Hermit Operator

7/16/2019 Hermit Operator

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G e n e r a l i z e d H e r m i t e P o l y n o m i a l s a n d t h e H e a t E q u a t i o n f o r D u n k l

O p e r a t o r s

M a r g i t R o s l e r

M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t , T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t M u n c h e n

A r c i s s t r . 2 1 , D - 8 0 3 3 3 M u n c h e n , G e r m a n y

e - m a i l : r o e s l e r @ m a t h e m a t i k . t u - m u e n c h e n . d e

A b s t r a c t

B a s e d o n t h e t h e o r y o f D u n k l o p e r a t o r s , t h i s p a p e r p r e s e n t s a g e n e r a l c o n c e p t o f m u l t i v a r i a b l e

H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d H e r m i t e f u n c t i o n s w h i c h a r e a s s o c i a t e d w i t h n i t e r e e c t i o n g r o u p s

o n R

N

. T h e d e n i t i o n a n d p r o p e r t i e s o f t h e s e g e n e r a l i z e d H e r m i t e s y s t e m s e x t e n d n a t u r a l l y

t h o s e o f t h e i r c l a s s i c a l c o u n t e r p a r t s ; p a r t i a l d e r i v a t i v e s a n d t h e u s u a l e x p o n e n t i a l k e r n e l a r e h e r e

r e p l a c e d b y D u n k l o p e r a t o r s a n d t h e g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a l k e r n e l K o f t h e D u n k l t r a n s f o r m . I n

c a s e o f t h e s y m m e t r i c g r o u p S

N

, o u r s e t t i n g i n c l u d e s t h e p o l y n o m i a l e i g e n f u n c t i o n s o f c e r t a i n

C a l o g e r o - S u t h e r l a n d t y p e o p e r a t o r s . T h e s e c o n d p a r t o f t h i s p a p e r i s d e v o t e d t o t h e h e a t

e q u a t i o n a s s o c i a t e d w i t h D u n k l ' s L a p l a c i a n . A s i n t h e c l a s s i c a l c a s e , t h e c o r r e s p o n d i n g C a u c h y

p r o b l e m i s g o v e r n e d b y a p o s i t i v e o n e - p a r a m e t e r s e m i g r o u p ; t h i s i s a s s u r e d b y a m a x i m u m

p r i n c i p l e f o r t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n . T h e e x p l i c i t s o l u t i o n t o t h e C a u c h y p r o b l e m i n v o l v e s

a g a i n t h e k e r n e l K ; w h i c h i s , o n t h e w a y , p r o v e n t o b e n o n n e g a t i v e f o r r e a l a r g u m e n t s .

1 9 9 1 A M S S u b j e c t C l a s s i c a t i o n : P r i m a r y : 3 3 C 8 0 , 3 5 K 0 5 ; S e c o n d a r y : 4 4 A 1 5 , 3 3 C 5 0 .

R u n n i n g t i t l e : H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d t h e h e a t e q u a t i o n f o r D u n k l o p e r a t o r s .

1 I n t r o d u c t i o n

D u n k l o p e r a t o r s a r e d i e r e n t i a l - d i e r e n c e o p e r a t o r s a s s o c i a t e d w i t h a n i t e r e e c t i o n g r o u p , a c t i n g

o n s o m e E u c l i d e a n s p a c e . T h e y p r o v i d e a u s e f u l f r a m e w o r k f o r t h e s t u d y o f m u l t i v a r i a b l e a n a l y t i c

s t r u c t u r e s w h i c h r e v e a l c e r t a i n r e e c t i o n s y m m e t r i e s . D u r i n g t h e l a s t y e a r s , t h e s e o p e r a t o r s h a v e

g a i n e d c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t i n v a r i o u s e l d s o f m a t h e m a t i c s a n d a l s o i n p h y s i c a l a p p l i c a t i o n s ; t h e y

a r e , f o r e x a m p l e , n a t u r a l l y c o n n e c t e d w i t h c e r t a i n S c h r o d i n g e r o p e r a t o r s f o r C a l o g e r o - S u t h e r l a n d -

t y p e q u a n t u m m a n y b o d y s y s t e m s , s e e L - V ] a n d B - F 2 ] , B - F 3 ] .

F o r a n i t e r e e c t i o n g r o u p G O ( N ; R ) o n R

N

t h e a s s o c i a t e d D u n k l o p e r a t o r s a r e d e n e d a s

f o l l o w s : F o r 2 R

N

n f 0 g , d e n o t e b y

t h e r e e c t i o n c o r r e s p o n d i n g t o , i . e . i n t h e h y p e r p l a n e

T h i s p a p e r w a s w r i t t e n w h i l e t h e a u t h o r h e l d a F o r s c h u n g s s t i p e n d i u m o f t h e D F G a t t h e U n i v e r s i t y o f V i r g i n i a ,

C h a r l o t t e s v i l l e , V A , U . S . A .

1



o r t h o g o n a l t o . I t i s g i v e n b y

( x ) = x

? 2

h ; x i

j j

2

;

w h e r e h : ; : i i s t h e E u c l i d e a n s c a l a r p r o d u c t o n R

N

a n d j x j : =

p

h x ; x i . ( W e u s e t h e s a m e n o t a t i o n s

f o r t h e s t a n d a r d H e r m i t i a n i n n e r p r o d u c t a n d n o r m o n C

N

. ) L e t R b e t h e r o o t s y s t e m a s s o c i a t e d

w i t h t h e r e e c t i o n s o f G , n o r m a l i z e d s u c h t h a t h ; i = 2 f o r a l l 2 R . N o w c h o o s e a m u l t i p l i c i t y

f u n c t i o n k o n t h e r o o t s y s t e m R , t h a t i s , a G - i n v a r i a n t f u n c t i o n k : R ! C , a n d x s o m e p o s i t i v e

s u b s y s t e m R

+

o f R . T h e D u n k l o p e r a t o r s T

i

( i = 1 ; : : : ; N ) o n R

N

a s s o c i a t e d w i t h G a n d k a r e

t h e n g i v e n b y

T

i

f ( x ) : = @

i

f ( x ) +

X

2 R

+

k ( )

i

f ( x ) ? f (

x )

h ; x i

; f 2 C

1

( R

N

) ;

h e r e @

i

d e n o t e s t h e i - t h p a r t i a l d e r i v a t i v e . I n c a s e k = 0 , t h e T

i

r e d u c e t o t h e c o r r e s p o n d i n g

p a r t i a l d e r i v a t i v e s . I n t h i s p a p e r , w e s h a l l a s s u m e t h r o u g h o u t t h a t k 0 ( i . e . a l l v a l u e s o f k a r e

n o n - n e g a t i v e ) , t h o u g h s e v e r a l r e s u l t s o f S e c t i o n 3 m a y b e e x t e n d e d t o l a r g e r r a n g e s o f k . T h e m o s t

i m p o r t a n t b a s i c p r o p e r t i e s o f t h e T

i

, p r o v e d i n D 2 ] , a r e a s f o l l o w s : L e t P = C R

N

] d e n o t e t h e

a l g e b r a o f p o l y n o m i a l f u n c t i o n s o n R

N

a n d P

n

( n 2 Z

+

= f 0 ; 1 ; 2 : : : g ) t h e s u b s p a c e o f h o m o g e n e o u s

p o l y n o m i a l s o f d e g r e e n . T h e n

( 1 . 1 ) T h e s e t f T

i

g g e n e r a t e s a c o m m u t a t i v e a l g e b r a o f d i e r e n t i a l - d i e r e n c e o p e r a t o r s o n P .

( 1 . 2 ) E a c h T

i

i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e ? 1 o n P ; t h a t i s , T

i

p 2 P

n ? 1

f o r p 2 P

n

:

O f p a r t i c u l a r i m p o r t a n c e i n t h i s p a p e r i s t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n a s s o c i a t e d w i t h G a n d k , w h i c h

i s d e n e d a s

k

: =

P

N

i = 1

T

2

i

. I t i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e ? 2 o n P a n d g i v e n e x p l i c i t l y b y

k

f ( x ) = f ( x ) + 2

X

2 R

+

k ( )

h

h r f ( x ) ; i

h ; x i

?

f ( x ) ? f (

x )

h ; x i

2

i

:

( H e r e a n d

r d e n o t e t h e u s u a l L a p l a c i a n a n d g r a d i e n t r e s p e c t i v e l y ) .

T h e o p e r a t o r s T

i

w e r e i n t r o d u c e d a n d r s t s t u d i e d b y D u n k l i n a s e r i e s o f p a p e r s ( D 1 - 4 ] ) i n

c o n n e c t i o n w i t h a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e c l a s s i c a l t h e o r y o f s p h e r i c a l h a r m o n i c s : H e r e t h e u n i f o r m

s p h e r i c a l s u r f a c e m e a s u r e o n t h e ( N

? 1 ) - d i m e n s i o n a l u n i t s p h e r e i s m o d i e d b y a w e i g h t f u n c t i o n

w h i c h i s i n v a r i a n t u n d e r t h e a c t i o n o f s o m e n i t e r e e c t i o n g r o u p G , n a m e l y

w

k

( x ) =

Y

2 R

+

j h ; x i j

2 k ( )

;

w h e r e k 0 i s s o m e x e d m u l t i p l i c i t y f u n c t i o n o n t h e r o o t s y s t e m R o f G . N o t e t h a t w

k

i s

h o m o g e n e o u s o f d e g r e e 2 , w i t h

: =

X

2 R

+

k ( ) :

I n t h i s c o n t e x t , i n D 3 ] t h e f o l l o w i n g b i l i n e a r f o r m o n

P i s i n t r o d u c e d :

p ; q ]

k

: = ( p ( T ) q ) ( 0 ) f o r p ; q 2 P :

2



H e r e p ( T ) i s t h e o p e r a t o r d e r i v e d f r o m p ( x ) b y r e p l a c i n g x

i

b y T

i

. P r o p e r t y ( 1 . 1 ) a s s u r e s t h a t

: ; : ]

k

i s w e l l - d e n e d . A u s e f u l c o l l e c t i o n o f i t s p r o p e r t i e s c a n b e f o u n d i n D - J - O ] . W e r e c a l l t h a t

: ; : ]

k

i s s y m m e t r i c a n d p o s i t i v e - d e n i t e ( i n c a s e k 0 ) , a n d t h a t p ; q ]

k

= 0 f o r p 2 P

n

; q 2 P

m

w i t h n 6= m . M o r e o v e r , f o r a l l i = 1 ; : : : ; N ; p ; q 2 P a n d g 2 G ;

( 1 . 3 ) x

i

p ; q ]

k

= p ; T

i

q ]

k

a n d g ( p ) ; g ( q ) ]

k

= p ; q ]

k

;

w h e r e g ( p ) ( x ) = p ( g

? 1

( x ) ) : T h e p a i r i n g : ; : ]

k

i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e s c a l a r p r o d u c t o n

L

2

( R

N

; w

k

( x ) e

? j x j

2

= 2

d x ) : I n f a c t , a c c o r d i n g t o D 3 ] ,

( 1 . 4 ) p ; q ]

k

= n

k

Z

R

N

e

?

k

= 2

p ( x ) e

?

k

= 2

q ( x ) w

k

( x ) e

? j x j

2

= 2

d x f o r a l l p ; q

2 P ,

w i t h s o m e n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t n

k

> 0 . G i v e n a n o r t h o n o r m a l b a s i s f '

; 2 Z

N

+

g o f P w i t h

r e s p e c t t o : ; : ]

k

, a n e a s y r e s c a l i n g o f ( 1 . 4 ) s h o w s t h a t t h e p o l y n o m i a l s

H

( x ) : = 2

j j

e

?

k

= 4

'

( x )

a r e o r t h o g o n a l w i t h r e s p e c t t o w

k

( x ) e

? j x j

2

d x o n R

N

. W e c a l l t h e m t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y -

n o m i a l s o n R

N

a s s o c i a t e d w i t h G ; k a n d f '

g .

T h e r s t p a r t o f t h i s p a p e r i s d e v o t e d t o t h e s t u d y o f s u c h H e r m i t e p o l y n o m i a l s y s t e m s a n d

a s s o c i a t e d H e r m i t e f u n c t i o n s . T h e y g e n e r a l i z e t h e i r c l a s s i c a l c o u n t e r p a r t s i n a n a t u r a l w a y : t h e s e

a r e j u s t o b t a i n e d f o r k = 0 a n d '

( x ) = ( ! )

? 1 = 2

x

: I n t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e , a s s o c i a t e d

w i t h t h e r e e c t i o n g r o u p G = Z

2

o n R , o u r g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s c o i n c i d e w i t h t h o s e

i n t r o d u c e d i n C h i ] a n d s t u d i e d i n R o s ] . O u r s e t t i n g a l s o i n c l u d e s , f o r t h e s y m m e t r i c g r o u p G = S

N

,

t h e s o - c a l l e d n o n - s y m m e t r i c g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s w h i c h w e r e r e c e n t l y i n t r o d u c e d b y

B a k e r a n d F o r r e s t e r i n B - F 2 ] , B - F 3 ] . T h e s e a r e n o n - s y m m e t r i c a n a l o g u e s o f t h e s y m m e t r i c , i . e .

p e r m u t a t i o n - i n v a r i a n t g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s a s s o c i a t e d w i t h t h e g r o u p S

N

, w h i c h w e r e

r s t i n t r o d u c e d b y L a s s a l l e i n L 2 ] . M o r e o v e r , t h e \ g e n e r a l i z e d L a g u e r r e p o l y n o m i a l s " o f B - F 2 ] ,

B - F 3 ] , w h i c h a r e n o n - s y m m e t r i c a n a l o g u e s o f t h o s e i n L 1 ] , c a n b e c o n s i d e r e d a s a s u b s y s t e m o f

H e r m i t e p o l y n o m i a l s a s s o c i a t e d w i t h a r e e c t i o n g r o u p o f t y p e B

N

. W e r e f e r t o B - F 1 ] a n d v D ]

f o r a t h o r o u g h s t u d y o f t h e s y m m e t r i c m u l t i v a r i a b l e H e r m i t e - a n d L a g u e r r e s y s t e m s .

