Hình học 12

CHUAÅN KIEÁN THÖÙC HÌNH HOÏC 12

Leâ Xuaân Hieáu – 0966004478. 27/2 Caùch Maïng, Pleiku, Gia Lai 1

CHÖÔNG I THEÅ TÍCH KHOÁI ÑA DIEÄN

Baøi 1. THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP

THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP V = 1

3

Bh

BAØI TAÄP

TÍNH THEÅ TÍCH CAÙC KHOÁI CHOÙP SAU ÑAÂY

Baøi 1. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình vuoâng, AB = a, SA (ABCD),

SSAC = 2a2

Baøi 2. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät, AB = a, BC = 2a, SB

(ABCD), SSBD = 5a2

Baøi 3. Hình choùp S.ABCD, ABCD laø hình thoi, AC = 2, BD = 6, SC

(ABCD), SSCD =25

Baøi 4. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình bình haønh, AB=6, BC=CA=5; SD

(ABCD), SD = 3

Baøi 5. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D, AB = a,

CD = 3a, AD = a, SC (ABCD), SSBC = 5a2

Baøi 6. ABCD laø töù dieän ñeàu coù caïnh baèng 4m

Baøi 7. S.ABC laø choùp tam giaùc ñeàu, caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân baèng 4a

Baøi 8. S.ABCD laø choùp töù giaùc ñeàu, caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân baèng 6a

BAØI 2. XAÙC ÑÒNH VAØ TÍNH ÑÖÔØNG CAO CUÛA HÌNH CHOÙP

TOÙM TAÉC LYÙ THUYEÁT

1. Ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi 2 ñöôøng thaúng caét nhau trong (P) thì d vuoâng

goùc vôùi (P)

d a (P)

d b (P) d (P)

a b O

www.VNMATH.com

Administrator

Typewritten text

ketnoitrithuc2013.blogspot.com - Chuyên: Chia sẻ kiến thức thi ĐH



2. Hai ñöôøng thaúng song song nhau, ñöôøng thöù nhaát vuoâng goùc vôùi mp( ) thì

ñöôøng thöù 2 vuoâng goùc mp ( )

d

d d’

d ( )

d ' ( )

d / /d '

3. Hai maët phaúng cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng thöù 3 thì giao tuyeán cuûa

chuùng vuoâng goùc mp thöù 3

( ) (P)

( ) (P) d (P)

( ) ( ) d

4. Hai mp vuoâng goùc nhau, trong mp thöù nhaát, ñöôøng thaúng naøo vuoâng goùc vôùi

giao tuyeán thì ñöôøng thaúng ñoù vuoâng goùc vôùi mp thöù 2

( ) ( )

( ) ( ) d a ( )

a ( ),a d

5. Tæ soá theå tích. Hình choùp SABC coù A’,B’,C’P laàn löôït thuoäc caïnh SA, SB, SC

Thì SA B C

SABC

V SA SB SC. .

V SA SB SC

A

B

C

S

A'

B'

C'

H

S

C

B

A

A'

B'

C'H'

www.VNMATH.com



BAØI TAÄP

Baøi 1. Töù dieän ABCD coù DC (ABC), ABC vuoâng caân taïi B, AC = 3 2 ,

dieän tích ADC baèng 6, I laø trung ñieåm DA.

a. Tính VABCD

b. Tính VIABC

c. Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp (BCD)

Baøi 2. Töù dieän ABCD coù AD (BCD), BCD ñeàu caïnh a. Bieát VABCD = 6a3.

I laø trung ñieåm AB.

a. Tính VI.BCD

b. Tính khoaûng caùch töø B ñeán mp (ADC)

Baøi 3. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình vuoâng, AB = a, SA (ABCD),

VS.ABCD = 3a3. I laø trung ñieåm SC

a. Tính VI.ABCD

b. Tính VI.OBC

c. Tính khoaûng caùch töø O ñeán mp (IBC)

Baøi 4. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät, AB = a, BC = 2a,

(SBC) (ABCD), (SBA) (ABCD), dieän tích SAB baèng 2a2. M, N laø trung

ñieåm SA, SD

a. Tính VS.ABD

b. Tính VS.BMN

Baøi 5. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình vuoâng, AB = 4, (SCB) (ABCD),

(SAB) (ABCD), dieän tích SBC = 8. I, J laø trung ñieåm SA, SC

a. Tính VSABCD

b. Tính VI.BCD

c. Tính VSBIJ

Baøi 6. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình thoi, AC = 2BD = 4, (SCD)

(ABCD), (SCA) (ABCD), dieän tích SCD = 5.

a. Tính VS.ABCD

b. Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp (SCD)

c. Tính khoảng cách töø A ñeán mp(SBC)

Baøi 7. Töù dieän ABCD coù (ABC) (CBD), BCD vaø ABC ñeàu caïnh BC =

2a, tính VABCD

Baøi 8. Töù dieän ABCD coù (ABD) (ABC), ABC vuoâng taïi C, CA = 8, CB =

6, ABD ñeàu. Tính VABCD

www.VNMATH.com



Baøi 9. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät AB = 2, BC = 4, SA =

SB = 5, (SAB) (ABCD), I laø trung ñieåm SD

a. Tính VSABCD

b. Tính VI.BCD

Baøi 10. Cho hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình thoi, AC = 2a = 2BD, SAC

ñeàu, SBD caân taïi S. Caùc ñieåm M, N, P laàn löôït thuoäc caïnh SA, SB, SC sao

cho SM = ½ SA, SN = BN, SP = ¼ SC.

a. Tính theå tích khoái choùp SABCD

b. Tính theå tích khoái choùp SMNP

Baøi 11. Cho hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät, AB = 3a; BC =

4a = SA = SC, SB= SD. Caùc ñieåm M, N, laàn löôït thuoäc caïnh SA, SB sao cho

SM = ½ SA, SN = 2BN,


b. Tính theå tích khoái choùp SMNC

Baøi 3. GOÙC

TOÙM TAÉC LYÙ THUYEÁT

1. Goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët (P) laø goùc giöõa d vaø hình chieáu d’ cuûa d

leân mp (P)

2. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng (d,d ') (d,a) neáu a // d’

3. Goùc giöõa hai maët phaúng laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng cuøng vuoâng goùc

giao tuyeán taïi 1 ñieåm

4. Goùc giöõa hai maët phaúng laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng laàn löôït vuoâng goùc

vôùi hai maët phaúng ñoù

BAØI TAÄP

Baøi 1. Cho hình choùp SABC coù SA (ABC), ABC vuoâng taïi A, AB = 3, BC

= 5, dieän tích S SAC = 6 (ñvdt)

a. Tính theå tích khoái choùp SABC

b. Tính goùc giöõa SB vaø mp (ABC)

c. Tính cosin cuûa goùc giöõa SC vaø mp (ABC)

Baøi 2. Cho hình choùp SABC coù (SAB) (ABC), (SBC) (ABC), ABC

vuoâng taïi caân taïi A, AB = 1, goùc giöõa ñöôøng thaúng SC vaø mp(ABC) baøng 450

a. Tính theå tích hình choùp

b. Tính cosin cuûa goùc giöõa SA vaø mp(ABC)

www.VNMATH.com



Baøi 3. Cho töù dieän ABCD coù ABC ñeàu caïnh a, DBC vuoâng caân taïi D,

(DBC) (ABC)

a. Tính theå tích töù dieän ABCD

b. Tính cosin cuûa goùc giöõa DB vaø mp(ABC)

Baøi 4. Cho hình choùp ñeàu S.ABC ( ABC ñeàu , SA = SB = SC ) AB = a, M, N

laàn löôït laø trung ñieåm SB, SC, SA = 2a 3

3

.

a. Tính theå tích khoái choùp SABC

b. Tính goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy

c. Tính theå tích khoái choùp SAMN

Baøi 5. Cho hình choùp S.ABCD coù (SAB)(ABCD), ABCD laø hình vuoâng caïnh

a, SAB ñeàu

a. Tính theå tích choùp S.ABCD

b. Tính goùc giöõa SA vaø BC

c. Tính goùc giöõa SD vaø (ABCD)

Baøi 6. Cho hình choùp SABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät, CB = 3, BD = 5,

(SBD) (ABCD), goùc giöõa SC vaø AD baèng 600, SD = SB

a. Tính theå tích hình choùp SABCD

b. Tính sin cuûa goùc giöõa SA vaø CD

Baøi 7. Cho hình choùp S.ABCD coù SA =SC, SD = SB, ABCD laø hình thoi, AC

= 8, BD = 6, goùc giöõa SB vaø AD baèng 600


b. Cosin cuûa goùc giöõa SA vaø CD

Baøi 8. Hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD, caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân baèng 6a

Theå tích khoái choùp

a. cosin cuûa goùc giöõa SD vaø AB

b. Tính goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy

Baøi 9. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñoä daøi caïnh ñaùy baèng a, caùc maët

beân taïo vôùi maët ñaùy goùc 60o. Maët phaúng (P) chöùa AB vaø ñi qua troïng taâm cuûa

tam giaùc SAC caét SC, SD laàn löôït taïi M, N. Tính theå tích khoái choùp S.ABMN

theo a.

www.VNMATH.com



Baøi 4 . LAÊNG TRUÏ HÌNH HOÄP

Theå tích khoái laêng truï, khoái hoäp. V = B.h

Laêng truï ñöùng. Caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy

Laêng truï ñeàu. Laêng truï ñöùng coù ñaùy laø ña giaùc ñeàu

Hình hoäp. Laêng truï coù ñaùy laø hình bình haønh

Hình hoäp chöõ nhaät. Laêng truï ñöùng coù ñaùy laø hình chöõ nhaät

Baøi 1. Hình laêng truï ñöùng ABC.A’B’C’ coù ABC vuoâng taïi B, AC = 5, AB =

4, goùc giöõa A’B vaø maët ñaùy baèng 450. Tính theå tích hình laêng truï.

Baøi 2. Hình laêng truï ñöùng ABC.A’B’C’ coù AB = 4, AC = 5, BAC= 1200, goùc

giöõa B’C vaø maët ñaùy baèng 600. Tính theå tích hình laêng truï.

Baøi 3. Hình laêng truï ñeàu ABC.A’B’C’ coù caïnh ñaùy baèng 2, dieän tích maët beân

baèng 8. Tính theå tích hình laêng truï.

Baøi 4. Hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù AB = a, BC = 2a, goùc giöõa

maët (A’BD) vaø (ABCD) baèng 300. Tính theå tích hình hoäp.

Baøi 5. Hình laêng truï ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù ñaùy laø hình thoi, AB = 4, goùc

ADC= 600, goùc giöõa AB’ vaø mp (ABCD) baèng 45

0. Tính theå tích hình hoäp.

BAØI TAÄP LAØM THEÂM

Baøi 1. Cho hình laêng truï (khoâng… ñöùng) ABC.A’B’C’ coù 4 ñieåm A’, A, B, C

laäp thaønh moät töù dieän ñeàu caïnh a.

a. Tìm hình chieáu cuûa A’ leân mp (ABC)

b. Tính theå tích khoái laêng truï

c. Tính goùc giöõa 2 mp (A’BC) vaø (ABC)

Baøi 2. Hình laêng truï ABC.A’B’C’ coù hình chieáu cuûa A’ leân mp (ABC) laø trung

ñieåm M cuûa ñoaïn BC, ABC ñeàu caïnh 3, CC’ = 6.

a. Tính theå tích khoái laêng truï

b. Veõ MK AB taïi K, Chöùng minh AB A’K

c. Tính goùc giöõa 2 mp (AA’B) vaø (ABC)

Baøi 3. Hình laêng truï ABC.A’B’C’ coù ABC vuoâng caân taïi A, AB = a. goùc

giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy baúng 600. Tính theå tích laêng truï bieát hình chieáu cuûa

B’ leân maët phaúng (ABC) laø Troïng taâm G cuûa ABC

www.VNMATH.com



Baøi 4. Hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ coù ABCD laø hình chöõ nhaät, AB = 3, AD =

4. Goùc giöõa mp(ABB’A’) vaø (ABCD) baèng 450; Goùc giöõa mp(ADD’A’) vaø

(ABCD) baèng 600, AA’ = 7.

Tính theå tích hình hoäp.

Baøi 5. Hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ coù A’.ABCD laø hình choùp ñeàu AB = 2a ,

goùc giöõa AA’ vaø (ABCD) baèng 600. Tính theå tích hình hoäp.

Baøi 6. Treân caïnh AD cuûa hình vuoâng ABCD coù ñoä daøi laø a, laáy ñieåm M sao

cho AM = x (0 x a). Treân nöûa ñöôøng thaúng Ax vuoâng goùc vôùi maët phaúng

(ABCD) taïi ñieåm A, laáy ñieåm S sao cho SA = y (y > 0). Tính theå tích khoái

choùp S.ABCM theo a, y vaø x. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa theå tích khoái choùp

S.ABCM, bieát raèng x2 + y

2 = a

2.

Baøi 7. Cho hình hoäp ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù caùc caïnh AB=AD = a, AA’ =

a 3

2

vaø goùc BAD = 600. Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh

A’D’ vaø A’B’. Chöùng minh raèng AC’ vuoâng goùc vôùi maët phaúng (BDMN).

Tính theå tích khoái choùp A.BDMN

Baøi 8. Cho hình choùp S.ABC, ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B coù AB = a,

BC = a 3 , SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC), SA = 2a. Goïi M, N laàn löôït

laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm A treân caùc caïnh SB vaø SC. Tính theå tích

cuûa khoái choùp A.BCNM.

Baøi 9. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät; SA (ABCD);

AB = SA = 1; AD 2 . Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø SC; I laø

giao ñieåm cuûa BM vaø AC. Tính theå tích khoái töù dieän ANIB.

Baøi 10. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø moät hình vuoâng taâm O. Caùc

maët beân (SAB) vaø (SAD) vuoâng goùc vôùi ñaùy (ABCD). Cho AB = a, SA =

a 2 . Goïi H, K laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân SB, SD .Tính theå tích khoái

choùp S.AHK

BAØI TAÄP KHOAÛNG CAÙCH

Baøi 1. Hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ coù AB = 6, AA’ = 4 vaø A’.ABD laø hình

choùp tam giaùc ñeàu

a. Tính theå tích hình hoäp

b. Tính khoaûng caùch töø B ñeán mp(A’B’C’)

c. Tính khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng A’B’ ñeán mp(ABCD)

www.VNMATH.com



Baøi 2. Hình hoäp ñöùng ABCD.A’B’C’D’(laêng truï ñöùng, ñaùy laø hình bình haønh)

coù AB = 2, BC= 4, goùc BCD = 300

, khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng A’D’

vaø BC baèng 5.


b. Tính khoaûng caùch d(D,BC)

c. Tính khoaûng caùch giöõa 2 mp (ABB’) vaø (DCC’)

Baøi 3. Hình hoäp ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù ñaùy laø hình thoi AC = 2BD = 4,

khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng AB vaø C’D’ baèng 5.


b. Tính khoaûng caùch d(A,BC)

c. Tính khoaûng caùch d(A’D’, CC’)

Baøi 4. Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù AB = 3, AD = 4 goùc giöõa

ñöôøng thaúng DC’ vaø mp (ABCD) baèng 450


b. Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng AB’ vaø CD

Baøi 5. Cho laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 coù AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5 vaø

oBAC 120 . Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh CC1. Chöùng minh MB MA1 vaø

tính khoaûng caùch d töø ñieåm A tôùi maët phaúng (A1BM).

Baøi 6. Cho hình choùp S.ABC coù goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ACB)

baèng 600, ABC vaø SBC laø caùc tam giaùc ñeàu caïnh a. Tính khoaûng caùch töø B

ñeán mp(SAC).

Baøi 7. Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ coù theå tích baèng 8a3

a. Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng AB vaø A’D

b. Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(A’BC)

c. Tính theå tích hình choùp B.AA’D’

www.VNMATH.com



Chöông II

HÌNH CAÀU – HÌNH TRUÏ – HÌNH NOÙN

Baøi 1. HÌNH CAÀU

Dieän tích maët caàu S = 42

R

Theå tích khoái caàu V = 34

R

3

Baøi 1. Tìm taäp hôïp taâm caùc maët caàu ñi qua 2 ñieåm A, B phaân bieät cho tröôùc

Baøi 2. Tìm taäp hôïp taâm caùc maët caàu ñi qua 3 ñieåm A, B, C phaân bieät cho tröôùc

Baøi 3. Tìm taäp hôïp taâm caùc maët caàu ñi qua moät ñöôøng troøn cho tröôùc

Baøi 4. Cho hình choùp S.ABC coù ABC vuoâng taïi A, AB = 3, CB = 5, SB

(ABC), goùc giöõa SC vaø (ABC) baèng 450 .

a. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính hình caàu ngoaïi tieáp

b. Tính theå tích hình caàu ngoaïi tieáp hình choùp SABC

Baøi 5. Treân 3 tia Ox, Oy, Oz ñoâi moät vuoâng goùc nhau, laàn löôït laáy caùc ñieåm

A, B, C sao cho OA = 6, OB = 8, OC = 10

a. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính hình caàu ngoaïi tieáp töù dieän OABC

b. Tính dieän tích maët caàu ñoù

Baøi 6. Töù dieän ABCD coù BCD laø tam giaùc ñeàu caïnh a, AD (BCD), goùc giöõa

(BCD) vaø (ABC) baèng 600.

a. Tính AD

b. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính hình caàu ngoaïi tieáp ABCD

c. Tính theå tích hình caàu ñoù

Baøi 7. Tính theå tích maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ñeàu caïnh a

Baøi 8. Choùp tam giaùc ñeàu S.ABC coù AB = 3 3 , goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy

baèng 450

a. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính hình caàu ngoaïi tieáp hình choùp

b. Tính dieän tích maët caàu

Baøi 9. Choùp ABCD coù ABC vuoâng taïi A, AC = 6, CB = 10 , (DBC)

(ABC), DCB caân taïi D, dieän tích DCB baèng 10

a. Tính theå tích töù dieän

b. Xaùc ñònh taâm vaø tính theå tích hình caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD

www.VNMATH.com



Baøi 10. Choùp S.ABCD coù theå tích baèng 96 (ñvtt) SA (ABCD), ABCD laø

hình chöõ nhaät, AB = 6, AD = 8. Tính theå tích hình caàu ngoaïi tieáp hình choùp

Baøi 11. Choùp S.ABCD coù ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SC (ABCD), goùc

giöõa SA vaø maët ñaùy baèng 450. Tính dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp hính choùp

Baøi 12. Choùp S.ABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät taâm O, AB = 3 , AD = 1,

SA = SB= SC = SD. VS.ABCD = 3

3

. Xaùc ñònh taâm vaø tính theå tích maët caàu

ngoaïi tieáp hình choùp

Baøi 13. Laêng truï ñeàu ABC.A’B’C’ coù caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân baèng 2a.

Tính dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp laêng truï

Baøi 14. Laêng truï ñeàu ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân baèng

4a. Tính dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp laêng truï

Baøi 15. Hình hoäp chöõ nhaät coù 3 kích thöôùc 3, 4, 5. Tính theå tích hình caàu

ngoaïi tieáp

Baøi 16. Tính theå tích hình caàu ngoaïi tieáp hình laäp phöông coù caïnh baèng a

Baøi 17. Tính dieän tính maët caàu noäi tieáp hình laäp phöông coù caïnh baèng a

Baøi 2. HÌNH TRUÏ

O'B'

O

A B

A'

Dieän tích xung quanh Sxq = 2R.h = 2R.AA’

Theå tích V = R2.h = R

2.AA’

Dieän tích hình troøn S = R2 ; Chu vi ñöôøng troøn = 2R

BAØI TAÄP

Baøi 1. Cho hình truï coù baùn kính R = 4, maët phaúng qua truïc cuûa hình truï caét

hình truï theo thieát dieän laø moät hình chöõ nhaät coù dieän tích baèng 24.

a. Tính theå tích khoái hình truï

b. Tính dieän tích xung quanh hình truï

c. Tính dieän tích toaøn phaàn hình truï

www.VNMATH.com



Baøi 2. Hình truï coù baùn kính R, maët phaúng qua truïc cuûa hình truï caét hình truï

theo thieát dieän laø moät hình vuoâng. Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh hình

truï theo R

Baøi 3. Cho hình truï (T) coù baùn kính R = 2, truïc OO’ baèng 4. Hình caàu (S) coù

ñöôøng kính OO’

a. Tính dieän tích xung quanh cuûa hình truï

b. Tính dieän tích maët caàu

c. So saùnh theå tích khoái truï (T) vaø khoái caàu (S)

Baøi 4. Moät hình truï coù baùn kính R vaø chieàu cao R 3

a. Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn hình truï

b. Tính theå tích khoái truï

c. Hai ñieåm A, B laàn löôït naèm treân hai ñöôøng troøn ñaùy sao cho goùc giöõa AB

vaø truïc cuûa hình truï baèng 300. Tính khoaûng caùch giöõa AB vaø truïc cuûa hình truï

Baøi 5. Cho hình laêng truï töù giaùc ñeàu ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh ñaùy baèng a vaø

chieàu cao baèng 2a.

a. Tính dieän tích xung quanh hình truï ngoaïi tieáp laêng truï

b. Tính theå tích khoái truï noäi tieáp laêng truï

Baøi 6. Cho hình laêng truï töù giaùc ñeàu ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh ñaùy baèng a vaø

chieàu cao baèng 2a.

a. Tính dieän tích xung quanh hình truï ngoaïi tieáp laêng truï

b. Tính theå tích khoái truï noäi tieáp laêng truï

Baøi 7. Moät hình truï coù dieän tích xung quanh baèng 4 , thieát dieän qua truïc laø

hình vuoâng.

a. Tính dieän tích toaøn phaàn hình truï

b. Tính theå tích khoái truï

c. Tính theå tích khoái laêng truï töù giaùc ñeàu noäi tieáp trong hình truï

d. Tính theå tích khoái caàu ngoaïi tieáp hình truï

www.VNMATH.com



Baøi 3. HÌNH NOÙN

OA B

S

Dieän tích xung quanh.

Sxq = Rl (l: laø ñöôøng sinh, R baùn kính ñaùy, h chieàu cao)

Theå tích khoái noùn.

V = 21

R h

3

BAØI TAÄP

Baøi 1. Tính theå tích cuûa hình noùn trong caùc tröôøng hôïp sau

a. Ñöôøng sinh l = 3cm vaø goùc hôïp bôûi ñöôøng sinh vaø ñaùy laø 600

b. Baùn kính ñaùy r =4cm vaø goùc giöõa ñöôøng sinh vaø truïc cuûa hình noùn baèng 450

c. Thieát dieän qua truïc laø tam giaùc vuoâng caân coù dieän tích baèng 6 cm2

Baøi 2. Cho ABC vuoâng taïi A, AB = 3, BC = 5.

