Horst Eckardt and Douglas W. Lindstrom- Solution of the ECE Vacuum Equations

8/3/2019 Horst Eckardt and Douglas W. Lindstrom- Solution of the ECE Vacuum Equations

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S o l u t i o n o f t h e E C E V a c u u m E q u a t i o n s

H o r s t E c k a r d t

∗, D o u g l a s W . L i n d s t r o m

†

A l p h a I n s t i t u t e f o r A d v a n c e d S t u d i e s ( A . I . A . S . )

T e l e s i o G a l i l e i A s s o c i a t i o n ( T G A )

A b s t r a c t

T h e v a c u u m o f E i n s t e i n C a r t a n E v a n s ( E C E ) t h e o r y i s a c u r v e d a n d

t w i s t e d s p a c e - t i m e l l e d b y e l e c t r o m a g n e t i c p o t e n t i a l s . T h e v a c u u m p o -

t e n t i a l c a n b e c o m p u t e d b y t h e c o n d i t i o n t h a t e l e c t r o m a g n e t i c f o r c e e l d s

v a n i s h . I n c l a s s i c a l e l e c t r o d y n a m i c s , t h i s c o n d i t i o n i s n o t s u c i e n t t o

c o m p u t e a d i s t r i b u t i o n o f p o t e n t i a l f r o m g i v e n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . E C E

t h e o r y h a s a r i c h e r s t r u c t u r e w i t h s p i n c o n n e c t i o n s o f C a r t a n g e o m e t r y

a n d a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t s d u e t o t h e a n t i s y m m e t r y o f t h e c o n n e c t i o n s i n

g e n e r a l r e l a t i v i t y . E x p r e s s i o n s f o r d e s c r i b i n g t h e e n e r g y a n d m o m e n t u m

d e n s i t y a r e g i v e n . I t c a n b e s h o w n f o r t h e r s t t i m e t h a t t h e h i g h v a c u u m

p o t e n t i a l s k n o w n f r o m q u a n t u m e e c t s a r e c o n s e q u e n c e s o f t h e s t r u c t u r e

o f s p a c e - t i m e i t s e l f .

K e y w o r d s : E i n s t e i n C a r t a n E v a n s ( E C E ) e l d t h e o r y ; a n t i s y m m e t r y ;

v a c u u m e l d .

P u b l i c a t i o n D a t e : 2 5 A u g u s t 2 0 0 9

1 I n t r o d u c t i o n

T h e s p a c e f r e e o f m a s s e s a n d c h a r g e s h a s b e e n a s u b j e c t o f p h y s i c a l i n t e r p r e t a -

t i o n f o r h u n d r e d s o f y e a r s . S o m e t i m e s i t w a s a s s u m e d t o b e e m p t y , s o m e t i m e s t o

b e a m e d i u m c a l l e d E t h e r , f o r e x a m p l e t o e x p l a i n e l e c t r o m a g n e t i c w a v e p r o p a g a -

t i o n . T h e n o t i o n o f v a c u u m o f t e n d e s c r i b e s e m p t y s p a c e , b u t q u a n t u m p h y s i c i s t s

s p e a k o f a q u a n t u m v a c u u m t h a t i s n o t e m p t y a t a l l . I n t h i s p a p e r w e u s e

v a c u u m s y n o n y m o u s l y w i t h s p a c e - t i m e i t s e l f i n t h e s e n s e o f g e n e r a l r e l a t i v i t y .

W e w i l l s e e t h a t s p a c e i s l l e d w i t h a p o t e n t i a l , c a l l e d b a c k g r o u n d p o t e n t i a l .

I n E i n s t e i n ' s t h e o r y t h e v a c u u m i s e m p t y , t h i s r e s u l t i s i n s h a r p c o n t r a s t t o

q u a n t u m p h y s i c s , w h e r e t h e v a c u u m i s a s e a o f v i r t u a l p a r t i c l e s w i t h a h u g e e n -

e r g y d e n s i t y . T h i s q u a n t u m s e a g i v e s r i s e t o t h e r a d i a t i v e c o r r e c t i o n s o f p h y s i c s

s u c h a s t h e L a m b s h i f t o r C a s i m i r e e c t . I n s t a n d a r d p h y s i c s t h i s i s a h u g e a n d

i r r e c o n c i l a b l e d i s c r e p a n c y . I n E i n s t e i n - C a r t a n - E v a n s ( E C E ) t h e o r y [ 1 ] - [ 2 ] b o t h

w o r l d s a r e r e c o n c i l e d , t h e b a c k g r o u n d i n E C E i s l l e d w i t h a p o t e n t i a l e n e r g y

d e n e d d i r e c t l y b y t h e t e t r a d o f C a r t a n . T h e p o t e n t i a l e n e r g y i s p h y s i c a l a n d

c a n n o t b e a r b i t r a r i l y c h a n g e d a s i n g a u g e t h e o r y . T h e r a d i a t i v e c o r r e c t i o n s

c o m e f r o m u c t u a t i o n s i n t h i s p o t e n t i a l o f t h e g e n e r a l l y c o v a r i a n t u n i e d e l d .

∗e - m a i l : h o r s t e c k @ a o l . c o m

†e - m a i l : d l i n d s t r o m @ s h a w . c a

1



E n e r g y t r a n s f e r i n E C E c a n t a k e p l a c e t h r o u g h r e s o n a n t s o l u t i o n s o f t h e e l d

e q u a t i o n s . T h i s e n e r g y f r o m s p a c e t i m e i n E C E c o m e s f r o m t h e b a c k g r o u n d

p o t e n t i a l e n e r g y . T h e r e i s a t r a n s f e r o f e n e r g y b u t t h e t o t a l e n e r g y i s c o n s t a n t .

T h e c o n v e n t i o n a l c o n t i n u i t y e q u a t i o n c a n b e g e n e r a l i z e d i n s u c h a w a y t h a t

c u r v a t u r e a n d t o r s i o n o f s p a c e t i m e c a n e v e n p r o d u c e c h a r g e c a r r i e r s . T h e r e a r e

e x p e r i m e n t a l h i n t s t h a t s u c h e e c t s c a n a c t u a l l y h a p p e n .

