Heuristiken für kombinierte Standort- und Gebietsplanung ... · Die Begri e Kunde und Basisgebiet...

Heuristiken für kombinierte Standort-und Gebietsplanung mit vorgegebenen

und zusätzlichen, frei wählbarenStandorten

Diplomarbeitvon

Tim Ulrich

An der Fakultät für InformatikInstitut für Theoretische Informatik

Erstgutachter: Prof. Dr. Stefan NickelZweitgutachter: Prof. Dr. Dorothea WagnerBetreuende Mitarbeiter: Alexander Butsch

Dr. Martin Nöllenburg

Bearbeitungszeit: 15. November 2013 – 14. August 2014

KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum der Helmholtz-Gesellschaft www.kit.edu

Eidesstattliche Erklarung

Ich versichere hiermit wahrheitsgemaß, die Arbeit selbstandig angefertigt, alle benutz-

ten Hilfsmittel vollstandig und genau angegeben und alles kenntlich gemacht zu haben,

was aus Arbeiten anderer unverandert oder mit Abanderung entnommen wurde.

Datum Name

INHALTSVERZEICHNIS iii

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

1.1 Gegenstand dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Aufbau dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Grundlagen 3

2.1 Standortplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Entwicklung der Standortplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Eigenschaften von Standortproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Zielfunktionen in der Standortplanung . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.4 Komplexitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Gebietsplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Entwicklung der Gebietsplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Ziele der Gebietsplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Einordnung dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Recursive Partitioning 17

3.1 Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Ablauf des Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Backtracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Einbeziehen von Facilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5 Standortplanung mit dem Rec-Part-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Maße 28

4.1 Balance-Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.1 Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.2 Auslastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Aktivitatskompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.1 Distanzsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.2 Maximale Distanz zur Facility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.3 Nr-to-best-Facility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Geografische Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3.1 Compactness-Basic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3.2 Compactness-Epsilon-Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3.3 Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.4 K-Nearest-Neighbor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.5 Distanz zur Trennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

INHALTSVERZEICHNIS iv

4.3.6 Reock-Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3.7 Schwartzberg-Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Erweiterungen des Algorithmus 36

5.1 Sortierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1.1 Winkelsortierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1.2 Netzwerkdistanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Aufteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2.1 BestLineDistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2.2 BestCompactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3 Dummy-Facilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 Maßwechsel und Vorberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4.1 Maßwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4.2 Vorberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 Tests 41

6.1 Suchrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.1.1 Qualitat der Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.2 Details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2.1 Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2.2 Aktivitatskompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2.3 Geografische Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2.4 Dummy-Facilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.3 Sortierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3.1 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.4 Aufteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.4.1 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.5 Analyse der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1 EINLEITUNG 1

1 Einleitung

Die Wahl des richtigen Standortes ist fur alle betrieblichen und staatlichen Einrichtun-

gen von zentraler Bedeutung. Aufgrund der hohen Kosten, die in der Regel mit einem

Standortwechsel verbunden sind, ist die Entscheidung fur einen Standort nur langfristig

zu andern. Gerade deshalb bietet die Wahl eines Standortes erhebliches Optimierungspo-

tenzial.

Standortplanung ist der Teil des Operations Research, der sich mit der Wahl optima-

ler Standorte auseinandersetzt. Die Entscheidung, wo eine Anlage platziert werden soll

gehort wegen ihrer langfristigen Auswirkungen zu den strategischen Entscheidungen, die

ein Unternehmen zu treffen hat. Gerade wegen der Bedeutung der Standortwahl fur ein

Unternehmen ist der Bedarf nach Losungsverfahren groß.

Im offentlichen Bereich ist die Bedeutung der Standortwahl noch großer als im priva-

ten Bereich, da die Standortentscheidungen der privaten Akteure stark davon abhangen,

wo sich staatliche Einrichtungen befinden oder sie geplant werden. So ist der Zugang

zu Transportwegen und anderer Infrastruktur wie Telekommunikation oder Energie fur

Wirtschaftsbetriebe von uberragender Bedeutung. Offentliche Standortentscheidungen be-

einflussen daruber hinaus auch die Wohnortwahl der Burger, welche maßgeblich durch

Bedurfnisse wie Bildung, Gesundheit, Sicherheit und Kultur bestimmt wird.

Die Gleichheit der Wahl ist wesentlich fur ein demokratisches System. Wahrend sich

Wahlgleichheit formal nur auf den Wert einer einzelnen Stimme bezieht, bedarf es fur

tatsachliche Wahlgleichheit des gleichen Einflusses jeder Stimme. Hieraus leitet sich die

Forderung nach einer gerechten Einteilung der Wahlkreise ab, sodass die Bevolkerung

der einzelnen Wahlkreise nicht zu stark voneinander abweicht. Mit diesem Problem ver-

wandt ist die Einteilung von Zustandigkeitsbezirken fur offentliche Einrichtungen wie

Schulen, Krankenhauser, Feuer- und Polizeiwachen. Wegen dieser Anwendungen ist die

gesellschaftliche Bedeutung der Gebietsplanung, der Einteilung eines Planungsgebiets in

kleinere Teilgebiete nach formalen Kriterien, nicht zu unterschatzen.

Auch im betrieblichen Kontext spielt Gebietsplanung eine wichtige Rolle. Die Einteilung

und Zuweisung von Verkaufs- und Servicegebieten ist nicht nur wesentlich fur den Unter-

nehmenserfolg. Stark voneinander abweichende Arbeitsbelastungen werden als ungerecht

empfunden, wirken sich daruber hinaus auch auf die Entlohnung durch erfolgsabhangige

Zahlungen aus. Beides erhoht die Unzufriedenheit der Mitarbeiter und senkt damit ihre

Motivation.

Bedeutung und Vielzahl der Anwendungen von Standort- und Gebietsplanung haben eine

ausgedehnte wissenschaftliche Literatur in diesen Bereichen hervorgebracht. Dabei geht

im Falle der Standortplanung die wissenschaftliche Betrachtung der Anwendung deut-

lich voraus. Vorlaufer der Standortplanung wurden bereits im 17. Jahrhundert behandelt.

Als mit der Industrialisierung die Mobilitat von Menschen und Gutern großer wurde,

nahm auch die Bedeutung der Standortwahl fur eine Produktionsstatte zu. Nach Alfred

1 EINLEITUNG 2

Weber, der zu Beginn des 20. Jahrhunderts die erste Anwendung der Standortplanung

beschrieb, wurde das Problem, den gewichteten Median einer Punktmenge zu finden,

Weber-Problem genannt. Der gewichtete Median ist auch heute noch eine wichtige Ziel-

funktion der Standortplanung. Die zweite wichtige Zielfunktion der Standortplanung ist

das (gewichtete) Zentrum, welches von Seifollah Hakimi eingefuhrt wurde. Diese beiden

Ziele dominieren auch heute noch die Literatur zur Standortplanung.

Es existiert eine umfangreiche Literatur zur Standortplanung. Betrachtet werden verschie-

dene Zielfunktionen und Bedingungen, unter denen die Standortwahl erfolgt. Da es keinen

effizienten Algorithmus gibt, der optimale Losungen fur Standortprobleme berechnet, wird

auf Heuristiken zuruckgegriffen. Ublich ist auch die Modellierung als ganzzahliges linea-

res Programm, welches dann mit den bekannten Verfahren gelost werden kann. Diese

Losungsansatze gehen alle davon aus, dass keine vorhandenen Zentren existieren, welche

in die Planung mit einbezogen werden mussen.

1.1 Gegenstand dieser Arbeit

In den letzten Jahren ist zumindest die Modellierung dieses Spezialfalls Gegenstand der

Forschung geworden. Jedoch existieren neben der Moglichkeit das ganzzahlige Programm

zu losen, keine Verfahren zur Losung eines Standortproblems unter Berucksichtigung be-

reits vorhandener Zentren. Im Rahmen dieser Arbeit wird ein solches heuristisches Ver-

fahren entwickelt. Dieses Verfahren baut auf dem von [Kal06] entwickelten Recursive-

Partitioning-Algorithmus (Rec-Part) zur Gebietsplanung auf. Dieser Algorithmus zerlegt

ein Gebietsplanungsproblem solange in kleinere Teilprobleme bis eine elementare Große

erreicht wurde. Aus diesen elementaren Teilproblemen wird die Losung zusammengesetzt.

Werden fur die elementaren Teilprobleme Zentren berechnet, kann der Algorithmus auch

zur Standortplanung eingesetzt werden. Das in dieser Arbeit beschriebene Verfahren un-

terteilt das ursprungliche Problem so in Teilprobleme, dass genau so viele elementare

Teilprobleme keine der vorhandenen Zentren enthalten wie neue Standorte ausgewahlt

werden sollen. Fur diese Teilprobleme werden dann Zentren bestimmt, welche zusammen

die Losung bilden.

1.2 Aufbau dieser Arbeit

Zunachst werden im nachsten Abschnitt grundlegende Begriffe der Standort- und Ge-

bietsplanung eingefuhrt. Anschließend werden die beiden Themenfelder abgegrenzt und

formalisiert. Insbesondere werden die verwendeten Ziele und Zielfunktionen sowie Eigen-

schaften eines Standortproblems beschrieben.

Abschnitt 3 enthalt eine Beschreibung des Recursive-Partitioning-Verfahren. Nach einem

kurzen Uberblick werden die Aufteilungen der Teilprobleme, die Partitionen, definiert. Es

folgt die Beschreibung des Ablaufs des Algorithmus und des Umgangs mit nicht losba-

ren Teilproblemen. Anschließend wird gezeigt, wie der Algorithmus zur Standortplanung

2 GRUNDLAGEN 3

unter Einbeziehung von Facilities verwendet werden kann. Der Recursive-Partitioning-

Algorithmus verwendet sogenannte Maße, um die verschiedenen Aufteilungen eines Teil-

problems zu bewerten. Von diesen Maßen wurden einige im Rahmen dieser Arbeit ent-

wickelt. Eine Beschreibung und Kategorisierung der verwendeten Maße findet sich in

Abschnitt 4.

Da der Recursive-Partitioning-Algorithmus modular aufgebaut ist, kann er einfach erwei-

tert werden. Fur diese Arbeit wurden einige Erweiterungen entwickelt, die in Abschnitt

5 vorgestellt und in Abschnitt 6 getestet werden. Der sechste Abschnitt enthalt auch die

Tests der verschiedenen Maße. Abschließend werden die Ergebnisse zusammengefasst.

2 Grundlagen

Bezeichnungen konnen in verschiedenen Kontexten unterschiedliche Bedeutungen haben.

Ebenso konnen kleine Unterschiede in der Definition von Begriffen zu Missverstandnissen

fuhren. Um solche Missverstandnisse zu vermeiden, werden zunachst die in dieser Arbeit

verwendeten Begriffe eingefuhrt.

Grundbegriffe der Standortplanung

Kunde Kunden sind die Objekte der Standortplanung, welche die Dienstleistung ei-

ner Einrichtung in Anspruch nehmen. Ihnen ist ein Wert zugeordnet, der die Nachfrage

nach der Dienstleistung beschreibt. Dieser Wert wird Bedarf genannt. Die Bezeichnung

Kunde kann auch dann gewahlt werden, wenn es sich um eine offentliche Dienstleistung

handelt, wie bei Rettungsdiensten oder Schulen. Kunden werden durch einen eindeutigen

Index voneinander unterschieden. Im dieser Arbeit wird fur die Menge der Kunden die

Bezeichung V gewahlt.

Standort, Einrichtung (Facility) Ein Standort ist der Ort, an dem nach erfolgter

Standortplanung eine besondere Einrichtung (engl. Facility) errichtet werden soll. Auf-

grund der zahlreichen Anwendungen der Standortplanung gibt es verschiedene Arten von

Einrichtungen wie Transportlager, Supermarkte, Krankenhauser oder Mulldeponien. Die

Menge der moglichen Standorte wird mit X, die Anzahl der auszuwahlenden Standorte

mit p bezeichnet. Einer Facility kann eine Kapazitat zugeordnet, die angibt wie viel Bedarf

diese Facility maximal bedienen kann.

Planungsregion Die Menge aller Kunden sowie der vorhandenen und moglichen Stand-

orte wird als Planungsregion bezeichnet. Da die meisten Anwendungen der Standort- und

Gebietsplanung einen geographischen Hintergrund haben, entspricht die Planungsregion

in der Regel einem geographischen Gebiet.

2 GRUNDLAGEN 4

Grundbegriffe der Gebietsplanung

Basisgebiet Basisgebiete sind in der Gebietsplanung die Einheiten, die zu ubergeord-

neten Einheiten, den Distrikten, zusammengefasst werden. Basisgebiete konnen in der

Praxis Kunden des Außendienstes, Stadte, die zu Wahlkreisen zusammengefasst werden

sollen oder ahnliches sein. Einem Basisgebiet wird die sogenannte Aktivitat zugeordnet,

eine Zahl, welche die fur die Problemstellung relevante Große angibt, z.B. Bedarf eines

Kunden oder Einwohner einer Stadt. Auch in der Standortplanung konnen die Objekte,

an denen die zu planenden Standorte ausgerichtet werden, als Basisgebiete bezeichnet

werden. Die Begriffe Kunde und Basisgebiet werden in dieser Arbeit synonym verwendet.

Aktivitat, Bedarf Aktivitat ist eine fur die Gebietsplanung relevante Eigenschaft ei-

nes Basisgebiets. Eine Eigenschaft wird dann als Aktivitat bezeichnet, wenn sie dem

Balancekriterium genugen soll, also gleichmaßig auf die Distrikte aufgeteilt werden soll.

In der Standortplanung wird die entsprechende Eigenschaft Bedarf genannt. Eine weitere

Bezeichnung ist Gewicht (des Kunden/Basisgebiets). Die Aktivitat des Basisgebiets mit

Index i wird mit w(i) bezeichnet.

Distrikt Ein Distrikt ist eine Menge an Basisgebieten. Einem Distrikt konnen Zen-

tren zugeordnet, welche die entsprechende Aufgabe fur dieses Gebiet ubernehmen. Diese

Zentren entsprechen den Standorten bzw. Facilities der Standortplanung. Alternative Be-

zeichnungen sind Territorium oder Gebiet.

Gebietsplan Das Ergebnis einer Gebietsplanung ist der sogenannte Gebietsplan. Die-

ser ist die Menge aller Distrikte, die wahrend der Planung in die Losung aufgenommen

wurden.

2.1 Standortplanung

Standortplanung im engeren Sinne bezeichnet die Auswahl einer bestimmten Anzahl an

Standorten aus einer vorgegebenen Menge moglicher Standorte nach gewissen Entschei-

dungskriterien. Die Anzahl der Standorte kann fest vorgegeben sein oder im erst Verlauf

der Planung festgelegt werden. Die Auswahl von Standorten wird als Location-Problem

bezeichnet. Im weiteren Sinne bezeichnet Standortplanung zusatzlich die Zuordnung des

Bedarfs (Kunden oder Basisgebiete) zu den Standorten. Dies wird Allocation-Problem

genannt. Viele Algorithmen fuhren neben der Auswahl der Standorte auch eine Zuord-

nung der Kunden durch. In diesem Fall wird von der Location- und der Allocation-Phase

gesprochen (siehe Abbildung 1).

Fur die Losung eines Standortproblems mussen unter anderem die folgenden Fragen be-

antwortet werden[Das95]:

• Wie viele Standorte sollen ausgewahlt werden?

2 GRUNDLAGEN 5

• Welche Standorte sollen ausgewahlt werden?

• Wie groß sollen die einzelnen Facilities an den Standorten sein?

• Wie soll der Bedarf auf die Facilities aufgeteilt werden?

Die ersten beiden Fragen sind der Standortplanung im engeren Sinne zuzurechnen und

werden im Rahmen jedes Standortproblems gelost, wahrend die letzten beiden Fragen im

Rahmen der Standortplanung im weiteren Sinne behandelt werden. Wird im Rahmen eines

Standortplanung der Bedarf nicht den einzelnen Standorten zugeordnet, werden auch die

beiden letzten Fragen nicht beantwortet. In diesem Fall wird nur das Location-Problem,

nicht aber das Allocation-Problem gelost.

Die verschiedenen Aspekte der Standortplanung sind miteinander verflochten. So hangt

etwa die Wahl der Standorte von der Anzahl der auszuwahlenden Standorte ab, da die

n-Mediane im Allgemeinen keine Teilmenge der (n+1)-Mediane ist. Weiterhin sinkt die

Große einer Facility mit steigender Anzahl, da der Bedarf auf mehr Standorte verteilt

wird. Nicht immer wird den Standorten ein gleich großer Bedarf zugeteilt. Daher spielt

bei der Wahl ihrer Große die Zuteilung des Bedarfs eine wichtige Rolle.

2.1.1 Entwicklung der Standortplanung

Pierre de Fermat formulierte bereits im 17. Jahrhundert das Problem, innerhalb eines

Dreiecks ABC einen Punkt D zu finden, so dass die Summe der Abstande zwischen die-

sem Punkt und den Eckpunkten des Dreiecks minimal wird [DKSW95]. Nach dieser For-

mulierung wird das Problem auch Fermat-Problem genannt, auch wenn nicht geklart ist,

ob es fruhere Formulierungen gibt. Wahrend das Problem mehr als 200 Jahre theore-

tisch blieb, fand Alfred Weber 1909 eine Anwendung der verallgemeinerten Version des

Problems mit gewichteten Entfernungen fur die Standortplanung. In seiner Formulierung,

(a) Auswahl der Standorte (b) Zuordnung der Kunden

Abbildung 1: Standortplanung mit Location-Phase (a) und Allocation-Phase (b)

2 GRUNDLAGEN 6

Weber-Problem genannt, wird der optimale Standort einer Industrie gesucht, so dass die

Transportkosten minimiert werden. Diese ergeben sich dadurch, dass die zwei Rohstoffe

der Produktion an je einem festen Ort zur Verfugung stehen und das zu produzierende

Gut zu einem festen Markt transportiert werden muss. Spater wurde das Weber-Problem

auf mehrere Basisgebiete und Standorte erweitert. Der Varignon’sche Apparat ist eine

mechanische Umsetzung des Weber-Problems mit einem Standort. Der Apparat besteht

aus einer Platte, in die an den Punkten Locher gebohrt werden, die den Basisgebieten des

Problems entsprechen. Durch diese Locher werden Schnure gefuhrt, an denen Gewichte

befestigt werden, deren Masse den Gewichten im Weber-Problem entspricht. Werden die

Schnure auf der Platte verknotet, wird dieser Knoten durch die Gewichte zu dem Punkt

gezogen, der dem gewichteten geometrischen Median entspricht.[Wes93]

Das Weber-Problem erlaubt aufgrund seiner Modellierung lediglich die Berechnung des

(gewichteten) geometrischen Medians. Damit ist auch die Zielfunktion festgelegt: mini-

miert wird die gewichtete Summe der Distanzen vom Standort (dem geometrischen Medi-

an) zu den Kunden, im Fall des klassischen Weber-Problems sind die Kunden die Orte der

Rohstoffe und des Marktes. Erst Hakimi fuhrte 1964 mit dem Zentrum (engl. center) eine

andere Zielfunktion ein [Dre95a]: das (absolute) Zentrum ist der Punkt mit minimalem

(gewichteten) maximalen Abstand eines Kunden zum Standort [Hak64, Dre95a]. [Hak83]

untersuchen Standortplanung im Wettbewerb mit bereits bestehenden, aber konkurrie-

renden Standorten.”Schadliche“ (engl. (ob-)noxious) oder abstoßende Facilities wurden

erstmals durch [GD75, CG78] bearbeitet. Fur diese Art von Facilities werden Standorte

gesucht, die im Rahmen der Restriktionen moglichst weit von den Kunden entfernt sind.

Ein Beispiel fur eine solche”schadliche“ Facility ist eine Mulldeponie, die moglichst weit

entfernt von bewohnten Gebieten liegen soll.

