Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong dan

dinotasikan dengan {} atau ∅ .

Subset

Jika setiap anggota himpunan A juga anggota himpunan B, maka kita

dapat mengatakan bahwa A subset B dan ditulis A⊆B.

Kesamaan Himpunan

Dua himpunan A dan B adalah sama, dituliskan A=B, jika dan hanya

jika keduanya tepat memiliki anggota yang sama.

Himpunan dan Operasi Himpunan

Pengertian Himpunan Dan Notasi Himpunan

CONTOH 1

misal A, B, dan C suatu himpunan A={a , e , i , o ,u }, B= {a ,i , u ,e , o }, C={a , e ,i , o }. Maka,

A=B karena keduanya memiliki tepat memiliki anggota sama. Catatan urutan anggota tidak

mempengaruhi. Dan, A ≠ C karena u∈ A tetapi u∉C . Sehingga, kita dapat menyimpulkan

B≠ C .

Dengan definisi ini, dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika A⊆Bdan

B⊆ A.

CONTOH 2

kembali pada contoh 1, kita menemukan C⊆B karena setiap anggota himpunan C juga

anggota himpunan B. jika D={a , e ,i , o , x } maka D bukan subset dari A, ditulis D ⊈ A ,

karena x∈D tetapi x∉ A . Tunjukkan bahwa A⊈ D adalah benar, karena u∈ A tetapi u∉D.

Jika A dan B adalah himpunan sedemikian hingga A⊆B tetapi A ≠ B maka kita dapat

menyatakan A adalah proper subset dari B. dengan kata lain himpunan A adalah suatu

proper subset dari himpunan B, ditulis A⊂B jika (1) A⊆B dan ada paling sedikit satu

anggota dari B yang tidak di A.

CONTOH 3

misal A={1,2,3,4,5,6 } dan B={2,4,6 }. Maka B adalah prppper subset dari A karena

(1 ) B⊆ A , mudah diperiksa, dan (2) ada minimal satu anggota A yang bukan anggota B,

sebagai contoh , elemen 1.

CONTOH 4

Daftar seluruh subset dari himpunan A={a , b , c }.

Solusi

Ada satu himpunan yang tidak memiliki anggota. Yaitu himpunan kosong. Berikutnya cari

subset yang memiliki satu anggota.

{a }, {b }, {c }

Tiga subset yang memiliki dua nggota

{a , b }, {a , c } , {b , c }

Dan satu subset yang memiliki tiga anggot,yaitu dirinya sendiri. Sehingga, semua subset dari

A adalah ∅ , {a } , {b } , {c }, {a , b }, {a , c } , {b , c }, {a ,b , c }.

Berbeda dengan himpunan kososng, kita memiliki satu himpunan dengan jangkauan yang

lebih luas. Yang biasa kita sebut himpunan semesta. Suatu himpunan semesta adalah semua

anggota yang dibicarakan dalam suatu bahasan tertentu. Tentu saja, tiap himpunan semesta

berbeda terkait dengan masalah yang berbeda, seperti pada contoh 5.

CONTOH 5

a. Jika masalahnya adalah perbandingan rasio antara mahasiswa laki laki dan perempuan di

suatu universitas , maka himpunan semesta yang mungkin adalah semua mahasiswa di

universitas tersebut.

b. Jika masalahnya adalah perbandingan rasio antara mahasiswa laki laki dan perempuan di

suatu departemen dalam suatu universitas, maka himpunan semesta yang mungkin adalah

semua mahasiswa di departemen tersebut.

Representasi visual dari suatu himpunan adalah dengan Diagram Venn.

CONTOH 6

Gunakan diagram venn untuk mengilustrasikan statemen berikut :

a. Himpunan A sama dengan B.

b. Himpunan A adalah proper subset dari B.

c. Himpunan A dan B bukan subset keduanya.

Solusinya ditunjukkan pada gambar a ,b , c

Operasi Himpunan

Himpunan Gabungan

Misal A dan B adalah himpunan. Himpunan gabungan dari A

dan B, ditulis sebagai A∪B, adalah himpunan seluruh anggota

A dan B maupun mauun anggota keduanya.

A∪B={x∨x∈ A atau x∈B ataukeduanya}

CONTOH 7

Jika A={a , b , c } dan B={a , c ,d } maka A∪B={a , b , c , d }.

Himpunan Irisan

Misal A dan B adalah himpunan. Himpunan yang terdiri atas

anggota yang sama antara A dan B, ditulis A ∩ B ,dan disebut

irisan dari A dan B.

A ∩ B={x∨x∈ A dan x∈B }

CONTOH 8 : misal A={a ,b , c } danB= {a , c , d } . Maka A ∩ B={a , c }.

CONTOH 9 : misal A={1,3,5,7,9 } dan B={2,4,6,8,10 }. Maka A ∩ B=∅ .

Dua himpunan pada contoh 9 memiliki irisan himpunan kosong. Umumnya , himpunan A

dan B disebut himpunan disjoin jika tidak memiliki anggota yang sama ~ A ∩ B=∅ .

CONTOH 10 :

Misal U himpunan semua siswa di dalam kelas. Jika M={x∈U∨x laki laki } dan

F={x∈U ∨x perempuan}, maka F ∩ M=∅ dan FdanMadalah himpunan disjoin.

