Helena Miljkoviæ i Aleksa Denèevski Ispitivanje 2D...

Helena Miljkoviæ i Aleksa Denèevski

Ispitivanje 2D struktura magnetnihèvrstih sfera u spoljašnjemmagnetnom polju metodommolekularne dinamike

Neodijumske èestice predstavljaju gotovo idealne magnetne dipole. Ovakavmodel omoguæava praæenje kretanja èestica u spoljašnjem magnetnompolju, kao i uvid u njihovu meðusobnu dipol-dipolnu interakciju i inter-akciju sa spoljašnjim magnetnim poljem. Osnovni cilj projekta je ispiti-vanje dinamike dipola u spoljašnjem magnetnom polju polazeæi od prstena,strukture sa minimalnom energijom pre ukljuèivanja magnetnog polja,formiranog od N (4 � N � 13) èestica. Pokazano je da kada se ovolikoèestica postavi dovoljno blizu da mogu meðusobno da interaguju, njihovostabilno stanje (stanje sa minimalnom potencijalnom energijom) je prsten.Jedan od ciljeva projekta je utvrðivanje minimalne jaèine magnetnog poljapotrebnog da se prsten kao stabilna struktura raspadne, takoðe i utvrði-vanje oblasti u parametarskom prostoru �(B) gde se formiraju odreðenestabilne strukture. Sa � je oznaèen ugao rotacije prstena u odnosu na pra-vac magnetnog polja na poèetku simulacije, a sa B je oznaèena jaèinamagnetnog polja. Sve èestice, njihova meðusobna interakcija i interakcijasa spoljašnjim magnetnim poljem modelovani su simulacijama. Korišæe-njem tih simulacija prati se ponašanje èestica u zavisnosti od jaèine spo-ljašnjeg magnetnog polja B i ugla rotacije �. U ovom radu ispitana je di-namika dvodimenzionalnih struktura saèinjenih od 7 i 9 èestica.

Teorijski uvodMagnetne èestice su modelovane potencijalom koji ima dve kompo-

nente, prva je dipol-dipolna magnetna interakcija, a druga je tvrda inter-akcija èvrstih sfera. Dipol-dipolna interakcija predstavlja interakcijuizmeðu dve èestice magnetnog momenta

�m1 i

�m2 èiji se centri nalaze na

pozicijama�r1 i

�r2 . Potencijalna energija dobijena ovom interakcijom defi-

nisana je formulom:

U r Cr

m mm r m r

r( )

( )( )� � ��

12

12

3 1 2

1 12 2 12

12

2

13� � �

� ��

�

�

�

�

�

gde je r r r r12 12 1 2� � �| | | |� � �

, a konstanta C se mo�e izraèunati kada se dve èe-stice postave jedna do druge pri èemu se i dipolni momenti postave

94 • PETNIÈKE SVESKE 75 DEO I

Helena Miljkoviæ (1998),Beograd, Mileve MariæAjnštajn 21/54, uèenica4. razreda Matematièkegimnazije u Beogradu

Aleksa Denèevski (1998),Kraljevo, Zelena Gora46/16, uèenik 4 razredaGimnazije u Èaèku

MENTORI:

dr Igor Stankoviæ, višinauèni saradnik,Laboratorija za primenuraèunara u nauciInstituta za fizikuUniverziteta u Beogradu

Miljan Dašiæ, doktorant,Laboratorija za primenuraèunara u nauciInstituta za fizikuUniverziteta u Beogradu

paralelno u istom smeru UC m

d� ��

2

3, gde je d rastojanje izmeðu èestica

(Stankoviæ et al. 2016; Messina et al. 2014). Takoðe, sila koja deluje iz-meðu dva dipola je:

� � � � � � � � � �F

rr m m r m m r m m� � � � � � � � �

3

42 50

4 1 2 2 1 1 2

�

�

( ) ( ) ( ) ! !� � � � �r r m r m( ) ( )� � �1 2

gde je μ0 magnetna permeabilnost vakuuma,�r je vektor polo�aja druge

èestice u odnosu na prvu,�m1 i

�m2 su vektori magnetizacije èestica.

Èestice æe nakon proizvoljnog postavljanja u prostoru, bez uticajamagnetnog i elektriènog polja, zauzeti konformaciju u kojoj ceo sistem imaminimalnu potencijalnu energiju. U zavisnosti od broja èestica konfor-macije su razlièite. Ako je broj èestica N < 4, one zauzimaju konformacijulanca (što je 1D struktura), ako je broj èestica 4 � N � 13 one zauzimaju 2Dkonformaciju. Prilikom daljeg poveæavanja broja èestica prelazi se na 3Dkonformacije. Kada se èestice nalaze u prostoru bez uticaja spoljašnjegmagnetnog polja one meðusobno interaguju, a energija lanca se raèuna poformuli:

UN j i

N

j i

N

i

N(lanca)

