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7/25/2019 Hidrostatica PDF

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INTRODUCCIN

La esttica de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo,

y cuando se trata slo de lquidos, se denomina hidrosttica.

Desde el punto de vista de ingeniera civil es ms importante el estudio de los lquidos

en reposo que de los gases, por lo cual aqu se har mayor hincapi en los lquidos y,

en particular, en el agua.

Si todas las partculas de un elemento fluido, visto como un medio continuo, estn en

reposo o movindose con la misma velocidad, se dice que el fluido es un medio esttico;

por lo que el concepto de propiedades de un fluido esttico pueden aplicarse a

situaciones en las cuales se estn moviendo los elementos del fluido, con tal de que no

haya movimiento relativo entre elementos finitos.

La hidrosttica tambin es el estudio de las leyes y principios bsicos de la esttica de

fluidos que permite explicar fenmenos diversos, tales como: la navegacin de los

barcos, el sistema de abastecimiento de aguas de las ciudades, entre otros. As mismo,

se podr entender el funcionamiento de aparatos e instrumentos de extraordinario

inters, como el sistema de frenos hidrulicos de un automvil, la prensa hidrulica, el

barmetro, el globo aerosttico, etc.


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I. OBJETIVOS:

Objetivos Generales:

Analizar e interpretar los conceptos bsicos de la Hidrosttica.

Objetivos Especficos:

Analizar los principios relacionados con la Hidrosttica.

Interpretar y aplicar las ecuaciones fundamentales de la Hidrosttica.

Evaluar las fuerzas sobre las superficies planas en la Hidrosttica.

II. MARCO TERICO:

2.1) HIDROSTTICA

La hidrosttica es la rama de la mecnica de fluidos que estudia los fluidos en

estado de reposo; es decir, sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o

posicin. Como el fluido no es rgido, solo podr permanecer en reposo en

ausencia de fuerzas deformadoras

Reciben el nombre de fluidos aquellos cuerpos que tienen la propiedad de

adaptarse a la forma del recipiente que los contiene. A esta propiedad se le dael nombre de fluidez.

Son fluidos tanto los lquidos como los gases, y su forma puede cambiar

fcilmente por escurrimiento debido a la accin de fuerzas pequeas.

Se distinguen dos tipos de fuerzas que pueden actuar sobre los cuerpos, ya sea

en reposo o en movimiento: Las fuerzas msicas y las fuerzas superficiales.

Las fuerzas msicas incluyen todas las fuerzas exteriores que actan sobre el

material en cuestin sin contacto directo, ejemplo la gravedad.

Las fuerzas superficiales incluyen todas las fuerzas ejercidas sobre su contorno,

por su proximidad, por contacto directo; es por esto una accin de contorno o

superficial, ejemplo las fuerzas de presin, de friccin, etc.

En mecnica de fluidos se usan las fuerzas relativas con las masas o reas, as:

am

FmaF II g

m

FmgF GG

pA

FpAF

N

PNP

T

TTT

A

FAF


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2.2) Ecuacin Fundamental de Variacin de la Presin en unFluido en Reposo Absoluto

Como el fluido se encuentra en reposo absoluto, estar sometido exclusivamente

a su peso propio, no existirn otro tipo de fuerzas de masa o exteriores; es decir,

adems de la fuerza gravitacional, existirn las fuerzas superficiales debido a la

presin, no existiendo fuerzas de friccin o tangenciales por encontrarse en

reposo absoluto.

Evaluemos la variacin de la presin en un elemento diferencial ortodrico de

dimensiones dx, dy y dz, como se muestra en la figura, en donde se hallar las

fuerzas que producen en el eje y, la presin y la gravedad de las partculas

fluidas.

Como la masa contenida en el elemento diferencial de volumen, est enequilibrio, y

conociendo por la segunda propiedad de la presin que todos los puntos

contenidos en un plano horizontal tienen la misma presin; por lo tanto las

fuerzas debidas a las presiones en las direcciones z y x se cancelan, por lo

que resulta aplicable solo la ecuacin de equilibrio en la direccin y:

gdydxdzdxdzdpppdxdzFY

Simplificando y ordenando resulta:

gdydp gdy

dp ()

En general, la ecuacin de la esttica de los fluidos (), no se puede integrar a

menos que se especifique la naturaleza de . En la determinacin de la presin

se trata entonces por separado los gases y a los lquidos.


