Hidrodinamikai Problémák -...
Transcript of Hidrodinamikai Problémák -...
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
Hidrodinamikai Problémák
BSc Szakdolgozat
Gilányi Gergely TamásMatematika BSc
Alkalmazott matematikus szakirány
Témavezet®:
Sigray István
M¶szaki Gazdasági Tanár
ELTE Analízis Tanszék
Budapest, 2012
.
Tartalomjegyzék
Bevezet® 5
1. Stacionárius Áramlások 6
1.1. Ideális folyadékok áramlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Cirkuláció és a �uxus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Áramvonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Nyomás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Felhajtóer® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6. Hasonló áramlások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Instacionárius áramlások 18
2.1. Kontinuitási Tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. A jellemz®k lokális és konvektív megváltozása . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Euler-Egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1. Gyorsulás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2. Euler-Egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Bernoulli-Egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Az Aramvonal program 24
3.1. A feladat de�niálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. Elemzés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3. Input paraméterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Implementáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5. Absztrakt Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6. Tesztelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
III
Köszönetnyilvánítás
Szeretnék köszönetet mondani témavezet®mnek Sigray Istvánnak, aki érdekes ötlete-
ivel, szakmai tanácsaival, és kérdéseimre adott kielégít® válaszaival el®segítette ennek a
dolgozatnak a létrejöttét. Szeretnék még köszönetet mondani évfolyamtársaimnak a sok
ötletért, jegyzetért, és az egész éves bíztatásért. Emellett szeretnék köszönetet mondani
Brian Coxnak, aki érdekes el®adásaival felkeltette az érdekl®désemet a Fizika több érdekes
ágazata iránt.
IV
Bevezet®
A szakdolgozatomban hidrodinamikai feladatokkal, kérdésekkel, és problémákkal fo-
gok foglalkozni. A hidrodinamika egy alapvet® fontosságú ága a �zikának, mivel ez a
tudományág hozzásegít minket ahhoz, hogy megértsük a természet számos érdekes jelen-
ségét. A hidrodinamika érdemben kapcsolja össze az eddig tanult �zikai jelenségeket a
matematikai ismereteinkkel. Felmerülhet a kérdés az olvasóban, hogy mivel is foglalkozik
maga a hidrodinamika? Legegyszer¶bben úgy lehetne megfogalmazni, hogy a folyadékok
mozgásának és egyéb tulajdonságainak a leírásával foglalkozik. Ha picit b®vebben szeret-
nénk a kérdésre a választ megfogalmazni, akkor mindenképp meg kell még említenünk
azt, hogy a folyadékáramlások modellezése mellett a levezetett tételeknek, törvények-
nek a gyakorlati felhasználásával is foglalkozik a hidrodinamika. Jogos kérdése lehet az
olvasónak, hogy milyen gyakorlati felhasználásai lehetnek a hidrodinamikának? Milyen
való életbeli haszna lehet ennek az érdekes tudományágnak? Az egyik legismertebb fel-
használása ennek (amir®l szerintem már mindenki hallott) az a repülés. Emellett számos
felhasználása van még például az orvostudományban (véráramlási modellek megalkotásá-
ban), a gyógyszerészetben folyadékkromatográf készülékek m¶ködése is elengedhetetlen
lenne a hidrodinamika nélkül, és persze nem lehet elfeledkezni a mérnöki felhasználható-
ságáról sem.
A dolgozatomban két fajta áramlástani modellel fogunk megismerkedni
• A Stacionárius síkáramlási modell, ahol az áramlás tényez®i nem függnek az id®t®l,
és az áramlás síkban történik
• Az Instacionárius térbeli áramlási modellel, ahol az áramlás tényez®i függnek az
id®t®l, emellett az áramlás a térben megy végbe.
Miután megismerkedtünk ezzel a két modellel a harmadik fejezetben a Stacionárius
áramlások egy nagyon fontos tulajdonságának (az áramvonalnak) gra�kus ábrázolására
készített programommal (és annak dokumentációjával) fognak megismerkedni.
5
1. fejezet
Stacionárius Áramlások
Ebben a fejezetben stacionárius síkáramlásokról fogunk levezetni állításokat, �zikai
tulajdonságokat, érdekes jelenségeket. Felmerül az emberben a kérdés, hogy mit is jelent
az, hogy egy áramlás sikáramlás, vagy hogy egy áramlás stacionárius? Erre a két kérdésre
az alábbi két de�níció egyszer¶ választ tud adni:
1.0.1. De�níció. Egy áramlás síkáramlás, ha létezik az áramláshoz egy olyan sík, amire
a mer®leges sebességkomponens értéke 0, és ezzel a síkkal párhuzamos síkokban az áramlás
képe azonos.
Azaz vz = 0 és ∂vx∂z
= ∂vy∂z
= 0.
Stacionárius áramlásban a jellemz®k nem függenek az id®t®l, így a sebességterét a v =
v(r) alakú vektortér írja le, azaz a sebességvektorok az áramlási tér minden egyes (x0, y0)
pontjában adott koordináta-rendszerb®l nézve id®ben nem változnak. Formálisan:
Legyen D ⊂ R2 egy tartomány.
1.0.2. De�níció. Egy áramlás Stacionárius, ha minden (x, y) ∈ D pont sebességvektora
független az id®ponttól. Ekkor létezik (u(x, y), v(x, y)) : D → R2 vektortér, amely minden
ponthoz a sebességvektort rendeli hozzá.
