NATURVETENSKAP-­MATEMATIK-­  SAMHÄLLE  

Examensarbete i fördjupningsämnet

Matematik och lärande 15 högskolepoäng, avancerad nivå

Hur lärare skapar möjligheter för eleverna att utveckla den matematiska

resonemangsförmågan

How teachers create opportunities for the students to develop the mathematical reasoning skill

Frida Kristiansson

Melina Falberg

Grundlärarexamen med inriktning mot arbete i förskoleklass och årskurs 1-3, 240 hp Handledare: Ange handledare Datum för slutseminarium 2019-03-26

Examinator: Per Schubert Handledare: Jan Olsson

Förord

Detta examensarbete har skrivits av två lärarstudenter och är en kurs i grundlärarutbildningen

med inriktning mot arbete i förskoleklass och årskurs 1-3 vid Malmö universitet. Arbetet har

vi skrivit tillsammans och båda har varit lika aktiva i skrivprocessen. Vid undersökningen har

vi gjort en intervju tillsammans, därefter har Frida intervjuat tre lärare på egen hand och

Melina har intervjuat en lärare på egen hand. Vidare har Frida transkriberat tre intervjuer och

Melina har transkriberat två intervjuer som vi sedan har delgett varandra.

Abstract

Många studier bekräftar att det är viktigt att man utvecklar elevernas resonemangsförmåga

men få beskriver hur lärare kan utveckla resonemangsförmågan. Syftet med detta arbete är att

undersöka hur lärare introducerar och arbetar för att utveckla elevernas resonemangsförmåga

samt hur olika resonemang kan kategoriseras. För att kunna undersöka detta har vi använt oss

av kategorierna algoritmiska resonemang (AR) och kreativa matematiska resonemang

(KMR). Vi använder teorier om feedback på uppgiftsnivå och processnivå för att se hur

feedback påverkar elevernas resonemang. Vi har genomfört fem semistrukturerade intervjuer

med verksamma lärare i årskurs F-3 för att undersöka hur de arbetar med att utveckla

elevernas resonemangsförmåga i matematik. Resultatet av vår studie visar att lärare har olika

uppfattningar av vad resonemang vilket kan bero på att de saknar verktyg för att se olika

resonemangstyper. Vid introduktionen av arbetet med att utveckla resonemangsförmågan

beskriver lärarna främst hur de arbetar för att bygga upp ett tryggt klassrumsklimat, inte hur

de arbetar med just resonemangsförmågan. Lärarna vi intervjuade ger ofta feedback på

uppgiftsnivå vilket leder till att fokus hamnar på svaret istället för på processen. Vi ser att

lärarna kan utveckla sin feedback till processnivå genom att ställa frågor till eleverna som

berör processen vilket hjälper dem att nå KMR. Vår slutsats är att lärarna med enkla medel i

antingen uppgiftsskapande eller stöttning skulle kunna leda eleverna mot KMR.

Nyckelord: algoritmiska resonemang, feedback, feedback på processnivå, feedback på

uppgiftsnivå, kreativa matematiska resonemang

Innehållsförteckning

 1. Inledning  ....................................................................................................................................  1  

2. Syfte och frågeställningar  ...........................................................................................................  2  

3. Bakgrund  .....................................................................................................................................  3  3.1 Läroplanen  ....................................................................................................................................  3  3.2 Imitativa resonemang  ....................................................................................................................  4  3.3 Kreativa matematiska resonemang  ...............................................................................................  5  3.4 Varför ska man arbeta med KMR?  ...............................................................................................  6  3.5 Uppgifter som leder till KMR  ........................................................................................................  7  3.6 Skapa förutsättningar för KMR genom stöttning  ..........................................................................  8  

4. Teoretiska begrepp  ...................................................................................................................  11  4.1 Resonemang  ................................................................................................................................  11  4.2 Olika typer av resonemang  .........................................................................................................  11  4.3 Formativ feedback  ......................................................................................................................  12  

5. Metoder  ....................................................................................................................................  13  5.1 Metodval  .....................................................................................................................................  13  5.2 Urval  ...........................................................................................................................................  13  5.3 Forskningsetiska överväganden  ..................................................................................................  14  5.4 Genomförande  ............................................................................................................................  15  5.5 Analysmetod  ................................................................................................................................  15  5.6 Validitet och reliabilitet  ..............................................................................................................  16  

6. Resultat och analys  ...................................................................................................................  17  6.1 Presentation av lärarna  ..............................................................................................................  17  6.2 Hur läraren introducerar arbetet  ................................................................................................  18  6.3 Vilken typ av uppgifter läraren använder  ...................................................................................  20  6.4 Lärarens stöttning till eleverna  ...................................................................................................  24  6.5 Sammanfattning av resultat  ........................................................................................................  26  

7.  Slutsats  och  diskussion  ..............................................................................................................  29  7.1 Kritik mot arbetet  ........................................................................................................................  30  7.2 Framtida forskning  .....................................................................................................................  31  

Referenser  ....................................................................................................................................  33  

Bilagor  ..........................................................................................................................................  36  Bilaga 1.  ............................................................................................................................................  36  Bilaga 2.  ............................................................................................................................................  37  Bilaga 3.  ............................................................................................................................................  38  

1

1. Inledning

I en litteraturstudie vi genomförde 2017 fann vi att det finns mycket forskning kring

resonemangsförmågan kopplat till matematisk problemlösning. Däremot fann vi inte så

många studier som tar upp resonemangsförmågan i anknytning till specifika matematiska

områden. Sidenvall (2015) skriver att resonemang är viktiga för att eleverna ska kunna

utveckla en matematisk förståelse och stärka sina matematiska kunskaper. Vi vill komplettera

dagens forskningsunderlag med en studie kring olika sätt att arbeta med

resonemangsförmågan i olika matematiska områden. Lithner (2008) beskriver olika typer av

resonemang. En typ är kreativa matematiska resonemang som innebär att eleverna ska hitta

lösningsmetoder på egen hand och formulera argument med förankring i matematiken.

Eleverna får ingen guidning från varken uppgiften eller direkta formler eller lösningsförslag

från läraren. Olsson och Teledahl (2019) påpekar att lärarens roll är viktig eftersom läraren

istället för att visa hur uppgiften kan lösas ställer frågor. Eleverna får då resonera sig fram till

en lösning och argumentera för den. Lithner (2008) beskriver även imitativa resonemang som

innebär att eleverna lär sig en procedur i läroboken eller av läraren och sedan imiterar

proceduren för att lösa sin uppgift utan att formulera argument. I läroplanen står det att

eleverna ska kunna föra och följa matematiska resonemang som berör metodval, räknesätt och

resultatets rimlighet genom att ställa och besvara frågor som i huvudsak hör till ämnet

(Skolverket, 2018). Vår tolkning är att eleverna ska vara aktiva i lärandet. Härav är det av stor

vikt att lärare är medvetna om hur man kan arbeta medvetet och framgångsrikt med att

utveckla elevernas resonemangsförmåga så att de blir aktiva i lärprocessen.

I en studie av Nunes, Bryant, Barros och Sylva (2012) kommer de fram till att kopplingen

mellan matematiska resonemang och framtida prestation inom matematik var mycket

tydligare än kopplingen mellan aritmetiska kunskaper och framtida prestation inom

matematik. Vi har upptäckt att många studier beskriver att det är viktigt att arbeta med

elevernas resonemangsförmåga men få beskriver hur lärare kan arbeta för att eleverna ska

utveckla effektiva resonemang. Vi upptäckte även att studierna som finns inom området i

dagsläget är utförda på äldre elever från 13 år, härav finns det en anledning att komplettera

dagens forskning mot de yngre eleverna. Utifrån vårt teoretiska ramverk vill vi därför i denna

studie undersöka hur lärare introducerar arbetet med att utveckla elevernas resonemang. Vi

vill också ta reda på hur lärare fortsätter att låta eleverna utveckla resonemang genom val av

uppgifter och stöttning.

2

2. Syfte och frågeställningar

Syftet är att undersöka hur lärare introducerar och vidare arbetar för att eleverna ska utveckla

den matematiska resonemangsförmågan i årskurs F-3 och hur resonemangen kan

kategoriseras till algoritmiska eller kreativa matematiska resonemang.

•   Hur introducerar läraren arbetssätt där eleverna kan utveckla resonemangsförmågan?

•   Hur skapar läraren möjligheter för elevernas utveckling av resonemangsförmågan

genom uppgifter och stöttning?

3

3. Bakgrund

I detta avsnitt redovisar vi tidigare forskning inom området vi ska undersöka samt hur vi valt

att tolka och definiera begreppet resonemang. Vi presenterar också utifrån läroplanen och

forskning varför detta område är viktigt. Resonemang kommer vi att presentera som imitativa

och kreativa.

3.1 Läroplanen

I kursplanens syfte för matematik står det att eleverna inom matematikundervisningen ska få

möjlighet att utveckla förmågan att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang

(Skolverket, 2018). Begreppet resonemang kommer vi att tolka utifrån Lithners (2008)

definition som är att resonemang är tankegången som sker när en ska lösa en uppgift.

Tankegången och lösningen måste inte vara logisk eller korrekt så länge den uppfattas som

rimlig av den som löser och resonerar kring uppgiften. Lösningen anses som rimlig eftersom

personen förlitar sig på sitt resonemang. Vidare står det i kursplanens syfte att eleverna ska

utveckla kunskaper för att formulera och lösa problem samt reflektera över sina strategier

(Skolverket, 2018).

Resonemang står som en av de fem matematiska förmågorna i läroplanens syfte för

matematik. Härav är lärare skyldiga att arbeta med utvecklingen av denna förmåga likväl som

de andra fyra. De fem matematiska förmågorna genomsyrar i sin tur det centrala innehåll där

varje arbetsområde representeras med ett antal punkter att arbeta utefter. Kunskapskraven för

årskurs 3 speglar i sin tur både syftet och det centrala innehållet för matematik. Där står det

bland annat att:

Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och

räknesätt samt om resultats rimlighet, slumpmässiga händelser, geometriska

mönster och mönster i talföljder genom att ställa och besvara frågor som i

huvudsak hör till ämnet. (Skolverket, 2018, s. 60)

4

För att förstå vad Skolverket menar med resonemang måste vi också läsa

kommentarmaterialet till kursplanen för matematik. Där beskrivs mer ingående vad det

innebär att föra ett matematiskt resonemang.

