Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A)β¬Β¦Β Β· Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina...
Transcript of Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A)β¬Β¦Β Β· Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina...
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 1 van 20
PARAGRAAF 14.0 : EENHEIDSCIRKEL
DE EENHEIDSCIRKEL MET GRADEN
DEFINITIES
β’ Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 }
β’ sin(ππ) = π¦π¦βππππππππππππππππππππ1
β π¦π¦ = sin(ππ)
Voorbeeld 1 : Graden en coΓΆrdinaten
Kijk naar de eenheidscirkel. Bereken de y-coΓΆrdinaat als
a. π‘π‘ = 90 b. π‘π‘ = 22
Oplossing 1
a. Dit mag gewoon op de GR : π¦π¦ = π π π π π π (90) = 1 b. Dit mag gewoon op de GR : π¦π¦ = π π π π π π (22) = 0,37
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 2 van 20
DE EENHEIDSCIRKEL MET RADIALEN
DEFINITIES RADIALEN
β’ Radiaal = { Afstand (in cm) die iemand heeft afgelegd als hij over de rand van de cirkel loopt }
β’ De omtrek van de cirkel = 2Οβ r = 2Ο β 1 = 2Ο
β’ 2Ο rad = 360 graden β Ο rad = 180 graden
VOORBEELD 1 : RADIALEN
Kijk naar de eenheidscirkel. Bereken de y-coΓΆrdinaat als
a. π‘π‘ = 1 12ππ
b. π‘π‘ = 1 13ππ
OPLOSSING 1
a. Dit mag gewoon op de GR : y = sin οΏ½1 12ΟοΏ½ = β1
b. Dit mag gewoon op de GR : π¦π¦ = π π π π π π οΏ½1 13πποΏ½ = β0,87
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 3 van 20
DE GRAFIEK VAN ππ = ππππππ(ππ)
De grafiek van π¦π¦ = π π π π π π (π₯π₯) kun je uit de eenheidscirkel halen :
(1) π¦π¦ = π π π π π π (π₯π₯) (de y-coΓΆrdinaat in de eenheidscirkel)
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 4 van 20
PARAGRAAF 14.1 : SINUSOΓDEN
LES 1 : TEKENEN VAN EEN GONIOFORMULE
DEFINITIE
Gegeven is gonioformule π¦π¦ = ππ + ππ π π π π π π ππ (π₯π₯ β ππ)
Hierin is:
(1) a = evenwichtsstand
(2) b = amplitude
(3) ππ = 2ππππππππππππππππ
ππππ πππππππ π ππππππ = 2ππππ
(4) d = verschuiving met π₯π₯ + ππ = verschuiving d naar links
π₯π₯ β ππ = verschuiving d naar rechts
STAPPENPLAN TEKENEN GONIO-FORMULE ππ = ππ + ππ ππππππ ππ (ππ β π π )
(1) Teken eerst de formule π¦π¦ = ππ + ππ π π π π π π πππ₯π₯ (dus zonder verschuiving d)
(2) Verschuif de eerste grafiek d naar links / rechts
VOORBEELD 1
Teken op domein [0 , 2Ο] de formule ππ(π₯π₯) = 2 + 3π π π π π π 12
(π₯π₯ β 1)
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 5 van 20
OPLOSSING 1
a. (1) ππ = πππππππ π πππ π ππβπ‘π‘π π π π π‘π‘πππ π ππ = β2
ππ = πππππππππ π π‘π‘ππππππ = 3
πππππππ π ππππππ = 2ππ0,5
= 4ππ (β 12,57)
(2) β1 = verschuiving 1 naar links
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 6 van 20
OPMERKING
Je kunt ook direct de grafiek tekenen. Je moet dan als start van de grafiek het punt (πππππππ π ππβπππ π πππ π π π π’π’, πππππππ π πππ π ππβπ‘π‘π π π π π‘π‘πππ π ππ) = (1,2) nemen voor de sinusgrafiek.
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 7 van 20
PARAGRAAF 14.2 : FORMULES VAN SINUSOΓDEN OPSTELLEN
LES 1 BEPALEN VAN EEN GONIOFORMULE
VOORBEELD 1
a. Bepaal de formule van de grafiek.
b. Bereken zonder de GR het maximum en het minimum.
c. Bereken de helling in x = 1.
d. Bereken de maximale helling.
e. Bereken de minimale helling.