Himpunan Komplemen

Jika U adalah suatu himpunan semesta dan A adalah subset U,

maka semua anggota himpunan U yang bukan anggota A

disebut komplemen A dan disimbolkan Ac.

Ac= {x|x∈U , x∉ A }.

CONTOH 11 :

misal U={1,2,3,4 , , 5,6,7,8,9,10 } dan A={2,4,6,8,10 }. Maka Ac={1,3,5,7,9 }.

Operator Himpunan

Misal U adalah himpunan semesta. Jika A, B, dan C adalah subset dari U maka

A∪B=B∪A Hukum komutatif untuk gabungan

A ∩ B=B ∩ A Hukum komutatif untuk irisan

A∪ ( B∪C )=( A∪B)∪C Hukum asosiatif untuk gabungan

A ∩ ( B ∩C )=( A ∩ B)∩C Hukum asosiatif untuk irisan

A∪ ( B∩ C )=( A∪B)∩(A∪C) Hukum distributive untuk gabungan

A ∩ ( B∪C )=( A ∩ B)∪(A ∩C) Hukum distributive untuk irisan

Dua aturan tambahan, berasal dari hokum De Morgan’s, govern the operations on the set

Aturan De Morgan’s

Misal A dan B adalah himpunan, maka

( A∪B )c=Ac ∩Bc (1)

( A ∩ B )c=A c∪B c (2)

Pernyataan (1) menyatakan bahwa komplemen dari gabungan dua himpunan sama dengan

irisan dari komplemen keduanya. Pernyattan (2) menyatakan bahwa omplemen dari irisan

dua himpunan sama dengan gabungan dari komplemen kedunya.

CONTOH 12

Dengan menggunakan digram venn, tunjukkan bahwa

( A∪B )c=Ac ∩Bc

Solusi

( A∪B )c adalah himpunan dalam U tetapi bukan A ∩ B dan ini digambarkan dalam gambar

5. Berikutnya Ac dan Bc ditunjukkan pada gambar 6a dan 6b. gabungannya dapat dengan

mudah dilihat sama dengan ( A∪B )c dengan melihat kembali gambar 5.

CONTOH 13

Misal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }, A={1,2,4,8,9 }, dan B={3,4,5,6,8 }. Periksa dengan

perhitungan langsung, bahwa ( A∪B )c=Ac ∩B c.

Solusi

A∪B={1,2,3,4,5,6,8,9} maka ( A∪B )c={7,10 }. Selain itu, Ac={3,5,6,7,10 } dan

Bc={1,2,7,9,10 } maka Ac ∩Bc={7,10 }. Maka terbukti.

CONTOH 14 : Automobile Options

misal U menunjukkan himpunan semua mobil di daeler, misal

A={ x∈U|x adalah mobil matik }

B= {x∈U|x adalah mobil dengan ac}

C={ x∈U|xadalah mobil dengan air bag }

Temukan ekspresi himpunan dengan pilihan A, B, C dengan :

a. Mobil dengan paling sedikit satu option.

b. Mobil dengan tepat satu option

c. Mobil matic dengan air bag namun tidak memiliki ac

Solusi :

a. Himpuna mobil dengan paling sedikit satu pilihan adalah A∪B∪C

b. Himpunan mobil matik saja A ∩ Bc ∩C c. seperti sebelumnya mobil dengan ac saja

Ac ∩B ∩C c. Mobil dengan air bag saja Ac ∩Bc ∩C . Maka mobil dengan tepat satu option

adalah ( A ∩ Bc ∩C c )∪ (A c ∩ B ∩C c)∪(Ac ∩Bc ∩C).

c. Himpunan mobil matic dengan airbag namun tidak memilii ac A ∩C ∩ Bc

2.2 Jumlah Anggota dalam Himpunan Hingga

Jumlah anggota dalam suatu himpunan hingga ditentukan dengan menghitung setiap

anggota dalam himpunan tersebut. Jika A adalah himpunan maka n( A) dinotasikan jumlah

elemen dalam himpunan A. Sebagai contoh,

A={1,2 ,…,20 } B= {a ,b }C={8 }

n ( A )=20 n (B )=2n (C )=1. Himpunan kosong yang tidak memiliki anggota n (∅ )=0. Dengan

kata alin solusinya mudah dihitung. Jika A dan B adalah himpunan disjoin, maka

n ( A∪B )=n ( A )+n(B) (3)

CONTOH 1

Jika A={a , c ,d } dan B= {b , e , f , g }, maka n ( A )=3 dan n ( B )=4, maka

n ( A )+n ( B )=7.Tetapi ( A∪B )={a , b , c , d , e , f , g } dan n ( A∪B )=7. Sehingga pernyattan

(3) benar dalam kasus ini. Sebagai catatan A ∩ B≠∅ .

Dalam kasus umum, A dan B bukan himpunan disjoin, memberikan kita

n ( A∪B )=n ( A )+n (B )−n( A ∩ B) (4)

Untuk melihat itu kita observasi bahwa himpunan A dan B dapat dilihat dengan gabungan

tiga himpunan disjoin dengan anggota x , y , z. Gambar 8

menunjukkan bahwa

n ( A∪B )=x+ y+z

Juga

n ( A )=x+ yn ( B )= y+z

Sehingga

n ( A )+n ( B )= (x+ y )+( y+z )

¿ ( x+ y+z )+ y

¿n ( A∪B )+n ( A ∩B )

Maka

n ( A∪B )=n ( A )+n (B )−n( A ∩ B)

CONTOH 2

Misal A={a , b , c , d ,e }dan B={b , d , f , h}. Buktikan pernyattan (4) benar.