En del av att kunna föra ett resonemang innebär att utveckla en förståelse för att

matematiska samband är konstruerade, och att de därför också kan

”återupptäckas” genom att man resonerar sig fram. När eleverna får möjlighet

att föra matematiska resonemang kan de resonera sig fram till olika lösningar

med hjälp av både informella och formella matematiska argument. (Skolverket,

2017, s. 10)

Skolverkets (2017) förklaring är likvärdig med den förklaring som Lithner (2008) ger av

resonemang. Lithners förklaring kommer att beskrivas mer ingående i kommande avsnitt.

3.2 Imitativa resonemang

Lithner har gjort flera studier där han undersöker elevers svårigheter med att lösa matematiska

uppgifter där lösningsmetoden inte är given (Lithner, 2000; 2003; 2004). Han kommer fram

till att svårigheterna ofta beror på elevernas imitativa resonemang vilket innebär att eleverna

försöker applicera en regel som de tidigare lärt sig i en liknande uppgift men utan att förstå

matematiken bakom regeln. Lithner (2003) har gjort en kvalitativ studie med ett fåtal

universitets studenter med syfte att undersöka hur de resonerar och var problematiska

situationer uppstår. Han presenterar ett exempel från sin egen praktik en elev som fått

uppgiften 𝑎" ∙ 𝑎$  =____. Eleven undrar om svaret är 𝑎&". Eleven minns att hen hade lärt sig

en regel, och försöker komma ihåg om det handlade om att multiplicera eller addera basen

eller exponenterna men hen minns inte vilket det skulle vara. Eleven försöker minnas

proceduren istället för att förstå att grunden i 𝑎' innebär en upprepad multiplikation där man

ska multiplicera a, med m gånger. 𝑎" ∙ 𝑎$  är alltså samma sak som 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎  multiplicerat

med 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎. Lithner (2008) delar sedan upp imitativt resonerande i två olika typer. Den ena

är algoritmiska resonemang, som vi fortsättningsvis kommer benämna som AR och det är

också denna typ av imitativt resonemang som vi kommer använda oss av i vår undersökning.

Den andra typen är memorerande resonemang (MR). Lithner (2008) förklarar innebörden av

MR som att eleven har memorerat ett svar och behöver därmed inte göra en uträkning för att

besvara uppgiften. Detta används vid uppgifter där eleven endast ska skriva ett svar. Ett

5

exempel på MR är att en elev har lärt sig att 100 cm är 1 m, om eleven sedan får frågan; Hur

många cm går det på 1 m? så behövs inte någon matematisk uträkning eftersom eleven redan

vet svaret. Svaret är memorerat.

Lithner (2008) förklarar att en algoritm är en matematisk procedur i ett bestämt antal steg som

används för att lösa ett visst problem eller utföra en beräkning. Om eleven väljer rätt algoritm

till uppgiften samt implementerar den korrekt så kommer det leda till ett korrekt svar. Lithner

säger också att den största svårigheten i AR är att välja rätt algoritm. Han beskriver att det

finns tre olika sätt att välja rätt algoritm. En variant är välkänd AR vilken innebär att eleven

väljer en algoritm som hen är bekant med sedan tidigare från en liknande uppgift, eleven

väljer då en procedur efter uppgiften. Är uppgiften bekant sedan tidigare kommer eleven välja

den algoritm som tidigare har använts, exempelvis när eleven ska beräkna procentsatser där

det finns färdiga procedurer att använda. Ett annat sätt är avgränsad AR vilket innebär att

eleven kan flera procedurer och väljer en eller flera av dem som känns relevanta för att kunna

lösa uppgiften utifrån en ytlig reflektion över rimligheten. Om svaret inte upplevs som rimligt

så överges proceduren och eleven går vidare till nästa utan att reflektera över vad som gjorde

att svaret blev fel. Detta fortsätter tills eleven fått ett tillfredsställande svar oavsett om det är

korrekt eller inte, alternativt ger eleven upp utan att ha fått ett svar. Exempel på avgränsad AR

är om eleven ska beräkna en uppgift såsom “Hur många procent har priset ökat om varan från

början kostade 10 kr och nu kostar 22 kr?” Eleven löser uppgiften genom att dividera

ökningen med det ursprungliga priset vilket ger ett svar på 120 %. Eleven själv tror inte att

det är ett rimligt resultat eftersom procenttalet vanligtvis är mindre än 100 %. Istället för att

reflektera över vad som hänt i beräkningen så testar eleven att vända på uträkningen, vilket

ger ett för eleven rimligt svar på 83 %. Eleven nöjer sig med det felaktiga svaret eftersom det

uppfattas som rimligt då det är mindre än 100 %. Ytterligare en variant är guidad AR vilket

innebär att eleven följer instruktioner som kommer från läraren eller boken. Eleven blir

guidad genom uppgiften och får stegvis instruktioner för att lösa uppgiften. Eleven behöver

inte reflektera eller argumentera för varför just den proceduren är lämplig och korrekt till

uppgiften. Eleven löser uppgiften steg för steg enligt instruktion.

3.3 Kreativa matematiska resonemang

Lithner (2008) beskriver att det i matematikundervisningen inte är vanligt att elever får

uppgifter som kräver kreativa matematiska resonemang (KMR) utan att det oftast är uppgifter

6

som kan lösas genom AR. KMR innebär att eleven hittar en lämplig procedur för att lösa

uppgiften och kan argumentera för den utifrån matematiska grunder. Proceduren är för eleven

ny eller återskapad från en bortglömd procedur. Eleven delar upp uppgiften i delar för att

stegvis med väl motiverade procedurer lösa den. Lithners (2008) kriterier för att nå ett

fullständigt KMR är:

•   Eleven ska på egen hand ta fram en för eleven ny eller återskapad lösningsmetod.

•   Eleven ska kunna argumentera och motivera för rimligheten i sitt val och användande

av metod samt resultat.

•   Resonemanget ska vila på matematiska grunder.

Ett exempel på en uppgift som kan leda till fullständigt KMR är samma som den inledande

uppgiften i avsnittet Imitativa resonemang. I exemplet 𝑎" ∙ 𝑎$  =____ undrar eleven om svaret

blir 𝑎&". För att leda eleven till ett KMR kan läraren ställa följdfrågor där eleven får reflektera

över sitt svar, exempelvis ”Vad kan du om potensräkning?” Eleven kan genom den frågan

reflektera över sina kunskaper och sitt svar och därmed närma sig KMR. Om eleven har svårt

att komma igång i resonerandet kan läraren ställa ytterligare en fråga om hur eleven kom fram

till sitt svar 𝑎&". Avsikten med frågan är att eleven ska förklara sin lösningsprocedur och själv

kunna avgöra om svaret är rimligt. Nästa steg blir att eleven ska minnas eller komma fram till

grunderna i potensräkning och komma fram till en korrekt procedur och lösning.

3.4 Varför ska man arbeta med KMR?

Pape, Bell och Yetkin (2003) beskriver hur kraven för att vara duktig på matematik har

förändrats. Från att vara duktig på formler och algebraiskt tänkande till att ha konceptuell

förståelse, strategisk kompetens och anpassningsbar resonemangsförmåga. Sidenvall (2015)

har skrivit en avhandling som grundar sig på tre olika studier som behandlar matematiska

resonemang. Han kom fram till att när eleverna får möjlighet att resonera ökar deras förmåga

att kunna repetera, återberätta och argumentera för val av metoder och lösningar. Elevernas

förmåga att repetera och återberätta ökar genom ett effektivt resonemang eftersom de måste

framföra matematiska argument för sina lösningar. Denna arbetsgång skapar en konceptuell

förståelse och anpassningsbar resonemangsförmåga.

Studier visar att KMR har en större effekt än AR på inlärningen och förmågan att minnas det

man lärt sig (Jonsson, Norqvist, Liljekvist & Lithner, 2014; Lithner, 2008; Norqvist, 2018;

7

Olsson & Granberg, 2018). Norqvist (2018) har gjort en studie där han ville undersöka

effekterna av KMR, AR och förklarande AR. Förklarande AR innebär att det finns en

förklaring till varför man använder sig av den procedur som angivits. Studien gjordes i tre

grupper med 125 deltagare i åldern 16-17 år. Eleverna gjorde ett förtest som var ett enklare

intelligenstest som delade in eleverna i grupper. Därefter fick eleverna arbeta gruppvis med

olika uppgifter. Resultatet under övningarna var att grupperna med AR och förklarande AR

fick betydligt högre poäng än gruppen med KMR. Därefter gjordes ett eftertest där resultatet

blev att alla tre grupper hade ungefär samma poäng. Alltså hade de två AR grupperna

betydligt lägre poäng i eftertestet jämfört med förtestet medan gruppen med KMR bara hade

något lägre poäng i eftertestet.

Liknande resultat blev det i de andra studierna, alltså att eleverna som fick arbeta med KMR

presterade bättre på eftertesterna än de som arbetat med AR. Jonsson et al. (2014) har gjort en

studie med 131 elever i 16-17 års ålder för att jämföra effekten av KMR och AR. Eleverna

fick göra ett test som analyserades för att kunna dela in dem i två grupper. Den ena gruppen

fick sedan öva på AR-uppgifter och den andra på KMR-uppgifter för att till sist göra ett slut

test. Resultatet av deras studie var att de elever som hade sämre förutsättningar för att klara

matematiken i uppgifterna drog större nytta av att arbeta med KMR. Ett annat resultat var att

de elever som arbetade med uppgifter som ledde till KMR behövde längre tid till uppgifterna

än de som arbetade med AR. Däremot presterade eleverna som arbetat med KMR bättre i

eftertestet än de som arbetat med AR. Undersökningen visar att elever som måste anstränga

sig och riktigt engagera sig i uppgiften för att lösa den får en djupare förståelse för

matematiken vilket leder till en relationell och konceptuell förståelse samt bättre matematiska

prestationer i framtiden.

