Hidrodinâmica e Hidrostática

INTRODUÇÃO

Fala pessoal! Diferentemente do curso de Física I onde vocês aprenderam as propriedades dos corpos

rígidos, em Física II, iremos estudar algo um pouco diferente, os fluidos. Matéria que cai com certeza na

P1 em pelo menos três questões. Na física II vamos começar a utilizar ferramentas matemáticas como

derivadas e integrais, que não eram tão cobradas em Física I, então se não tá 100% seguro, dar uma

revisada bem de boa para se garantir bem aqui.

1 FLUÍDOS

“Fluido é o que possui, graças a sua facilidade de deformação, a capacidade de

escoar, ou fluir. São exemplos de fluidos os líquidos e os gases”

Estudar os fluidos é entender suas características e também como se comportam sob a ação de forças

volumétricas, ou seja, forças que atuam sobre todo volume do fluido (também chamadas de forças

externas).

Em comparação com o estudo dos sólidos, encontramos uma, importantíssima, diferença: as forças

internas que uma camada de fluido exerce sobre as adjacentes, NÃO DEVEM SER DESCONSIDERADAS,

essas forças internas são chamadas forças de superfície, como veremos mais à frente.

Existem dois grandes tipos de força exercidas em um fluido (todas as forças externas e internas podem

ser decompostas nessas duas), são elas:

Forças tangenciais (forças de cisalhamento), que são aplicadas à 90° da direção da normal.

Forças normais (forças de compressão), que são aplicadas na direção da normal.

Figura 1.1.0(Cisalhamento causado pelo peso) Figura 1.1.1 (Compressão causada pelo peso)

Por fim definiremos algo de que falaremos muito aqui, um elemento de fluido. Imagine um elemento de

fluido como um minúsculo pedaço (geralmente representado como um cubo) de fluido da ordem de

grandeza de 𝟏𝟎−𝟑 cm de comprimento. Considerando o fluido composto de uma infinidade desses

elementos, podemos considerar o fluido como um meio contínuo, ou seja, suas propriedades variam de

forma contínua no entorno de cada ponto do fluido.

1.1 DENSIDADE

A densidade de um fluido, representado pela letra grega “𝜌”, é “a quantidade de massa que existe em

dado volume”, e pode, calculada por um limite, observe,

𝜌 = lim∆𝑉→0

∆𝑚∆𝑉⁄ = 𝑑𝑚

𝑑𝑉⁄ .

𝜌 = 𝑑𝑚𝑑𝑉⁄

Para corpos homogêneos (quase todos que vamos trabalhar em Física II), podemos usar simplesmente:

𝜌 =𝑚

𝑉

1.2 PRESSÃO

Imagine uma força qualquer sendo exercida em um elemento de fluido, como na imagem abaixo: Figura 1.2.0

Considere a figura 1.2.0 um cubo cheio de água com uma força �⃗� sendo aplicada em sua tampa amarela.

Um aluno, atento, percebe que essa força gera dois comportamentos no elemento de fluido.

Parte dela é responsável pelo cisalhamento (força que faria a tampa deslizar sobre o fluido interno):

𝐹𝑡 = |𝐹|sin (𝜃)

A outra parte é a responsável pela compressão:

𝐹𝑛 = −|𝐹| cos(𝜃)

Por fim, a pressão (𝑝) se relaciona com 𝐹𝑛 e com a área onde a força está sendo aplicada (∆𝑆) da seguinte

forma:

𝑝 = − lim∆𝑆→0

(∆𝐹𝑛

∆𝑆⁄ ) → 𝑝 = −𝑑𝐹𝑛

𝑑𝑠⁄

Por definição

Ob𝑠1: a pressão, por definição, é positiva. Por isso existe o sinal negativo antes da derivada, uma vez que

𝐹𝑛 era negativa, pelo referencial escolhido (eixo y).

Ob𝑠1: O resultado encontrado leva o aluno a pensar que, em todos os casos, a pressão dependerá de uma

direção determinada pela normal da superfície. Veremos mais a frente que nos casos mais estudados,

fluidos em equilíbrio, essa direção não importa.

Na real, chamamos de pressão o elemento que nos diz “o quanto de força existe sobre dada área”, e na

maioria absoluta das vezes, não utilizaremos essas diferenciais para determinar, mas sim, apenas:

𝑝 =𝐹𝑛

Á𝑟𝑒𝑎

1.3 CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO

Para que o fluido permaneça em equilíbrio, é necessário, como já vimos em muitos casos, que o somatório

de forças no corpo seja nulo.