�

�

��

�

""2 1

311

1

( )

gde je N broj èestica u sistemu (Messina et al. 2014).Sila koja se pojavljuje nakon ubacivanja sistema u spoljašnje mag-

netno polje je sila interakcije izmeðu èestice i magnetnog polja. Poten-cijalna energija koju ima èestica magnetizacije mi prilikom ubacivanja umagnetno polje se raèuna po formuli:

U m BBi

i i� �

� �

Pošto svi sistemi te�e minimumu energije i potencijalna energija èe-stice se raèuna pomoæu gornje formule uoèavamo da prilikom smanjenjaugla izmeðu vektora magnetnog momenta m i vektora magnetnog polja B

ZBORNIK RADOVA 2016 FIZIKA • 95

Slika 1. Šematski prikaz dve èestice kojemeðusobno interaguju. Predstavljene su uDekartovom koordinatnom sistemu.Prikazan je vektor polo�aja

�r12 kao i polarni

� i azimutni # ugao koji odreðuju pravac ismer magnetnog momenta èestica.(Prema: Messina i Stankoviæ 2015)

Figure 1. Schematic representation of twoparticles interacting. They are presented inthe Cartesian coordinate system. Thefigure contains the position vector

�r12 and

the polar � and azimuthal # angle whichdetermine the direction of the magneticmoment of the particles. (Adpt. from:Messina & Stankoviæ 2015)

smanjuje se i potencijalna energija te èestice. U trenutku kada svi magnetnimomenti èestica postanu paralelni i u smeru i pravcu magnetnog polja, silakoja deluje izmeðu èestica jednaka je nuli kao i sila dipol-dipolne interak-cije, a ukupna potencijalna energija postaje minimalna. To stanje smatramostabilnim nakon ukljuèivanja spoljašnjeg magnetnog polja. Èestice mo�e-mo opisati pomoæu polupreènika èestice, koordinata u Dekartovom koordi-natnom sistemu, takoðe i preko polarnog i azimutnog ugla koji odreðujupravac i smer magnetnog momenta èestice (slika 1). Notacija sa slike jekorišæena u formulama.

MetodIspitujemo sistem pomoæu programa napisanih u softverskom paketu

MatLab . Simulacije su realizovane metodom molekularne dinamike, tj.integracijom Njutnovskih jednaèina. Kako se sve èestice opisuju prekokoordinata i magnetnog momenta èestice, potrebno ih je postaviti u poèetnukonformaciju. U sluèaju koji ispitujemo to je prsten. Kako sve èestice imajujednake jediniène preènike mo�e se opisati geometrija svakog prstena od Nèestica. Na taj naèin programom odreðujemo poèetne uslove simulacije kaošto su koordinate svake èestice, njihovo poèetno rastojanje od centra prste-na i pravac i smer magnetizacije èestica.

Ugaoni korak predstavlja ugao izmeðu pravaca polo�aja dve susedneèestice u koordinatnom sistemu èiji se centar nalazi u centru prstena (slika2). Ugaoni korak izmeðu centara dve susedne èestice je # = 2� /N, pozicionikorak predstavlja ugao za koji treba zarotirati vektor polo�aja svake èesticeda bismo dobili vektor polo�aja druge èestice. Pozicioni korak za bilo koju

èesticu u prstenu poèev od prve je #

�

i iN

�

2, gde je i broj èestice numerisane

od pozitivnog dela x ose. Posmatrajuæi rastojanje izmeðu centra dve èestice(slika 2), gde je preènik svake èestice jedinièan, tada je rastojanje centra


Slika 2. Geometrijska struktura prstena.Manji krugovi u èijem centru se nalazetaèke B i D predstavljajudvodimenzionalnu reprezentaciju èestica.Na slici vidimo projekciju koordinatajedne èestice, vektor polo�aja i-te èestice iugao koji gradi sa x-osom.

Figure 2. Geometrical ring structure. Smallcircles with centers in points B and D,respectively, are a two-dimensionalrepresentation of particles. In the picturewe also see the projection of one of theparticles’ coordinates, the position vectorof the particle and the angle which it formswith the x axis.

èestice od dodirne taèke sa drugom èesticom jednako 12 r, a odavde vidimo

da je ugaoni korak izmeðu dve susedne èestice � = � /N. Odavde se mo�euoèiti da polupreènik prstena zavisi od broja èestica:

R

N

�

1

2 sin�

Na poèetku simulacije svakoj èestici se dodeljuju pozicije u 2D pro-storu. Jednaèine koje definišu koordinate svake èestice u prstenu nume-risane od pozitivnog dela x ose sa i = {1, N}:

x R iN

i � �$

%

&

'

(

)cos2�

�

y R iN

i � �$

%

&

'

(

)sin2�

�

z i � 0

gde je R polupreènik prstena, N broj èestica u prstenu i � ugao rotacijeprstena u odnosu na pravac magnetnog polja.