3.5 Uppgifter som leder till KMR

Kapur (2011) har gjort en studie med 109 elever i årskurs 7 som bygger vidare på hans

tidigare forskning. Alla elever undervisas av samma lärare men med olika

undervisningsmetoder. Detta för att kunna jämföra effekten av olika uppgiftstyper i olika

undervisningsmetoder. Han har använt sig av två olika uppgiftstyper, den ena typen är en

väldefinierad uppgift där alla variabler finns utskrivna. Det finns alltså inga ytterligare

variabler som eleven behöver räkna ut eller resonera sig fram till innan det går att beräkna

uppgiften. Den andra typen är en odefinierad uppgift där eleven på egen hand måste fastställa

8

alla variabler. Denna uppgift innehåller alltså mindre guidning än den väldefinierade

uppgiften. Resultatet visar att de elever som fick arbeta med väldefinierade uppgifter

presterade bättre på förtestet än de elever som arbetat med de odefinierade uppgifterna.

Däremot så visade det sig att resultatet blev omvänt på eftertestet där de elever som arbetat

med odefinierade uppgifter presterade bättre än de som arbetat med väldefinierade uppgifter.

Alltså har uppgifternas struktur en stor påverkan på elevers resultat.

Att skapa uppgifter som leder till KMR kan enligt Lithner (2017) både vara enkelt och svårt.

Svårigheten är att inte göra för svåra uppgifter samt att göra uppgifter där eleven får träna på

det som läraren tänkt sig att eleven ska lära sig. När man arbetar med KMR är det svårt att

veta vilken metod eleven kommer välja och således svårt att veta vilka upptäckter de kommer

göra i en uppgift. Uppgiften måste också ge eleven möjlighet till att konstruera egna argument

som är kopplade till sin lösning. Enligt Lithner är det tre komponenter som skapar en bra

uppgift för KMR. Uppgiften ska ge möjlighet till kreativitet, argumentation och konceptuell

utmaning. Den kreativa utmaningen handlar om att eleverna ska uppmuntras till att stegvis

konstruera en egen lösning genom matematiska argument istället för att försöka minnas en

färdig procedur som de lärt sig tidigare men inte kan argumentera för. Den konceptuella

utmaningen styr vilken matematisk svårighet uppgiften ska ha. Det betyder också att

svårigheten måste matcha elevens befintliga kunskap, uppgiften ska vara utmanade och

problematisk men inte så svår att eleven upplever den som omöjlig och tappar intresset.

Argumentationen kan vara olika utmanande, eleverna ska kunna argumentera för sin

förutsägelser, alltså argumentera för varför de väljer att beräkna uppgiften som de gör samt

varför de tror att de kommer få det svaret som de tänkt sig.

3.6 Skapa förutsättningar för KMR genom stöttning

Olsson och Granberg (2018) har gjort en interventionsstudie på 129 elever i åldrarna 15-16 år.

De testade i en studie effekten av att lösa uppgifter genom KMR kontra AR. Resultatet blev

att de elever som klarat en övningsuppgift genom KMR presterade bättre än de som klarat en

övningsuppgift genom AR. Däremot var det bara 22 stycken (33 %) av dessa elever som

arbetade genom KMR som klarade övningsuppgiften, jämfört med 43 stycken (68 %) i AR-

gruppen. Första uppgiften i eftertestet var om eleverna kom ihåg regeln de skapade i förtestet.

Resultatet visar att av de 22 eleverna i KMR-gruppen som klarat övningsuppgiften, klarade 17

stycken (77 %) denna uppgift. I AR-gruppen var det 17 stycken av 43 elever (40 %) som

9

klarade första uppgiften i eftertestet. Alltså har KMR stor betydelse för hur väl eleverna minns

lärandemålet för en uppgift, således har läraren en viktig uppgift i att stötta eleverna till KMR.

I diskussionen skriver Olsson och Granberg om att läraren dels behöver använda sig av icke-

guidade uppgifter som möter eleverna på den kunskapsnivå de befinner sig på, dels stötta

eleverna på ett sätt där de får möjlighet att skapa och argumentera för lösningsmetoden.

Lärarens roll är alltså inte att förklara hur uppgiften ska lösas. Läraren behöver stötta och

uppmuntra fler elever att klara uppgifterna genom KMR eftersom det kan leda till en

relationell förståelse, det vill säga en djupare förståelse.

Ett sätt att begreppsliggöra stöttning är att titta på lärares feedback till eleverna. Hattie och

Timperley (2007) presenterar fyra olika sätt att ge feedback på. Det kan ske på uppgiftsnivå,

processnivå, självregleringsnivå och personlig nivå. Hattie (2012) beskriver att feedback på

uppgiftsnivå kan bestå av kommentarer till elevens uppgift, exempelvis fråga eleven om hen

kan visa sitt svar på något annat sätt eller uppge mer information kring sitt svar. Det är denna

typ av feedback som är vanligast i klassrummen och den är effektiv om den är

informationsfokuserad och fokuserar på de processer som eleven använt för att ta sig igenom

en uppgift. Hattie och Timperley (2007) skriver också att för mycket feedback på uppgiftsnivå

kan leda till att eleven fokuserar mer på kortsiktiga mål istället för på långsiktiga strategier för

sitt lärande. Vidare kan eleven få feedback på processnivå. Syftet med denna typ av feedback

är att den ska leda till utveckling av inlärningsstrategier. Läraren kan exempelvis be eleven att

försöka reda ut var i processen alltså uträkningen det blev fel. Denna feedback hjälper eleven

till att själv bearbeta sin process istället för att fokusera på svaret. Genom att på egen hand

bearbeta sin process skapas en djupare förståelse för lösningen till uppgiften som sedan kan

användas i kombination med andra strategier i nya uppgifter. Självregleringsnivå handlar om

att tillsammans med eleven utveckla verktyg för självbedömning, bättre självdisciplin eller

förmåga till att själv söka feedback från lärare eller andra hjälpmedel som böcker och digitala

verktyg. Det största fokuset inom självregleringsnivån är att stärka elevens förmåga till att

motivera sig själv och utvärdera sin egen framgång. Till sist har vi den nivå som kallas

personlig nivå. Denna feedback är oftast ineffektiv eftersom den syftar till eleven som person

och inte till hur eleven ska arbeta vidare sitt svar eller sin lösning för att utveckla sitt lärande.

Ett exempel på detta är kommentaren “Bra jobbat!” vilket är beröm till eleven men saknar

återkoppling kring hur eleven kan utveckla sitt lärande. Feedback på personlig nivå är vanligt

i klassrummen men kan ha en negativ effekt på elevens framtida prestationer eftersom den

fokuserar på bra och dåligt eller rätt och fel, det vill säga att fokus ligger på kvaliteten på

produkten istället för processen.

10

Olsson och Teledahl (2019) har gjort en pilotstudie i årskurs 8 för att arbeta fram principer för

hur läraren kan ge feedback som leder till KMR, dessa principer testades sedan av läraren. De

har konkretiserat delen kring feedback i den formativa bedömningen för att lärare ska kunna

använda den direkt i klassrummet. Principerna går ut på att eleverna uppmuntras att sätta ord

på hur de tänkt för att lösa uppgiften och förklara varför deras lösningsmetod fungerar. De

uppmuntras också att använda sig av tidigare delar i uppgiften för att kunna kontrollera om

deras slutgiltiga svar är korrekt. Olsson och Teledahl (2019) nämner ett exempel på detta med

en elev som inte kommer fram till ett korrekt svar på fråga 3 (se figur 1). Eleven beräknar den

genom 5 x 100 + 28 = 528. För att stötta eleven mot KMR frågar läraren hur eleven löst första

frågan, därefter utmanas eleven att komma fram till en generell lösning. När eleven hittat en

generell lösning uppmuntras eleven att testa sin lösning på fråga 2 och 3 eftersom de båda

hade felaktiga lösningar. Läraren uppmuntrar eleven att resonera kring lösningen på fråga 1

eftersom eleven där är säker på att svaret är korrekt och kan då använda det för att kontrollera

sin metod. När eleven fått en metod som gav korrekt svar i fråga 1 kunde hen gå vidare och

testa sin nya metod på resterande frågor. Eleven kunde utifrån lösningen på fråga 1

argumentera för sin lösningsmetod i alla delfrågorna.

Figur 1. Uppgift om blommor och plattor, årskurs 4-6.

11

4. Teoretiska begrepp

4.1 Resonemang

Begreppet resonemang kommer vi att tolka utifrån Lithners (2008) ramverk. Han beskriver

resonemang som tankegången som sker när någon löser en uppgift. Varken tankegången eller

lösningen måste vara logisk eller korrekt, däremot ska den uppfattas som rimlig av den som

löser uppgiften. Lithner har gjort flera studier kring olika typer av resonemang, vi har valt två

typer av dem som är relevanta för studien, algoritmiska resonemang (AR) och kreativa

matematiska resonemang (KMR) (Lithner, 2000; 2003; 2004; 2008; 2017).

4.2 Olika typer av resonemang

För att besvara vårt syfte och frågeställningar kommer vi att analysera vårt material med hjälp

av AR och KMR. Utifrån dessa kan vi kategorisera de resonemangstyper som framkommit i

våra insamlade data. AR innebär att eleven imiterar en lösningsprocedur som givits som

exempel i läroboken eller från läraren vid liknande uppgifter utan att argumentera för varför

det är en lämplig procedur att använda. Vid KMR ska eleven komma på en egen procedur

med hjälp av matematiskt grundade argument för varför proceduren är lämplig och ger rätt

svar. KMR beskrivs av Lithner (2008) i tre punkter. För att uppnå fullständigt KMR krävs det

att alla dessa tre punkterna uppfylls.

•   Eleven ska på egen hand ta fram en lösningsmetod.

•   Eleven ska kunna argumentera och motivera sitt val och användande av metod.

•   Resonemanget ska vila på matematiska grunder.

Lithner (2017) skriver också att uppgifterna måste ha ett visst innehåll för att skapa

förutsättningar för ett fullständigt KMR. Uppgifterna behöver framförallt ge eleven utrymme

till kreativitet, argumentation och konceptuell utmaning. Detta kommer vi använda i vår

analys för att kunna se om uppgifterna som eleverna tilldelas skulle kunna leda till KMR.

12

4.3 Formativ feedback

För att analysera våra data samt besvara frågan om hur läraren skapar möjligheter för eleverna

att utveckla resonemangsförmågan genom uppgifter och stöttning så kommer vi använda

begreppen “feedback på uppgiftsnivå” och “feedback på processnivå”. Dessa begrepp är ett

sätt för oss att begreppsliggöra lärarens stöttning till eleverna.

