SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

HRVOJE MILOLOŽA

MATEMATIČKO NJIHALO

Završni rad

Osijek, 2013.

ii

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

HRVOJE MILOLOŽA

MATEMATIČKO NJIHALO

Završni rad

Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja prvostupnika fizike

Osijek, 2013.

iii

"Ovaj završni rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc. Denisa Stanića u sklopu

Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja

Strossmayera u Osijeku".

iv

SADRŽAJ

1. Uvod ................................................................................................................................................... 1

2. Teorijski dio ........................................................................................................................................ 1

3. Eksperimentalni dio ............................................................................................................................ 4

3.1 Prvi pokus- Ovisnost perioda o duljini niti ...................................................................................... 4

3.2 Drugi pokus- Ovisnost perioda o početnom kutu otklona .............................................................. 5

3.3 Treći pokus- Ovisnost perioda o masi ............................................................................................ 5

4. Rezultati i rasprava .............................................................................................................................. 7

4.1 Rezultati prvog pokusa .................................................................................................................. 7

4.2 Rezultati drugog pokusa ...............................................................................................................10

4.3 Rezultati trećeg pokusa ................................................................................................................13

5. Zaključak ............................................................................................................................................15

6. Literatura ...........................................................................................................................................15

Životopis ................................................................................................................................................16

Dodatak A- Izvod jednadžbe za period ................................................................................................... vii

Dodatak B – Eksperimentalni podaci ..................................................................................................... xiv

Dodatak C- Grafički prikaz ovisnosti perioda o duljini niti ..................................................................... xvii

Dodatak D- Grafički prikaz ovisnosti kvadrata perioda o duljini niti...................................................... xviii

Dodatak E- Računanje ubrzanja sile teže metodom najmanjih kvadrata ................................................ xix

v

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

MATEMATIČKO NJIHALO

HRVOJE MILOLOŽA

Sažetak

Cilj ovoga rada je odrediti ovisnost perioda matematičkog njihala o različitim

parametrima (duljina niti, početni kut otklona, masa tijela).

U teorijskom dijelu obrađen je pojam matematičkog njihala kao važnog primjera

harmoničnog titranja. Napravljen je detaljan izvod jednadžbe za period za proizvoljan početni

kut otklona, a naglašena je približna jednadžba za mali kut. Praktični dio sastoji se od tri pokusa

u kojima mjerimo period matematičkog njihala. U prvome pokusu mjerimo ovisnost perioda o

duljini niti, u drugome ovisnost perioda o početnom kutu otklona te u trećem pokusu ovisnost

perioda o masi. Pomoću dobivenih vrijednosti za periode izračunato je ubrzanje sile teže u sva tri

pokusa te napravljena njihova usporedba.

Rezultati ukazuju na vrlo dobro slaganje teorije i pokusa u mjerenju ovisnosti perioda o

duljini niti. Za duljine niti kraće od 0,50 m uočeno je manje slaganje teorije i pokusa. Utvrdili

smo granični početni kut otklona za koji se može primjenjivati približna jednadžba za period (

15 ). Mjereći ovisnost perioda o masi zaključili smo da treba izbjegavati rad s kuglicama

male mase (ne manje od 20 grama) zbog velikog utjecaja otpora zraka na gibanje.

(32 stranica, 4 slike, 5 grafikona, 11 tablica, 3 literaturna navoda)

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: matematičko njihalo, period, ubrzanje sile teže

Mentor: doc.dr.sc. Denis Stanić

Ocjenjivači: [ime, prezime, zvanje]

Rad prihvaćen: [odlukom Odbora za završne radove]

vi

University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis

Department of Physics

MATHEMATICAL PENDULUM

HRVOJE MILOLOŽA

Abstract

The goal of this thesis is to determine the dependence of the period of the mathematical

pendulum on different parameters (string length, initial angle of deflection, body mass).

In the theoretical part we have described the term mathematical pendulum as an

important example of harmonic oscillation. We’ve made a detailed derivation of the period

equation for an arbitrary angle, with the emphasis on the approximate equation for the small

angle. The practical part consists of three experiments in which we measure period of

mathematical pendulum. In the first experiment we measure dependence of period on

string length, in second dependence of period on initial angle of deflection and in third

dependence of period on mass. Using given values for periods we have calculated free fall

acceleration for all three cases and made their comparison.

The results show very good agreement between theory and experiment in measuring

dependence of the period on string length. For string lenghts shorter than 0,5 m we have noticed

less agreement between theory and experiment. We have found boundary initial angle for which

approximate period equation is still valid (15 ). Measuring the dependence of period on

mass we have come to a conclusion that too light balls shoud be avoided (not less than 20 g) due

to big influence of air resistance on ball’s motion.

(32 pages, 4 figures, 5 graphs, 11 tables, 3 references)

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: mathematical pendulum, period, free fall acceleration

Supervisor: doc.dr.sc. Denis Stanić

Reviewers: [ime, prezime, zvanje]

Thesis accepted: [odlukom Odbora za završne radove]

1

1. Uvod

Matematičko njihalo je sustav koji se sastoji od točkaste mase m koja je obješena o nit

duljine l. Nit ima zanemarivu masu u odnosu na točkastu masu te je nerastezljiva. Kada se točkasta

masa otkloni iz položaja ravnoteže za neki početni kut i otpusti, pojaviti će se periodično gibanje

oko položaja ravnoteže. Vrijeme potrebno da se točkasta masa vrati u položaj iz kojega smo ju

ispustili naziva se period.