Solusi :

A∪B= {a ,b ,c , d , e , f , h } so n ( A∪B )=7

A ∩ B= {b , d } son ( A ∩B )=2

Sehigga n ( A )=5 dan n ( B )=4 maka

n ( A )+n ( B )−n ( A ∩ B )=4+5−2=7=n ( A∪B )

CONTOH 3

Survey konsumen , dalam survey kepada 100 orang peminum kopi, ditemukan 70 memakai

gula, 60 memakai cream, 50 menggunakan keduanya kedalam kopi mereka. Berapa banyak

peminum kopi yang menggunakan gula atau cream kedalam kopinya?

Solusi :

Misal U dinotasikan sebagai 100 peminum kopi yang disurvey, dan misal

A={x∈U │ x takes sugar}

B={x∈U∨xtakes cream}

Kemudian, n ( A )=70, n ( B )=60, dan n ( A ∩ B )=50. Himpunan yang menggambarkan

peminum kopi yang menggunakan gula atau cream kedalam kopinya adalah ( A∪B )maka

n ( A∪B )=n ( A )+n (B )−n ( A ∩B )=70+60−50=80

Kesimpulannya, sebanyak 80 orang dari 100 yang disurvey menggunakan gula atau cream

kedalam kopinya.

Pernyataan yang hamper mirip dengan pernyataan 4 dapat digunakan untuk kasus yang

melibatkan setiap himpunan dengan jumlah terbatas. Misalnya, relasi yang melibatkan

jumlah elemen di himpunan A , B ,C diberikan oleh

n ( A∪B∪C )=n ( A )+n (B )+n (C )−n ( A∪B )−n ( A∪C )−n (B∪C )+n ( A ∩ B ∩C )(5)

Berguna seperti persamman (5) yang dalam prakteknya lebih mudah

menyelesaikan masalah langsung dengan bantuan diagram venn, seperti

yang ditunjukkan oleh contoh berikut

CONTOH 4

Survey pemasaran , Sebuah produsen kosmetik

terkemuka mengiklankan produknya di tiga majalah:

Cosmopolitan, McCall, dan Ladies Home Journal. Survei

dari 500 pelanggan oleh produsen di dapatkan informasi

berikut:

180 belajar produknya dari Cosmopolitan.

200 belajar produknya dari McCall.

192 belajar produknya dari Ladies Home Journal.

84 belajar produknya dari Cosmopolitan dan McCall.

52 belajar produknya dari Cosmopolitan dan Ladies Home Journal.

64 belajar produknya dari McCall dan Ladies Home Journal.

38 belajar produknya dari ketiga majalah.

Berapa banyak pelanggan melihat iklan produsen di

a. Pada paling sedikit satu majalah?

b. Tepat satu majalah?

Solusi

Misalkan U menyatakan himpunan semua pelanggan yang disurvei, dan misal:

C={x∈U ∨x belajar dari produk dari Cosmopolitan}

M={x∈U∨xbelajar dari produk dari McCall}L={x∈U∨xbelajar dari produk dari Ladies

Home Journal}

Hasilnya sebanyak 38 pelanggan belajar produk dari ketiga majalah dan digambarkan

sebagai n (C ∩ M ∩ L )=38. Berikutnya 64 belajar produk dari McCall dan Ladies Home

Journal digambarkan sebagai n ( M ∩ L )=64.

Sehingga

64−38=26yang belajar produk dari McCall dan Ladies Home Journal. Demikian pula,

n (C ∩ L )=52, sehingga

52−38=14belajar produk dari Cosmopolitan dan Ladies Home Journal, n (C ∩ M )=84,

sehingga

84−38=46belajar produk hanya dari Cosmopolitan dan McCall. Ini di gambarkan dalam

gambar 9

Selanjutnya kita memiliki n ( L )=192, sehingga pelanggan yang belajar produk hanya dari

Ladies Home Journal diberikan oleh 192−14−38−26=114. Dengan cara yang sama,

n ( M )=200, maka 200−46−38−26=90. Yang hanya belajar produk dari McCall, dan

n (C )=180, maka 180−14−38−46=82. Yang mempelajari produk hanya dari

Cosmopolitan. Akhirnya 500−(90+26+114+14+82+46+38 )=90 belajar produk dari

sumber lain.

Kita sekarang akan menjawab pertanyaan a dan b

a. Mengacu pada Gambar 10, kita melihat bahwa jumlah pelanggan yang

belajar produk dari setidaknya satu majalah diberikan oleh

n (C∪M ∪L )=90+26+114+14+82+46+38=410

b. Jumlah pelanggan yang belajar dari produk dari tepat satu majalah

(Gambar 11) diberikan oleh

n ( L ∩C c ∩ M c )+n ( M ∩C c ∩ Lc)+n (C ∩ Lc ∩ M c )=114+90+82=286

2.3 Prinsip Perkalian

Prinsip Perkalian

Anggap terdapat m cara untuk menghasilkan T1 dan n cara umtuk menghasilkan T2. Maka

ada mn cara untuk menghasilkan T1 diikukuti oleh T2.