Hattie (2012) förklarar feedback på uppgiftsnivå genom att man lägger fokus på uppgiften för

att komma fram till ett korrekt svar. Feedbacken kan bestå av direkta kommentarer på om

uppgiften är rätt eller fel. Vid denna typ av feedback behöver eleven inte fundera kring sin

lösning utan läraren berättar för eleven var felet uppstod och hur det rättas till.

Vid feedback på processnivå ligger fokus istället på processen. Genom denna typ av feedback

utvecklas en djupare förståelse eftersom eleven själv behöver hitta felet och fundera ut en

annan metod för att lösa uppgiften. Feedback på processnivå kan leda till ett KMR eftersom

eleven själv måste granska sin process.

13

5. Metoder

I det här kapitlet presenterar vi vårt val av metod och genomförande samt hur vi har gått

tillväga i vårt urval av intervjupersoner. Vi diskuterar arbetets validitet och reliabilitet och

beskriver hur vi har tagit hänsyn till de forskningsetiska principerna. I kapitlet presenterar vi

också vår analysmetod som används till det insamlade materialet.

5.1 Metodval

För att besvara våra frågeställningar har vi valt att använda oss av en kvalitativ metod i form

av intervjuer. Intervju är en lämplig undersökningsmetod eftersom våra frågeställningar syftar

till hur lärare arbetar i klassrummet. Alvehus (2013) beskriver att man genom en intervju kan

man komma åt respondentens erfarenheter och tankar, att det är ett sätt att komma närmare

personen man intervjuar. Till intervjuerna har vi formulerat ett antal huvudfrågor (se bilaga

1), där svaren på frågorna sedan styr samtalets riktning. En intervju av detta slag anses ha en

semistrukturell karaktär (Bryman, 2018). Alvehus (2013) förklarar att denna typ av intervju

inte är enkel för den som intervjuar eftersom det är svårt att förbereda följdfrågor då man inte

vet vilken riktning samtalet kommer ta. Intervjuaren bör ställa följdfrågor som gör att

respondenten fördjupar sitt svar. Vidare skriver han att det är viktigt att den som blir

intervjuad inte ska ställas till svars för sitt arbete eller sina åsikter. Det är vår uppgift som

intervjuare att aktivt lyssna och ställa passande följdfrågor som fördjupar svaren samt öppnar

upp för samtal och samtidigt ramar in samtalet innanför frågeställningens ramar.

5.2 Urval

Vi började med att försöka göra ett målstyrt urval genom att skicka ut en intervjuförfrågan i

fem olika facebookgrupper med aktiva lärare men fick ingen respons. Bryman (2018)

beskriver målstyrt urval som ett icke-sannolikhetsbaserat urval vilket innebär att forskaren

strävar efter att deltagare på ett strategiskt sätt väljs så att de speglar den variation som finns

samt att de är relevanta för forskningsområdet. Nackdelen med att söka kontakt i

facebookgrupper är att det inte blir en direkt och personlig kontakt vilket gör det lätt att

ignorera. Vårt nästa försök gjorde vi genom att skicka ett mejl till rektorer i vårt närområde

14

där vi önskade att komma i kontakt med verksamma lärare att intervjua. Detta beskriver

Alvehus (2013) som ett strategiskt urval vilket innebär att man har gjort ett urval baserat på

vilken information man behöver för att besvara forskningsfrågorna. I vårt mejl efterfrågade vi

lärare som arbetade med resonemangsförmågan i årskurserna F-3. Härav blir det ett strategiskt

urval eftersom vi hade vissa kriterier som skulle uppfyllas för att respondenten skulle vara

intressant för att besvara våra frågeställningar. Rektorerna tillfrågades att vidarebefordra detta

mejl till lärare i årskurserna F-3 i hopp om att några lärare skulle vilja ställa upp på en

intervju. Utifrån detta fick vi enbart ett svar. Vi bokade in ett möte med läraren för att

genomföra intervjun. Vi fick dock ingen mer respons från skolorna och behövde fler lärare att

intervjua. Nästa steg blev då att ta kontakt med våra VFU- skolor och fråga om några lärare

ville ställa upp på intervju. Detta är enligt Alvehus (2013) ett bekvämlighetsurval eftersom vi

vänt oss till en grupp som vi vet finns tillgängliga för intervjuer. Vi hade dock inget annat

alternativ eftersom responsen från de skolor vi kontaktat var dålig och tiden var knapp så vi

valde att ställa frågan till de skolor vi visste var tillgängliga. Responsen från våra VFU-skolor

gav oss fyra lärare att intervjua.

Vi har också varit i kontakt med en verksam lärare som arbetar med KMR. Vi fick detta tips

från en forskare som vi har kontakt med under detta arbete. Vi kunde tyvärr inte träffa läraren

för att göra en observation och intervju, utan hon besvarade istället frågorna skriftligt via

mejl.

5.3 Forskningsetiska överväganden

Vi utgår från Vetenskapsrådets (2002) forskningsetiska principer i vår undersökning. När

forskning bedrivs är det viktigt att de fyra huvudkraven inom individskyddskravet följs. Dessa

är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet.

Informationskravet innebär att deltagaren ska informeras om vad forskningen handlar om och

vilken roll de har, samt att deltagandet är frivilligt. Deltagarna har innan intervjuerna både fått

skriftlig och muntlig information om arbetet och vad det innebär att delta i undersökningen.

För att forskningen ska kunna genomföras behöver man deltagarens samtycke, det vill säga

deras godkännande. Om deltagaren väljer att avbryta ska detta ske utan några negativa följder,

deltagaren har själv rätt att välja om och på vilka villkor de vill delta. Innan intervjuerna har

deltagarna fått ta del av denna informationen och skrivit under en samtyckesblankett (se

bilaga 2). Konfidentialitetskravet innebär att deltagaren ska vara anonym, all information som

15

deltagaren ger ska avidentifieras i arbetet. Vi har i presentationen av vårt resultat

avidentifierat lärarna genom att tilldela dem andra namn och inte uppge var eller vilken skola

de arbetar på. Nyttjandekravet säger att informationen vi samlar in från deltagarna inte får

användas till någonting annat än vår egen forskning, det gäller både intervjumaterial samt

deras personuppgifter. Efter att ha analyserat det insamlade materiellt har detta raderats och

inga personuppgifter finns att tillgå.

5.4 Genomförande

För att få fram relevanta intervjufrågor utgick vi ifrån våra frågeställningar. För varje fråga vi

skrev tänkte vi ut möjliga svar som lärarna skulle kunna ge samt möjliga följdfrågor.

Lärarna fick i förväg ut dessa huvudfrågor (se bilaga 1) som skulle ligga till grund för

intervjun samt en önskan om att samla ihop material och uppgifter från deras undervisning

som vi kunde prata om. Intervjuerna spelades in med en diktafon.

Under den första intervjun upplevde vi att läraren svävade iväg och berättade om saker som

inte direkt kunde besvara våra frågeställningar. Alvehus (2013) skriver om några svårigheter

med intervjuer där man kan ta hänsyn till hur stort utrymme respondenten ska ha och när man

som intervjuare ska gå in och avbryta och leda om samtalet när respondenten verkar sväva

utanför frågan. Till kommande intervjuer fick vi tänka om och försöka hålla samtalet inom

området vilket gav oss utförligare svar. Som vi nämnt tidigare så beskriver Alvehus (2013) att

intervjuer av semistrukturell karaktär inte alltid är enkla. Intervjuaren bör ställa följdfrågor

som gör att respondenten fördjupar sitt svar, detta var något vi fick lägga större fokus på till

kommande intervjuer.

5.5 Analysmetod

Alvehus (2013) skriver att det är i analysen som det teoretiska ramverket möter det empiriska

materialet. För att analysera vårt material utgick vi från våra frågeställningar.

Analyspunkter:

1.   Hur läraren introducerar arbetet

2.   Vilken typ av uppgifter läraren använder

16

3.   Hur läraren stöttar eleverna

Alvehus (2013) beskriver att analysera är som att bryta ner något till dess beståndsdelar. För

att kunna analysera materialet måste vi först transkribera de delar av intervjuerna vi ska

använda. Bryman (2018) skriver att en transkribering är mycket tidskrävande att göra, där en

timmes intervju kan ta 5-6 timmar att transkribera. Därför valde vi att bara transkribera de

delar som rör våra frågeställningar.

5.6 Validitet och reliabilitet

Vi anser att validiteten i vårt arbete är hög eftersom vi har analyserat vårt material utifrån

tidigare forskning och teori som är tydligt kopplade till våra frågeställningar. Vi har

formulerat intervjufrågorna utifrån våra frågeställningar för att säkerställa att vi besvarar

dessa. Vi har också utformat en analysmodell utifrån de teorier vi behöver för att analysera

resultatet och besvara frågeställningarna. Bryman (2018) problematiserar begreppet eftersom

det syftar till att mäta någonting vilket man gör i en kvantitativ studie som ska kunna

presentera ett mer generaliserande resultat. I en kvalitativ studie sker ingen direkt mätning och

syftar sällan till att få fram ett generaliserbart resultat. Som Bryman (2018) beskriver är vårt

syfte inte att få fram ett generaliserbart resultat eftersom det skulle kräva en mer omfattande

undersökning.

Reliabiliteten, det vill säga tillförlitligheten, kan vara svår att uppnå. Det Bryman (2018)

kallar extern reliabilitet, alltså i vilken utsträckning studien går att upprepa, kan vara svår att

uppnå i en kvalitativ studie men är inte helt omöjligt. En kvalitativ studie bygger på individers

uppfattning om ett visst ämne, dessa uppfattningar kan variera stort beroende på miljön

omkring. Forskaren kan också tolka dessa på olika sätt vilket då ger olika resultat. Vi har i

vårt arbete strävat efter så hög reliabilitet som är möjligt med en kvalitativ studie genom att vi

har transkriberat vårt material och visar det i arbetet. Det gör vårt resultat transparent vilket

ger andra en möjlighet att följa vår tankegång och upprepa studien. Efter att vi analyserat vårt

material upptäckte vi att vi hade behövt ställa fler följdfrågor för att fördjupa samtalen och få

en större förståelse av lärarnas undervisning vilket påverkar arbetets reliabilitet.