Dipolni moment na poèetku simulacije definisan je na sledeæi naèin:

�

� �

�x iR i

N� � �

$

%

&

'

(

)cos2

2

�

� �

�yiR i

N� � �

$

%

&

'

(

)sin2

2

� z i� 0

gde je redni broj èestice u prstenu numerisan sa i = {1, N}Smer i pravac dipolnog momenta odreðene èestice dobijen je rota-

cijom vektora polo�aja posmatrane èestice za ugao od devedeset stepeni uretrogradnom smeru, zbog toga u trigonometrijskom predstavljanju ovogvektora figurišu svi uglovi kao i u trigonometrijskom prikazu vektora polo-�aja èestice i dodat je ugao � / 2. Intenziteti magnetnih momenata svih èes-tica su jednaki i jedinièni (Kun et al. 2001).

Jedan od matematièkih modela koji aproksimira interakciju izmeðudva neutralna atoma ili molekula je Lenard–D�onsov potencijal. Ovimmodelom se pokazuje da izmeðu dve neutralne èestice postoji privlaèna iodbojna sila. Na velikim rastojanjima sila je privlaèna i ona je posledicapokretljivosti naelektrisanja zbog èega neutralne èestice jedna drugojindukuju dipole koji se meðusobno privlaèe. Na malim rastojanjima èesticese odbijaju i to je posledica prekrivanja naelektrisanja razlièitih èestica. Usimulaciji je korišæen odseèen Lenard–D�onsov potencijal kako bi postojaosamo odbojni deo. Nije posmatran potencijal za rastojanja manja od

rmin � �* 21

6 koje predstavlja rastojanje na kojem je potencijal minimalan.

Lenard–D�onsov potencijal se raèuna po formuli:


V rr r

( ) � �$

%

&

'

(

) �$

%

&

'

(

)

�

�

�

�

�

�412 6

+

* *

gde je + dubina potencijalne jame, * radijus èestice predstavljene kao èvrstasfera i r rastojanje izmeðu èestica. Posmatranjem uticaja èlanova jednaèinena ukupnu meðusobnu interakciju primeæuje se da (*/r)12 predstavljakratkodometni odbojni èlan, dok (*/r)6 predstavlja dugodometni privlaènièlan.

U simulaciji je uraèunato i postojanje Braunovog kretanja kako sistemne bi ostao u nekom od lokalnih minimuma. Uraèunavanjem Braunovogkretanja dajemo mali impuls proizvoljnog pravca i smera svim èesticama uposmatranom sistemu da bi se narušila simetriènost sistema koja mo�edovesti do dobijanja lokalnog minimuma potencijalne energije sistema.Ukljuèivanjem Braunovog kretanja dolazi do pojave magnetnog momenta iponovne interakcije èestica sa spoljašnjim magnetnim poljem. Takoðe, radipojednostavljenja programa za simulaciju korišæeni su kvaternioni pomoæukojih su opisivane prostorne rotacije. Svaka èestica u sistemu se rotira u za-visnosti od momenta sile u svakom koraku, a to se posti�e korišæenjem kva-terniona. Kvaternioni su numerièki sistem koji se koristi za matematièkiprikaz posmatranih fizièkih sistema. Ovaj sistem kvaterniona proširujesistem kompleksnih brojeva i obièno se koristi za opisivanje kretanja tro-dimenzionalnih tela koja rotiraju, a takoðe i za njihov grafèki prikaz.

Parametri koji su varirani tokom simulacije su ugao prstena u odnosuna magnetno polje, broj èestica u prstenu i jaèina magnetnog polja. Jaèinaspoljašnjeg magnetnog polja varirana je u rasponu od 0 do 10 arbitrarnihjedinica. Rotacijom celog prstena menja se x komponenta magnetnogdipola. Kako se x komponenta magnetnog dipola poveæava, èestice æe boljepratiti spoljašnje magnetno polje koje je postavljeno u pravcu x ose. Takoone imaju manju potencijalnu energiju i sistem postaje stabilniji. Poèetniparametar u simulaciji je ugao rotacije prstena koji mora biti manji odugaonog koraka izmeðu dve susedne èestice. Kako bi se ravnomerno ispi-tao ceo ugaoni korak, simulacije su vršene na svaku desetinu ugaonogkoraka, tako da su kao ulazni parametri simulacija uzeti uglovi:

�

�

� �

2

N

i

k

gde i ima vrednost od 1 do 10, N predstavlja broj èestica u sistemu, a k brojkoraka u kojem su vršena merenja.

Simulacija je napravljena tako da posmatra promene parametara kaošto su pozicije, magnetni momenti, sila, energije dipol-dipolne interakcije iinterakcije èestica sa spoljašnjim magnetnim poljem svake èestice u malomintervalu vremena. Podaci se èuvaju u folderima koji se formiraju za dati setulaznih parametara simulacije. Takoðe, program posle svakog odabranogmalog intervala vremena vizualizuje stanje sistema, èime mo�emo da pos-matramo ponašanje sistema. U sluèaju da se prsten nije prekinuo izraèunavase ekscentricitet elipse, pošto se u tom sluèaju prsten deformiše u elipsu. Napoèetku simulacije u program unosimo ulazne parametre: ugao za koji se


prsten rotira u odnosu na smer x ose (ugao rotacije prstena mora biti manjiod ugaonog koraka izmeðu dve susedne èestice), pravac i intenzitet mag-netnog polja u kojem je postavljena struktura, kao i broj èestica u strukturi.

