap
egyik aacutetloacutejaacutenak veacutegeacuten leacutevő keacutet csuacutecspontot Ezutaacuten a maacutesik lapon kivaacutelasztjuk az bdquoel-
lenkezőrdquoiraacutenyuacute aacutetloacutet (vagyis megfelelő beaacutelliacutetaacutesban feluumllneacutezetben a keacutet egymaacutessal
szembeni oldal lapaacutetloacuteja X alakot ad) eacutes megjeloumlljuumlk ennek is a veacutegpontjait A neacutegy
veacutegpont meghataacuterozza a felfuacutejt goumlmbi tetraeacuteder csuacutecsait
Moacutedszertani megjegyzeacutes Ha a gyerekeket eacuterdekli akkor az eddigiekből maacuter elkeacutesziacutethető a dodekaeacuteder eacutes az ikozaeacuteder goumlmbi haacuteloacuteja is Rajzoljunk a goumlmbi kocka egy oldalhosszaacuteval szabaacutelyos goumlmbhaacuteromszoumlget eacutes csuacutecsait koumlssuumlk oumlssze a szabaacutelyos haacuteromszoumlg szimmetria-koumlzeacuteppontjaacuteval Az iacutegy kapott haacuterom egymaacutessal paacuteronkeacutent 120 fokos szoumlget bezaacuteroacute goumlmbi szakasz eacuteppen a goumlmbi dodekaeacute-der haacuterom oldalaacutet adja amit maacuter koumlnnyen kiegeacutesziacutethetuumlnk szabaacutelyos goumlmbi oumltszoumlggeacute Ennek az oumltszoumlgnek minden szoumlge 120 fokos Ebből tizenkettő eacuteppen lefedi az egeacutesz goumlmboumlt Az oumltszoumlgek koumlzeacuteppontjait megrajzolva eacutes a szomszeacutedos koumlzeacuteppontokat oumlsszekoumltve pedig a duaacute-lis goumlmbi ikozaeacutedert kapjuk Nagyon szeacutep feladat az archimeacutedeszit testek (peacuteldaacuteul a focilabda) goumlmbi haacuteloacutejaacutenak megszer-keszteacutese Ezekből a goumlmbi aacutebraacutekroacutel nagyon sok az eredeti polieacutedert jellemző tulajdonsaacuteg igen szemleacuteletesen bemutathatoacute ndash lapok csuacutecsok eacutelek egymaacutessal szomszeacutedos sokszoumlgek stb
6 modul TEacuteRELEMEK 21
A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)
Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol
Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők
1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege
egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet
Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute
lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma
bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)
Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene
A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)
A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
A goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA =
A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π
A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg
A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
20 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
szokkal koumltjuumlk oumlssze (iacutegy az eredeti testek kapnaacutenk vissza) hanem goumlmbfeluumlleti bdquoegyenesrdquo
darabokkal vagyis főkoumlriacutevekkel Ilyen moacutedon a test goumlmbi haacuteloacutejaacutet kapjuk Coxeter (ejtsd
kaacutekszeacutetoumlr) hiacuteres kivaacuteloacute kanadai matematikus ezeket a goumlmbi haacuteloacutekat bdquofelfuacutejt testeknekrdquo ne-
vezte
Proacutebaacuteljunk ilyeneket a goumlmboumln megszerkeszteni
2 Rajzoljunk haacuterom paacuteronkeacutent merőleges főkoumlrt Melyik szabaacutelyos test goumlmbi haacuteloacutejaacutet
kapjuk
Megoldaacutes Oktaeacuteder
3 Szerkesszuumlk meg a goumlmbi bdquofelfuacutejtrdquo oktaeacuteder haacuteromszoumlgeinek szimmetria-koumlzeacuteppontja-
it Az egymaacuteshoz legkoumlzelebb esőket koumlssuumlk oumlssze főkoumlriacutevvel maacutes sziacutenű tollal Haacuteny
legkoumlzelebbi szomszeacutedot talaacutelunk Milyen szabaacutelyos testet kapunk
Megoldaacutes Haacutermat hexaeacutedert (kockaacutet)
4 Hogyan lehet a felfuacutejt kockaacuteboacutel a felfuacutejt tetraeacutedert megszerkeszteni
Megoldaacutes
Kivaacutelasztjuk a goumlmbi kocka keacutet egymaacutessal szembeni lapjaacutet Az egyiken kijeloumlljuumlk a lap
egyik aacutetloacutejaacutenak veacutegeacuten leacutevő keacutet csuacutecspontot Ezutaacuten a maacutesik lapon kivaacutelasztjuk az bdquoel-
lenkezőrdquoiraacutenyuacute aacutetloacutet (vagyis megfelelő beaacutelliacutetaacutesban feluumllneacutezetben a keacutet egymaacutessal
szembeni oldal lapaacutetloacuteja X alakot ad) eacutes megjeloumlljuumlk ennek is a veacutegpontjait A neacutegy
veacutegpont meghataacuterozza a felfuacutejt goumlmbi tetraeacuteder csuacutecsait
Moacutedszertani megjegyzeacutes Ha a gyerekeket eacuterdekli akkor az eddigiekből maacuter elkeacutesziacutethető a dodekaeacuteder eacutes az ikozaeacuteder goumlmbi haacuteloacuteja is Rajzoljunk a goumlmbi kocka egy oldalhosszaacuteval szabaacutelyos goumlmbhaacuteromszoumlget eacutes csuacutecsait koumlssuumlk oumlssze a szabaacutelyos haacuteromszoumlg szimmetria-koumlzeacuteppontjaacuteval Az iacutegy kapott haacuterom egymaacutessal paacuteronkeacutent 120 fokos szoumlget bezaacuteroacute goumlmbi szakasz eacuteppen a goumlmbi dodekaeacute-der haacuterom oldalaacutet adja amit maacuter koumlnnyen kiegeacutesziacutethetuumlnk szabaacutelyos goumlmbi oumltszoumlggeacute Ennek az oumltszoumlgnek minden szoumlge 120 fokos Ebből tizenkettő eacuteppen lefedi az egeacutesz goumlmboumlt Az oumltszoumlgek koumlzeacuteppontjait megrajzolva eacutes a szomszeacutedos koumlzeacuteppontokat oumlsszekoumltve pedig a duaacute-lis goumlmbi ikozaeacutedert kapjuk Nagyon szeacutep feladat az archimeacutedeszit testek (peacuteldaacuteul a focilabda) goumlmbi haacuteloacutejaacutenak megszer-keszteacutese Ezekből a goumlmbi aacutebraacutekroacutel nagyon sok az eredeti polieacutedert jellemző tulajdonsaacuteg igen szemleacuteletesen bemutathatoacute ndash lapok csuacutecsok eacutelek egymaacutessal szomszeacutedos sokszoumlgek stb