17

6. Resultat och analys

För att lärarna vi intervjuat ska vara anonyma har vi valt att nämna dem som en siffra istället

för ett namn. I transkriberingarna representeras vi med ett I som står för intervjuare, lärarna

representeras med ett L och den siffra de blivit tilldelade.

6.1 Presentation av lärarna

Lärare 1, åk F-3

Läraren arbetar på en F-3 skola i södra Sverige med ca 124 elever. Eftersom det är en så liten

skola så har lärarna ett nära samarbete med varandra och arbetar likvärdigt enligt henne själv.

De arbetar en del med utematematik och i övrig matematikundervisning är konkret material

och praktiska uppgifter ofta i fokus. Läraren beskriver att de försöker fånga eleverna där de

befinner sig och göra uppgifter utifrån barnens intresse just där och då.

Lärare 2, lärare 3 och lärare 4, åk F-3

Dessa tre lärare arbetar på en F-9 skola i södra Sverige med ca 500 elever. Lärarna arbetar

ofta enligt EPA-modellen (enskilt-par-alla) som innebär att eleverna först får tänka

individuellt, sedan med sin kamrat och sedan diskuterar man tillsammans i hela klassen.

Lärarna har ett varierat arbetssätt där eleverna får arbeta både i läroboken och med uppgifter

vid sidan om som lärarna har letat upp på egen hand.

Lärare 2 arbetar mycket med praktiskt material för att eleverna ska få förståelse för vad de

gör. Hon låter ofta eleverna skriva egna räknesagor vilket är uppskattat av eleverna.

Lärare 3 skapar många möjligheter för eleverna att resonera genom att ställa många varför-

frågor för att eleverna ska tänka till och få förståelse för vad de gör. Hon arbetar också mycket

med ett skapa ett tryggt klassrumsklimat under det första året för att eleverna ska våga ta plats

och prata.

Lärare 4 visar ofta elevlösningar som eleverna får diskutera och de har börjat arbeta mer med

problemlösning.

18

Lärare 5, åk 1-3

Läraren arbetar på en F-9 skola i södra Sverige med ca 900 elever. Lärarna arbetar på olika

vis och med olika material eftersom lärarna själva får tillverka sitt praktiska material.

Undervisningen utgår i stor utsträckning från matematikboken som han själv beskriver som

aritmetisk och med fokus på färdighetsträning. Läraren berättar att han gärna hade arbetat mer

praktiskt men eftersom de resurser och material som behövs inte tillhandahålls av skolan så

blir det istället att undervisningen utgår från boken, framförallt i åk 1 som han undervisar i

just nu.

Lärare 6, åk 4-6

Läraren arbetar på en F-9 skola i södra Sverige med ca 400 elever. Hon samarbetar med en

forskare inom området matematiska resonemang, mer specifikt hur feedback påverkar

elevernas resonemang till att bli kreativa eller imitativa vilket är i linje med det vi skriver om

nu.

6.2 Hur läraren introducerar arbetet

Både lärare 1 och 3 börjar med att skapa ett tolerant klassrumsklimat samt lära eleverna att

lyssna på varandra så att alla får komma till tals. De båda trycker på att alla elever måste

känna sig trygga för att våga prata och dela med sig av sina tankar, kunskaper och

erfarenheter. Om eleverna inte känner sig trygga kommer de enligt lärare 3 inte kunna

samtala.

Lärare 1:

Det vi gör är ju att börja redan i F-klassen, direkt. Eh vi har mattesamlingar  [...]

Första terminen jobbar vi med att överhuvudtaget kunna sitta i en samling och turtaga

för det bygger ju på att skapa ett tolerant klimat. Det är ju liksom huvudpunkten för att

kunna sitta ner och resonera och diskutera. Så att klassrumsklimatet, att det är tolerant

är ju a och o för allt.

Lärare 3:

Först handlar det definitivt om arbetsro, absolut, men det handlar också om insikten att

alla är olika är superviktig, för när du väl kommit så långt som nu så inser du att du

19

kommer hamna i lärpar där alla är olika, då kan du inte sätta dig på tvären och säga du

kan ingenting för då lär vi oss ingenting.

Ett annat sätt lärarna arbetar med att introducera resonemang är enligt EPA- modellen. Lärare

2, 3, och 4 arbetar mycket med EPA-modellen för att få eleverna att resonera. Lärare 2

nämner att hon arbetar med praktiskt material så de har något att samtala kring.

Lärare 2:

Också började jag med de här uppgifterna att de ska plus, att ha ett plustecken och ett

likamedtecken, också lägga då ut kanske 2 flygplan + 3 traktorer = 5. Eller om man

kanske bara har äpplen… det beror på, de gör på lite olika nivåer. Men att man lägger

ut det praktiskt tillsammans med någon istället för att göra det själv.

Lärare 5 förklarar att han inte börjar riktigt så tidigt med resonemang eftersom eleverna först

måste kunna använda språket, han börjar först i årskurs 2 och då i helklass.

I: Mm, ja, och hur började du jobba med just resonemang i klassen? Ibland kan det ju

vara lite svårt att få igång dem.

L5: Ja de här korten brukar jag använda (se bilaga 3), ja inte i ettan dock men när de

kommer upp i tvåan så är dem här nivågrupperade, lätta i början och sen är det svårare

i slutet. Så brukar jag fota kortet och upp med den på tavlan så man då kan ha en

diskussion, man kan börja där.

[...]

I: Men du sa inte i ettan? Men senare?

L5: Nej, ja precis

I: Men ungefär hur ofta arbetar ni med korten sen i tvåan?

L5: Ja det blir ungefär en gång i veckan

I: Men har du något annat sådant liknande som du gör i ettan eller är det mer boken

som gäller?

L5: Neeej det är bara böckerna i stort sett, det är läskoden där det hänger på… att man

ska kunna läsa.

Som vi kan se utifrån resultaten arbetar lärarna på lite olika sätt för att introducera

utvecklingen av elevernas resonemang. Mycket handlar om att skapa ett bra klassrumsklimat

där eleverna känner sig trygga att uttrycka sig, men även att erbjuda eleverna lämpliga

20

uppgifter att resonera kring. Detta gör dem genom praktiskt material och problemlösningskort

utifrån elevernas individuella nivåer. Undervisningen sker i samling på golvet och genomgång

på tavlan beroende på lärarens arbetssätt.

Lärare 6 som arbetar aktivt med KMR i sin undervisning förklarar hur hon introducerar

arbetet med resonemang på ett lite annorlunda sätt än de andra lärarna vi intervjuat.

Lärare 6:

Jag började ställa varför-frågor till eleverna när de sa ett svar på ett tal. Varför

är det så? Vad är det som gör att det blir så? Sedan började eleverna vänja

sig vid att jag ofta ställde varför-frågor och ville att eleverna skulle förklara hur

de tänkt. Då kunde jag börja introducera uppgifter där eleverna själva behövde

klura ut metoden för att komma fram till svaren.

Genom att introducera resonemang på detta viset börjar resonemanget direkt närma sig ett

fullständigt KMR enligt Lithners (2008) tre krav.

6.3 Vilken typ av uppgifter läraren använder

Uppgifter som uppmuntrar till KMR ska enligt Lithner (2017) ge eleven möjlighet till

kreativitet, argumentation och konceptuell utmaning. Lärarna som vi har intervjuat har haft

varierande uppgifter men alla anser att problemlösningsuppgifter leder till bra resonemang.

Vi frågade lärare 5 vad han tycker resonemang är:

L5: Eh, resonemang, problemlösning tänker jag…Läsuppgifter, hur man kan komma

fram till ett matematiskt svar, ska jag väga något, ska man åka bil eller räkna längd

eller kilometrar…

I: Mhm

L5: Problemlösning hur man kommer fram till... hur man kommer fram till ett svar…

Det finns ju många vägar att komma dit på.

Det ser ut som att lärare 5 syftar till uppgifter som kan lösas på flera olika sätt, uppgifter där

eleven först ska förstå vilken enhet som ska användas till att beräkna uppgiften men

21

framförallt resonera kring lösningsproceduren och de steg som eleven använder för att lösa

uppgiften. Lärare 5 använde sig av färdiga kort med problemuppgifter (se bilaga 3). Vi tittade

närmre på “kort 1” där vi anser att uppgift a och b skulle kunna leda till KMR enligt Lithners

(2017) definition av vad en uppgift ska innehålla för att leda till KMR. Beroende av vem som

löser uppgiften så erbjuder uppgift a inte så stor konceptuell utmaning eftersom huset på

bilden sätts i relation till höjden på flaggstången bredvid. Uppgift b innehåller något större

konceptuell utmaning eftersom det inte finns ett självklart svar på trädets höjd. Uppgift b

erbjuder också eleverna möjlighet till att argumentera för sin lösning eftersom de måste

bedöma svarets rimlighet i förhållande till flaggstångens höjd, däremot är elevernas utrymme

för kreativitet och skapande av en matematisk lösning i flera steg mindre då svaret är mer av

en gissning än en beräkning.

Lärare 2 visade en problemlösningsuppgift som de

har arbetat med där eleverna fått resonera. I

enlighet med Lithners (2017) principer kan vi

utläsa att uppgiften erbjuder kreativitet då den

uppmuntrar eleven till att lösa uppgiften stegvis.

Det finns också goda möjligheter för eleven att

argumentera för sitt val av procedur. Beroende på

elevens kunskapsnivå kan uppgiften vara

konceptuellt utmanande. Den kan för vissa elever upplevas lätt men för andra svår. För

eleverna som upplever uppgiften som svår har läraren möjlighet att ge eleverna feedback som

leder till KMR istället för AR.

Lärare 3 ser att man kan arbeta med resonemangsförmågan i många olika typer av uppgifter.

Lärare 3:

Ehm resonemanget kommer in i så många delar, du kan utveckla det egentligen i alla

delar i hela matten beroende på HUR du arbetar med varje uppgift.  

Hon förklarade en uppgift där eleverna skulle placera rätt diagram till en uppgiftsbeskrivning.

När eleverna ska göra uppgiften är det viktigt att det uppstår ett resonemang, där samtliga

elever i gruppen måste vara aktiva och säga något till varje uppgift.

