HEURISTIC ALGORITHM TO SOLVE THE MULTI-FLOOR LAYOUT...

14
HEURISTIC ALGORITHM TO SOLVE THE MULTI-FLOOR LAYOUT PROBLEM WITH THE CONSIDERATION OF ELEVATOR M. Saviz Asadi. L. S.H. Zegordi M.Sc student, Industrial Engineering Department, Tarbiat Modares University [email protected] Associate professor, Industrial Engineering Department, Tarbiat Modares University [email protected] Abstract: In the past few decades along with the developing industrial units, the use of multi floor factories has increased. On the other hand according to the service provided and being in city centers, office buildings, hospitals, universities, ministries etc. represent the most multi floor buildings. One of the most costly procedures which these factories and buildings (which are multi floored) face is the cost of transporting equipment among different departments. These transportations are divided into horizontal and vertical, according to being a multi floor building. For vertical transportation the machine always recommended is an elevator. Placing and elevator is a costly procedure, therefore the number of elevators needed and their locations should be decided. Since 1967 a number of algorithms have been introduced to solve multi floor buildings designing problems, using a lot of simplifying theories based on the large amount of calculations needed. Therefore they are only described theoretically and mathematically, but can't be used in a real setting. In this research we have tried to define an algorithm to solve multi floor designing problem so that it could be used in real settings. All the simplifying theories used for the previous algorithms have been eliminated. Results show that this algorithm to a large extent can be applied to real settings. : . - . NP-hard . . . - . : . : / / : / / [email protected] . [email protected] .

Transcript of HEURISTIC ALGORITHM TO SOLVE THE MULTI-FLOOR LAYOUT...

������ � ��� � ��� ������ ��� ����� ������ � ��� � ��� ������ ��� ������������������� ����� ��� �� ������� ����� ��� �� �������

��� ������� � � ����� ������� � ������!�����! �"#$�"#$ %&' � %&' �((��))����

HHEEUURRIISSTTIICC AALLGGOORRIITTHHMM TTOO SSOOLLVVEE TTHHEE MMUULLTTII--FFLLOOOORR LLAAYYOOUUTT

PPRROOBBLLEEMM WWIITTHH TTHHEE CCOONNSSIIDDEERRAATTIIOONN OOFF EELLEEVVAATTOORR

M. Saviz Asadi. L. S.H. Zegordi

M.Sc student, Industrial Engineering Department, Tarbiat Modares University

[email protected]

Associate professor, Industrial Engineering Department, Tarbiat Modares University

[email protected]

Abstract: In the past few decades along with the developing industrial units, the use of multi floor factories has increased. On the other hand according to the service provided and being in city centers, office buildings, hospitals, universities, ministries etc. represent the most multi floor buildings. One of the most costly procedures which these factories and buildings (which are multi floored) face is the cost of transporting equipment among different departments. These transportations are divided into horizontal and vertical, according to being a multi floor building. For vertical transportation the machine always recommended is an elevator. Placing and elevator is a costly procedure, therefore the number of elevators needed and their locations should be decided. Since 1967 a number of algorithms have been introduced to solve multi floor buildings designing problems, using a lot of simplifying theories based on the large amount of calculations needed. Therefore they are only described theoretically and mathematically, but can't be used in a real setting. In this research we have tried to define an algorithm to solve multi floor designing problem so that it could be used in real settings. All the simplifying theories used for the previous algorithms have been eliminated. Results show that this algorithm to a large extent can be applied to real settings.

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� ��

���$%�&" '��(���$%�&" '��()*+% �)*+% � ,$�-�� ,$�-�� ..��!���/ ��!���/

��� ���� ��� �� � ��� ���� ��� �� � ���� ��� ���� ��� ����� ��������� ����

�����:�������� ���� � ��� ����� ������ ��� ������ �� ��� �� ���! ����" ��#���$ . %� &"�' ���(-

)*�����+� ,�- / 0���-� ��#� �� �" ���'��1����� 2�" .3�"�� ����"��4- �� ��� , *� 5�6 7�" 8���- �( ��

��- ,�9 �� ��:� ,"�! ����� 7;<" ��=��� )*���� *� >1 ?2�"NP-hard @���#A�� /� *� , ���" ������ ��#"

7�� 52 5��B��� )��C�"� .���'��1� ����"� ���� @���#A�� ��/��� �#' �� �� ���D"�: �" E/� @���#A�� >F� ?�(

���'��1����( %� �" ���� %� &"�' ���� )*���*���1 . E�D-� ���G�41 @���#A�� ������ / ,;H' / ��+D' 7��G- ��

���#2 .�� ��4- 3����H� 8���-�� �<!�/ ��-� �� / ,�9 �� ��I�" ���" �����( ����� )��G�41 @���#A�� �( ��-

2�" .

������� �: ����������@���#A�� ��=��� )*���� ����� � ��� ��#�-��6 ������� )��C�"� )��.

���� ��� :��/ /��

���� ��� :��/��/��

��� ���� ������� �� ����� ���� ������ � ��� ����� ������ ������ ���� ������������[email protected] .

��! �"� #$%&�&#'( )��*�� ������ ������ �!� ����� ���� ����� ���� ������ � ��� ����� �[email protected] .

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� $%&' ����('�)" *��+$%&' ����('�)" *��+ ......

*+ ,��- �./ 0�1 0�/� 2��/ ��&�,��- �./ 0�1 0�/� 2��/ ��&�3��45 6��7�3��45 6��7�

�. �����

*� 5��B�J�� ���<�JK )��J �/ 7L�4J1 �J" ��J2M$ �J�� �� ��

7�� 5��N �1 �K�� O-/� ���� �� )�� �-����N . �A�� %�� *�

�������" �)���� )�� ������� 5�A4-�� ��� �-�P'��*/ ��� / �� ... �J" �

@JD ����4J" ����GJ2 +(�� �� ��L�$���! / 7�� Q#- �" �:#'

��������� R�S��� �#� �" �� ���� �� )�����.

���+� ����4" *� �T� �-����N Q#- ��� �N ���� ������J� / �J� �J�

) 52 ����� ���� �� 3�#K �" �N-� ( ����J� W�J�'�� �� �6 �"

���+� *� �N 7�� ���� ���'��1� �" �� ��#� 0���-� / ,�- �#J:#" ��

���6 .

0���-� / ,�- �" ���D"�: ��� �������� ��#" ���� �� �" �:#' �"

�� @��' )�#�9 / ��L��#2 .�;�/ )�#J�9 ���D"�: )��" �N )�

2�" �� �#�-��6 �7�� 52 ��G�41 5��#�� . �J��+� �J" �J:#' �J"

�6 ��" ��#�-��6 XS- )I�" �J<' ��JT� / ��<' Y�H� *� ���#�-�

-#2 .

0�� *�Z[\] @���#A�� �#�(�' �J ��� ,^��� , )��" )���* )��

�J" �:#' �" �N 7�� 52 _�`� ���� �� )�� ������� ����

a�JL *� 3����H� )I�" @D / ����� �$b1 *�J� 5��J� )�J�

-� 5��N 5��B��� )���* ���"]Z [ �-#$ �" �N )� �Je- *� f�L �����

�J<!�/ )�J-� �� / ,�9 �� ��/ �7�� ��M1 �:#' )�#g' / �=���

2�" ��- 5��B��� ,"�! .

����J� ������#JA�� �J^��� �J" 7�� 52 �<� ����� ��� �� /� ��� *�

�-#$ �" ���� �� ���� �� �6 5��B�J�� 7J;"�! �N �#2 , )�

2�" ��2�� �#:/ �<!�/ )�-� . � ��� �" 5��� )�G=�L �;N �#e�

@���#A�� *�� 7J�� 5J2 %MJ �J;�! )�� . *� 5J�6 7J�" 8��J�-

/ @���#JA�� �J�� �:#' ,"�! �����( 5��� ��4- )��G�41 @���#A��

7J�� �J<!�/ )�J-� �� �6 *� 5��B�J�� 7;"�! . �����J�� �#Je�� �J"

������� �� 3�+GD' �J����� ���J� ����� �� ������ )��

h/� /����� �#:/ 5�9 :

�������� �� � ������ � : @���#JA�� *� ��J�� �J�� �� �J� �J�

52 7"�j �#� ,H� �� �( ���G-6 +: �" ����'��1� �� �-� �� �-�#'

���� �� ����� , 0#� ��� R�S��� �#� �" �� )�]k.[

�������� ����� � � � : @���#A�� *� ���� ��� �� �J; �� �� ��

0/� R�SJ��� 3���� *� �C� �" ����� / 7"�j �#� �" ���'��1� ��

�� 5��� �J" �J��� �J� )��J" ���J� _�J� E/� �J; �� �� / �#2

�� �<' �-�$�: 3�#K �#2]k .[

�� @���#A��� � �; ��/� 52 ,�C' � 3�#K �� �( ���� �#:/ +-

�J" E/� �J; �� �� �� �J��� �Jl' 5*�J:� �J�G" m�#J: �J" ���

�G-��'��1�� � 52 7"�j � ��� ]Z [ /]Zk.[ �� �/J" 7JB$ ��#'

@���#JA�� �, ���* �� ����/H� n� �#:/ �� �J; �� oJ' )�J�

/� )�JJ� @���#JJA�� �JJ" ��JJ���� �JJ; �� )�'I�JJ" ��JJC;�9 )���� )�

�� @���#A�� ��� �� �(��� ?�2�" ���'��1� ��� �J��� �Jl' 5*�:� ��

A�� )��:� �� �� ���� ���� �� @���# . �J( �'�#JK �� �0�J ��� �"

h/� �( 7�- pP4� �@��A" �e- �� +- �� ����� , ���* )��

o' �J; �� m�#J: �J" �JD�� )� h/� ,J"��� �� )�J�G" )�J� )�J�

/� �JJ; �� -#JJ2 )� . m�#JJ: )�qJJL �� #D��JJ: �JJ" �#JJ�D� �JJ(���

���� )��$�+" . h/� ��JC;�9 �JA�� %�� *� /� )�J� J; ��� � )�

���'��1� pSP' 7B( �" ���"�/ �; �� �� �( 7�� 3���� �" ��

�� E�D-� 0/� ���$]Z[.

