Hemos Visto Que Una Sola Ecuación Diferencial Puede Servir Como Modelo Matemático de Distintos...

7/24/2019 Hemos Visto Que Una Sola Ecuacin Diferencial Puede Servir Como Modelo Matemtico de Distintos Fenmenos

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Hemos visto que una sola ecuacin diferencial puede servir como modelo

matemtico de distintos fenmenos. Por este motivo, en la seccin 5.1 examinaremos

con mayor de- talle una aplicacin, el movimiento de una masa unida a un

resorte. Aparte de la terminologa y las interpretaciones fsicas de los cuatro

t!rminos de la ecuacin lineal " " # g$t%, veremos que los

procedimientos matemticos para mane&ar, por e&emplo, un circuito el!ctrico en serie

son id!nticos a los que se emplean en un sistema vi'ratorio de resorte y masa.

(as formas de esta ecuacin diferencial de segundo orden surgen en el anlisis depro'lemas en muc)as y diversas reas de la ciencia y la ingeniera. *n la seccin

5.1 slo estudiaremos pro'lemas inicial. *n la seccin

5.+ examinaremos aplicaciones descritas por pro'lemas de valores en la frontera,

adems de algunos de los pro'lemas que nos conducen a los conceptos de

valores propios y funciones propias. (a seccin 5. se inicia con una

descripcin de las diferencias entre los resortes lineales y no lineales, y luego se

demuestra cmo el p!ndulo

simple y un alam're suspendido nos llevan a modelos no lineales.

ECUACIONES LINEALES: PROBLEMAS DE VALORINICIAL

Sistema lineal dinmico Ley de Hooke Segunda ley de Newton delmovimiento

Sistema de resorte y masa Movimiento libre no amortiguado Movimiento armnico simple

Ecuacin del movimiento Amplitud ngulo de Resortedesgastable

Movimiento libre amortiguado Movimiento or!ado "#rminos transitorios y de estado

estable Resonancia pura $ircuitos en serie

En esta seccin revisaremos varios sistemas lineales (pg. 127) en donde cadamodelo matemtico es una ecuacin diferencial de segundo orden con coeficientes constantes

+ % & g't()

No olvidemos que la funcin g es la entrada (funcin de entrada o funcin forzada)del sistema. La salida o respuesta del sistema es una solucin de la ecuacin diferencialen un intervalo que contiene a que satisface las condiciones iniciales prescritas

Sistemas de resorte y masa: movimiento libre noamortiguado

Ley de Hooke upongamos que! como en la figura una masa est unida a un


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resorte fle"i#le colgado de un soporte r$gido. %uando se reempla&a con una masadistinta

el estiramiento! elongacin o alargamiento del resorte cam#iar.

soporte

resortesin estirar

en reposo

FIGURA

5.1

eg'n la ley de ooe! el resorte mismo e*erce una fuer&a de restitucin! *+ opuesta ala direccin del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento En concreto! * &

donde es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. +unquelas masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas! est

caracteri&ado


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Seccin 5. 1 Ecuaciones l ineoles: problemas de valor inicial 197

esencialmente por su numero por e*emplo! si una masa que pesa 1, li#ras estira pie unresorte! entonces 1, - implica que - 2, Entonces! necesariamente! una masa cuyo

peso sea de li#ras estirar el resorte de pie.