OPLOSSING 1
a. Begint in de evenwichtsstand dus vandaar een sinusfunctie, want dan heb je geen verschuiving nodig.
(1) a = evenwichtsstand = 7+ β12
= 62
= 3
(2) b = amplitude = 7 β 3 = 4
(3) periode = 4 β 1 = 3 (Van top tot top) dus ππ = 2ππ3
= 23ππ
(4) Bij de sinusgrafiek start in de evenwichtsstand en dat doet deze grafiek ook dus d=0.
Dus ππ = ππ + ππππππππ (πππππ π ππ)
b. Maximum = evenwichtsstand + amplitude = a + b = 3 + 4 = 7 Minimum = evenwichtsstand β amplitude = a β b = 3 β 4 = β1.
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 8 van 20
c. ππ1 = 3 + 4π π π π π π (23πππ₯π₯)
calc > dy/dx > x=1 helling = -4,19
d. De helling is maximaal als de grafiek door de evenwichtsstand omhoog gaat !! Dat is bij x = 0. Dus
ππ1 = 3 + 4π π π π π π (23πππ₯π₯)
calc > dy/dx > x=0 helling = 8,38
e. De helling is minimaal als de grafiek door de evenwichtsstand omlaag gaat !! (1) Bereken het snijpunt van de formule met de evenwichtsstand (y=3) waar de grafiek
OMLAAG gaat ;
ππ1 = 3 + 4π π π π π π οΏ½23πππ₯π₯οΏ½ πππ π ππ2 = 3
calc > intersect x=1,5
(2) Bereken de helling in dit punt (In dit geval x=1,5707963)
ππ1 = 3 + 4π π π π π π (23πππ₯π₯)
calc > dy/dx > x=1,5 helling = -8,38
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 9 van 20
PARAGRAAF 14.3 : RIJEN BIJ FIGUREN
DEFINITIE
Er zijn twee soorten rijen die vaak terugkomen
1. Rekenkundige rij = { Iedere keer een getal erbij tellen } 2. Meetkundige rij = { Iedere keer met een getal vermenigvuldigen }
REKENKUNDIGE RIJ
(1) De recursievergelijking : u(n) = u(n-1) + v , waarbij v een getal is. (2) De directe formule : u(n) = u0 + nβ v.
MEETKUNDIGE RIJ
(1) De recursievergelijking : u(n) = rβu(n-1) , waarbij r een getal is. (2) De directe formule : u(n) = u0 β rn.
SOMRIJ
ππππ = { ππππππ πππππ π ππππ πππππππ π π‘π‘ππ (π π + 1) π‘π‘πππππππππ π πππππ π ππππ πππ π ππ ππ } = ππ0 + ππ1 + ππ2+. . . +ππππ
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 10 van 20
VOORBEELD 1
Gegeven is de recursievergelijking u(n) = u(n-1) + 4 en u(0) = 9
a. Bereken β ππππ3ππ=0
b. Bepaal de som van de eerste 12 termen.
OPLOSSING 1
a. β ππππππππ=0 = ππ0 + ππ1 + ππ2 + ππ3 = 9 + 13 + 17 + 21 = 60
b. (1) De eerste 12 getallen is u(0) t/m u(11) !!
Dus we moeten ππ11 berekenen.
(2) De GR gebruiken. Je hebt twee recursievergelijkingen nodig : nMin = 0 u(n) = u(n-1) + 4 u(nMin) = 9 v(n) = v(n-1) + u(n-1) + 4 { v(n-1) + de recursievgl van u(n) } v(nMin) = 9 { v(0) = u(0) = 9 }
Table : v(11) = 372
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 11 van 20
VOORBEELD 2
Gegeven zijn de volgende 3 figuren van een rij.
We kijken naar het totaal aantal lucifers van deze figuren (T). Er geldt dus T1 = 4 ; T2 = 7 ; T3 = 10. Het totaal aantal lucifers wordt berekend door het aantal lucifers in de lengte (L) en het aantal lucifers dat omhoog ligt (H).
Er geldt bijvoorbeeld dat L2 = 4 en H2 = 3.
a. Stel een directe formule op van Ln en Hn. b. Stel een directe formule en een recursievergelijking op van Tn.
Je kunt m.b.v. de formules van Ln en Hn ook een nieuwe formule maken. We definiΓ«ren On = Ln Γ Hn.
c. Stel een directe formule op van On . d. Stel een recursievergelijking op van On .