CONTOH 1

Tiga ruas jalan menghubungkan kota A dan kota B, dan dua ruas jalan menghubungkan kota

B dan kota C.

a. Gunakan prinsip perkalian untuk menemukan berapa banyak cara perjalanan dari kota A

ke kota C melaui kota B.

b. Verifikasi bagian (a) dengan menunjukkan semua rute yang mungkin.

Solusi

a. Karena ada tiga cara perjalanan dari kota A ke kota B diikuti dengan dua cara perjalanan

dari kota B ke kota C, prinsip perkalian mengatakan bahwa terdapat 3 ∙2, atau 6 cara

untuk melakukan perjalanan dari kota A ke kota C melalui kota B.

b. Labeli ruas jalan yang menghubungkan kota A dan kota B dengan angka romawi I, II,

dan III, dan labeli ruas jalan yang menghubungkan kota B dan kota C dengan huruf

kecil a dan b. Skemanya ditunjukkan pada gambar 12. Maka rute yang mungkin dari

kota A ke kota C melalui kota B dapat ditunjukkan

Gambar 12

dengan bantuan diagram pohon (gambar 13) jika kita ikuti semua percabangan yang

bermula di titik A ke sisi kanan pohon, kita peroleh enam rute yang dipresentasikan oleh

enam pasangan berurutan:

(I,a), (I,b), (II,a), (II,b), (III,a), (III,b)

Dimana (I,a) berarti bahwa perjalanan dari kota A ke kota B pada ruas jalan I dengan

melengkapi perjalanan mulai dari kota B ke kota C pada ruas jalan a, dan begitu

seterusnya.

Gambar 13

CONTOH 2

Untuk menu makan malam di Bar Spaghetti Angelo dapat memilih hidangan utama dari 6

variasi pasta dan 28 pilihan saus. Berapa banyak kombinasi yang ada yang terdiri dari 1

variasi pasta dan 1 jenis saus?

Solusi

Terdapat 6 cara untuk memilih pasta dan diikuti dengan 28 cara untuk memilih saus, jadi

dengan prinsip perkalian, terdapat 6 ∙28, atau 168, kombinasi untuk hidangan pasta tersebut.

Prinsip perkalian dapat diperluas, secara mudah menjadi prinsip perkalian umum.

Prinsip Perkalian Umum

Anggap T1 dapat dihasilkan dengan N1 cara, T2 dapat dihasilkan dengan N2 cara, ..., dan,

akhirnya Tn dapat dihasilkan dengan Nn cara. Maka banyaknya cara untuk menghasilkan

T1, T2, ..., Tn diberikan oleh perkalian

N1 N2...Nn

Contoh 3

Suatu koin di lempar 3 kali, dan barisan muka dan belakang dicatat.

a. Gunakan prinsip perkalian umum untuk menentukan banyaknya kemungkinan yang

muncul dari aktivitas tersebut.

b. Tunjukkan semua barisan dengan diagram pohon.

Solusi

a. Koin mungkin mendarat dengan dua cara. Oleh karena itu, banyaknya hasil (barisan)

pada tiga lemparan diberikan oleh 2 ∙2 ∙ 2, atau 8.

b.

Gambar 14

CONTOH APLIKASI 4 Kombinasi Kunci

Suatu kombinasi kunci dapat dibuka dengan memutar barisan bilangan: pertama ke kiri,

kemudian ke kanan, dan kembali ke kiri lagi. Jika ada sepuluh digit pada pemutaran,

tentukan banyaknya kombinasi yang mungkin.

Solusi

Terdapat sepuluh pilihan untuk bilangan pertama, diikuti dengan sepuluh pilihan untuk

bilangan kedua dan sepuluk pilihan untuk bilangan ketiga, jadi dengan prinsip perkalian

umum terdapat 10 ∙10 ∙ 10, atau 1000, kombinasi yang mungkin.

CONTOH APLIKASI 5 Opsi Investasi

Investor telah memutuskan untuk membeli saham dari tiga perusahaan:

satu bergerak di bidang penerbangan, satu di bidang pengembangan

energi, dan satu di bidang elektronik. Setelah melakukan beberapa

penelitian, pialang dari perusahaan merekomendasikan kepada investor

untuk mempertimbangkan saham dari lima perusahaan penerbangan,

tiga perusahaan pengembangan energi, dan empat perusahaan

elektronik. Dalam berapa banyak cara yang mungkin investor memilih

kelompok tiga perusahaan dari daftar rekomendasi?

Solusi

Investor mempunyai lima pilihan untuk memilih perusahaan penerbangan, tiga pilihan

untuk memilih perusahaan pengembangan energi, dan empat pilihan untuk memilih

perusahaan elektronik. Oleh karena itu, dengan prinsip perkalian umum , terdapat 5 ∙3 ∙ 4,

atau 60, cara yang mana dia dapat memilih suatu grup dari tiga perusahaan, satu dari setiap

grup industri.

CONTOH APLIKASI 6 Opsi Travel

Tom berencana cuti ke New York dari Washington D.C., pada Senin pagi dan telah

memutuskan bahwa dia akan menggunakan pesawat atau kereta. Terdapat lima penerbangan

dan dua keberangkatan kereta ke New York dari Washington D.C. pagi ini. Ketika dia

kembali pada Minggu siang, Tom berencana untuk menggunakan pesawat atau mengendarai

mobil dengan teman. Terdapat dua penerbangan dari New York ke Washington pada siang

tersebut. Ada berapa cara Tom dapat melengkapi trip pulang-pergi-nya?

