Handbook of Analysis and Its Foundations 2

8/8/2019 Handbook of Analysis and Its Foundations 2

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P r e f a c e

ABOUT T H E C H O I C E O F T O P I C SHandbook o f Ana lys i s and i t s Found a t ions h e r e a f t e r a b b r e v i a t e d H A F i s a se l f-s tudyg u i d e , i n t e n d e d f o r a d v a n c e d u n d e r g r a d u a t e s o r b e g i n n i n g g r a d u a t e s t u d e n t s i n m a t h e m a t -i cs . I t w i ll al so be u se fu l as a re fe rence t oo l fo r more a dvance d m a them at i c i an s . H A Fsu rveys ana ly s i s and re l a t ed t op i c s , w i th pa r t i cu l a r a t t en t i on t o ex i s t ence p roo fs .

H A F p r o g re s s e s fr o m e l e m e n t a r y n o t i o n s - - s e ts , f u n c ti o n s , p r o d u c t s o f s e ts - - t h r o u g hi n t e r m e d i a t e t o p ic s - - u n i f o r m c o m p l e ti o n s , T y c h o n o v ' s T h e o r e m - a ll t h e w a y t o a f ew ad -v a n c e d r e s u l ts t h e E b e r l e i n - S m u l i a n - G r o t h e n d i e c k T h e o r e m , t h e C r a n d a l l - L i g g e t t T h e -o rem, a nd o the rs . The book i s se l f -con t a ined and t hus i s we l l su i t ed fo r se l f -d i rec t ed s tudy .I t w i l l he lp t o compensa t e fo r t he d i f fe rences be tween s tuden t s who , coming in to a s i ng l eg radua t e c l a ss f rom d i f fe ren t unde rg radua t e schoo l s , have d i f fe ren t backg rounds . I be l i evetha t t he read ing o f pa r t o r a l l o f t h i s book wou ld be a good p ro j ec t fo r t he su m m er vaca t i onbe fo re one beg ins g ra dua t e schoo l in ma them at i c s . A t l eas t , th i s is t he bo ok I w i sh I h adhad be fo re I began m y g r a d u a t e s t u d i e s .

H A F i n t r o d u c e s a n d s h o w s t h e c o n n e c t i o n s b e t w e e n m a n y t o p i c s t h a t a r e c u s t o m a r i l yt a u g h t s e p a r a t e l y i n g r e a t e r d e p t h :

se t t heo ry , me t r i c spaces , ab s t rac t a lgeb ra , fo rma l l og i c , gene ra l t opo logy , rea lana ly s i s , and l i nea r and non l inea r func t i ona l ana ly s i s , p lu s a sma l l amoun t o fB a i r e c a t e g o r y t h e o r y , M a c L a n e - E i l e n b e r g c a t e g o r y t h e o r y , n o n s t a n d a r d a n a l -ysis , and d i fferent ia l equat ions .

Inc luded i n t hese cus tom ary t op i c s a re t he u sua l non cons t ruc t i ve p roo fs o f ex i s t ence o fpa tho log i ca l ob j ec t s . Un l ike mo s t ana ly s i s books , however , H A F a l so i nc ludes some chap te r son se t t heo ry and l ogi c, t o exp l a in why m any o f t hose c l a ss i ca l pa tho log i ca l ob j ec t s a rep r e s e n t e d w i t h o u t e x a m p l e s .

H A F c o n t a in s t h e m o s t f u n d a m e n t a l p a r t s o f a n e n t i r e s h e lf of c o n v e n t i on a l t e x t b o o k s .In h is " au tom atho g rap hy , " Ha lm os [1985 ] sa id t ha t one good way to l ea rn a lo t o f m a th -ema t i c s is by read ing t he f i rs t chap t e rs o f m any boo ks . I have t r i ed t o improv e upontha t co l l ec ti on o f f i rs t chap t e rs by e l imina t i ng t he ove r l ap be twe en sep a ra t e books , adhe r -i ng t o cons i s t en t no t a t i on , and i n se r t i ng f requen t c ro ss - re fe renc ing be tween the d i f fe ren ttopics . H A F ' s i n t e g r a t e d a p p r o a c h s h o w s c o n n e c t i o n s b e t w e e n t o p i c s a n d t h u s p a r t i a l l yc o u n t e r a c t s t h e f r a g m e n t a t i o n i n t o s p e c i a l i z e d l i t t l e b i t s t h a t h a s b e c o m e c o m m o n p l a c e i nm a t h e m a t i c s i n r e c e n t d e c a d e s . H A F ' s i n t e g r a t e d a p p r o a c h a l s o s u p p o r t s t h e d e v e l o p m e n t

xiii


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x iv Pre f ac e

o f i n t e r d i s c i p l i n a r y t o p i c s , s u c h a s t h e " i n t a n g i b l e s " d i s c u s s e d l a t e r i n th i s p r e f a c e .T h e c o n t e n t i s b i a s e d t o w a r d t h e i n t e r e s t s o f a n a l y s t s . F o r i n s t a n c e , o u r t r e a t m e n t o f

a l g e b r a d e v o t e s m u c h a t t e n t i o n t o c o n v e x it y b u t l i tt l e a t te n t i o n t o fi n it e o r n o n c o m m u t a t i v eg r o u p s; o u r t r e a t m e n t o f g e n e r a l to p o l o g y e m p h a s i z e s d i s ta n c e s a n d m e a g e r s e ts b u t o m i t sm a n i f o l d s a n d h o m o l o g y . H A F w i l l n o t t r a n s f o r m t h e r e a d e r i n t o a r e s e a r c h e r i n a l g e b r a ,t o p o l o g y , o r l o g i c , b u t i t w i l l p ro v i d e an a l y s t s w i t h u s e fu l t o o l s f ro m t h o s e f i e l d s .

H A F i n c l u d e s a f e w " h a r d a n a l y s is " r e s u l ts : C l a r k s o n ' s I n e q u a l i t i e s , t h e K o b a y a s h i -R a s m u s s e n I n e q u a l i t i e s , m a x i m a l i n e q u a l i t i e s f o r m a r t i n g a l e s a n d f o r L e b e s g u e m e a s u r e ,e t c . H o w e v e r , t h e b o o k l e a n s m o r e t o w a r d " s o ft a n a l y s i s " i .e ., e x i s t e n c e t h e o r e m s a n do t h e r q u a l i t a t i v e r e s u l t s . P r e f e r e n c e is g i v e n t o t h e o r e m s t h a t h a v e s h o r t o r e l e g a n t o ri n t u i t i v e p r o o f s a n d t h a t m e s h w e ll w i t h t h e m a i n t h e m e s o f t h e b o o k . A fe w l o n g p r o o f s

e .g ., B r o u w e r ' s T h e o r e m , J a m e s ' s T h e o r e m a r e i n c lu d e d w h e n t h e y a r e s u m c i e n t l yi m p o r t a n t f or t h e t h e m e s o f t h e b o o k .

A s m u c h a s po s si b le , I h a v e tr i e d t o m a k e t h is b o o k c u r r e n t . M o s t m a t h e m a t i c a l p a p e r sp u b l i s h e d e a c h y e a r a r e o n a d v a n c e d a n d s p e c i a l i z e d m a t e r i a l , n o t a p p r o p r i a t e f o r a n i n t r o -d u c t o r y w o r k . O n l y o c c a s i o n a l l y d o es a p a p e r s t r e n g t h e n , s im p l i fy , o r c l a r if y s o m e b a s i c ,c l a s si c a l id e a s . I h a v e c o m b e d t h e l i t e r a t u r e f o r t h e s e i n s i g h t f u l p a p e r s a s w e ll a s I c o u l d ,b u t s o m e o f t h e m a r e n o t w e ll k n o w n ; t h a t i s e v i d e n t f r o m t h e i r i n f r e q u e n t m e n t i o n s i n t h eSc i e nc e C i t a t i on Inde x . Fo l l o w i n g a r e a f ew o f H A F ' s u n u s u a l f e a t u r e s :

9 A t h o r o u g h i n t r o d u c t i o n t o f i lt e r s i n C h a p t e r s 5 a n d 6 , a n d n e t s i n C h a p t e r 7 . T h o s et o o l s a r e u s e d e x t e n s i v e l y in l a t e r c h a p t e r s . I n c l u d e d a r e id e a s of A a r n e s a n d A n -d e n ae s [ 1 9 7 2] o n t h e i n t e r c h a n g e a b i l i t y o f s u b n e t s a n d s u p e r f i l t e r s , m a k i n g a v a i l a b l et h e a d v a n t a g e s o f b o t h t h e o r i e s o f c o n v e r g e n c e . A l s o i n c l u d e d , i n 1 5. 10 , is G h e r m a n ' s[19 8 0] ch a ra c t e r i za t i o n o f t o p o l o g i ca l co n v e rg en ces , w h i ch s i mp l i f ie s s l i g h t l y t h e c l a s s i cc h a r a c t e r i z a t i o n o f K e l l e y [ 1 9 5 5 /1 9 7 5 ].

9 a n i n t r o d u c t i o n t o s y m m e t r i c a n d p r e r e g u l a r s p a c e s, f il li ng th e c o n c e p t u a l g a p s t h a ta r e l e ft i n m o s t i n t r o d u c t i o n s t o To , T 1 , T 2 , an d T 3 s p ace s s ee t h e t ab l e i n 1 6 .1 .9 a u n i f ie d t r e a t m e n t o f t o p o l o g i c a l s p a c e s , u n i f o r m s p a c e s , to p o l o g i c a l A b e l i a n g r o u p s ,

t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e s , l o c a l l y c o n v e x s p a c e s , F r ~ c h e t s p a c e s , B a n a c h s p a c e s , a n dB a n a c h l a t t i c e s , e x p l a i n i n g t h e s e s p a c e s i n t e r m s o f i n c r e a s i n g l y s p e c i a l iz e d k i n d s o f" d i s t an ces " s ee t h e t ab l e i n 2 6 . 1.

9 c o n v e rs e s to B a n a c h ' s C o n t r a c t i o n F i x e d P o i n t T h e o r e m , d u e t o B e s s a g a [ 19 59 ] a n dM e y e r s [ 19 67 ], i n C h a p t e r 1 9 . T h e s e c o n v e r s e s s h o w t h a t , a l t h o u g h B a n a c h ' s t h e o r e mi s q u i t e e a s y t o p r o v e , a l o n g e r p r o o f c a n n o t y i e l d s t r o n g e r r e s u l t s .t h e B r o u w e r F i x e d P o i n t T h e o r e m , p r o v e d v i a v a n M a a r e n ' s g e o m e t r y - f r e e v e r s i o n o fS p e r n e r ' s L e m m a . T h i s a p p r o a c h i s p a r t i c u l a r l y i n tu i t iv e a n d e l e m e n t a r y i n t h a t i ti n vo lv e s n e i th e r J a c o b i a n s n o r t r ia n g u l a t i o n s . I t d e c o m p o s e s t h e p r o o f o f B r o u w e r ' sT h e o r e m i n t o a p u r e l y c o m b i n a t o r i a l a r g u m e n t ( in 3 .2 8 ) a n d a c o m p a c t n e s s a r g u m e n t( in 27 .19) .i n t r o d u c t i o n s t o b o t h t h e L e b e s g u e a n d H e n s t o c k i n t e g r a l s a n d a p r o o f o f t h e i r e q u iv -a l e n c e i n C h a p t e r 2 4 . ( M o r e p r e ci s e ly , a B a n a c h - s p a c e - v a l u e d f u n c t i o n i s L e b e s g u e


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x v i Preface

q u i t e d i f f er e n t , t h e y a r e n o t e n t i r e l y u n r e l a t e d A C h a s m a n y e q u i v a l e n t f o r m s , s o m e o fw h i c h a r e c o n c e r n e d w i t h c o m p a c t n e s s o r c o m p l e t e n e s s ( s e e 1 7 . 1 6 a n d 1 9 . 1 3 ) .

T h e t e r m " f o u n d a t i o n s " h a s t w o m e a n i n g s ; b o t h a r e in t e n d e d i n t h e t i t l e o f t h i s b o o k :( i) I n n o n m a t h e m a t i c a l , e v e r y d a y E n g l i s h , " f o u n d a t i o n s " r e f e rs t o a n y b a s ic o r e l e m e n -

t a r y o r p r e r e q u i s it e m a t e r i a l . F o r in s t a n c e , t h is b o o k c o n t a i n s m u c h e l e m e n t a r y s e tt h e o r y , a l g e b r a , a n d t o p o l o g y . T h o s e s u b j e c t s a r e n o t p a r t o f a n a l y s i s , b u t a r e p r e -r e q u i s i t e s f o r s o m e p a r t s o f a n a l y s i s .

