He phuong trinh (chuong 2)

CHƯƠNG 2

2 3 7 1

3 9 2 3

4 5 0

x y z

x y z

x y z

− + = + − =− + − =

Đại Số Tuyến Tính

∑ Đại Số Tuyến Tính

∑ §5: Hệ phương trình tuyến tính

,(2.1)




Ví dụ: Cho hệ phương trình

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

2 3 5 2

2 3 4 0

3 8 5 3 2

4 2 7 9

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

− + − =− − + + = + − + = − − + − =



∑§5: Hệ phương trình tuyến tính


1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

2 3 5 2 2 3 5 1

2 3 4 0 1 2 3 4

3 8 5 3 2 3 8 5 3

0 4 2 74 2 7 9

x x x x

x x x xA

x x x x

x x x

− + − = − − − − + + = − − ↔ = + − + = − − − −− + − =





1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

2 3 5 2 2

2 3 4 0 0

3 8 5 3 2 2

94 2 7 9

x x x x

x x x xB

x x x x

x x x

− + − = − − + + = ↔ = + − + = − − − + − =





1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

2 3 5 2

2 3 4 0

3 8 5 3 2

4 2 7 9

2 3 5 1 2

1 2 3 4 0

3 8 5 3 2

0 4 2 7 9

bs

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

A

− + − =− − + + = + − + = − − + − =

− − − − ↔ = − − − −




Ví dụ:2 7 1 9

3 1 4 0

5 9 2 5

x

y

z

− =

2 7 9

3 4 0

5 9 2 5

x y z

x y z

x y z

+ + =⇔ − + = + + =



∑ §5: Hệ Grame



∑ §5: Hệ Grame

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:



∑ §5: Hệ Grame



∑ §5: Hệ Grame

Bài tập: Giải hệ phương trình sau:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1

2 3 5

3 2 1

x x x

x x x

x x x

− + = + − = − + =

1 1 2

2 1 3

3 2 1

D

−= −

−

1

1 1 2

5 1 3

1 2 1

D

−= −

−

2

1 1 2

2 5 3

3 1 1

D = −

3

1 1 1

2 1 5

3 2 1

D

−=

−

= -19= -19

= -29= -29

= -9= -9

= -8= -8



∑ §5: Hệ Grame

11

22

33

198

298

98

Dx DDx DDx D

−= = −−= = −−= = −



∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss

Các phép biến đổi tương đương hệ phương trìnhCác phép biến đổi tương đương hệ phương trìnhNhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của hệ.hệ.Đổi chỗ hai PT của hệ.Đổi chỗ hai PT của hệ.Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào PT khác của hệ.PT khác của hệ.

0λ ≠

0λ ≠

1

2 3 2

2 5

x y z

x y z

x y z

− + = + − = + + =

1

2 3 2

2 4 2 10

x y z

x y z

x y z

− + =⇔ + − = + + =

2 4 2 10

1

2 3 2

x y z

x y z

x y z

− + =⇔ + + = + − =




Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ PT chính là các phép BĐSC trên dòng của ma trận bổ sung tương ứng..




Xét hệ phương trình tổng quát sau:




Ta có ma trận bổ sung tương ứng




11 12 1 1 1

22 2 2 2

' ' ... ' ... ' '

0 ' ... ' ... ' '

... ... ... ... ... ... ...

' 0 0 ... ' ... ' '

0 0 ... 0 ... 0

.. .. .. .. .. .. ..

0 0 ... 0 ... 0 0

r n

r n

r r r n r

a a a a b

a a a b

A a a b

k

=

Bằng các phép BĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng:




Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT

11 1 12 2 1 1 1

22 2 2 2 2

1 2

' ' ... ' ... ' '

' ... ' ... ' '

... ... ... ... ...

' ... ' '

0 0 ... 0 ... 0

r r n n

r r n n

r r r r n n r

r n

a x a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x b

x x x x k

+ + + + + = + + + + = + + = + + + + + =




Khi đó ta có: 1. Nếu thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy

ra hệ PT vô nghiệm. 2. Nếu thì hệ có nghiệm:

a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiệm duy nhất. b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số.

0k ≠

0k =




a. Khi r = n (số ẩn) thì hệ PT (II) viết dưới dạng:

11 1 12 2 1 1 1

22 2 2 2 2

' ' ... ' ... ' '

' ... ' ... ' '

... ... ... ... ...

' ... ' '

... ... ...