@���#JJA�� �JJ;( *� �JJT� ,!�JJ )���� �JJ����� �����JJ�� )�JJ�

7��/H� �� ��* )�� �2�":

• ���'��1� -��� �� 3���� �" �2 ���T2 ��T�� ��.

• 7<!#� $ �e- �� ���"I�" )��" 3/�B�� )��7�� 54- ��L�.

• @���#A�� �r(� �� ���'��1� �;N �N 7�� 52 a�L �� )���� ��

���� )/��� 7 ���.

• ����� , �� �� /���� ��L�$ 5���-.

• �Jl' ��JT�� 7JL�� pSP' ���� s� �" ���'��1� �N ��!/

���- �#:/ ����) .@���#A�� �� �; �� /� )�� )�(

• @���#A�� ��� �� ���#�-��6 ��<' 7�� ��L�A- ���! �e-� ��.

• @���#A�� �;( �� +- ���#�-��6 7 ��� +��- )��G�41 )��

7�� 52 a�L.

• ���J� �J" �#�J-��6 )��J" ��Je�-� ���* 3� ��2�- �j�'

���'��1������ �� ��.

• ��L�J$ �Je- �� �/J" ���J�'��1� /� �" ��L� �;K�L ����H�

����#��.

�����#A�� �<�#' / f�" @���#A�� �#�G" �#e�� �" )��G�4J1 )�J�

5��� 3�=�L ����' �( )�/6#J- o� ��#�9 �" ���- ��*6 �� I�" *��

�J� _�`� ���� �� ���� � ��� ����� , �� �� �J( ����J$

�� ���! ����" ��#� ����� �����$.

� .��� ����� � ����� �����

���� ���� �� ���� ����� )*�� 0� )���* ���" 7��� )

���� ��������1 )�D" / 7��� �<' �" ���* �2�"�@-�#' *� )���"

7��/H�@���#A�� / ,^��� �-#A��� �� �( ����)�� �' 52 �L�<�

��#� �;�9 3�#S" ����� �' 7�� 52 X:#� / ���� �#:/ �0� �"

�:#' �6 )�#g' ���: �" �G�' / ��A- ���! )���* �:#' ��#2

@�( )�$#;:.

�<' / ����� ���� �" ���* �j�' ���( ���/ �" �A�� %�� *�

��/���� �<' / ���'��1� o� ��#�9 �" �#�-��6 )��" �qL

7�� 5��( ����/� �� ����� �$b1 . �" ����� ��" �L�� *� ���*

)�/6#- / �� ���: �A�� %�� *� / 2�" 0#�! ,"�! �;�9 3�#K )��

:-�2#F" �� ����� �.

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� ('�)" *��+('�)" *��+$%&' ����$%&' ���� ......

,��- �./ 0�1 0�/� 2��/ ��&�,��- �./ 0�1 0�/� 2��/ ��&�3��45 6��7�3��45 6��7� *8

���!. � �������� �"� #� $ �� %&'

نوع الگوريتم سال طرح آسانسور دپارتمان

لح

م

ضاف

ارظ

نتن ا

ماز

ياي

تد

چن

ياز

سه

ينه

ب

ند

شه ن

ستك

ش

ند

وي ب

اوس

منا

يبع

مر

روه

را

لو

طت

سبن

ضر

عه

ب

هاار

ودي

ALDEP دو مرحله اي 1967 * * * * * * O * * * *

SPS دو مرحله اي 1981 * * * * * * * O * * *

SPACECRAFT تك مرحله اي 1982 * * * * * * O * * * *

MSLP دو مرحله اي 1988 * * * * * * * O * * *

BLOCPLAN دو مرحله اي 1990 * * * * * * O O * * *

MULTIPLE تك مرحله اي 1994 * * * O * O O * * * *

SABLE تك مرحله اي 1996 * * * O * O O * * * *

FLEX دو مرحله اي 1997 * * * O * O O * * * *

STAGES دو مرحله اي 1997 * * * O * O O * * * *

MULTI-HOPE دو مرحله اي 1998 * * * O * O O * * * *

MUSE تك مرحله اي 1999 O * * O O O O O * * *

TABU CRAFT تك مرحله اي 2000 * * * O * * O * * * *

F.G.TS دو مرحله اي 2000 * * * O * O O * * * *

الگوريتم پيشنهادي نوع سوم 2006 O O O O O O O O O O O

!() .�*�+,� ���-�� /��0� �

@���#A�� / 0� �� ��L� ��C" @^t9 / ��������1 ����' 7��! ��� ��

7�� 52 5��� u=#' ��S��� �" 52 �^���. n : ����������� ��

VijC :

��� ������ ���������� ���� �������� !� ���� "� i ������ �� j

HijC :

#��� ������ ���������� ���� �� ������ !� ���� "� i ������ ��j

Hijd : �$%��#��� &'� ������i , j

Vijd : &'� ��� �$%�� ������i , j

i , j : � �� ������ (���� ��)�#��*��

g , k : ��)�� +��,- (���� #��*��

kgij

d

:

�$%����� ������ &'� i �j��.�� # +��,- � �/ k �g ��� ����0 ��1

δ : � &'� �$%������� ��,- �

kgD : +��,- &'� �$%��k �g

ijf : ������ �� &'� ����2 ���� i �j ���! ���� �

ia : �3� 4'�'� ��� !�'� ��� ������ i

i٠: 5��67�,1 ��� #89*

iA : ������ �����i

iP : ������ :';�i

nMinE : ������<= ����� 81���

nMaxE : ������<= ����� �>?���

kA : �3� 4'�/�� ��,-� ��2�� k

v : ����<= �/�� ���<

ih : !�@� ����� � ��@�� A% � �B��� �$� �� �/ #��*

ijS : $/ �����#��� ������ &'� i �j

HijQ : #��� #$/ ����� &'� ������i � j

� : ����<=

b� : (�* ����<=b

bt� : (�* ����<= �B��� ���! +��b

bjy �′ : ��9� ����<=b�<� (�* (��C�<� �= !� �/ 8,1 �$��� �

�A : ����<= �����

cA : ���������

En : ������<= �����

Ec : !� D� � ����<= �� 5E� �����

1W : #$F�� G���

2W : !�� G���

3W : �*�0 G���

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� $%&' ����('�)" *��+$%&' ����('�)" *��+ ......

�� ���� �� �� ��� ��� �������� �� �� ��� ��� ��������� ���������� �����

��� .��� �� ��� � ��� �

�� ����� � �� � �� ����� ���� ��� ����� �:

)� (cn

n

i

n

j

ijVij

Vij

Hij

Hij EEfdCdCxMinF ++=∑∑

= =1 1

)()(

� ���� ��!�� "�� �#$ ��� ����� ����� %! & ' �� * ���� ���� +��# ,-���� ����.��/ ��� ����0 � .� -1 .20� * � *

� %# ���� +�� ,-���� �� �3�� �# � �/�45 ������ 6� �� �78���9�� � .��� ���� �� CV

ij 6CHij 6 fij * Ec .���7����9

� ����).�*�* ���1� +� �1 �� ( +5 �� * "� � dVij6 dH

ij * En <4� ,�-=� ��>7�. �# &��� ��? +����? %@��� "�� "��4 *

� � �� � �� � �/�45 � A* �� �A � +*�� �2B'�����:

)C (∑∑= =

+=n

i

n

j

ijVij

Vij

Hij

Hij fdCdCxMinF

1 1

)()(

s.t. Nixk

kik ,,11

1

…==∑=

KkAxa kik

N

ii ,,1

1

…=≤∑=

⎩⎨⎧

= otherwise0

floor toassigned is department if1 kixik

+�-���9� +�D/ �7�E� �� F ��� <�*�G� ���*� H�� &�� �� ���� ��2B' ��� ������ . �70�I ���J �� F ��� .��� <�*�G�

<!��� * +�-���9� <!��� �� �A � �� ��2B' �� +�-���9��� �2B' +5 �� "�/�-�J������ . �� �KA � �/ LM�� H�� &��

<�*�G�����0 �� � �� �# ��� � A � �20� * .� -1 .�� ������/ 6����.

����� .���� �� � � ���� ���� �����

� -1 ����0 �����.+�-���9� ��� ���� �B4�G� +5 � N9 * ��� -1 &�27/� * %2/.E ���� ����� � � �2B' ��? +����?

