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Analisi tecnico-economica dei progetti ICTAnalisi della domanda
Maurizio Naldi
Universita di Roma Tor Vergata
A.A. 2012-13
Analisi della domanda
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 2 / 96
Analisi della domanda di un servizio
Modelli econometrici
Modelli di diffusione
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 3 / 96
Modelli econometrici
Stimano la domanda in funzione di parametri socio economici (variabiliesplicative)Esempi di variabili esplicative
Prodotto interno lordo per persona
Teledensity
Eta del capofamiglia
Livello di istruzione del capofamiglia
Composizione della famiglia (numerosita, eta, . . . )
Possesso di apparecchi elettronici
Collocazione geografica (zona urbana o rurale)
Densita di adozione in ambito locale
Prezzo (costi fissi, canone, e costi variabili, a traffico)
Reddito
Indici di mobilita
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 4 / 96
Descrizione della domanda di un servizio
A livello d’utente la diffusione di un servizio puo essere descritta dauna variabile binaria
Il valore Y = 1 indica l’adesione al servizioIl valore Y = 0 indica la non adesione al servizio
Il numero di utenti e dato dalla somma delle variabili indicatriciNutenti =
∑Ni=1 Yi
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 5 / 96
Variabili binarie e regressione
Obiettivo generale: Descrivere una variabile dipendente limitatamediante regressione
Obiettivo particolare: Descrivere una variabile dipendente binaria(adesione al servizio) mediante regressione
Problemi:
La gamma di valori ottenibile da una regressione non e limitataLa variabile indicatrice binaria e una variabile aleatoria
Soluzione:
Utilizzare il valore atteso della variabile indicatriceImpiegare una funzione di mappaggio dal risultato della regressione allapredizione del valore atteso
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 6 / 96
Modelli lineari per variabili dipendenti limitate
Il modello di regressione eE[Y |x1, x2, . . . , xM ] = G (β0 + β1x1 + . . .+ βMxM)
La funzione di mappaggio e G (z) : z ∈ (−∞,+∞) −→ G (z) ∈ (0, 1)
La predizione del valore atteso e anche una predizione di probabilitaP[Y = 1] = E[Y ]
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 7 / 96
Il modello logit
La funzione di mappaggio e G (z) = ez
1+ez , ovvero la funzione didistribuzione cumulativa logistica
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 8 / 96
Confronto tra distribuzione logistica e normale
Densita logistica (tratteggio)Densita normale (tratto solido)
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 9 / 96
Il modello probit
La funzione di mappaggio e G (z) =∫ z−∞
1√2πe−w
2/2dw , ovvero la
funzione di distribuzione cumulativa normale standard
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 10 / 96
Influenza dei fattori sulla probabilita di adesione
Approssimazione del differenziale∆P[Y = 1] ' ∂P[Y=1]
∂xi∆xi = g(β0 + βx)βi∆xi
Indichiamo per semplicita p = P[Y = 1]
LOGIT
∆p ' p(1− p)βi∆xi
PROBIT
∆p ' 1√2π
exp(− (β0+βx)2
2
)βi∆xi
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 11 / 96
Influenza di variazioni di variabili binarie
Variabile x1 binaria con valori 0 e 1Variazione della probabilita di adesione
∆p = G (β0 + β1 + β2x2 + . . .+ βMxM)− G (β0 + β2x2 + . . .+ βMxM)
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 12 / 96
L’elasticita
Elasticita rispetto ad una variabile continuaεxi = xi
p∂p∂xi
= xip g(z)βi
LOGIT
εxi = βixi (1− p)
PROBIT
εxi = 1√2π
exp(−z2/2)βixip
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 13 / 96
La quasi-elasticita
Preferita perche la probabilita di adozione e gia una variabile priva di unitadi misura
εxi = xi∂p∂xi
= g(z)βixi
LOGIT
εxi = βixip(1− p)
PROBIT
εxi = 1√2π
exp(−z2/2)βixi
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 14 / 96
Il modello di Cobb-Douglas
Serve per descrivere la relazione tra una variabile dipendente continuae divser variabili indipendenti anch’esse continue
La relazione e del tipo legge di potenza
Y = α0Xα11 · · ·X
αMM
E’ linearizzabile mediante una trasformazione logaritmica
lnY = lnα0 + α1 lnX1 + · · ·+ αM lnXM