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Pero como remarcamos al inicio del estudio del presente tema, como ingenieros

civiles nos interesa fundamentalmente el estudio de los lquidos, especialmente

el agua, por lo que solo abordaremos el caso de fluidos lquidos; por lo que

siendo as, integraremos para los puntos P1y P2en el interior y en la superficie

libre, respectivamente del fluido en reposo:

2

1

2

1

y

y

p

pdygdp

1212 yygpp

Donde, de la figura superior, extrema derecha: Amb2 pp

Luego:

hppp Amb1 ()

Donde: pp1 Presin absoluta

Ambp Presin atmosfrica

h Presin manomtrica o relativa

Si se trabaja con presiones relativas, la expresin (), se transforma en:

hp ()

Cuyo diagrama de variacin de la presin de la ecuacin ()es:


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III. Ecuacin Fundamental de la Hidrosttica

Resuelve el caso general, es decir el reposo absoluto y el reposo relativo, tanto parafluidos lquidos y gases.

Consideremos un elemento diferencial ortodrico de dimensiones dx, dy y dz, el cual lo

hemos separado de un medio continuo de fluido en reposo, como se muestra en la figura

siguiente, en donde se hallar las fuerzas que producen en los diferentes ejes la presin

y la aceleracin de las partculas fluidas:

Sea p la presin que acta sobre cada una de las caras del triedro ms prximo al

origen de coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones sern

respectivamente:

dxx

pp

; dy

y

pp

; dz

z

pp

Habindose despreciado infinitsimas de orden superior al primero.

Sea = La Resultante de las fuerzas exteriores o Fuerza Total externa, por unidad demasa, que suponemos aplicada en el centro de gravedad de la masa dm del elemento

diferencial ortodrico de volumen dxdydzd .

Es decir: kji aaaa zyx

()


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Donde:

a = Fuerza por unidad de masa debida a la inercia que se origina por la aceleracin

externa al fluido; es una fuerza msica. Donde X, Y y Z, son sus componentes. Tambin

se le denomina aceleracin externa a

.

3.1) Ecuacin Fundamental Vectorial de la hidrosttica:

De la ecuacin:

kji aaaa zyx

Se debe tomar en cuenta que el elemento diferencial de fluido se encuentra en

equilibrio, para ello se verifica en cada eje coordenado: iF

Condicin de equilibrio en el eje y:

dxdydzdxdzdyy

pppdxdz ay)(

Simplificando: ayyp

De igual manera realizando el equilibrio en los ejes x y z, resulta:

axxp

azzp

Donde iix

pax

jjy

pay

y kkz

paz

()

Sumando miembro a miembro las Ecuaciones estticas de Euler, tendremos:

kjikz

p

jy

p

ix

p

aaa zyx

El primer miembro de la ecuacin corresponde al desarrollo de p

:

)( kjip aaa zyx

Adems reemplazando (), en la expresin anterior, resulta:

ap

()


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La expresin (), es conocida como la Ecuacin Fundamental Vectorial de laHidrosttica, o Ecuacin de Euler, aplicable tanto para fluidos en reposoabsoluto o relativo.

Proyectando la expresin (), segn la direccin dr:

3.2) Ecuacin Fundamental Analtica de la Hidrosttica, oEcuacin de Euler

Tomando en cuenta la ecuacin fundamental vectorial:

ap

Donde:

kdzjdyidxdr

. =.El desarrollo de la expresin anterior resulta:

dzdydxdzz

pdy

y

pdx

x

paaa zyx

El desarrollo del primer miembro de la ecuacin corresponde a dp, luego esta

puede ser escrita, como:

)( dzdydxdp aaa zyx ()

a ) Va r i a c i n de l a P r es i n de un F l u i d o Lqu i d o Som e t i d o a su

Pe s o P r o p i o

Aplicando la ecuacin fundamental analtica de la hidrosttica ()


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Donde:

X Y y gZ

Reemplazando en la Ecuacin (), tendremos:

dzgdzdp

dzdp

dzdp

dz

dp

En el caso de los lquidos, = Cte. luego tendremos:

dzdp1

Integrando para los puntos P1 y P2 en el interior y en la superficie libre,

respectivamente del f luido en reposo:

p

z

z

2

1

dzdp1

)zz(p1 12

Sabiendo que: hzz 12 y reemplazando y acomodando la expresinanterior:

hp

hp ()


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IV) HIDROSTTICA SOBRE UNA SUPERFICIE PLANALa accin de una fuerza ejercida sobre una superficie plana, da como

resultado una presin, que en el caso de un lquido, determina la existencia

de numerosas fuerzas distribuidas normalmente sobre la superficie que seencuentra en contacto con el lquido. Sin embargo desde el punto de vista

de anlisis esttico, es conveniente reemplazar estas fuerzas, por una fuerza

resultante nica equivalente.