Segunda ley de Neton /espu0s de unir una masa a un resorte! 0sta lo estira unalongitud y llega a una posicin de equili#rio! en la que su peso! est equili#rado por la

fuer&a de restauracin ecu0rdese que el peso se define por - mg, donde la masa see"presa en slugs! ilogramos o gramos y g - 2 3. o 3, respectivamente.%omo se aprecia en la figura la condicin de equili#rio es mg = o mg = 0. i lamasa se despla&a una distancia " respecto de su posicin de equili#rio! la fuer&a de restitucindel resorte es 4 s). uponiendo que no 5ay fuer&as de retardo que act'en so#re el sistemay que la masa se mueve li#re de otras fuer&as e"ternas (!o"i!iento li#re)$ entonces podemosigualar la segunda ley de Ne6ton con la fuer&a neta! o resultante! de la fuer&a de restitucin yel peso

mg= -kx.

c e r o

El signo negativo de la ecuacin (1) indica que la fuer&a de restitucin del resorte act'a en la

direccin opuesta del movimiento. +dems! podemos adoptar la convencin que los despla&a8

mientos medidos a#a*o de la posicin de equili#rio son positivos (9ig. :.).

sin estirarm

posicinde equili#rio

movimiento

- - - -

FIG!" 5.# FIG!" 5.$

%cuacin diferencial del !o"i!iento li#re no a!ortiguado i dividimos laecuacin (1) por la masa m, o#tendremos la ecuacin diferencial de segundo orden+ 0, 0 sea

+ & '

donde - e dice que la ecuacin (2) descri#e el !o"i!iento ar!nico si!ple o!o"i!iento li#re no a!ortiguado. /os condiciones iniciales o#vias asociadas con (2) son


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1%& 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

"(;) - la cantidad de despla&amiento inicial! y ".! la solucin general de (2) es

"(t) 4 sen

El periodo de las vi#raciones li#res que descri#e () es T & y la frecuencia es f

= = =or e*emplo! para - 2

3t > sen el periodo es y lafrecuencia es El n'mero anterior indica que la grfica de x(t) se repite cadaunidades y el ultimo numero indica que 5ay tres ciclos de la grfica cada 27r unidadeso! lo que es lo mismo! que la masapasa por vi#raciones completas por unidadde tiempo. +dems! se puede demostrar que el periodo es el intervalo entre dosm"imos sucesivos de x(t). ?0ngase en mente que un m"imo de "(t) es eldespla&amiento positivo cuando la masa alcan&a la distancia abajo de la

posicin de equili#rio! mientras que un m$nimo de x(t) es el despla&amientonegativo cuando la masa llega a la altura m"ima arriba de esa posicin. +m#oscasos se denominan desplaza!iento etre!o de la masa. =or 'ltimo! cuando seemplean las condiciones iniciales para determinar las constantes

y en la ecuacin se dice que la solucinparticular que resulta es la ecuacin del !o"i!iento.

Interpretacin de un problema de valor inicial

esuelva e interprete el pro#lema de valor inicial

4 - ,! - 1,!"


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x(t)= 1, 4t+sen

%omo x(t) 8>, sen 4 entonces "< (,) , . 1! as$ que- ,@ por consiguiente! la ecuacin del movimiento es - 1,

4t.Est claro que la solucin indica que el sistema permanece en

movimiento una ve& puesto en movimiento y la masa va y viene 1, unidadesa cada lado de la posicin de

equili#rio - ,. %omo se advierte en la figura e

Seccin 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 199

X masa aba,o de la posicin de equili#rio

masa de la de equili#rio

FIG!" 5. -

ovimientolibre no amortiguado

Ana masa que pesa 2 5ace que un resorte se estire B %uando - ,! la masa se

suelta desde un punto a a#a*o de la posicin de equili#rio con una velocidad inicial!

5acia arri#a! de /edu&ca la ecuacin del movimiento li#re.

SOLUCIN %omo empleamos el sistema t0cnico de unidades inglesas! las medidase"presadas en pulgadas se de#en pasar a pies B $n - ft@ - ft. +dems!

de#emos convertir las unidades de peso! que estn en li#ras! en unidades de masa.


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=artimos de my! en este caso! m - - slug. ?am#i0n! seg'n la ley de ooe! 2 - implican que

la constante del resorte es > por lo tanto! la ecuacin (1) se transforma en

0 + = 0.