I n t h e p a s t t h e r e h a v e b e e n s o m e a t t e m p t s t o e x p l a i n t h e b a c k g r o u n d e l d s

b y s o l v i n g M a x w e l l - H e a v i s i d e e q u a t i o n s f o r e l e c t r o m a g n e t i c e l d s . H o w e v e r ,

t h e e l d e q u a t i o n s n a t u r a l l y r e s u l t t o a s t a t e w h e r e t h e e n e r g y i s c o n t a i n e d i n

e l e c t r i c a n d m a g n e t i c e l d s w h i c h a r e n o t o b s e r v e d i n v a c u o ( w i t h e x c e p t i o n o f a

2 . 7 K b a c k g r o u n d r a d i a t i o n w h i c h m a y e x i s t a l l o v e r t h e u n i v e r s e o r n o t ) . I n t h e

c u r r e n t p a p e r w e a v o i d t h i s d i c u l t y b y u s i n g t h e e x p e r i m e n t a l f a c t t h a t s u c h

e l d s a r e n o t e x i s t e n t . T h e r e f o r e t h e b a c k g r o u n d e n e r g y o b s e r v e d b y q u a n t u m

p r o c e s s e s m u s t b e c o n t a i n e d i n t h e p o t e n t i a l s . W e w i l l s h o w h o w t h e s e c a n b e

c a l c u l a t e d f r o m t h e b a s i c g e o m e t r i c a l p r o p e r t i e s o f s p a c e . T h e s e a r e d e n e d

b y C a r t a n g e o m e t r y w h i c h i s u s e d e x c l u s i v e l y i n E C E t h e o r y . S i n c e t h e f o r c e

e l d s a r e a s s u m e d t o b e z e r o , t h e e l d e q u a t i o n s i d e n t i c a l l y v a n i s h . I n s t e a d

w e u s e t h e b a s i c a n t i s y m m e t r y c o n d i t i o n s o f t h e C a r t a n s p i n c o n n e c t i o n s a n d

t h e M a u r e r - C a r t a n s t r u c t u r e e q u a t i o n s . W e n e g l e c t p o l a r i z a t i o n e e c t s a n d u s e

t h e v e c t o r f o r m o f t h e e q u a t i o n s . I n t h i s w a y w e a r e a b l e t o p r e s e n t a g e n e r a l

s o l u t i o n o f t h e b a c k g r o u n d p o t e n t i a l . W e c a l c u l a t e t h e e n e r g y a n d m o m e n t u m

d e n s i t y b y e x t e n d i n g a s u g g e s t i o n f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e . A d i s c u s s i o n s e c t i o n

c o n c l u d e s t h e p a p e r . A s a r e s u l t , w e n d a p l a u s i b l e e x p l a n a t i o n w h y t h e r e a r e

h u g e e n e r g y d e n s i t i e s i n t h e v a c u u m . T h i s t h e o r y i s b a s e d o n r s t p r i n c i p l e s ,

l e a d i n g t o a n e w v i e w o n t h i s s u b j e c t w i t h o u t n e e d f o r o b s c u r e q u a n t u m e e c t s .

2 A n t i s y m m e t r y c o n d i t i o n s a n d e q u a t i o n s o f s t a t e

2 . 1 D i r e c t s e t u p o f a n e q u a t i o n s e t

T h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c e l d o f E C E t h e o r y u n d e r o m i s s i o n o f p o l a r i z a t i o n

e e c t s a r e

E = − Φ −∂ A∂t

− ω0A + ω Φ, ( 1 )

B = × A − ω × A . ( 2 )

T h e a n t i s y m m e t r y c o n d i t i o n s f o r t h e p o t e n t i a l s a r e t h e e l e c t r i c v e c t o r - v a l u e d

r e l a t i o n

Φ −∂ A∂t − ω0A − ω Φ = 0 , ( 3 )

a n d t h e t h r e e m a g n e t i c ( s c a l a r - v a l u e d ) r e l a t i o n s , w r i t t e i n v e c t o r f o r m :

C :=

∂A 2

∂x 3+ ∂A 3

∂x 2+ ω2A3 + ω3A2

∂A 1

∂x 3+ ∂A 3

∂x 1+ ω1A3 + ω3A1

∂A 1

∂x 2+ ∂A 2

∂x 1+ ω1A2 + ω2A1

= 0 . ( 4 )

T h e v a c u u m c o n d i t i o n s a r e o b t a i n e d b y s e t t i n g

E = 0 , ( 5 )

B = 0 . ( 6 )

2



T h e s e a r e t w e l v e e q u a t i o n s f o r e i g h t u n k n o w n s Φ, A , ω0 , ω. T a k i n g i n t o a c c o u n t

t h e a n t i s y m m e t r y c o n s t r a i n t s ( 3 ) - ( 4 ) , t h i s w o u l d l e a d t o a n o v e r - d e t e r m i n e d

s y s t e m . T h e r e f o r e w e s m p l i f y t h e c o n s t r a i n t s b y t a k i n g t h e d i v e r g e n c e o f E q s .

( 3 ) a n d ( 4 ) :

∆Φ − ·∂ A∂t

− · (ω0A ) − · (ω Φ) = 0 , ( 7 )

· C = 0 . ( 8 )

T h e l a s t e q u a t i o n l e a d s t o m i x e d s e c o n d d e r i v a t i v e s a n d c a n b e t r i e d t o s i m p l i f y

b y u s i n g t h e L i n d s t r o m c o n s t r a i n t w h i c h i s a s i m p l i c a t i o n o f E q . ( 4 ) :

× A = − ω × A . ( 9 )

O n t h e o t h e r h a n d , f r o m E q s . ( 2 ) a n d ( 6 ) w e h a v e

× A = ω × A . ( 1 0 )

w h i c h i s n o t c o m p a t i b l e w i t h t h e L i n d s t r o m c o n s t r a i n t ( 9 ) ( s e e s e c t i o n 5 . 2 ) .

T h e r e f o r e w e h a v e t o u s e t h e f u l l c o n d i t i o n ( 4 ) . I n t o t a l w e h a v e t o s o l v e t h e

e q u a t i o n s e t

− Φ −∂ A∂t

− ω0A + ω Φ = 0 , ( 1 1 )

× A − ω × A = 0 , ( 1 2 )

∆Φ − ·∂ A∂t

− · (ω0A ) − · (ω Φ) = 0 , ( 1 3 )

∂ ∂x 1

∂A 2∂x 3

+ ∂A 3∂x 2

+ ω2A3 + ω3A2

+∂

∂x 2

∂A 1

∂x 3+

∂A 3

∂x 1+ ω1A3 + ω3A1

+∂

∂x 3

∂A 1

∂x 2+

∂A 2

∂x 1+ ω1A2 + ω2A1 = 0 .

( 1 4 )

2 . 2 P r e - e v a l u a t i o n o f m a g n e t i c c o n s t r a i n t s

T h e d i r e c t e q u a t i o n s e t d e r i v e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n i s n o t v e r y h a n d a b l e

t o n u m e r i c s a n d t h e s t r u c t u r e o f t h e e q u a t i o n s a n d p o s s i b l e s o l u t i o n s i s n o t

o b v i o u s . T h e r e f o r e w e f o l l o w a d i e r e n t l i n e o f d e v e l o p m e n t . B y a d d i n g E q s .

