Het practicum wiskunde: coöperatief aanleren van vaardigheden en attitudes

Het practicum wiskunde:

cooperatief aanleren van vaardighedenen attitudes

Koen De Naeghel

CREATIVE COMMONS

Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0(CC BY-NC-SA)

Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

De gebruiker mag:

het werk kopieren, verspreiden en doorgevenRemixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden:

Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam tevermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik vanhet werk).Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciele doeleinden gebruiken.Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfdelicentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van:

Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden metvoorafgaande toestemming van de rechthebbende.Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijkewetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beınvloed door de licentie.Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht:

• Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals hetportretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aanderden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpaginahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com

Omslagfoto: 123RF Stockfoto http://nl.123rf.com

Tekstzetsysteem: LATEX

Royalty percentage: 0%

c© 2011 Koen De Naeghel

Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

ISBN 978-1-326-04916-4

Vierde druk, oktober 2014

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

VOORWOORD

De kwaliteit van het onderwijs is sterk afhankelijk van de visie op de leerstof. Van een leerkracht wiskunde wordt inde eerste plaats verwacht dat hij voldoende wiskundige achtergrondkennis heeft. Op die manier wordt duidelijk wat deessentie van zijn leerstof is en waarom bepaalde technieken worden toegepast. Vergelijk het met een bergbeklimmer:hoe hoger hij klimt, des te meer overzicht hij over het dal heeft en hoe groter de kans is dat hij die structuur helderkan overbrengen.

Naast een degelijke kennis van de leerinhouden is het van fundamenteel belang dat een leerkracht ook een visie heeftover hoe de leerstof wordt aangebracht. Uiteraard is zo’n visie subjectief en kunnen tegengestelde meningen bestverdedigbaar zijn. Maar net door ervaringen te delen met collega’s kan een leerkracht die visie toetsen, bevestigen enbijstellen. De auteur wil zijn visie dan ook niet opdringen of een andere moraliserende vorm handhaven. De boodschapvan dit boek is dus niet: zo moet het, maar wel: zo kan het (misschien) ook.

Dit werk is niet gebaseerd op een of meerdere commerciele handboeken, maar is een onderdeel van een cursus [8]wiskunde voor de derde graad dat werd geschreven vanuit de filosofie: leer wiskundige begrippen, eigenschappen enwerkwijzen aan zoals die zich binnen de wiskunde op een natuurlijke en onoverkomelijke manier opdringen.

Praktische richtlijnen

Om deze practica optimaal te benutten volgen nu enkele praktische richtlijnen.

3 Dit boek bestaat uit drie delen.

. Inleiding We lichten de noodzaak van het bewust en expliciet stimuleren van vaardigheden, attitudes enopvattingen toe. Uit een poging van de auteur om dit te verwezenlijken is het practicum wiskunde ontstaan.

. Practicum wiskunde - Werkbundels voor de leerlingen (pagina’s Pr-1 tot en met Pr-60) bevat debindteksten zoals de leerlingen die krijgen. Ze worden het best afgedrukt op A3-formaat (recto-verso metC-vouw), zodat de leerlingen hun verslag in hun practicumbundel kunnen voegen. Elk practicum is voorzienvan een inleiding die de doelstellingen voor dat practicum verduidelijkt.

. Appendix Practicum wiskunde - Bijlagen voor de leerkracht (pagina’s A-61 tot en met A-146)biedt informatie voor de leerkracht aan, zoals opgaven en toepassingen waar in de reguliere practica naarverwezen wordt en oplossingen waarbij de ingevulde tekst blauw gekleurd is.

3 In sommige practica maken we gebruik van de grafische rekenmachine TI-83 of TI-84 Plus. Alle noodzakelijkeschermafdrukken werden in de tekst opgenomen zodat de leerling ook buiten de les aan de slag kan.

3 Oefeningen voorzien van het symbool ? zijn doorgaans wat moeilijker dan de reguliere oefeningen.

3 Enkele voorbeelden en oefeningen werden ontleend aan handboeken. In dat geval werd een verwijzing [·] voorziennaar de referentielijst achteraan dit boek of werd de bron vermeld in een voetnoot.

3 Het symbool geeft aan dat de digitale versie van deze tekst een link voorziet naar een relevante webpagina.

3 Dit boek staat digitaal ter beschikking op http://www.koendenaeghel.be . Via deze link wordt ook extradigitale ondersteuning aangeboden (doorklikken naar Practicum wiskunde).

Woord van dank

Mijn dank gaat uit naar iedereen die mij op een of andere manier feedback gaf op deze practica, zoals mijn oud-leerlingen van de voorbije schooljaren. Vragen en bedenkingen zijn nog steeds welkom, bijvoorbeeld via [email protected] .

Brugge, oktober 2014 — KDN

iii

http://www.koendenaeghel.be

mailto:[email protected]

INHOUDSOPGAVE

Voorwoord iii

Inleiding 1

Pr Practicum wiskunde - Werkbundels voor de leerlingen Pr

Woord vooraf Pr-i

1 Informatie verzamelen, ordenen en bewerken Pr-1

2 Probleemoplossend denken (1) Pr-5

3 Probleemoplossend denken (2) Pr-9

4 Toepassingen in groep verwerken Pr-13

5 Hoe studeer je een bewijs? Pr-17

6 Samenwerken Pr-21

7 Een wetenschappelijk verslag schrijven Pr-25

8 Onderzoeksopdracht (1) Pr-31



11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels Pr-43

12 Werken met een wiskundig model Pr-47

13 Leren uit opgeloste problemen Pr-51

14 Een wetenschappelijke presentatie geven Pr-55

A Practicum wiskunde - Bijlagen voor de leerkracht A

1 Informatie verzamelen, ordenen en bewerken A-61

2 Probleemoplossend denken (1) A-63

3 Probleemoplossend denken (2) A-79

4 Toepassingen in groep verwerken A-89

5 Hoe studeer je een bewijs? A-111

6 Samenwerken A-115

7 Een wetenschappelijk verslag schrijven A-123

8 Onderzoeksopdracht (1) A-131

v



11 Zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels A-147

12 Werken met een wiskundig model A-151

13 Leren uit opgeloste problemen A-159

14 Een wetenschappelijke presentatie geven A-161

Referentielijst 164

Bronnenlijst voor afbeeldingen 166

vi

INLEIDING

Visie op het realiseren van vaardigheden en attitudes

Wanneer een leerkracht wiskunde er een leerplan bij neemt, dan is de kans groot dat hij of zij meteen naar de inhou-delijke doelstellingen grijpt en de paragraaf over vaardigheden, attitudes en opvattingen links laat liggen. Nochtansvalt ook die laatste categorie onder de leerplandoelstellingen, met onder meer:

rekenvaardigheid wiskundige taalvaardigheid probleemoplossende vaardigheidonderzoeksvaardigheden leervaardigheden zin voor nauwkeurigheidkritische zin zin voor samenwerking en overleg waardering voor wiskunde

Hoewel een leerplan wel beschrijft wat deze vaardigheden en attitudes zijn en men er een gedetailleerde beschrijvingop na houdt, vermeldt een leerplan niet hoe deze competenties concreet bereikt kunnen worden. Uiteraard kan hetleerplan nooit de enige motivatie zijn om doelstellingen bewust te realiseren. En het feit dat competenties binnen hetonderwijs een trend zijn, kan niet de drijfveer zijn om er aandacht aan te besteden. Maar het zou er de leerkracht weltoe moeten aanzetten om er over na te denken. Typisch is dat hij/zij een aantal bedenkingen heeft. Hierna overlopenwe enkele van die bedenkingen en geven duiding binnen een maatschappelijke context.

1. Vakgebonden vaardigheden en attitudes worden toch automatisch gerealiseerd bij de verwerkingvan de inhoudelijke doelstellingen?

Dat hangt af van de soort werkvormen die de leerkracht hanteert. Zo heeft frontaal lesgeven zeker waarde,maar dat zal de zin voor samenwerking en overleg niet bevorderen. En lost men alle oefeningen klassikaalop, dan kan men een brede waaier van modelvoorbeelden aanbieden maar dan bekwamen leerlingen zich niet inonderzoeksvaardigheden. Daardoor wordt in voorgaande argumentatie de term automatisch niet evident. Eenpassage uit de paragraaf over vaardigheden, attitudes en opvattingen in het leerplan geeft diezelfde toon aan,bijvoorbeeld [35, p.22]:

Vaardigheden worden niet automatisch gegenereerd door de studie van ermee verwante inhouden. Zemoeten precies meermaals bij spontaan gebruik geexpliciteerd worden.

2. Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? (uit [36])

Men heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennis enorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 dehalveringstijd van de kennis van een juist afgestudeerd elektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen datin tien jaar tijd de helft van diens kennis was verouderd. In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nogmaar vijf jaar [12]. De consequenties van die ontdekking zijn enorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveervijf jaar en vijf jaar later is de helft van wat je leerde al weer verouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haastzinloos om veel tijd en geld te investeren in kennisoverdracht. Wat men leerlingen en studenten vandaag leert,is morgen alweer achterhaald. Dat schiet niet op. Daarom is het onderwijs gaan inzetten op de overdracht vancompetenties.

3. Wat met de verhouding tussen kennis en competenties?

Tegenwoordig hebben we te maken met een generatie die een overgang gemaakt heeft van te veel kennis naarvaardigheden en attitudes. Men denkt dat de slinger wat teveel doorgeslagen is en we nu naar een evenwichtmoeten streven [26]. Het is dan ook onze mening dat een gezond evenwicht tussen kennis en competenties pasbereikt kan worden als de leerkracht streeft naar een doordachte visie op didactiek en in dialoog treedt metandere collega’s om die visie bevestigd te zien en elkaar te verrijken met nieuwe inzichten. Het bewaken van dekwaliteit van het onderwijs is hier een logisch gevolg van. Het streven naar competenties hoeft daarom niet tebetekenen dat het niveau wiskunde van de leerlingen daalt.

4. Wat is het belang van probleemoplossend denken?

Het bedenken van een oplossing voor een (complex) probleem kan worden gezien als een creatief denkproces watontstaat als een organisme en/of een kunstmatig intelligent systeem niet meer weet wat te doen om het doelte bereiken. En laat het nu net de vaardigheid om problemen op te lossen zijn die binnen de maatschappij erg

1

gegeerd is. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naar mensen die goed scoren op het oplossen van problemen. Denkmaar aan de wijdverbreide intelligentiemetingen zoals de IQ-test en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan detypische intelligentietesten met als karakteristieke kenmerken logisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen ennumeriek, verbaal en technisch inzicht. Alleen al het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwervingbij een instelling of een bedrijf duidt op het belang van deze vaardigheden.

5. Wat is het belang van samenwerken?

Ondertussen is de hoeveelheid tot op vandaag bekende wiskunde en wetenschappen gigantisch groot geworden.Naar schatting komen er elk jaar ongeveer 300 000 nieuwe wiskundige ontdekkingen bij. De volledige kennishiervan is voor een enkel individu een utopie. Daardoor alleen al is samenwerking tussen wiskundigen en weten-schappers een noodzaak.

empathie in de wiskunde

Ook in een breed maatschappelijke context is samenwerking onmisbaar. Het alof niet maken van carriere hangt in sterke mate vaak af van het succesvol omgaanmet anderen: voor veel hogere functies geldt dat niet alleen vakinhoudelijkekwaliteiten nodig zijn, maar ook het vermogen om effectief samen te werken.Sociale eigenschappen zoals tact, empathie en gedrag als teamspeler wordendan ook best aangeleerd en onderhouden over de vakken heen. Ook op datvlak dient het wiskunde onderwijs zijn verantwoordelijkheid te nemen. Dat kanbijvoorbeeld met cooperatief leren, dat niet geheel gericht is op de ontwikkelingvan de eigen persoonlijkheid en kennis, maar juist ook om de ander verder tehelpen met de kwaliteiten die het zelf al bezit. Binnen cooperatief leren wordende leerlingen uitgedaagd om zelf initiatief te nemen, om elkaar te helpen en omproblemen samen op te lossen. Typisch hierbij is de mate waarin zij van elkaarafhankelijk zijn om hun doel te bereiken.

6. Wat betekenen op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven? (uit [36])

Per beroep kun je ongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel eenstandaard. In een sollicitatie zal men vooral op die competenties letten. Zo is een secretaresse die ooit tijdenshaar opleiding heeft leren notuleren ook in staat om te notuleren. Maar als zij een andere baas krijgt die heelandere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas prima functioneerde met de handenin het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzaken van bijzaken kan onderscheiden enhoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leveren product, was ze beter af geweest.

7. Waarom volstaat een klassieke toets niet?

Eens een leerkracht kiest voor het bewust ontwikkelen van competenties dan is het wenselijk om het effect ervante meten en verder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets.Typisch daarbij zijn opmerkingen in het genre:

3 let op je notatie;

3 na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?;

3 maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafische) rekenmachine, indien mogelijk;

3 bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen;

3 maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde.

Doorgaans zal een leerling die een toets afneemt zich eerder focussen op het reproduceren van de kennis endemonstreren van basistechnieken. Het bewust tonen van competenties hoort daar niet meteen bij. Ook bijhet krijgen van de gecorrigeerde toets achteraf zal een leerling eerder interesse hebben in de punten dan in deopmerkingen in verband met competenties. Hoewel kwaliteit in competenties op termijn zal leiden tot hogerepunten zal de leerling die link niet onmiddellijk aannemen.

8. Moet de beoordeling van vaardigheden en attitudes meetellen voor het cijfer dagelijks werk?

Het evalueren van attitudes moet gebeuren, maar het moet niet op punten. Recent overleg tussen de inspectieen pedagogische begeleiding wiskunde klaarde uit dat er maximum 10% op jaarbasis mag gequoteerd wordenop attitudes. Daarnaast moet het al of niet op punten zetten van vaardigheden en attitudes stroken met deafspraken binnen de school. Het is zelfs zo dat in sommige scholen de leerkrachten enkel punten mogen gevenop inhoudelijk werk, naar onze mening een gevolg van de kwalijke trend dat ouders bij het falen van hun zoonof dochter meteen naar de beroepscommissie stappen. Een nul geven voor het te laat indienen of punten zettenop nauwkeurigheid, orde en samenwerking zijn er uit den boze. Binnen het kader van rationeel-legaal gezag isdeze visie inderdaad verdedigbaar. Maar het brengt een complicatie met zich mee: de leerkracht kan de daarmeegekoppelde vaardigheden en leerattitudes niet op punten zetten. Voor de leerling een reden te meer om deinteresse in die competenties te laten varen. Daarmee schiet de nobele theorie van competentieontwikkeling bijjongeren in de praktijk zijn doel compleet voorbij.

2

9. Moeten vaardigheden en attitudes los van de inhoud worden geevalueerd?

Het is de mening van de auteur dat zoiets niet zinvol is. Sterker nog: het is een illusie om competenties tescheiden van de inhoud. Het een is onlosmakelijk verbonden met het ander. We vinden het dan ook geen goedidee om de evaluatie van een taak op te splitsen in een veelheid van deelcategorieen, om daarna het eindcijfer vastte leggen als de som van die afzonderlijke punten. Leerkrachten horen competent genoeg te worden geacht omaan een taak een cijfer vast te hechten dat de waarde van die taak weerspiegelt. Zeggen dat leerkrachten zoietsniet kunnen, getuigt van een fundamenteel wantrouwen. Wel kunnen leerkrachten dat eindcijfer best motiverenmet enkele afzonderlijke beoordelingen: een paar competenties die in het oog springen, zowel in positieve als innegatieve zin.

Werkvorm practicum wiskunde

Uit een poging van de auteur om vaardigheden en attitudes en in het bijzonder de onderzoekscompetenties op eenuitgesproken en zinvolle manier te realiseren is het practicum wiskunde ontstaan. Het bestaat uit enkele projecten,practica genaamd, die in digitale vorm vrij beschikbaar zijn op

http://www.koendenaeghel.be/practicumwiskunde.htm.

Het doel van deze practica is dat de leerkracht kan beoordelen of de leerling beoogde vaardigheden goed ontwikkelt.Dat kan hij zien aan de verslagen die de leerling zelf of in groep geschreven heeft en ook hoe de leerling in de groepheeft samengewerkt. Bovendien stimuleert het leerlingen om over de eigen ontwikkeling na te denken. Op die manierspeelt de leerling zelf de hoofdrol bij het managen van zijn eigen leerproces:

3 Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren?

3 Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studie- en beroepskeuze?

3 Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben?

3 Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren?

Inhoud

Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot klassiekedidactiek - een aantal onderwerpen aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Sommige zijn zelfs essentieel inde uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. Zo kan het rapporteren van een wiskundigonderwerp of onderzoeksresultaat pas zinvol gebeuren als er aan leerlingen ook verteld wordt wat een wetenschappelijkverslag of presentatie inhoudt: structuur, schrijfstijl, tips en valkuilen.De hier aangeboden practica zijn geordend volgens de volgorde waarin leerstofonderdelen wiskunde in de derde graad(meestal) gegeven worden. Andere practica zijn dan weer niet meteen verbonden met een bepaald leerstofonderdeel.In onderstaand overzicht is de vermelding van het aantal lessen slechts richtinggevend.De meeste practica zijn geıntegreerd in de reguliere lessen van leerstofonderdelen. Men hoeft dus niet noodzakelijkuitbreidings- en verdiepingsleerstof te schrappen om deze practica te kunnen inrichten. Bovendien kan men de onder-zoekscompetenties realiseren aan de hand van practica 1, 7, 8, 9, 10 en 14. Desgewenst kan men uit deze practicawiskunde ook een selectie maken.

nr. practicum geıntegreerd in uitvoering lessen

1 Informatie verzamelen, ordenen en bewerken per twee (PC) 2-3

2 Probleemoplossend denken (1) per twee 1-2

3 Probleemoplossend denken (2) precalculus per drie 2

4 Toepassingen in groep verwerken matrices per vier 2

5 Hoe studeer je een bewijs lineaire stelsels en matrices individueel 1/2bepaalde integralen individueel 1/2

6 Samenwerken lineaire stelsels en matrices per twee 2

7 Een wetenschappelijk verslag schrijven vectoren, parametervergelijkingen per drie 2

8 Onderzoeksopdracht (1) logica individueel 1

9 Onderzoeksopdracht (2) precalculus, rijen per twee 2

10 Onderzoeksopdracht (3) per vier 4

11 Zelfstandig oefeningen maken met bepaalde integralen individueel 1oplossingssleutels

12 Werken met een wiskundig model integralen per vier 2

13 Leren uit opgeloste problemen onbepaalde integralen per vier 2-3

14 Een wetenschappelijke presentatie geven per drie (PC) 2

3

http://www.koendenaeghel.be/practicumwiskunde.htm

Structuur

Werkbundels voor de leerlingen worden best afgedrukt op A3-formaat (recto-verso met C-vouw), zodat de leerlingenhun verslag in hun practicumbundel kunnen voegen. Elk practicum is voorzien van een inleiding waarin de doelstellin-gen voor dat practicum verduidelijkt worden. We kiezen er bewust voor om de doelstellingen ook naar toe leerlingen teexpliciteren. De laaste pagina van elk practicum dient als evaluatieformulier, waarin de competenties zijn opgenomendie voor dat practicum relevant zijn. Onderstaande afbeelding is een verkleinde versie van zo’n practicumbundel inA3-formaat (recto-verso met C-vouw).

A3-voorkantA4-pagina Pr-4 A4-pagina Pr-1

A3-achterkantA4-pagina Pr-2 A4-pagina Pr-3

Evaluatie

Het verschil met een klassieke taak of toets is dat practica wiskunde ook geevalueerd worden op vaardigheden enattitudes, al dan niet op punten. Bovendien weten de leerlingen aan de hand van hun gekregen bundel op welkecompetenties zij oefenen en beoordeeld worden. Typisch is dat de leerkracht bij het quoteren enkele in het oogspringende competenties aanduidt. Dat kan op een efficiente manier door deze met een groene (positief) of rode(negatief) fluorescerende stift aan te duiden.De meeste practica kunnen probleemloos worden geevalueerd op inhoud, wat verwerkt kan worden in de punten voortussentijdse evaluatie. Sommige scholen voorzien naast een klassiek puntenrapport ook een attituderapport. Hierinkan de leerkracht wiskunde dan de vakgebonden (leer)attitudes op aanbrengen die beoordeeld werden in de practica.

4

Practicum wiskunde

Werkbundels voor de leerlingen

naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nr: . . . . . . . . . klas: . . . . . . . schooljaar: . . . . . . . . . . . . . .

Pr

WOORD VOORAF

Visie op het realiseren van vaardigheden en attitudes

George Polya(1887 - 1985)

Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundigekennis het best aanleren door het observeren van een expert (leerkracht, docent) inactie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methode in vraag. Zo stelt dewiskundige en didacticus George Polya (1945) dat kennisoverdracht door middel vanhet oplossen van problemen centraal moet staan in het wiskunde onderwijs en dit opelk niveau. Leerlingen moeten zelf de kans krijgen om te ontdekken en nadien eenredenering op een haalbaar niveau kunnen leveren.

Het (zelfstandig) oplossen van problemen, ook wel probleemoplossend denkengenoemd, is een voorbeeld van wat de jongste jaren een trend in het onderwijs isgeworden: de zogenaamde competenties. Ruim genomen is een competentie hetvermogen om naargelang de situatie correct en passend te handelen. De nadrukligt bij het begrip competentie niet op weten maar op kunnen. In de vakliteratuuronderscheidt men zo’n dertig tot veertig competenties, zoals luisteren, analyseren,mondeling presenteren, overtuigen, leidinggeven en samenwerken.

Het feit dat competenties een trend binnen het onderwijs zijn, kan niet de enige drijfveer zijn om er aandacht aan tebesteden. Maar het zou er de leerkracht en de leerling wel toe moeten aanzetten om er over na te denken. Typischis dat hij/zij hierbij een aantal bedenkingen heeft. Hierna overlopen we enkele van die bedenkingen en geven duidingbinnen een maatschappelijke context. 1

1. Waarom volstaat de overdracht van kennis niet meer? Men2 heeft ontdekt dat de halveringstijd van kennisenorm achteruit gaat. Zo was bijvoorbeeld in 1987 de halveringstijd van de kennis van een juist afgestudeerdelektrotechnisch ingenieur tien jaar. Dat wil zeggen dat in tien jaar tijd, de helft van diens kennis was verouderd.In 1997 bedroeg de halveringstijd van die kennis nog maar vijf jaar. De consequenties van die ontdekking zijnenorm. Stel je voor: je volgt een studie van ongeveer vijf jaar en vijf jaar later is de helft van wat je leerde al weerverouderd! Voor onderwijsinstellingen is het haast zinloos om veel tijd en geld te investeren in kennisoverdracht.Wat men leerlingen en studenten vandaag leert, is morgen alweer achterhaald. Dat schiet niet op. Daarom ishet onderwijs gaan inzetten op de overdracht van competenties.

2. Wat is het belang van probleemoplossend denken? Het bedenken van een oplossing voor een (complex)probleem kan worden gezien als een creatief denkproces wat ontstaat als een organisme en/of een kunstmatigintelligent systeem niet meer weet wat te doen om het doel te bereiken. En laat het nu net de vaardigheid omproblemen op te lossen zijn die erg gegeerd is in de maatschappij. Bedrijven zijn voortdurend op zoek naarmensen die goed scoren op het oplossen van problemen. Denk maar aan de wijdverbreide intelligentiemetingenzoals de IQ-test en de waarde die men bij sollicitatie hecht aan de typische intelligentietesten met als karakteris-tieke kenmerken logisch denken, ruimtelijk voorstellingsvermogen, numeriek inzicht, verbaal inzicht en technischinzicht. Alleen al het vooruitzicht van een leerling op de toekomstige aanwerving bij een instelling of een bedrijfduidt op het belang van deze vaardigheden.

3. Wat kan de meerwaarde van op school ontwikkelde competenties voor het beroepsleven zijn?Per beroep kun je ongeveer acht competenties benoemen die doorslaggevend zijn. Men noemt dat ook wel eenstandaard. In een sollicitatie zal men vooral op die competenties letten.

Voorbeeld. Een secretaresse die ooit tijdens haar opleiding heeft leren notuleren kan notuleren. Maar als zij eenandere baas krijgt die heel andere eisen stelt aan de notulen kan die secretaresse die bij haar eerste baas primafunctioneerde, met de handen in het haar zitten. Als ze tijdens haar opleiding had geleerd hoe je hoofdzakenvan bijzaken kan onderscheiden en hoe je in overleg met de opdrachtgever tot afspraken komt over het te leverenproduct, was ze beter af geweest.

1Inspiratie werd ontleend aan http://www.leren.nl/cursus/leren en studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html .2F. den Hertog en E. Huizenga, De kennisfactor: concurreren als kennisonderneming, Deventer : Kluwer BedrijfsInformatie, 1997.

Pr-i

http://nl.wikipedia.org/wiki/Gy%C3%B6rgy_P%C3%B3lya

http://www.leren.nl/cursus/leren_en_studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html

Omdat we bewust kiezen voor het ontwikkelen van competenties, is het wenselijk om het effect ervan te meten enverder op te volgen. Men zou geneigd kunnen zijn zijn die opvolging te noteren op een klassieke toets. Typisch daarbijzijn opmerkingen in de trend van:

3 let op je notatie,

3 na een berekening je resultaat ook kritisch bekijken: heeft het resultaat zin?,

3 maak na rekenwerk ook de controle met behulp van je (grafisch) rekenmachine, indien mogelijk,

3 bij het tekenen van een assenstelsel de assen benoemen,

3 maak onderscheid tussen gegeven en gevraagde, etc.

Doorgaans zal een leerling die een toets afneemt zich eerder focussen op het reproduceren van de kennis en demon-streren van basistechnieken. Het bewust tonen van competenties hoort daar niet meteen bij. Ook bij het krijgen vande gecorrigeerde toets achteraf zal een leerling eerder interesse hebben in de punten dan in de opmerkingen in verbandmet competenties. Voor een aantal leerlingen is dit te wijten aan het feit dat attitudes niet worden gequoteerd oppunten: zin voor nauwkeurigheid en orde, zelfvertrouwen en zelfstandigheid, reflectievaardigheden, etc.

Hoewel het een onlosmakelijk met het ander verbonden is (kwaliteit in competenties zal op termijn ook leiden tothogere punten) nemen sommige leerlingen die link niet onmiddellijk aan. Anderzijds hoort een leerkracht wel tebeoordelen of de leerling de vaardigheden goed ontwikkelt. Een klassieke toets volstaat dus niet langer.

Werkvorm practicum wiskunde

Uit een poging om de wiskundige competenties op een uitgesproken manier te behandelen is het practicum wiskundeontstaan. Het bestaat uit enkele projecten, practica3 genaamd. Het doel van deze practica is dat de leerkracht kanbeoordelen of de leerling die vaardigheden goed ontwikkelt. Dat kan hij zien aan de verslagen die de leerling zelf ofin groep geschreven heeft en ook hoe de leerling in de groep heeft samengewerkt. Bovendien stimuleert het leerlingenom over de eigen ontwikkeling na te denken. Op die manier speelt de leerling zelf de hoofdrol bij het ‘managen’ vanzijn eigen leerproces:

3 Wat zijn mijn sterke en zwakke punten? Welke competenties beheers ik goed, welke zou ik kunnen verbeteren?

3 Wat is het belang van bepaalde competenties voor mijn studie- en beroepskeuze?

3 Hoe kan ik anderen laten zien waar ik goed in ben?

3 Hoe kan ik mijn zwakke punten verbeteren?

Inhoud

Naast het implementeren van de practica in de huidige leerstofonderdelen kunnen er - in tegenstelling tot een klassiekedidactiek - een aantal methodes aan bod komen die zeker de moeite waard zijn. Enkele daarvan zijn zelfs essentieel inde uitvoering van de zogenaamde onderzoekscompetenties derde graad. We sommen enkele onderwerpen op, voor deconcrete inhoud verwijzen we naar de practica zelf:

3 zelfstandig oefeningen maken met oplossingssleutels,

3 werken met een wiskundig model,

3 leren uit opgeloste problemen,

3 geven van een wetenschappelijke presentatie,

3 samenwerken,

3 onderzoeksopdrachten,

3 inzicht in het studie- en beroepskeuzeproces.

Evaluatie

Bijna elk practicum wordt geevalueerd op inhoud, maar ook op vaardigheden en attitudes. Hierna volgt een opsommingvan die vaardigheden en attitudes.

3practicum (-s, -tica mv) een les waarin niet alleen wordt geluisterd, maar waarin leerlingen praktisch oefenen.

Pr-ii

Vaard

igheden

1.R

ekenvaard

igh

eid

.

3B

ijhet

alg

ebra

ısch

manip

ule

ren

van

funct

ievoors

chri

ften

,fo

rmule

s,ve

rgel

ijkin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

-nie

ken

jem

oet

aan

wen

den

om

tot

een

resu

ltaat

teko

men

,en

voer

jedez

ete

chnie

ken

corr

ect

uit

.

3Je

kan

de

groot

orde

van

een

resu

ltaa

tgo

edin

schat

ten.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

achin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepas

tin

schak

elen

om

een

bew

erkin

guit

tevo

eren

.Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

2.M

eet-

en

tekenvaard

igh

eid

.

3G

rafiek

enen

voors

tellin

gen

van

vla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nauw

keu

rig.

3Je

heb

tru

imte

lijk

voors

tellin

gsve

rmog

en.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

achin

eof

een

com

pute

rrek

enpak

ket

gepas

tin

schak

elen

om

een

figuur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

linge

ndie

jem

etIC

Tb

ekom

enheb

t.

3.W

isku

nd

ige

taalv

aard

igh

eid

.

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etde

vakta

alva

nde

wis

kunde:

.je

ken

tde

bet

eken

isva

nty

pis

che

vakte

rmen

engeb

ruik

tdez

evo

ldoen

de

corr

ect

(funct

ie,

stel

sel,

etc.

);

.je

ken

tde

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logis

che

ker

nw

oor

den

enge

bru

ikt

dez

evold

oen

de

corr

ect

(en,

of,

daar

uit

volg

t,vo

or

alle

,et

c.);

.je

ben

tin

staa

tom

een

omsc

hri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waa

rde

tesy

mb

olis

eren

;

.je

han

teer

tde

vis

uel

evo

orst

ellingen

waa

rde

wis

kunde

gebru

ikva

nm

aak

t(g

rafiek

,ta

bel

,et

c.).

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etde

bes

chri

jven

de

taal

waa

rin

over

het

wis

kundig

handel

enges

pro

ken

wor

dt

(defi

nit

ie,

eigen

schap,

verk

laar

,b

erek

enal

gebra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

3Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

iskundig

eb

egri

pp

enher

ken

nen

enve

rtal

ennaar

wis

kundig

model

(mat

hem

atis

eren

).

3Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afiek

,dia

gram

).

3Je

ben

tle

esva

ardig

bij

het

leze

nva

nde

tekst

van

opgav

en,

pro

ble

men

envra

agst

ukke

n.

4.D

en

k-

en

red

en

eerv

aard

igh

ed

en

.

3Je

kan

het

onder

schei

dm

aken

tuss

enhoof

d-

enbij

zake

n,

gege

ven

enge

vra

agde,

gege

ven

ente

bew

ijze

n.

3Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

arg

um

ente

ring

bij

een

eige

nsc

hap

teb

egri

jpen

.

3Je

kan

een

gege

ven

reden

erin

gop

haa

rge

ldig

hei

don

der

zoek

en.

3Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eigen

schap

ofde

oplo

ssin

gva

nee

npro

ble

emop

bou

wen

:

.je

kan

een

ver

moed

enfo

rmule

ren

enar

gum

ente

ren;

.je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opbas

isva

nee

nonder

zoek

opee

naa

nta

lvo

orb

eeld

en;

.je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

gebru

iken

.

5.P

rob

leem

op

loss

en

de

vaard

igh

ed

en

.

3Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enhet

wis

kundig

beh

oor

lijk

stel

len.

3Je

kan

een

pro

ble

eman

aly

sere

n(o

nder

schei

dm

aken

tuss

enge

geve

nen

gevra

agde,

verb

anden

legg

entu

ssen

de

gege

ven

s,et

c.).

3Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

ennaa

ree

npass

end

wis

kundig

model

(mat

hem

atis

eren

).

3Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daar

bij

een

pla

nop

stel

len.

3Je

kan

reflec

tere

nop

de

keuze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jepla

n.

3Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hun

bet

rouw

baar

hei

den

volled

ighei

d.

3Je

kan

ICT

-hulp

mid

del

enge

bru

iken

omw

iskundig

ein

form

atie

tever

wer

ken

enw

iskundig

epro

ble

men

teon

der

zoek

en.

6.O

nd

erz

oeksv

aard

igh

ed

en

.

3Je

kan

een

onder

zoek

sop

dra

cht

form

ule

ren

enaf

bak

enen

.

3Je

kan

een

aanpak

pla

nnen

enzo

nodig

opsp

lits

enin

dee

ltake

n.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.de

waar

de

van

de

info

rmat

ieb

eoor

del

enin

funct

ieva

nde

opdra

cht;

Pr-

iii

.de

rela

tie

tuss

enge

geve

ns

enb

ewer

kin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren.

3Je

kan

doel

mat

igee

nw

iskundig

model

sele

cter

enof

opst

elle

n:

.ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

kennen

als

een

wis

kundig

of

een

stat

isti

sch

pro

ble

em;

.va

stst

elle

nof

een

model

vold

oet

enhet

even

tuee

lbij

stel

len;

.zo

nodig

bij

kom

ende

info

rmati

eve

rzam

elen

omhet

aangew

ezen

model

tekunnen

han

tere

n.

3Je

kan

bij

een

model

de

pass

ende

oplo

ssin

gsm

ethode

corr

ect

uit

voer

en.

3Je

kan

resu

ltat

enbin

nen

de

conte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daar

inkri

tisc

hev

aluer

en.

3Je

kan

reflec

tere

nop

het

gehel

epro

ces,

i.h.b

.op

de

gem

aakte

keuze

nvo

orre

pre

senta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

onder

zoek

zinvo

lpre

sente

ren,het

stan

dpunt

argum

ente

ren

enve

rsla

guit

bre

nge

nva

nhet

pro

ces.

7.L

eerv

aard

igh

ed

en

.

3Je

kan

loss

egeg

even

sve

rwer

ken.

3Je

kan

sam

enhan

gen

de

info

rmat

ieve

rwer

ken.

3Je

kan

info

rmat

iebro

nnen

raad

ple

gen

.

3Je

kan

studie

tijd

pla

nnen

.

3Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

sture

n.

8.R

efl

ecti

evaard

igh

ed

en

.

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

aanpak

van

jew

erk

enje

studie

s.

3Je

kan

reflec

tere

nov

erje

leer

pro

ces

enje

inze

t(l

eiden

zeto

thet

ber

eike

nva

nde

doel

stel

ling?

).

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

ster

keen

de

zwakke

elem

ente

nin

de

uit

voer

ing

van

jeop

dra

cht.

3Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

endoor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

orden

gebru

ikt

omhet

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

3Je

kan

reflec

tere

nov

erde

gez

am

elij

keaa

npak

enov

erle

gbij

een

groep

sop

dra

cht.

Attitudes

9.Z

invoor

nauw

keu

righ

eid

en

ord

e.

3Je

heb

tde

gew

oon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opdra

cht

teru

gte

kij

ken

als

een

vor

mva

nco

ntr

ole

,om

zoto

tnau

wke

uri

gere

sult

aten

teko

men

.

3Je

heb

tee

nhou

din

gom

ordel

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen,

aanpakke

nva

npro

ble

men

).

10.

Zin

voor

kw

ali

teit

van

de

wis

ku

nd

ige

rep

rese

nta

tie.

Je

heb

tde

gew

oon

teom

jeged

achte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nadel

enva

nee

nb

epaa

lde

wer

kw

ijze

teb

espre

ken.

11.

Kri

tisc

he

zin

.Je

heb

tde

hou

din

gom

ber

eken

inge

n,

bew

erin

gen,

argum

ente

ringen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaa

nva

arden

enov

erte

nem

en.

12.

Zelf

vert

rouw

en

en

zelf

stan

dig

heid

.

3Je

toon

tze

lfve

rtro

uw

en,

zelf

standig

hei

d,

door

zett

ings

ver

mog

enen

doel

mati

ghei

dbij

het

aan

pakke

nva

npro

ble

men

enop

dra

chte

n.

3Je

ziet

indat

foute

nm

aken

inher

ent

dee

luit

mak

enva

nhet

leer

pro

ces.

13.

Zelf

regu

lati

e.

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gav

enen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staat

omje

inee

nop

loss

ings

pro

ces

teor

iente

ren,

het

pro

ces

tepla

nnen

,het

uit

tevo

eren

enhet

teb

ewak

en.

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg.

3Je

ziet

indat

jem

oge

lijk

hed

enve

rgro

otw

orden

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eoplo

ssin

gof

aanpak.

15.

Waard

eri

ng

voor

de

wis

ku

nd

e.

Je

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

ge

van

de

wis

kunde

incu

lture

le,

his

tori

sche

enw

eten

schap

pel

ijke

ontw

ikke

lingen

.

16.

Inzic

ht

inh

et

stud

ie-

en

bero

ep

skeu

zep

roces.

Je

kan

info

rmati

ein

win

nen

over

het

aandee

lva

nw

iskunde

inee

nve

rvol

gople

idin

gen

die

verg

elij

ken

met

jevoor

ber

eidin

g.

Pr-

iv

PRACTICUM 1

INFORMATIE VERZAMELEN, ORDENEN EN BEWERKEN


1. Inleiding

De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met com-ponent wiskunde (6 tot 8 wekelijkse lestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen dieonder de noemer onderzoekscompetenties worden gecatalogeerd:

OC1 Zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te ver-zamelen, te ordenen en te bewerken.

OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uit-voeren en evalueren.

OC3 De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.

De tweede en derde eindterm zullen worden gerealiseerd bij de uitvoering van latere practica, onder meer door on-derzoeksopdrachten, het schrijven van een wetenschappelijk verslag en het geven van een wetenschappelijke presentatie.

onderzoekscompetenties

verzamelen

ordenen

bewerken

︸︷︷

︸

competentie 1

voorbereidenuitvoerenevalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporterenconfronteren ︸

︷︷︸ competentie 3

Het verzamelen, ordenen en bewerken van informatie wordt hier afzonderlijk behandeld, want ze komt niet explicietaan bod bij latere practica in verband met onderzoeksopdrachten. Dat is een bewuste keuze en berust op wat wijbedoelen met de term onderzoeksopdracht wiskunde. Het is de mening van de auteur dat onderstaande invullingvan deze term strookt met de visie van een ruime meerderheid binnen de wiskundige gemeenschap. Hoe we tegen defasen van een onderzoeksopdracht wiskunde aankijken wordt verhaald in de inleiding van Practicum 9.

De competenties informatie verzamelen, ordenen en bewerken sluiten eerder aan bij onderzoek waarvoor de leerlinginformatie opzoekt in de literatuur of op het internet en deze informatie synthetiseert of toepast op een concreteonderzoeksvraag. Bij wiskunde bevindt dergelijk onderzoek zich toch eerder in de marge1 van het gebeuren. Denkbijvoorbeeld aan het maken van een werkstuk over het leven van een wiskundige. Een onderzoeksopdracht wiskundewaarbij gevraagd wordt om informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken, noemen we een beschrijvendeopdracht wiskunde. Pas als de onderzoeker een voor hem of haar relatief onbekend wiskundig terrein betreedt,spreken we over een onderzoekende opdracht wiskunde.

We zijn dan ook van mening2 dat bij wiskundig onderzoek je informatie niet in de eerste plaats uit boekenhaalt, maar genereert door zelf te redeneren. Probleemoplossende vaardigheden komen hierbij goed van pas,dat komt dan ook aan bod in latere practica. Maar informatie opzoeken helpt je - althans op het niveau van dewiskunde in het middelbaar onderwijs - geen stap vooruit.

1Binnen de context van het wiskundeonderwijs is de eerste eindterm wel relevant bij onderzoek dat steunt op statistische informatie(zesde jaar).

2Deze verwoording werd ontleend aan de voordracht J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad,03/03/2010, DPB Brugge. De visie van de auteur sluit hier naadloos bij aan.

Pr-1

Informatie verzamelen met behulp van het internet

Informatie opzoeken is wellicht de belangrijkste functie van het internet. Als je niet beschikt over een lijst met rele-vante adressen, dan valt het tegen om iets rechtstreeks te vinden in deze enorme informatieberg. Het losweg intypenvan url’s die eventueel met het gezochte onderwerp iets te maken hebben is uit den boze. Los van het feit dat zo’npagina waarschijnlijk geen interessante informatie voor je bevat, is kans dat het ingetypte adres bestaat heel klein.Daarom moet je opzoeken op het internet wat meer gestructureerd aanpakken.

Een zoekmachine is een webdienst waarmee met behulp van trefwoorden een volledige tekst kan worden gezocht. Devolgende tabel geeft enkele zoekmachines weer, alsook enkele populaire sites voor (wiskundige) informatie.

zoekmachine beschrijving en tips voor- en nadelen

googlewww.google.be/

In veel landen is Google de populairste zoekmachine.Gebruik:

3 aanhalingstekens bij het zoeken van een zin,vb. “vectoren in het vlak”

3 sterretje als joker, op die plaats kan alles staan,vb. “een dodecaeder heeft ∗ vlakken”

3 site bij het zoeken binnen een site,vb. “wiskunde site:deredactie.be”

3 define bij het zoeken naar een definitie,vb. “define:googol”

3 afbeeldingen: tik je zoekterm, klik afbeeldingen.

Omdat Google een grotezoekmachine is, wordthet steeds moeilijkerom gericht te kunnenzoeken op een bepaaldgebied of in een anderetaal dan het Engels.Vaak geeft Google ge-woon te veel resulta-ten weer, waardoor eengebruiker door het bos debomen niet meer ziet.

wikipediawww.wikipedia.org/

Wikipedia is een gratis encyclopedie.

3 Engelse trefwoorden genieten voorkeur bovenNederlandse. In vergelijking met het Nederlandsworden artikels in het Engels door een groteregroep mensen opgesteld, gecontroleerd en aange-past. Net daarom zijn pagina’s in het Engels door-gaans juister dan pagina’s in het Nederlands.

3 Gebruik synoniemen van bepaalde woorden wan-neer een zoekopdracht niet het gewenste resultaatgeeft.

Wikipedia is een han-dige manier om op eenbegrijpbaar niveaukennis op te doen. Demeeste artikels zijnvoorzien met links naarandere websites.Maar omdat iedereenartikels kan wijzigen, iser geen garantie dat eenartikel in wikipedia juisten betrouwbaar is.Aan te raden is dat je deinformatie vergelijkt metandere bronnen.

MacTutor History ofMathematics Archivehttp://www-history.mcs.

st-and.ac.uk/Search/

historysearch.html/

Bevat gedetailleerde biografieen over wiskundigen en wis-kundige onderwerpen.Categorieen:

3 History Topics: artikels volgens cultuur of takvan de wiskunde,vb. “Ancient Greek mathematics”

3 Famous curves: bekende en minder bekendekrommen.vb. “lemniscate of Bernoulli ”

Mac Tutor staat bekendals een uitgebreid enbetrouwbaar geschiede-nisarchief van wiskunde.

google scholarscholar.google.be/

Scholar Google is een zoekmachine waarmee je bijna elkwetenschappelijk artikel kunt opzoeken dat ooit ge-publiceerd is.Een korte samenvatting van het onderzoek kun je bijnaaltijd gratis raadplegen.

Jammer genoeg is lees-baarheid niet altijdde beste kant van we-tenschappelijke artikels.Maar even doorbijtenloont zeker de moeite.

Pr-2

www.google.be

www.wikipedia.org

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Search/historysearch.html



scholar.google.be

Informatie ordenen en bewerken

Het is onmogelijk om alle verzamelde informatie op te nemen. Daarom moet de informatie eerst verwerkt worden.

Door elke vraag of onderwerp afzonderlijk te behandelen, werk je overzichtelijk. Dat kan erg handig door de informa-

tie eerst te kopieren naar een Word-document . Om ervoor te zorgen dat je later nog weet waar je welke informatie

gevonden hebt, noteer je onder elke passage de (eventueel verkorte) bronbeschrijving, bijvoorbeeld de url waarop je deinformatie gevonden hebt. Op deze manier krijg je meteen de antwoorden van verschillende bronnen op dezelfde vraagbij elkaar. Daardoor wordt het makkelijker om de verschillende antwoorden op zo’n vraag met elkaar te vergelijken.

Daarna moet je de verkregen informatie verwerken. Dat kan door eerst een schema te maken.

1. Het allerbelangrijkste daarbij is dat je een goed onderscheid maakt tussen hoofdzaken en bijzaken. Dat islang niet altijd makkelijk. Aan te raden is dat je gebruikt maakt van:

3 titel en tussenkopjes: deze vertellen je waar gedeelten van de tekst over gaan;

3 eerste en laatste alinea van de tekst: in de eerste vertelt de schrijver vaak waarover de tekst gaat, in delaatste wordt het belangrijkste nog eens kort samengevat;

3 afwijkende druk: als een woord bijvoorbeeld vet gedrukt is, dan is dat woord (meestal) extra belangrijk.

2. Alleen de belangrijke dingen weergeven: niet allerlei voorbeelden of onbelangrijke weetjes.

3. Je moet in het schema de verbanden tussen de onderdelen van je schema goed duidelijk maken.

4. Als in de tekst nieuwe begrippen behandeld worden, kun je onderaan het schema een begrippenlijst te maken:de nieuwe begrippen met daarachter de betekenis.

Daarna maak je van elke vraag of ondewerp een samenvatting .

3 De structuur van je tekst bestaat uit een aantal alinea’s die een overzichtelijk geheel vormen.

3 Zorgt dat je tekst aangenaam om lezen is en een informatief karakter heeft.

3 Neemt geen zinnen letterlijk van je bronnen over.

3 Zorgt dat je datgene wat je opschrijft ook voor 100% begrijpt.

3 Zaken die niet van belang zijn voor de hoofdlijn van de tekst en andere detils moet je verwaarlozen.

3 Sluit je samenvatting af door het vermelden van je bronnen.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Het practicum voer je uit in groepjes van twee tot drie.

poster Vlaamse WiskundeOlympiade

. Zoek nevenstaande poster van de Vlaamse Wiskunde Olympiade op.

. Op de poster staat een vraag. Zoek eerst het antwoord op die vraag. Jemoet dus het vraagteken achterhalen.

. Daarna kies je in je groepje een rij of kolom. In die rij of kolom kies jedrie afbeeldingen (maar niet het vraagteken). Bijvoorbeeld drie van de vijfplaatjes uit de tweede rij.

. Van die drie afbeeldingen zoek je informatie op het internet. Die informatieorden je en bewerk je tot een samenvatting zoals beschreven in de inleiding.Schrijf tussen een halve en een bladzijde per afbeelding.

. Daarna zorg je voor een wiskundige afbeelding die het getal op de plaatsvan het vraagteken weergeeft (afbeelding zelf maken of opzoeken). Ookdaarvan maak je een samenvatting (maximaal een bladzijde).

3 Verslag (tijdens de lessen, thuis afwerken) Je verslag bevat:

. van elk van de drie afbeeldingen een samenvatting;

. een afbeelding die het getal op de plaats van het vraagteken weergeeft;

. ook van die afbeelding een samenvatting.

Het verslag voeg je in deze practicum map. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient een practicumbundel met verslagin. Daarnaast dient elk groepslid zijn/haar ingevulde evaulatiekaart in (pagina A-62).

Pr-3

Evaluatieform

ulierPracticum

1D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en6.

On

derz

oeksv

aard

igh

ed

en

3Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

3Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

.d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

3Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

3Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

arg

um

ente

ren

enve

rsla

gu

itb

ren

gen

van

het

pro

ces.

7.

Leerv

aard

igh

ed

en

3Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

3Je

kan

sam

enh

ange

nd

ein

form

atie

verw

erke

n.

3Je

kan

info

rmat

ieb

ron

nen

raad

ple

gen

.

3Je

kan

stu

die

tijd

pla

nn

en.

3Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

stu

ren

.

8.

Refl

ecti

evaard

igh

ed

en

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

aan

pak

van

jew

erk

enje

stu

die

s.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

jele

erp

roce

sen

jein

zet

(lei

den

zeto

th

etb

erei

ken

van

de

doel

stel

lin

g?)

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

ster

keen

de

zwak

keel

emen

ten

ind

eu

itvo

erin

gva

nje

opd

rach

t.

3Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

end

oor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

ord

engeb

ruik

tom

het

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

geza

mel

ijke

aan

pak

enov

erle

gb

ijee

ngr

oep

sop

dra

cht.

Att

itu

des

11.

Kri

tisc

he

zin

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg

3Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

15.

Waard

eri

ng

voor

de

wis

ku

nd

eJe

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

geva

nd

ew

isku

nd

ein

cult

ure

le,

his

tori

sch

een

wet

ensc

hap

pel

ijke

ontw

ikke

lin

gen

.

Pr-

4

PRACTICUM 2

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN (1)


1. Inleiding

G. Polya, How to solve It

In deze snel evoluerende maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan pro-bleemoplossend denken. Willen we je hierin zelfredzaam maken, dan moet de nadrukliggen op het ontwikkelen van vaardigheden die kunnen helpen bij het oplossen vannieuwe problemen. Deze vaardigheden zijn dan ook een essentiele troef in je studie-en beroepsloopbaan.