6 modul TEacuteRELEMEK 21
A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)
Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol
Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők
1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege
egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet
Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute
lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma
bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)
Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene
A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)
A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
A goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA =
A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π
A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg
A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 21
A testek teacuterfogata felsziacutene (ismeacutetleacutes)
Moacutedszertani megjegyzeacutes Aacuteltalaacutenos iskolaacuteban a teacuterfogatot eacutes a felsziacutent tanultaacutek a gyerekek (kiveacuteve a goumlmbeacutet) A 12 eacutevfolyamon egy anyagreacutesz foglalkozik a testek szoumlgeivel teacuterfogataacuteval felsziacuteneacutevel Ez az is-meacutetleacutes főleg a rendszerezeacutest szolgaacutelja az ezzel kapcsolatos feladatok meghaladjaacutek az 5 oacuteraacutes modul kereteit
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test feluumllete hataacuterol
Ez a megfogalmazaacutes ahhoz elegendő hogy a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutet tisztaacutezzuk A polieacuteder szabatos teacuterfogatfogalma az oumlsszehasonliacutetaacuteson alapul azt aacutellapiacutetjuk meg hogy a test teacuterfogata haacutenyszorosa az egyseacutegkocka teacuterfogataacutenak Iacutegy a polieacuteder teacuterfogata egy olyan a testhez rendelt olyan pozitiacutev szaacutem amelyre teljesuumllnek a koumlvetkezők
1 az 1 egyseacuteg eacutelhosszuacutesaacuteguacute kocka (egyseacutegkocka) teacuterfogata 1 2 az egybevaacutegoacute testek teacuterfogata egyenlő 3 ha egy testet veacuteges szaacutemuacute testre bontunk szeacutet azok teacuterfogatainak oumlsszege
egyenlő az eredeti test teacuterfogataacuteval
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egyeacuteb testek teacuterfogataacuteval az analiacutezis foglalkozik A koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacuteny a teacuterfogat szemleacuteletes fogalmaacutenak ismereteacutet igeacutenyli A meacuterhető mennyiseacutegek meacuterteacutekeacutenek elmeacuteleteacutevel a meacuterteacutekelmeacutelet foglalkozik melynek axiomatikus feleacutepiacuteteacuteseacutet Halmos Paacutel alkotta meg 1950-ben a Chicago-i Egyetemen Eacuterdeklődőbb tanuloacutek szaacutemaacutera feladhatjuk kutataacutesi anyagkeacutent a teacutemaacutet
Testek felsziacutene a testet hataacuteroloacute feluumllet meacuterteacuteke Siacuteklapokkal hataacuterolt testek eseteacuten a hataacuteroloacute
lapok teruumlleteinek oumlsszege goumlrbe feluumlletekkel hataacuterolt testek eseteacuteben a felsziacuten fogalma
bonyolultabb (hataacutereacuterteacutek-szaacutemiacutetaacutes segiacutetseacutegeacutevel toumlrteacutenik)
Neacutehaacuteny test teacuterfogata eacutes felsziacutene
A kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene A = 26a (a a kocka eacutele)
A teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
A goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA =
A henger teacuterfogata mrV sdot= π2 ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
Az egyenes koumlrhenger felsziacutene )(2 mrrA += π
A hasaacuteb teacuterfogata V = alapteruumllet middot testmagassaacuteg
A hasaacuteb felsziacuteneA = 2 middot alapteruumllet + palaacutest teruumllete
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
22 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A guacutela teacuterfogata 3
magassaacutegtalapteruumlleV sdot=
A kuacutep teacuterfogata 3
2 mrV sdot= π
Feladatok
5 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen jellemzőket fogalmakat hasznaacutelunk a testek leiacuteraacute-
saacutera
Megoldaacutes
Lapok eacutelek csuacutecsok eacutelvaacutez alkotoacute oldallap alaplap oldaleacutel alapeacutel csuacutecsok szaacutema la-
pok szaacutema eacutelek szaacutema testmagassaacuteg alapteruumllet fedőlap eacutelszoumlgek teruumllet teacuterfogat
felsziacuten
6 Gyűjtsd ki a szoumlvegből hogy milyen fogalmak szerepelnek az alaacutebbi testekneacutel
a) guacutela b) kuacutep c) hasaacuteb d) henger
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 23
II Teacuter Szemleacutelet
Feladatok
7 Egeacutesziacutetsd ki az aacutebraacutekat uacutegy hogy egy kocka haacuteloacutejaacutet kapjuk
a) b) c)
Megoldaacutes peacuteldaacuteul a) b) c)