( 4 ) a n d ( 1 0 ) w e o b t a i n

∂A 2

∂x 3+ ω2A3 = 0 , ( 1 5 )

∂A 1

∂x 3+ ω1A3 = 0 , ( 1 6 )

∂A 1

∂x 2+ ω1A2 = 0 . ( 1 7 )

3



S u b t r a c t i n g ( 4 ) f r o m ( 1 0 ) g i v e s

∂A 3

∂x 2+ ω3A2 = 0 , ( 1 8 )

∂A 3

∂x 1+ ω3A1 = 0 , ( 1 9 )

∂A 2

∂x 1+ ω2A1 = 0 . ( 2 0 )

C o m p a r i n g ( 1 6 ) w i t h ( 1 7 ) e t c . l e a d s t o

ω1 = −∂A 1

∂x 2

1A2

= −∂A 1

∂x 3

1A3

, ( 2 1 )

ω2 = −∂A 2

∂x 1

1A1

= −∂A 2

∂x 3

1A3

, ( 2 2 )

ω3 = −∂A 3

∂x 1

1A1

= −∂A 3

∂x 2

1A2

( 2 3 )

w h i c h c a n b e w r i t t e n a s

A j∂A i

∂x k= Ak

∂A i

∂x j( 2 4 )

w i t h (i , j ,k ) b e i n g p e r m u t a t i o n s o f (1, 2, 3) . s o l v i n g E q s . ( 2 4 ) a s a b o u n d a r y

v a l u e p r o b l e m a n d i n s e r t i n g t h e s o l u t i o n i n t o ( 2 1 ) - ( 2 3 ) g i v e s a f u l l s o l u t i o n o f

t h e m a g n e t i c c o n s t r a i n t ( 4 ) i n t e r m s o f t h e v e c t o r p o t e n t i a l A .

S o f a r w e h a v e h a n d l e d E q s . ( 4 ) a n d ( 6 ) f r o m t h e g i v e n s e t ( 3 ) - ( 6 ) . N e x t w e

h a v e t o h a n d l e t h e e l e c t r i c c o n d i t i o n s ( 3 ) a n d ( 5 ) . T h e o n l y v a r i a b l e s r e m a i n i n g

t o b e d e t e r m i n e d a r e

Φa n d

ω0. F r o m i n s e r t i n g ( 3 ) i n t o ( 1 ) w e h a v e [ 3 ]

E = − Φ + ω Φ

= −∂ A∂t

− ω0A( 2 5 )

w h i c h g i v e s u s t w o v e c t o r e q u a t i o n s

Φ − ω Φ =0 , ( 2 6 )

∂ A∂t

+ ω0A =0 . ( 2 7 )

R e s t r i c t i n g t o t h e s t a t i c c a s e , f r o m t h e l a t t e r e q u a t i o n f o l l o w s

ω0 = 0 . ( 2 8 )

S i n c e E q . ( 2 6 ) i s a v e c t o r e q a t i o n a n d w e o n l y n e e d t o d e t e r m i n e o n e v a r i a b l e ,

w e t a k e t h e d i v e r g e n c e o f ( 2 6 ) :

2Φ − · (ω Φ) = 0 ( 2 9 )

o r

2Φ − ω · Φ − ( · ω )Φ = 0 . ( 3 0 )

T h i s i s i d e n t i c a l w i t h t h e C o u l o m b l a w f o r z e r o c h a r g e d e n s i t y . S o l v i n g t h i s

d i e r e n t i a l e q u a t i o n f o r Φ ( w i t h ω (A ) a l r e a d y g i v e n ) c o m p l e t e s t h e s o l u t i o n f o r

t h e s t a t i c E C E v a c u u m e q u a t i o n s .

4



3 S o l u t i o n s o f t h e v a c u u m e q u a t i o n s

A c c o r d i n g t o E q u a t i o n s e t ( 2 4 ) t h e v a c u u m s o l u t i o n f o r t h e A e l d i s d e c o u -

p l e d f r o m t h e e l e c t r i c p o t e n t i a l a n d t h e s p i n c o n n e c t i o n s . W e r s t c o n s i d e r t h e

s o l u t i o n s o f t h i s e q u a t i o n s e t . A c c o r d i n g t o c o m p u t e r a l g e b r a ( w e u s e d M a t h e -

m a t i c a [ 8 ] ) t h e r e a r e t h r e e s o l u t i o n s w i t h a n u m b e r o f i n t e g r a t i o n c o n s t a n t s C i ,

ki a n d β :

A (1) = k1k3

(C 5 + C 6 tanh( k · x − βt )) ( 3 1 )

A (2) = k1

k3(C 5 + tanh( k · x − βt ) (C 6 + C 7 tanh( k · x − βt ))) ( 3 2 )

A (3) = k 1k 3

(C 5 + tanh( k · x − βt ) (C 6 + tanh( k · x − βt )· (C 7 + C 8 tanh( k · x − βt ))))

( 3 3 )

D e t a i l s c a n b e f o u n d i n t h e a p p e n d i c e s . I n t h e f o r m p r e s e n t e d h e r e s o m e c o n -

s t a n t s C i h a v e b e e n r e n a m e d t o c l a r i f y t h e i r p h y s i c a l m e a n i n g . T h e r s t t h r e e

c o n s t a n t s a r e w r i t t e n a s t h e w a v e v e c t o r k a n d t h e f o u r t h c o n s t a n t w h i c h i s

a p h a s e f a c t o r h a s b e e n i n t e r p r e t e d a s t i m e d e p e n d e n c e βt s o t h a t w e g e t a

p r o p e r a r g u m e n t o f t h e tanh f u n c t i o n . I n p r i n c i p l e a l l c o n s t a n t s c o u l d b e t i m e

d e p e n d e n t a s s h o w n i n t h e a p p e n d i c e s .

C o m p a r i n g t h e t h r e e s o l u t i o n s , i t i s o b v i o u s t h a t t h e s e a r e p a r t s o f a m o r e

g e n e r a l s o l u t i o n o f t y p e

A (m ) = k 1k3

m

n =0

D n (t) (tanh( k · x − βt )) n( 3 4 )

w i t h ( p o s s i b l y t i m e - d e p e n d e n t ) c a n s t a n t s D n . T h i s i s a b a s i s s e t o f t h e f u n c t i o n

s p a c e s p a n n i n g t h e s o l u t i o n s o f E q . ( 2 4 ) . W e w i l l r e t u r n t o t h i s p o i n t l a t e r .

N e x t w e w i l l d e r i v e t h e s o l u t i o n s o f t h e o t h e r v a r i a b l e s . T h e s p i n c o n n e c t i o n

ωf o l l o w s d i r e c t l y f r o m ( 2 1 ) - ( 2 3 ) :

ω (1) = − kC 6 (sech (k · x − βt ))2

C 5 + C 6 tanh( k · x − βt ), ( 3 5 )

t h e c o r r e s p o n d i n g ω (2 ,3)

, c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x A .

