ANGULOS

Definición.- es la figura geométrica que está formada por dos rayos que tienenel mismo origen.Dos rectas no paralelas en un mismo plano determinan un ánguloRepresentación grafica y elementos

DenominaciónPor la letra del vértice entre las otras dos <BAC, <BACPor la letra del vértice <A, ángulo APor una letra símbolo o numero α , ángulo α

UNIDADES DE MEDIDA

RADIAN.-(rad): es la medida de un angula cuya longitud del arco subtendido esigual al radio del circulo

GRADO SEXAGESIMAL.- si a una revolución completa se la divide entre 360partes iguales a cada una de estas partes se las denomina grados (°)•Revolución=360° = 2 π RADLos submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto y el segundo

1 minuto = 1° / 60

SEXAGESIMAL RADIAN

360° 2 π

270° 3/2π

180° π

90° π /2

60° π/3

45° π/4

30° π/6

CUADRO DE EQUIVALENCIAS PARA ANGULOS

MEDIDA DE UN ANGULO

Es un número que representa las veces que está contenida la unidad de medida enel ángulo

CONGRUENCIA DE UNAGULO

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida si:

M < A = π/3 RAD

M <B = π/3 RAD

M<A = M<B

CLASES DE ANGULOS

POR SU MEDIDA

•Agudo.- su medida es menor de 90°

•Recto su medida es π

Obtuso.- su medida es mayor de 90° y menor de 180°

•Ángulos de lados coloniales (llanos).- su medida es igual a 2π

•Ángulos complementarios.- son dos ángulos cuya suma de medidas es igual a 90° a cada ángulo se lo llama suplementarios del otro

•Ángulos suplementarios.- son dos ángulos cuya suma de medidas es igual a 180° a cada uno se lo llama el suplemento del otro

POR SU POSICION

•Adyacentes.- son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común.

•Consecutivos.- son ángulos que tienen un lado en común y se forman siguiendo un mismo sentido.

•Opuestos por vértice.- son dos ángulos no adyacentes formados cuando dos rectas se intersecan.

α y γ

β y δ

•Ángulos formados por dos rectas cortadas por una transversal

Dos rectas son perpendiculares si y solo si , se intersecan formando un ángulo de 90°

L1 paralela a, L2

PERPENDICULAR DE UN PUNTO A UNA RECTA.- es el segmento trazado desde el punto hasta la recta y forma con ella un ,ángulo de 45°

DISTANCIA DE UN PUNTO .- es la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta

PROYECCIÓN ORTOGONAL

DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA .- es el pie de perpendicular trazado por dicho puno a la recta

M punto a proyectarse

M ,´M proyectante

´M proyección de M en la recta A Á

DE UN SEGMENTO SOBRE UNA RECTA

Es el segmento comprendido entre las proyecciones de los puntosextremos del segmento a proyectarse

A P proyección del segmento P Q en la recta L

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.- es la recta perpendiculartrazada por el punto medio de un segmento

SIMETRIA

CON RESPECTO A UNA RECTA .- se dice que dos puntos A y B son simétricos con respecto a una recta si la recta es la mediatriz del segmento

CON RESPETO A UN PUNTO.- dos puntos P ´P son simétricos con respecto a un punto O si O es el punto medio del segmento P ´P

BISECTRIZ

es el rayo que divide a un angulo dado en dos angulos de igual medida

PROPIEDADES

Postulado .- si en un plano, dos rectas son cortadas por una transversal, y si a una suma de medidas de los ángulos internos formados de un mismo lado es igual a π rad, las dos rectas son paralelas : caso contrario, las dos rectas se intersecan en dos puntos

L3 L3

1 L1 1 L1

2 L2 2 L2

SI: m 1 + m 2 = π Si: m 1 + m 2 ≠ π rad

L1 ll L2 L1 y L2 se intersecan

TEOREMA # 1

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes .

H) 1 y 2 opuestos por el vértice

3 T) 1 = 2

2 1 D) m 1 + m 3 = π rad

m 2 + m 3 = π rad

m 1 + m 3 = m 2 + m 3

m 1 = m 2

1 ˜ 2

TEOREMA # 2

Los ángulos alternos internos , alternos externos y correspondientes formados en dos rectas paralelas cortadas por una transversal , son congruentes .

L3

1 2 L1 H) L1 ll L2

3 4 Ta) 3 = 6

Tb) 1= 8

Tc) 1 = 5

5 6 L2

7 8

Da) m 3 – m 5 = πrad Db) m 1 + m 3=πrad

m 5 + m 6 = π rad m 6 + m 8=πrad

m 3 +m 5 = m 5 - m 6 m 1 + m 3 = 6 + 8

m 3 = m 6 m 3 = m 6

=> 3 = 6 m 1= m 8

1= 8

Dc) m 1 = m 8

m 5 = m 8

m 1 = m 5 1 ˜ 5

TEOREMA # 3

Las bisectrices de dos ángulos suplementarios son perpendiculares entre si .

A H) XBE y EBY suplementario

E BA bisectriz XBE

BC bisectriz EBY

C T) BA BC

X Y

B

D) 2m 1 + 2m 2 = πrad

m 1 + m 2 = πrad

m ABC = πrad BA BC

TEOREMA # 4

Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice , son colineales .

H) AOB y COD Opuestos por el vértice

A O C OX bisectriz AOB

OY bisectriz COD

X 2 3 1 Y

2 4 1 T) X-O-Y Colineales

B D

D) 2m 1 + 2m 2 + m 3 + m 4 = 2πrad

m 3 = m 4

2m 1 + 2m 2 + 2m 3 = 2πrad

m 1 + m 2 + 2m 3 =πrad

X-O-Y colineales

TEOREMA # 5

Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos , son congruentes

( paralelos en el mismo sentido ) o suplementarios .

L3 L4

1 2 4 L1 H) L1 ll L2 ; L3 ll L4

Ta) 1 ˜ 3

Tb) m 1 + m 5 = πrad

5 3 L2

Da) m 1 = m 4 Db) m 2 + m 4 = πrad

m 3 = m 4 m 2 = m 5

m 1 = m 3 m 4 = m 1

1= 3 m 5 + m 1 = πrad

TEOREMA # 6

Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares , son congruencia o suplementarios .

5 Ta) 1 = 2

1 2 1 L1 Tb) 3 = 4

4 Tc) m 1 + m 4 =πrad

3 1 L2

Da) m 2 + m 5 =π /2rad Db) m 1 + m 3 =π rad

m 5 + m 1 = π/2rad m 2 + m 4 =πrad

m 5 + m 1 = m 2 +m 5 m 3 = m 4

m 1 = m 2 3 = 4

1 = 2

Dc) m 1 + m 3 = rad

m 3 = m 4

m 1 + m 4 = rad