������ .� -1 &�27/� * %2/ ���� �B4�G� �� � ����. ��� +�-���9���. i * j��L�� � +�-���9� �# i �2B' �� k +�-���9� * j �2B' ��g� 6���� ���J �����9.

jgikkgvijij

K

g

K

k

N

j

N

i

ij xxDcfMinS ∑∑∑∑====

=1111

)O(

s.t. Nixk

kik ,,11

1

…==∑=

KkAxa kik

N

ii ,,1

1

…=≤∑=

⎩⎨⎧

= otherwise0

floor toassigned is department if1 kixik

�P/ �� �� ��2B' ��8�� %�� 0 * <��/ ����# &�� H�� &�� ����-/���I .�B�2� � .*��� �� ���-� �2B' *� ��� ����0 �I� "

�� F�� �� ,��L� �P/ �� .*���<��� ,��� 8 �E:

gkd kgij −= δ )R(

�� *��*� ���B1 �� �A � �� �-S �� T +�-���9� �� .��� ,�/� �,��� U�=78� �2B' "��-�:

ik

K

k

i kxy ∑= )V(

� -1 ����0 �3�7/ ��. �� � �� *��*�� W��� �� �:

jikgij yyd −= δ )X(

<��� ,��� 8 "�� �#$ ��� � �� �A � ��:

ijVijji

N

j

N

i

ij fCyyMinS δ−= ∑∑== 11

)Y(

s.t. Nixk

kik ,,11

1

…==∑=

KkAxa kik

N

ii ,,1

1

…=≤∑=

Niyxk iik

K

k

,...,11

==∑=

⎩⎨⎧

= otherwise0

floor toassigned is department if1 kixik

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� $%�&" '��($%�&" '��()*+% ����)*+% ���� ......

���� ��� �� �� ���� �������� ��� �� �� ���� ��������� ���� ����� ���� ��

����� .���� ��� ���� ����� �����

.�K/�-���9� �I� �Z <4� [S�* \]��Zi* j �/ � �J�* �2B' ^ �� * <��/ .��/ � �/�45 � "��_74� �� ���-� �� �20� ����0

� L��,7 �� +�-���9� �#�� ,�27�� ����0 �� � �� 6.��K�D�9 .��� � �� �B4�G� �L� +�-���9� �#��.

������� . ���� ����� ��� �� � !" ���� ����� �#$�%�

�&'��$( )��" ������

��I "��/� ` / ��.20� ����0 �B4�G� * � �#$ %BJ <-�J �� �# � 6���� � � A* �� �A � �� ������ �� ���� . � A* �� �-S ��

K�� 6��*����� �B4�G� ��� �� *���� a�' � ����0 �� �# <4� � �.

)b (Hjc

Hcc

Hic

Hij

jjii

dddd ++=

.�K/�-���9� �I�i * j"�L/5 �/ � �J�* �*�_7� ��2B' �� dH

ij ����� +�-���9� �#�� ����0 ��i*���� �� �74�� ����0 6.� -1 . �#��

+�-���9�i � �/�45 ����0 6� �/�45 �� *���� �� )��� �2B' ��. ( ���74��.� -1 . +�-���9� �#�� j) ��� �2B' ��. ( ����0 * *���� ��

+�-���9� �#�� �� *����j � � * ����� W��� � �� � �� ���I:

Hjc

Hc

Hc

Hic

Hij

jjii

ddddd +++=��

)c (

6���� � A � &�27/� * %2/ <KA � �/�45 ^ � d�� �I� ���M-� * "�� �B4�G� ��� �/�45 ���Z a�' � �K/�-���9� ��� �20� ����0

�� � P�� �K/�-���9� ��� �20� ����0 +� �1 �� �K/5 ,-���� ���I.

)( Hjc

Hc

Hc

Hic

Hij

jjii

ddddMind +++=��

)�e(

*+,� .#$�%����� � -��&/0� �� ���� �!!1

������� . ������ ���� ����� ��� �� �" ���� ����� �#$�%�

�&'��$( )��"

� A � .�� ,7� L�� 6�� "���� ��/ �7�fI <-�J �� �# � g/�-� �� &�27/� %��J .���!�* .��� �# .��P7/� h+�� ��� �� �A � +*��

�� ��� �/�45 +� � & >D� �A � �# 6+�-���9�/*"�� �@��� 6��/ . ���» +�-���9� � 6.�!�* %-! .��� � �/�45 ��7K�i�� j

+�-���9� ��� �20� ����0 �# <4� .� �/�45i * j��4 %J��! �� .« �* .��� � �/�45 ��7K� "�� -� 6��P7/� +�� �70�I �P/ �� �� �

� � �20� ����0 ��� "�� # �A � �# <��/ .� �/�45 6%-!. ��� ��-� �� �� � �/�45 .��� ��P7/� +�� ��� �2�' �� ��� 6%��

�/ I �� � 8 �S�� &�� �� ,�27�� ��i�� �# 6,��� .�A .����� �7��� � �/�45 j�k7/� . +�-���9� � .��0 �I�i �2B' T ��

+�-���9� �� ��� k�j ���� &*� ��!�� �� 6�*�� .�L� �2B' �� +�-���9�i���� Nl4 *���� �� 6��# �' ��� �� � �/�45 �� *

�� � �/�45 �� �# ���L�� �4�)���� ���8 � �/�45 �I� ( <1�4 ��V�� <#�! �� `*�� "��/� �� ���� & >D� � �/�45 �I� ��* m��#T 6 )� �/�45 +� � & >D� +�� ��� ( N9 m�/�-� �P7�� ���

"��/� �� <4� �K��VT�� �21 � 8 �_4 ���/�� � �70� . � &���� "�� �' <0��� �� +�� ��i�� "���� +�D/����.

)��(

)))(((�����

������

�����

��

��

j

jj

iji

ii

d

Hjc

Hc

h

b

d

Hc

Hic

Hij ddtVddMind ++++= α

E�-@]1 � �� nkD� H�� �� �# � ���� bt� +5 o K_� * <4� /�� ����<4� "� � & >D� U�8 � �/�45 +5 �# <4� . �����

dk� �� +�� ��� ����.� g� "��5 <4� "��5 %��# . �*� �� �� "*]1 H�� &��)( btV ��L� <�]1 . +5 * ���� � A* ��/ α

)�_�5 (��+* +5 �_�p* * ��������3� <0��� �� . � �# <4� � � A � � �/�45 �� <D9 �� ��P7/���5 . ��i�� ��7D��α F ���

� � �/�45 j�k7/� ������� . α� �� � *� �� �� � ���_� +� ���#:

qr α�*�* ��1 T +� �1 �� .� � ���* ����� �� .������ . ��� ��� � ���0� ��P7/� +�� ��� 6���0��#. %��J � * ,K� 6� �/�45

� 9 ,D?�� ����� .� �� s �� �� &�! �α ��1 +� �1 �� �*�*.� � ` S � �� <��-�� � +� �)��� ��P7/� +�� ��� ��i��.

����� +����? �� � �/�45 (�� �B8�� .K����� � �� <4� � �# 0=�� ��P7/� +�� ��� ��i�� +*�� ����� 6����. �� � �/�45

6+����?� %! �� � .���� �/� � .+�-���9� o�-� ���� <��i ����� � *.�� +�-���9� . ��� F�B��� &*�A ��/�� * ��# t�0 W�7k�

��� * � � ����� ���* �� +�-���9�. T +�-���9� *� �� ��� F�B��� ��� �7��� � A* U�8 .

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� $%&' ����('�)" *��+$%&' ����('�)" *��+ ......

�� ���� � � � � ��� ���� �������� � � � � ��� ���� ��������� ���������� �����

ur ��7K� ��.� � ���9 "�� "��� ����� . aB' ��

������/�74�./�KA �_�# [g4 �4 ���� .N*�4 ��� j �g� �7B����� ��P7/� +�� �� . � �/�45 vw 6 xw * qww � A* ��/�i

+�� ��� �# 6����vw�� ���J �A � �� � �7D�� ��/�i ���I . N9/� +�� ��� &�y� +� �1 �� ��P7vw��B' ��/�i � ��� � �0��� * "� �

���L� � �/�45 � * �/�-� �P7�� �/� � .��E/ "��_74� . �3�7/ ����7K�α 6α�.� ' �� ����� +����? �# <4� .!��' � ��#

+�-���9� �y#� �# ��P7/� +�� ��� �� ��vw� �/�45 � ��/�i . �# 20� ����0 ��� "�� # �A �����# "��_74� 6� � . �� ����� N9

α��. �� �� 6� � %! ��� W�7k� α ��7D�� +5 �� �# 6,�4�� +�-���9� ����� ��) ��2� �� %! �� <B�/α�� ( � �7-# +�� ��

vw� 6��/�i 20� ����0 ��� "�� #����# "��_74� � �/�45 a�' � . ��i�� ��7D�� %# ��α *� �z� 6����z� �� . ��� �z/�45 +���z�?