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 12 van 20
OPLOSSING 2
a. H1 = 2 H2 = 3 H3 = 4 > Hn = n + 1 L1 = 2 L2 = 4 L3 = 6 > Ln = 2n
b. Tn = Hn + Ln= 2n + n + 1 = 3n + 2 Tnβ1 = 3(n β 1) + 2 = 3n β 3 + 2 = 3n β 1 Tn - Tnβ1 = 3n + 2 β ( 3n β 1) = 3n + 2 β 3n + 1 = 3 Dus Tn = Tnβ1 + 3 T1 = L1 + H1 = 2 + 2 = 4
c. On = Ln Γ Hn = 2n Γ (n + 1) = 2n2 + n
d. Onβ1 = 2(n β 1) 2 + n β 1 = 2(n2 β 2n + 1) + n β 1 . Onβ1 = 2n2 β 4n + 2 + n β 1 = 2n2 β 3n + 1 On - Onβ1 = 2n2 + n β (2n2 β 3n + 1) = 2n2 + n β 2n2 + 3n β 1 On - Onβ1 = 4n β 1 Dus On = Onβ1 + 4n β 1 O1 = L1 Γ H1 = 2 Γ 2 = 4
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 13 van 20
PARAGRAAF 14.4 : VARIABELEN VRIJMAKEN
LES 1 GEBROKEN FORMULES OMWERKEN
Formules omwerken β kruiselings vermenigvuldigen of 2 = 63
VOORBEELD 1
a. Maak π₯π₯ vrij bij de formule π¦π¦ = 3π₯π₯β3,2. b. Maak π₯π₯ vrij bij de formule π¦π¦ = 5(2π₯π₯ + 1)3
c. Maak π₯π₯ vrij bij de formule π¦π¦ = 12 βπ₯π₯ β 14 .
OPLOSSING 1
Draai de formule eerst om :
a. 3π₯π₯β3,2 = π¦π¦ π₯π₯β3,2 = π¦π¦
π₯π₯ = π¦π¦1
β3,2 = π¦π¦β0,3125
b. 5(2π₯π₯ + 1)3 = y
(2π₯π₯ + 1)3 = 15π¦π¦
2π₯π₯ + 1 = (0,2π¦π¦)13
2π₯π₯ + 1 = (0,2)13 β π¦π¦
13
2π₯π₯ + 1 = 0,585 β οΏ½π¦π¦3
2π₯π₯ = 0,585 β οΏ½π¦π¦3 β 1
2π₯π₯ = 0,292 β οΏ½π¦π¦3 β 0,5
c. 12 βπ₯π₯ β 14 = π¦π¦
βπ₯π₯ β 14 = 2π¦π¦ π₯π₯ β 1 = (2π¦π¦)4 π₯π₯ β 1 = (2)4 β (π¦π¦)4 π₯π₯ β 1 = 16 β π¦π¦4 π₯π₯ = 16 β π¦π¦4 + 1
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 14 van 20
VOORBEELD 2
a. Gegeven is π¦π¦ = 25π₯π₯β1
.
Druk x uit in y.
b. Gegeven is π΄π΄ = 8 β 8ππ+2
.
Schrijf T als functie van A.
c. Gegeven is π΄π΄ = ππ+3ππβ1
.
Schrijf p als functie van A.
d. Gegeven is ππ = 10ππ+203
β 15 + 7.
Schrijf deze formule in de vorm ππ = ππππ + ππ
OPLOSSING 2
a. π¦π¦1
= 25π₯π₯β1
(kruiselings)
π¦π¦(5π₯π₯ β 1) = 2 β 1
5π₯π₯ β 1 = 2π¦π¦
5π₯π₯ = 2π¦π¦
+ 1
π₯π₯ = 25π¦π¦
+ 15
OF
π¦π¦ = 25π₯π₯β1
(makkelijk sommetje bijv. 2 = 63)
5π₯π₯ β 1 = 2π¦π¦
5π₯π₯ = 2π¦π¦
+ 1
π₯π₯ = 25π¦π¦
+ 15
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 15 van 20
b. π΄π΄ β 8 = β 8ππ+2
βπ΄π΄ + 8 = 8ππ+2
{ π¦π¦ = 6π₯π₯
β π₯π₯ = 6π¦π¦
ππ + 2 = 8βπ΄π΄+8
ππ = 8βπ΄π΄+8
β 2
c. π΄π΄
1= ππ+3
ππβ1
π΄π΄(ππ β 1) = 1 β (ππ + 3) π΄π΄ππ β π΄π΄ = ππ + 3 π΄π΄ππ β ππ = π΄π΄ + 3 ππ(π΄π΄ β 1) = π΄π΄ + 3
ππ = π΄π΄+3π΄π΄β1
d. ππ = 10ππ+203
β 151
+ 7 = 150ππ+3003
+ 7
ππ = 150ππ3
+ 3003
+ 7 = 50ππ + 100 + 7
ππ = 50ππ + 107
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 16 van 20
LES 2 : COMBINEREN VAN FORMULES MET MEERDERE LETTERS
VOORBEELD 1
Gegeven zijn π¦π¦ = 10ππ + 2 en ππ = β5π₯π₯ + 4.