Cilj ovoga rada je izvesti teorijsku vezu između perioda matematičkog njihala i parametara

njihala te dobivene rezulte usporediti s rezultatima pokusa. Svrha rada je produbljivanje naučenoga

teorijskog znanja iz klasične mehanike.

2. Teorijski dio

Na Slici 1 prikazana je skica matematičkog njihala. Crvena točkica označava malo tijelo mase m

koje je privezano na nit duljine l. Masa niti je zanemariva u odnosu na masu maloga tijela. Nit je

savršeno gipka i nerastezljiva. Kako se cijeli sustav nalazi u gravitacijskom polju na malo tijelo

uvijek djeluju dvije sile: sila teža GF = xmgˆ te sila napetosti niti )(ˆ tFF napnap

. x je jedinični

Slika 1. Shema matematičkog njihala

2

vektor u smjeru osi x, a )(ˆ t jedinični vektor u smjeru radijvektora koji spaja ishodište O s tijelom

mase m. Radijvektor čestice je oblika )(ˆ)( tltr

. Otklonimo li malo tijela iz vertikalnog položaja

koji predstavlja položaj ravnoteže, na tijelo će djelovati tangencijalna komponenta sile teže u smjeru

prema položaju ravnoteže. Otpustimo li tijelo nakon što smo ga otklonili za početni kut 0 ono će se

gibati prema položaju ravnoteže, proletjeti će kroz položaj ravnoteže na drugu stranu, otkloniti se na

toj strani za isti kut 0 (ako zanemarimo otpor zraka i trenje u objesištu ili pretpostavimo gibanje u

vakuumu) te se započeti opet kretati prema položaju ravnoteže, ali ovaj put dolazeći s druge strane.

Sada će opet proletjeti kroz položaj ravnoteže te se vratiti u početni položaj. Vrijeme koje protekne

za obavljanje ovog gibanja naziva se period. Nakon što se tijelo vratilo u početni položaj, gibanje

počine ponovno na isti način. Kažemo da je došlo do titranja oko položaja ravnoteže. Gibanje se

odvija sve dok neka prigušujuća sila (otpor zraka, trenje u objesištu O) ne zaustavi tijelo u položaju

ravnoteže.

Poznavajući sve sile koje djeluju na tijelo možemo postaviti jednadžbu gibanja matematičkog

njihala:

)(ˆˆ tFxmgrm nap

Rješavajući ovu jednadžbu (vidi Dodatak A za detaljni izvod) dolazi se do jednadžbe za period

matematičkog njihala za proizvoljni početni kut :

...)2(sin642

531)2(sin

42

31)2(sin

2

112 0

6

2

0

4

2

0

2

2

g

lT

Ukoliko je kut otklona mali, onda se gornja jednadžba može aproksimirati jednadžbom

g

lT 2

Pri korištenju jednadžbe (1) u računima zadržati ćemo se na četvrtoj potenciji kuta. Izvedimo još

dvije relacije koje ćemo koristiti kasnije u radu. Množeći jednadžbu (1) s 10 uz uvođenje oznake i

kvadrirajući obje strane, za g slijedi

(1)

(2)

0

10*10 TT

3

lT

g2

10

2

0402

2

2

2sin

42

31

2sin

2

11400

Ponovimo li postupak za jednadžbu (2) izraz za g glasi

lT

g2

10

2400

Jednadžbe (3) i (4) ćemo koristiti pri izračunima ubrzanja sile teže koristeći se podacima za period

dobivenima u pokusima.

(3)

(4)

4

3. Eksperimentalni dio

Matematičko njihalo kojime smo se služili u eksperimentalnom dijelu

ovoga rada prikazano je na Slici 2. Sastoji se od masivnog stalka koji

omogućava da se objesište ne pomiče tijekom njihanja, niti kojom je kuglica

povezana s objesištem i kutomjera koji je postavljen na vrh stalka.

Mjeriti ćemo period matematičkog njihala u ovisnosti o tri parametra:

duljini niti, početnom kutu otklona te masi kuglice. U sva tri pokusa mjeriti

ćemo vrijeme potrebno za 10 perioda koje ćemo označiti s , a ista

vremena izračunata pomoću teorijskih izraza (1) i (2) ćemo označavati s .

3.1 Prvi pokus- Ovisnost perioda o duljini niti

U pokusu mjerenja perioda o duljini niti koristimo postav kao na Slici 2. Tijekom mjerenja

koristimo istu kuglicu.Kuglicu ćemo u gibanje staviti na način da ju otklonimo za početni kut od 5°

udesno i zatim ju otpustimo pazeći da ju pritom ne gurnemo prema položaju ravnoteže te da ju ne

zanesemo prema aparaturi ili od nje. Početni kut očitavamo tako da stanemo ispred matematičkog

njihala i u projekciji gledamo prema kutomjeru. Pri dovođenju kuglice u položaj za otpuštanje

držimo ju palcem i kažiprstom na suprotnim stranama. Nakon otpuštanja kuglice pustimo je da

napravi dva perioda i onda počinjemo štopati vrijeme za 10 perioda koje unosimo u tablicu. Tijekom

mjerenja perioda nalazimo se ispred matematičkog njihala i u sebi brojimo periode. Ovaj postupak

ćemo ponoviti 10 puta za svaku duljinu niti. Duljinu niti izmjerimo metrom mjereći udaljenost od

objesišta do centra kuglice. Započinjemo s duljinom od 150 cm i smanjujemo duljinu za 10 cm, sve

Slika 2: Matematičko njihalo

s kojime smo vršili mjerenja.