T h e s c a l a r s p i n c o n n e c t i o n c a n b e c o m p u t e d f r o m t h e e x p l i c i t t i m e d e p e n -

d e n c e o f A b y u s i n g E q . ( 2 7 ) . I n p r i n c i p l e t h i s e q u a t i o n - b e i n g a v e c t o r e q u a -

t i o n - i s o v e r - d e t e r m i n e d , b u t a s s h o w n i n A p p e n d i x A a l l t h r e e c o m p o n e n t s a r e

c o n s i s t e n t , g i v i n g t h r e e s o l u t i o n s f r o m w h i c h t h e r s t i s

ω(1)0 = β

C 6 (sech (k · x − βt )) 2

C 5 + C 6 tanh( k · x − βt )( 3 6 )

w h i c h i s s i m i l a r t o t h e c o m p o n e n t s o f t h e v e c t o r s p i n c o n n e c t i o n . W e h a v e

a s s u m e d t h a t t h e c o e c i e n t s a r e i n d e p e n d e n t o f t i m e . F i n a l l y t h e p o n t e n t i a l

Φ c a n b e d e r i v e d s i m i l a r l y f r o m E q . ( 2 6 ) . A g a i n a l l t h r e e c o m p o n e n t s o f t h i s

e q u a t i o n l e a d t o t h e s a m e r e s u l t , a c h i e v i n g s e l f - c o n s i s t e n c y . H o w e v e r , a s a n

5



i m p o r t a n t n d i n g , a p a r t o f t h e s o l u t i o n ( d e n o t e d b y F ( i )) i s a l w a y s t h e s a m e ,

r e g a r d l e s s o f t h e c h o i c e o f

A(1)

,

A(2)

, o r

A(3)

, f o r e x a m p l e :

Φ(1 ,i ) =cosh(k · x − βt )

C 5 cosh(k · x − βt ) + C 6 sinh( k · x − βt )F ( i )

( 3 7 )

w h e r e F ( i )i s a n a r b i t r a r y f u n c t i o n d e p e n d i n g o n o n l y o n e c o o r d i n a t e s u r f a c e :

F (1) = F (y,z , t ),F (2) = F (x,z, t ),F (3) = F (x,y, t ).

( 3 8 )

C h o o s i n g F = const. m a k e s t h e s o l u t i o n u n i q u e . T o o b t a i n a n i m p r e s s i o n

o f t h e n a t u r e o f v a c u u m s o l u t i o n s , s o m e o f t h e m a r e g r a p h e d i n F i g s . 1 - 4 .

T h e c o n s t a n t s

C iw e r e c h o s e n 1 o r - 1 a n d t h e w a v e v e c t o r w a s p o s i t i o n e d i n z

d i r e c t i o n : k = (0 , 0, k3) . T h e n t h e r e a r e o n l y z c o m p o n e n t s o f A a n d ω

. F i g .

1 s h o w s t h a t A3 v a r i e s t h e m o r e t h e h i g h e r t h e d e g r e e o f t h e s o l u t i o n i s . A

s i m i l a r r e s u l t h o l d s f o r t h e v e c t o r s p i n c o n n e c t i o n ( F i g . 2 ) , h o w e v e r t h e s e c o n d

s o l u t i o n i s a p o l e , i n d i c a t i n g t h a t t h e r e a r e d i s c o n t i n u i t i e s i n t h e s t r u c t u r e o f t h e

v a c u u m . T h e s a m e h o l d s f o r t h e s c a l a r s p i n c o n n e c t i o n ( F i g . 3 ) w h i c h i s s i m i l a r

t o ω3 . M o s t i n t e r e s t i n g i s t h e p o t e n t i a l , s e e F i g . 4 . I t i s p o l e - l i k e o r d i v e r g e s

f o r z → ±∞ . T h i s m a y b e q u i t e u n u s u a l f r o m t h e c l a s s i c a l v i e w , b u t w e k n o w

f r o m e x p e r i m e n t s t h a t t h e e n e r g y d e n s i t y o f t h e v a c u u m i s v e r y h i g h . S u c h a

s t r u c t u r e m a y g i v e r i s e e . g . t o s p o n a n e o u s c r e a t i o n o f e l e m e n t a r y p a r t i c l e s ; s e e

s e c t . 5 . 5 f o r f u r t h e r d i s c u s s i o n .

B e s i d e s t h i s p a r t i c u l a r s o l u t i o n , w e t r i e d t o n d a m o r e g e n e r a l s o l u t i o n . A s

a l r e a d y s h o w n i n E q . ( 3 4 ) , a g e n e r a l s e r i e s o f t a n h f u n c t i o n s f u l l s t h i s . W e a r e

l e a d t o t h e c o n j e c t u r e t h a t a g e n e r a l s e r i e s e x p a n s i o n o f t h e f o r m

A (m ) = k1

k3

m

n =0

D n (t)f n (k · x − βt ) ( 3 9 )

f o r a n y c o m p l e t e f u n c t i o n s e t f nw i t h c o n s t a n t s D n i s a l s o a s o l u t i o n f o r A .

T h i s h a s b e e n s h o w n i n A p p e n d i x B b y a s s u m i n g t h i s f o r m o f A a n d p r o v i n g a l l

e q u a t i o n s . T h e C o m p u t e r A l g e b r a t o o l w a s o n l y a b l e t o p r o v e t h i s f o r a n i t e

s e r i e s , b u t t h e g e n e r a l r e s u l t f o l l o w s e a s i l y b y i n d u c t i o n . I n p a r t i c u l a r w e g e t :

ω (m ) = − kf m

n =1 nD n f n − 1(k · x − βt )mn =0 D n f n (k · x − βt )

, ( 4 0 )

ω(m )0 = β f

mn =1 nD n f n

−

1(k · x − βt )mn =0 D n f n (k · x − βt )

, ( 4 1 )

Φ(m ) =Φ0

mn =0 D n f n (k · x − βt )

. ( 4 2 )

f i s t h e d e r i v a t i v e o f f a c c o r d i n g t o i t s a r g u m e n t . A s a n e x a m p l e t h e g e n e r a l

s o l u t i o n f o r t h e tanh f u n c t i o n i s d e p i c t e d i n F i g . 5 f o r s e v e r a l m a x i m u m i n d i c e s

m ( a l l c o n s t a n t s s e t t o u n i t y ) . I t i s s e e n t h a t f o r l a r g e m t h e s o l u t i o n i s a s m o o t h

s t e p f u n c t i o n w i t h g r o w i n g h e i g h t . T h e v e c t o r a n d s c a l a r s p i n c o n n e c t i o n o n l y

d i e r i n s i g n a n d a f a c t o r i n d i c a t i n g t h e s p a c e - l i k e a n d t i m e - l i k e c h a r a c t e r o f

b o t h c o n n e t c i o n s . T h e p o t e n t i a l c o n t a i n s t h e o r i g i n a l f u n c t i o n s e r i e s i n t h e

6



-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -2 0 2 4

A 3

( z )

z

solution 1

solution 2solution 3

F i g u r e 1 : T h r e e s o l u t i o n s f o r v e c t o r p o t e n t i a l c o m p o n e n t A3 .