Die Begriffe bedingtes Zentrum (engl. conditional center) und bedingter Median (engl.

conditional median) wurden durch [Min80] eingefuhrt. Diese Begriffe berucksichtigen be-

reits vorhandene Facilities. Dabei ist das bedingte Zentrum ist der Punkt, fur den die ma-

ximale bedingte Distanz minimal ist. Die bedingte Distanz ist definiert als das Minimum

der Distanz zum moglichen Standort und den vorhandenen Standorten. Entsprechend ist

der bedingte Median derjenige Punkt fur den die Summe der bedingten Distanzen mi-

nimal ist. Diese Begriffe wurden von [Dre89] auf mehrere zu wahlende bedingte Zentren

und [Dre95b] auf bedingte Mediane erweitert.

2.1.2 Eigenschaften von Standortproblemen

Die zahlreichen Anwendungen der Standortplanung und die umfangreiche Forschung in

diesem Bereich haben dazu gefuhrt, dass in der Literatur viele unterschiedliche Arten an

Standortproblemen beschrieben wurden. (author?) [Das95] geben eine Klassifizierung

der verschiedenen Problemstellungen an. Die Unterschiede der einzelnen Problemformu-

lierungen resultieren aus der Modellierung des Bedarfs und der Standorte, der verwendeten

2 GRUNDLAGEN 7

Metrik und der Anzahl der Ziele.

Je nachdem wo der Bedarf anfallt, wird zwischen planaren, Netzwerk- und diskreten

Standortproblemen unterschieden. Bei planaren Problemen wird der Bedarf durch eine

stetige, zweidimensionale Funktion modelliert und fallt somit auf der gesamten Flache

an, die Gegenstand der Planung ist. Im Gegensatz dazu entsteht der Bedarf sowohl bei

Netzwerk- als auch bei diskreten Problemen an bestimmten Punkten. Die Anzahl dieser

Punkte ist endlich[Das95]. Im Unterschied zu diskreten Problemen entsprechen die Punk-

te bei Netzwerkstandortproblemen den Knoten eines Graphen. Die Wahl der Standorte

kann ebenso auf die ganze untersuchte Flache oder nur diskrete Punkte bzw. Knoten eines

Netzwerks eingeschrankt sein. Hierbei ist zu beachten, dass ein diskretes Problem einfach

in ein Netzwerkproblem umgewandelt werden kann, indem die (euklidischen) Distanzen

zwischen einigen oder allen Punkten berechnet und diese Werte als Kantengewichte be-

trachtet werden. Das nachste Unterscheidungsmerkmal ist die Modellierung, wie sich der

Bedarf verhalt. Ist der Bedarf wahrend des betrachteten Planungshorizontes veranderlich,

wird das Modell dynamisch genannt, ansonsten statisch. Entsprechend verhalt sich der

Bedarf bei probabilistischen Modellen stochastich und bei deterministischen Modellen de-

terministisch. Weiterhin ist es in elastischen Modellen moglich, dass der Bedarf von der

Entfernung zur nachsten Facility abhangt. So ist es moglich, dass er umso großer ist, je

kurzer die Distanz zwischen Basisgebiet und Facility ist, da es in diesem Fall einfacher

ist, diese zu nutzen. In einem inelastischen Modell ist die Entfernung zur Facility kein

Bestimmungsfaktor fur die Hohe des Bedarfs. In einem Ein-Produkt-Modell wird nur eine

Art an Bedarf modelliert, in Mehr-Produkt-Modellen entsprechend mehrere, deren Bedarf

unabhangig voneinander sein kann.

Ein weiteres Merkmal eines Standortproblems ist die Modellierung der Facilities. Eine

wichtige Eigenschaft ist die Anzahl der auszuwahlenden Standorte. Ist sie exogen be-

stimmt, heißen die Probleme je nach verwendeter Zielfunktion p-Median- oder p-Center-

Probleme. Sollen zu bereits bestehenden Standorten weitere hinzugefugt werden, wer-

den die Probleme (p,q)-Median- und (p,q)-Center-Probleme genannt [Dre89, Dre95b].

Bei Uberdeckungsproblemen (engl. set-covering-problems) wird die Anzahl der Stand-

orte erst wahrend der Planung bestimmt. Weiterhin wird noch zwischen Single- und

Multi-Facility-Problemen unterschieden, wobei die algorithmische Komplexitat der Single-

Facility-Probleme geringer ist und sie oft durch Algorithmen mit polynomieller Laufzeit

exakt gelost werden konnen. Den einzelnen Facilities kann eine Kapazitat zugewiesen wer-

den. In diesem Fall muss durch die Zuweisung des Bedarfs sichergestellt werden, dass die

Kapazitat nicht uberschritten wird. Bei einem hierarchischen Modell werden die Facilities

nach ihrer Art in verschiedene Ebenen gegliedert. Zur Komplexitatsreduktion kann dieser

Fall durch eine mehrstufige Planung behandelt werden. Desweiteren konnen Wechselwir-

kungen zwischen den einzelnen Standorten auftreten.

Neben der verwendeten Metrik zur Bestimmung von Entfernungen unterscheiden sich

Standortprobleme auch die Art und Anzahl der Ziele. Bei mehreren Zielen muss im all-

2 GRUNDLAGEN 8

gemeinen zwischen diesen abgewogen werden. Die Art der Ziele ist haufig implizit durch

die Modellstruktur gegeben. So wird in einem Median-Problem immer die (gewichtete)

Summe der Entfernungen zu den Standorten minimiert. Die verschiedenen Zielfunktionen

werden im nachsten Abschnitt ausfuhrlich behandelt.

2.1.3 Zielfunktionen in der Standortplanung

Die vielfaltigen Anwendungen der Standortplanung erfordern Modelle fur die unterschied-

lichsten Arten von Facilities, da der optimale Standort vom Zweck der Einrichtung abhangt.

Diese Unterschiede werden in den Modellen durch die Zielfunktionen abgebildet. [Dre95a]

gibt einen Uberblick uber Zielfunktionen, die in der Standortplanung verwendet werden.

Grundsatzlich wird dort zwischen nutzlichen (erwunschten) Facilities und schadlichen

(unerwunschten) Facilities unterschieden. Nutzliche Einrichtungen erbringen eine Dienst-

leistung, welche die Kunden moglichst in ihrer Nahe haben wollen. Der Standort einer

nutzlichen Facility sollte daher moglichst nahe bei den Kunden liegen, diese ziehen die

Einrichtung in ihre Richtung (pull objective). Von einer unerwunschten Einrichtung gehen

dagegen Storungen aus, welche die Kunden nicht in ihrer Nahe haben mochten. Ein solcher

Standort sollte daher so weit entfernt von den Kunden wie moglich platziert werden, die

Kunden stoßen eine entsprechende Einrichtung ab (push objective)[Dre95a]. Auch Kom-

binationen aus nutzlicher und schadlicher Einrichtung sind denkbar (push-pull objective).

Solche Einrichtungen sind in der Praxis haufiger zu finden als rein schadliche, wobei sich

der Kundenkreis, fur den die Facility attraktiv ist von dem Kundenkreis unterscheiden

kann, fur den die Facility unattraktiv ist[Kal06]. Eine Push-Pull-Zielfunktion wird im

einfachsten Fall durch eine gewichtete Summe aus Push- und Pull-Zielfunktion gebildet.

Eine andere Moglichkeit ist die Einfuhrung von Mindest- bzw. Maximalentfernungen, um

die zulassigen Standorte einzugrenzen, und nur eine Zielfunktion zu optimieren.

[Dre95a] erwahnen noch eine weitere Klasse von Zielfunktionen. Diese balancierenden

Funktionen dienen dazu, die Distanzen zwischen Kunden und Standort moglichst gleich-

maßig zu gestalten. Hinter solchen Zielfunktionen steht der Gedanke einer gerechten An-

ordnung der Einrichtungen. Allerdings ist der Gerechtigskeitsbegriff schwer zu quantifi-

zieren [Dre95a]. Daher wird in dieser Arbeit nicht naher auf Zielfunktionen eingegangen,

die Distanzen balancieren sollen. Aufgrund der Modularitat des Recursive-Partitioning-

Algorithmus stellt die Integration solcher Ziele keine große Herausforderung dar.

Push- und Pull-Zielfunktionen sind Funktionen der Distanzen zwischen Kunden und

Standorten und werden fur das Location-Problem, die Auswahl eines oder mehrerer Stand-

orte, verwendet. Bei der Auswahl mehrerer Standorte, ordnen die betrachteten Zielfunk-

tionen implizit jeden Kunden der nachstgelegenen Einrichtung zu. Fur die Berechnung

der Zielfunktion sind nur die Distanzen zwischen den Kunden und dem Standort, dem

sie zugeordnet werden, von Bedeutung. Wie viele Kunden oder wie viel Bedarf den ein-

2 GRUNDLAGEN 9

Name Beschreibung Zielkategorie

Median Punkt minimaler Abstandssumme Minisum Pull

Center Punkt mit minimaler Maximaldistanz Minimax Pull

Centdian Kombination aus Center und Median Pull

k-Center Center der k weitest entfernten Kunden Pull

Maxian Punkt mit maximaler Abstandssumme Maxisum Push

Anticenter Punkt mit maximaler Minimaldistanz Maximin Push

Tabelle 1: Wichtige Zielfunktionen der Standortplanung

zelnen Standorten zugeordnet wird, spielt hingegen keine Rolle. Den gesamten Bedarf

moglichst gleichmaßig unter den Einrichtungen aufzuteilen, ist jedoch ein wichtiges Ziel

des Allocation-Problems. Auf Zielfunktionen fur eine moglichst gerechte Aufteilung des

Bedarfs wird im Abschnitt uber Gebietsplanung naher eingegangen.

Nutzliche Facilities

Nutzliche Einrichtungen werden so nahe wie moglich an die Kunden platziert. Hierfur wer-

den die Distanzen zwischen Basisgebieten und und zugeordneten Standorten minimiert.

Die alteste in der Standortplanung verwendete Zielfunktion in der Standortplanung ist

die zur Berechnung des gewichteten geometrischen Medians.

fmedian = minx∈X{

n∑i=1

wi · d(vi, x)}, n = |V | (2.1)

Der Faktor wi ist ein fur jedes Basisgebiet individuelles Gewicht. Mediane werden haufig

zur Kostenminimierung verwendet. Der Wert wi entspricht in diesem Fall den Kosten der

Versorgung des i-ten Kunden (Transportkosten etc.). Da solche Zielfunktionen die Summe

der Distanzen zur Facility minimieren, wird diese Klasse auch Minisum genannt[Dre95a].

Die p-Mediane Xp einer Menge sind die p Punkte Xp, fur welche die Summe der gewich-

teten Abstande der Kunden zum jeweils nachsten Punkt in Xp minimal ist:

fp−median = minXp⊂X,|Xp|=p

{n∑i=1

minx∈Xp

(wi · d(vi, x))} (2.2)

Bei der Berechnung der (p,q)-Mediane existieren bereits q Facilities und sollen um p neue

Einrichtungen erweitert werden. Die entsprechende Zielfunktion ist:

f(p,q)−median = minXp⊂X,|Xp|=p

{n∑i=1

min{miny∈Yq

(wi · d(vi, y), minx∈Xp

(wi · d(vi, x))}} (2.3)

Standortprobleme mit einer Minisum-Zielfunktion werden p-Median-Probleme genannt.

Wahrend private Akteure fur ihre Einrichtungen in der Regel kostenminimale Standorte

2 GRUNDLAGEN 10

suchen, werden fur offentliche Einrichtungen gerechte Standorte gesucht. In diesem Zu-

sammenhang gilt eine Planung als gerecht, wenn der Nutzer, der am schlechtesten gestellt

wird, so gut wie moglich behandelt wird. Dieses Ziel wird durch das geometrische Zentrum

erreicht.

fcenter = minx∈X{maxi∈V

(wi · d(vi, x)} (2.4)

Entsprechend den p-Medianen sind die p-Zentren die p Punkte, so dass die großte Ent-

fernung eines Kunden zum nachsten Punkt in Xp minimal wird.

fp−center = minXp⊂X

{minx∈Xp

(wi · d(vi, x))} (2.5)

Entsprechend den Gleichungen (2.3) und (2.5) lautet die Zielfunktion fur die (p,q)-Center:

f(p,q)−center = minXp⊂X

{max[miny∈Yq

(wi · d(vi, y), minx∈Xp

(wi · d(vi, x))]} (2.6)

Diese Zielfunktionsklasse wird auch Minimax genannt, die entsprechenden Probleme hei-

ßen p-Center-Probleme[Dre95a].

Der Centdian [Hal76] ist eine konvexe Kombination aus Median und Zentrum. Sowohl

die mittlere Entfernung als auch die maximale Entfernung gehen in die Zielfunktion ein

[Kal06]

fcentdian = α · fmedian + (1− α) · fcenter (2.7)

Diese Zielfunktion ist eine Verallgemeinerung der Zielfunktionen von Median und Zen-

trum: α = 1 ⇒ fcentdian = fmedian und α = 0 ⇒ fcentdian = fcenter. Hier wird ein

kostengunstiger Standort gesucht, wobei die maximale Distanz zu einem Kunden nicht zu

groß sein sollte. Eine weitere Kombination aus Median und Zentrum ist das k-Zentrum.

Hier wird ein Standort mit minimaler Abstandssumme zu den k Kunden mit der großten

Entfernung gesucht [Kal06].

fk−center = minx∈X{

n∑i=n−k+1

wi · d(vi, x)} (2.8)

Auch das k-Zentrum verallgemeinert die Konzepte von Median und Zentrum. Wird k = n

gewahlt, entspricht die Zielfunktion der des Medians, fur k = 1 entspricht sie der des

Zentrums.

Eine weitere Klasse von Zielfunktionen der Standortplanung sind die Abdeckungsproble-

me (covering problems). Hier existieren zwei Varianten, das Max-Cover-Problem und das

Min-Cover-Problem. Beim Max-Cover-Problem sollen mit einer festen Anzahl Facilities

moglichst viele Kunden oder moglichst viel Bedarf abgedeckt werden. Die Reichweite einer

Einrichtung wird etwa durch einen Radius bestimmt, indem alle Kunden bedient werden,

oder durch eine Kapazitat, wobei nur die nachstliegenden Kunden bedient werden, bis

die Kapazitat ausgelastet ist. Beim Min-Cover-Problem soll das gesamte Planungsgebiet

durch moglichst wenig Facilities bedient werden. In diesem Fall ist die Anzahl der gewahl-

ten Standorte endogen und wird erst im Planungsverlauf festgelegt.

2 GRUNDLAGEN 11

Schadliche Facilities

Schadliche oder unerwunschte Einrichtungen werden so weit wie moglich von den Kunden

entfernt platziert. Eine mogliche Zielfunktion eines solchen Standortproblems ist die des

Maxians. Der Maxian ist der Punkt, der die Summe der gewichteten Distanzen maximiert.

fmaxian = maxx∈X{

n∑i=1

wi · d(vi, x)} (2.9)

Der Maxian oder ist das Gegenstuck zum Median und wird daher auch Antimedian ge-

nannt, diese Zielfunktionsklasse heißt Maxisum[Dre95a]. Offensichtlich muss die Menge

der moglichen Standorte begrenzt werden, damit diese Funktion eine eindeutige Losung

liefert, da sonst der Standort unendlich weit in jede beliebige Richtung verschoben werden

kann[Dre95a].

Eine weitere Zielfunktion fur schadliche Einrichtungen maximiert die minimale Entfer-

nung eines Kunden zum Standort.

fanticenter = maxx∈X{mini∈V

(wi · d(vi, x)} (2.10)

Diese Problemstellung entspricht der Suche nach dem großtmoglichen leeren Kreis inner-

halb der Punktemenge. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist dann der optimale Standort

fur die Einrichtung. Da diese Zielfunktion das Gegenteil des Zentrums berechnet, wird

der entsprechende Punkt Antizentrum genannt, die Zielfunktion wird Maximin genannt.

[Dre95a]

Auch wenn nur wenige Arbeiten mehr als eine schadliche unerwunschte Einrichtung gleich-

zeitig betrachten, ist es moglich, entsprechend den p-Medianen und p-Zentren auch die

p-Maxiane und p-Antizentren zu berechnen. Die entsprechenden Zielfunktionen sind

fp−maxian = maxXp⊂X,|Xp|=p

{n∑i=1

minx∈Xp

(wi · d(vi, x))} (2.11)

fp−anticenter = maxXp⊂X

{minx∈Xp

[wi · d(vi, x)]} (2.12)

2.1.4 Komplexitat

[KH79b] liefern einen Beweis dafur, dass das p-Median-Problem fur allgemeine Graphen

NP-schwer ist. Dies gilt auch fur einfache Netzwerkstrukturen mit einem maximalen Grad

von 3. [KH79a] erbringen den Beweis der NP-Schwere auch fur das p-Center-Problem

auf einfachen Netzwerken (maximaler Knotengrad wieder 3). Die NP-schwere fur diskre-

te p-Median- und p-Center-Probleme (ohne Netzwerkstruktur) wird durch [MS84] be-

wiesen. Set-Covering-Probleme gehoren zu den 21 Problemen, fur die Richard Karp die

NP-Vollstandigkeit nachwies [Kar72]. Gilt P 6= NP existiert fur Standortprobleme mit

mehreren Standorten kein Algorithmus der eine optimale Losung in polynomieller Zeit

berechnen kann.

Im Gegensatz zu den Multi-Facility-Problemen ist die Berechnung des 1-Medians bzw. des

2 GRUNDLAGEN 12

1-Centers einer Menge in polynomieller Zeit moglich. Betrachte dazu folgendes simples

Verfahren. Zuerst werden in quadratischer Laufzeit alle paarweisen Distanzen der Punkte

berechnet. Anschließend mussen fur jeden einzelnen Punkt die Summe der Entfernungen

zu allen anderen Punkten bzw. die maximale Distanz zu einem anderen Punkt berechnet

werden. Dieser Schritt erfordert fur jeden einzelnen Knoten lineare und daher fur die ge-

samte Menge quadratische Laufzeit. Die Berechnung des Minimalwertes kann in linearer

Zeit absolviert werden. Mit diesem Vorgehen konnen sowohl 1-Median als auch 1-Center

mit quadratischem Aufwand berechnet werden.

2.1.5 Anwendungen

Die Standortplanung hat zahlreiche betrieblichswirtschaftliche Anwendungen, von denen

die Wahl eines Produktionsstandortes die historisch bedeutendste ist. Eng verwandt mit

dieser Problemstellung ist die Platzierung von Außenlagern und Zweigstellen. Auch die

Planung betrieblicher Ablaufe kann mit den Methoden der Standortplanung durchgefuhrt

werden. Beispiele hierfur sind das Airline Crew Scheduling oder die Produktionspro-

grammplanung in einer Fabrik [Das95]. Im offentlichen Bereich sind nahezu alle offentli-

chen Einrichtungen wie Schulen, Bibliotheken und Freizeiteinrichtungen Gegenstand der

Standortplanung. Besondere Beachtung in der Literatur fand die Planung von Notfallein-

richtungen. Hierzu zahlen Polizei- und Feuerwehrstationen sowie Krankenhauser und Ret-

tungswagen. Die Planung offentlicher Einrichtungen wird haufig als Abdeckungsproblem

formuliert, da hier eine moglichst kostengunstige Versorgung der gesamten Bevolkerung

angestrebt wird.

An der Schnittstelle zwischen privater und offentlicher Planung liegen Infrastrukturproble-

me. Versorgungseinrichtungen wie Kraft- und Wasserwerke erbringen Dienste, wirken aber

aufgrund der Emission von Larm oder Abgasen unattraktiv auf Wohngebiete. Wahrend

hier zwischen kostengunstigen Standorten und den Bedurfnissen der Burger abgewogen

wird, uberwiegen bei Standorten fur die Mullentsorgung Push-Ziele. [Hak64] untersuchte

die optimalen Standorte von Switches in Kommunikationsnetzwerken. Dies ist sowohl fur

offentliche als auch betriebliche Netze von Interesse.