Tính theå tích vaät theå sinh ra khi quay ABC quanh ñöôøng thaúng AC

Baøi 3. Cho ABC caân taïi A, AB = 4,0

ABC 60 . H, M, N laàn löôït laø trung

ñieåm BC, AC, AB

a. Tính theå tích vaät theå sinh ra khi quay ABC quanh ñöôøng thaúng AH

b. Tính theå tích vaät theå sinh ra khi quay hình thang MNCB quanh ñöôøng

thaúng AH


Baøi 1. Cho hình noùn ñænh S, vaø baùn kính ñaùy R, chieàu cao h = R. Maët phaúng

(P) di ñoäng, luoân qua S caét ñöôøng troøn ñaùy theo moät daây cung AB = a

(0 a 2R)

www.VNMATH.com



Baøi 2. Tính theo a, R dieän tích thieát dieän cuûa hình noùn vaø maët phaúng (P)

a. Xaùc ñònh a ñeå dieän tích ñoù lôùn nhaát

b. Khi a = 2R6

3

, xaùc ñònh vaø tính goùc giöõa maët phaúng (P) vaø mp ñaùy

Baøi 3. Cho hình noùn coù ñænh S, ñaùy laø ñöôøng troøn taâm O, baùn kính R. Goùc giöõa

ñöôøng sinh vaø truïc baèng 300. Maët phaúng (P) qua S hôïp vôùi ñaùy moät goùc .

a. Hoûi naèm trong giôùi haïn naøo thì maët phaúng (P) caét hình noùn ?

b. Khi (P) caét ñaùy theo moät daây AB. Tính theå tích töù dieän SOAB theo R vaø

. Ñònh ñeå theå tích ñoù lôùn nhaát

Baøi 4. Cho hình noùn ñænh S, ñaùy laø ñöôøng troøn (C) coù baùn kính R, ñöôøng cao h

= 2R. Maët phaúng (P) song song vôùi ñaùy, caét hình noùn theo moät ñöôøng troøn

(C’). Tính theo R baùn kính cuûa (C’) neáu

a. Maët phaúng (P) chia hình noùn thaønh 2 phaàn coù theå tích baèng nhau

b. Maët phaúng (P) chia hình noùn thaønh 2 phaàn coù dieän tích xung quanh baèng nhau

OÂN TAÄP HÌNH HOÏC

Baøi 1. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a.

SA (ABCD) vaø SA = a. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm AD, SC. Tính theå

tích töù dieän BDMN vaø khoaûng caùch töø D ñeán mp(BMN).

Baøi 2. Cho hình laêng truï ABC.A’B’C’ coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a, hình

chieáu vuoâng goùc cuûa A’ leân maët phaúng (ABC) truøng vôùi taâm O cuûa tam giaùc

ABC. Moät maët phaúng (P) chöùa BC vaø vuoâng goùc vôùi AA’, caét laêng truï theo

moät thieát dieän coù dieän tích baèng

2a 3

8

. Tính theå tích khoái laêng truï

ABC.A’B’C’.

Baøi 3. Tính theå tích cuûa hình choùp S.ABC, bieát ñaùy ABC laø moät tam giaùc ñeàu

caïnh a, maët beân (SAB) vuoâng goùc vôùi ñaùy, hai maët beân coøn laïi cuøng taïo vôùi

ñaùy goùc .

Baøi 4. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a, 0

BAD 60 ,

SA vuoâng goùc maët phaúng (ABCD), SA = a. Goïi C laø trung ñieåm cuûa SC. Maët

phaúng (P) ñi qua AC vaø song vôùi BD, caét caùc caïnh SB, SD cuûa hình choùp laàn

löôït taïi B, D. Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD.

www.VNMATH.com



Baøi 5. Cho hình hoäp ABCD.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng, AB = AA

= 2a. Hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân maët phaúng ñaùy truøng vôùi taâm cuûa ñaùy.

M laø trung ñieåm cuûa BC. Tính theå tích hình hoäp vaø cosin cuûa goùc giöõa hai

ñöôøng thaúng AM vaø AC

Baøi 6. Cho laêng truï ABC.A'B'C' coù A.ABC laø hình choùp tam giaùc ñeàu caïnh

ñaùy AB = a, caïnh beân AA = b. Goïi laø goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø

(ABC). Tính tan vaø theå tích cuûa khoái choùp A.BBCC.

Baøi 7. Cho khoái choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät, vôùi AB = 2AD

= 2a, saïnh SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD), caïnh SC taïo vôùi maët ñaùy

(ABCD) moät goùc 0

45 . Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc SAB, maët phaúng

(GCD) caét SA, SB laàn löôït taïi P vaø Q. Tính theå tích khoái choùp S.PQCD theo a.

Baøi 8. Cho hình choùp luïc giaùc ñeàu S.ABCDEF vôùi SA = a, AB = b. Tính theå

tích cuûa hình choùp ñoù vaø khoaûng caùch giöõa caùc ñöôøng thaúng SA, BE.

Baøi 9. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy laø ABC vuoâng caân taïi A, AB = AC = a.

Maët beân SBC vuoâng goùc vôùi maët ñaùy, hai maët beân coøn laïi ñeàu hôïp vôùi maët

ñaùy caùc goùc 600. Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABC.

www.VNMATH.com



Chöông III. PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN

Baøi 1. TOÏA ÑOÄ CUÛA ÑIEÅM VAØ VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN

A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT

1. Heä truïc toïa ñoä Oxyz: 3 truïc Ox , Oy, Oz ñoâi moät vuoâng goùc nhau

2. Ba vecto ñôn vò i (1;0;0) Ox ; j (0;1;0) Oy; k (0;0;1) Oz

3. Ñieåm M(x0; y0 ;z0) 0 0 0

x .i y . j z .k 0

M Ox M(x; 0; 0) M Oy M(0; y; 0) M Oz M(0; 0; z)

M (Oxy) M(x; y; 0) M (Oyz) M(0; y; z) M (Oxz) M(x; 0; z)

4. Hai ñieåm A(xA;yA; zA) , B(xB; yB; zB)

Vecto B A B A B A

AB x x ;y y ;z z

Ñoä daøi 2 2 2

B A B A B AAB= AB x x y y z z

I laø trung ñieåm AB A B A B A B

x x y y z zI ; ;

2 2 2

G laø troïng taâm ABC A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G ; ;

3 3 3

5. Cho 2 vecto a = (a1; a2; a3 ) ; b = (b1;b2; b3 )

2 2 2

1 2 3a a a a

a ± b = (a1± b1; a2± b2; a3± b3 )

1 2 3

ka ka ;ka ;ka

1 1 2 2 3 3

a.b a b a b a b

31 2

1 2 3

aa aa / /b a kb

b b b

a.b

cos a,b

a b

1 1 2 2 3 3

a b a.b 0 a b a b a b 0

www.VNMATH.com



1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

6. Tích coù höôùng cuûa 2 vecto a = (a1; a2; a3 ); b =(b1;b2; b3 )

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

a b a,b ; ; c

b b b b b b

Tính chaát. c a

c b

a,b a . b .sin a,b

7. ÖÙng Duïng

a. Hai vecto u,v ñoàng phaúng u,v 0

b. Ba vecto u,v,w ñoàng phaúng u,v .w 0

c. Dieän tích tam giaùc ABC. SABC = 1

AB,AC

2

d. Theå tích töù dieän ABCD. VABCD = 1

AB,AC .AD

6

e. Theå tích hình hoäp ABCD.A’B’C’D’. VABCD.A’B’C’D’ = AB,AD .AA'

B. BAØI TAÄP

Baøi 1. Hai vectô baèng nhau

1. Cho tam giaùc ABC coù trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, AC vaø BC laàn löôït laø

M(1, 4, 3); N(2, 1, 0) vaø P(1, 1, 5). Tìm toïa ñoä cuûa caùc ñænh ABC.

2. Cho hình bình haønh ABCD vôùi A(2, 1, 1); B(4, 1, 3) vaø C(2, 3, 1). Tìm

toïa ñoä ñieåm D vaø toïa ñoä taâm cuûa hình bình haønh.

3. Cho hai ñieåm M(1, 2, 3) vaø N(4, 5, 6) chia ñoaïn AB thaønh ba phaàn baèng

nhau. Tìm toïa ñoä hai ñieåm A, B.

5. Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ bieát A’(1, 0, 1); B(2, 1, 2); D(1, 1, 1) vaø

C’(4, 5, 5). Tìm toïa ñoä caùc ñænh coøn laïi.

www.VNMATH.com



Baøi 2. Tìm toïa ñoä ñieåm vaø vectô

Cho vectô a = (1,2,3); b = (1,4,2) vaø c = (5,2,1). Tìm toïa ñoä cuûa vectô

a. m = 2 a + 3 b 5 c b. n = a + 24 b + 14 c

Baøi 3. Hai vectô cuøng phöông

1. Cho a = (2, m, 5) vaø b = (1, 2, n). Tìm m vaø n ñeå hai vectô cuøng phöông.

2. Xeùt tính thaúng haøng cuûa ba ñieåm A,B, C bieát raèng:

a. A(1, 3, 1); B(0, 1, 2) vaø C(0, 0, 1).

b. A(1, 1, 1); B(4, 3, 1) vaø C(9, 5, 1).

3. Cho ba ñieåm A(4, 3, 2); B(2, m, 3) vaø C(n, 4, 2).

a. Tìm m vaø n ñeå ba ñieåm A, B, C thaúng haøng.

b. Tìm giao ñieåm giöõa AB vôùi caùc maët phaúng toïa ñoä.

4. Cho hai ñieåm A(1, 3, 0); B(2, 1, 0). Tìm giao ñieåm cuûa AB vôùi truïc Ox, Oy

5. Tìm b cuøng phöông a = (2 2 , 1, 4) bieát | b | = 10.

Baøi 4. Tích voâ höôùng

1. Cho ba vectô a = (1, 1, 1); b = (4, 0, 1); c = (3, 2, 1). Tìm:

a. ( a . b ) c

b. a2

b + b2

c + c2

a

2. Cho a = (3, 2, 4); b = (5, 1, 6) vaø c = (3, 0, 2). Tìm x sao cho a . x = 4;

b . x = 35 vaø c . x = 0

3. Tìm x cuøng phöông vôùi a = (2, 1, 1) bieát a . x = 3.

4. Cho a = (3m, 2m + 1, 5m 1). Tìm m ñeå:

a. a vuoâng goùc truïc Ox b. a vuoâng goùc truïc Oy

5. Cho A(2, 1, 3) vaø B(2, 1, 4).

a. Tìm M treân Ox sao cho tam giaùc MAB vuoâng taïi M.

b. Tìm N treân Oy sao cho tam giaùc NAB vuoâng taïi A.

Baøi 5. Goùc giöõa hai vectô

1. Tính goùc cuûa hai vectô trong moãi tröôøng hôïp sau:

a. a = (2, 1, 2); b = (0, 2 , 2 ) c. a = (2, 5, 0); b = (3, 7, 0)

b. a = (6, 0, 8); b = (12, 0, 9) d. a = (2, 0, 6); b = (3, 0, 9)

2. Tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC bieát A(3, 1, 0); B(2, 1, 1) vaø C(3, 2, –1)

www.VNMATH.com



Baøi 6. Tích höõu höôùng cuûa hai vectô vaø öùng duïng

1. Tìm vectô tích höõu höôùng cuûa caùc caëp vectô sau

a. a = (2, 1, 2); b = (0, 1, 5) b. a = (4, 6, 8); b = (1, 7, 2)

c. a = (3, 1, 6); b = (4, 2, 8) d. a = (4, 3, 6); b = (5, 2, 8)

2. Cho tam giaùc bieát A(2, 1, 3); B(3, 2, 2) vaø C(4, 0, 1)

a. Tìm dieän tích tam giaùc ABC. b. Tính ñoä daøi ñöôøng cao AH veõ töø A

3. Xeùt söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô trong moãi tröôøng hôïp sau:

a. a = (1, 1, 1) b = (0, 1, 2) c = (4, 2, 3)

b. a = (4, 3, 4) b = (2, 1, 2) c = (1, 2, 1)

c. a = (4, 2, 5) b = (3, 1, 3) c = (2, 0, 1)

4. Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ coù A(1,0,1); B’(2,1,2); D’(1,1,1);

C(4,5,5). Tính theå tích hình hoäp treân.

Baøi 7. Bài tập làm thêm

1. Cho a = (2, 1, 1); b = (1, 3, 2). Goïi v = m a 3 b vaø w = 3 a + 2m b .

Ñònh m ñeå

a. v vaø w vuoâng goùc b. v vaø w cuøng phöông

2. Cho A(2, 3, 2); B(2, 3, 0); C(3, 0, 1); D(4, 6, 3). CMR ABCD laø töù

giaùc coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc nhau, tính dieän tích töù giaùc ABCD.

3. Cho ba ñieåm A(1, 0, 0); B(0, 0, 1); C(2, 1, 1)

a. Chöùng minh raèng A, B, C laø ba ñænh cuûa moät tam giaùc

b. Tính chu vi vaø dieän tích tam giaùc ABC

c. Tìm chaân ñöôøng cao H haï töø A cuûa tam giaùc ABC

d. Tìm toïa ñoä đñiểm D ñể töù giaùc ABCD laø hình bình haønh

e. Tính ñoä daøi ñöôøng cao cuûa tam giaùc ABC haï töø ñænh A.

4. Cho boán ñieåm A(1, 0, 0); B(0, 1, 0); C(0, 0, 1); D(2, 1, 1)

a. Chöùng minh raèng A, B, C, D laø boán ñænh cuûa moät töù dieän.

b. Tính theå tích töù dieän ABCD vaø tính ñoä daøi ñöôøng cao cuûa töù dieän haï töø A

5. Cho boán ñieåm A(1, 5, 10); B(5, 7, 8); C(2, 2, 7); D(5, 4, 2)

a. Chöùng minh raèng A, B, C, D cuøng naèm treân moät maët phaúng.

b. Tính dieän tích cuûa töù giaùc ABCD.

6. Cho boán ñieåm S(1, 2, 3); A(2, 2, 3); B(1, 3, 3); C(1, 2, 4)

a. Chöùng minh raèng SABC laø moät töù dieän.

www.VNMATH.com



b. Chöùng minh raèng SA (SBC), SB (SAC), SC (SAB).

Baøi 2. MAËT CAÀU

TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT

Maët caàu taâm I(a; b; c) baùn kính R > 0 laø taäp hôïp nhöõng ñieåm M(x; y; z)

caùch ñieåm I moät khoaûng R

Phöông trình : (xa)2+ (yb)

2+(zc)

2 = R

2 hoaëc x

2+y

2+z

22ax2by2cz+d = 0

Vôùi ñieàu kieän. a2 + b

2+ c

2 d > 0, R=

2 2 2a b c d

1. Xaùc ñònh toaï ñoä taâm vaø tính baùn kính cuûa caùc maët caàu sau

a. (x – 2 )2

+ (y + 1)2 + (z- 3)

2 = 25 b. x

2 + (y – 1)

2 + ( z + 2)

2 = 4

c. (x – 3 )2

+ (y + 1)2 + z

2 = 25 d.

2 2 2x y z 6x 4y 2z 22 0

e. 2 2 2

x y z 6x 0 f. 6 x 5 3 x 2

g. 2 2 2

3x 3y 3z 6x 3y 15z 2 0

2. Ñònh m ñeå caùc phöông trình sau laø phöông trình maët caàu

a. x2 + y

2 + z

2 + 2mx 2my + 2(2m + 1)z 1 = 0

b. x2 + y

2 + z

2 + 4mx – 2(m – 1)y – 4(m + 1)z 5 = 0

3. Vieát phöông trình maët caàu bieát raèng

a. Coù taâm I (3, 4, 5) vaø r = 3

b. Coù taâm I (1, 2, 3) vaø r = 2

c. Coù taâm J (0, 4, 1) vaø ñi qua ñieåm B(1, 2, 1)

d. Coù taâm I (3, 4, 5) vaø ñi qua ñieåm A(1, 2, 1)

e. Ñöôøng kính AB vôùi A (1, 3, 0) vaø B(5, 3, 4)

f. Ñöôøng kính MN vôùi M (0, 4, 1) vaø B(6, 2, 1)

g. c ể (0; 2; 0), B(1; 1; 0), C(2; 5; 3), D(−2; 2; )

h. c ng h nh ch BCD (2; 1; 1), B(−1;− ;3), C(1; 2; 0),

D(2; −1; 3)

Baøi 3. MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN

A. TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

1. Vectô phaùp tuyeán (VTPT ) cuûa maët phaúng (P) laø n (P), n 0

2. Vectô chæ phöông (VTCP) cuûa maët phaúng (P) laø u / /(P), u 0

www.VNMATH.com



3. Neáu maët phaúng (P) coù 2 VTCP u,v thì (P) coù VTPT laø n u,v

4. Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P): ax + by + cz + d = 0

Trong ñoù vectô phaùp tuyeán laø n =(a;b;c)

5. Maët phaúng (P) qua ñieåm M(x0; y0; z0 ), (P) coù VTPT n =(a;b;c) phöông

trình toång quaùt (P): a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0

6. Chuøm maët phaúng : neáu maët phaúng (P) chöùa ( ñi qua) giao tuyeán cuûa hai maët

phaúng (Q): ax + by + cz + d = 0 ; (R ): a’x + b’y + c’z + d’ = 0 thì phöông trình

(P): m(ax + by + cz + d) + n(a’x + b’y + c’z + d’ ) = 0 (2 2

m n 0 )

7. Phöông trình ñoaïn chaén. Neáu maët phaúng (P) caét 3 truïc toïa ñoä laàn löôït taïi

A(a; 0;0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c 0) phöông trình (P): x y z

1

a b c

B. BAØI TAÄP

Baøi 1. Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (caên baûn)

1. Tìm pt toång quaùt cuûa maët phaúng (P) qua A vaø coù vectô phaùp tuyeán n vôùi

a. A(3, 4, 5); n = (1, 2, 3) b. A(2, 3, 0); n = (2, 3, 4).

c. A(0, -5, 1); n = (2, 3, 0) d. A(3, 0, 6); n = (1, 5, 3)

2. Tìm phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) qua A vaø coù caëp vectô chæ

phöông a vaø b

a. A(2, 0, 1); a = (2, 2, 0); b = (4, 1, 3)

b. A(2, 2, 1); a = (1, 2, 4); b = (2, 1, 0)

c. A(2, 3, 4); a = (2, 1, 1); b = (1, 1, 1)

3. Laäp phöông trình maët phaúng Oxy

4. Laäp phöông trình maët phaúng Oxz

5. Laäp phöông trình maët phaúng Oyz

6. Laäp phöông trình toång quaùt maët phaúng (P) bieátt raèng:

a. (P) qua N(1, 4, 3) vaø vaø vuoâng goùc vôùi n = (1, 2, 3).

b. (P) qua E(5, 4, 2) vaø vuoâng goùc vôùi truïc Oz.

c. (P) qua A(3, 6, 1) vaø vuoâng goùc ñt BC bieát B(0, 1, 2); C(3, 5, 0).

d. (P) qua ñieåm B(1, 1, 2) vaø song song vôùi mp ( ): x + 3y 2z + 1 = 0.

e. (P) qua ñieåm M(2, 3, 1) vaø song song vôùi maët phaúng (Oxz).

f. (P) laø mp trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB vôùi A(3, 2, 1) vaø B(5, 0, 3).

www.VNMATH.com



g. (P) qua ba ñieåm A(2, 3, 5);B(1, 2, 1); C(1, 3, 2).

h. (P) qua 2 ñieåm A(1,2, 2), B(3, 1,2) vaø vuoâng goùc mp( ): 2x + y+6=0

i. (P) qua A(3, 2, 4) vaø chöùa truïc Oy.

j. (P) qua A(1, 2, 3); ñồng thôøi vuoâng goùc vôùi hai mp( ): x 2z + 1 = 0 vaø

( ): x + y z + 1 = 0

Baøi 2. PHÖÔNG TRÌNH CHUØM MAËT PHAÚNG

1. Laäp phương trình maët phaúng (P) qua A(3, 4, 1) vaø chöùa giao tuyeán cuûa 2

maët phaúng (Q): x – y – 4z + 27 = 0 vaø (R): 2x – y + 3z + 11 = 0.

2. Cho ba maët phaúng (1

), (2

), (3

) laàn löôït coù phöông trình: (1

): 2x – y +

z + 1 = 0; (2

):x + 3y – z + 2 = 0; (3

): -2x + 2y + 3z + 3 = 0. Vieát phöông

trình maët phaúng (P) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (1

) vaø (2

); ñoàng

thôøi thoûa ñieàu kieän sau

a. Qua M(1, 2, 1)

b. Song song vôùi truïc Oz.

c. Vuoâng goùc maët phaúng (3

)

3. Vieát phöông trình cuûa maët phaúng trong moãi tröôøng hôïp sau:

a. Qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng y + 2z – 4 = 0 vaø x + y – z – 3 = 0;

ñoàng thôøi song song vôùi maët phaúng x + y + z – 3 = 0.

b. Qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng 3x + z – 2 = 0 vaø x + 4y – 5 = 0;

ñoàng thôøi vuoâng goùc vôùi maët phaúng 2x – y+ z + 7 = 0.

Baøi 3. PHÖÔNG TRÌNH ÑOAÏN CHAÉN

Laäp phöông trình maët phaúng trong caùc tröôøng hôïp sau

a. (P) qua 3 ñieåm A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,1)

b. (P) qua 3 ñieåm A(4,0,0), B(0,1,0), C(0,0,5)

c. (P) qua 3 ñieåm M(7,0,0), N(0,0,2), E(0,4,0)

d. (P) qua M(4, 1, 2), (P) caét Ox, Oy, Oz taïi A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c);

bieát a, b, c > 0 vaø theå tích töù dieän OABC nhoû nhaát. Tìm phöông trình mp(P)

www.VNMATH.com



Baøi 4. ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN

A. TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

1. Vectô phaùp tuyeán (VTPT ) cuûa ñöôøng thaúng (d) laø n (d), n 0

2. Vectô chæ phöông (VTCP) cuûa ñöôøng thaúng (d) laø u / /(d), u 0

3. Neáu ñöôøng thaúng (d) coù 2 VTPT 1 2

n ,n thì (d) coù VTCP laø 12

u n ,n

1

n 2

n

d u

4. Ñöôøng thaúng d coù VTCP u =(a; b ; c), d ñi qua ñieåm M(x0; y0; z0)

Phöông trình tham soá d:

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

tham soá t R

Phöông trình chính taéc d: 0 0 0

x x y y z z

a b c

( a, b, c 0)

5. Neáu ñöôøng thaúng d laø giao tuyeán cuûa 2 maët phaúng

(Q): ax + by + cz + d = 0 ; (R ): a’x + b’y + c’z + d’ = 0 thì phöông trình

toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng d laø :

(Q) : ax by cz d 0

(P) : a x b y c z d 0

Khi ñoù d coù VTCP laø QR

u n ,n

B. BAØI TAÄP

PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG DAÏNG CƠ BAÛN

1. Vieát phöông trình tham soá vaø chính taéc cuûa ñöôøng thaúng d qua A vaø coù

vectô chæ phöông a trong moãi tröôøng hôïp sau:

a. A(3, 4, 5); a = (1, 1, 3) b. A(2, 3, 7); a = (2, 3, 5)

c. A(4, 5, 1); a = (4, 3, 0) d. A(3, 4, 6); a = (1, 6, 2)

2. Vieát phöông trình tham soá vaø chính taéc cuûa ñöôøng thaúng d qua A vaø coù caëp

vectô phaùp tuyeán 1

n ,2

n trong moãi tröôøng hôïp sau:

a. A(2, 0, 1); 1

n = (2, 2, 3); 2

n = (4, 1, 3).

www.VNMATH.com



b. A(2, 2, 1); 1

n = (1, 2, 4); 2

n = (2, 1, 5).

c. A(2, 3, 4); 1

n = (2, 6, 8); 2

n = (1, 1, 1).