8 Lehet-e kockaacutet hajtogatni az alaacutebbi siacutekidomokboacutel
a) b) c) d) e)
Megoldaacutes igen a) c) e) nem b) d)
9 Hovaacute rajzolhatjuk (a) eacutes (b) hataacuteroloacute lapokat hogy a haacuteloacuteboacutel egy neacutegyszoumlg alapuacute egye-
nes hasaacutebot lehessen keacutesziacuteteni
Egy lehetseacuteges megoldaacutes
a b
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
24 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
10 Haacuteny eacutele van annak a testnek amelynek haacuteloacuteja az alaacutebbi aacutebraacuten laacutethatoacute
a) b) c) d)
Megoldaacutes a) 9 b) 9 c) 16 d) 15
11 Polydronboacutel eacutepiacutets keacutet szabaacutelyos tetraeacutedert de az egyik eacutele legyen keacutetszerese a maacutesik
eacuteleacutenek
a) Haacutenyszor annyi eacutepiacutetőelem kell a nagyobbhoz
b) Haacutenyszor akkora az eacutelek hosszaacutenak oumlsszege
c) Haacutenyszor feacuter bele a kicsi a nagy belsejeacutebe
Megoldaacutes a) 4 illetve 16 vagyis 4-szer annyi b) keacutetszer c) nyolcszor
Moacutedszertani megjegyzeacutes A fenti feladatot elveacutegezhetjuumlk kockaacuteval eacutes szabaacutelyos neacutegyzet ala-
puacute guacutelaacuteval is
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 25
12 Melyik lehet eacutes melyik nem lehet a tetraeacuteder haacuteloacuteja
a) b) c)
d)
Megoldaacutes lehet a) c) nem lehet b) d) nem is haacuteloacute (nem bdquosokszoumlgrdquo)
13 Aacutelliacutetsuk oumlssze Polydronboacutel a neacutegy darab szabaacutelyos haacuteromszoumlgből aacutelloacute oumlsszes lehetseacute-
ges siacutekidomot Melyik lehet ezekből szabaacutelyos tetraeacuteder haacuteloacuteja Hajtogataacutessal ellen-
őrizzuumlk
Megoldaacutes
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
26 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
14 Taacutersiacutetsd a testeket a nekik megfelelő testhaacuteloacutehoz
a) b) c)
d) 1) 2)
3) 4)
Megoldaacutes a2 b3 c4 d1
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 27
15 Paacuterosiacutetsd a testeket a bdquoszeacutetszedettrdquo paacuterjukkal
a) 1)
b) 2)
c) 3)
Megoldaacutes a1 b3 c2
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
28 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
16 Keacutesziacutetsd el a kocka haacuteloacutejaacutet eacutes rajzold bele hogy a test felsziacuteneacutere rajzolt vonal hogyan
jelenik meg a haacuteloacuten
a) b)
Megoldaacutes a) b)
Moacutedszertani megjegyzeacutes
Segiacutetseacuteget jelent ha a kockaacuten megnevezzuumlk a csuacutecsokat eacutes azokat azonosiacutetjuk a haacuteloacuten
17 Az aacutebraacuten haacuterom kocka (A B C) eacutes a haacuteloacuteik laacutethatoacutek (1 2 3)
a) Melyik haacuteloacute melyik kockaacutehoz tartozhat
I) Andash3 Bndash2 Cndash1 II) Andash1 Bndash3 Cndash2
III) Andash2 Bndash1 Cndash3 IV) Andash1 Bndash2 Cndash3
b) A C jelű kocka felsziacuteneacutenek haacuteny szaacutezaleacuteka van befestve
Megoldaacutes a) III b) 22
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 29
18 Melyik test haacuteloacuteja ez Rajzold le maacutesfeacutelekeacuteppen is
a test haacuteloacutejaacutet
A Teacuteglalap alapuacute guacutela
B Teacuteglalap alapuacute hasaacuteb
C Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute hasaacuteb
D Dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Megoldaacutes C
19 Az alaacutebbi rajz egy teacuteglatest haacuteloacutejaacutet aacutebraacutezolja
Mekkoraacutek a teacuteglatest eacutelei
Megoldaacutes 2 cm 1 cm 3 cm
20 Egyiptomban Kheopsz faacuteraoacute eacutepiacuteteacutesze terveket mutatott be az uralkodoacutejaacutenak keacuteszuumllő
piramisaacuteroacutel (A piramist egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela) Az eacutepiacuteteacutesz papiruszboacutel mo-
dellt keacutesziacutetett a faacuteraoacutenak Az alaacutebbi modellek melyikeacuteből lehet darabolaacutes neacutelkuumll teljes
piramismodellt oumlsszeaacutelliacutetani
Megoldaacutes C
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
30 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
21 Az aacutebraacuten ugyanannak a kockaacutenak a haacuterom neacutezeteacutet laacutetjuk Keacutesziacutetsd el ennek a kockaacutenak
haacuteloacutezataacutet Figyelj arra is hogy a goumlroumlg betűk merre feleacute fordulnak
Megoldaacutes
22 A koumlvetkező szabaacutesrajzon valamelyik ragasztoacute fuumllecske
foumlloumlsleges Melyik
Megoldaacutes toumlbb is van peacuteldaacuteul
23 Folytasd a szinezeacutest Az oldallapok negyedeiből aacutelloacute kis
neacutegyzeteket sziacutenezd ki uacutegy hogy az oldaluknaacutel talaacutelkozoacute
neacutegyzetek kuumlloumlnboumlző sziacutenűek legynek Rajzold le a kocka
kiszinezett haacuteloacutejaacutet Legalaacutebb haacuteny sziacutent kell felhasznaacutelnod
Megoldaacutes 3 sziacutent
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező feladatok az Euler-feacutele polieacutederteacutetelre vonatkoznak Ez nem tartozik a koumlzeacutepszintű eacuterettseacutegi koumlvetelmeacutenyrendszereacutebe (kiegeacutesziacutető anyag) de fejleszti a teacuterszemleacuteletet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 31