PT ,10

TT ,10

5

dok ne dođemo do duljine niti od 10 cm. Dakle, mjeriti ćemo periode za ukupno 15 različitih duljina

niti. Uz sebe ćemo imati pripremljenu tablicu u koju ćemo upisivati izmjerena vremena perioda.

3.2 Drugi pokus- Ovisnost perioda o početnom kutu otklona

U prethodnom pokusu smo početni kut otklona držali konstantnim, a mijenjali smo duljinu

niti. Sada ćemo napraviti obrnuto: duljina niti iznositi će 1 m, a početni kut ćemo mijenjati počevši

od 5°. Koristimo istu kuglicu kao u prethodnom pokusu. Razmatrati ćemo kutove 5°-45° u koracima

od po 5° te kut od 60°. Za svaki navedeni kut napraviti ćemo 10 mjerenja u kojima ćemo mjeriti

vrijeme potrebno za 10 perioda. Kuglicu otklanjamo i otpuštamo na gore navedeni način. Treba

pažljivo mjeriti početni kut otklona. Dobivene vrijednosti upisujemo u tablicu koju smo si

pripremili.

3.3 Treći pokus- Ovisnost perioda o masi

U posljednjem pokusu mjeriti ćemo ovisnost perioda o masi kuglice. Duljinu niti opet

fiksiramo na 1 m, a početni kut otklona na 5°. Sada ćemo uzeti 3 kuglice koje smo pripremili

posebno za ovaj pokus (Slika 3). Prva kuglica je prazna ping-pong loptica koja na sebi ima dodatak

kojom ju možemo privezati za nit. Druga kuglica je ping-pong loptica koju smo ispunili silikonom,

Slika 3: Početni kut otlona smo

određivali pomoću kutomjera

koji je postavljen na vrh

matematičkog njihala.

6

a treća ping-pong loptica ispunjena kuglicama željeza. Kuglice treba izvagati te njihove mase

zapisati radi kasnije usporedbe. Za svaku kuglicu ćemo mjeriti vrijeme za 10 perioda pri kojemu je

duljina niti 1 m, a početni kut otklona 5°. Dobivene podatke upišemo u pripremljenu tablicu.

Mjerenja ponovimo 10 puta za svaku kuglicu.

Slika 4: Ping-pong loptice koje su korištene u pokusu.

Slijeva na desno: prazna loptica (2,7 g), loptica

ispunjena silikonom (28,5 g), loptica ispunjena

željeznim kuglicama (136,2 g).

7

4. Rezultati i rasprava

U nastavku slijede rezultati naša tri pokusa te usporedba dobivenih rezultata s teorijom.

4.1 Rezultati prvog pokusa Pomoću podataka iz Tablice 1 (Dodatak) izračunati ćemo srednju vrijednost za 10 perioda (

PT ,10 ) za svaku duljinu niti, te ćemo tu vrijednost usporediti s teorijskom vrijednošću za 10 perioda (

TT ,10). Teorijsku vrijednost ćemo računati koristeći jednadžbu (2) jer je otklon niti malen ( 50

).

Izračunati ćemo apsolutne i relativne razlike dobivenih podataka. Prikažimo te podatke u Tablici 1.

l (m) PT ,10 TT ,10

PT TT ,10,10 %100*,10

,10,10

T

PT

T

TT

0,10 6,32 6,34 0,02 0,32

0,20 9,13 8,97 0,16 1,78

0,30 11,17 10,99 0,18 1,64

0,40 12,92 12,69 0,21 1,65

0,50 14,27 14,18 0,09 0,63

0,60 15,67 15,54 0,13 0,84

0,70 16,94 16,78 0,16 0,95

0,80 18,16 17,94 0,22 1,22

0,90 19,18 19,03 0,15 0,79

1,00 20,11 20,06 0,05 0,25

1,10 21,24 21,04 0,20 0,95

1,20 22,11 21,97 0,14 0,64

1,30 22,96 22,87 0,09 0,39

1,40 23,82 23,74 0,08 0,35

1,50 24,71 24,56 0,15 0,61

Tablica 1: Uz svaku duljinu niti stoji prosječno vrijeme za 10 perioda dobiveno pokusom( PT ,10 ) te teorijsko

predviđanje za 10 perioda(TT ,10

). U četvrtom stupcu nalaze se apsolutna razlike tih podataka, a u petom

relativne razlike .

8

Uočavamo vrlo dobro slaganje između pokusa i teorije. 11 od 15 mjerenja ne prelazi

relativnu pogrešku od 1%. Malo veća odstupanja pri kraćim duljinama niti (0.80,0.40-0.20 m)

možemo pripisati pogrešci pri mjerenju, jer se njihalo brže giba s jedne na drugu stranu pa je teže

točno pogoditi trenutak kada se vrati u početnu točku njihanja. Dobro slaganje pokusa i teorije biti

će vidljivije prikažemo li grafički međusobni odnos PT ,10

i TT ,10 . (Grafikon C1 Dodatak C)

Koristeći se podacima za srednju vrijednost 10 perioda iz Tablice 1 možemo izračunati

ubrzanje sile teže g. Koristimo se jednadžbom (4) jer je kut otklona mali (5°). Dobivene vrijednosti

se nalaze u Tablici 2 gdje smo ih usporediti s pravom vrijednošću g=9,81 m/s.