3. Vi t pt tham số ường thẳng (trục) Ox

4. Vi t pt tham số ường thẳng (trục) Oy

5. Vi t pt tham số ường thẳng (trục) Oz

6. Vieát phöông trình tham soá vaø chính taéc cuûa ñöôøng thaúng d bieát:

a. d qua A(7, 2, 3) vaø cuøng phöông a = (2, 3, 4).

b. d qua A(4, 3, 2) vaø vuoâng goùc vôùi caëp vectô a = (7,2, 1) vaø b = (2, 4, 6)

c. d qua 2 ñieåm A(2, 9, 3) vaø B(1, 0, 1)

d. d qua A(4, 4, 1) vaø song song vôùi ñöôøng thaúng 1

x 3 4t

( ) : y 1 2t

z 2 7t

e. d qua A(2, 2, 0) vaø vuoâng goùc maët phaúng (P): 3x y + z – 2 = 0.

f. d qua A(0, 2, 1); vuoâng goùc vôùi 2 ñöôøng thaúng 1

x 3 4t

( ) : y 1 2t

z 2 7t

vaø

2

x 2 y 1 3 z( ) :

3 2 4

g. d qua A(1, 7, 2) vaø song song vôùi 2 maët phaúng (P): 3x y + z – 2 = 0 vaø

(Q): x y +10 = 0

h. d qua A(4, 5, 6); song song maët phaúng (P): x + 2y 3z + 11 = 0 vaø vuoâng

goùc vôùi ñöôøng thaúng

x 3t

( ) : y 2 t

z 4 t

.

7. Vieát phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng d bieát

a. d laø giao tuyeán cuûa (1

): x – 2y + z + 5 = 0 vaø (2

): 4x + y – z + 7 = 0

b. d chöùa trong 2 maët phaúng (P): x 4y 6z +3 = 0 vaø maët phaúng (Oyz)

9. Vieát phöông trình tham soá vaø chính taéc cuûa ñöôøng thaúng d bieát:

a. d coù phöông trình toång quaùt laø 2x y 3z 0

3x 4y 2z 5 0

www.VNMATH.com



b. d qua M(1, 1, 2) vaø song song vôùi ñöôøng thaúng ( ): 3x y 2z 7 0

x 3y 2z 3 0

c. d qua A(-1, -3, -4) vaø coù phöông song song vôùi giao tuyeán cuûa hai maët

phaúng (1

): x + y + z + 1 = 0; (2

): x +3y – 2z + 12 = 0.

www.VNMATH.com



TOÅNG HÔÏP PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG VAØ ÑÖÔØNG THAÚNG

1. Lập phương trình mp (P) chöùa ñieåm M(3,1,0) vaø ñöôøng thaúng

d: x 1 y 2 z 2

3 2 2

(CÑ CÑ HAÛI PHOØNG 2006)

2. Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua hai ñieåm M(4, 5, 2); N(3, 3, 1) vaø

song song vôùi truïc Oy.

3. Laäp phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng

x 4 t

(d) : y 1 5t

z 7t

vaø vuoâng

goùc vôùi maët phaúng (P): x 2y z 5 0

4. Cho 3 ñieåm A(1, 3, 2); B(1, 2, 1); C(1, 1, 3). Haõy vieát phöông trình tham soá

cuûa ñöôøng thaúng ( ) ñi qua troïng taâm tam giaùc ABC vaø vuoâng goùc vôùi maët

phaúng chöùa tam giaùc.

5. Vieát phöông trình maët phaúng qua A vaø chöùa ñöôøng thaúng d bieát raèng:

a. A(1, -2, 3) vaø

x 4 t

(d) : y 1 5t

z 7t

.

b. A(2, 3, 6) vaø

x t

(d) : y 3 3t

z 2 t

6. Cho hai ñöôøng thaúng 1

x 1

(d ) : y 2 t

z 3 t

vaø 2

x 2 t

(d ) : y 1 2t

z 3 3t

.

Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa (d1) vaø song song (d2).


1. Cho 3 ñieåm A(5; 4; 3) , B(1; 2; 3), C(2; 3 4)

a. laäp phöông trình maët phaúng (ABC)

b. Laäp phöông trình ñöôøng cao AH cuûa ABC

c. Laäp phöông trình ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn AB naèm trong mp(ABC)

www.VNMATH.com



2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua A vuoâng goùc d vaø naèm trong (P)

a. Cho maët phaúng (P): 2x + y + z – 1 = 0 ; (d): x 1 y z 2

2 1 3

. Vieát

phöông trình ñöôøng thaúng qua A(0, 2, –1); vuoâng goùc vôùi d vaø naèm trong (P).

b. Cho maët phaúng (P): x + y + z = 0 vaø ñöôøng thaúng x 2y 3 0(d) :

3x 2z 7 0

.

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñieåm qua A(1, 0, –1); vuoâng goùc d vaø naèm

trong (P).

c. Cho ñöôøng thaúng (d): x 2z 3 0

y 2z 0

vaø (P): x + 3y – z + 4 = 0. Vieát

phöông trình ñöôøng thaúng ( ) ñi qua giao ñieåm của d vaø (P), ( ) vuoâng goùc

vôùi d vaø( ) naèm trong (P)

Baøi 5. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI


a. VTTÑ giöõa 2 mp (P): ax + by + cz + d = 0

(Q): a’x + b’y + c’z + d’ = 0

+ a b c d

(P) (Q)

a' b' c' d '

+ a b c d

(P) / /(Q)

a' b' c' d '

+

or

a b c

a' b' c'

(P) caét (Q)

b. VTTÑ giöõa ñöôøng thaúng d vaø mp (P):

Ñeå xeùt VTTÑ giöõa ñöôøng thaúng d vaø mp (P) ta vieát phöông trình ñöôøng

thaúng d döôùi daïng tham soá vaø giaûi heä phöông trình d :

(P) :

+ heä coù 1 nghieäm d caét (P) taïi 1 ñieåm

+ heä voâ nghieäm d // (P)

+ heä coù voâ soá nghieäm d (P)

www.VNMATH.com



c. VTT Ñ giöõa ñt d vaø maët caàu (S):

Ñeå xeùt VTTÑ giöõa d vaø (S) ta giaûi heä pt d :

(S) :

+ Heä coù 1 nghieäm d vaø (S) coù 1 ñieåm chung (tieáp xuùc)

+ Heä coù 2 nghieäm d caét (P) taïi 2 ñieåm

+ Heä voâ nghieäm d khoâng caét (S)

d. VTTÑ Giöõa 2 ñöôøng thaúng d vaø d’ :

+ d qua M coù VTCP a ; d’ qua M’, coù VTCP b

a / /b

MM' / /

d / /d '

a

M a d

M’ b d’

a / /b

d d'

MM' / /a

a b d d'

M M’

a / / b

[a,b].MM' 0

d M' b

d d' I d’ I M a

d’

M’ b

a / / b

[a,b].MM' 0

d cheùo d’ M a d

Nhaéc: 1 2 3

1 2 3

a (a ,a ,a )

b (b ,b ,b )

31 2

1 2 3

aa aa / /b

b b b

; a.b = a1.b1 + a 2.b2 + a3.b3

www.VNMATH.com



B. BAØI TAÄP

Baøi 1. Vò trí töông ñoái giöõa hai maët phaúng

1. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng sau

a. (P): 18x + 11y + 8z – 1 = 0 vaø (Q): – 14x + 2y + 10z + 3 = 0

b. (P): 3x – 5y – 7z + 21 = 0 vaø (Q): – 3x + 5y + 7z – 47 = 0

2. (P): 2x – my + 3z – 6 + m = 0 vaø (Q): (m+3)x – 2y + (5m+1)z – 10 = 0 vôùi

giaù trò naøo cuûa m ñeå 2 maët phaúng ñoù

a. Song song vôùi nhau b. Truøng nhau c. Caét nhau

Baøi 2. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG

1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa d vaø (), tìm giao ñieåm (neáu coù)

a. (d):

x 1 t

y 1 t

z 2t

vaø ( ): 3x + 5y – z – 2 = 0.

b. (d):

x 2 t

y 1

z t

vaø ( ): x + 2y – 4z + 1 = 0.

c. (d): x 2 y

z

2 1

vaø ( ): 5x – z – 4 = 0.

d. (d): x 2 y z 5

2 4 1

vaø ( ): y + 4z + 17 = 0.

2. Cho ñöôøng thaúng 5x 3y 2z 5 0

(d) :

2x y z 1 0

vaø mp ( ) : 4x 3y 7z 7 0 .

Chöùng minh raèng d naèm treân maët phaúng ( ) .

Baøi 3. XEÙT VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT CAÀU

a. d:

x 3 t

y 1 t

z 1

vaø (S):2 2 2

x y z 6x 2y 4z 5 0

b. d:

x 4 t

y 1

z 1 2t

vaø (S): 2 2 2

x y z 6x 2y 2z 10 0

www.VNMATH.com



Baøi 4. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG

1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng sau:

a. x 1 y 7 z 3 x 6 y 1 z 2

(d) : ;(d') :

2 1 4 3 2 1

b. x 1 y 2 z x y 5 z 4

(d) : ;(d') :

2 2 1 2 3 0

c. x 2 y z 1 x 7 y 2 z

(d) : ;(d') :

4 6 8 6 9 12

d. x 1 y 2 z 3 x 7 y 6 z 5

(d) : ;(d') :

9 6 3 6 4 2

2. Cho ba ñt 1

x t

(D ) : y 5 2t

z 14 3t

, 2

x 1 4

(D ) : y 2

z 1 5

, 3

x 4y 7 0(D ) :

5x 4z 35 0

a. Chöùng minh raèng (D1) vaø (D2) cheùo nhau.

b. Chöùng minh raèng (D1) vaø (D3) caét nhau, tìm toïa ñoä giao ñieåm.

c. Tìm pt hai mp (P1) vaø (P2) song song nhau vaø laàn löôït qua (D1), (D2).

3. Cho hai ñt 1 2

x 5 2t x 3 2

d : y 1 t ; d : y 3

z 5 t z 1

. Chöùng toû hai ñöôøng thaúng d1 vaø

d2 song song. Vieát phöông trình maët phaúng chöùa d1 vaø d2

4. Chöùng toû raèng hai ñt 1

x 7 3t

(d ) : y 2 2t

z 1 2t

vaø 2

x 1 y 2 z 5d :

2 3 4

cuøng

naèm trong moät maët phaúng. Laäp phöông trình maët phaúng ñoù.

5. Cho hai ñöôøng thaúng: 1 2

3x y 5z 0x 1 y z 1(D ) : ;(D ) :

1 2 3 2x 3y 8z 0

a. Chöùng minh raèng hai ñöôøng thaúng treân vuoâng goùc nhau.

b. Hai ñöôøng thaúng ñoù coù caét nhau khoâng?

www.VNMATH.com



Baøi 6. HÌNH CHIEÁU – ÑOÁI XÖÙNG


Baøi toaùn 1. Cho A vaø mp (P), tìm hình chieáu cuûa A leân (P) vaø tìm A’ ñoái

xöùng cuûa A qua (P)

Laäp ñöôøng thaúng d qua A vaø (P) A

Hình chieáu cuûa A leân (P) d

laø I = d (P) I

toïa ñoä I laø nghieäm: d :

(P) :

P

A’ ñoái xöùng vôùi A qua (P) A’

I laø trung ñieåm AA’ toïa ñoä A’

Q

Baøi toaùn 2. Cho B vaø ñöôøng thaúng d B

Tìm hình chieáu cuûa B leân d

Tìm B’ ñoái xöùng cuûa B qua d: k d

laäp mp (Q) qua B vaø d

hình chieáu cuûa B leân d B’

laø K = (Q) d

B’ ñoái xöùng vôùi B qua d

K laø trung ñieåm BB’

Baøi toaùn 3. Cho ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Tìm phöông trình d’

hình chieáu cuûa d leân mp (P):

+ laäp phöông trình mp (Q)

Chöùa d vaø (Q) (P)

+ d’ laø giao tuyeán cuûa

2 mp (P) vaø (Q)

phöông trình cuûa

d’:(P) :

(Q) :

www.VNMATH.com



B. BAØI TAÄP

Baøi 1. HÌNH CHIEÁU

1. Xaùc ñònh hình chieáu H cuûa A treân maët phaúng (P) bieát

a. A( 1, 3, 5) vaø (P): x + 2y + 8z – 1 = 0

b. A(–2, 1, 4) vaø (P): 2x – 3y + z – 20 = 0.

c. A( 4, 5, 6) vaø (P) Oxy

2. Tìm hình chieáu H cuûa A leân ñöôøng thaúng d bieát

a. A( 3, –2, 5) vaø x 1 y 2 z 5

(d) :

2 3 4

b. A(–2, 3, 1) vaø

x 3t

(d) : y 1 t

z t

c. A( 2, 4, 1) vaø dOx

d. A( 3, –4, 1) vaø dOy

e A( 12, 4, –3) vaø dOz

3. Cho ñt x 2 y 2 z 1

(d) :

3 4 1

vaø maët phaúng (P): x 2y 3z 4 0

a. Vieát phöông trình maët phaúng (Q) chöùa d vaø vuoâng goùc (P)

b. Tìm phöông trình hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng d treân (P)

4. Xaùc ñònh hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñöôøng thaúng d xuoáng (P) bieát d:

xy z

2

vaø (P): 3x 2y z 15 0 .

5. CÑ SP Vónh Phuùc, KD, 2006.

Cho d: x 2 y 1 z 1

2 3 5

vaø(P): 2x + y + z – 8 = 0

a. Chöùng minh d caét (P), tìm toïa ñoä giao ñieåm

b. Vieát phöông trình hình chieáu vuoâng goùc cuûa d leân (P)

Baøi 2. ÑOÁI XÖÙNG

1. Tìm ñieåm A’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua maët phaúng (P) bieát

a. A(1, 4, 2); (P): x 2y + 8z 1 = 0.

b. A(2, 1, 4); (P): 2x 3y + z 20 = 0

www.VNMATH.com



2. Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng cuûa A qua d trong caùc tröôøng hôïp sau

a. A(3, 2, 5) vaø

x 2 3t

(d) : y t

z 1

. (CÑ SP Quaûng Ngaõi, 2006 )

b. A(–3, 1, –1) vaøz 2

(d) : x y

2

c. A(3, 2, 0) vaø x 1 y 3 z 2

(d) :

1 2 2

3. Tìm phöông trình ñöôøng thaúng (d’) ñoái xöùng vôùi d qua maët phaúng (P) bieát

a. 2, 1 vaø (P): 3x – 4y + z – 2 = 0

b. x 2 y 1 z 1

(d) :

1 2 1

vaø (P): 2x – y + z + 1 = 0

Baøi 7. KHOAÛNG CAÙCH

TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA

a. Khoaûng caùch töø M ñeán mp (P): Ax + By + Cy + D = 0

M M M

2 2 2

Ax By Cz D

d(M,(P))

A B C

b. Khoaûng caùch giöõa ñt d vaø mp (P) song song ( d//(P) )

Choïn M d, M d

d(d,(P)) d(M,(P))

c. Khoaûng caùch giöûa 2 mp song song (P)//(Q)

choïn M (P), d(P, Q) = d(M, Q)

d. Khoaûng caùch töø M ñeán ñöôøng thaúng d: M

AM,a

d(M,d)

a

choïn A a d

e. Khoaûng caùch giöõa 2 ñt d, d’cheùo nhau a,b .MM

d(d,d )

a,b

www.VNMATH.com



f) Khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng song song

Choïn M d’, d(d, d’) = d(M, d) d’ M

d

n u,v

x 3t

y 1 t

z 2t

BAØI TAÄP

Baøi 1. KHOAÛNG CAÙCH TÖØ ÑIEÅM ÑEÁN MAËT PHAÚNG

1. Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (P) trong caùc tröôøng hôïp sau:

a. A(1, 3, 5) vaø (P): x + 2y + 8z – 1 = 0.

b. A(–2, 1, 4) vaø (P): 2x – 3y + z – 20 = 0.

c. A( 4, 5, 6) vaø (P): 3x + y + 7z + 2 = 0.

d. A( 1, 0, –1) vaø (P): x – 2y – 9z + 20 = 0.

2. Cho 4 ñieåm A(–1, 3, 2); B(4, 0, –3); C(5, –1, 4); D(0, 6, 1)

a. Tính khoaûng caùch töø A ñeán (DBC).

b. Tính khoaûng caùch töø C ñeán (DBA).

3. Cho caùc ñieåm A(1, 1, 3); B(–1, 3, 2); C(–1, 2, 3)

a. Tính khoaûng caùch töø goác toïa ñoä O ñeán (ABC).

b. Tính dieän tích ABC vaø theå tích töù dieän OABC

Baøi 2. Vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu

1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø maët phaúng trong caùc tröôøng hôïp sau

a. 2 2 2

x y z 6x 2y 4z 5 0 vaø x + 2y + z – 1 = 0

b. 2 2 2

x y z 6x 2y 2z 10 0 vaø x + 2y – 2z + 1 = 0

c. 2 2 2

x y z 4x 8y 2z 4 0 vaø x + y – z – 10 = 0

Baøi 3. Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song

1. Tính khoaûng caùch giöõa caùc caëp maët phaúng song song sau

a. (P): 2x – 3y + z – 2 = 0 vaø (Q): 2x – 3y + z – 40 = 0

b. (P): x – y + z – 42 = 0 vaø (Q): x – y + z + 1 = 0

2. Cho ñieåm A(–2, 4, 3) vaø maët phaúng (P): 2x 3y 6z 19 0

a. Vieát pt toång quaùt cuûa maët phaúng (Q) chöùa A vaø song song vôùi (P).

b. Tính khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng (P) vaø (Q).

www.VNMATH.com



3. Lập phương trình mp (P) // (Q): 2x + y – 2z + 1 = 0 và (P) cách (Q) một

khoảng bằng 2

4. Lập pt mp (P) // (Q): x + 2y – 2z = 0 và (P) cách (Q) một khoảng bằng 1

5. Lập phương trình mp (P) // (Oyz) và (P) cách (Oyz) một khoảng bằng 3

Baøi 4. Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song

1. Ch ng minh d// , Tính khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P)

a. (d): x 1 y 3 z

2 4 3

vaø ( ): 3x - 3y + 2z – 5 = 0.

b. (d):

x t

y 2 4t

z t

vaø ( ): y + 4z + 17 = 0.

2. Cho hai ñöôøng thaúng x 1 y 2 z x y 5 z 4

(d) : ;(d') :

2 2 1 2 3 0

.

a. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa (d’) vaø song song vôùi d.

b. Tính khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P).

Baøi 5. Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng

1. Cho A(1, 0, 0) vaø (d): x 2 y 1 z

1 2 1

a. Vieát phương trình maët phaúng (P) qua A vaø vuoâng goùc vôùi d

b. Tính khoaûng caùch töø A ñeán d

2. Tính khoaûng caùch töø A ñeán ñöôøng thaúng d bieát:

a) A( 2, 4, 1);

x 7 3t

(d) : y 2 2t

z 1 2t

b) A( 3, -2, 5); x 1 y 2 z 5

(d) :

2 3 4

c) A(1, 2, 1); (d): x y 1 z 3

3 4 1

.