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 15 / 96
L’elasticita nel modello di Cobb-Douglas
L’elasticita della grandezza di interesse rispetto ad una qualsiasi dellevariabili esplicative e sempre costante
εXk= Xk
Y∂Y∂Xk
= αk
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 16 / 96
Stima dei parametri del modello di Cobb-Douglas
I parametri del modello possono essere ottenuti per regressione linearemultipla dopo aver operato una trasformazione logaritmica delmodello
I coefficienti della regressione sono le elasticita, ovvero gli esponentidelle variabili indipendenti
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 17 / 96
Stima della variazione della domanda
La variazione percentuale della domanda e approssimativamenteproporzionale alle variazioni percentuali delle variabili esplicative, secondo
le rispettive elasticita
∆YY ' α1
∆X1X1
+ · · ·+ αM∆XMXM
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 18 / 96
Il modello di Bass
Descrive la diffusione delle innovazioni (prodotti o servizi)
Non usa variabili esplicative
Costituisce un modello autoregressivo
Descrive un fenomeno con saturazione
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 19 / 96
La curva delle adozioni
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 20 / 96
Il modello analitico
Il modello analitico descrive la probabilita d’acquisto al tempo t se ilprodotto non e stato acquistato precedentemente
F′(t)
1−F (t) = p + qF (t)
F (t) = Probabilita d’acquisto del prodotto nell’intervallo [0, t)p ≥ 0 = Coefficiente d’innovazioneq ≥ 0 = Coefficiente d’imitazione
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 21 / 96
La soluzione del modello di Bass
La probabilita cumulativa d’acquisto si ottiene per integrazionedell’equazione differenziale
F (t) = 1−e−(p+q)t
1+ qpe−(p+q)t
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 22 / 96
Le vendite attese al tempo t
In un mercato potenziale di dimensione m il numero di vendite attese altempo t e
S(t) = m · f (t) = m (p+q)2
pe−(p+q)t[
1+ qpe−(p+q)t
]2
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 23 / 96
Stima dei parametri del modello di Bass
La stima si effettua per regressione sul numero di vendite cumulative N(t)
Dalla equazione differenziale del modello si ottienef (t) = p + (q − p)F (t)− qF 2(t)Il numero di vendite al tempo t eS(t) = m · f (t) = mp + (q − p)N(t)− q
mN2(t) = a + bN(t) + cN2(t)
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 24 / 96
Esempio di curve di Bass
Valori alti per p indicano una diffusione iniziale veloce ma anche unrapido abbassamento del tasso di crescita
Valori alti per q indicano una diffusione iniziale lenta ma in rapidacrescita
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 25 / 96
Possibili curve di nuove adozioni
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 26 / 96
Tecniche di previsione
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 27 / 96
Contenuti
Quadro di impiego e classificazione
Metodi qualitativi
Serie storiche
Metodi di regressione
Metodi perequativi
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 28 / 96
Utilita delle previsioni
Aspetti ingegneristici
Aspetti commerciali e di mercato
Rapporti con l’esterno
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 29 / 96
Aspetti ingegneristici
Scelte architetturali: Collocazione e gerarchizzazione dei nodi
Dimensionamento: Previsioni di traffico
Instradamento: Previsione della matrice di traffico
Affitto circuiti
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 30 / 96
Applicazioni commerciali
Segmentazione della clientela
Segmentazione del territorio
Schedulazione del lancio dei servizi
Collocazione dei punti vendita e determinazione del loro numero
Dimensionamento della forza vendita
Stesura del budget e analisi di redditivita (cash flow, pricing)
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 31 / 96
Importanza delle previsioni per i rapporti con l’esterno
Rapporti con investitori: Posizionamento sul mercato e quotazione deltitolo
Rapporti con produttori: Co-gestione dei progetti di investimento edeterminazione dei volumi di produzione
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 32 / 96