6
Ideális folyadékok áramlása Stacionárius Áramlások
1.1. Ideális folyadékok áramlása
Jelent®s különbség van a cseppfolyós és légnem¶ közegek között viszont, ha áram-
lástani feladatok megoldása szempontjából tekintjük ezeket a közegeket, akkor jelent®s
hasonlóságot tapasztalunk. Ezért vezettük be a folyadék gy¶jt®fogalmat, amely segít
nekünk különböz® halmazállapotú folyadékokra egyaránt érvényes áramlástani összefüg-
gések meghatározásában. A valóságos folyadékok áramlásának modellezésére bevezetjük
az ideális folyadék fogalmát, amelynek legfontosabb tulajdonságai a következ®k:
1. homogén
2. Súrlódásmentes
3. Összenyomhatatlan
1.1.1. De�níció. Egy áramlás ideális, ha stacionárius, örvénymentes, forrás-nyel® men-
tes.
1.1.2. De�níció. Egy áramlás forrás-nyel® mentes, ha tetsz®leges görbék által határolt
résztartományán az egységnyi id® alatt be és ki áramló folyadék egyenlege 0.
Legyen (x0, y0) ∈ D és h > 0 olyan, melyekre [x0 − h, x0 + h] × [y0 − h, y0 + h] ⊂ D.
Tegyük fel, hogy u, v ∈ C1(D) és, hogy h→ 0+ 0 és a folyadékáramlás iránya az pozitív.
Ekkor a négyzet függ®leges oldalain kiáramló folyadék mennyisége:
h∫−h
u(x0 + h, y0 + t)dt−h∫
−h
u(x0− h, y0 + t)dt =
h∫−h
u(x0 + h, y0 + t)− u(x0− h, y0 + t)dt =
= 2h(u(x0 + h, y0 + t1)− u(x0 − h, y0 + t1)) = 4h2∂u
∂x(x0 + t2, y0 + t1),
t1, t2 ∈ (−h, h).
A négyzet vízszintes oldalain kiáramló folyadék mennyisége:
h∫−h
v(x0 + t, y0 + h)dt−h∫
−h
v(x0 + t, y0− h)dt =h∫
−h
v(x0 + t, y0 + h)− v(x0 + t, y0− h)dt =
= 2h(v(x0 + t3, y0 + h)− v(x0 + t3, y0 − h)) = 4h2∂v
∂y(x0 + t3, y0 + t4),
7
Ideális folyadékok áramlása Stacionárius Áramlások
t3, t4 ∈ (−h, h).
1.1.1. Megjegyzés. Az egyenl®ségnél felhasználtuk a Lagrange-féle középérték tételt.
Mivel az egységnyi id® alatt be és ki áramló folyadék egyenlege nulla, ezért a következ®
összefüggés igaz:
0 = 4h2(∂u
∂x(x0 + t2, y0 + t1) +
∂v
∂y(x0 + t3, y0 + t4)
).
Ami ekvivalens azzal, hogy
∂u
∂x(x0 + t2, y0 + t1) = −
∂v
∂y(x0 + t3, y0 + t4),
ekkor, ha h→ 0 + 0 akkor:
∂u
∂x(x0, y0) = −
∂v
∂y(x0, y0).
Ami az els® Cauchy-Riemann egyenletre emlékeztet minket.
1.1.3. De�níció. Egy áramlás örvénymentes, ha a görbék által határolt résztartományain
az összcirkuláció 0.
A cirkuláció mértéke a vízszintes oldalakon a következ®:
h∫−h
−u(x0+t, y0+h)dt+h∫
−h
u(x0+t, y0−h)dt =h∫
−h
−u(x0+t, y0+h)+u(x0+t, y0−h)dt =
= 2h(−u(x0 + t3, y0 + h) + u(x0 + t3, y0 − h)) = −4h2∂u
∂y(x0 + t1, y0 + t2)
t1, t2 ∈ (−h, h).
A cirkuláció mértéke a függ®leges oldalakon a következ®:
h∫−h
v(x0 + h, y0 + t)dt−h∫
−h
v(x0− h, y0 + t)dt =
h∫−h
v(x0 + h, y0 + t)− v(x0− h, y0 + t)dt =
= 2h(v(x0 + h, y0 + t3)− v(x0 + h, y0 + t3)) = 4h2∂v
∂x(x0 + t4, y0 + t3),
t3, t4 ∈ (−h, h).
8
Cirkuláció és a �uxus Stacionárius Áramlások
Az összcirkuláció 0, akkor:
0 = 4h2(−∂u∂y
(x0 + t1, y0 + t2) +∂v
∂x(x0 + t4, y0 + t3)
),
ami akkor és csak akkor igaz, ha
∂u
∂y(x0 + t1, y0 + t2) =
∂v
∂x(x0 + t4, y0 + t3),
h→ 0 + 0 esetén∂u
∂y(x0, y0) =
∂v
∂x(x0, y0).
Ez pedig a második Cauchy-Riemann egyenletetre emlékeztet minket.
Precízen legyen
f(z) := f(x+ iy) = u(x, y)− i · v(x, y).
1.1.1. Következmény. Erre az f -re teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek.
1.1.1. Állítás. Legyen D ⊂ R2 ∼= C tartomány. Legyen D egy ideális folyadékáramlás,
amelyet az (u(x, y), v(x, y)) vektormez® ír le. Ekkor f(z) holomorf (reguláris) D-n.
1.2. Cirkuláció és a �uxus
Legyen D ⊂ C egy tartomány, legyen D-n egy olyan ideális áramlás, amelyet f(x +
iy) = u(x, y)− iv(x, y)) ír le.
