INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

Escuela superior de cómputo

Historia del cálculo

Materia: Calculo

Profesor: Jurado Jiménez Roberto

Alumno: Franco Carmona Héctor Alonso.

Grupo:1CV7

Cálculo (del latín, calculus, una pequeña piedra usada para el recuento) es una rama de las matemáticas que se centra en los límites, funciones, derivadas, integrales y series infinitas.

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Este tema constituye una parte importante de la enseñanza de las matemáticas modernas. Esta tiene dos ramas principales, el cálculo diferencial y el cálculo integral, que están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. El cálculo es el estudio del cambio y del mismo sentido que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de las operaciones y su aplicación a la resolución de ecuaciones. Un curso en cálculo es un portal de acceso a otros cursos más avanzados en matemáticas dedicada al estudio de funciones y límites, en generales llamado análisis matemático. Cálculo tiene amplias aplicaciones en la ciencia, la economía y la ingeniería y puede resolver muchos problemas para los que el álgebra no es suficiente.

Históricamente, el cálculo que se llamó "el cálculo de los infinitesimales", o "Cálculo infinitesimal". En términos más generales, el cálculo (cálculos plural) que se refieren a cualquier método o sistema de cálculo de guiarse por lo simbólico la manipulación de las expresiones. Algunos ejemplos de otros conocidos cálculos son el cálculo proposicional, cálculo variacional, lambda cálculo, cálculo pi, y unión del cálculo.

Historia

Antiguo

El período antiguo se introdujeron algunas de las ideas del cálculo integral, pero no parece haber un desarrollado estas ideas en un rigurosa sistemática. Calculando volúmenes y áreas, la función básica, del cálculo integral, se remonta a los egipcios, Moscú papiro (c. 1820 aC), en que un egipcio con éxito calculo el volumen de la pirámide frustum. Desde la escuela de griego matemáticas, Eudoxo (c. 408-355 aC) utilizó el método de agotamiento, que prefigura el concepto del límite, para calcular áreas y volúmenes, mientras que Arquímedes (c. 287-212 aC) desarrolló esta idea y la promovió, la invención del heurístico que se asemeja al cálculo integrante. El método de agotamiento más tarde fue reinventado en China por Liu Hui en el siglo III DC con el fin de encontrar el área de un círculo. En el siglo V DC, Zu Chongzhi estableció un método que más tarde sería llamado Cavalieri's principle para encontrar el volumen de una esfera.

Medieval

Alrededor del año 1000 D.C, el matemático Islámico matemático Ibn al-Haytham (Alhazen) fue el primero en derivar la fórmula para la suma de una potencia cuarta de una progresión aritmética, utilizando un método que es fácilmente generalizable a encontrar la fórmula para la suma de cualquier integral de potencias de enteros, que utilizó para realizar la integración. En el siglo XI, el erudito chino Shen Kuo desarrollo de las ecuaciones “parcking” que se ocupa de la integración. En el siglo XII, el matemático hindú , Bhaskara II, desarrollado uno principio que representa los primeros derivados el cambio infinitesimal, y describió una forma temprana al Teorema de Rolle. También en el siglo XII, el matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi desarrollo la derivada de polinomios cúbicos, un importante resultado en el cálculo diferencial. el siglo XIV,el matemático hindú Madhava de Sangamagrama, junto con otros matemático -astrónomos de la Escuela de Kerala de la astronomía y matemáticas, tuvieron una especial descripción a los casos de la serie de Taylor, que se tratan en el texto Yuktibhasa.

ModernoEn Europa, el trabajo fundacional fue un tratado por Bonaventura Cavalieri, quien argumento que los volúmenes y las áreas debe ser calculada como la suma de los volúmenes y las áreas de secciones transversales delgadas infinitesimales. Las ideas eran similares a los de Arquímedes en el método, pero este tratado se ha perdido hasta principios el siglo XX. El trabajo de Cavalieri no fueron respetados ya que sus métodos pueden llevar a resultados erróneos, y las cantidades infinitesimales que introdujo eran de mala reputación al principio. El estudio formal del cálculo combinado infinitesimales de Cavalieri con el cálculo de diferencias finitas desarrollado en Europa alrededor del mismo tiempo. La combinación se logrado por John Wallis, Isaac Barrow, y James Gregory, este ultimo probo el segundo teorema fundamental del cálculo alrededor del año 1675.