Quadro di impiego delle tecniche di previsione
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 33 / 96
Tecniche di previsione
Metodi qualitativi
Metodo DelphiFocus Group
Approccio sperimentale
Metodi quantitativi non sperimentali
RegressioneTecniche perequative e autoregressiveSondaggioConjoint Analysis
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 34 / 96
Il metodo Delphi
Per individuare gli scenari possibili relativi ai nuovi servizi si puoadottare il metodo Delphi:
1 Somministrazione di un questionario ad una selezione di esperti2 Analisi statistica delle risposte3 Invio dei risultati al gruppo di esperti4 Risomministrazione del questionario
Esempio: Progetto TITAN (Analisi tecnico-economica di retid’accesso a larga banda)
Questionario composto da 398 domande100 esperti da 10 paesi (10 per Paese, 5 da operatore dominante)
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 35 / 96
Caratteristiche del metodo Delphi
Vantaggi
Fornisce un consenso su uno scenarioE’ utile per scenari con forte incertezza
Svantaggi
Gli esperti possono essere polarizzatiPuo essere costoso
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 36 / 96
Il Focus Group
La procedura e uguale a quella del metodo Delphi, ma opera supersone normali (non esperti)
Vantaggio: Considera gli utenti potenziali e non le opinioni degliaddetti al mestiere
Svantaggio: Gli utenti hanno una percezione vaga del futuro edell’impatto di servizi innovativi
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 37 / 96
L’approccio sperimentale
Consiste nella variazione controllata delle variabili indipendentidurante la fornitura del servizio ad un gruppo di potenziali utenti
Richiede la selezione preliminare di un gruppo di utenti
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 38 / 96
Fasi dell’approccio sperimentale
1 Selezione casuale dei partecipanti all’esperimento (campionamentostratificato)
2 Suddivisione dei partecipanti in due gruppi
Gruppo dell’esperimento (soggetti alle variazioni)Gruppo di controllo (non soggetti alle variazioni)
3 Effettuazione di un pre-test ad entrambi i gruppi, per verificarnel’omogeneita statistica e le condizioni di partenza
4 Fornitura del servizio ad entrambi i gruppi (Somministrazione dellostimolo) in condizioni diverse
5 Post-test per verificare le differenze nelle risposte dei due gruppi
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 39 / 96
Il sondaggio: Le fasi
1 Preparazione del questionario
Inserimento di domande sull’intenzione di acquisto e sul livello diutilizzoInserimento di domande su caratteristiche socio-demografiche e stili divita
2 Selezione del campione (in maniera totalmente casuale o concampionamento stratificato)
3 Svolgimento dell’intervista
Posta elettronicaPosta ordinariaTelefonoFaccia a faccia
4 Elaborazione statistica delle risposte
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 40 / 96
Il sondaggio: caratteristiche
Il campione deve essere rappresentativo dei potenziali utenti
Le risposte si riferiscono ad un solo istante temporale
E’ costoso e richiede una preparazione accurata del questionario
Il mezzo di intervista determina costi e percentuali di risposte
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 41 / 96
La conjoint analysis
Viene definita una gamma di servizi, con variazioni dellecaratteristiche (una alla volta), incluso il prezzo
Ai potenziali utenti viene richiesta una classificazione dei servizi inordine di preferenza
L’analisi dei risultati consente di valutare la sensibilita al prezzo ed iltrade-off tra prezzo ed altre caratteristiche
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 42 / 96
La conjoint analysis: Pregi e difetti
Vantaggio: Si ottiene una risposta relativa al servizio nel suocomplesso
Svantaggi
Richiede la costruzione di una gamma di servizi fittiziIl numero di alternative possibili (e quindi di confronti necessari) devecomunque essere limitatoIl costo e elevato perche richiede un approccio faccia a faccia
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 43 / 96
Le serie storiche
La serie storica e una sequenza di valori di una grandezza di interesseosservati in un certo arco di tempo