A f t e r a s h o r t c o l l e c t i o n o f n o t a t i o n s a n d b a s i c f a c t s f r o m D u n k l ' s t h e o r y i n S e c t i o n 2 , t h e

c o n c e p t o f g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s i s i n t r o d u c e d i n S e c t i o n 3 , a l o n g w i t h a d i s c u s s i o n

o f t h e a b o v e m e n t i o n e d s p e c i a l c l a s s e s . W e d e r i v e g e n e r a l i z a t i o n s f o r m a n y o f t h e w e l l - k n o w n

p r o p e r t i e s o f t h e c l a s s i c a l H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d H e r m i t e f u n c t i o n s : A R o d r i g u e s f o r m u l a , a

g e n e r a t i n g r e l a t i o n a n d a M e h l e r f o r m u l a f o r t h e H e r m i t e p o l y n o m i a l s , a n a l o g u e s o f t h e s e c o n d o r d e r

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d a c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e f u n c t i o n s a s e i g e n f u n c t i o n s

o f t h e D u n k l t r a n s f o r m . P a r t s o f t h i s s e c t i o n m a y b e s e e n a s a u n i f y i n g t r e a t m e n t o f r e s u l t s f r o m

B - F 2 ] , B - F 3 ] a n d R o s ] f o r t h e i r p a r t i c u l a r c a s e s .

I n S e c t i o n 4 , w h i c h m a k e s u p t h e s e c o n d m a j o r p a r t o f t h i s p a p e r , w e t u r n t o t h e C a u c h y p r o b l e m

f o r t h e h e a t o p e r a t o r a s s o c i a t e d w i t h t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n : G i v e n a n i n i t i a l d i s t r i b u t i o n f 2

C

b

( R

N

) , t h e r e h a s t o b e f o u n d a f u n c t i o n u

2 C

2

( R

N

( 0 ; T ) )

\ C ( R

N

0 ; T ] ) s a t i s f y i n g

3



( 1 . 5 ) H

k

u : =

k

u

? @

t

u = 0 o n R

N

( 0 ;

1 ) ; u ( : ; 0 ) = f :

F o r s m o o t h a n d r a p i d l y d e c r e a s i n g i n i t i a l d a t a f a n e x p l i c i t s o l u t i o n i s e a s y t o o b t a i n ; i t i n v o l v e s

t h e g e n e r a l i z e d h e a t k e r n e l

?

k

( x ; y ; t ) =

M

k

t

+ N = 2

e

? ( j x j

2

+ j y j

2

) = 4 t

K

x

p

2 t

;

y

p

2 t

; x ; y 2 R

N

; t > 0 :

H e r e M

k

i s a p o s i t i v e c o n s t a n t a n d K d e n o t e s t h e g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a l k e r n e l a s s o c i a t e d w i t h

G a n d k a s i n t r o d u c e d i n D 3 ] . I n t h e t h e o r y o f D u n k l o p e r a t o r s a n d t h e D u n k l t r a n s f o r m , i t t a k e s

o v e r t h e r ^ o l e o f t h e u s u a l e x p o n e n t i a l k e r n e l e

h x ; y i

: S o m e o f i t s p r o p e r t i e s a r e c o l l e c t e d i n S e c t i o n 2 .

W i t h o u t k n o w l e d g e w h e t h e r K i s n o n n e g a t i v e , a s o l u t i o n o f ( 1 . 5 ) f o r a r b i t r a r y i n i t i a l d a t a s e e m s t o

b e d i c u l t . H o w e v e r , o n e c a n p r o v e a m a x i m u m p r i n c i p l e f o r t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n

k

, w h i c h

i s t h e k e y i n g r e d i e n t t o a s s u r e t h a t

k

l e a d s t o a p o s i t i v e o n e - p a r a m e t e r c o n t r a c t i o n s e m i g r o u p

o n t h e B a n a c h s p a c e ( C

0

( R

N

) ; k : k

1

) . P o s i t i v i t y o f t h i s s e m i g r o u p e n f o r c e s p o s i t i v i t y o f K a n d

a l l o w s t o d e t e r m i n e t h e e x p l i c i t s o l u t i o n o f ( 1 . 5 ) i n t h e g e n e r a l c a s e . W e n i s h t h i s s e c t i o n w i t h a n

e x t e n s i o n o f a w e l l - k n o w n m a x i m u m p r i n c i p l e f o r t h e c l a s s i c a l h e a t o p e r a t o r t o o u r s i t u a t i o n . T h i s

i n p a r t i c u l a r i m p l i e s a u n i q u e n e s s r e s u l t f o r s o l u t i o n s o f t h e a b o v e C a u c h y p r o b l e m .

A c k n o w l e d g e m e n t . I t i s a p l e a s u r e t o t h a n k C h a r l e s F . D u n k l a n d M i c h a e l V o i t f o r s o m e v a l u a b l e

c o m m e n t s a n d d i s c u s s i o n s .

2 P r e l i m i n a r i e s

T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o e s t a b l i s h o u r b a s i c n o t a t i o n s a n d c o l l e c t s o m e f u r t h e r f a c t s o n

D u n k l o p e r a t o r s a n d t h e D u n k l t r a n s f o r m w h i c h w i l l b e o f i m p o r t a n c e l a t e r o n . G e n e r a l r e f e r e n c e s

h e r e a r e D 3 ] , D 4 ] a n d d J ] .

F i r s t o f a l l w e n o t e t h e f o l l o w i n g p r o d u c t r u l e , w h i c h i s c o n r m e d b y a s h o r t c a l c u l a t i o n :

F o r e a c h f 2 C

1

( R

N

) a n d e a c h g 2 C

1

( R

N

) w h i c h i s i n v a r i a n t u n d e r t h e n a t u r a l a c t i o n o f G ,

T

i

( f g ) = ( T

i

f ) g + f ( T

i

g ) f o r i = 1 ; : : : ; N :( 2 . 1 )

W e u s e t h e c o m m o n m u l t i - i n d e x n o t a t i o n ; i n p a r t i c u l a r , f o r = (

1

; : : : ;

N

) 2 Z

N

+

a n d x =

( x

1

; : : : ; x

N

)

2 R

N

w e s e t x

: = x

1

1

: : :

x

N

N

, ! : =

1

!

: : :

N

! a n d

j

j : =

1

+ : : : +

N

: I f

f : R

N

! C i s a n a l y t i c w i t h f ( x ) =

P

a

x

; t h e o p e r a t o r f ( T ) i s d e n e d b y

f ( T ) : =

X

a

T

=

X

a

T

1

1

: : : T

N

N

:

W e r e s t r i c t i t s a c t i o n t o C

k

( R

N

) i f f i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e k a n d t o P o t h e r w i s e . T h e f o l l o w i n g

f o r m u l a w i l l b e u s e d f r e q u e n t l y :

2 . 1 . L e m m a . L e t p 2 P

n

. T h e n f o r c 2 C a n d a 2 C n f 0 g ;

?

e

c

k

p

( a x ) = a

n

?

e

a

? 2

c

k

p ( x ) f o r a l l x 2 R

N

:

I n p a r t i c u l a r , f o r p 2 P

n

w e h a v e

?

e

?

k

= 2

p

(

p

2 x ) =

p

2

n

?

e

?

k

= 4

p

( x ) :( 2 . 2 )

4



P r o o f . F o r m

2 Z

+

w i t h 2 m

n ; t h e p o l y n o m i a l

m

k

p i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e n

? 2 m : H e n c e

?

e

c

k

p

( a x ) =

b n = 2 c

X

m = 0

c

m

m !

(

m

k

p ) ( a x ) =

b n = 2 c

X

m = 0

c

m

m !

a

n ? 2 m

(

m

k

p ) ( x ) = a

n

?

e

a

? 2

c

k

p

( x ) :

A m a j o r t o o l i n t h i s p a p e r i s t h e g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a l k e r n e l K ( x ; y ) o n R

N

R

N

, w h i c h

g e n e r a l i z e s t h e u s u a l e x p o n e n t i a l f u n c t i o n e

h x ; y i

. I t w a s r s t i n t r o d u c e d i n D 3 ] b y m e a n s o f a

c e r t a i n i n t e r t w i n i n g o p e r a t o r . B y a r e s u l t o f O 1 ] ( s e e a l s o d J ] ) , t h e f u n c t i o n x 7! K ( x ; y ) m a y

b e c h a r a c t e r i z e d a s t h e u n i q u e a n a l y t i c s o l u t i o n o f t h e s y s t e m T

i

f = y

i

f ( i = 1 ; : : : ; N ) o n R

N

w i t h f ( 0 ) = 1 : M o r e o v e r , K i s s y m m e t r i c i n i t s a r g u m e n t s a n d h a s a h o l o m o r p h i c e x t e n s i o n t o

C

N

C

N

. I t s p o w e r s e r i e s c a n b e w r i t t e n a s K =

P

1

n = 0

K

n

, w h e r e K

n

( x ; y ) = K

n

( y ; x ) a n d K

n

i s

a h o m o g e n e o u s p o l y n o m i a l o f d e g r e e n i n e a c h o f i t s v a r i a b l e s . N o t e t h a t K

0

= 1 a n d K ( z ; 0 ) = 1

f o r a l l z

2 C

N

.

F o r t h e r e e c t i o n g r o u p G = Z

2

o n R ; t h e m u l t i p l i c i t y f u n c t i o n k i s c h a r a c t e r i z e d b y a s i n g l e

p a r a m e t e r 0 , a n d t h e k e r n e l K i s g i v e n e x p l i c i t l y b y

K ( z ; w ) = j

? 1 = 2

( i z w ) +

z w

2 + 1

j

+ 1 = 2

( i z w ) ; z ; w 2 C ;

w h e r e f o r ? 1 = 2 , j

d e n o t e s t h e n o r m a l i z e d s p h e r i c a l B e s s e l f u n c t i o n

j

( z ) = 2

? ( + 1 )

J

( z )

z

= ? ( + 1 )

1

X

n = 0

( ? 1 )

n

( z = 2 )

2 n

n ! ? ( n + + 1 )

:

F o r d e t a i l s a n d r e l a t e d m a t e r i a l w e r e f e r t o D 4 ] , R ] , R - V ] a n d R o s ] .

W e l i s t s o m e f u r t h e r g e n e r a l p r o p e r t i e s o f K a n d t h e K

n

( a l l u n d e r t h e a s s u m p t i o n k 0 )

f r o m D 3 ] , D 4 ] a n d d J ] :

F o r a l l z ; w 2 C

N

a n d 2 C ,

( 2 . 3 ) K ( z ; w ) = K ( z ; w ) ;

( 2 . 4 ) j K

n

( z ; w ) j

1

n !

j z j

n

j w j

n

a n d j K ( z ; w ) j e

j z j j w j

:

F o r a l l x ; y 2 R

N

a n d j = 1 ; : : : ; N ;

( 2 . 5 ) j K ( i x ; y ) j

p

j G j ;

( 2 . 6 ) T

x

j

K

n

( x ; y ) = y

j

K

n ? 1

( x ; y ) a n d T

x

j

K ( x ; y ) = y

j

K ( x ; y ) ;

h e r e t h e s u p e r s c r i p t x d e n o t e s t h a t t h e o p e r a t o r s a c t w i t h r e s p e c t t o t h e x - v a r i a b l e .

I n d J ] , e x p o n e n t i a l b o u n d s f o r t h e u s u a l p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f K a r e g i v e n . T h e y i m p l y i n p a r t i c u l a r

t h a t f o r e a c h

2 Z

N

+

t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t d

> 0 ; s u c h t h a t

( 2 . 7 ) j @

x

K ( x ; z ) j d

j z j

j j

e

j x j j R e z j

f o r a l l x 2 R

N

; z 2 C

N

.

5



L e t u s n a l l y r e c a l l a u s e f u l r e p r o d u c i n g k e r n e l p r o p e r t y o f K f r o m D 4 ] ( i t i s r e s c a l e d w i t h r e s p e c t

t o t h e o r i g i n a l o n e , t h u s t t i n g b e t t e r i n o u r c o n t e x t o f g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s ) : D e n e

t h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e

k

o n R

N

b y

d

k

( x ) : = c

k

e

? j x j

2

w

k

( x ) d x ; w i t h c

k

=

Z

R

N

e

? j x j

2

w

k

( x ) d x

? 1

:

M o r e o v e r , f o r z 2 C

N

s e t l ( z ) : =

P

N

i = 1

z

2

i

: T h e n f o r a l l z ; w 2 C

N

;

( 2 . 8 )

Z

R

N

K ( 2 z ; x ) K ( 2 w ; x ) d

k

( x ) = e

l ( z ) + l ( w )

K ( 2 z ; w ) :

T h e g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a l f u n c t i o n K g i v e s r i s e t o a n i n t e g r a l t r a n s f o r m , c a l l e d t h e D u n k l

t r a n s f o r m o n R

N

; w h i c h w a s i n t r o d u c e d i n D 4 ] a n d h a s b e e n t h o r o u g h l y s t u d i e d i n d J ] f o r a l a r g e

r a n g e o f p a r a m e t e r s k . T h e D u n k l t r a n s f o r m a s s o c i a t e d w i t h G a n d k 0 i s d e n e d b y

D

k

: L

1

( R

N

; w

k

( x ) d x ) ! C ( R

N

) ; D

k

f ( ) : =

Z

R

N

f ( x ) K ( ? i ; x ) w

k

( x ) d x ( 2 R

N

) :

I n d J ] , m a n y o f t h e i m p o r t a n t p r o p e r t i e s o f F o u r i e r t r a n s f o r m s o n l o c a l l y c o m p a c t a b e l i a n g r o u p s

a r e p r o v e d t o h o l d t r u e f o r D

k

: I n p a r t i c u l a r , D

k

f 2 C

0

( R

N

) f o r f 2 L

1

( R

N

; w

k

( x ) d x ) ; a n d t h e r e

h o l d s a n L

1

- i n v e r s i o n t h e o r e m , w h i c h w e r e c a l l f o r l a t e r r e f e r e n c e : I f f

2 L

1

( R

N

; w

k

( x ) d x ) w i t h

D

k

f 2 L

1

( R

N

; w

k

( x ) d x ) ; t h e n f = 4

? ? N = 2

c

2

k

E

k

D

k

f a : e : ; w h e r e E

k

f ( x ) = D

k

f ( ? x ) : ( N o t e t h a t

D

k

( e

? j x j

2

= 2

) ( 0 ) = 2

+ N = 2

c

? 1

k

, w h i c h g i v e s t h e c o n n e c t i o n o f o u r c o n s t a n t c

k

w i t h t h a t o f d e J e u . )

M o r e o v e r , t h e S c h w a r t z s p a c e S ( R

N

) o f r a p i d l y d e c r e a s i n g f u n c t i o n s o n R

N

i s i n v a r i a n t u n d e r D

k

,

a n d D

k

c a n b e e x t e n d e d t o a P l a n c h e r e l t r a n s f o r m o n L

2

( R

N

; w

k

( x ) d x ) . F o r d e t a i l s s e e d J ] .