( ii ) " F o u n d a t i o n s " a l so h a s a m o r e s p e c i a li z e d a n d t e c h n i c a l m e a n i n g . I t r e f e r s t o m o r ea d v a n c e d t o p i c s in se t t h e o r y ( s u c h as t h e A x i o m o f C h o i c e ) a n d t o f o r m a l lo g ic . M a n ym a t h e m a t i c i a n s c o n s id e r t h e s e t o p i c s t o b e t h e b a s i s fo r al l o f m a t h e m a t i c s .

C o n v e n t i o n a l a n a l y s i s b o o k s i n c l u d e o n l y a p a g e o r s o c o n c e r n i n g ( i i ) ; t h i s b o o k c o n t a i n sm u c h m o r e . W e a r e l e d t o ( ii ) w h e n w e l o o k f o r e x a m p l e s o f p a t h o l o g i c a l o b j e c t s .

S t u d e n t s a n d r e s e a r c h e r s n e e d e x a m p l e s ; i t i s a b a s i c p r e c e p t o f p e d a g o g y t h a t e v e r ya b s t r a c t i d e a s h o u l d b e a c c o m p a n i e d b y o n e o r m o r e c o n c r e t e e x a m p l e s . T h e r e f o r e , w h e n Ib e g a n w r i t i n g t h i s b o o k ( o r i g i n a ll y a c o n v e n t i o n a l a n a l y s i s b o o k ) , I re s o l v e d t o gi v e e x a m p l e so f e v e r y t h i n g . H o w e v e r , a s I s e a r c h e d t h r o u g h t h e l i t e r a t u r e , I w a s u n a b l e t o f in d e x p l ic i te x a m p l e s o f s e v e ra l i m p o r t a n t p a t h o l o g i c a l o b j ec t s , w h i c h I n o w c al l i n t a n g i b l e s :

9 f i n i t e l y a d d i t i v e p r o b a b i l i t i e s t h a t a r e n o t c o u n t a b l y a d d i t i v e ,9 e l e m e n t s o f ( e ~ ) * \ e l ( a c u s to m a r y c o r ol la r y o f t h e H a h n - B a n a c h T h e o r e m ) ,9 u n i v e r s a l n e t s t h a t a r e n o t e v e n t u a l l y c o n s t a n t ,9 f r e e u l tr a f i l t e r s ( u s e d v e r y fr e e l y i n n o n s t a n d a r d a n a l y s i s !) ,9 w e l l o rd e r i n g s fo r N ,9 i n e q u i v a l e n t c o m p l e t e n o r m s o n a v e c t o r s p a c e ,

e t c . I n a n a l y s i s b o o k s i t h a s b e e n c u s t o m a r y t o p r o v e t h e e x i s t e n c e o f t h e s e a n d o t h e r p a t h o -l o g ic a l o b j e c t s w i t h o u t c o n s t r u c t i n g a n y e x p l ic i t e x a m p l e s , w i t h o u t e x p l a i n i n g t h e o m i s s i o no f e x a m p l e s , a n d w i t h o u t e v e n m e n t i o n i n g t h a t a n y t h i n g h a s b e e n o m i t t e d . T y p i c a ll y , t h es t u d e n t d o e s n o t c o n s c i o u s l y n o t i c e t h e o m i s s io n , b u t i s l e ft w i t h a v a g u e u n e a s i n e s s a b o u tt h e s e u n i l l u s t r a t e d o b j e c t s t h a t a r e s o d i ff i cu l t t o v i su a l iz e .

I c o u l d n o t u n d e r s t a n d t h e d e a r t h o f e x a m p l e s u n t i l I a c c i d e n t a l ly v e n t u r e d b e y o n d t h et r a d i t i o n a l c o n f in e s o f a n a l y s i s . I w a s s u r p r i s e d t o l e a r n t h a t t h e e x a m p l e s o f t h e s e m y s t e -r i o u s o b j e c t s a r e o m i t t e d f r o m t h e l i t e r a t u r e b e c a u s e t h e y must b e o m i t t e d : A l t h o u g h t h eo b j e c t s e x i s t , i t c a n a l s o b e p r o v e d t h a t e x p l i c i t c o n s t r u c t i o n s d o not e x is t. T h a t m a y s o u n dp a r a d o x i c a l , b u t i t m e r e l y r e f le c t s a p e c u l i a r i t y in o u r la n g u a g e : T h e c u s t o m a r y r e q u i r e -m e n t s f o r a n " e x p li c it c o n s t r u c ti o n " a r e m o r e s t r in g e n t t h a n t h e c u s t o m a r y r e q u i r e m e n t sf o r a n " e x i s t e n c e p r o o f ." I n a n e x i s t e n c e p r o o f w e a r e p e r m i t t e d t o p o s t u l a t e a r b i t r a r yc h o i c e s , b u t i n a n e x p l i c i t c o n s t r u c t i o n w e a r e e x p e c t e d t o m a k e c h o i c e s i n a n a l g o r i t h m i cf a s h io n . ( T o m a k e t h i s o b s e r v a t i o n m o r e p r e c i s e r e q u i r e s s o m e d e f i n it i o n s, w h i c h a r e g i v eni n 1 4 . 7 6 an d 1 4 . 7 7 . )


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Existence, Examples, and Intangibles xvi iT h o u g h e x i s t e n c e w i t h o u t e x a m p l e s h a s p u z z l e d s o m e a n a l y s t s , t h e r e l e v a n t c o n c e p t s

h a v e b e e n a p a r t o f l o gi c f o r m a n y y e a r s . T h e n o n c o n s t r u c t i v e n a t u r e o f t h e A x i o m o f C h o i c ew a s c o n t r o v e r s i a l w h e n s e t t h e o r y w a s b o r n a b o u t a c e n t u r y a g o , b u t o u r u n d e r s t a n d i n ga n d a c c e p t a n c e o f i t h a s g r a d u a l l y g r o w n . A n a c c o u n t o f i t s h i s t o r y i s g i v e n b y M o o r e[1 98 2]. I t i s n o w e a s y t o o b s e r v e t h a t n o n c o n s t r u c t i v e t e c h n i q u e s a r e u s e d i n m a n y o f t h ec las s ica l ex i s t ence p roo f s fo r pa tho log ica l ob jec t s o f ana lys i s . I t can a l s o be s how n , th ou ghl es s e a si ly , t h a t m a n y o f t h o s e e x i s t e n c e t h e o r e m s c a n n o t b e p r o v e d b y o t h e r , c o n s t r u c t i v et e c h n i q u e s . T h u s , t h e p a t h o l o g i c a l o b j e c t s i n q u e s t i o n a r e inherently u n c o n s t r u c t i b l e .

T h e p a r a d o x o f e x i s t e n c e w i t h o u t e x a m p l e s h a s b e c o m e a p a r t o f t h e l o g i c i an s ' fo lk -l o re , w h i c h is n o t e a s i l y a c c e ss i b le t o n o n l o g i c i a n s . M o s t m o d e r n b o o k s a n d p a p e r s o nl o g i c a r e w r i t t e n i n a s p e c i a l i z e d , t e c h n i c a l l a n g u a g e t h a t i s u n f a m i l i a r a n d n o n i n t u i t i v e t oo u t s i d e rs : S y m b o l s a r e u s e d w h e r e o t h e r m a t h e m a t i c i a n s a r e a c c u s t o m e d t o s e e in g w o r d s ,a n d d i s t i n c t i o n s a r e m a d e w h i c h o t h e r m a t h e m a t i c i a n s a re a c c u s t o m e d t o b l u r r i n g e .g .,t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n f i r s t - o r d e r a n d h i g h e r - o r d e r l a n g u a g e s . M o r e o v e r , t h o s e b o o k s a n dpap er s o f log ic genera l ly do no t focus on the in tang ib le s o f ana lys i s .

O n t h e o t h e r h a n d , a n a l y s i s b o o k s a n d p a p e r s i n v o k e n o n c o n s t r u c t i v e p r i n c i p l e s l i k em a g i c a l i n c a n t a ti o n s , w i t h o u t m u c h a c c o m p a n y i n g e x p l a n a t i o n a n d i n s o m e c a se sw i t h o u t m u c h u n d e r s t a n d i n g . O n e re c e n t a n a ly s i s b o o k a s s e r ts t h a t a n a l y s t s w o u l d g a i nl i tt l e f ro m q u e s t i o n i n g t h e A x i o m o f C h o i c e. I d i s ag r e e . T h e p r e s e n t w o r k w a s m o t i v a t e di n p a r t b y m y f e el in g t h a t s t u d e n t s d e s e r v e a m o r e " h o n e s t " e x p l a n a t i o n o f s o m e o f t h en o n - e x a m p l e s o f a n a l y s i s e s p e c i a ll y o f s o m e o f t h e c o n s eq u e n c e s of t h e H a h n - B a n a c hT h e o r e m . W h e n w e c a n n o t c o n s t r u c t a n e x p l ic i t e x a m p l e , w e s h o u l d sa y s o. T h e s t u d e n tw ho canno t v i s ua l i ze s ome ob jec t s hou ld be r eas s u red tha t no one e l s e can v i s ua l i ze i t e i the r .B e c a u s e e x a m p l e s a r e s o i m p o r t a n t i n t h e l e a r n i n g p r o c e s s , t h e l a c k o f e x a m p l e s s h o u l d b ed i s cus s ed a t l eas t b r i e fly w h en tha t l ack is f i r st encoun te red ; i t s hou ld no t be pos tp on edu n t i l s o m e m o r e a d v a n c e d c o u r s e o r i g n o r e d a l t o g e t h e r .

T h o u g h m o s t o f H A F r e l ie s on ly on conven t iona l r eas on ing - - i .e . , t he k in d o f s e t theo r ya n d l o g ic t h a t m o s t m a t h e m a t i c i a n s u s e w i t h o u t n o t i c i n g t h e y a r e u s in g it - - w e c o m e t o ab e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e i d i o s y n c r a s ie s o f c o n v e n t i o n a l r e a s o n i n g b y c o n t r a s t i n g i t w i t hu n c o n v e n t i o n a l s y s t e m s , s u c h a s Z F + D C + B P o r B i s h o p ' s c o n s t r u c t i v i s m . H A F exp la in st h e r e l e v a n t f o u n d a t i o n a l c o n c e p t s i n b r i e f , i n f o r m a l , i n t u i t i v e t e r m s t h a t s h o u l d b e e a s i l yu n d e r s t o o d b y a n a l y s t s a n d o t h e r n o n l o g i c i a n s .

T o b e t t e r u n d e r s t a n d t h e r o l e p la y e d b y t h e A x i o m o f C h o ic e , w e sh a l l ke e p t r a c k o f i t su s e s a n d t h e u s e s of c e r t a i n w e a k e n e d f o r m s o f A C , e s p e c i a l l y

t h e P r i n c i p l e o f D e p e n d e n t C h o i c e s ( D C ) , w h i c h i s c o n s t r u c t i v e a n d i s e q u i v a l e n tt o s e v e r a l p r i n c i p l e s a b o u t c o m p l e t e m e t r i c s p a c e s ;t h e U l t r a f il t e r P r i n c i p l e ( U F ) , w h i c h is n o n c o n s t r u c t i v e a n d i s e q u i v a l e n t t o t h eC o m p l e t e n e s s a n d C o m p a c t n e s s P r i n c i p l e s o f l og ic , a s we ll a s d o z e n s o f o t h e ri m p o r t a n t p r i n c i p l e s i n v o l v in g t o p o l o g i c a l c o m p a c t n e s s ; a n dt h e H a h n - B a n a c h T h e o r e m ( H B ), a l so n o n c o n st r u c t iv e , w h i c h h a s m a n y i m p o r -t a n t e q u i v a l e n t f o r m s i n f u n c t i o n a l a n a l y s i s .

M o s t a n a l y s t s a r e n o t a c c u s t o m e d t o v i e w i n g H B a s a w e a k e n e d f o r m o f A C , b u t t h a t


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xvi i i Prefacev i e w p o i n t m a k e s t h e H a h n - B a n a c h T h e o r e m ' s n o n c o n s t r u c t i v e n a t u r e m u c h e a s i e r t o u n -d e r s t a n d .

