Hern 0172 a Tarea Lgr

Instituto Tecnológico de Celaya

2013

Lugar Geométrico de las

Raíces Instrumentación Virtual usando LabView

Hernández Calderón Héctor Alonso

e-mail: [email protected]

Instituto Tecnológico de Celaya Materia: Control Alumno: Hernández Calderón Héctor Alonso No. Control: 08030172 Tema: Lugar Geométrico de las Raíces Fecha de entrega: 22 – 04 – 13

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Resumen

En este documento se presenta el desarrollo para gráficar el lugar geometrico de las raíces de algunas funciones de transferencia de sistemas de control, usando LabView y también de manera analítica.

Palabras Clave: Asíntotas, Graficación, LabView, LGR, Simetría, Ramas.

I. Introducción

El lugar geométrico de las raíces es una poderosa herramienta para el análisis y diseño de sistemas de control. Nos da información cualitativa y cuantitativa acerca de la estabilidad y respuesta transitoria de sistemas de control realimentados. También nos permite hallar los polos del sistema en lazo cerrado comenzando desde los polos y ceros en lazo abierto.

II. Desarrollo y resultados Ejercicio 1 El primer lugar geométrico de las raíces que deseamos trazar es como el que se muestra en la figura 1.

Figura 1. LGR con tres polos reales.

De la figura anterior podemos observar que se tienen tres polos sobre el eje real (σ), de los cuales podemos ubicar dos de ellos al azar o con ayuda del VI que se mostrará en la sección de simulación; para el tercer polo es fácil definir su ubicación y puede notarse que se encuentra en el origen. La función de transferencia en lazo abierto para éste primer sistema es:

Para definir la trayectoria que siguen los polos que tienden hacia el infinito calcularemos las asíntotas correspondientes mediante:


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∑ ∑

donde k = De la función de transferencia podemos determinar por inspección que no hay “ceros” y los “polos” son tres: s1 = 0, s2 = -1 y s3 = -2. Por lo tanto, el punto de partida para las asíntotas sobre el eje real es:

Ahora en los ángulos que definen la orientación de las asíntotas son:

El paso siguiente es calcular el punto donde los polos parten del eje real ( ) también llamado punto silla de salida para seguir su trayectoria hacía el infinito. Para ello igualamos la función de transferencia con -1, despejamos k, derivaremos con respecto a “s”, igualamos con cero y obtenemos las raíces del polinomio que nos resulta:

,

El valor de la raíz que se toma en cuenta para este caso es s2, ya que éste debe ser menor o igual que el punto donde parten las asíntotas que es igual a: -1.


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Lo que nos resta para calcular para éste ejemplo son los cruces con el eje imaginario que tiene la trayectoria de los polos en lazo cerrado. Para ello debemos obtener función de transferencia en lazo cerrado y aplicar el criterio de Rout-Hurwitz.

s3 1 2

s2 3 k

s1 (6-k)/3 0

s0 k 0

De la tabla anterior podemos calcular el valor de “k” para el cual nuestro sistema se vuelve marginalmente estable, éste debe sustituirse en el polinomio del denominador de nuestra función de transferencia en lazo cerrado.

,

Los cruces con el eje real no tienen parte real, así que estos valores corresponden a las raíces . Nota: El número de ramas es igual al grado mayor del polinomio del denominador de nuestra función de transferencia en lazo abierto.

Ejercicio 2 El siguiente ejercicio se hará de manera similar, siguiendo los pasos del ejemplo anterior de manera resumida. El LGR que deseamos trazar ahora es el que se muestra en la figura 2.

Figura 2. LGR con dos polos complejos y uno real.


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La función de transferencia en lazo abierto para el sistema es:

Ramas: 3

Asíntotas:

Punto silla de salida

Cruces con el eje

s3 1 5

s2 24 20+k

s1 (100-k)/5 0

s0 20+k 0


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,

El paso adicional para este ejemplo es calcular los ángulos de salida para los polos complejos, se utilizará la siguiente fórmula:

∑ ∑

De la fórmula anterior, para calcular los ángulos de ceros y ángulos de polos, éstos de obtienen por trigonometría. En éste caso como no se tienen ceros solo se calcularan los ángulos de polos y éstos a su vez serán sustituidos en la fórmula anterior.

Nota: Si se tuvieran ceros complejos, se calcularían ángulos de entrada de forma similar con la fórmula:

∑ ∑

Ejercicio 3 El LGR que deseamos trazar ahora es el que se muestra en la figura 3.

Figura 3. LGR con dos polos complejos y dos reales.



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Ramas: 4

Asíntotas:


Cruces con el eje


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s4 1 6 k

s3 4 4 0

s2 5 k 0

s1 (20-4k)/5 0 0

s0 k 0 0

,

Ángulos de salida


Figura 4. LGR con 4 polos complejos.