2.2 Gebietsplanung

Gebietsplanung bezeichnet die Aggregation kleiner Einheiten (Basisgebiete) zu ubergeord-

neten Einheiten, den Distrikten, Territorien oder Gebieten, wobei jene vorher definierten

Kriterien genugen sollen [Kal06]. Jedem Basisgebiet ist die sogenannte Aktivitat zuge-

ordnet, welche die Große des Bedarfs dieses Basisgebiets angibt. Ein Distrikt kann ein

ausgewiesenes Zentrum enthalten, welches die Versorgung dieses Distrikts ubernimmt,

dies muss aber nicht der Fall sein. Im Unterschied zur Standortplanung sind die Zen-

tren, falls vorhanden, vorher bekannt und werden im Laufe der Planung nicht verandert.

Die Gebietsplanung mit Zentren kann daher als Entsprechung der Allocation-Phase der

2 GRUNDLAGEN 13

Standortplanung betrachtet werden.

Nach [HS71] wird zu Beginn der Planung jene Eigenschaft der Basisgebiete als Aktivitat

definiert, fur die das Balancekriterium erfullt sein soll. Der Zusammenhang eines Distrik-

tes ist bei der Einteilung von Service- oder Verkaufsgebieten besonders wichtig, um die

Erfullung des Bedarfs durch das Zentrum zu ermoglichen oder zumindest Fahrzeiten durch

andere Gebiete zu vermeiden, wird aber auch bei Wahlkreisen eingefordert.

Eine große Bedeutung fur die weitere Planung hat die Frage, ob Verwaltungsgrenzen be-

achtet oder ignoriert werden. Sollen Verwaltungseinheiten intakt bleiben, kann dies eine

mehrstufige Planung erfordern. So durfen in einigen Staaten Wahlkreise keine Grenzen

der Gliedstaaten uberschreiten. In diesem Fall wird den Gliedstaaten eine Anzahl an

Wahlkreisen zugewiesen, die ihrem Bevolkerungsanteil entspricht und die Einteilung der

Wahlkreise erfolgt separat in jedem Gliedstaat. Auch fur die Planung von Verkaufsgebie-

ten kann ein solches Vorgehen sinnvoll sein, etwa wenn es sich bei der Verwaltungsgrenze

auch um eine Sprachgrenze handelt.

2.2.1 Entwicklung der Gebietsplanung

Wahrend politische Parteien in den USA schon seit dem fruhen 19. Jahrhundert Wahl-

kreise einteilten, um die Anzahl ihrer Abgeordneten zu maximieren [Mar08], begann die

wissenschaftliche Bearbeitung des Problems in den 1960er Jahren, nachdem das oberste

Gericht der Vereinigten Staaten, der United States Supreme Court, in mehreren Urtei-

len eine Neueinteilung nach bestimmten Kriterien erzwang. Das Gericht forderte, dass

Wahlkreise gleich viele Einwohner haben, zusammenhangend und kompakt sein sollten.

Vor allem das Kompaktheitskriterium soll das sogenannte Gerrymandering verhindern.

[HWS+65] entwickeln ein Verfahren fur die objektive Wahlkreiseinteilung, indem sie das

Problem als Warehouse-Location-Problem auffassen. Als Kompaktheitsmaß wurde die

Summe der quadrierten Abstande der Bevolkerung zum geografischen Mittelpunkt des

Wahlkreises verwendet. [GN70] unterscheiden zwischen Bevolkerungs- und geografischer

Kompaktheit. Bevolkerungskompaktheit misst den Abstand der Bevolkerung zum Zen-

Abbildung 2: Gebietsplan mit Grenzen der Distrikte

2 GRUNDLAGEN 14

trum des Distrikts, wahrend geografische Kompaktheit die Form des Distrikts beschreibt.

Geografische Kompaktheit kann wiederum in Distanzkompaktheit, bei der die maximale

Distanz zweier Basisgebiete innerhalb eines Distrikts bestimmt wird, und Formkompakt-

heit, dem Verhaltnis von maximaler Distanz zur Flache, unterteilt werden.

Fur die Planung von Verkaufsgebieten fuhren [HS71] das Aktivitatsmaß ein als die Eigen-

schaft, welche das Kriterium der Balance erfullen und somit moglichst gleichmaßig auf die

Gebiete aufgeteilt werden sollte. Desweiteren verweisen sie auf die Ahnlichkeiten zwischen

der Einteilung von Wahlkreisen und jener von Verkaufsgebieten.

[HOR72] weist darauf hin, dass bereits die Gruppierung der Bevolkerung zu Basisgebie-

ten voreingenommen sein kann, so dass objektive Planung unmoglich werden kann. Ein

Distrikt gilt als kompakt, wenn er nahezu konvex ist. Eine kritische Betrachtung beliebter

Kompaktheitsmaße findet sich in [You88]. Das Problem der Verwendung euklidischer Di-

stanzen als Kompaktheitsmaß wird von [MJN98] hervorgehoben. Dieses Problem lasst sich

auch nicht durch Verwendung gewichteter Entfernungen losen. Daher definieren [MJN98]

den Abstand zweier Basisgebiete als Netzwerkabstand, wobei zwei Gebiete dann benach-

bart sind, wenn sie eine gemeinsame Grenze teilen.

Die Grenzlange zwischen den Distrikten wird von [BEL03] als Kompaktheitsmaß ein-

gefuhrt. Außengrenzen der Planungsregion werden nicht betrachtet. [BLL03] definieren

fur die Planung von Zustandigkeitsgebieten der hauslichen Pflege als Kompaktheitsmaß

den Quotienten der durchschnittlichen Entfernung zweier Basisgebiete eines Distrikts und

des Quadrats des Bedarfs der Basisgebiete.

In der Geschichte der Gebietsplanung mangelt es an eigenstandigen Losungsverfahren.

Gebietsplanungsprobleme wurden gelost, indem die Problemstellung auf andere Opti-

mierungsprobleme ubertragen wurde und dann mit den entsprechenden Verfahren gelost

wurde. Ein spezifisches Verfahren zur Losung von Gebietsplanungsproblemen mit Mitteln

der algorithmischen Geometrie wird von [KNS05] vorgestellt.

2.2.2 Ziele der Gebietsplanung

Im Gegensatz zur Standortplanung ist die Lage von Standorten, falls vorhanden, wahrend

der Gebietsplanung fest. Daher existieren fur die Gebietsplanung keine Zielfunktionen, die

zwischen attraktiven und unattraktiven Einrichtungen unterscheiden. Wichtige Ziele der

Gebietsplanung sind Balance und (geografische) Kompaktheit [Kal06]. Balance bezeich-

net dabei das Ziel, dass die Distrikte bezogen auf die Aktivitat moglichst gleich groß

sind. Kompaktheit hingegen bezieht sich auf die Struktur eines Gebiets und ist wesentlich

schwieriger zu definieren. [Kal06] beschreibt ein kompaktes Gebiet als ”annahernd rund

und nicht verzerrt“. Diese Definition von Kompaktheit stammt aus den beiden wichtigsten

Anwendungen der Gebietsplanung, des Designs von Wahlkreisen und Verkaufsgebieten von

Außendienstmitarbeitern. Beim Wahlkreisdesign erschwert die Forderung nach kompak-

ten Gebieten das Gerrymandering, die Einteilung der Wahlkreise nach demographischen

2 GRUNDLAGEN 15

Kriterien, um die Sitzanzahl einer Partei zu maximieren. Ein kompaktes Verkaufsgebiet

soll die unproduktiven Fahrtzeiten des Mitarbeiters zwischen den Kunden minimieren.

Balance

Die Balance eines Distrikts ist definiert als die Abweichung der Aktivitat dieses Distrikts

vom Durchschnitt aller Distrikte, wobei die Aktivitat eines Distrikts der Summe der Ak-

tivitaten seiner Basisgebiete entspricht. Da die einzelnen Gebiete annahernd gleich groß

sein sollten, ist der Zielwert ist die großte relative Abweichung eines Distriktes vom Mit-

telwert. Fur ein Gebietsplanungsproblem mit n Distrikten Di≤n ist die Balance wie folgt

definiert:

fbalance = maxi|w(Di)− µ

µ|, µ =

∑ni w(Di)

n(2.13)

Sind den Zentren der Distrikte wie bei der Planung von Verkaufsgebieten Kapazitaten

zugeordnet, ist es sinnvoll, Balance als gleichmaßige Auslastung der einzelnen Zentren zu

definieren. Die Auslastung ui des i-ten Zentrums und die durchschnittliche Auslastung uµ

sind nachstehend definiert.

ui =w(Di)

ci, uµ =

∑ni w(Di)∑n

i ci(2.14)

Daraus ergibt sich die Definition der Balance der Auslastungen zu

fbalance−utilitization = maxi|ui − uµ

uµ| (2.15)

Kompaktheit

Wahrend Balance und Zusammenhang einfach zu definieren und damit bei einer Losung

einfach zu kontrollieren sind, ist Kompaktheit ein schwierig zu definierendes Ziel. [Kal06]

beschreibt ein kompaktes Gebiet als ”annahernd rund und nicht verzerrt“ [Kal06]. Auf-

grund der schwierigen Formalisierung dieses Begriffs existieren entsprechend viele Versu-

che, Kompaktheit zu definieren. Grundsatzlich konnen Bevolkerungskompakheit und geo-

grafische Kompaktheit voneinander unterschieden werden [GN70]. Bevolkerungskompakt-

heit bezieht sich auf die (gewichteten) Distanzen der Basisgebiete zum Zentrum des Di-

strikts. Hat der Distrikt wie bei der Wahlkreiseinteilung kein ausgewiesenes Zentrum, kann

etwa das geografische Zentrum verwendet werden. Geografische Kompaktheit misst entwe-

der die Ausdehnung des Distrikts oder dessen Form. Funktionen, mit denen Bevolkerungs-

kompaktheit gemessen werden, sind haufig aus der Standortplanung bekannt. Bevolkerung

ist ein spezielles Aktivitatsmaß, die allgemeine Bezeichnung ist Aktivitatskompaktheit.

[You88] beschreibt acht geografische Kompaktheitsmaße und geht insbesondere auf de-

ren Schwachen ein. Von diesen Maßen sind die von [Reo61] sowie [Sch65] eingefuhrten

die bedeutendsten. Das Roeck-Maß [Reo61] vergleicht die Flache eines Distrikts mit der

Flache des kleinsten Kreises, der den Distrikt enthalt. Der Wert des Maßes entspricht dem

2 GRUNDLAGEN 16

Flacheninhalt des Distrikts geteilt durch den Flacheninhalt des umschließenden Kreises

mit Radius r.

froeck =A

π · r2(2.16)

Der Wert, den das Roeck-Maß dem Distrikt zuordnet, liegt daher zwischen 0 und 1. Ein

Distrikt ist umso kompakter, je großer der Wert ist. Ein großes Problem dieses Maßes ist,

dass Gebiete einen guten Wert erreichen, obwohl sie ”innerhalb einer begrenzten Flache

hin und her maandrieren“ [You88]. [Sch65] fuhrt ein Maß ein, dass den Umfang eines

Distriktes mit dem Umfang eines Kreises mit gleicher Flache vergleicht. Der Wert, der

dem Distrikt zugewiesen wird, ist der Umfang des Distrikts p geteilt durch den Umfang

des Kreises.

fschwartzberg =p

2 ·√

Aπ

(2.17)

Je kleiner der Wert, desto kompakter ist das bewertete Gebiet. [You88] kritisiert, dass

selbst kompakte Distrikte vom Schwartzberg-Maß schlecht bewertet werden, wenn der

Umfang zu lang, was aufgrund der Berucksichtigung administrativer Grenzen moglich ist.

Letzlich werden alle untersuchten Maße durch [You88] abgelehnt, was zeigt, wie schwierig

die Definition eines zweckmaßigen Kompaktheitsmaßes ist. Dabei ist zu beachten, dass

Kompaktheit lediglich ein Metaziel ist, dass verwendet wird, um ein anderes Ziel zu er-

reichen. Bei der Wahlkreiseinteilung ist dieses Ziel die gerechte Zuordnung der Wahler

zu den einzelnen Wahlkreisen. Das Ziel der Gestaltung von Außendienstbezirken ist die

Minimierung der unproduktiven Fahrtzeit der Mitarbeiter[HS71].

2.2.3 Anwendungen

Die in der Literatur bedeutendsten Anwendungen der Gebietsplanung sind die Einteilung

von Wahlkreisen und Bezirken von Außendienstmitarbeitern. Die Wahlkreisplanung ist

dabei ein Beispiel fur Gebietsplanung ohne ausgewiesene Zentren in den Distrikten. Ein

weiteres Beispiel ist die Einteilung eines Stromnetzes in Regionen, die dann privatisiert

werden sollen. Im Gegensatz dazu haben die Bezirke von Außendienstmitarbeitern ein

solches Zentrum, den Arbeits- oder Wohnort des zustandigen Mitarbeiters. Eine Schule

ist ebenso das Zentrum eines Schulbezirks wie Amter fur ihre zustandigen Bezirke. Hier

ist eine Gebietsplanung dann notwendig, wenn die Wahl der Schule oder des amtlichen

Stelle den Burgern nicht freigestellt ist. Ein Beispiel hierfur sind Stimmbezirke, in denen

die Wahler ein bestimmtes Wahllokal nutzen mussen.

[Kal06] erwahnt die mehrstufige Gebietsplanung von Winterdiensten, Mullentsorgung und

den Notfalldiensten Polizei, Feuerwehr und Rettungsdiensten. Hierbei wird auf der oberen

Ebene die Planungsregion in Gebiete unterteilt, in denen jeweils ein Depot, eine Polizei-

oder Feuerwache oder ein Krankenhaus liegt. Auf dieser Ebene findet eine Gebietspla-

nung mit Zentren statt. Auf der unteren Ebene werden die Zustandigkeiten innerhalb

der Gebiete im Rahmen einer Gebietsplanung ohne Zentrum auf die einzelnen Fahrzeuge

2 GRUNDLAGEN 17

verteilt. Sind die Standorte der Zentren festzulegen, handelt es bei der Planung auf der

oberen Ebene um Standortplanung.

2.3 Einordnung dieser Arbeit

Gegenstand dieser Arbeit ist die Weiterentwicklung des von [Kal06] entwickelten Verfah-

rens zur Gebietsplanung, das in einfacher Weise zur Standortplanung verwendet werden

kann. Ziel ist ein Verfahren zur Planung zusatzlicher Standorte unter Beachtung bereits

vorhandener Einrichtungen. Dabei sollen einerseits die Standorte der neu einzurichtenden

Facilities ausgewahlt werden. Zum anderen sollen die Distrikte der einzelnen Einrichtung

gebildet, die Basisgebiete den Facilities zugewiesen werden. Den einzelnen Facilities ist

keine Kapazitat zugewiesen.

Dabei werden diskrete Standortprobleme betrachtet. Der Bedarf fallt nur an bestimm-

ten Punkten an und ist im Voraus bekannt und unabhangig von der Entfernung zum

nachsten Standort. Da nur eine Planungsperiode betrachtet wird, ist der Bedarf statisch.

Weiterhin wird ein Ein-Produkt-Modell verwendet, das Aktivitatsmaß besitzt somit nur

eine Dimension. Die Zahl der auszuwahlenden Standorte ist exogen vorgegeben und die

Menge der moglichen Standorte entspricht der Menge der Basisgebiete. Die Anzahl der

durch die Planung verfolgten Ziele ist variabel, wobei fur die Bewertung des Algorithmus

mehrere Ziele verwendet werden.

3 Recursive Partitioning

Ein Gebietsplanungsproblem besteht aus einer Menge an Basisgebieten und einer Zahl

einzuteilender Distrikte. Fur eine Losung mussen Basisgebiete so auf die Distrikte aufge-

teilt werden, dass die Kriterien Balance, Zusammenhang und Kompaktheit erfullt wer-

den. Eine aquivalente Formulierung des Problems besagt dass die Basisgebiete zu große-

ren Distrikten zusammengefasst werden, wobei ein Distrikt eine Menge an Basisgebieten

reprasentiert. Der von [Kal06] entwickelte Recursive-Partitioning-Algorithmus (Rec-Part-

Algorithmus) nutzt die zweite Formulierung des Gebietsplanungsproblems und verwendet

einen Teile-und-Herrsche-Ansatz zur Losung.

Die ursprungliche Probleminstanz wird so lange in kleinere Teilprobleme unterteilt, bis

ein solches Teilproblem nur noch aus einem zu bildenden Distrikt und einer Liste an Ba-

sisgebieten besteht. Diese Basisgebiete bilden dann in naturlicher Weise einen Distrikt.

Fur ein Problem mit Zentren muss deren Anzahl mindestens so groß sein muss wie der

Anzahl der Distrikte. Die Ausgabe des Algorithmus ist eine Liste an Distrikten, wobei

jeder Distrikt eine Liste der ihm zugeordneten Basisgebiete und Einrichtungen enthalt.

Ein Distrikt besteht dabei immer aus mindestens einem Basisgebiet. Handelt es sich um

ein Problem mit Zentren, enthalt ein Distrikt auch mindestens eine Einrichtung.

Der Recursive-Partitioning-Algorithmus ist durch die Trennung von Modellierung und

3 RECURSIVE PARTITIONING 18

Problemstellung sehr flexibel verglichen mit anderen Verfahren der Gebietsplanung. Die

Berechnung und Bewertung der Partitionen ist unabhangig von der Bewertung der Losung.

Hierdurch konnen fur die Aufteilung eines Problems in seine Teilprobleme und die Bewer-

tung der berechneten Losung verschiedene Kriterien verwendet werden. Weiterhin ist der

Algorithmus modular aufgebaut. So konnen alternative Verfahren fur die Berechnung der

Partitionen ebenso einfach in den Algorithmus integriert werden wie neue Maße fur die

Bewertung von Qualitat und Gultigkeit der Partitionen. Auch die Reihenfolge, in der die

einzelnen Teilprobleme bearbeitet werden, kann von der hier verwendeten Breitensuche

abweichen.

3.1 Partitionen

Der Recursive-Partitioning-Algorithmus erzeugt fur ein (Teil-)Problem verschiedene Auf-

teilungen, die Partitionen, die nach verschiedenen Kriterien bewertet werden. Die Bewer-

tungen werden gewichtet und zu einem Wert zusammengefasst, der die Qualitat einer

Partition beschreibt. Anhand dieser Werte werden die Partitionen sortiert und aus der

Aufteilung mit der besten Bewertung werden zwei Teilprobleme erzeugt.

Definition 1 (Partition). Eine Partition P = (Bl, Br) einer Punktemenge B ist ein 2-

Tupel, sodass Bl, Br 6= ∅, Bl ∪Br = B, Bl ∩Br = ∅.

Die beiden Mengen Bl, Br werden linke und rechte Seite bzw. Halfte der Partition

genannt. Eine Partition, deren Seiten durch eine Gerade voneinander getrennt werden

konnen, wird als Line Partition bezeichnet. Wahrend die Zahl der moglichen Partitionen

einer Punktemenge B exponentiell mit |B| wachst, ist die Anzahl der Line Partitions

durch |B| beschrankt [Kal06]. Die Gerade, die eine Line Partition in zwei Seiten trennt,

wird Linie oder Trennlinie genannt.

Definition 2 (Problem). Ein Problem P = (B, q) ist definiert durch eine Punktemenge

B und einer Zahl q ∈ N+, welche die Anzahl der Distrikte beschreibt, in die B aufgeteilt

werden soll.

Ein Problem beschreibt eine Gebietsplanungsinstanz. Die Menge B reprasentiert die

Menge der Basisgebiete. Jedem Punkt p ∈ B wird dazu eine Aktivitat zugeordnet. Ein

Problem (B, 1) stellt einen Distrikt dar.

Definition 3 (Partition eines Problems). Eine Partition P = (Bl, Br, ql, qr) eines Pro-

blems PP = (B, q) besteht aus einer Partition (Bl, Br) sowie zwei Zahlen ql, qr ∈ N+,

ql + qr = q.

Die Zahl ql(qr) gibt an, in wie viele Distrikte die linke Seite Bl(Br) der Partition auf-

geteilt werden soll. Eine Partition unterteilt ein Problem in zwei Teilprobleme, die analog


zu den beiden Seiten der Partition linkes und rechtes Teilproblem oder linker und rech-

ter Nachfolger genannt werden. Ist Pl = (Bl, ql) [Pr = (Br, qr)] Nachfolger des Problems

P = (B, q), so heißt P Elternproblem von Pl [Pr].