RezultatiPuštanjem simulacije, nakon postavljanja èestica u strukturu koju

ispitujemo, èestice poèinju da se kreæu kako bi došle u stanje sa mini-malnom energijom. Rotacijom celog prstena menja se x komponentamagnetnih dipola zbog èega se menja poèetno stanje sistema. Kako se xkomponenta magnetnog dipola poveæava èestice æe bolje pratiti spoljašnjemagnetno polje koje je postavljeno u pravcu x ose. Tako one imaju manjupotencijalnu energiju i sistem postaje stabilniji.

Energija sistema

Na slici 3 predstavljena je promena energija u sistemu. Na kraju gra-fika vidimo stanje u kojem je ukupna srednja energija pojedinaène èesticeminimalna. Rotacijom celog prstena menja se x komponenta magnetnihdipola zbog èega se menja poèetno stanje sistema. Kako se x komponentamagnetnog dipola poveæava, èestice æe imati manju energiju interakcije samagnetnim poljem, U m BB

ii� �

� �. Pri pomeranju èestica postoji naglo pove-


Slici 3. Grafik zavisnosti promene srednje vrednosti energije koju poseduje èvrstasfera zbog dipol-dipol interakcije i interakcije magnetnog polja i sistema èestica uzavisnosti od broja koraka uraðenih u simulaciji. Sistem se sastoji od jedanaestèvrstih sfera, N = 11, prsten je zarotiran za ugao � = 0.514, dok je magnetno poljeu koje je sistem ubaèen B = 9 arbitrarnih jedinica.

Figure 3. Graph of the dependence of the change in the mean energy value of thesolid sphere due to the dipole-dipole interaction (full line) and the interactionbetween the magnetic field and the particle system (dashed line) depending on thenumber of steps performed in the simulation. The system consists of eleven solidspheres, N = 11, the ring is rotated by � = 0.514 while the magnetic field in whichthe system is situated is B = 9 arbitrary units.

æanje energija dipol-dipolne interakcije. Razlog za to je izlazak sistema izstanja u kojem je ova energija minimalna (Messina et al. 2014):

U r Cr

m mm r m r

rij

ij

i j

i ij j ij

ij

( )( )( )� � ��

� � �

� ��

�

�

13

3 2�

�

�

�

�

Nakon toga energija dipol-dipolne interakcije poèinje da se smanjujekao i energija interakcije magnetnog polja sa èesticom, tako da sistempoèinje da se stabilizuje. Energija dipol-dipolne interakcije neæe moæi dadostigne vrednost na poèetku, ali zbog velikog smanjenja energije koja jedobijena prilikom interakcije sa magnetnim poljem dobija se znatno ni�aukupna energija sistema od ukupne energije na poèetku simulacije (Stan-koviæ et al. 2016).

Uporeðivanjem energija konaènih konfiguracija sistema uoèeno je daona ne zavisi mnogo od ugla prstena u odnosu na x osu. Njihova razlika jereda velièine 10–5, što je zanemarljivo. Ona se linearno poveæava sa poveæa-njem ugla. Iako se energija sistema ne poveæava mnogo sa poveæanjem uglato ne va�i i za poveæanje magnetnog polja. Posmatranjem energija konaènihkonfiguracija sistema koji se nalaze pod istim pozicionim korakom, ali prirazlièitim magnetnim poljem uoèavamo da se energija menja po linearnojzavisnosti. Prilikom poveæanja magnetnog polja energija konaènih konfi-guracija se smanjuje po linearnoj zavisnosti, što vidimo na slici 4.


Slika 4. Prikazana je srednja energija dipol-dipolne interakcije i energije kojudobije sistem prilikom interakcije sa spoljašnjim magnetnim poljem, kao i ukupnaenergija koju poseduje èestica u sistemu saèinjenom od devet èestica, N = 9, gde jeprsten zarotiran za ugao od � = 0.0775.

Figure 4. The mean energy of the dipole-dipole interaction (circle) and energyobtained by the system in interaction with the external magnetic field (star), aswell as the total energy the particle possesses in a system composed of nineparticles (square); N = 9, where the ring is rotated for an angle of � = 0.0775.

Kritièno magnetno polje

Kritièno magnetno polje je intenzitet polja koji je potrebno dovesti dabi se prsten prekinuo.

Variranjem ugla za koji je zarotiran prsten u odnosu na poèetanpolo�aj dobijena je velika razlika u kritiènoj vrednosti magnetnog polja. Naslici 5 mo�emo videti da je potrebno veæe magnetno polje da bi se uništioprsten saèinjen od devet kuglica koji je zarotiran za ugao od 1.5 do 2.25 radnego prsten koji je zarotiran za ugao od 4.5 do 5.5 rad. Slièni rezultati sedobijaju i za prsten saèinjen od sedam kuglica.