Probleemoplossend denken is deels opgenomen in het normale lesgebeuren: het wordtbevorderd door vragen stellen, patronen ontdekken, antwoorden zoeken en onder-zoeken, voorbeelden en tegenvoorbeelden opzoeken, vraagstelling vereenvoudigen,voorstellen analyseren, testen en bijsturen, vermoedens analyseren.

Maar dit is niet voldoende. Het is ook noodzakelijk dat je zelf haalbare problementracht op te lossen. Bovendien vindt het leren oplossen van problemen op schoolen daarbuiten ook plaats in een sociale context. Men verwacht dan ook dat je metanderen kan samenwerken.

Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op het volgend

Stappenplan1 voor probleemoplossend denken

Stap 1. Het probleem begrijpen Begrijp je alle woorden die in de opgave staan? Is het duidelijk wat gevraagdwordt te berekenen of te bewijzen? Schrijf in eigen woorden wat het probleem inhoudt. Door het op een anderemanier te verwoorden, zal je het probleem beter begrijpen.

Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen Eerst denk je na welke zoekstrategieen kunnen helpen.Voorbeelden van zo’n strategieen (ook wel heuristieken genoemd) zijn:

3 gegeven en gevraagde wiskundig vertalen,

3 raad en controleer,

3 maak een lijst,

3 zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld,

3 elimineer de mogelijkheden,

3 gebruik analogie of symmetrie,

3 zoek een patroon,

3 maak een tekening,

3 los een eenvoudiger probleem op,

3 gebruik een model,

3 onderzoek bijzondere gevallen,

3 los een vergelijking op,

3 werk omgekeerd,

3 gebruik een formule.

Het is belangrijk om deze strategieen ook te benoemen op het moment dat je er gebruik van maakt. Vervolgensstel je een plan op die je zal volgen bij het oplossen van het probleem. Dit kan door in enkele regels te beschrijvenhoe je straks te werk zal gaan.

Stap 3. Het plan uitvoeren Je moet in staat zijn om - rekening houdend met het probleem en de omstandig-heden - de meest geschikte rekenwijze te kiezen: algebraısch, grafisch, schematisch, . . . . Volhard in je plan. Als hettot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel een nieuw plan op. Achteraf is het belangrijk dat je je uitwerkingvan het probleem op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlot kan lezen.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren Wat vertelt de uitkomst je? Is het zinvol? Kun je jeuitkomst op een of andere manier controleren? Bij een fout herneem je nauwgezet Stap 3.

1Het stappenplan dat we hier vermelden is gebaseerd op pagina’s A-64 en volgende in het baanbrekend boek G. Polya, How to solve It,Princeton University Press (1945).

Pr-5

Modelvoorbeeld

Opgave. Een natuurlijk getal dat uit vier cijfers bestaat, elk gelijk aan 1, 5 of 9, is deelbaar door 37. Als de som vande cijfers 16 is, dan is de som van de laatste twee cijfers gelijk aan

© 2

© 6

© 10

© 12

© 14

Oplossing. We volgen de stappen voor probleemoplossend denken.

Stap 1. Het probleem begrijpen Het probleem gaat over een getal van vier cijfers:

x = a b c d met a, b, c, d ∈ {1, 5, 9}.

Bovendien moet dat getal x deelbaar zijn door 37. En we weten ook dat a+ b+ c+ d = 16. Gevraagd is c+ d.

Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen

3 Zoekstrategieen: gegeven en gevraagde wiskundig vertalen (zie Stap 1), maak een lijst.

3 Plan: We lijsten veelvouden van 37 op en kijken welke getallen voldoen aan de opgave. We kunnen ook demogelijkheden zoeken voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a+ b+ c+ d = 16 en nagaan welke getallen x deelbaarzijn door 37.

Stap 3. Het plan uitvoeren De lijst van alle veelvouden van 37 met vier cijfers is nogal lang (243 mogelijkheden).In plaats daarvan zoeken we eerst de mogelijkheden voor a, b, c, d ∈ {1, 5, 9} waarvoor a+ b+ c+ d = 16.

3 Het cijfer 9 kan hoogstens een keer voorkomen. Want als het meer dan een keer voorkomt, dan is de som van decijfers minstens 18 en dat is teveel.

3 Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet er ook minstens een 5 in voorkomen. Want als er geen 5 is, dan moeten dedrie andere cijfers telkens 1 zijn. Maar dan is de som 12 en dat is te weinig.

3 Als het cijfer 9 voorkomt, dan moet dus ook 5 voorkomen en dan nog twee keer een 1. Dan is de som inderdaad16.

3 Als het cijfer 9 niet voorkomt, dan moet de 5 minstens drie keer voorkomen, aangevuld met een 1.

Onze lijst telt 16 mogelijkheden:a b c d

9 5 1 19 1 5 19 1 1 55 9 1 11 9 5 11 9 1 55 1 9 11 5 9 11 1 9 55 1 1 91 5 1 91 1 5 9

a b c d

5 5 5 15 5 1 55 1 5 51 5 5 5

Nu kunnen we elk van deze getallen delen door 37 en kijken wanneer de rest nul is. Dat kan met de grafischerekenmachine. We vinden dat 1591 deelbaar is door 37. Dus de som van de laatste twee cijfers is 10.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren Het natuurlijk getal 1591 bestaat uit vier cijfers, elk gelijk aan1, 5 of 9. Bovendien is 1591/37 = 43 dus het getal 1591 is deelbaar door 37. Tenslotte is de som van de cijfers gelijkaan 1+5+9+1 = 16. Het getal voldoet dus aan de opgave. De som van de laatste twee cijfers is gelijk aan 9+1 = 10.Het juiste antwoord is dus 10.

Pr-6

Opmerking. De uitwerking van Stap 3 kan ook zonder grafische rekenmachine, bijvoorbeeld als volgt. Een getal isdeelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3. Om een analoog kenmerk van deelbaarheid door 37 tevinden kunnen we als volgt te werk gaan:

x

37=

1000a+ 100b+ 10c+ d

37

=1000

37a+

100

37b+

10

37c+

1

37d

=

(27 +

1

37

)a+

(3− 11

37

)b+

10

37c+

1

37d

= 27a+ 3b+a− 11b+ 10c+ d

37

Wil x deelbaar zijn door 37, dan moet a − 11b + 10c + d deelbaar zijn door 37. Passen we dit toe op bovenstaandelijst, dan verkrijgen we:

a b c d a− 11b+ 10c+ d deelbaar door 37?

9 5 1 1 −35 nee9 1 5 1 49 nee9 1 1 5 13 nee5 9 1 1 −83 nee1 9 5 1 −47 nee1 9 1 5 −83 nee5 1 9 1 85 nee1 5 9 1 37 ja

We vinden dat 1591 deelbaar is door 37.

2. Opdracht


3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Het practicum voer je uit in groepjes van twee.

. In het begin van de les krijg je een bundel met opdrachten (pagina’s A-66 tot en met A-77). De opdrachtenzijn gerangschikt volgens moeilijkheidsgraad: van niveau 1 (voor 1p.) tot niveau 6 (voor 6p.).

. Je kiest een aantal opgaven, in totaal ter waarde van . . . . . . punten (vul aan). Je mag maximum tweeopgaven van een zelfde niveau kiezen.

. Tijdens de les start je met het oplossen van je gekozen opgaven. Volg daarbij de stappen uit het stappenplanvoor probleemoplossend denken in de inleiding.

Op het einde van de les moet vastliggen welke opgaven je in je groepje gekozen hebt.

3 Verslag (tijdens de lessen, thuis afwerken) Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elke opgave startop een nieuw cursusblad, met de volgende structuur:

. Opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad kleven.

. Stap 1. Het probleem begrijpen.

. Stap 2. Zoekstrategien en een plan opstellen.

. Stap 3. Het plan uitvoeren.

. Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren.

Bij multiple choice vink je ook het juiste bolletje aan. Nummer elke bladzijde onderaan in het midden. Hetverslag voeg je in deze practicum map. De opgaven die je niet behandeld hebt bewaar je thuis.

Een goed idee is om de taken te verdelen: spreek tijdens de lessen af wie welke opgaven zal oplossen en/ofuitschrijven. Toch blijf je als verantwoordelijk voor wat de anderen geschreven hebben, wnt ook jouw naamstaat op het verslag als geheel. Lees daarom de oplossingen van de anderen na en speel je feedback tijdig door.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient een practicumbundel met verslagin.

Pr-7

Evaluatieform

ulierPracticum

2D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid

3B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

3Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid

3G

rafi

eken

envo

orst

elli

nge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

3Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lin

gsve

rmog

en.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

iddel

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

ach

ine

ofee

nco

mp

ute

rrek

enp

akke

tge

past

insc

hakel

enom

een

figu

ur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

lin

gen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enh

ebt.

5.Pro

bleemoplossendevaard

igheden

3Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enh

etw

isku

nd

igb

ehoor

lijk

stel

len

.

3Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(on

der

sch

eid

mak

entu

ssen

gege

ven

enge

vra

agd

e,ve

rban

den

leggen

tuss

end

egeg

even

s,et

c.).

3Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

enn

aar

een

pas

sen

dw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emat

iser

en).

3Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daar

bij

een

pla

nop

stel

len

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

opd

eke

uze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jep

lan

.

3Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hu

nb

etro

uw

baa

rhei

den

voll

edig

hei

d.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

geb

ruik

enom

wis

ku

nd

ige

info

rmat

iete

ver

wer

ken

enw

isku

nd

ige

pro

ble

men

teon

der

zoek

en.

Att

itu

des

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e

3Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

10.Zin

voorkwaliteit

van

dewiskundigere

pre

senta

tie

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

13.Zelfre

gulatie

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gsp

roce

ste

orie

nte

ren

,h

etp

roce

ste

pla

nn

en,

het

uit

tevo

eren

enh

ette

bew

ake

n.

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg

3Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Pr-

8

PRACTICUM 3



1. InleidingIn Practicum 2: Probleemoplossend denken (1) heb je kennis gemaakt met de kunstvan het oplossen van problemen. Hierbij kreeg je het advies om te werken volgens eenstappenplan (zie ook hieronder). In dit Practicum ga je nadenken over problemen diewat complexer zijn. Deze opdracht voer je dan ook uit in groepjes van drie, want jezal merken dat je elkaars hulp en inzet nodig hebt om de taak succesvol te volbrengen.Om efficient te werken, worden de volgende rollen verdeeld:

3 Schrijver Als de groep een idee of antwoord geeft, vraag dan of iedereenhet eens is. Deze persoon schrijft de redenering van de groep op. Dat zalhoofdzakelijk in het klad zijn. In de tweede les worden de antwoorden goed leesbaar opgeschreven. Uiteraardhelpen de anderen hierbij.

3 Tijdbewaker Wanneer de groep erg lang bij een vraag blijft hangen, waarschuw je, bijvoorbeeld door tezeggen: “we moeten aan de volgende vraag beginnen, anders krijgen we het niet af”. Af en toe vertel je de groephoeveel tijd er nog over is.

3 Aanmoediger/leider Moedigt aan, bijvoorbeeld als de groep vast zit bij een probleem: “heeft iemand eenidee?”. Je toont ook initiatief bijvoorbeeld met: “deze strategie lijkt te kunnen werken, laten we die uitproberen”of “deze redenering leidt niet meteen tot iets, laten we iets anders proberen”.

Daarnaast blijft iedereen wel mee verantwoordelijk. De leerkracht kan ieder groepslid aanspreken op zijn of haarbijdrage aan het groepswerk. Dit om te voorkomen dat iemand meelift: een groepslid laat de rest van de groep hetwerk opknappen. Pas wanneer alle groepsleden hun rol naar behoren vervullen kan de groepstaak succesvol wordenuitgevoerd.

Stappenplan voor probleemoplossend denken

Stap 1. Het probleem begrijpen. Schrijf in je eigen woorden op wat het probleem inhoudt. Door het op anderemanieren te verwoorden zal je het probleem beter begrijpen.

Stap 2. Zoekstrategieen en een plan opstellen Eerst denk je na welke zoekstrategieen kunnen helpen.Voorbeelden zijn:

3 gegeven en gevraagde wiskundig vertalen,

3 raad en controleer,

3 maak een lijst,

3 zoek een voorbeeld of een tegenvoorbeeld,

3 elimineer de mogelijkheden,

3 gebruik analogie of symmetrie,

3 zoek een patroon,

3 maak een tekening,

3 los een eenvoudiger probleem op,

3 gebruik een model,

3 onderzoek bijzondere gevallen,

3 los een vergelijking op,

3 werk omgekeerd,

3 gebruik een formule.

Vervolgens stel je een plan op die je zal volgen om het probleem op te lossen.

Stap 3. Het plan uitvoeren Volhard in je plan. Als het tot niets leidt, ga dan terug naar Stap 2 en stel eennieuw plan op.

Stap 4. Uitkomst interpreteren en controleren Kun je je uitkomst op een of andere manier controleren?

Pr-9

Modelvoorbeeld

Opgave. Als r en s de wortels zijn van 3x2 − 16x+ 12 = 0, bepaal dan 2log r + 2log s.

Oplossing. Ons idee is om eerst de waarden r en s te vinden en daarna 2log r + 2log s te berekenen.

3x2 − 16x+ 12 = 0 ⇔ x =−(−16)±

√162 − 4 · 3 · 12

6

⇔ x =16±

√112

6

⇔ x =16± 4

√7

6

zodat we mogen stellen dat r =8 + 2

√7

3en s =

8− 2√

7

3. Invullen geeft alvast

2log r + 2log s = 2log

(8 + 2

√7

3

)+ 2log

(8− 2

√7

3

)

We zien niet in hoe we beide logaritmen afzonderlijk moeten berekeken. Maar met behulp van een rekenregel vanlogaritmen kunnen we beide termen wel samenvoegen tot een logaritme: steunend op de rekenregel

2log� + 2log4 = 2log (� · 4)

verkrijgen we

2log r + 2log s = 2log

(8 + 2

√7

3

)+ 2log

(8− 2

√7

3

)

= 2log

(8 + 2

√7

3· 8− 2

√7

3

)

= 2log64− 4 · 7

9

= 2log 4

= 2

Opmerking. Achteraf gezien was het niet nodig om de waarden r en s eerst afzonderlijk te vinden. Want wegens2log r + 2log s = 2log (r · s) hebben we enkel het product r · s nodig. En het product van de wortels van eenkwadratische vergelijking ax2 + bx + c = 0 wordt gegeven door de formule c/a. Op die manier krijgen we volgendealternatieve - en meer elegante - oplossing:

2log r + 2log s = 2log (r · s)

het product van de wortels van 3x2 − 16x+ 12 = 0 is gelijk aan 12/3 = 4

= 2log 4

= 2

2. Opdracht


3 Practicum (. . . lessen) Het practicum voer je uit in groepjes van drie.

. Leg vast wie de rol van schrijver, tijdbewaker en aanmoediger/leider op zich neemt.

. Op de volgende pagina vind je een tiental problemen. De leerkracht beslist welke problemen jullie krijgen.De bedoeling is om elk probleem algebraısch op te lossen en jullie redenering zo goed mogelijk op te schrijven.Dat betekent dat iemand die het probleem niet opgelost heeft in staat moet zijn om jullie redenering tevolgen.

3 Verslag Je verslag bevat een aantal cursusbladen. Elk probleem start op een nieuw cursusblad, te beginnenmet de nummer van het probleem.

3 Practicum indienen Indenen op het einde van de laatste les. Elke groep dient een practicumbundel metverslag in.

Pr-10

Tien problemen - Opgave

Probleem 1.

(a) Stel f(x) = 3x3 − 4x2 + ax− 11 een reele veelterm zodat f(1) = 2. Bepaal de waarde van a.

(b) Stel (3x− 1)7 = a7x7 + a6x

6 + . . .+ a0 voor zekere a0, a1, . . . , a7 ∈ R. Bepaal a7 + a6 + . . .+ a1 + a0.

Probleem 2. Er is precies een veeltermA(x) van de vormA(x) = 7x7+a6x6+a5x

5+. . .+a1x+a0 met a0, a1, a2, . . . , a6 ∈R waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).

Probleem 3. Een keuken moet geverfd worden. Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze 7 uren meer nodig danwanneer Henk alleen werkt (Henk is een professionele schilder). Verven ze beiden samen, dan klaren ze de klus in 12uren. Hoe lang doet Henk er over als hij alleen schildert?

Probleem 4. Stel f(x) =5x2 − 4x+ 8

x2 + 1.

(a) Voor welke reele waarden van k bestaat er een reeel getal x waarvoor f(x) = k?

(b) Bepaal het bereik van de functie f .

Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking 3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 =3√

2.

Probleem 6. Stel f(x) = x+√x en g(x) = x+1/4. Bepaal de exacte, vereenvoudigde waarde van g(f(g(f(g(f(7)))))).

Aanwijzing. Noem h = g ◦ f en schrijf h(x) als het kwadraat van een tweeterm.

Probleem 7. De vergelijking 2x2

= 323x+8 heeft twee reele oplossingen. Bepaal algebraısch hun product.

nieren in digitaal ontwerp

Probleem 8. De nieren hebben als taak de samenstelling van het bloed constant tehouden. Daarbij verwijderen ze opgeloste ongewenste stoffen, zoals afvalstoffen vande stofwisseling en via het voedsel opgenomen vergiften en geneesmiddelen. Nierenelimineren een zekere hoeveelheid overblijvende ongewenste stoffen per tijdseenheid.

Cafeıne is een opwekkende stof die ook stimulerend werkt op het zenuwstelsel, dehartslag en de ademhaling. Wat je merkt is dat het je wakkerder maakt of dathet je gevoel van vermoeidheid verdrijft. Een grote dosis cafeıne kan giftig zijn.Gemiddeld verwijderen de nieren van een persoon per uur 13% van de in het lichaamoverblijvende cafeıne. Is de overblijvende dosis cafeıne groter dan 20mg, dan werkthet stimulerend.

We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikjecola drinkt en je het derde en laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjesopnam niet langer stimulerend werken? Algebraısch oplossen en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.

Probleem 9. Los algebraısch de volgende exponentiele vergelijking op:

8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0

Probleem 10. Bepaal algebraısch het grootste reeel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking

(210 log (x2b)

)2= 210 log x4

allen gehele getallen zijn.

Pr-11

Evaluatieform

ulierPracticum

3D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid

3B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

3Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden

3Je

kan

het

ond

ersc

hei

dm

aken

tuss

enh

oof

d-

enb

ijza

ken,

gege

ven

enge

vra

agd

e,ge

geve

nen

teb

ewij

zen

.

3Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eigen

sch

apte

beg

rijp

en.

3Je

kan

een

gege

ven

red

ener

ing

oph

aar

geld

igh

eid

ond

erzo

eken

.

3Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofd

eop

loss

ing

van

een

pro

ble

emop

bouw

en:

.je

kan

een

ver

moed

enfo

rmu

lere

nen

argu

men

tere

n;

.je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opb

asis

van

een

ond

erzo

ekop

een

aanta

lvo

orb

eeld

en;

.je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

geb

ruik

en.

5.Pro


igheden

3Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enh

etw

isku

nd

igb

ehoor

lijk

stel

len

.

3Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(on

der

sch

eid

mak

entu

ssen

gege

ven

enge

vra

agd

e,ve

rban

den

leggen

tuss

end

egeg

even

s,et

c.).

3Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

enn

aar

een

pas

sen

dw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emat

iser

en).

3Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daar

bij

een

pla

nop

stel

len

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

opd

eke

uze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jep

lan

.

3Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hu

nb

etro

uw

baa

rhei

den

voll

edig

hei

d.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

geb

ruik

enom

wis

ku

nd

ige

info

rmat

iete

ver

wer

ken

enw

isku

nd

ige

pro

ble

men

teon

der

zoek

en.

Att

itu

des

11.Kritischezin

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

13.Zelfre

gulatie

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gsp

roce

ste

orie

nte

ren

,h

etp

roce

ste

pla

nn

en,

het

uit

tevo

eren

enh

ette

bew

ake

n.

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg

3Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Pr-

12

PRACTICUM 4

TOEPASSINGEN IN GROEP VERWERKEN


1. Inleiding

Heel wat problemen uit de maatschappelijke leefwereld kunnen aangepakt worden met wiskunde. Het oplossen vanzo’n problemen valt onder de noemer toepassingen. Het proces waarbij men met wiskunde naar oplossingen zoekt,kan uitgevoerd worden aan de hand van het stappenplan voor probleemoplossend denken die we in Practicum 2 be-sproken hebben.

Wat het oplossen van een probleem als toepassing specifiek maakt, is de keuze van de zoekstrategie in Stap 2. Bij eentoepassing komt het er doorgaans op neer om in de opgave een wiskundig begrip te herkennen: een rechthoekigedriehoek, een functie, een matrix, etc. Het oplossen van het oorspronkelijk probleem als toepassing vertaalt zich danin het uitvoeren van bewerkingen met die begrippen. Men verwijst naar deze zoekstrategie als mathematiseren ofmodelleren. Zo kan het oplossen van een toepassing zien als een bijzonder geval1 van probleemoplossend denken uitPracticum 1 en Practicum 2:

Let op de terugkerende pijl!

Stap 1. Exploreren Het probleem begrijpen door het op een andere manier teverwoorden.

Stap 2. Mathematiseren Herkennen van een wiskundig begrip en inzien dat hetgevraagde kan vertaald worden naar een model: een bewerking, een vergelijking,een stelsel vergelijkingen, een extremumprobleem, een matrixvermenigvuldiging, eenrechthoekige of een willekeurige driehoek, etc.

Stap 3. Berekenen Als het wiskundig model opgebouwd is, probeer je dit viarekentechnieken op te lossen.

Stap 4. Controleren Interpretatie van het resultaat, waarbij je rekening houdtmet de context van het probleem.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (2 lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van vier.

Les 1 Toepassing 1 op pagina A-90 en volgende verwerken.

1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden. Doe dat in groep: overleg wat eringevuld moet worden, deel je inzichten met de anderen.

2. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie: paginaA-98 en volgende. Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten stip je aan in het rood. Zorg dat iedereenin de groep nu elke (verbeterde) stap begrijpt.

3. Maak nadien Oefening 1 op pagina A-106 (staat ook op de volgende pagina).

Les 2 Toepassing 2 op pagina A-94 en volgende verwerken, analoog als in les 1.

1. Hier en daar moet je iets aanvullen of een vraag beantwoorden.

2. Vergelijk met de ingevulde versie pagina A-102 en volgende.

3. Maak nadien Oefening 2, 3 of 4 op pagina A-106 (beslist door tossen, staan ook op de volgende pagina’s).

3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat een exemplaar van jullie ingevulde pagina’s A-90 tot en metA-97 en de twee gemaakte oefeningen op een cursusblad. Opgave overschrijven hoeft niet.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . (datum invullen). Elke groep dient een practicumbundel met verslag in.

1Inspiratie en schema werd ontleend aan G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, CahiersT3 Europe Vlaanderen nr.9 (2006).

Pr-13

Oefeningen - Opgave

Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een klein eilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjesvaart op regelmatige tijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op onderstaande graaf.

(a) Bepaal de directe-wegenmatrix van de totale graaf.

(b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van E naar C met een tussenstop op een willekeurigeiland.

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops op een willekeurigeiland.

?(d) Is het mogelijk om via ten hoogste een tussenstop van om het even welk eiland naar om het even welk eiland tegaan? Los op met behulp van matrices.

A

B

C

D

E

Pr-14

Oefening 2. Een fokker wenst de invloed te kennen van de jaarlijkse verkoop van (volwassen) dieren op de kudde.Na een jaar is elk jong dier volwassen. Het aantal dieren dat geboren wordt is 50% van de volwassen dieren van hetjaar voordien en 20% van de jonge dieren sterven het jaar nadien. Er sterven ook 20% van de volwassen dieren hetjaar nadien en 60% van de volwassen dieren worden het jaar nadien verkocht. Onderstel dat er aanvankelijk 70 jongedieren zijn en 30 volwassen dieren.

(a) Stel de evolutie van de dieren voor met een graaf.

(b) Bereken met behulp van matrices het aantal jonge en volwassen dieren na 4 jaar.

(c) Naar welke waarde evolueert het aantal jonge en volwassen dieren?

Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen 2 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van demarkt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgendewijzigingen voor:

. Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.

. Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.

. Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.

We nemen aan dat deze wijziging zich elk jaar opnieuw voordoet.

(a) Stel de evolutie van de markt voor met een graaf.

(b) Bereikt de markt een evenwicht naarmate de jaren verstrijken? Los op met behulp van matrices.

Oefening 4. De groei van een populatie vissen wordt vaak gekenmerkt door hoge vruchtbaarheidscijfers en door eenlage overlevingskans voor pasgeboren exemplaren. Een populatie vissen voldoet aan het Leslie-model, de volgendegegevens zijn bekend:

. slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar,

. eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven,

. geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar,

. alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes.

(a) Stel de overgang van de levensfases voor met een graaf.

(b) Stel de Leslie-matrix op.

(c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100 000 eitjes. Hij laat zijnvangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

2Enige gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.

Pr-15

Evaluatieform

ulierPracticum

4D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid

3B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

3Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

3.W

iskundigeta

alvaard

igheid

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eva

kta

alva

nd

ew

isku

nd

e:

.je

ken

td

eb

etek

enis

van

typ

isch

eva

kte

rmen

enge

bru

ikt

dez

evo

ldoen

de

corr

ect

(fu

nct

ie,

stel

sel,

etc.

);.

jeke

nt

de

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logi

sch

eke

rnw

oor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en

,of,

daaru

itvolg

t,vo

or

all

e,et

c.);

.je

ben

tin

staa

tom

een

omsc

hri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waard

ete

sym

boli

sere

n;

.je

han

teer

td

evis

uel

evo

orst

elli

nge

nw

aar

de

wis

ku

nd

ege

bru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eb

esch

rijv

end

eta

alw

aari

nov

erh

etw

isku

nd

igh

an

del

enge

spro

ken

word

t(d

efin

itie

,ei

gen

sch

ap

,ve

rkla

ar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

3Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

isku

nd

ige

beg

rip

pen

her

ken

nen

enve

rtal

ennaa

rw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emati

sere

n).

3Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afi

ek,

dia

gra

m).

3Je

ben

tle

esva

ard

igbij

het

leze

nva

nd

ete

kst

van

opga

ven

,p

rob

lem

enen

vra

agst

ukke

n.

4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden

3Je

kan

het

ond

ersc

hei

dm

aken

tuss

enh

oof

d-

enb

ijza

ken,

gege

ven

enge

vra

agd

e,ge

geve

nen

teb

ewij

zen

.

3Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eigen

sch

apte

beg

rijp

en.

3Je

kan

een

gege

ven

red

ener

ing

oph

aar

geld

igh

eid

ond

erzo

eken

.

3Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofd

eop

loss

ing

van

een

pro

ble

emop

bouw

en:

.je

kan

een

ver

moed

enfo

rmu

lere

nen

argu

men

tere

n;

.je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opb

asis

van

een

ond

erzo

ekop

een

aanta

lvo

orb

eeld

en;

.je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

geb

ruik

en.

Att

itu

des

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e

3Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

11.Kritischezin

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg

3Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Pr-

16

PRACTICUM 5

HOE STUDEER JE EEN BEWIJS?


1. Inleiding

Het studeren van een wiskundig bewijs - en algemener, het studeren van theorie wiskunde - verloopt in vijf stappen:

Stap 1. Begrijp elke overgang

Stap 2. Begrijp het geheel

Stap 3. Test jezelf

Stap 4. Controleer

Stap 5. Herhaal

We lichten deze stappen toe aan de hand van een bewijs die je in het derde jaar gestudeerd hebt.

Voorbeeld

Stelling. Het getal√

2 is een irrationaal getal.

Bewijs. Er zijn twee mogelijkheden: ofwel is√

2 een irrationaal getal, ofwel is het geen irrationaal getal.

Mocht√

2 geen irrationaal getal zijn, dan is

√2 =

a

bvoor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0 (1)

Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben.Nemen we in (1) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we

2 =a2

b2⇒ 2b2 = a2

Omdat het linkerlid deelbaar is door 2, is ook het rechterlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van a2.Dus 2 is een deler van a. Dus a = 2k voor een zekere k ∈ Z.

Vervangen we a = 2k in (1) dan verkrijgen we

√2 =

2k

b(2)

Nemen we in (2) het kwadraat van beide leden dan verkrijgen we

2 =4k2

b2⇒ b2 = 2k2

Omdat het rechterlid deelbaar is door 2, is ook het linkerlid deelbaar door 2. Dus 2 is een deler van b2.Dus 2 is een deler van b.

Maar nu is 2 een deler van a en 2 is een deler van b, terwijl we ervoor hadden gezorgd dat a en b geendeler gemeen hebben. Een strijdigheid: het is dus niet waar dat

√2 geen irrationaal getal is.

We besluiten dat√

2 een irrationaal getal is.

Pr-17

Stap 1. Begrijp elke overgang

Je begint met het bewijs regel per regel door te nemen. Zorg dat het duidelijk is hoe je van de ene regel naar deandere gaat (een berekening, steunen op een eerder geziene eigenschap, etc.).

Het doel van een les wiskunde is dat je tijdens de les alle overgangen begrijpt. Stap 1 dient dus om na te gaan of datnu nog steeds zo is.

Wellicht is het geheel van het bewijs nog niet duidelijk, maar dat komt pas in Stap 2.

Voorbeeld.

Mocht√

2 geen irrationaal getal zijn, dan is

√2 =

a

bvoor zekere a, b ∈ Z met b 6= 0 (1)

Waarom? Als een getal niet irrationaal is, dan is het rationaal (breuk).Waarom is b 6= 0? Delen door 0 mag niet.

Bovendien kunnen we er voor zorgen dat a en b geen deler gemeen hebben.

Waarom? Mochten a en b toch een deler gemeen hebben, dan kun je die breuka

bvereenvoudigen.

Etc.

Stap 2. Begrijp het geheel

Om het geheel te begrijpen, ga je na:

3 Wat moeten we eigenlijk bewijzen (opgave)?

3 Toont de redering van het bewijs nu wel de opgave aan?

3 Is er een truc in het bewijs?

Voorbeeld.

3 We moeten aantonen dat√

2 irrationaal is. M.a.w. we moeten aantonen dat√

2 geen breuk is.

3 In het bewijs doen we alsof√

2 wel een breuk is. Maar dan loopt er blijkbaar iets fout. Dus op heteinde van het verhaal zullen we bewezen hebben dat

√2 toch geen breuk is.

3 Door te doen alsof√

2 een breuk is, kunnen we het schrijven alsa

b. De truc is om die gelijkheid

√2 =

a

bte kwadrateren. En dan later nog eens toe te passen eens we a geschreven hebben als 2k.

Tracht daarna het bewijs in twee of drie regels samen te vatten. Door die regels te onthouden, zul je het bewijs laterkunnen reconstrueren.Voorbeeld.

1. Doen alsof√

2 een breuk is:√

2 =a

b

2. Kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van a, dus a = 2k.

3. Vervangen, opnieuw kwadraat nemen levert dat 2 een deler is van b.

Stap 3. Test jezelf

Leg je cursus of boek weg en neem een leeg cursusblad. Je schrijft op wat je gaat bewijzen (opgave) en probeert hetbewijs nu helemaal zelf op te schrijven. Als je vast komt te zitten, geef het niet onmiddellijk op door terug in je cursuste kijken. In plaats daarvan denk je even na:

3 Kan ik een regel open laten en het verder verloop van het bewijs toch opschrijven? Denk aan je samenvattingin Stap 2.

3 Is er een truc in het bewijs die ik vergeten ben?

3 Weet ik nog wat ik wil bewijzen?

Kijk pas terug in je cursus als je het echt niet meer weet. Maar beperk je dan niet tot het lezen van die ene regel dieje vergeten bent: ga ook eens na waarom je die regel vergeten bent. Daarna neem je een leeg cursusblad en begin jeopnieuw het bewijs op te schrijven.

Pr-18

Stap 4. Controleer

Als je denkt dat je klaar bent, neem dan je cursus en vergelijk jouw bewijs met dat in de cursus. Wees streng op jezelfen ga nauwkeurig na of je bewijs nu ook correct is:

3 Heb ik de opgave juist?

3 Heb ik elke tussenstap opgeschreven? Minstens evenveel zoals in de cursus?

3 Heb ik de eventuele tekeningen of schetsen nauwkeurig gemaakt en alles aangeduid?

Als je iets vergeten bent, of iets fout geschreven hebt, dan duid je de fout op je cursusblad aan met een fluoriserendestift. Houd je cursusblad bij (zie Stap 5).

Stap 5. Herhaal

Op het einde van de dag test je jezelf opnieuw (Stap 3), met controle (Stap 4). Bij die controle vergelijk je ook metde fouten die je op je eerste cursusblad hebt gemaakt.De kracht van de herhaling kan nauwelijks onderschat worden. Daags nadien test je jezelf nog een derde keer. Je zalervan versteld staan dat je zelfs dagen later het bewijs nog kan opschrijven.

Tip. Om het jezelf gemakkelijk te maken kun je steekkaarten maken. Op elke steekkaart schrijf je de vraag op zoalsde stelling (of een definitie, etc.) gevraagd kan worden op een toets of examen. Telkens je het bewijs herhaalt, neemje die steekkaart en lees je de opgave. Je schrijft je antwoord uiteraard niet op die steekkaart, zodat die later nogbruikbaar is. Op het einde van elk hoofdstuk (en dus ook bij de voorbereiding van je examens) heb je dan een aantalsteekkaarten waaruit je de theorie kan studeren.

Voorbeeld.

Vul de volgende stelling aan (schrappen wat niet past) en bewijs:

Het getal√

2 is wel/niet een irrationaal getal.

Bewijs....

2. Opdracht


3 Practicum (1/2 les) Dit practicum voer je individueel uit.

1. Tijdens de les studeer je het bewijs op pagina A-112 (vijfde jaar) of A-113 (zesde jaar) op de manier zoalsbeschreven in de inleiding (Stappen 1-4 uitvoeren).

2. In de les krijg je ook een blanco steekkaart. Die steekkaart maakt je klaar zoals beschreven in Stap 5. Diesteekkaart kan je later gebruiken om het bewijs te herhalen (Stap 5).

3. Na deze vijf stappen reflecteer je even over jouw studiemethode bij het studeren van theorie. Beschrijf inenkele regels:

. Hoe pak je het studeren van theorie meestal aan?

. Heeft die aanpak in het verleden tot gewenste resultaten geleid?

. Denk je met de methode uit dit practicum je theorie efficient(er) te kunnen studeren?

3 Verslag Je verslag bestaat uit het cursusblad die je in Stap 3 gemaakt hebt. Vergeet je eventuele foutenniet aan te duiden met een fluorescerende stift. Op dat blad heb je ook de reflectie van jouw studiemethodegeschreven. Je voegt het cursusblad samen met je steekkaart in deze practicumbundel.

3 Practicum indienen Op het einde van de les.

Pr-19

Evaluatieform

ulierPracticum

5D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Vaa

rdig

hed

en3.

Wis

ku

nd

ige

taalv

aard

igh

eid

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eva

kta

alva

nd

ew

isku

nd

e:

.je

ken

td

eb

etek

enis

van

typ

isch

eva

kte

rmen

enge

bru

ikt

dez

evo

ldoen

de

corr

ect

(fu

nct

ie,

stel

sel,

etc.

);.

jeke

nt

de

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logi

sch

eke

rnw

oor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en

,of,

daaru

itvolg

t,vo

or

all

e,et

c.);

.je

ben

tin

staa

tom

een

omsc

hri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waard

ete

sym

boli

sere

n;

.je

han

teer

td

evis

uel

evo

orst

elli

nge

nw

aar

de

wis

ku

nd

ege

bru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eb

esch

rijv

end

eta

alw

aari

nov

erh

etw

isku

nd

igh

an

del

enge

spro

ken

word

t(d

efin

itie

,ei

gen

sch

ap

,ve

rkla

ar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

3Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

isku

nd

ige

beg

rip

pen

her

ken

nen

enve

rtal

ennaa

rw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emati

sere

n).

3Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afi

ek,

dia

gra

m).

3Je

ben

tle

esva

ard

igbij

het

leze

nva

nd

ete

kst

van

opga

ven

,p

rob

lem

enen

vra

agst

ukke

n.

7.

Leerv

aard

igh

ed

en

3Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

3Je

kan

sam

enh

ange

nd

ein

form

atie

verw

erke

n.

3Je

kan

info

rmat

ieb

ron

nen

raad

ple

gen

.

3Je

kan

stu

die

tijd

pla

nn

en.

3Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

stu

ren

.

8.

Refl

ecti

evaard

igh

ed

en

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

aan

pak

van

jew

erk

enje

stu

die

s.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

jele

erp

roce

sen

jein

zet

(lei

den

zeto

th

etb

erei

ken

van

de

doel

stel

lin

g?)

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

ster

keen

de

zwak

keel

emen

ten

ind

eu

itvo

erin

gva

nje

opd

rach

t.

3Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

end

oor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

ord

engeb

ruik

tom

het

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

geza

mel

ijke

aan

pak

enov

erle

gb

ijee

ngr

oep

sop

dra

cht.

Att

itu

des

9.

Zin

voor

nauw

keu

righ

eid

en

ord

e

3Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

11.

Kri

tisc

he

zin

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

12.

Zelf

vert

rouw

en

en

zelf

stan

dig

heid

3Je

toon

tze

lfver

trou

wen

,ze

lfst

and

igh

eid

,d

oor

zett

ings

ver

mog

enen

doel

mat

igh

eid

bij

het

aan

pakke

nva

np

rob

lem

enen

op

dra

chte

n.

3Je

ziet

ind

atfo

ute

nm

aken

inh

eren

td

eel

uit

mak

enva

nh

etle

erp

roce

s.

Pr-

20

PRACTICUM 6

SAMENWERKEN


1. Inleiding1

In onze maatschappij hecht men bijzonder veel belang aan samenwerking. Datbelang wordt in bedrijven en overheidsinstanties erg benadrukt. Immers, een goedesamenwerking van personeelsleden impliceert een grotere rentabiliteit en betereresultaten. Dat men bij het aanwerven van nieuwe personeelsleden hierop zalinspelen spreekt voor zich. De kans is dan ook erg groot dat je bij een toekomstigesollicitatie of proefcontract zal getest worden hoe vaardig je bent in het samenwerkenmet de anderen.

Concreet deelt men de competentie samenwerken in vier niveaus op. Die zijn cumu-latief gerangschikt, wat wil zeggen dat iemand pas een hoger niveau kan bereiken alshij/zij ook de lagere niveau’s beheerst.

Niveaus van samenwerking

Niveau 1. Je werkt mee en informeert de anderen:

3 je houdt rekening met de mening van anderen;

3 je behandelt de anderen met respect;

3 je geeft informatie en kennis door die voor anderen nuttig of belangrijk kan zijn;

3 je aanvaardt groepsbeslissingen.

Niveau 2. Je helpt anderen en pleegt overleg:

3 je steunt de voorstellen van anderen en bouwt daarop voort om tot een gezamenlijk resultaat te komen;

3 je houdt rekening met de gevoeligheden en met de verscheidenheid van mensen;

3 je biedt hulp aan bij problemen, ook al valt de taak niet onder de eigen opdracht;

3 je vraagt spontaan en proactief de mening van anderen.

Niveau 3. Je stimuleert de samenwerking binnen de eigen entiteit, werkgroepen of projectgroepen:

3 je komt met ideeen om het gezamenlijk resultaat te verbeteren;

3 je moedigt anderen aan om onderling te overleggen over zaken die het eigen werk overstijgen;

3 je betrekt anderen bij het nemen van beslissingen die op hen een impact hebben;

3 je bevordert de goede verstandhouding, de teamgeest en het respect voor verscheidenheid van mensen;

3 je geeft opbouwende kritiek en feedback.

Niveau 4. Je creeert gedragen samenwerkingsverbanden met en tussen andere groepsleden:

3 je creeert structuren om de samenwerking met andere groepsleden te verbeteren;

3 je neemt informele initiatieven om de samenwerking met en tussen andere groepsleden te verstevigen;

3 je draagt samenwerking uit als belangrijke waarde en spreekt anderen daarop aan;

3 je werkt actief aan het scheppen van een goede vertrouwensband met andere groepsleden.

1Inspiratie werd gehaald uit de website van de Vlaamse Overheid Agentschap voor Overheidspersoneelhttp://www2.vlaanderen.be/personeelsopleiding/ .

Pr-21

http://www2.vlaanderen.be/personeelsopleiding/

Ook in je verdere studieloopbaan kan samenwerken een grote rol spelen. Niet zelden krijg je bij hogere studies temaken met het maken van projecten in groep. Het vaardig zijn in samenwerken kan hier een grote troef betekenenom zowel sneller als beter te presteren in groep. Daarom bieden we je nu al af en toe activiteiten in groep aan om jebeter te kunnen voorbereiden op het functioneren in de maatschappij.

Concreet kennen we in de klas drie graden van samenwerking.

Graden van samenwerking in de klas

Graad 1. De leerkracht bepaalt het doel, de (meeste) activiteiten en (bijna) de hele evaluatie. Dit is wat menmeestal onder samenwerken in klas begrijpt.

Graad 2. De groep krijgt meer verantwoordelijkheid: de structuren verdwijnen want de groep bepaalt zelfsteeds meer de manier waarop samengewerkt wordt. In dat geval spreken we over samen leren. Deze structuuracht men meer complex dan samen werken, omdat ze een zelfstandigere houding van de leerlingen vereisen ende docent meer terugtreedt.

Graad 3. Er is sprake van totale sturing vanuit de leerlingen. Deze graad noemt men samen reguleren.

Naast het verwerken van toepassingen in groep uit Practicum 4 is dit practicum gericht op samenwerken, in groepenvan twee of drie. Het beoogde doel is welomlijnd (zie opdracht). Toch is er nu al een zekere vorm van:

3 Positieve wederzijdse afhankelijkheid Je werkt aan een gezamelijk doel en daarbij is de bijdrage van iedergroepslid van belang.

3 Individuele aanspreekbaarheid Ieder groepslid is aanspreekbaar op zijn/haar bijdrage aan het groepspro-duct. Het kan dus niet zo zijn dat een groepslid al het werk doet.

3 Directe interactie Je praat met elkaar over de leerstof. Dus er moet ook echt gepraat worden. Het is dus nietde bedoeling dat je individueel de opdracht uitvoert en achteraf controleert of de andere groepsleden hetzelfderesultaat bereikt hebben.

3 Sociale vaardigheden Dit betekent dat er aandacht is voor het functioneren in een groep en niet alleenproductgericht maar vooral procesgericht: wat verliep goed en wat kunnen we de volgende keer anders doen?

2. Opdracht


Toepassing 1 op pagina A-116 verwerken. Hier en daar moet je een vraag beantwoorden.

3 Practicum (2 lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van twee of drie.

1. In groep de antwoorden op pagina A-118 vergelijken. Waak er over dat iedereen in de groep de toepassingop die pagina volledig begrijpt.

2. In groep maak je de twee modelvoorbeelden op pagina A-117. Neem actief deel in het groepsgesprek.

3. Als jullie klaar zijn, dan geef je een teken aan de leerkracht. Jullie krijgen een ingevulde versie paginaA-119. Vergelijk deze met jullie oplossing, fouten of extra uitleg schrijf je in het rood.

4. Daarna maak je in groep de oefeningen 1, 2 en 3 op pagina A-120 (staan ook op de volgende pagina). Mochtje klaar zijn tijdens de lessen, dan maak je ook Oefening 4.

5. Tot slot reflecteer je over de groepsopdracht (zie volgende pagina).

3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat

. een exemplaar van jullie ingevulde pagina’s A-116 en A-117 en

. een exemplaar van de drie gemaakte oefeningen op een cursusblad. Een oefening per pagina. Opgaveoverschrijven hoeft niet.

Elk groepslid dient zijn practicum bundel in (met ingevulde reflectie). Het verslag steekt in een bundel van eengroepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Pr-22

Oefeningen - Opgave

Calpe Costa Blanca,Spanje

Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboektdoor Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanderszijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten omde voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen alsNederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in hethotel?

Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de somvan de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd danbekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.

Oefening 3. In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C geassembleerd. Er zijn 52 werkurennodig voor de assemblage van model A, 78 werkuren voor model B en 94 voor model C. De 260 arbeiders werken elk32 uur per week. De marketingspecialisten voorspellen dat de vraag naar model A dubbel zo groot zal zijn als devraag naar model B en dat de vraag naar model C gelijk zal zijn aan 10% van de productie. Hoeveel wagens van elkmodel zal men per week moeten produceren als men rekening houdt met de marketingprognoses?

?Oefening 4 (het probleem van Bachet 2). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Een van hen verdubbeltmet een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijncenten het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van deandere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?

Reflectie

Deze reflectie is individueel, dus elk voor zich.

Eigen inzet

Beschrijf in enkele regels je eigen inzet tijdens de groepsopdracht. Geef jezelf daarna een cijfer tussen 0 en 5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Groep

Beschrijf in enkele regels de gezamelijke aanpak en overleg tijdens de groepsopdracht. Wat zou je devolgende keer zeker op dezelfde manier doen? En wat zou je liever op een andere manier doen?. Geef de groepeen cijfer tussen 0 en 5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Niveau van samenwerking

In welk van de vier niveaus op de vorige pagina hoor je thuis? Stip enkele onderdelen van dat niveau aan meteen gele fluorescerende stift.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Claude Gaspard Bachet de Meziriac (1581-1638).

Pr-23

http://en.wikipedia.org/wiki/Calp

http://nl.wikipedia.org/wiki/Claude_Gaspard_Bachet_de_M%C3%A9ziriac

Evaluatieform

ulierPracticum

6D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en1.

Rekenvaard

igh

eid

3B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

3Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

3.

Wis

ku

nd

ige

taalv

aard

igh

eid

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eva

kta

alva

nd

ew

isku

nd

e:

.je

ken

td

eb

etek

enis

van

typ

isch

eva

kte

rmen

enge

bru

ikt

dez

evo

ldoen

de

corr

ect

(fu

nct

ie,

stel

sel,

etc.

);.

jeke

nt

de

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logi

sch

eke

rnw

oor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en

,of,

daaru

itvolg

t,vo

or

all

e,et

c.);

.je

ben

tin

staa

tom

een

omsc

hri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waard

ete

sym

boli

sere

n;

.je

han

teer

td

evis

uel

evo

orst

elli

nge

nw

aar

de

wis

ku

nd

ege

bru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eb

esch

rijv

end

eta

alw

aari

nov

erh

etw

isku

nd

igh

an

del

enge

spro

ken

word

t(d

efin

itie

,ei

gen

sch

ap

,ve

rkla

ar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

3Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

isku

nd

ige

beg

rip

pen

her

ken

nen

enve

rtal

ennaa

rw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emati

sere

n).

3Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afi

ek,

dia

gra

m).

3Je

ben

tle

esva

ard

igbij

het

leze

nva

nd

ete

kst

van

opga

ven

,p

rob

lem

enen

vra

agst

ukke

n.

8.

Refl

ecti

evaard

igh

ed

en

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

aan

pak

van

jew

erk

enje

stu

die

s.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

jele

erp

roce

sen

jein

zet

(lei

den

zeto

th

etb

erei

ken

van

de

doel

stel

lin

g?)

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

ster

keen

de

zwak

keel

emen

ten

ind

eu

itvo

erin

gva

nje

opd

rach

t.

3Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

end

oor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

ord

engeb

ruik

tom

het

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

geza

mel

ijke

aan

pak

enov

erle

gb

ijee

ngr

oep

sop

dra

cht.

Att

itu

des

9.

Zin

voor

nauw

keu

righ

eid

en

ord

e

3Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg

3Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Pr-

24

PRACTICUM 7

EEN WETENSCHAPPELIJK VERSLAG SCHRIJVEN


1. Inleiding1

Het schrijven en publiceren van verslagen is voor wetenschappers een belangrijkonderdeel van hun werk. Een verslag kan dienen om je uitgevoerd werk, project,ideeen en conclusies aan anderen uit te leggen of kenbaar te maken. Evengoed kanhet dienen om anderen van je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteitenin de verf te zetten. Het mag duidelijk zijn dat een verslag tot in de puntjes verzorgdmoet zijn; niet alleen qua lay-out, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw enuiteraard qua inhoud. In veel hogere studies en ook in je latere werkomgeving is heteen oefening die je nog vaak zal maken.

Wat is nu een verslag Het is een tekst, maar geen proza. Je gebruikt de tekst om op een zakelijke manierte rapporteren, over de meest uiteenlopende onderwerpen: een zakenreis, een chemisch experiment, een wiskundigprobleem, etc. Een verslag moet

3 volledig maar eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn,

3 een logische structuur hebben en

3 gemakkelijk te lezen zijn.

Hiermee bedoelen we dat de lezer snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van het verslag. Het is nietaan de lezer om bepaalde passages verschillende keren te moeten herlezen om te achterhalen en te interpreteren watprecies wordt verteld.

De vorm van een exact-wetenschappelijk verslag is specifiek Het verschilt van bijvoorbeeld een boekbespre-king of taalkundig onderzoek. In wat volgt leggen we de structuur van een wetenschappelijk verslag uit en preciserenwe hoe je moet omgaan met wiskundig schrijven.

Een goed verslag schrijven vraagt oefening Het is een opdracht waarin je door rigoureus en volledig te zijn,duidelijk kan tonen aan de lezer dat je volledig het onderwerp van het verslag beheerst. Onderstaande richtlijnenin verband met de inhoud, de vorm en de stijl van een verslag moeten niet zozeer naar de letter, maar wel naar degeest gevolgd worden. De opdrachtgever kan uiteraard nog specifieke eisen stellen naargelang het onderwerp van deopdracht.