B

Bl

Br

Abbildung 3: Line Partition eines Problems mit Basisgebieten B in zwei Teilprobleme mit

Basisgebieten Bl und Br

Ein Problem gilt als gelost, wenn seine Nachfolger erzeugt wurden. Dies bedeutet al-

lerdings nicht, dass eine Losung berechnet werden kann (siehe Abschnitt Backtracking).

Durch die Aufteilung der Probleme in je zwei Teilprobleme wird eine Binarbaumstruktur

induziert. Die Wurzel dieses Baumes bildet das ursprunglich zu losende Problem, welches

daher auch Root-Problem genannt wird. Der gesamte Baum wird Problem-Baum genannt.

Definition 4 (Suchrichtung). Eine Suchrichtung k ist ein Winkel α, um den die Koordi-

naten der Punkte einer Punktmenge B gedreht werden.

Nach der Koordinatentransformation werden die Punkte anhand ihrer transformierten

x-Koordinaten sortiert.

Fur die Aufteilung der Distrikte eines Problems existieren q − 1 Moglichkeiten. Der Rec-

Part-Algorithmus betrachtet nur Partitionen mit gleich vielen Distrikten auf beiden Sei-

ten. Fur eine gerade Anzahl q werden folglich beiden Seiten jeweils die Halfte der Distrikte

zugeordnet (ql = qr = q2). Ist die Anzahl der Distrikte eines Problems ungerade, werden

zwei Aufteilungen betrachtet. Die erste Aufteilung ordnet der linken Halfte ql1 = b q2c Di-

strikte zu. Die zweite Aufteilung weist der linken Halfte ql2 = d q2e Distrikte zu. Dement-

sprechend werden der rechten Seite qr1 = d q2e bzw. qr2 = b q

2c zugewiesen. Aufgrund

dieser Aufteilung der Distrikte sind die Teilprobleme einer Ebene des Problem-Baums

etwa gleich groß.

Der Rec-Part-Algorithmus erzeugt Partitionen fur ein Problem balanceorientiert. Zunachst

werden die Basisgebiete entsprechend einer Suchrichtung sortiert. Anschließend wird durch

die sortierte Liste iteriert und die Aktivitat der einzelnen Basisgebiete summiert, bis diese

Summe einen Zielwert thr uberschreitet. Der Zielwert wird so gewahlt, dass die durch-

schnittliche Aktivitat pro Distrikt auf beiden Seiten moglichst gleich groß ist. Fur gerade


q wird nur ein Zielwert benotigt:

thr =

∑i∈B w(i)

2

Ist die Anzahl der Distrikte q ungerade, werden zwei Partitionen erzeugt und es werden

zwei Zielwerte berechnet:

thr1 =∑i∈B

w(i)b q2cq

thr2 =∑i∈B

w(i)d q2eq

Sei i der Index des Basisgebiets, fur das die Summe der Aktivitaten der betrachteten

Basisgebiete den Zielwert thr ubersteigt (i ∈ B :∑

j<iw(j) < thr,∑

j≤iw(j) ≥ thr).

Dann werden die beiden Seiten der Partition wie folgt gebildet:

Bl = {j|j < i}

Br = {j|j > i}

Das Basisgebiet i wird dem Teilproblem zugeordnet, dass die Balance der Partition mini-

miert wird. Falls∑

j≤iw(j)− thr > w(i)2

wird es der linken Halfte zugeordnet, andernfalls

der rechten.

Im nachsten Schritt des Algorithmus werden die berechneten Partitionen auf ihre Gultig-

keit hin uberpruft. Eine Partition ist ungultig, wenn die vorgegebene Toleranz fur die

Balance einer der beiden Seiten uberschritten wird oder wenn einer Seite weniger Basis-

gebiete als Distrikte zugeordnet wurden. Die Toleranz der Balance bezieht sich auf die

durchschnittliche Aktivitat aller Distrikte und nicht nur derjenigen des aktuellen Teilpro-

blems.

Gultige Partitionen werden nach Balance und Kompaktheit bewertet. Die gewichtete Sum-

me der einzelnen Maße bildet die Bewertung der Partition. Da die einzelnen Maße Werte

stark unterschiedlicher Großenordnung zuruckgeben konnen, werden die Werte auf das In-

tervall [0, 1] projiziert. Stellt ein Bewertungsmaß eine Maximierungsaufgabe da, z.B. das

Roeck-Maß, werden die Werte innerhalb des Intervalls invertiert, so dass eine Partition

umso besser bewertet wird, je kleiner die gewichtete Summe der einzelnen Bewertungen

ist. Aus der Partition mit dem besten Score werden die beiden Teilprobleme erzeugt. Die

Funktion ErzeugeTeilprobleme((B, q)) stellt die Funktionalitat fur die Berechnung der

Partitionen, ihre Bewertung sowie die Erzeugung der Nachfolger bereit.

3.2 Ablauf des Algorithmus

Bevor der Algorithmus das Root-Problem losen kann, wird uberpruft, ob eine Losung

grundsatzlich berechenbar ist. Zu den Fallen, in denen keine Losung berechnet werden

kann, gehoren:


Funktion ErzeugeTeilprobleme(B, q)

Eingabe : Basisgebiete B, Anzahl Distrikte q

Ausgabe : p = (Bl, Br, ql, qr)] : B = Bl ∪Br, q = ql + qr

1 foreach k ∈ K do

2 Sortiere Basisgebiete

3 P ← ErzeugePartitionen((B, q))

4 foreach p ∈ P do

5 berechne Gultigkeit

6 berechne Bewertung

7 end

8 end

9 Wahle pbest : ∀p ∈ P : pb � p

10 Gebe pbest aus

• q = 0

• q > |B|

• Anzahl Suchrichtungen K = 0

• max dev = 0

Die ersten beiden Falle betreffen schlecht definierte Probleme. Ist die Zahl zu bildenden

Distrikte 0, kann nur die leere Menge zuruckgegeben werden. Ubersteigt die Anzahl q der

Distrikte die der Basisgebiete, ist mindestens ein Distrikt leer, enthalt kein Basisgebiet.

Wird die Anzahl der Suchrichtungen auf 0 gesetzt, konnen keine Partitionen berechnet

werden und somit keine Teilprobleme erzeugt werden. Der Parameter max dev gibt die

relative Abweichung der Balance einer Partition an, die toleriert wird. Fur max dev = 0

werden alle erzeugten Partitionen als ungultig eingestuft, welche die Aktivitat nicht per-

fekt auf beide Seiten aufteilen. Da diskrete Probleme behandelt werden, ist die Wahr-

scheinlichkeit, dass dies moglich ist, sehr klein.

Algorithmus 3.1 verwaltet zwei Datenstrukturen, den binaren Baum der Probleme und

ihrer Nachfolger und eine Liste der aktiven Probleme. Ein Problem wird aktiv genannt,

wenn es mehr als einen zu bildenden Distrikt enthalt und noch keine Nachfolger erzeugt

wurden. Die Probleme, die einen Distrikt reprasentieren (q = 1), bilden die Menge der

Blatter des Baumes. Nachdem alle aktiven Probleme gelost wurden, wird der Baum traver-

siert und alle Blatter in die Menge der Distrikte aufgenommen. Die Knoten des Baumes

erhalten einen level-order-Index, welcher der Reihenfolge der Traversierung durch eine

Breitensuche entspricht (Abbildung 3.4).

Innerhalb der Liste aktiver Probleme werden die Probleme gemaß ihrer Indizes im Baum


1

2 3

4 5 6 7

Abbildung 4: Problem-Baum mit Indizes der Teilprobleme

angeordnet, Probleme hoherer Ebenen werden vor Problemen niedrigerer Ebenen einge-

ordnet und bearbeitet. Geloste Probleme werden aus der Liste entfernt. Erzeugte Teil-

probleme werden der Liste entsprechend ihrer Indizes hinzugefugt, es sei denn sie bilden

einen Distrikt und sind Teil der Losung (q = 1).

Das Verhalten des Algorithmus wird durch Steuervariablen beeinflusst, die vor dem Start

durch den Nutzer festgelegt werden konnen.

• Anzahl der Suchrichtungen

• maximale Abweichung der Toleranz

• Gewichtsvektor fur die Bewertungsmaße

Die Anzahl der Suchrichtungen wird in der Variablen K gespeichert. K muss eine po-

sitive ganze Zahl sein. Je mehr Suchrichtungen betrachtet werden, desto großer ist die

Wahrscheinlichkeit einer besseren Losung. Ebenso steigt die Laufzeit des Algorithmus, da

mehr Partitionen berechnet werden mussen. Die Suchrichtungen werden gleichmaßig im

Intervall [0, π) verteilt und von 0 bis k− 1 nummeriert. Die Suchrichtung k bildet mit der

x-Achse den Winkel k · πK, k < K.

Eine Eigenschaft jeder Partition ist, dass die Balance der Teilprobleme mindestens so groß

wie die des Problems ist, aus dem sie erzeugt wurden. Somit wachst die Balance monoton

im Problem-Baum. Daher ist es wichtig, die Balance bei der Aufteilung eines Problems

zu kontrollieren. Hierfur wird die maximal erlaubte Balance max dev verwendet. Eine

Partition ist ungultig, wenn sie die maximale Toleranz uberschreitet. Ungultige Parti-

tionen werden verworfen. Kleine Werte von max dev erhohen die Qualitat der Losung,

vergroßern aber das Risiko, dass der Algorithmus keine gultige Losung berechnen kann.

Fur die Bewertung einer Partition konnen mehrere Maße verwendet werden. Um aus den

verschiedenen Bewertungen einen Wert zu berechnen, mussen sie gewichtet werden. Die

Gewichte werden im Gewichtsvektor wt ∈ Rd gespeichert. Die Dimension d des Vektors

entspricht der Anzahl der verwendeten Maße. Der Vektor wird in der Regel normiert,

sodass∑d

i=1wt[i] = 1. Das Gewicht wt[i] gibt dann den relativen Anteil des i-ten Maßes

an der Bewertung der Partition an.


Name Beschreibung Wertebereich

K Anzahl der Suchrichtungen N+

max dev maximale Abweichung der Toleranz R>0

wt Gewichtsvektor der Maße Rd

Tabelle 2: Steuervariablen des Rec-Part-Algorithmus

Algorithmus 3.1 : Recursive-Partitioning

Eingabe : Basisgebiete B, Anzahl Distrikte q

Ausgabe : Distrikte S = {(B, q)|q = 1}, |S| = q,

1 A = {(B, q)} /* Liste aktiver Probleme */

2 T = ∅ /* Problem-Baum */

3 while A 6= ∅ do

4 (B, q) ∈ A /* aktuelles Problem */

5 (Bl, Br, ql, qr)← ErzeugeTeilprobleme((B, q))

6 if ql > 1 then

7 A← A ∪ (Bl, ql) /* Fuge zu aktiven Problemen hinzu */

8 end

9 if qr > 1 then

10 A← A ∪ (Br, qr)

11 end

12 T ← T ∪ (Bl, ql) ∪ (Br, qr) /* Fuge zu Baum hinzu */

13 A← A \ (B, q) /* Entferne aus aktiver Liste */

14 end

15 S ← {(B, q)|(B, q) ∈ T, q = 1} /* Blatter bilden die Losung */

16 Ausgabe S

3.3 Backtracking

Kann fur ein Problem P keine gultige Partition berechnet werden, ist dieses Problem mit

den vorhandenen Einstellungen nicht losbar und wird verworfen. Da sich die Losung eines

Problems aus den Losungen der Unterprobleme zusammensetzt, betrifft die Nichtlosbar-

keit eines Problems auch alle ubergeordneten Probleme, insbesondere das Elternproblem

EP . Damit das Elternproblem dennoch gelost werden kann, mussen andere Nachfolger

erzeugt werden. Dieser Vorgang wird Backtracking genannt.

Die Funktion ErzeugeTeilprobleme() berechnet und sortiert fur alle K Suchrichtungen

die gultigen Partitionen. Erweist sich ein Teilproblem wahrend Algorithmus als unlosbar,

kann auf die Partition mit der nachstbesseren Bewertung zuruckgegriffen werden. Aus die-

ser werden dann zwei neue Teilprobleme generiert. Die neuen Teilprobleme werden in den

Problem-Baum aufgenommen und ersetzen die alten Nachfolger, die verworfen werden.


Probleme werden implizit entfernt, indem sie durch die neuen Nachfolger des Elternpro-

blems ersetzt werden.

Es kann der Fall eintreten, dass alle berechneten Partitionen eines Problems zu unlosbaren

Teilproblemen fuhren. Dann ist das Problem selbst unlosbar und lost ein Backtracking

aus. Der Algorithmus betrachtet das entsprechende Elternproblem und versucht, dieses

mit einer anderen Partition zu losen.

Mehrere Backtrackings hintereinander fuhren dazu, dass der Algorithmus zu hoheren Ebe-

nen des Baumes zuruckkehren muss. Dies fuhrt zu der Entfernung ganzer Teilbaume. Da-

bei besteht die Moglichkeit, Probleme aus dem Baum zu entfernen, die bereits in der Liste,

welche die aktiven Probleme speichert, enthalten sind. Fur die Losung eines Gebietspla-

nungsproblems ist nur das aktuelle Aussehen des Baums relevant. Verworfene Probleme

tragen nicht zur Losung bei. Die Bearbeitung verworfener Probleme wird verhindert, in-

dem jedes Problem der Liste im Baum gesucht wird. Ist es dort nicht vorhanden, befindet

es sich in einem entfernten Teilbaum und muss nicht mehr bearbeitet werden. Aufgrund

des Indexes ist der Pfad, der von der Wurzel zum Problem fuhrt bekannt. Das Problem

kann daher effizient im Baum gesucht werden.

Abbildung 3.5 zeigt einen Problembaum, in dem zwei Backtracking-Schritte ausgefuhrt

werden. Fur das grune Problem mussen neue Teilprobleme erzeugt werden. Die roten

Probleme werden dadurch aus dem Baum entfernt. Die beiden eingerahmten Probleme

verbleiben in der Liste der aktiven Probleme. Sie werden jedoch nicht bearbeitet, da sie

im Baum nicht mehr aufgefunden werden konnen.

Backtrack

Backtrack

Abbildung 5: Zwei Backtracking-Schritte

Backtracking kann bis zum Root-Problem zuruckfuhren. Lost auch das Root-Problem ein

Backtracking aus, ist das Gebietsplanungsproblem mit den aktuellen Parametern nicht

losbar. In diesem Fall werden den Parametern neue, weniger restriktive Werte zugewie-

sen (relaxiert) und die Ausfuhrung beginnt von neuem. Dieses Verhalten kann zu einer

Endlosschleife fuhren, wenn das Gebietsplanungsproblem nicht gelost werden kann. Da-

her wird fur jeden Parameter ein Wert definiert, bis zu dem er relaxiert werden kann.


Diese Maximalwerte konnen durch den Benutzer festgelegt werden. Sind alle Parameter

maximal relaxiert, startet der Algorithmus einen letzten Durchlauf. Ist dieser nicht er-

folgreich, wird die Ausfuhrung abgebrochen. Das Gebietsplanungsproblem gilt dann als

nicht losbar.

Die zu relaxierenden Parameter sind die Anzahl der Suchrichtungen und die erlaubte Ab-

weichung der Balance einer Partition. Indem beide Parameter erhoht werden, konnen fur

jedes Problem mehr gultige Partitionen erzeugt werden und die Wahrscheinlichkeit, dass

eine Losung gefunden werden kann, steigt. Der Parameter RelaxMax gibt an, wie haufig

relaxiert wird, bis den Parametern ihre Extremwerte zugewiesen werden.

3.4 Einbeziehen von Facilities

Ein Gebietsplanungsproblem kann Zentren der Distrikte enthalten. Diese werden durch

den Rec-Part-Algorithmus den einzelnen Distrikten zugeordnet. Grundsatzlich werden Fa-

cilities wie Basisgebiete behandelt, jedoch gibt es Unterschiede, die im Folgenden beschrie-

ben werden. Sei nun F eine Menge an Facilities. Die Definitionen konnen auf Facilities

erweitert werden.

Definition 5 (Partition mit Facilities). Eine Partition P = (Bl, Br, Fl, Fr) einer Punkte-

menge B und einer Facility-Menge ist ein 4-Tupel, sodass (Bl, Br) eine Partition von B

ist und (Fl, Fr) eine Partition von F .

Wiederum wird eine Partition mit Facilities Line Partition genannt, wenn die beiden

Seiten durch eine Gerade voneinander getrennt werden konnen.

Definition 6 (Problem mit Facilities). Ein Problem mit Facilities P = (B,F, q) ist

definiert durch ein Problem (B, q) und eine Facility-Menge F .

Definition 7 (Partition eines Problems mit Facilities). Eine Partition P = (Bl, Br, Fl, Fr, ql, qr)

eines Problems mit Facilities PP = (B,F, q) besteht aus der Partition (Bl, Br, ql, qr) des

Problems (B, q) und einer Partition der Facilities (Fl, Fr).

Facilities werden wie die Basisgebiete nach der Suchrichtung sortiert. Wahrend der

Iteration durch die beiden Mengen werden Basisgebiete und Facilities so lange der linken

Halfte der Partition zugewiesen bis entweder der Zielwert der Aktivitat und eine minimale

Anzahl an Facilities erreicht oder eine maximale Zahl an Facilities erreicht wird.

Bei der Aufteilung soll das Verhaltnis von Facilities zu Distrikten in jeder Halfte der

Partition moglichst gleich groß sein. Im einfachsten Fall gilt f = q und damit |Fl| = ql

sowie |Fr| = qr. Weichen die Anzahl an Facilities und die Zahl der Distrikte voneinander

ab, werden eine minimale und eine maximale Anzahl Facilities fur das linke Teilproblem

definiert.

Allgemein ist der Quotient fq

nicht ganzzahlig und eine Aufteilung mit flql

= frqr

= fq


unmoglich. In diesem Fall wird Zuordnung der Facilities zu den beiden Seiten der Partiti-

on folgendermaßen vorgenommen. Bei einer geraden Anzahl Distrikte wird der Nachkom-

maanteil des Quotienten fq

ermittelt. Ist dieser großer als 0,5, werden einem Teilproblem

maximal dfqe · q

2Facilities zugewiesen. Dementsprechend ist die minimale Anzahl Facili-

ties in einer Halfte f − dfqe · q

2. Ist der Nachkommaanteil kleiner als 0,5, werden einem

Teilproblem mindestensb fqc·q2

Facilities zugewiesen. Entsprechend ist die maximale An-

zahl Facilities einer Halfte f − bfqc·q2

. Tabelle 3 fasst die Berechnung der minimalen und

maximalen Anzahl Facilities fur die Halften einer Partition zusammen.

fq− bf

qc > 0, 5 maxFac =

d fqe·q2

minFac = f −maxFac = f − dfqe·q2

fq− bf

qc ≤ 0.5 minFac =

b fqc·q2

maxFac = f −minFac = f − bfqc·q2

Tabelle 3: Aufteilung der Facilities bei gerader Anzahl Distrikte

Fur ein Problem mit ungerader Zahl an Distrikten werden zwei Partitionen erzeugt. Fur

die erste Partition gilt ql = b q2c, qr = d q

2e, fur die zweite ql = d q

2e, qr = b q

2c. Die Berechnung

der minimalen und maximalen Anzahl der Facilities wird fur beide Partitionen analog zur

Aufteilung bei gerader Anzahl Distrikte durchgefuhrt.

fq− bf

qc > 0, 5 maxFac[0] = df

qe · b q

2c

maxFac[1] = dfqe · d q

2e

minFac[0] = f −maxFac[1] = f − dfqe · d q

2e

minFac[1] = f −maxFac[0] = f − dfqe · b q

2c

fq− bf

qc ≤ 0, 5 minFac[0] = bf

qc · b q

2c

minFac[1] = bfqc · d q

2e

maxFac[0] = f −minFac[1] = f − bfqc · d q

2e

maxFac[1] = f −minFac[0] = f − bfqc · b q

2c

Tabelle 4: Aufteilung der Facilities bei ungerader Anzahl Distrikte

Diese Aufteilung erzielt ein ahnliches Verhaltnis von Facilities zu Distrikten in beiden

Teilproblemen, erlaubt jedoch kleine Abweichungen.