∑ �⃗� = 0 → Fluido em equilíbrio

1.4 PRESSÃO EM UM FLUIDO EM EQUILÍBRIO

Este tópico será utilizado para provar que, independente da direção, a pressão de um fluido em equilíbrio

a uma altura determinada é sempre a mesma. Imagine um elemento de fluído, em forma de tronco de

cilindro, onde a superfície cortada possua um ponto (Q) em comum com a base desse cilindro, observe a

imagem:

Podemos escrever a força realizada sobre a superfície 𝑆1 da forma:

−𝐹1𝑧 = 𝑝1 ∗ 𝑑𝑆1

A força realizada sobre a superfície 𝑆2 como,

𝑭𝟐𝒛 = 𝑝2 ∗ 𝑑𝑆2 ∗ cos(𝜃) = 𝒑𝟐 ∗ 𝒅𝑺𝟏

𝒑𝟏 = pressão realizada no ponto Q, calculada por 𝑺𝟏;

𝒑𝟐 = pressão realizada no ponto Q, calculada por 𝑺𝟐.

Aplicando, agora, a condição de equilíbrio:

−𝐹1𝑧 + 𝐹2𝑧 = 0; → 𝐹2𝑧 = 𝐹1𝑧

𝑝1 ∗ 𝑑𝑆1 = 𝑝2 ∗ 𝑑𝑆1

𝑝1 = 𝑝2

“Isso nos diz que independentemente da posição de um objeto (se ele ta deitado,

em pé, na diagonal, mas num mesmo ponto), a pressão exercida sobre ele será

sempre a mesma.”

1.5 EQUILÍBRIO EM UM CAMPO DE FORÇAS

Agora, o que aconteceria se aplicarmos uma força volumétrica, em um corpo em equilíbrio?

Essa demonstração é um tanto complicada e atrapalharia um pouco a apresentação desse conceito. Para

uma demonstração completa, utilize o livro de física II recomendado pelo seu professor, (Curso de Física

Básica- H.Moysés Nussenzveig Vol 2. Página 5)

Enfim, a resposta simplificada para a pergunta acima é:

𝑓 =𝜕𝑝

𝜕𝑧⁄

Ou seja, a aplicação de uma força externa gera uma variação de pressão no sentido da força.

1.6 LEI DE STEVIN

A partir de agora, apresentaremos conceitos que já são velhos conhecidos do ensino médio. Todos eles

utilizam como base a lei de Stevin, que afirma que a pressão de um líquido varia linearmente com o

aumento de profundidade, vamos explicar isso melhor.

Em primeiro lugar, precisamos considerar que o liquido é um fluido incompressível, ou seja, sua

densidade é uma constante (𝝆 = 𝒄𝒕𝒆). (O que é uma aproximação bem razoável, uma vez que a densidade

de água muda em torno de 0,5% com uma variação de 1atm para 100 atm, à temperatura ambiente).

Observe o desenho:

A pressão no ponto 𝑨 é a pressão atmosférica (𝒑𝟎), pois está em contato com o ar atmosférico.

A pressão no ponto B é calculada da seguinte forma:

𝑝𝐵 = 𝑝0 + 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ ℎ

Isso é fácil de ser demonstrado. Vamos pensar que a pressão nada mais é que Força sobre Área.

Considerando que estamos trabalhando em um tubo cilíndrico, teremos que a pressão será o peso do

fluido divido pela área, na forma:

𝑃 =𝐹

𝐴=

𝑃

𝐴=

𝑚𝑔

𝐴 (𝐼)

𝜌 =𝑚

𝑉 . : 𝑚 = 𝜌𝑉 (𝐼𝐼)

Substituindo II em I, a gente tem:

𝑃 =𝜌𝑉𝑔

𝐴=

𝜌𝐴ℎ𝑔

𝐴= 𝜌𝑔ℎ

Como queríamos demonstrar...

#Fikadik. O (+ 𝑝0) seria devido a presença da pressão atmosférica, se o sistema for fechado e isolado

𝑝0 = 0 e a pressão será apenas 𝑃 = 𝜌𝑔ℎ.