' '

r r n n

r r n n

rr r rn n r

nn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x b

a x b

+ + + + + = + + + + = + + =

=




b. Khi r < n ta chuyển (n – r) ẩn sang vế phải của hệ PT ta được hệ PT sau:

Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó giải các ẩn còn lại theo các tham số đó.

11 1 12 2 1 1( 1) 1 1 1

22 2 2 2( 1) 1 2 2

( 1) 1

' ' ... ' ' ... ' '

' ... ' ' ... ' '

... ... ... ... ...

' ' ... ' '

r r r r n n

r r r r n n

r r r r r r r n n r

a x a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x b

+ +

+ +

+ +

+ + + = − − − + + + = − − − + = − − − +




2 1

4 1

5 1

24

h hh hh h

−+− →

….




Vậy hệ phương trình




sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung về dạng ma trận hình thang:

...bsA → →




Bài Tập: Giải hệ phương trình:

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

1 2 3 4

2 2

2 3 2 2

3 4 5 1

2 3 0

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

− + + = + − − = + − = −− + + − =




2 2 1

4 4 1

2

1 1 2 1 2

0 3 7 4 2

0 3 4 5 1

0 0 4 2 2

= −= +

− − − − → − − −

h h hh h h

3 3 2

1 1 2 1 2

0 3 7 4 2

0 0 11 1 1

0 0 4 2 2

= −

− − − − → − −

h h h

1 1 2 1 2

2 1 3 2 2

0 3 4 5 1

1 1 2 3 0

− − − − − − −

4 4 311 4

1 1 2 1 2

0 3 7 4 2

0 0 11 1 1

0 0 0 18 18

= −

− − − − → − −

h h h

HD:

…




Bài Tập: Giải hệ phương trình:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 5 1

3 4 3 1

4 7 1

2 5 5 8 2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

− − + =− + + − = −− + + − = − − − + =




1 ( ) 3 ( ) 4bsm r A r A+ = − ⇒ = ≠ = ⇒

2

1 2 1 1 1

0 1 3 2 2

0 0 1 2 3

0 0 0 1 1

bsA

m m

− = − − − −

1 ( ) ( ) 3bsm r A r A n+ = ⇒ = = < ⇒

* Biện luận theo m số nghiệm của hệ:

2

2 1

3 2 2

2 3

( 1) 1

x y z t

y z t

z t

m t m

+ − + = + + = − − = − = −

Hệ vô nghiệm

Hệ có VSN

Hệ có Ng duy nhất1 ( ) ( )bsm r A r A n+ ≠ ± ⇒ = = ⇒




2 2 1

2 5 3 0

2 3 3

1

x y z t

x y z t

y z t

x y z mt

+ − + = + + + = − − = − + + =

Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình




1 2 1 2 1

0 1 5 3 2

0 0 7 0 5

0 0 0 7 77 43

bsA

m

− − − → − −

Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp

11 ( ) 3 ( ) 4bsm r A r A= ⇒ = < = ⇒> hệ vô nghiệm

11 ( ) ( ) 4bsm r A r A≠ ⇒ = = ⇒> hệ có nghiệm duy nhất




3 2 1

2 3 2

3 4 2 1

x y z

x y mz

x y z

+ + =− + + = − + =

Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình



∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất




Dạng ma trận của phương trình tuyến tính thuần nhất là

AX=0. (2.2.1)




11 12 1

21 22 2

1 2

.. 0

.. 0

.. .. .. .. ..

.. 0

n

nbs

m m mn

a a a

a a aA

a a a

=

Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan tâm hạng của ma trận hệ số

Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ sung




Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp: Hệ có nghiệm duy nhất

Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương trình

Hệ có vô số nghiệm Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ

phương trình




Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy nhất đó là nghiệm tầm thường: (0,0,…,0). Ta gọi hệ thuần nhất chỉ có nghiệm tầm

thường. Nếu hệ có vô số nghiệm thì lúc đó ngoài

nghiệm tầm thường hệ còn có nghiệm khác nữa. Ta gọi hệ thuần nhất có nghiệm không

tầm thường.




Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường.




1 2 1

0 3 1

0 0 2

A

m

− → +

2 ( ) 3m r A= − ⇒ <

Ta có:

Biến đổi

sơ cấp

Do đó với

Vậy với thì hệ có nghiệm không tầm thường

2m =−




Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường.




Ta có 1 2 1

det( ) 2 1 3

1 1

A

m

−= −

− −

(3 6) 0m= + =

2m⇔ = −

He phuong trinh (chuong 2)

Documents

Transcript of He phuong trinh (chuong 2)