)��� �zz/�45 +�zzE�(+�zz-���9� +���zz�? 6 ��� �zz/�45 ���zz�� * �zz� ������. z20� �z��� �z3�7/ ��� �z {�z� �z� +�z-���9� *� ��z�

�B4�G���� �:

)�C( Hijij

d

Hjc

Hc

hd

Hc

Hic

Hij CfddVTddMinQ

j

jj

iji

ii

))((�����

��������

��

����

++++= α

��� .������ �� �� �������

&�Ez�� �z/ L? �z# 6 <4� �� �� +�-���9� &�E�� &�7�# � � P�� ,�z4�� �-P/ �� ��7-# �� �� ,��� ���>� �� �� +�-���9� . &�z7�#

��# ,��2� <-�J *� �� +� � �� �� �� +�-���9� &�E��: qr +�-���9� &�E�� ,P�� �/ * +��27� �/ .��)%�g7�� * ���� ��|(

"�� o�3/� ��2�2G� �� �A ���]R[ .��� �� BJ %��J ���2� � �!+�-���9� &�E�� ,P�� �/ * +��27� �/ .��)%�g7�� * ���� ��| (

������:

5.14

1 21

≤=Ω−iii AP )�O(

٢r E��%�g7�� * ���� .�� +�-���9� &�6 .��1 � ' �� &�E�� ���� ,P�� ���� &�7�# �� � &�E�� �� �� ��� �# �7��! �K�� 6�����

� D/ �� �K/5 ��1 �� & ' <B�/ �# <4� ��) �4 � �� &�E��� D/ %�ED� %E� .( %E� T ]y����� %E� T �� q��� ,�

�� +� B/ �� � �� * ��7�� <!��� F�� �K�E� .*� �� F�� �� ���J�� �� <!��� +����? %@��� �� �4��� ��G� � ��* m���#

%E�q����� & BJ %��J��| ���� . �# � & ��0 � ��# �� .����� ��1 �� & ' <B�/ +��# �*�G� .����� "��_74� 6����,��#:

)�R( 3

3

1 ≤≤b

a

� �7-# �� ��S <B�/ �I� �# ���� �� ���� �� �� H�� & ��0� * �# <4� �K�� 6���� �� & BJ �� � %E� ���� o 4 T � �7I���

���� {��' �P/ �� �L7�� * ���>� %��J ���1� ��.

��� .��������

�� %�ED� .��A� ��7-K� � �E ��� �/�45 .�� +�-78�4 "���� �2B' ��? �!��' � �H�� ����� ���� �L� ��' � m�����

+�-78�4���� �� U�=78� � 8 �� �� �2B' ��? .�� . ��-� �� ��G� � �� � � �K/5 �� ���8 �A � ��� �!��' o�L�� �� %��� ` -3� �� * �/��I ���J �B4��� .�A �� .��I���J %G� * �����

� d��# �A ���� ��� �� ���0� � �� � %2/ * %-! � ���/ .��+�-���9� �/ � ��. .����E��� �@��� <-�J �� �� ���� ���

.����� "�K� <����J �� � �/�45 ��� �4��� j�k7/� * �!��'6` / 6����� 6<��J � ��G� � �4��� �� <�0�p * <1�4���� .

` / "���# ����� 6+5 ��E�-1 ` / * +�-78�4 �# <4� .� �/�45���I ��B�� ���.

����� .�������� �����

+�-78�4 �!��' �� �4�4� ,�-=� T � �/�45 ����� j�k7/����� �70� H�� �� �3�� <4� �E-� ���B7�� �/ I�� * <4� .��

+�� <�1 �� ��0��� <�S� d��# 6� �/�45 �=/ �/H ' .��+�-78�4 � .��_� .��0 � * ��P7/� ��� � �-� �# ��� ��� �� ��

�� �H�� .��=7J� ��S �A �� � . ���8 � �/�45 �=/ ���� �I��� "��_74� .�7-Z .��� �/�45 � ���� H�� %��2� ���� �� � �

��� . d��Z �� &�27/� * %2/ "�*�G� � �/�45 �� &�! �� �� ����� .��2B' ����� �� �A � �� ��� �/�45 ����� �f� �K/�-78�4

���� ���K� ���. ��/ �� � .��� �/�45 ����� %J��! �# ��� � �� ��� <4�� � �g��� � ��/ �� � �/�45 ����� �y#��! m,��� ���J ���5:

)�V( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≤≤⇒⎥

⎤⎢⎣

⎡=

cn

cn A

AE

A

AMaxE �� 1

����� . �������� �� �)������(

��*� �� � �/�45 %G� �!��' �� ���2� 6 ��# �A � ��� �# .�� � ��� &�>�� � �/�45 �4 � �# <4� ���0� � . �� �# � g/�-�

dk� "�� {�' .�� ,7� L�� ���-� 6�� {�g� ��/ �7�fI .���-/ �P/ �� � �/�45 .��� ���0��70�I . �]ED� �A � ��� �� � � �� �!��' �� .�� ����� .� � �� +� � �� �K/5 ��-A � ��

��# �A � �:

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� $%�&" '��($%�&" '��()*+% ����)*+% ���� ......

���� ��� �� �� ���� �������� ��� �� �� ���� ��������� ���� ����� ���� ��

• 5+�-���9� %8�� ��J*� ��|� �� ��� �/�4� ���J ����/��I. • ���2�. %��J <B�/ ��� � �y#� �� �# +�-���9� <!��� �

KA ��� �� U�=78� ��� �/�45 �� ��������.

• � �g2/ �� � �� ��� �/�45 + ?.� "�� � &�-7!� 6�/ � � � j�k7/� ,� ���# �� �g2/ ��? �E�� �� �# ���� � A*

� %-1������ �����.

• ��K�D�9 {�'.-/ ���J �A � �� � %-1 �� ����I.

6 ,��L� �P/ �� ��� �/�45 .��� �� ���0 ,��� k� �# ��� � ��,� 8 �� �� � %ED� *� � �E �� %J��!:

qr+�-���9� %E� �� * "��5�� � 8 ���g7�� 6���� %E� � �� .���B� +��27� �/�-/ & BJ %��J %-1 �� �# 6�/ � �� %�����.

ur+�-���9� .��� �� ���g7�� 6���� ��J �# ��� � �� �L/ ���J�� ��%�g7�� �� �� +�-���9� %E� 6,��� %E� �4 � �� .��

)%�g7���� H�� �K/5 ��1 �� & ' <B�/ �# ������� ( %�B����-/ & BJ %��J %-1 �� �# 6�/ ������.

�� ��K�D�9 *���� � "��_74� %ED� *� �� � ���� .��� �� m� �+�-���9� ,�27�� F�B��� *���� �� ��� �/�45 �70�I ���J �� �� ��

��*���� a�' � �'�B��� "�� �K�� * � � �� �gJ ��� �/�45 ������ .�A � t 0 %ED� *� %! �� "*]1 ��E��� �� �@��� ��-

�? ����� � ����I ���J �H�� �A � �� � ��/ %-1 �� +��� . ��,7� L�� �� �� � d�9 .��� �'�B��� "�� �/ LM�� 6"�� �@��� .��

+�-���9�+�-���9� * �L� T �� �� "�D/ ��K�D�9 ��� �/�45 �� ��<4� .�� ��� <�*�G� .���� ��/ ��*���� +��� � �� �# �����

<4� "��) ���� ��1 �I��*�* * ���S�0 ��A �� �� *.��. ����� <��� ,��� 8 ,��L� �P/ ��(:

�� +�-���9� <!��� %J��! + *���� <!���≤ <!��� 2B'��

�� +�-���9� <!��� �y#��! + *���� <!���≥ <!��� ��2B' E�� �J � �L� . ��J � � <�1� ��� �# � ������ :

�2B' & '≤*���� & '

����� .�������� !��" �#��� ���$ %��

%-! � P�� �� � �/�45 � ��H�� .����� � 6�2B'��? +����? T�� "��_74� �� � .� -1 %2/ * ��# . �� +�-���9� T � �� � +��A

� �L� �2B' �� �/�-���9� �� U�8 �2B' T � T�� a�'�� �� � 6���� �E-� �# ��� �/�45 � ����H�� ���I . ���-� ��

+�-���9� � �20� ����0 ��7-# �� � �/�45 � ��H�� ��� � j�k7/� ���� �� {�g� ��/ �7�fI �� �# � g/�-� ��* 6���I" : ��7K� "�� -�

����0 ��� "�� # �A � �# <��/ .� �/�45 6%-! .��� � �/�45 � � �20�". ��2B' �� "�� �J�* +�-���9� *� ��� �� � +��A ����

�E-� ���I ���? ��� � "�� j�k7/� ��H�� � ����� W�7k�<4� .,�-=� * <�0�p 6���� ��4� �� j�k7/� �� � �� .��I

�� o�3/� ��H�� <��J � ���I .T� ���274� ��� �*�_� �� �2B'�� �# <4� �� �� �2B'��? .�����274� �� %2/ * %-! +

<4� �g8��| �2B'��? . �� �# +�-���9� <_A T ��� �_4 +���70�I ���J �_�7k� ��2B' <4� � ��� � %��� �/�:

• "�� j�k7/� ��H�� �� ���*� +�-���9� � ��3��A +�� • ��H�� ��P7/� �� "�� ��� +�� • ���0� ����� � ����� �# .� -1 %2/ * %-! +�� ��H�� WJ �

<4� "�� ��� ��. • �=2� +�-���9� * � �/�45 ��� �20� %2/ * %-! +��.