1.7 PRINCÍPIO DE PASCAL

Uma das aplicações da lei de Stevin é o Princípio de Pascal, muito utilizado para a construção de

elevadores hidráulicos e freios de automóveis.

Observe o esquema:

Escolhendo uma linha de nível que passe pelos pontos 𝐴 e 𝐵 , e considerando dois líquidos com

densidades diferentes 𝜌1 e𝜌2, podemos escrever:

𝑝𝐴 = 𝑝0 + 𝜌1 ∗ 𝑔 ∗ ℎ1 = 𝑝0 + 𝜌2 ∗ 𝑔 ∗ ℎ2 = 𝑝𝐵

𝑝𝐴 = 𝜌1 ∗ ℎ1 = 𝜌2 ∗ ℎ2 = 𝑝𝐵

A ideia de pontos com alturas iguais possuírem pressões iguais pode ser combinada com a clássica

definição de pressão (𝑝 =𝐹

𝐴), para a construção de prensas hidráulicas, veja:

𝑝𝐼 =𝐹1

𝐴1⁄ =

𝐹2𝐴2

⁄ = 𝑝2

Dessa forma, podemos gerar uma grande força de um lado da prensa, aplicando uma força pequena do

outro lado.

Atenção, isso é física e não mágica. Não vá pensando que é apenas isso, um multiplicador de força. O

trabalho realizado para levantar o grande peso é o mesmo. Como a força, utilizada no lado 𝐼 para levantar

o peso do lado 𝐼𝐼, foi pequena precisará ser feita por uma distância proporcionalmente maior, ou seja, se

sua força está sendo aumentada 10 vezes (𝐴2 = 10𝐴1), teremos que abaixar o lado 𝐼 em 10 cm, para que

o peso 𝐼𝐼 seja erguido em 1 cm.

1.8 PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES

A segunda aplicação é o chamado Princípio de Arquimedes, também conhecida como lei do empuxo.

Observe a imagem:

Como podemos notar, a pressão na parte de baixo do paralelepípedo é maior do que a pressão na parte

de cima, já que a parte de baixo está mais afundada no fluido. Por isso escrevemos:

𝐸 = 𝑚𝑔

Pois o corpo está em repouso no fluido.

𝐸 = 𝑝2 ∗ 𝐴 − 𝑝1 ∗ 𝐴 = 𝑚𝑔

𝐸 = (𝑝1 + 𝜌𝑔ℎ − 𝑝1)𝐴 = 𝑚𝑔 Pois 𝑝2 = 𝑝1 + 𝜌𝑔ℎ

𝐸 = 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ ℎ ∗ 𝐴 = 𝑚𝑔

𝐸 = 𝜌𝑉𝑔 = 𝑚𝑔

Podemos pensar que, conforme afundamos o sólido no fluido, é como se existisse uma cópia desse

paralelepípedo, porém feita de fluido, que o empurra como se fosse um peso (só que com a massa do

flúido) para cima, esse “empurrão para cima” é o empuxo.

Tenha em mente que o empuxo pode ser igual, menor ou maior que o peso de um corpo, provocando

situações que vamos descrever em exercícios.

1.9 EXERCÍCIOS

Bora Exercitar?

A parte de estática dos fluídos é bastante cobrada na parte múltipla escolha das provas de Física II,

geralmente, cobrando aquela questão pegadinha, feita para confundir o aluno. Aqui, mostraremos

algumas dessas.

1. [UFRJ-2014.2-Modificada] Considere um fluido incompressível em repouso num recipiente como

mostrado na figura. São escolhidos três elementos infinitesimais de área. Todos a mesma

profundidade, mas com orientações diferentes (A FIGURA ESTÁ FORA DE ESCALA). O que

podemos dizer sobre as pressões em cada uma dessas superfícies?

Resposta:

Esse exercício exemplifica, claramente, o tópico onde falamos sobre a pressão de um fluído em equilíbrio

(só ir lá conferir).

Como o enunciado nos informa que o fluido está em repouso, a resultante das forças internas é nula,

portanto está em equilíbrio.

Como já estamos carecas de saber, para fluidos em equilíbrio, a pressão depende exclusivamente da

altura em que o elemento se encontra. Olhando novamente o enunciado, vemos que os três elementos

estão a uma mesma altura, logo... As pressões nos três são IGUAIS.