El despla&amiento y la velocidad iniciales son "(;) "


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5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

%uando ' y '$ la a!plitud de las vi#racionesli#res no se puede conocer de inmediato e"aminando la ecuacin (). Esto es! aunque la masatiene un despla&amiento inicial de de pie respecto a la posicin de equili#rio en el e*emplo 2!la amplitud de las vi#raciones es mayor de por lo anterior! a menudo conviene pasar unasolucin de la forma () a la forma ms simple

x(t) = A

donde y es un ngulo de fase definido por

(7)

=ara compro#arlo! desarrollamos la ecuacin (B) aplicando la frmula del seno de la suma

A 4A sen -(Asen 4(A sen

En la figura :.: tenemos que si definimos mediante

la ecuacin () se transforma en

FIGURA

5.5

Forma alternativa de solucin de /50

En vista de lo que aca#amos de e"plicar! podemos escri#ir la solucin (:) del e*emplo 2como sigue

sen ,! lo que es lo mismo! "(t) 4

La amplitud est definida por


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Seccin 5.1 Ecuci!ne" #ine#e": $%!e'" (e )#!% inici#

* ' 1

El lector de#e tener cuidado al calcular el ngulo de fase definido por (7). %uando -y - resulta que tan 8> y con una calculadora o#tenemos tan8C(8>) - 81.2B rad.D

=ero este ngulo est en el cuarto cuadrante y! por consiguiente! contraviene el 5ec5o quesen , y , (recordemos que , y ,). Entonces! de#emos suponer que esun ngulo que est en el segundo cuadrante! - 4 (81.2B) - 1. 1B rad. +s$ llegamos a

4 1.1B)..

La forma (B) es 'til porque con ella es fcil determinar valores del tiempo para los cualesla grfica de "(t) cru&a el e*e positivo de las (la l$nea " - ,). ;#servamos que 4 - ,cuando wt4 donde nes un entero no negativo.

Siste!as con constantes de resorte "aria#lesun mundo ideal! en que las caracter$sticas f$sicas del resorte no cam#ian con el tiempo. in

em#argo! en el mundo real es lgico esperar que cuando un sistema resorte y masa 5a estadoen movimiento durante largo tiempo! el resorte se de#ilite (o pierda #r$oF)@ en otras pala#ras!la constanteF de resorte va a variar o! ms concretamente! decaer a trav0s del tiempo. En el

modelo del resorte desgasta#le$ la funcin decreciente G(t) - k ,! , sustituye a la

constante de resorteken (1). La ecuacin diferencial m"F 4 - , no se puede resolver con

los m0todos que vimos en el cap$tulo >@ sin em#argo! podemos o#tener dos soluciones

linealmente independientes con los m0todos del cap$tulo B. H0anse los pro#lemas 1:! e*ercicios:.1@ el e*emplo ! seccin B.>! y los pro#lemas 3 y >,! e*ercicios B.>.

%uando un sistema de masa y resorte se somete a un am#iente en que la temperatura esrpidamente decreciente! la constantek sepodr cam#iar con G(t) k 0,funcin que crece

con el tiempo. El modelo resultante! + & ' es una forma de la ecuacin diferencial deiry. +l igual que la ecuacin de un resorte enve*ecido! la de +iry se puede resolver con losm0todos del cap$tulo B. H0anse el pro#lema 1B! en los e*ercicios :.1@ el e*emplo >! en la seccinB.2! y los pro#lemas >1 a >! en los e*ercicios B.>.

51.# Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre

El concepto del movimiento armnico li#re no es realista porque el movimiento que descri#e laecuacin (1) supone que no 5ay fuer&as de retardo que act'an so#re la masa en movimiento. +menos que la masa est0 colgada en un vac$o perfecto! cuando menos 5a#r una fuer&a de

resistencia de#ida al medio que rodea al o#*eto. eg'n se advierte en la figura :.B! la masapodr$a estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador.