Ramas: 4


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Asíntotas:


,

Cruces con el eje

s4 1 6.5 5+k

s3 3 7 0

s2 25/6 5+k 0

s1 (85-18k)/25 0 0

s0 5+k 0 0


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,

Ángulos de salida


Figura 5. LGR con dos polos complejos y dos reales.


Ramas: 4

Asíntotas:


Página 11 de 28


,

Cruces con el eje

s4 1 5 k

s3 5 6 0

s2 34/5 k 0

s1 (204-25k)/34 0 0

s0 k 0 0

,

Ángulos de salida


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Figura 6. LGR con dos polos complejos y tres reales.


Ramas: 5

Asíntotas:


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,

Cruces con el eje

s5 1 6.25 2.5

s4 4 5.75 k

s3 77/16 (115-50k)/46 0

s2 (26013+6400k)/7084 k 0

s1 (640000k2+4265741k-5982990)/(92(26013+6400k)) 0 0

s0 k 0 0

,

,

Ángulos de salida



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Figura 7. LGR con dos polos complejos y un cero real.


Ramas: 2

Asíntotas:


,


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Cruces con el eje En la figura 7 se alcanza a apreciar que el lugar geométrico de las raíces no tiene cruces

con el eje .

Ángulos de salida


Figura 8. LGR con un cero real, dos polos complejos y uno real.


Ramas: 3

Asíntotas:


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,

Las raíces del polinomio anterior no concuerdan con ningún punto silla de salida, esto puede observarse desde la figura 8.

Cruces con el eje El lugar geométrico de las raíces no tiene cruce alguno como puede observarse en la figura 8.

Ángulos de salida


Figura 9. LGR con un cero real, dos polos complejos y dos reales.



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Ramas: 4

Asíntotas:

Punto silla de salida y punto silla de entrada

,

Como puede observarse en la figura 9 dos de sus ramas forman un circulo, por lo que se

tiene un punto silla de salida en y un punto silla de entrada en

Cruces con el eje

s4 1 14 3k


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s3 4 20+k 0

s2 36-k/4 3k 0

s1 (k2+32k-720)/(k-36) 0 0

s0 3k 0 0

,

Ángulos de salida


Figura 10. LGR con un cero real y cuatro polos complejos.


Ramas: 4

Asíntotas:


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,

Cruces con el eje

s4 1 27 50+2k

s3 8 50+k 0

s2 166-k/8 50+2k 0

s1 (k2+12k-5100)/(k-166) 0 0

s0 50+2k 0 0


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,

Ángulos de salida


Figura 11. LGR con dos ceros complejos y tres polos reales.


Ramas: 3

Asíntotas:



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,

Cruces con el eje La trayectoria de los polos en lazo cerrado nunca llega a cruzar el eje imaginario como puede observarse en la figura 11.

Ángulos de entrada


Figura 11. LGR con dos ceros reales y dos polos reales.


Ramas: 2


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Asíntotas:

Para este caso no se tienen asíntotas ya que se tienen el mismo número de polos como de ceros, lo que nos dice que los polos se dirigen hacia los ceros

Punto silla de salida y punto silla de entrada

y

Cruces con el eje La trayectoria de los polos en lazo cerrado nunca llega a cruzar el eje imaginario como puede observarse en la figura 12.

Ángulos de entrada

No es necesario calcular ángulos de salida o entrada ya que no se tienen ceros complejos o polos complejos.

III. Simulación

Para comprobar los resultados que se obtuvieron anal´ticamente para el trazado LGR de los ejercicios, se realizó un instrimento virtual como el que se muestra en las figuras 13 y 14.


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Figura 13. Panel frontal del instrumento virtual.

En la parte superior izquierda se tienen controles numéricos para ingresar los valores de los ceros y polos del sistema en lazo abierto y la ganancia del mismo. En la parte inferior izquierda se tienen indicadores numéricos, donde se muestran los coeficinetes del numerador y denominador de la función de transferencia. En la parte central se tiene el recuadro blanco donde se grafica el LGR. Por último se tienen indicadores donde se proporciona la ubicación de polos y ceros en lazo cerrado, lazo abierto y puntos silla de salida.

Figura 14. Driagrama a bloques del VI.


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A continuación se mostrarán los trazos del LGR de cada uno de los ejercicios obtenidos en LabView. Ver figuras 15 a 26.

Figura 15. LGR del ejercicio 1.




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Con cada una de las imágenes anteriores podemos comprobar los resultados obtenidos de manera analítica.

IV. Conclusión

Como ya se mencionó en un principio el LGR es una poderosa herramienta para el análisis y diseño de sistemas de control, del cual obtenemos suficiente información para predecir el comportamiento de cualquier sistema. En algunas ocasiones no es suficiente realizar el trazado del LGR de manera analítica ya que para sistemas complejos resulta complicado realizar esta tarea, por lo que es recomendable utilizar algún software de simulación como lo es LabView o MatLab.

V. Referencias

[1] Sistemas de control para la ingeniería, Norman S. Nise, Editorial Patria. 4ta edición en español.

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