3 G e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d H e r m i t e f u n c t i o n s

L e t f '

; 2 Z

N

+

g b e a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f P w i t h r e s p e c t t o t h e s c a l a r p r o d u c t : ; : ]

k

s u c h t h a t

'

2 P

j j

a n d t h e c o e c i e n t s o f t h e '

a r e r e a l . A s P =

L

n 0

P

n

a n d P

n

P

m

f o r n 6= m , t h e '

w i t h j j = n c a n f o r e x a m p l e b e c o n s t r u c t e d b y G r a m - S c h m i d t o r t h o g o n a l i z a t i o n w i t h i n P

n

f r o m

a n a r b i t r a r y o r d e r e d r e a l - c o e c i e n t b a s i s o f P

n

. I f k = 0 , t h e D u n k l o p e r a t o r T

i

r e d u c e s t o t h e

u s u a l p a r t i a l d e r i v a t i v e @

i

, a n d t h e c a n o n i c a l c h o i c e o f t h e b a s i s f '

g i s j u s t '

( x ) : = ( ! )

? 1 = 2

x

:

A s i n t h e c l a s s i c a l c a s e , w e h a v e t h e f o l l o w i n g c o n n e c t i o n o f t h e b a s i s f '

g w i t h t h e g e n e r a l i z e d

e x p o n e n t i a l f u n c t i o n K a n d i t s h o m o g e n e o u s p a r t s K

n

:

3 . 1 . L e m m a . ( i ) K

n

( z ; w ) =

X

j j = n

'

( z ) '

( w ) f o r a l l z ; w 2 C

N

:

( i i ) K ( x ; y ) =

X

2 Z

N

+

'

( x ) '

( y ) f o r a l l x ; y 2 R

N

,

w h e r e t h e c o n v e r g e n c e i s a b s o l u t e a n d l o c a l l y u n i f o r m o n R

N

R

N

:

P r o o f . ( i ) I t s u c e s t o c o n s i d e r t h e c a s e z ; w 2 R

N

: S o x s o m e w 2 R

N

. A s a f u n c t i o n o f z , t h e

p o l y n o m i a l K

n

( z ; w ) i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e n . H e n c e w e h a v e

K

n

( z ; w ) =

X

j j = n

c

; w

'

( z ) w i t h c

; w

= K

n

( : ; w ) ; '

]

k

:

6



R e p e a t e d a p p l i c a t i o n o f f o r m u l a ( 2 . 6 ) f o r K

n

g i v e s

c

; w

= '

( T

z

) K

n

( z ; w ) = '

( w ) K

0

( z ; w ) = '

( w ) :

T h u s p a r t ( i ) i s p r o v e d . F o r ( i i ) , r s t n o t e t h a t b y ( 2 . 4 ) w e h a v e j K

n

( x ; x ) j

1

n !

j x j

2 n

a n d h e n c e , a s

t h e '

( x ) a r e r e a l , j '

( x ) j

1

p

n !

j x j

n

f o r a l l x 2 R

N

a n d a l l w i t h j j = n : I t f o l l o w s t h a t f o r

e a c h M > 0 t h e s u m

P

Z

N

+

j '

( x ) '

( y ) j i s m a j o r i z e d o n f ( x ; y ) : j x j ; j y j M g b y t h e c o n v e r g e n t

s e r i e s

P

n 0

?

n + N ? 1

n

M

2 n

= n ! : T h i s y i e l d s t h e a s s e r t i o n .

F o r h o m o g e n e o u s p o l y n o m i a l s p ; q 2 P

n

, r e l a t i o n ( 1 . 4 ) c a n b e r e s c a l e d ( b y u s e o f f o r m u l a ( 2 . 2 ) ) :

p ; q ]

k

= 2

n

Z

R

N

e

?

k

= 4

p ( x ) e

?

k

= 4

q ( x ) d

k

( x ) :( 3 . 1 )

T h i s s u g g e s t s t o d e n e a g e n e r a l i z e d m u l t i v a r i a b l e H e r m i t e p o l y n o m i a l s y s t e m o n R

N

a s f o l l o w s :

3 . 2 . D e n i t i o n . T h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s f H

; 2 Z

N

+

g a s s o c i a t e d w i t h t h e b a s i s

f '

g o n R

N

a r e g i v e n b y

H

( x ) : = 2

j j

e

?

k

= 4

'

( x ) = 2

j j

b j j = 2 c

X

n = 0

( ? 1 )

n

4

n

n !

n

k

'

( x ) :( 3 . 2 )

M o r e o v e r , w e d e n e t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e f u n c t i o n s o n R

N

b y

h

( x ) : = e

? j x j

2

= 2

H

( x ) ; 2 Z

N

+

:( 3 . 3 )

N o t e t h a t H

i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e j j s a t i s f y i n g H

( ? x ) = ( ? 1 )

j j

H

( x ) f o r a l l x 2

R

N

. A s t a n d a r d a r g u m e n t s h o w s t h a t P i s d e n s e i n L

2

( R

N

; d

k

) . T h u s b y v i r t u e o f ( 3 . 1 ) , t h e

f 2

? j j = 2

H

; 2 Z

N

+

g f o r m a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f L

2

( R

N

; d

k

) : L e t u s g i v e t w o i m m e d i a t e e x a m -

p l e s :

3 . 3 . E x a m p l e s . ( 1 ) I n t h e c l a s s i c a l c a s e k = 0 a n d '

( x ) : = ( ! )

? 1 = 2

x

; w e o b t a i n

H

( x ) =

2

j j

p

!

N

Y

i = 1

e

? @

2

i

= 4

( x

i

i

) =

1

p

!

N

Y

i = 1

b

H

i

( x

i

) ;

w h e r e t h e

b

H

n

; n

2 Z

+

d e n o t e t h e c l a s s i c a l H e r m i t e p o l y n o m i a l s o n R d e n e d b y

e

? x

2

b

H

n

( x ) = ( ? 1 )

n

d

n

d x

n

?

e

? x

2

:

( 2 ) F o r t h e r e e c t i o n g r o u p G = Z

2

o n R a n d m u l t i p l i c i t y p a r a m e t e r 0 , t h e p o l y n o m i a l b a s i s

f '

n

g o n R w i t h r e s p e c t t o : ; : ]

i s d e t e r m i n e d u n i q u e l y ( u p t o s i g n - c h a n g e s ) b y s u i t a b l e

n o r m a l i z a t i o n o f t h e m o n o m i a l s f x

n

; n 2 Z

+

g . O n e o b t a i n s H

n

( x ) = d

n

H

n

( x ) ; w h e r e d

n

2

R n f 0 g a r e c o n s t a n t s a n d t h e H

n

; n 2 Z

+

a r e t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s o n R

7



a s i n t r o d u c e d e . g . i n C h i ] a n d s t u d i e d i n R o s ] ( i n s o m e d i e r e n t n o r m a l i z a t i o n ) . T h e y a r e

o r t h o g o n a l w i t h r e s p e c t t o j x j

2

e

? j x j

2

a n d c a n b e w r i t t e n a s

8

<

:

H

2 n

( x ) = ( ? 1 )

n

2

2 n

n ! L

? 1 = 2

n

( x

2

) ;

H

2 n + 1

( x ) = ( ? 1 )

n

2

2 n + 1

n ! x L

+ 1 = 2

n

( x

2

) ;

h e r e t h e L

n

a r e t h e L a g u e r r e p o l y n o m i a l s o f i n d e x ? 1 = 2 , g i v e n b y

L

n

( x ) =

1

n !

x

?

e

x

d

n

d x

n

x

n +

e

? x

:

B e f o r e d i s c u s s i n g f u r t h e r e x a m p l e s , w e a r e g o i n g t o e s t a b l i s h g e n e r a l i z a t i o n s o f t h e c l a s s i c a l

s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d H e r m i t e f u n c t i o n s . F o r t h e i r p r o o f

w e s h a l l e m p l o y t h e s l ( 2 ) - c o m m u t a t i o n r e l a t i o n s o f t h e o p e r a t o r s

E : =

1

2

j x j

2

; F : = ?

1

2

k

a n d H : =

N

X

i = 1

x

i

@

i

+ ( + N = 2 )

o n P , w h i c h c a n b e f o u n d e . g . i n H ] ; t h e y a r e

H ; E

= 2 E ;

H ; F

= ? 2 F ;

E ; F

= H :( 3 . 4 )

( A s u s u a l ,

A ; B

= A B ? B A f o r o p e r a t o r s A ; B o n P . ) T h e r s t t w o r e l a t i o n s a r e i m m e d i a t e

c o n s e q u e n c e s o f t h e f a c t t h a t t h e E u l e r o p e r a t o r : =

P

N

i = 1

x

i

@

i

s a t i s e s ( p ) = n p f o r e a c h

h o m o g e n e o u s p 2 P

n

. W e h a v e t h e f o l l o w i n g g e n e r a l r e s u l t :

3 . 4 . T h e o r e m . ( 1 ) F o r n 2 Z

+

s e t V

n

: = f e

?

k

= 4

p : p 2 P

n

g : T h e n P =

L

n 2 Z

+

V

n

, a n d V

n

i s t h e e i g e n s p a c e o f t h e o p e r a t o r

k

? 2 o n P c o r r e s p o n d i n g t o t h e e i g e n v a l u e ? 2 n .

( 2 ) F o r q 2 V

n

, t h e f u n c t i o n f ( x ) : = e

? j x j

2

= 2

q ( x ) s a t i s e s

?

k

? j x j

2

f = ? ( 2 n + 2 + N ) f :

P r o o f . ( 1 ) I t i s c l e a r t h a t P =

L

V

n

. B y i n d u c t i o n f r o m ( 3 . 4 ) w e o b t a i n t h e c o m m u t i n g r e l a t i o n s

2 ;

n

k

= ? 4 n

n

k

f o r a l l n 2 Z

+

; h e n c e

2 ; e

?

k

= 4

=

k

e

?

k

= 4

:

F o r a r b i t r a r y q 2 P a n d p : = e

k

= 4

q i t n o w f o l l o w s t h a t

2 ( q ) = ( 2 e

?

k

= 4

) ( p ) = 2 e

?

k

= 4

( p ) +

k

e

?

k

= 4

p = 2 e

?

k

= 4

( p ) +

k

q :

H e n c e f o r a 2 C t h e r e a r e e q u i v a l e n t :

(

k

? 2 ) ( q ) = ? 2 a q ( ) ( p ) = a p ( ) a = n 2 Z

+

a n d p 2 P

n

:

T h i s y i e l d s t h e a s s e r t i o n .

( 2 ) F r o m ( 3 . 4 ) i t i s e a s i l y v e r i e d b y i n d u c t i o n t h a t

k

; E

n

= 2 n E

n ? 1

H + 2 n ( n ? 1 ) E

n ? 1

f o r a l l n 2 N ;

8



a n d t h u s

k

; e

? E

=

? 2 e

? E

H + 2 E e

? E

: I t f o l l o w s t h a t

(

k

? j x j

2

) f =

k

?

e

? E

q

? 2 E e

? E

q = e

? E

k

q ? 2 e

? E

( + + N = 2 ) q :

T h e s t a t e d r e l a t i o n i s n o w a c o n s e q u e n c e o f ( 1 ) .

3 . 5 . C o r o l l a r y . ( i ) T h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s s a t i s f y t h e f o l l o w i n g d i e r e n t i a l - d i f -

f e r e n c e e q u a t i o n :

k

? 2

N

X

i = 1

x

i

@

i

H

= ? 2 j j H

; 2 Z

N

+

:

( i i ) T h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e f u n c t i o n s f h

; 2 Z

N

+

g f o r m a c o m p l e t e s e t o f e i g e n f u n c t i o n s f o r

t h e o p e r a t o r

k

? j x j

2

o n L

2

( R

N

; w

k

( x ) d x ) w i t h

?

k

? j x j

2

h

= ? ( 2 j j + 2 + N ) h

:

N o t e a l s o t h a t a s a c o n s e q u e n c e o f t h e a b o v e t h e o r e m , t h e o p e r a t o r

k

? 2 h a s f o r e a c h p 2 P

n

a u n i q u e p o l y n o m i a l e i g e n f u n c t i o n q o f t h e f o r m q = p + r , w h e r e t h e d e g r e e o f r i s l e s s t h a n n ;

i t i s g i v e n b y q = e

?

k

= 4

p :

3 . 6 . E x a m p l e s . ( 3 ) T h e S

N

- c a s e . F o r t h e s y m m e t r i c g r o u p G = S

N

( a c t i n g o n R

N

b y p e r -

m u t i n g t h e c o o r d i n a t e s ) , t h e m u l t i p l i c i t y f u n c t i o n i s c h a r a c t e r i z e d b y a s i n g l e p a r a m e t e r

w h i c h i s o f t e n d e n o t e d b y 1 = > 0 , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g w e i g h t f u n c t i o n i s g i v e n b y

w

S

( x ) =

Q

i < j

j x

i

? x

j

j

2 =

: T h e a s s o c i a t e d D u n k l o p e r a t o r s a r e

T

S

i

= @

i

+

1

X

j 6= i

1 ? s

i j

x

i

? x

j

( i = 1 ; : : : ; N ) ;

w h e r e s

i j

d e n o t e s t h e o p e r a t o r t r a n s p o s i n g x

i

a n d x

j

. T h e o p e r a t o r

S

? 2 i s a S c h r o d i n g e r

o p e r a t o r o f C a l o g e r o - S u t h e r l a n d t y p e , i n v o l v i n g e x c h a n g e t e r m s a n d a n e x t e r n a l h a r m o n i c

p o t e n t i a l , s e e B - F 2 ] a n d B - F 3 ] . I t i s g i v e n e x p l i c i t l y b y

S

? 2 = ? 2

N

X

i = 1

x

i

@

i

+

2

X

i < j

1

x

i

? x

j

h

( @

i

? @

j

) ?