T h i s b o o k ' s s k e t c h o f l og ic o m i t s m a n y p r o o f s a n d e v e n s o m e d e f in i ti o n s . I t i s i n t e n d e dn o t t o m a k e t h e r e a d e r i n t o a l o g ic i a n, b u t o n l y t o s h o w a n a l y s t s t h e r e l e v a n c e o f s o m ep a r t s o f l og ic . T h e i n t r o d u c t i o n t o f o u n d a t i o n s f o r a n a l y s t s i s HAF ' s m o s t u n u s u a l f e a t u r e ,b u t i t i s n o t a n o v e r ri d i n g f e a t u r e i t t a k e s u p o n l y a s m a l l p o r t i o n o f t h e b o o k a n dc a n b e s k i p p e d o v e r b y m a t h e m a t i c i a n s w h o h a v e p i c k e d u p t h i s b o o k f o r i t s t r e a t m e n t o fn o n f o u n d a t i o n a l t o p i c s s u c h a s n e t s , F - s p a c e s , o r i n t e g r a t i o n .

A B S T R A C T V E R SU S C O N C R E T Ei h a v e a t t e m p t e d t o p r e s e n t e a c h s e t o f i d e a s a t a n a t u r a l l ev e l o f g e n e r a l i t y a n d a b s t r a c t i o n

i .e . , a leve l th a t conveys the ideas in a s imp le fo rm and p e rm i t s s eve ra l exam ples a nda p p l i c a t i o n s . O f c o u rs e , t h e l e v el of g e n e r a l i t y o f a n y p a r t o f t h e b o o k i s p a r t l y d i c t a t e d b yt h e n e e d s o f l a t e r p a r t s o f t h e b o o k .U s u a l l y , I l e a n t o w a r d m o r e a b s t r a c t a n d g e n e r a l a p p r o a c h e s w h e n t h e y a r e a v a i l a b l e .B y o m i t t i n g u n n e c e s s a r y , i r r e l e v an t , o r d i s t r a c t i n g h y p o t h e s e s , w e t r i m a c o n c e p t d o w n t or e v e a l i t s e s s e n t ia l p a r t s . I n m a n y c a s es , o m i t t i n g u n n e c e s s a r y h y p o t h e s e s d o e s n o t l e n g t h e na p ro o f , a n d i t m a y m a k e t h e p r o o f e a s ie r to u n d e r s t a n d b e c a u s e t h e r e a d e r ' s a t t e n t i o n i sthe n focu s ed on the f ew pos s ib le lines o f r eas on ing th a t s t i ll r emain ava i l ab le . F o r in s tance ,e v e r y m e t r i c s p a c e c a n b e e m b e d d e d i s o m e t r i c a l l y in a B a n a c h s p a c e ( se e 22 . 14 ) , b u t t h e" m o r e c o n c r e t e " s e t t i n g o f B a n a c h s p a c e s d o e s n o t i m p r o v e o u r u n d e r s t a n d i n g o f m e t r i cs p a c e r e s u l t s s u c h a s t h e C o n t r a c t i o n F i x e d P o i n t T h e o r e m i n 1 9 . 3 9 .

H e r e is a n o t h e r e x a m p l e o f m y p r e f e r e n c e fo r a b s t r a c t i o n : S o m e t e x t b o o k s b u i l d H a u s -do r f fnes s in to the i r de f in i t ion o f "un i fo rm s pace" o r " topo log ica l vec to r s pace" o r " loca l lyc o n v e x s p a c e " b e c a u s e m o s t s p a c e s u s e d i n a p p l i c a t i o n s a r e i n f a c t H a u s d or f f . T h i s m a ys h o r t e n t h e s t a t e m e n t s o f s e v e ra l t h e o r e m s b y a w o r d o r tw o , b u t i t d o e s n o t s h o r t e n t h ep r o o f s o f t h o s e t h e o r e m s . M o r e o v e r , it m a y c o n f u s e b e g i n n e r s b y e n t a n g l i n g c o n c e p t s t h a ta r e n o t i n h e r e n t l y r e l a t e d : T h e b a s i c id e a s o f H a u s d o r f f sp a c e s a r e i n d e p e n d e n t f r o m t h eo the r bas ic ideas o f un i fo rm s paces , topo lo g ica l s paces , and loca l ly convex spaces ; ne i the rs e t o f ideas ac tua l ly r equ i r es the o the r . I n HAF , H aus dor f fnes s i s a s epa ra te p roper ty ; i t i sn o t b u i l t i n t o o u r d e f i n it i o n s o f t h o s e o t h e r s p a c es . O u r n o t - n e c e s s a r i l y - H a u s d o r f f a p p r o a c hhas s eve ra l benef i t s , o f w h ich the g rea te s t p rob ab l y i s th i s :

T h e w e a k t o p o l o g y o f a n i n f i n i te - d i m e n s i o n a l B a n a c h s p a c e i s a n i m p o r t a n tn o n m e t r i z a b l e H a u s d o r ff to p o l o g y t h a t is b e s t e x p l a i ne d a s t h e s u p r e m u m o f ac o l l e c ti o n o f p s e u d o m e t r i z a b l e , n o n - H a u s d o r f f t o p o lo g i e s .

( I f t h e r e a d e r i s a c c u s t o m e d t o w o r k i n g o n l y i n H a u s d o r f f s p a ce s , HAF ' s n o t - n e c e s s a r i l y -H a u s d o r f f a p p r o a c h m a y t a k e a l i tt l e g e t t i n g u s e d t o , b u t o n l y a l i tt l e. M o s t l y , o n e r e p la c e s" m e t r i c " w i t h " p s e u d o m e t r i c " o r w i t h th e n e u t r a l n o t i o n o f " d i st a n c e ;" o n e r e p l a c es " t h el i m i t" w i t h " a l i m i t" o r w i t h t h e n e u t r a l n o t i o n o f " c o n v e rg e s t o . " )

H o w e v e r , a m o r e g e n e r a l a p p r o a c h t o a to p i c i s n o t n e c e s s a r i ly a s i m p l e r a p p r o a c h . E v e r yi d e a i n m a t h e m a t i c s c a n b e m a d e m o r e g e n e r al a n d m o r e a b s t r a c t b y m a k i n g t h e h y p o t h e s e s


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Order of Topics x ixw e a k e r a n d m o r e c o m p l i c a t e d a n d b y i n t r o d u c i n g m o r e d e fi n i ti o n s , b u t I h a v e t ri e d t o a v o i dt h e w e a k l y u p p e r h e m i s e m i d e m i c o n t i n u o u s q u a s i p s e u d o sp a c e s o f b a r o q u e m a t h e m a t i c s . I tis u n a v o i d a b l e t h a t t h e b e g i n n in g g r a d u a t e s t u d e n t o f m a t h e m a t i c s m u s t w a d e t h r o u g ha l a rg e c o l l e ct i o n o f n e w d e f i n i ti o n s , b u t t h a t c o l le c t i on s h o u l d n o t b e m a d e l a r g e r t h a nn e c e s s a r y . T h u s w e s o m e t i m e s a c c e p t s l i g h t l y s t r o n g e r h y p o t h e s e s f o r a t h e o r e m i n o r d e r t oa v o i d i n t r o d u c i n g m o r e d e f in i t io n s . O f c o u r se , u l t i m a t e l y t h e d i f fe r e nc e b e t w e e n i m p o r t a n td i s t i n c t i o n s a n d e x c e s s iv e h a i r - s p l i t ti n g i s a m a t t e r o f a n i n d i v i d u a l m a t h e m a t i c i a n ' s o w np e r s o n a l t a s t e .

C o n v e r s e s t o m a i n i m p l i c a t i o n s a r e i n c l u d e d i n H A F w h e n e v e r t h is c a n b e m a n a g e d c o n-v en ien t ly , a s we l l a s in a f ew in co n v e n ien t ca ses th a t I d eem ed su f f i c i en t ly imp o r t an t . L i s t so f diss imilar but equivalent d e f i n i t i o n s a r e c o l l e c t e d i n t o o n e l o n g d e f i n i n t i o n - a n d - t h e o r e m ,e v e n t h o u g h t h a t o n e th e o r e m m a y h a v e a p a in f u ll y lo n g pr o of . T h e s in g le p o r t m a n t e a ut h e o r e m i s c o n v e n i e n t f o r r e f e r e n c e , a n d m o r e o v e r i t c l e a r l y d i s p l a y s t h e i m p o r t a n c e o fa c o n c e p t . F o r i n s t a n c e , t h e n o t i o n o f " u l t r a b a r r e l l e d s p a c e s " s e e m e d t o o a d v a n c e d a n dsp ec ia l i zed f o r t h i s b o o k u n t i l I saw th e lo n g l is t o f d i s s im i l a r b u t eq u iv a len t d e f in i t i o n st h a t n o w a p p e a r s i n 2 7 .2 6 . T o p r e v e n t c o n fu s i o n , I h a v e c al le d t h e s t u d e n t ' s a t t e n t i o n t oc o n t r a s t s b e t w e e n s imilar but inequivalent concepts , e i t h e r b y j u x t a p o s i n g t h e m ( a s i n t h ec a s e o f b a r r e l s a n d u l t r a b a r r e l s ) o r b y i n c l u d in g c r o s s - r e f e re n c i n g r e m a r k s ( a s in t h e c a s e o fB i s h o p ' s c o n s t r u c t i v i s m a n d G S d e l 's c o n s t r u c t i v is m ) .

A l t h o u g h t h e c o n t e n t i s c h o s e n f o r a n a l y s t s , t h e w r i t i n g s t y l e h a s b e e n i n f l u e n c e d b ya l g e b r a i s t s . W h e n e v e r p o s s i b l e , I h a v e m a d e d e g e n e r a t e o b j e c t s s u c h a s t h e e m p t y s e t i n t oa s p e ci a l c a se o f a r ul e , r a t h e r t h a n a n e x c e p t i o n t o t h e r u l e . F o r i n s t a n c e , i n t h is b o o k a n din a lg eb r a b o o k s , { S" S c_ X } i s an " im p r o p e r f i lt e r " o n X, th o u g h i t is n o t a f il t e r a t a l la c c o r d i n g t o t h e d e f i n i t i o n u s e d b y m a n y b o o k s o n g e n e r a l t o p o l o g y .

O R D E R O F T O P I C SI h av e f o l lo wed a B o u r b ak i - l ik e o r d e r o f' t o p ic s , f i r s t i n t r o d u c in g s im p le f u n d am en t a l s an dl a t e r b u i l d in g u p o n t h e m t o d e v e lo p m o r e s p e ci a l iz e d i de a s . T h e t o p i c s a r e o r d e r e d t os u i t p e d a g o g y r a t h e r t h a n t o e m p h a s i z e a p p l i c a t i o n s . F o r i n s t a n c e , c o n v e x i t y i s c o m m o n l yi n t r o d u c e d i n f u n c t i o n a l a n a l y s i s c o u r se s i n t h e s e t t i n g o f B a n a c h s p a c e s o r t o p o lo g i c a lv e c t o r s p a c e s , b u t I h a v e f o u n d i t e x p e d i e n t t o i n t r o d u c e c o n v e x i t y a s a p u r e l y a l g e b r a i cn o t i o n , a n d t h e n a d d t o p o l o g i c a l c o n s i d e r a t i o n s m u c h l a t e r in t h e b o o k . M o s t t o p o l o g i c a lv ec to r sp aces u sed in ap p l i ca t io n s a r e lo ca l ly co n v ex , b u t H A F f i r s t s tu d ie s to p o lo g ica lv e c t o r s p a c e s w i t h o u t t h e a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n o f l o c al c o nv e x it y .

To p ics co v e r ed wi th in a s in g le ch a p te r a r e c lo se ly r e l a t ed to each o th e r . Ho w ev er , inm a n y c a s e s t h e e n d o f a c h a p t e r c o v e r s m o r e a d v a n c e d a n d s p e c i a l i z e d m a t e r i a l t h a t c a n b ep o s t p o n e d ; i t w il l n o t b e n e e d e d u n t i l m u c h l a t e r i n t h e b o o k , i f a t a l l. M o s t o f P a r t C ( o nt o p o l o g i c a l a n d u n i f o r m s p a c e s ) c a n b e r e a d w i t h o u t P a r t B ( l og i c a n d a l g e b r a ) . H o we ve '~ ,m o s t r e a d e r s s h o u l d s k i m t h r o u g h C h a p t e r s 5 , 6 , a n d 7 . T h o s e c h a p t e r s i n t r o d u c e f il te r sa n d n e t s t o o l s t h a t a r e u s e d m o r e e x te n s i v e l y i n t h i s b o o k t h a n i n m o s t a n a ly s i s b o o k s .