%cuacin diferencial del !o"i!iento a!ortiguado li#residera que las fuer&as de amortiguamiento que act'an so#re un cuerpo son proporcionales aalguna potencia de la velocidad instantnea. En particular! supondremos en el resto de la

descripcin que esta fuer&a est e"presada por un m'ltiplo constante de %uando no 5ayotras fuer&as e"ternas aplicadas al sistema! se sigue por la segunda ley de Ne6ton

DLa imagende la tangente inversaes


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MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

FIGURA

5.*

donde es una costate !e amortig"amieto positiva y el signo negativo es consecuencia del

5ec5o de que la fuer&a amortiguadora act'a en direccin opuesta a la del movimiento.+l dividir la ecuacin (1,) por la masa m, la diferencial del !o"i!iento

a!ortiguado li#re es ! + 0, o sea

+ + & '$

m

El s$m#olo slo se usa por comodidad alge#raica! porque as$ la ecuacin au"iliar queda 4 4 , y las ra$ces correspondientes son

+5ora podemos distinguir tres casos posi#les que dependen del signo alge#raico de

=uesto que cada solucin contiene al #actor !e amortig"amieto 0, $osdespla&amientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.

CASO 0. +qu$! se dice que el sistema est so#rea!ortiguado porque elcoeficiente de amortiguamiento! es grande comparado con la constante de resorte! . La

solucin correspondiente de (11) es x(t) - 4 o #ien


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11/27

Seccin 5. 1 Ecuaciones l ineales: problemas de valor inicial *',

t

FIG!" 5. FIG!" 5.&

Esta ecuacin representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura :.7 muestra dos

grficas posi#les de "(t).

CASO II 0. que el sistema est cr-tica!ente a!ortiguado puestoque cualquier pequeJa de la fuer&a de amortiguamiento originar$a un

movimiento oscilatorio. La solucin general de la ecuacin (ll) es "(t) - 4 esdecir!

C"(t) 4

En la figura :. vemos dos t$picos grficos de este movimiento. ;#s0rvese que se parecenmuc5o a los de sistema so#reamortiguado. ?am#i0n se aprecia! seg'n la ecuacin quela masa puede pasar por la posicin de equili#rio! a lo ms una ve&.

CASO 0. e dice que el sistema est su#a!ortiguado porque el coeficientede amortiguamiento es pequeJo en comparacin con la constante del resorte. +5ora las ra$ces

y son comple*as

Entonces! la solucin general de la ecuacin (ll) es

2 sen

%omo se aprecia en la figura :.3! el movimiento que descri#e (1:) es oscilatorio pero! a causadel coeficiente las amplitudes de vi#racin tienden a cero cuando

x


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FIG!" 5.%


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2,> 5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDENSUPERIOR

ovimiento sobreamortiguado

e comprue#a fcilmente que la solucin del pro#lema de valor inicial

- 1! "


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ecuacin del movimiento si la masa se suelta de la posicin de equili#rio con una velocidad5acia arri#a de


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Seccin 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial

SOLUCIN /e acuerdo con la ley de - da > Entonces mg dam slug. Entonces la ecuacin diferencial del movimiento es

1

4 d t

La ecuacin au"iliar de (17) es 4 m 4 1B - (m + = 0, de forma que == -4.

Luego el sistema es cr$ticamente amortiguado y

x(t) = +

+l aplicar las condiciones iniciales "(;) , y ". /e "


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es su#amortiguado y que

x(t) 3t + 3t).


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'0* 5 CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

=or 'ltimo! las condiciones iniciales 82 y "


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(')


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5.1 Ecuci!ne" #ine#e": $%!e'" (e )#!% inici#

FIGURA5.1,

donde 9(t) y! al igual que en la seccin anterior! - - =ara resolver

esta ecuacin no 5omog0nea tenemos el m0todo de los coeficientes indeterminados o elde la variacin deparmetros.