24 Keacutesziacutets koordinaacuteta-rendszert melyben aacutebraacutezolod neacutehaacuteny konvex test lapjai eacutes csuacutecsai szaacutemaacutenak oumlsszegeacutet az eacutelek szaacutemaacutenak fuumlggveacutenyeacuteben Milyen oumlsszefuumlggeacutes olvashatoacute le a kapott eredmeacutenyből Adatforraacuteskeacutent hasznaacutelhatod a szabaacutelyos testek taacuteblaacutezataacutet koraacutebbi feladatokban szereplő vagy az alaacutebbi taacuteblaacutezat alatt elhelyezkedő testeket is Elő-szoumlr toumlltsd ki a taacuteblaacutezatot eacutes ennek alapjaacuten rajzold be a pontokat a koordinaacuteta-rendszerbe
Test Csuacutecsok Lapok Eacutelek
Megoldaacutes
Euler teacutetele olvashatoacute le
eacutelek + 2 = lapok + csuacutecsok szaacutema
Minden konvex polieacutederre teljesuumll
Ajaacutenlatos hogy a tanaacuter nevezze meg
Euler teacuteteleacutet eacutes vezesseacutek be a fuumlzetbe
25 Hataacuterozd meg hogy polieacutederek-e eacutes
konvexek-e a koumlvetkező testek
a) b) c)
Megoldaacutes mind polieacuteder mert csak sokszoumlgek hataacuteroljaacutek a) eacutes b) konvex c) nem
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
32 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
26 Milyen siacutekidomok hataacuteroljaacutek a koumlvetkező testeket Add meg azt is hogy mennyi a
szaacutemuk
a) b)
Megoldaacutes
a) 8 haacuteromszoumlg 4 neacutegyzet 4 oumltszoumlg b) 20 szabaacutelyos hatszoumlg 12 szabaacutelyos oumltszoumlg
27 A fullereacutenek szeacutenatomokboacutel feleacutepuumllő kalickaszerű
goumlmbszerű molekulaacutek A legelőszoumlr megtalaacutelt koumlzuumlluumlk a 60
szeacutenatomboacutel aacutelloacute buckminsterfullereacuten maacutes neacuteven futballabda
molekula A C60 fullereacuten modelljeacutenek feluumlleteacutet 12 szabaacutelyos
oumltszoumlg eacutes 20 szabaacutelyos hatszoumlg alkotja Alapszabaacutely hogy a
molekula stabilitaacutesa miatt az oumltszoumlgek nem eacuterintkezhetnek Haacuteny eacutele van a fullereacuten
molekulaacutenak
Megoldaacutes
Euler teacutetele szerint lapok + csuacutecsok ndash 2= eacutelek vagyis 32 + 60 -2 = 90 eacutele van A feladat
azeacutert kapott emelt szintű jelzeacutest mert Euler teacutetele baacuter koraacutebban szerepelt nem koumlzeacutep-
szintű anyag
28 Milyen szimmetriaacutekat ismersz fel a koumlvetkező testeken
a) szabaacutelyos hatszoumlg b) szabaacutelyos oumltszoumlg c) szabaacutelyos oumltszoumlg
alapuacute guacutela alapuacute hasaacuteb alapuacute test
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 33
Megoldaacutes
Mindegyik szimmetrikus neacutehaacuteny az alaplapra merőleges annak koumlzeacuteppontjaacuten aacutethaladoacute
siacutekra forgaacutesszimmetriaacutek a test tengelye koumlruumll b)-neacutel az oldaleacutelek felezőpontjaacutera fekte-
tett siacutekra is szimmetrikus a test
29 Az alaacutebbi aacutebraacuten egy haacuteromdimenzioacutes alakzat eacutes annak lehetseacuteges feluumllneacutezeti keacutepei
laacutethatoacutek Vaacutelaszd ki a teacutenyleges feluumllneacutezeti keacutepet
Megoldaacutes D
30 Ha egy kockaacutet mind a hat lapjaacutera tuumlkroumlzuumlnk akkor
az alaacutebbi testet kapjuk (a testet bdquoteacuterbeli keresztnekrdquo hiacutevjaacutek)
a) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test teacuterfogata az eredetinek
b) Haacutenyszorosa az iacutegy kapott test felsziacutene az eredetinek
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel Megoldaacutes a) 7-szerese b) 5-szoumlroumlse
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
34 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
31 Az alaacutebbi aacutebra bal oldalaacuten neacutegy taacutergy keacutepe talaacutelhatoacute a jobb oldalaacuten pedig feluumllneacutezeti
keacutepeik laacutethatoacutek Paacuterosiacutetsd oumlssze a taacutergyakat feluumllneacutezeti keacutepeikkel Iacuterd a megfelelő
szaacutemot a megfelelő betű melleacute
Megoldaacutes D2 B4 A3 C1
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 35
32 Mikloacutes eacutepiacutetőkockaacutekboacutel egy alakzatot rakott oumlssze az asztalon majd lerajzolta hogy
milyennek laacutetja ezt az alakzatot fentről eloumllről eacutes balroacutel neacutezve
Oumlccse kiegeacutesziacutetette ezt az alakzatot a lehető legkisebb teacuteglatestteacute uacutegy hogy az alakzat-
hoz tovaacutebbi eacutepiacutetőkockaacutekat rakott Haacuteny eacutepiacutetőkockaacuteboacutel aacutell ez a teacuteglatest
A 12 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel B 14 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
C 18 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel D 27 eacutepiacutetőkockaacuteboacutel
Megoldaacutes C
33 Technikaoacuteraacuten azt a feladatot kaptaacutek a diaacutekok hogy keacutesziacutetsenek piramist 10 x 10 x 10
cm-es kockaacutek oumlsszeragasztaacutesaacuteval
A piramis alapja 24 kockaacuteboacutel aacutell ahogyan ennek a feluumllneacutezeti rajza az 1 aacutebraacuten laacutethatoacute
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
36 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
A 2 aacutebra az első eacutes a maacutesodik szint egymaacuteshoz viszonyiacutetott elhelyezkedeacuteseacutet mutatja
Minden szint az alatta leacutevő szintből egy 5 cm szeacuteles keretet hagy lefedetlenuumll
a) Haacuteny kockaacutera van szuumlkseacuteg az egyes szintek elkeacutesziacuteteacuteseacutehez Egeacutesziacutetsd ki az alaacutebbi
taacuteblaacutezatot