I h a v e f e lt j u s t i fi e d i n v i o l a t i n g lo g ic a l s e q u e n c i n g i n o n e i m p o r t a n t i n s t a n c e . T h e r e a ln u m b e r s y s t e m i s , i n s o m e s e n s e , th e f o u n d a t i o n o f a n a l y s i s , s o i t m u s t b e u s e d i n e x a m p l e s


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A c k n o w l e d g m e n t s x x i

t op ics . To f ac i l i t a t e sk ipp ing a round in the book , I have inc luded a l a rge index and manycross - re f e r enc ing r emarks . Newly def ined t e rms a r e genera lly g iven in bo ld f a ce to makethem easy to f ind . These de f in i t i ons a r e fo l lowed by a l t e rna t e t e rmino logy in i tal ics if thel i t e r a tu r e uses o the r t e rm s fo r t he sam e concep t o r by cau t iona ry r em arks i f t he l i t e r a tu r ea l so uses the same t e rm fo r o the r concep t s . The f ir s t few pages o f t he f i r s t chap te r i n t rodu cem a n y o f t h e s y m b o l s a n d t y p o g r a p h i c a l c o n v e n t io n s u s e d t h r o u g h o u t t h e b o o k ; t h e i n d e xends wi th a l is t of sym bols . A l i st of char ts , tables , d iag ram s, a nd f igures is include d in theindex unde r " char t s ."

M a t h e m a t i c s t e x t b o o k s u s u a l ly p o s t p o n e e x e r ci se s u n t i l th e e n d o f e a c h s u b c h a p t e ro r each chap te r , bu t H A F mixes exerc ises in to the m ain t ex t . I n fac t , H A F does no ta lways d i s t i ngu i sh sha rp ly be tween "d i scuss ions , " " theo rems , " " examples , " and "exerc ises ."Al l such asser t ions are t rue s t a t ement s , wi th v a ry ing degrees o f imp or t ance , genera l i t y , o rd i ff icu lty , and w i th va ry ing amou n t s o f h in t s p rov ided . Every s tud en t know s tha t r ead ingth ro ugh any p roof in any ma th boo k is a chal l enge , wh e the r t ha t p roof is mark ed "exerc ise"o r no t . Some comp uta t io ns an d deduc t ions a r e eas i er o r more in s t ruc t ive to do tha n towatch, so for brevi ty I have in tent ional ly g iven some proofs as sketches. Al l the "exercises"a r e ac tua l ly pa r t o f t he t ex t ; mo s t o f t hem wi l l se rve as e ssen t i a l examples o r a s s t eps inp roof s o f l a t e r theo rem s . Thus , i n each chap te r t ha t i s s tud ied , the reader should workthrough, or at l eas t R E A D through, every exerc ise; no exerc i se shou ld be sk ipped .

ACKNOWLEDGMENTS

I am espec ia l ly g r a t e fu l t o I s ido re F le i scher , Mai Gehrke , Pau l Howard , and Cons tan t ineTs inak i s , who he lped wi th innu mera b le ques t ions ab ou t a lgebra and log ic . I am a l so g r a t e fu lt o m a n y o t h e r m a t h e m a t i c i a n s w h o h e l p e d o r t r i e d t o h e l p w i t h m a n y d i f f e r e n t q u e s t i o n s :Richard Ba l l , Howard Becker , Lamar Ben t l ey , Dan Bi l es , Andreas Blass , Doug las Br idges ,N o r b e r t B r u n n e r , G e r a r d B u s k e s , C h r i s C i e s i e l s k i , J o h n C o o k , M a t t h e w F o r e m a n , D o u gH a r d i n , P e t e r J o h n s t o n e , B j a r n i J d n s s o n , W i l l i a m J u l i a n , K e i t h K e a r n e s , D a r r e l l K e n t ,M e n a c h e m K o j m a n , R a l p h K o p p e r m a n , W i l h e l m u s L u x e m b u r g , H a n s v a n M a a r e n , R o m a nMaf ika , Pe t e r Massopus t , Ra lph McKenz ie , Char l es Meg ibben , Norm Megi l l , Michae l Mi -ha l ik , Zuha i r Nashed , Ne i l Ne l son , Michae l Neumann , Je f f r ey Norden , S imeon Re ich , F r edR i c h m a n , S a h a r o n S h e l a h , S t e p h e n S i m o n s , S t e v e T s c h a n t z , S t a n W a g o n , a n d o t h e r s t o onum erous to l i st her e . I am a l so g r a t e fu l t o ma ny s tud en t s who r ead th ro ugh ea r l ie r ve rs ionso f pa r t s o f t h i s book . Of cour se, any m is t akes tha t r ema in in th i s book a r e my own .

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y a S u m m e r A w a r d f r o m t h e V a n d e r b i l t U n i v e r s i t yResea rch Counc i l . I wou ld a lso l ike to tha nk J ohn Cook , M ark El l ingham , M ar t in F ryd ,Bob Messe r , Ruby Moore , S t eve Tschan tz , John Wi l l i ams , and o the r s f o r t he i r he lp wi thTEX. Th i s boo k was com posed us ing severa l di f fe r en t com pute r s and w ordprocesso r s . I tw a s t y p e s e t u s i n g I~ TE X w i t h s o m e f on t s a n d s y m b o l s i m p o r t e d f r om A ~ S - ~ .

I am a l so g r a t e fu l t o my f ami ly fo r t he i r su ppo r t o f th i s p ro j ec t .


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xxi i Pre face

T o C O NT AC T M EI ' v e s u r v e y e d t h e l i t e r a t u r e a s w e l l a s I c o u l d , b u t i t ' s e n o r m o u s ; I ' m s u r e t h e r e i s m u c ht h a t I ' v e o v e r l o o k e d . I w o u l d b e g r a t e f u l f o r c o m m e n t s f r o m r e a d e r s , p a r t i c u l a r l y r e g a r d i n ge r r o r s o r o t h e r s u g g e s t e d a l t e r a t i o n s f o r a p o s s i b l e l a t e r e d i t i o n . I w i l l p o s t t h e e r r a t a a n do t h e r i n s i g h t s o n t h e b o o k ' s W o r l d W i d e W e b p a g e o n t h e i n t e r n e t .

Er ic S chech te r , A ugus t 16 , 1996h t t p : / / m a t h , v a n d e r b i l t , e d u / ~ s c h e c t e x / c c c /


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C h a p t e r 1S e t s

M A T H E M A T I C A L L A N G U A G E A N D I N F O R M A L L O G I C

1 . 1 . A f e w t y p o g r a p h i c a l c o n v e n t i o n s . C e r t a i n k i n d s o f m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a r e m o s to f t e n r e p r e s e n t e d b y c e r t a i n k i n d s of l e t t e rs . F o r i n s t a n c e , m a t h e m a t i c i a n s o f t e n r e p r e s e n ta p o i n t b y " x " a n d a f u n c t i o n b y " f , " a n d v e r y s el d o m t h e o t h e r w a y a r o u n d . T h i s b o o kw i l l u s u a l l y a d h e r e t o t h e f o l l o w i n g g u i d e l i n e s , w h i c h a r e c o n s i s t e n t w i t h m u c h ( b u t n o ta ll !) o f t h e l i t e r a t u r e o f a l g e b r a , t o p o l o g y , a n d a n a l y s i s . T h e r e a d e r i s c a u t i o n e d t h a t t h e r eis no s t a n d a r d u s a g e , i n th e l i t e r a t u r e o r e v e n in t h i s b o o k . T h e g u i d e l i n e s in t h e f o ll o w in gl is t w il l b e h e l p f u l, b u t t h e g u i d e l i n e s w i ll h a v e e x c e p t i o n s ( w h i c h s h o u l d b e c l e a r f ro m t h ec o n t e x t ) . T h e r e i s e v e n s o m e o v e r la p b e t w e e n t h e c a t e g o r i e s li s t e d ab o v e . F o r in s t a n c e , i na tom le ss se t t he or y , d i sc usse d in 1 .46 , a l l s e t s a r e s e t s o f s e t s .

i , j , k , m , n , p , . . .p , q , r , s , t , . . .c, H, q, R, zW , X , Y , Z , f t , F , A , . . .A , B , C , L , S , T , . . .a , b , y , z , o~, /3 , A , p , ~z , . . .A , ~ , e , . . .f , g , p , q , o~, /3 , A , p , Tr, . . .F , A , q ) , ~ , . . .

i n t e g e r sr e a l n u m b e r ss e t s o f n u m b e r sm a in se t s e .g . , l i ne a r spa c e ss u b s e t s o f m a i n s e t se l e m e n t s o f s e t sse t s o f s e t s - - e .g ., f il t e rs , t opo lo g ie sf u n c t i o n sc o l l e c t i ons o f f unc t ions

1 . 2 . A l l l e t t e r s a re v a ri a b l e s , b u t s o m e l e t t e r s ar e m o r e v a r i a b l e t h a n o t h e r s ( a s G e o r g eO r w e l l m i g h t h a v e p u t i t ) . E v e r y h i g h s c h o o l s t u d e n t h a s u n d e r s t o o d a t l e a s t o n e e x a m p l eof this :

t h e s o l u t i o n s o f a x 2 + b x + c = 0 are x = - b v / b 2 - 4 a c2 aH e r e t h e l e t t e r s a , b , c a r e t r e a t e d a s r ea l c o n s t a n t s , b u t t h e y c a n b e a n y r e a l c o n s t a n t s ;


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4 C h a p t e r 1 : S e t s

t h e y v a r y o n l y s l i g h t l y l es s t h a n x d o e s . U s u a l l y i t s h o u l d b e c l e a r f r o m t h e c o n t e x t j u s tw h i c h l e t t e r s a r e v a r y i n g m o r e t h a n o t h e r s .1 . 3 . N o t e s o n " a n d " a n d " o r . " A l t h o u g h m a t h e m a t i c i a n s b a s e t h e i r l a n g u a g e o n E n g l i s ho r o t h e r " n a t u r a l " l a n g u a g e s, m a t h e m a t i c i a n s a l t e r th e l a n g u a g e s l i g ht l y t o m a k e i t m o r ep r e c i s e o r t o m a k e i t f it t h e i r p u r p o s e s b e t t e r . S o m e o f t h e d i f f e re n c e s b e t w e e n E n g l i s h a n dm a t h e m a t i c s m a y c o n f u s e t h e b e g i n n e r .

F o r i n s t a n c e , t h e r e a r e t w o d i f f e r e n t m e a n i n g s f o r t h e E n g l i s h w o r d " o r : "LJ ve l inc lus ive or A or B or bo th+ a u t e x c l u s iv e o r A o r B b u t n o t b o t h .

L a t i n d i s t i n g u i s h e s b e t w e e n t h e s e t w o m e a n i n g s b y u s i n g t w o d i f f er e n t w o r d s : " v e l " a n d" a u t ; " s e e R o s s e r [ 1 9 5 3 / 1 9 7 8 ]. I n e v e r y d a y E n g l i s h , th e t e r m " o r " is a m b i g u o u s ; i t c o u l dh a v e e i t h e r m e a n i n g . F o r c l a r i f ic a t i o n i n E n g l i s h , " v el " i s s o m e t i m e s c a l le d " a n d / o r , " a n d" a u t " i s s o m e t i m e s c a l l ed " e i t h e r / o r . " I n m a t h e m a t i c s , " o r" g e n e r a l ly m e a n s " v e l, " u n l e s ss p ec i f i ed o t h er w i s e .U n d e r g r a d u a t e m a t h e m a t i c s s t u d e n t s s o m e t i m e s co n f u se " a n d " a n d " o r" i n t h e f ol lo w i ngf a sh i on : W ha t i s t he so l u t i o n s e t o f x 2 - 4x + 3 > 0 , i n t he r e a l l ine ? I t i s

{ x E R : x < l } U { x e R : x > 3 } = { x e R : x < l o r x > 3 } .T h u s , t h e a p p r o p r i a t e w o r d is " o r. " H o w e v e r , so m e c a l cu l u s s t u d e n t s w r i t e t h e s o l u t i o n as" x < 1 a n d x > 3 , " b y w h i c h t h e y m e a n " t h e p o i n t s x t h a t s a t i s f y x < 1 , a n d a l s o t h e p o i n t sx t h a t s a t i s f y x > 3 " t h u s t h e y ar e u s i n g " a n d " f o r U ( u n i o n ) . T h o u g h s u c h s t u d e n t sm a y t h i n k t h a t t h e y k n o w w h a t t h e y m e a n , t h i s us a ge is n o t s t a n d a r d in m a t h e m a t i c s a n ds h o u l d b e d i s c o n t i n u e d b y s t u d e n t s w h o w i s h t o p r o c e e d i n h i g h e r m a t h e m a t i c s .