1.2.1. De�níció. Legyen γ : [a, b] → D rekti�kálható görbe. Egy áramlás �uxusa(γ-n)
alatt azt értjük, hogy egységnyi id® alatt mennyi folyadék áramlik γ egyik bal partjáról a
jobb partjára.
Legyen dz egy in�nitezimális (parányi) íve γ-nak, ekkor −i · dz egy ugyanilyen hosszú,
de rá mer®leges vektor. Ekkor a szakaszon áthaladó �uxus −idz és f(z) skaláris szorzata,azaz
(f,−idz) = (u− iv, dy − idx) = u · dy − v · dx = u · dy − v · dx = =fdz.
A teljes �uxus tehát a γ-n megegyezik∫γ
u · dy − v · dx = =∫γ
f(z)dz.
9
Cirkuláció és a �uxus Stacionárius Áramlások
1.2.2. De�níció. A cikuláció alatt �zikailag azt értjük, hogy γ-t az áramlás mennyire
szeretné negatív irányba forgatni.
A �uxushoz hasonlóan levezethet® a γ in�nitezimális ívének a cirkulációja is:
(f, dz) = (u− iv, dx+ idy) = u · dx+ v · dy = <fdz.
Innen a teljes γ menti cirkulációt a következ® integrál adja meg∫γ
u · dx+ v · dy = <∫γ
f(z)dz.
1.2.1. Állítás. Ha f holomorf D tartományon, akkor u(x, y) = <f(x+ iy) és v(x, y) =
−=f(x+ iy) módon de�niált vektormez®höz ideális folyadékáramlás tartozik.
Bizonyítás: A Cauchy-alaptétel szerint, ha f holomorf egy γ zárt görbe belsejében és
γ-n, akkor ∫γ
f(z)dz = 0.
Forrás-nyel® mentesség miatt intγ-ban mindig ugyanannyi folyadéknak kell lennie, tehát
a �uxusnak egyenl®nek kell lennie a 0-val.
=∫γ
f(z)dz = 0.
Az örvénymentesség miatt a cirkulációnak γ mentén nullának kell lennie, ami ugyan csak
következik a Cauchy-alaptételb®l, mivel
<∫γ
f(z) = 0.
�
10
Áramvonal Stacionárius Áramlások
1.3. Áramvonal
1.3.1. De�níció. Legyen D ⊂ C tartomány, (u, v) olyan vektormez®, amelyik az ideális
áramláshoz tartozik. Azt mondjuk, hogy γ : [a, b]→ D görbe áramvonal, ha γ sima és
γ′(t) = (u(γ(t)), v(γ(t))).
Az áramvonal olyan sima görbe, amelynek bármilyen kis darabján a �uxus 0. Legyenγ∗
γ-nak egy kis darabja (γ∗ : [a, b]→ D), akkor a �uxus a γ∗ mentén
=∫γ∗
f(z)dz = =(F (γ∗(b))− F (γ∗(a))),
ha f -ek F primitív függvénye γ∗ egy környezetében.
F létezik, ha γ∗-nak elég kicsi az átmér®je. Ekkor az áramvonal egyenlete:
=F (z) = const.
1.4. Nyomás
Legyen D ⊂ C tartomány, ekkor minden z0 ∈ D-beli folyadékrészecskére nyomás hat,
melynek iránya mer®leges az objektum síkjára.(jele p(z))
z0 = x0 + i · y0 = (x0, y0) és h > 0 olyan, melyekre [x0 − h, x0 + h]× [y0 − h, y0 + h] ⊂ D.
Ekkor a négyzetre ható er®t a következ® egyenletek írják le:
A bal függ®leges oldalra ható er®:
h∫−h
p(x0 − h, y0 + t)dt.
A jobb függ®leges oldalra ható er®
−h∫
−h
p(x0 + h, y0 + t)dt.
A kett® összege:h∫
−h
p(x0 − h, y0 + t)− p(x0 + h, y0 + t)dt =
= 2h · (p(x0 − h, y0 + t1)− p(x0 + h, y0 + t1)) = 4h2 · (−∂p∂x
(x0 + t2, y0 + t1)),
11
Nyomás Stacionárius Áramlások
t1, t2 ∈ (−h, h).
A alsó vízszintes oldalra ható er®:
h∫−h
p(x0 + t, y0 − h)dt.
A fels® vízszintes oldalra ható er®:
−h∫
−h
p(x0 + t, y0 + h)dt.
A kett® összege:h∫
−h
p(x0 + t, y0 − h)− p(x0 + t, y0 + h)dt =
= 2h · (p(x0 + t3, y0 − h)− p(x0 + t3, y0 + h)) = 4h2 · (−∂p∂y
(x0 + t3, y0 + t4)),
t4, t3 ∈ (−h, h).
Egy testre ható er® a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemz® �zikai mennyiség.
1.4.1. De�níció. Az er® vektormennyiség, amire igaz az F = ∂I∂t, ahol a ∂I
∂talatt az
impulzusváltozás gyorsaságát értjük.
A jelölések miket fel fogunk használni a következ®k:
• F : az er®
• m: a tömeg
• a: a gyorsulás
• ρ: a s¶r¶ség
• I: impulzus
• V : térfogat
12
Nyomás Stacionárius Áramlások
Newton második törvénye szerint, ha feltesszük, hogy a tömeg állandó, akkor az er®
képlete:
F =∂I
∂t=∂(m · v)∂t
= m · ∂v∂t
= m · a,
ahol a tömeg képlete logikusan:
m = ρ · V = ρ · 4h2.
Kis átrendezéssel az alábbi egyenletet nyerhet® a gyorsulásra:
a(x, y) =F
m=
1
ρ·(−∂p∂x
(x0 + t2, y0 + t1),−∂p
∂y(x0 + t3, y0 + t4)
).