2. Observe os três casos em que o mesmo corpo de densidade, 𝜌𝑠, é colocado em um pote com 3

fluidos diferentes e de a relação (<,= ou >) entre os 3 empuxos (𝐸𝐼 , 𝐸𝐼𝐼 𝑒 𝐸𝐼𝐼𝐼) e compare (<,= ou

>) as densidades dos fluidos (𝜌𝑙1, 𝜌𝑙2 𝑒 𝜌𝑙3) com a densidade do sólido.

Resposta:

Um aluno, nervoso por conta da prova, pensaria que 𝐸𝐼 > 𝐸𝐼𝐼, pois o volume submerso do caso 𝐼 é

maior do que o do caso 𝐼. Mas não podemos nos apressar, vamos pensar com calma!

Primeiro, pensando nas densidades, para responder a segunda parte da questão, podemos ver, como o

corpo boia nos casos 𝑰 e 𝑰𝑰, podemos afirma que 𝝆𝒍𝟏 > 𝝆𝒔 e que 𝝆𝒍𝟐 > 𝝆𝒔 . Olhando para o caso 𝑰𝑰𝑰,

vemos que o corpo afundou, logo é mais denso que o fluido, 𝝆𝒍𝟑 < 𝝆𝒔 .

Agora, para responder a primeira parte da pergunta, precisamos olhar não somente os empuxos, mas

também a relação dos empuxos com o peso do corpo. Nos casos 𝐼 e 𝐼𝐼, vemos que o corpo está em

repouso, flutuando no fluido, ou seja, o somatório de forças no corpo nas duas situações é zero. No caso

𝐼𝐼𝐼, vemos que, como o corpo afundou, o peso do corpo é maior do que o empuxo sendo exercido sobre

ele. Logo:

𝐸𝐼 = 𝜌𝑠𝑉𝑔; 𝐸𝐼𝐼 = 𝜌𝑠𝑉𝑔; 𝐸𝐼𝐼𝐼 < 𝜌𝑠𝑉𝑔

Por fim, a resposta da primeira parte seria:

𝐸𝐼 = 𝐸𝐼𝐼 > 𝐸𝐼𝐼𝐼

3. [UFRJ-2014.1] A figura mostra três recipientes iguais, preenchidos pelo mesmo fluido

incompressível até a mesma altura. Em dois deles patinhos diferentes estão flutuando. Marque

a resposta que ordena corretamente os recipientes de acordo com o peso total P, em ordem

decrescente:

Resposta:

A primeira coisa que precisamos pensar é que em um primeiro momento, antes de colocarem os patinhos

dentro dos potes “b” e “c”, os potes possuíam níveis diferentes de água, pois vemos que o volume do

primeiro pote, está sendo ocupado somente por liquido, enquanto o volume dos outros potes é ocupado

pelo liquido e por uma fração do volume dos patinhos.

Então, podemos concluir que os pesos de liquido ( 𝑃𝑙𝑎 , 𝑃𝑙𝑏 , 𝑃𝑙𝑐 ) dos três potes são diferentes.

ENTRETANTO, o peso total do pote não é composto somente de peso de liquido, ele é composto de três

componentes. O peso de Liquido, o peso do pote e também a reação da força de empuxo.

Reação da força de empuxo? Vamos explicar isso direito.

Nós sabemos que quando submergimos um corpo em um liquido, o liquido exerce sobre esse corpo uma

força de empuxo, voltada para cima. Então, pela Terceira Lei de Newton, o corpo exerce sobre o fluido

uma força igual, entretanto para baixo, e é essa força (𝐸′) que contribui para o peso total.

𝐸′ = 𝜌𝑙𝑉𝑠𝑢𝑏𝑔

O aluno, atento, percebe que esse volume submerso do patinho está exercendo, de forma indireta,

exatamente a diferença entre os pesos de liquido do início da discussão. Desse modo concluímos que:

𝑃𝑎 − 𝑃𝑙𝑏 = 𝐸′𝑏; 𝑃𝑎 − 𝑃𝑙𝑐 = 𝐸′𝑐

Por fim, chegamos à resposta final:

𝑃𝑎 = 𝑃𝑏 = 𝑃𝑐

Maneiro!! Agora vamos sair um pouco dessas “paradas” e vamos mexer nesses fluidos um pouco.