1 ? s

i j

x

i

? x

j

i

:( 3 . 5 )

I n B - F 2 ] , B a k e r a n d F o r r e s t e r s t u d y \ n o n - s y m m e t r i c g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s " E

( H )

;

w h i c h t h e y d e n e a s t h e u n i q u e e i g e n f u n c t i o n s o f ( 3 . 5 ) o f t h e f o r m

E

( H )

= E

+

X

j j < j j

c

;

E

;

w h e r e t h e E

; 2 Z

N

+

a r e t h e n o n - s y m m e t r i c J a c k p o l y n o m i a l s ( a s s o c i a t e d w i t h S

N

a n d )

a s d e n e d e . g . i n O 2 ] ( s e e a l s o K - S ] ) . T h u s E

( H )

= e

?

S

= 4

E

( j u s t b y L e m m a 3 . 4 ) , a n d

i n d e e d , u p t o s o m e n o r m a l i z a t i o n f a c t o r s , t h e E

( H )

m a k e u p a s y s t e m o f g e n e r a l i z e d H e r m i t e

9



p o l y n o m i a l s f o r S

N

i n o u r s e n s e . T h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t t h e n o n - s y m m e t r i c J a c k

p o l y n o m i a l s E

, b e i n g h o m o g e n e o u s o f d e g r e e j j a n d f o r m i n g a v e c t o r s p a c e b a s i s o f P , a r e

a l s o o r t h o g o n a l w i t h r e s p e c t t o D u n k l ' s s c a l a r p r o d u c t : ; : ]

S

. T h i s w a s p r o v e d i n B - F 3 ] v i a

o r t h o g o n a l i t y o f t h e E

( H )

. A s h o r t d i r e c t p r o o f c a n b e g i v e n a s f o l l o w s : A c c o r d i n g t o O 2 ] ,

P r o p . 2 . 1 0 , t h e E

a r e s i m u l t a n e o u s e i g e n f u n c t i o n s o f t h e C h e r e d n i k o p e r a t o r s

i

f o r S

N

,

w h i c h w e r e i n t r o d u c e d i n C ] a n d c a n b e w r i t t e n a s

i

= x

i

T

S

i

+ 1 ? N +

X

j > i

s

i j

( i = 1 ; : : : ; N ) :( 3 . 6 )

I n f a c t , t h e E

s a t i s f y

i

E

=

i

E

; w h e r e t h e e i g e n v a l u e s = (

1

; : : : ;

N

) a r e g i v e n

e x p l i c i t l y i n O 2 ] . T h e y a r e d i s t i n c t , i . e . i f 6= , t h e n 6= . O n t h e o t h e r h a n d , i t f o l l o w s

a t o n c e f r o m ( 3 . 6 ) t o g e t h e r w i t h p r o p e r t i e s ( 1 . 3 ) f o r : ; : ]

S

t h a t t h e C h e r e d n i k o p e r a t o r s

i

a r e s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o : ; : ]

S

: T o g e t h e r , t h i s p r o v e s t h a t t h e E

a r e o r t h o g o n a l w i t h

r e s p e c t t o : ; : ]

S

. H e n c e a p o s s i b l e c h o i c e f o r t h e b a s i s f '

g i s t o s e t '

= d

E

, w i t h s o m e

n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t s d

> 0 .

W e n a l l y r e m a r k t h a t i n t h i s c a s e t h e l o c a l l y u n i f o r m c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s i n L e m m a

3 . 1 ( i i ) e x t e n d s t o C

N

C

N

, s e e a l s o B - F 3 ] , P r o p . 3 . 1 0 . T h i s i s b e c a u s e t h e c o e c i e n t s

o f t h e n o n - s y m m e t r i c J a c k - p o l y n o m i a l s E

i n t h e i r m o n o m i a l e x p a n s i o n s a r e k n o w n t o b e

n o n n e g a t i v e ( K - S ] , T h e o r e m 4 . 1 1 ) , h e n c e j E

( z ) j E

( j z j ) f o r a l l z 2 C

N

.

( 4 ) A r e m a r k o n t h e B

N

- c a s e . S u p p o s e t h a t G i s t h e W e y l g r o u p o f t y p e B

N

, g e n e r a t e d

b y s i g n - c h a n g e s a n d p e r m u t a t i o n s . H e r e t h e m u l t i p l i c i t y f u n c t i o n i s c h a r a c t e r i z e d b y t w o

p a r a m e t e r s k

0

; k

1

0 : T h e w e i g h t f u n c t i o n i s

w

B

( x ) =

N

Y

i = 1

j x

i

j

2 k

1

Y

i < j

j x

2

i

? x

2

j

j

2 k

0

:

L e t T

B

i

a n d

B

d e n o t e t h e a s s o c i a t e d D u n k l o p e r a t o r s a n d L a p l a c i a n . W e c o n s i d e r t h e s p a c e

W : = f f 2 C

1

( R

N

) : f ( x ) = F ( x

2

) f o r s o m e F 2 C

1

( R

N

) g

o f \ c o m p l e t e l y e v e n " f u n c t i o n s ; h e r e x

2

= ( x

2

1

; : : : ; x

2

N

) : I t i s e a s i l y c h e c k e d t h a t f o r c o m p l e t e l y

e v e n f ,

B

f i s a l s o c o m p l e t e l y e v e n . T h e r e s t r i c t i o n o f

B

t o W i s g i v e n b y

B

j

W

= + 2 k

1

N

X

i = 1

1

x

i

@

i

+ 2 k

0

X

i < j

1

x

i

? x

j

?

@

i

? @

j

+

1

x

i

+ x

j

?

@

i

+ @

j

? 2 k

0

X

i < j

1

( x

i

? x

j

)

2

+

1

( x

i

+ x

j

)

2

?

1 ? s

i j

:

A g a i n , t h e o p e r a t o r (

B

? 2 ) j

W

i s o f C a l o g e r o - S u t h e r l a n d t y p e . I t s c o m p l e t e l y e v e n p o l y -

n o m i a l e i g e n f u n c t i o n s a r e d i s c u s s e d i n B - F 2 ] a n d B - F 3 ] s e p a r a t e l y f r o m t h e H e r m i t e - c a s e ;

t h e y a r e c a l l e d \ n o n - s y m m e t r i c L a g u e r r e p o l y n o m i a l s " a n d d e n o t e d b y E

( L )

( x

2

) : I t i s e a s y

1 0



t o s e e t h a t t h e y m a k e u p t h e c o m p l e t e l y e v e n s u b s y s t e m o f a s u i t a b l y c h o s e n g e n e r a l i z e d

H e r m i t e - s y s t e m f H

g f o r B

N

( a n d p a r a m e t e r s k

0

; k

1

, w h e r e w e a s s u m e k

0

> 0 ) :

T o t h i s e n d , l e t a g a i n E

d e n o t e t h e S

N

- t y p e n o n - s y m m e t r i c J a c k p o l y n o m i a l s , c o r r e s p o n d i n g

t o = 1 = k

0

. F o r 2 Z

N

+

s e t

b

E

( x ) : = E

( x

2

) : T h e s e m o d i e d J a c k p o l y n o m i a l s f o r m a b a s i s

o f P \ W . T h e n o n - s y m m e t r i c L a g u e r r e p o l y n o m i a l s o f B a k e r a n d F o r r e s t e r c a n b e w r i t t e n

a s

E

( L )

( x

2

) = e

?

B

= 4

b

E

( x ) :

( N o t e t h a t t h e p o l y n o m i a l s o n t h e r i g h t s i d e a r e i n f a c t c o m p l e t e l y e v e n a n d e i g e n f u n c t i o n s

o f

B

? 2 . ) I n v o l v i n g a g a i n t h e S

N

- t y p e C h e r e d n i k o p e r a t o r s f r o m ( 3 ) , i t i s e a s i l y c h e c k e d

t h a t t h e

b

E

a r e o r t h o g o n a l w i t h r e s p e c t t o D u n k l ' s p a i r i n g : ; : ]

B

: T h e

i

i n d u c e o p e r a t o r s

b

i

( i = 1 ; : : : ; N ) o n W b y

b

i

f ( x ) : = (

i

F ) ( x

2

) i f f ( x ) = F ( x

2

) ;

c . f . B - F 3 ] . T h u s

b

i

b

E

=

i

b

E

, a n d a s h o r t c a l c u l a t i o n g i v e s

b

i

f ( x ) = x

2

i

( T

S

i

F ) ( x

2

) + 1 ? N +

X

j > i

s

i j

=

2

x

i

T

B

i

f ( x ) + 1 ? N +

X

j > i

s

i j

:

T o g e t h e r w i t h ( 1 . 3 ) , t h i s s h o w s t h a t t h e

b

i

a r e s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o : ; : ]

B

o n P \ W ;

a n d y i e l d s o u r a s s e r t i o n b y t h e s a m e a r g u m e n t a s i n t h e p r e v i o u s e x a m p l e . W e t h e r e f o r e

o b t a i n a n o r t h o n o r m a l b a s i s f '

g o f P w i t h r e s p e c t t o : ; : ]

B

b y s e t t i n g '

: = d

b

E

f o r

= ( 2

1

; : : : ; 2

N

) a n d c o m p l e t i n g t h e s e t f '

; 2 ( 2 Z

+

)

N

g b y a G r a m - S c h m i d t p r o c e d u r e .

M a n y p r o p e r t i e s o f t h e c l a s s i c a l H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d H e r m i t e f u n c t i o n s o n R

N

h a v e n a t u r a l

e x t e n s i o n s t o o u r g e n e r a l s e t t i n g . W e s t a r t w i t h a R o d r i g u e s - f o r m u l a ; f o r S

N

- t y p e s y m m e t r i c

H e r m i t e p o l y n o m i a l s , s u c h a f o r m u l a , i n v o l v i n g t h e ( s y m m e t r i c ) J a c k p o l y n o m i a l s , i s k n o w n , s e e

e . g . K ] .

3 . 7 . T h e o r e m . F o r a l l 2 Z

N

+

a n d x 2 R

N

w e h a v e

H

( x ) = (

? 1 )

j j

e

j x j

2

'

( T ) e

? j x j

2

:( 3 . 7 )

P r o o f . F i r s t n o t e t h a t i f p i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e n 0 , t h e n

p ( T ) e

? j x j

2

= q ( x ) e

? j x j

2

w i t h a p o l y n o m i a l q o f t h e s a m e d e g r e e . T h i s f o l l o w s e a s i l y f r o m i n d u c t i o n b y t h e d e g r e e o f p ,

t o g e t h e r w i t h t h e p r o d u c t r u l e ( 2 . 1 ) . I n p a r t i c u l a r , t h e f u n c t i o n

Q

( x ) : = ( ? 1 )

j j

e

j x j

2

'

( T ) e

? j x j

2

= e

j x j

2

'

( ? T ) e

? j x j

2

i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e j j : I n o r d e r t o p r o v e t h a t Q

= H

, i t t h e r e f o r e s u c e s t o s h o w t h a t f o r

e a c h

2 Z

N

+

w i t h

j

j j

j ,

2

? j j

Z

R

N

Q

( x ) H

( x ) d

k

( x ) =

;

;( 3 . 8 )

1 1



w h e r e

;

d e n o t e s t h e K r o n e c k e r d e l t a . U s i n g t h e a n t i s y m m e t r y o f t h e T

i

w i t h r e s p e c t t o

L

2

( R

N

; w

k

( x ) d x ) ( L e m m a 2 . 9 o f D 4 ] ) a s w e l l a s t h e c o m m u t a t i v i t y o f f T

i

g ; w e c a n w r i t e

2

? j j

Z

R

N

Q

( x ) H

( x ) d

k

( x ) = c

k

Z

R

N

'

( ? T )

?

e

? j x j

2

e

?

k

= 4

'

( x ) w

k

( x ) d x

= c

k

Z

R

N

e

? j x j

2

?

'

( T ) e

?

k

= 4

'

( x ) w

k

( x ) d x =

Z

R

N

?

e

?

k

= 4

'

( T ) '

( x ) d

k

( x ) :

B u t a s j j j j , w e h a v e '

( T ) '

= '

; '

]

k

=

;

f r o m w h i c h ( 3 . 8 ) f o l l o w s .

T h e r e i s a l s o a g e n e r a t i n g f u n c t i o n f o r t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s :

3 . 8 . P r o p o s i t i o n . F o r n 2 Z

+

a n d z ; w 2 C

N

p u t L

n

( z ; w ) : =

P

j j = n

H

( z ) '

( w ) : T h e n

1

X

n = 0

L

n

( z ; w ) = e

? l ( w )

K ( 2 z ; w ) ;

t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s b e i n g l o c a l l y u n i f o r m o n C

N

C

N

.

P r o o f . S u p p o s e r s t t h a t z ; w 2 R

N

. B y d e n i t i o n o f t h e H

a n d i n v i e w o f f o r m u l a ( 2 . 6 ) f o r K

n

w e m a y w r i t e

L

n

( z ; w ) = 2

n

e

?

z

k

= 4

K

n

( z ; w ) = 2

n

b n = 2 c

X

m = 0

( ? 1 )

m

4

m

m !

l ( w )

m

K

n ? 2 m

( z ; w )

=

b n = 2 c

X

m = 0

( ? 1 )

m

m !

l ( w )

m

K

n ? 2 m

( 2 z ; w )

f o r a l l n

2 Z

+

. B y a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n , t h i s h o l d s f o r a l l z ; w

2 C

N

a s w e l l . U s i n g e s t i m a t i o n

( 2 . 4 ) , o n e o b t a i n s

S

n

( z ; w ) : =

b n = 2 c

X

m = 0

1

m !

j l ( w ) j

m

j K

n ? 2 m

( 2 z ; w ) j

b n = 2 c

X

m = 0

1

m !

j w j

2 m

j 2 z

j

n ? 2 m

j w

j

n ? 2 m

( n ? 2 m ) !

:

I f n i s e v e n , s e t k : = n = 2 a n d e s t i m a t e f u r t h e r a s f o l l o w s :

S

n

( z ; w )

j w j

2 k

k !

k

X

m = 0

k

m

( 2 j z j

2

)

k ? m

=

1

k !

?

j w j

2

( 1 + 2 j z j

2

)

k

:

A s i m i l a r e s t i m a t i o n h o l d s i f n i s o d d . T h i s e n t a i l s t h e l o c a l l y u n i f o r m c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s

P

1

n = 0

L

n

( z ; w ) o n C

N

C

N

, a n d a l s o t h a t

1

X

n = 0

L

n

( z ; w ) =

1

X

n = 0

1

X

m = 0

( ? 1 )

m

m !

l ( w )

m

K

n ? 2 m

( 2 z ; w ) ( w i t h K

j

: = 0 f o r j < 0 )

=

1

X

m = 0

( ? 1 )

m

m !

l ( w )

m

1

X

n = 0

K

n ? 2 m

( 2 z ; w ) = e

? l ( w )

K ( 2 z ; w )

f o r a l l z ; w 2 C

N

.