2. Structuur van een wetenschappelijk verslag

In principe heeft een wetenschappelijk verslag de volgende structuur:

Titel

Samenvatting

Inleiding

Hoofddeel

Besluit

Bij lange verslagen is het beter om nog een inhoudstafel en een referentielijst toe te voegen. Dit is de basisstructuurzoals die voor wiskundige verslagen wordt toegepast2.

1Gebaseerd op E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven (2006).2Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieel

onderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methode en materialen,hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: An introduction tothe analysis and presentation of data, Singapore (1994).

Pr-25

Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgelegd3.

Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet het onderwerp van het verslag onmiddellijk uit de titelkunnen halen. Een titel als Verslag practicum ecologie is te algemeen. Ook woorden als Studie van en onderzoek naarworden best vermeden, alsook afkortingen, formules of merknamen. Bij een langer verslag maak je best een titelblad.

NIET: ‘Practicum 11 februari 2010’ of ‘Oefening 28 pagina 40’

WEL: ‘Elliptische baan van een planeet’ of ‘Lineaire groei versus exponentiele groei’

Samenvatting De samenvatting van een verslag is enkele regels lang: onderwerp van het het onderzoek, het belangen eventueel wat je eruit concludeert.

Inleiding In de inleiding wordt eerst het onderwerp of je probleemstelling verduidelijkt en in welke context hetgeheel kadert. In tweede instantie licht je de opbouw van het verslag toe. Hier wijs je op de samenhang tussen dehoofdstukken. De bedoeling is dat de lezer inzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan.

Hoofddeel De andere delen dienen om te structureren, te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvathet eigenlijk gepresteerde werk dat op een samenhangende manier geschreven is. Dat is zeker geen opsomming vanantwoorden op de gestelde vragen! Bovendien moet de redenering op een heldere manier zijn opgeschreven zodat eenlezer uit je doelgroep niet al te veel moeite moet doen om je argumenten en overgangen te begrijpen.

Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling of onderzoeksvraag uit de inleiding. Samen met deinleiding geeft het besluit een volledige samenvatting van het probleem en zijn oplossing. Je verwijst hier niet naaringevoerde formules of methodes die je besproken hebt in de tussenliggende delen, maar je geeft aan op welke manieren in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekende resultaten, opmerkingen overmethodiek, tekortkomingen, het formuleren van vermoedens en suggesties voor verder onderzoek in thuis.

2. Richtlijnen voor wiskundig schrijven

Het opschrijven van een wiskundige redenering, een bewijs of meer uitgebreid een nota, artikel of thesis wordt ookwel wiskundig schrijven genoemd. Zo’n redenering opschrijven is niet zomaar iets wat je doet nadat je de oplossinggevonden hebt. Het vergt heel wat oefening om hierin bedreven te worden. Deze richtlijnen4 dienen dan ook om jehierin te ondersteunen.

Wiskundige correctheid

Een correcte, consistente en ondubbelzinnige redenering maken is moeilijker dan je denkt. Een nodige voorwaarde isdat je zelf 100% overtuigd bent van datgene wat je opschrijft. We overlopen enkele typische valkuilen.

3 Rekenvaardigheid Het algebraısch manipuleren van functievoorschriften, formules, vergelijkingen, stelsels,etc. uit de eerste en de tweede graad is gekend verondersteld. Enkele misverstanden die aan de basis liggen voorheel wat elementaire rekenfouten in de derde graad (de uitspraken gelden voor gepaste keuze van a, b, c, d ∈ R):

. rekenen met vierkantswortels, o.a.√a+ b 6= √a+

√b want

√9 + 16 6= 3 + 4;

√a2 6= a want

√(−3)2 6= −3;

. vereenvoudigen van breuken, o.a.2a+ b

2c+ d6= a+ b

c+ d,

2a+ b

2c+ 2d6= a+ b

c+ d,

2a+ 2b

2c+ d6= a+ b

c+ d;

. ongelijkheden, o.a. uit ac > bc volgt niet noodzakelijk dat a > b want 5 · (−2) > 7 · (−2) en toch is 5 < 7;

uita

b> 0 volgt niet noodzakelijk dat a > 0 en/of b > 0 want

−7

−3> 0 en toch is −3 < 0 en −7 < 0;

uit a2 > b2 volgt niet noodzakelijk dat a > b want (−7)2 > 32 en toch is − 7 < −3.

3 Correct gebruik van implicatie en equivalentie Vaak is een redenering wiskundig fout omdat men deenkele pijl ⇒ verwart met dubbele pijl ⇔. Onderstaande tabel geeft aan wat het onderscheid is. Voor de formeledefinitie van deze logische operaties verwijzen we naar het leerstofonderdeel logica.

naam symbool voorbeeld lees als

implicatie ⇒ x = −2⇒ x2 = 4 als x = −2 dan x2 = 4equivalentie ⇔ x = ±2⇔ x2 = 4 x = ±2 als en slechts als x2 = 4

3Voor een voorbeeld van een wetenschappelijk verslag (althans wat de structuur betreft) verwijzen we naar K. De Naeghel, Vijf bewijzenvoor de irrationaliteit van

√2, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2011) . Zie ook pagina A-124.

4Referenties voor wiskundig schrijven zijn N.J. Higham, Handbook of Writing for the Mathematical Sciences, Society for Industrial andApplied Mathematics (1998) en F. Vivaldi, Mathematical writing for undergraduate students, The university of London (2013) .

Pr-26

http://www.koendenaeghel.be/irrational.pdf


http://www.maths.qmul.ac.uk/~fv/books/mw/mwbook.pdf

3 Letters voor onbekenden eerst introduceren Wanneer je een nieuwe letter gebruikt dan hoor je eerst aante geven waar die letter voor staat. Enkel op die manier kan de lezer jouw redenering volgen.

Wiskundig verwoorden

Een wiskundige redenering bestaat zeker niet alleen uit symbolen (formules, vergelijkingen, . . . ). Je hoort ook bind-tekst te schrijven: taalkundige zinnen die aangeven wat je van plan bent, hoe uit de ene vergelijking de andere volgt,hoe je een controle kan maken, etc. Slechts dan zal een lezer weten wat jij bedoelt, ook al heeft hij/zij het probleemniet zelf opgelost. Typische voorbeelden van bindwoorden- en zinnen vind je in onderstaande tabel. Wanneer je eendeel van de redenering weg laat, hoor je de aard en de lengte van het weggelaten deel te duiden (tweede kolom). Houdde lezer op de hoogte waar je je ergens in je redenering bevindt en wat er nog moet gebeuren (derde kolom).

Bindwoordenanders gezegd, anderzijds is, dan geldt, dientengevolge, dus, echter, enerzijds is, equivalent is, er geldt dat,

ergo, gelijkstellen levert, hieruit volgt, met als gevolg dat, neem, noem, of nog, omdat . . . is, op die manier is,terwijl, uit . . . volgt dan, veronderstel dat, voor . . . vinden we, voor . . . verkrijgen we, want, waaruit,

waaruit we vinden dat, waaruit volgt dat, we besluiten dat, we hebben, we vinden, zij, zodat, zodoende is

Bindzinnen

Ons eerste doel is om . . . Men kan eenvoudig aantonen dat . . . Eerst tonen we aan dat . . .Wa vermoeden dat . . . Twee keer toepassen van . . . geeft . . . Het probleem is te vereenvoudigen tot . . .Het idee van het bewijs is . . . Een gelijkaardig argument toont . . . Tenslotte moeten we aantonen dat . . .

3. Schrijftips

Bij het maken van een verslag (in het bijzonder voor exacte wetenschappen) moet je ontzettend veel aandacht bestedenaan de duidelijkheid. Je moet een tekst schrijven die voor doelpubliek gemakkelijk te lezen is. Met je verslag wilje de lezer laten begrijpen wat jij te rapporteren hebt. Zorg dat hij/zij de aandacht bij het onderwerp kan houden.Je hebt er dus alle belang bij dat de lezer geen nutteloze aandacht moet besteden aan het ontrafelen van een slechtopgebouwde zin of redenering.

Duidelijk schrijven betekent dat je wetenschappelijke taal correct gebruikt zodat de betekenis niet verloren gaat.Om dat doel te bereiken geven we enkele tips in verband met het integreren van wetenschappelijke informatie in eenNederlandse tekst. De opsomming die daarna volgt, gaat over het gebruik van het Nederlands en is evengoed bruikbaarin elk deel van een verslag waar geen wetenschappelijke gegevens meer zijn ingevoerd.

Tip 1. Wiskundige formules kunnen deel uitmaken van een Nederlandse zin, maar je mag formules en tekst nietdooreen halen. Gebruik in een taalkundige zin ook geen losse symbolen als ∀,∃,⇒,⇔. Laat een regel nooit beginnenmet een wiskundig symbool. En verwijs eenduidig naar een eerdere vergelijking.

NIET: x is positief ⇒ de oplossing van de vergelijking = 17.

WEL: Nu is x positief, zodat de oplossing van de vergelijking (∗) gegeven wordt door x = 17.

Tip 2. Hoe verwijs je naar jezelf De meest gangbare keuze voor het persoonlijk voornaamwoord is we, ook al iser slechts een schrijver. We kan ook verwijzen naar de lezer en ikzelf. Ik is vrijpostig en vereist een meer persoonlijkcontact met de lezer.

NIET: Ik heb het idee om . . . / Ik heb eerder al gezegd dat. . . / Nu ga ik aantonen waarom . . .

WEL: Ons idee is om . . . / We hebben eerder gezien dat. . . / Vervolgens tonen we aan waarom . . .

Tip 3. De gegeven opdracht moet geıntegreerd zijn in het verslag Terwijl je het verslag maakt hou je besteen lezer in gedachten die de opdracht niet kent. Het is niet zo elegant om de gestelde vraag letterlijk over te nemenen dan je antwoord te formuleren. Verwerk dus de probleemstelling in de tekst.

NIET: Wat is de snelheid in functie van de tijd? Op t = 0 is v(0) = . . .

WEL: Om het verband te kennen tussen de snelheid en de tijd, berekenen we de eerst debeginsnelheid v(0) . . .

Tip 4. Geef geen droge opsomming van gegeven, gevraagd, oplossing Door eerst het gegeven op te schrijven,het gevraagde te formuleren en tenslotte de berekening te maken, vind je het antwoord op een vraagstuk. Dat is jeoplossingsmethode (of werkwijze). Het behoort tot het voorbereidend werk van je verslag. Het verslag zelf gebruikteen andere invalshoek.

Pr-27

Tip 5. Vervang in de tekst geen woorden of zinsdelen door symbolen De symbolen ∀ en ∃ hebben alleenmaar betekenis in wiskundige uitspraken. Beter is om voor alle en er bestaat voluit te schrijven, alsook dus, daaruitvolgt etc. in plaats van het symbool ⇒. Dat verhoogt de duidelijkheid. Zie ook Tip 1.

Tip 6. Getallen in een tekst schrijf je liefst voluit, tenzij ze de waarde van een variabele zijn

NIET: Uit de 3 gegevens leiden we af dat de functiewaarde van drie gelijk is aan f(3) = 7.

WEL: Uit de drie gegevens leiden we af dat de functiewaarde van 3 gelijk is aan f(3) = 7.

Tip 7. Verwijzingen naar tabellen en figuren gebeuren op dezelfde manier als verwijzingen naar lan-gere formules Omvangrijke tabellen of figuren, of tabellen en figuren waarnaar in de tekst slechts zijdelings wordtverwezen, kun je ook toevoegen als bijlage.

Tip 8. Een goede zinsbouw en correct Nederlands zorgen voor een goed leesbare tekst. Een wetenschappelijkverslag is allerminst een opeenvolging van formules, cryptische codetaal, tabellen en figuren. Nederlandse zinnenmoeten de formules duiden en in een context plaatsen. Je kan bijvoorbeeld uit formules alleen, niet afleiden watoorzaak en wat gevolg is, wat er gegeven is, wat je hebt berekend of wat bewezen is (we verwijzen naar het eerdergegeven pleidooi voor wiskundig verwoorden). De tekst die de formules omkadert - letterlijk en figuurlijk - moetdaarom helder en ondubbelzinnig zijn.

Tip 9. Maak je zinnen niet te lang

NIET: Omdat de exponentiele functie met voorschrift f(x) = ex als domein R heeft en als bereikR+

0 , zal de inverse functie van f , met voorschrift g(x) = lnx, als domein R+0 en als bereik R

hebben.

WEL: De functies met voorschrift f(x) = ex en g(x) = lnx zijn elkaars inverse. Daarom is hetdomein van f gelijk aan het bereik van g en vice versa. Dus is dom f = R = bld g endom g = bld f = R+

0 .

Tip 10. Vermijd tangconstructies

NIET: De sinusfunctie heeft, in tegenstelling tot de tangensfunctie die niet voor alle reele getallengedefinieerd is, als domein R.

WEL: De sinusfunctie heeft als domein R, terwijl de tangensfunctie niet voor alle reele getallengedefinieerd is.

Tip 11. Zeg het in kernachtige bewoordingen Vermijd breedsprakerige en lege woorden als aspect, facet,gebeuren, aard, mate van, in feite, in principe. Vermijd omslachtige aanlopen als Het is interessant te melden dat. . . ,Opgemerkt kan worden dat. . . , etc. Vermijd overbodige woorden zoals enorm, fantastisch, gigantisch, etc.

Tip 12. Ook de toon is belangrijk Pas op met overdreven zekerheid: ongetwijfeld, het spreekt voor zich, etc.Maar wees ook zuinig met relativerende begrippen.

Tip 13. Schrijf of druk niet af op kladpapier Je hebt aandacht besteed aan de lay-out van het verslag. Diemoeite is tevergeefs geweest wanneer je aan het papier niet de nodige aandacht besteedt. Geef dus niets af op kladpapiermet ezelsoren of vlekken.

2. Opdracht


3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) In het begin van de eerste les krijg je twee pagina’s A-126 envolgende uit een handboek 5. Deze kopieen behandelen een onderwerp, voorzien van enkele taken (in de teksttaak 11.3, taak 11.4 en taak 11.5 genoemd). De opdracht bestaat erin om deze taken in groepen van drie uit tevoeren en hiervan een verslag te maken (een verslag per groep).

Naast de kopieen uit het handboek krijg je ook het verslag dat een leerling enkele jaren terug gemaakt heeft, ziepagina’s A-128 en volgende. Dit kan je helpen om de taken uit het handboek uit te voeren.Het verslag van die leerling is zeker geen modelvoorbeeld van een wetenschappelijk verslag! Erwordt van jullie veel beter verwacht.

3 Verslag Het verslag beantwoordt aan de criteria uit de inleiding waarbij je de schrijftips zo goed mogelijktracht na te leven. Het verslag is mag handgeschreven zijn. Nummer je pagina’s onderaan.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verslag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

5P. Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren), Mechelen (Wolters Plantyn) (2006).

Pr-28

Evaluatieform

ulierPracticum

7D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en2.

Meet-

en

tekenvaard

igh

eid

3G

rafi

eken

envo

orst

elli

nge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

3Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lin

gsve

rmog

en.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

iddel

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

ach

ine

ofee

nco

mp

ute

rrek

enp

akke

tge

pas

tin

schak

elen

om

een

figu

ur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

lin

gen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enh

ebt.

6.

On

derz

oeksv

aard

igh

ed

en

3Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

3Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

.d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

3Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

ofop

stel

len

:

.ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

atis

tisc

hp

rob

leem

;.

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;.

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

3Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

3Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

argu

men

tere

nen

vers

lag

uit

bre

ngen

van

het

pro

ces.

Att

itu

des

10.

Zin

voor

kw

ali

teit

van

de

wis

ku

nd

ige

rep

rese

nta

tie

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

11.

Kri

tisc

he

zin

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maa

rte

aan

vaar

den

enov

erte

nem

en.

13.

Zelf

regu

lati

e

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gsp

roce

ste

orie

nte

ren

,h

etp

roce

ste

pla

nn

en,

het

uit

tevo

eren

enh

ette

bew

ake

n.

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg

3Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Evaluatiepunten:

zie

volgende

pagina

Pr-

29

Evaluatiepunten

A.Opbouw

01

23

45

Tit

el,

sam

envatt

ing,

inh

ou

dst

afe

l,in

leid

ing

en

refe

renti

eli

jst

De

leze

rm

oet

uit

de

tite

lon

mid

del

lijk

het

on

der

wer

pva

nh

etver

slag

ku

nn

enh

alen

.D

esa

men

vatt

ing

van

een

vers

lag

geef

tee

nov

erzi

cht

van

het

ond

erzo

ek,

het

bel

ang

van

het

ond

erzo

eken

wat

jeer

uit

con

clu

dee

rt.

Ind

ein

leid

ing

wor

dt

eers

th

eton

der

wer

pof

jep

rob

leem

stel

lin

gve

rdu

idel

ijkt,

enw

ijs

jeop

de

sam

enh

ang

tuss

end

eh

oofd

stu

kke

n.

©©

©©

©©

Hoofd

deel

en

besl

uit

Inh

eth

oof

dd

eel

staa

nn

iet

alle

end

ean

twoor

den

opd

ege

stel

de

vra

gen

.V

oor

alm

oet

jede

gev

oer

de

red

ener

ing

die

achte

rel

kan

twoor

dsc

hu

ilt,

wee

rgev

en.

Inh

etb

eslu

itgr

ijp

jete

rug

naa

rje

pro

ble

emst

elli

ng

ofon

der

zoek

svra

agu

itd

ein

leid

ing,

engee

fje

aan

opw

elke

man

ier

enin

hoev

erre

jege

slaa

gdb

ent

inje

opze

t.H

ier

hor

enook

ver

geli

jkin

gen

met

geke

nd

ere

sult

aten

,op

mer

kin

gen

over

met

hod

iek,

teko

rtko

min

gen

ofsu

gges

ties

thu

is.

©©

©©

©©

Tota

al

op

bouw

:..

./

10

B.In

houd

Doelg

roep

Het

niv

eau

van

het

vers

lag

isgo

edaf

gest

emd

opee

nle

zer

met

wis

kun

dig

eke

nn

isop

niv

eau

van

jouw

stu

die

rich

tin

g,

maar

die

het

ond

erw

erp

end

eop

dra

cht

nie

tke

nt.

Nee

mge

ente

grot

ed

enksp

ron

gen

,m

aar

wei

dt

ook

nie

tu

itov

erev

iden

teza

ken

.©

©©

©©

©

Held

er

en

du

ideli

jkH

etve

rsla

gis

‘gem

akke

lijk

’te

leze

n.

De

leze

rka

nb

egri

jpen

wat

jij

tera

pp

orte

ren

heb

t,en

kan

de

aan

dach

tb

ijh

eton

der

wer

ph

oud

end

oor

geen

nu

ttel

oze

aan

dac

ht

teb

este

den

aan

het

ontr

afel

enva

nee

nsl

echt

opge

bou

wd

ezi

nof

red

ener

ing.

©©

©©

©©

Sch

rijf

stij

lH

etve

rsla

gis

geen

opee

nvo

lgin

gva

n‘a

ntw

oor

den

opd

evra

agje

s’,

en‘g

egev

en,

gevra

agd

,op

loss

ing’

.D

at

beh

oort

enke

lto

th

etvo

orb

erei

den

dw

erk.

Het

vers

lag

zelf

geb

ruik

tee

nan

der

ein

vals

hoek

.D

ep

rob

leem

stel

lin

gis

verw

erkt

ind

ete

kst

.©

©©

©©

©

Een

goed

ezin

sbouw

en

corr

ect

Ned

erl

an

ds

zorg

envo

oree

ngo

edle

esb

are

tekst

.E

enw

eten

sch

app

elij

kve

rsla

gis

all

erm

inst

een

op

eenvo

lgin

gva

nfo

rmu

les,

cryp

tisc

he

cod

etaa

l,ta

bel

len

enfi

gure

n.

Ook

de

ver

ban

den

tuss

end

ezi

nn

enm

oet

envo

ldoen

de

hel

der

zijn

.©

©©

©©

©

Less

ism

ore

Onth

oud

dat

jeke

nn

ish

etb

est

kan

over

bre

nge

nd

oor

een

hel

der

enb

ond

igve

rsla

g,d

atle

idt

tot

het

opw

ekke

nva

nin

tere

sse

bij

de

leze

r,w

aarn

ah

ijzi

chac

tief

kan

inle

ven

inh

etp

rob

leem

.©

©©

©©

©

Maak

jevers

lag

effi

cie

nt

Geb

ruik

jein

jeve

rsla

gfi

gure

n,

dan

verw

ijs

jeook

ind

ete

kst

naa

rd

eze

figu

ren

,le

gje

uit

hoe

jed

eze

bek

om

ten

wat

eru

itaf

tele

iden

valt

.©

©©

©©

©

Lay-o

ut

Je

heb

taa

nd

acht

bes

teed

aan

de

lay-o

ut

van

het

ver

slag

.E

enu

itge

tikt

vers

lag

isge

enve

rpli

chti

ng,

wel

een

mee

rwaard

e.N

ood

zake

lijk

isd

atd

ege

bru

ikte

figu

ren

vol

doen

de

du

idel

ijk

afge

bee

ldzi

jn.

©©

©©

©©

Wees

cre

ati

ef

en

ori

gin

eel

Zo

kan

jeje

vers

lag

ond

ersc

hei

den

van

een

gem

idd

eld

ete

kst

over

dat

ond

erw

erp

.L

egee

nn

iet

voor

de

han

dli

ggen

de

lin

k,

nee

mh

isto

risc

he

asp

ecte

nop

,b

eden

kee

nre

leva

nte

toep

assi

ng.

Over

dri

jfec

hte

rn

iet:

jever

slag

isin

de

eers

tep

laats

een

zake

lijk

ete

kst

.©

©©

©©

©

Tota

al

inh

ou

d:

...

/40

C.Verd

ediging

Sti

jlB

ijd

eve

rded

igin

gge

efje

enkel

antw

oor

den

opd

ege

stel

de

vra

gen

.D

atd

oe

jein

het

alge

mee

nN

eder

lan

ds,

enop

een

hel

der

een

bek

nop

tem

anie

r.Z

org

dat

jeh

etvo

lled

ige

vers

lag

beh

eers

t.D

atee

nan

der

groep

slid

de

ond

ervra

agd

ep

assa

gege

sch

reven

hee

ft,

isgee

nex

cuu

s.©

©©

©©

©

Inh

ou

dZ

org

dat

jeov

ertu

igd

ben

tva

nje

antw

oor

d.

Je

atti

tud

e‘k

riti

sch

ezi

n’

spee

lth

ier

een

grot

ero

l.R

aden

naa

rd

eop

loss

ing

isu

itd

enb

oze

:ke

nje

een

antw

oor

dn

iet,

dan

geef

jedat

ook

toe.

Dat

wee

rdh

oud

tje

nie

tom

na

ted

enken

omto

chm

etee

ngo

edan

twoord

voor

de

dag

teko

men

.©

©©

©©

©

Tota

al

verd

edig

ing:

...

/10

Tota

al:

...

/60

Pr-

30

PRACTICUM 8

ONDERZOEKSOPDRACHT (1)


1. Inleiding

Jarenlang was men overtuigd dat leerlingen en studenten de beoogde wiskundige enwetenschappelijke vaardigheden leerden door middel van het observeren van een expert(leerkracht, docent) in actie. Al minstens even lang stelt men deze eenzijdige methodein vraag. Zo ijverde de wiskundige en didacticus George Polya in 1945 reeds dat hetoplossen van problemen centraal moet staan in het wiskundeonderwijs endit op elk niveau:

Goed onderwijs betekent dat leerlingen de kans krijgen om zelf te ontdekken. 1

De komende onderzoeksopdrachten hebben dan ook als bedoeling om ofwel een nieuwe techniek op zelfstandige basismeester te worden, ofwel zelf een probleem op te lossen en nadien een redenering op een haalbaar niveau te leveren.Je kan dit realiseren door de vaardigheden en attitudes die in de vorige practica aan bod kwamen te bundelen en jehierin verder bekwamen:

3 probleemoplossende vaardigheden (Practica 2 en 3),

3 mathematiseren (Practica 4 en 6),

3 kritisch evalueren van wiskundige modellen (Practica 4 en 6),

3 logisch redeneren en argumenteren (Practicum 7),

3 zin voor samenwerking en overleg (Practica 1, 2, 3, 4, 6 en 7),

3 wiskundige taalvaardigheid (Practica 4, 5 en 6).

De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkselestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer onderzoekscompetenties worden gecatalogeerd:

OC1 Zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken.

OC2 Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren.


De eerste eindterm werd gerealiseerd bij de uitvoering van Practicum 1. Daar werd ook gemotiveerd waarom we hetverzamelen, ordenen en bewerken van informatie niet zozeer aan bod komt in deze en volgende onderzoeksopdrachten.In dit practicum komt de tweede eindterm aan bod, de derde eindterm is voor volgende practica.


verzamelenordenenbewerken

︸︷︷

︸

competentie 1

voorbereiden

uitvoeren

evalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporterenconfronteren ︸

︷︷︸ competentie 3

1What is good education? Systematically giving opportunity to the student to discover things by himself. uit How to solve it: A newaspect of mathematical method, Princeton (1945).

Pr-31

Je eerste onderzoeksopdracht kadert in het onderwerp logica en heeft als bedoeling dat je de techniek van het logischredeneren wat meester wordt. Dat we vooraf zelf een onderzoeksvraag geven en niet gevraagd wordt om een eigenonderzoeksvraag op te stellen, wordt in Practicum 9 gemotiveerd.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en onderzoeksopdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (1 les, thuis afwerken) Je beantwoord de onderzoeksvraag op de volgende pagina. Deze opdrachtvoer je individueel uit.

3 Verslag Je verslag bestaat uit de zes bewijzen. Let erop dat je je bewijzen in dezelfde stijl als de tweemodelvoorbeelden schrijft. Pagina’s onderaan nummeren. Het verslag voeg je in deze practicum bundel.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Onderzoeksopdracht - Logische wetten bewijzen met inferentieregels

Logische wetten zijn tautologien van de vorm �⇒4, waarbij � staan voor een aantal uitspraken A,B,C, . . . (gegevens,ook wel premissen genoemd, genoteerd als PREM) en 4 een uitspraak die hieruit volgt (conclusie genoemd). Meestalvervangt men dan het symbool voor implicatie ⇒ door het symbool `. Men schrijft dus � ` 4. We geven eenoverzicht van de meest courante inferentieregels die gebruikt worden om logische wetten te bewijzen. Elk van dezekunnen aangetoond worden met behulp van een waarheidstabel.

naam logische wet afkorting

modus ponens A⇒ B,A ` B MP

conjunctie A,B ` A ∧B CONJ

simplificatie A ∧B ` AA ∧B ` B SIM

additie A ` A ∨BB ` A ∨B ADD

dilemma A ∨B,A⇒ C,B ⇒ C ` C DIL

introductie van degelijkwaardigheid

A⇒ B,B ⇒ A ` A⇔ B GI

eliminatie van degelijkwaardigheid

A⇔ B ` A⇒ BA⇔ B ` B ⇒ A

GE

dubbele negatie ¬(¬A) ` A DN

reductio ad absurdum A⇒ B,A⇒ (¬B) ` ¬A RAA

Modelvoorbeeld 1 Als eerste voorbeeld van een bewijs met behulp van deze inferentieregels beschouwen we eeneenvoudig bewijs van de logische wet P ∧Q,P ⇒ R ` R:

P ∧Q,P ⇒ R ` R1 P ∧Q PREM

2 P ⇒ R PREM

3 P 1; SIM

4 R 2,3;MP

Het eigenlijk bewijs wordt gevormd door de uitspraken in de tweede kolom. De nummers uit de eerste kolom gebruikenwe om te verwijzen naar de uitspraken uit de tweede kolom; de verantwoording daarvoor staat in de derde kolom. Weoverlopen het bewijs.

1,2 We schrijven de gegevens (ook wel premissen genoemd).

3 We schrijven een uitspraak die volgt uit 1 door de inferentieregel SIM (simplificatie).

4 We schrijven een uitspraak die volgt uit 2 en 3 door de regel MP (modus ponens). Let even op volgende afspraak:in de derde kolom van lijn 4 staat een komma tussen de nummers van de uitspraken waaruit R werd afgeleid eneen kommapunt tussen de nummers en de naam van de regel waaruit R uit die uitspraken volgt.

Pr-32

De lijnen 1-4 tonen aan dat we uit de gegevens P ∧Q en P ⇒ R de R kunnen afleiden. Zo hebben we de logische wetP ∧Q,P ⇒ R ` R bewezen.

Modelvoorbeeld 2 In het vorig bewijs werden eerst de premissen neergeschreven en werden daarna stap voorstap inferentieregels toegepast op uitspraken die in het bewijs voorkomen. Een heel andere en bijzonder interessantebewijsmethode maakt gebruik van zogenaamde subbewijzen. Hier is een voorbeeld:

P ⇒ Q ` (P ∧R)⇒ Q

1 P ⇒ Q PREM

2 P ∧R HYP3 P 2; SIM4 P ⇒ Q 1; REIT5 Q 3,4; MP

6 (P ∧R)⇒ Q 2,5;VB

Laat ons dit even bekijken.

1 We schrijven de premisse op.

2 We veronderstellen P ∧R. Deze stap volgt dus niet uit de premisse, maar is een veronderstelling (ook hypothesegenoemd, genoteerd als HYP). Om dat duidelijk te maken trekken we er een verticale lijn naast. We laten dielijn doorlopen zolang we nagaan wat uit de hypothese volgt.

3 Uit P ∧R volgt P .

4 In een subbewijs mogen we een beroep doen op alle gegevens die beschikbaar waren voor we de hypotheseinvoerden - in dit geval de premisse P ⇒ Q uit lijn 1. We drukken dit uit door P ⇒ Q te reıtereren op lijn4. Reıtereren betekent: iets wat we ter beschikking hebben, binnen het subbewijs halen. We noteren dit metREIT.

5 We passen modus ponens toe.

6 Het subbewijs 2-5 toont aan dat, gegeven de premisse, Q volgt uit P ∧R. Met andere woorden, gegeven P ⇒ Qhebben we getoond: als P ∧ R, dan Q. Dit staat op lijn 6. De regel die we hier gebruiken noemen we eenvoorwaardelijk bewijs, notatie VB.

Onderzoeksvraag Zoek bewijzen met behulp van inferentieregels (dus niet met waarheidstabellen) voor de volgendelogische wetten.

(a) P ∧Q ` P ∨Q

(b) (P ∨Q)⇒ (R ∧ S), P ` R

(c) ¬(¬P ), (P ∨Q)⇒ R,S ` R ∧ S

(d) P ⇔ Q,Q ∨R,R⇒ P ` P?(e) P ⇒ Q,¬Q ` ¬P?(f) P ⇒ (Q ∧R), P ⇒ ¬R ` ¬P

Pr-33

Evaluatieform

ulierPracticum

8D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en5.Pro


igheden.

3Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enh

etw

isku

nd

igb

ehoor

lijk

stel

len

.

3Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(on

der

sch

eid

mak

entu

ssen

gege

ven

enge

vra

agd

e,ve

rban

den

leggen

tuss

end

egeg

even

s,et

c.).

3Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

enn

aar

een

pas

sen

dw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emat

iser

en).

3Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daar

bij

een

pla

nop

stel

len

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

opd

eke

uze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jep

lan

.

3Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hu

nb

etro

uw

baa

rhei

den

voll

edig

hei

d.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

geb

ruik

enom

wis

ku

nd

ige

info

rmat

iete

ver

wer

ken

enw

isku

nd

ige

pro

ble

men

teon

der

zoek

en.

6.Onderzoeksvaard

igheden

3Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

3Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

.d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

3Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

of

opst

elle

n:

.ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

ati

stis

chp

rob

leem

;.

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;.

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

3Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

3Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

arg

um

ente

ren

enve

rsla

gu

itb

ren

gen

van

het

pro

ces.

Att

itu

des

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e.

3Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

12.Zelfvertro

uwen

en

zelfstandigheid.

3Je

toon

tze

lfver

trou

wen

,ze

lfst

and

igh

eid

,d

oor

zett

ings

ver

mog

enen

doel

mat

igh

eid

bij

het

aan

pakke

nva

np

rob

lem

enen

op

dra

chte

n.

3Je

ziet

ind

atfo

ute

nm

aken

inh

eren

td

eel

uit

mak

enva

nh

etle

erp

roce

s.

13.Zelfre

gulatie.

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gsp

roce

ste

orie

nte

ren

,h

etp

roce

ste

pla

nn

en,

het

uit

tevo

eren

enh

ette

bew

ake

n.

Pr-

34

PRACTICUM 9



1. Inleiding

In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie:





︸︷︷

︸

competentie 1

voorbereiden

uitvoeren

evalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporteren

confronteren ︸︷︷

︸ competentie 3

Het leerplan onderscheidt volgende fasen in het aanpakken van een onderzoeksopdracht.

(1) De leerling stelt zichzelf een onderzoeksvraag, al of niet vanuit een aangestuurde reeks van mogelijkheden binneneen begeleide aanpak.

(2) De leerling werkt aan een probleemverkenning. Dat betekent: maakt een analyse, probeert het probleem tebegrijpen, te omvatten en om het als dusdanig beter te omschrijven (antwoord op de vraag: weten wat aan tepakken). In deze fase kan al gewerkt worden aan het documenteren van de opdracht, bijv. feitenmateriaal enkennis verzamelen.

(3) De leerling stelt een plan van uitvoering op (antwoord op de vraag: weten hoe het aan te pakken). Dat kaninhouden: het formuleren van deelaspecten, deelopdrachten, maar ook het opstellen van een tijdskader.

(4) De leerling voert het plan uit. Dat kan betekenen: verder documenteren, effectief gegevens verzamelen, effectiefverbanden onderzoeken, de bevindingen verder uitwerken, etc. (antwoord op de vraag: weten waarom het zoaan te pakken).

(5) De leerling formuleert conclusies en legt ze neer in een meestal schriftelijke neerslag. Daarop volgt nog hetterugkijkend reflecteren (weten over weten).

De fasen (2) tot en met (5) zijn een herformulering van het stappenplan voor probleemoplossend denken (zie Practicum1) en kwamen meermaals aan bod in de vorige practica. Fase (1) kwam alsnog niet aan bod en daar is een reden voor.Iedereen die wat ervaren is in het onderzoeken1 van wiskundige problemen komen al snel tot de volgende bevindingen.

3 Om binnen de wiskunde een haalbaar onderzoeksdomein af te bakenen heb je heel wat expertise nodig. Omdathet een onderzoek betreft, gaan we ervan uit dat de onderzoeker niet vertrouwd is met het onderwerp. In dezecontext is het verlangen dat hij of zij een haalbaar tijdsplan opstelt gewoon niet realistisch. Academici vindenhet niet eenvoudig om een eigen onderzoeksvraag op te stellen, haalbaar naar inhoud en tijdsbesteding. Is hetdan wel zinvol dat wij zoiets van leerlingen verwachten?

3 In een onderzoeksopdracht wiskunde wordt de haalbaarheid van een onderzoeksvraag pas duidelijk tij-dens het onderzoek zelf. Net hierin onderscheidt een wiskundig onderzoek zich met een taalkundig of histo-risch onderzoek. Reeds in Practicum 1 haalden we we aan dat bij een wiskundig onderzoek je informatie niet inde eerste plaats uit boeken of het internet haalt, maar genereert door zelf te redeneren.

1We hanteren onze invulling van de term wiskundig onderzoek zoals beschreven in de inleiding van Practicum 1.

Pr-35

Emil Artin(1898 - 1962)

Deze argumentatie doet ons besluiten dat het vooraf opstellen van een onder-zoeksvraag gewoonweg niet relevant is. Men kan zelfs de omgekeerde conclusietrekken: pas na een uitvoerig onderzoek wordt duidelijk wat een haalbare en zinvolleonderzoeksvraag is. Net het zoeken naar de onderzoeksvraag leidt tot een redenering,die de onderzoeksvraag afbakent. In de wiskunde noemt men dit het formulerenvan een vermoeden. Of, om het in de woorden van de wiskudige Emil Artin tezeggen2:

Our difficulty is not in the proofs, but in learning what to prove.

Daarom vervangen we fase (1) door fase (1’) en voegen we een extra fase (5bis) toe.

(1’) De leerling krijgt een vooraf gestelde onderzoeksvraag, al of nietvoorzien van een aantal kleinere vragen die tot de oplossing van de onderzoeks-vraag kunnen leiden of een aangestuurde reeks van mogelijkheden binnen eenbegeleide aanpak. Daarnaast wordt de leerling aangemoedigd om zelf kleinereonderzoeksvragen te formuleren om zo een eigen redenering op touw zetten die

de grotere, hier gestelde onderzoeksvraag beantwoordt.

(5bis) De leerling wordt aangemoedigd om een eigen vermoeden te formuleren. Het opstellen van zo’nvermoeden gebeurt op basis van zijn eerder onderzoek en getuigt van het inzicht die de leerling gedurende zijnonderzoek verworven heeft. De leerling zal zijn vermoeden motiveren door te verwijzen naar aanwijzingen in heteerder onderzoek en/of een mogelijke aanpak tot het oplossen van zijn vermoeden suggereren.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding en de vier onderzoeksopdrachten lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum en verslag (. . . lessen, thuis afwerken) Voor dit practicum werk je in groepen van drie totvier. De leerkracht beslist hoe de opdrachten onder de groepen verdeeld worden. Daarna krijg je de wat meerinformatie over je onderwerp, inclusief enkele onderzoeksvragen (pagina A-134 en verder). Jullie eindresultaatis een verslag dat beantwoordt aan de criteria uit Practicum 7. Let hierbij op de aandachtspunten die toen aanbod kwamen en de doelstellingen uit de inleiding:

. niet de kleinere vragen overschrijven en beantwoorden, maar wel een eigen redenering opbouwen;

. zorg dat jullie verslag vlot leesbaar is (voor een medeleerling uit de klas);

. op het einde van je opdracht wordt gevraagd een eigen vermoeden te formuleren en te motiveren;

. het is een meerwaarde om in je verslag een toepassing op te nemen. Ook een diepere historische of wiskundigeanalyse, randinformatie, afbeeldingen en andere relevante creatieve vondsten zijn een bonus.

Het verslag mag handgeschreven zijn, pagina’s onderaan nummeren.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

Onderzoeksopdracht 1 - Verkeerplanning

Voor het aanleggen en het uitbreiden van een wegennet gaan heel wat studies vooraf. Naast praktische overwegingenis het erg belangrijk om een zicht te hebben op de mate waarin het verkeer een vlotte doorstroom kent. Dat doet mendoor een model te maken: voor een gegeven aantal bestuurders op het wegennet probeert men de tijd te berekenendie nodig is om van een punt A naar een punt B te rijden. In deze onderzoeksopdracht beschouwen we enkele eenvou-dige modellen waarin we laten zien hoe je zoiets kan berekenen. Ook voor een groter wegennet zal men gelijkaardigeprincipes hanteren, maar laat men het rekenwerk over aan een computer.

In deze opdracht maken we de volgende vereenvoudigingen.

1. We nemen aan dat op elk moment een constant aantal auto’s auto’s op het wegennet rijden. Dat aantal noterenwe met n. Uiteraard kent zo’n model ook zijn beperkingen, want van zodra n ‘te groot’ wordt, zal het wegennetvolledig dichtgeslipt zijn, zodat er geen doorstroom meer mogelijk is.

2. Elke bestuurder beschikt op elk moment over alle verkeersinformatie van het volledige wegennet en past dieinformatie ook zelfzuchtig toe. Dus als een bestuurder kan kiezen tussen twee alternatieve routes, dan zal hij ofzij altijd zal kiezen voor de route die het minst tijd kost.

Aan de hand van enkele voorbeelden laten we de belangrijkste principes zien. Daarna ga je zelf aan de slag.

2M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

Pr-36

http://en.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin

Onderzoeksopdracht 2 - Het probleem van Josephus

Flavius Josephus(37 - ±100)

Deze onderzoeksopdracht gaat over een variant van een oud probleem genoemdnaar Josephus, een befaamde historicus uit de eerste eeuw na Christus. Tijdens deJoods-Romeinse oorlog werd hij met 40 andere Joodse rebellen opgesloten in eengrot. De rebellen verkozen zelfmoord boven overgave. Ze beslisten om in een kring tegaan staan en elke derde persoon te vermoorden tot niemand meer overbleef. MaarJosephus en een andere persoon hadden het niet zo begrepen op deze eliminatie enzo gaat de legende - bedachten een manier hoe zij als laatsten konden overblijvenom zich nadien aan de Romeinen over te geven.

In onze variant gaan we ervan uit dat er n personen in een kring staan. Om hetprobleem van Josephus wat eenvoudiger te maken spreken we in een eerste onder-zoeksvraag af dat elke tweede persoon in de cirkel vermoord wordt.

Onderzoeksopdracht 3 - Winnende strategieen

Een kansspel is een spel waar winst of verlies wordt bepaald door toeval, bijvoorbeeldhet spelen van een krasspel of een deelname aan de lotto. In deze onderzoeksopdrachthebben we het niet over kansspellen maar over wiskundige spellen met twee spelers,waar de winst of het verlies van een speler enkel afhangt van de beslissingen die beidespelers tijdens het spel nemen. Voor zo’n wiskundig spel is een van de belangrijkstevragen of er een winnende strategie bestaat: een stappenplan zodat een speler,ongeacht de beslissingen van de andere speler, het spel gegarandeerd wint. Bestaater zo’n winnende strategie en zijn beide spelers hiervan op de hoogte, dan is deuitkomst van het spel afhankelijk van wie het spel als eerste begint. We noemeneen spelsituatie winnend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd wint indien hij zo’n winnende strategietoepast. Een spelsituatie is verliezend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd verliest indien de tegen-speler zo’n winnende strategie toepast. De tak van de wiskunde die zich met het bestaan van winnende strategieen ende beslisbaarheid van winnende en verliezende spelsituaties bezig houdt, is de zogenaamde speltheorie.

In wat volgt bespreken we het spel Nim, waarin we laten zien dat een winnende strategie afhangt van de beginsituatie.Is die beginsituatie gunstig en past de speler die het eerst aan zet is deze strategie toe, dan wint hij/zij gegarandeerdhet spel. Is de beginsituatie ongunstig en past de tweede speler die aan zet is zijn/haar strategie toe, dan verliest deeerste speler gegarandeerd.

In de onderzoeksvraag hebben we het over een ander spel, waarbij het bestaan van zo’n winnende strategie ook afhangtvan de beginsituatie.

Onderzoeksopdracht 4 - Afstand, snelheid en tijd

Dat de fundamentele begrippen afstand, snelheid en tijd eenvoudig te begrijpen zijn, is slechts schijn. Zo hebben deberuchte paradoxen van Zeno (naar Zeno van Elea, ca. 490 v. Chr. - ca. 430 v. Chr.) en zijn uiteenzettingen over deonmogelijkheid van beweging eeuwenlang voor ophef gezorgd:

Op elk tijdstip bevindt een vliegende pijl zich op een vaste plaats in de ruimte. Ten opzichte van die plaats in deruimte is hij dan in rust. Maar dan is de pijl op elk moment in rust zodat de pijl niet beweegt?

De paradoxen konden pas in de 17e eeuw worden aangepakt door het inzicht van de calculus dat een som met oneindigveel termen toch een eindig resultaat kan hebben. Veel kon ook worden opgehelderd met behulp van de conceptenfunctie en grafiek van een functie.

Opp. = afgelegde weg

t

v

y = v(t)

t1 t2

Een snelheid-tijd diagram is een grafiek van de snelheid in functievan de tijd. Is de snelheid v over een tijdsinterval [t1, t2] constant,dan is de afgelegde weg over dat interval gelijk aan v · (t2− t1) endus de oppervlakte tussen de grafiek en de horizontale as. Dat isook het geval wanneer de snelheid niet constant is (zie figuur),wat men kan inzien door zo’n snelheid-tijd diagram op te delenin zeer kleine tijdsintervallen waarbij de snelheid als constant kanworden beschouwd.

Deze onderzoeksvraag gaat over afstand, snelheid en tijd. Daarbijkunnen zowel rekenvaardigheid als bovenstaande interpretatie inverband met het snelheid-tijd diagram van pas komen.

Pr-37

http://nl.wikipedia.org/wiki/Flavius_Josephus

Evaluatieform

ulierPracticum

9D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden.

3Je

kan

het

ond

ersc

hei

dm

aken

tuss

enh

oof

d-

enb

ijza

ken,

gege

ven

enge

vra

agd

e,ge

geve

nen

teb

ewij

zen

.

3Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eigen

sch

apte

beg

rijp

en.

3Je

kan

een

gege

ven

red

ener

ing

oph

aar

geld

igh

eid

ond

erzo

eken

.

3Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofd

eop

loss

ing

van

een

pro

ble

emop

bouw

en:

.je

kan

een

ver

moed

enfo

rmu

lere

nen

argu

men

tere

n;

.je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opb

asis

van

een

ond

erzo

ekop

een

aanta

lvo

orb

eeld

en;

.je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

geb

ruik

en.

6.Onderzoeksvaard

igheden

3Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

3Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

.d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

3Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

of

opst

elle

n:

.ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

ati

stis

chp

rob

leem

;.

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;.

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

3Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

3Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

arg

um

ente

ren

enve

rsla

gu

itb

ren

gen

van

het

pro

ces.

Att

itu

des

10.Zin

voorkwaliteit

van

dewiskundigere

pre

senta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

11.Kritischezin.

Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

13.Zelfre

gulatie.

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gsp

roce

ste

orie

nte

ren

,h

etp

roce

ste

pla

nn

en,

het

uit

tevo

eren

enh

ette

bew

ake

n.

15.W

aard

eringvoordewiskunde.

Je

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

geva

nd

ew

isku

nd

ein

cult

ure

le,

his

tori

sch

een

wet

ensc

hap

pel

ijke

ontw

ikke

lin

gen

.

Pr-

38

PRACTICUM 10



1. Inleiding

In dit practicum ligt de nadruk op de tweede en de derde onderzoekscompetentie.



︸︷︷

︸

competentie 1

voorbereiden

uitvoeren

evalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporteren


︸ competentie 3

Deze onderzoeksopdracht is de grootste onderzoeksopdracht uit je practicum wiskunde. Het is de bedoeling datjullie een echt wiskundig onderzoek uitvoeren en jullie bevindigen rapporteren in een verslag (werkstuk). In debeschrijving van de opdracht krijg je enkele vragen die je kunnen helpen om het onderwerp te onderzoeken. Hierbij ishet noodzakelijk om alle verworven competenties uit de vorige practica te bundelen.

2. Afspraken en tips

Om het denkwerk te verrichten beschik je over een aantal lesuren verspreid over een week. Daarna heb je nog vol-doende tijd om het verslag af te werken. Wellicht zal het nodig zijn om je gedurende die tijd nog enkele keren met jegroep samen te komen.

Daarna volgt er een verdediging. Tijdens een les komt elke groep beurtelings bij de leerkracht (ongeveer 10 minuten).Groepen die niet aan de beurt zijn werken verder aan opgegeven oefeningen.

Richtlijnen bij het onderzoek

3 Opgaven en deeltaken hangen nauw samen. Lees eerst de hele opgave goeddoor. Werk je in groep in en maak daarna een taakverdeling.

3 Bij het oplossen van problemen kun je terugvallen op het stappenplan voorprobleemoplossend denken (zie Practicum 1): het probleem begrijpen, zoeks-trategieen bedenken en een plan opstellen, het plan uitvoeren, controleren.

3 Bespreek je werk op meerdere momenten in groep. Herzie eventueel je planning.

3 Ervaring wijst uit dat leerlingen het moeilijk hebben om tot veralgemenin-gen te komen. Veel groepen kijken daarenboven onvoldoende kritisch naar eengevonden resultaat. Tracht een vermoeden ook ten gronde te bewijzen.

3 De leerkracht heeft niet als taak vragen van leerlingen te beantwoorden en zo het denkwerk in hun plaats uit tevoeren. De leerkracht heeft enkel de taak om de teams gemotiveerd te houden. Opvragen van formules aan deleerkracht kan wel (databank-functie). Om je de kans te geven informatie op te zoeken kan de leerkracht enkeleboeken, cursussen of het internet ter beschikking stellen.

Pr-39

Richtlijnen bij het verslag

3 Begin tijdig aan het verslag, je hoeft niet te wachten tot alle lesuren om zijn. Start met het maken van eenstructuur (of ‘kapstok’): welke onderverdelingen bespreek je in het hoofddeel van het verslag?

3 Voor je verslag pas je de structuur, richtlijnen bij wiskundig schrijven en schrijftips uit Practicum 7toe.

3 Let erop dat het verslag geen opeenvolging is van antwoorden op de vraagjes. Het kan zijn dat je beterbegint met de laatste opgave of een meer ingewikkelde opgave waarvan de vorige vragen een onderdeel vormen.Denk aan de a,b,c,. . . vraagjes die bij een toets op examen vaak bedoeld zijn om je naar het grotere probleem tegidsen.

3 Het is van groot belang dat het verslag helder leesbaar is. Het is niet altijd eenvoudig om in iemands redeneringte komen. Voor de beoordelaar is het erg belangrijk dat de stappen voldoende uitgewerkt en toegelicht zijn.

3 De leerkracht kan de mogelijkheid geven om - bij wijze van illustratie - werkstukjes van vorige jaren in te kijken(uiteraard handelen die over een ander onderwerp).