Baøi 6. KHOAÛNG CAÙCH GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG

1. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng sau

a. x 1 y 2 z x y 5 z 4

(d) : ;(d') :

2 2 1 2 3 0

www.VNMATH.com



b. x 2 y z 1 x 7 y 2 z

(d) : ;(d') :

4 6 8 6 9 12

2. Tính khoảng cách giữa hai ñöôøng thaúng

a. (d1):

x 2t 1

y t 2

z 3t 3

vaø (d2):

x 4t ' 2

y 2t ' 3

z 6t ' 1

b. (d): x 7 y 3 z 9

14 4 6

vaø (d’):

x 3 y 1 z 1

7 2 3


1. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng d:

x 1 u

y 1 u

z 1

vaø (P)

caùch ñieåm M(2; 2; 0 ) moät khoaûng baèng 1

2. Cho d1:

x 3t

y t

z 1 2t

vaø d2 : x 1 y 2 z

(d) :

2 2 1

. Laäp phöông trình mp(P)

song song vaø caùch ñeàu hai ñöôøng thaúng d1; d2


x 3t

y 1 t

z 2t

vaø (P) caùch

ñeàu 2 ñieåm A(1;2;3), B( 3; 2; 1)

4. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa 2 ñieåm M(1;1;1), N(2;2;2) vaø (P)

caùch ñeàu 2 ñieåm A(1;2;3 ), B( 3; 2; 1)

5. Laäp phöông trình maët phaúng (P) qua ñieåm A(3; 4; 1) vaø (P) caùch M(1; 2; 3)

moät khoaûng lôùn nhaát

6. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñieåm M(1;1;1) , (P) // d:

x 3t

y t

z 2t

vaø

(P) caùch ñt d moät khoaûng lôùn nhaát.

www.VNMATH.com




x 3t

y t

z 2t

vaø caùch

ñieåm M(1;1;1) moät khoaûng lôùn nhaát

8. Laäp phöông trình maët phaúng (P) qua 2 ñieåm A(3; 1; 2), B(1; 1; 0 ) vaø caùch

ñieåm M(1;1;4) moät khoaûng lôùn nhaát

Baøi 8. GOÙC


a,b laàn löôït laø VTCP cuûa ñt d, d’; m, n laø VTPT cuûa mp(Q), (P)

+ Goùc giöõa 2 ñöôøng thaúng d, d’. a.b

cos d,d '

a b

+ Goùc giöõa mp (Q) vaø mp (P). m.n

cos P,Q

m n

+ Goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø mp (P): a.n

sin d,P

a n

B. BAØI TAÄP

Baøi 1. TÍNH GOÙC GIÖÕA HAI MAËT PHAÚNG

a. ( ) : 2x y 2z 1 0 ; ( ) : 2y 2z 4 0

b. ( ) : 6x 8z 1 0 ; ( ) :12x 9z 4 0

c. ( ) : 2x 5y 3 0 ; Oxy

d. ( ) : 2x 6z 10 0 ; Oyz

e. Oxz ; ( ) : 2x y 2z 1 0

Baøi 2. GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG

1. Tính goùc taïo bôûi ñöôøng thaúng x 1 y 2 z 4

( ) :

2 1 2

vôùi caùc truïc toïa ñoä

2. Tính goùc giöõa caùc caëp ñöôøng thaúng sau

www.VNMATH.com



a.

x t

(D) : y 3 t

z 1 3t

vaø

x 2t

(D ) : y 3

z t

b. x 1 y 2 z 4

( ) :

2 1 2

vaø

x 2 y 3 z 4( ) :

3 6 2

c. x 1 y 2 z 2

( ) :

3 1 4

vaø

x 3

(D) : y t

z 3 2t

Baøi 3. TÍNH GOÙC GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG

1.

x 1 2t

(d) : y 1 3t

z 2 t

vaø ( ) : 2x y 2z 1 0

2. x 2 y 1 z 3

( ) :

4 1 2

vaø mp (Oxz)

3.

x 2t

(D) : y 2

z 3 t

vaø mp(Oyz)

4. Tính goùc giöõa mp (P): x + 2y 2z = 0 vaø truïc Ox


Baøi 1. Laäp phöông trình mp (P) qua 2 ñieåm A(1, 1, 1), B(–1, 3, 0) vaø (P) taïo

vôùi mp(Oxz) moät goùc 450

Baøi 2. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng d:

x 2 t

y t

z 1

vaø (P)

taïo vôùi truïc Oy moät goùc 450

Baøi 3. Laäp phöông trình mp (P) chöùa truïc Ox vaø (P) taïo vôùi mp (Q): 2x + y –

2z = 0 moät goùc a thoûa cosa = 1

3 2

www.VNMATH.com



Baøi 4. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d naèm trong mp (P): x– y + z – 5 = 0, d

qua A(3, – 1, 1) vaø d taïo vôùi x 2 y 3 z 4

( ) :

1 2 2

moät goùc 45

0

Baøi 5. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d qua M(0, 2, 1) vaø taïo vôùi caùc ñöôøng

thaúng 1

x 2t

d : y 1 t

z 3 2t

; 2

x 3 y 1 zd :

0 3 0

;

3

x 1 3t '

d : y 4

z 5

nhöõng goùc baèng

nhau

Baøi 6. (OÂN TAÄP) LAÄP PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG

a. Qua C(–1, –2, 3) vaø vuoâng goùc vôùi caû 2 mp (P1): x – y + 3 = 0, (P2): 2y

+ z – 2 = 0

b. Qua A(1,2,1), B(–1,3,–2) vaø vuoâng goùc vôùi mp (Q): x – 2y + 3y – 5 = 0

c. Goïi I, J, K laø hình chieáu cuûa M(2,3,–5) leân caùc mp toïa ñoä, vieát phöông

trình mp qua I, J, K

d. Goïi N, E, F laø hình chieáu cuûa M(2, 3, –5) leân caùc truïc toïa ñoä, vieâùt

phöông trình mp qua N, E, F

e. Qua E(1,–2,4) vaø chöùa Ox ñs: y + 2z = 0

f. Qua F(–1,1,2) vaø chöùa Oz ñs: x + y = 0

g. (P) song song vôùi (Q): 2x – 3y – 6z – 14 = 0 bieát khoaûng caùch töø goác O

ñeán (P) baèng 5

h. (P) qua 2 ñieåm (2,0,0), (0, 3, 0) vaø khoaûng caùch töø O ñeán (P) baèng 6/7

i. Qua 2 ñieåm A(2, 0, 0), B(0,2,0) vaø taïo vôùi mp Oyz moät goùc 600

j. (P) qua M(2, –1, 4) vaø caét Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi A, B, C sao cho OC =

2OA = 2OB

(ñs: 2x + 2y + z – 6 = 0, 2x + 2y – z + 2 = 0, 2x – 2y + z – 10 = 0, 2x – 2y – z

– 2 = 0)

k. Qua N(–4,–9,–12), A(2, 0,0) vaø caét Oy, Oz laàn löôït taïi B, C sao cho OB

= 1 + OC

www.VNMATH.com



Baøi 7. OÂN TAÄP PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG

1. Vieát pt ñöôøng thaúng qua ñieåm M, ñoàng thôøi caét (D1) vaø (D2) bieát raèng:

a. M(-1, 2, 3); 1

x 1 y 5 z 2(D ) :

4 2 6

vaø

2

x 3 2t

(D ) : y 1 t

z 2 2t

b. M(1, 1, 1), 1 2

x 2 2t

x y 2z 0(D ) : ;(D ) : y 5t

x y z 1 0z 2 t

2. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng qua M vuoâng goùc vectô a vaø caét d

a. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua M(1, 2, 3), vuoâng goùc vôùi

a (6,2, 3) vaø caét ñöôøng thaúng 13 80 135

6x 3y 2z 12 0;H( , , )

49 49 49

b. Cho ñieåm M(3, 2, 1) vaø ñöôøng thaúng x y z 3

(d) :

2 4 1

. Vieát phöông

trình ñöôøng thaúng ( ) ñi qua M, vuoâng goùc vôùi d vaø caét d.

c. Laäp phöông trình cuûa ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm M(3, 2, 1); vuoâng goùc vôùi

ñöôøng thaúng (d1) vaø caét ñöôøng thaúng (d2) bieát

1 2

x t

x 1 y 2 zd : ; d : y 2t 1

3 1 1

z t 1

– CÑ Coäng ñoàng Haø Taây, 2006

3. Laäp pt ñöôøng thaúng qua M vuoâng goùc ñöôøng thaúng d vaø song song mp (P)

a. Laäp pt ñt qua M(1, 2, 3), x y z 3

d :

2 4 1

vaø // (P): 2x – y + 1 = 0

b. Laäp pt ñt qua M(3,2, 1), x 3z 0

d :

2y z 0

vaø // (P): 2x – y + 1 = 0

4. Laäp pt ñöôøng thaúng qua M caét ñöôøng thaúng d vaø song song mp(P)

a. Laäp pt ñöôøng thaúng qua M(1, 0, 4) caét

x 2t

(d) : y 3 t

z 0

vaø // (P): x + y

+ z + 10 = 0

www.VNMATH.com



b. Laäp pt ñt qua M(1, 0, 4) caét

x t

d : y 2t

z 2 t

vaø // (P): 2x – 4y + z + 1= 0

c. Vieát pt ñt ñi qua ñieåm M(3, –2, –4); song song vôùi maët phaúng

( ) : 3x 2y 3z 7 0 ñoàng thôøi caét ñöôøng thaúng x 2 y 4 z 1

(d) :

3 2 2

5. Laäp pt ñöôøng thaúng d coù VTCP u vaø d caét hai ñöôøng thaúng khaùc

a. Laäp pt ñöôøng thaúng d song song vôùi Ox vaø d caét hai ñöôøng thaúng:

1

x 2 t

(d ) : y 2 t

z 3 t

, x 2 y 4 z 1

(d) :

3 2 2

b. Laäp pt ñöôøng thaúng d song song vôùi Oz vaø d caét hai ñöôøng thaúng:

1

x 2 2t

(d ) : y 2 t

z 13 2t

, x 2 y 4 z 1

(d) :

1 1 2

c. Laäp pt ñöôøng thaúng d (P) :x + 2y –z = 0 vaø d caét hai ñöôøng thaúng

1

x z 1(d ) : y 2

3 1

,

x 2 y 4 z 1(d) :

1 1 2

PHÖÔNG TRÌNH ÑOAÏN VUOÂNG GOÙC CHUNG

6. Cho hai ñöôøng thaúng (d1), (d2) laàn löôït qua P1(1, 2, 1); P2(0, 1, 2) vaø coù

vectô chæ phöông 1

a (1,0,1) ; 2

a ( 1, 1,0) . Vieát phöông trình ñoaïn vuoâng

goùc chung d cuûa (d1) vaø (d2).

7. Cho hai ñöôøng thaúng 1 2

x y z 3 0 x 2y 2z 9 0(D ) : ;(D ) :

y z 1 0 y z 1 0

.

Chöùng toû raèng D1 vuoâng goùc D2 .Vieát phöông trình ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa

hai ñöôøng thaúng treân.

8. CÑ KT CAÀN THÔ, 2006. Cho 2 ñt d:

x 1 t

x y 4 z 5y 0 ; d':

0 2 3

z 5 t

. Goïi

laø ñt vuoâng goùc chung cuûa d vaø d’. Tìm giao ñieåm M, N cuûa vaø d, d’

www.VNMATH.com



Baøi 9. BAØI TOAÙN TÌM ÑIEÅM

Baøi 1. Cho d:

x 3 t

y 1 t

z 0

, (P): 3x – y – z = 0 , A(0, 3, 5), B(0, 1, 2)

a. Tìm ñieåm M d sao cho khoaûng caùch töø M tôùi (P) baèng 11

b. Tìm ñieåm N d sao cho khoaûng caùch töø A lôùi N ngaén nhaát

c. Tìm ñieåm E (P) sao cho khoaûng caùch töø B tôùi E ngaén nhaát

d. Tìm ñieåm F (P) sao cho khoaûng caùch töø A tôùi F ngaén nhaát

Baøi 2. Cho ñöôøng thaúng

x 1 t

(d) : y 1 t

z 2t

vaø maët phaúng ( ) : x 2y z 1 0

1. Tìm toïa ñoä cuûa caùc ñieåm treân d sao cho khoaûng caùch töø moãi ñieåm ñeán maët

phaúng ( ) baèng 6 .

2. Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm N d sao cho cách 2 ể A(1;2; 0); B(−2; 1; 1)

Baøi 3. Cho A(–1, 0, 2), B(0, 2, 4), C(3, 4, 0)

a. Tìm ñieåm M d:

x t

y 3

z 1 t

sao cho SABM = 10

b. Tìm ñieåm N d: x y 2 x 3

1 2 3

sao cho VABCN = 10

Baøi 4. Cho A(3, 2,1), B(5,4,3) , d:2x y 0

y 3z 3 0

, mp (P): x – 3y + 1= 0

a. Tìm M d sao cho khoaûng caùch töø M ñeán A ngaén nhaát

b. Tìm M (P) sao cho ñoaïn thaúng BN ngaén nhaát

c. Tìm ñieåm B’ sao cho D (P) ñeàu thoûa DB = DB’

Baøi 5. Tìm M d:

x 3 2t

y 1 t

z 1 4t

vaø N d’:

x 2 t

y t

z 4 t

sao cho MN vuoâng goùc

vôùi caû hai ñöôøng thaúng d, d’

www.VNMATH.com



Baøi 6. Cho ABC coù A(1, 2, 5) vaø pt hai ñöôøng trung tuyeán laø :

1

x 3 y 6 z 1d :

2 2 1

,

2

x 4 y 2 z 2d :

1 4 1

. Tìm phöông trình 3 caïnh

tam giaùc

Baøi 7. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu 2 ñeåm A(2, –4, 0), B(6, 0, 8)

Baøi 8. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu 3 ñeåm A(2, –4, 0), B(6, 0, 8), O(0,0,0)

Baøi 9. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch mp (P): 2x + y – 2z – 5 = 0 moät khoaûng

baèng 2

Baøi 10. CAÙC BAØI TOAÙN CÖÏC TRÒ HÌNH HOÏC

Baøi 1.

Cho A(0, 2,1), B(5,0,3), C(4, 1, 0) , d:2x y 0

y 3z 3 0

, mp (P): x – 3y + 1= 0

a. Tìm M d sao cho AM BM nhoû nhaát

b. Tìm M (P) sao cho MA MB MC nhoû nhaát

Baøi 2. Tìm ñieåm M, N thuoäc mp(P) sao cho (MA + MB)min ; maxNA NB

1. A(– 1, 3, –2); B(–9, 4, 9) vaø (P): 2x – y + z + 1 = 0

2. A(1, 1, 2); B(2, 1, –3) vaø (P): 2x + y – 3z – 5 = 0

3. A(1, – 3, 0); B(5, –1, –2) vaø (P): x + y + z – 1 = 0

Baøi 3. Cho mp (P): x + y + z + 3 = 0 , A(1, 2, 0), B(-2, 0, 1), C(-1, -4, 0)

a. Tìm M (P) sao cho MA + MB nhoû nhaát

b. Tìm N (P) sao cho NA NC lôùn nhaát

Baøi 4. Cho A(1, 0, 4), B(2, 2, 5) vaø d:

x t

y t

z 1 t

a. Chöùng minh AB d

b. Tìm M d sao cho AM + BM nhoû nhaát

c. Tìm M ch B c n ch nh nh

Baøi 5. Cho 2 ñieåm A(3, 1, –1), B(5, 0, –5) vaø ñöôøng thaúng d:

x 2 t

y t

z 4 t

.

Tìm C d sao cho ABC coù dieän tích nhoû nhaát

www.VNMATH.com



Baøi 6. Cho A(2, 5, 2), B(–1, 2, –1) vaø d:

x t

y 2 t

z t

a. Chöùng minh AB // d


Baøi 7. Cho A(0,3,1), B(2, 4,3), C(–1,3,4), D(0,3,3) . Tìm iểm I trên ường

thẳng CD sao cho tam gaùc ABI coù chu vi nh nh t

Baøi 8. Cho A(1,2,–1), B(7,–2,3) vaø d: x 1 y 2 z 2

3 2 2

a. Chöùng minh A, B, d cuøng naèm trong moät maët phaúng

b. Tìm ñieåm I treân d sao AI + BI nhoû nhaát ñs: I(2,0,4)

Baøi 9. Cho ñt ( ): x 2z 2 0

y 1 0

vaø hai iểm A(1,–1, 3), B(5,–1, 1).

Tìm điểm M () sao cho MA2 + MB

2 nhoû nh t

Baøi 10. Cho A(2, 0, 2), B(5, 1, 1) vaø d:

x t

y 2 t

z t

a. chöùng minh A, B, d ñoàng phaúng


Baøi 11. OÂN TAÄP MAËT CAÀU

Baøi 1. Tìm taâm vaø baùn kính maët caàu


a. 2 2 2

x y z 6x 4y 2z 22 0

b. 2 2 2

x y z 2x 3 0

c. 6 x 5 3 x 2

d. 2 2 2

3x 3y 3z 6x 3y 15z 2 0

2. Ñònh m ñeå caùc phöông trình sau laø phöông trình maët caàu:

a. x2 + y

2 + z

2 + 2mx – 2 my + 2(2m + 1)z – 1 = 0

b. x2 + y

2 + z

2 + 4mx – 2(m –1)y – 4(m + 1)z – 5 = 0

www.VNMATH.com



Baøi 2. Vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu

1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø maët phaúng trong caùc tröôøng hôïp sau:

a. 2 2 2

x y z 6x 2y 4z 5 0 vaø x + 2y + z – 1 = 0

b. 2 2 2

x y z 6x 2y 2z 10 0 vaø x + 2y – 2z + 1 = 0

c. 2 2 2

x y z 4x 8y 2z 4 0 vaø x + y – z – 10 = 0

Baøi 3. Cho (S): (x + 2)2 + (y – 1)

2+ z

2 = 26 vaø ñt d: x =1, y =2 –5t, z = 4 + 5t

a. Tìm giao ñieåm A, B cuûa d vaø (S)

b. Laäp phöông trình caùc maët phaúng tieáp xuùc vôùi (S) taïi A, B

Ñs: A(1,2,–4); B(1,–3,1), 3x + y – 4z –21 = 0, 3x – 4y + z –16 = 0

Baøi 4. Phöông trình maët caàu


a. Coù taâm I (3, –4, 5) vaø ñi qua ñieåm A(–1, 2, –1).

b. Ñöôøng kính AB vôùi A (–1, 3, 0) vaø B(5, 3, –4).

c. Coù taâm I (1, 4, –2) vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng x – 4y + 2z – 2 = 0. Tìm

toïa ñoä tieáp ñieåm.

d. Qua 3 ñieåm A(1, –2, –1), B(–5, 10, –1), C(4, 1, 11) vaø coù taâm naèm treân

maët phaúng 2x – y + z + 3 = 0.

e. Qua 4 ñieåm A(3, 1, –3), B(–2, 4, 1) ,C(–5, 0, 0) vaø D(1, –2, 10).

f. Coù taâm I(6, 3, –4) vaø tieáp xuùc vôùi Oy ñs: (x – 6)2+ (y – 3)

2 +(z + 4)

2 = 52

g. Nhaän ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa d vaø d’ laøm ñöôøng kính vôùi d:

x 4 t x 2

y 3 t ; d : y 1 2s

z 4 z s

ñs: (x –3)2 + (y – 2)

2+ (z – 2)

2 = 6

h. Coù taâm treân d:

x 2

y 0

Z t

vaø tieáp xuùc vôùi 2 mp (P): x – 2z – 8 = 0; (Q): 2x

– z + 5 = 0

i. Qua 3 ñieåm A(0,0,4), B(2,1,3), C(0,2,6) vaø coù taâm treân mp Oyz

Ñs: x2 + y

2 + z

2 –5y –7z + 12 = 0

2. Cho ñöôøng thaúng (d): x 1 y 2 z

3 1 1

vaø mp (P): 2x + y – 2z + 2 = 0

a. Laäp phöông trình maët caàu (S) coù taâm thuoäc d, tieáp xuùc vôùi (P) vaø R = 1.

www.VNMATH.com



b. Goïi M laø giao ñieåm cuûa (P) vaø d. T laø tieáp ñieåm cuûa (S) vôùi (P). Tính MT

3. (CÑSP TRAØ VINH 2005). Cho d: 5x 4y 3z 20 0

3x 4y z 8 0

vaø I(2, 3, –1). Laäp

pt maët caàu (S) taâm I vaø caét ñöôøng thaúng d taïi 2 ñieåm A, B sao cho AB = 8

Baøi 5. Ñöôøng troøn trong khoâng gian

1. Tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn sau

a. C):

2 2 2x y z 2x 2y 2z 10 0

x 2y 2z 1 0

b. (C):

2 2 2x y z 12x 4y 6z 24 0

2x 2y z 1 0

2. Cho maët caàu (S) :2 2 2

x y z 4 vaø maët phaúng (P) : x + z = 2. Chöùng minh

raèng (P) caét (S). Xaùc ñònh toïa ñoä taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán

cuûa (P) vaø (S).

3. Xaùc ñònh toïa ñoä taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn

(C):

2 2 2x y z 2(x y z) 22 0

3x 2y 6z 14 0

4. Cho 3 ñieåm A(2,4,1); B(–1,4,0); C(0,0,–3)

a. Ñònh taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (C) ngo i ti p tam gaùc ABC

b. Vieát pt m t c u (S) ch a ñöôøng troøn (C) vaø(S) coù baùn kính R beù nh t

c. Tìm giao ñieåm cuûa d:

x 2 5t

y 4 2t

z 1

vôùi ñöôøng troøn (C)

Ñs: a) I(1, 2; –1); r = 3, b) 2 2 2

(x 1) (y 2) (z 1) 9


1. Vieát phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu

(S): 2 2 2

x y z 2x 4y 6z 2 0 vaø song song vôùi maët phaúng

( ) : 4x 3y 12z 1 0

www.VNMATH.com



2. Laäp phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng 8x 11y 8z 30 0

x y 2z 0

vaø

tieáp xuùc vôùi maët caàu 2 2 2

x y z 2x 6y 4z 15 0

3. Laäp phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu

2 2 2x y z 10x 2y 26z 113 0 vaø song song vôùi hai ñöôøng thaúng

x 5 y 1 z 13

2 3 2

vaø

x 7 y 1 z 8

3 2 0

4. Cho maët caàu (S): 2 2 2

x y z 6x 4y 2z 5 0 vaø maët phaúng (P): x +

2y + 2z + 11 = 0

a. Tìm taâm vaø baùn kính cuûa (S).

b. Tìm M (S) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán (P) laø nhoû nhaát.