Figur 2: Problemlösningsuppgift

22

Lärare 3:

Ehm ni måste också kunna när ni diskuterar den här uppgiften, diskutera den flera

gånger, säg inte bara ”jag tror det”, ”okej säger alla andra” där kan ni inte hamna utan

ni måste läsa den flera gånger, titta på alla uppgifterna flera gånger och sen måste ni

säga så här ”okej, passar den till den här uppgiften? Nej, varför? Varför tycker inte du

att den passar till den här uppgiften? Och varför tycker du att den inte passar till den

här uppgiften?”

Denna uppgift kan leda till ett KMR enligt Lithners (2017) kriterier då eleverna stegvis löser

uppgiften genom att jämföra, diskutera och argumentera för varför de olika diagrammen och

uppgiftsbeskrivningarna hör ihop med varandra. Lärare 3 fortsätter beskriva att det som är

svårt för eleverna är att börja prata och föra resonemang kring varför man tycker som man

gör. Hon beskriver att eleverna måste förklara varför de håller med respektive inte håller med

om lösningen.    

Lärare 1 beskrev en uppgift från mattelyftet där hon visade eleverna ett stapeldiagram,

därefter läste hon upp påståenden som eleverna skulle kategorisera som sanna eller falska, en

del påståenden hörde inte ens till uppgiften eftersom de inte gick att utläsa i diagrammet.

Denna uppgift beskrev hon hade gett många fina resonemang och motiveringar till varför ett

påstående hörde till den kategori som det gjorde. Hon påpekar också vikten av att uppgifterna

ska ha en anknytning till elevernas vardag. Denna uppgift saknar utrymme till kreativitet

eftersom eleverna får färdiga påståenden och inte behöver lösa uppgiften på egen hand,

eleverna måste dock argumentera för varför de anser att ett påstående är sant eller falskt.

Denna uppgift kommer således inte att leda till ett fullständigt KMR eftersom eleven inte

uppfyller en av de tre kriterierna som Lithner (2008) anger behövs till ett fullständigt KMR:

Eleven ska på egen hand ta fram en för eleven ny eller återskapad lösningsmetod.

Lärare 5 uttrycker att han till största del utgår från matematikboken i sin undervisning.

Lärare 5:

I: Hur tänker du att du jobbar med resonemang för att utveckla just den förmågan?

L5: Mm, tyvärr så finns det inte så många problemlösningar i våra matteböcker, de här

favoritmatematik är det oftast 1+1 och sådana här typ av mattetal. Likadant var det i

den favoritboken vi hade innan

23

I: Ja det blir mycket färdighetsträning

L5: Ja, så det saknar man

Lärare 5 upplever att det saknas problemuppgifter i boken och därmed saknas också möjlighet

till matematiska resonemang. Detta visar på att lärare ibland måste arbeta med boken på ett

annat sätt, man kan plocka uppgifter ur boken och omarbeta dessa till ett problem som

eleverna sedan kan arbeta med för att uppfylla Lithners (2008) krav för fullständigt KMR.

Lärare 3 beskriver att hon ibland använder matematikboken för att gynna resonemang genom

att lyfta uppgifter och planera undervisningen så att den går från färdighetsträning till

resonemang och djupinlärning:

Lärare 3:

[...] Det finns jättemycket man kan använda sig av, bara du är beredd på hur du ska

styra upp samtalet så kan du arbeta med det till och med i matteboken med flera

uppgifter, inte de vanliga rutinuppgifterna 3*2 kanske men, ja det skulle du också

kunna göra om du börjar förklara hur 3*2 ser ut, vilken grupp är det, hur många är det

i varje, varför tycker du så, varför tycker inte jag så. Och det resonemanget kan man

ha redan när man börjar med multiplikation så det handlar om var du kan hitta

samtalet någonstans, och få in varför man tycker som man gör, det är det svåra.

Lärare 6 har en annan tanke kring sina uppgifter då hon ser lärandemålet och sedan väljer

uppgift istället för att se vad eleverna kan lära sig av en viss uppgift. Även lärare 3 har

uttryckt att hon gör på samma vis. Detta leder till att utvecklingen av resonemangsförmågan

får större utrymme i deras undervisning eftersom resonemanget kommer i första hand.

Lärare 6:

Jag försöker kontinuerligt ha uppgifter i klassen där eleverna får möjlighet att

resonera. Ibland är det att de ska resonera sig fram till ny kunskap eller metoder

istället för att jag står framme vid tavlan och berättar hur de ska göra. Ibland är det

vanliga problemlösningsuppgifter. Ibland är det lekar.

24

6.4 Lärarens stöttning till eleverna

Vi har analyserat lärarnas stöttning till eleverna utifrån feedback på uppgiftsnivå och feedback

på processnivå. Många av lärarna som vi intervjuade ger feedback på uppgiftsnivå, det vill

säga att man hjälper eleverna att klara en uppgift utan att de själva behöver söka och förklara

vart det blev fel.

Lärare 5:

I: Behöver de försvara sin uträkning på något vis? Eller inte försvara men förklara?

Eller när de kommer med en lösning till dig och du tittar på den, hur bemöter du

eleverna då? Om den är rätt kontra om den är fel

L5: Mm…

I: Vad säger du till dem då?

L5: Är den fel så… försöker jag säga tänk på det här… att om det är fel enhet så, som

det oftast är, att de inte har skrivit någonting eller så har de skrivit något annat, att om

vi ska ut och springa så är det ju meter man ska springa och inte bananer eller äpplen

eller godis.

Här kan vi se att läraren lägger fokus på uppgiftens svar och elevens strategi. Lärare 5 ger

feedback genom att tala om att svaret är fel samt markera var felet är och hur eleven ska göra

för att lösa uppgiften korrekt. Det vill säga att läraren berättar för eleven hur hen ska gå

tillväga istället för att få eleven att tänka till själv vilket överensstämmer med Hatties (2012)

tolkning av feedback på uppgiftsnivå.

Ett annat exempel på feedback på uppgiftsnivå kan vi se i denna konversation med en annan

lärare.

Lärare 2:

I: Men ställer du frågor eller du liksom ger ledtrådar på olika sätt eller jämför med

något ni gjort tidigare?

L2: Ah du menar så ja. Jag tror jag försöker ta reda på hur de tänker och så försöker

jag väl…eh för då, för då måste jag analysera, det är intressant om de faktiskt har

skrivit ett svar för då förstår jag ju faktiskt hur de tänker, och sen då vet jag ju vad de

25

behöver hjälp med, hur de har kommit snett och då lotsar jag dem på rätt, och jag går

tillbaka och gör det lättare till exempel.

Den här läraren skulle kunna ändra sin feedback från uppgiftsnivå till processnivå genom att

få eleven att berätta hur hen tänker istället för att läraren tolkar elevens svar. På det viset får

eleven uttrycka vad hen förstår av uppgiften och läraren kan då, enligt Hattie (2012) ge

feedback på processnivå som gör att eleven själv får undersöka sin process och hitta felet

vilket tar eleven framåt i både utveckling och förståelse.

Lärare 1:

I: Men vad brukar du ställa för frågor till dem? Vad brukar du ge för feedback för att

dem ska komma längre?

L1: Ja, hur vet du det? Eller kan du berätta för mig? Eh, kan du visa? Visa är ju ett ord

som vi använder mycket, jag ser att du räknat och fått ut ett rätt svar men du måste

visa mig, jag har ingen aning, hur har du tänkt? Jag tycker det är intressant att lyfta när

vi har många olika svar, det finns inte alltid ett rätt svar utan det kan bli många olika

och vad kan det bero på? Bara för att hitta faktorerna vad det är som ligger bakom.

Den här läraren ger feedback både på uppgiftsnivå och processnivå. Lärare 1 lägger i första

hand fokus på att bekräfta elevens svar, om det är rätt eller fel vilket är typiskt för feedback på

uppgiftsnivå (Hattie, 2012). I andra hand ligger fokus på processen där läraren ställer frågor

för att eleven ska förklara sin process och uttrycka sina matematiska kunskaper vilket enligt

Hattie (2012) är feedback på processnivå.

Hattie (2012) skriver att feedback på processnivå leder till en djupare förståelse. Det kan

göras genom att eleven utmanas till att själv försöka se vart felet uppstod, om eleven inte

hittar det kan läraren hjälpa till genom att ställa frågor som eleven får söka svar på själv.

Lärare 3:

I ett par där de är mer självgående kan jag mer lyssna in och går mer på djupet i

följdfrågorna, i ett resonemang så… den viktigaste stöttningen jag kan ge, det är min

närvaro och följdfrågorna, eller stödfrågor.

Lärare 6:

26

Jag försöker i första hand ge feedback i form av en fråga för att kunna vägleda eleven

utan att säga hur de ska göra. Jag för en dialog med eleven istället för att föra en

monolog. Har eleven kommit lite längre i uppgiften refererar jag tillbaka till en

enklare fråga och frågar hur de gjorde för att lösa den uppgiften. Allting för att få

eleven att själv förstå hur den ska göra.

Dessa två lärare fokuserar på att ge feedback i form av samtal med eleverna. Deras feedback

är på processnivå då de båda fokuserar på att eleverna själva ska uttrycka sin förståelse och

fördjupa samtalen genom frågor.

6.5 Sammanfattning av resultat

Nedan har vi sammanställt hur de lärare som vi har intervjuat, definierar begreppet

resonemang. Utifrån vad vi vet så är det bara lärare 6 som känner till begreppen AR och

KMR.

Figur 3. Sammanfattning av hur lärarna definierar resonemang

27

När vi frågade lärarna om hur de introducerar arbetet med resonemang så fick vi ofta svar

kring hur de förbereder klassrumsklimatet och vilka uppgifter som används. Vi fick inte så

ofta svar på hur de förbereder eleverna eller får dem att börja argumentera för sina svar och

motivera lösningsprocedurer som är en stor del av resonemangsförmågan.

