TEMA 6.2. TEMA 6.2. HIDROSTATICA.HIDROSTATICA.

SUBTEMA 6.2.1. ECUACION DE SUBTEMA 6.2.1. ECUACION DE CONTINUIDAD Y DE CONTINUIDAD Y DE

BERNOULLI.BERNOULLI.

La La hidrodinámicahidrodinámica es la parte de la hidráulica es la parte de la hidráulica que estudia el comportamiento de los líquidos en que estudia el comportamiento de los líquidos en movimiento. Para ello considera entre otros movimiento. Para ello considera entre otros parámetros a la velocidad, la presión y el flujo del parámetros a la velocidad, la presión y el flujo del líquido.líquido.

En el estudio de la hidrodinámica el En el estudio de la hidrodinámica el Teorema de Teorema de BernoulliBernoulli, trata de la ley de la conservación de la , trata de la ley de la conservación de la energía, es de primordial importancia, pues energía, es de primordial importancia, pues señala que la suma de las energías cinética, señala que la suma de las energías cinética, potencial y de presión de un líquido en potencial y de presión de un líquido en movimiento en un punto determinado es igual a movimiento en un punto determinado es igual a la de otro punto cualquiera. La hidrodinámica la de otro punto cualquiera. La hidrodinámica investiga fundamentalmente a los fluidos investiga fundamentalmente a los fluidos incompresibles.incompresibles.

Las aplicaciones de la hidrodinámica se Las aplicaciones de la hidrodinámica se evidencian en el diseño de canales, evidencian en el diseño de canales, puertos presas, cascos de los barcos, puertos presas, cascos de los barcos, hélices turbinas y ductos en general.hélices turbinas y ductos en general.

Con el objetivo de facilitar el estudio de los Con el objetivo de facilitar el estudio de los líquidos en movimiento, generalmente se líquidos en movimiento, generalmente se hacen las siguientes suposiciones:hacen las siguientes suposiciones:

1.- Los líquidos son completamente 1.- Los líquidos son completamente incompresibles.incompresibles.

2.- Se considera despreciable la 2.- Se considera despreciable la viscosidad. Es decir, se supone que los viscosidad. Es decir, se supone que los líquidos son ideales, por ello no presentan líquidos son ideales, por ello no presentan resistencia al flujo, lo cual permite resistencia al flujo, lo cual permite despreciar las pérdidas de energía despreciar las pérdidas de energía mecánica producidas por su viscosidad; mecánica producidas por su viscosidad; pues como sabemos, durante el pues como sabemos, durante el movimiento esta genera fuerzas movimiento esta genera fuerzas tangenciales entre las diversas capas de tangenciales entre las diversas capas de un líquido.un líquido.

3.- El flujo de los líquidos se 3.- El flujo de los líquidos se supone estacionario o de régimen supone estacionario o de régimen estable. Esto sucede cuando la estable. Esto sucede cuando la velocidad de toda partículas del velocidad de toda partículas del líquido es igual al pasar por el líquido es igual al pasar por el mismo punto. Por ejemplo en la mismo punto. Por ejemplo en la figura siguiente se observa la figura siguiente se observa la trayectoria seguida por la trayectoria seguida por la partícula de un líquido, esto es, partícula de un líquido, esto es, su línea de corriente al pasar por su línea de corriente al pasar por el punto A.el punto A.

A

Gasto, flujo y ecuación de Gasto, flujo y ecuación de continuidadcontinuidad..Gasto.- Cuando un líquido fluye Gasto.- Cuando un líquido fluye a través de una tubería, es muy a través de una tubería, es muy común hablar de su gasto, que común hablar de su gasto, que por definición es: por definición es: la relación la relación existente entre el volumen existente entre el volumen del líquido que fluye por un del líquido que fluye por un conducto y el tiempo que conducto y el tiempo que tarda en fluirtarda en fluir..

G = V/tG = V/tG = Gasto en mG = Gasto en m33/seg./seg.

V= Volumen del líquido que fluye en V= Volumen del líquido que fluye en metros cúbicos (mmetros cúbicos (m33))

t = tiempo que tarda en fluir el líquido t = tiempo que tarda en fluir el líquido en segundos (seg).en segundos (seg).