3. Opdracht

3 Voorbereiding Inleiding, afspraken en tips en opdracht lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum en verslag (. . . lessen, thuis afwerken) Voor dit practicum werk je in groepen van vier. Inhet begin van de eerste les krijg je een bundel die het onderwerp en de onderzoeksopdracht beschrijft (pagina’sA-142 tot en met A-145). Tijdens de lessen voer je het onderzoek uit. Het eindresultaat is een werkstuk waarinje het onderwerp behandelt.

. Typen mag, maar hoeft niet (een getypt verslag kan een meerwaarde zijn). In elk geval nummer je debladen onderaan in het midden.

. Een diepere historische of wiskundige analyse, afbeeldingen, randinformatie en andere relevante creatievevondsten zijn een bonus.

. Per groep een verslag indienen. Het verslag zal verbeterd en gekopieerd worden door de leerkracht.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid dient zijn/haar practicum bundel in,met daarin het verlag. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

3 Verdediging per groep Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

Pr-40

Evaluatiepunten

A.Opbouw

01

23

45

Tit

el,

sam

envatt

ing,

inh

ou

dst

afe

l,in

leid

ing

en

refe

renti

eli

jst

De

leze

rm

oet

uit

de

tite

lon

mid

del

lijk

het

on

der

wer

pva

nh

etver

slag

ku

nn

enh

alen

.D

esa

men

vatt

ing

van

een

vers

lag

geef

tee

nov

erzi

cht

van

het

ond

erzo

ek,

het

bel

ang

van

het

ond

erzo

eken

wat

jeer

uit

con

clu

dee

rt.

Ind

ein

leid

ing

wor

dt

eers

th

eton

der

wer

pof

jep

rob

leem

stel

lin

gve

rdu

idel

ijkt,

enw

ijs

jeop

de

sam

enh

ang

tuss

end

eh

oofd

stu

kke

n.

©©

©©

©©

Hoofd

deel

en

besl

uit

Inh

eth

oof

dd

eel

staa

nn

iet

alle

end

ean

twoor

den

opd

ege

stel

de

vra

gen

.V

oora

lm

oet

jede

gev

oer

de

red

ener

ing

die

achte

rel

kan

twoor

dsc

hu

ilt,

wee

rgev

en.

Inh

etb

eslu

itgr

ijp

jete

rug

naa

rje

pro

ble

emst

elli

ng

ofon

der

zoek

svra

ag

uit

de

inle

idin

g,

engee

fje

aan

opw

elke

man

ier

enin

hoev

erre

jege

slaa

gdb

ent

inje

opze

t.H

ier

hor

enook

ver

geli

jkin

gen

met

geke

nd

ere

sult

ate

n,

op

mer

kin

gen

over

met

hod

iek,

teko

rtko

min

gen

ofsu

gges

ties

thu

is.

©©

©©

©©

Tota

al

op

bouw

:..

./

10

B.In

houd

Doelg

roep

Het

niv

eau

van

het

vers

lag

isgo

edaf

gest

emd

opee

nle

zer

met

wis

kun

dig

eke

nn

isop

niv

eau

van

jouw

stu

die

rich

tin

g,

maar

die

het

ond

erw

erp

end

eop

dra

cht

nie

tke

nt.

Nee

mge

ente

grot

ed

enksp

ron

gen

,m

aar

wei

dt

ook

nie

tu

itov

erev

iden

teza

ken

.©

©©

©©

©

Held

er

en

du

ideli

jkH

etve

rsla

gis

‘gem

akke

lijk

’te

leze

n.

De

leze

rka

nb

egri

jpen

wat

jij

tera

pp

ort

eren

heb

t,en

kan

de

aan

dach

tb

ijh

eton

der

wer

ph

oud

end

oor

geen

nu

ttel

oze

aan

dac

ht

teb

este

den

aan

het

ontr

afel

enva

nee

nsl

echt

opgeb

ouw

de

zin

of

red

ener

ing.

©©

©©

©©

Sch

rijf

stij

lH

etve

rsla

gis

geen

opee

nvo

lgin

gva

n‘a

ntw

oor

den

opd

evra

agje

s’,

en‘g

egev

en,

gevra

agd

,op

loss

ing’.

Dat

beh

oort

enke

lto

th

etvo

orb

erei

den

dw

erk.

Het

vers

lag

zelf

geb

ruik

tee

nan

der

ein

vals

hoek

.D

ep

rob

leem

stel

lin

gis

verw

erkt

ind

ete

kst

.©

©©

©©

©

Een

goed

ezin

sbouw

en

corr

ect

Ned

erl

an

ds

zorg

envo

oree

ngo

edle

esb

are

tekst

.E

enw

eten

sch

app

elij

kve

rsla

gis

all

erm

inst

een

op

eenvo

lgin

gva

nfo

rmu

les,

cryp

tisc

he

cod

etaa

l,ta

bel

len

enfi

gure

n.

Ook

de

ver

band

entu

ssen

de

zinn

enm

oet

envo

ldoen

de

hel

der

zijn

.©

©©

©©

©

Less

ism

ore

Onth

oud

dat

jeke

nn

ish

etb

est

kan

over

bre

nge

nd

oor

een

hel

der

enb

ond

igve

rsla

g,d

at

leid

tto

th

etopw

ekke

nva

nin

tere

sse

bij

de

leze

r,w

aarn

ah

ijzi

chac

tief

kan

inle

ven

inh

etp

rob

leem

.©

©©

©©

©

Maak

jevers

lag

effi

cie

nt

Geb

ruik

jein

jeve

rsla

gfi

gure

n,

dan

verw

ijs

jeook

ind

ete

kst

naar

dez

efi

gu

ren

,le

gje

uit

hoe

jed

eze

bek

om

ten

wat

eru

itaf

tele

iden

valt

.©

©©

©©

©

Lay-o

ut

Je

heb

taa

nd

acht

bes

teed

aan

de

lay-o

ut

van

het

ver

slag

.E

enu

itget

ikt

vers

lag

isge

enve

rpli

chti

ng,

wel

een

mee

rwaard

e.N

ood

zake

lijk

isd

atd

ege

bru

ikte

figu

ren

vol

doen

de

du

idel

ijk

afge

bee

ldzi

jn.

©©

©©

©©

Wees

cre

ati

ef

en

ori

gin

eel

Zo

kan

jeje

vers

lag

ond

ersc

hei

den

van

een

gem

idd

eld

ete

kst

over

dat

ond

erw

erp

.L

egee

nn

iet

voor

de

han

dli

ggen

de

lin

k,

nee

mh

isto

risc

he

asp

ecte

nop

,b

eden

kee

nre

leva

nte

toep

assi

ng.

Over

dri

jfec

hte

rn

iet:

jever

slag

isin

de

eers

tep

laats

een

zake

lijk

ete

kst

.©

©©

©©

©

Tota

al

inh

ou

d:

...

/40

C.Verd

ediging

Sti

jlB

ijd

eve

rded

igin

gge

efje

enkel

antw

oor

den

opd

ege

stel

de

vra

gen

.D

atd

oe

jein

het

alg

emee

nN

eder

lan

ds,

enop

een

hel

der

een

bek

nop

tem

anie

r.Z

org

dat

jeh

etvo

lled

ige

vers

lag

beh

eers

t.D

atee

nan

der

groep

slid

de

ond

ervra

agd

ep

assa

geges

chre

ven

hee

ft,

isgee

nex

cuu

s.©

©©

©©

©

Inh

ou

dZ

org

dat

jeov

ertu

igd

ben

tva

nje

antw

oor

d.

Je

atti

tud

e‘k

riti

sch

ezi

n’

spee

lth

ier

een

gro

tero

l.R

ad

enn

aar

de

op

loss

ing

isu

itd

enb

oze

:ke

nje

een

antw

oor

dn

iet,

dan

geef

jedat

ook

toe.

Dat

wee

rdh

oud

tje

nie

tom

na

ted

enken

om

toch

met

een

goed

antw

oord

voor

de

dag

teko

men

.©

©©

©©

©

Tota

al

verd

edig

ing:

...

/10

Tota

al:

...

/60

Pr-

41

Evaluatieform

ulierPracticum

10D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en4.

Den

k-

en

red

en

eerv

aard

igh

ed

en

.

3Je

kan

het

ond

ersc

hei

dm

aken

tuss

enh

oof

d-

enb

ijza

ken,

gege

ven

enge

vra

agd

e,ge

geve

nen

teb

ewij

zen

.

3Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eigen

sch

apte

beg

rijp

en.

3Je

kan

een

gege

ven

red

ener

ing

oph

aar

geld

igh

eid

ond

erzo

eken

.

3Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofd

eop

loss

ing

van

een

pro

ble

emop

bouw

en:

.je

kan

een

ver

moed

enfo

rmu

lere

nen

argu

men

tere

n;

.je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opb

asis

van

een

ond

erzo

ekop

een

aanta

lvo

orb

eeld

en;

.je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

geb

ruik

en.

6.

On

derz

oeksv

aard

igh

ed

en

3Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

3Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

.d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

3Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

of

opst

elle

n:

.ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

ati

stis

chp

rob

leem

;.

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;.

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

3Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

3Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

arg

um

ente

ren

enve

rsla

gu

itb

ren

gen

van

het

pro

ces.

Att

itu

des

10.

Zin

voor

kw

ali

teit

van

de

wis

ku

nd

ige

rep

rese

nta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

11.

Kri

tisc

he

zin

.Je

heb

td

eh

oud

ing

omb

erek

enin

gen,

bew

erin

gen

,ar

gum

ente

rin

gen

enre

den

erin

gen

nie

tzo

maar

teaanva

ard

enen

over

ten

emen

.

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg.

3Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Evaluatiepunten:

zie

vorige

pagina

Pr-

42

PRACTICUM 11

ZELFSTANDIG OEFENINGEN MAKEN MET OPLOSSINGSSLEUTELS


1. Inleiding1

In dit practicum maak je zelfstandig oefeningen tijdens de les waarbij je gebruikmaakt van oplossingssleutels. Dat lijkt erg handig, maar je moet er wel verstandigmee omgaan. Dat kan het beste als volgt.

Ga ervan uit dat je het meeste leert door zelf de oefeningen uit de cursus te maken.Van de fouten die je daarbij maakt, leer je veel over de leerstof en over jezelf. Maakdie fouten dan ook eerst en bekijk pas daarna de oplossingen of oplossingssleu-tels. Lees dus nooit de oplossingen van tevoren door, want dan leer je zelf niet genoeg.

De modelvoorbeelden uit de cursus laten je zien hoe de aanpak, oplossingsroute(recept) en uitwerkingen van een type oefening er uit zien. Bij het herhalen van je les

wiskunde (elke dag!) bekijk je die voorbeelden dus goed en ga je bij elke stap na of je begrijpt waarom juist die stapgezet wordt.

2. Opdracht


3 Practicum (1 les, thuis afwerken) Tijdens de les maak je zelfstandig de reeks oefeningen op pagina A-148uit Deel Integralen (bepaalde integralen). Je doet dat aan de hand van de oplossingssleutels op de volgendepagina’s.

3 Verslag Je schrijft je oplssingen op cursusbladen, elke opgave start op een nieuw cursusblad. Je volgt devolgende structuur:

. “Oefening” met nr. opschrijven,

. “Oplossing”.

Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossing vlotkan lezen.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Op het einde van de les.wordt gezegd welke van devier reeksen oefeningen moet indienen. Dat cursusblad voeg je in deze practicumbundel. Nummer die paginaonderaan in het midden (eventuele volgende pagina’s nummeren met 2, 3, etc.). De overige drie oefeningen hoefje niet af te geven. Die kun je later zelf verbeteren.

1Gebaseerd op de studiewijzer uit R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, T.M. van Pelt, wiskunde voor het hoger onderwijs:uitwerkingen, Noordhoff Uitgevers (2009).

Pr-43

Oefeningen - Oplossingssleutels

Oefening 1. Bereken algebraısch de term in de gevraagde Riemann-som en duid deze aan op een schets:

f(x) =1

xvierde term in de rij van de linkersommen over interval [a, b] = [1, 2]

Oplossingssleutel.

(i) Maak eerst een schets van de grafiek van f .Omdat [a, b] = [1, 2], kun je je voor het tekenen van de x-as beperken tot het interval [−1, 4] of zelfs [0, 3].

(ii) Er is gevraagd om een vierde term in een rij van Riemann-sommen te berekenen.Je moet het interval [1, 2] dus verdelen in vier lijnstukken van gelijke lengte.Dat wordt dus: [1; 1, 25], [1, 25; 1, 5], [1, 5; 1, 75] en [1, 75; 2].

(iii) Op elk van de vier deelintervallen teken je nu een rechthoek.Linkersom betekent: de hoogte van zo’n rechthoek is de functiewaarde van het getal links in het interval.Dus de eerste rechthoek heeft als basis [1; 1, 25] en als hoogte f(1).

(iv) Bereken nu de Riemann-som R4 met behulp van de formule op pagina A-149 (XI-7 midden):

R4 = f(1) · (1, 25− 1) + . . .

(v) Controleer nadien je uitkomst met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met het programma2 curvatur).

Oefening 2. Gegeven is de grafiek van de functie f(x) = ex.

(a) Welke bijzondere soort Riemann-som (bovensom, ondersom, linkersom, rechtersom of middensom) is aangeduid?

(b) Bepaal algebraısch de waarde van de aangeduide oppervlakte .

1

2

3

4

1 2 3 4−1

y

x

y = ex

Oplossingssleutel.

(a) (i) De hoogte van elke rechthoek is de functiewaarde van een bepaalde x-waarde.Welke x-waarde neemt men telkens?

(ii) Opgelet: misschien zijn er wel meerdere mogelijkheden voor je antwoord op vraag (a).

(b) (i) Van elke rechthoek bereken je de oppervlakte.Nadien tel je die oppervlaktes op.

(ii) De basis van elke rechthoek is 0, 5.De hoogte is telkens de functiewaarde van een bepaalde x-waarde: f(−1), f(−0, 5), etc.

(iii) Om f(−1), f(−0, 5), etc. te berekenen: gebruik dat f(x) = ex.

(iv) Denk er aan dat men vraagt om de waarde algebraısch te bepalen.Je moet dus de exacte waarde geven.Zo stelt bijvoorbeeld

√2 een exacte waarde voor en 1, 41 . . . slechts de decimale voorstelling van

√2.

(v) Controleer nadien je uitkomst met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met het programma curvatur).

2Niet standaard voorzien. Gratis downloaden kan via http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/442/44250.html .

Pr-44

http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/442/44250.html

Oefening 3. Bereken telkens met behulp van je grafische rekenmachine de volgende bepaalde integralen en maak eenschets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt.

(a)

∫ 1

−1x3dx

(b)

∫ 2

−12xdx

(c)

∫ π4

0

tanxdx

Aanwijzing. Indien we enkel interesse hebben in de bepaalde integraal (getal) en niet in de visuele voorstelling ervan,kunnen als volgt te werk gaan

MATH 9:fnInt fnInt(f(x),x,a,b)

Oplossingssleutel.

(a) (i) Volg de stappen in bovenstaande schermafdrukken om de bepaalde integraal te berekenen.

(ii) f(x) = x3 is een elementaire functie, er wordt dus verwacht dat je de grafiek van die functie zonder grafischerekenmachine kan schetsen.

(iii) Duid in je schets van de grafiek van f de relevante georienteerde oppervlakte aan.

(iv) Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen en de meetkundige betekenis ookaanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.

(b) Analoog aan (a).

(c) Analoog aan (a). De functie in het integrandum is een goniometrische functie, dus zorg ervoor dat je grafischerekenmachine “in radialen staat”, via mode.

Oefening 4. Gegeven is de functie f(x) = 3x.

(a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = −1 en x = 1.

(b) Bereken

∫ 1

−13xdx met behulp van de oppervlaktefunctie. Duid de meetkundige betekenis van de bepaalde

integraal aan in een schets.

Oplossingssleutel.Deze oefening maak je met behulp van Werkwijze 1 op pagina A-149 (XI-12).Ze is dan ook gelijkaardig aan de twee modelvoorbeelden op die pagina.

(a) (i) De oppervlaktefunctie A(t) bepaal je uit de voorwaarden A′(t) = f(t) en A(a) = 0.

(ii) Wat is f(t)? Wat is a? Vervang dit in de vorige regel.

(iii) Als je niet meteen weet voor welke functie A(t) geldt dat A′(t) = 3t, denk er dan aan dat de afgeleide van3t “bijna” zichzelf is.Als eerste poging probeer je dus A(t) = 3t uit.

(b) (i) Om de integraal te berekenen met behulp van de oppervlaktefunctie grijp je terug naar Werkwijze 1 oppagina A-149 (XI-12).

(ii) Wat is b? Vervang dit.

(iii) Maak een schets van de grafiek van f(x) = 3x en duid de relevante georienteerde oppervlakte aan.

(iv) Wees nauwkeurig: bij je schets de assen benoemen, grafiek benoemen en de meetkundige betekenis ookaanduiden. Dat laatste kan met behulp van Romeine cijfers.

Pr-45

Evaluatieform

ulierPracticum

11D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

3B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

3Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid.

3G

rafi

eken

envo

orst

elli

nge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

3Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lin

gsve

rmog

en.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

iddel

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

ach

ine

ofee

nco

mp

ute

rrek

enp

akke

tge

past

insc

hakel

enom

een

figu

ur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

lin

gen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enh

ebt.

3.W

iskundigeta

alvaard

igheid.

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eva

kta

alva

nd

ew

isku

nd

e:

.je

ken

td

eb

etek

enis

van

typ

isch

eva

kte

rmen

enge

bru

ikt

dez

evo

ldoen

de

corr

ect

(fu

nct

ie,

stel

sel,

etc.

);.

jeke

nt

de

bet

eken

isva

nsp

ecifi

eke

logi

sch

eke

rnw

oor

den

enge

bru

ikt

dez

evol

doen

de

corr

ect

(en

,of,

daaru

itvolg

t,vo

or

all

e,et

c.);

.je

ben

tin

staa

tom

een

omsc

hri

jvin

gva

nee

nb

egri

pte

form

alis

eren

,en

een

voor

waard

ete

sym

boli

sere

n;

.je

han

teer

td

evis

uel

evo

orst

elli

nge

nw

aar

de

wis

ku

nd

ege

bru

ikva

nm

aakt

(gra

fiek

,ta

bel

,et

c.).

3Je

ben

tve

rtro

uw

dm

etd

eb

esch

rijv

end

eta

alw

aari

nov

erh

etw

isku

nd

igh

an

del

enge

spro

ken

word

t(d

efin

itie

,ei

gen

sch

ap

,ve

rkla

ar,

ber

eken

alge

bra

ısch

/gra

fisc

h,

teke

n,

contr

uee

r).

3Je

kan

inee

nsi

tuat

iew

isku

nd

ige

beg

rip

pen

her

ken

nen

enve

rtal

ennaa

rw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emati

sere

n).

3Je

kan

vis

uel

ein

form

atie

invo

ldoen

de

mat

ele

zen

enin

terp

rete

ren

(op

een

teke

nin

g,gr

afi

ek,

dia

gra

m).

3Je

ben

tle

esva

ard

igbij

het

leze

nva

nd

ete

kst

van

opga

ven

,p

rob

lem

enen

vra

agst

ukke

n.

Att

itu

des

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e.

3Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

12.Zelfvertro

uwen

en

zelfstandigheid.

3Je

toon

tze

lfver

trou

wen

,ze

lfst

and

igh

eid

,d

oor

zett

ings

ver

mog

enen

doel

mat

igh

eid

bij

het

aan

pakke

nva

np

rob

lem

enen

op

dra

chte

n.

3Je

ziet

ind

atfo

ute

nm

aken

inh

eren

td

eel

uit

mak

enva

nh

etle

erp

roce

s.

Pr-

46

PRACTICUM 12

WERKEN MET EEN WISKUNDIG MODEL


1. Inleiding1

Een wiskundig model is een wiskundige beschrijving van een systeem, vaak een waarneembaar verschijnsel. Het doelvan het model is om met wiskundige technieken een systematische analyse te maken, om zo inzicht te verwerven inhet verschijnsel en voorspellingen over het systeem te doen. Dat is de kern van de wetenschap. Het proces waarbijmen een model ontwikkelt noemt men modelleren.

Een model kan nooit een volledig beeld van de werkelijkheid geven. Het is altijd een vereenvoudiging. Een goed modelzoekt een evenwicht tussen eenvoud en nauwkeurigheid: het moet eenvoudig genoeg zijn om mee te kunnenrekenen en zinvolle conclusies te kunnen trekken en het moet nauwkeurig genoeg zijn om die conclusies betrouwbaarte doen zijn. Als een eenvoudig model een even goede beschrijving van de waarnemingen geeft als een ingewikkeldmodel, dan verdient het eenvoudige model de voorkeur.

Wiskundige modellen worden zowel gebruikt in natuur- en ingenieurswetenschappen (fysica, elektrotechniek, biologie,geologie, meteorologie) als in sociale wetenschappen (economie, psychologie, sociologie, politicologie).

We sommen enkele voorbeelden op.

Italiaans raaigras(Lolium Multiflorum)

3 Plantenteelt (allometrie2) Bij grassen en granen is de groeisnelheid vande wortelmassa vaak anders dan die van de bladmassa. Dit leidt ertoe dat deverhouding tussen beide geleidelijk verandert als de plant groeit. Observatieswijzen uit dat het verband tussen de wortelmassa w en de spruit s (de groenedelen) vaak gemodelleerd kan worden met de vergelijking

w(s) = c · sk waarbij c, k ∈ R+0

De parameter k noemt men de allometrische constante. Zo geldt voor Italiaansraaigras de waarde k = 1, 12 tot aan de bloei, daarna krijgt k een (lagere)waarde.

3 Econometrie3 In een bedrijf beschouwt men volgende economische groothe-den:

L het arbeidersinkomen,

Z het niet-arbeidersinkomen, kortweg ‘winst’ te noemen,

U de waarde der verkochte consumptiegoederen,

V de waarde der verkochte investeringsgoederen.

Als model neemt men de volgende betrekkingen tussen deze grootheden aan.

(1) De winstvergelijking: Z = U + V − L(2) Een vertraging aangenomen van een tijdseenheid: Vt = βZt−1

(3) De uitgaven voor consumptiegoederen: Ut = Lt + ε1Zt−1 + ε2(Zt−1 − Zt−2)

Hierbij stellen β, ε1 en ε2 parameters die men kan schatten door de grootheden L,Z,U en V te oberveren overeen aantal tijdseenheden.

1Gebaseerd op M. De Gee, Wiskunde in werking deel 2, Epsilon Uitgaven, Utrecht (2002).2Allometrie betekent: Verandering van de verhoudingen van de verschillende lichaamsdelen gedurende de groei.3Uit J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938). Econometrie is

de discipline binnen de economische wetenschap die zich richt op het kwantificeren (het in getallen uitdrukken) van de relaties tusseneconomische grootheden. Econometrie kan het beste worden omschreven als de wetenschap van het economisch modelleren, waarbij eengroot beroep wordt gedaan op technieken uit de wiskunde, de waarschijnlijkheidsrekening en de statistiek. Informatica neemt een belangrijkeplaats in, zowel bij het ontwerp als bij het toetsen en gebruiken van econometrische modellen.

Pr-47

http://nl.wikipedia.org/wiki/Italiaans_raaigras

Hieruit kan men achterhalen dat de winst Z op tijdstip t als volgt afhangt van de winst op de twee voorgaandetijdstippen:

Zt = (β + ε1 + ε2)Zt−1 + ε2Zt−2

3 Milieukunde Op grond van waarnemingen vanaf 1970 voorspelde het IPCC (Intergovernmental Panel onClimate Change) dat zonder reductie van de uitstoot van broeikasgassen de gemiddelde temperatuur elke tienjaar met 0, 3◦C zou stijgen. In 1970 was de gemiddelde temperatuur 15◦ C. Een ander model voorspelt eenstijging van de zeespiegel met 65 cm ten opzichte van 1970 niveau als de gemiddelde temperatuur 19◦C is.

Marktpenetratie4van eenherbicide in Iowa

3 Marktkunde Een nieuw product wordt vaak gelanceerd met een reclame-campagne die de eerste gebruikers overhaalt. Daarna volgt vaak nog een fasewaarin het verbruik kan toenemen door mond-tot-mond reclame. Mond-tot-mond reclame werkt als een besmetting, waarin niet-gebruikers het gedrag vangebruikers waarmee ze sociaal contact hebben geleidelijk overnemen. Noemenwe p(t), met 0 ≤ p ≤ 1 de fractie gebruikers binnen de doelgroep op tijdstip t,dan wordt een eenvoudig model gegeven door een zogenaamde logistische functie

p(t) =1

1 + c e−r twaarbij c, r ∈ R+

0

De figuur hiernaast geeft de toename in het gebruik van een nieuw herbicideonder de graanboeren in de Amerikaanse staat Iowa weer, met t de tijd in jaren.De parameters bij deze data zijn geschat als r = 0, 8691 en c = 47, 2797.

3 Natuurkunde (kinematica) Een voorwerp met massa m valt naar beneden. We wensen de snelheid vanhet voorwerp uit te drukken in functie van de tijd t.

. Model I. De versnelling van het voorwerp in functie van de tijd t wordt gemodelleerd door de formulea(t) = g waarbij gelijk is aan de valversnelling. Dit getal g is afhankelijk van de plaats op aarde. In Belgie isg ≈ 9, 91m/s2. Dit model geeft een goede benadering weer van de versnelling van het voorwerp indien men(1) de luchtweerstand verwaarloost en (2) men het voorwerp op relatief kleine hoogte laat vallen. Integratievan de versnelling geeft de snelheidsfunctie v(t) en een tweede integratie geeft ons de plaatsfunctie. Binnendit model is de snelheid van het voorwerp onafhankelijk van de massa en de vorm van het voorwerp:

a(t) = g

v(t) = v(0) + gt

x(t) = x(0) + v(0)t+1

2gt2

x

y

graf f

H.A. y = 1

H.A. y = −1

de grafiek van de functie f(x) = tanhx

. Model II. Een model dat wel rekening houdt met deluchtweerstand is meer accuraat, maar ook meer ingewik-keld. Binnen zo’n model wordt de snelheidsfunctie be-schreven in termen van de tangens hyperbolicus

v(t) =

√mg

ktanh

(√gk

mt

)

waarbij k een constante is die bepaald wordt door de vormvan het voorwerp en de dichtheid van de lucht. Binnen ditmodel is de snelheid van het voorwerp wel afhankelijk vande massa m. De tangens hyperbolicus staat voor de functie

tanh(x) =ex − e−xex + e−x

De rechte y = 1 is een horizontale asymptoot voor x→ +∞ aan de grafiek van tanh(x), want

limx→+∞

tanh(x) = limx→+∞

ex − e−xex + e−x

=(∞∞)

= limx→+∞

(ex − e−x)/ex

(ex + e−x)/ex= lim

x→+∞1− e−2x1 + e−2x

=1− e−∞1 + e−∞

= 1

Bijgevolg bereikt het voorwerp na verloop van tijd zekere een limietsnelheid, die we wiskudig berekenen als

limt→+∞

v(t) = limt→+∞

√mg

ktanh

(√gk

mt

)=

√mg

ktanh(+∞) =

√mg

k

4Marktpenetratie is de mate waaraan een product of dienst door potentiele klanten bekend is en/of gebruikt wordt, met als formule(aantal gebruikers)/(potentieel aantal gebruikers) ·100. De marktpenetratie geeft dus een indicatie van de groeimogelijkheden in de markt.

Pr-48

Europese lariks(Larix decidua)

3 Bosbouw Een laboratorium aan een universiteit onderzoekt, in opdracht vande vereniging van bosuitbaters, het groeiproces van lariksen (ook wel lork ge-noemd, een geslacht van coniferen). Op 1 januari vorig jaar waren de bomen bijaanplant 80cm groot. Op basis van de hoogtegegevens die tijdens het afgelopenjaar op verschillende tijdstippen werden opgemeten, schat men dat de groei-snelheid (in centimeter per jaar) van de lariksen x jaar na de aanplant gelijk isaan

g(x) = 25 +40

(2 + x

20

)2

Hieruit kan men de hoogte van de lariksen t jaar na de aanplant bepalen, na-melijk als de oorspronkelijke hoogte vermeerdert met de toename van de hoogtesinds 1 januari vorig jaar:

h(t) = 80 +

∫ t

0

g(x) dx

3 Toxicologie, milieuhygiene, veeteelt Een koe heeft gras gegeten dat verontreinigd was met asdeeltjes uiteen afvalverwerkingsinstallatie. Het gif wordt in het vet opgeslagen en verlaat het lichaam weer via de melk.Dagelijks wordt de concentratie gif in de melk gemeten. De waargenomen concentraties in g/m3 zijn te modellerenmet

c(t) = 4te−0,2 t

met t in dagen na het eten van het verontreinigde gras. De koe levert 15 liter melk per dag. De functie G(t)geeft de totale hoeveelheid uitgescheiden gif (in g) als functie van de tijd (in dagen).

UitG′(t) = 0, 06 te−0,2 t

kan men nagaan datG(t) = −0, 3 te−0,2 t − 1, 5 e−0,2t + c waarbij c ∈ R

De integratieconstante c bepaalt men via G(0) = 0.

2. Opdracht


3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Dit practicum voer je uit in groepen van drie tot vier leerlingen.

1. In groep kies je een van de volgende onderwerpen (zie pagina’s A-152 tot en met A-157):

Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening

Onderwerp 2. Milieukunde

Onderwerp 3. Celbiologie

Onderwerp 4. Visteelt

Onderwerp 5. Plantenteelt I (gewassen)

Onderwerp 6. Plantenteelt II (kamerplanten)

2. Van het gekozen onderwerp krijg je een model, voorzien van een opgave.

3. In groep los je de vragen op.

3 Verslag (thuis afwerken) Iedereen dient een verslag in, dat bestaat uit cursusblad(en), met de volgendestructuur.

. Onderwerp en opgave netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken.

. “Oplossing.”

. Enkel recto schrijven, cursusbladen onderaan nummeren.

. Het is belangrijk dat je je uitwerking op een duidelijke manier opschrijft, zodat iemand anders je oplossingvlot kan lezen.

Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Iedereen dient practicumbundel met verslag in.

Pr-49

http://nl.wikipedia.org/wiki/Lariks

Evaluatieform

ulierPracticum

12D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

3B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

3Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid.

3G

rafi

eken

envo

orst

elli

nge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

3Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lin

gsve

rmog

en.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

iddel

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

ach

ine

ofee

nco

mp

ute

rrek

enp

akke

tge

past

insc

hakel

enom

een

figu

ur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

lin

gen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enh

ebt.

5.Pro


igheden.

3Je

kan

een

pro

ble

emon

tdek

ken

enh

etw

isku

nd

igb

ehoor

lijk

stel

len

.

3Je

kan

een

pro

ble

eman

alyse

ren

(on

der

sch

eid

mak

entu

ssen

gege

ven

enge

vra

agd

e,ve

rban

den

leggen

tuss

end

egeg

even

s,et

c.).

3Je

kan

een

pro

ble

emve

rtal

enn

aar

een

pas

sen

dw

isku

nd

igm

od

el(m

ath

emat

iser

en).

3Je

kan

zoek

stra

tegi

een

toep

asse

nbij

het

wer

ken

aan

pro

ble

men

,en

daar

bij

een

pla

nop

stel

len

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

opd

eke

uze

van

jezo

ekst

rate

giee

nen

jep

lan

.

3Je

kan

jere

sult

aten

contr

oler

enop

hu

nb

etro

uw

baa

rhei

den

voll

edig

hei

d.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

geb

ruik

enom

wis

ku

nd

ige

info

rmat

iete

ver

wer

ken

enw

isku

nd

ige

pro

ble

men

teon

der

zoek

en.

7.Leerv

aard

igheden

3Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

3Je

kan

sam

enh

ange

nd

ein

form

atie

verw

erke

n.

3Je

kan

info

rmat

ieb

ron

nen

raad

ple

gen

.

3Je

kan

stu

die

tijd

pla

nn

en.

3Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

stu

ren

.

Att

itu

des

9.Zin

voornauwkeurigheid

en

ord

e.

3Je

heb

td

ege

woon

teom

na

de

uit

voer

ing

van

een

opd

rach

tte

rug

tekij

ken

als

een

vorm

van

contr

ole

,om

zoto

tn

auw

keu

rige

resu

ltat

ente

kom

en.

3Je

heb

tee

nh

oud

ing

omor

del

ijk

ensy

stem

atis

chte

wer

ken

(not

eren

,m

aken

van

oef

enin

gen

,aan

pakke

nva

np

rob

lem

en).

14.Zin

voorsa

menwerk

ingen

overleg.

3Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

Pr-

50

PRACTICUM 13

LEREN UIT OPGELOSTE PROBLEMEN


1. Inleiding

Schaum’s Outline of theory

and problems of differential

and integral calculus 2

Leren uit opgeloste problemen is een manier om je vaardigheid in het zelfstandig op-lossen van oefeningen aanzienlijk te verbeteren. Deze techniek werd gepopulariseerddoor de befaamde Schaum’s Outlines 1, een reeks van werkboeken over diverse onder-werpen in wiskunde, wetenschappen (chemie, natuurkunde, biologie) en talen. Voorwiskunde alleen al bestaan er ruim vijftig zo’n werkboeken en elk werkboek bevatongeveer 1000 opgeloste problemen, varierend van gemakkelijke basisoefeningen totware hersenkrakers. Daarnaast zijn ook extra problemen opgenomen, met vermeldingvan het eindresultaat.

2. Opdracht

3 Voorbereiding Deze bundel lezen tegen . . . . . . . . . . . . (datum invullen).

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Uitvoeren in groepen van twee.

Op de volgende pagina’s staan een zestal opgeloste problemen2in verband meteenvoudige differentiaalvergelijkingen. De oplossing is echter wat beknopt op-geschreven (sommige tussenstappen zijn niet vermeld, er worden geen grafiekengemaakt die de redenering kunnen verduidelijken, etc.).

1. In het begin van de (eerste) les toon je met behulp van een kladblad dat je de problemen 1 tot en met 5thuis gelezen en verwerkt hebt.

2. Per twee krijg je een aantal extra problemen (zonder oplossing), zie pagina A-160.Door tossen wordt beslist welke reeks je oplost:

Reeks 1: Problemen 7(c) en 10 (biologie)

Reeks 2: Problemen 7(d) en 11 (natuurkunde)

Reeks 3: Problemen 7(b) en 12 (bevolkingsleer)

Reeks 4: Problemen 7(a) en 13 (economie)

Reeks 5: Probleem 14 (besmettingsleer)

Reeks 6: Probleem 15 (sociologie)

3. In groep los je die reeks op. De opgeloste problemen in deze bundel kunnen je daar uiteraard bij helpen!

3 Verslag (thuis afwerken) Jullie verslag bevat een exemplaar van de reeks oefeningen. Elk probleem startop een nieuw cursusblad, met de volgende structuur:

. opgave van het probleem netjes uitknippen en bovenaan op je cursusblad plakken;

. oplossing, voorzien van minstens een grafiek die je redenering of oplossing verduidelijkt.

Schrijf je redenering duidelijk op, die gemakkelijk te lezen is. Dit houdt in dat je alle tussenstappen opschrijft.Je voegt de cursusbladen in deze practicumbundel. Nummer die pagina’s onderaan in het midden. De overigeproblemen bewaar je thuis.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Elk groepslid dient zijn/haar practicum bundel in.Het verslag steekt in een bundel van een groepslid. Je hoeft het verslag dus niet te kopieren.

1Officiele website: http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145 . Schaum’s Outlines werd bezield door DanielSchaum in de jaren ’50.

1F.Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill (1990).

Pr-51

http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145

Toepassingen op onbepaalde integralen:eenvoudige differentiaalvergelijkingen

Als we de vergelijking van een kromme y = f(x) kennen, dan is de helling (i.e. rico van de raaklijn) in een puntP (x, y) aan de kromme gelijk aan m = f ′(x).

Omgekeerd, als de helling van een punt P (x, y) aan een kromme gegeven wordt door m =dy

dx= f ′(x), dan kunnen we

een familie van krommen y = f(x) + c vinden door te integreren. Om een specifieke kromme uit die familie te bepalenmoeten we een bepaalde waarde aan c toekennen. Dit kunnen we doen door bijvoorbeeld te eisen dat die specifiekekromme door een gegeven punt gaat (zie Problemen 1-3).

Opgeloste problemen

Probleem 1. Bepaal de vergelijking van de familie van krommen waarvoor de helling in elk punt gelijk is aan hettegengestelde van het dubbel van de abscis van dat punt. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit diefamilie die het punt A(1, 1) bevat.

Oplossing. We schrijven y = f(x) voor de vergelijking van zo’n kromme. De helling van een punt P (x, y) van de

kromme isdy

dx. De eis is dat die helling gelijk is aan −2x, met andere woorden

dy

dx= −2x. Dus dy = −2x dx, waaruit

∫dy =

∫−2x dx en dus y = −x2 + c . Dit is de vergelijking van een familie van parabolen.

Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(1, 1) bevat. Stellen we x = 1 en y = 1 in devergelijking van deze familie dan verkrijgen we 1 = −1 + c, waaruit c = 2. De vergelijking van de kromme door het

punt A(1, 1) is dus y = −x2 + 2 .

Probleem 2. Bepaal de vergelijking van een familie van krommen waarvoor de helling in eender welk punt P (x, y)gelijk is aan m = 3x2y. Bepaal bovendien de vergelijking van de kromme uit die familie die het punt A(0, 8) bevat.

Oplossing. De voorwaarde is datdy

dx= 3x2y, zodat

dy

y= 3x2 dx. Hieruit volgt dat ln |y| = x3 + c. Als y > 0 dan is

ln |y| = x3 + c ⇒ ln y = x3 + c

⇒ eln y = ex3+c

⇒ y = ex3 · ec︸︷︷︸

noem c1

⇒ y = c1 ex3

waarbij c1 > 0

Als y < 0 dan vinden we analoog

ln |y| = x3 + c ⇒ ln(−y) = x3 + c

⇒ eln(−y) = ex3+c

⇒ −y = ex3 · ec

⇒ y = −ec︸︷︷︸noem c2

ex3 ⇒ y = c2 e

x3

waarbij c2 < 0

We kunnen beide gevallen dus samenvatten als y = C ex3

waarbij C ∈ R0 .

Uit deze familie willen we nu de kromme bepalen die het punt A(0, 8) bevat. Dan moet 8 = C e0, zodat C = 8.

De vergelijking van de kromme door het punt A(0, 8) is dus y = 8 ex3

.

Algemeen. Uit dit probleem onthouden we:

ln |y| = � + c ⇒ y = C e� waarbij C ∈ R0

In de toekomst zullen we deze stap meteen uitvoeren (zonder de gevallen y > 0 en y < 0 afzonderlijk tebespreken).

Pr-52

Probleem 3. In elk punt P (x, y) van een kromme geldt dat y′′ = x2 − 1. Bepaal de vergelijking van die krommeals bovendien gegeven is dat Q(1, 1) behoort tot de kromme en de raaklijn in Q aan die kromme gegeven wordt doorx+ 12y = 13.

Oplossing. Hier isd2y

dx2=

d

dx(y′) = x2 − 1. Dus

∫d

dx(y′) dx =

∫(x2 − 1) dx en y′ =

1

3x3 − x+ c1.

In het punt Q is de helling gelijk aan de helling van de gegeven rechte en dus gelijk aan − 1

12. Dus − 1

12=

1

3− 1 + c1,

waaruit we vinden dat c1 =7

12. Dus y′ =

dy

dx=

1

3x3 − x+

7

12en integreren levert

∫dy =

∫ (1

3x3 − x+

7

12

)dx waaruit y =

1

12x4 − 1

2x2 +

7

12x+ c2

Eisen dat Q tot de kromme behoort levert 1 =1

12− 1

2+

7

12+ c2 en dus is c2 =

5

6. De vergelijking van de gezochte

kromme is dus y =1

12x4 − 1

2x2 +

7

12x+

5

6.

Probleem 4. Een hoeveelheid q hangt af van de tijd t. Bovendien is op elk moment de mate waarin die hoeveelheidtoeneemt een vast veelvoud van de waarde van die hoeveelheid op dat moment. Voor t = 0 is q = 25 en voor t = 2 isq = 75. Bepaal q als t = 6.

Oplossing. De mate van de toename van q op tijdstip t is gelijk aan de afgeleide q′(t) =dq

dt. Voor elk moment t is dus

dq

dt= k q voor een zekere k ∈ R, waaruit

dq

q= k dt. Integreren levert ln |q| = kt + c. Wegens Algemeen op de vorige

pagina kunnen we dit herschrijven als q = C ekt waarbij C ∈ R0.

3 Als t = 0 dan is q = 25 = C e0 dus C = 25.

3 Als t = 2 dan is q = 75 = 25 e2k. Dus e2k = 3, waaruit volgt dat k =ln 3

2= 0, 54 . . ..

Uiteindelijk, als t = 6 dan is q = 25 e3 ln 3 = 675 .

Probleem 5. Een stof A wordt omgezet in een andere stof B aan een snelheid die evenredig is aan de hoeveelheidniet-omgezette stof A. Als de hoeveelheid van A oorspronkelijk gelijk is aan 50 en op t = 3 gelijk is aan 25, wanneer

zal er slechts1

10van de stof A overblijven?

Oplossing. Noem q de hoeveelheid (omgezette) stof B op tijdstip t. Dan isdq

dt= k(50 − q) voor een zekere k ∈ R,

waaruitdq

50− q = k dt zodat ln(50− q) = −kt+ c of nog 50− q = C e−kt

waarbij C ∈ R0. Dus q = 50− C e−kt.3 Als t = 0 dan is q = 0 = 50− C e0 en zo vinden we dat C = 50.

3 Als t = 3 dan is q = 25 = 50− 50 e−3k en dus is k =ln 2

3= 0, 23 . . .

We zoeken nu het tijdstip t waarvoor q = 45 = 50−50 e−(t ln 2)/3. Een eenvoudige berekening leert dat t = 9, 9657 . . . .

?Probleem 6. De snelheid waarmee water uit een “klein” gaatje in een watertank stroomt is gelijk aan√

2gh, metg = 9, 81m/s2 en h de afstand van het gaatje tot de oppervlakte van het water in de tank. Bepaal de tijd die eencilindervormige (rechtopstaande) tank met een hoogte van 5 meter en straal 1 meter nodig heeft om leeg te lopen, alsmen onderaan een gat met straal 1cm maakt.

Oplossing. Noem h de hoogte van het waterniveau op tijdstip t. In een tijdspanne dt ontsnapt er een kleine cilinderwater uit het gaatje, met hoogte v dt en straal 0, 01m. Zo’n kleine cilinder water heeft dus volume van π(0, 01)2v dt =π(0, 01)2

√2gh dt kubieke meter.

In een tijdspanne dt zal het waterniveau zakken met afstand dh. Het volume zal dus “toenemen” met −π · 12 dhkubieke meter. Hieruit volgt dat

π(0, 01)2√

2gh dt = −π · 12 dh waaruit dt = −10000√2g

dh√h

en dus t = −20000√2g

√h+ c

Voor t = 0 is h = 5 dus c ≈ 10096, 38. De tank is leeg als h = 0 en dan is t ≈ −20000√2g

√0 + 10096, 38 = 10096, 38 dus

ongeveer 168, 25 minuten .

Pr-53

Evaluatieform

ulierPracticum

13D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en1.Rekenvaard

igheid.

3B

ijh

etal

geb

raıs

chm

anip

ule

ren

van

fun

ctie

voors

chri

ften

,fo

rmu

les,

verg

elij

kin

gen

,et

c.w

eet

jew

elke

tech

nie

ken

jem

oet

aanw

end

enom

tot

een

resu

ltaa

tte

kom

en,

envo

erje

dez

ete

chn

ieke

nco

rrec

tu

it.

3Je

kan

de

groot

ord

eva

nee

nre

sult

aat

goed

insc

hat

ten

.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

idd

elen

zoal

sh

etgr

afisc

hre

ken

mac

hin

eof

een

com

pu

terr

eken

pak

ket

gep

ast

insc

hake

len

om

een

bew

erkin

gu

itte

voer

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

ber

eken

inge

nd

ieje

met

ICT

bek

omen

heb

t.

2.M

eet-en

tekenvaard

igheid.

3G

rafi

eken

envo

orst

elli

nge

nva

nvla

kke

enru

imte

figu

ren

teke

nje

nau

wkeu

rig.

3Je

heb

tru

imte

lijk

voor

stel

lin

gsve

rmog

en.

3Je

kan

ICT

-hu

lpm

iddel

enzo

als

het

grafi

sch

reke

nm

ach

ine

ofee

nco

mp

ute

rrek

enp

akke

tge

past

insc

hakel

enom

een

figu

ur

teb

ekom

en.

Je

gaat

ook

kri

tisc

hom

met

de

voor

stel

lin

gen

die

jem

etIC

Tb

ekom

enh

ebt.

4.Denk-en

redeneerv

aard

igheden.

3Je

kan

het

ond

ersc

hei

dm

aken

tuss

enh

oof

d-

enb

ijza

ken,

gege

ven

enge

vra

agd

e,ge

geve

nen

teb

ewij

zen

.

3Je

ben

tin

staa

tee

nre

den

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eigen

sch

apte

beg

rijp

en.

3Je

kan

een

gege

ven

red

ener

ing

oph

aar

geld

igh

eid

ond

erzo

eken

.

3Je

kan

een

reden

erin

gof

argu

men

teri

ng

bij

een

eige

nsc

hap

ofd

eop

loss

ing

van

een

pro

ble

emop

bouw

en:

.je

kan

een

ver

moed

enfo

rmu

lere

nen

argu

men

tere

n;

.je

kan

een

eige

nsc

hap

form

ule

ren

opb

asis

van

een

ond

erzo

ekop

een

aanta

lvo

orb

eeld

en;

.je

kan

bij

het

opb

ouw

enva

nee

nre

den

erin

gee

nIC

T-h

ulp

mid

del

geb

ruik

en.

7.Leerv

aard

igheden

3Je

kan

loss

ege

geve

ns

verw

erke

n.

3Je

kan

sam

enh

ange

nd

ein

form

atie

verw

erke

n.

3Je

kan

info

rmat

ieb

ron

nen

raad

ple

gen

.

3Je

kan

stu

die

tijd

pla

nn

en.

3Je

kan

jeei

gen

leer

pro

ces

bij

stu

ren

.

Att

itu

des

10.Zin

voorkwaliteit

van

dewiskundigere

pre

senta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

13.Zelfre

gulatie.

3Je

toon

tee

non

der

zoek

sger

ichte

hou

din

gte

naa

nzi

enva

nfe

iten

,op

gave

nen

pro

ble

men

.

3Je

ben

tin

staa

tom

jein

een

oplo

ssin

gsp

roce

ste

orie

nte

ren

,h

etp

roce

ste

pla

nn

en,

het

uit

tevo

eren

enh

ette

bew

ake

n.

Pr-

54

PRACTICUM 14

EEN WETENSCHAPPELIJKE PRESENTATIE GEVEN


1. Inleiding

Het presenteren van resultaten is o.a. voor wetenschappers een belangrijk onderdeelvan hun werk. Een presentatie kan dienen om een uitgevoerd werk, project, ideeenof conclusies aan anderen kenbaar te maken. Evengoed kan het dienen om anderenvan je besluiten te overtuigen of zelfs om je eigen capaciteiten in de verf te zetten.Het mag duidelijk zijn dat een presentatie tot in de puntjes verzorgd moet zijn; nietalleen qua voorkomen, maar ook qua overzichtelijkheid, qua opbouw en uiteraard quainhoud. In je hogere studies en latere werkomgeving zul je meer dan waarschijnlijknog vaak (wetenschappelijke) presentaties moeten geven.

Wat is nu een wetenschappelijke presentatie? Het is een informatieve voor-dracht, waarbij je op een zakelijke manier rapporteert over een onderwerp met eenwetenschappelijke ondertoon: een statistisch onderzoek, een chemisch experiment,een wiskundig probleem, etc. Een presentatie moet

3 een hoofdboodschap bevatten,

3 eerder beknopt en zonder overbodige franjes zijn,

3 een logische structuur hebben en

3 gemakkelijk te volgen zijn.

Hiermee bedoelen we dat het publiek snel zicht moet krijgen op de opbouw en de inhoud van je verhaal. Het is nietaan de toehoorder om je voordracht verschillende keren te moeten horen om te achterhalen wat je bedoelt.

De vorm van een exact-wetenschappelijke voordracht is specifiek en verschilt van bijvoorbeeld een taalkundigepresentatie. In wat volgt leggen we o.a. de structuur van een wetenschappelijke voordracht uit en tonen met enkeletips hoe je je optimaal kan voorbereiden en de slaagkansen van je presentatie kan vergroten.

Opbouw

In principe heeft een wetenschappelijke presentatie de volgende structuur 1:

Titel

Inleiding

Hoofddeel

Besluit

Hieronder vind je de verschillende onderdelen verder uitgediept en uitgelegd.

Titel De keuze van de titel is niet onbelangrijk. De lezer moet uit de titel onmiddellijk het onderwerp van de pre-sentatie kunnen halen. Een titel als ’Voordracht practicum ecologie’ is te algemeen. Formuleringen als ’studie van’ of’onderzoek naar’, maar ook afkortingen, formules of merknamen worden best vermeden.