-10

-5

0

5

10

-4 -2 0 2 4

ω 3

( z

)

z

solution 1solution 2solution 3

F i g u r e 2 : T h r e e s o l u t i o n s f o r v e c t o r s p i n c o n n e c t i o n c o m p o n e n t ω3 .

-10

-5

0

5

10

-4 -2 0 2 4

ω 0

( z

)

z


F i g u r e 3 : T h r e e s o l u t i o n s f o r c a l a l a r s p i n c o n n e c t i o n c o m p o n e n t ω0 .

7



-100

-80

-60

-40

-20

0

20

-4 -2 0 2 4

Φ ( z

)

z

solution 1


F i g u r e 4 : T h r e e s o l u t i o n s f o r s c a l a r v a c u u m p o t e n t i a l Φ.

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -2 0 2 4

A 3

( z )

z

m=2m=5m=8

m=11m=14m=17

F i g u r e 5 : V e c t o r p o t e n t i a l c o m p o n e n t A3 f o r s e v e r a l d e g r e e s m o f s e r i e s e x p a n -

s i o n .

d e n o m i n a t o r . I f t h e t h e s e r i e s i s o s c i l l a t i n g ( w h i c h n o r m a l l y i s t h e c a s e ) , t h e

p o t e n t i a l h a s a h i g h n u m b e r o f r e s o n a n c e s .

A n o t h e r i m p o r t a n t c l a s s o f s o l u t i o n s i s o b t a i n e d b y a F o u r i e r s e r i e s :

A (m ) = k1k3

m

n =0

D n exp( n · i(k · x − βt )) . ( 4 3 )

T h i s i s a F o u r i e r s e r i e s i n o n e d i m e n s i o n o n l y b e c a u s e t h e r e i s n o v a r i a t i o n i n

t h e w a v e v e c t o r k . I n o t h e r w o r d s , t h i s i s a p l a n e w a v e w i t h x e d d i r e c t i o n . A

v a r i a t i o n i n d i r e c t i o n , h o w e v e r , c a n o c c u r i f t h e s e t o f r s t f o u r c o n s t a n t s (k , β )o r t h e D n ' s i s t i m e - d e p e n d e n t w h i c h i s p o s s i b l e f o r t h e g e n e r a l s o l u t i o n ( s e e

A p p e n d i c e s ) . T h i s i s f u r t h e r d i s c u s s e d i n s e c t i o n s 5 . 2 a n d 5 . 3 .

8



4 E n e r g y a n d m o m e n t u m d e n s i t y

4 . 1 S t a n d a r d t h e o r y

T h e c l a s s i c a l e x p r e s s i o n f o r t h e e n e r g y d e n s i t y o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d i s

u(r , t ) =12 0E 2 +

12µ0

B 2 , ( 4 4 )

a n d t h e p o w e r u x i s d e s c r i b e d b y t h e P o i n t i n g v e c t o r

S (r , t ) =1

µ0E × B . ( 4 5 )

P h y s i c a l u n i t s o f t h e s e q u a n t i t i e s a r e

[u] =

J

m 3 ,( 4 6 )

[S ] =W m 2 . ( 4 7 )

B o t h a r e b a s e d o n t h e e l e c t r o m a g n e t i c f o r c e e l d s E a n d B a n d a r e t h e r e f o r e n o t

s u i t a b l e i n s i t u a t i o n s o f p o t e n t i a l s w i t h o u t e l d s . T h e s o l u t i o n t o t h i s d i c u l t y

i s t o f o r m u l a t e t h e e n e r g y d e n s i t y a n d p o w e r u x i n t e r m s o f t h e p o t e n t i a l s .

T h i s p r o b l e m h a s b e e n s t u d i e d b y R i b a r i c a n d S u s t e r s i c [ 4 ] . T h e y f o u n d t h a t

o t h e r e x p r e s s i o n s c a n b e d e n e d i n t e r m s o f p o t e n t i a l s w h i c h g i v e t h e s a m e t o t a l

e n e r g y t a k e n a s a n i n t e g r a l o v e r s p a c e a s t h e o r i g i n a l t e r m s ( 4 4 , 4 5 ) . A p r a c t i c a l

s o l u t i o n h a s b e e n r e p o r t e d b y P u t h o [ 5 ] . F o r a g i v e n c u r r e n t d e n s i t y J , c h a r g e

d e n s i t y ρ , s c a l a r p o t e n t i a l Φ a n d v e c t o r p o t e n t i a l A t h e e n e r g y d e n s i t y c a n b e

w r i t t e n

u(r , t ) = u A − uΦ + ρΦ ( 4 8 )

w i t h

uA (r , t ) =1

2µ0 i

1c2

∂A i

∂t

2

+ | A i |2 ( 4 9 )

a n d

uΦ(r , t ) =12 0

1c2

∂ Φ∂t

2

+ | Φ|2 . ( 5 0 )

C o r r e s p o n d i n g l y , t h e p o w e r u x i s d e n e d b y

S (r , t ) = S A − S Φ + Φ J , ( 5 1 )

S A (r , t ) = −1

µ0 i

∂A i

∂tA i , ( 5 2 )

S Φ(r , t ) = − 0∂ Φ∂t

Φ. ( 5 3 )

A c c o r d i n g t o J a c k s o n [ 6 ] t h e c h a n g e i n e n e r g y i s d e n e d b y t h e d i v e r g e n c e o f

t h e u x a n d t h e e l e c t r i c e n e r g y o f t h e c h a r g e s :

∂u∂t

= − · S − J · E . ( 5 4 )

9



I n v a c u o w e h a v e ρ = J = E = 0 . T h e P o i n t i n g u x i s c o n n e c t e d w i t h t h e

m o m e n t u m d e n s i t y

go f t h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d b y E i n s t e i n ' s m a s s - e n e r g y

e q u i v a l e n t

g c2 = S ( 5 5 )

a n d t h e e q u a t i o n o f m o t i o n f o r t h e e l d i s

∂ g∂t

= − · Θ ( 5 6 )

( w r i t t e n w i t h t e n s o r d i v e r g e n c e [ 7 ] ) w h e r e Θ i s t h e M a x w e l l s t r e s s t e n s o r .