3.5 Standortplanung mit dem Rec-Part-Algorithmus

Der Rec-Part-Algorithmus kann auf einfache Weise so erweitert werden, dass er auch fur

die Standortplanung verwendet werden kann. Fur die Losung eines Standortproblems mit


p auszuwahlenden Standorten werden zunachst mit dem Rec-Part-Algorithmus p Distrik-

te ohne Zentrum gebildet. Fur jeden dieser Distrikte wird dann ein Standort entsprechend

der Zielfunktion ausgewahlt, somit ein Single-Facility-Standortproblem gelost. Die Losung

eines p-Median-Problems kann mit Algorithmus 3.2 berechnet werden.

Algorithmus 3.2 : Berechnung der p-Mediane mit Rec-Part-Algorithmus

Eingabe : Basisgebiete B, Anzahl Standorte p

Ausgabe : p Standorte

1 M = ∅2 S ← Recursive-Partitioning(B,p)

3 for i← 1 to p do

4 M ←M ∪m, m Median von Si

5 end

6 return M

Indem andere Zielfunktionen verwendet werden, konnen die entsprechenden Standortpro-

bleme wie das p-Center-Problem gelost werden.

Wird der Algorithmus fur die Standortplanung verwendet, mussen lediglich p Single-

Facility-Probleme gelost werden. Diese konnen in im Gegensatz zum ursprunglichen p-

Facility-Problem in polynomieller Zeit exakt gelost werden.

3.6 Analyse

Die Laufzeit des Recursive-Partitioning-Algorithmus wird durch drei Parameter bestimmt.

Diese Parameter sind die Anzahl n der Basisgebiete, die Anzahl p der zu bildenden Di-

strikte sowie die Anzahl K der Suchrichtungen. Die wesentlichen Operationen sind die

Sortierung der Basisgebiete fur jede Suchrichtung k sowie das Berechnen und Sortieren

der erzeugten Partitionen fur jedes Teilproblem. Die Basisgebiete mussen in jeder Ebene

des Problem-Baums fur jede Suchrichtung sortiert werden. Fur jedes Teilproblem werden

O(K) verschiedene Partitionen erzeugt. Diese mussen sortiert mit Aufwand O(K logK)

sortiert werden. Die Anzahl der zu losenden Teilprobleme liegt in O(p). Somit betragt der

Aufwand fur das Sortieren der Partitionen insgesamt O(p · K logK). Das Sortieren der

Basisgebiete hat Komplexitat O(n log n) und wird auf der log p Ebenen des Baumes fur je-

weils K Suchrichtungen durchgefuhrt. Damit liegt der gesamte Aufwand fur das Sortieren

der Basisgebiete in O(log p ·K · n log n). Die Zeitkomplexitat des Recursive-Partitioning-

Algorithmus ergibt sich damit zu O(K ·(p logK+log p·n log n)) [Kal06]. Wie in Abschnitt

6 zu sehen sein wird, werden selbst bei einer sehr harten Balance-Schranke (0.5% erlaub-

te Abweichung) nur bei etwa der Halfte aller bearbeiteten Teilprobleme Backtrackings

ausgelost. Dieser Anteil kann als unabhangig von der Anzahl der Suchrichtungen angese-

hen werden. Er ist jedoch nicht unabhangig von der Anzahl der Basisgebiete. Je weniger

Basisgebiete ein Teilproblem enthalt, desto großer ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zu

4 MASSE 28

einem Backtracking kommt. Jedoch ist der Anteil der Backtrackings klein genug, dass sich

der asymptotische Aufwand nicht andert.

4 Maße

Der Teile-und-Herrsche-Ansatz des Recursive-Partitioning-Algorithmus erfordert neben

der Bewertung einer Losung auch die Bewertung der Partition eines Teilproblems. Die

Modularitat des Algorithmus ermoglicht dabei die Verwendung verschiedener Kriterien

fur die Bewertung einer Partition und der Losung. Ein Maß zur Bewertung einer Losung

kann hierbei auch zur Bewertung einer Partition herangezogen werden. Umgekehrt ist dies

i.A. nicht der Fall, wenn fur die Bewertung einer Partition die Trennlinie mit einbezogen

wird, da ein einzelner Distrikt keine Trennlinie enthalt. Im folgenden Abschnitt werden

die verwendeten Bewertungskriterien vorgestellt.

Wie in Abschnitt 2.3 erwahnt, sind die wichtigsten Ziele der Gebietsplanung Balance,

Zusammenhang der einzelnen Gebiete und Kompaktheit. Um die Qualitat einer Partition

hinsichtlich dieser Ziele bewerten zu konnen, werden Maße verwendet, welche den Grad

der Erfullung eines Ziels messen. Da der Zusammenhang eines Gebiets entweder gegeben

ist oder nicht, wird auf eine weitere Diskussion des Maßes verzichtet, auch wenn der Zu-

sammenhang einer Losung ihre Bewertung beeinflusst. Balancemaße bewerten Partitionen

mit gleichmaßiger Verteilung der Aktivitat besser.

Kompaktheitsmaße werden in Aktivitatskompaktheitsmaße und geografische Kompakt-

heitsmaße unterteilt [GN70]. Erstere berechnen eine Funktion der Distanzen der Akti-

vitat zum Zentrum, wahrend letztere Ausdehnung, Flache und Umfang eines Distrikts

betrachten. Fur die richtige Gewichtung mehrerer Maße ist entscheidend, ob es sich bei

den einzelnen Maßen um Minimierungsmaße oder Maximierungsmaße handelt. Einer gut

bewertete Partition werden durch Minimierungsmaße niedrige Wert, durch Maximierungs-

maße hohere Werte zugeordnet.

Neben den bereits implementierten Maße wurden fur diese Arbeit Maße neu entwickelt.

Die neu entwickelten Maß sind das Utilization-Maß, welches die durchschnittliche Ausla-

stung einer Facility bestimmt, das Diameter-Maß, mit dem das Ausmaß eines Distrikts ge-

messen wird und das K-Nearest-Neighbor-Maß, welches die durchschnittliche Entfernung

eines Basisgebiets zu seinen Nachbarn approximiert. Das Maß Compactness-Epsilon-Area

wurde nach einer bei [KNS05] skizzierten Idee implementiert.

4.1 Balance-Maße

4.1.1 Balance

Balance ist definiert als die relative Abweichung der Aktivitat eines Distrikts von der

durchschnittlichen Aktivitat pro Distrikt. Enthalt eine Seite einer Partition mehr als einen

4 MASSE 29

Distrikt, wird die relative Abweichung der Aktivitat dieser Seite von dem Produkt aus

durchschnittlicher Aktivitat eines Distriktes und der Anzahl der Distrikte der Seite berech-

net. Eine hohe Gewichtung dieses Maßes sorgt fur eine moglichst gleichmaßige Aufteilung

der Aktivitat auf die beiden Seiten einer Partition. Eine Partition ist balancierter, wenn

ihr Balance-Wert kleiner ist, es handelt sich um ein Minimierungsmaß.

Definition Mit der durchschnittlichen Aktivitat pro Distrikt fur die Planungsregion mit

q Distrikten wavg =∑w(i)q

und den durchschnittlichen Aktivitaten fur die linke und rechte

Seite der Partition

wlavg =

∑w(i)

ql, i ∈ Bl

wravg =

∑w(i)

qr, i ∈ Br

ist die Balance einer Partition wie folgt definiert:

fbalance = max(|1−wlavgwavg|, |1−

wravgwavg|) (4.1)

Aufwand Fur die Berechnung dieses Maßes muss auf beiden Seiten der Partition die

Summe der Aktivitat aller Basisgebiete berechnet werden. Vorausgesetzt, die durchschnitt-

liche Aktivitatssumme eines Distrikts ist bekannt, liegt der Aufwand fur die Berechnung

damit in O(|B|).

4.1.2 Auslastung

Sind in einem Gebietsplanungsproblem den Zentren Kapazitaten zugeordnet, ist das Ziel

der Planung nicht unbedingt, die Aktivitat gleichmaßig auf die einzelnen Distrikte aufzu-

teilen. Vielmehr kann es zielfuhrender sein, die Aktivitat entsprechend den Kapazitaten

der einzelnen Einrichtungen auf die Distrikte aufzuteilen. Das Utilization-Maß (engl. fur

Auslastung) bestimmt die relative Abweichung der Auslastung eines Distrikts von der

durchschnittlichen Auslastung aller Distrikte. Dieses Minimierungsmaß berucksichtigt an-

ders als das absolute Balance-Maß die Kapazitat der einzelnen Facilities. Ziel ist die

gleichmaßige Auslastung der Einrichtungen, wodurch Distrikten unterschiedliche Akti-

vitatssummen zugeordnet werden konnen.

Definition Bezeichne c(j) die Kapazitat der Facility mit Index j und seien die durch-

schnittliche Auslastung utotal einer Einrichtung in der gesamten Planungsregion sowie die

durchschnittlichen Auslastungen ul und ur einer Facility der linken bzw. rechten Seite

4 MASSE 30

einer Partition wie folgt definiert:

utotal =

∑i∈B

w(i)∑j∈F

c(j), ul =

∑i∈Bl

w(i)∑j∈Fl

c(j), ur =

∑i∈Br

w(i)∑j∈Fr

c(j)

Dann ergibt sich die Definition des Utilization-Maßes einer Partition zu:

futilization = max(|1− uluavg|, |1− ur

uavg|) (4.2)

Aufwand Die Berechnung der Auslastungen erfordert die Summe der Aktivitaten wie

auch jene der Kapazitaten eines Teilproblems. Daher liegt der Aufwand in O(|B|+ |F |).

4.2 Aktivitatskompaktheit

4.2.1 Distanzsumme

Das Weber-Problem berechnet den Median einer Punktmenge. Zielfunktion ist das Mi-

nimum der gewichteten Entfernungssumme zwischen Kunden (Basisgebieten) und zu

wahlendem Standort. Diese Minisum-Zielfunktion lasst sich auch auf die Bewertung einer

Partition anwenden. Fur dieses Maß wird die Summe der Entfernungen der Basisgebie-

te einer Halfte zur jeweils nachstgelegenen Einrichtung, die in der selben Halfte liegt,

berechnet. Die Entfernungssummen beider Halften werden fur die Bewertung einer Parti-

tion addiert. Dieses Maß wird fur die Berechnung der p-Mediane eingesetzt. Partitionen

werden schlechter bewertet, wenn sie Basisgebiete von der nachstgelegenen Einrichtung

trennen. Jedes Basisgebiet, dass nicht mehr der nachstgelegenen Einrichtung zugeord-

net werden kann, erhoht den Wert dieses Minimierungsmaßes. Es konnen verschiedene

Metriken verwendet werden.

Definition

fdistance−sum =∑i∈Bl

minj∈Fl

(d(i, j)) +∑i∈Br

minj∈Fr

(d(i, j)) (4.3)

Aufwand Die minimalen Entfernungen zu einer gultigen Einrichtung werden in O(|B| ·|F |) berechnet. Das Aufsummieren der Werte erfolgt mit linearem Aufwand, sodass die

Komplexitat dieses Minimierungsmaßes in O(|B| · |F |) liegt.

4.2.2 Maximale Distanz zur Facility

Dieses Entscheidungskriterium ist abgeleitet von der Minimax-Zielfunktion, welche die

maximale Entfernung eines Basisgebiets zum nachstgelegenen bzw. dem zugeordneten

Zentrum minimiert. Es kann je nach Anwendung auch die maximale Entfernung zu ei-

nem gemeinsamen Punkt, wie dem Median oder dem Center eines Teilproblems berechnet

werden. Der einer Partition zugeordnete Wert ist das Maximum aus beiden Halften. Bei

4 MASSE 31

Verwendung des Minimax-Kriteriums soll das Basisgebiet, das die maximale Distanz zur

zugeordneten Einrichtung hat, moglichst gut gestellt werden. Entscheidend fur die Bewer-

tung einer Parition ist nur die maximale Distanz. Ein Basisgebiet, das von der nachstge-

legenen Facility getrennt wird, erhoht die Bewertung nur dann, wenn die Distanz großer

als die bisherige Maximaldistanz wird.

Definition

fmax−distance−to−facility = max(maxi∈Bl

minj∈Fl

d(i, j),maxi∈Br

minj∈Fr

d(i, j)) (4.4)

Aufwand Fur jedes Basisgebiet muss zunachst die Distanz zur nachsten Facility berech-

net werden. Der Aufwand fur diese Berechnung steigt mit dem Produkt aus der Anzahl

an Basisgebieten und Zentren und liegt in O(|B| · |F |). Die Berechnung der maximalen

Entfernung ist linear und erhoht den asymptotischen Aufwand nicht.

4.2.3 Nr-to-best-Facility

Der Rec-Part-Algorithmus berechnet normalisierte Berechnungen der einzelnen Maße, was

bei bestimmten Funktionen zu Problemen fuhren kann. Die maximale Entfernung eines

Basisgebiets zur Einrichtung ist anfallig fur Ausreißer, die den Wert nach oben verzerren.

Hat nur eine Partition eines Problems einen solchen Ausreißer, marginalisiert dieser Wert

bei der Normalisierung die Werte der anderen Partitionen, wodurch deren Unterschiede

verschwimmen. Dies hat den Effekt, dass fur dieses Problem das entsprechende Maß seine

Bedeutung verliert und die Reihenfolge der Partitionen nur noch von den anderen ver-

wendeten Kriterien abhangt. Um diesen Effekt zu verhindern, wird das NrToBest-Maß

verwendet, das die Zahl der Basisgebiete misst, die nicht mehr ihrer nachstgelegenen

Facility zugeordnet werden konnen, wobei nur die Facilities des aktuellen Teilproblems

betrachtet werden.

Definition

fNrToBest = |{x ∈ Bl|minj∈Fr

d(x, j) < minj∈Fl

d(x, j)}|+ |{x ∈ Br|minj∈Fl

d(x, j) < minj∈Fr

d(x, j)}|(4.5)

Aufwand Fur jedes Basisgebiet muss die nachstgelegene Facility bestimmt werden:

O(|B| · |F |).

4 MASSE 32

4.3 Geografische Kompaktheit

4.3.1 Compactness-Basic

[KNS05] definieren zwei Kompaktheitsmaße fur eine Partition des Recursive-Partitioning-

Algorithmus. Das CompactnessBasic-Maß definiert die Kompaktheit der Partition als

Lange des Schnitts der Linie L, welche die beiden Seiten der Partition voneinander trennt,

mit der konvexen Hulle C des zu zerlegenden Teilproblems. Die Linie L ist dabei senkrecht

zur Suchrichtung k und verlauft durch das letzte Basisgebiet, das noch der linken Seite

der Partition zugeordnet wurde. Alternativ kann die Trennlinie so definiert werden, dass

das erste Basisgebiet, das der rechten Seite zugeordnet wurde, auf der Linie liegt oder

diese zwischen den beiden genannten Basisgebieten verlauft. Werden andere Arten von

Basisgebieten als punktformige verwendet, muss die Berechnung angepasst werden. Da

der Teil der Trennlinie, der zwischen den Schnittpunkten liegt, die Lange der Grenzen der

entsprechenden Distrikte erhoht, sollte er moglichst gering ausfallen [KNS05]. Dieses Maß

kann nicht zur Bewertung einer Losung eingesetzt werden.

Definition

fcompact−basic = d(S1, S2) (4.6)

mit den Schnittpunkten S1, S2 von Trennlinie L und konvexer Hulle der Basisgebiete C

sowie der Distanz d(x, y) zwischen zwei Punkten x,y. Die Wahl der Metrik ist dabei frei.

Aufwand Aus der Suchrichtung und dem letzten Punkt der linken Halfte kann die

Trennlinie wie die Distanz der Schnittpunkte in konstanter Zeit berechnet werden. Die

Berechnung der konvexen Hulle einer Punktmenge B hat die Laufzeit O(|B| log |B|). Die

konvexe Hulle besteht schlimmstenfalls aus |B| Punkten. Der Aufwand fur die Berechnung

der Schnittpunkte von Hulle und Linie ist dann O(|B|). Somit ist der Gesamtaufwand fur

dieses Maß O(|B| log |B|).

4.3.2 Compactness-Epsilon-Area

In manchen Fallen misst das Compactness-Basic-Maß die Grenze zwischen den zwei Seiten

einer Partition nur ungenau. Sind die Basisgebiete nicht gleichmaßig in der konvexen

Hulle verteilt, besteht die Moglichkeit, dass Bereiche existieren, in denen die Punkte weit

von der Trennlinie entfernt liegen. Die effektive Grenze der Distrikte ist dann deutlich

kleiner als vom Compactness-Basic-Maß berechnet. [KNS05] skizzieren daher noch ein

anderes Kompaktheitsmaß, welches fur diese Arbeit implementiert wurde. Hierzu werden

alle Punkte mit einem Abstand zur Trennlinie L unterhalb eines Grenzwertes orthogonal

auf die Linie projiziert. Der großte Abstand zweier Abbildpunkte ergibt den Wert des

Compactness-Epsilon-Area-Maßes. Genau wie beim Compactness-Basic-Maß ist es nicht

moglich, mit diesem Maß Losungen zu bewerten.

4 MASSE 33

Definition

fcompact−epsilon = maxd(x,L),d(y,L)<ε

d(x′, y′), x′ = π(x), y′ = π(y) (4.7)

wobei π die Orthogonalprojektion auf die Linie L ist.

Aufwand Fur jedes einzelne Basisgebiet ist der Aufwand fur die Berechnung von Ab-

stand zur Linie sowie fur die Projektion auf diese konstant und linear fur die gesamte

Menge B. Der Aufwand zur Berechnung des maximalen Abstands der Abbilder ist wieder-

um linear fur die betrachteten Punkte, welche eine Teilmenge von B darstellen. Insgesamt

ergibt sich ein Aufwand von O(|B|).

4.3.3 Durchmesser

Das Durchmesser-Maß (engl. Diameter) wurde fur diese Arbeit entwickelt, um die maxi-

male Ausdehnung eines Distrikts zu messen. Der Durchmesser einer Punktmenge ist der

maximale Abstand zweier Punkte dieser Menge und ein Maß fur die Ausdehnung eines

Distriktes oder Teilproblems. Daher kann er auch als Kompaktheitskriterium verwendet

werden. Dabei haben kompaktere Teilprobleme und Distrikte kleinere Durchmesser. Der

Wert fur eine Partition entspricht dem Maximum beider Seiten.

Definition

fdiameter = max(maxi,j∈Bl

d(i, j), maxi,j∈Br

d(i, j)) (4.8)

Ein ahnliches Maß berechnet fur beide Seiten einer Partition die Summe aller paarweisen

Distanzen der Basisgebiete. Damit wird nicht mehr nur die Ausdehnung in eine Richtung

berucksichtigt.

fpairwise−distance−sum =∑i,j∈Bl

d(i, j) +∑i,j∈Br

d(i, j) (4.9)

Aufwand Fur beide Maße mussen alle paarweisen Entfernungen zwischen den Basisge-

bieten berechnet werden. Daher ist die Laufzeit beider Maße O(n2).

4.3.4 K-Nearest-Neighbor

Dienstleistungen, die am Kunden erbracht werden, erfordern oft, dass ein Außendienst-

mitarbeiter mehrere Kunden in einer Tour besucht. Die Arbeitszeit eines Außendienst-

mitarbeiters wird maximiert, wenn seine Fahrtzeit zwischen den Kunden minimiert wird.

