Hjerne og Matematik -...
Transcript of Hjerne og Matematik -...
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Hjerne og Matematik
Hvilke dele af hjernen er aktive,
når man arbejder med matematik?
Og hvad betyder problemstillingerne for,
hvilke der bliver aktiveret hvornår og hvorfor? 1
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
*
2
Predictive Coding
En simpel model af hjernen som et åbent system, der opfatter gennem sanserne. Der forekommer et input,
som opfattes og fortolkes af højere ordens hypoteser. Disse eliminerer også
eventuelle fejlfortolkninger. Konstant udvikling af hypoteser er nødvendig for
at minimere fortolkningsfejl. Top down og buttom up. Hohwy, Roepstorff & Friston (2008):
Predictive coding explains binocular rivalry;
An epistemological review
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Matematik er mange ting
• Aritmetik: Tal & størrelser, manipulering med tal
• Geometri i både plan og rum
• Sandsynlighed og statistik
• Algebra med ubekendte, herunder funktioner
• Matematiske modeller
3
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Matematiske niveauer for tænkning
• Rudimentære færdigheder
• Uformel matematik
• Formel matematik
4
Leron, 2002; Ejersbo & Misfeldt, 2008
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Rudimentære færdigheder
• Subitizing: Skelne mellem små antal*
• ANS: Skelne mellem forskel på mængder*
• OTS: At opdele og klassificere objekter**
*Dyr har også evnen
**Opstår, når børn arbejder med tal. Brug af fingertælling
Færdighederne udvikles grundet hjernens plasticitet: Serendipity
5 Dehaene, 1997; Halberta, 2008 m.fl
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Fingertælling
Venstre side af hjernen viser
4 hjernelapper.
Området indenfor den
grønne oval er aktiveret
når en person arbejder
med tal (aritmetik)
en del af Parietal
lappen og netop det
område har kontrol
over fingrene.
6
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Forsøg
7
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Flest?
8
(Dehaene, 2009, after Burr & Ross 2008)
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Flest? Dialog om talstørrelser
To mængder med 8 henholdsvis 9 elementer: Anna er 5 år. L: I hvilken mængde er der flest? Anna peger hurtigt på 9-mængden: Den der L. Hvordan ved du det? A: Jeg snød lidt L. Snød? Hvordan det? A: Jo, jeg tog bare de der væk (udpeger en 3-mængde) flere gange, og så ved jeg jo, at 3 er mere end 2.
9
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Talforståelse
• En til en princippet: Et og kun et tal er fastsat til hver objekt • Princippet om den stabile rækkefølge: Tallene kommer altid i
en bestemt rækkefølge. • Kardinalprincippet: Det sidst talte tal bestemmer antallet i
mængden • Princippet om irrelevant rækkefølge: Det er ligegyldig i
hvilken rækkefølge, man tæller elementerne • Det abstrakte princip: Principperne gælder for alle mængder
10 Gelman og Gallistel, 1978
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Approksimering/Overslag
• Anna har 21 stykker slik og får 30 flere.
• Bo har 34 stykker slik.
• Hvem har flest?
11
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Læsning af tal
• Stort set alle benytter 10-talsystemet • Engelsk har mange inkonsistente talord • Dansk har endnu flere… • Kinesiske og japanske talord er enkle • Disse børn lærer at tælle og regne hurtigere • Sprog påvirker kognition
• Hvordan ved vi det?
12
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Danske talnavne 0-100
• Et-cifrede tal
• To-cifrede tal: navne og størrelse er forskellige mønstre
• To-cifrede tal: Siges fra højre mod venstre
• Hvem har problemer med disse navne?
13
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* At huske tal
61244612 97151719 26285585 Talmønstre: 2, 4, 6, 8, … 1, 4, 9, 16, 25, … 0, 1, 1, 2, 3, 5, … 2, 9, 16, 23, …
14
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Regneproces
15
Klingberg efter Dehaene
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Uformel matematisk tankegang
• Udviklet gennem flere årtusinder
• Hverdagskognitive processer: associationer, metaforer, analogier.
• Procedurer versus relationer
• Undervisningsafhængig
• Tænkte eksperimenter: figurer, diagrammer
• Tanke-registre (Duval, 2000)
16
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
*
17
Opgave
Et baseball bat og en bold koster
tilsammen 1$ og 10 cent.
Battet koster 1 $ mere end bolden.
Hvad koster bolden?
Kahneman, 2002
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Bat og bold
Almost everyone reports an initial tendency to answer ‘10 cents’ because the sum $1.10 separates naturally into $1 and 10 cents, and 10 cents is about the right magnitude. Frederick found that many intelligent people yield to this immediate impulse: 50% (47/93) of Princeton students, and 56% (164/293) of students at the University of Michigan gave the wrong answer. (Kahneman, p. 451)
18
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
*
19
Kaptajnens alder
På et fartøj er der
26 får og 10 geder.
Hvor gammel er kaptajnen?
Baruk, 1996
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* En opgave:
Find overfladen af en mursten, der er 24 cm lang, 10 cm bred
og 5,6 cm tyk.
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
*
21
Dual processes
System 1 (S1) System 2 (S2)
Ikke bevidst Bevidst
Automatisk Kontrolleret
Ufleksibelt Fleksibelt
Hurtigt og problemløst Langsomt og besværligt
Associativt og erfaringsbaseret Regel-baseret
Parallelt Serielt
Ikke-verbalt Sprog-involverende
Biologisk afhængigt, langsom lært Kulturafhængig, hurtigt lært
Meget kontekstafhængigt Kontekstuafhængigt
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* S1 aktiveres
Hurtig løsning
Alarm af S2
OK
Ikke OK
Tavs viden
S2 aktiveres
Analyse hjælper til løsning
Manglende redskaber til løsning
OK
Ikke OK*
* Argumenter opfindes til at retfærdige løsning – Tavs viden
Dual processes
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
*
23
Hvad står der her?
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Formel matematisk tankegang
• Europa i det 1700 århundrede.
• Ingen umiddelbar anvendelse.
• Rigide regler og sætninger.
• Abstrakte tankeprocesser.
• Ingen repræsentationer af andet end tegn (ingen hjælp fra metaforer).
• Kræver udviklet semiotisk talent.
24
Lektor, cand. pæd. i matematik, Ph.D Lisser Rye Ejersbo Neuromatematik
November 2011 DANMARKS PÆDAGOGISKE UNIVERSITETSSKOLE AARHUS UNIVERSITET
* Matematiske formler
25