l (m) PT ,10 Pg %100*g

gg P

0,10 6,32 9,88 0,71

0,20 9,13 9,47 3,47

0,30 11,17 9,49 3,26

0,40 12,92 9,46 3,56

0,50 14,27 9,69 1,22

0,60 15,67 9,65 1,63

0,70 16,94 9,63 1,83

0,80 18,16 9,58 2,34

0,90 19,18 9,66 1,53

1,00 20,11 9,76 0,51

1,10 21,24 9,63 1,83

1,20 22,11 9,69 1,22

1,30 22,96 9,74 0,71

1,40 23,82 9,74 0,71

1,50 24,71 9,70 1,12

Tablica 2: Koristeći se prosječnim vremenima za 10 perioda njihala ( PT ,10 ) i

jednadžbom (4) izračunali smo ubrzanje sile teže ( Pg ).U posljednjem stupcu nalaze

se relativna odstupanja od poznate vrijednosti ubrzanja sile teže g=9,81 m/s2

.

9

Izračunamo li srednju vrijednost dobivenih podataka za ubrzanje sile teže i pripadajuću standardnu

devijaciju dobivamo slijedeću vrijednost

2

15 /)12,065,9( smg .

Prikažimo dobivene podatke u Grafikonu 1.

Na grafikonu je vidljivo da se najveća odstupanja od srednje vrijednosti dobiju za male

duljine niti (10, 20, 30 i 40 cm) jer su mjerenja nepreciznija zbog bržeg gibanja kuglice. Dobivena

srednja vrijednost ubrzanja sile teže je 1,63% manje od prave vrijednosti.

Ubrzanje sile teže možemo računati i metodom najmanjih kvadrata. Iz jednadžbe (4) slijedi

lg

T 22

10 4001

Uvedemo li pokrate 2

10Ty , g

a1

i lx 2400 gornji izraz postaje

axy

Ubrzanje sile teže dobiveno metodom najmanjih kvadrata iznosi

9,4

9,5

9,6

9,7

9,8

9,9

10

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Ub

rzan

je s

ile t

eže

(m/s

2)

Duljina niti (m)

Grafikon 1: Plave točkice označavaju vrijednosti ubrzanje sile teže g dobivene pokusom za sve

duljine niti. Isprekidana crta označava poznatu vrijednost g=9,81 m/s2

, a puna dobivenu srednju

vrijednost g=9,65 m/s2

.

(5)

10

2/)04,075,9( smgMNK

Za detalje pogledati Dodatak D. Dobivena vrijednost je manja za 0,6% od prave vrijednosti

za g. Smatramo da se ova pogreška može smanjiti preciznijim mjerenjima perioda te izbjegavanjem

kratkih duljina niti (ne kraće od 0,5 m).

4.2 Rezultati drugog pokusa

Koristeći izmjerene podatke koji su prikazani u Tablici (Dodatak) izračunati ćemo srednje

vrijednosti za 10 perioda za svaki kut otklona( PT ,10 ), te ćemo dobivene vrijednosti usporediti s

teorijskim vrijednostima za period (10T ) koje dobijemo primjenom jednadžbe (1) uz zadržavanje

četvrte potencije kuta. Prikažimo podatke u Tablici 3.

0

PT ,10 10T 10,10 TT P %100*

10

10,10

T

TT P

5 20,09 20,07 0,02 0,01

10 20,20 20,10 0,10 0,50

15 20,28 20,15 0,13 0,65

20 20,38 20,21 0,17 0,84

25 20,44 20,30 0,14 0,69

30 20,57 20,41 0,16 0,78

35 20,62 20,54 0,08 0,39

40 20,73 20,68 0,05 0,24

45 20,82 20,85 0,03 0,14

60 21,19 21,49 0,30 1,40

Tablica 3: Prikazani su podaci za srednju vrijednost ismjerenih vremena za 10 perioda ( PT ,10 ), teorijski

rezultati za 10 perioda (10T ), apsolutne( 10,10 TT P ) te relativne razlike( %100*

10

10,10

T

TT P) tih dvaju

skupova podataka. Duljina niti je konstantna i iznosi l=1m.

11

Iz Tablice 3 uočavamo da se izmjerena i predviđena vremena slažu uz relativnu pogrešku

manju od 1 % (uz iznimku kuta od 60 ). Pokušali smo izvesti mjerenja i s početnim kutom od 90 ,

no bilo je nemoguće natjerati kuglicu da se giba u istoj ravnini te je udarala u aparaturu. Prikažimo

grafički odnos PT ,10

i 10T .

Relativne pogreške manje od 1% pokazuju da nam se mjerenja vrlo dobro slažu s teorijom.

Veća točnost dala bi se postići preciznijim mjerenjem perioda.

Kako bismo demonstrirali da je jednadžba (2) prikladna samo za male kutove, izračunati

ćemo ubrzanje sile teže koristeći se podacima iz Tablice D2 (Dodatak B) te primjenjujući jednadžbe

(3) i (4). Dobiveni rezultati mogu se vidjeti u Tablicama D3 i D4 u dodatku. Ovdje ćemo samo

navesti srednje vrijednosti ubrzanja sile teže s pripadnim standardnim devijacijama te u Tablici 4

prikazati njihove postotne pogreške u odnosu na poznatu vrijednost g=9,81 2/ sm .