Ha h→ 0, akkor t1, t2, t3, t4 → 0 Ekkor (x0, y0)-ban a gyorsulás
a(x0, y0) =1
ρ·(−∂p∂x
(x0, y0),−∂p
∂y(x0, y0)
).
Legyen γ(t) áramvonal, melyre γ(0) = (x0, y0)
Ekkor az áramvonal de�níciója szerint:
γ′(t) = (u(γ(t)), v(γ(t)))
γ′′(t) = (u′(γ(t)) · γ′(t), v′(γ(t)) · γ′(t))
γ(t) = (x(t), y(t))
x′(t) = u(x(t), y(t))
y′(t) = v(x(t), y(t))
γ′(t) = (u(x(t), y(t)), v(x(t), y(t)))
γ′′(0) : γ(0) = (x0, y0)-beli gyorsulás.
γ′′(t) =
(∂u
∂x(x(t), y(t)) · x′(t) + ∂u
∂y(x(t), y(t)) · y′(t), ∂v
∂x(x(t), y(t)) · x′(t)+
+∂v
∂y(x(t), y(t)) · y′(t)
)=
=
(u · ∂u
∂x(x(t), y(t)) + v · ∂u
∂y(x(t), y(t)), u · ∂v
∂x(x(t), y(t)) + v · ∂v
∂y(x(t), y(t))
).
A Cauchy Riemann egyenletek (∂u∂y
= ∂v∂x) miatt ez egyenl® a következ®vel:
γ′′(t) =
((u · ∂u
∂x+ v · ∂v
∂x
)(x(t), y(t),
(u · ∂u
∂y+ v · ∂v
∂y
)(x(t), y(t)
)=
13
Felhajtóer® Stacionárius Áramlások
=1
2·((
∂u2
∂x+∂v2
∂x
)(x(t), y(t),
(∂u2
∂y+∂v2
∂y
)(x(t), y(t)
)=
=1
2·(∂|f |2
∂x(x(t), y(t)),
∂|f |2
∂y(x(t), y(t))
).
Az egyenl®ség igaz, mivel (u2 + v2)(x(t), y(t)) = |f |2(x(t), y(t)). Ebb®l következik, hogyaz (x0, y0) pontbeli gyorsulás:
a(x0, y0) =1
2
(∂|f |2
∂x(x0, y0),
∂|f |2
∂y(x0, y0)
).
Ami egyenl® az Fm
segítségével kiszámolt egyenlettel.
1
2
(∂|f |2
∂x(x0, y0),
∂|f |2
∂y(x0, y0)
)=
1
ρ·(−∂p∂x
(x0, y0),−∂p
∂y(x0, y0)
).
Ebb®l átrendezéssel a következik, hogy
−ρ2· ∂|f |
2
∂x=∂p
∂x
. és
−ρ2· ∂|f |
2
∂y=∂p
∂y.
Amib®l egy integrálás után pont a Bernoulli törvényét kapjuk:
p(z) = −ρ2· |f |2(z) + c.
1.5. Felhajtóer®
A felhajtóer® áramló közegbe helyezett testre ható er®nek az a komponense, ami mer®-
leges az áramlás irányára. Azért nevezzük felhajtóer®nek, mert leveg®nél nehezebb testek
(például repül®gépek) felemelkedését és leveg®ben maradását a felhajtó er® tervszer¶ ki-
használásával érhetik el.
Legyen D ⊂ C tartomány, amiben egy ideális folyadékáramlás zajlik, melyre
• Létezik egy R > 0 {z : |z| > R} ⊂ D.
• Ehhez a D-hez f : D → C tartozik.
• limz→∞ f(z) létezik és véges.
14
Felhajtóer® Stacionárius Áramlások
Legyen γ : [a, b]→ D rekti�kálható, pozitív irányítású egyszer¶ zárt görbe, ami áramvo-
nal. Ekkor a felhajtó er®re igaz, hogy:
F = i ·∫γ
p(z)dz = i ·∫γ
−ρ2· |f |2(z)dz = −ρ · i
2·∫γ
|f |2(z)dz.
Mivel γ áramvonal, ezért paraméterezhetjük a γ′(t) = (u(γ(t)), v(γ(t))) = f(γ(t))
∫γ
|f |2(z)dz =b∫
a
|f |2(γ(t)) · γ′(t)dt =b∫
a
f(γ(t)) · f(γ(t)) · f(γ(t))dt =
b∫a
f(γ(t)) · f(γ(t)2dt =b∫
a
f(γ(t))2 · γ′(t)dt =∫γ
f(z)2dz.
Ebb®l következik, hogy
F =−ρ · i2·∫γ
f(z)2dz
∫γ
f(z)2dz =
∫|z|=R+ε
f(z)2dz.
Mivel f reguláris |z| > R-en ezért f Laurent-sorba fejthet® |z| > R-en.
f(z) =∞∑
i=−∞
an · zn.
g(z) = f(1
z) =
∞∑i=−∞
an · z−n.
limz→0 g(z) = limz→∞ f(z) létezik és véges, ekkor g-nek megszüntethet® szingularitása
van 0-ban, ami ekvivalens azzal, hogy ∀n ∈ N-re an = 0.
f(z) =0∑
i=−∞
an · zn.
f 2(z) =0∑
i=−∞
bn · zn.
Innen a b−1 = 2 · a0 · a1. A reziduum tétel szerint ekkor az integrál értéke:∫|z|=R+ε
f(z)2dz = 2 · π · b−1 = 4 · π · a0 · a−1.