��G� �� <#�! .���� �� -1 ����H�� �# ��� � * <8�4 .�� .���� %2/ * %-! +�� 6��7�� ��*��� �g8 ���� T �� � �� �/� �

� � "� ��-k� .��G� �� �_4 +�� �g8 ��-k� �7��� .�� m<4� �4��� �/ L�� �� � �/�45 � ��H�� .��� ��P7/� +�� �#��?

��G� .���!�* �� ��2B' ����� ,-�#�� �� <4� ��?�/ H -�� �� & -�� � ' �� �7���� �� .� -1 %2/ * %-! T�0��� * <4�

��G� � �7-# ���8 �7��� .���!�* �� ��� <4� .���� .����G��� t�0 ����� �� .���� .����# . �� ��P7/� +�� �����G� %��� ��-� �� ���� �� �H�� ����� ��� .���� .���� .��

� �/�45 ��P7/� �� "�� ��� +�� �� <-�J �� �� �A � ��7D������ �� ��H�� � . * ����� .*� �-K� ��i�� ��P7/� +�� ��

���� �K/�-���9� +����? .*� �� ` -3� �� * � �/�45 ��=kD� . �4 ��P7/� +�� �� ��7B� j �g� ��� N*�4 .��� �_�# [g4vw 6 xw * qww +�� ��� �# ���� � A* ��/�i vw �7D�� ��/�i

���I �� ���J �A � �� � . +�I���# "��_74� .��� 6��P7/� +�� ���� � �� �B4�G� ��gJ �� � �� . �� <4� ����� +�� ��� ��

��2B' ��� �� � �/�45 �# �/���� <#�! W�7k� ��#) ���2� �� +�� ]y� m� � �� �#$ ����� �� .�*�* ��1 +� �1 ����/� .���

+�� * �2B' T ��� <#�!vv/qw�2B' *� ��� <#�! .��� .(�� �B4�G� � �/�45 �� .��� +�� ��� �� �7B��� � . +� �1 ��

_4 +�� ��� �� ����� o 4 �_/ .��� ��P7/� +�� ��� &�y� &*� �_/ � �_4 +�� ��� "*]�� 6� 8 �=2� �2B' �� � 8 ��B� �2B' �

� �/�45)���8 �� � �� ( "*]�� 6o*� �_/ ��B� �� &*� �_/ �=2� � ��� "*]�� � 8 �=2� �� � 8 ��B� � o*� �_/ �_4 +�� ���

� �/�45 �_4 +��)���8 �� � �� ( �_/ ��B� �� o*� �_/ �=2� ����� �� 6o 4. .��� ��P7/� +�� ��� "�� �#$ ��� � �� �A � ��

"��-� � �/�45b�� *� �� � �g��� �� �A � �� � �.

ibjbjibbb yytyyttt −+−+→ ′����� )�X(

bt� : � �/�45 � "�� "��_74� +�� ��� "��-�b ������ .

jib yyt −� :/�� ������ �# � �� ����0 � �/�45 �� � �

+�-���9� ��2B' ���i �� j' �� � ��# )�=2� �� ��B� +�-���9�.(

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� )*+% ����$%�&" '��()*+% ����$%�&" '��( ......

�� ���� ��� �� �� ���� �������� ��� �� �� ���� ��������� ���� ����� ����

ibjb yyt −′�� : /�� ����� ��� �# �� �/�45 6� � ) ��

��8 �� �� (�BJ +�E� ��� ����0� +�-���9� �� � 8 i) +�-���9���B� (' �����# .

� ��/ � �/�45 �� �*�* ����� ��7D�� ijf) ��� F�B���

+�-���9��� ( ��7-# ��ijf� ����� .��L�� �� �-S ���E �# �

F�B��� ���� �# +�-���9� *� ��� �# ijf � D/ o�3/� �/��� <By�

��4� ��� k/ �K/5 �� "���*� <� / .

�� ����B���� �# � ��7D�� � ����� �� �3� ijf ��7-# ��

ijf�� "�*� �� ��P7/� +�� 6� � ����� .��� W�7k� .+�-���9� ��

��# ��� 8 t�0.

� .������ �� ����� �����

� +����? %@��� %! .��� ,7� L�� T ����� 6 "�� �@��� ,7� L�� ��� "�� �7_I ��� � �� �A � +5 �� * ���� �-# ��E*� �# ����

6 "�� �0��� ��0 + �5 �� nkD� .����>7� ���J �� ,���_�"��� .�*5 �-A Nl4�� ������� ����� * .��1 .�� �� * ����

�� "��5 <4�� ��7/ %��G� * ��3� �K7/����� . ,7� L����!��*� "�� %�-E� ,7� L�� 6.��K�D�9�� .� �� � �� �# ����

�� o*� ��!�� �� �� �2B' ���>� "�A� �7K� j� A �� +��4��� "�� <��i .�K/�-���9�����. � a�2G� �� �� �# �3/5 �

.�4 &�� 6"���I "��_74� 6�� {�g� �# �� 4 ` / �-7� L��/ ����� �� �70� ��E�&�� � �B�#�� �� �� �70� ��E� .�4

,7� L�� T� .�� ��!�� ,7� L�� * .� ��!�� *� .�� ���� �� 6.� . ��+�-���9� 6.� -1 ���� +��# ,# ��� �� ��7�� ,7� L�� �� �� ��

�� "��? ��2B'+�-���9� ��3��A �20 Nl4 m�/ � ��� �� ���� o�3/� ��2B'� � .

20 ��� <-�J �� ���� .� -1 ���� +��# ,# ����� . � N9+�-���9� +5�� �3��A ��2B' �� �20 6�� <-�J �� �� * �/ �

�� �20� ���� +��# ,# �20 ������� . ` / *� �� o 4 ��!�� ���� t�_�� ��3��A � � ��� ���� +�� �7K� �� �3�� �I� * �70�

� � �� �J�* & BJ �� � ��3��A. �9 ,7� L�� �� 6.��K�D� +����? �!��' ����� %! .��� ��!��

���� � A* �2B' ��?: qr +�-���9� ���7�� +����? ��!���� ur +�-���9� ��3��A ��!���� �r ���� %E� �� � �/�45 � *���� 6+�-���9� T +����? " G/

dk� �� �# ���# �� "��_74� ���8 �*� � H�� ��� � � T �� � 8 �� F ���<4� "�� "��� [�S � %��# �� =�.

���� .���� �� � ��������

"��-� %E��G� " G/ ��� ���� ���2� �B4� ��!�� �� �� �� ��

,7� L���� +�D/ �������.

��� .�� ������� �����!� ��"�#$

&*�A ��7�� 6 �2B' ��? +����? �!��' ����� %! .���) F�B���+�-���9� ����� (� Nl4 6� � �� ���� ��*�/ ��! �� +�-���9

� o��# �� �� F ��� .��/5 �� &*� �2B' �� * � � �� nkD� �K�� .�A �85 �2B' F�B��� ��7D�� �# ��� +�-���9� ��� m�/��I

�/��I �� ���J ,� ���# �� �/��� ,� �� �� . .��� ��*� �# 6�*� �����? ����� ���7�� ���� +��*5 ���9�� �2B' ��? +� �� 6����

<4� "�� "��_74� �2B' ��? +����? �!��' %@��� �y#� .��7�� .�*� � "��_74� �� Nl4,7� L�� * �� �� 6� 8 �� U =k� .��

+�-���9� ��3��A�� � 8 ����� %! * ���/���9.

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� $%�&" '��($%�&" '��()*+% ����)*+% ���� ......

���� ��� �� �� ���� �������� ��� �� �� ���� ��������� ���� ����� ���� ��

����. %�� &!�� ���'" ()*� "

��7�� +����? .��� .��K�D�9 ,7� L�� �� +����? �!��' ����� �<4� "�� "��_74� �78�� �*� � 6�2B' ��? . .�� [g4 �����

�� ��2B' ����� .��B� �� �*� �� �� <!��� ��! �� * ���� �2B')*���� <!��� �3�(+�-���9� ����� 6 �� "�I �� �� ��

[g4�� ���J W�7k� .�����I . +�� ���� � N9 �L� ���B1 ��� +�-���9� �)+�-���9� ��� +��A .��� ��*�/ ��! ���� ( �����

+�-���9� <!��� ��! �� �E-� .��) <!��� �y#��! * %J��!�� ��G� <-�J �� �� �� +�-���9�� �( .�� [g4 �� "�I �� �� 6

W�7k�)�� W�7k� ��2B' �� &���� �#���� (�� ���J �� * ���I �85 [g4)�� �85 �2B' �� &���� �#���� (+�-���9� ����� .��

"�I �� 6�8�� �� "�/�-�J���� ���J W�7k� .���/��I . �� �A � �� �85 �2B' <!��� <�*�G�)*���� <!��� �3� ( �� "�I � ����

+�-���9� ����� <!��� �� �A � �� * �/� �70�I ���J �K/5 �� �# ����� ��3� �85 �2B' �� �# �7!��� & BJ %��J ��| 6���# ����� ��

�� �f! "�I +5 �� F ��� �8�� �3�7/ �� *� �. �� ��*� .���

<4� "�� "��*5 � �� ���y� 6�*� �� +��: �� ��0 � ������ �� .�q����� �7��� � A* +�-���9� .