La regla del producto y la cadena, el concepto de derivadas de orden superior, serie de Taylor, y las funciones analíticas fueron presentados por Isaac Newton en una notación idiosincrásicas que utilizada para resolver problemas de la física matemática. En sus publicaciones, Newton reformuló sus ideas para adaptarse al idioma matemático de la época, en sustitución de cálculos con los infinitesimales por argumentos equivalentes geométricos que se consideran más allá del reproche. Él utilizó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido en rotación, el achatamiento de la tierra, el movimiento de un peso se desliza sobre una cicloide, y muchos otros problemas discutidos en sus Principia Mathematica. En otro trabajo, que desarrolló la serie de ampliaciones de funciones, incluyendo las de fracciones y potencias irracionales, y estaba claro que entendía los principios de la serie Taylor serie. No pudo publicar todos estos descubrimientos, y en este momento los métodos infinitesimales son considerados todavía dudosa reputación.

Estas ideas fueron sistematizadas en un verdadero cálculo de los infinitesimales por Gottfried Wilhelm Leibniz, que fue acusado originalmente de plagio por Newton. Es considerado como un inventor independiente quien contribuyo al cálculo. Su contribución fue proporcionar un conjunto claro de normas para la manipulación de cantidades infinitesimales, permitiendo el cálculo de las derivadas segunda y superior, y proporcionar la regla del producto y la regla de la cadena, en sus diferenciales y formas de integral. A diferencia de Newton, Leibniz prestado mucha atención al formalismo. A menudo pasaba los días determinando los símbolos apropiados para los conceptos.

Leibniz y Newton son por lo general se les atribuye la invención del cálculo. Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física en general y Leibniz desarrolló gran parte de la notación utilizada en el cálculo actual. Las ideas básicas que Newton y Leibniz siempre fueron loslas leyes de la diferenciación e integración, en segundo lugar y más derivados, y la noción de una serie de aproximación polinómica. En la época de Newton, el teorema fundamental del cálculo era conocida. Cuando Newton y Leibniz publicaron por primera vez sus resultados, estos fueron de gran controversia entre matemáticos (y en otras areas). Newton obtuvo sus primeros resultados, pero Leibniz publico primero. Newton declaro que Leibniz había robado sus ideas de sus notas inéditas, que Newton había compartido con algunos miembros de la Royal Society. Esta controversia divididço a matemáticos de habla inglesa del continente

durante muchos años. Un examen cuidadoso de los trabajos de Leibniz y Newton muestra que llegaron a resultados independientes, con Leibniz comenzando primero con la integración y Newton con la diferenciación. Hoy en día, tanto Newton y Leibniz se les da crédito para el desarrollo de cálculos de forma independiente. Leibniz, sin embargo, que dio una nueva disciplina con su nombre. Newton llamó a su cálculo "la ciencia de las fluxiones”.

Desde la época de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al continuo desarrollo del cálculo. En el siglo IXX, el cálculo fue puesto en muchos mas fundamentos por matemáticos como Cauchy, Riemann y Weierstrass (ver (ε, δ)-definición de límite). Fue también durante este período que las ideas del cálculo se generalizaron con el espacio euclidiano y el complejo plano. Lebesgue generalizada la noción de la integral de manera que prácticamente cualquier función tiene una integral, mientras que Laurent Schwartz extendió la diferenciación en muchas mas formas

El cálculo es un tema omnipresente en la mayoría de las escuelas secundarias modernas yuniversidades de todo el mundo.

Importancia

Si bien algunas de las ideas del cálculo se desarrollaron anteriormente en Egipto, Grecia, China, India, Irak, Persia y Japón, el uso moderno de cálculo se inició en Europa, durante el siglo XVII, cuando Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz construyó sobre la labor del anterior matemático para introducir sus principios básicos. El desarrollo del cálculo se basa en los conceptos anteriores de movimiento instantáneo y el área por debajo de las curvas.

Aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cálculos que implican velocidad aceleración, la pendiente de una curva y optimización. Aplicaciones del cálculo integral incluyen cálculos de área, volumen, la longitud del arco, centro de masa, trabajo, y presión. Más aplicaciones avanzadas incluyen series de potencias y series de Fourier. Cálculo se puede utilizar para calcular la trayectoria de shuttle docking en una estación espacial o la cantidad de nieve en un camino de entrada.