A n o t h e r w o r d f o r " or " is d i s j u n c t i o n ; t h e m o s t c o m m o n l y u s ed s y m b o l f or i t is V .A n o t h e r w o r d f or " a n d " i s c o n j u n c t i o n ; t h e m o s t c o m m o n l y u s ed s y m b o l fo r i t is A .H o w e v e r , w e sh a l l u se U a n d R f o r " o r " a n d " a n d , " i n o r d e r t o r e s e r v e t h e s y m b o l s V a n dA fo r u s e i n s o m e r e l a t e d l a t t ic e s .

W e s h al l u s e " n o t - A " o r " ~ A " a s a b b r e v i a t i o n s f o r t h e s t a t e m e n t t h a t " s t a t e m e n t A isn o t t r u e ;" s o m e m a t h e m a t i c i a n s u se o t h e r s y m b o l s s u c h a s ~ A . T h e s y m b o l 9 , m e a n i n g" n o t ," i s a ls o c a ll e d n e g a t i o n . I n c o n v e n ti o n a l ( o r d i n a r y ) l o gi c, u s e d t h r o u g h o u t m o s t o ft h i s b o o k , - ~- ~A = A ; t h a t i s, n o t - n o t - A i s e q u a l t o A . T h a t e q u a l i t y f a il s i n c o n s t r u c t i v i s to r i n t u i t i o n i s t l o g i c , w h i c h i s d i s c u s s e d v e r y b r i e f l y i n C h a p t e r s 6 a n d 1 3 .1 . 4 . T h e s t a t e m e n t " A i m p l i e s B " w i ll s o m e t i m e s b e a b b r e v i a t e d a s " A = ~ B " o r" A --~ B ; " t h e l a t t e r e x p r e s s i o n w i l l b e u s e d i n o u r c h a p t e r o n l o g ic . E i t h e r o f t h e s ee x p r e s s i o n s m e a n s " i f A i s t r u e t h e n B is t r u e " o r m o r e p r e c is e ly , " w h e n e v e r A i s t r u e ,t h e n B i s a l so t r u e . " T h e u s a g e o f " i f . . . t h e n " i n m a t h e m a t i c s d if f er s f r o m t h e u s a g e ia :,E n g l i sh , b e c a u s e t h e m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t A =~ B m a k e s n o p r e d i c t i o n a b o u t B i n t h ec a s e w h e r e A is f a ls e . F o r i n s t a n c e , i n e v e r y d a y E n g l i s h t h e s t a t e m e n t " I f i t r a i n s , t h e n Iw i ll t a k e m y u m b r e l l a " i s a m b i g u o u s - - i t c o u l d h a v e e i t h e r o f t h e f o l lo w i n g m e a n i n g s :

( i) I f i t r a i n s , t h e n I w i ll t a k e m y u m b r e l l a . I f i t d o e s n ' t r a i n , t h e n I w o n ' t t a k em y u m b r e l l a .


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M a t h e m a t i c a l L a n g u a g e a n d I n f o r m a l L o g ic 5

( ii ) I f i t r a i n s , t h e n I w i ll t a k e m y u m b r e l l a . I f i t d o e s n ' t r a i n , t h e n I m i g h t o rm i g h t n o t t a k e m y u m b r e l l a.

I n m a t h e m a t i c s , h o w e v e r, ( ii ) is t h e o n l y c u s t o m a r y i n t e r p r e t a t i o n o f " i f . . . t h e n . "T h e m a t h e m a t i c i a n s ' i m p l i c a t i o n a l s o d i f f e r s f r o m t h e n o n m a t h e m a t i c i a n s ' i m p l i c a t i o n

i n t h i s r e s p e c t : w e m a y h a v e A = ~ B e v e n i f A a n d B a r e n o t c a u s a l l y r e l a t e d . F o ri n s t a n c e , " if i ce is h o t t h e n g r a s s i s g r e e n " i s t r u e i n m a t h e m a t i c s , b u t i t is n o n s e n s e i no r d i n a r y E n g l i sh , s i n ce t h e r e is n o a p p a r e n t c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e t e m p e r a t u r e o f i ce a n dt h e c o lo r o f g r a ss . T h e m a t h e m a t i c i a n s ' i m p l i c a t i o n is s o m e t i m e s r ef e r re d t o as m a t e r i a li m p l i c a t i o n , t o d is t i n g u i s h it f r o m c e r ta i n o t h e r k i n d s o f i m p l i c a t io n s n o t c o m m o n l y u s e di n m a t h e m a t i c s b u t s o m e t i m e s s t u d i e d b y p h i l o s o p h e r s a n d s p e c i a l i z e d l o g i c i a n s .

T h e c o n v e r s e o f t h e st a t em e n t " A ~ B " i s t h e s t a t e m e n t " B ~ A . " T h e s e t w os t a t e m e n t s a r e n o t e q u i v a l e n t ; t h e b e g i n n e r m u s t b e c a r e f u l n o t t o c o n f u s e t h e m . F o ri n s t a n c e , " x = 3 " i m p l i e s " x is a p r im e n u m b e r , " b u t " x i s a p r im e n u m b e r " d o e s n o t i m p l y" x = 3 . "

T h e s t a t e m e n t " A i f a n d o n l y if B " m a y b e a b b r e v i a t e d " A i f f B ; " i t is a l so w r i t t e n" A ~ B . " T h i s s t a t e m e n t m e a n s t h a t b o t h A = ~ B a n d t h e c o n v er s e i m p l i c a t i o nB =~ A are t ru e .

S t a t e m e n t A is s t r o n g e r t h a n s t a t e m e n t B i f A ~ B ; th e n w e m a y sa y B is w e a k e rt h a n A . M o r e g e n e ra l l y , a p r o p e r t y P o f o b j e c t s i s s t r o n g e r t h a n a p r o p e r t y Q i f e v e r yo b j e c t t h a t h a s p r o p e r t y P a ls o m u s t h a v e p r o p e r t y Q i .e ., i f t h e s t a t e m e n t " X h a sp r o p e r t y P " is s t r o n g e r t h a n t h e s t a t e m e n t " X h a s p r o p e r t y Q . " ( A r e l a t e d b u t s l ig h t l yd i ff e re n t m e a n i n g o f " s t ro n g e r t h a n " is i n t r o d u c e d i n 9 .4 .) T h e m a t h e m a t i c a l u s a g e o f t h et e r m s " s t r o n g e r " a n d " w e a k e r " ( a n d o f o t h e r c o m p a r a t i v e a d j e c t i v e s s u c h as c o a r s e r , fi n er ,h i g h e r , l o w e r ) d i f f e r s f r o m t h e c o m m o n n o n m a t h e m a t i c a l E n g l i s h u s a g e i n t h i s i m p o r t a n tr e s p e c t : I n E n g l i s h , t w o o b j e c ts c a n n o t b e " s tr o n g e r " t h a n e a c h o t h er , b u t i n m a t h e m a t i c st h e y c a n . T h u s , w h e n A ~ B , e a c h s t a t e m e n t is s t r o n g e r t h a n t h e o t h e r . In p a r t i c u l a r ,a s t a t e m e n t i s a l w a y s s t r o n g e r t h a n i t s e l f . T o s a y t h a t

A i m p l i e s B a n d B d o e s n o t i m p l y A ,w e c o u l d s a y t h a t A i s s t r i c t l y s t r o n g e r t h a n B . F o r i n s t a n ce , t h e p r o p e r t y o f b e i n g e q u a lt o 3 is s t r i c t ly s t r o n g e r t h a n t h e p r o p e r t y o f b e i n g a p r i m e n u m b e r .

I n g e n e r a l , " i f . . . t h e n " i s q u i t e d i f fe r e n t f r o m " i f a n d o n l y if ." H o w e v e r, i n m a t h e m a t i c a ld e f i n i t i o n s t h e w o r d s " a n d o n l y i f " g e n e r a l l y a r e o m i t t e d a n d a r e u n d e r s t o o d i m p l i c i t l y ,p a r t i c u l a r l y w h e n t h e d e f i n e d w o r d o r p h r a s e i s d i s p l a y e d i n b o l d f a c e o r it a l ic s . F o r i n s t a n c e ,i n o u r e a r l i e r s e n t e n c e

S t a t e m e n t A is s t r o n g e r t h a n s t a t e m e n t B i f A => B ; t h e n w e m a y s a y B i sw e a k e r t h an A.

t h e " i f" i s r e a l l y u n d e r s t o o d t o b e " if a n d o n l y i f. "1 . 5 . W h e n A a n d B a r e v a r ia b l e s t a k i n g t h e v a lu e s " t r u e " o r " f al s e, " th e n a n e x p r e s s i o ns u c h a s " A a n d B " i s a f u n c t i o n o f t h o s e v a r i a b l e s t h a t is , t h e v al u e o f " A a n d B "d e p e n d s o n th e v a lu e s o f A a n d B . T h e t r u t h t a b l e b e lo w s ho w s h ow s e v er a l f u n c t io n s o f


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6 C h a p t e r 1: S e t s

A a n d B d e p e n d o n t h e v a l u es o f A a n d B . I n t h e t a b l e , " T " a n d " F " s t a p d f o r " tr u e " a n d"false ," respect ively .

A B n o t - AT T F TT F F TF T T TF F T F

A o r B A a n d B A ~ B A ~ BTFTT

TFFT

I f a s t a t e m e n t A is k n o w n t o b e a l w a y s f al se , t h e n t h e s t a t e m e n t "A ~ B" i s t r ue ,r e g a r d l es s o f w h a t w e k n o w o r d o n o t k n o w a b o u t B ; u n d e r t h e s e c i r c u m s t a n c e s w e m a y s a y~ h a t t h e i m p l i c a ti o n " A =~ B " i s v a c u o u s l y t r u e , o r t r i v i a l l y t r u e . T h e te r m " t ri v ia l lyt r u e " c a n a l s o b e u s e d t o d e s c r i b e t h e i m p l i c a t i o n " A ~ B" i f B i s know n to be a lw ayst rue , s ince in th a t cas e the va l id i ty o f A need no t be co ns ide red .1 . 6 . Ex e rc i se s .

a . T h e s t a t e m e n t " A ~ B " i s e q u i v a l e n t to t h e s t a t e m e n t " B o r n o t - A . " E x p l a i n .b . T h e c o n t r a p o s i t i v e o f " A =~ B " is t h e s t a t e m e n t " n o t - B => n o t -A . " S h o w t h a t a n

i m p l i c a t i o n a n d i t s c o n t r a p o s i t i v e are e q u i v a l e n t . W e s h a l l u s e t h e m i n t e r c h a n g e a b l y .c . ( D e M o r g a n ' s L a w s fo r l o g ic . ) E x pl ai n:

( n o t - A ) a n d ( n o t - B ) i s equ iva len t to n o t - ( A o r B ) ;(no t -A ) o r ( no t -B) i s equ iva len t to n o t - ( A a n d B ) .

1 . 7. D u a l i t y a r g u m e n t s . S o m e c o n ce p ts in m a t h e m a t i c s o cc u r i n p ai rs ; e a ch m e m b e ro f the pa i r i s s a id to be dua l to the o the r . A few exam ples a r e l i s t ed in the t ab le be low ;t h e s e e x a m p l e s a n d o t h e r s a r e d e v e l o p e d i n m o r e d e t a i l in la t e r c h a p t e r s . T h e s t a t e m e n t sa b o u t t h e s e c o n c e p t s o c c u r i n p ai r s. I n s o m e c a se s , o n e o f t h e t w o s t a t e m e n t s i s p r e f e r re d ,b e c a u s e i t i s m o r e r e l e v a n t t o a p p l i c a t i o n s o r i s s i m p l e r i n a p p e a r a n c e .