Zusatzlich mussen noch die Fahrtzeiten vom Arbeitsplatz des Mitarbeiters zum ersten

Kunden der Tour und vom letzten Kunden der Tour zuruck zum Arbeitsplatz berucksich-

tigt werden. Das K-Nearest-Neighbor-Maß geht davon aus, dass ein Kunde wahrend einer

Tour wahrscheinlich von einem der nachstgelegenen Kunden (seinen Nachbarn) angefahren

4 MASSE 34

wird. Dazu werden jedem Kunden Durchschnittskosten zugeordnet, die der durchschnitt-

lichen Entfernung zu seinen k nachstgelegen Nachbarn entspricht. Es werden jedoch nur

solche Nachbarn berucksichtigt, die sich auf der selben Seite der Partition wie der Kun-

de selbst befinden. So sollen Aufteilungen besser bewertet werden, die moglichst wenige

Basisgebiete von ihren nachsten Nachbarn trennen. Implementiert wird eine Approxima-

tion, bei der die fur jedes Basisgebiet die 2k nachsten Nachbarn bestimmt werden. Fur

die Bewertung eines Teilproblems werden dann fur jedes Basisgebiet nur diese Nachbarn

betrachtet. Finden sich weniger als k dieser Nachbarn in der gleichen Halfte der Partition,

wird mit einem Strafterm aufgefullt.

Definition Sei Ni die Menge der k nachsten, gultigen Nachbarn fur das Basisgebiet i.

Dann ist das k-nearest-neighbor-Maß definiert als:

fknn =∑i∈B

∑j∈Ni

d(i, j)

k(4.10)

Aufwand Zur Berechnung der k nachstgelegenen Basisgebiete mussten fur jedes Basis-

gebiet die Distanzen zu allen anderen Basisgebieten berechnet werden. Daher steigt der

Aufwand fur dieses Maß quadratisch mit der Anzahl mit der Anzahl der Basisgebiete. Die-

ser Aufwand fur die einzelnen Teilprobleme wird reduziert, indem fur jedes Basisgebiet die

2 · k nachsten Nachbarn vorberechnet werden. Bei der Bewertung einer Partition werden

dann nur noch diese 2k Nachbarn in der jeweiligen Halfte gesucht. Mit binarer Suche liegt

der Aufwand fur jeden Nachbarn in (O)(log n). Da k eine Konstante ist, die unabhangig

von der Zahl der Basisgebiete in einem Teilproblem ist ist der Gesamtaufwand des Maßes

(O)(n log n).

4.3.5 Distanz zur Trennlinie

Das LineDistance-Maß misst die minimale Distanz zwischen einer Einrichtung und der

Trennlinie, wobei eine moglichst große Distanz angestrebt wird. Auf diese Weise soll ver-

hindert werden, dass Distrikte so eingeteilt werden, dass die zugehorigen Zentren an ihren

Randern liegen. Ein Zentrum am Rand eines Distriktes ist nicht zielfuhrend, da sowohl

die durchschnittliche Entfernung zu den Basisgebieten als auch die maximale Entfernung

unnotig hoch ware. Die Bewertung einer Aufteilung ist die minimale Distanz einer Ein-

richtung einer der beiden Seiten zur Trennlinie L. Da dieses Maß eine Trennlinie zur

Berechnung benotigt, kann es keine Losungen bewerten. Als Variante konnen die Entfer-

nungen der Facilities zu den Grenzen des jeweiligen Distrikts verwendet werden.

Definition

fline−distance = minj∈F

d(j, L) (4.11)

4 MASSE 35

Aufwand Der Aufwand zur Berechnung der Distanzen wachst linear mit der Anzahl

der Facilities. Fur dieses Maß bedeutet ein hoher Wert eine gute Beurteilung.

4.3.6 Reock-Maß

Der Reock-Test[Reo61] berechnet in einem ersten Schritt den kleinsten Kreis, der den

Distrikt enthalt. In einem zweiten Schritt wird die Flache des Distrikts durch die des

enthaltenden Kreises geteilt, wobei die Flache eines Distrikts durch die Flache der konve-

xen Hulle des Distrikts entspricht. Je großer der so berechnete Wert, desto kompakter ist

der Distrikt. Dieses Verfahren kann auch auf Teilprobleme angewendet werden, die mehr

als einen Distrikt enthalten. Fur die Bewertung der Kompaktheit einer Partition wird

das Minimum der Werte beider Seiten genannt, da es sich bei diesem Kriterium um ein

Maximierungsmaß handelt.

Definition Seien rl, rr die Radien der kleinsten umschließenden Kreise des linken und

rechten Teilproblems sowie Al und Ar die Flachen der beiden Teilprobleme. Dann ist das

Roeck-Maß fur die Partition

froeck = min(Al

π · rl2,Ar

π · rr2) (4.12)

Aufwand Die Berechnung des kleinsten Kreises, der die Punktmenge enthalt, erfolgt

nach der Methode von Elzinga-Hearn[EH72], die beliebige Genauigkeit in O(|B|) er-

reicht [DS87]. Der asymptotische Aufwand fur die Berechnung der konvexen Hullen ist

O(|B| log |B|). Die Flache eines konvexen Polygons kann in linearer Zeit berechnet wer-

den, wobei die Eingabe die Anzahl der Eckpunkte ist. Der gesamte Aufwand fur die

Berechnung des Roeck-Tests ist somit O(|B| log |B|).

4.3.7 Schwartzberg-Maß

Der Schwartzberg-Test vergleicht den Umfang eines Distriktes mit dem Umfang eines

Kreises gleicher Flache. Die Bewertung eines Distrikts ergibt sich durch den Quotienten

aus dem Umfang des Distriktes und dem des Kreises. Umfang und Flache eines Teilpro-

blems entsprechen Umfang und Flache seiner konvexen Hulle.

Definition Das Schwartzberg-Maß fur ein Teilproblem mit Umfangen der konvexen

Hullen pl, pr und Flachen Al, Ar ist

fschwartzberg = max(pl

2 ·√

Al

π

,pr

2 ·√

Ar

π

) (4.13)

Aufwand Der aufwendigste Schritt fur die Berechnung des Schwartzberg-Maßes ist die

Berechnung der konvexen Hulle mit Aufwand in O(|B| log |B|). Die anderen Schritte ha-

ben lineare Laufzeit.

5 ERWEITERUNGEN DES ALGORITHMUS 36

5 Erweiterungen des Algorithmus

In diesem Abschnitt werden die Erweiterungen des Recursive-Partitioning-Algorithmus

beschrieben, die im Rahmen dieser Arbeit entwickelt wurden. An eine Erweiterung wurde

die Anforderung gestellt, die asymptotische Laufzeit des Algorithmus nicht zu erhohen.

Die Erweiterungen konnen in drei Kategorien eingeteilt werden:

• Sortierung der Basisgebiete

• Aufteilungsverfahren zur Berechnung von Partitionen

• Berechnung von Dummy-Facilities fur Maße, die Facilities einbeziehen

Die Sortierung der Basisgebiete bestimmt die Reihenfolge, in der uber diese bei der Be-

rechnung einer Partition iteriert wird. Das verwendete Aufteilungsverfahren bestimmt die

Zuordnung der Basisgebiete zu den Seiten einer Partition und somit wie die Teilprobleme

erzeugt werden. Dummy-Facilities werden fur Maße benotigt, die Funktionen der Distan-

zen zu den Facilities einer Partition berechnen. Die Standorte einiger Facilities werden

erst festgelegt, nachdem der Algorithmus alle Distrikte berechnet hat, und sind daher

wahrend des Algorithmus unbekannt. Somit konnen sie bei der Bewertung einer Partition

nicht berucksichtigt werden, was zu Ungenauigkeiten bei der Bewertung der Partitionen

fuhrt. Desweiteren wird die Moglichkeit vorgestellt, die verwendeten Maße wahrend des

Algorithmus zu wechseln. Die Vorberechnung bestimmter Werte zur Beschleunigung des

Algorithmus wurde nicht im Rahmen dieser Arbeit implementiert, wird aber dennoch

beschrieben.

5.1 Sortierungen

Die spezifische Eigenschaft einer Line Partition ist, dass die beiden Seiten der Partition

durch eine Linie voneinander getrennt werden konnen. Diese Eigenschaft bedingt, dass die

Basisgebiete entlang einer Suchrichtung sortiert werden mussen. Werden außer den Line

Partitions auch andere Partitionen betrachtet, ermoglicht dies andere Sortierungen der

Basisgebiete. Grundsatzlich wird jedoch an dem Verfahren der Berechnung einer Partition

festgehalten. Der Algorithmus iteriert weiterhin durch die sortierten Basisgebiete und

summiert die Aktivitat, bis ein Zielwert erreicht wird.

5.1.1 Winkelsortierung

Die Basisgebiete eines Teilproblems konnen nach den Winkeln, die sie mit dem Mittel-

punkt dieses Teilproblems bilden, sortiert werden. Der Mittelpunkt eines Teilproblems ist

der Punkt, dessen rotierte x-Koordinaten den Mittelwert von minimaler und maxima-

ler rotierter x-Koordinate und dessen rotierte y-Koordinaten den Mittelwert der beiden


extremen y-Koordinaten bilden.

xm =mini∈B

(xrot(i)) + maxi∈B

(xrot(i))

2

ym =mini∈B

(yrot(i)) + maxi∈B

(yrot(i))

2

Der Winkel α , den ein Basisgebiet i mit dem Mittelpunkt bildet, ist definiert als

α = arctanyrot(i)− ymxrot(i)− xm

(5.1)

Fur diese Sortierung wird nur der jeweilige Winkel α, den ein Basisgebiet mit dem Mittel-

punkt bildet, nicht aber die Distanz zum Mittelpunkt betrachtet. Das Teilproblem wird

als Kreis betrachtet und durch diese Sortierung werden gut balancierte Kreisausschnitte

berechnet. Ziel dieser Sortierung sind naturlichere Grenzverlaufe zwischen den einzelnen

Distrikten. Die Grenze zwischen zwei Partitionen kann nicht durch eine Linie, sondern

durch zwei Linien beschrieben werden. Diese Trennlinien beginnen im Mittelpunkt und

bilden mit diesem den Winkel des ersten betrachteten Basisgebiets, sowie des letzten, mit

dem der Zielwert uberschritten wurde. Jede Suchrichtung kann als Offset verwendet wer-

den, von dem aus die Iteration durch die nach Winkel sortierten Basisgebiete startet. So

konnen ebenso viele Partitionen erzeugt werden, wie durch das ursprungliche Verfahren.

5.1.2 Netzwerkdistanzen

Liegt dem Gebietsplanungsproblem ein Netzwerk zugrunde, etwa ein Straßennetzwerk,

konnen die Basisgebiete nach ihren Netzwerkentfernungen zu einem ausgewahlten Start-

punkt sortiert werden. Als Startpunkte konnen die Basisgebiete gewahlt werden, die fur

eine Suchrichtung die minimale rotierte x-Koordinate besitzen. Die Sortierung der Basis-

gebiete kann anhand gewichteter und ungewichteter Netzwerkentfernungen erfolgen. Fur

gewichtete Netzwerkentfernungen muss ein Algorithmus zur Berechnung der Entfernungen

verwendet werden, wie der Algorithmus von Dijkstra. Die Sortierung anhand ungewich-

teter Netzwerkentfernung entspricht einer Breitensuche ausgehend vom Startpunkt. In

beiden Fallen werden die nachsten Basisgebiete solange der linken Halfte zugeordnet, bis

der Zielwert erreicht wurde.

5.2 Aufteilungen

Die oben beschriebene Berechnung der Partitionen berucksichtigt nur die Balance. Die

Aktivitat wird entsprechend dem Verhaltnis der Anzahl an Distrikten auf die beiden

Seiten aufgeteilt. Dieses Vorgehen erzielt gut-balancierte Losungen, Kompaktheit spielt

jedoch bei der Berechnung keine Rolle. Aufteilungsverfahren, die sich an der Kompakt-

heit orientieren, konnten kompaktere Losungen erzeugen. Fur ein solches Verfahren muss


entschieden werden, welche Definition der Kompaktheit verwendet wird. Hier werden fol-

gende kompaktheitsorientierte Aufteilungsverfahren vorgestellt:

• BestLineDistance

• BestCompactnessBasic

• BestCompactnessEpsilon

Fur jedes dieser Aufteilungsverfahren werden die Basisgebiete |B| und Facilities |F | eines

Teilproblems nach einer Suchrichtung sortiert. Entsprechend wird fur jede Suchrichtung

mindestens eine Partition erzeugt. Wie bei der balanceorientierten Aufteilung werden fur

eine ungerade Anzahl q der zu bildenden Distrikte zwei Aufteilungen fur eine Suchrich-

tung berechnet.

Auch die kompaktheitsorientierten Verfahren mussen die Beschrankungen bei der Zu-

ordnung der Facilities einhalten. Seien l die Mindestanzahl sowie r die maximale Zahl

an Facilities, die der linken Halfte der Partition zugeordnet werden. Dann verlauft die

Trennlinie zwischen den beiden Halften durch ein Basisgebiete i ∈ B, fur das gilt:

xrot(F [l]) < xrot(i) < xrot(F [r])

Dabei bezeichnen xrot(i) die rotierte x-Koordinate des Basisgebiets mit Index i oder Fa-

cility und F [l] sowie F [r] die Facilities mit den Indizes l und r in der nach der aktuellen

Suchrichtung sortierten Menge F . Es mussen fur alle Verfahren nur die Trennlinien be-

trachtet werden, welche diese Eigenschaft aufweisen.

5.2.1 BestLineDistance

Das BestLineDistance-Verfahren basiert auf der Uberlegung, die Facility eines Distrikts

moglichst nahe dessen geografischen Zentrums zu platzieren. Die Ausmaße eines Distriktes

sind wahrend des Algorithmus nicht bekannt und es ist auch nicht festgelegt, welche

Facility welchem Distrikt zugeordnet wird. Daher kann der Abstand der Facility zum

geografischen Zentrum eines Distrikts nicht approximiert werden. Fur konvexe Distrikte

gilt jedoch, dass das geografische Zentrum von den Grenzen des Distrikts entfernt ist.

Daher ist es sinnvoll, Facilities moglichst weit von allen Grenzen entfernt zu platzieren

bzw. die Grenzen so zu wahlen, dass die Distanz zu den Facilities maximal wird. Das

Verfahren BestLineDistance ermittelt daher die Trennlinie L, die den großten minimalen

Abstand zu einer der Facilities des Teilproblems hat.

fBestLineDistance = maxL

minj∈F

d(L, f)

Fur jede mogliche Trennlinie wird der minimale Abstand zu einer Facility berechnet.

Da die Linie L orthogonal zur Suchrichtung verlauft, mussen nur die beiden Facilities

berucksichtigt werden, zwischen deren rotierten x-Koordinaten die rotierte x-Koordinate

des Basisgebiets, das die Trennlinie induziert, liegt.


5.2.2 BestCompactness

Jede Trennlinie L einer ausgewahlten Partition vergroßert die Lange der (inneren) Gren-

zen der Distrikte [KNS05]. Dabei ist nur derjenige Teil der Linie relevant, der innerhalb

der Grenzen bzw. der Hulle des Teilproblems verlauft. Um die Grenzlange zu minimie-

ren, mussen daher solche Trennlinien gewahlt werden, fur welche die Distanz der beiden

Schnittpunkte mit der Hulle eines Teilproblems minimal ist. Seien H die Hulle eines

aufzuteilenden Teilproblems und L die Trennlinie. Dann wird fur die BestCompactness-

Aufteilung folgende Funktion minimiert:

fBestCompactness = min{S1,S2}=L∩H

d(S1, S2)

S1 und S2 bilden hierbei die Schnittpunkte von Hulle und Trennlinie. Eine Trennlinie

L, welche mehr als zwei Schnittpunkte mit der Hulle hat, erzeugt unzusammenhangende

Partitionen und wird als nicht gultig bewertet. Dieser Fall kann nur eintreten, wenn die

verwendete Hulle nicht konvex ist.

Die Aufteilung BestCompactnessBasic berechnet fur jede der moglichen Aufteilungen den

Schnitt von Trennlinie L und konvexer Hulle. Der Nachteil ist, dass die konvexe Hulle die

Ausmaße eines Distriktes uberschatzen kann. Eine BestCompactnessEpsilon-Aufteilung

berucksichtigt daher nur die Basisgebiete innerhalb eines Streifens vorgegebener Breite

beiderseits von L.

5.3 Dummy-Facilities

Einige der beschriebenen Maße berechnen Funktionen von Distanzen zu Facilities. Das

Ziel des hier vorgestellten Verfahrens ist die Auswahl von Standorten zusatzlicher Facili-

ties. Da diese Standorte erst berechnet werden, nachdem alle Distrikte eingeteilt wurden,

sind sie wahrend des Algorithmus unbekannt. Die Aussagekraft eines Maßes, welches Di-

stanzen zu den Einrichtungen berechnet, ist durch die Nichtberucksichtigung der noch

zu wahlenden Standorte eingeschrankt. Daher werden nun zwei Verfahren vorgestellt,

mit denen die noch zu wahlenden Standorte geschatzt werden konnen. Beide Verfahren

identifizieren Regionen eines Teilproblems, in denen relativ zu der vorhandenen Aktivitat

wenige Facilities vorhanden sind. In diesen Regionen werden dann sogenannte Dummy-

Facilities platziert. Diese Dummy-Facilities werden anschließend fur die Berechnung von

Distanzen zur jeweils nachstgelegenen Facility verwendet. Die minimale Entfernung d ei-

nes Basisgebiets i zur nachstgelegenen Facility wird unter Einbeziehung der berechneten

Dummy-Facilities zu

d = min(minj∈F

(d(i, j), minj∈DF

(d(i, j))

Dabei bezeichnen F die Menge der (vorhandenen) Facilities und DF die Menge de be-

rechneten Dummy-Facilities. Dummy-Facilities mussen nur fur die Teilprobleme berech-

net werden, fur die |F | < q. Hierbei bezeichnet q wieder die Anzahl der zu bildenden


Distrikte. In einem Teilproblem mit |F | = q werden keine neuen Standorte ausgewahlt.

Dementsprechend muss die Berechnung der Distanz zur nachsten Facility nicht angepasst

werden.

Dummy-Facilities nach Winkel Das erste Verfahren fur die Berechnung von Dummy-

Facilities vergleicht die Aktivitatssummen der Basisgebiete in den Kreissektoren, die von

jeweils zwei Facilities und dem Mittelpunkt eines Teilproblems gebildet werden. Im ersten

Schritt werden Basisgebiete und Facilities nach den Winkeln, die sie mit dem Mittelpunkt

des Teilproblems bilden, sortiert. Diese Winkel werden nach Gleichung 5.1 berechnet.

Die Winkel der Facilities mit dem Mittelpunkt implizieren eine Aufteilung des Teilpro-

blems in Kreisausschnitte. Die Aktivitat jedes Basisgebiets wird nun dem entsprechenden

Kreisausschnitt zugeordnet. Den Kreisausschnitten werden die Dummy-Facilities nun so

zugeordnet, dass Aktivitat pro Dummy-Facility in der maximal wird. Die Aktivitat pro

Dummy-Facility ergibt sich dabei aus der gesamten Aktivitat eines Kreisausschnitts ge-

teilt durch die Anzahl der diesem Ausschnitt zugeordneten Dummy-Facilities.

Dummy-Facilities nach Zellen Fur diese Berechnung der Dummy-Facilities wird

zunachst ein Raster uber das Teilproblem gelegt. Fur dieses Raster besteht fur eine Par-

titionshalfte mit q Distrikten aus jeweils r Zeilen und Spalten, mit r = max(q, 10). Die

Aktivitat eines Basisgebiets wird der Zelle des Rasters zugeordnet, die es enthalt. Fur

jede Facility, die in einer Zelle liegt, wird die durchschnittliche Aktivitat eines Distrikts

dieses Teilproblems, von der Gesamtaktivitat der Zelle subtrahiert. Die Bewertung ei-

ner Zelle wird aufgrund einer gewichteten Summe der Aktivitaten einer Zelle sowie ihrer

Nachbarzellen berechnet. Die Aktivitat einer Zelle geht dabei mit dem vierfachen Gewicht

in die Bewertung ein. Die an den vier Seiten angrenzenden Zellen erhalten das doppelte

Gewicht, wahrend die an den Ecken einer Zelle anschließenden Zellen einfach gewichtet

werden. Im nachsten Schritt werden die Zellen nach ihrer Bewertung sortiert. Solange wei-

tere Dummy-Facilities berechnet werden mussen, werden folgende Schritte durchgefuhrt.