NIET: ‘Practicum 13 mei 2011’ of ‘Oefening 28 pagina 40’

WEL: ‘Het probleem van de 36 officieren’ of ‘Duiventilprincipe’

1Bij de empirische wetenschappen (bv. chemie en fysica, waar, in tegenstelling tot de wiskunde, experimentele toetsing een essentieelonderdeel vormt) bestaat de opbouw van het verslag of presentatie uit meer specifieke onderdelen: titel, inleiding, samenvatting, methodeen materialen, hoofddeel, resultaten, discussie, conclusie, bijlagen, referenties. We verwijzen naar L. Kirkup, Experimental methods: Anintroduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

Pr-55

Inleiding In de inleiding wordt verduidelijkt wat het onderwerp of de probleemstelling is en in welke context of geheelhet kadert. In tweede instantie kun je de opbouw van je presentatie toelichten. De bedoeling is dat de toehoorderinzicht krijgt in het gestelde probleem en de aanpak ervan. Ideaal is dat je enkele vragen stelt die je in je het hoofddeelzal beantwoorden. Dat stimuleert de aandacht van het publiek.

Hoofddeel Inhoudelijk is dit het belangrijkste deel van de voordracht. De andere delen dienen om te structureren,te duiden en het overzicht te bewaren. Het hoofddeel omvat het eigenlijk gepresteerde werk. In dit deel vertel jemeer dan alleen de antwoorden op eerder gestelde vragen. Eventueel kun je een aspect wat meer doorgronden en eenredenering maken die typisch is voor het onderwerp.

Besluit In het besluit grijp je terug naar je probleemstelling, onderzoeksvraag of kernboodschap uit de inleiding. Jegeeft ook aan op welke manier en in hoeverre je geslaagd bent in je opzet. Hier horen ook vergelijkingen met gekenderesultaten, opmerkingen over methodiek, tekortkomingen of suggesties voor verder onderzoek.

Voorbereiding

Een succesvolle presentatie begint met een goede voorbereiding. Om een presentatie in de steigers te zetten, doorloopje de volgende fasen2:

Ontwerp

1. Bepaal het doel.

2. Bepaal de hoofdboodschap.

3. Werk de structuur inhoudelijk uit.

4. Bepaal de verhaallijn.

5. Ontwerp een structuurdia.

Uitwerking

6. Maak een nieuwe presentatie aan.

7. Zet het geraamte op.

8. Maak beeldende dia’s.

Als extra ondersteuning bij het voorbereiden en aanmaken van je powerpoint bieden we je tien tips 3 aan.

Tip 1. Ken je publiek. Het is essentieel om je presentatie af te stemmen op het niveau van de toehoorders. Probeerte ontdekken waar je boodschap samenvalt met de interesse van het publiek. Op dat raakvlak liggen namelijkde aanknopingspunten voor een boeiende presentatie. Breng je publiek in beeld met de volgende vragen:

3 Wat weten de toehoorders van het onderwerp?

3 Wat zijn de verwachtingen?

3 Welk belang heeft het publiek bij je verhaal?

3 Welk inhoudelijk niveau kunnen ze aan?

Pik in op wat de gemiddelde toehoorder weet en breng hem als het ware naar een hoger niveau. Je publiek onder-schatten leidt tot verveling, overschatten zorgt ervoor dat ze afhaken.

NIET: ‘From somewhere to nowhere’ of ‘From nowhere to nowhere’

WEL: ‘From nowhere to somewhere’

Tip 2. Let je doelstellingen vast. Probeer je doelstelling te omschrijven in termen van eindresultaten. Bedenkwat het publiek na jouw presentatie minimaal moet onthouden. Wees realistisch in je ambities. Er is een grens aande hoeveelheid informatie die de toehoorders in korte tijd kunnen verwerken. Beperk je tot informatie die voor hetpubliek van belang is. Niet alles wat je weet, is van belang voor je publiek.

NIET: Wat wil ik kwijt?

WEL: Wat wil mijn publiek weten?

Tip 3. Leg een hoofdboodschap vast. Aan de hand van je doelstellingen formuleer je een kernboodschap. Diekun je al bij je eerste slides vermelden. Nuttig is om die hoofdboodschap enkele keren tijdens je presentatie herhalen.Uiteraard komt die ook nog eens op het einde van je presentatie aan bod.

TEST: Vraag een toehoorder drie dagen nadien: ‘Wat heb je van mijn voordracht onthouden?’

2M. Van den Berghe, OZo! Onderzoeken doe je zo, Plantyn , Mechelen, 2014.3Gebaseerd op Philip E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.

doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007) en http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .

Pr-56

http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/

Tip 4. Less is more. Een veelvoorkomende fout bij sprekers is dat ze teveel willen vertellen. Ze vinden het nodigom van meet af aan te bewijzen dat ze veel weten. Bijgevolg gaat de kernboodschap verloren, en kun je zelfs intijdsnood komen. Onthoud dat je kennis het best kan overbrengen door een heldere en bondige presentatie, die leidttot een dialoog tijdens het vragenmoment waarbij de toehoorders actieve deelnemers worden. Op dat moment zalwel duidelijk worden dat je veel over het onderwerp weet. Als er op het einde van je presentatie geen vragen gesteldworden, dan is dat eerder een slecht signaal: hoogstwaarschijnlijk was je presentatie dan onduidelijk of afgezaagd.

Tip 5. Maak je Powerpoint efficient. Een dia dient enkel

3 om het publiek te prikkelen,

3 om structuur te brengen in wat je zegt (kernwoorden),

3 als aanvulling op wat je zegt.

Breng je teveel tekst op je dia’s aan, dan zal het publiek zich eerder bezig houden met het lezen van de tekst in plaatsvan naar jou te luisteren. Reken per dia minstens een minuut.Wat de lay-out van je dia’s betreft, opteer voor kleuren met maximaal contrast (donkere op wit of wit op zwart).Vermijd een gekleurde tekst op een gekleurde achtergrond. Om kernwoorden in de verf te zetten gebruik je bestcontrast en grootte in plaats van kleur.

NIET: Een Powerpoint vervangt de spreker.

WEL: Een Powerpoint ondersteunt de spreker.

Tip 6. Oefen je presentatie in. Zeker bij je allereerste voordrachten. Let daarbij ook op de timing. Even belangrijkis om je te houden aan wat je voorbereid hebt. Helemaal uit den boze is spreken over zaken waar het publiek meervanaf weet dan jij. Een belangrijke voordracht geef je best eerst aan een kleine, informele groep (enkele medeleerlingenof ouders). Hou rekening met de kritiek die je krijgt.

TEST: Film jezelf tijdens het geven van een voordracht en leer daaruit.

Presenteren

Of een presentatie slaagt, hangt niet alleen af van de inhoud van je betoog maar ook van de manier waarop je deboodschap overbrengt. De beste maatstaf hiervoor is de interactie met het publiek, tijdens en na de voordracht.Onthoud dat het hoofddoel van een presentatie is: het publiek doen nadenken over wat je brengt.

Tip 7. Wees jezelf. Presentaties horen onderhoudend en vermakelijk te zijn, maar overdrijf niet en ken je grenzen.Als humor je niet ligt, probeer dan niet om grappig te zijn. Als je niet goed bent in het vertellen van anekdotes,vertel er dan geen. Een goede entertainer is hij die erin slaagt het publiek mee te hebben en de kernboodschap kanoverbrengen.

Tip 8. Hou je aan de voorziene tijd. Het is onbeleefd om je niet aan de voorziene tijd te houden. Vaak wordtje in zo’n geval ook aangemaand om af te ronden en dat kan je voordracht wat overschaduwen. Mocht je toch intijdsnood komen, klik je dia’s door en laat het publiek lezen.

Tip 9. Woord van dank. Vermeld de mensen met wie je samengewerkt hebt. Dat hoeft niet noodzakelijk op heteinde van de voordracht te gebeuren, vaak doet die gelegenheid zich ook voor bij de inleiding of tijdens het hoofddeelvan de presentatie. Is je voordracht er op uitnodiging gekomen, bedank dan ook de organisator of het instituut die jedie kans gegeven heeft.

Tip 10. Zijn er nog vragen? Eindigen in stijl betekent: na je besluitvorming het publiek bedanken voor de aan-dacht. Neem het applaus in ontvangst en begin niet meteen op te ruimen. Indien je voordracht kadert in een reeksvoordrachten (zoals bij een congres), dan zal iemand van de organisatie het publiek uitnodigen om vragen te stellen.In het andere geval doe je dat zelf, na het applaus.

Hoe kun je omgaan met vragen?

3 Herhaal of herformuleer de vraag. Niets is zo vervelend om na een antwoord te constateren dat de vraagstelleriets anders bedoelde.

3 Hou je antwoord terzake, kort en bondig.

3 Wees niet niet arrogant, stel je niet vijandig op. Dreigt de situatie te escaleren, zeg dan “Misschien koppelen wedit gesprek beter los van de voordracht, we praten straks verder.”

NIET: Dat weet ik niet.

WEL: Interessante vraag, daar moet ik langer over nadenken.

Pr-57

Verantwoording

De specifieke eindtermen voor de studierichtingen van de derde graad ASO met component wiskunde (6 tot 8 wekelijkselestijden wiskunde) bevatten drie eindtermen die onder de noemer onderzoekscompetenties worden gecatalogeerd:

OC1 Zich orienteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken.



In dit practicum komen vooral de eerste en de derde eindterm aan bod.



︸︷︷

︸

competentie 1

voorbereidenuitvoerenevalueren

︸︷︷

︸competentie 2

rapporteren


︸ competentie 3

2. Opdracht


Het wiskunde boek 4

3 Practicum (. . . lessen, thuis afwerken) Dit practicum wordt uitgevoerdin groepen van . . . leerlingen. In het begin van de les krijgt elke groep 15 tot20 onderwerpen uit nevenstaand boek. Elk onderwerp is voorzien van een halvepagina tekst en een mooie illustratie. De leerkracht kan een inkijkexemplaarvan het boek vooraan in de klas leggen.

Jullie nemen de onderwerpen door en beslissen in groep over welk onderwerpjullie een presentatie willen maken (duur: . . . minuten).

Daarna doorlopen jullie de stappen bij het ontwerpen van een presentatie: welkedoelstellingen willen we bereiken, welke kernboodschap willen we meegeven, etc.

Jullie presentatie beantwoord aan de criteria uit de inleiding, waarbij je de tipszo goed mogelijk tracht na te leven.

Na de les(sen) krijgen jullie voldoende tijd om dit practicum af te wer-ken. Afspreken buiten de schooluren kan moeilijk liggen. Daarom makenjullie op het einde van de eerste les enkele concrete afspraken, aan de hand van de volgende tabel (vul in):

Taak Wie? Tegen wanneer?

Extra informatie opzoeken (internet),in document plaatsen en doorsturen naar de anderen.

Uit dit document informatie selecteren voor presentatie,doorsturen naar de anderen.

Ontwerpen van een structuurdia,doorsturen naar de anderen.

Maken van een eerste versie van de presentatie,doorsturen naar de anderen.

Afdrukken van de finale versie van de presentatie,indienen in de practicumbundel (datum: zie practicum indienen).

Finale versie van de presentatie op stick zetten,meebrengen naar de les (datum: zie presentatie geven).

Geven van de presentatie.

3 Practicum indienen Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Een groepslid drukt de dia’s af en dient ze in. Daar-naast dient elk groepslid zijn/haar ingevulde evaulatiekaart in (pagina A-164).

3 Presentatie geven Op . . . . . . . . . . . . (datum invullen). Maximaal . . . minuten.

4C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland (2010).

Pr-58

Evaluatieform

ulierPracticum

14D

oel

stel

lin

gen

Beo

ord

elin

gC

om

men

taar

Inh

oud

elij

k

Vaa

rdig

hed

en6.

On

derz

oeksv

aard

igh

ed

en

3Je

kan

een

ond

erzo

ekso

pd

rach

tfo

rmu

lere

nen

afb

aken

en.

3Je

kan

een

aanp

akp

lan

nen

enzo

nod

igop

spli

tsen

ind

eelt

aken

.

3Je

kan

info

rmat

iever

wer

ken

enop

rele

vanti

ese

lect

eren

:

.d

ew

aard

eva

nd

ein

form

atie

beo

ord

elen

infu

nct

ieva

nd

eop

dra

cht;

.d

ere

lati

etu

ssen

gege

ven

sen

bew

erkin

gen

opzo

eken

enin

terp

rete

ren

.

3Je

kan

doel

mat

igee

nw

isku

nd

igm

od

else

lect

eren

ofop

stel

len

:

.ee

non

der

dee

lva

nee

nop

dra

cht

her

ken

nen

als

een

wis

kun

dig

ofee

nst

atis

tisc

hp

rob

leem

;.

vast

stel

len

ofee

nm

od

elvo

ldoet

enh

etev

entu

eel

bij

stel

len

;.

zon

od

igb

ijkom

end

ein

form

atie

verz

amel

enom

het

aan

gew

ezen

mod

elte

ku

nn

enh

ante

ren

.

3Je

kan

bij

een

mod

eld

ep

asse

nd

eop

loss

ings

met

hod

eco

rrec

tu

itvo

eren

.

3Je

kan

resu

ltat

enb

inn

end

eco

nte

xt

bet

eken

isge

ven

enze

daa

rin

kri

tisc

hev

alu

eren

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

oph

etge

hel

ep

roce

s,i.

h.b

.op

de

gem

aakte

keu

zen

voor

rep

rese

nta

tie

enw

erkw

ijze

.

3Je

kan

het

resu

ltaa

tva

nhet

ond

erzo

ekzi

nvo

lp

rese

nte

ren

,h

etst

and

punt

argu

men

tere

nen

vers

lag

uit

bre

ngen

van

het

pro

ces.

8.

Refl

ecti

evaard

igh

ed

en

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

aan

pak

van

jew

erk

enje

stu

die

s.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

jele

erp

roce

sen

jein

zet

(lei

den

zeto

th

etb

erei

ken

van

de

doel

stel

lin

g?)

.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

effici

enti

eva

nje

wer

ken

enje

lere

n.

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

ster

keen

de

zwak

keel

emen

ten

ind

eu

itvo

erin

gva

nje

opd

rach

t.

3Je

kan

jere

flec

tie

concr

eet

mak

end

oor

een

pla

nva

nve

rbet

erin

gop

test

elle

n(w

elke

elem

ente

nw

ord

engeb

ruik

tom

het

lere

nen

wer

ken

teve

rbet

eren

?).

3Je

kan

refl

ecte

ren

over

de

geza

mel

ijke

aan

pak

enov

erle

gb

ijee

ngr

oep

sop

dra

cht.

Att

itu

des

10.

Zin

voor

kw

ali

teit

van

de

wis

ku

nd

ige

rep

rese

nta

tie.

Je

heb

td

ege

woon

teom

jege

dac

hte

nb

ehoor

lijk

teve

rwoor

den

,en

de

voor

-en

nad

elen

van

een

bep

aald

ew

erkw

ijze

teb

esp

reken

.

14.

Zin

voor

sam

enw

erk

ing

en

overl

eg.

3Je

ziet

ind

atje

mog

elij

kh

eden

verg

root

wor

den

door

het

sam

enw

erke

nm

etan

der

en.

3Je

toon

tap

pre

ciat

ievo

oree

nan

der

eop

loss

ing

ofaa

np

ak.

15.

Waard

eri

ng

voor

de

wis

ku

nd

e.

Je

toon

tin

zich

tin

de

bij

dra

geva

nd

ew

isku

nd

ein

cult

ure

le,

his

tori

sch

een

wet

ensc

hap

pel

ijke

ontw

ikke

lin

gen

.

Evaluatiepunten:

zie

volgende

pagina

Pr-

59

Evaluatiepunten

A.Opbouw

01

23

45

Tit

el

De

keu

zeva

nd

eti

tel

isn

iet

onb

elan

grij

k.

De

leze

rm

oet

uit

de

tite

lon

mid

del

lijk

het

ond

erw

erp

van

de

pre

senta

tie

ku

nnen

hale

n.

Een

tite

lal

s’V

oor

dra

cht

pra

ctic

um

ecol

ogie

’is

teal

gem

een

.F

orm

ule

rin

gen

als

’stu

die

van

’of

’on

der

zoek

naar

’,m

aar

ook

afk

ort

ingen

,fo

rmu

les

of

mer

kn

amen

wor

den

bes

tve

rmed

en.

©©

©©

©©

Inle

idin

gIn

de

inle

idin

gw

ord

tve

rdu

idel

ijkt

wat

het

ond

erw

erp

ofd

ep

rob

leem

stel

lin

gis

,en

inw

elke

conte

xt

ofge

hee

lh

etka

der

t.In

twee

de

inst

anti

eku

nje

de

opb

ouw

van

jep

rese

nta

tie

toel

ichte

n.

De

bed

oel

ing

isd

atd

eto

ehoor

der

inzi

cht

kri

jgt

inh

etge

stel

de

pro

ble

emen

de

aan

pak

erva

n.

Idea

alis

dat

jeen

kele

vra

gen

stel

td

ieje

inje

het

hoof

dd

eel

zal

bea

ntw

oor

den

.D

atst

imu

leer

td

eaa

nd

acht

van

het

pu

bli

ek.

©©

©©

©©

Hoofd

deel

Inh

oud

elij

kis

dit

het

bel

angr

ijkst

ed

eel

van

de

voor

dra

cht.

De

and

ere

del

end

ien

enom

test

ruct

ure

ren

,te

duid

enen

het

over

zich

tte

bew

aren

.H

eth

oof

dd

eel

omva

th

etei

gen

lijk

gep

rest

eerd

ew

erk.

Ind

itd

eel

vert

elje

mee

rd

anal

leen

de

antw

oor

den

op

eerd

erges

teld

evra

gen

.E

ventu

eel

ku

nje

een

asp

ect

wat

mee

rd

oor

gron

den

,en

een

red

ener

ing

mak

end

iety

pis

chis

voor

het

ond

erw

erp

.

©©

©©

©©

Besl

uit

Inh

etb

eslu

itgr

ijp

jete

rug

naa

rje

pro

ble

emst

elli

ng,

ond

erzo

eksv

raag

ofker

nb

ood

sch

apu

itd

ein

leid

ing.

Je

geef

took

aan

op

wel

kem

an

ier

enin

hoev

erre

jege

slaa

gdb

ent

inje

opze

t.H

ier

hor

enook

verg

elij

kin

gen

met

geke

nd

ere

sult

aten

,op

mer

kin

gen

over

met

hod

iek,

tekort

kom

ingen

ofsu

gges

ties

voor

verd

eron

der

zoek

.

©©

©©

©©

Tota

al

op

bouw

:..

./

20

B.Voorb

ereiding

Ken

jep

ub

liek

Het

ises

senti

eel

omje

pre

senta

tie

afte

stem

men

oph

etniv

eau

van

de

toeh

oor

der

s.©

©©

©©

©H

oofd

bood

sch

ap

Ish

etac

hte

raf

du

idel

ijk

wat

de

hoof

db

ood

sch

apva

nd

ep

rese

nta

tie

was

?©

©©

©©

©L

ess

ism

ore

Onth

oud

dat

jeke

nn

ish

etb

est

kan

over

bre

nge

nd

oor

een

hel

der

een

bon

dig

ep

rese

nta

tie,

die

leid

tto

tee

nd

ialo

og

tijd

ens

het

vra

gen

mom

ent

waa

rbij

de

toeh

oor

der

sac

tiev

ed

eeln

emer

sw

ord

en.

©©

©©

©©

Maak

jeP

ow

erp

oin

teffi

cie

nt

Pri

kke

len

van

het

pu

bli

ek,

nie

tte

veel

tekst

opd

ed

ia’s

,la

y-o

ut,

geen

verv

ange

nd

em

aar

on

der

steu

nd

end

efu

nct

ie.

©©

©©

©©

Tota

al

voorb

erei

din

g:

...

/20

C.Presenteren

Wees

jezelf

Pre

senta

ties

hor

enon

der

hou

den

den

ver

mak

elij

kte

zijn

,m

aar

over

dri

jfn

iet

enke

nje

gre

nze

n.

Als

hu

mor

jen

iet

ligt,

pro

bee

rd

an

nie

tom

grap

pig

tezi

jn.

Als

jen

iet

goed

ben

tin

het

vert

elle

nva

nan

ekd

otes

,ve

rtel

erd

ange

en.

Een

goed

een

tert

ain

eris

hij

die

erin

slaagt

het

pu

bli

ekm

eete

heb

ben

end

eke

rnb

ood

sch

apka

nov

erb

ren

gen

.

©©

©©

©©

Hou

jeaan

de

voorz

ien

eti

jdH

etis

onb

elee

fdom

jen

iet

aan

de

voor

zien

eti

jdte

hou

den

.V

aak

wor

dt

jein

zo’n

gev

al

ook

aan

gem

aan

dom

af

tero

nd

en,

end

atka

nje

voor

dra

cht

wat

over

sch

aduw

en.

Moch

tje

toch

inti

jdsn

ood

kom

en,

kli

kje

dia

’sd

oor

enla

ath

etp

ub

liek

leze

n.

©©

©©

©©

Woord

van

dan

kV

erm

eld

de

men

sen

met

wie

jesa

men

gew

erkt

heb

t.D

ath

oef

tn

iet

nood

zake

lijk

oph

etei

nd

eva

nd

evo

ord

rach

tte

geb

eure

n,

vaak

doet

die

gele

gen

hei

dzi

chook

voor

bij

de

inle

idin

gof

tijd

ens

het

hoof

dd

eel

van

de

pre

senta

tie.

©©

©©

©©

Zij

ner

nog

vra

gen

/om

gaan

met

vra

gen

Ein

dig

enin

stij

lb

etek

ent:

na

jeb

eslu

itvo

rmin

gh

etp

ub

liek

bed

anken

voor

de

aan

dach

t.N

eem

het

app

lau

sin

ontv

angs

t,en

beg

inn

iet

met

een

opte

ruim

en.

Ind

ien

jevoor

dra

cht

kad

ert

inee

nre

eks

voor

dra

chte

n,

dan

word

th

etp

ub

liek

uit

gen

od

igd

omvra

gen

test

elle

n.

Inh

etan

der

ege

val

doe

jed

atze

lf,

na

het

app

lau

s.

©©

©©

©©

Tota

al

pre

sente

ren

:..

./

20

Tota

al:

...

/60

Pr-

60

Appendix

Practicum wiskunde

Bijlagen voor de leerkracht

A

BIJLAGEN BIJ PRACTICUM 1

INFORMATIE VERZAMELEN, ORDENEN EN BEWERKEN

Inhoudsopgave

Zelfevaluatiekaart [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-62

Poster van de Vlaamse Wiskunde Olympiade, editie 2010-2011 [43] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-63

A-61


Zelfevaluatiekaart Practicum 1

Zelfevaluatie

3 Kruis aan wat van toepassing is;

3 gebruik deze checklist om bij te sturen waar nodig.

Proces Aandachtspunten + +/- -

Opdracht . duidelijk

. boeiend

Bronnen . betrouwbaar

. gevarieerd

. doeltreffend

. voldoende

Materiaal . voldoende

. gevarieerd

. doeltreffend

. alle aspecten

Groepswerk . doeltreffend

. iedereen heeft zijn/haar deel gedaan

. afspraken nageleefd

. aangenaam

. boeiend

Product(verslag)

Aandachtspunten + +/- -

. logisch opgebouwd

. hoofdzaken onderscheiden van bijzaken

. terzake

. helder en aantrekkelijk taalgebruik

. boeiend

. persoonlijk

. rekening gehouden met doelpubliek

. begrippenlijst

. bronnenlijst

Conclusies

3 Bekijk aandachtig je minpunten, welke aspecten verdienen meer aandacht?Vraag hulp aan je leeraar of medeleerlingen, indien nodig.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Wat zijn je grootste troeven? Hoe ga je die in de verf zetten?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A-62



Inhoudsopgave

How to solve it - a dialogue [21] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-64Deze pagina’s bevatten het originele stappenplan voor probleemoplossend denken.

Lijst van opgaven [30, 31, 43, 41]

Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-66

Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-67

Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-70

Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-74

Niveau 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-76

Niveau 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-77

A-63

Niveau 1�

1p.Opgave 1. Als x2 = x+ 3, dan is x3 gelijk aan

© x+ 6

© 4x+ 3

© 4x2 + 3

© x2 + 3x+ 3

© x2 + 27�

1p.Opgave 2. Als alog b = 64, dan is a2

log (b3) gelijk aan

© 16

© 48

© 128/3

© 96

© 512�

1p.Opgave 3. Definieer de bewerking ∆ door a∆b = ab+ b. Dan is (3∆2)∆(2∆3) gelijk aan

© 72

© 73

© 80

© 81

© 90�

1p.Opgave 4. Het gemiddelde van a en 2b is 7, het gemiddelde van a en 2c is 8. Wat is het gemiddelde van a, b en c?

© 3

© 4

© 5

© 6

© 9�

1p. Opgave 5. Los de vergelijkingrs2a4

u=

√u

8sa2op naar u.

© 64r2s6a12

© 43√r2s2a4

© 43√r2s3a4

© 83√r2s2a4

© 43√r3s2a4

�

1p. Opgave 6. Bereken ln

(3√ab

a4b

)als gegeven is dat ln a = 2 en ln b = 6.

© −34

3

© −12

© 4

21

© −44

© 0�

A-66

Niveau 2�

2p.Opgave 7 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Uit a < b met a, b ∈ R volgt

© |a| < |b|© a2 < b2

© a3 < b3

© a4 < b4

©√|a| <

√|b|

�

2p.Opgave 8 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als f(x) = 2x dan is f(x+ 2) gelijk aan

© 4

© f(x) + 2

© f(x) + 4

© 2f(x)

© 4f(x)�

2p.Opgave 9. Als x = −1 een oplossing is van ax2 + bx+ c = 0, wat is de andere oplossing dan?

© x = −ab

© x = − ba

© x =b

a

© x = − ca

© x =c

b�

2p.Opgave 10. Theo lost de vergelijking ax− b = c op en Thea de vergelijking bx− c = a. Ze vinden beiden hetzelfde(correcte) antwoord voor x, waarbij a, b, c verschillend van elkaar en verschillend van nul zijn. Wat moet er gelden?

© a+ b+ c = 0

© a+ b+ c = 1

© a+ b = c

© b = a+ c

© a = b+ c�

2p. Opgave 11. Hoeveel asymptoten heeft de functie f(x) =x2 − 22x+ 40

x2 + 13x− 30?

© 0

© 1

© 2

© 3

© 4�

2p.Opgave 12. Voor welk natuurlijk getal n > 0 is 3n

√2013 · n

√2013 = 3

√2013 ?

© 1

© 2

© 3

© 4

© geen enkel�

A-67

Niveau 2�

2p.Opgave 13. Als s(x) = sin(πx) en S(x) = (s(x))

2, dan is s(s(1/6)) + S(S(1/3)) gelijk aan

© 3/4

© 1

© 4/3

© 3/2

© 2�

2p.Opgave 14. De som van een geheel getal N met het kwadraat van 2N levert een geheel getal M . Voor hoeveelwaarden van N is M een priemgetal?

© 0

© 1

© 2

© Een eindig (groter dan 2) aantal waarden.

© Een oneindig aantal waarden.�

2p.Opgave 15. Zij m en n twee rechten, onderling loodrecht, die beiden raken aan een cirkel met straal 6. Dan is deoppervlakte van het gebied begrensd door de rechten en de cirkel gelijk aan

© 9π

© 36− 9π

© 144− 36π

© 18π

© 72− 18π�

2p.Opgave 16. Als a2 − b2 = 33 en a3 − b3 = 817 gehele oplossingen a, b hebben met a > b, dan is de waarde van a− bgelijk aan

© 1

© 3

© 7

© 10

© 11�

2p.Opgave 17. Een driehoek ABC heeft zijden met lengte 6, 7 en 8. Dan is de (exacte) waarde van (cosα+cosβ+cos γ)gelijk aan

© 51/35

© 47/32

© 31/21

© 49/33

© 119/80�

2p.Opgave 18. Een datum noemt vreemd als de dag en de maand grootste gemene deler 1 hebben. Wat is het kleinstaantal vreemde dagen dat kan voorkomen in een maand?

© 9

© 10

© 11

© 14

© 15�

A-68

Niveau 2�

2p.Opgave 19 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Beschouw de functies

f(x) =√x, g(x) =

x

4, h(x) = 4x− 8

Dan is (h ◦ g ◦ f)(x) gelijk aan

©√x− 2

©√x− 8

© 2√x− 8

© √x− 8

© √x− 2

�

2p.Opgave 20 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De ruimtediagonaal van een kubus is 3. De oppervlakte van dezekubus is gelijk aan

© 3

© 3√

3

© 18

© 36

© 54

�

2p.Opgave 21 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). In een gelijkbenige driehoek met tophoek 120◦ beschouwen we allehoogtelijnen, zwaartelijnen en binnenbissectrices uit de drie hoekpunten. Hoeveel verschillende rechten zijn dit?

© 9

© 7

© 6

© 5

© 3

�

2p.Opgave 22 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Op de catwalk weegt een mannequin met haar kleren aan 59 kg.Ze blijkt 58 kg meer te wegen dan haar kleding. Hoe zwaar is haar kleding?

© 0, 25 kg

© 0, 50 kg

© 0, 75 kg

© 1, 00 kg

© 1, 25 kg

�

2p.Opgave 23. Een stock verliest 60% van zijn waarde. Om terug op de oorspronkelijke waarde te komen moet de stockstijgen met

© 60%

© 120%

© 150%

© 200%

© 400%

�

A-69

Niveau 3�

3p.Opgave 24. Vijf verdachten van een moord, waaronder de moordenaar, worden ondervraagd door de politie. Bijonderstaande verklaringen spreken drie van hen de waarheid en twee van hen liegen.

3 Verdachte A: “D is de moordenaar”

3 Verdachte B: “Ik ben onschuldig”

3 Verdachte C: “Het was niet verdachte E”

3 Verdachte D: “A liegt”

3 Verdachte E: “B zegt de waarheid”

Wie is de moordenaar?

© A

© B

© C

© D

© E�

3p.Opgave 25 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Zij x ∈ R en |x+ 1| < 3, dan geldt

© |x| < 2

© x < 2 of − x < 2

© x < 2 en − x < 2

© −2 < x < 2

© −4 < x < 2�

3p.Opgave 26. Als f(x) = e3x−2, wat is dan f

(1− ln( 1

x ))?

© e

x3

© ex3

© e+ x3

© e+1

x3

© 0�

3p.Opgave 27 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Gegeven zijn twee evenwijdige rechten a en b en punten P ∈ B,

Q ∈ A en R ∈ B zodanig dat |PQ| = 14 en RPQ = 110◦. Wat is de afstand tussen beide evenwijdige rechten?

© 14 cos 110◦

© 14 sin 110◦

© 14 cos 70◦

© 14

cos 110◦

© 14

sin 110◦

�

3p.Opgave 28. Toon aan dat

Z1 = 2Z0

(N1

N + 1

)

als

N =Z0 + 1

2 Z1

Z0 − 12 Z1

waarbij N 6= −1, Z0 6= 0

�

A-70

Niveau 3�

3p.Opgave 29. Susanne verdient tijdens weekdagen 10 euro per uur, op zaterdag 15 euro per uur en op zondag 20 europer uur. Als ze vorige maand 180 uren gewerkt heeft en in totaal 2315 euro verdiende, hoeveel keer meer uren tijdensweekdagen dan uren op zondag heeft ze vorige maand gewerkt?

© 75

© 77

© 80

© 82

© 85

�

3p.Opgave 30 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). De oplossingenverzameling van x3 < x < x2 is

© ∅

© ]−∞,−1[

© ]−∞, 0[

© ]0, 1[

© ]−∞, 1[ \ {0}�

3p.Opgave 31. Op welk van onderstaande intervallen is

2− xx− 3

steeds de sinus van een hoek?

© [1, 3[

© [0, 3[

© ]2, 3[

©]−∞, 5

2

[

©]−5

2,+∞

[

�

3p.Opgave 32. Duid in volgende reeks alle alternatieven aan waarbij Uitspraak (1) precies dezelfde betekenis heeft alsUitspraak (2).

© (1) Niet alle jongeren sporten en fuiven graag.(2) Er zijn jongeren die niet graag sporten en niet graag fuiven

© (1) Niet alle domme jongeren zijn blonde meisjes.(2) Er bestaan domme jongeren die geen blond meisje zijn.

© (1) Het is zo dat sommige mensen ongezond eten.(2) Sommige mensen eten niet ongezond.

© (1) Alle kinderen die niet goed zijn in wiskunde, zijn jongens.(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.

© (1) Alle kinderen die goed zijn in wiskunde zijn meisjes.(2) Alle meisjes zijn goed in wiskunde.

�

3p.Opgave 33. De bevolking van een stad groeit exponentieel in functie van de tijd en dus ook het aantal autodiefstallen.Als f(t) het aantal autodiefstallen per persoon in functie van de tijd is, dan is f(t)

© een exponentiele functie.

© geen constante functie.

© geen lineaire functie.

© geen exponentiele groei.

© geen exponentiele daling.

�

A-71

Niveau 3�

3p.Opgave 34 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Het verschil van de twee oplossingen van de vierkantsvergelijkingx2 + ax+ b = 0 is gelijk aan 5. De discriminant van deze vergelijking is dan

© 5

© 6, 25

© 10

© 25

© niet te bepalen uit deze gegevens

�

3p.Opgave 35 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Bepaal de oppervlakte van het vierkant met twee hoekpunten opde x-as (symmetrisch t.o.v. de oorsprong) en twee andere hoekpunten op de parabool met vergelijking y = 1

3 x2 + 3.

© 9

© 16

© 24

© 27

© 36

�

3p.Opgave 36 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Twee rechten met vergelijking y = ax en y = bx met a, b > 0maken een scherpe hoek, respectievelijk α en β, met de x-as zodanig dat α+ β = 90◦. Hieruit volgt:

© a+ b = 1

© a+ b = 2

© ab = 1

© a = 2b

© a = 4b

�

3p.Opgave 37. Welk van de volgende functies is gelijk aan de functie f(x) = x?

©√x2

© x

sign(x)

© dbxce

© ln(ex)

© eln x

�

3p.Opgave 38. In een klas zijn 40% van de leerlingen meisjes. Wanneer 3 jongens vervangen worden door meisjes, danzijn er in die klas 44% van de leerlingen meisjes. Hoeveel meer jongens dan meisjes zijn er in de klas?

© 10

© 12

© 15

© 18

© 20

�

A-72

Niveau 3�

3p.Opgave 39. Twee driehoeken worden gevormd in het eerste kwadrant, de ene met hoekpunten O(0, 0), A(5, 0),B(0, 12) en de andere met hoekpunten O(0, 0), C(8, 0) en D(0, 6). Het geheel getal dat het dichtst bij de afstandtussen de zwaartepunten van de driehoeken ligt is

© 0

© 1

© 2

© 3

© 4

�

3p.Opgave 40 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een droogrek staat in een kamer en bevat 100 rode sokken, 80groene sokken, 60 blauwe sokken en 40 zwarte sokken. Iemand neemt een voor een de sokken van de draad. Aangezienhet echter donker is in de kamer, zijn de kleuren van de sokken onmogelijk te zien. Wat is het kleinste aantal sokkendat hij van de draad moet nemen om zeker te zijn dat hij ten minste 10 paar heeft gekozen? (Een paar sokken zijnelke twee sokken van dezelfde kleur. Uiteraard mag geen enkele sok in meer dan een paar geteld worden.)

© 21

© 23

© 24

© 30

© 50

�

3p.Opgave 41 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een park heeft de vorm van een regelmatige zeshoek waarvan delengte van de zijden gelijk is aan 2 km. Annie maakt een wandeling van 5 km langs de omtrek, vertrekkend van eenhoekpunt. Hoeveel kilometers (in rechte lijn) is ze dan van haar startplaats verwijderd?

©√

13

©√

14

©√

15

©√

16

©√

17

�

3p.Opgave 42 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Vader schrijft een testament dat zijn nalatenschap aan zijn dochtersregelt: “De oudste dochter krijgt 1000 euro en 10% van wat er nog rest. Als dit uitbetaald is, krijgt de tweede 2000euro en 10% van wat er dan nog rest. De derde krijgt 3000 euro en 10% van de rest, enzovoort.” Bij zijn dood krijgenalle dochters precies evenveel. Hoeveel dochters heeft vader?

© 9

© 10

© 11

© 12

© 13

�

A-73

Niveau 4�

4p.Opgave 43. Een bibliotheek heeft tussen 1000 en 2000 boeken. Van deze boeken is 25% fictie, 1/13 zijn bibliografieenen 1/17 zijn atlassen. Hoeveel boeken zijn een bibliografie of een atlas?

© 136

© 232

© 240

© 271

© 280

�

4p.Opgave 44 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Als sin6 α+ cos6 α =

1

4, dan is cos(2α) gelijk aan

© 0

© 1

2

©√

2

2

©√

3

3

© 1

�

4p.Opgave 45. Zij −→v , −→w en −→u drie verschillende vectoren uit de Euclidische vectorruimte R2 die voldoen aan

||−→v || = ||−→w || = ||−→u || = 2 en −→v · −→w = −→w · −→u = 2.

Dan is

© −→v · −→u = 2

© −→v · −→u = 4

© −→v · −→u = −2

© −→v · −→u = −4

© −→v · −→u is uit de gegevens niet te bepalen

�

4p.Opgave 46. Een verzameling S bevat getallen en is volledig bepaald door de volgende regels:

3 2 ∈ S

3 Als n ∈ S dan 3n ∈ S en n+ 5 ∈ S.

Welke van de volgende getallen is geen element van S?

© 2000

© 2001

© 2002

© 2003

© 2004

�

A-74

Niveau 4�

4p. Opgave 47. Voor elke n ∈ N0 en elke x ∈ R0 is

n∑

k=1

nkxk−1 gelijk aan

©n−1∑

k=0

(n− 1)kxk−1

©n−1∑

k=0

nk+1xk

©n−1∑

k=0

nk−1xk−2

© Geen van vorige.

�

4p.Opgave 48. Een fixpunt van een (reele) functie y = f(x) is een reeel getal r zodat f(r) = r. Hoeveel van de volgendefuncties hebben altijd een fixpunt?

3 Een veeltermfunctie van de vorm y = xn met n ∈ N0.

3 Een homografische functie.

3 Een exponentiele functie.

3 Een logaritmische functie f(x) = alog x.

© 0

© 1

© 2

© 3

© 4

�

4p.Opgave 49. Als x2 + xy + 15x = 12 en y2 + xy + 15y = 42, welke van de volgende getallen is dan een mogelijkewaarde voor x+ y?

© 0

© 3

© 15

© 18

© Meerdere van bovenstaande mogelijkheden.

�

A-75

Niveau 5�

5p.Opgave 50. Voor i = 1 tot 6 stellen we alog

(blog ( clog xi)

)= 0, waarbij a, b en c elke rangschikking van 2, 4 en 8

doorloopt. Dan kan het product x1x2x3x4x5x6 uitgedrukt worden als 2N voor een zeker geheel getal N . Bepaal N .

© 19

© 20

© 28

© 33

© 50�

5p.Opgave 51. Getallen worden gewoonlijk voorgesteld in het decimaal stelsel, waarbij elke decimaal vermenigvuldigdwordt met een macht van tien. Zo stelt de decimale ontwikkeling ‘0, 123’ het getal 1/10 + 2/100 + 3/1000 voor. Omaan te duiden dat we werken met machten van tien, schrijft men soms

(0, 123)10 = 1/10 + 2/100 + 3/1000

In het ternair stelsel wordt elke ‘tricimaal’ vermenigvuldigd met een macht van drie. Zo is de ternaire ontwikkelingvan 1/3 + 2/9 + 1/27 gelijk aan ‘0, 121’. We schrijven dan

(0, 121)3 = 1/3 + 2/9 + 1/27

De ternaire ontwikkeling van 77/81 is gelijk aan

© (0, 950617284)3

© (0, 2012)3

© (0, 1211)3

© (0, 1111)3

© (0, 2212)3�

5p.Opgave 52. Een man wandelt, eerst op een vlakke weg en daarna op een heuvel. Aan de top van de heuvel wandelthij onmiddellijk terug naar zijn vertrekpunt. Op de vlakke weg wandelt hij aan 4km/u, bergop aan 3km/u en bergafaan 6km/u. Als volledige wandeling 6 u duurt, welke afstand heeft de man dan afgelegd?

© 16km

© 20km

© 24km

© 28km

© 32km�

5p.Opgave 53. Twee rekenkundige rijen worden vermenigvuldigd en leveren de rij 468, 462, 384, . . . Wat is de volgendeterm in deze rij?

© 250

© 286

© 300

© 324

© 336�

5p.Opgave 54. Twee gehele getallen noemt men relatief priem als hun grootste gemene deler gelijk is aan 1. Hoeveelpositieve gehele getallen kleiner dan 1000 zijn relatief priem met 105?

© 325

© 457

© 466

© 533

© 674�

A-76

Niveau 6�

6p.Opgave 55. Een cirkelvormige tafel wordt in de hoek van een rechthoekige kamer geduwd, zodat het raakt aan beidemuren. Een punt op de rand van de tafel ligt op 20cm van de ene muur en op 90cm van de andere muur. Wat is destraal van de tafel?

© 50cm

© 120cm

© 150cm

© 170cm

© 200cm�

6p.Opgave 56. Het getal (102010 + 1)2 + (102010 + 2)2 −

(102010

)2is deelbaar door

© 102010 − 1

© 102010 + 3

© 102010 + 4

© 102010 + 5

© 102010 + 6�

6p.Opgave 57. Een vrouw woont op 8km van haar werk. Op het moment dat ze met de fiets naar haar werk vertrekt,heeft ze 126km op haar teller staan, aan een gemiddelde snelheid van 17, 2km/u. Ze fietst naar haar werk en terug naarhuis. Bij het thuiskomen duidt haar teller een afstand van 142km aan, met een gemiddelde snelheid van 17, 6km/u.Bepaal de gemiddelde snelheid van de vrouw over het traject van haar huis naar haar werk en terug.

�

6p.Opgave 58. Voor een rij (an) = a1, a2, a3, . . . geldt a1 = 1, a2 = 2, a3 = 5 en an−1an−2 = 2anan−2− 2an−1an−1 voor

n ≥ 3. Dan isa2006a2005

gelijk aan

© 1002

© 1002, 5

© 1003

© 1003, 5

© 1004�

6p.Opgave 59. Bepaal de positieve 1024ste machtswortel uit

(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) . . . (21024 + 1) + 1

© 1

©√

2

© 2

© 4

© 512�

6p.Opgave 60 (Vlaamse Wiskunde Olympiade). Een klein muntstuk met straal r rolt zonder glijden rond een grootmuntstuk met straal R dat niet beweegt. De straal R is een geheel veelvoud van r. Het klein muntstuk maakt hierbijeen volledige omwenteling rond het groot muntstuk. Het aantal keer dat het klein muntstuk dan volledig om zijnmiddelpunt is gedraaid, is gelijk aan

© 1 +R

r

© R

r

© R+ r

R− r

© 2rR

r +R

© 1�

A-77



Inhoudsopgave

Tien problemen [1, 8, 23, 22]

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-80

Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-81

A-79

Tien problemen - Opgave

Probleem 1.


(b) Stel (3x− 1)7 = a7x7 + a6x


Probleem 2. Er is precies een veeltermA(x) van de vormA(x) = 7x7+a6x6+a5x

5+. . .+a1x+a0 met a0, a1, a2, . . . , a6 ∈R waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).



x2 + 1.



Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking 3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 =3√

2



Probleem 7. De vergelijking 2x2

= 323x+8 heeft twee reele oplossingen. Bepaal algebraısch hun product.




We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikjecola drinkt en je het laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjes opnam nietlanger stimulerend werken? Algebraısch oplossen en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.


8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0

Probleem 10. Bepaal algebraısch het grootste reeel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking

(210 log (x2b)

)2= 210 log x4


A-80

Tien problemen - Oplossingen

Probleem 1.


(b) Stel (3x− 1)7 = a7x7 + a6x


Oplossing.

(a) We eisen dat f(1) = 2 en bepalen zo de waarde van a:

f(1) = 2 ⇔ 3 · 13 − 4 · 12 + a · 1− 11 = 2

⇔ a = 14

We besluiten dat a = 14 .

(b) We kunnen (3x − 1)7 helemaal uitwerken, maar dat vergt veel werk. Echter, vraag (a) geeft ons het idee vooreen alternatief. Daar vonden we dat f(1) = 3 − 4 + a − 11, precies de som van de coefficienten van f(x). Webereiken dan ook a7 + a6 + . . .+ a0 door in de uitdrukking (3x− 1)7 = a7x

7 + a6x6 + . . .+ a0 de x-waarde gelijk

te stellen aan 1:

(3x− 1)7 = a7x7 + a6x

6 + . . .+ a0 ⇒ (3 · 1− 1)7 = a7 · 17 + a6 · 16 + . . .+ a0 stel x = 1

⇒ 27 = a7 + a6 + . . .+ a0

We besluiten dat a7 + a6 + . . .+ a0 = 128 .

Probleem 2. Er is precies een veelterm A(x) van de vorm

A(x) = 7x7 + a6x6 + a5x

5 + . . .+ a1x+ a0 met a0, a1, a2, . . . , a6 ∈ R

waarvoor geldt dat A(1) = 1, A(2) = 2, . . . , A(7) = 7. Bepaal A(0).

Oplossing. We kunnen deze zeven voorwaarden uitschrijven en dan verkrijgen we een stelsel met 7 vergelijkingen en7 onbekenden:

7 · 17 + 16 · a6 + 15 · a5 + 14 · a4 + 13 · a3 + 12 · a2 + 1 · a1 + a0 = 1

7 · 27 + 26 · a6 + 25 · a5 + 24 · a4 + 23 · a3 + 22 · a2 + 2 · a1 + a0 = 2

7 · 37 + 36 · a6 + 35 · a5 + 34 · a4 + 33 · a3 + 32 · a2 + 3 · a1 + a0 = 3

7 · 47 + 46 · a6 + 45 · a5 + 44 · a4 + 43 · a3 + 42 · a2 + 4 · a1 + a0 = 4

7 · 57 + 56 · a6 + 55 · a5 + 54 · a4 + 53 · a3 + 52 · a2 + 5 · a1 + a0 = 5

7 · 67 + 66 · a6 + 65 · a5 + 64 · a4 + 63 · a3 + 62 · a2 + 6 · a1 + a0 = 6

7 · 27 + 76 · a6 + 75 · a5 + 74 · a4 + 73 · a3 + 72 · a2 + 7 · a1 + a0 = 7

Zo’n stelsel algebraısch oplossen vergt erg veel werk. Daarom gaan we beter op een andere manier te werk.

We merken op dat de zeven voorwaarden ‘van dezelfde vorm’ zijn: we kunnen ze schrijven als

A(x) = x voor x = 1, 2, . . . , 7

Of, equivalent:A(x)− x = 0 voor x = 1, 2, . . . , 7

Anders gezegd, we kennen zeven nulpunten van de veelterm A(x) − x. Wegens de reststelling is A(x) − x deelbaardoor x− 1, x− 2, . . . , x− 7. Omdat grA(x)− x = 7, is deze veelterm noodzakelijk van de vorm

A(x)− x = a(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7) voor een zekere a ∈ R

Om de waarde van a te vinden, bedenken we dat de hoogstegraadsterm van A(x) gelijk is aan 7, terwijl de hoogste-graadsterm van a(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7) gelijk is aan a:

A(x)− x︸︷︷︸7x7+ veelterm graad <7

= a(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7)︸︷︷︸ax7+ veelterm graad <7

waaruit we vinden dat a = 7. Op die manier hebben we A(x) volledig bepaald en vinden we eenvoudig de waarde vanA(0):

A(x) = 7(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7) + x

⇒ A(0) = 7(0− 1)(0− 2)(0− 3)(0− 4)(0− 5)(0− 6)(0− 7) = −35 280

We besluiten dat A(0) = −35 280 .

A-81


Oplossing. Noem x de tijd die Henk er over doet als hij alleen schildert. We zoeken x.

Wanneer Lydia alleen werkt, dan heeft ze x+ 7 uur nodig om de ganse keuken te schilderen. Anders gezegd:

in een uur schildert Lydia1

x+ 7van de keuken (1)

Wanneer Henk alleen werkt, dan heeft hij x uur nodig om de ganse keuken te schilderen. Anders gezegd:

in een uur schildert Henk1

xvan de keuken (2)

Wanneer Lydia en Henk samen schilderen, dan hebben ze 12 uur nodig. Anders gezegd:

in een uur schilderen ze samen1

12van de keuken (3)

Anderzijds volgt uit (1) en (2) dat, wanneer Lydia en Henk samen werken, ze in een uur 1/(x+7)+1/x van de keukenschilderen. Gelijkstellen met (3) levert een rationale vergelijking:

1

12=

1

x+

1

x+ 7⇔ x(x+ 7)

12x(x+ 7)=

12(x+ 7)

12x(x+ 7)+

12x

12x(x+ 7)BV: x(x+ 7) 6= 0

⇔ x(x+ 7) = 12(x+ 7) + 12x

⇔ x2 + 7x = 12x+ 84 + 12x

⇔ x2 − 17x− 84 = 0

D = 172 − 4 · (−84) = 625 = 252

⇔ x =17± 25

2⇔ x = 21 of x = −4

In deze context is x positief. We besluiten dat Henk er 21 uren over doet als hij alleen schildert.

Controle. Als Henk er 21 uur over doet, dan heeft Lydia 21 + 7 = 28 uur nodig. In een uur schildert Henk dan 1/21van de keuken en Lydia 1/28 van de keuken. Dus samen schilderen ze in een uur 1/21 + 1/28 = 1/12 van de keuken.Waaruit volgt dat ze 12 uur nodig hebben om de ganse keuken te schilderen, wat overeenkomt met het gegeven.

