Havasi Agnes ELTE TTK, Alkalmazott Anal zis es Sz am t … · A Richardson-extrapol acio es...
Transcript of Havasi Agnes ELTE TTK, Alkalmazott Anal zis es Sz am t … · A Richardson-extrapol acio es...
A Richardson-extrapolacio es alkalmazasai
Havasi Agnes
ELTE TTK, Alkalmazott Analızis es Szamıtasmatematikai Tanszek esMTA-ELTE Numerikus Analızis es Nagy Halozatok Kutatocsoport
Devenyi Dezso emlekules, Budapest, 2019. november 18.
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 1 / 18
Vazlat
A Richardson-extrapolacio (RE) modszere
Elmeleti eredmenyek- Konvergencia- Abszolut stabilitas
Alkalmazasok (hullamterjedesi modell)
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 2 / 18
A Richardson-extrapolacio modszere
A Richardson-extrapolacio modszere
KDER Cauchy-feladata:y ′(t) = f (t, y), t ∈ [0,T ]y(0) = y0
(1)
Definialjuk [0,T ]-n a kovetkezo ket racshalot:
Ωτ := tn = nτ : n = 0, 1, . . . ,Nt, ahol Nt = T/τ, (2)
Ωτ/2 := tk = kτ/2 : k = 0, 1, . . . , 2Nt. (3)
Jelolje a megfelelo numerikus megoldasokat a durva racs t∗ pontjabanz(t∗) ill. w(t∗). Ha y(t) (p + 1)-szer folyt. differencialhato, akkor
y(t∗)− z(t∗) = K · τp +O(τp+1), es (4)
y(t∗)− w(t∗) = K · (τ/2)p +O(τp+1). (5)
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 3 / 18
A Richardson-extrapolacio modszere
K -t kikuszobolve az
yRE(t∗) :=2pw(t∗)− z(t∗)
2p − 1(6)
approximaciohoz jutunk, amely (p + 1)-ed rendben kozelıti a pontosmegoldast.
A fenti modon szamolva a kombinalt megoldast nem hasznaljuk fel atovabblepeshez (passzıv RE).
Masik lehetoseg: a durva racs minden tn idopontjabol a finom es a durvaracson is a kombinalt megoldasbol mint kezdeti ertekbol lepunk tovabb(aktıv RE).
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 4 / 18
A Richardson-extrapolacio modszere
A Richardson-extrapolacio ket valtozata
Passzıv RE:
y0
z1
w1
z2
w2
...
...
yRE ,1 yRE ,2
Aktıv RE:
y0
z1
w1
yRE ,1z2
w2
yRE ,2 ...
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 5 / 18
A Richardson-extrapolacio elmeleti vizsgalata
Konvergencia
Passzıv RE: ha a mogottes (p-ed rendu) modszer konvergens(feltettuk), akkor a passzıv RE-val kombinalva is az lesz(γ1 + γ2 = 1!).
Mi mondhato el az aktıv RE-rol?
Tetel (Farago, Havasi, Zlatev, 2011): Tegyuk fel, hogy f a masodikvaltozojaban lipschitzes, azaz
‖f (t, yn)− f (t, y∗n )‖ ≤ L‖yn − y∗n‖
valamely L konstans mellett. Ekkor az explicit Runge-Kutta + aktıvRE modszer konvergens.
Tetel (Farago, Havasi, Zlatev, 2013): Tegyuk fel, hogy f a 2.valtozojaban lipschitzes. Ekkor a diagonalisan implicit Runge-Kutta +aktıv RE modszer konvergens.
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 6 / 18
A Richardson-extrapolacio elmeleti vizsgalata
Stabilitas rogzıtett racson
A passzıv RE megorzi a mogottes modszer abszolut stabilitasitulajdonsagait.