La grandezza di interesse viene in genere misurata ad intervalliregolari (campionamento equispaziato del fenomeno)
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 44 / 96
Esempi di serie storiche
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 45 / 96
Rappresentazione grafica di una serie storica
Rappresentazione cartesiana (valore vs. tempo)
Rappresentazione cartesiana sovrapposta (Sequenza primasegmentata e poi rappresentazione cartesiana dei singoli segmenti)
Rappresentazione polare (Modulo del vettore determinato dal valoredella grandezze e fase del vettore determinato dal tempo), indicataper serie con componente ciclica
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 46 / 96
Esempi di rappresentazione grafica cartesiana
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 47 / 96
Esempi di rappresentazione grafica polare
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 48 / 96
Componenti di una serie storica
Trend o tendenza: componente media di lungo periodo (T)
Componente ciclica: puo trattarsi di una componente il cui periodo elegato al calendario oppure no; se e legata al calendario (ma nonnecessariamente alle stagioni o a fenomeni meteo) si parla dicomponente stagionale (C)
Componente accidentale: e definita per differenza, ovvero e cio che lacomponente di tendenza e quella ciclica non riescono a spiegare (E)
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 49 / 96
La composizione delle componenti
Modello additivo: la serie storica S e il risultato della somma delle suecomponenti S = T + C + E
Modello moltiplicativo: la serie storica S e il risultato del prodottodelle sue componenti S = T · C · EConsiderando il logaritmo di un modello moltiplicativo si ottiene unmodello additivo (se le componenti sono positive)
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 50 / 96
Primo esame della serie storica
Presenza di discontinuita
Presenza di outlier
Relazione tra fluttuazioni e livello della serie
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 51 / 96
Trasformazione logaritmica
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 52 / 96
Stima della tendenza
I metodi sono riconducibili a due categorie
Metodi di regressione
Metodi perequativi
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 53 / 96
Le curve di regressione
Viene assunto un modello costituito da una funzione del tempo diforma nota a cui si aggiunge una componente accidentale (aleatoria)yt = f (t) + ε
Il problema consiste nell’adattare alla serie storica la curva di formanota, stimandone i parametri
Questi metodi vengono classificati secondo la forma della curva:
PolinomialiEsponenzialiSigmoidiEsplicativi
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 54 / 96
Esempio di andamento dell’utenza radiomobile
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 55 / 96
Esempio di andamento dell’utenza a banda larga
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 56 / 96
La regressione per modelli polinomiali
L’andamento della tendenza e supposto di tipo polinomialef (t) = a0 + a1t + · · ·+ apt
p
Il grado e tipicamente non superiore a 3
Il caso particolare di grado 1 coincide con la regressione lineare
I coefficienti possono essere stimati mediante il metodo dei minimiquadrati
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 57 / 96
Determinazione dei coefficienti: La metrica
Supponiamo che la grandezza venga campionata ad istanti regolarit = 1, 2, . . . , n
Disponiamo di n coppie (1, y1), (2, y2), . . . , (n, yn)
Definiamo come metrica di qualita la somma degli scarti quadraticiQ =
∑nt=1 [yt − f (t)]2
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 58 / 96
Determinazione dei coefficienti: La soluzione
Troviamo i coefficienti che minimizzano la metrica ai : ∂Q∂ai = 0
Per un polinomio di grado p otteniamo p + 1 equazioni in p + 1incognite ∂Q
∂ai=∑n
t=1−2t i [yt − f (t)] = 0
Le equazioni risultanti vengono dette equazioni normali e sono linearinei parametri
∑nt=1 t
i [yt − (a0 + a1t + · · ·+ aptp)] = 0
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 59 / 96
Forma matriciale delle equazioni normali
n
∑t . . .