+�-���9� +�� ����+�-���9� ��� +��A .��� ��*�/ ��! �� �� ���� � ����� ������:

���+ .�� ������� �����!� ��"�#$

+�-���9� ����� 6&*� �2B' <!��� �� �A � �� Nl4�# ��� ��"�I �� �/��L� .�A +5 �� ��/� � .��q * u"�� nkD� �/� .

��1� "�I �� q .���� �� � "�� ���� <��� &*� +�-���9� ��+�-���9� ��� m����.��C 6D 6G 6A 6I . o*� "�I .���

� +�-���9M�� �0�S� �K/5 �� ��/ � �) ����� �� �*�_� �� T * %J��! T +�-���9� �� �# <4� %��� �� �� +�-���9� ���2� �K/5 �*�_7� j�k7/� �� * ���� � 8 <!��� .��� �y#��!

�� ���>� "��5 <4�� <!�����# .("�I ��/ o*� �2B' .��� .��� *� * � * v"�� nkD� �/� .g4 �� �85 [)�85 �2B' ( �����

+�-���9��� ���J �� "�/�-�J�� .��,��� . ��/ %E� �� �# � g/�-� "�I 6<4� nkD��<!��� %J��! ` -3� �E�� <�1 �� .��v

�85 �2B' <!��� � d�� �85 +�-���9�)*���� �3� (�� "�I * ����qw<!��� �y#��! ` -3� �E�� <�1 �� .��� �85 +�-���9� 7-# �85 �2B' <!��� � �)*���� �3� (�� �9 �� �2B' * ���� �-/�� ��| 6��# "�I *� �� F ��� .�� �8�� �3�7/ �� m����� * qw�-/ o�3/� �K/5 �� 37�A ������� � � �� �f! � �.

��� .������� ���,!�-��

,7� L��LOGIC+�-���9� ��3��A .��� ��*� �� ������ . �� �*� %E� �� .�K/�-���9� � �/� � ��)+��27� �/ ���g7�� ��| (

��Z j��7A� .�1 -3� �� � �� �!��' %�g7�� .�KDk� � .��� "��� d�-/ �78�� �� � �� * � � �� o�3/� %��� �.

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� )*+% ����$%�&" '��()*+% ����$%�&" '��( ......

�� ���� ��� �� �� ���� �������� ��� �� �� ���� ��������� ���� ����� ����

D-R-U-2-1-B-3-4-D-U-R-7-8-L-6-5-B-R-9-11-L-12-10 ���/ .�� ������� ���,!�-

� ��3��A ` / �4 �*� �� �K/�-���9LOGIC���� � A* : q . ��3��AOPERATOR :,� ���# +�-���9� *� ��3��A u . ��3��AOPERAND : ��2B' �� �# +�-���9� *� ��3��A

�/��� ���J W�7k� � .�78�� ��� -/ {�' ��3��A : �� <8�� ��� -/ � �8�� *�

"�� �3��A �L�E

��� .�� �� ������� 0� ��"�#$��1� �

+�-���9� +����?,7� L�� %! �� ������0 ��7-K� � �E �� ������ .,7� L�� �y#�+�-���9� +����? .��� �� .����� -/ � ��

spacefilling �� "��_74��/��# . ` / �� �# ��]ED� � �E+�-���9� &�E�� �� �7���/ �A � 6���� +����?�� �� �y#� * ����

+�-���9������ �� ���g7�� * ���� ��| * ,P�� �/ &�E�� .���� �� . ,��� L�� �� .�L� �*� %ED� �� �0� .��� <KA ��-� ��

<4� "�� "��_74� . �� �2B' F�2/ �*� �� ���,��2� �74� ���/ �:

�8�� F�2/� :'�2/� +����? %8�� �� �# +�-���9� �� *���� 6��� �� � �/�45� ���J ���I �� * �/1W� "��� +�D/ � +����? �� * �/ �

��2) �� � ����4 � �� ��0 �# +�-���9� ��*���� 6��� ��� �/�45���� "�D/ �9 ( +5 �� F ��� ��1 �� � * *���� 6+�-���9�

�� �/�45 � nkD� ��/ � .

�� F�2/. :'�2/� �� �� �# )`]S� (+�-���9�� 6�� ��*����

��� �/�45� ���J � �� * �/��I2W� "��� +�D/ � �� * �/ � �� +����?qr� nkD� ��/ � .

�� I F�2/ :'�2/� �� I �� �# ��*���� 6�� +�-���9����� �/�45 � ���J� �� * �/��I3W� "��� +�D/ ��� +����? �� * �/ �

ur� nkD� ��/ �. �g2/ *� � � �/�45 � *���� 6+�-���9� ��<4� "�� %�ED� . �# <4� .� �g2/ &*� �g2/)x,y ( .�7E? #

���� �7��� ��B� �� <B�/. � � .�� &�-7!� �� &*� �g2/� .�4 �� j�k7/� � �g2/� �:

&�-7!� ��0 � 1W &�-7!� �� * 31 � 2W &�-7!� �� *

3

2 � 3W

,��# �A � � ��E/ �� ��� o*� �g2/ j�k7/� .���: X : /�-���9� ����� �L/�D/����I ���J �2B' �� ��� �# <4� . R : # <4� �� �L/�D/<4� +����? &�! �� +�-���9� �����? �.

fd :�7����9.+�-���9� ����� �� �# <4� ��. ����� * "�� "��?

+�-���9���.<4� �7���* 6"�/�-�J�� .

1

1

−−=

X

Rd f

)�Y (

�g2/ �3�7/ �� � � .�� &�-7!� �� o*�� j�k7/� � �g2/ .�4 ��� �:

&�-7!� ��f

f

d

d

36

1

− � 1W &�-7!� �� * f

f

d

d

36

22

− � 2W �� *

&�-7!�fd36

3

− � 3W

�-7!� ` / ���� �A � & ��85 +��? �� ��2? �� �# � � �� * � � j�k7/� �� I � .�7D�� F�2/ 6, � �� T��/ +�-���9� �20 +�-���9� ��85 +����? �� * m� � �9 ]��# �2B' %# �3�7/

���� �� <4�� ��/ %-1 �� �# � � j�k7/� �� I F�2/ �. �� ��� T �L/��� �# "�� j�k7/� �g2/ *� ��!���� %E���� . ��

6<!��� ��-A � ����J ���-� �# ��� � 6��1 �� & ' <B�/ +�-���9� �� �7���/ %8���

* �L� .�� ....�� ��# <�1� �� �� �/� � ���J ����� ���� +����? �� � �/�45 � *���� 6+�-���9� +� �1

���I.

� .�������� ������� �����

E�y!�B� � ���7�� � �# .*� �� ���2� �� . 6 <4� "�� �G� +5 ��� ��P7/� +�� ��� ��i��.<4� ����� +����?�� � �/�45 . ��

� ��i���*� �� �/� �. ��3��A * ��� �/�45 ����� 6��� �/�45 +�E� +�-���9����� �� .<4� "�� %! �� � *� �� ����� %��� ��-� ��:

��P7/� +�� �/ LM�� &*� <-�J ��.� �� �70�I �P/ �� ��B4�G <4� "�D/)0( =α. �� ����� 6o*� <-�J ��α��. W�7k�

��7K� 6"�� �@��� W��� ��4� �� �� <4� "�� %!�� . �� �5 <4�� U�8 �����. 6 o*� <-�J %! � "��5 <4�� ��7/

����i��α� 8 �� "�� �7_I ��� � �� �� �� +�D/ ���� .

��� .���� �� ���

����� 6<4� "�� j�k7/� .��K�D�9 ,7� L�� �� ���2� .��� �# .������ ,7� L�� ���4 � �# <4� .�MULTIPLE �4 � �#

BOZER �Y. A. �MELLER �R. D. &�4 �� q��� ���� <4� "�� %! 6"���I ."��_74� �9 � ,7� L�� �� ���

,7� L��<4� "�� �0��� + �# �� �# <4� ���.

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� $%�&" '��($%�&" '��()*+% ����)*+% ���� ......

���� ��� �� �� ���� �������� ��� �� �� ���� ��������� ���� ����� ���� ��

�/ � �� ,��2� �74� *� �� "�� "��_74� ����� .�� "���:

q. "�������� .�� �0��� �� F ��� �# � ���2� �� �# .� ,7� L��MULTIPLE���1 * <4� "��5 6<4� " �� �

<4� �70�I ���J "��_74�. ��0��� �� ��7�� �"��� ��. ` / � �78���9 &*��� �:

• +�-���9� <!��� �y#��! * %J��!��

• �� +�-���9� ��� �� � +��Aijf

• ���-� �2B' *� ��� ����0 :mqw • 20� &�27/� * %2/ �������� .�� +�-���9� . <0��� / <8���9

US$ u�/w

• &�27/� * %2/ ����20����� .+�-���9� ��.� -�� �US$ww/q

• � -1 &�27/� * %2/ ����.��� .+�-���9� ��. <0��� / <8���9US$u�/q

• � -1 &�27/� * %2/ ����.��� .+�-���9� ��.� -�� �US$ /..�

• +�-���9�q� <0��� +�-���9� 6 /� <8���9� �� ��7�� � * ������ ���J &*� �2B' ���#���I.