15
Hasonló áramlások Stacionárius Áramlások
Ebb®l azonnal adódik az
F =−ρ · i2· 4πi · a0 · a−1 =
−ρ · i2· −4πi · a0 · a−1 = −ρ · i · a0 · 2πi · a−1.
Innen
2πi =
∫|z|=R+ε
f(z)dz =
∫γ
f(z)dz,
ami pont megegyezik (de�níció szerint) a cirkuláció és a �uxus összegével a γ áramvo-
nal mentén. Viszont a �uxus (=∫γ
f(z)dz) nulla, mivel γ áramvonal. Tehát 2πia−1 =
2πia−1 = cirkulációval. Emellett f(z) Laurent-sora miatt
a0 = limz→∞
f(z).
a0 = limz→∞ f(z) = limz→∞(u(z)− iv(z)) = sebességgel(∞-ben).
Ebb®l következik, hogy F = −iρ · sebesség · cirkuláció.
1.5.1. Következmény. γ-ra a sebességre mer®leges er® hat, ezt nevezzük felhajtóer®nek.
1.6. Hasonló áramlások
1.6.1. De�níció. Legyen D1, D2 ⊂ C tartomány, ϕ : D1 → D2 konform bijekció. Legyen
D2-n olyan áramlás, amelyet az f : D2 → C reguláris függvény ír le. Ekkor azt mondjuk,
hogy a D1-ben lev® áramlás hasonló a D2-belihez (ϕ szerint), ha ®t az f ◦ ϕ · ϕ′ írja le.
1.6.1. Tétel. Legyen z0, ω0 ∈ C, ϕ : B(z0, ε) → C konform és ϕ(z0) = ω0. Legyen
D1 = B(z0, ε), D2 = ϕ(B(z0, ε)). Tegyük fel, hogy D1-ben és D2-ben hasonló áramlás
zajlik, amelyet egy g : D1 → C és f : D2 → C reguláris függvények írnak le. Ekkor, ha
g-nek z0-ban k-adrend¶ pólusa van, akkor f -nek a ω0-ban szintén k-adrend¶ pólusa van.
Ezenkívül a k = res [g(z)]z=z0 = [f(ω)]ω=ω0is igaz.
Bizonyítás: Mivel hasonló áramlásról van szó, ezért g = f ◦ ϕ · ϕ′. Innen
Res [g(z)]z=z0 =1
2πi·∫
|z−z0|=ε
g(z)dz =1
2πi·∫
|z−z0|=ε
(f ◦ ϕ)(z) · ϕ′(z)dz =
=1
2πi·∫
|z−z0|=ε
f(ω)dω = Res [f(ω)]ω=ω0.
16
Hasonló áramlások Stacionárius Áramlások
Innen már csak azt kell bebizonyítanunk, hogy f pólusának a rendje ω0-ban k. Ehhez
felhasználjuk, hogy
k = − 1
2πi·∫
|z−z0|=δ
g′(z)
g(z)dz =
= − 1
2πi·∫
|z−z0|=δ
(f ′ ◦ ϕ(z)) · (ϕ′)2(z) + f ◦ ϕ(z) · ϕ′′(z)f ◦ ϕ(z) · ϕ′(z)
dz =
Innen az integrálösszeg második tagja hasonló módon zérus, mint az el®z® bizonyításnál,
tehát az integrál
= − 1
2πi·∫
|z−z0|=δ
(f ′ ◦ ϕ(z)) · ϕ′(z)f ◦ ϕ(z)
dz = − 1
2πi·
∫ϕ(|z−z0|=δ)
f ′(ω)
f(ω)dω = k.
Ami éppen azt jelenti, hogy f pólusának a rendje ω0-ban k. �
17
2. fejezet
Instacionárius áramlások
Ebben a fejezetben az instacionárius térbeli áramlások sajátosságaiba fogunk bepil-
lantást nyerni. Le fogunk vezetni érdekes �zikai jelenségeket (törvényeket), amik felhasz-
nálása nagyon sokat segít más tudományágak hatékony m¶ködésében például az orvostu-
dományban, a gyógyszerészeti kutatásokban és még sok hasonló számottev® tudomány-
ágban.
Mit is jelent az, hogy egy áramlás instacionárius? Erre a következ® de�níció nyújthat
nekünk kielégít® választ!
2.0.2. De�níció. Egy áramlás instacionárius(id®függ®), ha a jellemz®i, úgymint a se-
besség, a nyomás és a s¶r¶ség függ az id®t®l is.
Egy instacionárius (id®függ®) áramlás sebességterét az alábbi
v = v(r, t)
alakú vektortér írja le.
2.1. Kontinuitási Tétel
A kontinuitási tétel azt a �zikai alapelvet fejezi ki, miszerint a tömeg nem keletkezhet
és nem is t¶nhet el. Tekintsünk egy áramló közegben lév® rögzített zárt A felületet,
amelyen a folyadék átáramlik.
Els® lépésként írjuk fel mennyivel több folyadék áramlik ki, mint be ezen az A felületen:∫A
ρvdA.
18
A jellemz®k lokális és konvektív megváltozása Instacionárius áramlások
Emellett nyilvánvaló, hogy a többletkiáramlás csak a térfogatban lev® folyadékmennyiség
rovására, azaz a s¶r¶ség csökkenése mellett mehet végbe. Az A felület által határolt V
térfogatban lev® folyadék változását a következ® integrál adja meg:∫V
∂ρ
∂tdV.