El gasto también puede calcularse si se El gasto también puede calcularse si se conoce la velocidad del líquido y el área de conoce la velocidad del líquido y el área de la sección transversal del la tubería. Ver la la sección transversal del la tubería. Ver la figura siguiente:figura siguiente:

A1 A2

vt

1 2

Para conocer el volumen de líquido que pasa Para conocer el volumen de líquido que pasa del punto 1 al 2 de la tubería, basta multiplicar del punto 1 al 2 de la tubería, basta multiplicar entre sí el área, la velocidad del líquido y el entre sí el área, la velocidad del líquido y el tiempo que tarda en pasar por los puntos:tiempo que tarda en pasar por los puntos:

V = A v t (1)V = A v t (1) Y como G = V/t (2)Y como G = V/t (2) Sustituyendo 1 en 2:Sustituyendo 1 en 2: G = G = A v tA v t tt G = AvG = Av..

Donde G = gasto en mDonde G = gasto en m33/seg./seg. A = área de la sección transversal A = área de la sección transversal

del tubo en metros cuadrados del tubo en metros cuadrados (m(m22).).

v = velocidad del líquido en m/seg.v = velocidad del líquido en m/seg. En el sistema C.G.S. el gasto se mide en En el sistema C.G.S. el gasto se mide en

cmcm33/seg o bien, en unidades prácticas /seg o bien, en unidades prácticas como litros/seg. como litros/seg.

FLUJOFLUJO

Se define como la cantidad en masa del Se define como la cantidad en masa del líquido que fluye a través de una tubería líquido que fluye a través de una tubería en un segundo.en un segundo.

F = m/t.F = m/t. Donde F = flujo en kg/seg.Donde F = flujo en kg/seg. m = masa del líquido que fluye en m = masa del líquido que fluye en

kilogramos (kg).kilogramos (kg). t = tiempo que tarda en fluir en segundos t = tiempo que tarda en fluir en segundos

(seg).(seg).

Como la densidad de un cuerpo es la relación entre su Como la densidad de un cuerpo es la relación entre su masa y volumen tenemos:masa y volumen tenemos:

ρρ= m/V (1). Por lo tanto m = = m/V (1). Por lo tanto m = ρρ V (2), V (2), Por lo que el flujo será:Por lo que el flujo será: F = F = ρρ V V (3). Y como G = V/t (4) (3). Y como G = V/t (4) tt Sustituyendo 4 en 3:Sustituyendo 4 en 3: F = G F = G ρρ.. Donde F = flujo en kg/segDonde F = flujo en kg/seg G = Gasto en mG = Gasto en m33/seg./seg. ρρ = densidad en kg/m = densidad en kg/m33..

ECUACIÓN DE CONTINUIDADECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Para comprender el significado Para comprender el significado de esta ecuación veamos la de esta ecuación veamos la

figura siguiente:figura siguiente:

La ecuación de continuidadLa ecuación de continuidad

Considere el siguiente tubo de flujo. De acuerdo a la conservación de la masa, se tiene:

1v1 A1 =2v2 A2

Si nos restringimos a fluidos incomprensibles, entonces 1 =2 y se deduce que

v1 A1 =v2 A2

El producto (velocidad perpendicular a un área) x (área) es el flujo, .

La tubería de la figura anterior reduce de La tubería de la figura anterior reduce de manera considerable su sección transversal o manera considerable su sección transversal o área entre los puntos 1 y 2.área entre los puntos 1 y 2.

Sin embargo es constante la cantidad de líquido Sin embargo es constante la cantidad de líquido que pasa por los puntos 1 y 2, al considerar que que pasa por los puntos 1 y 2, al considerar que los líquidos son incompresibles. los líquidos son incompresibles. Para ello, en el Para ello, en el tubo de mayor sección transversal, la tubo de mayor sección transversal, la velocidad del lìquido es menor a la que velocidad del lìquido es menor a la que adquiere al pasar al punto 2, adquiere al pasar al punto 2, donde la donde la reducción del área se compensa con el aumento reducción del área se compensa con el aumento en la velocidad del líquido.en la velocidad del líquido.

Por lo tanto Por lo tanto el gasto en el punto 1 es el gasto en el punto 1 es igual al gasto en el punto 2igual al gasto en el punto 2..

