Hoja 3.- Grafosej. 13--24

13.- ¿Cuál es el mínimo número de veces que hay que levantar el lápiz del papel para trazar los siguientes dibujos?

El primer grafo es euleriano. No hay que levantar el lápiz.

En el segundo grafo tiene un camino abierto euleriano, entre el vértice a y vértice b. No hay que levantar el lápiz.

En un grafo conexo, si es euleriano o tiene un camino abierto euleriano, no necesitas levantar el lápiz. Si no, lo levantarás k-1 veces, donde 2k es el número de vértices impares. Si es disconexo, este proceso se repetirá por cada componente.

a

b

13.- ¿Cuál es el mínimo número de veces que hay que levantar el lápiz del papel para trazar los siguientes dibujos?

El tercer grafo es conexo, pero no euleriano, no lo puedo recorrer de golpe. Tenemos 8=2·4 vértices impares, por lo que en 4 circuitos eulerianos podremos recorrer mi grafo. Estos son:

14.-

a) Sabiendo que un grafo completo con bucles es aquel que tiene un único arco de extremos u, v para todo par de vértices del grafo.

¿Para qué valores de n el grafo completo con bucles de n vértices es un grafo euleriano?Ya sabemos que un grafo completo simple es euleriano cuando n es impar.

El hecho de que haya lazos no varía la respuesta usual: a la hora de obtener el grado de un vértice donde haya un lazo, se cuenta el número de aristas del cual es adyacente más 2 , grado de entrada del lazo + grado de salida.

Así, en un grafo completo con n impar y lazos, el grado de cada vértice será (n-1)+2, que sigue siendo un número par y por lo tanto euleriano.

14.- b) Demostrar que en el juego de dominó hay partidas que emplean todas las fichas (Indicación: emplead a))

Todas las fichas y su posible combinación para jugar una partida se pueden representar en un grafo.

El grafo consta de 7 vértices.

La arista {i, j} representa la ficha | i | j | .

Entonces me sale un K7 + lazos, que es euleriano. Entonces sí que existe una partida que use todas las fichas.

6

2

0

4

3

1

5

Un ejemplo de circuito euleriano es:

00,01,11,12,22,23,33,34,44,45,55,56,66,60,02,24,46,61,13,35,50,03,36,62,25,51,14,40.

15.-¿Cuáles de los siguientes grafos son hamiltonianos?

a) grafo completo Kn. Para n<3, Kn no es hamiltoniano.

Para n=> 3, sí lo es.

b) grafo bipartido Kr,s.

c) grafo de Petersen.

Evidentemente, tengo que tener r >1 y s>1. Si tengo un ciclo ham., este es de longitud par y por lo tanto, r y s son los dos impares o los dos pares. Además, para no repetir vértices en el ciclo, r y s tienen que ser iguales.

No es hamiltoniano.

Grafo de Petersen

d) grafo del tetraedro, cubo y octaedro.

Vamos a llamar al grafo P. Recuerda que P no tiene ni C3 (triángulos) ni C4 ( cuadrados ) como subretículos, además todos los vértices son de grado 3.

Si fuera hamiltoniano P, tendríamos C10, con 10 aristas, como subgrafo de P. Sobran 5 aristas. Es imposible añadir las 5 aristas a C10 para construir P, sin formar C4.

•Tetraedro: sí es hamiltoniano. El ciclo viene marcado por las aristas verdes.

d) grafo del tetraedro, cubo y octaedro.

Cubo: sí es hamiltoniano. El ciclo viene marcado por las aristas verdes.

octaedro: sí es hamiltoniano. El ciclo viene marcado por las aristas verdes.

16.- Dar un ejemplo de grafo con a lo más 6 vértices, que cumplan: •Es euleriano pero no es hamiltoniano

•Es euleriano porque todos los vértices tienen grado par.

•No es hamiltoniano porque al buscar un camino que recorra todos los vértices, siempre tendrás que recorrer el vértice a dos veces.