1 2



A p p l y i n g L e m m a 2 . 1 t o p = '

w i t h c =

? 1 = 4 a n d a = 1 = , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g f o r m u l a

f o r t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s :

3 . 9 . L e m m a . F o r

2 C

n f 0

g ;

2 Z

N

+

a n d x

2 R

N

,

2

j j

H

x

=

?

e

?

2

k

= 4

'

( x ) :

3 . 1 0 . P r o p o s i t i o n . T h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e f u n c t i o n s f h

; 2 Z

N

+

g a r e a b a s i s o f e i g e n f u n c t i o n s

o f t h e D u n k l t r a n s f o r m D

k

o n L

2

( R

N

; w

k

( x ) d x ) , s a t i s f y i n g

D

k

( h

) = 2

+ N = 2

c

? 1

k

( ? i )

j j

h

:

P r o o f . W e u s e P r o p . 2 . 1 f r o m D 4 ] , w h i c h s a y s t h a t f o r a l l p 2 P a n d z 2 C

N

,

c

k

2

+ N = 2

Z

R

N

e

?

k

= 2

p ( x ) K ( x ; z ) w

k

( x ) e

? j x j

2

= 2

d x = e

l ( z ) = 2

p ( z ) :( 3 . 9 )

H e r e a g a i n , l ( z ) =

P

N

i = 1

z

2

i

: L e t p

( x ) : = e

k

= 2

H

( x ) : I n v i e w o f ( 3 . 9 ) w e c a n w r i t e

D

k

( h

) ( ) =

Z

R

N

H

( x ) K ( ? i ; x ) w

k

( x ) e

? j x j

2

= 2

d x = 2

+ N = 2

c

? 1

k

e

? j j

2

= 2

p

( ? i )

f o r a l l 2 R

N

. B y d e n i t i o n o f H

w e h a v e p

( x ) = 2

j j

e

k

= 4

'

( x ) : S o w e a r r i v e a t

D

k

( h

) ( ) = 2

+ N = 2

c

? 1

k

e

? j j

2

= 2

2

j j

?

e

k

= 4

'

( ? i ) :

A p p l i c a t i o n o f L e m m a 3 . 9 w i t h = ? i n o w y i e l d s t h a t

?

e

k

= 4

'

( ? i ) = ( ? i = 2 )

j j

H

( ) , h e n c e

D

k

( h

) ( ) = 2

+ N = 2

c

? 1

k

( ? i )

j j

h

( ) :

W e n i s h t h i s s e c t i o n w i t h a M e h l e r - t y p e f o r m u l a f o r t h e g e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s . F o r

t h i s , w e n e e d t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n :

3 . 1 1 . L e m m a . F o r a l l x ; y 2 R

N

a n d 2 Z

N

+

w e h a v e

e

? j x j

2

H

( x ) = 2

j j

Z

R

N

K ( x ; ? 2 i y ) '

( i y ) d

k

( y ) :

P r o o f . A s h o r t c a l c u l a t i o n , u s i n g a g a i n r e l a t i o n ( 2 . 2 ) , s h o w s t h a t f o r h o m o g e n e o u s p o l y n o m i a l s p ,

f o r m u l a ( 3 . 9 ) m a y b e r e w r i t t e n a s

Z

R

N

e

?

k

= 4

p ( x ) K ( x ; 2 z ) d

k

( x ) = e

l ( z )

p ( z ) ( z 2 C

N

) :( 3 . 1 0 )

B y l i n e a r i t y , t h i s h o l d s f o r a l l p

2 P : L e m m a 3 . 9 w i t h = i f u r t h e r s h o w s t h a t

e

k

= 4

'

( x ) =

?

i

2

j j

H

( ? i x ) :

A s '

i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e j j ; w e t h u s c a n w r i t e '

( 2 i y ) = ( ? i )

j j

e

?

k

= 4

H

( y ) w i t h H

( y ) =

H

( i y ) : F r o m ( 3 . 1 0 ) i t n o w f o l l o w s t h a t

Z

R

N

K ( x ;

? 2 i y ) '

( 2 i y ) d

k

( y ) = e

? j x j

2

H

(

? i x ) ;

w h i c h y i e l d s t h e a s s e r t i o n .

1 3



3 . 1 2 . T h e o r e m . ( M e h l e r - f o r m u l a f o r t h e H

) F o r r

2 C w i t h

j r

j < 1 a n d a l l x ; y

2 R

N

;

X

2 Z

N

+

H

( x ) H

( y )

2

j j

r

j j

=

1

( 1 ? r

2

)

+ N = 2

e x p

?

r

2

( j x j

2

+ j y j

2

)

1 ? r

2

K

2 r x

1 ? r

2

; y

:

P r o o f . C o n s i d e r t h e i n t e g r a l

M ( x ; y ; r ) : = c

2

k

Z

R

N

R

N

K ( ? 2 r z ; v ) K ( ? 2 i z ; x ) K ( ? 2 i v ; y ) w

k

( z ) w

k

( v ) e

? ( j z j

2

+ j v j

2

)

d ( z ; v ) :

T h e b o u n d s ( 2 . 4 ) a n d ( 2 . 5 ) o n K a s s u r e t h a t i t c o n v e r g e s f o r a l l r 2 C w i t h j r j < 1 a n d a l l

x ; y 2 R

N

: N o w w r i t e K ( ? 2 r z ; v ) =

P

1

n = 0

( 2 r )

n

K

n

( i z ; i v ) i n t h e i n t e g r a l a b o v e . A s

1

X

n = 0

j 2 r j

n

j K

n

( i z ; i v ) j e

2 j r j j z j j v j

;

t h e d o m i n a t e d c o n v e r g e n c e t h e o r e m y i e l d s t h a t

M ( x ; y ; r ) =

1

X

n = 0

( 2 r )

n

Z

R

N

Z

R

N

K

n

( i z ; i v ) K ( ? 2 i z ; x ) K ( ? 2 i v ; y ) d

k

( z ) d

k

( v )

=

1

X

n = 0

( 2 r )

n

X

j j = n

Z

R

N

K ( ? 2 i z ; x ) '

( i z ) d

k

( z )

Z

R

N

K ( ? 2 i v ; y ) '

( i v ) d

k

( v )

:

F r o m t h e a b o v e l e m m a w e t h u s o b t a i n

M ( x ; y ; r ) = e

? ( j x j

2

+ j y j

2

)

X

2 Z

N

+

r

j j

H

( x ) H

( y )

2

j j

;( 3 . 1 1 )

a n d t h i s s e r i e s , a s a p o w e r s e r i e s i n r ; c o n v e r g e s a b s o l u t e l y f o r a l l x ; y 2 R

N

: O n t h e o t h e r h a n d ,

i t e r a t e d i n t e g r a t i o n a n d r e p e a t e d a p p l i c a t i o n o f f o r m u l a ( 2 . 3 ) a n d t h e r e p r o d u c i n g f o r m u l a ( 2 . 8 )

s h o w t h a t f o r r e a l r w i t h j r j < 1 w e h a v e

M ( x ; y ; r ) = c

k

Z

R

N

Z

R

N

K ( ? 2 r z ; v ) K ( ? 2 i y ; v ) d

k

( v )

K ( ? 2 i z ; x ) e

? j z j

2

w

k

( z ) d z

= c

k

e

? j y j

2

Z

R

N

e

( r

2

? 1 ) j z j

2

K ( 2 i r y ; z ) K ( ? 2 i x ; z ) w

k

( z ) d z

= c

k

( 1 ? r

2

)

? ( + N = 2 )

e

? j y j

2

Z

R

N

e

? j u j

2

K

u ;

2 i r y

p

1 ? r

2

K

u ;

? 2 i x

p

1 ? r

2

w

k

( u ) d u

= ( 1 ? r

2

)

? ( + N = 2 )

e x p

?

j x j

2

+ j y j

2

1 ? r

2

K

2 r x

1 ? r

2

; y

:

B y a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n , t h i s h o l d s f o r f r 2 C : j r j < 1 g a s w e l l . T o g e t h e r w i t h ( 3 . 1 1 ) , t h i s n i s h e s

t h e p r o o f .

4 T h e h e a t e q u a t i o n f o r D u n k l o p e r a t o r s

A s b e f o r e , l e t

k

d e n o t e t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n a s s o c i a t e d w i t h s o m e n i t e r e e c t i o n g r o u p G

o n R

N

a n d a m u l t i p l i c i t y f u n c t i o n k 0 o n i t s r o o t s y s t e m R . R e c a l l t h a t i t s a c t i o n o n C

2

( R

N

)

1 4



i s g i v e n b y

k

f = f + 2

X

2 R

+

k ( )

f ;

w h e r e

f ( x ) =

h r f ( x ) ; i

h ; x i

?

f ( x ) ? f (

x )

h ; x i

2

:

I t s a c t i o n m a y a s w e l l b e r e s t r i c t e d t o C

2

( ) , w h e r e R

N

i s o p e n a n d i n v a r i a n t u n d e r t h e g r o u p

o p e r a t i o n o f G . W e c a l l a f u n c t i o n f 2 C

2

( ) k - s u b h a r m o n i c o n ; i f

k

f 0 o n .

T h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n s a t i s e s t h e f o l l o w i n g m a x i m u m p r i n c i p l e , w h i c h w i l l b e i m p o r t a n t

l a t e r o n :

4 . 1 . L e m m a . L e t

R

N

b e o p e n a n d G - i n v a r i a n t . I f a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n f

2 C

2

( ) a t t a i n s

a n a b s o l u t e m a x i m u m a t x

0

2 , i . e . f ( x

0

) = s u p

x 2

f ( x ) , t h e n

k

f ( x

0

) 0 :

P r o o f . L e t D

2

f ( x ) d e n o t e t h e H e s s i a n o f f i n x 2 . T h e g i v e n s i t u a t i o n e n f o r c e s t h a t r f ( x

0

) = 0

a n d D

2

f ( x

0

) i s n e g a t i v e s e m i - d e n i t e ; i n p a r t i c u l a r , f ( x

0

) 0 : M o r e o v e r , f ( x

0

) f (

x

0

) f o r

a l l 2 R , s o t h e s t a t e m e n t i s o b v i o u s i n t h e c a s e t h a t h ; x

0

i 6= 0 f o r a l l 2 R . I f h ; x

0

i = 0 f o r

s o m e 2 R , w e h a v e t o a r g u e m o r e c a r e f u l l y : C h o o s e a n o p e n b a l l B w i t h c e n t e r x

0

. T h e n

x 2 B f o r x 2 B , a n d

x ? x = ? h ; x i : N o w T a y l o r ' s f o r m u l a y i e l d s

f (

x ) ? f ( x ) = ? h ; x i h r f ( x ) ; i +

1

2

h ; x i

2

t

D

2

f ( ) ;

w i t h s o m e o n t h e l i n e s e g m e n t b e t w e e n x a n d

x . I t f o l l o w s t h a t f o r x 2 B w i t h h ; x i 6= 0 w e

h a v e

f ( x ) =

1

2

t

D

2

u ( ) : P a s s i n g t o t h e l i m i t x

! x

0

n o w l e a d s t o

f ( x

0

) =

1

2

t

D

2

f ( x

0

)

0 ,

w h i c h n i s h e s t h e p r o o f .

A t t h i s s t a g e i t i s n o t m u c h e o r t t o g a i n a w e a k m a x i m u m p r i n c i p l e f o r k - s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s

o n b o u n d e d , G - i n v a r i a n t s u b s e t s o f R

N

, w h i c h w e w a n t t o i n c l u d e h e r e b e f o r e p a s s i n g o v e r t o t h e

h e a t e q u a t i o n . I t s r a n g e o f v a l i d i t y i s q u i t e g e n e r a l , i n c o n t r a s t t o t h e s t r o n g m a x i m u m p r i n c i p l e i n

D 1 ] , w h i c h i s r e s t r i c t e d t o k - h a r m o n i c p o l y n o m i a l s o n t h e u n i t b a l l . O u r p r o o f f o l l o w s t h e c l a s s i c a l

o n e f o r t h e u s u a l L a p l a c i a n , a s i t c a n b e f o u n d e . g . i n J ] .

4 . 2 . T h e o r e m . L e t R

N

b e o p e n , b o u n d e d a n d G - i n v a r i a n t , a n d l e t f 2 C

2

( ) \ C ( ) b e

r e a l - v a l u e d a n d k - s u b h a r m o n i c o n . T h e n

m a x

( f ) = m a x

@

( f ) :

P r o o f . F i x > 0 a n d p u t g : = f + j x j

2

. A s h o r t c a l c u l a t i o n g i v e s

k

( j x j

2

) = 2 N + 4 > 0 : H e n c e

k

g > 0 o n , a n d L e m m a 4 . 1 s h o w s t h a t g c a n n o t a c h i e v e i t s m a x i m u m o n a t a n y x

0

2 : I t

f o l l o w s t h a t

m a x

( f + j x j

2

) = m a x

@

( f + j x j

2

)

1 5



f o r e a c h > 0 . C o n s e q u e n t l y ,

m a x

( f ) + m i n

j x j

2

m a x

@

( f ) + m a x

@

j x j

2

:

T h e a s s e r t i o n n o w f o l l o w s w i t h ! 0 .

I n t h i s s e c t i o n w e c o n s i d e r t h e g e n e r a l i z e d h e a t o p e r a t o r

H

k

: =

k

? @

t

o n f u n c t i o n s p a c e s C

2

(

( 0 ; T ) ) ; w h e r e T > 0 a n d

R

N

i s o p e n a n d G - i n v a r i a n t . A m o n g

t h e v a r i e t y o f i n i t i a l - a n d b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s w h i c h m a y b e p o s e d f o r H

k

i n a n a l o g y t o t h e

c o r r e s p o n d i n g c l a s s i c a l p r o b l e m s , w e h e r e f o c u s o n t h e h o m o g e n e o u s C a u c h y p r o b l e m :

F i n d u

2 C

2

( R

N

( 0 ; T ) ) w h i c h i s c o n t i n u o u s o n R

N

0 ; T ] a n d s a t i s e s

8

<

:

H

k

u = 0 o n R

N

( 0 ; T ) ;

u ( : ; 0 ) = f 2 C

b

( R

N

) :

( 4 . 1 )

F i r s t o f a l l , l e t u s n o t e s o m e b a s i c s o l u t i o n s o f t h e g e n e r a l i z e d h e a t e q u a t i o n H

k

u = 0 . A g a i n

w e s e t : =

P

2 R

+

k ( ) 0 :

4 . 3 . L e m m a . F o r p a r a m e t e r s a 0 a n d b 2 R n f 0 g , t h e f u n c t i o n

u ( x ; t ) =

1

( a ? b t )

+ N = 2

e x p

b

j x

j

2

4 ( a ? b t )

s o l v e s H

k

u = 0 o n R

N

( ? 1 ; a = b ) i n c a s e b > 0 , a n d o n R

N

( a = b ; 1 ) i n c a s e b < 0 .

