MECANICA ANALTICA II

Taller II: Hamilton-Jacobi y variables accion-angulo

Carlos A. Conde O.

(1098721640)

1. A partir del siguiente codigo de programacion en Matlab, se determinaron las figuras de Lis-sajous que resultan del problema de un oscilador armonico bidimensional anisotropico y enparticular el oscilador isotropico cuya solucion esta parametrizada de la siguiente forma:

OSCILADOR ARMONICO BIDIMENSIONAL ANISOTROPICO

x = x0 sin(xt+ x) y = y0 sin(yt+ y) (1)

x0 =

2xm2x

y0 =

2ym2y

(2)

OSCILADOR ARMONICO BIDIMENSIONAL ISOTROPICO

x = x0 sin(t+ x) y = y0 sin(t+ y) (3)

x0 =

2

m2y0 =

2

m2(4)

El codigo esta dado por:

clc ; close a l l ; clear ;

t = chebfun ( t , [ 0 2pi ] ) ;m = 3 ; n = 4 ;x = sin (m t ) ;y = sin (n t ) ;

LW = Linewidth ; lw = 1 . 6 ; FS = f o n t s i z e ;subplot ( 2 , 3 , 1 ) , plot (x , y ,LW, lw )axis ([1 1 1 1 ] ) , axis square o f ft i t l e ( sprintf ( m= %d n= %d d= %3.1 f ,m, n , 0 ) , FS , 1 5 )

1

m = 5 ; n = 2 ;x = sin (m t ) ;y = sin (n t+(pi / 2 ) ) ;

subplot ( 2 , 3 , 2 ) , plot (x , y ,LW, lw )t i t l e ( sprintf ( m= %d n= %d d= %0.3 f ,m, n , pi /2) ,FS , 1 5 )axis ([1 1 1 1 ] ) , axis square o f f

m = 3 ; n = 5 ;x = sin (m t ) ;y = sin (n t+pi / 4 ) ;

subplot ( 2 , 3 , 3 ) , plot (x , y ,LW, lw )t i t l e ( sprintf ( m= %d n= %d d= %0.3 f ,m, n , pi /4) ,FS , 1 5 )axis ([1 1 1 1 ] ) , axis square o f f

m = 4 ; n = 1 ;x = sin (m t ) ;y = sin (n t+pi / 6 ) ;

subplot ( 2 , 3 , 4 ) , plot (x , y ,LW, lw )t i t l e ( sprintf ( m= %d n= %d d= %0.3 f ,m, n , pi /6) ,FS , 1 5 )axis ([1 1 1 1 ] ) , axis square o f f

m = 1 ; n = 5 ;x = sin (m t ) ;y = sin (n t+pi / 8 ) ;

subplot ( 2 , 3 , 5 ) , plot (x , y ,LW, lw )t i t l e ( sprintf ( m= %d n= %d d= %0.3 f ,m, n , pi /8) ,FS , 1 5 )axis ([1 1 1 1 ] ) , axis square o f f

m = 5 ; n = 3 ;x = sin (m t ) ;y = sin (n t+3pi /10 ) ;

subplot ( 2 , 3 , 6 ) , plot (x , y ,LW, lw )t i t l e ( sprintf ( m= %d n= %d d= %0.3 f ,m, n ,3 pi /10) ,FS , 1 5 )axis ([1 1 1 1 ] ) , axis square o f f

NOTA: Las curvas de x-y que se grafican a continuacion estan basadas en las soluciones dadaspor (1) y (3) en coordenadas cartesianas. El problema es posible solucionarlo en coordenadaspolares, sin embargo, el programa puede generar ciertos errores al graficar las soluciones debidoa las discontinuidades de arcotangente.

2

OSCILADOR ARMONICO BIDIMENSIONAL ANISOTROPICO

m=3 n=4 d=0.0 m=5 n=2 d=1.571 m=3 n=5 d=0.785

m=4 n=1 d=0.524 m=1 n=5 d=0.393 m=5 n=3 d=0.942

Figura 1: Grafica de x-y para el oscilador armonico anisotropico unidimensional con m=x , n=y, d ladiferencia de fase y amplitudes iguales.