GG11 = G = G22 = constante. = constante. AA11VV11 = A = A22VV22.. AA11= Area menor en m= Area menor en m22.. VV11 = velocidad en el área 1 en m/seg. = velocidad en el área 1 en m/seg. AA22= Area mayor m= Area mayor m22.. VV2 2 = velocidad en el área 2 en m/seg.= velocidad en el área 2 en m/seg.

TEOREMA Y ECUACION DE TEOREMA Y ECUACION DE BERNOULLI.BERNOULLI.

El físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782), al El físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782), al estudiar el comportamiento de los líquidos, estudiar el comportamiento de los líquidos, descubrió que la presión de un líquido que fluye descubrió que la presión de un líquido que fluye por una tubería es baja si su velocidad es alta y, por una tubería es baja si su velocidad es alta y, por el contrario, es alta si su velocidad es baja.por el contrario, es alta si su velocidad es baja.

Por lo tanto, la Ley de la conservación de la Por lo tanto, la Ley de la conservación de la energía también se cumple cuando los líquidos energía también se cumple cuando los líquidos están en movimiento. Con base en sus estudios están en movimiento. Con base en sus estudios Bernoulli, enunció el siguiente teorema que lleva Bernoulli, enunció el siguiente teorema que lleva su nombre.su nombre.

Teorema de Bernoulli.Teorema de Bernoulli.

““En un líquido ideal cuyo flujo es En un líquido ideal cuyo flujo es estacionario, la suma de las energías estacionario, la suma de las energías cinética, potencial y de presión que tiene un cinética, potencial y de presión que tiene un líquido en un punto, es igual a la suma de líquido en un punto, es igual a la suma de estas energías en otro punto cualquieraestas energías en otro punto cualquiera”.”.

El líquido posee, tanto en el punto 1 como en el El líquido posee, tanto en el punto 1 como en el 2, tres tipos de energía:2, tres tipos de energía:

1.- Energía cinética, debido a su velocidad y a la 1.- Energía cinética, debido a su velocidad y a la masa del líquido: Ec = 1/2mvmasa del líquido: Ec = 1/2mv22..

b) Energía potencial, debido a la altura del b) Energía potencial, debido a la altura del líquido, respecto a un punto de referencia: líquido, respecto a un punto de referencia:

Ep = m g h.Ep = m g h. c) Energía de presión, originada por la presión c) Energía de presión, originada por la presión

que las moléculas del líquido ejercen entre sí, que las moléculas del líquido ejercen entre sí, por lo cual el trabajo realizado para el por lo cual el trabajo realizado para el desplazamiento de las moléculas es igual a la desplazamiento de las moléculas es igual a la energía de presión. Todas estas energías se energía de presión. Todas estas energías se ilustran en la figura siguiente:ilustran en la figura siguiente:

Ecuación de BernoulliEcuación de Bernoulli

Dado que Wneto = K + U, se puede llegar a

2222

121

212

11 ghvpghvp

En otras palabras:

constante221 ghvp

La ecuación de Bernoulli establece que la suma de la presión, (p), la energía cinética por unidad de volumen (1/2 v2) y la energía potencial gravitacional por unidad de volumen ( gy) tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente.

Veamos la figura siguiente para Veamos la figura siguiente para comprender la energía de comprender la energía de

presión del líquido.presión del líquido.

11

A1 A2

2 l

Puesto que la energía de presión Puesto que la energía de presión es igual al trabajo realizado, es igual al trabajo realizado,

tenemos:tenemos:

E E presiónpresión = T = F = T = F ll (1). (1).

Como P = F/A, por lo tanto Como P = F/A, por lo tanto F = PA (2)F = PA (2)

Sustituyendo 2 en 1:Sustituyendo 2 en 1: E E presiónpresión = P A = P A ll..

El área de la sección transversal del tubo El área de la sección transversal del tubo multiplicado por la distancia multiplicado por la distancia ll recorrida por recorrida por el líquido nos da el volumen de éste que el líquido nos da el volumen de éste que pasa del punto 1 al 2, A pasa del punto 1 al 2, A ll = V, de donde la = V, de donde la ecuación 1 queda:ecuación 1 queda:

E E presiónpresión = PV (4) = PV (4) Como Como ρρ = m/V por lo tanto V = m/ = m/V por lo tanto V = m/ ρρ . . Sustituyendo 5 en 4 tenemos:Sustituyendo 5 en 4 tenemos: E E presiónpresión = P = P m/ m/ ρρ. .