Baøi 12. BAØI TAÄP OÂN THI HOÏC KYØ II

1. Trong khoâng gian Oxyz cho caùc ñieåm A(2, 3, –2), B(–2, 1, 1), C(3, 3, 2)

a. Tìm toïa ñoä ñieåm D sao cho ABCD laø hình bình haønh

b. Tìm ñieåm M treân Ox sao cho MA = MB

c. Tìm ñieåm N treân Oy sao cho ANC vuoâng taïi C

d. Tìm ñieåm E treân Oz sao cho ñoä daøi ñoaïn BE = 3

e. CM 4 ñieåm O, A, B, C khoâng ñoàng phaúng, tính theå tích töù dieän ABCD

2. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính caùc maët caàu sau

a. x2 + y

2 + (z + 1)

2 = 6 b. (x + 1)

2 + (y 3)

2 + z

2 = 25

c. (x 2)2 + (y 3)

2 + (z + 5)

2 = 9 d. x

2 + y

2 + z

2 2x + 6y 8z + 1 = 0

e. x

2 + y

2 + z

2 + 2x 4y 4 = 0

3. Laäp phöông trình maët caàu (S) trong caùc tröôøng hôïp sau

a. (S) coù taâm I(3, 0, 2), R = 3

b. (S) coù taâm I(2, 1, 6) vaø (S) ñi qua ñieåm M(0, 2, 4)

c. (S) coù taâm I(3, 2, 1) vaø (S) tieáp xuùc vôùi mp (P): 2x + 2y z + 5 = 0

d. (S) ñi qua 4 ñieåm A(2, 3, 2), B(3, 1, 3), C(3, 5, 3), D(0, 1, 4)

e. (S) ñi qua 3 ñieåm A(1, 1, 1), B(1, 1, 3), C(2, 1, 0) vaø coù taâm treân

maët phaúng z = 1

www.VNMATH.com



f. (S) ñi qua 2 ñieåm A(2, 3, 2), B(3, 1, 3) vaø coù taâm treân ñt d:

x 1 t

y 2 t

z 4 t

VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG VAØ MAËT

4. Chöùng minh ñöôøng thaúng d vaø mp (P) caét nhau, tìm toïa ñoä giao ñieåm

a. d:

x 2 t

y 1 t

z 3t

, (P): x + y z + 6 = 0

b. d: x 1 y 1 z

2 1 3

, (P): x + y + 2z 7 = 0

5. Chöùng minh ñöôøng thaúng d// (Q)

a. d: x 3 = y +2 = z, (Q): 2x y z + 100 = 0

b. d:

x 2 t

y 1 t

z 3t

, (Q): x 2y + z + 2101 = 0

5. Chöùng minh ñöôøng thaúng d :

x 2 t

y 1 t

z 3 t

naèm trong mp(P): x + 2y + z 7 = 0

6. Chöùng minh ñöôøng thaúng d// d’

a. d:

x 2 t

y 1 t

z 3t

, d’: x 5 y 5 z 5

2 2 6

b. d:

x 2 9t

y 1 3t

z 3 3t

, d’ :

x 2 3t

y 1 t

z 3 t

7. C/m d caét d’ , tìm toïa ñoä giao ñieåm

a. d:

x 2 t

y 1 t

z 3t

, d’: x 1 y 4 z 3

2 2 6

www.VNMATH.com



b. d:

x 4 2t

y 1 t

z 3 t

, d’ :

x 2 3t

y 1 t

z 3 t

8. Chöùng minh d vaø d’ cheùo nhau, tính khoaûng caùch giöõa d vaø d’ :

d:

x 2 t

y 1 t

z 0

, d’: x 1 y 4

z

2 2

9. Tìm m ñeå 2 mp sau song song

a. (P): x + my + 2z 4 = 0 & (Q): mx + 4y + ( 6 m)z + 1 = 0

b. (P): m x 3y (m 2)z 4 = 0 & (Q): 2x + (m 7)y + 2z + m + 1= 0

10. Tìm m ñeå 2 mp sau truøng nhau :

(P): m x 3y (m 2)z 4 = 0 & (Q): 2x + (m 7)y + 2z + m + 3 = 0

Goùc – khoaûng caùch – vò trí töông ñoái giöõa mp & maët caàu

Caùch laäp phöông trình maët phaúng

1. Tính cos cuûa goùc giöõa 2 mp sau

a. (P): 2x y 2z + 1 = 0, (Q) : 2x + y + 2z = 0

b. (P): 2x y + 1 = 0, mp (Oxy)

c. (P): y 2z + 1 = 0, mp (Oyz)

2. Tính cos goùc giöõa hai ñöôøng thaúng sau

a. d : x = y 3 = z + 1, d’:

x 3

y t 1

z 3t 1

b. d:

x 2 2t

y 3

z 1 t

, Oz

3. Tính goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng sau

a. Oy & (P): 2x + 2y + z 3 = 0

b. Oz & (P): y z = 0

4. Tính khoaûng caùch töø ñieåm tôùi maët phaúng

a) M(2, 3, 1) tôùi (P): x 2y 2z = 0

b) A(3, 4, 5) tôùi mp Oxz

c) I tôùi mp Oyz vôùi I laø taâm cuûa (S): (x +2)2 + (y 1)

2 + (z + 4)

2 = 1

www.VNMATH.com



5. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø mp sau

a) (S ): (x +2)2 + (y 1)

2 + (z + 4)

2 = 1 & (P): 2x + 2y z 7 = 0

b) (S ): x2 + y

2 + z

2 = 4 & (P): x + 2y 2z 6 = 0

c) (S ): x2 + y

2 + z

2 + 2x + 6y = 0 & (P): x 2y 2z = 0

6. Laäp phöông trình mp (P) trong caùc tröôøng hôïp sau

a. (P) ssong vôùi (Q): 2x + 2y z = 0 vaø khoaûng caùch töø goác O tôùi (P) baèng 1

b. (P) song song vôùi (Q): 2x 2y z = 0 vaø tieáp xuùc vôùi (S): x2 + y

2 + z

2=9

c. (P) song song vôùi 2 ñöôøng thaúng Ox vaø d:

x 2 2t

y t

z 1 t

ñoàng thôøi (P) tieáp

xuùc vôùi maët caàu (S ): x2 + y

2 + z

2 2x + 4y + 3 = 0

7. Laäp phöông trình caùc mp sau

a. mp (P) qua 3 ñieåm M(2, 3, 1), N(2, 4, 2), E(0, 0, 1)

b. mp (P) qua 2 ñieåm M(2, 3, 1), N(2, 4, 2) vaø (P) song song vôùi Ox

c. mp (P) qua 1 ñieåm M(2, 3, 1) bieát (P) ssong vôùi 2 ñt d:

x 2 2t

y t

z 1 t

vaø Oy

d. mp (P) qua 1 ñieåm M(2, 3, 1) bieát (P) Oz

e. mp (P) qua 1 ñieåm M(2, 3, 1) bieát (P) chöùa ñöôøng thaúng d:

x 2

y t

z 1 t

f. mp(P) qua ñöôøng thaúng d:

x 2 t

y 1 t

z 1 t

vaø (P) chöùa goác O

g. mp (P) chöùa ñöôøng thaúng d:

x 2 t

y 1 t

z 1 t

vaø song song vôùi d’: x = y = z

www.VNMATH.com



h. mp (P) chöùa ñt d:

x 2 t

y 1 t

z 1 t

vaø vuoâng goùc vôùi mp (Q): x + 2y – 5 = 0

8. Cho 2 ñöôøng thaúng d:

x 2 t

y 1 t

z 1 t

vaø d’: x 1 y 3 z 2

1 2 3

a. Chöùng minh d caét d’

b. Laäp phöông trình mp (P) chöùa caû 2 ñöôøng thaúng treân


x 2 t

y 1 t

z 1 t

vaø d’: x 1 y 3

z 5

1 1

a. Chöùng minh d // d’

b. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa caû hai ñöôøng thaúng treân

LAÄP PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG HÌNH CHIEÁU ÑOÁI XÖÙNG

1. Trong khoâng gian Oxyz cho caùc ñieåm A(0, 1, 1), B(2, 0, 2), C(3, 2, 1).

Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d trong caùc tröôøng hôïp sau:

a. d qua 2 ñieåm A, B

b. d qua A vaø song song vôùi BC

c. d qua trung ñieåm I cuûa BC vaø d (ABC)

d. d qua troïng taâm G cuûa ABC vaø d (ABC)

2. Cho d: x 2 y 2 z 2

2 2 3

, m p (P): 2x y 3 = 0

a. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d qua M(2, 1, 0) vaø d // vôùi d

b. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d’ qua B(2, 1, 1) vaø d (P)

3. Cho mp (P): x + y z = 0

a. Tìm hình chieáu cuûa ñieåm M(3, 1, 1) leân mp (P)

b. Tìm ñieåm A ñoái xöùng vôùi ñieåm B(0, 1, 3) qua mp (P)

4. Cho ñöôøng thaúng d:

x 2 t

y 2 t

z 3

a. Tìm hình chieáu cuûa ñieåm N(2, 1, 1) leân ñöôøng thaúng d

www.VNMATH.com



b. Tìm ñieåm A ñoái xöùng vôùi goác O qua ñöôøng thaúng d

5. Cho maët caàu (S): x2 + y

2 + (z 3)

2 = 4 vaø mp(P): x + y + z + 1 = 0. Goïi A laø

hình chieáu cuûa taâm I leân (P), B laø ñieåm ñoái xöùng vôùi taâm I qua (P). Tìm A, B.

VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI

6. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng sau

a. (P): 18x + 11y + 8z – 1 = 0 vaø (Q): –14x + 2y + 10z + 3 = 0

b. (P): 3x – 5y – 7z + 21 = 0 vaø (Q): –3x + 5y + 7z – 47 = 0

7. Cho 2 m t phẳng (P): 2x – my + 3z – 6 + m = 0 vaø (Q): (m+3)x – 2y +

(5m+1)z – 10 = 0 vôùi giaù trò naøo cuûa m ñeå 2 maët phaúng ñoù

a. Song song vôùi nhau

b. Truøng nhau

c. Caét nhau

8. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa ñt d vaø maët phaúng ( ), tìm toïa ñoä giao ñieåm, neáu

a. (d): x 12 y 9 z 1

4 3 1

vaø ( ): 3x + 5y – z – 2 = 0.

b. (d): x 13 y 1 z 4

8 2 3

vaø ( ): x + 2y – 4z + 1 = 0.

c. (d):

x 2 t

y 3 2t

z t

vaø ( ): 5x – z – 4 = 0.

d. d:

x t

y 4 3t

z t

vaø ( ): x− y + 4z + 4 = 0.

9. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng sau, tìm giao ể (n c )

a. x 1 y 7 z 3 x 6 y 1 z 2

(d) : ;(d') :

2 1 4 3 2 1

b. x 1 y 2 z x y 5 z 4

(d) : ;(d') :

2 2 1 2 3 0

c. x 2 y z 1 x 7 y 2 z

(d) : ;(d') :

4 6 8 6 9 12

d. x 1 y 2 z 3 x 7 y 6 z 5

(d) : ;(d') :

9 6 3 6 4 2

www.VNMATH.com



10. Laäp phöông trình toång quaùt maët phaúng (P) bieát raèng

a. (P) qua A(1, 4, 3) vaø vaø vuoâng goùc vôùi n = (1, 2, –3).

b. (P) qua A(5, –4, 2) vaø vuoâng goùc vôùi truïc Oz.

c. (P) qua A(–3, 6, 1) vaø vuoâng goùc ñt BC bieát B(0, –1, 2); C(3, –5, 6).

d. (P) qua ñieåm M(1, 1, 2) vaø song song vôùi mp ( ): x + 3y – 2z + 1 = 0.

e. (P) qua ñieåm M(2, –3, 1) vaø song song vôùi maët phaúng (Oxz).

f. (P) laø mp trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB vôùi A(–3, 2, 1) vaø B(9, 4, 3)

g. (P) qua ba ñieåm A(–2, –3, 5);B(1, –2, 1); C(–1, 3, 2).

h. (P) qua hai ñieåm A(1, –2, 2); B(–3, 1, –2) vaø vuoâng goùc mp( ): 2x + y –

z + 6 = 0.

i. (P) qua A(3, 2, 4) vaø chöùa truïc Oy.

j. (P) qua B(2,1,1) và ch a ường thẳng 2

x 1 y 2 z 5(d ) :

2 3 4

k. (P) qua A(1, 2, 3), ñồng thôøi vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng ( ): x + 3y –

2z + 1 = 0 vaø ( ): x + y – z + 1 = 0

11. Cho ba ñöôøng thaúng 1 2

x t x 1 4

(D ) : y 5 2t ;(D ) : y 2

z 14 3t z 1 5

a. Chöùng minh raèng (D1) vaø (D2) cheùo nhau.

b. Lập pt mp (P) ch a (D1), song song (D2)

12. Cho hai ñöôøng thaúng 1 2

x 5 2t x 3 2

(d ) : y 1 t ;(d ) : y 3

z 5 t z 1

. Chöùng toû hai

ñöôøng thaúng (d1) vaø (d2) song song. Vieát pt maët phaúng chöùa (d1) vaø (d2).

13. Laäp phöông trình mp (P) // (Q): 2x + y – 2z + 1 = 0 vaø (P) caùch (Q) moät

khoaûng baèng 2

14. Laäp pt mp (P) // (Q): x + 2y – 2z = 0 vaø (P) caùch (Q) moät khoaûng baèng 1

15. Laäp phöông trình mp (P) // (Oyz) vaø (P) caùch (Oyz) moät khoaûng baèng 3

16. Phöông trình ñoaïn chaén

Laäp phöông trình maët phaúng trong caùc tröôøng hôïp sau

a. (P) qua 3 ñieåm A(1,0,0), B(0,–2,0), C(0,0,–1)

b. (P) qua 3 ñieåm A(0,5,0), B(0,0,2), C(–3,0,0)

c. (P) qua 3 ñieåm M(0,0,4), N(–2,0,0), E(0,0,1)

www.VNMATH.com



17.Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng d bieát:

a. d qua A(7, 2, –3) vaø cuøng phöông a = (2, –3, 4).

b. d qua A(4, 3, 2) vaø vuoâng goùc vôùi caëp vectô a = (7, –2, 1) vaø b = (2, 4, 6)

c. d qua A(–2, –9, 3) vaø B(1, 0, –1)

d. d qua A(4, 4, 1) vaø song song vôùi ñöôøng thaúng

x 3t

( ) : y 1

z t 4

e. d qua A(2, –2, 0) vaø vuoâng goùc maët phaúng (P): 3x – y + z – 2 = 0

f. d qua A(0, 2, 1); vuoâng goùc vôùi 2 ñöôøng thaúng 1

x 3 4t

( ) : y 1 2t

z 2 7t

vaø

2

x 2 y 1 3 z( ) :

3 2 4

g. d qua A(1, 7, 2) vaø song song vôùi 2 maët phaúng (P): 3x – y + z – 2 = 0 vaø

(Q): x – y + 10 = 0

h. d qua A(4, 5, 6); song song maët phaúng (P): x + 2y – 3z + 11 = 0 vaø vuoâng


x 3t

( ) : y 2 t

z 4 t

.

18. Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (P) trong caùc tröôøng hôïp sau:

a. A( 1, 3, 5) vaø (P): x + 2y + 8z – 1 = 0.

b. A thoûa OA (2, 1,4) vaø (P): 2x – 3y + z – 20 = 0.(O laø gốc tọa ñoä)

19. Cho 4 ñieåm A(–1, 3, 2); B(4, 0, –3); C(5, –1, 4); D(0, 6, 1)

a. Tính khoaûng caùch töø A ñeán (DBC).

b. Tính khoaûng caùch töø C ñeán (DBA).

20. Cho caùc ñieåm A(1, 1, 3); B(–1, 3, 2); C(–1, 2, 3)

a. Tính khoaûng caùch töø goác toïa ñoä O ñeán (ABC).

b. Cho D thõa AD 2BC , nh kh ảng cách ừ D ớ (OCD)

c. Tính dieän tích ABC vaø theå tích töù dieän OABC

21. Tính khoaûng caùch giöõa caùc caëp maët phaúng song song sau:

a. (P): 2x – 3y + z – 2 = 0 vaø (Q): 2x – 3y + z – 40 = 0.

b. (P): x – y + z – 42 = 0 vaø (Q): x – y + z + 1 = 0.

www.VNMATH.com



c. (P): 2x − y −2z = 0, (Q): 2x − y − 2z + 18 = 0

22. Tính khoaûng caùch töø A ñeán ñöôøng thaúng d bieát:

a. A( 2, 4, 1);

x 7 3t

(d) : y 2 2t

z 1 2t

b. A( 3, –2, 5); x 1 y 2 z 5

(d) :

2 3 4

c. A(1, 2, 1); (d): x y 1 z 3

3 4 1

.

23. Tính goùc giöõa hai maët phaúng

a. ( ) : 2x y 2z 1 0 ; ( ) : 2y 2z 4 0

b. (P): x + 2 = 0 ; ( ) : y 9z 4 0

c. ( ) : 2x 5y 3 0 ; Oxy

d. ( ) : 2x 6z 10 0 ; Oyz

24. Tính goùc giöõa caùc caëp ñöôøng thaúng sau

a. x 1 y 2 z 4

( ) :

2 1 2

vaø

x 2 y 3 z 4( ') :

3 6 2

b. x 1 y 2 z 2

( ) :

3 1 4

vaø

x(D) : y z

2

25. Tính goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng

a.

x 1 2t

(d) : y 1 3t

z 2 t

vaø ( ) : 2x y 2z 1 0

b. x 2 y 1 z 3

( ) :

4 1 2

vaø mp (Oxz)

HÌNH CHIEÁU

26. Xaùc ñònh hình chieáu H cuûa A treân maët phaúng (P) bieát

a. A( 1, 3, 5) vaø (P): x + 2y + 8z – 1 = 0

b. A(−2, 1, 4) vaø (P): 2x − 3y + z − 20 = 0

c. A( 4, 5, 6) vaø (P) Oxy

d. A( 1, 4, −1) vaø (P) Oxz

www.VNMATH.com



27. Tìm hình chieáu H cuûa A leân ñt d, từ nh kh ảng cách ừ ớ , bieát:

a. A( 3, −2, 5) vaø x 1 y 2 z 5

(d) :

2 3 4

b. A( 2, 4, 1) vaø d Ox

c. A( 3, −4, 1) vaø d Oy

28. Tìm ñieåm A’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua maët phaúng (P) bieát

a. A(−1, 4, 2); (P): x − 2y + 8z − 1 = 0

b. A(−2, 1, 4); (P): 2x − 3y + z − 20 = 0

29. Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng cuûa A qua d trong caùc tröôøng hôïp sau

a. A(3, 2, 0) vaøx 1 y 3 z 2

(d) :

1 2 2

b. A (1, 2, –1) vaø (d):

x 1 3t

y 2 2t

z 2 2t

30. Tìm pt ñöôøng thaúng (d’) laø hình chieáu cuûa d leân maët phaúng (P) bieát

a. d:

x 3t

y 2

z t

vaø (P): 3x – 4y + z – 2 = 0

b. d Ox vaø (P): 2x – 3y + z – 4 = 0

c. x 2 y 1 z 1

(d) :

1 2 1

vaø (P): 2x – y + z + 1 = 0

MAËT CAÀU


a. (x−2)2 + (y + 1)

2 + (z + 5)

2 = 25

b. 2 2 2

x y z 6x 4y 2z 22 0

c. 2 2 2

x y z 6x 0

d. 6 x 5 3 x 2

e. 2 2 2

3x 3y 3z 6x 3y 15z 2 0

32. Ñònh m ñeå caùc phöông trình sau laø phöông trình maët caàu

a. x2 + y

2 + z

2 + 2mx – 2my + 2(2m + 1)z –1 = 0

b. x2 + y

2 + z

2 + 4mx – 2(m – 1)y – 4(m + 1)z – 5 = 0

www.VNMATH.com



33. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø maët phaúng trong caùc tröôøng hôïp sau

a. 2 2 2

x y z 6x 2y 4z 5 0 vaø x + 2y + z – 1 = 0

b. 2 2 2

x y z 6x 2y 2z 10 0 vaø x + 2y − 2z + 1 = 0

c. 2 2 2

x y z 4x 8y 2z 4 0 vaø x + y − z – 10 = 0


a. Coù taâm I (3, 4, 5) vaø ñi qua ñieåm A(1, 2, 1)

b. Ñöôøng kính AB vôùi A (1, 3, 0) vaø B(5, 3, 4)

c. Coù taâm I (1, 4, 2) vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng x – 4y + 2z – 2 = 0. Tìm

toïa ñoä tieáp ñieåm

d. Qua 3 ñieåm A(1, 2, 1), B(5, 10, 1), C(4, 1, 11) vaø coù taâm naèm treân

maët phaúng 2x – y + z + 3 = 0

e. Qua 4 ñieåm A(3, 1, 3), B(2, 4, 1) ,C(5, 0, 0) vaø D(1, 2, 10)

f. Qua 2 ñieåm A(3, 1, 3), B(2, 4, 1) và có tâm trên đt d:

x t

y 2

z 1

g. Coù taâm treân d: x 2

y 0

vaø tieáp xuùc vôùi 2 mp (P): x 2z – 8 = 0

h. (Q): 2x – z + 5 = 0 Ñs: x2 + y

2 + z

2 + 4x + 6z + 49/5 = 0

Vaø: x2 + y

2 + z

2 + 4x + 22z + 481/5 = 0

i. Qua 3 ñieåm A(0,0,4), B(2,1,3), C(0,2,6) vaø coù taâm treân mp Oyz

Ñs: x2 + y

2 + z

2 –5y –7z + 12 = 0

35. Vieát phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu

(S): 2 2 2

x y z 2x 4y 6z 2 0 vaø song song vôùi maët phaúng

( ) : 4x 3y 12z 1 0

36. Laäp phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu

2 2 2

x y z 10x 2y 26z 113 0 vaø song song vôùi hai ñöôøng

thaúng x 5 y 1 z 13

2 3 2

vaø

x 7 y 1 z 8

3 2 0

37. Cho (S): (x + 2)2 + (y – 1)

2+ z

2 = 26 vaø ñt d: x =1, y =2 –5t, z = 4 + 5t

a. Tìm giao ñieåm A, B cuûa d vaø (S)

b. Laäp phöông trình caùc maët phaúng tieáp xuùc vôùi (S) taïi A, B

Ñs: A(1,2,4); B(1, 3,1) 3x + y – 4z –21 = 0, 3x – 4y + z 16 = 0

www.VNMATH.com




Baøi 13. CAÙC HÌNH KHOÁI

Baøi 1. Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’, coù A truøng vôùi goác O, C(4,4,0),

A’(0, 0,4)

a. Tìm toaï ñoä caùc ñænh

b. Goïi I laø taâm cuûa hình hoäp, tính theå tích hình choùp I. C’D’CD

c. Laäp phöông trình caùc maët phaúng (CDB’), (AC’D’), chöùng minh hai maët

phaúng naøy vuoâng goùc

Baøi 2. Trong khoâng gian Oxyz cho hình hoäp chöõ nhaät OABC.O’A’B’C’ trong

ñoù O laø goác toïa ñoä, A(3,0,0); C(0,4,0), O’(0,0,5).

a. Tìm toïa ñoä caùc ñænh coøn laïi

b. Tính theå tích hình hoäp

c. Goïi M laø taâm cuûa hình chöõ nhaät BB’C’C. Tính khoaûng ca ùch töø ñieåm B

ñeán maët phaúng (OAM)

d. Tính cosin goùc giöõa maët phaúng (C BO’) vaø (BO’A).

Baøi 3. (CÑSP CAØ MAU, 2005) Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù

toïa ñoä caùc ñieåm A(0,0,0), B(3, 0, 0), D(0,4,0), A’(0,0,5)

a. Vieát pt mp (ACD’)

b. Tính theå tích töù dieän ACDB’

Baøi 4. Cho hình hoäp ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù ñaùy ABCD laø hình thoi, taâm

laø goác O. Chieàu cao cuûa hình hoäp bằng 6. Cho A(–3, 0, 0) ; B(0, 4, 0)

a. Tìm toaï ñoä caùc ñænh coøn laïi

b. Tính theå tích hình hoäp

c. Tính khoaûng caùch töø D’ ñeán maët phaúng (ADC’)

Baøi 5. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù S(0,0, 6 ); A(2,0,0). B(0,2,0)

a. Tìm toaï ñoä caùc ñænh coøn laïi

b. Vieát phöông trình caùc maët cuûa hình choùp

c. Tính goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy

d. Tính theå tích hình choùp S.ABCD

Baøi 6. (Khoái D, 2004) Cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1. Bieát raèng A(a, 0,

0); B(-a, 0, 0); C(0, 1, 0); B1(a, 0, b), vôùi a > 0, b > 0.

a. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 theo a, b.

b. Cho a, b thay ñoåi nhöng luoân thoûa a + b = 4. Tìm a, b ñeå khoaûng caùch giöõa

hai ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 lôùn nhaát.

www.VNMATH.com



Baøi 7. Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù A truøng vôùi goác toïa ñoä,

B(a, 0, 0), D(0, a, 0), A’(0, 0, b) vôùi a > 0, b > 0. Goïi M laø trng ñieåm caïnh CC’

a. Tính theå tích khoái töù dieän BDA’M theo a, b.

b. Xaùc ñònh tæ soá a

b

ñeå hai maët phaúng (A'BD) (MBD) .

Baøi 8. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi, AC caét BD taïi goác

O. Bieát A(2, 0, 0); B(0, 1, 0); S(0, 0, 2 2 ). Goïi M laø trung ñieåm caïnh SC.

a. Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SA, BM.

b. Giaû söû mp (ABM) caét ñöôøng thaúng SD taïi N. Tính theå tích khoái choùp

S.ABMN.