A c o n c e p t III a n dI t s d u a l o r m inmax in fsu p o p e nclosed in tcl idea lfil ter C3

G e n e r a l l y t h e r e i s a s i m p l e a n d m e c h a n i c a l m e t h o d f o r t r a n s f o r m i n g a s t a t e m e n t i n t oi t s d u a l s t a t e m e n t a n d f o r t r a n s f o r m i n g t h e p r o o f o f a s t a t e m e n t i n t o t h e p r o o f o f t h e d u a ls t a t em en t . F o r in s tance , D e M org an ' s Law s fo r log ic (g iven in 1 .6 .c) can be u s ed to conver tb e t w e e n a n d s a n d ors , by in s e r t ing a f ew n o t s . O ther s uch conver s ion ru les w i l l be g iveni n la t e r c h a p t e r s . I n s o m e c as e s, f o r b r e v i t y , w e s t a t e a n d / o r p r o v e o n l y o n e o f t h e t w os t a t e m e n t s i n t h e p a ir . T h e o t h e r s t a t e m e n t is l ef t u n s t a t e d a n d / o r u n p r o v e d , b u t t h er eader s hou ld be ab le to f i l l i n the mis s ing de ta i l s w i thou t any d i f f i cu l ty .1 . 8 . O n p a r s i n g s t r i n g s o f s y m b o ls . I n t h i s b o o k , w e g e n e r a l l y r e a d s e t - t h e o r e t i c a l o p e r a -t ions (n , U, C , e t c . ) f i r st , t he n s e t - the o re t i ca l r e l a t ions (= , C_, ~ , e t c . ) , t h en log ica l r e l a t ion s


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M a t h e m a t i c a l L a n g u a g e a n d I n f o r m a l L o g i c 7

b e t w e e n s t a t e m e n t s . F o r i n s t an c e ,A = B < ',. c n D 2 E ( , )

s h o u l d b e i n t e r p r e t e d a s

G e n e r a l l y w e o m i t t h e p a r e n t h e s e s , b u t w e m a y s o m e t i m e s u s e e x t r a s p a c i n g t o m a k e t h ec o r r e c t i n t e r p r e t a t i o n m o r e o b v i o u s :

A = B ,', ' , C A D D E .W e e m p h a s i z e t h a t th i s o r d e r o f p r e c e d e n c e d e p e n d s o n t h e c o n t e x t i .e ., t h e p r e s e n t

b o o k i s c o n c e r n e d w i t h a b s t r a c t a n a l y s i s . I n a d i f fe r e n t c o n t e x t , t h e e x p r e s s i o n ( , ) c o u l db e r e a d i n a n e n t i r e l y d i ff e re n t o r d e r . F o r i n s t a n c e , i n s o m e b o o k s o n l og i c, N m e a n s " a n d "an d _D m ea ns " is im pl ie d by." He nce a l l four of the sy mb ols - , < ::~ , N, an d _D are b i n a r yo p e r a t io n s o n s t a t e m e n t s i .e ., t h e y a r e o p e r a t o r s [] w i t h t h e s y n t a x t h a t i f P a n d Q a r es t a t e m e n t s , t h e n P D Q i s a s t a t e m e n t . T h e r e f o r e , i n a l o g ic b o o k , t h e d i s p l a y e d e q u a t i o n( , ) c o u l d m a k e s e n s e w i t h a n y a r r a n g e m e n t o f p a r e n t h e s e s , a n d i t w o u l d h a v e d if f er e n tm e a n i n g s w i t h d if f er e n t a r r a n g e m e n t s o f p a r e n t h e s e s . I n t h a t c o n t e x t , ( , ) w o u l d b e h i g h l ya m b i g u o u s ; s o m e p a r e n t h e s e s w o u l d b e n e e d e d f o r c l a r i f i c a t i o n .1 . 9 . P r o o f b y c o n t r a d i c t i o n is a n o n c o n s t r u c t i v e t ec h n i q u e o f l og ic , s o w i d e l y u s e di n m a i n s t r e a m m a t h e m a t i c s t h a t i t g e n e r a ll y g o es u n r e m a r k e d . I t m a y b e c o n fu s i n g t ob e g i n n i n g m a t h e m a t i c i a n s w h o h a v e n e v e r s e e n i t e x p l a i n e d . T h e t e c h n i q u e i s t h i s:

I f w e w i s h t o p r o v e A ~ B , w e c a n a s s u m e t h e t r u t h o f b o t h A a n d n o t -B . F r o m t h o s e tw o a s s u m p t i o n s w e d e d u c e a c o n t r a d i c ti o n ; t h e c o n t r a d i c t i o nd e m o n s t r a t e s t h a t i n d e e d A ~ B .

T h e j u s t i f i c a t i o n o f t h i s t e c h n i q u e i s 1 .6 . a.P r o o f b y c o n t ra d i c t i o n h a s t h i s a d v a n ta g e : W e w o r k fr o m tw o a s s u m p t i o n s ( b o t h A a n d

n o t - B ) r a t h e r t h a n j u s t t h e o n e a s s u m p t i o n o f A ; t h u s w e h av e m o r e s t a t e m e n t s o n w h i c h t ob u i l d . C o n s e q u e n t l y , p r o o f s b y c o n t r a d i c t i o n a r e o f t e n e a si e r t o d i s c o v e r t h a n d i r e c t p r o o f s .

P r o o f s b y c o n t r a d i c t i o n a l so h a v e a c o u p l e o f d i s a d v a n t a g e s :P r o o f s b y c o n t r a d i c t i o n a r e o f t e n h a r d e r t o r ea d t h a n d i r e c t p r o o f s b e c a u s e t h e y a r ec o n c e p t u a l l y m o r e c o m p l i c a t e d . P r o o f s b y c o n t r a d i c t i o n a r e c o n c e p t u a l l y c o m p l i c a te d .A b e g i n n i n g s t u d e n t o f m a t h e m a t i c s m a y p r e fe r to a s s u m e t h a t A is t r u e a n d t r y t od i s c o v e r w h a t e ls e i s t h e n t r u e a s o r t o f o n e - d i r e c t i o n a l a p p r o a c h . B u t a p r o o fb y c o n t r a d i c t i o n w o r k s s i m u l t a n e o u s l y i n t w o d i r e c t i o n s , m i x i n g t o g e t h e r s t a t e m e n t s( s u c h a s A a n d i t s c o n s e q u e n c e s ) t h a t w e t a k e t o b e t r u e w i t h s t a t e m e n t s ( s u c h a sn o t - B ) t h a t w e t e m p o r a r i l y p r e t e n d a r e t r u e b u t s h a l l e v e n t u a l l y d e c id e a re f al se . T h i ss c h e m e m u s t s e e m d i a b o l i c a l , o r a t l e a s t a m o r a l , t o b e g i n n e r s : I t i s n o t c o n c e r n e d s om u c h w i t h " w h a t i s t r u e , " b u t r a t h e r w i t h " w h a t i m p l i es w h a t . "


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8 Cha pter 1: Sets9 A p r o o f b y c o n t r a d i c t i o n i s o f t e n nonconstructive: I t m a y p r o v e t h e e x i s t e n c e o f s o m e

m a t h e m a t i c a l o b j e c t w i t h o u t p r o d u c i n g a n y e x p li c it e x a m p l e o f t h a t o b j e c t. F o r av e r y v i v i d e x a m p l e o f t h i s l a c k of e x a m p l e s , s e e 6 .5 . T h e a v a i l a b i l i ty o r u n a v a i l a b i l i t yo f e x p l i c i t e x a m p l e s i s o n e o f t h e m a i n t h e m e s o f t h i s b o o k . A p r o o f b y c o n t r a d i c t i o nm a y c o n v i n c e u s t h a t a s t a t e m e n t i s true, b u t i t m a y n o t g i v e u s a s m u c h intuitiveunderstanding o f t h a t s t a t e m e n t a s a d i r e c t p r o o f w o u l d .

1 . 1 0 . T h e p h r a s e "we m a y a s s u m e " is o f te n u se d in t h e li t e ra t u r e in w a y s t h a t m a yb e w i l d e r t h e n o v i c e . F o r i n s t a n c e , c o n s i d e r a p r o p o s i t i o n o f t h i s f o rm :

Proposition A. L e t X b e a m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a t i s f y i n g h y p o t h e s i s H ( X ) .T h e n X s a t i s f i e s c o n c l u s i o n C ( X ) .

A p u b l i s h e d p r o o f o f P r o p o s i t i o n A m i g h t b e g i n s o m e t h i n g l ik e t h is :( !) W e m a y a s s u m e t h a t X a l so s a t is f ie s p r o p e r t y P ( X ) .

T h e r e a s o n i n g s t e p ( !) h a s s e v e r a l p o s s i b le m e a n i n g s ; w e s h a l l d e s c r i b e t h r e e o f t h e m b e l o w .T h e s i m p l e s t m e a n i n g o f ( !) w o u l d b e t h a t

( 1 ) H y p o t h e s i s H ( X ) a c t u a l l y implies p r o p e r t y P ( X ) , b y s o m e r e a s o n i n g t h a ts h o u l d b e e v i d e n t t o a s u f f i c i e n t l y a d v a n c e d r e a d e r .

R e a d e r s w h o a r e n o t s o a d v a n c e d m a y s p e n d m a n y h o u r s t r y i n g t o f i l l i n t h a t r e a s o n i n g .H o w e v e r , ( !) m a y n o t m e a n ( 1 ) a f t e r a ll . I n d e e d , i f ( 1 ) w e r e t r u e t h e n (! ) w o u l d p r o b a b l yb e w o r d e d a b i t d i f f e r e n t ly e . g. , t h e p r o o f m i g h t h a v e b e g u n b y s a y i n g " W e f i rs t o b s e r v et h a t , o b v i o u s l y , H ( X ) ~ P ( C ) . " A m o r e l i k el y m e a n i n g o f ( !) i s t h i s:

(2 ) H ( X ) a n d n o t - P ( X ) t o g e t h e r i m p l y C ( X ) , b y s o m e r e a s o n i n g t h a t s h o u l db e e v i d e n t t o t h e r e a d e r . H e n c e , i n t r y i n g t o p r o v e H ( X ) ~ C ( X ) , w e m a yc o n c e n t r a t e o n t h e c a s e w h e r e P ( X ) h o l d s .

T h a t i s h a r d e r b u t s t i ll m a n a g e a b l e . A l a s , (! ) h a s y e t a t h i r d m e a n i n g , a n d t h i s o n e is m u c ht o o s u b t l e f o r s o m e b e g i n n e r s :

( 3 ) T h e t e x t w i ll n o w g i v e t h e d e t a i l s o f a p r o o f o f a s li g h t l y e a s i e r p r o p o s i t i o n .A f t e r r e a d i n g t h e p r o o f p r o v i d e d f o r t h e e a s i e r p r o p o s i t i o n , t h e r e a d e r i s e x p e c t e dt o f i g u re o u t t h e d e t a i l s o f how to use t h a t e a s i e r p r o p o s i t i o n t o p r o v e P r o p o s i t i o nA . T h e ea s i e r p ro p o s i t i o n i s a s f o l l o w s :Proposition B. L e t Y b e a m a t h e m a t i c a l o b j e c t s a t i s f y i n g h y p o t h e s e s H ( Y ) a n dP ( Y ) . T h e n Y s a t i s f i e s c o n c l u s i o n C(Y) .

T h e m i s s i n g d e t a i l s m i g h t g o a s f o l l o w s : L e t a n y o b j e c t X b e g i v e n , s a t i s f y i n g h y p o t h e s i sH ( X ) b u t n o t n e c e s s a r i l y p r o p e r t y P ( X ) . B y s o m e c l e v e r m e t h o d ( w h i c h t h e r e a d e r m u s tf i g u re o u t ) , w e n o w c o n s t r u c t a c o l le c t i o n o f r e l a t e d o b j e c t s Y1,Y2,Y3, . . . , w i t h e a c h Y ks a t i s f y i n g b o t h h y p o t h e s i s H(Yk) a n d p r o p e r t y P(Yk). T h e n P r o p o s i t i o n B i s a p p l i c a b l e t o


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Ma them at ica l Language and In formal Log ic 9t h e Yk ' s , an d so we can d r aw co n c lu s io n s C ( Y1 ) , C(Y2) , C ( Y 3 ) , . . . . B y s o m e c l ev e r m e t h o d( w h i c h , a g a i n , t h e r e a d e r m u s t f i g u r e o u t ) , w e m a y t h e n u s e t h a t i n f o r m a t i o n t o h e l p u sp r o v e C ( X ) .

I n s u c h a n a r g u m e n t , o b j e c t X d o e s n o t n ecessa r i ly sa t i s f y P ( X ) , d e s p i t e t h e w o r d i n go f s t a t em en t ( !) . T h e e f f ect o f s t a t em en t ( !) i s t o d i sca r d th e o r ig in a l o b jec t X , r ep lace i tw i t h t h e n e w o b j e c t ]Irk , a n d r e l a b e l Y k t o c a ll it X n o w . S o m e o t h e r r e l a b e l i n g a r g u m e n t swi l l b e d i scu ssed an d u sed in 2 .1 9 , 7 .2 1 , an d 1 6 .5 .1 . 1 1 . How m uch form al i sm do we need? I t i s n o t n ecessa r y to l ea r n th e d e f in i t i o n s o f" n o u n " a n d " v e rb " t o b e c o m e a f lu e n t s p e a k e r o f E n g l i s h ( o r a n y o t h e r n a t u r a l l a n g u a g e ) .O n e c a n l e a r n t h e l a n g u a g e q u i t e w e l l j u s t b y s t u d y i n g e x a m p l e s ; t h i s i s t h e m e t h o d b yw h i c h t o d d l e r s l e a r n t h e i r n a t i v e t o n g u e .