Az aktıv RE javıthat es ronthat is a stabilitason:- A kozepponti modszer RE nelkul A-stabil, RE-val kombinalvaazonban nem- Implicit Euler: onmagaban es a RE-val is L-stabil- Altalanos θ-modszer: erosen A-stabil, ha Θ ∈ (1/2, 1], mıg RE-valcsak akkor erosen A-stabil, ha θ ∈ [2/3, 1].- Szamos Runge–Kutta-modszernel igazoltuk a stabilitasi tartomanymegnovekedeset.
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 7 / 18
Alkalmazasok
1 KDER megoldasa:
Egyszerusıtett globalis CO2-modell (Brajnovits Brigitta)Legkorkemiai modell (Farago Istvan, Zahari Zlatev)
2 PDER → terbeli diszkretizacio utan KDER → passzıv/aktıv REalkalmazasa az idobeli integralas pontossaganak novelesere:
Uzemanyagcella-modell (Horvath Robert, Szabo Tamas)Reakcio-diffuzios modellek biokemiai alkalmazasokkal (Lagzi Istvan,Mona Tamas)Hullamterjedes modellezese (Ehsan Kazemi)
3 PDER, ter- es idobeli Richardson-extrapolacio
Advekcios feladat megoldasa (Farago Istvan, Zahari Zlatev)
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 8 / 18
Hullamterjedes modellezese
Hullamterjedesi jelensegek modellezese
Tesztfeladat:y ′(t) = −iνy(t), t ≥ 0
y(0) = y0(7)
ahol ν ∈ IR adott. Legyen σ := ντ .Pontos megoldas: y(t) = exp(−iνt)y0 ⇒ y(tn + τ) = exp(−iσ)y(tn).Amplifikacios tenyezo: Re = exp(−iσ).Numerikus modszer alkalmazasa: yn+1 = R(σ)yn. A modszer hibajajellemezheto a kovetkezo hanyadossal:
E (σ) =R(σ)
Re. (8)
Jelolje ϕ az E (σ) komplex szam iranyszoget, ekkor
E (σ) = |E (σ)| exp(iϕ) (9)
|E (σ)| = |R(σ)| kozelebb van 1-hez ⇒ kisebb disszipacioϕ kozelebb van 0-hoz ⇒ kisebb fazishiba.
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 9 / 18
Hullamterjedes modellezese
Optimalis DIRK modszer konstrualasa
Kerdes: felhasznalhato-e a RE nagy pontossagu, kis disszipacioju esfazishibaju idointegralasi modszerek konstrualasara?
Mogottes modszer: DIRK (diagonally implicit Runge–Kutta) modszer.
Ket megkozelıtes:1) Optimalizalas a RE alkalmazasat megelozoen: meghataroztuk azt aketlepcsos, harmadrendu semat, amelyre az
Err(T ) =
∫ T
0|R(σ)− exp(−iσ)|dσ (10)
hiba minimalis T = 2 eseten.→ A kapott sema: DIRK32 modszer, amelyet a RE-val kombinalva anegyedrendu DIRK32RE modszert nyertuk.
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 10 / 18
Hullamterjedes modellezese
DIRK32 vagy DIRKRE32?
2) Optimalizalas a kombinalt DIRK + RE semara: a DIRK modszeregyutthatoit ugy hatarozzuk meg, hogy a kombinalt DIRK + REmodszer legyen a leheto legkisebb disszipacioju es fazishibaju.Ehhez Err(T ) helyett a kovetkezo integralt minimalizaltuk:
Err(T ) =
∫ T
0|RRE (σ)− exp(−iσ)|dσ (11)
ahol
RRE (σ) =2pR(σ/2)2 − R(σ)
2p − 1(12)
a kombinalt DIRK + RE modszer numerikus amplifikacios tenyezoje.Az eredmenyul kapott sema azonban a DIRK32-tol nem ter el lenyegesen.