∑tp∑
t∑
t2 . . .∑
tp+1
......
......∑
tp∑
tp+1 . . .∑
t2p
a0
a1...ap
=
∑
yt∑tyt...∑tpyt
AX = B =⇒ X = A−1B
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 60 / 96
La regressione esponenziale
La grandezza cresce (decresce) sempre con andamento esponenziale1 f (t) = a exp(bt)2 f (t) = abt
Il modello esponenziale puo essere ricondotto ad un modello linearemediante trasformazione logaritmica
1 ln f (t) = ln a + bt2 ln f (t) = ln a + t ln b
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 61 / 96
I modelli sigmoidali
La curva ha un andamento monotono fino ad un valore asintotico
Puo modellare sia fenomeni di crescita che di decrescita
La forma della curva e ad S allungata
Modelli principali
LogisticoGompertz
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 62 / 96
Definizione del modello logistico
Il modello logistico e definito mediante il suo tasso di crescitarl = dy
dt = ky(a− y)
Il tasso di crescita e sempre positivo ma prima cresce e poi decresce
Il massimo del tasso di picco si ha in y = a/2 e vale ka/4
Il valore asintotico della grandezza e a
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 63 / 96
Esempio di andamento del tasso di crescita
Valori dei parametri k = 2 e a = 1
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 64 / 96
Forma esplicita del modello logistico
Si ottiene dall’espressione del tasso di crescita risolvendo l’equazionedifferenziale col metodo della separazione delle variabili
1 Separazione dyy(a−y) = kdt =⇒
(1/ay + 1/a
a−y
)dy = kdt
2 Integrazione∫ y(t)y(0)
(1/ay + 1/a
a−y
)dy =
∫ t0 kdx =⇒ y(t) = a
1+(
ay(0)−1)
exp(−kat)
I parametri del modello si possono ottenere per regressione non lineare
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 65 / 96
Esempio di curva logistica
Valori dei parametri k = 2, a = 1 e y(0) = 0.1
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 66 / 96
Definizione del modello di Gompertz
Il modello logistico e definito mediante il suo tasso di crescitarG = dy
dt = ky(ln a− ln y)
Il tasso di crescita e sempre positivo ma prima cresce e poi decresce
Il massimo del tasso di picco si ha in y = a/e e vale ka/e
Il valore asintotico della grandezza e a
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 67 / 96
Esempio di andamento del tasso di crescita per il modellodi Gompertz
Valori dei parametri k = 2 e a = 1
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 68 / 96
Forma esplicita del modello di Gompertz
Si ottiene dall’espressione del tasso di crescita introducendo una variabileausiliaria u = ln y −→ dy = exp(u)du
1 Separazione duln a−u = kdt
2 Integrazione∫ u(t)u(0)
duln a−u =
∫ t0 kdx =⇒ y(t) = a exp
(− ln a
y(0) exp(−kt))
I parametri del modello si possono ottenere per regressione non lineare
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 69 / 96
Esempio di curva Gompertz
Valori dei parametri k = 2, a = 1 e y(0) = 0.1
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 70 / 96
Metodi perequativi
Si basano sul filtraggio della serie storica, smussandone le componentistagionali ed accidentali
Utilizzano gli ultimi dati osservati
Applicano un filtro tipicamente lineare ai dati della serie storica perricavare la stima della tendenza
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 71 / 96
La media mobile
Il metodo perequativo piu semplice e la media mobile
E’ la media (aritmetica) degli ultimi valori osservati
La finestra di osservazione si sposta nel tempo
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 72 / 96
La media mobile simmetrica semplice