b) A hetedik szintet figyelmen kiacutevuumll hagyva milyen szabaacutely szerint vaacuteltozik a szom-
szeacutedos szintekhez szuumlkseacuteges kockaacutek szaacutema
Megoldaacutes
b) 4-gyel csoumlkken
34 Az oldalsoacute aacutebraacuten egy szabaacutelyos
doboacutekocka laacutethatoacute A szemkoumlzti
oldalain leacutevő poumlttyoumlk szaacutema
oumlsszesen 7 Ha ezt a doboacutekockaacutet
a berajzolt tengely menteacuten 90deg-
kal az oacuteramutatoacute jaacuteraacutesaacuteval
ellenteacutetes iraacutenyba elforgatjuk
mely oldalait laacutetjuk Rajzold be az aacutebraacuteba
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka
1 szint 2 szint 3 szint 4 szint 5 szint 6 szint 7 szint
24 kocka 20 16 12 8 4 1
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 37
35 Az aacutebraacuten neacutegy uumlvegedeacuteny laacutethatoacute
(Az 1-es pohaacuter hengernek a 2-es oumlbloumls reacuteszeacutenek alsoacute reacutesze feacutelgoumlmbnek tekinthető A 3-as jelű
kancsoacute szabaacutelytalan alakuacute a 4-es pohaacuter felső reacutesze pedig kuacutep formaacutejuacute)
Hataacuterozd meg hogy az egyes uumlvegedeacutenyekben melyik grafikon szerint vaacuteltozik a viacutez
magassaacutega az edeacutenybe oumlntoumltt viacutez mennyiseacutegeacutenek fuumlggveacutenyeacuteben
Megoldaacutes 1C 2A 3B 4D
36 Ica henger alakuacute boumlgreacuteje keacutetszer akkora aacutetmeacuterőjű de fele olyan magas mint Annamari
boumlgreacuteje Melyikbe feacuter toumlbb tea Vaacutelaszodat matematikai eacutervekkel taacutemaszd alaacute
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
38 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
A henger teacuterfogata mr sdotπ2 Ha r duplaacutezoacutedik a teacuterfogat neacutegyszereseacutere vaacuteltozik miacuteg a
magassaacuteg felezeacuteseacutevel feleacutere csoumlkken Iacutegy az alacsonyabb boumlgreacutebe keacutetszer annyi feacuter
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 39
III Teacuterelemek taacutevolsaacutega hajlaacutesszoumlgek Moacutedszertani megjegyzeacutes Ezt az anyagreacuteszt ceacutelszerű Polydron segiacutetseacutegeacutevel csoportmunkaacuteban feldolgozni Kuumlloumlnboumlző testek (kocka tetraeacuteder neacutegyzetes alapuacute guacutela) kirakaacutesaacuteval felfedezhetjuumlk a tanuloacutekkal a teacuter-elemek taacutevolsaacutegaacutet (peacuteldaacuteul testmagassaacutegot) eacutes hajlaacutesszoumlgeacutet (peacuteldaacuteul guacutelaacuteban alaplap eacutes siacutek hajlaacutesszoumlge vagy kockaacuteban a testaacutetloacute eacutes oldaleacutel illetve testaacutetloacute eacutes lap hajlaacutesszoumlge) Lehetőseacute-guumlnk van meacutereacutesek veacutegzeacuteseacutere Az anyagi taacutergyak testek alakjaacutet eacutes tulajdonsaacutegait vizsgaacutelva toumlbb ezer eacutevvel ezelőtt elvonat-
koztataacutessal (absztrakcioacuteval) joumlttek leacutetre a geometria alapfogalmai A teacuter elemeinek (pontok
egyenesek siacutekok) jellemzeacuteseacutehez segiacutetseacuteget nyuacutejtanak az alaacutebbi oumlsszefoglaloacute jellegű meghataacute-
rozaacutesok A szemleacuteletesseacuteg kedveacuteeacutert egy kockaacuten mutatjuk be amiről szoacutet ejtuumlnk Az egyene-
seket jelen esetben azokkal a pontokkal nevezzuumlk meg amelyeken aacutetmennek A siacutekokat ha-
sonloacutean haacuterom pont egyeacutertelműen meghataacuterozza a rajtuk aacutetfektetett siacutekot
Keacutet egyenes koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet metsző paacuterhuzamos vagy kiteacute-
rő
Keacutet siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy
metsző
Egyenes eacutes siacutek koumllcsoumlnoumls helyzete a teacuterben lehet paacuterhuzamos vagy metsző
Taacutevolsaacutegok
Ponthalmazok siacutekidomok taacutevolsaacutegaacutenak aacuteltalaacutenos eacutertelmezeacutesekor a minimum megkereseacutese a
vezető elv
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel az egyenesre
bocsaacutetott merőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutegaacuten a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott me-
rőleges szakasz hosszaacutet eacutertjuumlk Definiacutecioacute szerint egy
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
40 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
egyenes merőleges a siacutekra ha a siacutek oumlsszes egyeneseacutere merőleges A jeloumlleacutes azeacutert dupla dereacutek-
szoumlg mert igazolhatoacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutes ha egy egyenes merőleges a siacutek keacutet metsző egyene-
seacutere akkor merőleges a siacutekra vagyis a siacutek minden egyeneseacutere
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő
raacutejuk merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk
uacutegy is hogy az egyik egyenesen kivaacutelasztunk egy tetsző-
leges pontot eacutes ennek a pontnak a maacutesik egyenestől valoacute
taacutevolsaacutega adja a keacutet egyenes taacutevolsaacutegaacutet
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutegaacutet az őket oumlsszekoumltő raacutejuk
merőleges szakasz hossza adja Fogalmazhatunk uacutegy is
hogy az egyik siacutekon kivaacutelasztunk egy tetszőleges pon-
tot eacutes ennek a pontnak a maacutesik siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega
adja a keacutet siacutek taacutevolsaacutegaacutet