Cálculo también se utiliza para obtener un conocimiento preciso de la naturaleza del espacio, tiempo y movimiento. Durante siglos, los matemáticos filósofos y lucharon con paradojas que envuelven la división por cero o sumas de números infinitos. Estas preguntas se plantean en el estudio del movimiento y área. El antiguo filósofo griego Zenón dio famosos ejemplos de tales paradojas. Cálculo proporciona herramientas, especialmente el límite y la serie infinita, que resuelven las paradojas

Fundamentos

En matemáticas, los fundamentos se refieren al desarrollo de una rigurosa tema a partir de axiomas y definiciones. La elaboración de un riguroso fundamento del cálculo ocupo a matemáticos durante gran parte del siglo siguiente, Newton y Leibniz y todavía hasta cierto punto un área activa de investigación hoy en día.

Hay más de un enfoque riguroso para la fundación de cálculo. La habitual hoy en día es a través del concepto de los límites definidos en la continuidad de los números reales. Una alternativa es no estándar análisis, en el que se aumentó el sistema de números reales connúmero infinitesimal y números infinitos, en el concepto original de Newton-Leibniz . Las bases de cálculo se incluyen en el ámbito del análisis real, que contiene definiciones completas y pruebas de teoremas del cálculo, así como las generalizaciones, como medida la teoría y la teoría de la distribución.

Principios

Límites y infinitesimales

El cálculo fue generalmente desarrollado para la manipulación de cantidades muy pequeñas. Históricamente, la primera forma de hacerlo era por infinitesimales. Estosson objetos que pueden ser tratados como números, pero que son, en cierto sentido, "infinitamente pequeño". Una cifra infinitesimal dx puede ser mayor que 0, pero menos que cualquier número en la secuencia 1, 1/2, 1/3, ... y menos que cualquier número real positivo. Cualquier múltiplo entero de una infinitesimal es todavía infinitamente pequeño, es decir, los infinitesimales no satisfacen la propiedad de Arquímedes. Desde este punto de vista, el cálculo es un conjunto de técnicas para la manipulación de los infinitesimales. Este enfoque cayó en desgracia en el siglo IXX porque era difícil hacer la notación infinitesimal precisa. Sin embargo, el concepto fue revivido en el siglo XX con la introducción de la non-standard analysis and smooth infinitesimal analysis, que proporcionó sólidos bases para la manipulación de los infinitesimales.

En el siglo IXX, los infinitesimales fueron sustituidos por los límites. Límites que describen el valor de una función en una entrada en función de sus los valores en la entrada cerca. Capturan el comportamiento en pequeña escala, al igual que infinitesimales, pero utilizar el sistema ordinario número real. En este tratado, el cálculo es un conjunto de técnicas para manipular de ciertos límites. Infinitesimales son reemplazados por un número muy pequeño, y el comportamiento infinitamente pequeño de la función se encuentra tomando el limitar el comportamiento de los números más pequeños. Los límites son las formas más sencillas de proporcionar rigurosas bases de cálculo, y por esta razón son el enfoque estándar.

Cálculo diferencial.

Cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedades y aplicaciones de la derivada de una función. El proceso de encontrar la derivada que se llama diferenciación. Dada una función y un punto en el dominio, la derivada en ese punto es una manera de codificar la el comportamiento en pequeña escala de la función cerca de ese punto. Al encontrar la derivada de una función en cada punto de su dominio, es posible producir una nueva función, llamada función derivada o sólo la derivada de la función original. En la jerga matemática, la derivada es un operador lineal que entra a una función y sale de una segunda función. Esto es más abstracto que muchos de los procesos que estudia el álgebra elemental, donde funciones usualmente se proporciona un número y proporcionan de salida otro número. Por ejemplo, si la duplicación la función se le da la entrada de tres, luego seis salidas, y si el cuadratura de la función se le da la entrada de tres, entonces nueve salidas. La derivada, sin embargo, puede tomar la función cuadrada como entrada. Esto significa que la derivada toma toda la información de la cuadratura de la función, como que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, y así sucesivamente y utilizando esta información para producir otra función. (La función que produce resulta ser la duplicación de funciones.)

El símbolo más común de un derivado es un apóstrofo, como marca llama prima. Por lo tanto, la derivada de la función de f es f ', se pronuncia "f prima." Por ejemplo, si f (x) = x 2 es el cuadrado de la función, entonces f´ (x) = 2x es su derivado, la función de duplicación.

Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces la derivada representa un cambio con respecto al tiempo. Por ejemplo, si f es una función que toma un tiempo como entrada y da la posición de una bola en ese momento como salida, entonces la derivada de f es cómo la posición es cambiando en el tiempo, es decir, que es la velocidad de la bola.

Si una función es lineal (es decir, si la gráfica de la función es una recta lineal), y entonces la función se puede escribir y= mx + b, donde:

Esto le da un valor exacto para la pendiente de una línea recta. Si el gráfico de la función no es una línea recta, sin embargo, el cambio en y dividido por el cambio en x varía. Derivados de dar un significado exacto a la noción de cambio en la producción con respecto al cambio en la entrada. Para ser concretos, sea f una función, y un punto fijo a en el dominio de f. (a, f (a)) es un punto en la gráfica de la función. Si h es un número cercano a cero, entonces a + h es un número cercano a (a). Por lo tanto (a + h, f (a + h)) es cercano a (a, f (a)). La pendiente entre estos dos puntos es.

Esta expresión se conoce como cociente de la diferencia. Una línea a través de dos puntos en una curva se llama una recta secante, por lo que m es la pendiente de la recta secante entre (a, f (a)) y (a + h, f (a + h)). La recta secante es sólo una aproximación al comportamiento de la

función en el punto a porque no tiene en cuenta lo que sucede entre a y a + h. No es posible descubrir el comportamiento en un establecimiento de h a cero porque esto requeriría dividir por cero, lo cual es imposible. El derivado se define tomando el límite cuando h tiende a cero, el sentido de que considera el comportamiento de f para todos los valores pequeños de h y los extractos de un valor constante para el caso cuando h es igual a cero:

Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en a. La recta tangente es el límite de la línea secante al igual que la derivada de un límite de cocientes de diferencia. Por esta razón, la derivada a veces se llama la pendiente de la función f.

Aquí está un particular ejemplo, la derivada de la función cuadrática en la entrada 3. Sea f (x) = x 2 es la función cuadrática.

La pendiente de la recta tangente a la función de la cuadrada en el punto (3,9) es 6, es decir, que va hasta seis veces más rápido a la derecha. El proceso de límite que acabamos de describir puede ser realizado por cualquier punto en el dominio de la función de cuadrática. Esto define la derivada de la función cuadrada, o simplemente la derivada de la función de cuadratura donde corta. Un cálculo similar a la anterior muestra es que la derivada de la función caudada es la duplicación de funciones.

Leibniz notación

Una notación común, introducido por Leibniz para la derivada de la ejemplo anterior es

En un enfoque basado en los límites, el símbolo dy / dx es para ser interpretado no como el cociente de dos números, sino como una forma rápida para el límite calculado anteriormente. Leibniz, sin embargo, intento representar al cociente de dos números infinitamente pequeños, pero es el infinitesimalmente pequeño cambio en (y) causado por un infinitesimal dx cambio aplicado a x. También podemos pensar en d / dx como una diferenciación como un operado, que toma una función como entrada y da otra función, la derivada, como la salida. Por ejemplo:

En este uso, el dx en el denominador se lee como "con respecto a x ". Aun cuando el cálculo se desarrolla utilizando los límites más que infinitesimales, es común para manipular símbolos como dx y dy como si fueran números reales, a pesar de que es posible evitar tales manipulaciones, a veces es conveniente expresar este tipo de operaciones como la derivada total.

Aplicaciones

El cálculo es utilizada en todas las ramas de las ciencias físicas, actuariales la ciencia, la informática, estadística, ingeniería, economía, negocios, la medicina, la demografía, y en otros campos donde un problema puede ser modelado matemáticamente y es una solución óptimadeseada. Le permite ir de un cambio de ritmo al cambio total o viceversa, y muchas veces en el estudio de una un problema sabemos y están tratando de encontrar al otro.