4 . 2 E C E t h e o r y

I n E C E t h e o r y t h e r e a r e a d d i t i o n a l t e r m s c o n t a i n e d i n t h e e l d s a c c o r d i n g t o

t h e s p i n c o n n e c t i o n s , s e e E q s . ( 1 - 2 ) . W e a p p l y s o m e r e a s o n a b l e r e p l a c e m e n t

r u l e s f o r g e n r a l r e l a t i v i t y :

∂ ∂t

→∂ ∂t

+ ω0 , ( 5 7 )

→ + ω . ( 5 8 )

T h e r e f o r e w e a d d s u c h t e r m s t o t h e d e n i t i o n s ( 4 8 - 5 3 ) a n a l o g o u s l y :

uA ECE (r , t ) =1

2µ0 i

1c2 |ω0A i |2 + |ωi A i |2 , ( 5 9 )

uΦECE (r , t ) = 12 0 1

c2 (ω0Φ)2 +i

|ωi Φ|2 , ( 6 0 )

u(r , t ) = uA + u A ECE − uΦ − uΦECE , ( 6 1 )

a n d

S A ECE (r , t ) = −1

µ0 i

(ω0A i )ω A i , ( 6 2 )

S ΦECE (r , t ) = − 0 (ω0Φ) ω Φ, ( 6 3 )

S (r , t ) = S A + S A ECE − S Φ − S ΦECE . ( 6 4 )

T h i s p r o c e d u r e s h o u l d b e c o n s i d e r e d a s t e n t a t i v e . F o r e x a m p l e a l l c r o s s - t e r m s

i n t h e p r o d u c t s h a v e b e e n o m i t t e d . N o t e t h a t t h e r e i s a P o i n t i n g u x e v e n i f Aa n d Φ a r e n o t t i m e - d e p e n d e n t .

W h e n i n s e r t i n g t h e g e n e r a l s o l u t i o n s ( 3 9 - 4 2 ) w i t h a b b r e v i a t i o n s

g :=n =0

m D n f n (k · x − βt ), ( 6 5 )

g := f m

n =1

nD n f n − 1(k · x − βt ) ( 6 6 )

1 0



i n t o t h e a b o v e e x p r e s s i o n s o f e n e r g y d e n s i t y a n d p o w e r u x , w e o b t a i n :

uA (r , t ) =k2(k2 + ( β

c )2)2

2µ0k23

g 2( 6 7 )

u Φ(r , t ) = 0(k2 + ( β

c )2)Φ20

2g4 g 2( 6 8 )

uA ECE (r , t ) =k4

1 + k42 + k4

3 + k2( βc )2

2µ0k23

g 2( 6 9 )

uΦECE (r , t ) = 0(k2 + ( β

c )2)Φ20

2g4 g 2( 7 0 )

S A (r , t ) = kβk 2

µ0k23

g 2( 7 1 )

S Φ(r , t ) = 0k β Φ20g4 g 2

( 7 2 )

S A ECE (r , t ) = − kβk 2

µ0k23

g 2( 7 3 )

S ΦECE (r , t ) = − 0kβ Φ2

0g4 g 2

( 7 4 )

I t c a n b e s e e n t h a t t h e e n e r g y d e n s i t i e s o f E C E a n d s t a n d a r d t h e o r y a r e e q u a l

o r v e r y s i m i l a r . uA a n d uΦ h a v e b e e n g r a p h e d i n F i g s . 6 a n d 7 f o r i l l u s t r a t i o n .

T h e v e c t o r p o t e n t i a l c o n t r i b u t e s s m o o t h d e n s i t i e s w h i l e t h e s c a l a r p o t e n t i a l

l e a d s t o i n n i t i e s d u e t o i t s d i v e r g i n g c h a r a c t e r . I n t e r e s t i n g l y t h e p o w e r u x

i s e x a c t l y o p p o s i t e i n E C E a n d s t a n d a r d t h e o r y . W i t h i n t h e a p p r o x i m a t i o n s

m a d e , t h e r e i s n o e n e r g y t r a n s f e r i n v a c u o .

5 D i s c u s s i o n

I n t h e l a s t s e c t i o n w e w a n t t o d i s c u s s s o m e f u r t h e r p o i n t s f o u n d f o r t h e b a c k -

g r o u n d o r v a c u u m p o t e n t i a l .

5 . 1 L i n d s t r o m c o n s t r a i n t

I n s e c t i o n 2 . 1 , E q s . ( 9 - 1 0 ) , i t w a s p o i n t e d o u t t h a t t h e L i n d s t r o m c o n s t r a i n t

n o r m a l l y b e i n g u s e d t o s i m p l i f y t h e e q u a t i o n s o f e l e c t r o d y n a m i c s i s n o t s u i t e d

t o d e s c r i b e t h e v a c u u m v e c t o r p o t e n t i a l c o n s i s t e n t l y . A l t e r n a t i v e l y , w e c a n t r y

t o r e t a i n t h e L i n d s t r o m c o n d i t i o n . T h e n w e h a v e t o a s s u m e t h e v a l i d i t y o f b o t h

e q u a t i o n s , i t f o l l o w s

ω × A = 0 , ( 7 5 )

× A = 0 . ( 7 6 )

E q . ( 7 5 ) c o u l d a l t e r n a t i v e l y b e u s e d t o c o m p u t e ω

b u t a n a l y s i s s h o w s t h a t o n l y

t w o c o m p o n e n t s o f ω

c a n b e d e t e r m i n e d , t h e y d e p e n d o n t h e t h i r d c o m p o n e n t

w h i c h r e m a i n s u n s p e c i e d . T h e r e f o r e t h e m e t h o d o f b a s i n g t h e s o l u t i o n o n E q s .

( 2 1 ) - ( 2 3 ) i s p r e f e r r a b l e a s i t l e a d s t o u n i q u e r e s u l t s . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e

L i n d s t r o m c o n s t r a i n t c a n e v e n b e d e r i v e d f r o m ( 2 1 ) - ( 2 3 ) . T h e r e f o r e i t i s n o t a

r e s t r i c t i o n o n t h e s o l u t i o n i n c a s e o f t h e b a c k g r o u n d p o t e n t i a l .

1 1



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-4 -2 0 2 4

u A

( z )

z


F i g u r e 6 : E n e r g y d e n s i t y u A f o r t h r e e s o l u t i o n s o f t a n h t y p e .

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-4 -2 0 2 4

u Φ

( z

)

z


F i g u r e 7 : E n e r g y d e n s i t y uΦ f o r t h r e e s o l u t i o n s o f t a n h t y p e .

1 2



A 3

Function

-6

-4

-20

2

4

6

x

-6-4

-20

24

6

z

-2-1012345

-2-1012345

F i g u r e 8 : S u r f a c e p l o t o f A(3)3 .

ω 3

Function

-6-4-2

02

46

x

-6-4

-20

24

6z

-20

-15

-10

-5

0

5

-20

-15

-10

-5

0

5

F i g u r e 9 : S u r f a c e p l o t o f ω(2)3 .

1 3



5 . 2 R e l a t i o n s o f t i m e d e p e n d e n t c o n s t a n t s

A s s h o w n i n t h e a p p e n d i c e s , a l l i n t e g r a t i o n c o n s t a n t s c a n b e t i m e - d e p e n d e n t .