• ���*� T �� � �/�45 T �=/ � :qwwww

u. "�����.��A .��� �# .<�*�G� �0� ��.�BJ � +��� H�� * <4� �70�I ���J "��_74� �� � ,7� L�� ����#.

• � �/�45 �� <!���m v/q× mu

• � �/�45 <1�4 s/ mx��/q) "�� j�k7/� �71�4 T � �/�45(

• *���� ��1mu

• ����2B' ��� � �/�45 �_4 +�� � :���. q �2B' ��/� m��/�i ���. u �2B' vv/qw ��/�i

• ���� �� �2B' �� <!�����. mu/w× mu/w��� ,��2�. "�� <4�.

• �2B' �� <!��� �-S ��m�×mq�=m× m����� �2B' � "�� j�k7/�<4.

��� .���� ��� �����

���.���/�� +�� �� "�� �@��� ,7� L�� 6����� �� %! /��

)MathCAD 2001 Professional( MathCAD ���/��� /� * "�� �� �l��# �4 �. ��=kD� �� Pentium(R) 4 CPU 2.80GHz �

512 MB of RAM<4� "�� %!. / ���/�� +�� �� MathCAD E� &*��7� ��+�� ����.4 / ���/�� ���� . %@��� %!

4���� r� S�� 6<4� ��� <����J ����0 W ��.4��� �� �� ����� � A* .�� +���� �� +�� .o�/��� ���0�"�� W user-friendly

� +*�� ����# * "� ��7�*�G� �/ LM�� ���# ��# +5 �� �/� � .� �� ���� %@��� %! <����J ���0� o�/7�*�G� �K�� �7��� ����� �# .

� ���0� o�/ ���� +� �� ���� ���� %@��� %! ��# +�) ]y�qwww +�-���9� (��� H�� ����� �� ����� %! +�� �# ���� ���� .

����� . �� �������� ���� ��� ����MULTIPLE) �!

� �"�#$ ���� ��%�"� &�' (�*�+ �%" �� &�,� ����(

"��-� %E� v+�D/ ��K�D�9 ,7� L�� ��K/ +����? "����. ������ . +5 ��� ���� ���2� �#uqvxww� � ����)0( =α .

+����? �� �� ��� �/�45 �����q� �����. "��-� %E�� +�D/ ,7� L�� ��K/ +����? "����MULTIPLE� ����� . ���2� �#

+5 ��� ����qxv���� ����� . +����? �� �� ��� �/�45 �����v� �����.

/�,��.� ���� ��� ���� �������� MULTIPLE ������ �� � ��� ���� �����

� ������ ��������MULTIPLE

� ����!! "�#$%&' ��������

�012.������� ���� ��� 3���" &�,�4 �

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� $%&' ����('�)" *��+$%&' ����('�)" *��+ ......

�� ���� � � � � ��� ���� �������� � � � � ��� ���� ��������� ���������� �����

�015. ���� ��� 3���" &�,�4 MULTIPLE

"��-� &*�A �� �# � g/�-�u�� �P!]� �� �# �0]78� � ��� �� � %H� �� 6�� 8 �� ,D? �� ��� ���� ���2����:

q .+�-���9� &�E���� ,P�� �/ ����� �� �A � ��� �� 6����� ��+�-���9� � ��� �# . G/ �� �� �� �� �A � +*�� * ���� 8

A ��2B' �� �/ /�J * "�1�J ���9 �1�� � 8 �� �# 6�/��I .��� .� -1 * �20� &�27/� * %2/ ���� +��5� � . ,7� L�� �� ��*

+�-���9� .��K�D�9 ��/� � �� %�g7�� � * ���� &�E�� �� �20 ���/ � "��? 6+����? �� .+�-���9� &�E�� �-S �� <B�/ ��G� � ��

� � �� �/��I �� ���J �A � �� � ��1 �� & ' �4 � �� &�E�� � .��I �A.

u . +�-���9� �#�� �� +�-���9� �#�� ����0 6�20� ����0 �B4�G� ���� �B4�G� �L� �70�L/ �P/ �� * ���� � � A* �� �A � �� �# m� �

�� ����� .��� *������ �������� . � A* �� .��K�D�9 ,7� L�� ��0 6����� .��� *���� �70�I �P/ �� * ���� � .��� �20� ����

+�-���9��� �B4�G� ��*���� a�' � ��� � .�A � ��� �� �� �B4�G� a�' � �� <B�/ +�-���9� *� ��� �20� ����0 � �

.��L-D? �]78� 6�L� +�-���9� �#�� �� +�-���9� �#�� ����0� � �7D�� ����� * ��# ���9.

� .�/�E� �� �� * ����� �� �� ��� �/�45�� �# �� ���� 8 ��/� �����/ � A* �K/5 .��� �7�*�G� ��� * �/��I ���J . ,7� L�� ��

�� ���� �y#��! * %J��! ��G� � ��� �/�45 .��K�D�9 �� * �/ � ��� �/�45 �-S �� �/ � �� ���K� ����� ��G� � ����� %! & '

�� ��*���� �� �20��/ +�E� ��G� � * �/��I ���J ��/� � & ' �� ����� .��K�D�9 +����? .��� ��� �/�45 ���K� +�E� 6����� %!

��� �. � . �� ��* m<4� "�D/ �70�I �P/ �� ���0 ��� �/�45 .���

<4� �70� U�=78� ��0 �� � �/�45 .��� .��K�D�9 ,7� L��.

��0 �� ���-���� ���� ���2� �70� H�� �A � �?�I� �� ���# ��* �/ � * �/�� �� H�� %-1 �� �� .��K�D�9 ,7� L�� ���

���� "��_74� %��J ��J�* .��/� �� �� �/ � �� �A � . �# � g/�-� "��-� %E� ��� * x�� nkD� ,7� L�� ����MULTIPLE

%-1 �� * ���� �� [�A � %��J .� �� * �S�� ��G� � �20����/ ����# �/ LM��.

��� �� .� �� ��� � ������ ���� ������ ���� ����� ��� �

��� ,7� L��. α��. ��7K� �� 6"�� %! W�7k� α �A � �� "�� �7_I ��� �:

»N*�4 .��� �_�# [g4 �4 �/�KA .������/�74� aB'�� ��� � �/�45 .��� ��P7/� +�� �� ��7B� j �g�vw 6 xw * qww ��/�i

+�� ��� �# ���� � A*vw�� ���J �A � �� � �7D�� ��/�i ���I . ��P7/� +�� ��� &�y� +� �1 �� N9vw �0��� * "� � ���B' ��/�i

�� ��� ���E/ "��_74� .�L� � �/�45 � * �/�-� �P7�� �/� �. ��7K� �3�7/ ��α 6α �!��' .� ' �� ����� +����? �# <4�

+�-���9� �y#� �# ��# ��P7/� +�� ��� �� ��vw .� �/�45 � ��/�i "�� # �A � �#���# "��_74� 6� � �20� ����0 ��� �� ����� N9

α �� �� 6� � %! ��� W�7k� .��α�7D�� +5 �� �# 6,�4�� �+�-���9� ����� ��) ��2� �� %! �� <B�/α�� ( � �7-# +�� ��vw "�� # � 6��/�i���# "��_74� � �/�45 a�' � �20� ����0 ���.«

� � ���9 . � ���2� �� ����� %��� ��-� �q/w * �/w * �/w * �/w * �/w * q

���. α "�� %!��� +5 ���2� ��7K� �� <4�. U�8 ����� �� �5 <4�� . "��-� &*�A �� �# � g/�-�� �� <4� nkD� ��/

7/.=α<�1 �� : • +�-���9� ��3��A ��

• ��� �/�45 +�E� ���>�

������ �� F ��� � �/�45 � 6"��_74� ��7-#./H ' � +�� �� 6�� � �7-#vw��� �� 6��/�i <4� " . ��7K� �3�7/ ���� . �� � ���������� .

������ ��P7/� +�� ��7�� �� +����? o�-� �� .+�-���9� ��� �� �# � �B4�G� �/� �70�I ���J W�7k� ��2B' �� * �/��� F�B��� ,�� � �

2�2! <0��� ��7-# �� �A � �� � �/�45 Nl4��3� <0��� * . )� �/�45 ��P7/� � %��! (� j�k7/�� ��� ���� ���2� �� * � �

�A.� ����I . �70�I �P/ �� +*�� ��B4�G� ���# +5 � N9�3� <0���.) � �/�45 ��P7/� � %��! (� ���E� "���*��� � .

���� �7-# <��! *� �� �� � �/�45 j�k7/� �]78� �#���2������"�� T��/ ���K� <��! �� * ,�α �P/ �� �αB4��� �

���.� ����� %! �����.

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� ('�)" *��+('�)" *��+$%&' ����$%&' ���� ......

���� � � � � ��� ���� �������� � � � � ��� ���� ��������� ���������� ����� ��

/�,�6. ���� ��� ���� α�7�89�:

����� ����� � ������ ����

���� �� �� �� ���� ���� ��

�����!