Konaène konfiguracije

Konfiguracija predstavlja naèin na koji se èestice postave u nekomtrenutku. Pošto posmatramo konaène konfiguracije to znaèi da posmatramonaèin na koji se èestice postave u trenutku kada se sistem stabilizuje. Pri-likom interakcije prstena saèinjenog od èestica (struktura sa minimalnomenergijom) sa magnetnim poljem, mo�e doæi do prekida prstena ili do me-njanja oblika strukture (struktura ostaje zatvorena ali promeni ekscentricitetkoji je razlièit od nule).

Posmatrane su konaène strukture od sedam èestica. Kako bi se ispitalodejstvo magnetnog polja od 0 do 10 arbitrarnih jedinica i ugla rotacije,2

7

1�

�

i, #

�

� �

2

7 10

i, vrednosti iz datih opsega po oba parametra su ravnomer-

no uzimane. U zavisnosti od spoljašnjeg magnetnog polja dobijene su raz-lièite konfiguracije.


Slika 5. Grafik zavisnosti kritiènog magnetnog polja od ugla za koji je zarotiranprsten u odnosu na x osu, #i, za strukturu saèinjenu od devet èestica, N = 9

Figure 5. Graph of the dependence of the critical magnetic field on the angle forwhich the ring is rotated in relation to the x axis, #i, for a structure composed ofnine particles, N = 9

Prva oblast faznog dijagrama pokazuje oblast u kojoj se sistem nedeformiše (slika 7A), ni pri veæem magnetnom polju. To se objašnjavauglom rotacije celog prstena. U toj oblasti sistem èestica je postavljen takoda je jedna èestica orijentisana suprotno od spoljašnjeg magnetnog polja.Obrtni moment èestice koja je orijentisana suprotno od spoljašnjegmagnetnog polja te�i da isprati kuglicu koja se nalazi ispred nje, tada se ceosistem zarotira i sistem postaje uravnote�en.

Oblast kompresije predstavlja deo faznog dijagrama u kom prsten nepuca vec dolazi do deformacije prstena (slika 7B). Prsten se deformiše takoda je samo jedna èestica orijentisana suprotno od spoljašnjeg magnetnogpolja. Èetiri èestice su tako orijentisane da svaka ima svog para èiji jemagnetni moment orijentisan surpotno. Spoljašnje magnetno polje nijedovoljno jako da razdvoji dve èestice ali omoguæava da se prsten zarotira inaspramne èestice meðusobno privuku. To se dešava jer se prsten defor-miše odnosno skuplja, a tada je rastojanje izmeðu naspramnih èesticamanje. Kada rastojanje dostigne kritiènu vrednost, izmeðu èestica se stvaraprivlaèna sila. Brzina njihovog privlaèenja je proporcionalna sili, te se


Slika 6. Fazni dijagram za N = 7 èestica. Konaène konfiguracije sistemasaèinjenog od N = 7 èestica. Znak + oznaèava da su se formirala dva lanca gdeprvi broj predstavlja broj èestica u gornjem lancu, a drugi broj predstavlja brojèestica u donjem lancu. Znak : kazuje da su gornji i donji lanac spojeni.

Figure 6. Phase diagram of N = 7 particles. The picture shows the finalconfigurations of the system made up of seven particles. The + sign indicates thattwo chains were formed, where the first number represents the number of particlesin the upper chain, and the second number represents the number of particles in thelower chain. The sign : indicates that the upper and lower chains are connected.

èestice u zavisnosti od spoljašnjeg magnetnog polja br�e privlaèe sa pove-æanjem istog.

U treæoj oblasti dolazi do stvaranja jednog lanca sa èesticom uz lanac(slika 7C). Pri svim vrednostima ugla rotacije i pri spoljašnjem polju od okoB = 2 dolazi do pucanja lanca na samo jednom mestu. Lanac puca na mestugde dve susedne èestice imaju dipole koji su orijentisani suprotno, a te�e daisprate ostale èestice koje su im susedne. U okolini ugla u kojem je samojedna èestica orijentisana suprotno od spoljašnjeg magnetnog polja dolazido nepovoljnog polo�aja èestica. Energija spoljašnjeg magnetnog polja jenedovoljna da zarotira lanac tako da èestice budu u povoljnom polo�aju.Njihovi magnetni momenti postanu paralelni kako bi došlo do pucanjalanca na jednom mestu. Takoðe je u ovoj okolini potrebno jaèe magnetnopolje da prsten pukne na dva mesta.

Nakon daljeg praæenja stanja u spoljašnjem magnetnom polju, pridaljem njegovom poveæanju dolazi do pucanja prstena na dva mesta. Tadase stvaraju dva lanca koji se ili privuku ili odbiju, a pri odreðenim vred-nostima spoljašnjeg magnetnog polja i ugla rotacije prstena dolazi do spa-janja nastalih lanaca i do formiranja konfiguracije koja predstavlja stabilnostanje sa minimumom energije za manji broj èestica.