Lärare 1 tolkar resonemang som att man löser uppgifter och problem tillsammans genom att

diskutera och argumentera. Denna tolkning av resonemang skulle kunna leda till KMR enligt

Lithner (2008) då eleverna behöver argumentera för sina tankar, men det kräver att eleverna

erbjuds rätt typ av uppgifter och feedback. Uppgifterna är gjorda så att eleverna ska arbeta i

par då hon menar att resonemangsförmågan utvecklas genom diskussion tillsammans med

andra och då får ta del av andras tankar. De arbetar mycket med problemlösningsuppgifter

från problemlösningsbanken men försöker även knyta uppgifter till elevernas intressen.

Feedbacken till eleverna är först bekräftande på om svaret är rätt eller fel, sen går hon vidare

och ställer frågor för att få reda på hur eleven tänkt och vill gärna att de visar hur de har gått

tillväga. Denna form av feedback är enligt Hattie (2012) delvis på uppgiftsnivå och delvis på

processnivå. Med rätt medel skulle den kunna leda mot ett KMR om eleverna får mer

utrymme att argumentera för sin process.

Lärare 2 arbetar mycket med praktiskt material för att få eleverna att börja resonera vilket

skulle kunna leda till både KMR och AR beroende på vilken uppgift som ska lösas med det

praktiska materialet. Vi kan inte utifrån denna vetskap se om Lithners (2017) principer för

uppgiftsdesign till KMR-uppgifter uppfylls eftersom vi inte vet vad för uppgift läraren använt.

De arbetar mycket i par då hon upplever att det krävs diskussion med andra för att

resonemangsförmågan ska utvecklas. Feedbacken ges främst på uppgiftsnivå då hon själv

analyserar elevens svar och hjälper dem vidare istället för att be eleven själv förklara sin

process och vart man har fastnat, som i enlighet med Hattie (2012) skulle leda till feedback på

processnivå.

Lärare 3 introducerar arbetet med resonemang genom att skapa ett tryggt klassrumsklimat där

eleverna vågar dela med sig av sina tankar. Hon anser att resonemang är en del i nästan alla

uppgifter. Läraren lägger stor vikt vid att eleverna inte bara accepterar kompisens

lösningsförslag utan att alla är aktiva och kommer med egna argument för varför lösningen

fungerar eller inte fungerar. Genom detta kan eleverna uppfylla Lithners (2008) tre punkter

för fullständigt KMR. Hennes feedback sker genom att vara närvarande och ställa följdfrågor

28

som utmanar eller fördjupar elevernas argument vilket är feedback på processnivå (Hattie,

2012).

Lärare 4 arbetar mycket med EPA-modellen och problemlösningsuppgifter. Eleverna ska på

vissa uppgifter rita, räkna och skriva sitt svar. Beroende på hur uppgiften ser ut kan den leda

till KMR och ge utrymme till Lithners (2017) tre punkter: kreativitet, argumentation och

konceptuell utmaning. Läraren ger feedback på uppgiftsnivå enligt Hattie (2012) då hon

försöker förklara uppgiften på ett annat sätt istället för att låta eleven själv få förklara vad hen

har förstått av uppgiften. Därefter kunde läraren ställt vidare frågor för att eleven själv ska få

utforska uppgiften.

Lärare 5 har tidigare uppgett att han anser att problemlösningsuppgifter är grunden för bra

resonemang. Det kan det enligt Lithner (2017) vara eftersom problemuppgifter oftast ger

utrymme till kreativitet, argumentation och konceptuell utmaning som är tre saker en uppgift

behöver erbjuda om den ska leda till KMR. Samtidigt framgår det att feedbacken sker på

uppgiftsnivå vilket leder till AR eftersom läraren pekar på felen i uträkningen och föreslår en

mer effektiv strategi. I enlighet med Lithner (2008) leder det till att eleven inte på egen hand

har skapat sin lösningsprocedur eller får argumentera för lösningen vilket båda är del av ett

fullständigt KMR.

Lärare 6 arbetar med KMR i sin undervisning vilket vi kan se genom de uppgifter och den

feedback hon ger eleverna. Uppgifterna erbjuder eleverna kreativitet, argumentation och

konceptuell utmaning vilket krävs enligt Lithner (2017). Hennes feedback är på processnivå

utifrån Hatties (2012) teori eftersom hon vägleder eleverna utan att säga hur de ska göra.

Utifrån detta ser vi att hennes elever har möjligheter att uppfylla Lithners (2008) tre krav för

ett fullständigt KMR.

29

7.  Slutsats  och  diskussion  

Utifrån vårt resultat kan vi se att lärarna inte har samma definition av resonemang som vi

använder i detta arbete. Det kan bero på att Skolverkets (2017; 2018) definition inte visar att

det finns olika typer av resonemang. Varken läroplanen eller kommentarmaterialet beskriver

hur läraren organiserar undervisningen så att eleverna utvecklar resonemangsförmågan vilket

kan avspegla sig i undervisningen. Vi ser i vårt resultat att avsaknaden av hur påverkar flera

lärares val av hur de introducerar arbetet med resonemang samt deras val av uppgifter och

feedback. I deras beskrivningar om hur de arbetar med resonemang är det inte så stort fokus

på resonemanget utan mer på miljön som krävs för att eleverna ska våga delge sina tankar.

Många av uppgifterna som lärarna använde leder till AR men skulle med små justeringar

kunna leda till KMR. För att en uppgift ska kunna leda till KMR ska den enligt Lithner (2017)

ge eleven utrymme till kreativitet, argumentation och konceptuell utmaning. Eleven uppnår ett

fullständigt KMR när eleven har skapat en för hen ny eller återskapad lösningsprocedur samt

argumenterat för den på matematiska grunder.

De flesta lärarna arbetade med klassrumsklimatet och såg det som en början till att kunna

inleda arbetet med resonemangsförmågan. De menar att det är viktigt att eleverna känner sig

trygga för att de ska våga prata och diskutera med varandra. Lärarna beskriver dock inte hur

de rent praktiskt inleder arbetet med resonemangen, hur startar de resonemang? Har de en

struktur eller plan för hur de ska få eleverna att börja resonera? Många lärare arbetar med

EPA-modellen för att det ger möjlighet till diskussioner. Lärare 6 som arbetar med KMR

introducerar arbetet genom att ställa varför frågor till eleverna för att de ska vänja sig vid

arbetet. Vi ser att de andra 5 lärarna kanske saknar en struktur kring hur man kan introducera

arbetet med resonemang vilket kan bero på att läroplanen inte beskriver hur man ska arbeta.

Elevernas utveckling av resonemangsförmågan hänger ihop med vilken typ av uppgift

eleverna får samt vilken stöttning de får under processen. Utifrån vårt resultat kan vi utläsa att

de flesta lärarna delvis arbetar med KMR-uppgifter eller feedback på processnivå men sällan i

kombination med varandra vilket gör att eleverna inte uppnår ett fullständigt KMR. För att

eleverna ska nå ett KMR behöver de fokusera mer på processen än på svaret, därför bör

feedback ske på processnivå vilket enligt Hattie och Timperley (2007) kan få eleverna att

själva reflektera över sin strategi och lösningsprocess istället för att enbart vilja veta om svaret

är rätt eller fel.

30

Att förändra sin undervisning och börja arbeta med KMR kan till en början verka vara en stor

förändring. Vi har dock upptäckt att en del lärare är på väg mot att arbeta med KMR och kan

med små enkla medel komma närmre KMR. En del av de lärarna vi intervjuat ger idag

feedback på uppgiftsnivå vilket enligt Hattie (2012) kan vara effektivt om den är

informationsfokuserad. Hattie och Timperley (2007) har dock kommit fram till att enbart

feedback på uppgiftsnivå kan leda till fokus på kortsiktiga mål istället för att utveckla

inlärningsstrategier som på lång sikt är mer lönsamma för elevernas utveckling. Vi drar

slutsatsen att uppgifter och stöttning har ett viktigt samspel med varandra. Får eleverna en

uppgift med förutsättningar för KMR men feedback på uppgiftsnivå leder inte detta till att

eleverna utvecklas mot ett fullständigt KMR. Det gäller också om det är omvänt, alltså om

eleverna får feedback på processnivå men en uppgift som inte uppfyller Lithners (2017) krav

för KMR-uppgifter, då uppnår eleverna inte ett fullständigt KMR.

För att utveckla den feedback man ger eleverna kan man ta stöd av Olsson och Teledahl

(2019) som arbetat fram principer för feedback i formativ bedömning för att stötta eleverna

till KMR. Lärare 6 i vår studie använder sig av dessa principer som innebär feedback på

processnivå. I kombination med uppgifter som uppfyller Lithners (2017) krav för KMR-

uppgifter leder till att hennes elever uppmuntras till KMR. Vi konstaterar att det krävs att

läraren är väl insatt i vad resonemang innebär samt vad eleverna ska lära sig och hur de ska gå

tillväga för att eleverna ska kunna uppfylla Lithners (2008) kriterier för fullständigt KMR.

Vi har utifrån egna erfarenheter upplevt att eleverna har svårt att minnas matematiska regler

samt matematiken bakom regeln. Studier visar att elever som kommit fram till en matematisk

regel genom ickeguidade uppgifter, det vill säga KMR minns den bättre än de som kommit

fram till regeln i en guidad uppgift, alltså AR (Olsson & Granberg, 2018; Kapur, 2011;

Jonsson et al., 2014; Norqvist, 2018; Lithner 2008). Med detta som grund tänker vi att det är

viktigt att vi i vårt framtida yrke som lärare arbetar mot KMR för att eleverna ska få en

djupare förståelse för matematiken.

7.1 Kritik mot arbetet

Mycket av den forskning vi har använt i arbetet utgår från äldre elever än de vi vill undersöka.

Lithner (2000; 2003; 2004) har genomfört sina studier på universitets studenter, det är osäkert

om hans studier är relevanta för vår undersökning då vi har riktat in oss på verksamma lärare i

31

årskurs F-3. Jonssons et.al (2014), Norqvists (2018) och Olsson och Granbergs (2018) studier

är genomförda på gymnasiet. Kapurs (2011) och Olsson och Teledahls (2019) studier är

genomförda på högstadiet. Då ingen av studierna som vi använt i vårt arbete riktar sig mot vår

åldersgrupp på lågstadiet kan man diskutera dess relevans för vårt arbete. Alla studier vi har

använt kommer däremot fram till liknande resultat vilket tyder på att det finns en viss

generaliserbarhet. Härav anser vi att vår undersökning av lärare i årskurs F-3 på många sätt är

jämförbara med tidigare studier i högre årskurser, men vi kan inte garantera att det skulle ge

samma resultat på lågstadiet. Det är också en anledning till varför det är viktigt att utvidga

området och komplettera tidigare forskning så att den också berör de yngre åldrarna.