A-82


x2 + 1.



Oplossing.

(a) Neem k ∈ R willekeurig. Dan geldt

er bestaat een reeel getal x waarvoor f(x) = k

⇔ de vergelijking f(x) = k heeft minstens een oplossing x

f(x) = k ⇔ 5x2 − 4x+ 8

x2 + 1= k BV: x2 + 1 6= 0

⇔ 5x2 − 4x+ 8 = k(x2 + 1)

⇔ (5− k)x2 − 4x+ 8− k = 0

⇔ de vergelijking (5− k)x2 − 4x+ 8− k = 0 heeft minstens een oplossing x

⇔ de discriminant van de vergelijking (5− k)x2 − 4x+ 8− k = 0 is groter of gelijk aan nul

D = (−4)2 − 4 · (5− k) · (8− k)= 16− 4(40− 5k − 8k + k2)= −4k2 + 52k − 144

⇔ − 4k2 + 52k − 144 ≥ 0

maak een tekentabel van − 4k2 + 52k − 144

. nulwaarden: los op − 4k2 + 52k − 144 = 0

D = 522 − 4 · (−4) · (−144) = 400 = 202

⇔ k =−52± 20

−8

⇔ k = 4 of k = 9

. tekentabel:x 4 9

−4k2 + 52k − 144 − 0 + 0 −

⇔ k ∈ [4, 9]

(b) Het bereik van de functie f is per definitie

ber f = {y ∈ R | ∃x ∈ R : f(x) = y}

= {k ∈ R | ∃x ∈ R : f(x) = k}

= {k ∈ R | er bestaat een reeel getal x waarvoor f(x) = k}

= {k ∈ R | k ∈ [4, 9]} wegens het antwoord op vraag (a)

zodat ber f = [4, 9] .

A-83

Probleem 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking

3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 =3√

2

Oplossing. Noem a = 3√

13x+ 37 en b = 3√

13x− 37. We bieden twee manieren aan om de vergelijking op te lossen.

Eerste manier: (a+ b)3 uitwerken

We vinden

3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 =3√

2 ⇔ a− b =3√

2

⇔ (a− b)3 = 2

⇔ a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 = 2

Er geldt

a3 =(

3√

13x+ 37)3

= 13x+ 37

b3 =(

3√

13x− 37)3

= 13x− 37

⇔ (13x+ 37)− 3a2b+ 3ab2 − (13x− 37) = 2

⇔ −3a2b+ 3ab2 = −72

⇔ a2b− ab2 = 24

⇔ ab(a− b) = 24

⇔ ab3√

2 = 24

⇔ ab =243√

2

⇔ (ab)3 =13 824

2

⇔ a3b3 = 6912

⇔ (13x+ 37)(13x− 37) = 6912

⇔ 169x2 = 8281

⇔ x = 7 of x = −7

Tweede manier: a3 − b3 ontbinden in factoren

We vinden

3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 =3√

2 ⇔ a− b =3√

2

Nu is enerzijds

a3 − b3 =(

3√

13x+ 37)3 −

(3√

13x− 37)3

= (13x+ 37)− (13x− 37) = 74 (1)

terwijl anderzijdsa3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2) =

3√

2 (a2 + ab+ b2) (2)

Gelijkstellen van (1) en (2) geeft dan

3√

2 (a2 + ab+ b2) = 74 ⇒ a2 + ab+ b2 =743√

2(3)

Het is opvallend dat het linkerlid van (3) erg gelijkaardig is aan

a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2 =(

3√

2)2

=3√

4 (4)

A-84

Uit (3) - (4) volgt dan

3ab =743√

2− 3√

4 =74− 3

√4 · 3√

23√

2=

723√

2

⇔ ab =243√

2

⇔ (ab)3 =13 824

2

⇔ a3b3 = 6912

⇔ (13x+ 37)(13x− 37) = 6912

⇔ 169x2 = 8281

⇔ x = 7 of x = −7

We hebben 3ab =743√

2− 3√

4 verkregen door een implicatie ⇒. Dus achteraf moeten we onze oplssingen controleren

door ze in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking.

Voor x = 7 vinden we

3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 = 3√

13 · 7 + 37− 3√

13 · 7− 37

=3√

128− 3√

54 =3√

43 · 2− 3√

33 · 2 = 43√

2− 33√

2 =3√

2

en voor x = −7 verkrijgen we

3√

13x+ 37− 3√

13x− 37 = 3√

13 · (−7) + 37− 3√

13 · (−7)− 37

= 3√−54− 3

√−128 = − 3

√33 · 2 +

3√

43 · 2 = −33√

2 + 43√

2 =3√

2

hetgeen betekent dat OplV = {−7, 7} .



Oplossing. Alvast is f(7) = 7 +√

7

g(f(7)) = g(7 +√

7) = 7 +√

7 +1

4=

29

4+√

7

f(g(f(7))) = f(29

4+√

7) = 7 +

√29

4+√

7

hetgeen na enkele stappen al hopeloos ingewikkeld wordt. Daarom volgen we de aanwijzing.

Noemen we h = g ◦ f , dan is h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)), zodat gevraagd wordt om te berekenen

g(f(g(f(g(f(7)))))) = h(h(h(7)))

We proberen h(x) te schrijven als het kwadraat van een tweeterm:

h(x) = g(f(x)) = g(x+√x) = x+

√x+

1

4=√x2

+ 2 · 1

2· √x+

(1

2

)2

=

(√x+

1

2

)2

Op die manier wordt

h(7) =

(√7 +

1

2

)2

h(h(7)) = h

((√7 +

1

2

)2)=

(√(√7 +

1

2

)2

+1

2

)2

=(√

7 + 1)2

h(h(h(7))) = h

((√7 + 1

)2)=

(√(√7 + 1

)2+

1

2

)2

=

(√7 +

3

2

)2

=37

4+ 3√

7

A-85

Probleem 7. De vergelijking

2x2

= 323x+8

heeft twee reele oplossingen. Bepaal algebraısch hun product.

Oplossing. We hebben

2x2

= 323x+8 ⇔ 2x2

= (25)3x+8

⇔ 2x2

= 25(3x+8)

⇔ x2 = 5(3x+ 8)

⇔ x2 − 15x− 40 = 0

Dit laatste is een tweedegraadsvergelijking, met discriminant D = 152 − 4 · (−40) = 385 > 0 zodat er inderdaad twee(verschillende) oplossingen x1, x2 zijn. Herhaal dat voor een tweedegraadsvergelijking ax2 + bx+ c = 0 met positieve

discriminant de som S en het product P van de twee oplossingen gegeven wordt door S = − ba

en P =c

a, zodat in ons

geval het product van de twee oplossingen gelijk is aan −40 .




We nemen aan dat een blikje cola van 330ml ongeveer 45mg cafeıne bevat. Stel dat je drie uur lang elk uur een blikjecola drinkt en je het laatste blikje om 22u. drinkt, omstreeks hoe laat zal de cafeıne die je uit deze blikjes opnam nietlanger stimulerend werken? Algebraısch oplossen en je resultaat afronden op een minuut nauwkeurig.

Oplossing. Noemen we

C1(t) de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaam afkomstig van het eerste blikje, op t uur na 20 u.

C2(t) de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaam afkomstig van het tweede blikje, op t uur na 20 u.

C3(t) de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaam afkomstig van het derde blikje, op t uur na 20 u.

dan is

C1(t) = 45 · (0, 87)t voor t ≥ 0

C2(t) = 45 · (0, 87)t−1 voor t ≥ 1

C3(t) = 45 · (0, 87)t−2 voor t ≥ 2

zodat de resterende hoeveelheid cafeıne (in mg) in het lichaam afkomstig van de drie blikjes, op t uur na 20 u. gegevenwordt door

C(t) = 45 · (0, 87)t + 45 · (0, 87)t−1 + 45 · (0, 87)t−2 voor t ≥ 2

Gevraagd is het tijdstip t waarvoor

C(t) = 20 ⇔ 45 · (0, 87)t + 45 · (0, 87)t−1 + 45 · (0, 87)t−2 = 20

⇔ 45 · (0, 87)t−2(

(0, 87)2 + 0, 87 + 1

)= 20

⇔ (0, 87)t−2 =20

45 · ((0, 87)2 + 0, 87 + 1)

⇔ t− 2 = 0,87log

(20

45 · ((0, 87)2 + 0, 87 + 1)

)

⇔ t = 0,87log

(20

45 · ((0, 87)2 + 0, 87 + 1)

)+ 2 = 14, 7582097 . . . = 14u.45, 4925 . . .min

zodat de cafeıne niet langer stimulerend zal werken vanaf ongeveer 10.45 u. de volgende dag .

A-86


8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0

Oplossing.

8(4x + 4−x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0 ⇔ 8(22x + 2−2x)− 54(2x + 2−x) + 101 = 0

noem t = 2x

⇔ 8(t2 + t−2)− 54(t+ t−1) + 101 = 0

noem y = t+ t−1

dan is y2 = (t+ t−1)2 = t2 + 2 + t−2

⇔ 8(y2 − 2)− 54y + 101 = 0

⇔ 8y2 − 54y + 85 = 0

⇔ y =17

4of y =

5

2

⇔ t+ t−1 =17

4of t+ t−1 =

5

2

⇔ 4t2 − 17t+ 4 = 0 of 2t2 − 5t+ 2 = 0

⇔ t = 4 of t =1

4of t = 2 of t =

1

2

⇔ 2x = 4 of 2x =1

4of 2x = 2 of 2x =

1

2

⇔ x = 2 of x = −2 of x = 1 of x = −1

Probleem 10. Bepaal algebraısch het grootste reeel getal b waarvoor de oplossingen van de vergelijking(

210 log (x2b))2

= 210 log x4


Oplossing. We hebben alvast(

210 log (x2b))2

= 210 log x4 BV: x2b ∈ R+0 en x2 ∈ R+

0

⇔(

2b · 210 log x)2

= 4 · 210 log x BV: x ∈ R+0

noem t =210 log x

⇔ (2b · t)2 = 4 · t⇔ 4t · (b2t− 1) = 0

⇔ t = 0 of t =1

b2

⇔ 210 log x = 0 of 210 log x =1

b2

⇔ x = 1 of x =(210)1/b2

⇔ x = 1 of x = 210/b2

Willen alle oplossingen x gehele getallen zijn, dan moet 210/b2

een geheel getal zijn. In een lijst gaan we enkele gevalenna:

210/b2

10/b2 b

−1 | |0 | |1 0 |2 1

√10 = 3, 16 . . .

3 2log 3

√10

2log 3= 2, 51 . . .

4 2√

5 = 2, 23 . . .

Het verband dat bij elk geheel getal van de vorm 210/b2

het getal b weergeeft, is dalend. Het grootste reeel getal b

waarvoor alle oplossingen gehele getallen zijn, is dus b =√

10 .

A-87


TOEPASSINGEN IN GROEP VERWERKEN

Inhoudsopgave

Toepassing 1 en 2 [8]

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-90

Ingevulde versie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-98

Oefeningen 1-4 [8]

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-106

Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-107

A-89

Toepassingen op matrices - Opgave

Toepassing 1. Matrices en aantal verbindingen in grafen

3 Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkseinternationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilie en Canada. Hetgetal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld,van luchthaven b3 in Brazilie zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c3 in Canada, maar geen enkelevlucht naar c2 in Canada.

Bereken het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj met een tussenlanding in Brazilie (voor elke i en j).

Algerije Brazilie Canada

2

1

3

1

2

1

3

22

1

4

1

a1

a2

b1

b2

b3

b4

c1

c2

c3

Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merkenkunnen we zo’n soort problemen wat efficienter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennenover welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.

Stap 1. Start met een voorbeeld.

We berekenen bijvoorbeeld:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is 2 · 3︸︷︷︸via b1

+ 1 · 2︸︷︷︸via b2

+ 0 · 1︸︷︷︸via b3

+ 1 · 0︸︷︷︸via b4

= 8 (∗)

Analoog bereken je bijvoorbeeld:

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is . . .

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is . . .

A-90

Stap 2. Herken in Stap 1 een vermenigvuldiging van matrices.

In de bewerking (∗) herkennen we:

aantal vluchten van a1 naar c1 via B is[2 1 0 1

]·

3210

=

[8]

Analoog herken je:

aantal vluchten van a2 naar c1 via B is[. . . . . . . . . . . .

]·

. . .

. . .

. . .

. . .

= . . .

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is[. . . . . . . . . . . .

]·

. . .

. . .

. . .

. . .

= . . .

Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix P en alle kolommen in een matrix Q.

Om met een bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazilie te berekenen, maken we volgendematrixvermenigvuldiging:

[2 1 0 13 0 2 1

]

︸︷︷︸P

·

3 0 22 0 01 0 40 1 0

︸︷︷︸Q

= . . .

Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazilie gelijk aan het (. . . , . . .)-de

element van de matrix P ·Q en dat is gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilie voor, ook wel dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilie genoemd.

↗ b1 b2 b3 b4

a1 2 1 0 1a2 1 0 2 1

matrix P =

[2 1 0 11 0 2 1

]Pik = aantal directe wegen van ai naar bk

De notatie ‘a1 ↗ b1’ wijst op het aantal wegen van a1 naar b1, namelijk a1 ↗ b1 = 2.

Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazilie naar Canada voor.

↗ c1 c2 c3

b1 3 0 2b2 2 0 0b3 1 0 4b4 0 1 0

matrix Q =

3 0 22 0 01 0 40 1 0

Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj

A-91

Metro van Londen

3 Modelvoorbeeld De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tus-sen vier stations s1, s2, s3 en s4.

(a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sjmet een tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j).

(b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop? Leesdit af uit je antwoord op (a).

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naars1 met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van jegrafische rekenmachine.

(d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurigestations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

s1

s2

s3

s4

Oplossing.

(a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.



aantal verbindingen van s1 naar s4via een tussenstop is

. . . · . . .︸︷︷︸via s1

+ . . . · . . .︸︷︷︸via s2

+ . . . · . . .︸︷︷︸via s3

+ . . . · . . .︸︷︷︸via s4

= . . . (∗∗)


In de bewerking (∗∗) herkennen we:


[. . . . . . . . . . . .

]·

. . .

. . .

. . .

. . .

= . . .


Om met een bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via een tussenstop te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging:

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

︸︷︷︸P

·

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

︸︷︷︸Q

= . . .

Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P . Dat komt omdat het begin-station, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf.

(b) Het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de matrix

P 2 en dat is gelijk aan . . .

A-92

http://nl.wikipedia.org/wiki/Metro_van_Londen

(c) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstopsberekenen?

Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine.

2ND MATRIX EDIT 1:[A] 4 ENTER etc. 2ND QUIT

2ND MATRIX ENTER ∧ . . . ENTER >

Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de

matrix . . . en dus gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix . . . noemen we de . . . stapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

(d) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstopsberekenen?


Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (. . . , . . .)-de element van de

matrix . . . en dus gelijk aan . . .

Opmerking. De matrix . . . noemen we de . . . stapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

A-93

Toepassing 2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen

Jan Van Eyckplein,Brugge

3 Op ontdekking We beschouwen een eenvoudig model voor de veranderingvan het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland.

Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar hetplatteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizennaar de stad. Stel in 2012 wonen er 60000 mensen in de stad en 40000 mensenop het platteland.

(a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar enna vijf jaar. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf:

platteland stad

0, 05

0, 03

0, 97 0, 95

Ook hier kunnen we het probleem wat efficienter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen overwelke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.



aantal mensen in de stadna een jaar:

0, 95 · 60000︸︷︷︸aandeel van stad

+ 0, 03 · 40000︸︷︷︸aandeel van platteland

= 58200 (∗)Analoog bereken je bijvoorbeeld:

aantal mensen op plattelandna een jaar:

. . .




[0, 95 0, 03

]·[6000040000

]=[58200

]

Analoog herken je:


[. . . . . .

]·[

. . .

. . .

]= . . .


Om met een bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na een jaar te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging: [

0, 95 0, 030, 05 0, 97

]

︸︷︷︸P

·[6000040000

]

︸︷︷︸Q

= . . .

Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert vooreen andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix 1 (of migratiematrix) genoemd.

↙ stad platteland

stad 0, 95 0, 03platteland 0, 05 0, 97

matrix P =

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]Pij = proc. aandeel van plaats j naar i

De notatie ‘stad↙ platteland’ wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijkstad ↙ platteland = 0, 05.

1Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 100%.

A-94

http://nl.wikipedia.org/wiki/Jan_van_Eyckplein

(a) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaarberekenen? En na vijf jaar?

(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert?

A-95

Roodkopvuurkever(Pyrochroa serraticornis)

3 Modelvoorbeeld De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij be-schikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 1000 insecten. Elke levensfase (ei, larveen insect) duurt een maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in eenafgesloten ruimte. Na een maand is de situatie als volgt:

. Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen.

. Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood.

. Van de oorspronkelijke insecten is er niet een meer over. Maar ze hebbenelk gemiddeld 100 eitjes voortgebracht.

(a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf.

(b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten naeen maand, twee maanden en acht maanden.

(c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafi-sche rekenmachine.

Oplossing.

(a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf:

eitje larve insect0, 05 0, 2

100

(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.



aantal eitjesna een maand:

. . . · . . .︸︷︷︸aandeel van eitjes

+ . . . · . . .︸︷︷︸aandeel van larven

+ . . . · . . .︸︷︷︸aandeel van insecten

= . . . (∗∗)




[. . . . . . . . .

]·

. . .. . .. . .

=

[. . .

]


Om met een berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na een maand te kennen maken we devolgende matrixvermenigvuldiging:

. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .

︸︷︷︸P

·

. . .. . .. . .

︸︷︷︸Q

= . . .

Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ookwel een Leslie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.

2Een Leslie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaal mogenverschillen van het getal 0. Het model van Leslie werd beschreven door P.H. Leslie 1945 [17] en vereist een populatie die niet onderhevigis aan migratie en waarbij slechts een sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd.

A-96

http://www.plantpress.com/wildlife/o250-redheadedcardinalbeetle.php

(b) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? Enna acht maanden?

(c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft?

A-97

Toepassingen op matrices - Ingevulde versie

Toepassing 1. Matrices en aantal verbindingen in grafen

3 Op ontdekking De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkseinternationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilie en Canada. Hetgetal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld,van luchthaven b3 in Brazilie zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c3 in Canada, maar geen enkelevlucht naar c2 in Canada.

Bereken het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj met een tussenlanding in Brazilie (voor elke i en j).

Algerije Brazilie Canada

2

1

3

1

2

1

3

22

1

4

1

a1

a2

b1

b2

b3

b4

c1

c2

c3

Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merkenkunnen we zo’n soort problemen wat efficienter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennenover welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.



aantal vluchten van a1 naar c1 via B is 2 · 3︸︷︷︸via b1

+ 1 · 2︸︷︷︸via b2

+ 0 · 1︸︷︷︸via b3

+ 1 · 0︸︷︷︸via b4

= 8 (∗)


aantal vluchten van a2 naar c1 via B is 3 · 3 + 0 · 2 + 2 · 1 + 1 · 0 = 11

aantal vluchten van a2 naar c3 via B is 3 · 2 + 0 · 0 + 2 · 4 + 1 · 0 = 14

A-98




]·

3210

=

[8]

Analoog herken je:


]·

3210

=

[11]


]·

2040

=

[14]


Om met een bewerking het aantal dagelijkse vluchten van ai naar cj via Brazilie te berekenen, maken we volgendematrixvermenigvuldiging:

[2 1 0 13 0 2 1

]

︸︷︷︸P

·

3 0 22 0 01 0 40 1 0

︸︷︷︸Q

=

[8 1 411 1 14

]

Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a2 naar c3 met een tussenlanding in Brazilie gelijk aan het (2, 3)-deelement van de matrix P ·Q en dat is gelijk aan 14.

Opmerking. De matrix P stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilie voor, ook wel dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilie genoemd.

↗ b1 b2 b3 b4

a1 2 1 0 1a2 1 0 2 1

matrix P =

[2 1 0 11 0 2 1

]Pik = aantal directe wegen van ai naar bk

De notatie ‘a1 ↗ b1’ wijst op het aantal wegen van a1 naar b1, namelijk a1 ↗ b1 = 2.

Analoog stelt matrix Q de directe wegenmatrix van Brazilie naar Canada voor.

↗ c1 c2 c3

b1 3 0 2b2 2 0 0b3 1 0 4b4 0 1 0

matrix Q =

3 0 22 0 01 0 40 1 0

Qkj = aantal directe wegen van bk naar cj

A-99

Metro van Londen

3 Modelvoorbeeld De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tus-sen vier stations s1, s2, s3 en s4.

(a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van si naar sjmet een tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j).

(b) Wat is het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop? Leesdit af uit je antwoord op (a).

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s4 naars1 met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van jegrafische rekenmachine.

(d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s1 naar s1 met tien tussenstops in willekeurigestations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

s1

s2

s3

s4

Oplossing.

(a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.




1 · 1︸︷︷︸via s1

+ 2 · 1︸︷︷︸via s2

+ 3 · 4︸︷︷︸via s3

+ 1 · 0︸︷︷︸via s4

= 15 (∗∗)




[1 2 3 1

]·

1140

=

[15]


Om met een bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via een tussenstop te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging:

1 2 3 12 0 0 13 0 0 41 1 4 0

︸︷︷︸P

·

1 2 3 12 0 0 13 0 0 41 1 4 0

︸︷︷︸Q

=

15 3 7 153 5 10 27 10 25 315 2 3 18

Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix Q gelijk aan de matrix P . Dat komt omdat het begin-station, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men P dedirecte-wegenmatrix (of eenstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf.

(b) Het aantal verbindingen van s2 naar s3 met een tussenstop gelijk aan het (2, 3)-de element van de matrixP 2 en dat is gelijk aan 10.

A-100

http://nl.wikipedia.org/wiki/Metro_van_Londen

(c) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met twee tussenstopsberekenen?

We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal verbindingen van s1 naar s4 mettwee tussenstops kennen. Is de eerste tussenstop s1, dan levert dat 1 mogelijkheid van s1 naar s1, daarna15 mogelijkheden van s1 naar s4. Analoog met een andere eerste tussenstop levert:

aantal verbindingen van s1 naar s4via twee tussenstops is

1 · 15︸︷︷︸via eerst s1

+ 2 · 3︸︷︷︸via eerst s2

+ 3 · 7︸︷︷︸via eerst s3

+ 1 · 15︸︷︷︸via eerst s4

= 57

We herkennen hierin de vermenigvuldiging van de eerste rij van P met de eerste kolom van P 2:

aantal verbindingen van s1 naar s4via twee tussenstops is

[1 2 3 1

]·

153715

=

[57]

Om met een bewerking het aantal verbindingen van si naar sj via twee tussenstops te berekenen, makenwe dus de matrixvermenigvuldiging P · P 2 = P 3.


2ND MATRIX EDIT 1:[A] 4 ENTER etc. 2ND QUIT

2ND MATRIX ENTER ∧ . . . ENTER >

Zo is het aantal wegen van s4 naar s1 met twee tussenstops gelijk aan het (4, 1)-de element van de matrixP 3 en dus gelijk aan 46.

Opmerking. De matrix P 3 noemen we de driestapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

(d) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal verbindingen van station si naar sj met tien tussenstopsberekenen?

Analoog als in (c) doen we dat door P 11 te berekenen.Ter informatie: met behulp van de grafische rekenmachine vinden we

P 11 =

149 869 761 75 960 622 175 822 703 139 575 04575 960 622 32 716 288 74 726 032 73 743 273175 822 703 74 726 032 170 475 048 171 209 552139 575 045 73 743 273 171 209 552 128 430 948

Zo is het aantal wegen van s1 naar s1 met tien tussenstops gelijk aan het (1, 1)-de element van de matrixP 11 en dus gelijk aan 149.869.761.

Opmerking. De matrix P 11 noemen we de elfstapsverbindingsmatrix van de totale graaf.

A-101

Toepassing 2. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen

Jan Van Eyckplein,Brugge

3 Op ontdekking We beschouwen een eenvoudig model voor de veranderingvan het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland.

Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar hetplatteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizennaar de stad. Stel in 2012 wonen er 60000 mensen in de stad en 40000 mensenop het platteland.

(a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar enna vijf jaar. Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

(b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf:

platteland stad

0, 05

0, 03

0, 97 0, 95

Ook hier kunnen we het probleem wat efficienter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen overwelke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen.






= 58200 (∗)



0, 05 · 60000 + 0, 97 · 40000 = 41800




[0, 95 0, 03

]·[6000040000

]=[58200

]

Analoog herken je:


[0, 05 0, 97

]·[6000040000

]=[41800

]


Om met een bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na een jaar te berekenen, maken wevolgende matrixvermenigvuldiging:

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]

︸︷︷︸P

·[6000040000

]

︸︷︷︸Q

=

[5820041800

]

Opmerking. De matrix P stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert vooreen andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix 1 (of migratiematrix) genoemd.

↙ stad platteland

stad 0, 95 0, 03platteland 0, 05 0, 97

matrix P =

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]Pij = proc. aandeel van plaats j naar i

1Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan 100%.

A-102

http://nl.wikipedia.org/wiki/Jan_van_Eyckplein

De notatie ‘stad↙ platteland’ wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijkstad ↙ platteland = 0, 05.

(a) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar bere-kenen? En na vijf jaar?

We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal mensen in de stad na twee jaarkennen. Dat is een aandeel van 0, 95 keer het aantal mensen in de stad na een jaar, plus een aandeel van0, 03 keer het aantal mensen op het platteland na een jaar:

aantal mensen in de stadna twee jaar:



= 56544

We herkennen hierin een vermenigvuldiging van de eerste rij van P met de eerste kolom van P ·Q:

aantal mensen in de stadna twee jaar:

[0, 95 0, 03

]·[5820041800

]=[56544

]

Om met een bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na twee jaar te berekenen, makenwe dus de matrixvermenigvuldiging

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]

︸︷︷︸P

·[5820041800

]

︸︷︷︸P ·Q

=

[5654443456

]

Merk op dat we ook eerst P 2 kunnen berekenen en daarna vermenigvuldigen met Q:

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]

︸︷︷︸P

·[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]

︸︷︷︸P

·[6000040000

]

︸︷︷︸Q

=

[0, 904 0, 05760, 096 0, 9424

]

︸︷︷︸P 2

·[6000040000

]

︸︷︷︸Q

=

[5654443456

]

Analoog vinden we het aantal inwoners in de stad en op het platteland na vijf jaar (maak gebruik van jegrafische rekenmachine): [

0, 95 0, 030, 05 0, 97

]5

︸︷︷︸P 5

·[6000040000

]

︸︷︷︸Q

≈[5232947671

]

(b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert?

Dat kunnen we door te berekenen wat het aantal mensen in de stad is na een groot aantal jaren, bijvoorbeeldna 50 of zelfs 100 jaar. Analoog als in (a) doen we dat door P 50 ·Q of P 100 ·Q te berekenen.

Met behulp van de grafische rekenmachine vinden we:

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]50

︸︷︷︸P 50

·[6000040000

]

︸︷︷︸Q

≈[3784862152

]

[0, 95 0, 030, 05 0, 97

]100

︸︷︷︸P 100

·[6000040000

]

︸︷︷︸Q

≈[3750562495

]

Nemen we een nog groter aantal jaren (bijvoorbeeld 200 of 250) dan merken we dat het aantal mensen inde stad evolueert naar 37500.

A-103

Roodkopvuurkever(Pyrochroa serraticornis)

3 Modelvoorbeeld De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij be-schikt over 3000 eitjes, 2000 larven en 1000 insecten. Elke levensfase (ei, larveen insect) duurt een maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in eenafgesloten ruimte. Na een maand is de situatie als volgt:

. Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen.

. Van de larven heeft 20% zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood.

. Van de oorspronkelijke insecten is er niet een meer over. Maar ze hebbenelk gemiddeld 100 eitjes voortgebracht.

(a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf.

(b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten naeen maand, twee maanden en acht maanden.

(c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafi-sche rekenmachine.

Oplossing.

(a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf:

eitje larve insect0, 05 0, 2

100

(b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan.




0 · 3000︸︷︷︸aandeel van eitjes

+ 0 · 2000︸︷︷︸aandeel van larven

+ 100 · 1000︸︷︷︸aandeel van insecten

= 100.000 (∗∗)




[0 0 100

]·

300020001000

=

[100.000

]


Om met een berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na een maand te kennen maken we devolgende matrixvermenigvuldiging:

0 0 1000, 05 0 0

0 0, 2 0

︸︷︷︸P

·

300020001000

︸︷︷︸Q

=

100.000150400

Opmerking. De matrix P stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ookwel een Leslie-matrix 2 (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd.

2Een Leslie-matrix is een vierkante matrix P waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaal mogenverschillen van het getal 0. Het model van Leslie werd beschreven door P.H. Leslie 1945 [17] en vereist een populatie die niet onderhevigis aan migratie en waarbij slechts een sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd.

A-104

http://www.plantpress.com/wildlife/o250-redheadedcardinalbeetle.php

(b) Hoe kunnen we met een bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? Enna acht maanden?

Het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafischerekenmachine):

0 0 100

0, 05 0 00 0, 2 0

2

︸︷︷︸P 2

·

300020001000

︸︷︷︸Q

=

40000500030

Na twee maanden zijn er dus 40000 eitjes, 5000 larven en 30 insecten.

Het aantal eitjes, larven en insecten na acht maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafischerekenmachine):

0 0 100

0, 05 0 00 0, 2 0

8

︸︷︷︸P 8

·

300020001000

︸︷︷︸Q

=

40000500030

Ook na acht maanden zijn er 40000 eitjes, 5000 larven en 30 insecten.

(c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft?

Het is verleidelijk om uit onze resultaten in (b) te besluiten dat de populatie streeft naar 40000 eitjes, 5000larven en 30 insecten.

Echter, enkele berekeningen voor opeenvolgende maanden onthullen een ander patroon:

oorspronkelijk: Q =

300020001000

na een maand: P ·Q =

100.00015040

na twee maanden: P 2 ·Q =

40000500030

na drie maanden: P 3 ·Q =

300020001000

zelfde als oorspronkelijk!

na vier maanden: P 4 ·Q =

100.00015040

zelfde als na een maand!

na vijf maanden: P 5 ·Q =

40000500030

zelfde als na twee maanden!

De populatie herhaalt zich elke drie maanden. Het aantal eitjes evolueert dus niet naar een bepaalde waarde.Analoog voor het aantal larven en het aantal insecten.

A-105

Oefeningen - Opgave

Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een kleineilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjes vaart op regelmatigetijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op nevenstaande graaf.


(b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Enaar C met een tussenstop op een willekeurig eiland.

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Anaar C met twee tussenstops op een willekeurig eiland.

?(d) Is het mogelijk om via ten hoogste een tussenstop van om het evenwelk eiland naar om het even welk eiland te gaan? Los op metbehulp van matrices.

A

B

C

D

E





Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen 1 de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van demarkt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgendewijzigingen voor:

3 Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.

3 Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.

3 Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.





3 slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar,

3 eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven,

3 geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar,

3 alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes.



(c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100000 eitjes. Hij laat zijnvangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

1Enige gelijkenis met bestaande maatschappijen berust op toeval.

A-106

Oefeningen - Oplossingen

Oefening 1. Ergens in de Stille Oceaan bevindt zich een kleineilandengroepje. Tussen vijf verschillende eilandjes vaart op regelmatigetijdstippen een veerboot, zoals aangeduid op nevenstaande graaf.


(b) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Enaar C met een tussenstop op een willekeurig eiland.

(c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van Anaar C met twee tussenstops op een willekeurig eiland.

?(d) Is het mogelijk om via ten hoogste een tussenstop van om het evenwelk eiland naar om het even welk eiland te gaan? Los op metbehulp van matrices.

A

B

C

D

EOplossing.

(a) We starten met een voorbeeld:

aantal wegen van A naar A is 0

aantal wegen van A naar B is 0

aantal wegen van A naar C is 1

aantal wegen van A naar D is 0

aantal wegen van A naar E is 0

dus de directe wegenmatrix is vermoedelijk

M =

0 0 1 0 01 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 0 11 1 0 1 0

Dat vermoeden zal in (b) bevestigd worden.

(b) We hebben:

aantal wegen van E naar C met een tussenstap is 1 · 1︸︷︷︸via A

+ 1 · 0︸︷︷︸via B

+ 0 · 0︸︷︷︸via C

+ 1 · 1︸︷︷︸via D

+ 0 · 0︸︷︷︸via E

= 2

We herkennen hierin een matrixproduct:

[1 1 0 1 0

]︸︷︷︸

vijfde rij van M

·

10010

︸︷︷︸derde kolom van M

=[2]

Of, meer algemeen:

M ·M =

0 0 1 0 01 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 0 11 1 0 1 0

·

0 0 1 0 01 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 0 11 1 0 1 0

=

∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ 2 ∗ ∗

(c) Het aantal verbindingen van A naar C met twee tussenstops is het (1, 3)-de element van de matrix M3. Weberekenen

M3 =

∗ ∗ 1 ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Het antwoord is dus 1.

A-107

(d) De matrix M geeft het aantal verbindingen weer van X naar Y met nul tussenstops.De matrix M2 geeft het aantal verbindingen weer van X naar Y met een tussenstop.Dus de matrix M +M2 geeft het aantal verbindingen weer van X naar Y met ten hoogste een tussenstop. Weberekenen

M +M2 =

0 1 1 1 02 1 2 2 21 1 1 2 21 2 1 2 12 1 2 2 2

Omdat sommige elementen van deze matrix 0 zijn, is het niet mogelijk om via ten hoogste een tussenstap vanom het even welk eiland naar om het even welk eiland te gaan (bijvoorbeeld van A naar A).





Oplossing.

(a) De graaf ziet er als volgt uit:

jong volwassen

0, 8

0, 5

0 0, 2

(b) Om de matrix te achterhalen, bepalen we eerst het aantal jonge en volwassen dieren na 1 jaar.

aantal jonge dieren na 1 jaar: 0 · 70 + 0, 5 · 30 = 15

aantal volwassen dieren na 1 jaar: 0, 8 · 70 + 0, 2 · 30 = 62


[0 0, 5

0, 8 0, 2

]

︸︷︷︸P

·[7030

]=

[1562

]

Om het aantal dieren na vier jaar te berekenen:

P 4 ·[7030

]=

[14, 8415, 696

]

Na vier jaar zijn er ongeveer 15 jonge dieren en ongeveer 16 volwassen dieren.

(c) We berekenen bijvoorbeeld het aantal dieren na 25 jaar:

P 25 ·[7030

]=

[0, 022 . . .0, 033 . . .

]

Het aantal jonge en volwassen dieren evolueren beiden naar nul.

A-108

Oefening 3. Drie telefoonmaatschappijen B, M en P delen de Belgische markt. Maatschappij B heeft 20% van demarkt in handen, M bezit 60% en P neemt 20% voor zijn rekening. In de loop van een jaar doen zich de volgendewijzigingen voor:

3 Maatschappij B behoudt 85% van de klanten, terwijl het 5% aan M en 10% aan P verliest.

3 Maatschappij M behoudt 55% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 35% aan P verliest.

3 Maatschappij P behoudt 85% van de klanten, terwijl het 10% aan B en 5% aan M verliest.




Oplossing.


0, 85

B M

P

0, 05

0, 1

0.85 0, 55

0, 1

0, 1

0, 350, 05

(b) Om de overgangsmatrix M te achterhalen, bepalen we eerst het aantal klanten van B, P en M na 1 jaar.

aantal klanten van B na 1 jaar: 0, 85 · 0, 2 + 0, 1 · 0, 6 + 0, 1 · 0, 2 = ∗aantal klanten van M na 1 jaar: 0, 05 · 0, 2 + 0, 55 · 0, 6 + 0, 05 · 0, 2 = ∗aantal klanten van P na 1 jaar: 0, 1 · 0, 2 + 0, 35 · 0, 6 + 0, 85 · 0, 2 = ∗


0, 85 0, 1 0, 10, 05 0, 55 0, 050, 1 0, 35 0, 85

︸︷︷︸M

·

0, 20, 60, 2

=

∗∗∗

Na bijvoorbeeld 100 jaar is de situatie als volgt:

M100 ·

0, 20, 60, 2

=

0, 40, 10, 5

Ook na 101 jaren, 102 jaren, etc. hebben we hetzelfde resultaat. Dus de markt bereikt een evenwicht: op denduur heeft maatschappij B 40% van de markt in handen, maatschappij M 10% van de markt en maatschappijP 50% van de markt.

A-109


3 slechts 0, 5% van de eitjes komt uit en haalt het eerste levensjaar,

3 eenjarigen hebben 40% kans om het jaar te overleven,

3 geen van de vissen haalt de leeftijd van drie jaar,

3 alleen tweejarige vissen kunnen nakomelingen hebben, gemiddeld legt zo’n vis 800 eitjes.



(c) Een bioloog vangt duizend visjes: 500 eenjarigen en 300 tweejarigen. Hij heeft ook 100000 eitjes. Hij laat zijnvangst weer vrij in een nieuwe omgeving. Hoe is de populatie na acht jaar?

Oplossing.


eitjes eenjarigen tweejarigen0, 005 0, 4

800

(b) Om de Leslie-matrix M te achterhalen, bepalen we eerst het aantal eitjes, eenjarigen en tweejarigen na 1 jaar.

aantal eitjes na 1 jaar: 0 · 100 000 + 0 · 500 + 800 · 300 = ∗aantal eenjarigen na 1 jaar: 0, 005 · 100 000 + 0 · 500 + 0 · 300 = ∗aantal tweejarigen na 1 jaar: 0 · 100 000 + 0, 4 · 500 + 0 · 300 = ∗


0 0 8000, 005 0 0

0 0, 4 0

︸︷︷︸Leslie-matrix M

·

100 000500300

=

∗∗∗

(c) Om de populatie na acht jaar te kennen, berekenen we

M8 ·

100 000500300

=

409 6003072512

Na acht jaar zijn er dus 409 600 eitjes, 3072 eenjarigen en 512 tweejarigen.

A-110


HOE STUDEER JE EEN BEWIJS?

Inhoudsopgave

In te studeren bewijs (vijfde jaar) [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-112

In te studeren bewijs (zesde jaar) [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-113

A-111

In te studeren bewijs (vijfde jaar)

Wat voorafging

Gevolg Zij A een n× n matrix. Dan

het homogeen lineair stelsel A · x = 0 heeft een unieke oplossingm

rangA = nm

∀b ∈ Rn×1 : het lineair stelsel A · x = b heeft een unieke oplossing

Stelling met bewijs

Stelling Zij A een n× n matrix. Dan geldt

A is inverteerbaar ⇔ rangA = n

Bewijs. Het bewijs bestaat uit twee delen.

Deel 1. Onderstel dat A inverteerbaar is. We moeten aantonen dat rangA = n.

Beschouw het homogeen lineair stelsel A ·

x1...xn

︸︷︷︸x

=

0...0

︸︷︷︸0

. Dan geldt

A · x = 0 ⇔ A−1 · (A · x) = A−1 · 0⇔ (A−1 ·A) · x = 0

⇔ En · x = 0

⇔ x = 0

Dus het lineair stelsel A · x = 0 heeft enkel de nuloplossing. Wegens het bovenstaand gevolg is rangA = n.

Deel 2. Onderstel dat rangA = n. We moeten aantonen dat A inverteerbaar is. Dus we moeten aantonen dat er eenmatrix B bestaat waarvoor

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

︸︷︷︸A

·

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

......

bn1 bn2 . . . bnn

︸︷︷︸B

=

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

......

0 0 . . . 1

︸︷︷︸En

Met andere woorden, we moeten aantonen dat er reele getallen bij bestaan waarvoor

A ·

b11b21...bn1

︸︷︷︸b1

=

10...0

︸︷︷︸e1

, A ·

b12b22...bn2

︸︷︷︸b2

=

01...0

︸︷︷︸e2

, . . . , A ·

b1nb2n...bnn

︸︷︷︸bn

=

00...1

︸︷︷︸en

Omdat rangA = n hebben de bovenstaande stelsels

A · b1 = e1, A · b2 = e2, . . . , A · bn = en

telkens een oplossing (wegens het bovenstaand gevolg). Dus er bestaat een matrix B waarvoor A ·B = En. Dus A isrechts-inverteerbaar. Wegens de vorige eigenschap is A inverteerbaar. Dit besluit het bewijs.

A-112

In te studeren bewijs (zesde jaar)

Hoofdstelling 1 van de integraalrekeningZij f een functie en a, b ∈ R zodat f continu is over [a, b]. Dan geldt

1. De oppervlaktefunctie A(t) tussen a en b is afleidbaar over ]a, b[ en A′(t) = f(t)

2.

∫ b

a

f(x)dx = A(b)

Schets van het bewijs.

1. Neem t ∈ ]a, b[. We moeten aantonen dat limh→0

A(t+ h)−A(t)

h= f(t).

Voor ‘kleine’ waarden van h wordt A(t + h) − A(t) gegeven door de gearceerde (georienteerde) oppervlakte opde linkerfiguur.

Anderzijds wordt h · f(t) gegeven door de gearceerde (georienteerde) oppervlakte op de rechterfiguur.

a t t+ h b

y

x

y = f(x)

A(t+ h)−A(t) = oppervlakte

a t t+ h b

h

f(t)

y

x

y = f(x)

f(t) · h = oppervlakte

Omdat h ‘klein’ is zal dus

A(t+ h)−A(t) ≈ h · f(t) waaruitA(t+ h)−A(t)

h≈ f(t)

Bij limietovergang vinden we

limh→0

A(t+ h)−A(t)

h= f(t)

waaruit blijkt dat de afgeleide A′(t) bestaat en gelijk is aan f(t).

2. Omdat A(t) =

∫ t

a

f(x)dx is A(b) =

∫ b

a

f(x)dx.

A-113


SAMENWERKEN

Inhoudsopgave

Toepassingen 1 en 2 [8]

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-116

Ingevulde versie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-118

Oefeningen 1-4 [8]

Opgave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-120

Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-120

A-115

Toepassingen op lineaire stelsels en inverteerbare matrices - Opgave

Toepassing 1. Codeertheorie

We bespreken een eenvoudige manier om boodschappen te coderen en te decoderen.We willen bijvoorbeeld laten weten dat een vliegtuig geland is met behulp van deboodschap “NU GELAND”. We voegen aan elke letter een getal toe, namelijk zijnplaats in het alfabet

A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26�� Coderen

Om een boodschap te coderen gaan we als volgt te werk.

Stap 1. Groepeer de letters per twee, indien nodig vul je de booschap aan met een letter.In ons voorbeeld geeft dit

N U G E L A N D14 21 7 5 12 1 14 4

Stap 2. Kies een geheime 2× 2 matrix A die inverteerbaar is, bijvoorbeeld A =

[1 22 3

].

Stap 3. Codeer de getallen van de boodschap door te vermenigvuldigen met de matrix A.

In ons voorbeeld wordt “NU” gecodeerd als

[1 22 3

]·[1421

]=

[5691

]

Analoog voor “GE”, “LA”, “ND”. Dit geeft de gecodeerde boodschap

N U G E L A N D56 91 17 29 14 27 22 40�� Verzenden

We verzenden de code 56 91 17 29 14 27 22 40�� Decoderen

Om de code te decoderen dienen we over de matrix A te beschikken. Om het eerste paar cijfers 56 91 tedecoderen zoeken we de oplossingen van het stelsel

[1 22 3

]

︸︷︷︸A

·[x1x2

]=

[5691

]

Waarom heeft dit stelsel een unieke oplossing en hoe kunnen we die oplossing vinden?

Het vliegtuig ontvangt de volgende instructie. Decodeer deze code.

41 67 41 68 19 33 70 115

Oplossing.

A-116

Toepassing 2. Vraagstukken

NiccoloFontanaTartaglia(1499 - 1557)

3 Modelvoorbeeld 1 (het probleem van Tartaglia). Drie jonge mensenhebben wat spaargeld. Zegt de eerste: “Als je mij elk de helft geeft van julliespaargeld dan kom ik aan 3400 euro”. Waarop de tweede: “Geef mij elk hetderde deel van jullie geld en dan kom ik ook aan 3400 euro”. De derde zegt:“Geef mij elk een vierde van wat jullie gespaard hebben dan kom ik ook aan3400 euro”. Hoeveel spaargeld heeft elk van hen?

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Een test bestaat uit 30 meerkeuzevragen. Om te quoterenvertrekt men met 30 punten. Een goed antwoord is 4 punten waard, antwoordje fout dan wordt 1 punt afgetrokken 1 en voor een blanco antwoord wordt niksaangerekend. Jan behaalde een score van 84 punten. In een nieuw systeemvertrekt men met 0 punten en krijg je voor een correct antwoord 5 punten.Voor een fout antwoord wordt niks aangerekend. Een blanco antwoord wordtgevalideerd met 2 punten. Jan behaalt in dit nieuw systeem een score van 93punten. Hoeveel vragen liet Jan blanco?

Oplossing.

1Het aftrekken van punten bij een foutief antwoord staat bij studenten bekend onder de term giscorrectie. Bij vragen met N keuzemoge-lijkheden bestaat de meest rechtvaardige manier van giscorrectie erin om voor elk goed antwoord 1 punt te geven, voor elk blanco antwoord0 punten te geven en voor elk fout antwoord 1/(N−1) af te trekken. Voor een wiskundige onderbouw van rechtvaardige giscorrectie, alsookhet optimaliseren van slaagkansen, verwijzen we naar [9].

A-117

http://nl.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Tartaglia

Toepassingen lineaire stelsels en inverteerbare matrices - Ingevulde versie

Toepassing 1. Codeertheorie

We bespreken een eenvoudige manier om boodschappen te coderen en te decoderen.We willen bijvoorbeeld laten weten dat een vliegtuig geland is met behulp van deboodschap “NU GELAND”. We voegen aan elke letter een getal toe, namelijk zijnplaats in het alfabet

A B C D E F G H I J K L M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26�� Coderen

Om een boodschap te coderen gaan we als volgt te werk.

Stap 1. Groepeer de letters per twee, indien nodig vul je de booschap aan met een letter.In ons voorbeeld geeft dit

N U G E L A N D14 21 7 5 12 1 14 4

Stap 2. Kies een geheime 2× 2 matrix A die inverteerbaar is, bijvoorbeeld A =

[1 22 3

].

Stap 3. Codeer de getallen van de boodschap door te vermenigvuldigen met de matrix A.

In ons voorbeeld wordt “NU” gecodeerd als

[1 22 3

]·[1421

]=

[5691

]

Analoog voor “GE”, “LA”, “ND”. Dit geeft de gecodeerde boodschap

N U G E L A N D56 91 17 29 14 27 22 40�� Verzenden

We verzenden de code 56 91 17 29 14 27 22 40�� Decoderen

Om de code te decoderen dienen we over de matrix A te beschikken. Om het eerste paar cijfers 56 91 tedecoderen zoeken we de oplossingen van het stelsel

[1 22 3

]

︸︷︷︸A

·[x1x2

]=

[5691

]

Waarom heeft dit stelsel een unieke oplossing en hoe kunnen we die oplossing vinden?

Het 2× 2 stelsel heeft een unieke oplossing omdat A inverteerbaar is (zie Gevolg pagina ??). Die oplossingkunnen we vinden door links te vermenigvuldigen met de inverse A−1

[x1x2

]= A−1 ·

[5691

]=

[−3 22 −1

]·[5691

]=

[1421

]NU

Het vliegtuig ontvangt de volgende instructie. Decodeer deze code.

41 67 41 68 19 33 70 115

Oplossing. We gaan te werk zoals hierboven:

A−1 ·[4167

]=

[1115

]KO

A−1 ·[4168

]=

[1314

]MN

A−1 ·[1933

]=

[95

]IE

A−1 ·[

70115

]=

[2025

]TY

Het vliegtuig ontvangt de instructie “KOM NIET”.

A-118

Toepassing 2. Vraagstukken

NiccoloFontanaTartaglia(1499 - 1557)

3 Modelvoorbeeld 1 (het probleem van Tartaglia). Drie jonge mensenhebben wat spaargeld. Zegt de eerste: “Als je mij elk de helft geeft van julliespaargeld dan kom ik aan 3400 euro”. Waarop de tweede: “Geef mij elk hetderde deel van jullie geld en dan kom ik ook aan 3400 euro”. De derde zegt:“Geef mij elk een vierde van wat jullie gespaard hebben dan kom ik ook aan3400 euro”. Hoeveel spaargeld heeft elk van hen?

Oplossing.

Noemen we

x1 = spaargeld eerste

x2 = spaargeld tweede

x3 = spaargeld derde

dan vertaalt het vraagstuk zich in het stelsel

x1 +1

2x2 +

1

2x3 = 3400

1

3x1 + x2 +

1

3x3 = 3400

1

4x1 +

1

4x2 + x3 = 3400

We schrijven de geassocieerde matrix op en bepalen de trapvorm met behulp van de grafische rekenmachine.

[A | b] =

1 12

12 | 3400

13 1 1

3 | 340014

14 1 | 3400

∼ T =

1 0 0 | 10000 1 0 | 22000 0 1 | 2600

Antwoord. De eerste bezit 1000 euro, de tweede 2200 euro en de derde 2600 euro.