P r o o f . T h e p r o d u c t r u l e ( 2 . 1 ) t o g e t h e r w i t h

P

N

i = 1

T

i

x

i

= N + 2 s h o w s t h a t f o r e a c h > 0 ,

k

?

e

j x j

2

=

N

X

i = 1

T

i

?

2 x

i

e

j x j

2

= 2 ( N + 2 + 2 j x j

2

) e

j x j

2

:

F r o m t h i s t h e s t a t e m e n t i s o b t a i n e d r e a d i l y b y a s h o r t c a l c u l a t i o n .

I n p a r t i c u l a r , t h e f u n c t i o n

F

k

( x ; t ) =

M

k

t

+ N = 2

e

? j x j

2

= 4 t

; w i t h M

k

= 4

? ? N = 2

c

k

;

i s a s o l u t i o n o f t h e h e a t e q u a t i o n H

k

u = 0 o n R

N

( 0 ; 1 ) : I t g e n e r a l i z e s t h e f u n d a m e n t a l s o l u t i o n

f o r t h e c l a s s i c a l h e a t e q u a t i o n u ? @

t

u = 0 , w h i c h i s g i v e n b y F

0

( x ; t ) = ( 4 t )

? N = 2

e

? j x j

2

= 4 t

: T h e

n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t M

k

i s c h o o s e n s u c h t h a t

Z

R

N

F

k

( x ; t ) w

k

( x ) d x = 1 f o r a l l t > 0 :

I n o r d e r t o s o l v e t h e C a u c h y p r o b l e m ( 4 . 1 ) , i t s u g g e s t s i t s e l f t o a p p l y F o u r i e r t r a n s f o r m m e t h o d s

{ i n o u r c a s e , t h e D u n k l t r a n s f o r m { u n d e r s u i t a b l e d e c a y a s s u m p t i o n s o n t h e i n i t i a l d a t a f . I n

1 6



f a c t , i n t h e c l a s s i c a l c a s e k = 0 a b o u n d e d s o l u t i o n o f ( 4 . 1 ) i s o b t a i n e d b y c o n v o l v i n g f w i t h t h e

f u n d a m e n t a l s o l u t i o n F

0

, a n d i t s u n i q u e n e s s i s a c o n s e q u e n c e o f a w e l l - k n o w n m a x i m u m p r i n c i p l e

f o r t h e h e a t o p e r a t o r . I t i s n o t m u c h e o r t t o e x t e n d t h i s m a x i m u m p r i n c i p l e t o t h e g e n e r a l i z e d

h e a t o p e r a t o r H

k

i n o r d e r t o o b t a i n u n i q e n e s s r e s u l t s ; w e s h a l l d o t h i s i n P r o p . 4 . 1 2 a n d T h e o r e m

4 . 1 3 a t t h e e n d o f t h i s s e c t i o n . H o w e v e r , i n o u r g e n e r a l s i t u a t i o n i t i s n o t k n o w n w h e t h e r t h e r e

e x i s t s a r e a s o n a b l e c o n v o l u t i o n s t r u c t u r e o n R

N

m a t c h i n g t h e a c t i o n o f t h e D u n k l t r a n s f o r m D

k

,

i . e . m a k i n g i t a h o m o m o r p h i s m o n s u i t a b l e f u n c t i o n s p a c e s . I n t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e t h i s i s t r u e :

t h e r e i s a L

1

- c o n v o l u t i o n a l g e b r a a s s o c i a t e d w i t h t h e r e e c t i o n g r o u p Z

2

o n R a n d t h e m u l t i p l i c i t y

p a r a m e t e r k = 0 ; t h i s c o n v o l u t i o n e n j o y s m a n y p r o p e r t i e s o f a g r o u p c o n v o l u t i o n . I t i s s t u d i e d

i n R ] ( s e e a l s o R - V ] a n d R o s ] ) .

I n t h e N - d i m e n s i o n a l c a s e , w e m a y i n t r o d u c e t h e n o t i o n o f a g e n e r a l i z e d t r a n s l a t i o n a t l e a s t o n

t h e S c h w a r t z s p a c e S ( R

N

) ( a n d s i m i l a r o n L

2

( R

N

; w

k

( x ) d x ) , a s f o l l o w s :

L

y

k

f ( x ) : =

c

2

k

4

+ N = 2

Z

R

N

D

k

f ( ) K ( i x ; ) K ( i y ; ) w

k

( ) d ; y 2 R

N

; f 2 S ( R

N

) :( 4 . 2 )

N o t e t h a t i n c a s e k = 0 , w e s i m p l y h a v e L

y

0

f ( x ) = f ( x + y ) ; w h i l e i n t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e , ( 4 . 2 )

m a t c h e s t h e a b o v e - m e n t i o n e d c o n v o l u t i o n s t r u c t u r e o n R : C l e a r l y , L

y

k

f ( x ) = L

x

k

f ( y ) ; m o r e o v e r ,

t h e i n v e r s i o n t h e o r e m f o r t h e D u n k l t r a n s f o r m a s s u r e s t h a t L

y

k

f = f f o r y = 0 a n d D

k

( L

y

k

f ) ( ) =

K ( i y ; ) D

k

f ( ) : F r o m t h i s i t i s n o t h a r d t o s e e ( b y u s e o f t h e b o u n d s ( 2 . 7 ) ) t h a t L

y

k

f b e l o n g s t o

S ( R

N

) a g a i n .

L e t u s n o w c o n s i d e r t h e \ f u n d a m e n t a l s o l u t i o n " F

k

( : ; t ) f o r t > 0 . A s h o r t c a l c u l a t i o n , u s i n g

P r o p . 3 . 1 0 o r L e m m a 4 . 1 1 o f d J ] , s h o w s t h a t

( D

k

F

k

) ( ; t ) = e

? t j j

2

:( 4 . 3 )

B y u s e o f t h e r e p r o d u c i n g f o r m u l a ( 2 . 8 ) o n e t h e r e f o r e o b t a i n s f r o m ( 4 . 2 ) t h e r e p r e s e n t a t i o n

L

? y

k

F

k

( x ; t ) =

M

k

t

+ N = 2

e

? ( j x j

2

+ j y j

2

) = 4 t

K

x

p

2 t

;

y

p

2 t

:( 4 . 4 )

4 . 4 . D e n i t i o n . T h e g e n e r a l i z e d h e a t k e r n e l ?

k

i s g i v e n b y

?

k

( x ; y ; t ) : =

M

k

t

+ N = 2

e

? ( j x j

2

+ j y j

2

) = 4 t

K

x

p

2 t

;

y

p

2 t

; x ; y

2 R

N

; t > 0 :

4 . 5 . L e m m a . T h e h e a t k e r n e l ?

k

h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s o n R

N

R

N

( 0 ; 1 ) :

( 1 ) ?

k

( x ; y ; t ) =

c

2

k

4

+ N = 2

Z

R

N

e

? t j j

2

K ( i x ; ) K ( ? i y ; ) w

k

( ) d :

( 2 ) F o r x e d y 2 R

N

, t h e f u n c t i o n u ( x ; t ) : = ?

k

( x ; y ; t ) s o l v e s t h e g e n e r a l i z e d h e a t e q u a t i o n

H

k

u = 0 o n R

N

( 0 ; 1 ) .

( 3 )

Z

R

N

?

k

( x ; y ; t ) w

k

( x ) d x = 1 :

( 4 ) j ?

k

( x ; y ; t ) j

M

k

t

+ N = 2

e

? ( j x j ? j y j )

2

= 4 t

:

1 7



P r o o f . ( 1 ) i s c l e a r f r o m t h e a b o v e d e r i v a t i o n . F o r ( 2 ) , r e m e m b e r t h a t

x

k

K ( i x ; ) =

? j

j

2

K ( i x ; ) :

H e n c e t h e a s s e r t i o n f o l l o w s a t o n c e f r o m r e p r e s e n t a t i o n ( 1 ) b y t a k i n g t h e d i e r e n t i a t i o n s u n d e r t h e

i n t e g r a l . T h i s i s j u s t i e d b y t h e d e c a y p r o p e r t i e s o f t h e i n t e g r a n d a n d i t s d e r i v a t i v e s i n q u e s t i o n

( u s e e s t i m a t i o n ( 2 . 7 ) f o r t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f K ( i x ; ) w i t h r e s p e c t t o x . ) T o o b t a i n ( 3 ) , w e

e m p l o y f o r m u l a ( 4 . 4 ) a s w e l l a s ( 4 . 3 ) a n d w r i t e

Z

R

N

?

k

( x ; y ; t ) w

k

( x ) d x = D

k

?

L

? y

k

F

k

( 0 ; t ) = K ( ? i y ; 0 ) ( D

k

F

k

) ( 0 ; t ) = 1 :

F i n a l l y , ( 4 ) i s a a c o n s e q u e n c e o f t h e e s t i m a t e ( 2 . 4 ) f o r K .

R e m a r k s . 1 . F o r i n t e g e r - v a l u e d m u l t i p l i c i t y f u n c t i o n s , B e r e s t a n d M o l c h a n o v B - M ] c o n s t r u c t e d

t h e h e a t k e r n e l f o r t h e G - i n v a r i a n t p a r t o f H

k

( i n a c o n j u g a t e d v e r s i o n ) b y s h i f t - o p e r a t o r

t e c h n i q u e s .

2 . I n c o n t r a s t t o t h e c l a s s i c a l c a s e , i t i s n o t y e t c l e a r a t t h i s s t a g e t h a t t h e k e r n e l ?

k

i s g e n e r a l l y

n o n n e g a t i v e . I n f a c t , i t i s s t i l l a n o p e n c o n j e c t u r e t h a t t h e f u n c t i o n K ( i y ; : ) i s p o s i t i v e - d e n i t e

o n R

N

f o r e a c h y 2 R

N

( c . f . t h e r e m a r k s i n d J ] a n d D 3 ] ) . T h i s w o u l d i m p l y a B o c h n e r -

t y p e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n o f K ( i y ; : ) a n d p o s i t i v i t y o f K o n R

N

R

N

a s a n i m m e d i a t e

c o n s e q u e n c e . I n t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e t h i s c o n j e c t u r e i s t r u e , a n d t h e B o c h n e r - t y p e i n t e g r a l

r e p r e s e n t a t i o n i s e x p l i c i t l y k n o w n ( s e e R o s ] o r R ] ) . B y o n e - p a r a m e t e r s e m i g r o u p t e c h n i q u e s ,

i t w i l l h o w e v e r s o o n t u r n o u t t h a t K i s a t l e a s t p o s i t i v e o n R

N

R

N

.

4 . 6 . D e n i t i o n . F o r f

2 C

b

( R

N

) a n d t

0 s e t

H ( t ) f ( x ) : =

8

>

<

>

:

Z

R

N

?

k

( x ; y ; t ) f ( y ) w

k

( y ) d y i f t > 0 ;

f ( x ) i f t = 0

( 4 . 5 )

P a r t ( 4 ) o f L e m m a 4 . 5 a s s u r e s t h a t f o r e a c h t 0 ; H ( t ) f i s w e l l - d e n e d a n d c o n t i n u o u s o n R

N

.

I t p r o v i d e s a n a t u r a l c a n d i d a t e f o r t h e s o l u t i o n t o o u r C a u c h y p r o b l e m . I n d e e d , w h e n r e s t r i c t i n g

t o i n i t i a l d a t a f r o m t h e S c h w a r t z s p a c e S ( R

N

) , w e e a s i l y o b t a i n t h e f o l l o w i n g :

4 . 7 . T h e o r e m . S u p p o s e t h a t f 2 S ( R

N

) : T h e n u ( x ; t ) : = H ( t ) f ( x ) ; ( x ; t ) 2 R

N

0 ; 1 ) ; s o l v e s

t h e C a u c h y - p r o b l e m ( 4 . 1 ) f o r e a c h T > 0 . M o r o v e r , i t h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( i ) H ( t ) f 2 S ( R

N

) f o r e a c h t > 0 .

( i i ) H ( t + s ) f = H ( t ) H ( s ) f f o r a l l s ; t 0 .

( i i i ) k H ( t ) f ? f k

1 ; R

N

! 0 w i t h t ! 0 .

P r o o f . U s i n g f o r m u l a ( 1 ) o f L e m m a 4 . 5 a n d F u b i n i ' s t h e o r e m , w e c a n w r i t e

u ( x ; t ) = H ( t ) f ( x ) =

c

2

k

4

+ N = 2

Z

R

N

Z

R

N

K ( i x ; ) K ( ? i y ; ) e

? t j j

2

f ( y ) w

k

( ) w

k

( y ) d d y

=

c

2

k

4

+ N = 2

Z

R

N

e

? t j j

2

D

k

f ( ) K ( i x ; ) w

k

( ) d ( 4 . 6 )

1 8



f o r a l l t > 0 . ( R e m e m b e r t h a t

S ( R

N

) i s i n v a r i a n t u n d e r t h e D u n k l t r a n s f o r m ) . T h i s m a k e s c l e a r

t h a t ( i ) i s s a t i s e d . A s b e f o r e , i t i s s e e n t h a t d i e r e n t i a t i o n s m a y b e t a k e n u n d e r t h e i n t e g r a l i n

( 4 . 6 ) , a n d t h a t H

k

u = 0 o n R

N

( 0 ; 1 ) . M o r e o v e r , i n v i e w o f t h e i n v e r s i o n t h e o r e m f o r t h e D u n k l

t r a n s f o r m , ( 4 . 6 ) h o l d s f o r t = 0 a s w e l l . U s i n g ( 2 . 5 ) , w e t h u s o b t a i n t h e e s t i m a t i o n

k H ( t ) f ? f k

1 ; R

N

p

j G j

c

2

k

4

+ N = 2

Z

R

N

j D

k

f ( ) j

?