Prvi odnos pucanja prstena na dva lanca je 2 prema 5 (slika 7 D), to jekonfiguracija u kojoj prsten puca na dva mesta pri èemu se stvaraju dvalanca od po 2 i 5 èestica, ta dva lanca se meðusobno odbijaju i postajuparalelni prateæi spoljašnje magnetno polje. Pucanje prstena se dogaða nadva mesta, tada dve èestice na vrhu imaju komponente magnetnog dipolatakve da im se dipoli isprate i tada su orijentisane suprotno od njihovihsuseda, što omoguæava pucanje prstena sa obe strane ovog para èestica. Safaznog dijagrama se mogu uoèiti minimalna i maksimalna vrednost spo-ljašnjeg magnenog polja pri kojem prsten puca na dva mesta i nastaju dvalanca. Takoðe, pri poveæanju magnetnog polja nakon ovog stanja dolazi dostvaranja dva nova stanja od kojih je jedno privlaèno a drugo odbojnostanje. Konfiguracija u kojoj je privlaèna sila izmeðu dva lanca dovoljnovelika da se oni sastave nastaje za opseg ugla u kojem su dve èesticesuprotno orijentisane od spoljašnjeg magnetnog polja ili kada su projekcijedipolnog momenta tako ureðene da lanac pukne na dva mesta. Izmeðu dvalanca deluje privlaèna sila i oni se spajaju (slika 7E). Ako je dipolni momentjedne èestice orijentisan suprotno od spoljašnjeg magnentnog polja,potrebno je manje energije da lanac pukne na dva mesta i to tako da kritiènaèestica bude spojena sa po jednom èesticom sa obe strane, jer one imajupovoljne projekcije dipolnog momenta, tako da lanac baš na tom mestupuca. Tu se javljaju odbojne sile izmeðu ova dva novonoastala lanca od po3 èestice i od po 4 èestice (slika 7G). Na faznom dijagramu se moze uoèitiostrvo gde se nalazi konfiguracija od 7 èestica. Ona se mo�e smatrati kaoprelazna konfiguracija stanja 2+5 i 3:4, jer prvobitno prsten puca na dvalanca sa po 3 i 4 èestice i to je odlika konfiguracije 3:4, dok postoji i pri-vlaèna sila izmeðu ovih lanaca i oni se privuku tako da im se krajnja i po-èetna èestica oba lanca sastave. Privlaèna sila takoðe potièe iz privlaènekonfiguracije 2+5. Lanac od 7 èestica (slika 7F) nastaje pri taèno odreðenim


vrednostima spoljašnjeg magnetnog polja i ugla rotacije prstena. Ovakonfiguracija se ne javlja uvek izmeðu prethodno pomenutih konfiguracija,veæ od njih uzima povoljne osobine za nastajanje pravog lanca koji je odlikaminimuma energije za sisteme koji imaju manje èestica. Na faznom dija-gramu se vidi da je poslednja konfiguracija u nizu 3:4. Brzina formiranjaova dva lanca je proporcionalna jaèini spoljašnjeg magnetnog polja kojedeluje na prsten, tako da sa poveæanjem jaèine magnetnog polja opadavreme formiranja ova dva lanca.

Na faznom dijagramu se mo�e uoèiti još jedna kriva i ona oznaèavaminimalnu vrednost spoljašnjeg magnetnog polja pri kojem prsten puca naneku od pomenutih konfiguracija. Maksimalna vrednost polja da bi došlodo pucanja lanca na jednom mestu je ugao rotacije pri kojem je jednaèestica orijentisana suprotno od spoljašnjeg magnetnog polja. Tada se ceosistem zarotira ponovo kako bi se èestice dipolno meðusobno pratile isistem postaje uravnote�en.


Slika 7.Konfiguracije nastalepri uticaju spoljašnjegmagnetnog polja naprsten sastavljen od 7èestica kojemeðusobno interaguju.Slika prikazujeformiranje svakekonfiguracije uvremenu.

Figure 7.Configurationsresluting from theinfluence of anexternal magnetic fieldon a ring made up of 7particles interactingwith one another. Theimage shows theformation of eachconfiguration in time.

Ispitivane su konaène strukture prstena saèinjenog od devet èestica.Kako bi se ravnomerno ispitao ceo opseg magnetnog polja (od 0 do 9arbitrarnih jedinica) i ugla rotacije, # = 2� / 9, opsezi su deljeni na po devetdelova. U zavisnosti od spoljašnjeg magnetnog polja dobijene su razlièitekonfiguracije.