3 Modelvoorbeeld 2. Een test bestaat uit 30 meerkeuzevragen. Om te quoterenvertrekt men met 30 punten. Een goed antwoord is 4 punten waard, antwoordje fout dan wordt 1 punt afgetrokken 1 en voor een blanco antwoord wordt niksaangerekend. Jan behaalde een score van 84 punten. In een nieuw systeemvertrekt men met 0 punten en krijg je voor een correct antwoord 5 punten.Voor een fout antwoord wordt niks aangerekend. Een blanco antwoord wordtgevalideerd met 2 punten. Jan behaalt in dit nieuw systeem een score van 93punten. Hoeveel vragen liet Jan blanco?

Oplossing.

Noemen we

g = aantal goede antwoorden

f = aantal foute antwoorden

b = aantal blanco


4g − f + 30 = 84

5g + 2b = 93

g + f + b = 30

⇔

4g − f = 54

5g + 2b = 93

g + f + b = 30


[A | b] =

4 −1 0 | 545 0 2 | 931 1 1 | 30

∼ T =

1 0 0 | 150 1 0 | 60 0 1 | 9

Antwoord. Jan liet 9 vragen blanco.

1Het aftrekken van punten bij een foutief antwoord staat bij studenten bekend onder de term giscorrectie. Bij vragen met N keuzemoge-lijkheden bestaat de meest rechtvaardige manier van giscorrectie erin om voor elk goed antwoord 1 punt te geven, voor elk blanco antwoord0 punten te geven en voor elk fout antwoord 1/(N − 1) af te trekken.Voor een wiskundige onderbouw van rechtvaardige giscorrectie, alsookhet optimaliseren van slaagkansen, verwijzen we naar [9]

A-119

http://nl.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Tartaglia

Oefeningen - Opgave

Calpe Costa Blanca,Spanje

Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 eenpersoonskamers geboektdoor Nederlanders, Fransen en Italianen. Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanderszijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlieten omde voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen alsNederlanders en Italianen samen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in hethotel?

Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de somvan de buitenste cijfers is 1 meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd danbekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.


?Oefening 4 (Het probleem van Bachet 2). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Een van hen verdubbeltmet een deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijncenten het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van deandere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?

Oefeningen - Oplossingen

Oefening 1. In hotel ‘Viva Franco’ in Spanje zijn de 111 kamers geboekt door Nederlanders, Fransen en Italianen.Blijkt dat er dubbel zoveel Nederlanders zijn als Fransen en Italianen samen. Toen 60 Nederlanders het hotel verlietenom de voetbalmatch Spanje-Nederland bij te wonen waren er dubbel zoveel Fransen als Nederlanders en Italianensamen. Hoeveel Nederlanders hadden er ingecheckt in het hotel?

Oplossing.

Noemen we

n = aantal Nederlanders

i = aantal Italianen

f = aantal Fransen


n+ i+ f = 111

n = 2(f + i)

f = 2(n− 60 + i)

⇔

n+ i+ f = 111

n− 2f − 2i = 0

2n− f + 2i = 120


[A | b] =

1 1 1 | 1111 −2 −2 | 02 −1 2 | 120

∼ T =

1 0 0 | 740 1 0 | 340 0 1 | 3

Antwoord. In het hotel hadden 74 Nederlanders ingecheckt.

Oefening 2. Een getal bestaat uit drie cijfers. De som van de cijfers is 19 en de som van de buitenste cijfers is 1meer dan de middelste. Lees je het getal omgekeerd dan bekom je een getal dat 198 minder is. Bepaal het getal.

Oplossing.

Een getal met drie cijfers kunnen we voorstellen als

x = a b c met a, b, c ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}

Merk op dat de waarde van het getal x dan gelijk is aan 100 · a+ 10 · b+ c.

Het vraagstuk vertaalt zich nu in het stelsel

a+ b+ c = 19

a+ b = c+ 1

100c+ 10b+ a = 100a+ 10b+ c− 198

⇔

a+ b+ c = 19

a− b+ c = 1

−99a+ 99c = −198

A-120

http://en.wikipedia.org/wiki/Calp


[A | b] =

1 1 1 | 191 −1 1 | 1−99 0 99 | −198

∼ T =

1 0 0 | 60 1 0 | 90 0 1 | 4

Antwoord. Het getal is x = 694.


Oplossing.

Noemen we

a = aantal wagens van model A

b = aantal wagens van model B

c = aantal wagens van model C


52a+ 78b+ 94c = 260 · 32

a = 2b

c = 0, 1(a+ b+ c)

⇔

52a+ 78b+ 94c = 8320

a− 2b = 0

0, 1 a+ 0, 1 b− 0, 9 c = 0


[A | b] =

52 78 94 | 83201 −2 0 | 0

0, 1 0, 1 −0, 9 | 0

∼ T =

1 0 0 | 780 1 0 | 390 0 1 | 13

Antwoord. Per week moet men 78 wagens van model A, 39 wagens van model B en 13 wagens van model Cproduceren.

?Oefening 4 (het probleem van Bachet). Drie jonge mensen hebben wat spaargeld. Een van hen verdubbelt meteen deel van zijn spaarcenten het bedrag van de andere twee. Daarna verdubbelt de tweede met een deel van zijncenten het bedrag van de andere twee. Ten slotte verdubbelt de derde met een deel van zijn geld het bedrag van deandere twee. Nu bezit elk van hen 8000. Wat was het oorspronkelijke bedrag dat elk van hen had?

Oplossing.

We noemen

x1 = spaargeld eerste

x2 = spaargeld tweede

x3 = spaargeld derde

We stellen de evolutie van de spaarcenten voor:

begin 1 verdubbelt 2 en 3 2 verdubbelt 1 en 3 3 verdubbelt 1 en 2

x1 x1 − x2 − x3 2(x1 − x2 − x3)︸︷︷︸2x1−2x2−2x3

2(2x1 − 2x2 − 2x3)

x2 2x2 2x2 − (x1 − x2 − x3)− 2x3︸︷︷︸−x1+3x2−x3

2(−x1 + 3x2 − x3)

x3 2x3 4x3 4x3 − (2x1 − 2x2 − 2x3)− (−x1 + 3x2 − x3)

Op die manier verkrijgen we het stelsel

2(2x1 − 2x2 − 2x3) = 8000

2(−x1 + 3x2 − x3) = 8000

4x3 − (2x1 − 2x2 − 2x3)− (−x1 + 3x2 − x3) = 8000

⇔

4x1 − 4x2 − 4x3 = 8000

−2x1 + 6x2 − 2x3 = 8000

−x1 − x2 + 7x3 = 8000


[A | b] =

4 −4 −4 | 8000−2 6 −2 | 8000−1 −1 7 | 8000

∼ T =

1 0 0 | 130000 1 0 | 70000 0 1 | 4000

Antwoord. De eerste had 13000 euro, de tweede 7000 euro en de derde 4000 euro.

A-121


EEN WETENSCHAPPELIJK VERSLAG SCHRIJVEN

Inhoudsopgave

Voorbeeld van een wetenschappelijk verslag [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-124

Onderwerp (taken 11.3, 11.4 en 11.5) [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-126

Verslag dat een (anonieme) leerling enkele jaren terug gemaakt heeft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-128De leerlingen krijgen dit verslag, het kan hun helpen om de taken uit het handboek te maken. Omdat het verslagvan deze leerling niet zo goed is, ervaren ze hoe belangrijk het is om een goed verslag te kunnen schrijven.

A-123

Vijfbew

ijzenvoor

deirrationaliteitvan√2

Een

verslagtendienstevandeleerlingenvan5aGW

i8-5aLW

i8-5bW

Wi8

door

Koen

DeNaegh

el

Onze-Lieve-Vrouwecollege

Assebroek,27

februari2011

Samenvatting

Indit

verslagbespreken

ween

kele(alternatieve)

bew

ijzenvanhet

feit

dat√2eenirrationaalgetalis.

Inhoudso

pgave

1In

leid

ing

1

2K

lass

iek

bew

ijs

2

3G

ron

dst

ell

ing

van

de

geta

llen

leer

2

4O

nd

erl

ing

pri

em

3

5M

eetk

un

dig

bew

ijs

en

de

alg

eb

raıs

che

tegen

han

ger

35.

1A

lgeb

raıs

chb

ewij

s.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

35.

2M

eetk

undig

bew

ijs

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.3

6Ir

rati

on

ali

teit

van

an

dere

geta

llen

en

op

en

pro

ble

men

4

1In

leid

ing

Inee

nvie

rkan

tm

etzi

jde

1heb

ben

de

dia

gonale

nee

nle

ngt

ed

waar

voor

het

kw

adra

at

gelijk

isaa

n2.

Imm

ers,

sam

enm

ettw

eeaan

ligge

nde

zijd

envo

rmt

een

dia

gonaal

een

rech

thoek

ige

dri

ehoek

,en

uit

de

stel

ling

van

Pyth

agor

asvol

gt

12+

12

=d2⇒

d2

=2

Len

gte

isp

osit

ief,

dusd>

0.

Het

get

ald

noem

tm

ende

(posi

tiev

e)vie

rkants

wort

elva

n2,

ennot

eert

men

met√

2.D

edec

imal

evo

orst

elling

van√

2b

egin

tal

svo

lgt:

√2

=1,

414

213

562

373

095

048

801

688

724

209...

1

1

√2

De

Pyth

ago

reer

s1on

tdek

ten

dat

de

lengted

=√

2va

nzo

’ndia

gonaa

lzi

chnie

tra

tion

aal

ver

houdt

tot

de

lengt

esder

zijd

en.

Dit

isw

at

men

bed

oel

tm

et√

2is

een

irra

tionaa

lge

tal:

erb

esta

angee

nnatu

url

ijke

get

alle

nm,n

waar

voor

gel

dt

dat√

2=m n

.

1H

etee

rste

bew

ijs

van

het

bes

taan

van

irra

tion

ale

get

allen

word

tm

eest

al

toeg

esch

reven

aan

een

wis

ku

nd

ige

uit

de

Pyth

agora

eısc

he

sch

ool

(mogel

ijk

Hip

pasu

svan

Met

ap

ontu

m).

Hip

pasu

sw

erd

nie

tgep

reze

nvoor

zijn

bew

ijs:

volg

ens

een

legen

de

dee

dh

ijzi

jnontd

ekkin

gte

rwij

lh

ijop

zee

was,

enzi

jnco

lleg

aP

yth

agore

ers

zou

den

hem

ver

volg

ens

pro

mp

tover

boord

heb

ben

gek

iep

erd

.D

itvoor

het

feit

dat

hij

een

elem

ent

inh

etu

niv

ersu

mh

ad

gev

on

den

dat

de

leer

ontk

end

ed

at

alle

fen

om

enen

inh

eth

eela

lku

nn

enw

ord

ente

ruggeb

rach

tto

tgeh

ele

get

allen

enhu

nver

hou

din

gen

.

1

Waa

rom

vonden

de

Pyth

agor

eers

het

bes

taan

van

irra

tion

ale

get

allen

zoafs

tote

lijk

?O

mdat

zij

erva

nov

ertu

igd

ware

ndat

elk

lijn

stuk

[AB

]ka

nve

rgel

eken

wor

den

met

een

lijn

stuk

met

lengt

e1,

enw

elals

volg

t:

(1)

Tek

enon

der

lijn

stuk

[AB

]ee

nlijn

stuk

[CD

]m

etle

ngt

e1.

(2)

Als

jenam

her

halinge

nva

nhet

lijn

stuk

[CD

]de

lengte

van

het

lijn

stuk

[AB

]b

ekom

t,dan

is|AB|=

m·1

=m

.A

lsdat

nie

tzo

is:

verd

ubb

ellijn

stuk

[AB

].

(2.1

)A

lsje

nam

her

halinge

nva

nhet

lijn

stuk

[CD

]het

dubb

ele

van

de

lengte

van

het

lijn

stuk

[AB

]b

ekom

t,dan

is2|AB|=

m·1

,dus|AB|=

m 2.

(2.2

)A

lsdat

nie

tzo

is:

bes

chouw

het

dri

evoud

van

het

lijn

stuk

[AB

].

(2.2

.1)

etc.

AB

...

1keer

nkeer

1...

CD

1keer

mkeer

De

lijn

stukke

n[CD

]die

opdez

em

anie

rin

een

eindig

aanta

lst

app

enkunnen

gem

eten

wor

den

,vo

ldoen

aan

n·|A

B|=

m·1

,dus|AB|=

m nw

aar

bijn

het

aan

talher

hal

inge

nva

n[AB

]enm

het

aan

talher

hal

inge

nva

n[CD

]is

.T

ot

verb

azin

g

van

de

Pyth

agor

eers

war

ener

lijn

stukke

ndie

nie

top

dez

em

anie

rkunnen

gem

eten

word

en.

2K

lass

iek

bew

ijs

Het

kla

ssie

kb

ewij

sva

nde

irra

tion

alit

eit

van√

2gaa

tte

rug

naa

rA

rist

ote

les,

enve

rsch

een

inhet

boek

Elemen

ten

van

Eucl

ides

.

Eerstebewijs.

Onder

stel

uit

het

onge

rijm

de

dat

eree

nra

tion

aal

geta

lr∈Q

isw

aarv

oorr2

=2.

We

schri

jven

r=p/q

met

p,q∈Z

enw

em

ogen

onder

stel

len

datp

enq

onder

ling

pri

emzi

jni.e.

zeheb

ben

gee

ndel

ers

gem

een

(beh

alve

1en−

1).

Dan

isp2

=2q

2.

Om

dat

2ee

ndel

eris

van

2q2

isdus

2ook

een

del

erva

np2.

Om

dat

2ee

npri

emge

tal

is,

is2

met

een

ook

een

del

erva

np,

dusp

=2s

voor

een

gehee

lge

tals.

Subst

ituer

eninp2

=2q2

leve

rt4s2

=2q

2dus

2s2

=q2

.E

rvo

lgt

dat

2ee

ndel

eris

vanq2

endus

ook

vanq.

Een

stri

jdig

hei

dm

eton

zeon

der

stel

ling

datp

enq

gee

ndel

ergem

een

had

den

.W

eb

eslu

iten

dat√

2ir

rati

onaa

lis

.

Een

uit

bre

idin

gva

ndit

bew

ijs

lever

tdat√n

irra

tionaa

lis

voor

elk

nat

uurl

ijk

get

aln

dat

nie

thet

kw

adra

atis

van

een

nat

uurl

ijk

geta

l.

3G

rondst

ellin

gvan

de

geta

llenle

er

Het

volg

end

bew

ijs

steu

nt

op

de

eige

nsc

hap

dat

elk

geh

eel

geta

lte

schri

jven

isal

see

npro

duct

van

pri

emget

allen

.B

oven

die

nis

dez

esc

hri

jfw

ijze

,op

de

teke

ns

ende

volg

orde

van

de

pri

emen

na,

unie

k.

Voorbeeld.

−15

=(−

5).3

=5.

(−3)

=(−

3).5

=3.

(−5)

Dez

est

elling

staa

tb

eken

dals

de

Gro

ndst

elling

uit

de

get

allen

leer

enw

ordt

toeg

ewez

enaa

nE

ucl

ides

2.

Tweedebewijs.

Onder

stel

uit

het

onger

ijm

de

dat

eree

nra

tion

aal

geta

lr∈Q

isw

aarv

oorr2

=2.

We

schri

jven

r=p/q

met

p,q∈Z

Dan

isp2

=2q

2.

Nu

ontb

inden

wep

enq

inee

npro

duct

van

pri

emge

tallen

.E

lkpri

emge

tal

inde

ontb

indin

gva

np

kom

ttw

eem

aal

voor

inde

ontb

indin

gva

np2,

dusp2

hee

ftee

nev

enaa

nta

lpri

emfa

ctore

n.

Analo

og

hee

ftq2

een

even

aanta

lpri

emfa

ctore

n.

Maa

rdan

hee

ft2q2

een

onev

enaa

nta

lpri

emfa

ctor

en.

Str

ijdig

met

het

feit

datp2

=2q2

want

p2

hee

ftee

nev

enaa

nta

lpri

emfa

ctor

en.

2H

oew

elE

ucl

ides

dit

ner

gen

sex

plici

etn

eerg

esch

reven

had

.D

eze

eigen

sch

ap

wer

dvoor

het

eers

tgef

orm

ule

erd

door

Gau

ss1801

inzi

jnb

aanb

reken

de

doct

ora

ats

thes

isDisqu

isitiones

arithmeticae.

2

4O

nderl

ing

pri

em

Het

der

de

bew

ijs

maa

kt

geb

ruik

van

de

volg

ende

eige

nsc

hap

:als

twee

gehel

eget

allen

geen

pri

emfa

ctor

enge

mee

nheb

ben

,dan

heb

ben

hun

kw

adra

ten

ook

geen

pri

emfa

ctor

enge

mee

n.

Derdebewijs.

Onder

stel

uit

het

onger

ijm

de

dat

eree

nra

tionaa

lge

talr∈Q

isw

aar

voorr2

=2.

We

schri

jven

r=p/q

met

p,q∈Z

enw

em

oge

non

der

stel

len

datp

enq

onder

ling

pri

emzi

jni.e.

zeheb

ben

geen

del

ers

gem

een

(beh

alve

1en−

1).

We

mog

ente

vens

onder

stel

len

datq6=

1en

q6=−

1,

ander

szo

uer

een

geh

eel

geta

lp

zijn

waa

rvoorp2

=2

wat

duid

elij

knon

sens

is.

Zeg

gen

datp

enq

geen

del

erge

mee

nheb

ben

bet

eken

t:al

sw

ede

pri

emontb

indin

gva

np

enq

nee

rsch

rijv

enals

p=p1·p

2·...·pk

enq

=q 1·q

2·...·ql

dan

iser

gee

nen

kelepi

(met

1≤i≤k)

gelijk

aan

eenq j

(voor

1≤j≤l)

.D

us

heb

ben

ookp2

enq2

geen

pri

emdel

ers

gem

een

heb

ben

inhun

pri

emon

tbin

din

g.M

etander

ew

orden

,w

ekunnen

nie

tsc

hra

pp

enin

de

bre

ukp2/q

2,

laat

staa

ndat

we

dez

ekunnen

schra

pp

ento

tw

e2

bek

omen

!

5M

eetk

undig

bew

ijs

en

de

alg

ebra

ısch

ete

genhanger

Hie

rb

espre

ken

we

een

mee

tkundig

eco

nst

ruct

iedie

de

irra

tion

alite

itva

n√

2aa

nto

ont.

Het

mee

tkundig

bew

ijs

gaat

teru

gnaar

de

Gri

ekse

oudhei

d.

Voor

de

duid

elij

khei

dvo

lgt

eers

tde

alge

bra

ısch

ete

genhan

ger.

5.1

Alg

eb

raıs

chb

ew

ijs

Vierdebewijs.

Onder

stel

uit

het

onge

rijm

de

dat

we

eenp′ ,q′∈

Nkunnen

vin

den

waar

voor√

2=p′ /q′

.V

an

al

zo’n

mog

elij

kepare

n(p

′ ,q′

)nem

enw

ehet

paa

r(p,q

)w

aar

voor

deq

min

imaa

lis

.M

etan

der

ew

oord

en,

noem

enw

eS

de

verz

am

elin

g

S={q

′∈N|

erb

esta

atee

np′∈N

waar

voor√

2=p′ q′}⊂

N

dan

is,

uit

het

onder

stel

de,S

nie

t-le

dig

endus

kunnen

we

het

min

imum

vanS

nem

en.

Dat

min

imum

noem

enw

eq.

Zijp∈N

een

bij

hor

end

nat

uurl

ijk

geta

lw

aarv

oor√

2=p/q

.D

an

vol

gtuit

de

ongel

ijkhed

en1<√

2<

2ge

makke

lijk

datq<p

enp<

2q.

Uit

dat

laats

tevol

gtp−q<q.

We

ver

kri

jgen

nu

2q−p

p−q

=2−

p qp q−

1dee

lte

ller

ennoem

erdoorq

=2−√

2√

2−

1w

ant√

2=p q

=(2−√

2)(√

2+

1)

(√2−

1)(√

2+

1)

verm

enig

vuld

igte

ller

ennoem

erm

et√

2+

1

=2√

2+

2−

(√2)2−√

2

(√2)2−

1

=√

2

Maar

dan

is2q−p

p−q∈S

,w

aar

bij

de

noem

erst

rikt

kle

iner

isdan

q.Str

ijdig

,w

antq

ishet

min

imum

vanS

.

5.2

Meetk

un

dig

bew

ijs

Hie

rvo

lgt

het

bew

ijs

waa

rmee

Gri

ekse

mee

tkundig

enb

ewez

endat√

2ir

rati

onaal

is.

Het

ach

terl

igge

nd

idee

is:

gege

ven

een

gel

ijkb

enig

ere

chth

oek

ige

dri

ehoek

waa

rvan

alle

zijd

ennatu

url

ijke

geta

llen

zijn

,dan

kan

men

stee

ds

een

kle

iner

ege

lijk

ben

ige

rech

thoek

ige

dri

ehoek

kan

const

ruer

enw

aarv

oor

alle

zijd

ennog

stee

ds

nat

uurl

ijke

get

alle

nzi

jn.

Vijfdebewijs.

Onder

stel

uit

het

onge

rijm

de

2=p2/q

2m

etp,q∈N

waar

bijq

teru

gm

inim

aal

is.

Sta

p1.

Er

bes

taat

een

rech

thoek

ige

dri

ehoek

waa

rbij

de

lengte

van

elke

rech

thoek

szij

dep

is,en

de

lengt

eva

nde

schuin

ezi

jdeq

is.

Inder

daad

,uit

2=p2/q2

volg

tq2

+q2

=p2,

enw

egen

sde

Ste

llin

gva

nP

yth

ago

ras

volg

thet

bes

taan

van

zo’n

dri

ehoek

.

Mer

kop

dat

zo’n

rech

thoek

ige

dri

ehoek

ook

gel

ijkb

enig

is,

endat

de

zijd

enals

lengte

nat

uurl

ijke

get

allen

heb

ben

.O

mdat

weq

min

i-m

aalheb

ben

gek

oze

n,is

dit

dez

edri

ehoek

de

kle

inst

ere

chth

oek

ige

gel

ijkb

enig

edri

ehoek

waar

voor

de

zijd

ennat

uurl

ijke

get

allen

zijn

.

q

q

p

3

Sta

p2.

Met

beh

ulp

van

een

pas

ser

ver

del

enw

ede

schuin

ezi

jde

intw

eelijn

stukke

n,

waar

van

de

lengt

eva

nhet

ene

gelijk

isaa

nq,

endus

isde

lengt

eva

nhet

ander

ege

lijk

isaa

np−q.

q

qq

p−q

Sta

p3.

Met

beh

ulp

van

een

pass

erve

rdel

enw

eee

nre

chth

oek

-sz

ijde

intw

eelijn

stukke

n,

waar

van

de

lengte

van

het

ene

gelijk

isaa

np−q,

endus

isde

lengt

eva

nhet

ander

egel

ijk

isaan

q−

(p−q)

=2q−p.

q

q

p−q

p−q

2q−p

Sta

p4.

Door

de

geco

nst

ruee

rde

punte

nte

verb

inden

vorm

tzi

chee

nnie

uw

e,kle

iner

edri

ehoek

.W

eb

ewer

endat

dez

edri

ehoek

een

rech

thoek

ige,

gel

ijkb

enig

edri

ehoek

isw

aarv

oor

de

zijd

ende

nat

uurl

ijke

geta

llen

zijn

enw

aar

voor

de

lengt

eva

nde

rech

thoek

-sz

ijde

stri

kt

kle

iner

datq

is.

Dit

zal

inst

rijd

zijn

met

het

feit

dat

datq

min

imaa

lis

.

Om

aan

teto

nen

dat

de

kle

ine

dri

ehoek

rech

thoek

igen

gelijk

be-

nig

is,

vols

taat

het

omaa

nte

tonen

dat

de

kle

ine

dri

ehoek

gel

i-jk

vorm

igis

met

de

gro

tedri

ehoek

.D

evra

ag

isdus

ofde

volg

ende

verh

oudin

gen

van

de

lengte

sva

nde

volg

ende

zijd

engel

ijk

zijn

:

kort

ezi

jde

gro

te

kort

ezi

jde

kle

ine

? =la

nge

zijd

egr

ote

lange

zijd

ekle

ine

dit

iseq

uiv

alen

tm

etde

vra

ag:

q

p−q

? =p

2q−p

q

q

p−q

p−q

2q−p

Maa

rdit

gelijk

waa

rdig

met

2=p2 q2

,pre

cies

onze

ver

onder

stel

ling!

We

bes

luit

endat

de

kle

ine

dri

ehoek

gelijk

vorm

igis

met

de

grot

e,en

dus

rech

thoek

igen

gelijk

ben

igis

.

6Ir

rati

onalite

itvan

andere

geta

llen

en

op

en

pro

ble

men

In17

61b

ewee

sL

am

ber

tdatπ

=3,

14...

ene

=2,

71...

irra

tionaa

lzi

jn,

also

oker

voorr∈

Q,r6=

0.D

itla

ats

tew

asnog

alee

ndubie

us

bew

ijs

enw

erd

oppunt

gez

etdoor

Leg

endre

in179

4.

Nadie

nw

erd

de

irra

tion

alite

itva

nander

ege

tallen

enco

mbin

ati

esaa

nget

oon

d,

zoal

sπr

(voorr∈

Q,r6=

0)en

eπ.

Een

gro

tesp

rong

voor

waar

tsw

erd

in1934

gem

aakt

door

Gel

fond

enSch

nei

der

.Z

ijto

onden

onafh

anke

lijk

van

elka

araa

ndatab

stee

ds

een

irra

tionaa

lget

al

is,

zola

ng

(1)a

enb

oplo

ssin

gen

zijn

van

een

verg

elij

kin

gm

etgeh

ele

coeffi

cien

ten

en,

(2)a6=

0en

a6=

1,en

(3)b

een

irra

tion

aal

geta

lis

.H

un

resu

ltaat

toont

de

irra

tion

alite

itaan

onder

ander

e

2√2

√2√

22π

2e...

Het

isec

hte

rnog

stee

ds

onb

eken

dofπ

+e

ofπ−e

irra

tionaa

lzi

jnof

nie

t.In

feit

eis

erge

enen

kel

paa

r(m,n

)va

nnie

t-nul

gehel

ege

tallen

m,n

bek

end

waar

voor

men

wee

tofmπ

+ne

irra

tionaa

lis

of

nie

t.V

erder

ishet

ook

onb

eken

d

of2e,πe

ofπ√2

aldan

nie

tir

rati

onaal

zijn

.

4



Inhoudsopgave

Onderzoeksvraag - Oplossingen [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-132

A-131

Onderzoeksvraag - Oplossingen

Onderzoeksvraag Zoek bewijzen met behulp van inferentieregels (dus niet met waarheidstabellen) voor de volgendelogische wetten.

(a) P ∧Q ` P ∨Q

(b) (P ∨Q)⇒ (R ∧ S), P ` R

(c) ¬(¬P ), (P ∨Q)⇒ R,S ` R ∧ S

(d) P ⇔ Q,Q ∨R,R⇒ P ` P?(e) P ⇒ Q,¬Q ` ¬P?(f) P ⇒ (Q ∧R), P ⇒ ¬R ` ¬P

Oplossing.

(a) P ∧Q ` P ∨Q1 P ∧Q PREM

2 P 1;SIM

3 P ∨Q 2; ADD

(b) (P ∨Q)⇒ (R ∧ S), P ` R1 (P ∨Q)⇒ (R ∧ S) PREM

2 P PREM

3 P ∨Q 2; ADD

4 R ∧ S 1,3; MP

5 R 4; SIM

(c) ¬(¬P ), (P ∨Q)⇒ R,S ` R ∧ S1 ¬(¬P ) PREM

2 (P ∨Q)⇒ R PREM

3 S PREM

4 P 1; DN

5 P ∨Q 4; ADD

6 R 2,5; MP

7 R ∧ S 6,3; CONJ

(d) P ⇔ Q,Q ∨R,R⇒ P ` P1 P ⇔ Q PREM

2 Q ∨R PREM

3 R⇒ P PREM

4 Q⇒ P 1; GE

5 P 2,4,3; DIL

(e) P ⇒ Q,¬Q ` ¬P1 P ⇒ Q PREM

2 ¬Q PREM

3 P HYP4 ¬Q 2; REIT

5 P ⇒ (¬Q) 3,4;VB

6 ¬P 1,5; RAA

(f) P ⇒ (Q ∧R), P ⇒ ¬R ` ¬P1 P ⇒ (Q ∧R) PREM

2 P ⇒ ¬R PREM

3 P HYP4 P ⇒ (Q ∧R) 1; REIT5 Q ∧R 3,4; MP6 R 5; SIM

7 P ⇒ R 3,6;VB

8 ¬P 2,7; RAA

A-132



Inhoudsopgave

Onderzoeksopdracht 1 - Verkeersplanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-134

Onderzoeksopdracht 2 - Het probleem van Josephus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-136

Onderzoeksopdracht 3 - Winnende strategieen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-137

Onderzoeksopdracht 4 - Afstand, snelheid en tijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-139

A-133

Onderzoeksopdracht 1 - Verkeersplanning

Voor het aanleggen en het uitbreiden van een wegennet gaan heel wat studies vooraf. Naast praktische overwegingenis het erg belangrijk om een zicht te hebben op de mate waarin het verkeer een vlotte doorstroom kent. Dat doet mendoor een model te maken: voor een gegeven aantal bestuurders op het wegennet probeert men de tijd te berekenendie nodig is om van een punt A naar een punt B te rijden. In deze onderzoeksopdracht beschouwen we enkele eenvou-dige modellen waarin we laten zien hoe je zoiets kan berekenen. Ook voor een groter wegennet zal men gelijkaardigeprincipes hanteren, maar laat men het rekenwerk over aan een computer.

In deze opdracht maken we de volgende vereenvoudigingen.

1. We nemen aan dat de instroom constant is: per seconde rijden er n auto’s het wegennet op. Uiteraard kent zo’nmodel ook zijn beperkingen, want van zodra n ‘te groot’ wordt, zal het wegennet volledig dichtgeslipt zijn, zodater geen doorstroom meer mogelijk is.

2. Elke bestuurder beschikt op elk moment over alle verkeersinformatie van het volledige wegennet en past dieinformatie ook zelfzuchtig toe. Dus als een bestuurder kan kiezen tussen twee alternatieve routes, dan zal hij ofzij altijd zal kiezen voor de route die het minst tijd kost.

Aan de hand van enkele voorbeelden laten we de belangrijkste principes zien. Daarna ga je zelf aan de slag.

A B

f(x)

wegennet 1

3 Wegennet 1. Op nevenstaande figuur staat het meest eenvoudige voorbeeldvan een wegennet: een eenrichtingsweg van A naar B. De tijd (in seconden)die voor een auto nodig is om de weg af te leggen hangt af van het aantalauto’s x die per seconde voor die weg kiezen. Dat verband is dus een functief , die we de tijdsfunctie van de weg noemen. Doorgaans zal f een stijgendefunctie zijn, want hoe meer auto’s op het wegennet, des te langer het duurtom van A naar B te rijden. Als eenvoudig model nemen we voor f eenlineaire functie. Omdat x = n, vinden we de tijd die nodig om van A naarB te rijden: dat is gewoon f(n).

Voorbeeld. Stel dat f(x) = 2x + 35. Rijden er per seconde n = 2 wagens het wegennet op in A, dan zaleen wagen er 39 seconden over doen om van A naar B te rijden. Is n = 15, dan duurt het traject al 65seconden. Hoe meer auto’s er per seconde het wegennet oprijden, des te langer het duurt om van A naarB te rijden.

A B

f(x)

g(y)

wegennet 2

3 Wegennet 2. Beschouw twee wegen van A naar B, de pijlen geven aan inwelke richting verkeer mogelijk is. Noem f(x) de tijdsfunctie van de bovensteweg, met x het aantal auto’s die per seconde voor de bovenste weg kiezen.Analoog is g(y) de tijdsfunctie van de onderste weg. Tijdsfuncties f en ghoeven niet gelijk te zijn. Het is denkbaar dat de ene weg wat langer is dande andere, zodat het nemen van de ene weg langer duurt dan de andere,zelfs al kiest de helft van de bestuurders voor de ene weg en de helft voor deandere. Het kan ook dat de ene weg wat meer opstopping veroorzaakt dan deandere weg, bijvoorbeeld de aanwezigheid van winkelcentra, verkeerslichten,bebouwde kom, etc.

Omdat we aannemen dat elke bestuurder kiest voor de route die hem het minste tijd kost, zal na verloop vantijd de reistijd voor de bovenste weg gelijk zijn aan de reistijd van de onderste weg. We zeggen dan dat hetnetwerk in evenwicht is. Dan zal dus {

x+ y = n

f(x) = g(y)

Kennen we de functies f en g, dan kunnen we op die manier x en y berekenen en dus nagaan hoe lang eenbestuurder er over doet om van A naar B te rijden.

Voorbeeld. Stel dat f(x) = x + 35 en g(y) = 2y + 10. Elke wagen die het wegennet oprijdt moet kiezentussen de bovenste en de onderste weg, zodat n = x + y. Er ontstaat een evenwicht wanneer de reistijdvoor de bovenste weg gelijk is aan de reistijd voor de onderste weg:

f(x) = g(n− x) ⇒ x+ 35 = 2(n− x) + 10

⇒ x =2

3n− 25

3

Voor n ≤ 12 kiest niemand voor de bovenste weg en duurt de reistijd van A naar B (via de onderste weg)maximaal 34 seconden. Is bijvoorbeeld n = 35, dan kiezen 15 bestuurders voor de bovenste weg en 20 voorde onderste. In beide gevallen geeft dat een reistijd 50 seconden.

A-134

Onderzoeksvraag 1

A

X

B

Y

f(x1) g(x2)

g(y1) f(y2)

wegennet 3

Beschouw nevenstaand wegennet 3, waarbij de tijdsfunctie vantegenoverliggende wegen gelijk zijn. Bij wijze van voorbeeldnemen we aan dat de tijdsfuncties f en g gegeven worden door

f(x) = 10x en g(y) = y + 50

Als het netwerk in evenwicht is, hoeveel bestuurders kiezendan voor de route van A naar B via X? Staaf je vermoe-den met een berekening en bepaal ook de reistijd van A naar B.

Aanwijzing. Wat is het verband tussen x1 en x2?

Onderzoeksvraag 2

A

X

B

Y

f(x1) g(x2)

g(y1) f(y2)

h(z)

wegennet 4

We breiden wegennet 3 uit met een route van X naar Y enverkrijgen zo wegennet 4. Om de gedachten te vestigen nemenwe aan dat de tijdsfunctie h wordt gegeven door

h(z) = z + 10

Als het netwerk in evenwicht is, zal de reistijd van A naar Bnu kleiner of groter zijn aan de reistijd uit Onderzoeksvraag1? Staaf je vermoeden met een berekening. Verdedig nadienje standpunt. Bedenk dat de waarde van n een rol kan spelen.

Onderzoeksvraag 3

Bedenk zelf een nieuw, eenvoudig wegennet 5 voorzien van tijdsfuncties. Bestudeer, bij evenwicht, hoeveel bestuurdersgebruik maken van de verschillende routes. Bepaal ook de reistijd. Daarnaast kun je ook een eigen vermoedenformuleren en argumenteren waarom je vermoeden juist is.Aanwijzing. Mogelijkheiden om een nieuw netwerk te kiezen zijn:

3 neem wegennet 2 waarbij je ook tweerichtingsverkeer toelaat;

3 neem wegennet 3 met andere tijdsfuncties;

3 neem wegennet 4 waarbij je ook verkeer van Y naar X toelaat;

3 neem als wegennet 5 een verplaatsing van A naar B via X, Y of Z.

A-135

Onderzoeksopdracht 2 - Het probleem van Josephus

Flavius Josephus(37 - ±100)

Deze onderzoeksopdracht gaat over een variant van een oud probleem genoemd naarJosephus, een befaamde 1 historicus uit de eerste eeuw na Christus. Tijdens de Joods-Romeinse oorlog werd hij met 40 andere Joodse rebellen opgesloten in een grot. Derebellen verkozen zelfmoord boven overgave. Ze beslisten om in een kring te gaanstaan en elke derde persoon te vermoorden tot niemand meer overbleef. Maar Josep-hus en een andere persoon hadden het niet zo begrepen op deze eliminatie en - zogaat de legende - bedachten een manier hoe zij als laatsten konden overblijven omzich nadien aan de Romeinen over te geven.

In onze variant gaan we ervan uit dat er n personen in een kring staan. Om hetprobleem van Josephus wat eenvoudiger te maken spreken we in een eerste onder-zoeksvraag af dat elke tweede persoon in de cirkel vermoord wordt.

Onderzoeksvraag 1

Als er n personen in een kring staan en elke tweede wordt vermoord, welk nummer un blijft er dan als laatste over?

12

3...

n

Aanwijzing.

(a) Om het probleem goed te begrijpen ga je best enkele kleine gevallen na.

(i) Bepaal un voor 1 ≤ n ≤ 10. Maak een tabel.

(ii) Misschien zie je nu al een patroon in de tabel uit (a) en heb je een vermoe-den hoe je un kan bepalen voor een willekeurige n. Zo ja, bepaal u2013. Zoneen, dan beantwoord je deze vraag later wel.

(b) Het eerste doel is om een recursief voorschrift van de rij (un) te bepalen.

(i) Je kan u19 en u20 bepalen enkel door de gegevens uit (a) te gebruiken.

(ii) Veralgemeen dit idee door een formule van de vorm un = . . . um + . . . op te stellen, waarbij m < n. Wat ism in functie van n? Test je vermoeden met behulp van andere voorbeelden. Bewijs daarna je vermoeden.

(c) Het tweede doel is om een expliciet voorschrift van de rij (un) te bepalen.

(i) Maak je tabel uit (a) wat groter door un voor 1 ≤ n ≤ 16 te berekenen. Dat kan handig met behulp van(b). Groepeer de tabel volgens opeenvolgende machten van 2 en zoek een patroon.

(ii) Probeer met dat patroon nu een expliciet voorschrift voor un te maken. Begrippen als de 2-logaritme en defloor-functie kunnen van pas komen. Test je vermoeden met behulp van (a). Bewijs daarna je vermoeden.

Onderzoeksvraag 2

Stel n personen staan in een kring staan en elke tweede wordt vermoord. Nadien blijkt nummer 2013 als laatste overte blijven. Wat is de waarde van n?

Op basis van een expliciet voorschrift van de rij (un) uit Onderzoeksvraag 1 kun je nu een vermoeden formuleren enbewijzen voor het oorspronkelijke probleem van Josephus:

Onderzoeksvraag 3

Als er n personen in een kring staan en elke derde wordt vermoord, welk nummer un blijft er dan als laatste over?

1Ware het niet dat Josephus beschikte over zijn wiskundige talenten, zo zegt de legende, dan zou hij bijlange na niet beschikt hebbenover de levensjaren die hem toegelaten hebben om beroemd te worden. Josephus zelf schreef dat hij ‘als bij wonder’ gespaard bleef.

A-136

http://nl.wikipedia.org/wiki/Flavius_Josephus

Onderzoeksopdracht 3 - Winnende strategieen

Een kansspel is een spel waar winst of verlies wordt bepaald door toeval, bijvoorbeeldhet spelen van een krasspel of een deelname aan de lotto. In deze onderzoeksopdrachthebben we het niet over kansspellen maar over wiskundige spellen met twee spelers,waar de winst of het verlies van een speler enkel afhangt van de beslissingen die beidespelers tijdens het spel nemen. Voor zo’n wiskundig spel is een van de belangrijkstevragen of er een winnende strategie bestaat: een stappenplan zodat een speler,ongeacht de beslissingen van de andere speler, het spel gegarandeerd wint. Bestaater zo’n winnende strategie en zijn beide spelers hiervan op de hoogte, dan is deuitkomst van het spel afhankelijk van wie het spel als eerste begint. We noemeneen spelsituatie winnend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd wint indien hij zo’n winnende strategietoepast. Een spelsituatie is verliezend als de eerstvolgende speler die aan zet is gegarandeerd verliest indien de tegen-speler zo’n winnende strategie toepast. De tak van de wiskunde die zich met het bestaan van winnende strategieen ende beslisbaarheid van winnende en verliezende spelsituaties bezig houdt, is de zogenaamde speltheorie.

In wat volgt bespreken we het spel Nim, waarin we laten zien dat een winnende strategie afhangt van de beginsituatie.Is die beginsituatie gunstig en past de speler die het eerst aan zet is deze strategie toe, dan wint hij/zij gegarandeerdhet spel. Is de beginsituatie ongunstig en past de tweede speler die aan zet is zijn/haar strategie toe, dan verliest deeerste speler gegarandeerd.

In de onderzoeksvraag hebben we het over een ander spel, waarbij het bestaan van zo’n winnende strategie ook afhangtvan de beginsituatie.

een opgave van het spelNim

3 Nim is een spel voor twee spelers, waarbij de spelers om beurten een aantalvoorwerpen (bijvoorbeeld schijven) moeten wegnemen van een aantal stapels.De spelers doen om de beurt een zet, die er uit bestaat dat van een stapelminimaal een schijf en maximaal de hele stapel wordt weggenomen. De winnaaris degene die de laatste schijven wegneemt. Je kan het spel Nim spelen via delink http://www.koendenaeghel.be/Nim.htm .

In wat volgt houden we het op ten hoogste twee stapels. We gaan naof er een winnende strategie bestaat en in welke beginsituaties de eerste spelerkan winnen.

1. Hoe kunnen we de spelsituatie op een eenvoudige manier noteren?

We kiezen voor een koppel getallen dat het aantal schijven op de stapels weergeeft. Dus de spelsituatie inbovenstaande afbeelding wordt genoteerd als (5, 7).

2. Bepaal eenvoudige spelsituaties die winnend of verliezend zijn en zoek een patroon.

Als er maar een stapel is, dan win je door alle schijven weg te nemen. Dus

winnend: (1, 0), (2, 0), (3, 0), . . .

(0, 1), (0, 2), (0, 3), . . .

Als er twee stapels met stenen liggen, dan mogen we vooral niet een stapel volledig weg nemen, omdat detegenspeler dan voorgaande strategie kan toepassen om te winnen. De spelsituatie (1, 1) is dus verliezend,terwijl (2, 1) dan weer winnend is. Op die manier is ook (3, 1) winnend, want dan nemen we gewoon tweeschijven van de eerste stapel weg. Voorlopig verkrijgen we

verliezend: (1, 1)

winnend: (2, 1), (3, 1), (4, 1), . . .

(1, 2), (1, 3), (1, 4), . . .

Analoog kunnen we ook redeneren op andere spelsituaties, zoals (2, 2), (3, 2), etc. We kunnen een lijstmaken waarin we proberen om een patroon te herkennen in de winnende en verliezende situaties. Om hetoverzicht te bewaren, kiezen we een andere weg.

A-137

http://www.koendenaeghel.be/Nim.htm

Nu komt een meetkundige interpretatie van pas. Elke spelsituatie (m,n) kunnen we associeren met een puntP (m,n) in een Cartesisch assenstelsel. Schrijven we • voor een winnende situatie en ◦ voor een verliezendesituatie, dan verkrijgen we voorlopig de onderstaande Figuur 1.

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

◦

◦

• • • • •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• • • •

Figuur 1: spelsituatie (3, 1) is winnend

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

◦

◦

◦

◦

◦

◦

• • • • •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• • • •

•

•

•

• • •

•

•

• •

•

•

Figuur 2: een mogelijk spelverloop bij (3, 5)

Bij een spelsituatie (m,n) komt het spelen van een zet overeen met een verschuiving van punt P (m,n) naarlinks of naar onder. Zo zien we in waarom (1, 1) verliezend is: elke verschuiving naar links of naar ondergeeft winnende situatie ◦ voor de andere speler. En zo zien we ook in waarom spelsituatie (3, 1) winnend is:er is een verschuiving naar links dat een verliezende situatie ◦ voor de tegenspeler geeft. Breiden we dezeredenering uit, dan verkrijgen we de andere roosterpunten zoals in Figuur 2.

De winnende spelsituaties (m,n) komen overeen met de roosterpunten die niet op de diagonaal liggen, dusprecies wanneer m 6= n.

3. Beschrijf voor elke winnende spelsituatie een winnende strategie.

Bij een winnende spelsituatie (m,n) met m 6= n verloopt een winnende strategie als volgt: zorg dat je naelke zet een verliezende situatie doorgeeft aan de tegenspeler. Dat doe je door een verschuiving naar linksof naar onder uit te voeren zodat je een punt op de diagonaal bekomt. In de praktijk maak je bij elke zetbeide stapels gelijk. Een mogelijk spelverloop bij (3, 5) is bijvoorbeeld (zie Figuur 2):

(3, 5)→ (3,3)→ (2, 3)→ (2,2)→ (2, 0)→ (0,0)

een opgave van het spelCookies

3 Cookies is een ander spel, dat als volgt verloopt. Op tafel staan twee sta-pels met koekjes. Twee spelers nemen om beurten koekjes van de stapels endat kan alleen als volgt: ofwel neem je een aantal koekjes uit een stapel, of-wel neem je van beide stapels hetzelfde aantal koekjes. De winnaar is degenedie de laatste koekjes wegneemt. Je kan het spel Cookies spelen via de linkhttp://www.koendenaeghel.be/Cookies.htm .

Onderzoeksvraag

Bepaal welke spelsituaties bij Cookies winnend zijn en beschrijf een winnendestrategie.

Aanwijzing.

(a) Door enkele kleine gevallen na te gaan kun je inzien waarom een spelsituatie winnend is en wat in dat geval dewinnende strategie is. Het moeilijk deel is om alle winnende spelsituaties te beschijven.

(b) Een eerste uitdaging is om een patroon te vinden in de winnende (of verliezende) koppels. Formuleer eenvermoeden.

(c) Als tweede uitdaging kun je een elegante formule zoeken die voor een beginsituatie meteen beslist of de eerstespeler gegarandeerd kan winnen. Zijn de situaties (19, 30) en (3198, 5175) winnend?

A-138

http://www.koendenaeghel.be/Cookies.htm

Onderzoeksopdracht 4 - Afstand, snelheid en tijd

Dat de fundamentele begrippen afstand, snelheid en tijd eenvoudig te begrijpen zijn, is slechts schijn. Zo hebben deberuchte paradoxen van Zeno (naar Zeno van Elea, ca. 490 v. Chr. - ca. 430 v. Chr.) en zijn uiteenzettingen over deonmogelijkheid van beweging eeuwenlang voor ophef gezorgd:

Op elk tijdstip bevindt een vliegende pijl zich op een vaste plaats in de ruimte. Ten opzichte van die plaats in deruimte is hij dan in rust. Maar dan is de pijl op elk moment in rust zodat de pijl niet beweegt?

De paradoxen konden pas in de 17e eeuw worden aangepakt door het inzicht van de calculus dat een som met oneindigveel termen toch een eindig resultaat kan hebben. Veel kon ook worden opgehelderd met behulp van de conceptenfunctie en grafiek van een functie.

Opp. = afgelegde weg

t

v

y = v(t)

t1 t2

Een snelheid-tijd diagram is een grafiek van de snelheid in functievan de tijd. Is de snelheid v over een tijdsinterval [t1, t2] constant,dan is de afgelegde weg over dat interval gelijk aan v · (t2− t1) endus de oppervlakte tussen de grafiek en de horizontale as. Dat isook het geval wanneer de snelheid niet constant is (zie figuur),wat men kan inzien door zo’n snelheid-tijd diagram op te delenin zeer kleine tijdsintervallen waarbij de snelheid als constant kanworden beschouwd.

Deze onderzoeksvraag gaat over afstand, snelheid en tijd. Daarbijkunnen zowel rekenvaardigheid als bovenstaande interpretatie inverband met het snelheid-tijd diagram van pas komen.

Klaas is een student wiskunde en pendelt elke dag met de trein van Brugge naar Brussel. Op een avond zijn de lessenwat uitgelopen en moet hij zich haasten om de trein te halen. Om op het perron te geraken moet hij een gedeelte meteen roltrap en een gedeelte met een (gewone) trap overbruggen. Bij het binnenkomen van het station komen de vetersvan Klaas z’n schoenen los. Wat nu gedaan? Ter vereenvoudiging nemen we aan dat de wandelsnelheid van Klaasconstant k is, maar op de rolstrap wordt zijn snelheid vermeerderd met de snelheid r van de roltrap. Klaas zijn doelis om zo snel mogelijk op het perron te geraken.

Onderzoeksvraag 1

Klaas beslist om te pauzeren om zijn veters te knopen. Is het efficienter om dit op de roltrap te doen of op de trap?

Onderzoeksvraag 2

Stel dat Klaas zijn energie om te lopen beperkt is en hij zijn snelheid tijdelijk kan opdrijven tot k′ (of k′ + r op deroltrap). Is het efficienter om op de roltrap te lopen of van de roltrap af?

Beantwoord beide onderzoeksvragen met een volledige wiskundige argumentatie.

A-139



Inhoudsopgave

Opdracht: Wiskundig door de bocht [44] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-142

Verdere ondersteuning omtrent deze opdracht (voor de leerkracht) en alternatieve onderzoeksopdrachten uit deWiskunde B-dag zijn beschikbaar op de website van Johan Deprez en Gilberte Verbeeck [39].