Mivel a dA felületi normális kifelé mutat ezért, ha az els® integrál értéke pozitív(azaz fogy
a folyadékmennyiség a V térfogatból), akkor a második integrálnak negatívnak kell lennie
mégpedig úgy, hogy a két integrál összege zérus legyen. Ekkor a Gauss-Osztrogradszkij-
tétel segítségével alakítsuk át térfogati integrállá az els® integrált, és tegyük egyenl®vé a
második integrál ellentettjével:∫A
ρvdA =
∫V
div(ρv)dV = −∫V
∂ρ
∂tdV.
Ez a folytonossági tétel integrál alakja.
Kis átrendezés után (�gyelembe véve, hogy ugyanarra a V térfogatra végezzük el az
integrálást) a következ® igaz: ∫V
(∂ρ
∂t+ div(ρv)
)dV = 0.
Ez az integrál csak akkor lehet zérus minden V térfogat esetén, ha maga az integrandus
nulla. Ebb®l következik a folytonossági tétel di�erenciált alakja:
∂ρ
∂t+ div(ρv) = 0.
Ebb®l az egyenletb®l a második tag felbontható a szorzat deriválási szabálya szerint:
∂ρ
∂t+ v · grad(ρ) + ρ · div(v) = 0.
2.2. A jellemz®k lokális és konvektív megváltozása
Tekintsünk egy folyadékrészt az áramlásból. Legyen a folyadékrész áramlási sebessége
v. Jellemezze egy P pontban az áramlási sebességet a v vektor, és a s¶r¶ség hely szerinti
változását pedig grad(ρ) vektor.
A kérdés, hogy dt id® elteltével hogyan változik az áramló folyadékrész s¶r¶sége!
A dρ s¶r¶ségdi�erencia két okra vezethet® vissza:
19
Euler-Egyenlet Instacionárius áramlások
I Mivel a s¶r¶ség függ az id®t®l, ezért a s¶r¶ség a P pontban a s¶r¶ségváltozás dt id®
alatt dρl =∂ρ∂tdt.
II Az áramló folyadékrészecske az áramló közeggel együtt dt id® alatt ds = vdt utat
tesz meg (mivel v = dsdt), és egy olyan P1 pontba jut, ahol a s¶r¶ségváltozás pontosan
dρk = grad(ρ)ds = grad(ρ) · dt.
dρl-nek csak akkor van szerepe, ha instacionárius áramlásról van szó. Ez a s¶r¶ségváltozás
akkor is végbemenne, ha a közeg nem áramolna, mivel csak a nyomás id®beni változásáról
van szó. Ezért ezt a dpl-et a s¶r¶ség lokális megváltozásának nevezzük.
A dρk s¶r¶ség változás oka a térfogat elmozdulása, eláramlása egy olyan pontba, ahol a
s¶r¶ség eltér®, ezért a dρk-t a s¶r¶ség konvektív megváltozásának nevezzük.
Tehát a folyadékrész s¶r¶ségének dt id®tartam alatti teljes megváltozása:
dp = dρl + dρk = dρl =∂ρ
∂tdt+ grad(ρ) · vdt.
Ebb®l következik dt-vel osztás után a következ® egyenlet:
dρ
dt=∂dρ
∂dt+ v · grad(ρ).
Ebb®l következik tehát, hogy a kontinuitási tétel els® két tagja megegyezik dpdt-vel, ami a
folyadékrész s¶r¶ségének az id® szerinti teljes megváltozását fejezi ki.
2.3. Euler-Egyenlet
2.3.1. Gyorsulás
Egy folyadékrész gyorsulása felírható az el®z® fejezethez hasonlóan. Egy (vx, vy, vz)
skalártérrel leírható jellemz® dt id®re való megváltozását leírhatjuk a lokális és konvektív
megváltozás összegének segítségével:
dv
dt=∂dv
∂dt+ v · grad(v) = ∂dv
∂dt+Dv,
ahol D a derivált tenzort jelenti.
Ezen meggondolás alapján a folyadékrész gyorsulása két részb®l áll:
I a ∂dv∂dt
lokális gyorsulásból.
II a Dv konvektív gyorsulásból.
20
Euler-Egyenlet Instacionárius áramlások
A lokális gyorsulás akkor nem zérus, ha az áramlás instacionárius, azaz a sebességtér függ
a t id®t®l is. A konvektív gyorsulás akkor létezik, ha a folyadéktér sebességének nagysága
és az iránya az áramlás irányában változik.
Bontsuk fel a D derivált tenzort:
D = D′ + (D −D′).
Ebb®l a konvektív gyorsulás a következ®:
ak = Dv = D′v + (Dv −D′v).
Innen D′v pontosan
D′v = grad(v2
2).
Emellett (D −D′)v:
(D −D′)v = rot(v)× v = −v × rot(v).
Innen ha behelyettesítünk a folyadékrész gyorsulása:
a =dv
dt=∂v
∂t+ grad(
v2
2)− v × rot(v).
2.3.2. Euler-Egyenlet
A folyadékrészecskék mozgására (mint egyik el®z® fejezetben megállapítottuk) er® hat.
A folyadékrészecskékre általában két fajta er® hat, a súlyer® és a folyadékrész felületén
ható er®. Ha a közeg súrlódásmentes, akkor a felületre csak a mer®leges nyomásból szár-
mazó er® hat.
Vegyünk egy dA alapterület¶ |ds| hosszúságú csövet, amelynek tengelye párhuzamos a
grad(p) vektorral. Legyen az alapon lev® nyomás p a cs® végén lev® nyomás p+dp. Ekkor
a cs®re ható nyomásból származó er®t a következ® egyenlet írja le:
dFp = −dA · dp ·ds
|ds|.