Solusi

Terdapat tujuh cara Tom dapat pergi dari Washington D.C. ke New York (lima dengan

pesawat atau dua dengan kereta). Pada perjalanan pulangnya, Tom dapat bepergian dengan

tiga cara ( dua dengan pesawat atau satu dengan mobil). Oleh karena itu, dengan prinsip

perkalian umum, Tom dapat mengkapi perjalanannya dengan 7 ∙3, atau 21 cara.

2.4 Permutasi dan Kombinasi

Permutasi

Pada sesi ini, kita akan menggunakan prinsip perkalian untuk menyelesaikan dua tipe

masalah perhitungan. Kedua tipe ini termasuk dalam menentukan cara menyusun elemen

dari suatu himpunan, keduanya memainkan aturan penting dalam masalah penyelesaian

suatu peluang.

Kita mulai dengan mempertimbangkan permutasi dari suatu himpunan.

Secara khusus, diberi satu himpunan dengan unsur yang berbeda,

permutasi himpunan adalah susunan urutan unsur yang pasti. Untuk

melihat mengapa urutan unsur yang diatur penting di situasi tertentu,

misalkan nomor pemenang untuk hadiah pertama dalam undian adalah

9237. Kemudian jumlah 2973, meskipun mengandung angka yang sama

sebagai pemenang, tidak bisa menjadi pemenang pertama hadiah

(Gambar 15). Di sini, empat benda-angka 9, 2, 3, dan 7-disusun dalam

urutan yang berbeda; satu pengaturan terkait

dengan nomor pemenang untuk hadiah pertama, dan yang lainnya tidak.

CONTOH 1

Misalkan A = {a,b,c}

a. Temukan banyaknya permutasi dari A.

b. Daftar semua permutasi dari A dengan bantuan diagram pohon.

Solusi

a. Setiap permutasi dari A terdiri atas tiga barisan huruf a,b,c. Oleh karena itu , kita dapat

berpikir bahwa barisan akan disusun dengan mengisikan pada masing-masing tiga

barisan kosong berikut

_ _ _

dengan satu dari tiga huruf. Sekarang, ada tiga cara yang dapat kita isikan pada suku

barisan kosong pertama (kita dapat memilih a,b, atau c). Setelah memilih satu huruf

untuk suku barisan kosong pertama, terdapat dua huruf tersisa untuk suku barisan

kosong kedua. Akhirnya, tersisa satu cara untuk mengisi suku barisan kosong ketiga.

Secara sistematik, kita punya

3 2 1

Dengan prinsip perkalian umum, kita simpulkan bahwa terdapat 3 ∙2 ∙ 1, atau 6,

permutasi dari himpunan A.

b. Diagram pohon yang berhubungan dengan masalah ini ditampilkan pada gambar 16,

dan enam permutasi daeri A adalah abc, acb, bac, bca, cab, dan cba.

Gambar 16

CONTOH 2

Temukan banyaknya cara tim baseball yang terdiri dari sembilan orang dapat disusun berjejer

untuk foto grup.

Solusi

Kita akan menentukan banyaknya permutasi dari sembilan anggota tim baseball. Setiap

permutasi pada kondisi ini terdiri dari suatu susunandari sembilan anggota tim pada satu

garis (berjejer). Ke sembilan posisi dapat direpresentasikan dengan kosong 9. Maka,

Posisi 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Terdapat sembilan cara untuk memilih diantara sembilan pemain untuk menempati posisi

pertama. Ketika posisi ini terisi, delapan pemain tersisa, yang akan memberikan kita delapan

cara untuk menempati posisi kedua. Lanjutkan dengan cara yang sama, kita temukan bahwa

terdapat tujuh cara untuk menempati posisi ketiga, dan seterusnya. Secara sistematik, kita

punya

Banyaknya cara untuk menempati setiap posisi

Dengan menggunakan prinsip perkalian umum, kita simpulkan bahwa terdapat

9 ∙8 ∙7 ∙ 6 ∙5 ∙ 4 ∙ 3 ∙2∙1, atau 362.880 cara tim baseball dapat disusun untuk pemotretan.

Pencarian yang sama dari penjelasan yang digunakan pada pemecahan masalah dua contoh

terakhir, kita dapat memperoleh suatu ekspresi untuk banyaknya cara permutasi himpunan A

dari n unsur yang berbeda diambil n dalam waktu bersamaan. Kenyataannya, setiap

permutasi dapat dilihat sebagai hasil dengan menempatkan setiap dari n kosong dengan satu

dan hanya satu elemen dari himpunan. Terdapat n cara untuk menempati kosong pertama,

diikuti dengan (n-1) cara untuk menempati kosong kedua, dan seterusnya. Maka, dengan

prinsip perkalian umum, terdapat

n(n−1)(n−2) ∙3∙2 ∙1

Cara permutasi elemen dari himpunan A

Sebelum menyatakan hasil ini secara formal, akan diperkenalkan notasi yang akan

memungkinkan kita untuk menulis dalam bentuk tersusun. Digunakan simbol n! (baca “n-

faktorial”) untuk menotasikan hasik dari n pertama bilangan asli.

n-Faktorial

untuk sebarang bilangan asli n,

n !=n (n−1 ) (n−2 ) ∙⋯ ∙3 ∙ 2∙ 1

0 !=1

Sebagai contoh,

1 !=1

2 !=2∙ 1=2

3 !=3∙ 2 ∙1=6

4 !=4 ∙ 3 ∙2 ∙1=24

5 !=5∙ 4 ∙3 ∙ 2∙ 1=120

⋮

10 !=10∙ 9 ∙ 8 ∙7 ∙ 6 ∙5 ∙4 ∙ 3 ∙ 2∙ 1=3.628 .800

Menggunakan notasi ini, dapat menunjukkan banyaknya permutasi dari n unsur berbeda

diambil n unsur pada saat bersamaan, P(n,n), seperti

P(n,n) = n!