A-141

Wiskundig door de bocht1

Inleiding

Soms dringt wiskunde zich spontaan op, bijvoorbeeld in een stukje speelgoed. Je hoeft het alleen maar ter hand tenemen om uren te construeren en aan de hand daarvan te redeneren en te rekenen. Bij dit onderwerp gaan we datdoen aan de hand van een set van zogenaamde ‘elleboogjes’.

elleboogje

Een elleboogje is een kwartcirkel. Met een klik kunnen de elleboogjes worden geschakeld. Webekijken alleen gesloten schakelingen van elleboogjes (dus zonder begin- en eindpunt). Zo’ngesloten schakeling noemen we een circuit. Onderstaande foto’s tonen een aantal voorbeeldenvan circuits. Je ziet vier vlakke circuits, bestaande uit 8, 12, 16 en 28 elleboogjes: ze kunnenplat op tafel worden gelegd.

8-circuit 12-circuit 16-circuit 28-circuit

niet vlak

Maar hiernaast is ook een ruimtelijk circuit gegeven met 7 elleboogjes. Deze vorm kan nietplat op tafel gelegd worden. We noemen een circuit dus alleen vlak als alle elleboogjes vanhet circuit in hun geheel plat op tafel liggen. Om misverstanden te voorkomen: de tweeonderstaande foto’s tonen twee circuits met 8 elleboogjes. Links is sprake van een vlakcircuit; rechts ligt het circuit niet in zijn geheel plat op tafel en daarom is het dus niet vlak.

vlak niet vlak

Wiskundige representaties van elleboogjes

gezamelijke raaklijn

De elleboogjes kunnen we wiskundig representeren als kwartcirkels met straal 1.Bij deze wiskundige weergave verwaarlozen we de dikte van het materiaal vande elleboogjes. In de verbindingen zitten de kwartcirkels met hun eindpuntenaan elkaar en hebben daar een gezamenlijke raaklijn. Soms lijkt een plasticcircuit wel te kunnen (met een beetje wringen), maar als je het op bovenstaandewijze met kwartcirkels probeert weer te geven, blijkt het wiskundig gezien nietmogelijk. Wij zullen dat dan niet als ‘circuit’ erkennen. De raaklijneigenschapvan de wiskundige representatie betekent voor de concrete elleboogjes: vantwee geschakelde elleboogjes sluiten de grensvlakken naadloos op elkaar aan.Een wiskundige omschrijving van een circuit van n elleboogjes (met n ∈ N) luidt dus:

Een n-circuit is een gesloten kromme, bestaande uit n kwartcirkels die in alle verbindingspuntensteeds een gezamenlijke raaklijn hebben.

snavel en dubbelpunt

Het lijkt overbodig (omdat de elleboogjes het niet toelaten), maar wiskundigmoet het nog worden uitgesloten: in een gesloten kromme staan we geen ’sna-vels’ toe en ook geen ‘dubbelpunten’.

1Wiskunde B-dag opgave 2003, Freudenthal instituut 1991-2013 [44].

A-142

Opgave

Bij deze onderzoeksopdracht ga je op zoek naar mogelijkheden en onmogelijkheden van vlakke en ruimtelijke circuitsvan elleboogjes en eigenschappen daarvan. Het setje van 24 elleboogjes is bedoeld om daadwerkelijk constructies uit tevoeren die het denken en redeneren over circuits in algemene zin (dus ook voor circuits met meer dan 24 elleboogjes)kunnen ondersteunen. De opdracht is gesplitst in drie delen.

In deel A worden de vlakke circuits onderzocht. In deel B worden ruimtelijke circuits bekeken die aan bepaaldevoorwaarden moeten voldoen; je krijgt daar dus maar beperkt de ruimte. Daarna krijg je in deel C de volledig vrijeruimte. De genummerde vragen in de delen A, B en C zijn bedoeld om richting te geven aan je onderzoekingen. Zehoeven niet in de gegeven volgorde bekeken te worden; het werk daaraan kan ook worden verdeeld binnen de groep.In elk deel worden ook algemene vragen gesteld. Dat zijn de onderzoeksvragen waarmee je jezelf kunt onderscheidenvan anderen in wiskundige diepgang en volledigheid.

Eindopdracht

Van je bevindingen in de delen A, B en C maak je een zelfstandig leesbaar werkstuk. Dit houdt in dat een lezer,die zelf beschikt over een setje elleboogjes, aan de hand van je verslag duidelijk zicht krijgt op de mogelijkheden,onmogelijkheden en eigenschappen van vlakke en ruimtelijke circuits. In het verslag speelt de volgorde van de vragenzoals ze in deze onderzoeksopdracht zijn gezet geen enkele rol. Zorg er wel voor dat je bevindingen bij de verschillendevragen aan bod komen, maar voorkom dat je verslag alleen maar een beantwoording is van de afzonderlijke vragen.

Deel A: Vlakke circuits

Duidelijk is dat het kleinst mogelijke vlakke circuit uit vier elleboogjes bestaat. We noemen dit een vlak 4-circuit.

Vlakke n-circuits

Een vlak n-circuit is dus een gesloten kromme zonder dubbelpunten van precies n elleboogjes, waarvan alle elleboogjesplat op tafel liggen. In dit deel bekijken we eerst welke vlakke n-circuits mogelijk zijn. Je hebt de beschikking over eensetje van 24 echte elleboogjes om mee te experimenteren. Bedenk dat een deel van de vragen ook gaat over waardenvan n die groter zijn dan 24.

1. Leg met 8 elleboogjes een vlak 8-circuit. Zijn er meerdere mogelijkheden? Geef ook alle mogelijkheden voor eenvlak 12-circuit. Toon daarbij overtuigend aan dat je ze allemaal hebt gevonden.

2. Circuits daadwerkelijk maken is een kwestie van proberen. Daarbij zal het setje elleboogjes zeker helpen. Maarop papier communiceren over een circuit, zonder dat je daarbij steeds zo’n circuit tekent, is een ander verhaal.Bij het beantwoorden van veel vragen is het daarom nuttig om een manier te hebben waarmee je een willekeurigcircuit kunt beschrijven. Dat kan op velerlei manieren. Aan jullie de taak om zelf een handige beschrijvingswijzete zoeken, waarmee je makkelijk kunt communiceren. Zorg er wel voor dat je de gekozen beschrijving preciesvastlegt voor de lezer.

3. Je kunt heel wat 16-circuits maken. Bedenk een systematiek om ze allemaal te vinden en beschrijf die systematiek.

4. Met een oneven aantal elleboogjes kun je nooit een vlak circuit leggen. Leg dat uit.

schakeling

5. Maak een schakeling van drie elleboogjes. De grenspunten nummeren we0, 1, 2 en 3 zoals hier schematisch is weergegeven. Houd nu de punten 0en 1 (dus het eerste elleboogje) vast. Beschrijf waar de eindpunten vanvolgende elleboogjes 2, 3, 4, . . . dan kunnen komen te liggen, inclusief derichting waarin een nieuw elleboogje in zo’n eindpunt moet aansluiten.

6. Is een vlak 6-circuit mogelijk?

Algemene vraag I. Voor welke waarden van n is een vlak n-circuit mogelijk? Kun je dit ook hard maken?

Bonusvraag Gegeven een waarde n, stel een formule op die het aantal verschillende mogelijkheden geeft voorhet maken van een vlak n-circuit.

A-143

Omsloten oppervlakte van een vlak n-circuit

We bekijken nu alleen de wiskundige representatie van de elleboogjes, waarbij de materiele dikte van de elleboogjeswordt verwaarloosd. Dat zijn kwartcirkels met straal 1. De omsloten oppervlakte van het 4-circuit is dus π. Natuurlijkhangt de oppervlakte van een vlak n-circuit samen met de waarde van n, maar daarnaast is ook de vorm van hetcircuit van invloed op de omsloten oppervlakte.

7. Laat zien dat de oppervlakte binnen een vlak 8-circuit gelijk is aan π + 4.

Algemene vraag II. Wat is de maximale oppervlakte die kan voorkomen bij vlakke n-circuits? En wat is deminimale waarde? Bewijs dit.

Bonusvraag Gegeven een willekeurig vlak n-circuit, stel een formule op die de oppervlakte geeft, eventueel infunctie van parameters die geassocieerd worden met de vorm van het n-circuit.

Deel B: Beperkte ruimte

Met de elleboogjes kunnen ook ruimtelijke circuits worden gevormd. In de ruimte heb je eindeloos veel constructie-mogelijkheden, omdat een elleboogje dat vast zit aan een ander in de ruimte over elke hoek kan worden gedraaid.Daarom leggen we in dit deel voorlopig een beperking aan de bewegingsruimte op:

De elleboogjes liggen in de vlakken van een kubisch rooster, met de eindpunten van de elleboogjessteeds op de middens van ribben van de kubussen van dat rooster.

deel van een circuit op een kubischrooster

Hiernaast is een klein deel van zo’n kubisch rooster getekend, met daarin eenvoorbeeld van 5 geschakelde elleboogjes die aan de eis voldoen. In principe zijnde kubussen van zo’n rooster ook stapelbaar.

8. Er zijn twee verschillende ruimtelijke 6-circuits mogelijk die aan de ge-stelde beperking voldoen. Probeer ze te maken en beschrijf ze met behulpvan het rooster. Onderzoek welke 8- en 10-circuits voldoen aan de opge-legde beperking.

9. Is het mogelijk een ruimtelijk n-circuit te maken, binnen de beperkingenvan het rooster, voor oneven waarden van n? Leg uit.

Algemene vraag III. Voor welke waarden van n is een ruimtelijk n-circuit op een kubisch rooster mogelijk? Kunje dit ook hard maken?

Deel C: De vrije ruimte

In dit deel krijg je echt vrije speelruimte. Zoals eerder is gezegd maakt dat het geheel veel complexer, omdat er zoveelbewegingsvrijheid is. Bij onbeperkte bewegingsruimte blijken ook ruimtelijke circuits mogelijk voor bepaalde onevenwaarden van n. Bij het experimenteren met de elleboogjes moet je bedenken dat het materiaal altijd wat spelingtoelaat. Daardoor kun je plastic circuits maken met wat wringen, die wiskundig niet als circuit mogelijk zijn. Houdje dus bij het construeren van ruimtelijke circuits aan de wiskundige beschrijving van een n-circuit zoals die in deinleiding is gegeven.

Een geval apart: n = 5

Het blijkt onmogelijk te zijn om, zonder vervorming bij de grensvlakjes, een ruimtelijk circuit te maken met 5 elle-boogjes. De volgende activiteit kan wellicht helpen om een idee te krijgen waarom het niet mogelijk is.

Leg 5 geschakelde elleboogjes op tafel. Houd het middelste elleboogje (CDin nevenstaande figuur) goed vast op zijn plaats en bekijk hoe eindpunt A inde ruimte kan bewegen door de twee elleboogjes CB en BA te draaien. Allemogelijke posities voor punt A blijken een zelfde karaktertrek te hebben: zeliggen allemaal op een vaste afstand van het snijpunt P van de raaklijnen inB en C. Hetzelfde geldt voor alle mogelijke posities van punt F : die liggenallemaal op een vaste afstand van punt Q.

10. Toon aan dat voor alle mogelijke posities van punt A steeds geldt dat de afstand tot punt P constant is. Berekenook die afstand.

A-144

De laatste opdracht is weer een algemene en daarbij heb je ook nog eens vrijheid van keuze. De ruimtelijke circuitsgeven alle aanleiding tot het jezelf vragen stellen. Mogelijke vragen:

3 Kun je het idee van vraag 10 gebruiken om aannemelijk te maken dat een 5-circuit niet mogelijk is?

3 Er zijn twee ruimtelijke 6-circuits. De ene is flexibel (kan in verschillende vormen worden gedraaid zonder tewringen. De andere is star en kan dus niet worden overgevoerd in een andere vorm. Hoe zit dat? Zijn er nogmeer starre ruimtelijke circuits?

3 Voor welke oneven waarden van n is een ruimtelijk circuit mogelijk?

Vragen van dit soort zijn beslist niet makkelijk te beantwoorden, maar wellicht kan het gericht experimenteren methet concrete materiaal je nog op goede gedachten brengen.

Algemene vraag IV. Doe nog wat onderzoek aan ruimtelijke vormen en probeer uitdagende problemen op hetspoor te komen die met het setje ellebogen kunnen worden aangepakt. Ook als je die problemen niet zelf oplost,kun je ze in het werkstuk van de eindopdracht beschrijven.

Ten slotte

Voer de eindopdracht uit op de manier die beschreven is op bladzijde 2. Bedenk daarbij nogmaals dat het niet debedoeling is dat je de afzonderlijke vragen van de delen A, B en C beantwoordt. Zorg dat je een samenhangendverslag geeft van de bevindingen rond vlakke en ruimtelijke circuits en schroom zeker niet om uitdagende problemenin je verslag op te nemen.

Veel succes!

A-145


ZELFSTANDIG OEFENINGEN MAKEN MET OPLOSSINGSSLEUTELS

Inhoudsopgave

Opgave [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-148

Cursustekst [8] waar naar verwezen wordt in de oplossingssleutels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-149

A-147

Opgave

Oefening 1. Bereken algebraısch de term in de gevraagde Riemann-som en duid deze aan op een schets:

f(x) =1

xvierde term in de rij van de linkersommen over interval [a, b] = [1, 2]

Oefening 2. Gegeven is de grafiek van de functie f(x) = ex.

(a) Welke bijzondere soort Riemann-som (bovensom, ondersom, linkersom, rechtersom of middensom) is aangeduid?

(b) Bepaal algebraısch de waarde van de aangeduide oppervlakte

1

2

3

4

1 2 3 4−1

y

x

y = ex

Oefening 3. Bereken telkens met behulp van je grafische rekenmachine de volgende bepaalde integralen en maak eenschets waarop je de meetkundige betekenis aanduidt.

(a)

∫ 1

−1x3dx

(b)

∫ 2

−12xdx

(c)

∫ π4

0

tanxdx

Aanwijzing. Indien we enkel interesse hebben in de bepaalde integraal (getal) en niet in de visuele voorstelling ervan,kunnen als volgt te werk gaan

MATH 9:fnInt fnInt(f(x),x,a,b)

Oefening 4. Gegeven is de functie f(x) = 3x.

(a) Bepaal de oppervlaktefunctie A(t) van f tussen x = −1 en x = 1.

(b) Bereken

∫ 1

−13xdx met behulp van de oppervlaktefunctie. Duid de meetkundige betekenis van de bepaalde

integraal aan in een schets.

A-148

Er

isge

enen

kele

reden

waa

rom

we

de

rij

rech

ters

omm

enzo

uden

‘bev

oor

del

en’

(ten

opzi

chte

van

linke

rsom

men

,m

idden

som

men

,et

c.)

enen

kel

de

conver

genti

eva

nde

rij

rech

ters

omm

enzo

uden

bek

ijken

.D

aaro

mde

volg

ende

3A

lgem

en

ew

erk

wij

ze.

Zijf

een

beg

rensd

efu

nct

ieen

a,b∈R

zodatf

bes

taat

in[a,b

].E

en

rij

van

Rie

man

n-s

om

menR

1,R

2,R

3,...

wor

dt

als

volg

tb

ekom

en.

x0

x1

x1

x0

x1

x2

x1

x2

x0

x1

x2

x3

x1

x2

x3

.V

erdee

l[a,b

]in

een

gelijk

dee

l:

V1

=[a,b

]=

[x0,x

1]

kie

sx

1∈

[x0,x

1]

R1

=geo

rt.o

pp.

=f

(x1)·(x

1−x

0)

.V

erdee

l[a,b

]in

twee

gelijk

edel

en:

V2

=[x

0,x

1],

[x1,x

2]

kie

sx

1∈

[x0,x

1]

enx

2∈

[x1,x

2]

R2

=geo

rt.o

pp.

=f

(x1)·(x

1−x

0)

+f

(x2)·(x

2−x

1)

.V

erdee

l[a,b

]in

dri

ege

lijk

edel

en:

V3

=[x

0,x

1],

[x1,x

2],

[x2,x

3]

kie

sx

1∈

[x0,x

1],x

2∈

[x1,x

2]

enx

3∈

[x2,x

3]

R3

=geo

rt.o

pp.

=f

(x1)·(x

1−x

0)

+f

(x2)·(x

2−x

1)

+f

(x3)·(x

3−x

2)

Den

-de

term

inee

nri

jva

nR

iem

ann-s

omm

enR

1,R

2,R

3,...

isdus

gelijk

aan

Rn

=f

(x1)·(x

1−x

0︸︷︷

︸∆x1

)+f

(x2)·(x

2−x

1︸︷︷

︸∆x2

)+...+f

(xn)·(xn−xn−

1︸

︷︷︸

∆xn

)

=

n ∑ i=1

f(xi)

∆xi

metxi∈

[xi−

1,xi]

Elk

ete

rmf

(xi)

∆xi

isde

geo

rien

teer

de

opp

ervla

kte

van

de

rech

thoek

met

basi

s∆xi=xi−xi−

1en

hoog

te|f

(xi)|.

Als

we

bij

elke

verd

elin

gdexi

telk

ens

opee

nbij

zonder

em

anie

rkie

zen,

dan

bek

omen

we

een

rij

van

rech

ters

om-

men

,linker

som

men

,b

oven

som

men

ofon

der

som

men

.D

itzi

jndus

bij

zonder

eri

jen

van

Rie

man

n-s

omm

en.

Bij

de

funct

ief

hor

endus

onei

ndig

veel

rije

nva

nR

iem

ann-s

omm

en,

waa

ronder

enke

lebij

zonder

ezo

als

de

rij

rech

ters

om

men

,de

rij

linker

som

men

,de

rij

bov

enso

mm

enen

de

rij

onder

som

men

.

Als

elk

eri

jR

iem

ann-s

omm

enR

1,R

2,R

3,...

conve

rgee

rt,

dan

zegg

enw

edat

de

tota

lege

orie

nte

erde

opp

ervla

kte

van

het

gebie

dge

lege

ntu

ssen

de

grafi

ekva

nf

,dex

-as

ende

rech

tenx

=a

enx

=b

bes

taat

.A

lsdat

zois

,dan

kun

jege

mak

kelijk

inzi

endat

al

dez

eri

jen

noodza

kelijk

naa

rhet

zelf

de

get

al

conve

rger

en(z

ieoef

enin

g8)

.

Sam

engev

atm

etde

defi

nit

ieva

nb

epaa

lde

inte

gra

al

(zie

pag

ina

3)ve

rkri

jgen

we

Geo

rgF

ried

rich

Ber

nhard

Rie

mann

(1826

-1866)

Defi

nit

ie(I

nte

gre

erb

aarh

eid

).Z

ijf

een

funct

ieena,b∈R

zodatf

bes

taat

enb

egre

nd

isov

er[a,b

].D

efu

nct

ief

noem

t(R

iem

ann-)

inte

gre

erbaa

rov

er[a,b

]als

voor

elk

eri

jva

nR

iem

ann-

som

men

de

volg

ende

lim

iet3

bes

taat

inR

lim

n→

+∞

n ∑ i=1

f(xi)

∆xi

Indat

geva

lzi

jnal

dez

elim

iete

ngel

ijk,

ennoem

tm

ende

uit

kom

stva

ndez

e

lim

iet

de

bep

aal

de

inte

graa

lva

nf

tuss

enx

=a

enx

=b,

not

atie

∫b

a

f(x

)dx

.

3O

pd

itp

unt

veg

enw

eee

nte

chn

isch

eco

nd

itie

on

der

de

mat:

de

coll

ecti

evan

rije

nvan

Rie

man

n-s

om

men

moet

engel

ijkm

ati

gco

nver

ger

en.

De

form

ele

defi

nit

ielu

idt:∃s∈

R:∀ε>

0:∃N∈

N:∀

Rie

man

n-r

ijR

1,R

2,...

:n>N⇒|Rn−s|<ε.

XI-

7

Werk

wij

ze1

om

een

bepaald

ein

tegra

al

teb

ere

kenen

Hoof

dst

elling

1va

nde

inte

graal

reke

nin

gla

aton

sto

eb

epaal

de

inte

gral

en(v

anco

nti

nue

funct

ies)

teb

erek

enen

:

Werk

wij

ze

1.

Geg

even

isee

nfu

nct

ief

(x),

conti

nu

over

[a,b

].O

mde

bep

aald

ein

tegra

al

∫b

a

f(x

)dx

teb

erek

enen

gaan

we

als

volg

tte

wer

k.

Sta

p1.

Zoek

de

opp

ervla

kte

funct

ieA

(t)

uit

de

voor

waa

rden

A′ (t)

=f

(t)

enA

(a)

=0.

Sta

p2.

Dan

is

∫b

a

f(x

)dx

=A

(b).

De

zoek

toch

tnaa

ree

nfu

nct

iew

iens

afge

leid

ef

(t)

is,

noem

tm

enook

wel

‘inte

gre

ren’.

functie

f(x)

deoppervlaktefunctie

A(t)

integreren

afleiden

bepaaldeintegraal

∫b

a

f(x)dx=

A(b)

invullen

ab

y

x

y=

f(x)

at

b

y

x

y=

f(x)

A(t)

ab

y

x

y=

f(x)

∫b

a

f(x)dx

3M

od

elv

oorb

eeld

1.

Geg

even

isde

funct

ief

(x)

=x

2.

(a)

Bep

aal

de

opp

ervla

kte

funct

ieA

(t)

vanf

tuss

enx

=0

enx

=2.

(b)

Ber

eken

∫2

0

f(x

)dx

met

beh

ulp

van

de

opp

ervla

kte

funct

ie.

Contr

olee

rm

etje

grafi

sche

reken

mach

ine

zoal

s

oppag

ina

9.

Oplo

ssin

g.

3M

od

elv

oorb

eeld

2.

Geg

even

isde

funct

ief

(x)

=1 4x

3.

(a)

Bep

aal

de

opp

ervla

kte

funct

ieA

(t)

vanf

tuss

enx

=1

enx

=2.

(b)

Ber

eken

∫2

1

f(x

)dx

met

beh

ulp

van

de

opp

ervla

kte

funct

ie.

Contr

olee

rm

etje

gra

fisc

he

reke

nm

ach

ine.

Oplo

ssin

g.

3B

esl

uit

.H

oof

dst

elling

1m

aak

thet

moge

lijk

omb

epaa

lde

inte

grale

nte

ber

eken

en.

Maa

rte

lken

sco

ntr

ole

ren

ofA

(a)

=0

maa

kt

de

wer

kw

ijze

wat

om

slac

hti

g.In§1

.5zi

enw

eee

ntw

eede

wer

kw

ijze

waa

rbij

de

contr

ole

‘A(a

)=

0’ov

erb

odig

zal

blijk

en.

XI-

12


WERKEN MET EEN WISKUNDIG MODEL

Inhoudsopgave

Lijst van onderwerpen [6]

Onderwerp 1 - Ruimtelijke ordening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-152

Onderwerp 2 - Milieukunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-153

Onderwerp 3 - Celbiologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-154

Onderwerp 4 - Visteelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-155

Onderwerp 5 - Plantenteelt I (gewassen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-156

Onderwerp 6 - Plantenteelt II (kamerplanten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-157

A-151

Onderwerpen

Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening

ontwerp van een woning

In een gemeente met 30 000 inwoners staan 10 000 woningen. De gemeente schat dathet gemiddeld aantal bewoners per woning gelijk blijft aan drie en bouwt er 200woningen per jaar bij.

Uit gegevens uit het verleden wordt een empirisch model voor de veranderingen in debevolkingsomvang afgeleid. De prognose voor het aantal geboorten is

g(t) = 734 + 55t+ 2t2 per jaar,

en die voor het aantal sterfgevallen is

s(t) = 350 + 37t− t2 per jaar.

In beide formules is t uitgedrukt in jaren na het begin van de planningsperiode. De overige effecten, zoals migratie,houden elkaar volgens de schattingen in evenwicht.

Model Het aantal inwoners als functie van de tijd geven we aan met N(t). De afgeleide van N(t) is de veranderingvan het aantal inwoners per tijdseenheid (jaar). De netto bevolkingstoename per jaar is het aantal geboorten minushet aantal sterfgevallen, ofwel

N ′(t) = g(t)− s(t)Opgave

1. Bepaal het aantal inwoners als functie van de tijd.

2. Hoeveel inwoners kwamen er tijdens het eerste jaar bij?

Antwoord. 394

3. Wat is het aantal woningen W als functie van de tijd t?

4. Wanneer zal de woningbehoefte even hard groeien als de woningvoorraad?

Antwoord. Na 6 jaar.

5. Wanneer ontstaat er volgens de norm van de gemeente een woningtekort?

A-152

Onderwerp 2. Milieukunde

lozen van afvalwater

Een chemische fabriek heeft een verguning voor het lozen van 1000 kg van een afvalstofper week op een rivier. De rivier heeft een constant debiet van 0, 2 m3/s. Per weekstroomt dan 120 960 m3 water voorbij. Een gelijkmatige lozing van 1000 kg per weekzou dus een constante concentratie

1000 kg/week

120 960 m3/week≈ 8, 267 · 10−3 kg/m3

in het water stroomafwaarts van de fabriek geven.

Ter controle wordt stroomafwaarts van de lozingpijp de concentratie afvalstof gemetenen die afvalstof wordt toegeschreven aan de fabriek. Het gemeten verloop wordtbeschreven door de functie

c(t) = c0 e0,0125 t kg/m3,

met t in weken na het begin van de metingen en c0 = 7·10−3 kg/m3. In het begin geldtc(0) = c0 = 7 · 10−3 kg/m3, dus op dat moment is de fabriek binnen de lozingsnorm.Blijft dat ook zo?

Model We nemen t = 0 bij het begin van de metingen. De hoeveelheid gepasseerde afvalstof op tijdstip t sinds hetbegin van de metingen duiden we aan met G(t). De afgeleide G′(t) is dan de toename per tijdseenheid (week) endat is de hoeveelheid afvalstof die er (per tijdseenheid) in de rivier stroomt. Die hoeveelheid is het product van deconcentratie c(t), in kg/m3 en het debiet D = 120 960 m3/week.

Opgave

1. Bepaal de hoeveelheid gepasseerde afvalstof op tijdstip t.

2. Hoeveel afvalstof is er in de eerste week geloosd?

Antwoord. 852, 0341 . . . kg

3. Hoeveel afvalstof is er in de vierde week geloosd?

Antwoord. 884, 5920 . . . kg

4. We duiden met H(t) de hoeveelheid afval aan die de week voorafgaand aan tijdstip t is geloosd. Geef eenuitdrukking voor H(t). Controleer je uitdrukking aan de hand van opgaven 2 en 3 hierboven.

5. Op welk tijdstip T geldt H(T ) = 1000? Wat gebeurt er als t > T?

A-153

Onderwerp 3. Celbiologie

plantencel

Een vacuole is een met vocht gevuld blaasje, dat zich in het cytoplasma van eencel bevindt. Plantencellen bevatten meerdere kleine vacuolen. Deze vacuolen nemenwater op en verenigen zich later tot een grote vacuole. Het vocht in de vacuolen bestaatuit water met daarin opgeloste stoffen, o.a. reservestoffen, kleurstoffen en afvalstoffen.De kleurstoffen zorgen voor de kleur van bijvoorbeeld planten en bloemen.

Model Een plantencel neemt water op in een vacuole, die aanvankelijk een volumeV (0) = 10µm3 heeft. De opnamesnelheid wordt gemodelleerd als

V ′(t) = 20 e−2t

met t de tijd in uren.

Opgave

1. Bepaal het volume van de plantencel in functie van de tijd t.

2. Hoeveel water bevat de vacuole na een kwartier?

Antwoord. 13, 9346 . . . µm3

3. Wat wordt volgens dit model het volume van de vacuole op den duur?

4. Hoeveel water werd er door de vacuole in het eerste uur opgenomen?

5. Hoeveel water werd er door de vacuole in het derde uur opgenomen?

Antwoord. 0, 1583 . . . µm3

6. We duiden met H(t) de hoeveelheid water aan die het uur voorafgaand aan tijdstip t werd opgenomen.Geef een uitdrukking voor H(t). Controleer je uitdrukking aan de hand van opgaven 4 en 5 hierboven.

7. Op welk tijdstip T geldt H(T ) = 0, 001?

A-154

Onderwerp 4. Visteelt

viskwekerij

Visteelt is een vorm van aquacultuur, waarbij vissen op een commerciele manier wor-den gekweekt voor consumptie. Door teruglopende visvangsten, veroorzaakt dooroverbevissing, wordt de visteelt een steeds belangrijkere tak in de visserij. Om eenoptimale visteelt te garanderen is het van belang de groei van vissen in kweek temodelleren.

Model Veronderstel dat de massa van een vis groeit volgens de modelvergelijking

m′(t) =α√t

met m de massa uitgedrukt in gram, t de tijd in dagen en α = 2 g · d− 12 .

Opgave

1. Ga na dat de eenheden in deze vergelijking met elkaar overeenstemmen.

2. Bepaal m(t) als m(0) = 1.

3. Wat gebeurt er volgens dit model op den duur met de massa van de vis?

4. Hoeveel gram nam de vis toe in de eerste dag?

Antwoord. 4g

5. Hoeveel gram nam de vis toe in de vijfde dag?

Antwoord. 0, 94427 . . . g

6. We duiden met V (t) het aantal gram aan waarmee de vis toeneemt op de dag voorafgaand aan tijdstip t.Geef een uitdrukking voor V (t). Controleer je uitdrukking aan de hand van opgaven 4 en 5 hierboven.

7. Van zodra de aangroei van de vis per dag kleiner is dan 0, 5 gram per dag is het niet langer rendabel om devissen in kweek te houden. Op welke dag kan men het best deze vissoort oogsten?

A-155

Onderwerp 5. Plantenteelt I

zomertarwe

Een akker wordt op 1 april met zomertarwe ingezaaid. Aanvankelijk groeien de plan-ten vrijstaand op, ze beconcurreren elkaar niet op voedingsstoffen en licht.

Model We modelleren deze eerste fase met een constante relatieve groeisnelheid, wekrijgen dan een exponentiele functie. De groeisnelheid van de tarwe in het modelwordt gegeven door

y′(t) = 0, 0672 e0,2 t

in kg drooggewicht per ha per dag, t in dagen. Deze fase duurt 40 dagen, tot en met10 mei.

In de tweede fase, tot en met 19 juli (70 dagen) neemt de onderlinge concurrentie toe. De groeisnelheid is dan constant.In de laatste fase is de tarwe volgroeit en alle energie wordt gebruikt voor het rijpen van het graan. De groeisnelheidneemt af. De laatste 10 dagen tot de oogst op 29 juli wordt de groeisnelheid gemodelleerd met

y′(t) = 200 e−0,53 (t−110)

Opgave

1. Maak een correcte schets van de grafiek van de groeisnelheid van de tarwe als functie van de tijd t, voor0 ≤ t ≤ 120.

2. Wat is het drooggewicht per hectare aan het eind van de eerste fase?

Antwoord. 1001, 2658 . . . kg/ha

3. Bereken de groeisnelheid aan het eind van de exponentiele fase.

4. Bereken de gewichtstoename van de tarwe in de fase van constante groei.

5. Bereken ten slotte de gewichtstoename in de derde fase, de rijping.

Antwoord. 375, 4748 . . . kg/ha

6. Wat mag men verwachten voor de opbrengst van de oogst, als je weet dat de akker een oppervlakte heeft van80 hectare?

A-156

Onderwerp 6. Plantenteelt II

vrouwentongen(Sansevieria trifasciata)

Planten slaan door assimilatie energie in hun bladeren op. Hierbij wordt kooldioxide(C02) gebonden en komt zuurstof (O2) vrij:

CO2 + energie −→ suiker + O2

De assimilatiesnelheid is evenredig met de lichtintensiteit (fotosynthese), assimila-tie heeft dus alleen overdag plaats. Hierbij neemt het gewicht y van de plant (debiomassa) toe.

Model De groei van de biomassa van een kamerplant door assimilatie modelleren wemet

y′a(t) = 10 sin

(1

12(t− 6)π

)(in mg/uur) voor 6 ≤ t ≤ 18

waarin t gemeten is in uren na middernacht. Buiten de genoemde uren is y′a(t) nul.Bij het omgekeerde proces, ademen of respiratie, komt de opgeslagen energie weer vrijen neemt het gewicht af. De ademhalingssnelheid veronderstellen we gedurende hethele etmaal constant, de bijhorende gewichtsverandering is

y′r(t) = −1 (in mg/uur)Opgave

1. Maak in een assenstelsel de correcte schets van de functies y′a(t) en y′r(t) voor t = 0 tot t = 24.

2. Bereken de gewichtstoename per dag door assimilatie en het gewichtsverlies door respiratie.Hoeveel neemt de plant per dag aan gewicht toe?

Antwoord. De gewichtstoename per dag is 52, 39 . . .mg.

3. Voor respiratie is zuurstof nodig, elke milligram gewichtsvermindering verbruikt 1, 7 mg zuurstof. Een kubiekemeter lucht bevat 0, 4 kg zuurstof. Hoeveel kubieke meter lucht gebruikt deze plant per nacht (van 18.00 u. tot6.00 u.)?

Antwoord. 0, 000051m3

4. Moet je daarmee rekening houden als je tien van deze kamerplanten op een slaapkamer van 5m op 4m op 2mzet? Fundeer je antwoord door te berekenen hoeveel procent van de lucht in de kamer wordt verbruikt door dezetien kamerplanten.

5. Op zeeniveau bevat lucht gemiddeld 21% zuurstof. Van zodra de hoeveelheid zuurstof 10% minder is dan hetgemiddelde, dan dreigt er gevaar voor de gezondheid. Hoeveel van deze kamerplanten moet je in een slaapkamervan 5m op 4m op 2m zetten opdat er gevaar zou dreigen?

A-157


LEREN UIT OPGELOSTE PROBLEMEN

Inhoudsopgave

Extra problemen [3, 29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-160

A-159

Extra problemen

Probleem 7. Bepaal telkens de vergelijking van de familie van krommen met de gegeven helling en de kromme uitdie familie die het gegeven punt bevat.

(a) m =tanx

yen A(0, 2) (c) m = −2y lnx en C(2, 8)

(b) m =23x−1

y3en B(1,−1) (d) m =

xy

1 + x2en D(3, 5)

Probleem 8. Voor een kromme y = f(x) geldt dat y′′ = 2. Bovendien bevat die kromme het punt P (2, 6) en is dehelling in P aan de kromme gelijk aan 10. Bepaal de vergelijking van die kromme.

Probleem 9. Voor een kromme y = f(x) geldt dat y′′ = 6x − 8. Bovendien bevat die kromme het punt P (1, 0) enwordt de normaal in dat punt gegeven door 2x− 3y = 2. Bepaal de vergelijking van die kromme.

Probleem 10 (biologie). Een kolonie bacterien wordt blootgesteld aan ultraviolet licht, die het DNA van de bacterienaantast zodat de kolonie uitsterft. In een laboratorium-experiment heeft men ontdekt dat de mate van de afname vanhet aantal levende bacterien evenredig is met het aantal nog levende bacterien op dat moment. Na 7 seconden levener nog 70, 5% van hen.

(a) Hoeveel bacterien leven er nog na een 20 seconden?

(b) Hoe lang duurt het voordat 95% van de bacterien dood zijn?

Probleem 11 (natuurkunde). De temperatuur van een fles melk daalt met een snelheid van 0, 0837 keer het ver-schil tussen de melktemperatuur op dat moment en de kamertemperatuur die 20◦ bedraagt. Onderstel dat de melkaanvankelijk 80◦ warm is. Na hoeveel tijd is de melktemperatuur tot 50◦ gezakt?

Aanwijzing. Als y(t) de melktemperatuur op tijdstip t is, zal y′(t) dan positief of negatief zijn? Dus schrijf je dany′ = . . . · (. . .− y) of y′ = . . . · (y − . . .)?Probleem 12 (bevolkingsleer). Een gebied heeft een maximale bevolkingscapaciteit van 200 miljoen mensen. Opelk tijdstip t is de mate van de toename van de bevolking evenredig met het verschil van de bevolkingscapaciteit en debevolking op dat moment. Aanvankelijk leven er 50 miljoen mensen en tien jaar later zijn er al 109 miljoen mensen.

(a) Bepaal de bevolking na 20 jaar.

(b) In welk jaar zal 90% van de bevolkingscapaciteit bereikt worden?

Probleem 13 (economie). Bij het opstarten van een bedrijf verwacht men dat op elk ogenblik de mate van detoename van de jaarlijkse verkoopcijfers evenredig zal zijn met het verschil tussen de verkoopcijfers op dat ogenbliken een bovengrens van 20 miljoen euro. Initieel zijn de verkoopcijfers uiteraard 0 en ze zijn 4 miljoen voor het tweedeoperationele jaar.

(a) Welke verkoop mag men verwachten na 10 jaar?

(b) In welk jaar zullen de verkoopcijfers 15 miljoen euro bedragen?

Probleem 14 (besmettingsleer). Een gemeenschap van 1000 mensen is homogeen samengesteld. Een persoon keertuit het buitenland terug met een griepvirus. Onderstel dat de thuisgemeenschap niet ingeent is tegen griep en allenvatbaar zijn voor deze ziekte. Bovendien is de mate van de verandering van het aantal besmette personen evenredigmet het product van het aantal besmette en het aantal niet besmette personen. Na 7 dagen zijn er tien personenbesmet.

(a) Hoeveel mensen zijn na 20 dagen besmet door het virus?

(b) Hoeveel dagen duurt het tot de helft van de gemeenschap is aangetast door het griepvirus?

Aanwijzing. Om de integraal te berekenen gebruik je data

y(a− y)=

1

a− y +1

y.

Probleem 15 (sociologie). Een groep van 800 mensen - studenten, vrienden, verloofden, ouders, etc. - zit op heteinde van het academiejaar gespannen te wachten op de proclamatie van de resultaten. Iemand uit deze groep beweertdat hij/zij het - uiteraard foutieve - gerucht heeft opgevangen dat slechts 15% van de studenten geslaagd is. Ditonrustbarende nieuws verspreidt zich als een lopend vuurtje. Sociologen beweren dat de mate van de toename van hetaantal mensen dat het gerucht vernomen heeft evenredig is met het product van het aantal mensen die het geruchtgehoord hebben en het aantal mensen die het gerucht nog niet gehoord hebben. Als na een minuut al 50 mensen hetgerucht opgevangen hebben, na hoeveel tijd heeft 95% van de aanwezigen het gerucht gehoord?

Aanwijzing. Om de integraal te berekenen gebruik je data

y(a− y)=

1

a− y +1

y.

A-160


EEN WETENSCHAPPELIJKE PRESENTATIE GEVEN

Inhoudsopgave

Inhoudstafel van Het wiskunde boek [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-162

Zelfevaluatiekaart [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A-164

A-161

Het

wis

ku

nd

eb

oek

Cli

fford

A.

Pic

kover

250

mij

lpale

nin

de

gesc

hie

den

isvan

de

wis

ku

nd

e


Zelfevaluatiekaart Practicum 14

Zelfevaluatie

3 Kruis aan wat van toepassing is;

3 gebruik deze checklist om bij te sturen waar nodig.

Proces Aandachtspunten + +/- -

Opdracht . duidelijk

. boeiend

Bronnen . betrouwbaar

. gevarieerd

. doeltreffend

. voldoende

Materiaal . voldoende

. gevarieerd

. doeltreffend

. alle aspecten

Groepswerk . doeltreffend

. iedereen heeft zijn/haar deel gedaan

. afspraken nageleefd

. aangenaam

. boeiend

Product (po-werpoint)

Aandachtspunten + +/- -

. logisch opgebouwd

. hoofdzaken onderscheiden van bijzaken

. kernboodschap

. less is more

. boeiend

. persoonlijk

. rekening gehouden met doelpubliek

. besluit

Conclusies

3 Bekijk aandachtig je minpunten, welke aspecten verdienen meer aandacht?Vraag hulp aan je leeraar of medeleerlingen, indien nodig.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Wat zijn je grootste troeven? Hoe ga je die in de verf zetten?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A-164

REFERENTIELIJST

Boeken, artikels en nota’s

[1] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J. M. Prystowsky, T.Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra Textbook, College of the Redwoods Department of Mathematics(2007).http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/ (toegang augustus 2014).

[2] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

[3] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill (1990).

[4] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk (2008).

[5] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007).http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1857815/ (toegang augustus 2014).

[6] M. De Gee, Wiskunde in werking deel 2, Epsilon Uitgaven, Utrecht (2002).

[7] K. De Naeghel, Vijf bewijzen voor de irrationaliteit van√

2, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2011).http://www.koendenaeghel.be/irrational.pdf (toegang augustus 2014).

[8] K. De Naeghel, Wiskunde In zicht, print-on-demand online publishing Lulu.com (2013).http://www.koendenaeghel.be/wiskundeinzicht.htm (toegang augustus 2014).

[9] K. De Naeghel, Giscorrectie en optimaliseren van slaagkansen, aanvaard voor publicatie in Uitwiskeling (2013).http://www.koendenaeghel.be/giscorrectie.pdf (toegang augustus 2014).

[10] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaan-deren nr.9 (2006).http://www.t3vlaanderen.be/fileadmin/media/cahiers/pdf/cahier9.pdf (toegang augustus 2014).

[11] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, 03/03/2010, DPB Brugge.http://home.scarlet.be/deprez.johan/100203−eekhoutcentrum−onderzoekscompetenties/ (toegangaugustus 2014).

[12] F. den Hertog en E. Huizenga, De kennisfactor: concurreren als kennisonderneming, Deventer : Kluwer Bedrijfs-Informatie, 1997.

[13] P. Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren), Mechelen (Wolters Plantyn)(2006).

[14] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley (1994).http://www.maths.ed.ac.uk/ aar/papers/knuthore.pdf

[15] N.J. Higham, Handbook of Writing for the Mathematical Sciences, Society for Industrial and Applied Mathematics(1998).

[16] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore (1994).

[17] P.H. Leslie, The use of matrices in certain population mathematics, Biometrika, 33(3), 183 - 212 (1945).

[18] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven (2006).

[19] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland (2010).

[20] R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, T.M. van Pelt, wiskunde voor het hoger onderwijs: uitwerkingen,Noordhoff Uitgevers (2009).

164

http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1857815/


http://www.koendenaeghel.be/wiskundeinzicht.htm

http://www.koendenaeghel.be/giscorrectie.pdf

http://www.t3vlaanderen.be/fileadmin/media/cahiers/pdf/cahier9.pdf

http://home.scarlet.be/deprez.johan/100203_eekhoutcentrum_onderzoekscompetenties/

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/knuthore.pdf

[21] G. Polya, How to solve It, Princeton University Press (1945).

[22] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated (2009).

[23] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated (2008).

[24] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938).

[25] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek (2006).

[26] M. Van Hecke, directeur-generaal katholiek onderwijs (De Morgen 14/11/12).

[27] M. Van Hoof, Procesevaluatie, Dag van de wiskunde, K.U. Leuven Campus Kortrijk, 17 november 2012.

[28] F. Vivaldi, Mathematical writing for undergraduate students, The university of London (2013).http://www.maths.qmul.ac.uk/ fv/books/mw/mwbook.pdf (toegang augustus 2014).

[29] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt (2002).

Digitale bronnen (toegang augustus 2014)

[30] American Mathematical Association of Two-Year Colleges, Students Mathematics League:http://www.amatyc.org/?StudentMathLeague

[31] American Mathematics Competitions:http://amc.maa.org/

[32] Carrieretijger:http://www.carrieretijger.nl/

[33] De on-line encyclopedie van getallenrijen:http://oeis.org/?language=dutch

[34] lanl.arXiv.org, Cornell University:http://xxx.lanl.gov/

[35] Leerplan A derde graad ASO, studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019:http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf

[36] Leren.nl, wat is een portfolio:http://www.leren.nl/cursus/leren−en−studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/

[37] Leren.nl, presentatie geven:http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/

[38] McGraw-Hill Professional:http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/

[39] Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad - wiskunde B-dag als middel, Johan Deprez en GilberteVerbeeck:http://home.scarlet.be/deprez.johan/100203−eekhoutcentrum−onderzoekscompetenties/

[40] Ticalc.org, file information curvatur:http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/442/44250.html

[41] USolv-IT-team K.U.Leuven en UGent:http://www.usolvit.be

[42] Vlaamse Overheid Agentschap voor Overheidspersoneel:http://www2.vlaanderen.be/personeelsopleiding/

[43] Vlaamse Wiskunde Olympiade:http://www.vwo.be/

[44] Wiskunde B-dag:http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/

[45] Wiskunnend Wiske:http://www.wiskunnendwiske.be/

165

http://www.maths.qmul.ac.uk/~fv/books/mw/mwbook.pdf

http://www.amatyc.org/?StudentMathLeague

http://amc.maa.org/

http://www.carrieretijger.nl/

http://oeis.org/?language=dutch

http://xxx.lanl.gov/

http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf

http://www.leren.nl/cursus/leren_en_studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/

http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/

http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/

http://home.scarlet.be/deprez.johan/100203_eekhoutcentrum_onderzoekscompetenties/

http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/442/44250.html

http://www.usolvit.be

http://www2.vlaanderen.be/personeelsopleiding/

http://www.vwo.be/

http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/

http://www.wiskunnendwiske.be/

BRONNENLIJST VOOR AFBEELDINGEN

Afbeelding Pagina Bron

omslag http://nl.123rf.com/

George Polya Pr-5,Pr-i http://wikis.liveoaksf.org/

empathie in de wiskunde 2 http://www.softskills.nl/

samenwerking Pr http://nl.123rf.com/

internet Pr-1 http://www.thomasgeeraerts.be/

Google Pr-2 http://www.google.be/

Wikipedia Pr-2 http://www.wikipedia.org/

MacTutor Pr-2 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

Google scholar Pr-2 http://scholar.google.be/

poster VWO Pr-3,A-63 http://www.vwo.be/

cover How to solve it Pr-5 http://press.princeton.edu/

probleemoplossend denken Pr-9 http://nl.123rf.com/

nieren Pr-11,A-80,A-86 http://nl.123rf.com/

stappenplan Pr-13 [10]samenwerking Pr-21 http://www.corporatienl.nl/

Calpe Pr-23,A-120 http://summerincalpe.blogspot.be/

verslag Pr-25 http://www.lizards.be/

leerlingen Pr-31 http://www.concordia-ny.edu/

Emil Artin Pr-36 http://www.bookish.com/

Flavius Josephus Pr-37,A-136 http://www.preteristarchive.com/

schaakbord Pr-37,A-137 http://www.brendl.nl/

cartoon onderzoekers Pr-39 http://www.sciencecartoonsplus.com/

cartoon verslag Pr-40 http://www2.vlaanderen.be/

raaigras Pr-47 http://nl.wikipedia.org/

marktpenetratie Pr-48 [6]lariks Pr-49 http://nl.wikipedia.org/

cover Shaum’s Pr-51 http://forum.arabsbook.com/

presentatie Pr-55 http://nl.123rf.com/

cover Het wiskunde boek Pr-58 http://www.librero.nl/

How to solve it - a dialogue A-64 [21]metro A-92,A-100 http://nl.wikipedia.org/

Brugge A-94,A-102 http://www.op-reis.com/

roodkopvuurkever A-96,A-104 http://forum.belgiumdigital.com/

vliegtuig A-116,A-118 http://emilejaensch.punt.nl/

Tartaglia A-117,A-119 http://en.wikipedia.org/

multiple choice A-117,A-119 http://www.math4all.nl/

De cycloide A-126 [13]nim A-137 http://www.koendenaeghel.be/

cookies A-138 http://www.koendenaeghel.be/

elleboogjes en representaties A-142,A-143,A-144 http://www.fi.uu.nl/wisbdag/

Berhard Riemann A-149 http://en.wikipedia.org/

ontwerp van een woning A-152 http://howtobuildahouseblog.com/

riool A-153 http://dict.youdao.com/

plantencel A-154 http://nl.wikipedia.org/

viskwekerij A-155 http://www.noble-house.tk/

zomertarwe A-156 http://www.boerenbusiness.nl/

vrouwentongen A-157 http://nl.wikipedia.org/

inhoudstafel Het wiskunde boek A-162 [19]

166

c© 2011 Koen De Naeghelroyalty percentage: 0%

Het volgen van een leerplan betekent meerdan het realiseren van de inhoudelijkedoelstellingen. De leerlingen horen ookvakgebonden vaardigheden te verwervenen (leer)attitudes ontwikkelen. Daarnaastdringt de overdracht van competentieszich ook vanuit de maatschappij op:probleemoplossend denken, kritische zin,onderscheid maken tussen hoofd- enbijzaken, samenwerken, etc.

In dit boek bieden we het practicum wiskunde aan: een werkvorm voorwiskundeonderwijs in de derde graad met als doel het vaststellen, aan-leren, stimuleren, evalueren en opvolgen van vakgebonden vaardighe-den en attitudes bij leerlingen. De didactische methode cooperatiefleren staat hierbij centraal: bij het uitvoeren van de practica leren deleerlingen van de interactie met elkaar. Enkele onderwerpen die aanbod komen, zijn:

3 probleemoplossend denken,

3 leren uit opgeloste problemen,

3 werken met een wiskundig model,

3 realiseren van onderzoekscompetenties,

3 maken van een wetenschappelijk verslag,

3 geven van een wetenschappelijke presentatie.

In dit boek wordt veel aandacht besteed aan het expliciteren van eenvisie op wiskundecompetenties. Elk practicum start dan ook met eeninleiding waarin de keuze voor de opdracht gemotiveerd wordt.

Het practicum wiskunde: coöperatief aanleren van vaardigheden en attitudes

Documents

Transcript of Het practicum wiskunde: coöperatief aanleren van vaardigheden en attitudes