Primjenom jednadžbe (1) dobijemo

2

10 /)15,075,9( smg,

19,8

20

20,2

20,4

20,6

20,8

21

21,2

21,4

21,6

0 20 40 60 80

Per

iod

(s)

Početni kut otklona ( )

Pokus

Teorija

Grafikon 2: Plave

točke označavaju

prosječna vremena za

10 perioda

matematičkog njihala

konstantne duljine

l=1m dobivena

pokusom, a crveni

trokutići teorijska

predviđanja.

(6)

12

a primjenom jednadžbe (2)

2

10 /)30,037,9( smg.

U prvome slučaju dobivena vrijednost je za 0,6% manja, a u drugom 4,49% manja od prave

vrijednosti g=9,81 m/s2

.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 60

Tablica D3 0,31 1,33 2,14 3,06 3,67 5,14 5,30 6,32 7,14 10,40

Tablica D4 0,31 1,33 2,14 1,12 1,73 2,04 0,61 0,71 0,31 3,06

Sada se jasno vidi da je jednadžba (4) neprikladna za velike kutove, dok jednadžba (3) daje dobre

rezultate. Uočimo poklapanje pogrešaka za kutove 5 , 10 i 15 . Za kutove veće od 15 sve je

primjetnija razlika između predviđanja dviju jednadžbi. Radi jasnije predodžbe tih razlika prikažimo

rezultate za g P iza Tablica 6 i 7 na grafikonu.

8,6

8,8

9

9,2

9,4

9,6

9,8

10

10,2

0 10 20 30 40 50 60 70

Ub

rzan

je s

ile t

eže

(m/s

2)

Početni kut otklona ( )

Pomoću jednadžbe (18)

Pomoću jednadžbe (22)

Tablica 4: Usporedni prikaz postotnih pogrešaka izračunatih vrijednosti ubrzanja sile teže g P iz Tablica

D3 i D4 (Dodatak B) s poznatom vrijednošću g=9,81 m/s2

.

Grafikon 3: Grafički prikaz izračunatih vrijednosti ubrazanja sile teže. Crvenim križićima su prikazani

rezultati dobiveno jednadžbom (3), a plavim točkicama jednadžbom (4). Puna linija označava poznatu

vrijednost za ubrzanje sile teže g=9,81 m/s2

, a točkasta i isprekidana linija redom predstavljaju

srednje vrijednosti za ubrzanje sile teže dobivene jednadžbama (4) (g=9,37m/s2

) i (3) (g=9,75 m/s2

).

(7)

13

Na Grafikonu 4 se jasno vidi sve veće međusobno odstupanje plavih točkica i crvenih

kvadratića kako se početni kut otklona povećava. Srednja vrijednost ubrzanja sile teže dobivena

pomoću jednadžbe (3) (isprekidana linija na Grafikonu 4) je puno bliža poznatoj vrijednosti (puna

linija), nego što je srednja vrijednost dobivena jednadžbom (4) (točkasta linija na Grafikonu 4). Ta

činjenica pokazuje neopravdanost korištenja jednadžbe (4) za početne kutove otklona veće od

približno 15 .

Prikažimo u Tablici 5 vrijednosti za ubrzanje sile teže pod (5), (6) i (7).

Vrsta pokusa Izračunato pomoću jednadžbe Pg

Ovisnost perioda o duljini niti (4) 9,65 m/s 2

Ovisnost perioda o početnom kutu (4) 9,37 m/s 2

(3) 9,75 m/s 2

Iz Tablice 5 se vidi da je najbolji rezultat za ubrzanje sile teže dobiven u pokusu u kojemu

smo mijenjali početni kut otklona i držali duljinu niti konstantnom, uz primjenu jednadžbe (3).

Jasno je da je rezultat lošiji kada se primjeni približna jednadžba (4). Kod mjerenja ubrzanja sile

teže u pokusu u kojemu smo mijenjali duljinu niti odstupanja su se povećavala sa smanjenjem

duljine njihala (pogledati Grafikon 2) jer su mjerenja postala nepreciznija zbog bržeg gibanja

njihala.

4.3 Rezultati trećeg pokusa

U izvodu jednadžbi (3) i (4) za period matematičkog njihala ne pojavljuje se masa njihala

(pogledati jednadžbu (D12) u Dodatku A). To znači da period ne ovisi o masi kuglice čiji period

mjerimo. Kako bismo provjerili taj teorijski rezultat mjeriti ćemo vremena za 10 perioda za 3

Tablica 5: Usporedni prikaz izračunatih vrijednosti ubrzanja sile teže.

14

kuglice različitih masa uz konstantnu duljinu niti l=1m i konstantni početni kut otklona 5 .

Prikažimo dobivene podatke u Tablici 6.

Masa (g) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

2,7 19,88 20,01 20,01 20,00 20,01 19,99 20,02 20,10 20,03 19,99

28,5 20,22 20,26 20,31 20,19 20,28 20,22 20,15 20,19 20,30 20,20

136,2 20,33 20,26 20,30 20,33 20,24 20,35 20,31 20,25 20,24 20,28

Vidljiva je sličnost dobivenih vrijednosti, no za bolju usporedbu prikažimo srednje vrijednosti za 10

titraja.