1 ? e

? t j j

2

w

k

( ) d ;

a n d t h i s i n t e g r a l t e n d s t o 0 w i t h t ! 0 : T h i s y i e l d s ( i i i ) . I n p a r t i c u l a r , i t f o l l o w s t h a t u i s c o n t i n u o u s

o n R

N

0 ; 1 ) . T o p r o v e ( i i ) , n o t e t h a t D

k

?

H ( t ) f

( ) = e

? t j j

2

D

k

f ( ) : T h e r e f o r e

D

k

?

H ( t + s ) f

( ) = e

? t j j

2

D

k

?

H ( s ) f

f ( ) = D

k

?

H ( t ) H ( s ) f

( ) :

T h e s t a t e m e n t n o w f o l l o w s f r o m t h e i n j e c t i v i t y o f t h e D u n k l t r a n s f o r m o n S ( R

N

) .

W e a r e n o w g o i n g t o s h o w t h a t i n d e e d , t h e l i n e a r o p e r a t o r s H ( t ) o n S ( R

N

) e x t e n d t o a p o s i t i v e

c o n t r a c t i o n s e m i g r o u p o n t h e B a n a c h s p a c e C

0

( R

N

) ; e q u i p p e d w i t h i t s u n i f o r m n o r m k : k

1

. T o

t h i s e n d , w e c o n s i d e r t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n

k

a s a d e n s e l y d e n e d l i n e a r o p e r a t o r o n C

0

( R

N

)

w i t h d o m a i n S ( R

N

) .

4 . 8 . T h e o r e m . ( 1 ) T h e o p e r a t o r

k

o n C

0

( R

N

) i s c l o s a b l e , a n d i t s c l o s u r e

k

g e n e r a t e s a

p o s i t i v e , s t r o n g l y c o n t i n u o u s c o n t r a c t i o n s e m i g r o u p f T ( t ) ; t 0 g o n C

0

( R

N

) .

( 2 ) T h e a c t i o n o f T ( t ) o n S ( R

N

) i s g i v e n b y T ( t ) f = H ( t ) f .

P r o o f . ( 1 ) W e a p p l y a v a r i a n t o f t h e L u m e r - P h i l l i p s t h e o r e m , w h i c h c h a r a c t e r i z e s g e n e r a t o r s o f

p o s i t i v e o n e - p a r a m e t e r c o n t r a c t i o n s e m i g r o u p s ( s e e e . g . A ] , C o r . 1 . 3 ) . I t r e q u i r e s t w o p r o p e r t i e s :

( i ) T h e o p e r a t o r

k

s a t i s e s t h e f o l l o w i n g \ d i s p e r s i v i t y c o n d i t i o n " : S u p p o s e t h a t f

2 S ( R

N

) i s

r e a l - v a l u e d w i t h m a x f f ( x ) : x 2 R

N

g = f ( x

0

) : T h e n

k

f ( x

0

) 0 :

( i i ) T h e r a n g e o f I ?

k

i s d e n s e i n C

0

( R

N

) f o r s o m e > 0 :

P r o p e r t y ( i ) i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f L e m m a 4 . 1 . C o n d i t i o n ( i i ) i s a l s o s a t i s e d , b e c a u s e

I ?

k

m a p s S ( R

N

) o n t o i t s e l f f o r e a c h > 0 ; t h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t t h e D u n k l t r a n s f o r m

i s a h o m e o m o r p h i s m o f S ( R

N

) a n d D

k

?

( I ?

k

) f

( ) = ( + j j

2

) D

k

f ( ) . T h e a s s e r t i o n n o w

f o l l o w s b y t h e a b o v e - m e n t i o n e d t h e o r e m .

( 2 ) I t i s k n o w n f r o m s e m i g r o u p t h e o r y t h a t f o r e v e r y f 2 S ( R

N

) ; t h e f u n c t i o n t 7! T ( t ) f i s t h e

u n i q u e s o l u t i o n o f t h e a b s t r a c t C a u c h y p r o b l e m

8

<

:

d

d t

u ( t ) =

k

u ( t ) f o r t > 0 ;

u ( 0 ) = f

( 4 . 7 )

w i t h i n t h e c l a s s o f a l l ( s t r o n g l y ) c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n s u o n 0 ; 1 ) w i t h v a l u e s i n

t h e B a n a c h s p a c e ( C

0

( R

N

) ;

k :

k

1

) : B y p r o p e r t y ( i ) o f T h e o r e m 4 . 6 w e h a v e H ( t ) f

2 C

0

( R

N

) f o r

f 2 S ( R

N

) . M o r e o v e r , f r o m r e p r e s e n t a t i o n ( 4 . 6 ) o f H ( t ) f i t i s r e a d i l y s e e n t h a t t 7! H ( t ) f i s

c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e o n 0 ; 1 ) a n d s o l v e s ( 4 . 7 ) . T h i s n i s h e s t h e p r o o f .

1 9



4 . 9 . C o r o l l a r y . T h e h e a t k e r n e l ?

k

i s s t r i c t l y p o s i t i v e o n R

N

R

N

( 0 ;

1 ) : I n p a r t i c u l a r , t h e

g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a l k e r n e l K s a t i s e s

K ( x ; y ) > 0 f o r a l l x ; y 2 R

N

:

P r o o f . F o r a n y i n i t i a l d i s t r i b u t i o n f 2 S ( R

N

) w i t h f 0 t h e l a s t t h e o r e m i m p l i e s t h a t

Z

R

N

?

k

( x ; y ; t ) f ( y ) w

k

( y ) d y = T ( t ) f ( x ) 0 f o r a l l ( x ; t ) 2 R

N

0 ; 1 ) :

A s y 7! ?

k

( x ; y ; t ) i s c o n t i n u o u s o n R

N

f o r e a c h x e d x 2 R

N

a n d t > 0 , i t f o l l o w s t h a t ?

k

( x ; y ; t )

0 f o r a l l x ; y 2 R

N

a n d t > 0 : H e n c e K i s n o n n e g a t i v e a s w e l l . N o w r e c a l l a g a i n t h e r e p r o d u c i n g

i d e n t i t y ( 2 . 8 ) , w h i c h s a y s t h a t

e

( j x j

2

+ j y j

2

)

K ( 2 x ; y ) = c

k

Z

R

N

K ( x ; 2 z ) K ( y ; 2 z ) w

k

( z ) e

? j z j

2

d z

f o r a l l x ; y 2 R

N

: T h e i n t e g r a n d o n t h e r i g h t s i d e i s c o n t i n u o u s , n o n - n e g a t i v e a n d n o t i d e n t i c a l l y

z e r o ( b e c a u s e K ( x ; 0 ) K ( y ; 0 ) = 1 ) . T h e r e f o r e t h e i n t e g r a l i t s e l f m u s t b e s t r i c t l y p o s i t i v e .

4 . 1 0 . C o r o l l a r y . T h e s e m i g r o u p f T ( t ) g o n C

0

( R

N

) i s g i v e n e x p l i c i t l y b y

T ( t ) f = H ( t ) f ; f 2 C

0

( R

N

) :

P r o o f . T h i s i s c l e a r f r o m p a r t ( 2 ) o f T h e o r e m 4 . 8 a n d t h e p r e v i o u s c o r o l l a r y , w h i c h i m p l i e s t h a t t h e

o p e r a t o r s H ( t ) a r e c o n t i n u o u s { e v e n c o n t r a c t i v e { o n C

0

( R

N

) :

R e m a r k . T h e g e n e r a l i z e d L a p l a c i a n a l s o l e a d s t o a c o n t r a c t i o n s e m i g r o u p o n t h e H i l b e r t s p a c e

H : = L

2

( R

N

; w

k

( x ) d x ) ; t h i s g e n e r a l i z e s t h e r e s u l t s o f R o s ] f o r t h e o n e - d i m e n s i o n a l c a s e . I n f a c t ,

l e t M d e n o t e t h e m u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r o n

H d e n e d b y M f ( x ) =

? j x

j

2

f ( x ) a n d w i t h d o m a i n

D ( M ) = f f 2 H : j x j

2

f ( x ) 2 H g . M i s s e l f - a d j o i n t a n d g e n e r a t e s t h e s t r o n g l y c o n t i n u o u s

c o n t r a c t i o n s e m i g r o u p M ( t ) f ( x ) = e

? t j x j

2

f ( x ) ( t 0 ) o n H . F o r f 2 S ( R

N

) , w e h a v e t h e i d e n t i t y

D

k

(

k

f ) = M (

D

k

f ) : A s

S ( R

N

) i s d e n s e i n D ( M ) ; t h i s s h o w s t h a t

k

h a s a s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n

e

k

o n H , n a m e l y

e

k

= D

? 1

k

M D

k

, w h e r e h e r e D

k

d e n o t e s t h e P l a n c h e r e l - e x t e n s i o n o f t h e D u n k l

t r a n s f o r m t o H . T h e d o m a i n o f

e

k

i s t h e S o b o l e v - t y p e s p a c e D (

e

k

) = f f 2 H : j j

2

D

k

f ( ) 2 H g :

B e i n g u n i t a r i l y e q u i v a l e n t w i t h M ; t h e o p e r a t o r

e

k

a l s o g e n e r a t e s a s t r o n g l y c o n t i n u o u s c o n t r a c t i o n

s e m i g r o u p f

e

T ( t ) g o n H w h i c h i s u n i t a r i l y e q u i v a l e n t w i t h f M ( t ) g ; i t i s g i v e n b y

e

T ( t ) f ( x ) =

Z

R

N

e

? t j j

2

D

k

f ( ) K ( i x ; ) w

k

( ) d :

T h e k n o w l e d g e t h a t ?

k

i s n o n n e g a t i v e a l l o w s a l s o t o s o l v e t h e C a u c h y p r o b l e m ( 4 . 1 ) i n i t s

g e n e r a l s e t t i n g :

4 . 1 1 . T h e o r e m . L e t f

2 C

b

( R

N

) . T h e n u ( x ; t ) : = H ( t ) f ( x ) i s b o u n d e d o n R

N

0 ;

1 ) a n d

s o l v e s t h e C a u c h y p r o b l e m ( 4 . 1 ) f o r e a c h T > 0 :

2 0



P r o o f . I n o r d e r t o s e e t h a t u i s t w i c e c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e o n R

N

( 0 ;

1 ) w i t h H

k

u = 0 ,

w e o n l y h a v e t o m a k e s u r e t h a t t h e n e c e s s a r y d i e r e n t i a t i o n s o f u m a y b e t a k e n u n d e r t h e i n t e g r a l

i n ( 4 . 5 ) . O n e h a s t o u s e a g a i n t h e e s t i m a t i o n s ( 2 . 7 ) f o r t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f K ; t h e s e p r o v i d e

s u c i e n t d e c a y p r o p e r t i e s o f t h e d e r i v a t i v e s o f ?

k

, a l l o w i n g t h e n e c e s s a r y d i e r e n t i a t i o n s o f u u n d e r

t h e i n t e g r a l b y u s e o f t h e d o m i n a t e d c o n v e r g e n c e t h e o r e m . B o u n d e d n e s s o f u i s c l e a r f r o m t h e

p o s i t i v i t y a n d n o r m a l i z a t i o n ( L e m m a 4 . 5 ( 3 ) ) o f ?

k

; i n f a c t , j u ( x ; t ) j k f k

1 ; R

N

o n R

N

0 ; 1 ) :

F i n a l l y , w e h a v e t o s h o w t h a t H ( t ) f ( x ) ! f ( ) w i t h x ! a n d t ! 0 . W e s t a r t b y t h e

u s u a l m e t h o d : F o r x e d > 0 , c h o o s e > 0 s u c h t h a t j f ( y ) ? f ( ) j < f o r j y ? j < 2 a n d l e t

M : = k f k

1 ; R

N

: K e e p i n g i n m i n d t h e p o s i t i v i t y a n d n o r m a l i z a t i o n o f ?

k

, w e o b t a i n f o r j x ? j <

t h e e s t i m a t i o n

j H ( t ) f ( x ) ? f ( ) j

Z

R

N

?

k

( x ; y ; t )

?

f ( y ) ? f ( )

w

k

( y ) d y

Z

j y ? x j <

?

k

( x ; y ; t )

j f ( y )

? f ( )

j w

k

( y ) d y +

Z

j y ? x j >

?

k

( x ; y ; t )

j f ( y )

? f ( )

j w

k

( y ) d y

< + 2 M

Z

j y ? x j >

?

k

( x ; y ; t ) w

k

( y ) d y :

I t t h u s r e m a i n s t o s h o w t h a t f o r e a c h > 0 ,

l i m

( x ; t ) ! ( ; 0 )

Z

j y ? x j >

?

k

( x ; y ; t ) w

k

( y ) d y = 0 :

F o r a b b r e v i a t i o n p u t

I ( x ; t ) : =

Z

j y ? x j

?

k

( x ; y ; t ) w

k

( y ) d y :

A s I ( x ; t ) 1 , i t s u c e s t o p r o v e t h a t l i m i n f

( x ; t ) ! ( ; 0 )

I ( x ; t ) 1 : F o r t h i s , c h o o s e s o m e p o s i t i v e

c o n s t a n t

0

< a n d h 2 S ( R

N

) w i t h 0 h 1 ; h ( ) = 1 a n d s u c h t h a t h ( y ) = 0 f o r a l l

y w i t h j y ? j > ?

0

: T h e n f o r e a c h x w i t h j x ? j <

0

t h e s u p p o r t o f h i s c o n t a i n e d i n

f y 2 R

N

: j y ? x j g ; t h e r e f o r e

Z

R

N

h ( y ) ?

k

( x ; y ; t ) w

k

( y ) d y I ( x ; t )

f o r a l l ( x ; t ) w i t h j x ? j <

0

: B u t a c c o r d i n g t o T h e o r e m 4 . 7 w e h a v e

l i m

( x ; t ) ! ( ; 0 )

Z

R

N

h ( y ) ?

k

( x ; y ; t ) w

k

( y ) d y = h ( ) = 1 :

T h i s n i s h e s t h e p r o o f .