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutegaacutet az egyenesre eacutes a siacutekra egyaraacutent merőleges kouml-
zoumlttuumlk elhelyezkedő szakasz adja Fogalmazhatunk uacutegy is hogy az egyenesen kivaacutelasztunk
egy tetszőleges pontot eacutes ennek a pontnak a siacutektoacutel valoacute taacutevolsaacutega adja az egyenes eacutes a siacutek
taacutevolsaacutegaacutet
Hajlaacutesszoumlgek
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacuten eacutertjuumlk az egyenes eacutes ennek a
siacutekra eső merőleges vetuumllete aacuteltal bezaacutert szoumlget Ha a
vetuumllet egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra
Maacutes esetben az iacutegy kapott keacutepegyenes eacutes az eredeti
egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlgeacutet a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszoumlge
adja
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 41
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk hogy a metszeacutesvonalra
annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutekban egy-egy
merőleges egyenest bocsaacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a
hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge
dereacutekszoumlgneacutel nem nagyobb
Feladatok
Moacutedszertani megjegyzeacutes Fontos felismertetni hogy a guacutelaacuteban az oldallap eacutes az oldaleacutel az alaplappal maacutes-maacutes szoumlget zaacuter be
37 Rajzold be a koumlvetkező guacutelaacutekba a megfelelő szoumlgeket α alaplap eacutes oldallap szoumlge β
alaplap eacutes oldaleacutel szoumlge γ szomszeacutedos oldallapok hajlaacutesszoumlge Rajzold be a
testmagassaacutegot is
a) b) c)
38 Jeloumlld be a kockaacuten a koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) B eacutes ADH siacutek taacutevolsaacutega
b) AG testaacutetloacute eacutes H csuacutecs taacutevolsaacutega
c) AG testaacutetloacute eacutes EFG siacutek hajlaacutesszoumlge
d) B csuacutecs taacutevolsaacutega AEG siacutektoacutel
e) B csuacutecs taacutevolsaacutega ADG siacutektoacutel
f) B taacutevolsaacutega DEG siacutektoacutel
g) AB eacutes BH testaacutetloacute hajlaacutesszoumlge
39 Jeloumlld meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacutebon a
koumlvetkező taacutevolsaacutegokat eacutes hajlaacutesszoumlgeket
a) d = testmagassaacuteg
b) α = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alaplap hajlaacutesszoumlge
c) β = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az alapeacutel hajlaacutesszoumlge
d) γ = a leghosszabb testaacutetloacute eacutes az oldallap hajlaacutesszoumlge
A B
C D
E F
G H
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
42 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
IV Teacuterbeli szaacutemiacutetaacutesok Moacutedszertani megjegyzeacutes Ez a fejezet a teacuterfogat- eacutes felsziacutenszaacutemiacutetaacutes eacutes a trigonometriai (dereacutekszoumlges) feladatok előkeacute-sziacuteteacutese az aacuteltalaacutenos iskolai ismeretek szinten tartaacutesa miatt keruumllt a modulba Ha nincs raacute idő el is hagyhatoacute Szaacutemiacutetaacutesos feladatokat tartalmaz Pitagorasz-teacutetelre speciaacutelis haacuteromszoumlgekre A gyorsabban haladoacutekkal a kocka testaacutetloacutejaacutera a teacuterfogat- eacutes felsziacutenre vonatkozoacute feladatokat ajaacutenlott aacutetvenni
Mintapeacutelda1
Hataacuterozzuk meg a neacutegyzet alapuacute szabaacutelyos guacutela testmagassaacutegaacutet ha minden eacutele 10 cm hosszuacute
Megoldaacutes
A megfelelő dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlg egyik
befogoacuteja M (testmagassaacuteg) maacutesik befogoacuteja az
alaplap aacutetloacutejaacutenak a fele azaz 252
2102
==d
A Pitagorasz-teacutetelt feliacuterva ( ) 2221025 =+ M
amiből
cmMMM 255050100225 22 ==rArr=rArr=+sdot
Ebből koumlvetkezik hogy a bejeloumllt haacuteromszoumlg egyenlőszaacuteruacute
Moacutedszertani megjegyzeacutes Egy maacutesik megoldaacutesi lehetőseacuteg az aacutebraacuteban bejeloumlljuumlk az alap csuacutecspontjai A B C a guacutela negyedik csuacutecspontja D Ekkor ABC cong ADC mert 2-2 oldaluk 10 a harmadik koumlzoumls az alaplap aacutetloacuteja rArr M = d2 = 5 2 Ebből az is koumlvetkezik hogy a szemkoumlztes oldaleacutelek merőlegesek egymaacutesra
Feladatok
40 Hataacuterozd meg a kocka testaacutetloacutejaacutenak hosszaacutet ha az eacutele
a) 10 cm b) 25 cm c) a egyseacuteg
Megoldaacutes a) 3217310 asymp cm b) 343325 asymp cm c) 3a
41 Hataacuterozd meg a szabaacutelyos hatszoumlg alapuacute egyenes hasaacuteb leghosszabb testaacutetloacutejaacutenak
hosszaacutet ha minden eacutele 12 dm
Megoldaacutes 8326720 asymp dm
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 43
Mintapeacutelda2
Szaacutemiacutetsd ki hogy a kockaacuteba iacutert goumlmboumln kiacutevuumlli bdquouumlres reacuteszrdquo haacuteny szaacutezaleacuteka a kocka teacuterfogataacute-
nak
Megoldaacutes
A kocka teacuterfogata a3 a kockaacuteba iacutert goumlmb sugara2a iacutegy annak teacuterfogata
33
6234 aa ππ =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Az uumlres reacutesz eacutes a kocka teacuterfogataacutenak araacutenya =
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ minus
=minus
3
3
3
33
61
6a
a
a
aaππ
64747606
1 rArr=minus= π
Feladatok
42 Szaacutemiacutetsd ki hogy a goumlmbbe iacutert kocka eseteacuten az uumlres reacutesz teacuterfogata haacuteny szaacutezaleacuteka
