THÍCH THÚ VÀ SẢNG KHOÁI KHI HỌC TOÁNPhan Duy Nghĩa

(Phòng GDPT, Sở GDĐT Hà Tĩnh)

Trong cuốn sách “Sáng tạo Toán học”, nhà giáo dục toán học Mĩ G. Polya đã nhận xét: “Sự kích thích tốt nhất cho việc học tập là sự thích thú mà tài liệu học tập gợi lên cho học sinh, còn phần thưởng tốt cho hoạt động trí óc căng thẳng là sự sảng khoái đạt được nhờ vào những hoạt động như vậy”.

Thật vậy, chúng ta hãy bắt đầu từ ví dụ sau:

Ví dụ: a) Đo độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD rồi tính diện tích hình tam giác ABC.

b) Đo độ dài các cạnh của hình chữ nhật MNPQ và độ dài cạnh ME. Tính:- Tổng diện tích hình tam giác MQE và diện tích hình tam giác NEP.- Diện tích hình tam giác EQP.

Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản trong SGK Toán 5 (Bài 4, trang 89) nhằm giúp học sinh thực hành đo độ dài và củng cố về tính diện tích hình tam giác.

Từ kết quả câu a), ta suy ra được: SABC = SACD = SABCD.

Từ kết quả câu b), ta suy ra được: SMQE + SNEP = SEQP = SMNPQ.

Ví dụ trên gợi lên cho chúng ta nhiều điều thú vị, chẳng hạn: - Khi bài toán yêu cầu so sánh hoặc tính diện tích của một hình tam giác

nằm trong hình chữ nhật, ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ để tạo ra hình chữ nhật có chiều dài hoặc chiều rộng chứa đỉnh và cạnh đáy của hình tam giác rồi áp dụng kết quả trên để so sánh hoặc tính.

- Nếu hình cần so sánh hoặc tính diện tích không phải là hình tam giác thì ta chia hình đó thành các hình tam giác rồi tiến hành làm như trên.

Đây là “cẩm nang” giúp chúng ta biến những bài toán tưởng chừng như “xa lạ” thành bài toán “quen thuộc” đã biết cách giải.

Chúng ta cùng đến với các bài toán sau:

1

A B

CD

M N

PQ

E

Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD bị che một phần bởi hình chữ nhật BMNP bằng nó như hình vẽ bên. Hãy so sánh diện tích phần bị che BCEM với phần không bị che của hình chữ nhật ABCD.

(Đề thi HSG Tiểu học toàn quốc năm 1991)

Phân tích: Bài toán cho hình chữ nhật, yêu cầu so sánh diện tích hình tứ giác nên ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ để tạo ra các hình chữ nhật.

So sánh diện tích các hình tam giác nằm trong hình chữ nhật từ đó so sánh diện tích hai hình theo yêu cầu của bài toán.

Bài giải: Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AD cắt BC ở G. Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với CD cắt MG ở H (như hình vẽ). Ta thấy các tứ giác ABGM và MHED đều là hình chữ nhật nên các đường chéo MB và ME chia chúng làm hai nửa có diện tích bằng nhau mà ta kí hiệu là (a, a) và (b, b).

Diện tích phần bị che là a + b + SECGH. Diện tích phần không bị che là a + b. Vậy diện tích phần bị che lớn hơn phần không bị che.

Bài toán 2: Cho hình chữ nhật ABCD. E là điểm nằm trên cạnh AB. Hãy vẽ hình chữ nhật AEGH có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ABCD.

Phân tích: Bài toán cho hình chữ nhật, yêu cầu vẽ hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật đã cho nên ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ để tạo ra các hình chữ nhật chứa các hình có diện tích cần so sánh.

Bài giải: Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt cạnh DC tại điểm O (như hình vẽ).

2

A B

CD

E

GH

O

K

- Vẽ đường thẳng đi qua AO, cắt phần kéo dài của cạnh BC tại điểm K.- Từ K vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BC cắt đường thẳng EO

tại G, cắt đường thẳng AD tại H.Ta chứng tỏ SAEGH = SABCD như sau:Theo câu a) của Ví dụ trên ta có: SABK = SAHK; SAEO = SADO; SOCK = SOGK.Theo hình vẽ ta có: SABK – SAEO – SOCK = SEBCO; SAHK – SADO – SOGK = SDHGO.Từ đó suy ra: SEBCO = SDHGO. Mỗi hình chữ nhật này ghép với hình chữ nhật

AEOD ta được các hình chữ nhật ABCD và AEGH. Vậy AEGH là hình chữ nhật phải tìm.