Física hace uso particular de cálculo, todos los conceptos en la mecánica clásica y el electromagnetismo se relacionan entre sí a través de cálculo. La masa de un objeto de densidad conocida, el momento de inercia de objetos, así como la energía total de un objeto dentro de un conservador campo puede ser encontrado por el uso del cálculo. Un ejemplo de la utilización de cálculo de la mecánica es la segunda ley de Newton del movimiento históricamente declaró haber utilizado el término “ cambio de ritmo" que se refiere a laderivados diciendo La ritmo de cambio del momento de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y se encuentra en el mismo dirección. Comúnmente expresado hoy la Fuerza = masa x aceleración, que consiste en el cálculo diferencial, porque la aceleración es la derivada de la velocidad o el tiempo de la segunda derivada de la trayectoria o espacial posición. A partir de saber cómo un objeto es aceleración, se utiliza el cálculo para derivar a su paso.

La teoría de Maxwell del electromagnetismo y la teoría de Einstein de la relatividad general se expresan también en el lenguaje del cálculo diferencial. Química también utiliza el cálculo para

determinar las velocidades de reacción y de desintegración radiactiva. En biología, dinámica de la población se inicia con tasas de reproducción y la muerte para modelar los cambios de población.

Cálculo se puede utilizar en combinación con otras disciplinas de las matemáticos. Por ejemplo, puede ser utilizado con el álgebra lineal para encontrar el "mejor ajuste" aproximación lineal para un conjunto de puntos en un dominio. O puede ser utilizado en la teoría de probabilidades para determinar la probabilidad de un variable aleatoria continua de una función de densidad asumida. Enla geometría analítica, el estudio de gráficas de funciones, el cálculo se utiliza para encontrar puntos altos y puntos bajos (máximos y mínimos), la pendiente, concavidad y puntos de inflexión.

Teorema de Green, que da a la relación entre una línea integral en torno a una curva cerrada simple C y una integral doble en la región plana D limitada por C, se aplica en un instrumento conocido como planímetro que se utiliza para calcular el área de una superficie plana en un dibujo. Por ejemplo, se puede utilizar para calcular la cantidad de área ocupada por un macizo de flores de forma irregular o en la piscina la hora de diseñar el trazado de una propiedad.

En el ámbito de la medicina, el cálculo se puede utilizar para encontrar el óptimo ángulo de bifurcación de los vasos sanguíneos con el fin de maximizar el flujo. Desde las leyes de atenuación de la eliminación de un medicamento en particular del cuerpo, se usa para administración de dosis. En medicina nuclear, se utiliza para construir modelos de transporte de radiación en los tratamientos de tumores específicos.

En economía, el cálculo permite la determinación de la ganancia máxima proporcionando una manera de calcular fácilmente los costes marginales y ingreso marginal.

Cálculo también se utiliza para encontrar soluciones aproximadas a ecuaciones, en la práctica es la manera estándar para resolver ecuaciones diferenciales y de búsqueda de mas aplicaciones. Ejemplos de ello son los métodos, tales como el método de Newton, fija el punto de iteración, y la línea de aproximación. Por ejemplo, el uso nave una variación del método de Euler método para aproximarse a una curva desde entornos de cero.

Resumen

La palabra calculo proveniente del latín calculus (pequeña piedra usada para el recuento), es una de las principales ramas de las matemáticas ya que se centra en el del cambio y delas formas geométricas, esta se divide en el calculo diferencial y en el calculo integral. El calculo

tiene amplias aplicaciones como en la ciencia, ingeniería, econmia,etc. Cuando se hace referencia al cálculo se toma como a la manipulación de las expresiones.

Historia

Antigua

La historia del calculo comienza desde la antigüedad donde apenas se comienza las ideas de lo que es el calculo pero sin una definición ni aplicación directa a un problema como hoy día se conoce, sin embargo el calculo integral se remonta dese los egipcios en donde un egipcio logro calcular el volumen de la pirámide de frustum. Por otro lado Eudoxo utilizo el método de agotamiento para como concepto de limite para calcular las áreas y volúmenes, Arquímedes desarrollo de mejor forma esta idea y la promovió “heurístico” que se asemeja al calculo integral. Mas tarde el chino Liu Hui desarrollo el método de agotamiento que permite encontrar el área de un circulo, mientras tanto en el siglo V Zu Chongzhi, publico Cavalieri's principale, método para encontrar el volumen de una esfera

Medieval

Alrededor el año 1000 D.C el matemático Ibn al-Haytham fue el primero en derivar una formula para la suma de una potencia cuarta, en el siglo XII Sharaf al-Din al-Tusi desarrollo la derivada de polinomios cúbicos.