Baøi 9. Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ vôùi A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), D(0, a,

0), A’(0, 0, a), (a > 0 )

a. Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng AD’ vaø DC’

b. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC, I laø taâm cuûa maët beân CDD’C’. Tìm phöông

trình maët phaúng (AMI)

c. Tính dieän tích thieát dieän cuûa mp (AMI) vaø hình laäp phöông

(ñs:a) 600,

2a 3 a 14

;b) x- 2y 3z 0; c)

3 4

)

Baøi 10. Trong khoâng gian Oxyz cho hình laêng truï ñöùng OAB.O’A’B’ vôùi ñaùy

laø tam giaùc caân OAB,O laø goác toïa ñoä, A(3, 0, 0), goùc AOB = 300, B coù hoaønh

ñoä, tung ñoä döông, O’(0,0,4).

a. Tìm caùc ñænh coøn laïi

b. Tính theå tích hình laêng truï

c. Laäp phöông trình mp (A’OB)

d. Tính goùc giöõa 2 mp (A’OB) vaø (B’OA)

Baøi 11. Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh baèng a.

a. Chöùng minh raèng ñöôøng cheùo A’C vuoâng goùc maët phaúng (AB’D’).

b. Chöùng minh raèng giao ñieåm cuûa ñöôøng cheùo A’C vaø maët phaúng (AB’D’)

laø troïng taâm cuûa tam giaùc AB’D’.

c. Tìm khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng (AB’D’) vaø (C’BD).

d. Tìm cosin cuûa goùc taïo bôûi hai maët phaúng (AA’C) vaø (ABB’A’).

e. Goïi M, N laø trung ñieåm cuûa AB, C’D’, chöùng minh MN (CDA’B’)

www.VNMATH.com



Baøi 12. (Cao ñaúng xaây döïng soá 2, 2004). Cho hình hoäp chöõ nhaät

ABCD.A’B’C’D’ coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a; AA’ = a 6

2

.

a. Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (AB’D’) vaø (A’BD) ñs: 600

b. Tính theå tích khoái töù dieän IBDC’ vôùi I laø trung ñieåm A’D

Baøi 13. (Ñaïi Hoïc, Cao Ñaúng – Khoái A – Naêm 2003)

Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hình hoäp chöõ nhaät

ABCD.A’B’C’D’ coù B truøng vôùi goác toaï ñoä, B’(0, 0,6), D(2, 4, 0). Goïi I laø

taâm cuûa maët beân DD’C’C,

a. Tính dieän tích tam giaùc ICD’

b. Tính cotg cuûa goùc giöõa ñöôøng thaúng IB vaø maët phaúng B’AC

Baøi 14. Cho hình laêng truï ñöùng ABC.A’B’C’ coù AB = 6, AC = 8, BC = 10,

BB’ = 8.

a. Tính goùc giöõa 2 ñöôøng thaúng A’C vaø BC’;

b. Tính baùn kính hình caàu ngoaïi tieáp laêng truï.

Baøi 15. (CÑ KT Cao Thaéng, 2006) Cho khoái laêng truï ABC.A’B’C’ coù ñaùy

ABC laø moät tam giaùc vuoâng taïi A, AC = b, goùc C = 600, Ñöôøng cheùo BC’ cuûa

maët beân BB’C’C taïo vôùi (ABC) moä goùc 450

a. Tính ñoä daøi ñoaïn AC’

b. Tính theå tích khoái laêng truï

Baøi 16. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh baèng 4, SA

(ABCD), SA = 4. Goïi M, N laàn löôït laø hình chieáu cuûa A leân SB, SD

a. Chöùng minh SC (AMN)

b. Tính baùn kính hình caàu ngoaïi tieáp hình choùp S.ABCD

Baøi 17. (Khoái B, 2006) Hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình chöõ nhaät, AB = a,

AD = a 2 . SA (ABCD), SA = a. M, N laàn löôït laø trung ñieåm AD, SC. I laø

giao ñieåm cuûa BM vaø AC

a. Chöùng minh (SAC) (SMB)

b. Tính theå tích töù dieän ANIB

Baøi 18. Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz, cho hình choùp töù giaùc ñeàu

S.ABCD coù S thuoäc chieàu döông treân truïc Oz. Bieát A(–2, 0, 0); B(0, –2 ,0);

theå tích hình choùp S.ABCD baèng 8. Tính khoaûng caùch ngaén nhaát giöõa 2 ñöôøng

thaúng SA vaø BD ñs: 6

13

www.VNMATH.com



HAI MAËT PHAÚNG VUOÂNG GOÙC NHAU

Baøi 19. Hai hình chöõ nhaät ABCD vaø ABC’D’ naèm trong 2 maët phaúng vuoâng

goùc nhau. AB = 6, AD = 8, DD’ taïo vôi (ABCD) moät goùc 450. Goïi N laø trung

ñieåm BC’, mp(CDN) caét AD’ taïi M. Tính theå tích hình khoái CBN.MDA

Baøi 20. Hai hình vuoâng ABCD vaø CDA’B’ naèm trong 2 maët phaúng vuoâng goùc

nhau, AB = a.

a. Tính dieän tích tam giaùc AA’B’

b. Goïi G vaø G’ laàn löôït laø troïng taâm AA’C vaø BB’D, C/m GG’ // DC

Baøi 21. Hai ñeàu ABC vaø ABC’ naèm trong 2 mp vuoâng goùc nhau, AB = 2 3

a. Chöùng minh AB CC’

b. Tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung giöõa 2 ñöôøng thaúng AB vaø CC’

Baøi 22. (khoái D. 2003) Hai maët phaúng (P) vaø (Q) vuoâng goùc nhau, coù giao

tuyeán laø ñöôøng thaúng . Treân laáy 2 ñieåm A, B vôùi AB = a. Trong maët

phaúng (P) laáy ñieåm C, trong maët phaúng (Q) laáy ñieåm D sao cho AC vaø BD

cuøng vuoâng goùc vôùi giao tuyeán vaø AC = DB = AB. Tính baùn kính maët caàu

ngoaïi tieáp töù dieän ABCD vaø tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (BCD)

theo a.

www.VNMATH.com



OÂN TAÄP HOÏC KYØ II

I . HAØM SOÁ

CÖÏC TRÒ

Baøi 1. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau coù cöïc trò

a. y = x3 – mx

2 + (2m – 1)x + m

b. y = 1

3

x3 + 2mx

2 – 3mx + m

2

Baøi 2. Tìm m ñeå haøm soá sau coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu

a. y = – x3 – 2(m – 1)x

2 + 3(1 – m)x + m

3

b. y = 1

3

x3 + (m + 2) x

2 – (3m – 4)x + m

2

Baøi 3. Tìm m ñeå haøm soá y = x3 + mx

2 + (m – 3)x + m ñaït cöïc ñaïi taïi x = –2

Baøi 4. Tìm m ñeå haøm soá y = – x3 + mx

2 + (2m – 6)x + 1 ñaït cöïc ñaïi taïi x = 0

Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá y = x4 -2(m+ 2)x

2 – 3m ñaït cöïc tieåu taïi x = 1

Baøi 6. Tìm m ñeå haøm soá y = – x3 + mx

2 + (2m + 3)x ñaït cöïc tieåu taïi x = – 1

Baøi 7. Tìm m, n ñeå hs y = – x4 –2(m+ 2)x

2 – 3n ñaït cöïc ñaïi baèng 3 taïi x = 1

Baøi 8. Tìm m, n ñeå haøm soá y = – x3 + mx

2 + nx ñaït cöïc ñaïi – 3 baèng taïi x= 1

Baøi 9. Tìm a,b ñeå haøm soá y = x3 + ax

2 + bx + 2 ñaït cöïc tieåu baèng taïi x = 1

TAÊNG GIAÛM

Baøi 10. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân taêng treân R

a. y = x3 – (m – 1)x

2 + (2m – 1)x + m

b. y = 1

3

x3 + (2m + 1)x

2 – 3mx + m

2

Baøi 11. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân taêng treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa noù

a. y = mx 3m 2

x 1

b.

24x m

y

x 1

Baøi 12. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân giaûm treân R

a. y = x3 + (m – 1)x

2 + (2m – 1)x + m

b. y = 1

3

x3 + (2m – 1)x

2 – 3mx + m

2

www.VNMATH.com



Baøi 13. Tìm m ñeå caùc haøm soá sau luoân giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa noù

a. y =

2mx m 2

x 1

b. y =

24mx m

x 1

TIEÁP TUYEÁN

Baøi 14. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa haøm soá y = x3 –3x

2 taïi ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá

Baøi 15. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa haøm soá y = – x3 + 3x

2 + 6x taïi ñieåm uoán

Baøi 16. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa haøm soá y = x4 + x

2 – 2 taïi caùc giao ñieåm cuûa ñoà

thò vôùi truïc Ox

Baøi 17. Vieát pt tt cuûa haøm soá (C): y = x 3

1 x

taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc Oy

Baøi 18. Vieát pt tt cuûa haøm soá y = x 3

1 x

taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi : y = 2

Baøi 19. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa haøm soá y = –x4 + 2x

2 – 4 taïi M(–1, – 3)

Baøi 20. Vieát pt tt cuûa hs y = x3 + x + 1 bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k = 4

Baøi 21. Vieát pt tt cuûa haøm soá y = 2x 2

x 1

bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k = 1

Baøi 22. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa haøm soá y =2x 2

x 1

bieát tieáp tuyeán song song

vôùi : y = 4x – 2013

Baøi 23. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa haøm soá y = x3 – x

2 – 2 bieát tieáp tuyeán vuoâng


: y = – x + 2013

Baøi 24. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa haøm soá y = –x4 – 2x

2 bieát tieáp tuyeán song song

vôùi ñöôøng thaúng : 8x + y = 0

Baøi 25. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa haøm soá y = x +1 + 1

x 1 bieát tieáp tuyeán vuoâng

goùc vôùi ñöôøng thaúng : x – y + 10 = 0

Baøi 26. Vieát pt tt cuûa haøm soá y = 2

x 1 bieát tieáp tuyeán qua ñieåm A(0, –2)

Baøi 27. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa hs y = 3

x 1 bieát tieáp tuyeán qua ñieåm B(1, 6)

Baøi 28. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa hs y = 2x

x 1 bieát tieáp tuyeán ñieåm qua P(1, 2)

www.VNMATH.com



TÖÔNG GIAO

Baøi 29. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (C ): y = 2x

x 1 caét ñöôøng thaúng d: y = x –m

taïi 2 ñieåm phaân bieät

Baøi 30. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (C ): y = x 3

x 1

caét ñöôøng thaúng d: y = – x +

2m taïi 2 ñieåm phaân bieät

Baøi 31. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (C ): y = x 3

x 1

caét ñöôøng thaúng d: y = – x +

2m taïi 2 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông

Baøi 32. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (C ): y = 2x 3

x 1

caét ñöôøng thaúng d: y = – x

+ 2m taïi 2 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä aâm

Baøi 33. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (C ): y = 2x 1

x 1

caét ñöôøng thaúng d: y = x –m

taïi 2 ñieåm phaân bieät coù hoaønh ñoä döông

GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT – NHOÛ NHAÁT

Baøi 34. Tìm GTLN – NN cuûa caùc haøm soá sau

a. y =

2x 3x 5

x 1

treân ñoaïn [ –3, 0]

b. y = 2

3 2x x

c. y = x.lnx treân ñoaïn [e-3

; e2 ]

d. y = x.ex treân ñoaïn [–2, 1]

e. y = (x – 2)ex treân ñoaïn [0, 2]

f. y = x.ln2x treân ñoaïn [e

-3 ; e]

g. y = cos3x – 12cosx + 3

h. y = sin3x + 3cos

2x + 2

i. y = cos3x – 3sin

2x – 4

j. y = 2x x

2 4.2 4 treân ñoaïn [–1, 0]

k. y = 2

ln x 6lnx 2 treân ñoaïn [1,e2 ]

l. y = x2 – 3ln(2x – 1)

2 treân ñoaïn [1; 4]

www.VNMATH.com



TÍCH PHAÂN

Baøi 1. Haøm höõu tæ

A =

2

1

2x 1dx

2x 1

B =

3 2

2

x 4x 1dx

x 1

C =

1 2

0

x 2x 3dx

x 1

F =

2

2

1

2x 1dx

x 2x 1

G =

0

2

1

1dx

x 6x 9 H =

1

2

0

x 3dx

x 4x 4

Baøi 2. Ñoåi bieán

A =

1

2 4

0

x(x 3) dx C =

1

2 2

0

2x 3dx

(x 3x 1)

D =

1

3 2 5

0

x (x 1) dx

E =

e 2

1

(ln x 3lnx 5)dx

x

F =

ln2

x x 4

0

e (e 1) dx F =

ln2 x

x 3

0

edx

(e 1)

Baøi 3. Haøm chöùa caên

A =

2

1

x x 1dx B =

1

2

0

x x 1dx C =

4

3

3

x. x 2.dx

D =

2

2

1

x x 1dx E =

6

2

1

x x 3dx F =

5

3 2

0

x . x 4dx

Baøi 4. Haøm löôïng giaùc

P =

0

2

2

sin 2xdx

Q=

2

0

xcos dx

4

R =

0

sin2x.cosxdx

T =

0

cos3x.cosxdx

I =

2

0

cosxdx

sinx 3

J =

0

2

sinxdx

cosx 2

K =

0

2

2

sinxdx

(cosx 1) A =

2

2

0

(sin x 2sinx 5)cosxdx

www.VNMATH.com



B =

2

2

0

(sin x 2)sinxdx

C =

2

3 2

0

(cos x sin x)sinxdx

D =

4

2

0

tan xdx

Baøi 5. Tích phaân töøng phaàn

A =

0

xxcos dx

2

B =

0

(x 1)sin3xdx

P =

1

x(sinx cosx)dx

C =

1

3x

0

xe dx D =

1

x

0

(2x 1)dx

e

E =

2

1

xln(x 2)dx

I =

e

1

lnxdx

x J =

e

2

1

2x 3dx

cos x

K =

e

1

ln(x 1)dx

ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN

Baøi 1. Cho haøm soá y = x3 – 3x

2 , (C )

a. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá

b. Tính dieän tích hình phaúng (H) giôùi haïn bôõi (C ) vaø Ox

c. Tính theå tích vaät theå troøn xoay sinh ra khi quay hình phaúng (H) quanh Ox

Baøi 2. Cho haøm soá y = 2x 1

x 1

, (C )


b. Tính dieän tích hình phaúng (H) giôùi haïn bôõi (C ), Ox vaø Oy

Baøi 3. Cho haøm soá y = x4 – 2x

2 + 1 , (C )


b. Tính dieän tích hình phaúng (H) giôùi haïn bôõi (C ) vaø Ox

Baøi 4. Cho haøm soá y = x3 + 3x – 4, (C )


b. Tính dieän tích hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi (C ) ; Ox ; Oy

Baøi 5. Cho haøm soá y = x 3

x 1

, (C )


b. Tính dieän tích hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi (C ) vaø 2 truïc toïa ñoä

c. Tính dieän tích hình phaúng (H’) giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng (C ); x= –2; x =–3

vaø tieäm caän ngang

www.VNMATH.com



Baøi 6. Cho haøm soá y = x

x 1

, (C )


b. Tính dieän tích hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi (C); Ox vaø ñöôøng thaúng x = 1

c. Tính dieän tích hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng (C ); tieäm caän

ngang; vaø x = –3; x = – 2

Baøi 7. Cho haøm soá y = – x4 – 1 , (C )


b. Tính dieän tích hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi (C ) vaø Ox vaø hai ñöôøng

thaúng x = 1, x = 0

III. PHÖÔNG TRÌNH BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARIT

Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau

a. 2x

= 3 b. 3x + 1

= 4 c. 5x – 1

= 25 d. 62x – 3

= 1

Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình

a. 2x.5

x = 6 b. 3

x.4

x.2

x = 5 c. 2

x.3

x.4

x – 2 = 3 d. 3

x.4

x+1 = 12.2

–x


a. x 3

x

19. 27

3

b. 3 x 1 1 2x

25 5 1

c. x 1

116 2

2

d. 5x 1 x 2 x

4 . 8 2


a. 25x – 2.5

x +1 + 10 = 0 b. 3

2x – 12.3

x – 1 + 3 = 0

c. 6x +5.6

–x + 6 = 0 d. 7

x + 2.7

1 – x –15 = 0

e. 52x – 1

+ 5x + 1

– 30 = 0 f. 62x +1

– 18.6x – 1

– 3 = 0


a. 9x – 5.6

x + 6.4

x = 0 b. 3.25

x – 8.15

x + 5.9

x = 0

c. 5.16x + 20 – 4.25

x = 0

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT


a. log2(3x – 1) + log2(x+3) = log28 b. log3(3x – 3) + log3(x+6) = log327

c. log5 (4x+5) – log5x = 1 d. 2 1

2

log x log (x 2) 3

www.VNMATH.com



e. 2log42x + log2(3x+2) – 5 = 0 g. log25(x+1)2 + log5(9 – x) = 2

f. log3(x +6) –log9x2 =1 (

n

a alog x nlog x )


a. log2x + 11logx + 10 = 0 b. lg

2 x – 9lgx – 10 = 0

c. ln3x – 4ln

2x + 3lnx = 0 d. log2

2x – 6log2x + 8 = 0


a. log2x +

2

12 0

log x

b. log3x +

3

65 0

log x

c. log4x + logx4 + 2 = 0 d. 4.logx5 + log5x – 6 = 0

BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

Baøi 1. Giaûi caùc baát phöông trình

a. 2x > 3 b. 3

x < 5 c. 4

x > 3 d.

x

25

3

e.

x

35

4

e. 2

2x – 3 > 2

5 – x g.

2x 3 1 3x

1 1

3 3

h.

3x 4

x 113

3

i. 4x 1 1

2

2

j. x 1

8

2

k. 2x 1 1

3

27

l. 51 – 3x

< 1 m. 112x – 3

> 1

BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT


a. log4(3 – 2x) < 2 b. 1

3

log (2x 3) 0

c. 1

5

log (2x 3) 1 d. 1

2

log (2x 3) 2

e. log2(2x 1

x 3

) < 1 f.

4

2x 3log ( ) 2

x

g.

1

3

x 1log ( ) 2

2 x


a. log2(3x – 1) + log2(x+3) < log28 b. log3(3x – 3) + log3(x+6) > log327

c. log5 (4x+5) – log5x < 1 d. 2 1

2

log x log (x 2) 3

www.VNMATH.com



V. HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH

LAÄP PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG

1. Laäp phöông trình mp (P) qua 3 ñieåm A(2,1,1), B(3, 0 , 0), C(–2, 3, 1)

Laäp phöông trình mp (P) qua 2 ñieåm A(–2,1,1), B(3,0,1), vaø song song truïc Ox

3. Laäp phöông trình mp (P) qua 2 ñieåm A (0,1,1), B(3, 0 , –1), vaø mp Oyz

4. Laäp phöông trình mp (P) qua ñieåm A (0,1,1), vaø vuoâng goùc vôùi d:

x 2y z

3

5. Laäp pt mp(P) laø mp trung tröïc ñoaïn MN, vôùi M(3,2,0), N(–1, 4, 2)

6. Laäp phöông trình mp (P) chöùa ñt d: x 2 y

z

3 2

vaø ñieåm B(2, 1, 3)

7. Laäp phöông trình mp (P) chöùa ñöôøng thaúng Ox vaø ñieåm B(2,–1,–3)

8. Cho 4 ñieåm A(1, 3; 4), B(–1;–3; 0), C(0; 1 ;5), D(2;–3; 1)

a. Bieát ñieåm M thoûa AM BC 2BD , laäp phöông trình mp (AMB)

b. Laäp phöông trình mp (P) chöùa ñieåm A vaø ñöôøng thaúng d:

x 2

y 1 t

z 2 t

c. Laäp pt mp (Q) qua ñieåm B vaø song song vôùi 2 ñöôøng thaúng AC vaø DC

d. Laäp phöông trình mp (R) qua ñieåm C vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng AD

LAÄP PT ÑÖÔØNG THAÚNG cho A(4, 1, 0), B(–1, 2, 1), C(0, 3, 2)

1. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d qua A vaø song song vôùi BC

2. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d qua B vaø song song vôùi Oy

3. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d qua trung ñieåm I cuûa BC vaø mp(ABC)

4. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d qua troïng taâm G cuûa ABC vaø (ABC)

HÌNH CHIEÁU – ÑOÁI XÖÙNG

5. Tìm hình chieáu cuûa ñieåm A(3,2,1) leân mp (P): 2x – y – z = 0

6. Tìm hình chieáu cuûa ñieåm B(0,2,1) leân mp (P): 2x – 2y – z + 1= 0

7. Tìm hình chieáu cuûa ñieåm M( 3, 0, –1) leân ñöôøng thaúng d: x 2

y z

3

www.VNMATH.com



8. Tìm hình chieáu cuûa ñieåm E( 3, 0, –1) leân ñöôøng thaúng d:

x 2

y 1 t

z 2 t

9. Tìm ñieåm ñoái xöùng vôùi ñieåm A(3,2, –1) qua mp Oxz

10. Tìm ñieåm ñoái xöùng vôùi ñieåm N (5, –2, –1) qua mp (P): x +y – z – 10 = 0

11. Tìm ñieåm ñoái xöùng vôùi ñieåm B (3, 0, –1) qua ñöôøng thaúng d:

x 2

1 t

2 t

12. Tìm ñieåm ñoái xöùng vôùi ñieåm H (3,0, –1) qua ñöôøng thaúng d: x 2

y z

3

VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI – KHOAÛNG CAÙCH – GOÙC


x 3 t

y 2 t

z 2 2t

vaø d’: x 2 y z 1

2 1 3

a. Chöùng minh d vaø d’ caét nhau , tìm toïa ñoä giao ñieåm

b. Tính goùc giöõa 2 ñöôøng thaúng treân

c. Laäp phöông trình mp (P) chöùa caû 2 ñöôøng thaúng d, d’


x 3 t

y 2 t

z 2 2t

vaø d’: x 2 y z 1

2 2 4


b. Laäp phöông trình mp (P) chöùa caû 2 ñöôøng thaúng d, d’

15. Cho mp(P): x – 2y –2 z = 0 vaø d:

x 3 t

y 2 t

z 2 2t

a. Chöùng minh d caét (P), tìm toïa ñoä giao ñieåm

b. Tính goùc giöõa d vaø (P)

c. Tìm ñieåm M treân d sao cho khoaûng caùch töø M ñeán (P) baèng 2

16. Cho 2 mp (P): 2x – y – 2z – 10 = 0 vaø (Q): x + 2y + 2z + 1 = 0

a. Chöùng minh hai maët phaúng caét nhau

b. Tính goùc giöõa hai maët phaúng (P), (Q)

www.VNMATH.com



17. Laäp phöông trình mp (P) // (Q): 2x – y –3z – 1 = 0 vaø (P) qua A(2,1,1)

18. Laäp phöông trình mp (P) // (Q): 2x – y –2z – 1 = 0 vaø (P) caùch (Q) moät

khoaûng baèng 3

BAØI TAÄP OÂN THI TOÁT NGHIEÄP 2013

TUAÀN 1

ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ – DUØNG ÑOÀ THÒ ÑEÅ BIEÄN LUAÄN PHÖÔNG TRÌNH