2 HIDRODINÂMICA

Como o nome já diz, vamos estudar agora os fluidos em movimento. Vamos ver aqui como eles se

comportam em tubulações entre outros aspectos, que não foram abordados no ensino médio, então se

liga que tudo vai ser meio que novo pra você.

2.1 LINHAS E TUBOS DE CORRENTE

Podemos associar as linhas de corrente à retratos dos vetores velocidade das partículas passando por

um determinado espaço, as velocidades de cada ponto do fluido, no momento da “foto” são as linhas que

vemos nos desenhos. O conjunto dessas linhas de corrente passando por uma área 𝐶 é denominado tubo

de corrente. Observe as ilustrações:

2.2 ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO

O escoamento estacionário é chamado assim devido ao regime permanente das linhas de corrente, ou

seja, é como se fotos tiradas em tempos diferentes mostrassem as mesmas linhas, sempre nos mesmos

locais.

Com isso em mente, podemos dizer que, nesse caso, as linhas de corrente também são as trajetórias das

moléculas de fluido.

Esse é um caso bem simples e será o mais utilizado em grande parte dos exercícios e das provas.

2.3 ESCOAMENTO NÃO ESTACIONÁRIO

O escoamento é chamado assim, pois “fotos” tiradas em momentos distintos mostram as linhas de

corrente diferentes em locais diferentes, tendo as linhas de correntes espaçamentos diferentes entre as

outras.

Quanto mais próximas as linhas de corrente maior a velocidade nesse ponto, que pode variar da

extremidade para o interior do tubo. Geralmente nesses casos as linhas têm maior concentração no eixo

do tubo e vão diminuindo até a extremidade, diminuindo também a velocidade. Isso se deve por causa do

atrito com as paredes do tubo, deixando as partículas mais devagar.

Nesse caso, as linhas de corrente NÃO são as trajetórias das moléculas do fluido.

2.4 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE (ESTACIONÁRIO)

Começando pelo caso simples, temos a seguinte situação.

Como temos um escoamento estacionário, a mesma quantidade de fluido que passa por 𝐴1 (∆𝑚1), passa

por 𝐴2 (∆𝑚2) em um mesmo ∆𝑡 logo...

∆𝑚1 = 𝜌1𝐴1𝑣1∆𝑡 = 𝜌2𝐴2𝑣2∆𝑡 = ∆𝑚2

𝜌1𝐴1𝑣1 = 𝜌2𝐴2𝑣2

Como o fluido em 1 e 2 é o mesmo e (para simplificar ainda mais) incompressível, 𝜌1 = 𝜌2 . Agora,

simplificando...

𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2

Podemos concluir que, para um escoamento estacionário de um fluido incompressível, a vazão (𝐴 ∗ 𝑣) se

mantém. Outra conclusão que a gente pode tirar é que, quanto maior a área, menor a velocidade do

fluido naquele ponto, pois: 𝐴1

𝐴2=

𝑣2

𝑣1

Se 𝐴1 > 𝐴2,𝐴1

𝐴2> 1 𝑒 𝑒𝑛𝑡ã𝑜,

𝑣2

𝑣1 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 é > 1. Logo

𝑣2

𝑣1> 1 . : 𝑣2 > 𝑣1

Isso nos diz que pra uma maior área teremos uma menor velocidade e vice-versa.

2.5 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE (CASO GERAL)

Por meio de uma dedução um tanto complexa e que possivelmente complicaria o entendimento,

chegamos a uma equação da continuidade para o caso geral de um fluido compressível em um

escoamento não estacionário. Esse seria realmente o pior dos casos, mas, para deixar registrado:

𝑑𝑚

𝑑𝑡=

𝑑(∫ 𝜌𝑑𝑣)

𝑑𝑡= − ∮ 𝜌(�⃗� ∙ �̂�)𝑑𝑠

Aí tu nos pergunta! Cara, isso cai na prova? Não vamos dizer que isso é impossível de aparecer em uma

prova, mas acreditamos que seja bem difícil de aparecer, já que nem todos os professores falam nisso,

por isso não vamos nos aprofundar nisso. Para a demonstração, (Curso de Física Básica- H.Moysés

Nussenzveig Vol 2. Página 19 e Página 20).

2.6 EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA (BERNOULLI)

Bernoulli, em seus estudos sobre fluidos, conseguiu encontrar uma relação que para fluidos que estão em

regime estacionários e sem viscosidade. Essa equação relaciona a energia das moléculas do fluido e é

bastante utilizada até em disciplinas de Mecânica dos Fluidos e disciplinas de hidráulica, é fato que cai na

P1, então foca aí!!