Masa (g) 10T (s)

2,7 20,00

28,5 20,23

136,2 20,29

Unatoč velikoj razlici u masi željezne i prazne kuglice vidimo da se periodi poklapaju s

relativnom pogreškom 1,4%. Relativna pogreška između perioda za željeznu i silikonsku kuglicu

iznosi 0,3 % i možemo ju pripisati isključivo pogreškama pri mjerenju. Iz Tablice 7 se vidi kako se

period malo povećava s povećanjem mase. To povećanje ne možemo pripisati produljenju niti

uslijed veće mase, jer smo za svaku kuglicu nit podešavali na duljinu od 1 m. Napomenimo da je

otpor zraka imao primjetan utjecaj na gibanje prazne kuglice zbog njene male mase. Amplituda

titranja kod prazne kuglice je vrlo brzo opadala u odnosu na silikonsku i željeznu kuglicu. Tako je

došlo do odstupanje od rezultata za željeznu i silikonsku kuglicu. Utjecaj otpora zraka na njihanje

kuglice se može smanjili povećanjem mase i smanjenjem polumjera kuglice. Ovime je pokazana

neovisnost perioda matematičkog njihala o masi.

Tablica 6: Izmjerena vremena za 10 perioda za 3 kuglice različite mase.

Tablica 7: Usporedna srednjih vrijednosti 10 perioda za

3 kuglice različitih masa.

15

5. Zaključak

U pokusu mjerenja ovisnosti perioda o duljini niti dobiveno je vrlo dobro slaganje s teorijom

(Grafikon 1). Računajući ubrzanje sile teže s dobivenim podacima uočili smo veća odstupanja od

poznate vrijednosti pri kraćim duljinama niti. Ta odstupanja je moguće smanjiti izbjegavanjem

prekratkih duljina niti ( ne kraće od 0,5 m) i primjenom boljih tehnika mjerenja perioda (npr.

mjerenje pomoću laserskih senzora).

Dobro slaganje s teorijom je dobiveno i u pokusu mjerenja perioda u ovisnosti o početnom

kutu otklona (Grafikon 3). Računajući ubrzanje sile teže pokazali smo da je jednadžba (4) prikladna

za male kutove (do 15 ), dok je za veće kutove potrebno koristiti točniju jednadžbu (3) (Grafikon

4).

U posljednjem pokusu potvrdili smo neovisnost perioda o masi, pokazavši da se kuglice s

vrlo različitim masama njišu jednakim periodima (Tablica 11). Trebalo bi izbjegavati korištenje

prazne ping-pong loptice za mjerenje perioda jer na nju vrlo snažno utječe otpor zraka i brzo joj

smanjuje amplitudu. Preporučamo minimalnu masu od 20 grama. Povećanjem mase kuglice može

doći do neželjenog produljenja niti, a time i do povećanja perioda. To se može izbjeći korištenjem

posebne niti za svaku kuglicu (kao u našem pokusu) ili provjeravanjem duljine niti prije mjerenja s

novom masivnijom kuglicom.

6. Literatura

1. Glumac, Z. Uvod u klasičnu mehaniku. Osijek: 2006.-2013.

http://www.fizika.unios.hr/~zglumac/utm.pdf (17.3.2013.)

2. Paić, M. Gibanja, sile, valovi. Zagreb: Školska knjiga, 1997.

3. Planinić, J. Osnove fizike 1: Mehanika. Zagreb: Školska knjiga, 2005.

16

Životopis

Rođen sam 13.12.1990. u Osijeku, a trenutno živim u Čepinu. Osnovnu školu sam polazio u

Čepinu, a Opću gimnaziju u Osijeku. Po završetku srednje škole, 2009.g., upisao sam preddiplomski

studij fizike na Odjelu za fiziku u Osijeku kao redovni student.

vii

Dodatak A- Izvod jednadžbe za period

Poznavajući sve sile koje djeluju na tijelo možemo postaviti jednadžbu gibanja

matematičkog njihala:

)(ˆˆ tFxmgrm nap

Izvedimo izraze za )(ˆ,ˆ, txr

u polarnom koordinatnom sustavu.

Iz Slike D1 se vidi veza koordinatnih i polarnih koordinata:

x

y

yx

arctan

22

Izvedimo izraze za jedinične vektore ˆ i ˆ . U izvodu se koristimo izrazom za radij-vektor u

pravokutnom koordinatnom sustavu te relacijama (D2).

Jedinični vektor ˆ se računa prema sljedećem izrazu:

Slika D1. Polarni koordinatni sustav.

sin

cos

y

x

(D1)

(D2)

viii

r

r

ˆ

Sličan postupak je i jedinični vektor smjera ˆ :

r

r

ˆ

Iz relacija (D3) i (D4) slijedi:

sinˆcosˆˆ yx

sinˆcosˆ))sin(ˆ)cos(ˆ()ˆˆ( yxyxyyxxr

1sincos 22r

cosˆ)sin(ˆ))sin(ˆ)cos(ˆ()ˆˆ( yxyxyyxxr

)cos(sin 222r

cosˆsinˆˆ yx

(D3)

(D4)

ix

sinˆcosˆx

cosˆsinˆy

Za radij vektor rslijedi

ˆ)sinˆcosˆ(sinˆcosˆˆˆ yxyxyyxxr

Napišimo diferencijale jediničnih vektora:

ddydxd

ddydxd

ˆsinˆcosˆˆ

ˆcosˆsinˆˆ

Izvedimo izraz za r u polarnom koordinatnom sustavu služeći se izrazima (D7), (D8) i (D9).