Vår undersökning genomfördes med semistrukturerade intervjuer av verksamma lärare

(Bryman, 2018). Vi har i efterhand när vi analyserat vårt material upptäckt att vi hade behövt

ställa fler givande följdfrågor för att förstå hur lärarna tänker och undervisar kring

resonemang. Alvehus (2013) beskriver vår intervjumetod som svår för intervjuaren just för

att man inte har alla intervjufrågor färdiga på förhand. Ett exempel på följdfrågor vi hade

behövt ställa är: “Har du hört begreppen KMR och AR förut?” samt “Vad kräver du av eleven

att resonemanget ska innehålla för att du ska kalla det för resonemang?” Dessa frågor hade

kunnat leda till djupare samtal och större förståelse för lärarnas undervisning. För att stärka

vårt resultat hade vi kunnat göra observationer i klassrummen hos de lärare vi intervjuat

(Bryman, 2018). Vid en observation i klassrummet finns det dock enligt Bryman (2018) en

risk att vi hade tolkat det vi såg istället för att fokusera på lärarens egen uppfattning av

resonemang vilket hade påverkat vårt resultat på fel sätt. Vi ville undersöka hur lärare arbetar

med resonemang och hur de tolkar begreppet resonemang. Om vi tolkar en klassrumssituation

så får vi inte fram lärarens egen tolkning.

7.2 Framtida forskning

I detta arbete har vi undersökt hur lärare arbetar för att utveckla elevernas

resonemangsförmåga samt vilken stöttning de ger eleverna. Vi har upptäckt att det kanske

saknas tydliga riktlinjer för hur man ska arbeta med detta då lärarna har delade uppfattningar

om vad ett resonemang är. Kategorisering av resonemang är idag ett litet forskningsområde

och därför känner många lärare inte till begreppen AR och KMR. För att kunna erbjuda

undervisning som ger eleverna likvärdiga resultat behöver forskningsområdet växa och nå fler

32

lärare. Utifrån vår undersökning kan vi se att en del lärare omedvetet redan arbetar mot KMR

vilket ger deras elever bättre förutsättningar i matematik.

Vår undersökning är liten och kvalitativ och kan därför inte generaliseras. Då det inte heller

finns studier riktade mot lågstadiet är det svårt för oss att se om arbetet med KMR skulle ge

effekt på våra elever. Det hade därför varit intressant att se en större och längre studie där man

jämför resultaten mellan två klasser på lågstadiet. En klass där man arbetar med KMR och en

klass där man inte arbetar med KMR. De studier som finns idag är relativt små och har

genomförts med förtest, övningsuppgifter och eftertest, i en längre studie hade det funnits

möjlighet att se vilka effekter undervisningen får när den alltid utgår från KMR. Studierna

som finns idag är gjorda på äldre elever och det hade varit intressant att se om detta arbetssätt

ger samma effekt hos yngre elever på lågstadiet.

33

Referenser

Alvehus, J. (2013). Skriva uppsats med kvalitativ metod: en handbok. Stockholm: Liber AB.

Bryman, A. (2018). Samhällsvetenskapliga metoder. Stockholm: Liber AB.

Hattie, J. (2012). Synligt lärande för lärare. Stockholm: Natur & Kultur

Hattie, J., & Timperley, H. (2007). The power of feedback. SAGE Journals 77(1), 81–112.

doi: 10.3102/003465430298487

Jonsson, B., Norqvist, M., Liljekvist, Y., & Lithner, J. (2014). Learning mathematics through

algorithmic and creative reasoning. Journal of Mathematical Behavior 36, 20–32. doi:

10.1016/j.jmathb.2014.08.003

Kapur, M. (2011). A further study of productive failure in mathematical problem solving:

unpacking the design components. Instructional Science, 39(4), 561–579. doi:

10.1007/s11251-010-9144-3

Lithner, J. (2000). Mathematical reasoning in task solving. Educational Studies in

Mathematics, 41(2), 165–190. doi: 10.1023/A:1003956417456

Lithner, J. (2003). Students’ mathematical reasoning in university textbook exercises.

Educational Studies in Mathematics, 52(1), 29–55. doi:10.1023/A:1023683716659

Lithner, J. (2004). Mathematical reasoning in calculus textbook exercises. The Journal of

Mathematical behaviour, 23(4), 405–427. doi: 10.1016/j.jmathb.2004.09.003

Lithner, J. (2008). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational

Studies in Mathematics, 67(3), 255–276. doi: 10.1007/s10649-007-9104-2

Lithner, J. (2017). Principles for designing mathematical tasks that enhance imitative and

creative reasoning. ZDM Mathematics Education, 49(6), 937–949. doi:10.1007/s11858-017-

0867-3

34

Norqvist, M. (2018). The effect of explanations on mathematical reasoning tasks.

International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 49(1), 15–30.

doi: 10.1080/0020739X.2017.1340679

Nunes, T., Bryant, P., Barros, R., & Sylva, K. (2012). The relative importance of two

different mathematical abilities to mathematical achievement. British Journal of Educational

Psychology, 82(1), 136–156. doi: 10,1111 / j.2044-8279.2011.02033.x

Olsson, J., & Granberg, C. (2018). Dynamic Software, Task Solving With or Without

Guidelines, and Learning Outcomes. Technology, Knowledge and Learning, 1–18 doi:

10.1007/s10758-018-9352-5

Olsson, J., & Teledahl, A. (2019). Feedback to encourage creative reasoning. In Häggström, J.

Liljekvist, Y. Bergman Ärlebäck, J. Fahlgren, M. Olande, O. (Eds) Perspectives on

professionell development of mathematics teachers. Proceedings of MADIF11. p. 151–160

Göteborg:Smdf/NCM

Pape, S. J., Bell, C. V., & Yetkin, I. E. (2003). Developing Mathematical Thinking and Self-

Regulated Learning: A Teaching Experiment in a Seventh-Grade Mathematics Classroom.

Educational Studies in Mathematics, 53(3), 179–202. doi: 10.1023/A%3A1026062121857

Skolverket. (2017). Kommentarmaterial till kursplan i matematik. Tillgänglig:

https://www.skolverket.se/sitevision/proxy/publikationer/svid12_5dfee44715d35a5cdfa2899/

55935574/wtpub/ws/skolbok/wpubext/trycksak/Blob/pdf3794.pdf?k=3794

Skolverket. (2018). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011.

Tillgänglig:

https://www.skolverket.se/sitevision/proxy/publikationer/svid12_5dfee44715d35a5cdfa2899/

55935574/wtpub/ws/skolbok/wpubext/trycksak/Blob/pdf3975.pdf?k=3975

Sidenvall, J. (2015). Att lära sig resonera - om elevers möjligheter att lära sig matematiska

resonemang (Licentiate Thesis, Studies in Science and Technology Education, 86).

Linköping: LiU - Tryck. Tillgänglig: http://liu.divaportal.

org/smash/get/diva2:810757/FULLTEXT01.pdf

35

Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig

forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet.

36

Bilagor Bilaga 1.

1.   Hur arbetar du med att utveckla elevernas resonemangsförmåga?

2.   Vad anser du är resonemang? Hur definierar du begreppet?

3.   Hur implementerade du arbetet i klassen?

4.   Vad för uppgifter använder du?

5.   Hur är uppgifterna uppbyggda? (är det textuppgifter? i så fall hur är texten skriven? a,

b, c frågor? exempel i uppgifterna? uppgifter som löses stegvis?)

6.   Varifrån kommer dina uppgifter?

7.   Hur genomförs uppgifterna? Enskilt/grupp?

8.   Hur mycket arbetar du med resonemang? är det en del i varje lektion eller vid

specifika områden eller tidpunkter?

9.   Hur tänker du kring stöttning? Vilken hjälp ger du eleverna om de inte förstår

uppgiften?

37

Bilaga 2.

LÄRANDE  OCH  SAMHÄLLE INSTITUTION  

Samtycke till medverkan i studentprojekt

Vi heter Frida och Melina och går nu vår sista termin på Grundlärarutbildningen åk F-3 på Malmö Universitet. Just nu skriver vi vårt examensarbete som handlar om hur lärare arbetar med att utveckla elevernas resonemangsförmåga. För att kunna studera detta behöver vi genomföra intervjuer för att få reda på hur du som lärare arbetar med resonemangsförmågan med dina elever. Intervjun kommer vi att spela in, men inspelningen kommer enbart att användas till detta arbetet och kommer att raderas så fort vi har transkriberat den. Vi kommer inte nämna ditt namn eller vilken skola/ kommun du arbetar i utan deltagandet kommer vara helt anonymt.

Projektet utgår från Vetenskapsrådets forskningsetiska principer:

-   Medverkan baseras på samtycke och detta samtycke kan när som helst återkallas. Varje deltagare har alltså rätt att avbryta sin medverkan när som helst, utan några negativa konse-kvenser.

-   De deltagande kommer att tillfrågas inför materialinsamlingen och har möjlighet att avböja medverkan i studien.

-   Deltagarna kommer att avidentifieras i det färdiga arbetet. -   Materialet kommer enbart att användas för aktuell studie och kommer att förstöras när denna

är examinerad.

Vänliga hälsningar

Frida Kristiansson & Melina Falberg

Kristiansson.frida@gmail.com

Melinafalberg95@gmail.com

Härmed samtycker jag till att medverka i studentprojektet:

Ort och datum: …………………………………… ……………………………………………. ……………………………………………. Underskrift Namnförtydligande

På lärarutbildningen vid Malmö universitet skriver studenterna ett examensarbete på avancerad nivå. I detta arbete ingår att göra en egen vetenskaplig studie, utifrån en fråga som kommit att engagera studenterna under utbildningens gång. Till studien samlas ofta material in vid skolor, i form av t.ex. intervjuer och observationer. Examensarbetet motsvarar 15 högskolepoäng, och utförs under totalt 10 veckor. När examensarbetet blivit godkänt publiceras det i Malmö universitets databas MUEP (http://dspace.mah.se/handle/2043/599).

38

Bilaga 3.

39