Para começar, vamos considerar o nosso clássico fluido perfeito, incompressível, seguindo um

escoamento estacionário e sem atrito com a parede do tubo aonde se locomove. Observe o esquema.

Obs.: Pode parecer estranha a notação (𝑣1∆𝑡), mas se

analisarmos as dimensões das grandezas, vemos que é

simplesmente uma velocidade vezes um tempo (𝑚

𝑠∗ 𝑠), logo, 𝑣1∆𝑡

é uma grandeza de posição (𝑚). O mesmo pode ser feito para 𝑝1𝐴1,

faça a análise dimensional, (𝑁

𝑚2 ∗ 𝑚2) uma simples unidade de Força.

Para finalizar, força vezes deslocamento resulta em... Trabalho.

Vamos começar a demonstração da equação de Bernoulli, se não for do seu interesse manjar das

demonstrações, só pular pro final da página!

Para analisar as mudanças ocorridas no sistema, precisamos analisar em partes e depois unir os dados

na famosa Equação de Bernoulli.

Primeiro, em relação às variações de massa, como já vimos...

∆𝑚1 = 𝜌1𝐴1𝑣1∆𝑡 = 𝜌2𝐴1𝑣2∆𝑡 = ∆𝑚2

Agora, veremos a variação de energia cinética do sistema.

∆𝑇 =1

2∆𝑚2𝑣2

2 −1

2∆𝑚1𝑣1

2

Como já sabemos lá da Física I, a variação de energia cinética é igual ao trabalho das forças do sistema.

Nesse caso, temos a força gravitacional (volumétrica) e uma força interna, a pressão.

Por parte do trabalho da pressão, concluímos que...

𝑊𝑝 = 𝑝1𝐴1 ∗ 𝑣1∆𝑡 − 𝑝2𝐴2 ∗ 𝑣2∆𝑡

Analisando o trabalho da força gravitacional (só para lembrar, o trabalho da força peso é calculado como,

menos a variação de energia potencial gravitacional)...

𝑊𝑔 = −(∆𝑚2𝑔𝑍2 − ∆𝑚1𝑔𝑍1)

Juntando agora os dados que tínhamos...

∆𝑇 = 𝑊𝑝 + 𝑊𝑔 1

2∆𝑚2𝑣2

2 −1

2∆𝑚1𝑣1

2 = 𝑝1𝐴1 ∗ 𝑣1∆𝑡 − 𝑝2𝐴2 ∗ 𝑣2∆𝑡 − ∆𝑚2𝑔𝑍2 + ∆𝑚1𝑔𝑍1

Calma, é bem feio agora, mas se separarmos tudo que corresponde ao ponto 1 de um lado e tudo do

ponto 2 de outro, ficamos um pouco menos assustados...

1

2∆𝑚2𝑣2

2 + 𝑝2𝐴2𝑣2∆𝑡 + ∆𝑚2𝑔𝑍2 =1

2∆𝑚1𝑣1

2 + 𝑝1𝐴1𝑣1∆𝑡 + ∆𝑚1𝑔𝑍1

Ainda podemos melhorar, por analise dimensional (é só testar, faça você mesmo, não é difícil) 𝐴2𝑣2∆𝑡 =∆𝑚2

𝜌, então, fazendo essa substituição e lembrando de que ∆𝑚2 = ∆𝑚1...

1

2∆𝑚2𝑣2

2 + 𝑝2

∆𝑚2

𝜌+ ∆𝑚2𝑔𝑍2 =

1

2∆𝑚1𝑣1

2 + 𝑝1

∆𝑚1

𝜌+ ∆𝑚1𝑔𝑍1

(1

2𝑣2

2 +𝑝2

𝜌+ 𝑔𝑍2) ∆𝑚2 = (

1

2𝑣1

2 +𝑝1

𝜌+ 𝑔𝑍1) ∆𝑚1

(1

2𝑣2

2 +𝑝2

𝜌+ 𝑔𝑍2) = (

1

2𝑣1

2 +𝑝1

𝜌+ 𝑔𝑍1)

Melhorando ainda mais, é só multiplicar os dois lados por 𝜌, Finalmente...