Ez ellentétes f a ds "tengely" vektorral.
Mivel grad(p) és ds azonos irányú, és emellett dp = grad(p) ·ds ezért dp = |grad(p)| · |ds|.Innen ρ s¶r¶séggel való szorzás és osztás után:
dFp = −1
ρ· |grad(p)| · |ds| · ρ · dA ds
|ds|.
21
Euler-Egyenlet Instacionárius áramlások
Miután p · |ds| · dA = dm és |grad(p)| · ds|ds| = grad(p) Ezért, ha mindkét oldalt leosztjuk
dm-el, akkor pontosan az egységnyi tömegre ható nyomóer®t kapjuk meg:
dFpdm
= −1
ρ· grad(p).
Az egységnyi tömegre ható er®t az er®tér g vektorral fejezhetjük ki.
dFgdm
= g.
Innen következik Newton második törvénye szerint, hogy:
dv
dt= g − 1
ρ· grad(p).
Ezt az összefüggést nevezzük Euler-egyenletnek.(természetesen a súrlódási er® elhanya-
golása mellett)
2.3.1. Megjegyzés. A hidrosztatika alapegyenletét az Euler-egyenletb®l kapjuk úgy, hogy
mivel a hidrosztatikai feladatoknál a folyadékunk az nem gyorsul, így az Euler egyenlet bal
oldala zérus. A hidrostatikai feladatoknál az Euler-egyenlet még a valóságos(súrlódásos)
folyadékok esetén is pontos értéket ad, mivel hirdosztatika a folyadékok nyugvó állapotát
feltételezi, így nem léphetnek fel csúsztató feszültségek.
A hidrosztatika alapegyenlete a következ® (kis átrendezés után):
grad(p) = g · ρ.
Ha az el®z® fejezetben levezetett egyenletet felhasználjuk, akkor az Euler egyenlet egy
vektoriális alakját kapjuk
∂v
∂t+ grad
(v2
2
)− v × rot(v) = g − 1
ρ· grad(p).
Ha feltesszük, hogy a s¶r¶ség a nyomás függvénye akkor ρ = ρ(p). Mivel grad(p) a nyomás
hely szerinti változását jelenti(p és p0 között), ezért a láncszabály alkalmazásával:
− 1
ρ(p)· grad(p) = −grad ·
p∫p0
dp
ρ(p)dp.
22
Bernoulli-Egyenlet Instacionárius áramlások
2.4. Bernoulli-Egyenlet
El®z® fejezetben levezettük az Euler-egyenletet, ami kapcsolatot teremt a folyadék-
gyorsulás és a folyadékrészecskékre ható er® között. Gyakorlatban az Euler-egyenlet meg-
oldásának egy igen hatékony módja a
∂v
∂t+ grad
(v2
2
)− v × rot(v) = g − 1
ρ· grad(p)
egyenlet tagjainak az áramlási tér két pontját összeköt® vonal menti integrálása. Ez az
alábbi módon néz ki:
b∫a
∂v
∂tds+
b∫a
grad
(v2
2
)ds−
b∫a
v × rot(v) =b∫
a
gds−b∫
a
1
ρ· grad(p)ds.
Ezt az egyenletet nevezik az általános Bernoulli-egyenletnek. Vizsgáljuk meg, hogy milyen
feltételek teljesülése esetén hozható az egyenlet egyszer¶bb alakra!
• ha az áramlás stacionárius, akkor az integrálás els® tagja 0, mivel ∂v∂t
= 0.
• a második integrál egyszer¶en hozható kellemesebb alakra a gradiens de�níciója
szerint:b∫
a
grad
(v2
2
)ds =
v2(b)− v2(a)2
.
• a harmadik integrál kiszámolása nehézséget okozhatna nekünk, ezért ha Bernoulli
egyenlettel szeretnénk számolni általában törekszünk a zérussá tételére ami a kö-
vetkez® esetekben következik be:
� ha v = 0.
� ha rot(v) = 0 azaz az áramlás örvénymentes.
� ha áramvonalon integrálunk.
• ha ρ állandó, akkor −p(b)−p(a)ρ
. Ha a s¶r¶ség függ a nyomástól is, akkor az utolsó
integrál meg az el®z® fejezet végén található összefüggés szerint átírható
p∫p0
dp
ρ(p)dp
alakra.
23
3. fejezet
Az Aramvonal program
Ebben a fejezetben egy általam készített programról fogok írni. Ezt a programot
a Matlab programozási nyelvben írtam. A Matlab a The MathWorks által kifejlesztett
programrendszer, ami els®sorban numerikus számolásokra, függvények ábrázolására lett
kifejlesztve.
3.1. A feladat de�niálása
Az Aramvonal program célja egy függvény áramvonalának a lehet® legvalóságh¶bb áb-
rázolása beleértve, hogy az áramvonalunk folytonos legyen és a program által kiszámolt
és ábrázolt pontok relative (elhanyagolható különbséggel) a valóságos helyükön legyenek.
Ehhez a program felhasznál egy Fuggveny nevezet¶ segédprogramot, amibe a felhasz-
nálónak megkell adnia egy f függvényt, aminek az áramvonalát ki szeretné rajzoltatni,
emellett meg kell adnia a felhasználónak ennek a függvénynek a primitív függvényét, és
az =F (z) deriváltját.Az áramvonal egyenlete a következ®:
=F (z) = c.
F (z) az f(z) függvény primitív függvénye, a c az egy konstans érték.
Az F (z) = d+ c · i egyenlet megoldására Newton-módszert használ a program. Megoldás-
nak tekintünk olyan z-t, melyre |=F (z)− c| < 0.2.