La serie osservata e costituita da 2m + 1 valori:x−m, x−m+1, x−1, x0, x1, . . . , xm
La stima della tendenza per il tempo 0 e x0 = 12m+1
∑mi=−m xi
Richiede dati successivi al tempo per il quale si stima la tendenza
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 73 / 96
La media mobile asimmetrica semplice
La stima e ottenuta utilizzando solamente i valori passati
La stima della tendenza e ottenuta come media aritmetica degli ultimim valori
La stima per il tempo t e xt =∑m
i=1 xt−i
L’eta media S dei dati utilizzati per la stima eS = 1
m
∑mi=1 i = 1
mm(m+1)
2
Una memoria lunga rende piu lento l’adeguamento a nuovi livelli
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 74 / 96
Campo di utilizzo della media mobile asimmetrica
La media mobile asimmetrica semplice e adatta per stimare latendenza di serie storiche con tendenza costante o lentamentevariabile
Il modello della serie storica corrispondente e X (t) = α + εt
La componente aleatoria εt si suppone con valore atteso nullo evarianza σ2 costante
La serie storica ha momentiE[X (t)] = α V[X (t)] = σ2
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 75 / 96
Statistiche della previsione
La previsione per l’istante t e una somma di m variabili aleatorieindipendenti ed identicamente distribuite Xt−1(t) = 1
m
∑mi=1 X (t − i)
La previsione e quindi una media campionaria
Il valore atteso della previsione eE[Xt−1(t)] = 1
m
∑mi=1 E[X (t − i)] = 1
mmα = α
La varianza della previsione eV[Xt−1(t)] = 1
m2
∑mi=1 V[X (t − i)] = 1
m2mσ2 = σ2
m
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 76 / 96
L’errore quadratico medio di previsione
E’ definito come R = E[(
X (t)− Xt−1(t))2]
Il suo valore e R = E[X 2(t)
]+ E
[X 2t−1(t)
]− 2E
[X (t)Xt−1(t)
]=
α2 + σ2 + α2 + σ2
m − 2α2 = σ2(1 + 1
m
)
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 77 / 96
Distribuzione dell’errore di previsione
La componente aleatoria si suppone con distribuzione normale
Anche la serie storica e la previsione hanno distribuzione normale
L’errore di previsione ha distribuzione normale con media nulla
E[X (t)− Xt−1(t)
]= 0
V[X (t)− Xt−1(t)
]= σ2
(1 + 1
m
)
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 78 / 96
Intervalli di confidenza della previsioneVarianza nota
Utilizziamo i percentili z della distribuzione gaussiana standard
Effettuiamo una stima per intervalli di tipo bilatero
Consideriamo un livello di confidenza α
Il valore della grandezza al tempo t e
X (t) ∈{Xt−1(t)± zα/2σ
√1 + 1/m
}con probabilita 1− α
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 79 / 96
Intervallo di confidenza monolatero
Interessa tipicamente il limite superiore
Il valore della grandezza al tempo t eX (t) < Xt−1(t) + z1−ασ
√1 + 1/m
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 80 / 96
Intervalli di confidenza della previsioneVarianza incognita
La varianza incognita puo essere stimata come varianza campionaria
corretta σ2 = 1m−1
∑mi=1
[X (t)− Xt−1(t)
]2
Gli intervalli di confidenza si ottengono utilizzando i percentili delladistribuzione t di Student con m − 1 gradi di liberta
L’intervallo di confidenza bilatero eX (t) ∈
{Xt−1(t)± tα/2,m−1σ
√1 + 1/m
}L’intervallo di confidenza monolatero eX (t) < Xt−1(t) + t1−α,m−1σ
√1 + 1/m
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Exponential Smoothing sempliceValore atteso della previsione
Si considera il modello con tendenza costante X (t) = α + εt
E’ uno stimatore non polarizzatoE[Xt−1(t)] =
∑ti=1
1−ω1−ωt ωi−1E[X (t − i)] = 1−ω
1−ωt α∑t
i=1 ωi−1 = α
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Exponential Smoothing sempliceVarianza della previsione