Moderno

En esta época se desarrollo principalmente en Europa, trabajos como de Bonaventura Cavalieri quien sugiere que los volúmenes y áreas deben de ser calculadas como la suma de de los volúmenes y áreas de las secciones transversales, pero esta idea no fue del todo bien resibda ya que se decía que utilizando este método se llegaban a resultados erróneos.

Pero uno de los principales personajes de esta época fue Isaac Newton quien proporciono la regla del producto y la regla de la cadena, el concepto de derivadas de orden superior, serie de Taylor, y las funciones analíticas, el utilizo el calculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido en rotación, el achatamiento de la tierra, el movimiento de un peso se desliza sobre una cicloide, y muchos otros problemas discutidos en sus Principia Mathematica.

Estas ideas fueron analizadas y sintetizadas por Gottfried Wilhelm Leibniz que también confiava en el método infinitesimal que en esa época se consideraban de dudosa reputación, mas tarde Newton acuso a Leibniz de plagio por haber robado sus idea ya que Newton había compartido sus ideas con unos miembros de la Royal Society y es por ello que Newton dudaba de que Leibniz hubiera de igual forma desarrollado un calculo infinitesimal. Sin embargo ambos son considerados como los principales propulsores del cálculo.

Desde la época de Leibniz y Newton muchos matemáticos han venido contribuyendo ideas que se implementan al calculo. Por ejemplo En el siglo IXX las ideas del cálculo se generalizaron con el espacio euclidiano y el complejo plano. Lebesgue generalizada la noción de la integral de manera que prácticamente cualquier función tiene una integral, mientras que Laurent

Schwartz extendió la diferenciación en muchas mas formas.

Importancia

El desarrollo del cálculo se basa en los conceptos anteriores de movimiento instantáneo y el área por debajo de las curvas. Aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cálculos que implican velocidad aceleración, la pendiente de una curva y optimización. Aplicaciones del cálculo integral incluyen cálculos de área, volumen, la longitud del arco, centro de masa, trabajo, y presión, entre otras más

Fundamentos

El cálculo se utilizan los fundamentos que permiten definiciones como limites definidos, continuidad en los números reales. Las bases de cálculo se incluyen en el ámbito del análisis real, que contiene definiciones completas y pruebas de teoremas del cálculo, así como las generalizaciones, como medida la teoría y la teoría de la distribución.

Principios

Límites y infinitesimalesEl cálculo fue generalmente desarrollado para la manipulación de cantidades muy pequeñas y se expresan como una cifra infinitesimal dx que puede ser mayor que 0, pero menos que cualquier número en la secuencia 1, 1/2, 1/3, .... El cálculo se expresa como un conjunto de técnicas para la manipulación de los infinitesimales. Este enfoque cayó en desgracia en el siglo IXX porque era difícil hacer la notación infinitesimal precisa.

En el siglo IXX, los infinitesimales fueron sustituidos por los límites. Límites que describen el valor de una función en una entrada en función de sus los valores en la entrada cercana.

Los límites son las formas más sencillas de proporcionar rigurosas bases de cálculo, y por esta razón son el enfoque estándar.

Cálculo diferencial.

Cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedades y aplicaciones de la derivada de una función. El proceso de derivación se define como dada una función y un punto en el dominio, la derivada en ese punto es una manera de codificar la el comportamiento en pequeña escala de la función cerca de ese punto. Al encontrar la derivada de una función en cada punto de su dominio, es posible producir una nueva función, llamada función derivada.

El proceso de derivación es más abstracto que muchos de los procesos que estudia el álgebra elemental, donde funciones usualmente proporcionan un número y proporcionan de salida otro número.

El símbolo más común de un derivado es un apóstrofo, como marca llama prima. Por lo tanto, la derivada de la función de f es f ', se pronuncia "f prima." Por ejemplo, si f (x) = x 2 es el cuadrado de la función, entonces f´ (x) = 2x es su derivado, la función de duplicación.

Si una función es lineal (es decir, si la gráfica de la función es una recta lineal), y entonces la función se puede escribir y= mx + b, donde:

Esto le da un valor exacto para la pendiente de una línea recta. Si el gráfico de la función no es una línea recta.

Sea f una función, y un punto fijo a en el dominio de f. (a, f (a)) es un punto en la gráfica de la función. Si h es un número cercano a cero, entonces a + h es un número cercano a (a). Por lo tanto (a + h, f (a + h)) es cercano a (a, f (a)). La pendiente entre estos dos puntos es.