Struktura saèinjena od devet èestica se raspada na pet naèina u zavi-snosti od magnetnog polja u koje je ubaèena, kao i ugla izmeðu prstena imagnetnog polja. Posmatrajuæi grafik primeæuje se da konaène konfigu-racije sistema koji se nalaze u polju koje je dovoljno veliko da bi uništilostrukture, uglavnom formiraju dva lanca. Za razliku od faznog dijagrama zasedam èestica, fazni dijagram na slici 8 ne sadr�i konfiguracije pravoglanca. Posmatranjem faznog dijagrama dobijenog za sedam i devet èesticaprimeæuje se sliènost u naèinu ponašanja nakon raspadanja struktura.Odnosi izmeðu lanaca koji se dobiju su slièni. Prilikom tra�enja konaènihkonfiguracija za sistem saèinjen od devet èestica uoèava se da postoji šestrazlièitih raspodela. Pri ukljuèivanju magnetnog polja koje je malo veæe odgraniène vrednosti, nastaje struktura koja je napravljena tako da ima lanacza koji je prilepljena jedna èestica (slika 9B). Ako nastavimo sa poveæa-njem magnetnog polja dolazi do podele prstena na dva dela nakon èeganastaju dva paralelna lanca. Prelazne strukture su 2:7 i 3:6 (slika 9 i D).Naèin na koji se prsten deli je slièan kao kod prstena sa sedam èestica,


Slika 8. Fazni dijagram za N = 9 èestica. Na slici su prikazane konaènekonfiguracije sistema saèinjenog od devet èestica. Znak + oznaèava da su seformirala dva lanca, gde prvi broj predstavlja broj èestica u gornjem lancu, a drugibroj predstavlja broj èestica u donjem lancu. Znak : kazuje da su gornji i donjilanac spojeni.

Figure 8. Phase diagram of N = 9 particles. The picture shows the finalconfigurations of the system made up of nine particles. The + sign indicates thattwo chains were formed, where the first number represents the number of particlesin the upper chain, and the second number represents the number of particles in thelower chain. The sign : indicates that the upper and lower chains are connected.

odnos izmeðu broja èestica je slièan. U sluèaju za veæa magnetna poljaodnos izmeðu broja èestica u oba lanca je pribli�no jednak jedan, tj. pošto jebroj èestica u prstenu neparan, razlika izmeðu broja èestica u oba lanca æebiti jednaka jedan. Ovakve strukture se formiraju nakon ubacivanja prstenau jako magnetno polje, (slika 9E). Postoje dva simetrièna sluèaja 4:5 i 5:4.

ZakljuèakU ovom radu je posmatrano ponašanje neodijumskih kuglica u mag-

netnom polju. Neodijumske kuglice imaju stalni magnetni dipolni moment,te interaguju sa spoljašnjim magnetnim poljem. Broj kuglica koje supostavljene u magnetno polje iznosio je sedam i devet. Ovaj parametar jebiran tako da je struktura sa minimalnom energijom pre ukljuèivanja mag-netnog polja dvodimenzionalna, odnosno prsten. Zbog osobine kuglica dasu idealni dipoli, strukture saèinjene od njih se ponašaju na slièan naèin kaoneki biološki, tehnološki i teorijski interesantni sistemi.

Kretanje kuglica u magnetnom polju simulirano je metodom moleku-larne dinamike, gde se u svakom vremenskom koraku rešava Njutnova jed-naèina kretanja za svaku kuglicu ponaosob, odreðuju kinematièki parametri(brzina i ubrzanje) i u skladu sa time kuglice se pomeraju, pri èemu svaka si-mulacija radi zadati broj koraka. Ispitivanje struktura od magnetnih kuglicau spoljašnjem magnetnom polju pomoæu ovog modela omoguæava nam dapratimo silu koja deluje na kuglice. Sila nastaje usled interakcije kuglica saspoljašnjim magnetnim poljem, kao i usled dipol-dipolne interakcije meðu


Slika 9.Konfiguracije nastalepri uticaju spoljašnjegmagnetnog polja naprsten sastavljen od 7èestica kojemeðusobnointeraguju. Slikaprikazuje formiranjesvake konfiguracije uvremenu.

Figure 9.Configurationsformed during theinfluence of anexternal magneticfield on a ring madeof seven particles,which at the sametime interact witheach another. Theimage shows theformation of eachconfiguration in time.

kuglicama. Osim sila, pratimo i energiju sistema u svakom trenutku, èimeodreðujemo njegovu dinamiku. U ovom radu je ispitivan najjednostavnijisluèaj homogenog (usmereno du� x-ose koordinatnog sistema) i kons-tantnog polja (Bx = const). Variranjem ugla za koji je prsten zarotiran uodnosu na poèetni polo�aj i jaèine magnetnog polja, pokriven je ceo opsegza ugao i opseg od 0 do 9 arbitrarnih jedinica za magnetno polje, pri èemusu oba opsega pokrivena ravnomerno. Prilikom ispitivanja primeæeno je dase vrednost kritiènog magnetnog polja drastièno menja u zavisnosti od uglaza oba ispitivana sistema. Mnogo je te�e prekinuti prsten saèinjen od devetkuglica koji je zarotiran za ugao od 1.5 do 2.25 rad nego prsten koji jezarotiran za ugao od 4.5 do 5.5 rad. Takoðe, primeæeno je da vrednostspoljašnjeg magnetnog polja pri kojem puca prsten zavisi od broja èesticakoje su orijentisane suprotno od spoljašnjeg magnetnog polja.