a. Neem π₯π₯ = 2 en bereken y. b. Druk y uit in x.
Gegeven is ook de formule ππ = π¦π¦ β ππ.
c. Schrijf Q als functie van p. d. Druk Q uit in x.
OPLOSSING 1
a. ππ = β5 β 2 + 4 = β6 π¦π¦ = 10 β β6 + 2 = β58 b. π¦π¦ = 10ππ + 2 = π¦π¦ = 10 β (β5π₯π₯ + 4) + 2 = π¦π¦ = β50π₯π₯ + 40 + 2 π¦π¦ = β50π₯π₯ + 42 c. ππ = π¦π¦ β ππ = (10ππ + 2) β ππ ππ = 10ππ2 + 2ππ d. ππ = π¦π¦ β ππ = (β50π₯π₯ + 42)(β5π₯π₯ + 4) ππ = 250π₯π₯2 β 210π₯π₯ β 200π₯π₯ + 168 = 250π₯π₯2 β 410π₯π₯ + 168
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 17 van 20
LES 3 : VAN MACHT NAAR LOG EN OMGEKEERD
REKENREGELS LOGARITMEN
De belangrijkste 4 regels zijn :
(1) πππππ’π’ππ (ππ) + πππππ’π’ππ (ππ) = πππππ’π’ππ (ππ β ππ)
(2) πππππ’π’ππ (ππ) β πππππ’π’ππ (ππ) = πππππ’π’ππ (ππππ
)
(3) πππππ’π’ππ οΏ½πππποΏ½ = ππ β πππππ’π’ππ (ππ)
(4) πππππ’π’ππ (π’π’)ππ = π‘π‘
VOORBEELD 1
Schrijf de volgende formules als of als
a. Schrijf de formule π¦π¦ = 5 β 23ππ+8 als πππππ’π’(π¦π¦) = πππ‘π‘ + ππ
b. Schrijf de formule als π‘π‘ = ππ + ππ πππ π (π¦π¦).
Gegeven is ook de formule π¦π¦ = 10 β π₯π₯2,3
c. Schrijf deze formule als πππππ’π’(π¦π¦) = ππ + ππ β πππππ’π’(π₯π₯)
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 18 van 20
OPLOSSING 1
a. π¦π¦ = 5 β 23ππ β 28 of πππππ’π’(π¦π¦) = πππππ’π’( 5 β 23ππ+8)
π¦π¦ = 5 β (23)ππ β 256 πππππ’π’(π¦π¦) = πππππ’π’( 5) + πππππ’π’(23ππ+8)
π¦π¦ = 1280 β 8ππ πππππ’π’(π¦π¦) = πππππ’π’( 5) + (3π‘π‘ + 8) Γ πππππ’π’(2)
πππππ’π’(π¦π¦) = πππππ’π’(1280 β 8ππ) πππππ’π’(π¦π¦) = 0,69897 + (3π‘π‘ + 8) Γ 0,301.. πππππ’π’(π¦π¦) = πππππ’π’(1280) + πππππ’π’(8ππ) πππππ’π’(π¦π¦) = 0,70 + 0,90π‘π‘ + 2,41 πππππ’π’(π¦π¦) = πππππ’π’(1280) + π‘π‘ β πππππ’π’(8) πππππ’π’(π¦π¦) = 0,90π‘π‘ + 3,11 πππππ’π’(π¦π¦) = 3,11 + π‘π‘ β 0,90 πππππ’π’(π¦π¦) = 0,90π‘π‘ + 3,11
b. πππ π (π¦π¦) = πππ π ( 5 β 23ππ+8) πππ π (π¦π¦) = πππ π ( 5) + πππ π (23ππ+8) πππ π (π¦π¦) = πππ π ( 5) + (3π‘π‘ + 8) Γ πππ π (2) πππ π (π¦π¦) = 1,609. . +(3π‘π‘ + 8) Γ 0,693.. πππ π (π¦π¦) = 1,61 + 2,08π‘π‘ + 5,55 πππ π (π¦π¦) β 7,16 = 2,08π‘π‘ 0,48πππ π (π¦π¦) β 3,44 = π‘π‘ β π‘π‘ = 0,48πππ π (π¦π¦) β 3,44