La recta secante es sólo una aproximación al comportamiento de la función en el punto a porque no tiene en cuenta lo que sucede entre a y a + h. No es posible descubrir el comportamiento en un establecimiento de h a cero porque esto requeriría dividir por cero, lo cual es imposible

El derivado se define tomando el límite cuando h tiende a cero, el sentido de que considera el comportamiento de f para todos los valores pequeños de h y los extractos de un valor constante para el caso cuando h es igual a cero:

Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en a. La recta tangente es el límite de la línea secante al igual que la derivada de un límite de cocientes de diferencia. Por esta razón, la derivada a veces se llama la pendiente de la función f.

Aquí está un particular ejemplo, la derivada de la función cuadrática en la entrada 3. Sea f (x) = x 2 es la función cuadrática.

Leibniz notación

Una notación común, introducido por Leibniz para la derivada de la ejemplo anterior es

Leibniz intento representar al cociente de dos números infinitamente pequeños, pero es el infinitesimalmente pequeño cambio en (y) causado por un infinitesimal dx cambio aplicado a x, se puede pensar en d / dx como una diferenciación como un operado, que toma una función como entrada y da otra función, la derivada, como la salida. Por ejemplo:

Aplicaciones

El cálculo es utilizado en todas las ramas de las ciencias físicas, actuariales la ciencia, la informática, estadística, ingeniería, economía, negocios, la medicina, la demografía y en general en donde se trabaje con modelos matemáticos.

El área de la física hace uso particular de cálculo, todos los conceptos en la mecánica clásica y el electromagnetismo se relacionan entre sí a través de cálculo. La masa de un objeto de densidad conocida, el momento de inercia de objetos, así como la energía total de un objeto dentro de un conservador campo puede ser encontrado por el uso del cálculo.

Isaac Newton fue el primero en utilizar el cambio de ritmo para dar solución a diferentes problemas que involucran un cambio su posición o en el tiempo.

La teoría de Maxwell del electromagnetismo y la teoría de Einstein de la relatividad general se expresan también en el lenguaje del cálculo diferencial. Química también utiliza el cálculo para determinar las velocidades de reacción y de desintegración radiactiva. En biología, dinámica de la población se inicia con tasas de reproducción y la muerte para modelar los cambios de población. El cálculo se puede aplicar también en otras ramas de las matemáticas como la probabilidad, geometría analítica

Aplicaciones en economía en donde se puede determinar de la ganancia máxima proporcionando una manera de calcular fácilmente los costes marginales y el ingreso marginal.

Summary

The calculus word from the Latin calculus (small stone used for counting), is one of the main branches of mathematics as it focuses on change and the geometric shapes, this is divided into

differential calculus and integral calculus. The calculation has broad applications as in science, engineering, economy, etc. When referring to the calculation is taken as the manipulation of expressions.

History

Ancient

The history begins from the age calculation where only begins ideas of what is the calculation but without a definition or direct application to a problem known today, but the integral calculus was Egyptians give yourself back where an Egyptian achievement calculate the volume of the pyramid frustum. On the other hand Eudoxus used the method of exhaustion to as the concept of limits to calculate areas and volumes, developing Archimedes best promoted this idea and "heuristic" which resembles the integral calculus. Later, Liu Hui Chinese developed the depletion method used to find the area of a circle, while both the V century Zu Chongzhi, Cavalieri's principale, method to find the volume of a sphere

MedievalAround 1000 AD the mathematician Ibn al-Haytham was the first to derive a formula for the sum of a fourth power in the twelfth century Sharaf al-Din al-Tusi development derived from cubic polynomials.

ModernAt this time development mainly in Europe, works as Bonaventura Cavalieri, who suggests that the volumes and areas should be calculated as the sum of the volumes and areas of cross sections, but this idea was not quite right because resibda stated that using this method came to erroneous results.

But one of the main characters of this time was Isaac Newton who provided the product rule and chain rule, the concept of higher order derivatives, Taylor series and analytic functions, the calculation used to solve the problem of planetary motion, the shape of the surface of a rotating fluid, flattening of the earth, the movement of a weight sliding on a cycloid, and many other problems discussed in his Principia Mathematica.