Tokom rada došli smo do saznanja da su ovi sistemi veoma komplek-sni i da se pri taèno odreðenim vrednostima spoljašnjeg magnetnog polja iugla rotacije prstena javljaju stabilne konfiguracije. Prav lanac, tipièan zasisteme sa manjom energijom i sa manjim brojem èestica, otkriven je usistemu od 7 èestica, a u sistemu od 9 èestica nije. Takoðe, prav lanac pred-stavlja stabilnu konfiguraciju koja se javlja izmeðu taèno dve konfiguracije,uzimajuæi osobine svake od njih. Prav lanac se ne mora uvek naæi izmeðudve konfiguracije, ali one predstavljaju preduslov za nastanak lanaca. Izme-ðu svakih konfiguracija se javlja odreðena deformacija jer struktura imaosobine obe kljuène konfiguracije izmeðu kojih se nalazi i ne mo�e da doðedo pucanja lanca.

Kao kljuèni rezultat nacrtani su fazni dijagrami koji pokazuju sverazlièite strukture koje se javljaju za zadati fazni prostor �(B). Tako mo�e-mo za zadato � pratiti dinamiku struktura, odnosno koje sve strukture sejavljaju sa poveæanjem magnetnog polja. Va�i i obrnuto, mo�e se na fik-snom B zavisno od � pratiti koje se strukture pojavljuju. Primeæeno je da sufazni dijagrami slièni za sedam i devet kuglica. Razlog za to je nesimetriè-nost prstena na poèetku simulacije. Oba sistema su saèinjena od neparnogbroja kuglica zbog èega se dipolni momenti na slièan naèin postavljaju uodnosu na magnetno polje.

Dalja istra�ivanja na ovu temu bi ukljuèivala posmatranja sistemaèestica u nehomogenom i vremenski promenljivom polju.

Zahvalnost. Zahvaljujemo se svojim mentorima dr Igoru Stankoviæu,višem nauènom saradniku i Miljanu Dašiæu, doktorantu, èlanovima La-boratorije za primenu raèunara u nauci Instituta za fiziku Univerziteta uBeogradu. Takoðe, zahvaljujemo se rukovodiocu seminara fizike VladanuPavloviæu, doktorantu Prirodno-matematièkog fakulteta Univerziteta uNišu. Pomenutim saradnicima IS Petnica i rukovodiocu našeg seminarazahvalni smo na korisnim savetima i nesebiènoj pomoæi prilikom orga-nizacije i realizacije projekta.

Ovo istra�ivanje je delom izvedeno kao deo obrazovnih aktivnosti uokviru Horizon 2020 projekta DAFNEOX podr�anog od strane Evropskekomisije (br. ugovora 645658).


Literatura

Kun F., Wen W., Pál K. F., Tu K. N. 2001. Breakup of dipolar ringsunder a perpendicular magnetic field. Physical review E, 64:061503.

Messina R., Khalil A. L., Stankoviæ I. 2014. Self-assembly of mag-netic balls: From chains to tubes. Physical review E, 89: 011202.

Messina R., Stankovic I. E. 2015. Self-assembly of MagneticSpheres in Two Dimensions: the Relevance of Onion-like Struc-tures. EPL, 110: 46003.

Stankoviæ I., Dašiæ M., Messina R. 2016. Structure and cohesive en-ergy of dipolar helices. Soft matter, 12: 3056.

Helena Miljkovæ and Aleksa Denèevski

Molecular Dynamics Investigation of 2D StructuresComposed of Magnetic Hard Spheres in ExternalMagnetic Field

Neodymium particles represent almost ideal magnetic dipoles. Thismodel allows us to track the movement of particles in the external magneticfield and to see the mutual dipole-dipole interaction and the interaction be-tween particles and the external magnetic field. The main aim of the projectwas to examine the dynamics of the dipoles in an external magnetic fieldstarting from the ring, a structure with a minimum energy before switchingon the magnetic field, formed by N (4 �N �13) particles. It has been shownthat when this many particles are placed close enough to each other to inter-act, their steady state (a state with a minimum potential energy) is a ring.One of the goals of the project was to determine the minimum magneticfield strength required to break the ring structure, and also to determine thefield in the parameter space �( )B where some stable structures are formed.The angle of rotation of the ring relative to the direction of the magneticfield at the beginning of the simulation is labeled �, and the magnetic fieldstrength is marked B. All particles, their mutual interaction and interactionwith the external magnetic field are modeled with simulations. Using thesesimulations we monitored the behavior of particles depending on thestrength of the external magnetic field B and the rotation angle �. This pa-per investigates the dynamics of two-dimensional structures composed of 7and 9 particles.


Helena Miljkoviæ i Aleksa Denèevski Ispitivanje 2D...

Documents

Transcript of Helena Miljkoviæ i Aleksa Denèevski Ispitivanje 2D...