Donde E Donde E presiónpresión = Energía de presión en = Energía de presión en Joules.Joules.

P = Presión en N/mP = Presión en N/m22 o pascal. o pascal. m = masa del líquido en kilogramos (kg).m = masa del líquido en kilogramos (kg). ρρ = Densidad del líquido en kg/m = Densidad del líquido en kg/m33.. Así de acuerdo al Teorema de Bernoulli, la Así de acuerdo al Teorema de Bernoulli, la

suma de las energías cinética, potencial y de suma de las energías cinética, potencial y de presión en el punto 1, es igual a la suma de presión en el punto 1, es igual a la suma de estas energías en el punto 2.estas energías en el punto 2.

EcEc11 + Ep + Ep11 + E + E presión 1presión 1 = Ec = Ec22 + Ep + Ep22 + E + E presión 2presión 2--

Al sustituir dichas expresiones por sus Al sustituir dichas expresiones por sus respectivas expresiones, tenemos:respectivas expresiones, tenemos:

1/2mv1/2mv1122 + mgh + mgh11 + P + P11m/m/ρρ11 = = 1/2mv1/2mv22

22 + mgh + mgh22 + P + P22m/m/ρρ2.2.

Si dividimos la expresión anterior entre la masa se obtiene la Si dividimos la expresión anterior entre la masa se obtiene la ecuación correspondiente al Teorema de Bernoulli, para ecuación correspondiente al Teorema de Bernoulli, para expresar la energía por unidad de masa:expresar la energía por unidad de masa:

vv1122 + + gh1 + P + P11//ρρ11 = = v2

2 + gh + gh22 + P + P22//ρρ2.2.

22 2 2

Aunque el Teorema de Bernoulli, parte de Aunque el Teorema de Bernoulli, parte de la consideración de que el líquido es ideal la consideración de que el líquido es ideal (por lo cual se desprecian las pérdidas de (por lo cual se desprecian las pérdidas de energía causadas por la viscosidad de energía causadas por la viscosidad de todo líquido en movimiento), su ecuación todo líquido en movimiento), su ecuación permite resolver con facilidad muchos permite resolver con facilidad muchos problemas sin incurrir en errores graves problemas sin incurrir en errores graves por despreciar esas pérdidas de energía por despreciar esas pérdidas de energía pues resultan insignificantes comparadas pues resultan insignificantes comparadas con las otras energías.con las otras energías.

Problemas de la ecuación de Problemas de la ecuación de continuidad y de la ecuación de continuidad y de la ecuación de

Bernoulli.Bernoulli. 1.- Calcular el gasto de agua de una 1.- Calcular el gasto de agua de una

tubería al circular 1.5 mtubería al circular 1.5 m33 en ¼ de minuto. en ¼ de minuto. DatosDatos FórmulaFórmula SustituciónSustitución G = ?G = ? G = V/tG = V/t G = G = 1.5 m3 15 seg15 seg G = G = 0.1 m0.1 m33/seg/seg.. V = 1.5 mV = 1.5 m33 t = 15 segt = 15 seg

2.- Calcular el tiempo que tardará en llenarse un tanque 2.- Calcular el tiempo que tardará en llenarse un tanque cuya capacidad es de 10 mcuya capacidad es de 10 m33 al suministrarse un gasto al suministrarse un gasto de 40 l/seg.de 40 l/seg.

DatosDatos FórmulaFórmula t = ?t = ? t = V/G t = V/G V = 10 mV = 10 m33.. G = 40 l/seg.G = 40 l/seg. Conversión de unidades;Conversión de unidades; 40 40 l l x x 1 m1 m33 = 0.03 m = 0.03 m33/seg./seg. seg 1000 lseg 1000 l Sustitución y resultado:Sustitución y resultado: t = t = 10 m10 m33. . = = 250 seg250 seg.. 0.03 m0.03 m33/seg./seg.