1

2𝜌𝑣2

2 + 𝑝2 + 𝜌𝑔𝑍2 =1

2𝜌𝑣1

2 + 𝑝1 + 𝜌𝑔𝑍1

Show! Apesar da demonstração chatinha a equação é bem bonitinha e talz! Fixa nela que cai com muita

frequência na prova, lembra bastante a de energia mecânica que a gente viu em Física I.

Boa pergunta! Vamos fazer dessa discussão nossa primeira questão, então...

2.7 EXERCÍCIOS Bora Exercitar?

4. Pergunta do Homer.

Resposta:

Sabemos que não há equação que relaciona área com pressão, mas sabemos que a de Bernoulli relaciona

pressão com velocidade e de continuidade relaciona a área com a velocidade, então já temos tudo!

Da equação da continuidade, temos:

𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2

𝑣1 =𝐴2

𝐴1𝑣2(𝐼)

Já a de Bernoulli nos diz:

𝜌𝑔ℎ1 +𝜌𝑣1

2

2+ 𝑝1 = 𝜌𝑔ℎ2 +

𝜌𝑣22

2+ 𝑝2

Considerando um tubo reto, sem mudar a altura do centro dele (ℎ1 = ℎ2), fica:

𝜌𝑣12

2+ 𝑝1 =

𝜌𝑣22

2+ 𝑝2

𝑝1 − 𝑝2 =𝜌

2(𝑣2

2 − 𝑣12) (𝐼𝐼)

Substituindo (I) em (II), teremos:

𝑝1 − 𝑝2 =𝜌

2(𝑣2

2 −𝐴2

2

𝐴12 𝑣2

2) =𝜌𝑣2

2

2𝐴12 (𝐴1

2 − 𝐴22)

Então, se considerarmos a área 𝐴1 > 𝐴2 a gente percebe que 𝐴12 − 𝐴2

2 > 0 e então 𝑝1 − 𝑝2 > 0 , o que

nos diz que 𝑝1 > 𝑝2. Massa, isso nos diz que pra quanto maior for a área da seção maior será a pressão

naquele ponto, também podemos dizer que quanto maior a velocidade do fluido, menor a pressão do

fluido naquele ponto!!

5. [UFRJ-2014.2]A água sai de uma torneira aberta de modo a formar um feixe que se afina, sem se dividir, conforme a água flui em direção ao ralo, como indica a figura. Supondo que a seção transversal deste feixe se mantém circular no decorrer do fluxo com raio 𝑟0 e velocidade da água 𝑣0 imediatamente após a saída da torneira, e considerando a água um fluido incompressível e sem viscosidade (considere a aceleração g conhecida) estime:

a) A velocidade do fluido v(h), em função da diferença de altura a partir da torneira. b) O raio da seção transversal do feixe, r(v) em função do módulo da velocidade v nesta seção do

fluido. Resposta:

a) Pela equação de Bernoulli nos pontos exatamente após a saída e um h qualquer, a gente terá: 𝜌𝑣0

2

2+ 𝜌𝑔ℎ0 =

𝜌𝑣(ℎ)²

2+ 𝜌𝑔ℎ

𝐶𝑜𝑚𝑜 ℎ0 = 0, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑣0

2

2=

𝑣(ℎ)2

2+ 𝑔ℎ

𝑣(ℎ)2 = 𝑣02 − 2𝑔ℎ . : 𝑣(ℎ) = √𝑣0

2 − 2𝑔ℎ

b) Pela equação da continuidade, temos: 𝑣0𝐴0 = 𝑣(ℎ)𝐴ℎ

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 é 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑣0𝜋𝑟0² = 𝑣(ℎ)𝜋𝑟(𝑣)²

𝑣0𝑟02

𝑣(ℎ)= 𝑟(𝑣)²

𝑟(𝑣) = 𝑟0√𝑣0

𝑣(ℎ)= 𝑟0√

𝑣0

√𝑣02 − 2𝑔ℎ

6. [UFRJ-2013.1-Modificada] A figura abaixo mostra as linhas de corrente do escoamento em

regime estacionário de um fluido incompressível através de uma tubulação cilíndrica de seção reta de área constante.

Baseado na figura, quais as afirmativas são corretas?

I. Uma vez que as linhas de corrente estão mais concentradas na região central do cilindro, a pressão deve ser mínima próximo à superfície lateral da tubulação.