I n A p p e n d i x A t h e c o n d i t i o n

k1k1

=k2k2

=k3k3

( 7 7 )

w a s d e r i v e d . A t i m e - d e p e n d e n t k w o u l d n o t g u a r a n t e e e n e r g y c o n s e r v a t i o n .

T h i s h a d t o b e a c c o u n t e d f o r b y a n a d d i t i o n a l c o n d i t i o n l i k e

k(t)2 = k1(t)2 + k2(t)2 + k3(t)2 = const. ( 7 8 )

I f o n e c o m p o n e n t o f k i s t i m e - i n d e p e n d e n t , i t f o l l o w s f r o m E q . ( 7 7 ) t h a t a l l

c o m p o n e n t s a r e t i m e - i n d e p e n d e n t . T h e r e f o r e w e s u r m i s e t h a t k c a n n o t b e t i m e -

d e p e n d e n t i n g e n e r a l . T h e n i n t r o d u c i n g a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s l i k e ( 7 8 ) i s n o t

r e q u i r e d .

5 . 3 C h a r a c t e r o f s o l u t i o n s

F r o m E q s . ( 4 0 ) - ( 4 1 ) i t c a n d i r e c t l y b e s e e n t h a t t h e r a t i o o f t h e v e c t o r a n d

s c a l a r s p i n c o n n e c t i o n i s

ω

ω0=

kβ

( 7 9 )

a n d s i m i l a r l y

Φ ∝1

A i

( 8 0 )

f o r a l l c o m p o n e n t s A i . T h i s s h o w s s o m e i n t e r c o n n e c t i o n o f t h e p o t e n t i a l s a n d

s p i n c o n n e c t i o n s . T h e s c a l a r s p i n c o n n e c t i o n c a n b e w r i t t e n a s

ω0 = β ∂ log g

∂t. ( 8 1 )

T h e v e c t o r p o t e n t i a l A i s r o t a t i o n f r e e ( s e e E q . ( 7 6 ) ) a n d t h e r e f o r e c o u l d b e

w r i t t e n a s a g r a d i e n t o f a s c a l a r f u n c t i o n b u t t h i s w o u l d b e a p o t e n t i a l o f

a p o t e n t i a l a n d p u r e l y m a t h e m a t i c a l . I n p r i n c i p l e A c a n b e d e n e d a s a n

a r b i t r a r y f u n c t i o n f m u l t i p l i e d b y a d i r e c t i o n a l v e c t o r k :

A = k f (k · x − βt ). ( 8 2 )

T h i s i s a r e p r e s e n t a t i o n f o r p l a n e w a v e s a s i s d e p i c t e d i n F i g s . 8 - 9 f o r A a n d

ω. S i n c e f c a n b e a r b i t r a r i l y n o n l i n e a r , t h e s e a r e a n h a r m o n i c w a v e s i n g e n e r a l .

T h e p r o p a g a t i o n s p e e d ( p h a s e v e l o c i t y ) v c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e r e l a t i o n

( r e s t r i c t e d t o o n e d i m e n s i o n )

∂A∂x

=∂A∂t

dtdx

=1v

∂A∂t

. ( 8 3 )

I n s e r t i n g t h e f o r m o f ( 8 2 ) i t f o l l o w s

kf = −1v

βf ( 8 4 )

1 4



o r

|v| = β k

( 8 5 )

w h i c h i s i d e n t i c a l t o t h e c l a s s i c a l d i s p e r s i o n r e l a t i o n f o r e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s

i n v a c u o . H o w e v e r , t h e t i m e d e p e n d e n c e o f c o n s t a n t s i n t h e s o l u t i o n ( 3 9 ) a l s o

a l l o w s o t h e r f o r m s o f t i m e d e p e n d e n c e , f o r e x a m p l e a p r o d u c t w a v e f u n c t i o n

A = k f (kx ) · g(βt ). ( 8 6 )

T h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n t h e n b e c o m e s

|v| =β k

·gf

( 8 7 )

w h i c h a l l o w s a r b i t r a r y t r a v e l l i n g v e l o c i t i e s f o r w a v e s d e p e n d i n g o n t h e f o r m s o f

f a n d g . T h e u s e o f p r o d u c t w a v e f u n c t i o n s i s s i m i l a r t o q u a n t u m m e c h a n i c s

w h e r e w e h a v e i n s t a n t a n e o u s i n t e r a c t i o n e e c t s w h i c h a p p e a r p l a u s i b l e i n t h e

l i g h t o f t h e e q u a t i o n a b o v e . S i n c e t h e v a c u u m s o l u t i o n s a r e n o t c o n s t r a i n e d

b y t h e E C E ( o r M a x w e l l - H e a v i s i d e ) e l d e q u a t i o n s , t h e r e i s m o r e f r e e d o m f o r

w a v e f o r m s . T h i s s u b j e c t m a y b e p r o m i s i n g f o r n e w t y p e s o f s u p e r l u m i n a r

c o m m u n i c a t i o n m e c h a n i s m s a n d s h o u l d b e i n v e s t i g a t e d f u r t h e r . A n o t h e r t y p e

o f w a v e t o b e i n v e s t i g a t e d i s s t a n d i n g w a v e s i n v a c u o .

A f u r t h e r n a t u r a l i n t e r p r e t a t i o n w o u l d b e a u c t u a t i n g b a c k g r o u n d e l d .

I t i s k n o w n f r o m o b s e r v a t i o n s [ 9 ] - a l t h o u g h n o t w i d e l y r e c o g n i z e d - t h a t s u c h

u c t u a t i o n s d o e x i s t , r e s u l t i n g i n a v a r i a n c e o f v a c u u m s p e e d o f l i g h t . T h e o r i g i n

o f t h e s e u c t u a t i o n s i s s p e c u l a t i v e a t t h e c u r r e n t s t a t e o f k n o w l e g d e , i t m a y b e

f r o m g l o b a l m o t i o n o f g a l a x i e s o r l o c a l d i s t o r t i o n s o f b a c k g r o u n d e l d s d u e t o

m a t t e r o f m a s s i v e s t a r s . F u r t h e r i n v e s t i g a t i o n o f t h e s e e e c t s w o u l d p r o b a b l y

r e q u i r e u s a g e o f u i d d y n a m i c s m o d e l s .

5 . 4 R e s o n a n t C o u l o m b l a w

I t w a s s h o w n t h a t t h e r e s o n a n t C o u l o m b ( E q . ( 2 9 ) ) f o l l o w s f r o m t h e v a c u u m

e q u a t i o n s . T h i s i s r e m a r k a b l e f o r t w o r e a s o n s . F i r s t , o n e o f t h e E C E e l d

e q u a t i o n s , t h e C o u l o m b l a w , h e r e a p p e a r s a l t h o u g h t h e e l d e q u a t i o n s v a n i s h

i d e n t i c a l l y b e c a u s e o f t h e c o n d i t i o n E = B = 0 . T h i s s h o w s t h a t t h e C o u l o m b

l a w i s d e e p l y a n c h o r e d i n g e o m e t r y a n d i s a v e r y f u n d a m e n t a l l a w o f n a t u r e .