a) a goumlmb teacuterfogataacutenak (a goumlmb sugara R)
b) a kocka teacuterfogataacutenak (a kocka eacutele a)
Megoldaacutes A kuumlloumlnbseacuteg 33 7216472 aR =sdot ami a goumlmb teacuterfogataacutenak 632-a a kockaacuteeacutenak
172-a
43 Hataacuterozd meg milyen meacutelyen nyuacutelik a foumlld alaacute az aacutebraacuten laacutethatoacute piramis folyosoacuteja
aminek veacutegeacuten a piramiskamra talaacutelhatoacute
a) a = 120 m b = 32 m c = 18m
b) a = 13 dm b = 69 cm c = 53 cm
c) a = 2 m b = 98 cm c = 145 dm
Megoldaacutes cba minusminus 22 = a) 9765m b) 5717cm c)2934cm
44 A szabaacutelyos tetraeacuteder lapjaira iacuterd raacute a szaacutemokat 1-től 8-ig
uacutegy hogy baacutermelyik csuacutecsaacuteban talaacutelkozoacute neacutegy lapon a
szaacutemok oumlsszege 18 legyen
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
44 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Megoldaacutes
45 Egy 6 cm eacutelhosszuacutesaacuteguacute kockaacutet hat eacuteleacutenek felezőpontjaira
fektetett siacutekkal ketteacutevaacutegunk az aacutebra szerint Rajzold le a vaacutegaacutes
utaacuten testek haacuteloacutejaacutet eacutes hataacuterozd meg a felsziacutenuumlket is
815432108 asymp+=A (cm2) Megoldaacutes
Moacutedszertani megjegyzeacutes A feladat kapcsaacuten aacutetvehetjuumlk a tanuloacutekkal a kocka siacutekmetszeteinek rendszerezeacuteseacutet Keacuteszuumllt egy program is amely ebben segiacutetseacuteguumlnkre lehet Feldolgozhatjuk a teacutemaacutet uacutegy is hogy haacutezi feladatban vagy csoportmunkaacuteban rendszereztetjuumlk a kocka kuumlloumlnbouml-ző sokszoumlg alakuacute siacutekmetszeteit aztaacuten frontaacutelisan eacuterteacutekeljuumlk a vaacutelaszokat
46 Egy hangya az A csuacutecsboacutel a B csuacutecspontba a lehető
regroumlvidebb uacuteton szeretne eljutni a neacutegyzet alapuacute
szabaacutelyos guacutela feluumlleteacuten az oldallapokon haladva A guacutela
minden eacutele 56 cm Mekkora utat kell megtennie
Megoldaacutes 97 cm
Moacutedszertani megjegyzeacutes A koumlvetkező keacutet peacuteldaacutehoz hasonloacute teacuterszemleacuteletet fejlesztő felada-tokboacutel feladatlap keacuteszuumllt amelyet kinyomtatva vagy kivetiacutetve hasznaacutelhatunk gyakorlaacuteshoz
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 45
47 Rajzold meg teacuterben azokat a testeket amelyeket feluumllről eacutes eloumllről neacutezve az alaacutebbi
aacutebraacuten laacutetjaacutetok Egy taacutergy egyeacutertelmű megjeleniacuteteacuteseacutehez elegendő-e keacutet oldalroacutel
raacuteneacutezni Mieacutert
Megoldaacutes
2005 copy Erdeacutely Daacuteniel
Megjegyzeacutes Keacutet neacutezetből aacuteltalaacuteban nem tudjuk meghataacuterozni a testet A 3 szaacutemuacute keacutep peacuteldaacuteul fekvő henger vagy haacuterom oldaluacute hasaacuteb keacutepe is lehet
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
46 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
48 A neacutegy keacutep koumlzuumll melyik nem a neacutezete a koumlzeacutepen laacutethatoacute hat sziacutenes golyoacuteboacutel aacutelloacute ru-
goacutes testnek
Megoldaacutes b) Erdeacutely Jakab munkaacuteja
a) b)
d) c)
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 47
Kislexikon
Test haacuteloacuteja polieacutederek eseteacuten az a sokszoumlglap amelyet ha egy siacuteklapboacutel kivaacutegunk akkor
oumlsszehajtogathatoacute belőle a test feluumllete
Henger adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy egyenes
amely az alapsiacutekkal nem paacuterhuzamos Ha a goumlrbe minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamos
egyenest huacutezunk az adott egyenessel (alkotoacutek) akkor veacutegtelen hengerfeluumlletet kapunk Ezt
elmetszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fedőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt
nevezzuumlk hengernek Ha a goumlrbe koumlr a test neve koumlrhenger Egyenes koumlrhengerneacutel az adott
egyenes merőleges az alapsiacutekra A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet palaacutestnak nevezzuumlk Az
alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Kuacutep adott az alapsiacutekon egy goumlrbe vonallal hataacuterolt siacutekidom (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacute-
kon kiacutevuumll (csuacutecspont) Ha a goumlrbe minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal
veacutegtelen kuacutepfeluumlletet kapunk Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk kuacutepnak Ha a zaacutert
goumlrbe koumlr a test neve koumlrkuacutep Ha a pontnak az alaplap siacutekjaacutera eső merőleges vetuumllete az
alapkoumlr koumlzeacuteppontjaacuteba esik egyenes koumlrkuacutepot kapunk A testet hataacuteroloacute goumlrbe feluumlletet pa-
laacutestnak nevezzuumlk (egyenes koumlrkuacutep siacutekba kiteriacutetett palaacutestja koumlrcikk) a csuacutecspont eacutes a goumlrbe
aacuteltal meghataacuterozott egyeneseket pedig alkotoacuteknak A csuacutecsnak az alaplap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevol-
saacutega a kuacutep magassaacutega
Az egyenes koumlrkuacutep nyiacutelaacutesszoumlge ha az egyenes koumlrkuacutepot elmetszuumlk egy olyan siacutekkal amely