El codigo para el oscilador armonico bidimensional isotropico es muy similar, basta con hacerm = n y cambiar la diferencia de fase en el codigo anterior. Algunas figuras se muestran acontinuacion:

OSCILADOR ARMONICO BIDIMENSIONAL ISOTROPICO

m=1 n=1 d=0.0 m=1 n=1 d=1.571 m=1 n=1 d=0.785

m=1 n=1 d=2.094 m=1 n=1 d=0.393 m=1 n=1 d=3.000

Figura 2: Grafica de x-y para el oscilador armonico isotropico unidimensional con m= , n=, d la diferenciade fase y amplitudes iguales.

3

2. El Hamiltoniano que describe un pendulo simple esta dado por:

H =p2

2ml2mgl cos = E (5)

Despejando el momentum se obtiene que:

p =

2ml2(E +mgl cos ) (6)

De la ecuacion anterior se pueden identificar las curvas en el espacio de fase (, p) segun losvalores que tome la energa para tres casos:

E < mgl: En este caso el valor de es acotado con la condicion:

m < < m ; m = cos1[ Emgl

](7)

La curva en el espacio de fase representa una trayectoria cerrada, por tanto es un movi-miento perodico de libracion.

E > mgl: En este caso el valor de puede tomar cualquier valor pues la raiz en (4) nuncaes negativa. La trayectoria en el espacio de fase es perodica pero abierta y por tanto es unmovimiento de rotacion.

E = mgl: Este es el caso lmite cuando el pendulo al tomar un valor de = pi elmomentum p = 0. Por tanto, este es un punto de equilibrio inestable en el cual se puedequedar indefinidamente pero si hay una pequena perturbacion el pendulo puede tomar doscaminos drasticamente distintos (grio para cualquiera de los dos lados). Entonces, el punto = pi , p = 0 es un punto de silla para el Hamiltoniano H = E(, p). En dicho puntose intersectan dos caminos del espacio de fase con energa constante. Este fenomenos seconoce como bifurcacion.

A continuacion se muestra el codigo utilizado para graficar las curvas en el espacio de fase paracada uno de los tres casos anteriormente mencionados:

clear a l l ; clc

% Definiendo l a s cons tan te s

m=1;g=10;l =1;

Npuntos =1000000000000;f igure (1 )MenorFlag=0;for E=10:18 %18:1:18

i f E

elseTeta=linspace ((11/10)pi , ( 31/10 ) pi , 5 0 0 0 ) ;co l o r code= r ;MenorFlag=0;

end

p=sqrt (2m l 2(E+mg l cos ( Teta ) ) ) ;

plot ( Teta , p , co l o r code ) ;hold onplot ( Teta ,p , co l o r code )i f MenorFlag==1

plot ( Teta+2pi , p , c o l o r code )plot ( Teta+2pi ,p , co l o r code )

endend

t i t l e ( CURVAS EN EL ESPACIO DE FASE PARA UN PENDULO )xlabel ( \Theta )ylabel ( P )box o f f ; hold o f fprint depsc a n a l i t i c a

4 2 0 2 4 6 8 108

6

4

2

0

2

4

6

8CURVAS EN EL ESPACIO DE FASE PARA UN PENDULO

P

Figura 3: Curvas en el espacio de fase para un pendulo simple.

5

3. Para el problema de Kepler que ha sido resuelto en coordenadas esfericas, obtenemos los mo-mentos generalizados de la siguiente forma:

p = p =

2

2sin2

pr =

2m [E V (r)]

2

r2(8)

Las variables accion a partir de (8) quedan de la forma:

J = 2pi J =

2

2sin2

d Jr =

[2m [E V (r)]

2

r2

]dr (9)

Para calcular la segunda integral es util la siguiente figura:

~L

Y

Z

rA

rB = rA

1i 0

Interseccion del plano demovimiento con el plano YZ

Figura 4: El plano YZ es perpendicular al plano de movimiento. Cuando la partcula alcanza una posicionde mnimo o maximo valor de , el vector posicion de la partcula esta en el mismo plano que el eje Z y elmomento angular.