4.1) Fuerzas sobre superficies planas verticales:

Determinacin de la Fuerza (F) = (N) = HZb (N) = b H Z N = b

2 N

=

H(m)

b

H(m)

b = X

Y

Z


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Determinacin del Centro de Presina) Punto de referencia origen

b) Momento del sistema respecto al punto de referencia

origen

= () . = ()bHZ . =bH ZZ = b H ZZ

= b

2

3 = c) Momento de F respecto al punto de referencia

= () = () b 2 =

d) Teorema de Varignon

=

= =


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4.1) Fuerzas sobre superficies planas inclinada:

= (N) = = s in Entonces = s i n = s i n =

H

P

x

x

y


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Determinacin de la Fuerza (F)

= sin

= bsin 2

sin1sin = sin2 [ 222 1

22]

=

Determinacin del Centro de Presin

a) Punto de referencia origen

b) Momento del sistema respecto al punto de referencia origen

= .

= sin .

= sin . M = k bsin Xd N.mM = kb sin3 N.m

= .


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c) Momento de F respecto al punto de referencia

=

=

2sin

= d) Teorema de Varignon

kb

2sin = kb

3 N.m

= 2 3sin = 2 + + 3sin +

= + +

+


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Ejercicios:

1.- Un depsito de aceite tiene el fondo con forma de tringulo rectngulo, como semuestra en la imagen, omitiendo

, determinar:

a) La fuerza hidrosttica sobre el fondo.

b) El centro de presin.

Solucion:

Area:

= 36

Momentos de inercia:

= 36 = 6 12 36 =288

= 2 36 = 6 6 26 12 36 = 72


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La profundidad del centro de gravedad es = 5 + 9 = 9 . la fuerza hidrostaticasegn la ecuancion vale:

=

= 800 /

9.81 /

9 36

= 2.54 10 . =2.54 10 . = .

La posicin del centro de presiones dada por la ecuacin:

= sin

= 288 sin30

9 36 = 0.444

= sin = 74 sin309 36 = + 0.111

La fuerza resultante = . acta en este punto. Que est por debajo y a laderecha del centro, como se muestra en la figura.


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Ejemplo 2:

Resuelva el ejemplo que esta dibujado la distribucin de presiones sobre la placa ABy considerndola como la superposicin de la distribucin rectangular y una triangularpara encontrar:

a) La fuerza sobre la placa.

b) El centro de presiones.

575 /F

575 / A5 1

6 5 1B 8

El punto A esta a 9 de profundidad, por lo que:

= = (/

) = /

.

De igual modo, en el punto B, que est a 15 de profundidad, la presin ser: = = (/)= /.Con esto se define la distribucin de presin lineal de la figura. La fuerza de ladistribucin rectangular es de:

/por por al papel.La fuerza de la distribucin triangular es =/por por .Aplicada en el centroide del tringulo, que esta 6.67 por debajo de A.la fuerza resultante ser la suma de ambas:

= 575 /) 10 5 + lbf/ft10 ft5 ft) = 28,800 + 9600lbf=.El sumatorio de los momentos de estas fuerzas con respecto al punto A es:

=28.800 5 +9600lbf6.67


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= 144,000 . + 64,000 . =64,000 .Luego:

5 + 1 = = , ., = 5.417 Con lo que = 0.417 .Se han obtenido los mismos valores de la fuerza y del centro e presiones que en elejemplo, pero de manera ms razonada. De todas formas, si la placa no es unrectngulo, esta resolucin es ms laboriosa. En este caso, es til resolver mediantelos momentos de inercia.

Ejercicio 3


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+


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EJERCICIOS 4


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DESARROLLO

EJERCICIOS 5

DESARROLLO

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