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 11 / 18
Hullamterjedes modellezese
Hullamanalızis: DIRK32RE es mas negyedrendu modszerek
0 5 10 15
σ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
|R(σ
)|
(a) Amplifikacios tenyezo
0 1 2 3
σ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
φ
(b) Fazishiba
Kek: DIRK43,Rozsaszın: DIRKRE43,Piros: DIRK32RE,Zold: SDIRK
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 12 / 18
Hullamterjedes modellezese
Numerikus kıserletek
Linearis advekcios egyenlet:
∂u
∂t= −c
∂u
∂x, x ∈ [0, 500], t ∈ [0, 300] (13)
Kezdeti fuggveny (erosen oszcillalo):
u0(x) = exp
(−(x − xm)2
b2
)[cos(2πk1(x−xm))+cos(2πk2(x−xm))] (14)
ahol xm = 90, b = 20, k1 = 1/(8∆x), k2 = 1/(16∆x), ∆x = 1.Advekcios sebesseg: c = 1.CFL szamok (c∆t/∆x): 0.5, 1, 1.5, 2.Terbeli diszkretizacio: hatodrendu modszerrel.A terdiszkretizacio nagy pontossaga miatt a hibak elsosorban az idobelidiszkretizaciobol erednek.
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 13 / 18
Hullamterjedes modellezese
A linearis advekcios egyenlet numerikus megoldasa
360 380 400 420
x
-1
0
1
2
3
u(x)
(a) CFL = 0.5
360 380 400 420
x
-1
0
1
2
3
u(x)
(b) CFL = 1.0
360 380 400 420
x
-1
0
1
2
3
u(x)
(c) CFL = 1.5
360 380 400 420
x
-1
0
1
2
3
u(x)
(d) CFL = 2.0Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 14 / 18
Hullamterjedes modellezese
Diszkret L2-normabeli hibak (t = 300)
up: pontos megoldasunum: numerikus megoldas
ErrL2 =
(∫ xmax
0(up − unum)2
)1/2
(15)
CFL DIRK32 DIRK43 SDIRK4 DIRK32RE DIRKRE43RE0.5 2.5635 1.3603 1.8970 0.0888 0.91551.0 3.9441 6.1071 3.7469 1.3672 3.31681.5 4.6943 5.8264 4.4248 2.9808 4.17972.0 5.0303 7.4117 4.8473 3.6353 4.0986
A legkisebb hibat minden esetben a DIRK32RE modszerre kaptuk. Ez amodszer meg az otodrendu DIRKRE43RE modszert is felulmulta...
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 15 / 18
Tovabbi tervek
Ismetelt es tobbszoros RE
Elmeleti eredmenyeink kiterjesztese tovabbi mogottes modszerekre(altalanos RK modszer)
A RE alkalmazasi lehetosegei PDE rendszerekben
A RE-val kapott kombinalt modszerek kvalitatıv tulajdonsagai
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 16 / 18
Kiemelt publikacioink
Farago I., Havasi A., Zlatev Z.: The convergence of diagonally implicit Runge-Kuttamethods combined with Richardson extrapolation, COMPUTERS AND MATHEMATICSWITH APPLICATIONS 65:(3) pp. 395-401. (2013)
Zlatev Z., Dimov I., Farago I., Georgiev K., Havasi A., Ostromsky T.: Application ofRichardson extrapolation for multi-dimensional advection equations, COMPUTERS ANDMATHEMATICS WITH APPLICATIONS 67:(12) pp. 2279-2293. (2014)
Zlatev Z., Dimov I., Farago I., Georgiev K., Havasi A.: Stability of the RichardsonExtrapolation combined with some implicit Runge-Kutta methods, JOURNAL OFCOMPUTATIONAL AND APPLIED MATHEMATICS 310: pp. 224-240. (2017)
Zlatev Z., Dimov I., Farago I., Havasi A.: Richardson Extrapolation: Practical Aspectsand Applications Berlin: De Gruyter Verlag, 2017.
Havasi A., Kazemi E.: On Richardson extrapolation for low-dissipation low-dispersiondiagonally implicit Runge–Kutta schemes, JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS358: pp. 21-35. (2018)
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 17 / 18
Koszonom a figyelmet!
Havasi Agnes A Richardson-extrapolacio vizsgalata 18 / 18