These ideas were analyzed and synthesized by Gottfried Wilhelm Leibniz trusted also the infinitesimal method at that time were considered objectionable, Newton later accused Leibniz of plagiarism by stolen his idea and that Newton had shared his ideas with some members the Royal Society, why Newton doubted that Leibniz had likewise developed an infinitesimal calculus. However, both are considered the leading proponent of the calculus

From the time of Leibniz and Newton many mathematicians have been contributing ideas that are implemented to the calculus. For example in the IXX century the ideas of calculus were generalized to Euclidean space and the complex plane. Lebesgue generalized the notion of the integral so that virtually any function has an integral, while Laurent Schwartz extended differentiation in many more ways

Significance

The development of the calculus is based on previous concepts of instantaneous movement and the area under the curve. Applications of differential calculus include computations involving velocity acceleration, the slope of a curve and optimization.

Applications of integral calculus include computations of area, volume, arc length, center of mass, work, and pressure, among others

Foundations

The calculus used the foundations that allow definitions as defined limits, continuity of real numbers. The bases of calculus are included in the field of real analysis, which contains full definitions and proofs of theorems of calculus, and generalizations, as a theory and distribution theory.

Principles

Limits and infinitesimals

the calculus was generally developed for handling very small quantities and are expressed as an infinitesimal amount dx which can be greater than 0 but less than any number in the sequence1, 1/2, 1/3, ..... The calculus is expressed as a set of techniques for manipulating infinitesimals. This approach fell into disfavor in the IXX century because it was difficult to make precise infinitesimal notation.

In XX century, infinitesimals were replaced by limits. Limits that describe the value of a function at an entry based on their values at the entrance nearby.

The limits are the easiest ways to provide rigorous foundations of calculus, and for this reason are the standard approach.

Differential calculus.

Differential calculus is the study of the definition, properties and applications of the derivative of a function. The referral process is defined as a function and a given point in the domain, the derivative at that point is a way to encode the small-scale behavior of the function near that point. To find the derivative of a function at every point in its domain, it is possible to produce a new function called the derivative function.

The derivation process is more abstract than many of the processes studied elementary algebra, where functions usually provide a number and give out another number.

The most common symbol of a derivative is an apostrophe, as a mark called the premium. Therefore, the derivative of the function f is f`, pronounced "f prime." For example, if f (x) = x 2 is the square of the function, then f '(x) = 2x is its derivative, the role of duplication.

If a function is linear (ie, if the graph of the function is a straight line), and then the function can be written y = mx + b, where

This gives an exact value for the slope of a straight line. If the graph of the function is not a straight line.

Sea f una función, y un punto fijo a en el dominio de f. (a, f (a)) es un punto en la gráfica de la función. Si h es un número cercano a cero, entonces a + h es un número cercano a (a). Por lo tanto (a + h, f (a + h)) es cercano a (a, f (a)). La pendiente entre estos dos puntos es.

The secant line is only an approximation to the behavior of the function at the point it does not take into account what happens between a and a + h. Unable to find the behavior in an establishment has zero because this would require dividing by zero, which is impossibleThe derivative is defined by taking the limit as h tends to zero, meaning that considers the behavior of f for small values of h and extracts a constant value for the case when h is equal to zero:

Geometrically, the derivative is the slope of the tangent to the graph of f in a. The tangent line is the limit of the secant line as the derivative of a limit of difference quotients. For this reason, the derivative is sometimes called the slope of the function f.

Here is a particular example, the derivative of the quadratic function in entry 3. Let f (x) = x 2 is the quadratic function.

Leibniz notation

The calculus is used in all branches of physical science, actuarial science, computer science, statistics, engineering, economics, business, medicine, demography, and generally where they work with mathematical models

The physical of particular uses of calculation, all concepts in classical mechanics and electromagnetism are interrelated through calculus. The mass of an object of known density,

the moment of inertia of objects, and the total energy of an object within a conservative field can be found by the use of calculus.

Isaac Newton was the first to use the change of pace for solving various problems involving a change of position or time.

Maxwell theory of electromagnetism and Einstein's theory of general relativity are also expressed in the language of differential calculus. Chemical also uses the calculation to determine the reaction rates and radioactive decay.

In biology, population dynamics begins with reproduction rates and death to model population changes. The calculus can be applied in other branches of mathematics such as probability, analytic geometry

Applications in economics where you can determine the maximum profit by providing a way to easily calculate the marginal cost and marginal revenue.