S e c o n d l y t h e r e a r e r e s o n a n c e s p o s s i b l e e v e n i n t h e v a c u u m . A s w a s s h o w n

e l s e w h e r e [ 1 0 ] t h e r e s o n a n c e s o f t h e C o u l o m b l a w a r i s e f r o m a v a r i a b l e s p i n c o n -

n e c t i o n a n d d o n o t n e c e s s a r i l y n e e d a n o s c i l l a t o r y c h a r g e d e n s i t y a s i n c l a s s i c a l

E u l e r - B e r n o u l l i r e s o n a n c e s . C h a r g e d e n s i t y i s n o t p r e s e n t i n v a c u o .

5 . 5 T o p o l o g i c a l c h a r g e d e n s i t y

I n c l a s s i c a l e l d t h e o r y t h e C o u l o m b o r N e w t o n i a n g r a v i t a t i o n a l l a w c a n b e

w r i t t e n i n t h e f o r m o f t h e P o i s s o n e q u a t i o n :

2Φ = −ρ0

( 8 8 )

1 5



-100

-80

-60

-40

-20

0

20

-4 -2 0 2 4

ρ ( z

)

z

solution 1


F i g u r e 1 0 : T o p o l o g i c a l c h a r g e d e n s i t y ρ f o r t h r e e s o l u t i o n s o f t a n h t y p e .

( h e r e f o r t h e e l e c t r o m a g n e t i c c a s e ) . I n v a c u o t h e r e i s n o c h a r g e d e n s i t y , t h e r e f o r e

w e w o u l d e x p e c t

2Φ = 0 . ( 8 9 )

C o m p a r i n g t h i s w i t h E q . ( 2 9 ) , t h e s p i n c o n n e c t i o n t e r m s a p p e a r a s a t o p o l o g i c a l

c h a r g e d e n s i t y :

ρtop = − · (ω Φ). ( 9 0 )

A s Φ h a s d i v e r g i n g r e g i o n s s o h a s t h e t o p o l o g i c a l c h a r g e d e n s i t y . I t h a s t o b e

s t r e s s e d t h a t t h i s d e n s i t y i s n o t m a d e u p o f r e a l c h a r g e s . T h e t o p o l o g i c a l c h a r g e

d e n s i t y c o n s i s t s o f c e r t a i n s t r u c t u r e s o f s p a c e - t i m e . H o w e v e r , i t c o u l d b e t h e

o r i g i n o f r e a l p a r t i c l e p r o c e s s e s w h i c h a r e k n o w n f r o m q u a n t u m e l e c t r o d y n a m i c s :

p a i r s o f p a r t i c l e s c a n a p p e a r s p o n t a n e o u s l y .

A n e x a m p l e o f t o p o l o g i c a l c h a r g e d e n s i t i e s i s s h o w n i n F i g . 1 0 . T h e p i c t u r e

i s v e r y s i m i l a r t o t h e c o r r e s p o n d i n g p o t e n t i a l ( F i g . 4 ) . T h e f o r m l o o k s s i m i l a r

t o a t o m i c o r m o l e c u l a r c h a r g e d e n s i t i e s . T h i s c o u l d g i v e a h i n t t o v i r t u a l p a r t i -

c l e s , a l t h o u g h E C E t h e o r y i s c o m p l e t e y c o n n e d t o t h e w a v e o r e l d m o d e l , i n

c o n t r a s t t o t h e p a r t i c l e m o d e l o f q u a n t u m m e c h a n i c s .

6 A c k n o w l e d g m e n t s

T h e A I A S a n d T G A c o l l e a g u e s , i n p a r t i c u l a r K e r r y P e n d e r g a s t , a r e t h a n k e d f o r

m a n y i n t e r e s t i n g d i s c u s s i o n s a n d c o n t r i b u t i o n s .

1 6



R e f e r e n c e s

[ 1 ] M . W . E v a n s , G e n e r a l l y C o v a r i a n t U n i e d F i e l d T h e o r y ( A b r a m i s , S u f -

f o l k , 2 0 0 5 o n w a r d s ) , v o l . 1 - 6 ( s e e a l s o w w w . a i a s . u s ) .

[ 2 ] L . F e l k e r , T h e E v a n s E q u a t i o n s o f U n i e d F i e l d T h e o r y ( A b r a m i s , 2 0 0 7 ) .

[ 3 ] w w w . a i a s . u s , U F T p a p e r s 1 3 3 a n d 1 3 4 ( 2 0 0 9 ) .

[ 4 ] M . R i b a r i c a n d L . S u s e r s i c , C o n s e r v a t i o n L a w s a n d O p e n Q u e s t i o n s o f

C l a s s i c a l E l e c t r o d y n a m i c s ( W o r l d S c i e n t i c P u b . D o . , s i n g a p o r e , 1 9 9 0 ) .

[ 5 ] H . E . P u t h o , E l e c t r o m a g n e t i c P o t e n t i a l s B a s i s f o r E n e r g y D e n s i t y a n d

P o w e r F l u x , h t t p : / / a r x i v . o r g / P S _ c a c h e / a r x i v / p d f / 0 9 0 4 / 0 9 0 4 . 1 6 1 7 v 1 . p d f

[ 6 ] J . D . J a c k s o n , C l a s s i c a l E l e c t r o d y n a m i c s , T h i r d E d i t i o n ( J o h n W i l e y a n d

S o n s , 1 9 9 9 ) , p p . 2 5 8 - 2 6 2 .

[ 7 ] i b d . , p p . 6 0 8 - 6 1 0 .

[ 8 ] w w w . w o l f r a m . c o m .

[ 9 ] R . T . C a h i l l , C o m b i n i n g N A S A / J P L O n e - W a y O p t i c a l - F i b e r L i g h t - S p e e d

D a t a w i t h S p a c e c r a f t E a r t h - F l y b y D o p p l e r - S h i f t D a t a t o C h a r a c t e r i s e 3 -

S p a c e F l o w , P r o g r e s s i n P h y s i c s , v o l . 4 , p p . 5 0 - 6 4 ( 2 0 0 9 ) .

[ 1 0 ] H . E c k a r d t , D e v i c e s f o r S p a c e - T i m e R e s o n a n c e B a s e d o n E C E T h e o r y ,

h t t p : / / a i a s . u s / d o c u m e n t s / m i s c e l l a n e o u s / S p a c e t i m e - D e v . p d f ( 2 0 0 8 ) .

1 7

Horst Eckardt and Douglas W. Lindstrom- Solution of the ECE Vacuum Equations

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Transcript of Horst Eckardt and Douglas W. Lindstrom- Solution of the ECE Vacuum Equations