V[Xt−1(t)] =∑t
i=1
(1−ω1−ωt
)2ω2(i−1)V[X (t − i)] =
σ2(
1−ω1−ωt
)2∑t−1j=0 ω
2j ' σ2 1−ω1+ω
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Exponential Smoothing sempliceMemoria equivalente
Lo stimatore ES ha una memoria teoricamente infinita
I dati piu vecchi hanno un peso trascurabile
La memoria equivalente corrisponde al numero di dati di una mediamobile aritmetica con uguale varianza della previsione
σ2 1−ω1+ω = σ2
meq=⇒ meq = 1+ω
1−ω
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Exponential Smoothing sempliceParametro di smoothing e memoria
L’eta mediadei dati e S =
1+meq
2 = 1ω
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Exponential Smoothing sempliceDistribuzione dell’errore di previsione
La componente aleatoria si suppone con distribuzione normale
Anche la serie storica e la previsione hanno distribuzione normale
L’errore di previsione ha distribuzione normale con media nulla
E[X (t)− Xt−1(t)
]= 0
V[X (t)− Xt−1(t)
]= σ2 2
1+ω
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 86 / 96
Exponential Smoothing sempliceIntervalli di confidenza della previsione per varianza nota
Utilizziamo i percentili z della distribuzione gaussiana standard
Effettuiamo una stima per intervalli di tipo bilatero
Consideriamo un livello di confidenza α
Il valore della grandezza al tempo t e
X (t) ∈{Xt−1(t)± zα/2σ
√2
1+ω
}con probabilita 1− α
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 87 / 96
Exponential Smoothing sempliceIntervallo di confidenza monolatero
Interessa tipicamente il limite superiore
Il valore della grandezza al tempo t e X (t) < Xt−1(t) + z1−ασ√
21+ω
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 88 / 96
Exponential Smoothing Doppio
Consideriamo un andamento localmente lineare
Il modello della serie e X (t + h) = at + bth + εtApplichiamo un doppio smussamento
1 Alla serie storica2 Alla serie smussata (previsione del trend)
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Exponential Smoothing DoppioFormule di aggiornamento
Indichiamo la serie storica semplicemente smussata come S1(t)
Applichiamo la doppia smussatura1 S1(t) = (1− ω)X (t − 1) + ωS1(t − 1)2 S2(t) = Xt−1(t) = (1− ω)S1(t) + ω ˆXt−2(t − 1)
La relazione con i coefficienti del modello lineare e1 at = 2S1(t)− S2(t)2 bt = 1−ω
ω [S1(t)− S2(t)]
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Exponential Smoothing DoppioConfronto con Exponential Smoothing Semplice
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Previsione per istanti successivi
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 92 / 96
Il metodo di Holt-Winters
Assume un modello con tendenza lineare
Il modello della serie e X (t + h) = at + bth + εt
La previsione ad un passo e Xt(t + 1) = at + bt
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Il metodo di Holt-WintersStima del livello e della pendenza
Si usa una stima con media pesata come nel metodo di ExponentialSmoothing
La stima del livello e at = αX (t) + (1− α)(at−1 + bt−1)
La stima della pendenza e bt = β(at − at−1) + (1− β)bt − 1
Le stime possono essere inizializzate come a2 = X (2) eb2 = X (2)− X (1)
M. Naldi (URM2) Corso ATEP A.A. 2012-13 94 / 96
Scelta dei coefficienti
I coefficienti α e β sono entrambi positivi e minori di 1
Valori molti piccoli conducono a smussamento elevato
Possono essere scelti minimizzando l’errore quadratico medio sullaserie storica osservata
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Il metodo di Holt-WintersEsempio
I coefficienti usati sono α = 0.234 e β = 0.045
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