c. π¦π¦ = 10 β π₯π₯2,3
πππππ’π’(π¦π¦) = πππππ’π’(10 β π₯π₯2,3) πππππ’π’(π¦π¦) = πππππ’π’(10) + πππππ’π’(π₯π₯2,3) πππππ’π’ (π¦π¦) = πππππ’π’(10) + 2,3 β πππππ’π’(π₯π₯) πππππ’π’ (π¦π¦) = 1 + 2,3 β πππππ’π’(π₯π₯)
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 19 van 20
PARAGRAAF 14.5 : OMVORMEN EXPONENTEN EN LOGARITMEN
VOORBEELD 1
a. Schrijf de formule π¦π¦ = 9 β 2ππ om in de vorm π¦π¦ = ππ β 10ππππ
b. Schrijf de formule π¦π¦ = 0,25 β πππ π (3π‘π‘) om in de vorm van een logaritme met grondtal 10
OPLOSSING 1
a. 9 β 2ππ = 9 β (10ππ)ππ 2 = 10ππ
ππ = πππππ’π’(2) = 0,30110 (en ππ = 9 uiteraard)
b. We gaan gebruik maken van de regel πππππ’π’ππ (ππ) = ππππππ (ππ)ππππππ (ππ)
{ πππππ’π’8 (20) = ππππππ (20)ππππππ (8)
}
π¦π¦ = 0,25 β πππ π (3π‘π‘) = 0,25 β ππππππ(3ππ)ππππππ(ππ)
= 0,25βππππππ(3ππ)0,434..
= 0,576 β πππππ’π’(3π‘π‘)
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 20 van 20
VOORBEELD 2
a. Schrijf de formule π‘π‘ = 4 β πππππ’π’(π¦π¦) β 10 om in de vorm π¦π¦ = ππ β π’π’ππ
b. Schrijf de formule π‘π‘ = 4 β πππ π (π¦π¦) β 10 om in de vorm π¦π¦ = ππ β π’π’ππ
c. Schrijf de formule πππππ’π’(π¦π¦) = 2 + 5 β πππππ’π’(π₯π₯) om in de vorm π¦π¦ = ππ β π₯π₯ππ
OPLOSSING 2
Maak gebruik van de regel : πππππ’π’ππ (π’π’)ππ = π‘π‘
a. π‘π‘ = 4 β πππππ’π’(π¦π¦) β 10 4πππππ’π’(π¦π¦) = π‘π‘ + 10 πππππ’π’(π¦π¦) = 0,25π‘π‘ + 2,5 πππππ’π’(π¦π¦) = πππππ’π’(100,25ππ + 2,5) π¦π¦ = 100,25ππ + 2,5 π¦π¦ = 100,25ππ β 10 2,5 π¦π¦ = 316,23 β (100,25)ππ π¦π¦ = 316,23 β 1,78ππ
b. π‘π‘ = 4 β πππ π (π¦π¦) β 10 4πππ π (π¦π¦) = π‘π‘ + 10 πππ π (π¦π¦) = 0,25π‘π‘ + 2,5 πππ π (π¦π¦) = πππ π (ππ0,25ππ + 2,5) π¦π¦ = ππ0,25ππ + 2,5 π¦π¦ = ππ0,25ππ β ππ 2,5 π¦π¦ = 12,18 β (ππ0,25)ππ π¦π¦ = 12,18 β 1,28ππ
c. πππππ’π’(π¦π¦) = 2 + 5 β πππππ’π’(π₯π₯) πππππ’π’(π¦π¦) = πππππ’π’(102) + πππππ’π’(π₯π₯5) πππππ’π’(π¦π¦) = πππππ’π’(102 β π₯π₯5) π¦π¦ = 102 β π₯π₯5 π¦π¦ = 100 π₯π₯5