ˆr

ˆˆ

ˆˆ

ˆ

dt

d

dt

d

dt

d

dt

rdr

ˆ)2(ˆ)(ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ

22

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

rdr

ˆr

dd ˆˆ

dd ˆˆ

ˆ)2(ˆ)( 2 r

(D5)

(D6)

(D7)

(D8)

(D9)

(D10)

x

Sada možemo zapisati jednadžbu gibanja (D1) u obliku:

ˆ)sinˆcosˆ()ˆ)2(ˆ)(( 2

napFmgm

Zbog .constl , slijedi 0 te gornji izraz prelazi u

ˆ)sinˆcosˆ()ˆˆ( 2

napFmgllm

Rastavimo li sada ovaj izraz u ˆ i ˆ smjeru slijedi:

napFmgml cos2

sinmgml

Jednadžba (D11) daje izraz za napetost niti:

2cos mlmgFnap

Iz jednadžbe (D12) slijedi jednadžba njihanja matematičkog njihala:

Pronađimo )(t u granici malih kuteva. Za mali vrijedi Taylorov razvoj:

...!5

1

!3

1sin 53

Zadržavajući se na vodećem članu, jednadžba (D13) prelazi u

l

g

Definirajući l

g2 gornju jednadžbu možemo zapisati kao

02 ,

sinl

g

(D11)

(D12)

(D13)

xi

što je jednadžba harmonijskog oscilatora, s rješenjem

tt cos)( 0

pri čemu je 0

početni kut otklona. Period njihanja T se određuje iz uvjeta )()( Ttt , iz čega

slijedi

Iz jednadžbe (D14) se vidi da period njihanja ne ovisi o masi niti o početnom kutu, nego samo o

duljini niti i ubrzanju sile teže g.

Riješimo jednadžbu (D13) kada amplitude nisu nužno male.

Uvedimo

d

d

dt

d

d

d

dt

d

dt

d2

2

t

dl

gd

0)0(

sin

))0(cos)((cos)(2

1)(

2

10

22 tl

g

Zbog 0)0( i 0)0( slijedi

)cos(cos2 0l

g

dt

d

g

lT 2

dt

d

sinsinl

g

d

d

l

g

dl

gd sin

(D14)

xii

Ako se ograničimo na prvu četvrtinu perioda za koji je 0dt , a 0d vidljivo je da je 0 pa

valja odabrati negativan predznak.

)cos(cos2 0l

g

dt

d

dg

ldt )cos(cos

20

0

0

4

0 0coscos24

d

g

lTdt

T

0

0 0coscos24

d

g

lT

Upotrijebimo li relacije: 2

sin21cos 2 i 2

sin21cos 02

0, slijedi

0

02

0

2 )2(sin)2(sin2

d

g

lT

Uvedemo li varijablu izrazom sin)2sin()2sin( 0 gornja jednadžba prelazi u

Gdje je )2(sin 0

22.

Integral u jednadžbi (D15) se naziva eliptički integral prve vrste. Korijen u podintegralnoj funkciji

ćemo razviti u red služeći se binomnim teoremom

...321

)2)(1(

21

)1(1)1( 32 x

mmmx

mmmxx m

2

022 sin1

4d

g

lT (D15)

xiii

U jednadžbi (D15) je 21m i 22 sinx , pa slijedi

2

0

664422 ...sin642

531sin

42

31sin

2

114 d

g

lT

Integrali iz gornje jednadžbe imaju sljedeća rješenja:

2)2(...642

)12(...531)(sin

2

0

2

n

ndxx n

Uvrstimo li gornji izraz u (D16) dobivamo

...642

531

42

31

2

112 6

2

4

2

2

2

g

lT

tj., uz uvrštavanje )2(sin 0

22

Gornja jednadžba daje period njihanja matematičkog njihala za proizvoljnu vrijednost

amplitude, tj početnog kuta otklona 0

.

...)2(sin642

531)2(sin

42

31)2(sin

2

112 0

6

2

0

4

2

0

2

2

g

lT

(D16)

(D17)

xiv

Dodatak B – Eksperimentalni podaci

l (m) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

0,10 6,32 6,23 6,29 6,35 6,27 6,38 6,33 6,29 6,36 6,34

0,20 9,16 9,15 9,13 9,13 9,10 9,10 9,17 9,13 9,12 9,15

0,30 11,20 11,19 11,29 11,10 11,19 11,23 11,20 11,04 11,13 11,17

0,40 12,85 13,09 12,81 12,90 12,92 12,80 12,96 12,86 13,07 12,94

0,50 14,25 14,33 14,39 14,23 14,18 14,26 14,25 14,26 14,37 14,18

0,60 15,63 15,59 15,69 15,61 15,71 15,61 15,52 15,86 15,76 15,73

0,70 16,90 16,90 16,95 16,92 16,82 16,93 17,04 16,97 17,04 16,92

0,80 18,31 18,05 18,07 18,13 18,20 18,20 18,18 18,06 18,27 18,07

0,90 19,13 19,23 19,04 19,16 19,21 19,19 19,12 19,24 19,21 19,28

1,00 20,20 20,17 20,02 20,10 20,15 20,19 20,03 20,05 20,09 20,21

1,10 21,12 21,26 21,14 21,34 21,48 21,24 21,04 21,25 21,24 21,30

1,20 22,05 22,21 22,15 22,01 22,07 22,10 22,19 22,06 22,11 22,10

1,30 22,91 22,96 23,02 22,93 22,92 23,04 22,92 22,98 22,97 22,99

1,40 23,85 23,74 23,80 23,83 23,75 23,82 23,86 23,85 23,77 23,95

1,50 24,73 24,59 24,71 24,76 24,81 24,75 24,52 24,70 24,74 24,77

0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

5 20,05 20,09 20,16 20,03 20,03 20,05 20,20 20,06 20,12 20,14

10 20,08 20,16 20,16 20,20 20,22 20,27 20,23 20,19 20,24 20,29

15 20,26 20,35 20,30 20,22 20,23 20,29 20,30 20,32 20,26 20,30

20 20,43 20,37 20,48 20,37 20,43 20,39 20,34 20,24 20,32 20,42

25 20,49 20,45 20,45 20,33 20,37 20,51 20,41 20,45 20,41 20,54

30 20,65 20,53 20,53 20,54 20,62 20,67 20,59 20,54 20,53 20,47

Tablica D1 : Eksperimentalni podaci mjerenja vremena za 10 perioda matematičkog njihala za različite

duljine niti, i za stalni početni kut otklona 50.