S i m i l a r l y , m o s t m a t h e m a t i c i a n s u s e l o g i c p r o p e r l y w i t h o u t e v e r k n o w i n g i t s f o r m a l r u l e s .T h i s b o o k i s i n t e n d e d f o r " m o s t m a t h e m a t i c i a n s , " a n d w e s h a l l d i s c u s s l o g i c a n d f o r m a l s e tt h e o r y a s l i t t l e a s p o s s i b l e . T h e f e w c o n c e p t s f r o m l o g i c a n d s e t t h e o r y t h a t w e s h a l l n e e dw i l l b e d e v e l o p e d b r i e f l y a n d i n f o r m a l l y . F o r a m o r e c o m p l e t e a n d f o r m a l d e v e l o p m e n t , t h ei n t e r e s t e d r e a d e r i s r e f e r re d t o m o r e a d v a n c e d a n d s p e c i a l i z ed b o o k s a n d p a p e r s .

I n f o r m a l r e a s o n i n g i s n o t a l w a y s r e li a b le , i n p a r t b e c a u s e i n f o r m a l l a n g u a g e i s n o t a l w a y sr e li a b le . N a t u r a l l a n g u a g e s ( s u c h a s E n g l i s h ) e v o l v ed t o s u i t t h e m u n d a n e , o r d i n a r y , re a lw o r l d , b u t m a t h e m a t i c i a n s o f t e n f i n d t h e m s e l v e s c o n s i d e r i n g e x t r a o r d i n a r y i d e a s .

F o r i n s t a n c e , a s e l f -r e fe r e n c in g s t a t e m e n t s u c h a sT h i s s t a t e m e n t i s f a l s e

c a n n o t b e t r u e or f al se . ( T h i s is t h e s i m p le s t f or m of t h e P a r a d o x o f t h e L i a r , a ls o k n o w na s t h e P a r a d o x o f E p i m e n i d e s . ) S u c h s t a t e m e n t s d o n o t ar is e i n "o r d i n ar y " re a li ty , b u ts u c h s t a t e m e n t s s h o w m a t h e m a t i c i a n s a n e e d f o r c a r e f u l r u l e s a b o u t l a n g u a g e a n d r e a s o n i n g .T h e s i m p l e s t w a y t o d e a l w i t h s e l f - re f e re n c i n g s t a t e m e n t s i s t o s i m p l y p r o h i b i t t h e ma n d a v o i d t h e c o n f u s i o n. W e s h a l l fo ll ow t h a t p o l i c y i n t h i s b o o k . H o w e v e r , w e r e m a r k t h a tse l f - r e f e r en c in g r ecen t ly h as b een an a ly zed in a mean in g f u l an d u se f u l way b y Acze l [ 1 9 8 8 ]a n d B a r w i s e a n d E t c h e m e n d y [ 1 9 8 7 ] . S u c h a n a l y s e s a r e e s p e c i a l l y u s e f u l i n t h e t h e o r y o fc o m p u t e r p r o g r a m s . A c o m p u t e r p r o g r a m m a y o p e r a t e o n d a t a f ile s t h a t a r e s t o r e d i nm e m o r y ; o n e o f t h o s e f il es m a y b e t h e p r o g r a m t h a t i s o p e r a t i n g .1 . 1 2 . W e s h o u l d m e n t i o n o n e m o r e t y p e o f s e l f- r ef e re n c i n g b ef o r e w e le a v e t h e t o p i c . T h es e l f- r ef e r e nc i n g in E p i m e n i d e s ' s P a r a d o x i s v e r y d ir e c t : T h e w o r d " t h is " i n t h e s e n t e n c e" T h i s s e n t e n c e i s f a ls e " p o i n t s d i r e c t l y t o t h e s e n t e n c e i n w h i c h t h a t w o r d i s l o c a t e d . B u tQ u i n e ' s P a r a d o x , b e l o w , i n v ol v es a m o r e i n d i r e c t t y p e o f s e l f- r ef e r en c i ng , w h i c h h a s s o m ei m p o r t a n t u s e s i n l o g i c .

A t y p i c a l s e n t e n c e i n E n g l i s h c o n s i s t s o f a s u b j e c t f o ll o w e d b y a p r e d i c a t e . F o r i n s t a n c e ,in each o f th e sen ten ce s

Jane is a g i r l .J a n e r u n s w i t h t h e b a l l .


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1 0 C h a p t e r 1" S e t s

t h e s u b j e c t i s " J a n e " a n d t h e p r e d i c a t e i s t h e r e m a i n d e r o f t h e s e n t e n c e . T h e s u b j e c t i ss o m e " t h i n g " t h a t i s b e i n g d i sc u s s e d ; t h e p r e d i c a t e s a y s t h a t t h e s u b j e c t " is " s o m e t h i n g o r" d o e s " s o m e t h i n g .

M a t h e m a t i c i a n s o f te n w i s h t o d i sc u s s m a t h e m a t i c a l o b j e c t s , s o i n a m a t h e m a t i c s t e x tt h e s u b j e c t o f a s e n t e n c e c a n b e a m a t h e m a t i c a l s y m b o l o r f o r m u l a . F o r i n s t a n c e ,

[ ] i s a box sym bol ." [ 3 " i s a b o x s y m b o l .x i s a var iable ." x " i s a v a r i a b l e ."x - y" i s a n e q u a t i o n .

a r e al l a c c e p t a b l e s e n t e n c es i n a m a t h e m a t i c s b o o k o r p a p e r . W h e t h e r w e i n c lu d e o r o m i t t h eq u o t a t i o n m a r k s is g e n e r a ll y a m a t t e r o f t a s t e; o u r m a i n r u l e is t h a t t h e i n t e n d e d m e a n i n gs h o u l d b e c l e ar . I n t h i s a u t h o r ' s o p i n i o n , t h e l a s t e x a m p l e w o u l d b e c o m e c o n f u s i n g if t h eq u o t a t i o n m a r k s w e r e o m i t t e d , b u t t h e q u o t a t i o n m a r k s a r e o p t i o n a l i n t h e o t h e r e x a m p l e s .( O f c o u r s e, i n a b o o k o r p a p e r o n l o g ic , t h e q u o t a t i o n m a r k s m a y h a v e a m o r e t e c h n i c a lm e a n i n g , a n d t h e n t h e i r u s e o r o m i s s i o n i s n o l o n g e r a m a t t e r o f t a s t e . )

W e s h a l l n o w c o n s i d e r s e n t e n c e s t h a t f o l lo w th e f o r m a t d e s c r i b e d a b o v e , b u t i n t h e s es e n t e n c e s t h e s u b j e c t w i l l b e s o m e p h r a s e o f t h e E n g l i s h la n g u a g e i .e ., a s e n t e n c e fr a g -m e n t . T h u s , w e s h a l l c o n s i d e r s e n t e n c e s t h a t d i s c u s s c e r t a i n s e n t e n c e f ra g m e n t s . I n e a c hc a s e, t h e s e n t e n c e f r a g m e n t w i ll c o n s i s t o f a s e n t e n c e w h o s e s u b j e c t h a s b e e n o m i t t e d .

" is a gi rl " i s a s e n t e n c e f r a g m e n t c o m p o s e d o f t h r e e w o r d s ." r u n s w i t h t h e b a l l " i s a s e n t e n c e f r a g m e n t c o m p o s e d o f f o u r w o r d s ."is a s e n t e n c e f r a g m e n t " i s a s e n t e n c e f r a g m e n t ." i s c om po se d o f f ive wor ds" i s c om po se d o f f ive wor ds .

E a c h o f t h o s e f o u r s e n t e n c e s is t r u e . T h e l a s t tw o s e n t e n c e s h a v e a p e c u l i a r s t r u c t u r e : t h e yc o n s i s t o f a s e n t e n c e f r a g m e n t i n q u o t e s , f ol lo w e d b y t h e s a m e s e n t e n c e f r a g m e n t w i t h o u tquo te s , f o l l owe d by a pe r iod . I n Ho f s t a d t e r [ 1979] , t he p r o c e ss o f f o r m ing suc h a se n t e n c ef r o m s u c h a f r a g m e n t i s c a l le d q u i n i n g . T h u s , t h e l a s t s e n t e n c e d i s p l a y e d a b o v e is t h er e s u l t o f s t a r t i n g f r o m t h e f r a g m e n t

i s c om pose d o f f i ve wor dsa n d t h e n q u i n i n g t h a t f r a g m e n t .

N o w , Q u i n e ' s P a r a d o x c o n si st s o f t h e p ec u l ia r se n te n c e" y i e l d s a f a l s e h o o d w h e n p r e c e d e d b y i t s q u o t a t i o n " y i e l d s a f a l s e h o o d w h e np r e c e d e d b y i t s q u o t a t i o n .


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Basic Notations fo r Sets 11

o r , i n H o f s t a d t e r ' s t e r m i n o l o g y ," y i e l d s a f a l s e h o o d w h e n q u i n e d " y i e l d s a f a l s e h o o d w h e n q u i n e d .

T h e s e s e n t e n c e s a r e p a r a d o x i c a l : t h e y a r e f a ls e i f t r u e , a n d t r u e i f f a ls e . ( T h i n k a b o u t i tf o r a m o m e n t . ) T h e s e s e n t e n c e s d o n o t i n v o lv e d i r e c t s e lf - r e f e re n c i n g o f t h e s o r t f o u n d i nE p i m e n i d e s ' s P a r a d o x ; t h e r e is n o " t h i s " t h a t p o i n t s t o it se l f. H o w e v e r , i n e i t h e r f o r m u -l a t i o n , Q u i n e ' s p e c u l i a r s e n t e n c e d i s c u s s e s a n o t h e r s e n t e n c e t h a t w o u l d b e f o r m e d a s t h er e s u l t o f a q u i n i n g . J u s t b y c o i n c id e n c e ( n o t r e a l ly ) , t h e s e n t e n c e b e i n g d i s c u s s e d h a p p e n st o b e i d e n t i c a l t o t h e s e n t e n c e d o i n g t h e d i s c u s s i n g . Q u i n e f o r m e d t h i s p a r a d o x i n o r d e r t oe x p l a i n G h d e l ' s P r o o f ; s e e 1 4 . 6 2 .

B A S I C N O T A T I O N S F O R S E T S

1 . 1 3 . A s e t is a c o l le c t i o n o f o b j e c t s . T h i s i s n o t r e a l l y a d e f in i t i o n , s in c e w e d o n o t s t a t ew h a t a " c o l le c t i o n " is ; w e s h a l l r e l y o n th e r e a d e r ' s i n t u i t i o n a b o u t t h e s e t e r m s . A m o r ef o r m a l a p p r o a c h w i l l b e i n t r o d u c e d i n 1 . 4 4 a n d t h e s e c t i o n s t h e r e a f t e r .

T h r e e c o m m o n w a y s t o s p e c i f y a s e t a r e b y l i s t i n g t h e o b j e c t s i n t h e s e t , b y s p e c i f y i n g al a r g e r s e t a n d a p r o p e r t y t h a t d e t e r m i n e s t h e s u b s e t i n q u e s t i o n , a n d b y l i s t i n g a p a r a m e t e rs e t a n d a w a y t o f o r m s o m e o b j e c t f r o m e a c h v a l u e o f t h e p a r a m e t e r . F o r i n s t a n c e , t h e s e to f o d d p o s i t i v e i n t e g e r s c a n b e r e p r e s e n t e d i n a n y o f t h e s e w a y s :

{1, 3, 5 , 7 , . . . } = { h E N : n i s o d d } = { 2 m + 1 : m E N } .I n t h e l a s t e x p r e s si o n , N is u s e d a s a i n d e x s e t , o r p a r a m e t e r s e t . ( S o m e m a t h e m a t i c i a n sw o u l d w r i t e t h a t l a s t e x p r e s s i o n a s { 2 m + l l m E N } , b u t t h i s b o o k w i ll h a v e t o o m a n yo t h e r u s e s f o r v e r t i c a l b a r s . )

T h e o r d e r o f t h e e l e m e n t s o f a se t is n o t r e l e v a n t , a n d r e p e t i t i o n s a r e i g n o r e d ; f o ri n s t an ce , { 1 , 2 , 3 , 4 } = { 4 , 3 , 1 , 2 } = { 1 , 2 , 3 , 1 , 4 } . T o em p h a s i ze t h i s w e m ay o cc as i o n a l l yr e f e r t o a s e t a s an unordered set t o c o n t r a s t i t w i t h o r d e r e d s e t s , s u c h a s t h o s e i n 1 . 3 2 .T w o s e ts A a n d B a r e d e f in e d t o b e e q u a l ( a s s e ts ) i f t h e y c o n t a i n t h e s a m e e l e m e n t si .e. , i f th ey sa t isf y x E A 4=~ x E B.