Die Zelle mit der besten Bewertung wird ausgewahlt und eine Dummy-Facility an ihrem

Mittelpunkt erstellt. Da diese Dummy-Facilitiy das Zentrum eines Distrikts reprasentiert,

wird die Aktivitat dieser Zelle um die durchschnittliche Aktivitat eines Distriktes ver-

ringert und die Bewertung aller betroffenen Zellen entsprechend der neuen Aktivitat der

Zelle aktualisiert.

5.4 Maßwechsel und Vorberechnung

5.4.1 Maßwechsel

Einige der verwendeten Maße entsprechen Zielen der Standort- bzw. Gebietsplanung. Fur

ein Teilproblem mit nur zwei zu bildenden Distrikten ist es daher sinnvoll, die erzeugten

Partitionen entsprechend einem Maß zu bewerten, dass dem jeweils verfolgten Ziel der

6 TESTS 41

Planung entspricht, unabhangig davon, welche Maße vorher verwendet wurden. So kann

das DistanceSum-Maß, dessen Zielfunktion der des Medians entspricht, fur die Bewer-

tung der letzten Aufteilungen verwendet, wenn ein p-Median-Problem gelost werden soll.

Ein solcher Maßwechsel konnte allgemein zu besseren Ergebnissen fuhren, wenn ab einer

gewissen Tiefe des Baumes ein anderes Maß sich als besser herausstellt.

5.4.2 Vorberechnung

Bestimmte Berechnungen werden im Verlauf des Rec-Part-Algorithmus wiederholt ver-

wendet. Um die Laufzeit des Algorithmus zu verkurzen, konnen die Ergebnisse dieser

Berechnungen gespeichert und im spateren Verlauf abgerufen werden. Zu den wiederkeh-

renden Berechnungen gehoren:

• Rotieren der Koordinaten von Basisgebieten und Facilities

• Berechnen der Distanzen von Basisgebieten und Facilities

• Berechnen der nachstgelegenen Facility eines Basisgebiets

Das Rotieren der Koordinaten erfordert die Berechnung von trigonometrischen Funktio-

nen. Dieser Zeitaufwand kann durch einmaliges Berechnen und Speichern der Losung

reduziert werden, da die rotierten Koordinaten fur jede Suchrichtung konstant sind. Da

die Anzahl der Facilities in der Regel deutlich geringer ist als die der Basisgebiete ist es

sinnvoll, die entsprechenden Distanzen vorzuberechnen und wahrend des Algorithmus nur

die Ergebnisse abzufragen. Zu beachten ist hierbei, dass die Anzahl der Facilities durch

den Logarithmus der Basisgebiete beschrankt sein sollte, da ansonsten die asymptoti-

sche Laufzeit des Algorithmus beeintrachtigt wurde. Aus diesem Grund werden auch die

Distanzen der Basisgebiete zueinander nicht vorberechnet. Dies erfordert quadratischen

Aufwand und verlangsamt den Algorithmus erheblich. Die asymptotische Komplexitat

des Algorithmus kann durch die Vorberechnungen nicht verringert werden, der Aufwand

wird lediglich um einen konstanten Faktor geringer.

6 Tests

Getestet werden vier wesentliche Optionen des Algorithmus, die Anzahl der Suchrichtun-

gen, Aufteilungsverfahren nach verschiedenen Kriterien, unterschiedliche Sortierung der

Basisgebiete und die einzelnen Maße. Die verschiedenen Testkonfigurationen werden an

einem Satz realistischer Problemen getestet. Dieser Satz besteht aus 43 verschiedenen

Problemen mit wenigen hundert bis mehr als 20.000 Basisgebieten (siehe Tabelle 6.1).

Die Anzahl der vorhandenen Facilities reicht von drei bis 130. Fur jedes Problem wer-

den funf neue Standorte gesucht. Hiermit wird beabsichtigt, das Verhaltnis von neuen

zu alten Standorten moglichst stark zu variieren. Wahrend der Test wird gefordert, dass

6 TESTS 42

Minimum Maximum

Basisgebiete 284 21315

Facilities 3 130

Basisgebiete pro Facility (alt) 85 540

Basisgebiete pro Facility (neu) 35 417

Tabelle 5: Kennzahlen der Testprobleme

eine Facility innerhalb eines Teilproblems liegt, dem sie zugeordnet wird. Das Testsystem

besteht aus einem PC mit Intel Core i5-3570K-Prozessor mit 3,4 GHz und 4 GB RAM.

Das installierte Betriebssystem ist die 32-Bit-Version von Windows 7 Professional.

Die berechneten Losungen werden nach den folgenden Kriterien bewertet:

• Balance

• Summe der Distanzen zur zugeordneten Facility

• maximale Distanz zur Facility

• maximale paarweise Entfernung innerhalb eines Distrikts

• durchschnittliche Entfernung zu den k nachsten Nachbarn

• Schwartzberg-Test

Aufgrund der stark unterschiedlichen Großen der Probleme werden bis auf die Balance

und den Schwartzberg-Test alle Bewertungen fur jeweils ein Problem skaliert, so dass der

besten berechneten Losung der Wert 0 und der schlechtesten Losung der Wert 1 zugeord-

net wird. Der skalierte Wert viscaled einer Zielfunktion fur Problem i ergibt sich demnach

wie folgt aus dem Wert der Zielfunktion v und dem Minimum mini und Maximum maxi:

viscaled =(vi −mini)maxi −mini

(6.1)

Um zwei Konfigurationen miteinander zu vergleichen, konnen verschiedene Ansatze ver-

folgt werden. Sind alle Bewertungen einer Konfiguration besser als die einer Referenz,

so wird die Referenz durch diese Konfiguration dominiert. Dominanz ist ein eindeutiges

Kriterium: eine dominierte Konfiguration ist in jedem (getesteten) Fall schlechter als die

Referenz. Dominiert keine Konfiguration die andere, mussen andere Kriterien wie Mittel-

wert, Median, Varianz oder Spannweite herangezogen werden.

6.1 Suchrichtungen

Die Anzahl der Suchrichtungen bestimmt, wie viele Partitionen fur ein Teilproblem er-

zeugt werden. Wie in Abschnit 3.2 beschrieben wird fur ein Teilproblem mit gerader

6 TESTS 43

● ●

●

●

●

0.04

0.06

0.08

0.10

Suchrichtungen

Bew

ertu

ng

K=4 K=5 K=6 K=8 K=10

Abbildung 6: Mittelwerte und Varianzen der Balance der Losungen fur verschiedene K

Anzahl an Distrikten fur jede Suchrichtung eine Partition erzeugt, bei ungerader Anzahl

Distrikte werden zwei Partitionen je Suchrichtung erzeugt. Die Laufzeit des Algorithmus

sollte daher ebenso mit hoher Anzahl Suchrichtungen steigen wie die Qualitat der be-

rechneten Losungen. Fur die Tests werden 4, 5, 6, 8 und 10 Suchrichtungen verwendet.

Fur jede Suchrichtung werden alle beschriebenen Maße getestet. Als Aufteilungsverfahren

wird die bestbalancierte Linie verwendet. Fur alle Tests wird die maximale Toleranz zu

Beginn auf 0.005 gesetzt.

6.1.1 Qualitat der Losungen

Die Balancewerte der Losungen nehmen mit steigender Anzahl Suchrichtungen leicht ab.

Abbildung 5.1 zeigt Mittelwerte und Varianzen der Balance der berechneten Losungen

fur die verschiedenen Werte von K. Die fallende Tendenz der Mittelwerte ist schwach

ausgepragt, so dass lediglich der Mittelwert fur K = 10 signifikant von den Mittelwer-

ten fur K = 4 und K = 5 unterscheidet. Zwischen den anderen Mittelwerten kann zum

Signifikanzniveau von 95% kein Unterschied festgestellt werden. Auffallend ist auch das

insgesamt niedrige Niveau der Balancewerte. Grund hierfur ist neben der balanceorientier-

ten Aufteilung der Balance-Grenzwert fur gultige Partitionen, so dass schlecht balancierte

Partitionen abgelehnt werden. Diese Schranke wird zunachst auf 0.5% gesetzt, kann aber

durch Relaxierung wahrend des Algorithmus erhoht werden.

6 TESTS 44

Suchrichtungen K=4 K=5 K=6 K=8 K=10

Mittelwert 0.08599 0.09230 0.07193 0.06490 0.05540

Varianz 0.04879 0.05666 0.04310 0.03809 0.03285

Tabelle 6: Mittelwerte und Varianzen

●

●

●

●

●

0.52

0.53

0.54

0.55

0.56

Suchrichtungen

Bew

ertu

ng

K=4 K=5 K=6 K=8 K=10

Abbildung 7: Normierte Mittelwerte und Varianzen der Median-Zielfunktion fur verschie-

dene K

Fur die anderen Bewertungen ist hingegen keine Tendenz zu erkennen. Teilweise sind die

mit K = 10 verschiedenen Suchrichtungen berechneten Losungen im Mittel sogar schlech-

ter als die Losungen fur andere K.

Interessant ist in diesem Zusammenhang der Vergleich mit K = 2 und K = 1. Wahrend

sich die Bewertungen von K = 4 und K = 2 geringfugig, aber signifikant unterscheiden,

konnen fur K = 1 nur fur drei Probleme uberhaupt Losungen berechnet werden. Um

eine Losung berechnen zu konnen, ist es wichtig, die Basisgebiete nach unterschiedlichen

Suchrichtungen sortieren zu konnen. Jedoch ist die Anzahl der Suchrichtungen fur die

Qualitat der Losung von untergeordneter Bedeutung.

6 TESTS 45

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqqq qqqqqqqqq

qqqqqqq

qq qqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq

qq

qqq

qqq

q

qqq q

qq

qq

q

q q

q

q

q

q

q

q

0 5000 10000 15000 20000

010

0020

0030

0040

0050

00

Basisgebiete

Zei

t in

ms

(a) Rechenzeit fur K = 4 und Balance-Maß

0 5000 10000 15000 20000

020

0060

0010

000

Basisgebiete

Zei

t in

ms

(b) Rechenzeit fur K ∈ {4, 5, 6, 8, 10}

Abbildung 8: Rechenzeit fur Teilprobleme nach Anzahl der Basisgebiete

6.1.2 Details

Neben der Qualitat der berechneten Losungen hat die Anzahl der Suchrichtungen Ein-

fluss auf die Laufzeit des Algorithmus. Der asymptotische Aufwand fur den Algorith-

mus ist O(k · log q · n log c) mit k verschiedenen Suchrichtungen und den Anzahlen q

der Distrikte und n der Basisgebiete. Damit ist der Aufwand zur Losung eines einzel-

nen Teilproblems in O(n log n). Abbildung 5.3(a) zeigt fur K = 4 die Zeit, die fur die

Losung eines Teilproblems benotigt wird, in Abhangigkeit der Anzahl der Basisgebiete

des Teilproblems. Als Bewertungsmaß wurde das Balance-Maß verwendet. Die rote Re-

gressionskurve wurde mit der Methode der kleinsten Quadrate berechnet und genugt der

Gleichung f(x) = 0.02175 ·n log n. Fur alle getesteten Werte von K ergeben sich ahnliche

Bilder, lediglich um den jeweiligen Faktor k verschoben (Abbildung 5.3(b)).

Ein weiteres Merkmal einer Testkonfiguration, welche neben der Rechenzeit auch die Qua-

litat der Losung beeinflusst, ist die Anzahl der nicht losbaren Teilprobleme. Jedes Teilpro-

blem, fur das keine Losung berechnet werden konnte, lost ein Backtracking aus. Tabelle

zeigt die Anzahl der Backtrackings und deren Anteil an der Gesamtzahl der Probleme fur

jeden Wert von K. Die hohen Werte erklaren sich aus der extrem niedrigen Anfangstole-

ranz, welche fur die Partitionen nur eine Balance von maximal 0,005 erlaubt. Dieser Wert

ist sehr niedrig gewahlt, so dass vor allem bei Problemen mit vielen Basisgebieten Back-

trackings auftreten. Dennoch kann fur viele Probleme mit weniger als 1000 Basisgebieten

diese Toleranz eingehalten werden. Der Anteil der Backtrackings zeigt keine großeren Un-

terschiede und erreicht bei K = 8 sein Maximum. Hier kann kein großer Unterschied

zwischen den einzelnen Tests festgestellt werden. Trotz des etwa gleichbleibenden An-

teils an Backtrackings sinkt die Zahl der bearbeiteten Teilprobleme mit zunehmendem

K. Auch der Anteil gultiger Partitionen erhoht sich. Dies ist vor allem auf einen großeren

6 TESTS 46

K 4 5 6 8 10

Teilprobleme 40232 39240 35372 33611 30082

Backtrackings 20712 20882 18935 18207 15094

Anteil Backtrackings 51,5% 53,2% 53,5% 54,2% 50,2%

Anteil gultiger Partitionen 65,3% 64,6% 68,9% 67,6% 69,4%

Tabelle 7: Anteil Teilprobleme, die Backtrack verursachen

Anteil gultiger Partitionen bei kleineren Teilproblemen zuruckzufuhren: je kleiner die An-

zahl der Basisgebiete, desto großer ist das relative Gewicht jedes einzelnen Basisgebiets.

Da die Partitionen balanceorientiert erzeugt werden, kann genau dann keine gultige Par-

tition berechnet werden, wenn die Aktivitat des trennenden Basisgebiets so groß ist, dass

die Balancegrenzen nicht erfullt werden. Da mit steigendem K mehr Sortierungen der

Basisgebiete durchlaufen werden, sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall eintritt.

Zusammenfassend lasst sich uber die Anzahl der Suchrichtungen sagen, dass ihre Wahl

den Ablauf des Algorithmus zwar beeinflusst, dieser Einfluss jedoch gering ausgepragt ist

und lediglich die Balance der Losung beeinflusst. Der vielleicht wichtigste Grund fur die

Wahl eines hoheren Werts fur K ist daher asthetisch-psychologisch. Aufgrund der starker

variierenden Ausrichtung der Trennlinien sehen die durch hohere K erzeugten Distrikte

runder aus.

6.2 Maße

Die erzeugten gultigen Partitionen eines Teilproblems werden nach ihrer Bewertung ge-

ordnet. Die Unterprobleme werden aus der Partitition mit der besten Bewertung erstellt.

Die Bewertung setzt sich aus den gewichteten Bewertungen der verwendeten Maße zu-

sammen. Auf diese Weise beeinflusst die Wahl der verwendeten Maße den Verlauf des

Algorithmus. In Abschnitt 4 wurde eine Einteilung der verwendeten Maße in vier Kate-

gorien vorgenommen. Neben dem Balance-Maß, welches eine Kategorie fur sich bildet,

werden Kompaktheitsmaße in folgende Kategorien eingeteilt:

• Aktivitatskompaktheit

• Formkompaktheit

• Ausdehnungskompaktheit

Form- und Ausdehnungskompaktheit werden zur geografischen Kompaktheit zusammen-

gefasst. Es ist zu erwarten, dass Maße einer Kategorie Losungen erzeugen, die in der

jeweiligen Kategorie gut bewertet werden.

6 TESTS 47

6.2.1 Balance

Anders als bei den Suchrichtungen unterscheiden sich die Ergebnisse der verschiedenen

Maße deutlich voneinander. Abbildung 5.4 zeigt die Verteilung der normierten Balance-

Bewertungen fur die einzelnen Maße. Erwartungsgemaß liefert das Balance-Maß die deut-

lich besten Ergebnisse. Sowohl Mittelwert als auch Varianz sind signifikant geringer als bei

allen anderen verwendeten Maßen. Die anderen Maße unterscheiden sich nicht signifikant

voneinander. Fur alle Maße ist das Balance-Niveau niedrig, lediglich beim CompactnessBasic-

Maß liegt der Mittelwert uber 10%. Die erzeugten Losungen sind insgesamt gut balanciert,

was auf die balancorientierte Aufteilung und den niedrigen Grenzwert fur gultige Parti-

tionen zuruckzufuhren ist.

●

●

●

●

●

●

●●

● ●

●

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

Maße

Bew

ertu

ng

Bal DS MD NtB CB CE ST LD Diam KNN RT

Abbildung 9: Mittelwerte und Varianzen der Balance fur die getesteten Maße

6.2.2 Aktivitatskompaktheit

Aktivitatskompaktheit bezeichnet die Eigenschaft, dass die Aktivitat eines Distrikts nahe

des Zentrums konzentriert ist. Die verwendeten Zielfunktionen sind (2.1) und (2.2) fur

den Median eines Distrikts, bzw. die p-Mediane der Losung und (2.3) sowie (2.4) fur

das Zentrum eines Distrikts bzw. die p-Zentren der Losung. Fur beide Zielfunktionen

existieren entsprechende Maße, Distanzsumme und MaxDistanceToFacility. Ein weiteres

Aktivitatskompaktheitsmaß ist das Nr-to-Best-Maß, welches fur eine Partition die Anzahl

der Basisgebiete misst, die nicht der bestmoglichen Facility zugeordnet werden.

6 TESTS 48

Distanzsumme Abbildung 5.5 zeigt die skalierten Distanzsummen fur die getesteten

Maße. Die großte Auffalligkeit bietet das Nr-to-Best-Maß, welches mit Abstand die besten

Bewertungen liefert und alle anderen Maße dominiert. Im Durchschnitt betragt die mit

diesem Maß berechnete Distanzsumme nur etwa ein Funftel des Minimums der anderen

Maße.

●

●●

●

●

● ●

●

●

●

●

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Maße

Bew

ertu

ng


(a) Distanzsumme zu den Facilities(p-Median-

Problem)

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Maße

Bew

ertu

ng


(b) Maximale Entfernung eines Basisgebiets zur

Facility (p-Center-Problem)

Abbildung 10: Skalierte Bewertungen fur Distanzsummen und maximale Entfernung zur

Facility

Anhand der Ergebnisse konnen die getesteten Maße in verschiedene Qualitatsstufen ein-

geteilt werden, deren Losungen sich ihrer Gute signifikant voneinander unterscheiden. Das

Compactness-Basic-Maß wird bis auf das LineDistance-Maß von allen anderen Gruppen

dominiert. Das beste Ergebnis eines Maßes dieser Gruppen ist fur jedes untersuchte Pro-

blem besser als das Ergebnis des CB-Maßes. Die Maße Compactness-Epsilon, Schwartzberg-

Test und Diameter dominieren zusammen auch das LineDistance-Maß.

Maximaldistanz zum Zentrum Die Ergebnisse fur die maximale Distanz eines Basis-

gebiets zu der jeweils zugeordneten Facility bieten ein ahnliches Bild wie bei der Distanz-

6 TESTS 49

Rang Maße

1 Nr-to-Best

2 Compactness-Epsilon, Schwartzberg-Test, Diameter

3 Distanzsumme, MaxDistance, Reock-Test

4 Balance, K-Nearest-Neighbor

5 LineDistance

6 Compactness-Basic

Tabelle 8: Qualitatsstufen fur die Distanzsumme

Rang Maße


2 Distanzsumme, MaxDistance, Reock-Test

3 Balance, Nr-to-Best, K-Nearest-Neighbor

4 Line-Distance

5 Compactness-Basic

Tabelle 9: Guteklassen fur die p-Center-Probleme

summe, allerdings ohne den Ausreißer NtB. Wieder gruppieren sich Maße zu Qualitats-

niveaus. Diese Gruppen sind im wesentlichen die gleichen wie bei den Distanzsummen.

Allerdings entspricht die Gute der NtB-Losungen in diesem Fall etwa derjenigen von

Balance- und KNN-Maß.

Die beiden Maße CB und LD liefern wiederum die schlechtesten Ergebnisse. An der Rei-

henfolge der einzelnen Gruppen andert sich nichts. Allerdings sind die Unterschiede deut-

licher. Die Ergebnisse der CE-, ST- und Diameter-Maße werden nur in Einzelfallen von

anderen Maßen ubertroffen.

6.2.3 Geografische Kompaktheit

Geografische Kompaktheit umfasst solche Kompaktheitsmaße, die nicht auf Funktionen

der Distanzen zwischen Basisgebieten und Zentren eines Distrikts basieren. Als Zielfunk-

tionen werden die Ausdehnung eines Distrikts (4.8), die durchschnittliche Entfernung

eines Basisgebiets zu den k nachstgelegenen Nachbarn (4.10) und der Schwartzberg-Test

(2.14). Diese Zielfunktionen werden auch fur die entsprechenden Maße verwendet. Wei-

terhin werden die geografischen Kompaktheitsmaße Compactness-Basic, Compactness-

Epsilon-Area, Line-Distance und Reock-Test getestet.