Interpretacin de un problema de valor inicial

Interprete y resuelva el pro#lema de valor inicial

- "


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= -4A 4 4 - -%*A


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de modo que

El sistema resultante de ecuaciones

-6A 24B = 25. -24A 6B =0

tiene las soluciones - yB- En consecuencia

"(t) - 4 4t:1

%uando 5acemos , en la de arri#a o#tenemos i diferenciamosla e"presin y 5acemos - ,! o#tenemos - por consiguiente! la ecuacin demovimiento es

x(t)-

B8sen

: 1 : 1

01r!inos transitorio de estado esta#letaria

-

en la ecuacin (2) tiene la propiedad de que ,. %omo se vuelveinsignifi8 cante (es decir! ') cuando se dice que es un t1r!inotransitorio o solucin transitoria. +s$! cuando el tiempo es grande! los despla&amientosde la masa del pro#lema anterior son muy #ien apro"imados por la solucin particular

Esta 'ltima funcin se llama tam#i0n solucin de estado esta#le$ de estadoestacionario o de estado per!anente. %uandoFes una funcin peridica! como 9(t) - seno 9(t) - la solucin general

de la ecuacin (2:) esta formada por

x(t) parte transitoria parte estable.

S!#uci!ne" -%n"i-!%i" . (e e"-(! e"-e

e demuestra con facilidad que la solucin del pro#lema de valor inicial

- ,! "


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+l e"aminar la figura :.1 vemos que el efecto del t0rmino transitorio en la solucin es

insignificante en este caso! cuando t


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Seccin 5.1 Ecuci!ne" #ine#e": $%!e'" (e )#!% inici#

*'9

(#)

FIGURA5.1/

%cuaciones diferenciales del !o"i!iento forzado sin a!ortigua!iento%uando se e*erce una fuer&a peridica y no e"iste fuer&a de amortiguamiento! no 5ay partetransitoria en la solucin de un pro#lema. Heremos tam#i0n que si se e*erce una fuer&a peridicacuya frecuencia es igual o casi igual a la de las vi#raciones no amortiguadas li#res! se puedeoriginar un grave pro#lema en un sistema mecnico oscilatorio.

ovimiento for4ado no amortiguado

esuelva el pro#lema de valor inicial

+ = sen - ,! "


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sen


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y o#tenemos - , y - por lo tanto! la solucin es

x(t) = (8ysenot 4 oset),

2esonancia pura +unque la ecuacin (,) no est definida cuando 6! es interesanteo#servar que su valor l$mite! cuando 6! se puede o#tener aplicando la regla deEste proceso al l$mite equivale a una sintoni&acinF de la frecuencia de la fuer&a impulso8ra con la de las vi#raciones li#res Esperamos intuitivamente que al paso deltiempo podamos aumentar sustancialmente las ampitudes de vi#racin. =ara 6! la solucinse define como

x ( t ) -4 osenyt 9

sen 4 sen

-8sen 4

=8sen 4

%omo lo esper#amos! cuando los despla&amientos crecen@ de 5ec5o! cuando. . El fenmeno que aca#amos de descri#ir se llama resonancia pura. La

grfica de la figura :.1> muestra un movimiento caracter$stico de este caso.

En conclusin! se de#e notar que no 5ay una necesidad real de emplear un proceso al l$miteen (,) para llegar a la solucin para 6. ?am#i0n! la ecuacin (1) es consecuencia deresolver el pro#lema de valor inicial

+ = sen - ,! "


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FIGURA

5.10


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Seccin 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 211

resonante de la figura :.1> es irreal por completo! porque no tiene en cuenta los efectosdantes de las siempre presentes fuer&as de amortiguamiento. i #ien es cierto que no se puede tener

resonancia pura cuando se considera un amortiguamiento m$nimo! tam#i0n es cierto que se puedendesarrollar amplitudes grandes e igualmente destructivas de vi#racin (pero acotadas cuandoH0ase el pro#lema > en los e*ercicios :.1.

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