3.- Calcular el gasto de agua por una tubería de 3.- Calcular el gasto de agua por una tubería de diámetro igual a 5.08 cm, cuando la velocidad del líquido diámetro igual a 5.08 cm, cuando la velocidad del líquido es de 4 m/seg.es de 4 m/seg.

DatosDatos FórmulaFórmula G = ?G = ? G = v AG = v A d = 5.08 cm= 0.0508 m.d = 5.08 cm= 0.0508 m. A = A = ππ/4 d/4 d22.. v = 4 m/segv = 4 m/seg Cálculo del área: A = 3.14/4 x (0.0508 m)Cálculo del área: A = 3.14/4 x (0.0508 m)22.. A = 0.002 mA = 0.002 m22.. Sustitución y resultado:Sustitución y resultado: G = 4 m/seg x 0.002 mG = 4 m/seg x 0.002 m22. = . = 0.008 m0.008 m33/seg/seg..

4.- Determinar el diámetro que debe tener una tubería, para que el 4.- Determinar el diámetro que debe tener una tubería, para que el gasto de agua sea de 0.3 mgasto de agua sea de 0.3 m33/seg a una velocidad de 8 m/seg,/seg a una velocidad de 8 m/seg,

DatosDatos FórmulasFórmulas d = ?d = ? A = G/vA = G/v G = 0.3 mG = 0.3 m33/seg./seg. A = A = ππ/4d/4d22.. v = 8 m/seg.v = 8 m/seg. Despejando a d:Despejando a d: d = d = √√4 A4 A ππ A = A = 0.3 m0.3 m33/seg/seg. = 0.0375 m. = 0.0375 m22.. 8 m/seg.8 m/seg. ________________________ d = d = √ √ 4 (4 (0.0375 m0.0375 m22.) .) = = 0.218 metros 0.218 metros.. 3.143.14

5.- Por una tubería fluyen 1800 litros de agua en un 5.- Por una tubería fluyen 1800 litros de agua en un minuto. Calcular a) el gasto. b) minuto. Calcular a) el gasto. b)

El flujo. La densidad del agua es de 1000 kg/mEl flujo. La densidad del agua es de 1000 kg/m33.. DatosDatos FórmulasFórmulas V = 1800 l = 1.8 mV = 1800 l = 1.8 m33.. a) G = V/t a) G = V/t t = 1 min = 60 seg.t = 1 min = 60 seg. B) F = G B) F = G ρρ ρρHH220 = 0 = 1000 kg/m1000 kg/m33. . Sustitución y resultados:Sustitución y resultados: G = G = 1.8 m1.8 m33./ 60 seg. = ./ 60 seg. = 0.03 m0.03 m33/seg/seg.. F = F = 0.03 m0.03 m33/seg x 1000 kg/m/seg x 1000 kg/m33. = . = 30 kg/seg30 kg/seg..

6.- Por una tubería de 3.81 cm de diámetro circula agua 6.- Por una tubería de 3.81 cm de diámetro circula agua a una velocidad de 3 m/seg. En una parte de la tubería a una velocidad de 3 m/seg. En una parte de la tubería hay un estrechamiento y el diámetro es de 2.54 cm, hay un estrechamiento y el diámetro es de 2.54 cm, ¿qué velocidad llevará el agua en ese punto?.¿qué velocidad llevará el agua en ese punto?.

DatosDatos FórmulasFórmulas d1= 3.81 cm = 0.0381 m.d1= 3.81 cm = 0.0381 m. G1 = G2.G1 = G2. v = 3 m/segv = 3 m/seg o bien A o bien A11vv11 = A = A22 v v22

d2 = 2.54 cm = 0.0254 m. vd2 = 2.54 cm = 0.0254 m. v2 = 2 = A A11vv11

AA22

v2 = ?v2 = ? A = A = ππ/4d/4d22..

Sustitución y resultados:Sustitución y resultados:

v2 = v2 = ππ/4 d/4 d1122 v1 v1 = = dd11

22 v1 v1 ππ/4 d/4 d22

22 d d2222

v2 = v2 = (0.0381 m)(0.0381 m)22 x 3 m/seg x 3 m/seg = = 6.74 m/seg6.74 m/seg.. (0.0254 m)(0.0254 m)22..