II. As linhas de corrente na figura representam o escoamento estacionário de um fluido com viscosidade desprezível.

III. A velocidade de escoamento do fluido é maior para as camadas de fluido mais próximas ao eixo do cilindro do que para as mais próximas à superfície lateral da tubulação.

Resposta:

I. Errado. Como vimos no exemplo 1, a pressão é menor onde a velocidade é maior, e no caso, quanto mais concentradas as linhas de corrente, maior a velocidade. Então a pressão é mínima no eixo do tubo, onde a velocidade é maior

II. Caô! Num escoamento estacionário as linhas de correntes são equidistantes, o que não acontece nesse caso.

III. Verdadeiro. Explicado no item I.

2.8 EXERCÍCIOS RECOMENDADOS 1- [Moysés Nussenzveig] É comum dizer que alguma coisa representa apenas “a porção visível de um

iceberg” Sabendo-se que a densidade do gelo é 0,92 𝑔/𝑐𝑚3e a da água do mar à 1 atm é 1,025 𝑔/𝑐𝑚3,

que fração do iceberg fica submersa?

2- [Moysés Nussenzveig]

3- [Moysés Nussenzveig)

4- [Rumo ao ITA] Em um tubo com formato indicado, encontram-se quatro líquidos incompressíveis e não miscíveis. Considerando que 𝜌1, 𝜌2, 𝜌3 𝑒 𝜌4 são as massas específicas de tais líquidos, então quanto vale 𝜌1?

5-[Rumo ao ITA] Um bloco com uma seção transversal A, altura H e densidade ρ, está em equilíbrio entre dos líquidos de densidades ρ1 e ρ2 , com ρ1 < ρ < ρ2 . Suponha que os líquidos não se misturam. Determine a densidade do bloco em função de ρ1 , ρ2 , H e h.

6- A figura mostra um bloco maciço e homogêneo em forma de cubo, com aresta 2 metros e

massa 800 kg, flutuando em água de densidade 10³ kg/m³, contida num recipiente retangular de faces paralelas ao bloco. Nestas circunstâncias, a distância h entre o fundo do bloco e a superfície da água é:

7- [IME] Uma barra uniforme e delgada AB de 3,6 m de comprimento, pesando 120 N, é segura

na extremidade B por um cabo, possuindo na extremidade A um peso de chumbo de 60N. A barra flutua, em água, com metade do seu comprimento submerso, como é mostrado na figura abaixo.

Considerando a gravidade g=10m/s² e a densidade da água 1000kg/m³

Desprezando empuxo sobre o chumbo, calcule: a) O valor da força de tração no cabo. b) O volume total da barra. 8- [UFRJ-PF-2013.2] Um escoamento estacionário de água cai em linha reta de um tubo. Admita que o escoamento seja incompressível. A um distância 𝑑1 abaixo do tubo, a velocidade de queda da água vale 3m/s. A uma distância 𝑑2 abaixo do tubo a velocidade de queda da água vale 6m/s. Qual a relação entre as seções retas do escoamento nas figuras 𝑑1 e 𝑑2? 9-[UFRJ-2014.1] Um fluido incompressível escoa suavemente pela tubulação mostrada na figura. Assinale as relações corretas para as pressões e as velocidades nos pontos 1,2,3,4 indicados na figura.

10-[UFRJ-2014.1] Os três paralelepípedos abaixo tem a mesma altura H e a mesma área da base A. Nos três casos, o ponto C estpa em contato com a base e com umas superfície lateral.

Se os três estiverem completamente preenchidos pelo mesmo fluido, marque a alternativa verdadeira.

Gabaritos: 1)90% |2) 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 = 𝝆𝒈𝒉[𝟏 + (𝒅/𝑫)𝟐] |3) (a)𝝆 = 𝟎, 𝟐𝒈/𝒄𝒎𝟑 (b) 10,7N

|4) 𝝆𝟑𝑯+𝝆𝟒𝑰

𝒉 |5)

𝝆𝟏𝒉+𝝆𝟐(𝑯−𝒉)

𝑯 |6)0,2m |7) a) 20N b)0,032m³ |8)2:1 |9)D |10)E

1. Bibliografia

- Contribuição das nossas anotações da aula do professor Marcos Brum (Instituto de Física).

- Nussenzveig, H. Moysés. Curso de Física Básica vol. 2 Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor. 4ª Edição,

revista. Editora Buchler.