•Es hamiltoniano pero no euleriano

Cualquier grafo completo con un número par de vértices mayor que cuatro.

a

•Es euleriano y hamiltoniano

16.- Dar un ejemplo de grafo con a lo más 6 vértices, que cumplan:

Cualquier grafo completo con un número impar de vértices mayor que cinco.

•No es euleriano ni hamiltoniano

a

No es euleriano pues hay dos vértices de grado impar.

No es hamiltoniano porque al buscar un camino que recorra todos los vértices, siempre tendrás que recorrer el vértice a dos veces.

•Tenga un camino euleriano abierto pero no tenga un camino hamiltoniano abierto

•Este grafo tiene un camino abierto euleriano porque posee sólo dos vértices de grado impar.

•En cambio, no posee un camino abierto hamiltoniano.

•Tenga un camino hamiltoniano abierto pero no tenga un camino euleriano abierto

El grafo de Petersen. Veamos un camino hamiltoniano abierto entre los vértices de color rojo.

•No tenga ni camino abierto euleriano ni abierto hamiltoniano.

•Tenga un camino euleriano abierto y otro hamiltoniano abierto.

¡Más fácil imposible!

Recordad que un grafo bipartido completo Km,n es:

•hamiltoniano si m=n, mayores que 1,

•tiene un camino abierto hamiltoniano si n=m+1

¡Más fácil imposible!

Pero vamos a pensar un poco más...

Entonces, el grafo bipartido completo K3,5, nos sirve ya que no tiene un camino abierto hamiltoniano y sus 8 vértices son impares.

Grafo K3,5

17.- Usar que un grafo bipartido con un nº impar de vértices no puede ser hamiltoniano, para demostrar que:

• El siguiente grafo no puede ser hamiltoniano.

1

1

1 2

1

2

2

2

2

2

11

1

Vamos a ver que el grafo es bipartido, enumerando los vértices con el 1 y 2, tal que todos los vértices adyacentes al 1, serán 2 y al revés.

•Un caballo de ajedrez, no puede recorrer todas las casillas sin repetir ninguna, en un tablero 5x5 ó 7x7.

El caballo se mueve "saltando”, siguiendo la diagonal de un rectángulo de 3 por 2 casillas, es decir, se mueve siguiendo la forma de la letra L.

Así, se mueve de casillas blancas a negras y viceversa, y como mucho a 8 casillas diferentes.

Su movimiento puede quedar representado por un grafo bipartido: cada vértice representa una casilla y las aristas el movimiento posible del caballo, que irá de negras a blancas y viceversa.

Tengo entonces uno bipartido, con 5 · 5 = 25 casillas o 7 · 7 = 49 casillas, números impares. Así el caballo no podrá recorrer todo el tablero sin repetir casilla.

C

18.- En cada uno de los siguientes grafos, estudiar si existe:

un circuito Eul., un ciclo Ham., un camino abierto Eul. y un camino abierto Ham..

•Hay vértices de grado impar: no hay circuito euleriano.

•Hay más de dos vértices de grado impar: no hay camino abierto euleriano.

•No tiene ciclo hamiltoniano porque es bipartido, con un número impar de vértices. Veámoslo.

•No tiene camino hamiltoniano. Observa que si quitamos el vértice a, sí. En cambio, si llegamos a a por el vértice b (por ejemplo) , es imposible haber pasado por c y d. Como estos dos vértices son de grado 2, una vez que salimos de a es imposible cubrir el que falta.

ab

d

c

18.- En cada uno de los siguientes grafos, estudiar si existe: un circuito Eul., un ciclo Ham., un camino abierto Eul. y un camino abierto Ham..

•Hay vértices de grado impar: no hay circuito euleriano.

•Hay más de dos vértices de grado impar: no hay camino abierto euleriano.

•Sí tiene un ciclo hamiltoniano. Veamoslo.

Grafo K4

18.- En cada uno de los siguientes grafos, estudiar si existe: un circuito Eul., un ciclo Ham., un camino abierto Eul. y un camino abierto Ham..