xv

35 20,67 20,58 20,70 20,69 20,51 20,60 20,58 20,56 20,62 20,67

40 20,73 20,71 20,69 20,74 20,81 20,62 20,73 20,67 20,80 20,75

45 20,91 20,77 20,78 20,78 20,73 20,84 20,85 20,86 20,84 20,84

60 21,16 21,20 21,23 21,11 21,10 21,28 21,20 21,23 21,17 21,24

0 PT ,10 Pg %100*g

gg P

5° 20,09 9,78 0,31

10° 20,20 9,68 1,33

15° 20,28 9,60 2,14

20° 20,38 9,51 3,06

25° 20,44 9,45 3,67

30° 20,57 9,33 5,14

35° 20,62 9,29 5,30

40° 20,73 9,19 6,32

45° 20,82 9,11 7,14

60° 21,19 8,79 10,40

Tablica D2: Rezultati mjerenja 10 perioda matematičkog njihala konstante duljine l=1m za 10 različitih

početnih kuteva.

Tablica D3: Koristeći se podacima za prosječno vrijeme potrebno za 10 perioda njihala i jednadžbom (4)

izračunali smo ubrzanje sile teže g P . Dobivene vrijednosti smo usporedili s poznatom vrijednošću g=9,81

m/s2

.

xvi

0

PT ,10 Pg %100*g

gg P

5 20,09 9,78 0,31

10 20,20 9,68 1,33

15 20,28 9,60 2,14

20 20,38 9,70 1,12

25 20,44 9,64 1,73

30 20,57 9,61 2,04

35 20,62 9,75 0,61

40 20,73 9,74 0,71

45 20,82 9,84 0,31

60 21,19 10,11 3,06

Tablica D4: Ovo je ispravljena Tablica D3, koja se dobije primjenom jednadžbe (3) umjesto jednadžbe (4)

pri računanju ubrzanja sile teže pomoću perioda matematičkog njihala.

xvii

Dodatak C- Grafički prikaz ovisnosti perioda o duljini niti

0

5

10

15

20

25

30

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Per

iod

(s)

Duljina niti (m)

Pokus

Teorija

Grafikon C1: Ovisnost perioda o duljini niti. Plave točke označavaju vrijeme za 10 perioda njihala

izmjereno u pokusu, a crveni trokutići označavaju teorijske vrijednosti za iste podatke. Vidljiva je

ovisnost perioda o drugom korijenu duljine niti.

xviii

Dodatak D- Grafički prikaz ovisnosti kvadrata perioda o duljini niti

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Per

iod

na

kvad

rat

(s^2

)

Duljina niti (m)

Grafikon D1: Ovisnost kvadrata perioda o duljini niti. Plave točke označavaju vrijednosti dobivene

pokusom. Uočljiva je linearna ovisnost kvadrata perioda o duljini niti. Prikazan je pravac

y=405,05x+2,5696 dobiven metodom najmanjih kvadrata (pogledati Dodatak E).

xix

Dodatak E- Računanje ubrzanja sile teže metodom najmanjih kvadrata

Na 9. stranici naveli smo rezultat za ubrzanje sile teže g dobiven metodom najmanjih

kvadrata. U ovome dodatku ćemo ukratko opisati kako smo došli do tog rezultata.

Iz jednadžbe (4) slijedi

lg

T 22

10 4001

Gornji izraz možemo zapisati u obliku

axy

gdje smo uveli pokrate 2

10Ty , g

a1

i lx 2400 . Koeficijent a računamo na sljedeći način

i i

ii

i

i

i

i

i

ii

xxn

yxyxn

a2

2

Indeks i u sumama poprima vrijednosti od 1 do 15. Vrijednosti za 2

10T i l uzimamo iz Tablice 2.

Uvrštavajući dane vrijednosti dobivamo

410379,61026,0a

gdje smo nepouzdanost za a izračunali koristeći izraz

2

2

2

2

2

2

1a

xxn

yyn

nM

i i

ii

i

i

i

i

a

Koristeći se nepouzdanosti za a dobivamo gornju i donju vrijednost za g (2/79,9 smg i

2/71,9 smg ) , što možemo zapisati u obliku

2/)04,075,9( smg

xx

gdje je 2/75,9 sm srednja vrijednost od g i g .

Izračunajmo odsječak na ordinati koristeći izraz

n

xay

b i i

ii

Dobili smo rezultat

4248,15696,2b

gdje smo neodređenost za b izračunali koristeći izraz

n

x

MM i

i

ab

2

Dakle, jednadžba pravca glasi

5696,21026,0 xy

gdje je lx 2400 . Gornju jednadžbu možemo zapisati u obliku

5696,205,405 xy

gdje je sada lx .