Dalm beberapa kondisi, kita dituntut untuk menentukan banyaknya cara permutasi n unsur

berbeda diambil r unsur pada waktu bersamaan, dimana r ≤ n. Untuk memperoleh rumus

untuk menghitung banyaknya cara permutasi himpunan yang terdiri dari n unsur berbeda

diambil r unsur pada waktu bersamaan, perhatikan bahwa setiap permutasi dapat dilihat

sebagai hasil dari setiap penempatan r kosong dengan tepat satu elemen dari himpunan.

Sekarang terdapat n cara penempatan untuk kosong pertama, diikuti oleh (n-1) cara untuk

menempati kosong kedua, dan seterusnya. Akhirnya, terdapat (n-r+1) cara untuk menempati

kosong ke-r. Argumen ini dapat dipresentasikan secara sistematik:

banyaknyacaraPosisi

npertama

n−1kedua

n−2ketiga

⋯ n−r+1ke−r

Menggunakan prinsip perkalian umum, kita simpulkan bahwa banyaknya cara permutasi n

unsur berbeda diambil r unsur pada waktu bersamaan, P(n,r), diberikan oleh

Karena

Kita punya rumus sebagai berikut

Permutasi dari n Unsur Berbeda

Banyaknya permutasi dari n unsur berbeda diambil r unsur pada saat bersamaan adalah

P (n , r )= n !(n−r )!

Catatan ketika r = n persamaan diatas menjadi

P (n , n )=n!0 !

=n !1

=n !

Dengan kata lain, banyaknya permutasi suatu himpunan dari n unsur berbeda, diambil semua

bersamaan, adalah n!.

CONTOH 3

Hitung (a) P(4,4) dan (b) P(4,2) dan tafsirkan hasilmu.

Solusi

a. P (4,4 )= 4 !(4−4 ) !

=4 !0 !

=4 !1!

=4 ∙3 ∙2∙11

=24

Ini memberikan banyaknya permutasi dari empat unsur diambil empat unsur bersamaan

b. P (4,2 )= 4 !( 4−2 )!

=4 !2!

=4 ∙ 3 ∙ 2∙ 12∙1

=12

Ini merupakan banyaknya permutasi dari empat unsur berbeda diambil dua unsur pada

waktu bersamaan.

CONTOH 4

Misalkan A = {a,b,c,d}.

a. Gunakan persamaan (6) untuk menghitung banyaknya permutasi himpunan A diambil dua

unsur pada waktu bersamaan.

b. Tampilkan permutasi dari bagian (a) dengan bantuan diagram pohon.

Solusi

a. Disini, n = 4 dan r = 2, jadi banyaknya permutasi yang dibutuhkan diberikan oleh

P (4,2 )= 4 !( 4−2 )!

=4 !2!

=4 ∙ 3 ∙ 2∙ 12∙1

=12

b. Diagram pohon yang berhubungan dengan ploblem tersebut dituntukkan pada gambar 17,

dan permutasi dari A diambil dua unsur pada waktu yang bersamaan adalah

ab, ac, ad, ba, bd, ca,cb, cd, da, db, dc

Gambar 17

CONTOH 5

Temukan banyaknya cara untuk memilih ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara dapat

dipilih dari delapan anggota panitia.

Solusi

Masalah ini sama dengan dengan menemukan banyaknya permutasi dari delapan unsur

berbeda diambil empat unsur dalam waktu bersamaan. Oleh karena itu, terdapat

P (8,4 )= 8 !(8−4 ) !

=8 !4 !

=8 ∙7 ∙ 6 ∙5=1680

Cara untuk memilih empat pejabat dari delapan anggota panitia.

Pada beberapa kondisi kita dituntut untuk menemukan banyaknya permutasi dari suatu

himpunan dimana tidak semua unsurnya berbeda.

Permutasi dari n Unsur, Tidak Semua Berbeda

Diberikan suatu himpunan n unsur dimana n1 unsur serupa dan satu jenis, n2 unsur serupa dan

berjenis lain, ..., dan nr unsur yang serupa dan berjenis lain pula, sehingga

n1 + n2 +... + nr = n

maka banyaknya permutasi dari n unsur diambil n unsur pada saat bersamaan diberikan oleh

n !n1! n2!⋯ nr !

(7)

CONTOH 6

Temukan banyaknya permutasi yang dapat dibentuk dari semua huruf dalam kata ATLANTA.

Solusi

Terdapat tujuh unsur (huruf), jadi n = 7. Tetapi, tiga diantaranya serupa dan satu jenis (tiga

A), ketika dua dari mereka serupa tapi berbeda jenis (dua T); karena, pada kita n1 = 3, n2 = 2,

n3 = 1, dan n4 = 1. Oleh karena itu, gunakan rumus (7), terdapat

7 !3! 2!1 !1!