Bài toán 3: Hai tam giác vuông và một hình chữ nhật tạo thành một tam giác vuông khác, ký hiệu là ABC (như hình vẽ). Biết MB = 12 cm; NC = 16 cm. Tìm diện tích của hình chữ nhật AMPN.

Phân tích: Từ cách giải bài toán 2, gợi ý cho chúng ta cách giải bài toán như sau:

Bài giải: Kéo dài hai cạnh của hình chữ nhật AMPN như hình vẽ. Ta có: MB = PH = 16cm; NC = PK = 20cm. SABC = SQBC; SBMP = SBHP; SNPC = SKPC. Suy ra: SAMPN = SHPKQ.Vậy diện tích hình chữ nhật AMPN là:

12 16 = 192 (cm2).

Bài toán 4: Có một ao nuôi cá hình tứ giác có bốn cây dừa ở 4 đỉnh (như hình vẽ). Bạn có thể mở rộng ao gấp đôi diện tích cũ với dạng ao là hình chữ nhật và bốn cây dừa vẫn ở bờ ao không?

Phân tích: Bài toán cho hình tứ giác nên ta nghĩ đến việc chia hình tứ giác thành các hình tam giác và vẽ thêm đường phụ để tạo các hình chữ nhật chứa các hình tam giác đó để so sánh diện tích.

3

Bài giải: Đặt các điểm như hình vẽ.

Nối A với C. Từ A và C kẻ hai đường thẳng vuông góc với AC. Từ B kẻ một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng trên, cắt hai đường thẳng tại M và N. Từ D kẻ một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng trên, cắt đường thẳng tại P và Q. Ta được hình chữ nhật MNPQ có diện tích gấp đôi diện tích hình tứ giác ABCD và 4 cây dừa vẫn ở nguyên vị trí cũ.

Thật vậy, ta có SABC = SMNCA; SDAC = SACPQ.

Suy ra SABCD = SMNCA + SACPQ = (SMNCA + SACPQ) = SMNPQ.

Bài toán 5: Trên ba cạnh của hình chữ nhật ABCD, lấy 3 điểm M, N, P (như hình vẽ). Chứng tỏ rằng diện tích hình tam giác MNP luôn nhỏ hơn một nửa diện tích hình chữ nhật ABCD.

Phân tích: Vẽ thêm đường phụ để tạo hình chữ nhật chứa hình tam giác cần so sánh. Áp dụng kết quả câu b) của Ví dụ để tính.

Bài giải: Kẻ NQ song song với AB. Nối MQ, PQ. MP cắt NQ tại O như hình vẽ.

Ta có: SMNP = SMNO + SNPO.

4

Vì SMNO < SMNQ (vì có NO < NQ và chung chiều cao hạ từ M) mà SMNQ =

SABQN (vì đáy tam giác chính là chiều dài hình chữ nhật, chiều cao của tam giác

chính là chiều rộng của hình chữ nhật ABQN) nên SMNO < SABQN.

Tương tự ta cũng chính minh được: SNPO < SNQCD.

Suy ra SMNP < SABQN + SNQCD hay SMNP < SABCD.

Xin chúc các bạn ăn Tết thật vui và gửi tặng các bạn 3 bài toán thú vị:

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. E và G lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. M, N lần lượt là hai điểm bất kì nằm trên các cạnh AB và CD. Đoạn thẳng MN cắt đoạn thẳng EG tại I (như hình vẽ). Hãy so sánh MI và IN.

Bài 2. Trên hình vẽ bên, biết HC =

DC và diện tích hình ABEGHD bằng

180cm2. Hãy tính diện tích hai hình chữ nhật ABCD và BEGH.

Bài 3. Bạn Mai có một tờ giấy màu vàng hình chữ nhật. Bạn lấy kéo cắt tờ giấy thành 6 hình tam giác như hình bên. Liệu có thể tặng cho hai bạn Hồng và Cúc mỗi bạn 3 hình tam giác mà tổng diện tích 3 hình tam giác của hai bạn nhận được là như nhau không?

5