Abbildung 5.6 zeigt die Mittelwerte der skalierten Ergebnisse fur den maximalen und den

durchschnittlichen Durchmesser eines Distriktes. In beiden Fallen bilden die Maße CE,

ST und Diameter das hochste Qualitatsniveau. Wahrend diese Maße fur den maximalen

Durchmesser bis auf drei Probleme die beste Losung berechnen, wird der durchschnittli-

6 TESTS 50

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Maße

Bew

ertu

ng


●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Maße

Bew

ertu

ng


Abbildung 11: Skalierte maximale und durchschnittliche Durchmesser eines Distrikts

Rang Maße


2 Nr-to-Best, Reock-Test

3 Distanzsumme, MaxDistance

4 Balance, Nr-to-Best, K-Nearest-Neighbor

5 Line-Distance

6 Compactness-Basic

Tabelle 10: Guteklassen fur den Durchmesser und die Entfernung zu den k nachsten

Nachbarn

che Durchmesser von diesen Maßen sogar dominiert.

Die K-Nearest-Neighbor-Bewertungen unterscheiden sich kaum von denen des Durchmes-

sers. Die Gute der Diameter-Losungen ist ein wenig, aber messbar, schlechter als die der

Losungen der CB- und ST-Maße. Das KNN-Maß liefert nur unterdurchschnittliche Er-

gebnisse, welche sich, wie auch beim Durchmesser der Distrikte nicht signifikant von den

Ergebnissen des Balance-Maßes unterscheidet. Tabelle 5.5 zeigt die verschiedenen Klassen

der Maße fur den Durchmesser und die k nachsten Nachbarn.

Die durchschnittlichen Maximalwerte des Schwartzberg-Tests weisen das umgekehrte Mu-

ster zu den anderen Bewertungen auf. Die besten Bewertungen werden unter Verwendung

des Compactness-Basic erzielt, wahrend die schlechtesten Bewertungen mit den Maßen

Compactness-Epsilon, Diameter und Schwartzberg-Test erzeugt werden. Die durchschnitt-

lichen Werte des Schwartzberg-Test liefern das gleiche Ergebnis.

6.2.4 Dummy-Facilities

Die Maße Distanzsumme, MaxDistance, Nr-to-Best und LineDistance berechnen Funk-

tionen der Distanz der Facilities zu den Basisgebieten bzw. zur Trennlinie der Partition.

In Teilproblemen, in denen die Zahl der Distrikte die der vorhandenen Facilities uber-

steigt, kann die Einbeziehung von Dummy-Facilities zu besseren Ergebnissen fuhren. Ab-

bildung 5.8(a) zeigt die Ergebnisse fur Dummy-Facilities, die nach Winkeln berechnet

6 TESTS 51

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

810

1214

16

Maße

Bew

ertu

ng


(a) Maximale Werte

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

45

67

8

Maße

Bew

ertu

ng


(b) durchschnittliche Werte

Abbildung 12: Ergebnisse des Schwartzberg-Tests

●

● ●

●

●

● ●

●

●

●

●

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Maße

Bew

ertu

ng


(a) nach Winkeln

●

● ● ●

●

● ●

●

●

●

●

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Maße

Bew

ertu

ng


(b) nach Zellen

Abbildung 13: Distanzsummen mit Dummy-Facilities

wurden. Die Ergebnisse des NtB-Maßes haben sich im Vergleich zu den Ergebnissen oh-

ne Dummy-Facilities verschlechtert, wahrend die anderen drei Maße erheblich profitieren.

Die mit den Maßen DS und MD erzielten Distanzsummen erreichen mit Dummy-Facilities

diejenigen des NtB-Maßes ohne Dummy-Facilities. Die Distanzsummen werden bei die-

sen Maßen durch die Verwendung von Dummy-Facilities um 80% reduziert. Auch das

Line-Distance-Maß erzielt eine ahnliche Verbesserung, allerdings sind die Distanzsummen

weiterhin signifikant großer als bei den anderen beiden Maßen.

Die Ergebnisse mit Dummy-Facilities, die nach Zellen berechnet wurden, sind, wie in Ab-

bildung 5.8(b) zu sehen, denen mit Winkel-Dummies sehr ahnlich. Distance-Sum, Max-

Distance und Line-Distance profitieren genau so von den Dummy-Facilities. Der großte

Unterschied ist, dass das Nr-to-Best-Maß nun wieder hervorragende Ergebnisse erzielt,

die sich nicht signifikant von denen der Maße DS und MD unterscheiden. Abbildung 5.9

zeigt die Methoden, Dummy-Facilities zu berechnen, im Vergleich mit den Ergebnissen

ohne diese. Die schwarze Linie zeigt die Ergebnisse ohne Dummy-Facilities, die rote Linie

und grune Linie zeigen die Ergebnisse mit Winkel-Dummies und Zellen-Dummies.

In geringerem Umfang verbessern sich die maximalen und durchschnittlichen Durchmesser

6 TESTS 52

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Maße

Bew

ertu

ng


Abbildung 14: Vergleich der Distanzsummen mit und ohne Dummy-Facilities

eines Distrikts sowie die KNN-Bewertung fur die Maße DS und MD. Fur das DistanceSum-

Maß ist die Verbesserung fur beide Arten von Dummy-Facilities in etwa gleich, wahrend

das MaxDistance-Maß starker von der Berechnung nach Winkeln profitiert. Fur die Ma-

ße Nr-to-Best und LineDistance sind die Verbesserungen fur diese Zielfunktionen nicht

signifikant. Fur den Schwartzberg-Test zeigt sich eine Verschlechterung, die fur Winkel-

Dummies starker ausgepragt ist als fur Zellen-Dummies.

6.3 Sortierungen

Neben der Sortierung nach Suchrichtung bzw. rotierten x-Koordinaten konnen die Basis-

gebiete auch nach dem Winkel, den sie mit dem Mittelpunkt eines Teilproblems bilden,

und der Netzwerkentfernung zu einem Startpunkt sortiert werden. Der Winkel, den ein

Basisgebiet mit dem Mittelpunkt bildet, ist wie in Gleichung () definiert. Die Netzwerkent-

fernungen zwischen den einzelnen Basisgebieten sowie den Basisgebieten und den bereits

vorhandenen Facilities liegen vorberechnet vor, und werden eingelesen bevor der Algorith-

mus gestartet wird. Da die Netzwerkentfernungen nur fur 25 Probleme vorliegen, werden

im folgenden die Tests auf diese Auswahl beschrankt. Diese 25 Probleme gehoren hierbei

zu den kleinsten der getesteten Probleme. Weiterhin konnen die Maße CompactnessBa-

sic, CompactnessEpsilon und LineDistance nicht mit den Sortierungen nach Winkeln und

Netzwerkentfernungen verwendet werden, da sie Funktionen der Trennlinie berechnen.

Eine solche Trennlinie existiert aber fur diese Sortierungen nicht.

6 TESTS 53

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Maße

Bew

ertu

ng


Abbildung 15: Vergleich der maximalen Distanz zur Facility mit und ohne Dummy-

Facilities

6.3.1 Ergebnisse

Die Mittelwerte der Balance fur die getesteten Sortierungen werden in Abbildung 5. a

gezeigt. Die Sortierungen nach rotierten x-Koordinaten und Netzwerkentfernungen unter-

scheiden sich nicht signifikant voneinander. Dagegen ist die Balance der Winkel-Sortierung

deutlich schlechter. Durch die notwendigen Relaxierungen, um uberhaupt eine Losung be-

rechnen zu konnen, sind die Ergebnisse sehr schlecht balanciert. Eine solch hohe Balance

wie sie die Winkelsortierung im Mittel zeigt, erlaubt Distrikte, die dreimal so viel Akti-

vitat enthalten wie der Durchschnitt aller Distrikte. Abweichungen nach unten konnen

sogar noch extremer werden: selbst ein leerer Distrikt wurde die Balance nicht weiter

erhohen, da ihm eine Balance von 1 zugeordnet wurde. Wie in Abbildung 5. b) zu sehen,

stimmen die Ergebnisse fur die Distanzsummen im wesentlichen mit denen der Balance

uberein. Die Ergebnisse der Netzwerk-Sortierung sind lediglich geringfugig schlechter als

diejenigen der rotierten x-Koordinaten, wahrend die Winkelsortierung die schlechtesten

Ergebnisse erzielt.

Die Ergebnisse fur die anderen Zielfunktionen weisen ein jeweils ahnliches Muster auf:

Mit der RotX-Sortierung werden die besten Ergebnisse erzielt, gefolgt von der Netzwerk-

sortierung. Die Winkelsortierung berechnet durchgehend die schlechtesten Losungen.

6 TESTS 54

●

●

●

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Sortierung

Bew

ertu

ngRotX Angle Network

(a) Balance

●

●

●

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Sortierung

Bew

ertu

ng

RotX Angle Network

(b) Distanzsumme

Abbildung 16: Balance und skalierte Distanzsummen der verschiedenen Sortierungen

●

●

●

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Sortierung

Bew

ertu

ng

RotX Angle Network

Abbildung 17: Mittelwerte der skalierten maximalen Distanz eines Basisgebiets zur ihm

zugeordneten Facility

6 TESTS 55

6.4 Aufteilungen

Das ursprungliche Aufteilungsverfahren des Recursive-Partitioning-Algorithmus ist ba-

lanceorientiert. Es wird die Trennlinie gewahlt, durch welche die erzeugte Partition die

bestmogliche Balance erzielt (BestBalancedLine = BBL). Alternative Partitionierungen

berechnen Trennlinien, welche andere Maße minimieren. So berechnet die Aufteilung Best-

LineDistance (BLD) diejenige Trennlinie, welche die Distanz zu einer der vorhandenen Fa-

cilities maximiert. Das BestCompactnessBasic-Verfahren (BCB) sucht nach einer Trennli-

nie mit minimalem Schnitt mit der konvexen Hulle der Basisgebiete. Zum Vergleich werden

auch die Ergebnisse fur das CompactnessEpsilonArea-Aufteilungsverfahren (BCE) ange-

geben, obwohl dessen Laufzeit quadratisch in der Anzahl der Basisgebiete ist und somit

die asymptotische Laufzeit des Rec-Part-Algorithmus erhoht.

6.4.1 Ergebnisse

Die Auswertung der Losungen zeigt, dass die Suche nach der bestbalanciertesten Trenn-

linie die besten Ergebnisse erzielt, welche sich fur Balance, Distanzsumme und Maximal-

distanz auch signifikant von allen anderen unterscheiden (siehe Abbildung 5.). Fur die

durchschnittliche Distanz zu den k nachsten Nachbarn sind die mit dem BBL-Verfahren

berechneten Losungen im Mittel die besten, unterscheiden sich aber nicht mehr messbar

von denen, die mit dem BCB-Verfahren erzeugt wurden. Lediglich bei maximalem und

durchschnittlichem Durchmesser der Distrikte schneidet das BBL-Verfahren schlechter ab

als die anderen Partitionierungen.

Unter den alternativ entwickelten Partitionierungsverfahren erzielt das BestCompactnessBasic-

Verfahren die besten Bewertungen. In Abbildung 5. ist zu sehen, dass dieses Verfahren

signifikant bessere Balance- und p-Center-Ergebnisse berechnet, wahrend fur andere Ziel-

funktionen die Ergebnisse zwar schlechter sind, die Differenz zu den anderen Partitio-

nierungen jedoch nicht signifikant ist. Bei der Balance werden von allen drei Verfahren

hohe Werte erreicht. Lediglich die BCB-Partitionierungen erreichen Balancewerte unter

20%. Unerwartet sind die schlechten Ergebnisse der BestCompactnessEpsilon-Aufteilung.

Wahrend das entsprechende Maß neben dem Schwartzberg-Test und dem Diameter-Maß

noch die besten Ergebnisse erzielte, sind die Ergebnisse des Aufteilungsverfahrens deutlich

schlechter als die der anderen Partitionierungen.

6.5 Analyse der Ergebnisse

Im Rahmen dieser Arbeit wurden vier Einstellungen getestet. Neben der Anzahl der Such-

richtungen waren dies verschiedene Maße zur Bewertung der erzeugten Partitionen, die

Sortierung der Basisgebiete und die Verfahren zur Erzeugung der Partitionen. Es wurde

gezeigt, dass diese Parameter einen jeweils unterschiedlich starken Einfluss auf die Qua-

6 TESTS 56

●

●

●

●

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Aufteilung

Bew

ertu

ngBBL BLD BCB BCE

●

●

● ●

0.25

0.30

0.35

0.40

Aufteilung

Bew

ertu

ng

BBL BLD BCB BCE

Abbildung 18: Balance und skalierte p-Center-Funktionswerte fur die getesteten Auftei-

lungsverfahren

●

●

●

●

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Aufteilung

Bew

ertu

ng

BBL BLD BCB BCE

●

●

●

●

0.28

0.30

0.32

0.34

0.36

0.38

Aufteilung

Bew

ertu

ng

BBL BLD BCB BCE

6 TESTS 57

litat der berechneten Losung haben.

Die Anzahl der Suchrichtungen ubt hierbei den geringsten Einfluss auf das Ergebnis aus.

Die Ergebnisse bei vier verwendeten Suchrichtungen unterschieden sich nur bei der Balan-

ce messbar von den Ergebnissen mit zehn Suchrichtungen. Signifikant schlechter werden

die Ergebnisse erst, wenn zwei Suchrichtungen verwendet werden. Hingegen sind bei nur

einer Suchrichtung viele Probleme nicht oder nur mit schlechter Balance losbar. Offen-

sichtlich ist fur eine (gute) Losung die Moglichkeit essenziell, die Basisgebiete verschieden

sortieren zu konnen, wodurch bei den einzelnen Partitionen eine gleichmaßigere Aufteilung

der Aktivitat erzielt werden kann. Jedoch kann die Qualitat der erzeugten Partitionen ab

vier verwendeten Suchrichtungen nur noch wenig erhoht werden, da mit zunehmender

Anzahl Suchrichtungen die Differenz der Winkel zwischen den Suchrichtungen sinkt. Dies

bestatigen auch die schlechten Ergebnisse, die mit der Winkelsortierung erzielt werden.

Die Sortierung nach Winkeln ist letzlich fur die verwendeten Offsets die gleiche, nur star-

tet die Iteration durch die Basisgebiete an verschiedenen Stellen.

Mit der Sortierung der Basisgebiete nach Winkeln werden aus diesem Grund deutlich

schlechtere Ergebnisse erzielt als mit der Sortierung nach rotierten x-Koordinaten. Beson-

ders aufgrund der schlechten Balance ist die Winkelsortierung kein gleichwertiger Ersatz.

Weiterhin ist ein Teilproblem, welches mithilfe dieser Sortierung erzeugt wurde, im Allge-

meinen nicht konvex, was im spateren Verlauf des Algorithmus zu unzusammenhangenden

Teilproblem bzw. Distrikten fuhren konnte. Dies gilt auch fur Sortierung nach Netzwerk-

distanzen. Diese Art, die Basisgebiete zu sortieren, erzielt fur Balance und Distanzsumme,

qualitativ ahnliche Ergebnisse wie die RotX-Sortierung. Diese Zielfunktionen beziehen al-

le Basisgebiete in die Berechnung des Funktionswertes mit ein und sind daher fur den

Recursive-Partitioning-Algorithmus einfacher zu optimieren als Zielfunktionen wie der

maximale Durchmesser eines Distrikts oder die maximale Entfernung eines Basisgebiets

zum zugeordneten Zentrum. Letzere werden durch die Extremwerte bestimmt und sind

daher anfallig fur Ausreißer. Mit der RotX-Sortierung gelingt die Optimierung dieser

Zielfunktionen noch am besten. Aus diesen Grunden sollten die Netzwerk- und in noch

starkerem Maße die Winkelsortierung vor allem als Erganzung zur klassischen Sortierung

der Basisgebiete verwendet werden.

Auch die alternativen Aufteilungsverfahren konnen nicht uberzeugen. Offenbar ist die

balanceorientierte Aufteilung notwendig, um ein akzeptables Balanceniveau zu erhalten.

Die ursprungliche Partitionierung berucksichtigt als einzige der getesteten Varianten die

Basisgebiete bzw. etwa die Halfte der Basisgebiete. Aufgrund des Aufteilungsverfahrens

wird jeder Seite einer Partition ungefahr gleich viel Aktivitat zugeordnet. Sind sowohl die

Verteilung der Basisgebiete als auch die Zuordnung der Aktivitat auf die einzelnen Basis-

gebiete in beiden Halften der Partition ahnlich, werden auch die Basisgebiete zu ahnlichen

Teilen auf die Teilprobleme aufgeteilt, was sich wiederum positiv auf die Zielfunktionen

auswirkt, die eine Funktion der Distanzen berechnen.

Die mit den getesteten Maßen berechneten Losungen unterscheiden sich deutlich vonein-

7 ZUSAMMENFASSUNG 58

ander. Die Maße Balance, NrToMin und DistanceSum erfullen jeweils ihren Zweck, auch

wenn fur letzteres die Einbeziehung von Dummy-Facilities entscheidend ist. Mit diesen

Maßen werden die besten Losungen bezuglich Balance bzw. Distanzsumme zu den Faci-

lities berechnet. Auch das NrToBest-Maß erzielt gute Ergebnisse bezuglich der Distanz-

summe. Maße wie MaxDistanceToFacility und K-Nearest-Neighbor sind hingegen nicht

zweckmaßig, da sie fur die jeweils entsprechende Zielfunktion nur unterdurchschnittliche

Werte erzielen. Dies gilt auch fur das Schwartzberg-Test-Maß, welches dafur bei anderen

Bewertungen gut abschneidet. Das gleiche gilt fur die Maße Compactness-Epsilon-Area

und Diameter. Diese Maße bewerten solche Aufteilungen gut, bei denen die Ausdehnung

der beiden Teilprobleme moglichst gering ist. Dieses Vorgehen scheint fur die meisten

Zielfunktionen zweckmaßig zu sein. Fur die Minimierung der Distanzsumme ist jedoch

ein Maß zu bevorzugen, welches die Distanzen der Basisgebiete zu den Facilities und

Dummy-Facilities berucksichtigt.

7 Zusammenfassung

In dieser Arbeit wurde ein heuristisches Verfahren zur kombinierten Standort- und Ge-

bietsplanung vorgestellt. Im Rahmen der Standortplanung waren einige Standorte fest,

wahrend andere im Rahmen der Restriktionen frei gewahlt werden konnten. Das Verfah-

ren baut auf dem von [Kal06] entwickelten Recursive-Partitioning-Algorithmus auf, ei-

nem Algorithmus zur Gebietsplanung. Es wurde gezeigt, wie der Algorithmus zur Stand-

ortplanung eingesetzt werden kann. Fur die Bewertung der Partitionen des Rec-Part-

Algorithmus wurden neue Maße entwickelt, die bei Tests mit den bereits vorhandenen

Maßen verglichen wurden. Ebenso wurden Erweiterungen des Algorithmus vorgestellt

und getestet. Die Tests zeigten, dass die Anzahl der Suchrichtungen ab einer bestimmten

Große (K = 4) keinen nennenswerten Einfluss auf die Qualitat der berechneten Losung

hat.

Die neu implementierten Aufteilungsverfahren konnten in den Tests ebenso wenig uber-

zeugen wie die entwickelten Sortierungsverfahren. Die Einfuhrung von Dummy-Facilities

fur Maße, die eine Funktion der Distanzen der Basisgebiete zu den Facilities berechnen,

hat dagegen die Ergebnisse deutlich verbessert. Bei den Tests der Maße zeigten sich ver-

schiedene Qualitatsstufen, die fur die einzelnen Zielfunktionen herausgearbeitet wurden.

LITERATUR 59

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Heuristiken für kombinierte Standort- und Gebietsplanung ... · Die Begri e Kunde und Basisgebiet...

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