24
Elemzés Az Aramvonal program
3.2. Elemzés
• A program során lehet®ségünk van megadni egy téglalap tartományt egy 2 × 2 es
mátrix segítségével, egy c konstans értéket, és egy h random tömb hosszt.
• A téglalap tartományból véletlenszer¶ komplex számokat generálunk (h darabot),
ezeket oszlopvektor adatszerkezetben tároljuk a további felhasználás érdekében.
• Egy ciklus segítségével az alprogramot többször is alkalmazva megkonstruálunk egy
S oszlopvektort, amibe az alprogram által kiszámolt jó pontok kerülnek.
• A meglév® pontok segítségével konstruálunk még az implicit egyenletet kielégít®
pontokat iteráció segítségével. Ezeket a pontokat hozzávesszük a meglév® S oszlop-
vektorunkhoz.
• A végs® S komplex oszlopvektorunkat a tagok valós részük és képzetes részük se-
gítsévével kirajzoljuk.
3.3. Input paraméterek
A program futtatásához az alábbi bemen® adatokra van szükségünk az Aramvonal
programhoz:
• C - 2× 2-es mátrix, aminek elemei a téglalaptartomány csúcspontjait jelentik.
• c - valós szám, ami az implicit egyenletben lev® c konstans értéke.
• h - a véletlen komplex oszlopvektorunk hossza.
További bemen® adatokra van szükségünk az alprogramhoz, amit a sablon alprogram
megfelel® részeinek az átírásával adhatunk meg.
• Az F (z) helyére a f(z) függvény(keresett függvény áramvonalának) a primitív függ-
vényét kell beírni.
• Az (=F (z))′ helyére az F (z) primitív függvényünk képzetes részének a deriváltját
kell beírni.
25
Implementáció Az Aramvonal program
3.4. Implementáció
A f®program feladata:
• Az input paraméterek ellen®rzése.
• Véletlenszer¶ h hosszú oszlopvektor generálása az input tartományból.
• A téglalaptartomány hosszabb oldalának a meghatározása.
• Iterációs lépés amelyben meghívjuk a fuggveny.m alprogramot.
• Egy másik iterációs lépés amiben a meglev® pontokhoz jó pontokat adunk hozzá.
• Az áramvonal kirajzolása beépített plot alprogram segítségével.
• Outputként a talált pontok kiírása.
Az alprogram feladata:
• Megvizsgálni, hogy a random komplex tömb elemei kielégítik-e az adott komplex
egyenletet.
• Ha nem elégítik ki, akkor Newton-módszer alkalmazásával =F (z) − c = 0 gyökeit
keressük meg.
• Ellen®rz® lépés: ha megfelel® a talált gyök, akkor elmentjük egy sorvektorban.
26
Absztrakt Program Az Aramvonal program
3.5. Absztrakt Program�� � aramvonal(C, c, h)
S, L, J := empty
k := random(h, 1), l := random(h, 1)
K = k + i · lt := max(|C(1, 1)|+ |C(1, 2)|, |C(2, 1)|+ |C(2, 2)|)
S := fuggveny(K, c, t)
[m,n] := Size(S)
j=1 to 10000
AAn < 5000
��
k := random(h, 1), l := random(h, 1)
K = k + i ∗ lS = [S, fuggveny(K, c, t)]
SKIP
[m,n] = size(S)
J := S
h:=1 to 200
i:=1 to n
L(i) := J(i) + J(i)/|J(i)|S := [S, L]
J := L
plot(<(S),=(S))return(S)
27
Absztrakt Program Az Aramvonal program
�� � fuggveny(K, c, t)
[m,n] = size(K), S := empty
i:=1 to m
AA=F (K(i)) = c
��
S = [S,K(i)]
zj = K(i)
AA|(=F (K(i)))′| > 0.2
��
j:=1 to 15
AA|(=F (K(i)))′| > 0.2 and |zj| < 2 · t
��
zj = zj + i ∗ ((c−=F (zj))/(=F (K(i)))′ SKIP
AA|F (zj)− c| < 0.2
��
S = [S, zj] SKIP
SKIP
Return(S)
28
Tesztelés Az Aramvonal program
3.6. Tesztelés
• Üres inputra.
• Bet¶ inputra.
• Nem megfelel® dimenziójú téglalap inputra.
• Többdimenziós h, vagy c inputra.
Hibás inputon a program hibaüzenetet ír ki jelezve, hogy melyik inputtal voltak problé-
mák.
A programot teszteltem az f(z) = z függvényre az alábbi inputtal:
• C=[-5,5;-5,5].
• c=4.
• h=1000.
Ezekre a bemen® paraméterekre a következ® áramvonalat rajzolta ki a program:
3.1. ábra. f(z) = z függvény áramvonala
29
Tesztelés Az Aramvonal program
A programot emellett teszteltem az f(z) = −1z2
függvényre is az alábbi inputtal:
• C=[-5,5;-5,5].
• c=4.
• h=1000.
Itt a következ® áramvonalat rajzolta ki a program:
3.2. ábra. f(z) = −1z2
függvény áramvonala
30
Irodalomjegyzék
[1] Halász Gábor, Kis Hidrodinamika
[2] Lajos Tamás, Az Áramlástan Alapjai
[3] Sigray István, Komplex függvénytan el®adás jegyzet
[4] Dr. Író Béla, H®- és Áramlástan
[5] Wikipédia, www.wikipedia.org/wiki/Fluid_mechanics
[6] L.M. Milne Thomson, Theorical Aerodinamics
31