"�# $�� ���%� ���%�α

- ������ �/�

��% ������ �/�

��% ������ �/�

��% ������ �/�

��% ����� �/�

�% ������ �

+����?��. �����>� � %��! α "��-� %E� �� 6x nkD�

������ . �? <-4 H�� %E� ��α ����� q/wE� �� ����� �� * % �# <4�� <-4 ���9α ����� q� �� ���9 ����� �������#.

� .������ � � ������

+*�0�*� "��_74� ���M-� * �� �/�8��# ��4 �* <��� <0�D�9 ��+�-78�4 � �# .��E��� �@��� 6���K� %8�� �� �2B' ��? .��

I �� �� �� %2/ * %-! ���� �/� 7�+�-78�4 �/ 6�� �/�8��# * ����4 %J��!. "� � +�-78�4 +�!��' * +��L7��� �]ED� � �E

<4� .�*� ��� �� & ' �� �# ��?�� %! .��� .���7� .��+�-78�4 �!��' %@��� ��� 6<4� "�� �@��� �2B' ��? .��

��J�* .��/� �� "��_74� %��J* �7���/ �� oH ����# � o��EM��� �-/�� [�A � %��J �S�� * .� �� ��G� � �20* m��������� .

+����? �!��' ����� +��# %! a�2G� �� .����*�74� � �E�/ I �� �2B' ��?�� .����I���J "��_74� �� � %-1 �� �# 6����.

��P7/� +�� �70�I �P/ �� a�2G� �� .����*�74� � �L� �E �� +5 ��i��* � �/�45 .����� ����� %!���� . �� �70�I �P/ ��

�/�8��# �� ��0 �� * ��� � +���/�� �70� H�� �A � .��+�-78�4�� +��7D� .��-7�S� �70� H�� �A � .���� .��� �.

�01;. <����=> α�7 &�?>���� &�,�4 ��

����� [1] Russell, D., Meller, Yavuz A., Bozer. “Alternative

Approaches to Solve the Multi-Floor Facility Layout Problem”, Journal of Manufacturing Systems, Vol. 16, No.3, 1997.

[2] Ana Paula Barbpsa-Povpa, Ricardo Mateus, and Augusto

Q. Novais. Optimal 3D layout of industrial facilities. int. j. prod. res., Vol. 40, No. 7, 2002, PP.1669-1698.

[3] Robin, S., Liggett. “Automated Facilities Layout: Past, Present and Future”, Automation in Construction; Vol. 9, 2000, PP. 197-215.

[4] Bozer, Y.A., Meller, R.D., Erlebacher, S.J., “An Improvement-Type Layout Algorithm for Single and Multiple Floor Facilities”, Management Science, Vol. 40, No.7, 1994; PP. 918-932.

[5] Kenichiro Matsuzaki, Takashi Irohara, Kazuho Yoshimoto. “Heuristic Algorithm to Solve the Multi-

������� ����������� ���� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� � ���� ��� ���������� ���� ���!" #� �� $%&' ����('�)" *��+$%&' ����('�)" *��+ ......

�� ���� � � � � ��� ���� �������� � � � � ��� ���� ��������� ���������� �����

Floor Layout Problem with the Consideration of Elevator Utilization”, Computers & Industrial Engineering, Vol. 36, 1999; PP. 487-502.

[6] Garey, M.R., Johnson, D.S., “Computers and Interact Ability: A Guide to the Theory of NP-Completeness”, Newyork: W H Freeman and Co. 1979.

[7] Kusiak, A., Heragu, S.S., “The Facility Layout Problem”, European Journal of operational research, Vol. 29, 1987; PP. 229-251.

[8] Johnson, R.V., “SPACECRAFT for Multi-Floor Layout Planning”, Management Science 1982, Vol 28, PP. 407-417.

[9] Meller, R.D., Bozer, Y.A., “A New Simulated Annealing Algorithm for the Facility Layout Problem”, International Journal of Production Research. Vol. 34, 1996; No. 6, PP. 1675-1692.

[10] Seehof, J.M., Evans, W.O., “Automated Layout Design Program”, Journal of Industrial Engineering. Vol. 18, 1967; PP. 690-695.

[11] Donaghey, C.E., Pire, V.F., “Solving the Facility Layout

Problem with BLOCKPLAN”, Huston TX: Industrial Engineering Dept. Univ. of Houston. 1990.

[12] Kaku, B.K., Thompson, G.L., Baybars, I., “A Heuristic Method for the Multi-Story Layout Problem”. European Journal of Operational research. Vol. 37, 1988; PP. 384-397.

[13] Sue Abdinnour-Helm, Scott W. Hadley. Tabu search based heuristics for multi-floor facility layout. int. j. prod. res. Vol. 38, 2000, No. 2, PP. 365-383.

[14] Gero, J., Kazakov, V., “Space Layout Problems Using Evolved Design Genes”, Artificial Intelligence in Eng. Vol. 12, No. 3, 1998, PP. 163–176.

[15] Kochhar, J.S., Heragu, S.S., “Multi-Hope: a Tool for Multiple-Floor Layout Problems:, int. j. prod. res. Vol. 36, No. 12, 1998, PP. 3421-3435.

[16] Dimitrios, I., Patsiatzis, Lazaros, G., Papageorgiou. “Efficient Solution Approaches for the Multi floor Process Plant Layout Problem”, Ind. Eng. Chem. Res. 2003, 42, PP. 811-824.

[17] Kyu-Yeul Lee, Myung-Il Roh, Hyuk-Su Jeong. “An Improved Genetic Algorithm for Multi-&oor Facility Layout Problems Having Inner Structure Walls and Passages”,. Computers & Operations Research 2005; 32, PP.879–899.

[18] J.M. Apple. Plant Layout Material Handling. NewYork: John Wiley & Sons, 1977.

[19] Francis, R.L., “Facility Layout and Location: An Analytical Approach”, Prentice Hall, PP. 179, 1974.

[20] Tam, KY., A Simulated Annealing Algorithm for Allocating Space to Manufacturing Cells 1992; 30(1): 63±87.

[21] Bao, G., Cassandras, C.G., Djaferis, T.E., Gandhi, A.D., Looze, D.P., “Elevator Dispatchers for Down-Peak Traffic,” Elec. and Comp. Eng. Dept., Univ. Mass., Amherst, Tech. Rep., 1994.

[22] Gandhi, A.D., Cassandras, C.G., “Optimal Control of Polling Models for Transportation Applications,” J. Math. Computer Modeling, Vol. 23, PP. 1–23, 1996.

[23] Hummet, G.T., Moser, T.D., Powell, B.A., “Real-Time

Simulation of Elevators,” in Winter Simulation Conf., Miami Beach, FL, Dec. 4–6, 1978, PP. 393–402.

[24] Kim, C.B., Seong, K.A., Lee-Kwang, H., Kim, J.O.,

Lim, Y.B., “A fuzzy Approach to Elevator Group Control System,” IEEE Trans. Syst., Man, Cybern., Vol. 25, 1995, PP. 985–990.

[25] Pepyne, D.L., Looze, D.P., Cassandras, C.G., Djaferis,

T.E., “Application of Q-learning to Elevator Dispatching,” in Proc. IFAC’96 World Congr., 1996.

[26] Siikonen, M.L., “Elevator Traffic Simulation,”

Simulation, Vol. 61, No. 4, 1993, PP. 257–267. [27] David L. Pepyne, Christos G. Cassandras, “Optimal

Dispatching Control for Elevator Systems During Up Peak Traffic” IEEE TRANSACTIONS ON CONTROL SYSTEMS TECHNOLOGY, VOL.5, NO.6, NOVEMBER, 1997.

[28] Zimmermann, G., Suter, G., “A Multi-Floor topology to

geometry transformation procedure based on shape functions”.

[29] Barbosa-Po voa, A. P.,Mateus, R. and Novais, A. Q., 2001, Optimal 2D Layout Design of Industrial facilities. International Journal of Production Research, 39(12), 2567±2593.

[30] Georgiadis, M. C., Rotstein, G. E. and Macchietto, S.,

1997, Optimal layout design in multipurpose batch plants. Industrial Engineering and Chemical Research, 36(11), 4852±4863.

[31] J. Gero, V. Kazakov, Space layout problems using evolved design genes, Artificial Intelligence in Eng. 12 _3. _1998. 163–176.

[32] D. Tate, A. Smith, A genetic approach to the quadratic assignment problem, Computers Ops. Res.22_1_1995, 73–83.

[33] D. Tate, A. Smith, Unequal-area facility layout by genetic search, IIE Trans. 27 _4. 1995. 465–473.

]OR[ / ��-�� ��1]'� ��_.�8�� � �7�9 * ��_ / <�/�� m��_ /����� ���! ,A�7� m.+��K� m :6 "��5�Ob�.

]OV [������/�74�.��-�� ���A .�8�� �!��' * �� � A m��0 . _�4 ���! ���� ,A�7� m����#�+��K� m���� �S� �-G� 6 : �K�

j5 : 6+��4 "��5�Obe.

]OX[ �� ����2� � ,���/�9 �GB� 6+�-78�4 : �z� ��9 * ��� �/�45. J��� "���# ��K� m: �� ����2� �*��* �*�� �70� � 6+�-78�z4

4��K� o�P/ </*���� ��A� * . �K� * �E�� ���* +�-78�4 �4.+��K� m : 6+��� ��4 � �D/�Obe.