Grafo K5

•Todos los vértices son de grado par: hay circuito euleriano. Veamoslo.

•Tiene un ciclo hamiltoniano. Veamoslo.

19.- Prueba que los siguientes grafos no pueden tener un ciclo hamiltoniano.

•Este grafo es bipartido 5 vértices, por lo que no es hamiltoniano.

•El siguiente grafo no es bipartido (contiene C3). No es hamiltoniano. Si lo fuera, podríamos salir de a y volver a él a través del ciclo ham. Supongamos que salimos de a por la arista e1, vértice b. Así, llegaremos a a de nuevo por la arista e9, vértice c. Como el vértice d es de grado 2, para llegar a él y salir, recorreremos e, e7, d y e8 y las aristas

no las podré utilizar en mi ciclo. Así, es imposible llegar al vértice e recorriendo h,f,g,i y j tan sólo una vez.

a

b

i j

e

d

e7e8

ce9

e1

hf

g

20.- Elena y Dora invitan a 10 amigos a cenar. En el grupo de 12, todos conocen al menos a 6 personas. Demostrar que se pueden sentar los 12, alrededor de una mesa circular, de modo que todos conozcan a las dos personas que están sentadas a su lado.

(Utilizar el siguiente resultado: Si G es un grafo  con n vértices, n 3,y se verifica que (x)+ (y) n, para todo x,y no adyacentes, entonces G es Ham.)

Para representar la situación, puedo construir un grafo de 12 vértices, tal que dos vértices son adyacentes si y solo sí las personas a quienes representan se conocen.

Como el grado de cada vértice es mínimo 6, el grafo es Hamiltoniano.

Así podré construir un ciclo hamiltoniano, que representará cómo pueden sentarse a la mesa todos tal que a nadie le de corte hablar con el de al lado.

21.- Sabiendo que un bosque es un grafo (no necesariamente conexo) cuyas componentes conexas son árboles, si G es un bosque con n vértices y k componentes conexas. ¿Cuántas aristas tiene G?

|V|=n;

Cada componente i es un árbol, por lo que cumple:

|Vi|= Ei+1;

Así:

n = 1ik |Vi|= 1ik (Ei+1) = ( 1ik Ei ) + k = |E |+k

Entonces: |E | = n - k

 22.- Hallar un árbol generador para cada uno de los siguientes grafos:

Grafo Árbol Grafo Árbol

ÁrbolGrafo

23.- Determina un árbol generador de peso mínimo del siguiente grafo.

Vamos a aplicar el algoritmo de Kruskal

1 2

9

4

19

1

2

36

61

24

1

7

9 2

3

6

7

8

23.- Determina un árbol generador de peso mínimo del siguiente grafo.

Aplicamos el algoritmo de Kruskal

•Primero: elegir las aristas de peso 1. Veamoslo: aristas naranjas

•Segundo: las de peso 2. Veamoslo: aristas verdes

•Tercero: las de peso 3: arista roja. Y se acabó, ya tengo mi árbol de peso 16.

 24.- En el grafo de la figura se muestra una red de ordenadores que se quiere construir, los vértices representan los ordenadores y las aristas las líneas de transmisión a considerar para conectar algunos pares de ellos. Cada arista tiene un peso que indica el coste de construir esa línea específica. Se pide conectar todos los ordenadores con el menor coste posible.

Por Kruskal, vamos a buscar un árbol generador de peso mínimo del siguiente grafo.

1

2

2

2

31

3

3545

7

6

•Primero: elegir las aristas de peso 1. Veámoslo: aristas naranjas

•Segundo: las de peso 2. Veámoslo: aristas verdes. ¡Ojo! No podemos elegir todas porque formaríamos un ciclo.

•Tercero: las de peso 3: arista roja. ¡Ojo! No podemos elegir todas porque formaríamos un ciclo.

•Cuarto: la de peso 4 no la podemos añadir. Nos fijamos en las de peso 5 y finalizamos con un árbol de peso 14.