=7 ∙6 ∙ 5∙ 4 ∙3 ∙2∙ 13∙ 2 ∙1 ∙ 2∙ 1

=420

CONTOH 7 Keputusan Manajemen

Weaver dan Kline, seorang pialang saham perusahaan, telah menerima

sembilan pertanyaan mengenai account baru. Berapa banyak cara

pertanyaan ini dapat diarahkan untuk tiga rekening perusahaan eksekutif

jika setiap account eksekutif menangani tiga pertanyaan?

Solusi

Jika kita berpikir dari sembilan pertanyaan sebagai slot diatur dalam satu

baris dengan permintaan 1 di sebelah kiri dan penyelidikan 9 di sebelah

kanan, maka masalah dapat dianggap sebagai mengisi setiap slot dengan

kartu bisnis dari account executive. Kemudian sembilan kartu bisnis akan

digunakan, yang tiga sama dan dari satu jenis, tiga yang sama dan dari

jenis lain, dan tiga yang sama dan dari jenis lain pula. Dengan demikian,

menggunakan (7) dengan n = 9 dan n1 =n2 = n3 = 3, ada

9!3!3 !3 !

= 9 ∙8 ∙ 7 ∙6 ∙5 ∙ 4 ∙ 3∙ 2 ∙13 ∙ 2∙ 2∙ 1 ∙3 ∙ 2∙ 1 ∙3 ∙ 2∙ 1

=1680

cara menempatkan pertanyaan.

Kombinasi

Menentukan banyaknya cara untuk memilih r unsur dari suatu himpunan n unsur tanpa

memperhatikan urutan unsur yang dipilih disebut kombinasi. Sebagai contoh, unntuk

mengetahui bilangan dari 5 kartu poker di tangan yang telah dibagikan dari bungkus 52 kartu

standar, maka urutan poker yang dibagikan tidaklah penting. Pada kondisi ini, akan ditentukan

banyaknya kombinasi dari 5 kartu (unsur) yang dipilih dari bungkus (himpunan) dari 52 kartu

(unsur). (Akan dibahas di contoh 10)

Gambar 18

Untuk memperoleh rumus untuk menentukan banyaknya kombinasi dari r unsur diambil r

unsur pada waktu yang bersamaan, ditulis

C (n , r ) atau( nr )

Perhatikan bahwa setiap kombinasi C(n,r) dari r unsur dapat dipermutasikan dalam r! cara

(gambar 19).

Maka, dengan prinsip perkalian, hasil r! C(n, r) memberikan banyaknya permutasi dari n

unsur diambil r unsur pada waktu yang bersamaan; artinya,

r! C(n, r) = P(n, r)

karenanya diperoleh

C (n , r )=P(n ,r )r !

Atau menggunakan persamaan (6),

C (n , r )= n!r ! (n−r ) !

Kombinasi dari n Unsur

Banyaknya kombinasi dari n unsur berbeda diambil r unsur pada waktu bersamaan diberikan

oleh

C (n , r )= n!r ! (n−r ) !

(dimana r ≤ n)

CONTOH 8

Hitung dan tafsirkan hasil dari (a) C(4,4) dan (b) C(4,2).

Solusi

a. C ( 4,4 )= 4 !4 ! (4−4 )!

= 4 !4 !0 !

=1

Diperoleh 1 sebagai banyaknya kombinasi dari empat unsur diambil empat unsur dalam

waktu bersamaan.

b. C ( 4,2 )= 4 !2! (4−2 )!

= 4 !2 !2 !

=4 ∙ 32

=6

Diperoleh 6 sebagai banyaknya kombinasi dari empat unsur diambil dua unsur dalam

waktu bersamaan.

CONTOH APLIKASI 9 Pemilihan Panitia

Seorang senat mencari empat anggota subpanitia yang dipilih dari 10 anggota panitia senat.

Tentukan banysknya cara memilih panitia tersebut.

Solusi

Urutan dalam keanggotaan subpanitia yang dipilih tidaklah penting dan banyaknya cara untuk

memilih subpanitia diberikan oleh C(10,4), banyaknya kombinasi dari sepuluh unsur diambil

empat unsur pada waktu bersamaan. Karenanya, terdapat

C (10,4 )= 10 !4 ! (10−4 ) !

= 10!4 !6 !

=10 ∙ 9 ∙ 8∙ 74 ∙ 3∙ 2 ∙1

=210

Cara untuk memilih subpanitiatersebut.

CONTOH APLIKASI 10 Poker

Berapa banyak 5 kartu poker di tangan yang dapat dibagikan dari bungkus standar 52 kartu?

Solusi

Urutan dalam 5 kartu yang dibagikan tidak penting. Banyaknya cara membagikan 5 kartu

poker di tangan dari bungkus standar 52 kartu diberikan oleh C(52,5), banyaknya kombinasi

dari 52 unsur diambil lima unsur dalam waktu yang bersamaan. Maka, terdapat

C (52,5 )= 52!5 ! (52−5 )!

= 52 !5 ! 47 !

=52 ∙ 51∙50 ∙49∙ 485 ∙4 ∙ 3 ∙ 2∙ 1

=2.598 .960

cara untuk membagi kartu poker tersebut.