a kuacutep testmagassaacutegaacutenak egyeneseacutet tartalmazza eacutes merőleges az alapkoumlr siacutekjaacutera akkor egyen-
lőszaacuteruacute haacuteromszoumlget kapunk (alapja az alapkoumlr aacutetmeacuterője szaacuterai a kuacutep alkotoacutei) A szaacuterak aacuteltal
bezaacutert szoumlget a kuacutep nyiacutelaacutesszoumlgeacutenek nevezzuumlk
Tetraeacuteder haacuteromszoumlg alapuacute guacutela
Csonkakuacutep Ha a kuacutepot elmetszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkakuacutepot ka-
punk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
48 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Hasaacuteb adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy egyenes amely az alapsiacutekkal nem
paacuterhuzamos Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacuten keresztuumll paacuterhuzamost huacutezunk az adott
egyenessel hasaacutebfeluumlletet kapunk Ezt elmetsszuumlk egy az alapsiacutekkal paacuterhuzamos siacutekkal (fe-
dőlap) Az iacutegy keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk hasaacutebnak Egyenes hasaacutebnak nevezzuumlk
azt a hasaacutebot amelyneacutel az adott egyenes merőleges az alapsiacutekra Az oldallapokat egyuumltt pa-
laacutestnak nevezzuumlk Az alaplap eacutes a fedőlap siacutekjaacutenak taacutevolsaacutega adja a testmagassaacutegot
Guacutela adott az alapsiacutekon egy sokszoumlg (alaplap) eacutes egy pont az alapsiacutekon kiacutevuumll (csuacutecspont)
Ha a sokszoumlgvonal minden pontjaacutet egyenesekkel oumlsszekoumltjuumlk az adott ponttal veacutegtelen guacutela-
feluumlletet kapunk A keletkező bezaacutert teacuterreacuteszt nevezzuumlk guacutelaacutenak A testmagassaacuteg az alaplap
siacutekjaacutenak eacutes a kuumllső csuacutecsnak a taacutevolsaacutega
Csonkaguacutela ha a guacutelaacutet elmetsszuumlk egy az alaplappal paacuterhuzamos siacutekkal csonkaguacutelaacutet ka-
punk Az alaplap siacutekjaacutenak a fedőlap siacutekjaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutega a csonkaguacutela testmagassaacutega
Szabaacutelyos guacutela szabaacutelyos sokszoumlg alapuacute egyenes guacutela
Konvex testeknek nevezzuumlk azokat a testeket amelyeknek baacutermely keacutet pontjaacutet oumlsszekoumltő
szakaszt a test teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Konkaacutev test nem konvex azaz a testnek van legalaacutebb keacutet olyan pontja amelyeket oumlsszekoumltő
szakaszt a test nem teljes egeacuteszeacuteben tartalmazza
Izoeacuteder olyan test melynek minden lapja egybevaacutegoacute
Szabaacutelyos test olyan konvex polieacuteder amelyeknek eacutelei eacutelszoumlgei eacutes lapszoumlgei is egyenlők Oumlt
szabaacutelyos test van szabaacutelyos tetraeacuteder kocka oktaeacuteder dodekaeacuteder eacutes ikozaeacuteder
Testek teacuterfogata annak a teacuterreacutesznek a meacuterteacuteke amelyet a test hataacuteroloacute feluumllete bezaacuter
Testek felsziacutene a test hataacuteroloacute feluumlleteacutenek meacuterteacuteke
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
6 modul TEacuteRELEMEK 49
Kocka teacuterfogata 3aV = felsziacutene 26aA = (a a kocka eacutele)
Teacuteglatest teacuterfogata abcV = felsziacutene )(2 acbcabA ++= (a b eacutes c a teacuteglatest eacutelei)
Goumlmb teacuterfogata π3
34 rV = felsziacutene π24rA = (r a goumlmb sugara)
Henger teacuterfogata mrV π2= ahol r az alapkoumlr sugara m a testmagassaacuteg
felsziacutene )(2 mrrA += π
Hasaacuteb teacuterfogata mTV a sdot= V = Ta m (alapteruumllet testmagassaacuteg)
felsziacutene pa TTA += 2 (2alapteruumllet + palaacutest)
Pont eacutes egyenes taacutevolsaacutega a pontboacutel az egyenesre bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Pont eacutes siacutek taacutevolsaacutega a pontboacutel a siacutekra bocsaacutetott merőleges szakasz hossza
Paacuterhuzamos egyenesek taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Kiteacuterő egyenesek taacutevolsaacutega a mindkeacutet siacutekra merőleges egyenes keacutet siacutek koumlzeacute eső szakaszaacutenak
hossza
Paacuterhuzamos siacutekok taacutevolsaacutega az ezeket oumlsszekoumltő raacutejuk merőleges szakasz hossza
Egyenes eacutes vele paacuterhuzamos siacutek taacutevolsaacutega az egyenes baacutermelyik pontjaacutenak eacutes a siacuteknak a
taacutevolsaacutega
Keacutet metsző egyenes hajlaacutesszoumlge az aacuteltaluk alkotott szoumlgek koumlzuumll a maacutesiknaacutel nem nagyobb
szoumlg
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet
50 MATEMATIKA bdquoArdquo bull 9 EacuteVFOLYAM Tanaacuteri uacutetmutatoacute
Egyenes eacutes siacutek hajlaacutesszoumlgeacutet uacutegy kapjuk meg hogy az egyenest merőlegesen levetiacutetjuumlk a siacutek-
ra Ha az egyenes vetuumllete egy pont akkor az egyenes merőleges a siacutekra Maacutes esetben az iacutegy
kapott vetuumlleti egyenes eacutes az eredeti egyenes hajlaacutesszoumlge adja az egyenes eacutes a siacutek hajlaacutesszoumlg-
eacutet
Keacutet kiteacuterő egyenes hajlaacutesszoumlge a veluumlk paacuterhuzamos egymaacutest metsző egyenesek hajlaacutesszouml-
ge
Keacutet siacutek hajlaacutesszoumlge a keacutet siacutek metszeacutesvonalaacutera annak egy tetszőleges pontjaacuteban mindkeacutet siacutek-
ban egy-egy merőleges egyenest aacutelliacutetunk Ennek a keacutet egyenesnek a hajlaacutesszoumlge adja a keacutet siacutek
hajlaacutesszoumlgeacutet