T w o m a t h e m a t i c a l o b j e c t s m a y b e e q u a l a s s e t s e v e n t h o u g h t h e y h a v e d i f f e r e n t a d d i -t i o n a l s t r u c t u r e s a s s o c i a t e d w i t h t h e m . F o r in s t a n c e , t h e r e a l n u m b e r s y s t e m w i t h i t s u s u a lt o p o l o g y is d i f fe r e n t f r o m t h e r e a l n u m b e r s y s t e m w i t h t h e d is c r e t e t o p o l o g y i .e ., t h e s ea r e d if f e r e n t t o p o l o g i c a l s p a c e s . B u t t h e s e t o p o l o g i c a l s p a c e s a re e q u a l as sets, s i n c e t h e yh a v e t h e s a m e m e m b e r s .T h e t e r m " c o l l e ct i o n " w i ll u s u a l l y m e a n t h e s a m e t h i n g a s " s e t , " b u t o c c a s i o n a l l y " c ol -l e c t i o n " m a y h a v e t h e m o r e g e n e r a l m e a n i n g o f " c l a s s , " d i s c u s s e d i n 1 . 4 4 .1 . 1 4 . H e r e a r e t h e t w o m o s t b a s ic n o t i o n s o f s e ts :

"x E S " is r e a d a s: x b e l o n g s t o S , or x is a n e l e m e n t o f S , o r x is a m e m b e ro f S . I t is o c c a s i o n a l l y w r i t t e n a s "S ~ x."


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12 Chap ter l " Se ts" A _c B " me an s x c A =~ x E B ; th a t i s, each e l emen t o f A i s a l so an e l emen to f B . I t is r e a d a s: A i s a s u b s e t o f B , or B i s a s u p e r s e t o f A . I t is a ls ow r i t t e n a s " B D A . "

U n f o r t u n a t e l y , t h e t e r m s " i n c l u d e" a n d " c o n t a in " a r e a m b i g u o u s . A s t h e y a r e c o m m o n l yu s e d in t h e m a t h e m a t i c a l l i te r a t u re ,

e i t h e r o f t h e s t a t e m e n t s " U i n c l u d e s V " o r " U c o n t a i n s V " c a n h a v e e i t he r ofth e me an in g s " U ~ V" o r " U _D V."

W h e n t h e w o r d s " i n c l u d e " o r " c o n t a i n " a r e u s e d , t h e r e a d e r m u s t d e t e r m i n e t h e i n t e n d e dm e a n i n g f r o m c o n t e x t .

T h e s t a t e m e n t " x i s n o t a n e l e m e n t o f S " c a n b e w r i t t e n x ~ S ; t h e s t a t e m e n t " A i sn o t a su b s e t o f B " i s o ccas io n a l ly wr i t t e n a s A ~ B . W h e n S c_ X an d S r X , we say S isa p r o p e r s u b s e t o f X , o r X is a p r o p e r s u p e r s e t o f S ; t hi s is s o m e t im e s w r i tt e n S C Xo r X D S .

T h e s y m b o l s C a n d D a r e a m b i g u o u s : T h e y a r e u s e d f o r C_ a n d _D b y s o m e m a t h e -m a t i c i a n s , a n d f o r c a n d D b y o t h e r m a t h e m a t i c i a n s . W e s ha l l n o t u s e c o r D i n t h i sb o o k .1 . 1 5 . Some se t s o f numbers . N u m b e r s a r e t h e b a s i s o f w h a t m o s t a n a l y s t s c o n s i d e r t o b e" a n a l y s is . " T h e l is t b e lo w s h o w s s o m e o f t h e m o s t c o m m o n l y u s e d s e t s o f n u m b e r s .

NZQRC1"FA , I B , II 3

p o s i t i v e i n t e g e r s ( a l s o k n o w n a s n a t u r a l n u m b e r s )in t eg e r sr a t i o n a l n u m b e r s ( q u o t i e n t s o f i n t e g er s )r e a l n u m b e r s ( i n t r o d u c e d f o r m a l l y i n C h a p t e r 1 0)e x t e n d e d r e a l s ( i n t r o d u c e d i n 1 . 1 7 )c o m p l e x n u m b e r s ( i n t r o d u c e d i n C h a p t e r 1 0 )th e c i r c l e g r o u p ( in t r o d u ced in 1 0 .3 2 . f )u n sp ec i f i ed f i e ld - - g en e r a l ly u n d e r s to o d to b e IR o r Cd i r ec t ed se t s ( " g en e r a l i zed n u mb er s ; " see 7 .3 )

W e a s s u m e a n i n f o r m a l a c q u a i n t a n c e w i t h Q a n d IR - - e .g . , t e c h n i q u e s o f c o m p u t a t i o n ,s u c h a s i n co l le g e c a l c u lu s . R e l y i n g o n t h a t i n f o r m a l a c q u a i n t a n c e o n l y f or s o m e i l l u s t r a t iv eex am p les , i n l a t e r ch a p te r s we sh a l l ca r e f u l ly d ev e lo p b as i c id eas o f o r d e r in g s , g r o u p s , an df ie ld s, l ead in g u p to f o r m a l d e f in i t t o n s o f Q , R , an d C in C h a p te r 1 0.1 .1 6 . I n th i s b o o k , N an d 7Z h av e th e i r u su a l , c l a ss i ca l me an in g s , an d we a ssu me a f ami l i a r i tyw i t h t h e e l e m e n t a r y p r o p e r t i e s o f t h o s e s e t s o f n u m b e r s . Caution: M a n y m a t h e m a t i c i a n sa g r ee w i t h o u r d e f in i ti o n t h a t N = { 1 , 2 , 3 , . . . } , b u t m a n y o t h e r s i n s te a d u s e t h e s y m b o l Nto r e p r ese n t t h e se t {0 , 1 , 2 , 3 , . . . } .

Se t t h eo r i s t s o f t en f in d i t u se f u l t o d e f in e th e in t eg e r s ( an d ev e r y th in g e l se ) i n t e r ms o fs e t s s e e 1 .4 6. Z e r m e l o d e f in e d t h e n o n n e g a t i v e i n t eg e r s 0 , 1 , 2 , 3 , . . . t o b e t h e s e ts o ,


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B a s i c N o t a t i o n s f o r S e t s 13{ O } , { { O } } , { { { ~ } } } , a n d s o o n . L a t e r , v o n N e u m a n n d e f i n e d t h e n o n n e g a t i v e i n t e g e r s t ob e t h e s e t s { e } , { e , { e ,a n d s o o n , a s d e s c r i b e d i n 5 .4 4 . E i t h e r o f t h e s e d e f i n i ti o n s is m a n a g e a b l e , b u t v o n N e u m a n n ' sm o r e c o m p l i c a t e d d e f i n i ti o n h a s a f ew a d v a n t a g e s f o r p u r p o s e s o f s e t t h e o r y , a n d s o i t i sn o w w i d e l y u s e d i n t h a t f ie ld .

F o r p u r p o s e s o u t s i d e o f s e t t h e o ry , h o w e v e r , i t i s c o n c e p t u a l l y s i m p l e r n o t t o a t t a c ht h e l a b e l s " 0 , " " 1 , " " 2 ," e t c . , t o p a r t i c u l a r s e t s . ( T h i s p o i n t i s d i s c u s s e d f u r t h e r b y H i r s c h[ 19 9 5] .) I n s t e a d w e u s u a l l y v i e w t h e i n t e g e r s a s i n d i v i s i b l e o b j e c t s , f o r w h i c h w e d e f i n ea l g e b r a i c o p e r a t i o n s i n t h e u s u a l f a s h io n . T h u s N U { 0} i s a m o n o i d a n d Z i s a r ing; t h e s en o t i o n s a r e d i s c u s s e d i n C h a p t e r 8 .

I n d e a l i n g w i t h t h e i n t e g e rs , w e s h a l l r e l y on t h e r e a d e r ' s i n t u i t i o n , n o t o n a p r e c i s ed e f i n i t i o n a n d l i st o f p r o p e r t i e s . A l t h o u g h i t i s p o s s i b l e t o s p e c i f y t h e p o s i t i v e i n t e g e r su n i q u e l y b y P e a n o ' s A x i o m s ( se e 1 4 .5 2 ), t h a t s p e c i f i c a ti o n i s n o n t r i v i a l a n d r e s t s o n a nu n d e r s t a n d i n g o f c o n v e n t i o na l l a n g u a g e. I n n o n s t a n d a r d a n a l ys i s, l a n g u a g e is s o m e t i m e su s e d i n a d if f e re n t f a s h io n , a n d t h e n t h e " i n t e g e rs " t a k e o n a n e w m e a n i n g , a s d e s c r i b e d i n1 4 .6 8 a n d 1 4 .6 9 . T h e r e a d e r o f t h i s b o o k d o e s n o t n e e d t o b e f a m i l i a r w i t h t h e n o n s t a n d a r di n t e g e rs ; w e h a v e m e n t i o n e d t h e m h e r e o n l y t o e m p h a s i z e o u r r e l ia n c e o n s o m e s h a r e di n t u i t i o n a b o u t t h e s t a n d a r d ( i. e. , c o n v e n t i o n a l ) i n t e g e r s .1 . 1 7 . L e t + o c a n d - c o b e t h e n a m e s g i v en t o s o m e t w o o b j e c t s t h a t a r e n o t re a l n u m -b e rs ; t h e o b j e c t + c o m a y a ls o b e a b b r e v i a t e d a s o c. T h e e x t e n d e d r e a l l i n e , d e n o t e d[ - o c , + o c ] , i s t h e s e t IR U { - o c , + c o } t h a t i s , t h e r e a l n u m b e r s y s t e m IR p l u s t h e s e t w oa d d i t i o n a l p o i n t s . W e e x t e n d t h e o r d e r i n g o f R t o t h i s l a r g e r s e t b y d e fi n i n g - o c < r < + c of or a l l r e a l n u m b e r s r . A d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n a r e u s u a l l y e x t e n d e d t o t h i s la r g e r s e to f n u m b e r s b y t h e r u l es i n d i c a t e d i n t h e f o l lo w i n g ta b l e s . I n th e t a b l e s , "undef . ," " p o s . , "a n d " n e g . " a r e a b b r e v i a t i o n s f o r " u n d e f i n e d , " " p o s i t iv e r e a l ," a n d " n e g a t i v e r e a l ." T h ep r o d u c t o f 0 a n d + o c i s s o m e t i m e s l e ft u n d e f in e d , b u t m o r e o f t e n i t i s d e f i n e d to b e 0 . T h a tp r o d u c t m a y c o m e a s a su r p r i s e t o s o m e s t u d e n t s a n d i s d i s c u s s e d f u r t h e r i n 1 5. 2 8. c.

I p L U S I I I re l l- o c - o c - o c u nd ef .r e a l - o c r e al + o c+ o c u n d e f. + o c + o c

T I M E S II- I n e g . I ~ ~ I I- o c + c o + c o 0 c o c on e g . + o c p o s . 0 n e g . c o

0 0 0 0 0 0n e g . o c n e g . 0 p o s . + o c+ c o c c o c 0 + o c + o c

1 . 1 8 . Prev iew o f a sso r ted in f in i t i e s . T h e t e r m " i n fi n i ty " h a s s e v e r a l d i f fe r e n t m e a n i n g s i nm a t h e m a t i c s , a n d i t is i m p o r t a n t n o t t o c o nf u se t h e s e w i t h e a c h o t h e r.

1 .S o m e o ld e r m a t h e m a t i c s b o o k s s o m e t i m e s re f er t o a p o t e n t i a l i n f i n i t y s u c h a s l im x l 0 5,t h i s i s a v e r y la r g e f i ni t e n u m b e r t h a t g e t s l a r g e r w i t h o u t b o u n d . O u r d e a l i n g s w i t h p o t e n t i a li n fi n it ie s m a y b e s i m p l

Handbook of Analysis and Its Foundations 2

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