CONTOH APLIKASI 11 Memilih Anggota Grup

Anggota empat pemusik yang terdiri dari dua pemain biola, seorang violist, dan seorang

pemain celo dipilih dari suatu grup enam pemain biola, 3 violist, dan dua pemain celo.

a. Dalam berapa cara empat pemusik dapat dibentuk?

b. Dalam berapa cara empat pemusik dapat dibentuk jika satu pemain biola ditunjuk sebagai

pemain biola utama dan yang lain ditunjuk sebagai pemain biola kedua?

Solusi

a. Karena urutan setiap musisi yang dipilih tidak penting, kita gunakan kombinasi. Pemain

biola dapat dipilih dalam C(6,2), atau 15 cara; violist dapat dipilih dalam C(3,1), atau 3

cara; dan pemain celo dapat dipilih dalam C(2,1), atau 2 cara. Dengan prinsip perkalian,

terdapat 15 ∙3 ∙ 2, atau 90, cara untuk membentuk empat pemusik.

b. Urutan dalam pemain biola yang dipilih penting disini,. Akibatnya, banyaknya cra

memilih pemain biola diberika oleh P(6,2), atau 30, cara. Banyaknya cara memilih violist

dan pemain celo masing-masing 3 dan 2. Oleh karena itu, banyaknya cara sehingga empat

pemusik dapat terbentuk diberikan oleh 30 ∙3 ∙ 2, atau 180, cara.

CONTOH APLIKASI 12 Opsi Investasi

Lihat contoh 5, Halaman 355. Misalkan investor telah memutuskan untuk

membeli saham dari dua perusahaan penerbangan, dua perusahaan

pengembangan energi, dan dua perusahaan elektronik. Dalam berapa

banyak cara dapat investor memilih enam kelompok perusahaan untuk

investasi dari daftar rekomendasi lima perusahaan penerbangan, tiga

perusahaan pengembangan energi, dan empat perusahaan elektronik?

Solusi

Ada C (5, 2) cara di mana investor dapat memilih perusahaan

penerbangan, C (3, 2) cara di mana ia dapat memilih perusahaan yang

terlibat dalam pengembangan energi, dan C(4,2) cara di mana ia dapat

memilih perusahaan elektronik sebagai investasi. Dengan prinsip perkalian

umum, ada

C (5,2 ) C (3,2 ) C (4,2 )= 5!2 !3 !

∙3 !

2!1 !∙

4 !2! 2!

=5 ∙42

∙3 ∙4 ∙ 3

2=180

cara untuk memilih enam grup perusaan untuk investasi.

CONTOH APLIKASI 13 Jadwal Pertunjukkan

The Futuris, suatu grup rock, berencana tur konser dengan pertunjukan

yang akan diberikan dalam lima kota: San Francisco, Los Angeles, San

Diego, Denver, dan Las Vegas. Berapa banyak cara yang dapat diatur

untuk jadwal mereka jika

a. Tidak ada batasan?

b. Tiga pertunjukan di California harus diberikan berturut-turut?

Solusi

a. Urutan penting di sini, jadi ada

P (5,5 )=5 !=120cara mengatur jadwal mereka.

b. Pertama, perhatikan bahwa ada P (3, 3) cara memilih antara tampil di

California dan di dua kota di luar negara itu. Berikutnya, ada P (3, 3)

cara

mengatur jadwal mereka di tiga kota di California. Oleh karena itu,

dengan

prinsip perkalian, ada

P (3,3 ) P (3,3 )= 3 !(3−3 ) !

∙3 !

(3−3 )!= (6 ) (6 )=36cara mengatur jadwal mereka.

CONTOH APLIKASI 14 Voting Dewan Keamanan PBB

Dewan Keamanan terdiri dari 5 anggota tetap dan 10 anggota honorer. Keputusan yang dibuat

oleh dewan membutuhkan 9 orang untuk bagian. Namun, setiap anggota tetap dapat memveto

ukuran dan dengan demikian memblokir bagian nya. Dengan asumsi tidak ada abstain, dalam

berapa banyak cara dapat mengukur suatu dilalui jika semua 15 anggota dari suara Dewan?

Solusi

Jika ukuran adalah untuk dilewati, maka semua 5 anggota tetap harus memilih

untuk bagian dari ukuran itu. Hal ini dapat dilakukan di C (5, 5), atau 1, cara.

Berikutnya, mengamati bahwa sejak 9 orang yang diperlukan untuk

berjalannya suatu ukuran, di setidaknya 4 dari 10 anggota tidak tetap juga

harus memilih bagian-nya. Untuk menentukan jumlah cara ini bisa

dilakukan, pemberitahuan bahwa ada C (10, 4) cara

yang persis 4 anggota non-permanen dapat memilih bagian dari ukuran, C

(10, 5) cara di mana tepatnya 5 dari mereka dapat memilih bagian dari

ukuran, dan seterusnya. Akhirnya, ada C (10, 10) cara di mana semua 10

anggota tidak tetap dapat memilih bagian dari ukuran. Oleh karena itu,

ada

C (10,4 )+C (10,5 )+…+C(10,10)

cara di mana setidaknya 4 dari 10 anggota non-permanen dapat memilih

ukuran.

Jadi, dengan prinsip perkalian, ada

C (5,5 ) [C (10,4 )+C (10,5 )+…+C (10,10 ) ]

¿ (1 )[ 10 !4 !6 !

+ 10 !5 !5!

+…+ 10 !10 !10 ! ]

¿ (1 ) (210+252+210+120+45+10+1 )=848cara mengukur dapat lulus.