De la figura 4, es facil observar que la componente Z del momento angular esta dado por:

L cos i = Lz cos i = LzL

=

(10)

La segunda ecuacion en (9) queda en terminos de cos i como:

J =

1 22

1

sin2

d = 1 cos2 isin2

d (11)

Para determinar los lmites de integracion es necesario deteriminar los angulos mnimo y maximode un vector posicion con respecto al eje Z. De la figura 4, se puede observar que el plano delmovimiento es perpendicular al eje Y Z. Dicho plano coincide con el plano del papel y el ejeX sale del papel. Como ~L siempre es perpendicular al plano de movimiento, es perpendiculara cualquier vector posicion, por tanto podemos trasladarlo al origen y de esta forma ~L yaceen el plano Y Z. De la figura se puede observar que los valores para mnimos y maximos seobtienen cuando vector posicion r , el eje Z y el momento angular ~L son coplanares. Los angulosextremos estan dados por:

0 =pi

2 i 1 = pi 0 = pi

2+ i (12)

6

El circuito completo se reduce en barrer desde 0 hasta 1 y volver. Equivalentemente la integral(11) se puede escribir como 4 veces la entegral entre pi/2 y (pi/2) + i, esto es:

J = 4

(pi/2)+ipi/2

1 cos

2 isin2

d = 4

(pi/2)+ipi/2

sin2 cos2 i

sin2 d

= 4

(pi/2)+ipi/2

cos2 + 1 cos2 isin

d = 4

(pi/2)+ipi/2

sin2 i cos2

sin d

Haciendo la siguiente sustitucion:

cos = sin i sin sin d = sin i cosd (13)

J = 4

(pi/2)+ipi/2

sin d

sin2

sin2 i cos2 = 4

pi/20

sin i cosd

1 (sin i sin)2

sin2 i (sin i sin)2

= 4

pi/20

sin2 i cosd

1 sin2 i sin2

1 sin2 = 4 sin2 i pi/20

cos2 d

1 sin2 i sin2 Si hacemos ahora:

u = tan du = (1 + tan2 )d = (1 + u2)d (14)

J = 4 sin2 i

pi/20

d1

cos2 sin2 i tan2

= 4 sin2 i

pi/20

d

(1 + tan2 ) sin2 i tan2

J = 4 sin2 i

0

du

(1 + u2)[1 + u2(1 sin2 i)]= 4

0

sin2 i(1 + u2)[1 + u2 cos2 i]

du

Utilizando fracciones parciales:

J = 4

0

du

[1

1 + u2 cos

2 i1 + u2 cos2 i

]= 4

0

du

1 + u2 4 cos2 i

0

du

1 + u2 cos2 i

Haciendo u = u cos i, entonces du = cos idu en la segunda integral anterior:

J = 4

0

du

1 + u2 4 cos2 i

0

du/ cos i1 + u2

= 4

[ 0

du

1 + u2 cos i

0

du

1 + u2

]

J = 4 [1 cos i] 0

du

1 + u2= 4(1 cos i) [arctanu]0 = 4(1 cos i)

pi

2

2pi(1 cos i) = 2pi(

1

) J = 2pi( )

7

Para la ultima integral en (9) es decir la accion Jr con V (r) = k/r:

Jr =

[2mE +

2mk

r

2

r2

]dr =

[2mE +

2mk

r (J + J)

2

4pi2r2

]dr (15)

Para definir los lmites de la integral (15) es necesario encontrar los puntos de retorno a partir depr = 0 que se pueden determinar a partir de las races r1 y r2 de:

2mEr2 + 2mkr (J + J)2

4pi2= 0 (16)

Donde se ha usado 2pi = J + J. Si ahora definimos las siguientes cantidades:

a = k2E

; b =2mE (17)

Es posible escribir el momento p2r de la siguiente forma:

p2r = 2mE[1 + 2a

r(b

a

)2 (ar

)2](18)

Utilizando una tabla de integrales se tiene que:

Ar2 +Br + C

rdr =

Ar2 +Br + C+

B

2A sin

1( 2Ar B

B2 4AC

)C sin1

(Br + 2C

rB2 4AC

)Por tanto la integral queda:

prdr =2mE

[r2 + 2ar b2 + a sin1

(r aa2 b2

) b sin1

(ar b2ra2 b2

)]Si tenemos en cuenta que:

r1, r2 = aa2 b2 (19)

Se obtiene: r1r1

prdr =2mE(a b)pi

Finalmente:

Jr = 2pi2mE(a b)

Sustituyendo los valores para a y b se obtiene la accion para Jr:

Jr = (J + J) + pik

2m

E

8