I t i s s t i l l o p e n w h e t h e r o u r s o l u t i o n o f t h e C a u c h y p r o b l e m ( 4 . 1 ) i s u n i q u e w i t h i n a n a p p r o p r i a t e

c l a s s o f f u n c t i o n s . A s i n t h e c l a s s i c a l c a s e , t h i s f o l l o w s f r o m a n m a x i m u m p r i n c i p l e f o r t h e g e n e r a l i z e d

h e a t o p e r a t o r o n R

N

( 0 ; 1 ) . T h e r s t s t e p i s t h e f o l l o w i n g w e a k m a x i m u m p r i n c i p l e f o r H

k

o n

b o u n d e d d o m a i n s . I t i s p r o v e d b y a s i m i l a r m e t h o d a s u s e d i n T h e o r e m 4 . 2 . B y v i r t u e o f L e m m a

4 . 1 , t h i s p r o o f i s l i t e r a l l y t h e s a m e a s t h e s t a n d a r d p r o o f i n t h e c l a s s i c a l c a s e ( s e e e . g . J ] ) a n d

t h e r e f o r e o m i t t e d h e r e .

2 1



4 . 1 2 . P r o p o s i t i o n . S u p p o s e t h a t

R

N

i s o p e n , b o u n d e d a n d G - i n v a r i a n t . F o r T > 0 s e t

T

: = ( 0 ; 1 ) a n d @

T

: = f ( x ; t ) 2 @

T

: t = 0 o r x 2 @ g :

A s s u m e f u r t h e r t h a t u 2 C

2

(

T

) \ C (

T

) s a t i s e s H

k

u 0 i n

T

. T h e n

m a x

T

( u ) = m a x

@

T

( u ) :

U n d e r a s u i t a b l e g r o w t h c o n d i t i o n o n t h e s o l u t i o n , t h i s m a x i m u m p r i n c i p l e m a y b e e x t e n d e d t o

t h e c a s e w h e r e = R

N

. T h e p r o o f i s a d a p t e d f r o m t h e o n e i n d B ] f o r t h e c l a s s i c a l c a s e .

4 . 1 3 . T h e o r e m . ( W e a k m a x i m u m p r i n c i p l e f o r H

k

o n R

N

. ) L e t S

T

: = R

N

( 0 ; T ) a n d s u p p o s e

t h a t u 2 C

2

( S

T

) \ C ( S

T

) s a t i s e s

8

<

:

H

k

u 0 i n S

T

;

u ( : ; 0 ) = f ;

w h e r e f 2 C

b

( R

N

) i s r e a l - v a l u e d . A s s u m e f u r t h e r t h a t t h e r e e x i s t p o s i t i v e c o n s t a n t s C ; ; r s u c h

t h a t

u ( x ; t )

C

e

j x j

2

f o r a l l ( x ; t )

2 S

T

w i t h

j x

j > r :

T h e n s u p

S

T

( u ) s u p

R

N

( f ) :

P r o o f . L e t u s r s t a s s u m e t h a t 8 T < 1 : F o r x e d > 0 s e t

v ( x ; t ) : = u ( x ; t ) ?

1

( 2 T ? t )

+ N = 2

e x p

j x j

2

4 ( 2 T ? t )

; ( x ; t ) 2 R

N

0 ; 2 T ) :

B y L e m m a 4 . 3 , v s a t i s e s H

k

v = H

k

u 0 i n S

T

. N o w x s o m e c o n s t a n t > r a n d c o n s i d e r t h e

b o u n d e d c y l i n d e r

T

= ( 0 ; T ) w i t h = f x 2 R

N

: j x j < g : S e t t i n g M : = s u p

R

N

( f ) , w e h a v e

v ( x ; 0 ) < u ( x ; 0 ) M f o r x 2 : M o r e o v e r , f o r j x j = a n d t 2 ( 0 ; T ]

v ( x ; t )

C e

2

?

1

( 2 T )

+ N = 2

e

2

= 8 T

:

A s < ( 8 T )

? 1

, w e s e e t h a t v ( x ; t ) M o n @

T

, p r o v i d e d t h a t i s l a r g e e n o u g h . T h e n b y

P r o p . 4 . 1 2 w e a l s o h a v e v ( x ; t ) M o n

T

: A s > r w a s a r b i t r a r y , i t f o l l o w s t h a t v ( x ; t ) M

o n S

T

. A s > 0 w a s a r b i t r a r y a s w e l l , t h i s i m p l i e s t h a t u ( x ; t ) M o n S

T

. I f 8 T 1 , w e m a y

s u b d i v i d e S

T

i n t o n i t e l y m a n y a d j a c e n t o p e n s t r i p s o f w i d t h l e s s t h a n 1 = 8 a n d a p p l y t h e a b o v e

c o n c l u s i o n r e p e a t e d l y .

4 . 1 4 . C o r o l l a r y . T h e s o l u t i o n o f t h e C a u c h y p r o b l e m ( 4 . 1 ) a c c o r d i n g t o T h e o r e m 4 . 1 1 i s u n i q u e

w i t h i n t h e c l a s s o f f u n c t i o n s u 2 C

2

( S

T

) \ C ( S

T

) w h i c h s a t i s f y t h e f o l l o w i n g e x p o n e n t i a l g r o w t h

c o n d i t i o n : T h e r e e x i s t p o s i t i v e c o n s t a n t s C ; ; r s u c h t h a t

j u ( x ; t ) j C e

j x j

2

f o r a l l ( x ; t ) 2 S

T

w i t h j x j > r :

2 2



R e f e r e n c e s

A ] A r e n d t , W . : C h a r a c t e r i z a t i o n o f p o s i t i v e s e m i g r o u p s o n B a n a c h l a t t i c e s . I n : N a g e l , R .

( e d . ) O n e - p a r a m e t e r S e m i g r o u p s o f P o s i t i v e o p e r a t o r s . L e c t u r e N o t e s i n M a t h . 1 1 8 4 , p p .

2 4 7 { 2 9 1 . S p r i n g e r - V e r l a g : B e r l i n 1 9 8 6 .

B - F 1 ] B a k e r , T . H . , F o r r e s t e r , P . J . : T h e C a l o g e r o - S u t h e r l a n d m o d e l a n d g e n e r a l i z e d c l a s s i c a l p o l y -

n o m i a l s . C o m m . M a t h . P h y s . 1 8 8 1 7 5 { 2 1 6 ( 1 9 9 7 ) .

B - F 2 ] B a k e r , T . H . , F o r r e s t e r , P . J . : T h e C a l o g e r o - S u t h e r l a n d m o d e l a n d p o l y n o m i a l s w i t h p r e -

s c r i b e d s y m m e t r y . N u c l . P h y s . B 4 9 2 6 8 2 { 7 1 6 ( 1 9 9 7 ) .

B - F 3 ] B a k e r , T . H . , F o r r e s t e r , P . J . : N o n - s y m m e t r i c J a c k p o l y n o m i a l s a n d i n t e g r a l k e r n e l s . D u k e

J . M a t h . , t o a p p e a r .

B - M ] B e r e s t , Y . Y . , M o l c h a n o v , Y . : F u n d a m e n t a l s o l u t i o n s f o r p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h

r e e c t i o n g r o u p i n v a r i a n c e . J . M a t h . P h y s . 3 6 , n o . 8 , 4 3 2 4 { 4 3 3 9 ( 1 9 9 5 ) .

C ] C h e r e d n i k , I . : A u n i c a t i o n o f t h e K n i z h n i k - Z a m o l o d c h i k o v e q u a t i o n s a n d D u n k l o p e r a t o r s

v i a a n e H e c k e a l g e b r a s . I n v e n t . M a t h . 1 0 6 , 4 1 1 { 4 3 2 ( 1 9 9 1 ) .

C h i ] C h i h a r a , T . S . : A n I n t r o d u c t i o n t o O r t h o g o n a l P o l y n o m i a l s . G o r d o n a n d B r e a c h : N e w Y o r k

1 9 7 8 .

d B ] D i B e n e d e t t o , E . : P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n s . B o s t o n , B a s e l , B e r l i n : B i r k h a u s e r V e r l a g

1 9 9 5 .

v D ] v a n D i e j e n , J . F . : C o n u e n t h y p e r g e o m e t r i c o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s r e l a t e d t o t h e r a t i o n a l

q u a n t u m C a l o g e r o s y s t e m w i t h h a r m o n i c c o n n e m e n t . C o m m . M a t h . P h y s . 1 8 8 4 6 7 { 4 9 7

( 1 9 9 7 ) .

D 1 ] D u n k l , C . F . : R e e c t i o n g r o u p s a n d o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s o n t h e s p h e r e . M a t h . Z . 1 9 7 ,

3 3 { 6 0 ( 1 9 8 8 ) .

D 2 ] D u n k l , C . F . : D i e r e n t i a l - d i e r e n c e o p e r a t o r s a s s o c i a t e d t o r e e c t i o n g r o u p s . T r a n s . A m e r .

M a t h . S o c . 3 1 1 , 1 6 7 { 1 8 3 ( 1 9 8 9 ) .

D 3 ] D u n k l , C . F . : I n t e g r a l k e r n e l s w i t h r e e c t i o n g r o u p i n v a r i a n c e . C a n . J . M a t h . 4 3 , 1 2 1 3 {

1 2 2 7 ( 1 9 9 1 ) .

D 4 ] D u n k l , C . F . : H a n k e l t r a n s f o r m s a s s o c i a t e d t o n i t e r e e c t i o n g r o u p s . I n : P r o c . o f t h e

s p e c i a l s e s s i o n o n h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n s o n d o m a i n s o f p o s i t i v i t y , J a c k p o l y n o m i a l s a n d

a p p l i c a t i o n s . P r o c e e d i n g s , T a m p a 1 9 9 1 , C o n t e m p . M a t h . 1 3 8 , 1 2 3 { 1 3 8 ( 1 9 9 2 ) .

D - J - O ] D u n k l , C . F . , d e J e u , M . F . E . , O p d a m , E . M . : S i n g u l a r p o l y n o m i a l s f o r n i t e r e e c t i o n

g r o u p s . T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . 3 4 6 , 2 3 7 { 2 5 6 ( 1 9 9 4 ) .

d J ] d e J e u , M . F . E . : T h e D u n k l t r a n s f o r m . I n v e n t . M a t h . 1 1 3 , 1 4 7 { 1 6 2 ( 1 9 9 3 ) .

H ] H e c k m a n , G . J . : A r e m a r k o n t h e D u n k l d i e r e n t i a l - d i e r e n c e o p e r a t o r s . I n : B a r k e r , W . ,

S a l l y , P . ( e d s . ) H a r m o n i c a n a l y s i s o n r e d u c t i v e g r o u p s . P r o g r e s s i n M a t h . 1 0 1 , p p . 1 8 1 {

1 9 1 . B a s e l : B i r k h a u s e r V e r l a g 1 9 9 1 .

J ] J o h n , F . : P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n s . N e w Y o r k , H e i d e l b e r g , B e r l i n : S p r i n g e r - V e r l a g

1 9 8 6 .

2 3



K ] K a k e i , S . : C o m m o n a l g e b r a i c s t r u c t u r e f o r t h e C a l o g e r o - S u t h e r l a n d m o d e l s . J . P h y s . A 2 9 ,

L 6 1 9 { L 6 2 4 ( 1 9 9 6 ) .

K - S ] K n o p , F . , S a h i , S . : A r e c u r s i o n a n d c o m b i n a t o r i a l f o r m u l a f o r J a c k p o l y n o m i a l s . I n v e n t .

M a t h . 1 2 8 , n o . 1 , 9 { 2 2 ( 1 9 9 7 ) .

L - V ] L a p o i n t e , L . , V i n e t , L . : E x a c t o p e r a t o r s o l u t i o n o f t h e C a l o g e r o - S u t h e r l a n d m o d e l . C o m m .

M a t h . P h y s . 1 7 8 , 4 2 5 { 4 5 2 ( 1 9 9 6 ) .

L 1 ] L a s s a l l e , M . : P o l y n ^ o m e s d e L a g u e r r e g e n e r a l i s e s . C . R . A c a d . S c i . P a r i s , t . 3 1 2 , S e r i e I ,

7 2 5 { 7 2 8 ( 1 9 9 1 ) .

L 2 ] L a s s a l l e , M . : P o l y n ^ o m e s d e H e r m i t e g e n e r a l i s e s . C . R . A c a d . S c i . P a r i s , t . 3 1 3 , S e r i e I ,

5 7 9 { 5 8 2 ( 1 9 9 1 ) .

O 1 ] O p d a m , E . M . : D u n k l o p e r a t o r s , B e s s e l f u n c t i o n s a n d t h e d i s c r i m i n a n t o f a n i t e C o x e t e r

g r o u p . C o m p o s . M a t h . 8 5 , 3 3 3 { 3 7 3 ( 1 9 9 3 ) .

O 2 ] O p d a m , E . M . : H a r m o n i c a n a l y s i s f o r c e r t a i n r e p r e s e n t a t i o n s o f g r a d e d H e c k e a l g e b r a s . A c t a

M a t h . 1 7 5 , 7 5 { 1 2 1 ( 1 9 9 5 ) .

P ] P a s q u i e r , V . : A l e c t u r e o n t h e C a l o g e r o - S u t h e r l a n d m o d e l s . I n : I n t e g r a b l e m o d e l s a n d

s t r i n g s ( E s p o o , 1 9 9 3 ) , L e c t u r e N o t e s i n P h y s . 4 3 6 , p p 3 6 { 4 8 . S p r i n g e r V e r l a g : B e r l i n 1 9 9 4 .

R ] R o s l e r , M . : B e s s e l - t y p e s i g n e d h y p e r g r o u p s o n R . I n : H e y e r , H . , M u k h e r j e a , A . ( e d s . )

P r o b a b i l i t y m e a s u r e s o n g r o u p s a n d r e l a t e d s t r u c t u r e s X I . P r o c e e d i n g s , O b e r w o l f a c h 1 9 9 4 ,

p p . 2 9 2 { 3 0 4 . S i n g a p o r e : W o r l d S c i e n t i c 1 9 9 5 .

R - V ] R o s l e r , M . , V o i t , M . : A n u n c e r t a i n t y p r i n c i p l e f o r H a n k e l t r a n s f o r m s . P r o c . A m e r . M a t h .

S o c . , t o a p p e a r .

R o s ] R o s e n b l u m , M . : G e n e r a l i z e d H e r m i t e p o l y n o m i a l s a n d t h e B o s e - l i k e o s c i l l a t o r c a l c u l u s . I n :

O p e r a t o r T h e o r y : A d v a n c e s a n d A p p l i c a t i o n s , V o l . 7 3 , p p . 3 6 9 { 3 9 6 . B a s e l : B i r k h a u s e r

V e r l a g 1 9 9 4 .

2 4

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