1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò caùc haøm soá sau

a. y = x4 + 2x

2 – 3 b. y = –x

3 + 3x

2 – 3x + 3

c. y = x 2

x 1

d. y =

2x 3

x 1

2. Cho (C): y = x4 – 2x

2 –3 (C)

a. Khaûo saùt vaø veõ (C)

b. Bieän luaän theo m soá nghieäm phöông trình x4 – 2x

2 + 1 = m

c. Bieän luaän theo m soá nghieäm phöông trình x4 – 2x

2 + m = 0

d*. Tìm m ñeå phöông trình 4 2

x 2x 3 m coù 6 nghieäm

3. Cho (C): y = x3 – 3x – 2


b. Bieän luaän theo m soá nghieäm phöông trình x3 – 3x – 2 = m

c. Bieän luaän theo m soá nghieäm phöông trình x3 – 3x + m = 0

d*. Tìm m ñeå phöông trình 2

x (x 3) m coù 4 nghieäm

4. Cho (C): y = – x3 – 3x

2 + 1


b. Bieän luaän theo m soá nghieäm phöông trình –x3 – 3x

2 + 1 = m

c*. Bieän luaän theo m soá nghieäm t [0; ] cuûa pt sin3x + 3sin

2x + m = 0

HÌNH HOÏC

1. Trong khoâng gian Oxyz cho caùc ñieåm A(2, 3, –2), B(–2, 1, 1), C(3, 3, 2)

a. Tìm toïa ñoä ñieåm D sao cho ABCD laø hình bình haønh

b. Tìm ñieåm M treân Ox sao cho MA = MB

c. Tìm ñieåm N treân Oy sao cho ANC vuoâng taïi C

d. Tìm ñieåm E treân Oz sao cho ñoä daøi ñoaïn BE = 3

e. CM 4 ñieåm O, A, B ,C khoâng ñoàng phaúng, tính theå tích töù dieän ABCD

www.VNMATH.com



2. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính caùc maët caàu sau:

a. (x – 2)2 + ( y – 3)

2 + ( z + 5)

2 = 9 b. (x + 1)

2 + ( y – 3)

2 + z

2 = 25

c. x2 + y

2 + ( z + 1)

2 = 6 d. x

2 + y

2 + z

2 – 2x + 6y – 8z + 1 = 0

e. x2 + y

2 + z

2 + 2x – 4y – 4 = 0

3. Laäp phöông trình maët caàu (S ) trong caùc tröôøng hôïp sau:

a. (S) coù taâm I(3, 0, –2), R = 3

b. (S) coù taâm I(–2, 1, 6) vaø (S) ñi qua ñieåm M(0, 2, 4)

c. (S) coù taâm I(3, 2, 1) vaø (S) tieáp xuùc vôùi mp (P): 2x + 2y – z + 5 = 0

d. (S) ñi qua 4 ñieåm A(2, 3, –2), B(3, 1, –3), C(3, 5, –3), D(0, 1, –4)

e. (S) ñi qua 3 ñieåm A(1, 1, 1), B(–1, – 1, –3), C(2, 1, 0) vaø coù taâm treân

maët phaúng z = –1

f. (S) ñi qua 2 ñieåm A(2, 3, –2), B(3, 1, –3) vaø coù taâm treân ñt d:

x 1 t

y 2 t

z 4 t

TÍCH PHAÂN CÔ BAÛN

1. Tính caùc tích phaân sau

A =

1

0

3x 4dx

x 1

B =

1 2

0

x 3x 4dx

x 2

C =

6

2

0

cos 3x.dx

D =

4

2 2

0

(sin x cos 2x).dx

E =

1

0

(2x 1)(3x 2).dx

F =

3

0

(cosx.cos2x).dx

I =

4

0

sinx.sin3x.dx

J =

3

0

cosx.sin4x.dx

N =

1

2

0

2x 1dx

x 4x 4

www.VNMATH.com



PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

1. Daïng 1. x

aa b x log b . Giaûi caùc phöông trình sau

a. 2x – 1

= 5 b. 3 = 4(2x – 1)

c. 2x + 2

x+1 = 3

d. 3x + 3

x +1 = 4

x + 4

x – 1 e. 3

2x – 1 = 4

x+1 f. 5

2x+1 = 2

x – 2

g. 2x + 2

x+1+ 2

x+ 2 = 5

x + 5

x – 1.

2. Daïng 2. af = a

g

a 1

f g

a. 2x =

31. 4

16

b. 3(2x – 1)

= 4

9. 27 c. 5x = 3

2x 3

1

25

d. 8x =

x2

2

e. x 3

x 1

39

27

f. 2

x.3

x =

36

36

g. 5x.2

x = 3

2 x

1

100

h.

2x x

4 2 i.

2x 2x

3 27

j.

2x 5x1

2

16

k. (x2 – x +1)

2x –1 = 1 l. (3x

2 +2x +1)

x +3 = 1

m. 3x 1

2x 1 1

n.

x

2x 10

x 1

3. Daïng 3. Ñaët aån phuï t = ax > 0

a. 4x – 2.2

x – 8 = 0 b. 3

2x – 2.3

x+1 + 9 = 0 c. 25

x – 2.5

x+1 + 20 = 0

d. 16x + 5.4

x +4 = 0 e. 9

x + 3

x – 6 = 0 f.

x x5 9.5 6 0

g. x 1 x

5 5 6 0 h.

2x 1 2x6 2.6 4 0

i. x x 1

9 2.3 18 0

j. x x

1 34 0

2 1 2 1

k. x x

4 112 0

5 1 2.5 1

l. 5.4x – 7.10

x + 2.25

x = 0 m. 3.16

x – 7.12

x + 4.9

x = 0

n. 4.9x +12

x –3.16

x = 0 o. 3.4

x + 6

x – 2.9

x = 0

www.VNMATH.com



4. Daïng 4. logarit hoùa

af = b

g laáy log cô soá a 2 veá ta ñöôïc phöông trình töông töông

logaaf = logab

g f = g.logab

a.

2x x

3 2 b.

2x

x

15

3

c.

2x x

2 .5 1 d.

2x x

7 .2 1

e.

2x x x 1

3 5 f.

2x 3x 2 x 2

6 4 g. 3

2x – 1 = 4

x+1

TUAÀN 2

TÍNH TAÊNG GIAÛM VAØ CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ

1. Cho haøm soá (C ): y = 1

3

x3 – (2m –1)x

2 + x – m

a. Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu

b. Tìm m ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán treân R

2. Cho haøm soá (C ): y = –x3 + 3mx

2 –3(m + 2)x – m

a. Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu

b. Tìm m ñeå haøm soá luoân nghòch bieán treân R

3. Tìm m ñeå haøm soá

2mx m

y

x 1

luoân taêng treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa noù

4. Tìm m ñeå haøm soá

2m x 4

y

x 1

luoân giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa noù

5. Cho haøm soá (C): y = x3 +3mx

2 + (3m – 3) x + a

a. Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi taïi x = – 2

b. Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc tieåu taïi x = 1

c. Tìm m, a ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi baèng 4 taïi x = – 2

6. Cho (C): y = – x4 + (2m +1)x

2 + n

a. Tìm m ñeå haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = – 1

b. Tìm m, n ñeå haøm soá ñaït cöïc tieåu baèng 3 taïi x = 0

www.VNMATH.com



HÌNH HOÏC

VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG VAØ MAËT

1. Chöùng minh ñöôøng thaúng d vaø mp (P) caét nhau, tìm toïa ñoä giao ñieåm

a. d:

x 2 t

y 1 t

z 3t

(P): x + y – z + 6 = 0

b. d: x 1 y 1 z

2 1 3

(P): x + y + 2z – 7 = 0

2. Chöùng minh ñöôøng thaúng d// (Q):

a. d: x – 3 = y +2 = z (Q): 2x – y – z + 100 = 0

b. d:

x 2 t

y 1 t

z 3t

(Q): x – 2y + z + 2101 = 0

3. Chöùng minh ñöôøng thaúng d:

x 2 t

y 1 t

z 3 t

naèm trong mp(P): x + 2y + z – 7 = 0

4. Chöùng minh ñöôøng thaúng d// d’

a. d:

x 2 t

y 1 t

z 3t

x 5 y 5 z 5

d :

2 2 6

b. d:

x 2 9t

y 1 3t

z 3 3t

x 2 3t

d : y 1 t

z 3 t

5. Chöùng minh d caét d’, tìm toïa ñoä giao ñieåm

a. d:

x 2 t

y 1 t

z 3t

x 1 y 4 z 3

d :

2 2 6

www.VNMATH.com



b. d:

x 4 2t

y 1 t

z 3 t

x 2 3t

d : y 1 t

z 3 t

6. Chöùng minh d vaø d’ cheùo nhau , tính khoaûng caùch giöõa d vaø d’ :

d:

x 2 t

y 1 t

z 0

x 1 y 4

d : z

2 2

7. Tìm m ñeå 2 mp sau song song

a. (P): x + my + 2z – 4 = 0 & (Q): mx + 4y + ( 6 – m)z + 1 = 0

b. (P): m x – 3y – (m – 2)z – 4 = 0 & (Q): 2x + (m – 7)y + 2z + m + 1= 0

8. Tìm m ñeå 2 mp sau truøng nhau

(P): m x – 3y – (m – 2)z – 4 = 0 & (Q): 2x + (m –7)y + 2z + m + 3 = 0

TÍCH PHAÂN ÑOÅI BIEÁN

Tính caùc tích phaân sau

1. Tích phaân chöùa caên thöùc, ñaët t = caên

A =

2

1

(2x 1) x 1.dx B =

1

3

2

x. x 2

C =

2

2

0

x 2x 1.dx

D =

1

2 3

0

(3x 2) x 2x 1.dx F =

6

21

x.dx

x 3

F =

e

1

dx

x.(lnx 3) G =

e 2

1

(ln x 3lnx 5)dx

x

2. Tích phaân haøm löôïng giaùc, ñaët t = sinx, t = cosx ; t = tanx hoaëc t = cotx

4

2

0

tgx 5M dx

cos x

2 3

2

4

cot g x 2cot gx 1P dx

sin x

2

1

1 x

0

G xe dx N =

2

0

sinxdx

1 3cosx

J =

2

5

0

sin xcosxdx

www.VNMATH.com



K =

2

2

0

(sin x 3cosx 1)sinxdx

I =

2

3

0

cosxdx

1 2sinx

3. caùc tích phaân khaùc

A =

ln3

2x x

0

e e 1dx B =

ln3

x x 5

ln4

e (e 3) dx

C =

e

1

dx

x(lnx 3) D =

e 2

1

ln x 3lnx 5dx

x

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

Phöông trình chöùa logaf(x) nhôù ñaët ñk : f(x) 0

0 a 1

tröôùc khi giaûi

Daïng 1. logax = b x = ab

a. log8(x2 – 2x) = 1 b. log(x

2 – 9x) = 1 (cô soá 10)

c. log(–x4 +11x

2) = 1 d. logx(x

2 + 6x + 5) = 2

e. logx+ 1(x3 + 3x + 4) = 3 f. log2 – x(2x

2 –x + 6) = 2

g. log3+x(2x –5) = –1 h. log2x.logx(2x – 3) = 1

i. log3(x+1).logx+1(x – 3) = 2 j. logx–1 (3x + 2).log2(x –1) = 3

Daïng 2. logaf(x) = logag(x) f(x) = g(x)

a. log2(3x –5) = log2(4 – x) b. log3(2x + 1) = 2log3(x –1)

c. log4(x –4) = –log45 d. log5(3x –1) = –2log52

e. log2(2x + 3) = 2

log x 1 f. 3 1

3

log x log 4x

g. log2(4 – x) = log4(3x – 2) h. Log9(2x+ 1) = log3(x –1)

i. log2x + log2(x+2) = log2(5x –2) j. Log2(2+x) + 3 = log2(x2 + 5x + 16)

k. log3(2x+ 3) –log3x = log3(3x – 6) l. log5(7x –3) – 1 = log5(x+1)

m. log2(3x+1) + 1 2

2

log (x 1) log (3x 4)

n. log2x + 2log2x = log2(x+6) o. log3(5x+4) – 2log3(x+2) = log3 x

p. log2(3x+2) –4 2

log x 2log x q. logx(x+1).logx+1(2x2 + 3x – 4) = 2

r. logx–1(x2 + 3x – 7).log3(x –1) – 1 = 0

www.VNMATH.com



Daïng 3. Ñaët aån phuï t = logax

a. 2

3 3log (2x 1) 12log (2x 1) 18 0

b. 4

4

1 5log (x 1)

log (x 1) 2

c. 4

4 4

log x12

log x 2log x 1

0

d. 2log5x –logx5 – 3 = 0 e. logx 2 + log2x – 2 = 0

f. 2

2 4log x log x 5 0 g.

2

3 1

3

log x log x 3 0

h. 2

5 5log x log x 35 0 i. log2(2x).log2x – 6 = 0

j. log3x.log327x – 18 = 0 k. 2 2

xlog x.log 56 0

2

TUAÀN 3

TÖÔNG GIAO GIÖÕA 2 ÑOÀ THÒ

1. Tìm giao ñieåm giöõa caùc ñöôøng sau

a. (C ): y = x3 + 3x

2 & d : y = 4

b. (C ): y = x4 – 2x

2 – 1 & d: y = 2

c. (C ) y = 2x 1

x 2

& d : y = x + 2

2. Tìm m ñeå d: y = 3x + 2m caét (C): y = 2x 1

x 1


3. Tìm m ñeå d: y = 4x – m caét (C): y = x 3

x 1

taïi 2 ñieåm pb coù hoaønh ñoä aâm

4. Tìm m ñeå d: y = x + m caét (C): y = x 1

x 2

taïi 2 ñieåm pb coù hoaønh ñoä döông

5. Tìm m ñeå d: y = 2x – m caét (C) : y = 3x 1

x 1


6. Tìm m ñeå (C): y = (x – 2)(x2 + 2mx + 4) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät

www.VNMATH.com



HÌNH HOÏC

Goùc – khoaûng caùch – vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng & maët caàu

Caùch laäp phöông trình maët phaúng

1. Tính cos cuûa goùc giöõa 2 mp sau

a. (P): 2x – y – 2z + 1 = 0 ; (Q) : 2x + y + 2z = 0

b. (P): 2x – y + 1 = 0 ; & mp Oxy

c. (P): y – 2z + 1 = 0 ; & mp Oyz

2. Tính cos goùc giöõa 2 ñöôøng thaúng sau:

a. d : x = y – 3 = z + 1 & d’:

x 3

y t 1

z 3t 1

b. d:

x 2 2t

y 3

z 1 t

& Oz

3. Tính goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø mp sau:

a. Oy & (P): 2x + 2y + z – 3 = 0

b. Oz & (P): y – z = 0

4. Tính khoaûng caùch töø ñieåm tôùi maët phaúng

a. M(2, 3, –1) tôùi (P): x – 2y –2z = 0

b. A(3, 4, 5) tôùi mp Oxz

c. I tôùi mp Oyz vôùi I laø taâm cuûa (S): (x +2)2 + (y – 1)

2 + (z + 4)

2 = 1

5. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø mp sau:

a) (S ): (x +2)2 + (y – 1)

2 + (z + 4)

2 = 1 & (P): 2x + 2y – z – 7 = 0

b) (S ): x2 + y

2 + z

2 = 4 & (P): x + 2y – 2z – 6 = 0

c) (S ): x2 + y

2 + z

2 + 2x + 6y = 0 & (P): x –2y – 2z = 0

6. Laäp phöông trình mp (P) trong caùc tröôøng hôïp sau:

a. (P) song song vôùi (Q): 2x + 2y – z = 0 vaø khoaûng caùch töø goác O tôùi (P)

baèng 1

b. (P) song song vôùi (Q):2x – 2y – z = 0 vaø tieáp xuùc vôùi (S): x2 + y

2 + z

2 = 9

www.VNMATH.com



c. (P) song song vôùi 2 ñöôøng thaúng Ox vaø d:

x 2 2t

y t

z 1 t

ñoàng thôøi (P) tieáp

xuùc vôùi maët caàu (S): (S ): x2 + y

2 + z

2 – 2x + 4y + 3 = 0

7. Laäp phöông trình caùc mp sau:

a. mp(P) qua 3 ñieåm M(2, 3, 1), N(2, 4, 2), E(0, 0, 1)

b. mp(P) qua 2 ñieåm M(2, 3, 1), N(2, 4, 2) vaø (P) song song vôùi Ox

c. mp(P) qua 1 ñieåm M(2, 3, 1) bieát (P) ssong vôùi 2 ñt d:

x 2 2t

y t

z 1 t

vaø Oy

d. mp (P) qua 1 ñieåm M(2, 3, 1) bieát (P) Oz

e. mp (P) qua 1 ñieåm M(2, 3, 1) bieát (P) chöùa ñöôøng thaúng d:

x 2

y t

z 1 t

f. m p (P) qua ñöôøng thaúng d:

x 2 t

y 1 t

z 1 t

vaø (P) chöùa goác O

g. mp (P) chöùa ñöôøng thaúng d:

x 2 t

y 1 t

z 1 t

vaø song song vôùi d’: x = y = z

h. mp (P) chöùa ñöôøng thaúng d:

x 2 t

y 1 t

z 1 t

vaø vuoâng goùc vôùi mp (Q):

x + 2y – 5 = 0


x 2 t

y 1 t

z 1 t

vaø d’: x 1 y 3 z 2

1 2 3

a. Chöùng minh d caét d’


www.VNMATH.com




x 2 t

y 1 t

z 1 t

vaø d’: x 1 y 3

z 5

1 1



TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN

A =

2

0

xcosxdx B =

2

0

(3 x)sin2xdx C =

2

2

0

(3 x).cos x.dx

D =

2

0

x.(2cosx sinx)dx

E =

1

x

0

x.e .dx F =

1

2x

0

(x 2).e .dx

G =

x2

2

0

x.e .dx

H =

1

2 x

0

(x 1).e .dx K =

1

0

ln(1 x).dx

M =

e

1

(1 x).lnx.dx I =

1

x

0

x 2.dx

e

J =

2

2

0

(sin x x).cosx.dx

TUAÀN 4

TIEÁP TUYEÁN HAØM SOÁ

1. Cho (C): y = 2x 3

x 1

,

a. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 3

b. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa taïi ñieåm coù tung ñoä y = – 1

c. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa taïi giao ñieåm cuûa (C ) vaø Ox

2. Cho (C ): y = – x3 + 3x

2 + 1

a. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa taïi ñieåm cöïc ñaïi

b. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa taïi ñieåm uoán

3. Cho (C ) y = x4 + 1

Vieát pt tieáp tuyeán cuûa (C ) taïi caùc giao ñieåm cuûa (C ) vaø (C’): y = –2x2 + 4

4. Cho (C ) : y = x3 + 3x

www.VNMATH.com



a. Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) coù heä soá goùc k = 4

b. Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) song song vôùi ñt d: y = 6x – 10.

Tìm toïa ñoä tieáp ñieåm.

5. Cho (C): y = x 3

x 1

a. Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k = –8

b. Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi

ñöôøng thaúng y = 1

x 3

2

. Tìm toïa ñoä tieáp ñieåm.

6. Cho (C ) y = x4 + 2x

2 + 1

Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng

thaúng y = 1

x 3

8

. Tìm toïa ñoä tieáp ñieåm.

7. Cho (C): y = 2x 3

x 1

a. Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán qua ñieåm A( 3, 2)

b. Laäp phöông trình tieáp tuyeán ñi qua ñieåm B(7, –2) tôùi (C )

8. Cho (C): y = – x3 – 3x + 1

a. Laäp phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán qua ñieåm M(1, –2)

b. Laäp phöông trình tieáp tuyeán ñi qua ñieåm B(0, 3) tôùi (C)

HÌNH HOÏC

Laäp Phöông Trình Ñöôøng Thaúng – Hình Chieáu – Ñoái Xöùng

9. Trong khoâng gian Oxyz cho caùc ñieåm A(0, 1,–1), B(2, 0, 2), C(3, 2, 1). Laäp

phöông trình ñöôøng thaúng d trong caùc tröôøng hôïp sau:

a. d qua 2 ñieåm A, B

b. d qua A vaø song song vôùi BC

c. d qua trung ñieåm I cuûa BC vaø d (ABC)

d. d qua troïng taâm G cuûa ABC vaø d (ABC)

10. Cho d: x 2 y 2 z 2

2 2 3

, m p (P): 2x – y – 3 = 0

a. laäp phöông trình ñöôøng thaúng d qua M(2, –1, 0) vaø d // vôùi d

b. laäp phöông trình ñöôøng thaúng d’ qua B(2, 1, –1) vaø d (P)

11. Cho mp (P): x + y – z = 0

www.VNMATH.com



a. Tìm hình chieáu cuûa ñieåm M(3, – 1, –1) leân mp (P)

b. Tìm ñieåm A ñoái xöùng vôùi ñieåm B(0, 1, 3) qua mp (P)

12. Cho ñöôøng thaúng d:

x 2 t

y 2 t

z 3

a. Tìm hình chieáu cuûa ñieåm N(2, 1, 1) leân ñöôøng thaúng d

b. Tìm ñieåm A ñoái xöùng vôùi goác O qua ñöôøng thaúng d

13. Cho maët caàu (S): x2 + y

2 + (z–3)

2 = 4 vaø mp(P): x + y + z + 1 = 0. Goïi A laø

hình chieáu cuûa taâm I leân (P), B laø ñieåm ñoái xöùng vôùi taâm I qua (P). Tìm A, B.

BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARIT

1. Giaûi caùc baát phöông trình

a. 2x–1

< 5 b. 3 > 4(2x – 1)

c. 4x > 2

1–x d. (0,3)

x <

2x 2

3

10

e. 2x –

31. 4

16

f. 3(2x – 1)

– 4

9. 27 g. 5x – 3

2x 3

1

25

h. 8x –

x2

2

i. x 3

x 1

39

27

j. 2

x.3

x –

36

36


a. log2(2x – 1) < log2( 5 – x) b. log3( x + 2) > –2

c. log4(x + 2) – log2 x d. log2(2+x) + 3 < log2(x2 + 5x + 16)

e. log3(2x+ 3) –log3x > log3(3x – 6) f. log5(7x – 3) – 1 > log5(x+1)

g. log2(3x+1) + 1 2

2

log (x 1) log (3x 4)


a. 4x – 2.2

x – 8 < 0 b. 3

2x – 2.3

x+1 + 9 > 0

c. 25x – 2.5

x+1 + 20 < 0 d. 16

x + 5.4

x +4 > 0

e. 9x + 3

x – 6 > 0 f.

x x5 9.5 6 0

ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN ÑEÅ TÍNH DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG

1. Tính dieän tích hình D giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau

www.VNMATH.com



a. D:

2(C) : y x 4

d : y 3x

x 2;x 2

b. D:

2(C) : y x 2x 3

Ox

x 2

c. D:

2

2

(C) : y x 4

(C') : y x 2x 4

d. D:

2(C) : y x 4

Ox

e. D:

3 2(C) : y x 3x

Ox

f. D:

2x 3(C) : y

x 1

Ox

Oy

g. D:

x 2(C) : y

x 1

Ox

Oy

2. Tính dieän tích hình phaúng (H) giôùi haïn bôõi caùc ñöôøng sau

a. D:

2(C) : y x 3x

d

trong ñoù d laø tieáp tuyeán cuûa (C ) taïi ñieåm cöïc ñaïi

b. D:

3 2(C) : y x 3x

d

trong ñoù d laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåmA(3,0)(C)

3. Tính theå tích vaät theå troøn xoay sinh ra khi hình phaúng D quay quanh Ox :

a. D:

2(C) : y x 4

Ox

b. D:

3 2(C) : y x 3x

Ox

www.VNMATH.com



17 ÑEÀ OÂN THI TOÁT NGHIEÄP

ÑEÀ OÂN THI TOÁT NGHIEÄP SOÁ 1

Caâu 1. (3 ñieåm) Cho haøm soá y = x3 + 3(m 1)x

2 + (4m 1)x + 1

a. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 1.

b. Tìm m ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán treân R

Caâu 2. (3 ñieåm)

a. Giaûi phöông trình 3

x x 1

4 1

8 2

b. Tính tích phaân I =

3 2

2

4

tan x tanx 2dx

cos x

c. Tìm GTNN – GTLN cuûa haøm soá y =

2x 3x

x 1

treân ñoaïn [2;0]

Caâu 3. (1 ñieåm) Cho hình choùp S.ABC coù SB (ABC), ABC vuoâng caân taïi

A, BC = a 2 . Goùc giöõa SA vaø maët phaúng (ABC) baèng 600. Tính theå tích hình

choùp SABC

Caâu 4. (3 ñieåm) Trong khoâng gian Oxyz cho A(2; 1; 0), B(4; 1 ; 4)

a. Laäp phöông trình maët caàu nhaän ñoaïn AB laøm ñöôøng kính

b. Tìm toïa ñoä ñieåm M treân truïc Oy sao cho ABM vuoâng taïi A


Cho caùc soá phöùc z1 = 3 + 2i, z2 = 1+i. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá

phöùc z bieát z = 1

1 2

2

zz z

z

www.VNMATH.com




Caâu 1. (3 ñieåm) Cho haøm soá y = x3 + 3mx

2 + (m

2 1)x +m 1

a. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi m = 1

b. Tìm m ñeå haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2

c. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C) vaù Ox


a. Giaûi phöông trình 1 2x

log 4 2

b. Tính I =

5

2

x.dx

x 1

c. Tìm GTLN – NN cuûa haøm soá y = x 3 + 4

x 1 treân ñoaïn [2; 4]

Caâu 3. (1 ñieåm) Cho khoái choùp S.ABCD coù ABCD laø hình vuoâng, SAB ñeàu

caïnh a vaø (SAB) (ABCD). Tính theå tích khoái choùp S.ABCD

Caâu 4. (2 ñieåm) Trong khoâng gian Oxyz cho ñieåm A(2; 1; 5) vaø ñöôøng

thaúng d: x y z –1

a. Tìm toïa ñoä ñieåm B laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân ñöôøng thaúng d

b. Laäp pt maët caàu coù taâm A vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng toïa ñoä Oxy

Caâu 5. (1 ñieåm) Cho soá phöùc z1 = 1+i . Tính moâdun cuûa soá phöùc z =

2

1

2

z

www.VNMATH.com




Caâu 1. Cho haøm soá y = x4 + 2x

2

a. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá

b. Tìm m ñeå phöông trình 2x4 + 4x

2 + m = 0 coù 4 nghieäm phaân bieät

Caâu 2.

a.Giaûi phöông trình log2x = 1 + log(x2 24)

b. Tính I =

0

xsin x.cosx dx

2

c. Tìm GTLN – NN cuûa haøm soá y = 2

35 2x x

Caâu 3. Cho hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình thoi, AC = 2BD = 2a, (SAB)

(ABCD), (SAD) (ABCD), goùc giöõa SC vaø (ABCD) baèng 450. Tính theå tích

khoái choùp S.ABCD

Caâu 4. Trong kg Oxyz cho caùc ñieåm A(1; 0;2), B(1; 2; 1), C(3; 2;3) vaø ñieåm

D thoûa OD 2AB BC

a.Laäp phöông trình ñöôøng thaúng AB

b. Laäp phöông trình mp (P) qua ñieåm D vaø (P) song song vôùi mp (ABC)

Caâu 5. Tính moâ ñun cuûa soá phöùc z bieát z = 23 2i 4 2i

i

www.VNMATH.com




Caâu 1. ( 3,5 ñieåm)Cho haøm soá y = x4 2x

2 + 1, coù ñoà thò (C)

a. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (C)

b. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôõi (C ) vaø Ox

c. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vaø ñöôøng thaúng y = 9

Caâu 2. (2,5 ñieåm)

a. Giaûi phöông trình 32x+4

+ 3x+3

18 = 0

b. Tính I =

1

x

0

1 2xdx

e

c. Tìm GTLN – NN cuûa haøm soá y = 6 x 3 x

Caâu 3. (1 ñieåm) Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät, AB = 3a, SA

(ABCD), dieän tích tam giaùc SAD baèng 4a2 (ñvdt), goùc giöõa SD vaø (ABCD)

baèng 450. I laø trung ñieåm SC, tính theå tích töù dieän IABC

Caâu 4. (2 ñieåm)Trong khoâng gian Oxyz cho ñöôøng thaúng d1:

2

x 3 2t

x 1 y zy 5 2t; d :

2 2 1

z 1 t

a. Chöùng minh d1//d2, laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa caû hai ñöôøng

thaúng treân

b. Tìm ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng d1 sao cho khoaûng caùch töø M tôùi maët

phaúng toïa ñoä Oxz baèng 1

Caâu 5. (1 ñieåm) Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc: z2 6z + 25 = 0

www.VNMATH.com




Caâu 1. (3,5 ñieåm) Cho haøm soá y = 2x 1

x 1

coù ñoà thò (C)

a. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C)

b. Tìm tham soá m ñeå ñöôøng thaúng d: y = 3x m caét ñoà thò (C) taïi hai ñieåm

phaân bieät

c. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi

ñöôøng thaúng y = 3x + 2013


a. Giaûi phöông trình log3(3x).log3x = 12

b. Tính I =

2e

1

dx

(2lnx 1)x

c. Tìm GTLN – NN cuûa haøm soá y = x2.e

x treân ñoaïn [1; 3]

Caâu 3. (1 ñieåm) Tính theå tích khoái töù dieän ñeàu ABCD coù caïnh baèng a

Caâu 4. (2 ñieåm) Trong khoâng gian Oxyz cho caùc ñöôøng thaúng

d1: 2

x 3 2t x t '

y 5 2t; d : y 6 t

z 1 t z 2 2t '

a. Chöùng minh d1 caét d2. Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa d1 vaø d2

b. Laäp phöông trình maët phaúng chöùa hai ñöôøng thaúng treân

Caâu 5. (1 ñieåm) Tìm nghieäm treân taäp cuûa phöông trình z4 z

2 20 = 0

www.VNMATH.com




Caâu 1. (3,5 ñieåm) Cho haøm soá y = x 2

x 1

coù ñoà thò (C)


b. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng (C), Ox, Oy

c. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vôùi ñöôøng

thaúng y = x 2


a. Giaûi phöông trình 5.9x +2.15

x 3.25

x = 0

b. Tính I =

ln3

x x

0

e 1 e dx

c. Tìm GTLN – NN cuûa haøm soá y = x2 +2x + 2ln(1 x) treân ñoaïn [1; 3]

Caâu 3. (1 ñieåm)Tính theå tích khoái choùp tam giaùc ñeàu SABC coù caïnh beân baèng

2a vaø caïnh ñaùy baèng 2a 3

Caâu 4. (2 ñieåm)Trong khoâng gian Oxyz cho caùc ñieåm A(1, 1; 2), B(1; 2; 4),

C(3; 1; 0)

a. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d qua trung ñieåm cuûa ñoaïn AC vaø

d(ABC)

b. Tìm treân maët phaúng Oxy ñieåm M sao cho khoaûng caùch töø ñieåm B tôùi

ñieåm M nhoû nhaát

Caâu 5. (1 ñieåm) Giaûi pt sau treân taäp soá phöùc (z + i)(2z2 + 2z + 1) = 0

www.VNMATH.com




Caâu 1. (3 ñieåm) Cho haøm soá y = x3 + 3x

2 3x coù ñoà thò (C)


b. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x = 1


a. Giaûi baát phöông trình 2

x

x 1210,5

4

b. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y = 3+ cosx ; y = sinx;

x = 0 vaø x =

2

c. Tìm GTLN – NN cuûa haøm soá y = cos2x 6sinx

Caâu 3. (1 ñieåm) Tính theå tích khoái laêng truï ñeàu ABC.A’B’C’ coù caïnh ñaùy

baèng 2a 3 , maët beân AA’B’B coù dieän tích baèng 6a2

Caâu 4. (2 ñieåm)Trong khoâng gian Oxyz cho caùc ñieåm A(1, 1; 0), B(3; 2; 1)

a. Laäp phöông trình maët phaúng (P) laø maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn AB.

b. Laäp pt maët caàu qua 2 ñieåm A, B vaø coù taâm treân ñöôøng thaúng d: x = y = z

Caâu 5. (1 ñieåm) Treân maët phaúng Oxy, tìm taäp hôïp caùc ñieåm M bieåu dieãn bôûi

soá phöùc z thoõa z 2

www.VNMATH.com




Caâu 1. (3 ñieåm) Cho haøm soá y = x3 + 3mx

2 +3(m+2)x 5, coù ñoà thò (C)

a. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) khi m = 0

b. Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu


a. Giaûi baát phöông trình log2(log0,5x) 1

b. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y = ex, y = e

–x vaø x = 1

c. Tìm GTLN – NN cuûa haøm soá y =

2sin x sinx 5

sinx 2

Caâu 3. (1 ñieåm) Tính theå tích khoái choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy

baèng a, caïnh beân baèng 2a

Caâu 4. (2 ñieåm) Trong khoâng gian Oxyz cho ñöôøng thaúng d1:

x 2 t

y 1 3t

z 2t

vaø

maët caàu (S): x2 + y

2 + z

2 4y + 2z 4 = 0

a. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng d1 vaø (P) // Ox

b. Tìm ñieåm A ñoái xöùng vôùi taâm I cuûa maët caàu (S) qua goác toïa ñoä O vaø tính

khoaûng caùch giöõa 2 ñieåm A, I

Caâu 5. (1 ñieåm) Treân maët phaúng Oxy, tìm taäp hôïp caùc ñieåm M bieåu dieãn bôûi

soá phöùc coù phaàn aûo baèng 2

www.VNMATH.com




Caâu 1. (3 ñieåm)Cho haøm soá y = x4 2x

2 1 coù ñoà thò (C)


b. Bieän luaän theo m soá nghieäm phöông trình x4 2x

2 m = 0


a. Giaûi baát phöông trình (3x 1)

2 9 0

b. Tính I =

2

1

x(2 lnx)dx

c. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = x + 3 + 4

x

treân nöûa khoaûng [ 1; + )

Caâu 3. (1 ñieåm) Cho hình laäp phöông ABCD coù caïnh baèng a. Goïi I laø taâm cuûa

hình laäp phöông, M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm AB, CD, AD. Tính theå tích

khoái töù dieän IMNP theo a.

Caâu 4. (2 ñieåm)Trong khoâng gian Oxyz cho caùc ñieåm A(1, 1; 0), B(3; 2; 1)

a. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng AB

b. Laäp phöông trình maët caàu (S) ñi qua ñieåm B vaø coù taâm laø ñieåm A

c. Laäp phöông trình maët phaúng (P) tieáp xuùc vôùi maët caàu (S) taïi ñieåm B

Caâu 5. (1 ñieåm) Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc 9z2 6z + 5 = 0

www.VNMATH.com




Caâu 1. (3 ñieåm) Cho haøm soá y = x4 2x

2 + 3 coù ñoà thò (C)


b. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vaø truïc Ox


a. Giaûi phöông trình log3(x2 7) +

1

3

log (x 1) = log3(2x 5)

b. Tính I =

2

x

0

(e xsinx)dx

c. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = (x 3)ex 21

x 2x

2

treân ñoaïn [1; 3]

Caâu 3. (1 ñieåm) Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD coù theå tích baèng 8a3, AB = 2a,

BC = a.

Tính theå tích khoái choùp A’ABD vaø khoaûng caùch töø ñieåm A tôùi mp (A’BD)

Caâu 4. (2 ñieåm)Trong khoâng gian Oxyz cho caùc ñieåm A(1, 1; 0), vaø maët

phaúng (P): x + 2z 3 =0

a. Laäp phöông trình maët phaúng (Q) // (P) vaø (Q) ñi qua A

b. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d qua ñieåm A vaø vuoâng goùc vôùi mp(P)

c. Tìm ñieåm B ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua maët phaúng (P)

Caâu 5. (1 ñieåm) Tính moâdun cuûa soá phöùc z = (2+2

3i) 3(3 i 3)

www.VNMATH.com




Caâu 1. Cho haøm soá y = ax b

x 2

a. Tìm a, b ñeå ñoà thò haøm soá ñi qua 2 ñieåm A(1, 1) vaø B(3, 3)

b. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi a = 1, b = 0

c. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi ñieåm coù tung ñoä y = 2

Caâu 2.

a. Ruùt goïn bieåu thöùc sau, vieát laïi döôùi daïng luõy thöøa vôùi soá muõ höõu tæ

3 3

34 2

a. a

a . a

b. Tính giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá y = (x + 1)(x2 4x 5)

treân ñoaïn [2; 1]

c. Tính I =

1 2

0

x 3x 5.dx

x 1

Caâu 3. Hình chöõ nhaät ABCD coù dieän tích baèng 8a2 , AB = 2a. Khi hình chöõ

nhaät quay quanh ñöôøng thaúng AD. Tính theå tích khoái truï sinh ra.

Caâu 4. Cho 3 ñieåm A(2; 1; 1), B(3; 2 ; 1), C(1; 2; 3) , D(3; 0; 4)

a. Chöùng minh 4 ñieåm A, B, C, D khoâng ñoàng phaúng

b.Tính khoaûng caùch töø ñieåm D tôùi mp (ABC)

c. Tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng AB vaø maët phaúng Oyz

Caâu 5. Goïi z1, z2 laø hai nghieäm cuûa pt z2 + 4z + 20 =0. Tính

1 2z z

www.VNMATH.com




Caâu 1. Cho haøm soá y = x3 +3mx

2 +3(m

2 1)x 2m coù ñoà thò (Cm )

a. Tìm m ñeå haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2

b. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m = 1

c. Tìm m ñeå phöông trình x3 3x

2 = m coù 3 nghieäm phaân bieät

Caâu 2.

a. Giaûi phöông trình x x

1 32

2 1 2 1

b.Tính giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá y = x 1 + 4

x

treân [3; 1]

c. Tính I =

2

1

(3 lnx)dx

Caâu 3. Cho hình troøn ñöôøng kính AB, coù dieän tích baèng 4.

Tính dieän tích maët caàu sinh ra khi quay hình troøn quanh ñöôøng thaúng AB.

Caâu 4. Cho 3 ñieåm A(2; 1; 1), B(3; 2 ; 1), C(1; 2; 3)

a. Laäp phöông trình maët phaúng (P) qua 2 ñieåm A, B sao cho (P) Oxy

b. Laäp phöông trình ñt d qua troïng taâm G cuûa ABC vaø d (ABC)

c. Laäp phöông trình maët caàu coù ñöôøng kính laø ñoaïn BC

Caâu 5. Tìm soá phöùc z thoûa: 3z + 2i = (5 4i)z

www.VNMATH.com




Caâu 1. Cho haøm soá y = x4 + bx

2 + c coù ñoà thò (C)

a. Tìm b, c ñeå haøm soá ñaït cöïc trò taïi x = 1 vaø giaù trò cöïc trò baèng –3

b. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá khi b = 2, c = 2

c. Bieän luaän theo m soá nghieäm phöông trình : x4 2x

2 2 = m

Caâu 2.

a. Giaûi phöông trình 5 2x 1

log (2x 1) log 5 2

b. Tính giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá y = (x 2)(x2 4) / [2; 1]

c. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 2 ñoà thò (C): y =

2x 3

x

vaø d: y = 4

Caâu 3. ABC caân taïi A coù dieän tích baèng 2a2, BC = 2a, I laø trung ñieåm BC

Khi ABC quay quanh ñöôøng thaúng AI, tính theå tích khoái noùn sinh ra

Caâu 4. Cho maët caàu (S) : x2 + y

2 + z

2 2x + 4y + 2z 3 = 0 vaø d:

x 3t

y 4t 4

z t 1

a. Tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët caàu (S)

b. Laäp phöông trình maët phaúng (P) qua taâm I cuûa maët caàu vaø (P) chöùa

ñöôøng thaúng d

c. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d’ qua taâm I vaø d’ // d

Caâu 5. Giaûi phöông trình (2i 3)z + 5 + i = 2z 1

www.VNMATH.com




Caâu 1. Cho haøm soá y = x 2

x 1

coù ñoà thò laø (C)


b. Tính dieän tích hình phaúng giôùi han bôûi caùc ñöôøng: (C), tieäm caän ngang

cuûa (C), Oy , x = 1

c. Tìm m ñeå ñöôøng thaúng d: y = 3x + m caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät

Caâu 2.

a. Giaûi phöông trình 54x+2

3.52x +2

+ 50 = 0

b. Tính giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá y = x2.e

x treân [1; 1]

c. Tính I =

1

2

0

(x 4) x 8xdx

Caâu 3. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình thoi, AC = 2a, BD = a, SAC

caân taïi S, SBD ñeàu. Tính theå tích hình choùp S.ABCD

Caâu 4. Trong khoâng gian Oxyz, cho hai ñt d: x z 1

y

2 3

vaø d’:

x 3t

y 4t 4

z t 1

a. Chöùng minh d vaø d’ cheùo nhau

b. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa d vaø (P) // d’

c. Tìm ñieåm M treân ñt d sao cho khoaûng caùch töø M tôùi goác toïa ñoä O nhoû nhaát

Caâu 5. Giaûi phöông trình: z4

+ 2z2 8 = 0 treân taäp soá phöùc

www.VNMATH.com




Caâu 1. Cho haøm soá y = x4 + 2x

2 1 coù ñoà thò laø (C)


b. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò (C) vaø Ox

c. Vieát pt tieáp tuyeán cuûa (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi ñt y = 16x

Caâu 2.


2 3 2log x.log (x 1) log x

b. Tính giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá y =

2cosx cosx 7

cosx 2

c. Tính I =

3e

1

(lnx 3)dx

(lnx 1)x

Caâu 3. Hình choùp S.ABC coù SA (ABC), ABC caân taïi A, goùc 0

BAC 120 ,

goùc giöõa ñöôøng thaúng SB vaø maët phaúng (ABC) baèng 600. Bieát AB = a 3 ,

tính theå tích hình choùp.

Caâu 4. Trong khoâng gian Oxyz, cho ñöôøng thaúng d: x z 1

y

2 3

, (P): 2x +

2y + z 1 = 0

a. Chöùng minh d vaø (P) caét nhau, tìm toïa ñoä giao ñieåm

b. Laäp phöông trình maët phaúng (Q) // (P) vaø khoaûng caùch töø M(2, 1, 5) ñeán

(Q) baèng 3

Caâu 5. Giaûi phöông trình (z2 +1)(z

2 +2z +5) = 0 treân taäp soá phöùc

www.VNMATH.com




Caâu 1. Cho haøm soá y = 2x 1

x 1

coù ñoà thò laø (C)

Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá

Vieát pt tieáp tuyeán cuûa (C) taïi caùc giao ñieåm cuûa (C) vaø d: y = x + 1

Caâu 2.


2 22log x log x log (3x 8)

b. Tính giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá y =

2x x 3

x 2

treân [3; 6]

c. Tính I =

1 2

23

0

3x 2 dx

x 2x 1

Caâu 3. Hình choùp S.ABCD coù SA (ABCD), ABCD laø hình bình haønh, AB =

a, BC = 2a, goùc 0

ABC 60 , goùc giöõa SD vaø maët phaúng (ABCD) baèng 450.

Tính theå tích hình choùp.

Caâu 4. Trong khoâng gian Oxyz, cho maët phaúng (P): 2x + 2y + z – 6 = 0

a. Laäp phöông trình maët caàu (S) coù taâm O vaø (S) tieáp xuùc vôùi (P)

b. Goïi A, B, C laàn löôït laø giao ñieåm cuûa (P) vaø caùc truïc toïa ñoä Ox, Oy, Oz.

Tìm toïa ñoä A, B, C, vaø tính chu vi ABC

c. Laäp phöông trình ñöôøng thaèng d qua 2 ñieåm A, B

Caâu 5. Tìm caùc soá thöïc x, y sao cho hai soá phöùc sau baèng nhau

2x y + (x y)i = x + y (3x 7y)i

www.VNMATH.com




Caâu 1. (3 ñieåm) Cho haøm soá y = x3 + 3x

2 1


b. Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình x3 + 3x

2 = m

Caâu 2. (1 ñieåm) Tìm tham soá m ñeå ñöôøng thaúng d: y = 3x + m caét ñoà thò (C):

y = x 2

x 1

taïi hai ñieåm phaân bieät

Caâu 3. (1 ñieåm) Giaûi phöông trình 2

2 2 1

2

log (x 1) log (x 1) log (5 x)

Caâu 4. (1 ñieåm) Tính tích phaân I =

2

0

x(1 sinx)dx

Caâu 5. (1 ñieåm) Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA

(ABCD), goùc giöõa SC vaø maët phaúng (ABCD) baèng 600 .

Tính theå tích hình choùp S.ABCD theo a.

Caâu 6. (2 ñieåm) Trong khoâng gian Oxyz cho 4 ñieåm A(3; 2; 1), B(1; 2; 1);

C(2; 3;4); D(1; 0; 3)

a. Laäp phöông trình maët caàu (S) coù ñöôøng kính laø AB

b. Tính khoaûng caùch töø ñieåm D tôùi maët phaúng (ABC)

c. Tìm hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm C leân truïc Ox

Caâu 7. (1 ñieåm) Tìm soá phöùc z bieát phaàn aûo baèng 4 vaø moâdun cuûa z baèng 5.

-----------------------------

www.VNMATH.com

Hình học 12

Education

Transcript of Hình học 12